1. 부등식의 사칙 연산

[eqn: x, ~y]의 범위가 [eqn: a<x<b,~c<y<d]로 주어질 때,

(1)   [eqn: a<x<b# c<y<d]            (2)  [eqn: a<x<b# c<y<d]           (3) [eqn: a<x<b# c<y<d]        (4)  [eqn: a<x<b# c<y<d]

[eqn: a+c<x+y<b+d`]       [eqn: a-d<x-y<b-c`]        [eqn: ac<xy<bd`]         [eqn: {a} over {d} < {x} over {y} < {b} over {c} `]

※ 주의 : 위의 내용은 [eqn: a,~b,~c,~d]가 양수일 때 성립하는 것이고 양수가 아닐 경우는 반드시 모든 경우를 다 따져 최솟값을 좌변에 최댓값을 우변에 놓는다.

2. 일·이차부등식의 해법

1) 일차부등식 [eqn: ax>b]의 해는

(1) [eqn: a>0~일때,~~x> {b} over {a} `]

(2) [eqn: a<0```일때,~~x< {b} over {a} `]

(3) [eqn: a=0~일때,` {cases{b >= 0이면~해는~없다##b<0이면~x는~모든~실수값}} `]

2) 이차부등식 해법 이차부등식 [eqn: ax^2 +bx +c =0(a>0)]의 두 근을 α, β (단, α≧β)라 하면 이차부등식의  해는 다음과 같다.

이차부등식	[eqn: D>0`]	[eqn: D=0`]	[eqn: D<0`]
[eqn: ax ^{2} +bx+c>0`]	[eqn: x< alpha ,~x> beta `]	[eqn: x != alpha `]인 모든 실수	모든 실수
[eqn: ax ^{2} +bx+c GEQ 0`]	[eqn: x LEQ alpha ,~x GEQ beta `]	모든 실수	모든 실수
[eqn: ax ^{2} +bx+c<0`]	[eqn: alpha <x< beta `]	해 없음	해 없음
[eqn: ax ^{2} +bx+c LEQ 0`]	[eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]	[eqn: x= alpha]	해 없음

※ 부등식이 항상 성립할 조건

(1) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ax^2 + bx+ c >0]이 항상 성립 [eqn: LRARROW ~a>0,~D<0`또는`a=b=0,~c>0]

(2) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ax^2 + bx+c<0]이 항상 성립 [eqn: LRARROW ```a<0,~D<0~또는~a=b=0,~c<0`]

(3) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ax+b>0~ LRARROW ~a=0,~b>0] or [eqn: ax+b<0~ LRARROW ~a=0,~b<0]

※ 실근의 개수

(ⅰ) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근 개수는 함수[eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점 개수이다.

(ⅱ) 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 실근 개수는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수[eqn: y=g(x)] 그래프와의 교점 개수이다.

(ⅲ) 부등식 [eqn: f (x) `` prec `` g (x) `]의 해는 함수 [eqn: y = f(x) `]의 그래프가 함수[eqn: y = g (x) `]의 그래프보다 아래에 있는 χ의 범위이다.

특히, [eqn: f (x) `` prec `` 0 `]의 해는 함수[eqn: y = f(x) `]의 그래프가 χ축[eqn: ( y = 0 ) `]보다 아래에 있는 χ의 범위이다.

※ 반드시 실근의 개수에 관한 문제는 그래프를 그리고 생각

3. 이차방정식의 근의 분리

① 정의 : “이차방정식의 근이 어떤 값(대표값)보다 적다, 크다, 사이에 있다.” 라는 식의 문제를 근의 분리

문제라 한다. 즉, 근과 어떤 실수와의 대소 관계를 따지는 문제를 근의 분리 문제라 한다.

② 근의 분리의 3요소 : 판별식, 대칭축, 함수값 3요소를 문제에 맞게 대입하여 푼다.

③ 판별식이 필요 없는 경우 : 두 근 사이에 대푯값이 주어져 있을 때는 판별식이 필요 없고 함수값만 생각하여 문제를 푼다. (이 때 대칭축을 생각할 수 없다)

조건	두 근이 [eqn: p]보다 크다.	두 근이 [eqn: p]보다 작다.	두 근 사이에 [eqn: p]가 있다.
그림
3요소	[eqn: D GEQ 0,`f(p)>0,`- {b} over {2a} >p]	[eqn: D GEQ 0,`f(p)>0,`- {b} over {2a} <p]	[eqn: f(p)<0]
주의사항	서로 다른 두 근 [eqn: D>0] 2. 두 근이 [eqn: p]이상 [eqn: `f(p) GEQ 0] 3. 두 근이 [eqn: p]이상 [eqn: - {b} over {2a} GEQ p]	1. 서로 다른 두 근 [eqn: D>0] 2. 두 근이 [eqn: p]이상 [eqn: `f(p) GEQ 0] 3. 두 근이 [eqn: p]이상 [eqn: - {b} over {2a} GEQ p]	1. 판별식을 사용하지 않음 2. 두 근이 [eqn: p]이상 [eqn: `f(p) LEQ 0]