평면좌표                                                                                                      Math Shin

Theme #1. 점과 좌표

Theme Math

Remark) 기하(도형)는 크게 논증기하(유클리드기하)와 해석기하로 구분된다. 논증기하(ex. 중학도형)란 방정식이나 함수 같은 다른 개념들을 사용하지 않고 오직 기하학적 대상들의 관계만으로 이론을 전개하는 기하학을 말하고 해석기하는 좌표개념을 기하학에 도입시켜 주어진 도형을 식으로 나타낼 수 있게 함으로써 기하학적인 문제를 대수적인 문제로 해석할 수 있게 해주었다. 따라서, 지금부터 다루는 도형은 적어도(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) 수식으로 접근이 가능하기 때문에 논증기하보다는 막연하지 않고 그 대상을 분명히 할 수 있다.(쫄지 말것!)

Remark) 이제, 우리의 학습방법이 분명해졌다. 주어진 도형을 대수적으로 해석하는 것이 가능해졌으므로 이제부터의 학습은 도형이 주어지면 수식을 떠올려야 하고 수식이 주어지면 도형을 떠올려야 한다. 이러한 생각이 자연스럽게 이루어 질 때까지 충분한 연습과 노력이 필요하다.(중학교 도형이 완전히 배제된다는 뜻은 아니다 ㅠ)

Remark) 기하 Part는 여느 다른 단원에 비하여 증명의 중요성이 극대화된다. 실제로, 매우 많은 양의 공식을 접하게 되는데 이 공식들을 단순히 암기해서는 고득점은 포기해야 한다. 도형의 기본은 증명이고 그 증명과정에서 문제의 출제방향이 결정되므로 증명을 이해하는데서 학습은 시작되어야 한다.

Note) 해석기하는 우리가 뛰어놀 운동장을 결정하는데서 출발한다. 변수가 1개인 경우 수직선(1차원), 변수가 2개인 경우 좌표평면(2차원)이 바로 그것이다. 이 운동장위에 점이 위치를 잡으면 그 점은 각각 실수와 실수의 순서쌍(좌표)으로 해석되어 도형을 분석할 준비가 된다.

즉, 직선 위의 한 점은 한 실수로 대응되고 평면 위의 한 점은 순서가 있는 두 실수(순서쌍)으로 대응된다.

Notation) 좌표평면은 좌표축, 즉 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 의해 네 개의 사분면으로 구분되고 그 각각을 제 1사분면, 제 2사분면, 제 3사분면, 제 4사분면 이라 부른다. 이 때, 좌표평면상의 원점과 좌표축은 어느 사분면에도 속하지 않는다.

Theme #2. 두 점 사이의 거리

Remark) 기하학의 출발은 “측정”을 목적으로 한다. 따라서, 두 도형(여기서는 두 점)이 주어지면 거리(길이)에 관심을 두는 것은 너무 당연하다.

Thm 2.1) 수직선에서의 두 점 사이의 거리(1차원)

수직선 위의 두 점 [eqn: P(x _{1} ),```Q(x _{2} )] 사이의 거리

[eqn: bar{PQ}][eqn: = LEFT | x _{2} -x _{1} RIGHT |]

pf)

Remind 절대값의 정의!!

Thm 2.2) 좌표평면에서의 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 [eqn: P(x _{1} ,``y _{1} ),```Q(x _{2} ,```y _{2} )] 사이의 거리

[eqn: bar{PQ}][eqn: = sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}]

Pf) Use Thm 2.1!!!!

Note) 문제에서 점 [eqn: P]의 좌표가 직접 주어지지 않은 경우 주어진 정보에 맞게 점 [eqn: P]의 좌표를 설정해야 한다.

위치	[eqn: x]축	[eqn: y]축	[eqn: y=x]	[eqn: y=f(x)]	일반적인 상황
좌표	[eqn: (a,```0)]	[eqn: (0,```a)]	[eqn: (a,```a)]	[eqn: (a,```f(a))]	[eqn: (a,```b)]

물론 표에서 확인할 수 있다시피 좌표설정의 concept은 미지수를 줄이는 것이다.

ex) 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +4x+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k]가 서로 다른 두 점 P, Q에서 만난다. 점 P가 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점일 때, 선분 PQ의 길이는? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

ex) 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`0`,``3)``], [eqn: rm B`(`2`,``0)``]을 잇는 선분 [eqn: rm AB``]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]에 대하여 선분 [eqn: rm OC``]의 길이의 제곱 [eqn: bar{rm OC} it ^{`2}} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O``]는 원점이고 점 [eqn: rm C``]는 제[eqn: `1``]사분면 위의 점이다.)

ex) 좌표평면 위의 한 점 [eqn: rm A][eqn: (4,~1)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외심은 변 [eqn: rm BC`] 위에 있고 좌표가 [eqn: (-2`,```-1)`]일 때, [eqn: rm {bar{AB }} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} `]의 값은?

ex) 다음 그림은 [eqn: RM A ,~ B,~ C] 세 아파트의 위치를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 학생들의 편의를 위해 각 아파트로부터의 거리가 같은 지점에 학교를 지으려고 할 때, 학교의 위치는 [eqn: { RM P } (a,~ b)]이다. 이때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

ex) 좌표평면 위의 세 점 [eqn: RM A(2, -4)], [eqn: RM B(1, 4)], [eqn: RM C(-2, -2)]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: RM △ABC]에서 [eqn: RM ANGLE C]의 크기를 구하시오.

ex) 세 점 [eqn: rmA(1,~0)], [eqn: rm(-1,~1)], [eqn: rmC(3,~2)]에 대하여  [eqn: rm{barPA}^{2}+{barPB}^{2}+{barPC}^{2}]의 값을 최소가 되게 하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은?

ex) 그림과 같이 [eqn: x]축 위의 네 점 [eqn: RM A_1 ,``A_2 ,``A_3 ,``A_4]에 대하여 [eqn: RM BAROA_1 ,``BAR{A_1 A_2 },``BAR{A_2 A_3},``BAR{A_3 A_4}]를 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: RM OA_1 B_1 C_1], [eqn: RM A_1 A_2 B_2 C_2], [eqn: RM A_2 A_3 B_3 C_3], [eqn: RM A_3 A_4 B_4 C_4]가 있다. 점 [eqn: RM B_4]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 30,``18 RIGHT )]이고 정사각형 [eqn: RM OA_1 B_1 C_1], [eqn: RM A_1 A_2 B_2 C_2], [eqn: RM A_2 A_3 B_3 C_3]의 넓이의 비가 [eqn: 1:4:9]일 때, [eqn: RM {BAR{B_1 B_3}}^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: RMO]는 원점이다.)