2021년 5월 21일	수학 1학기 수행평가 1학년 ( )반 이름 ( )

＊서술형 총 10문항  [총100점]

＊배점: 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시기 바랍니다.

1. [eqn: x= sqrt {3} + sqrt {2} `], [eqn: y= sqrt {3} - sqrt {2} `]일 때, [eqn: x ^{2} y+xy ^{2} +x+y`]의 값은? [10점]

/2

[풀이]

[eqn: x ^{2``} y+xy ^{2} +x+y`=xy(x+y)+(x+y)=(x+y)(xy+1)]

[eqn: x= sqrt {3} + sqrt {2}, y= sqrt { 3}- sqrt { 2}] 이므로

[eqn: x+y`=2 sqrt {3} ,``````xy`=1]

[eqn: THEREFORE(x+y)(xy+1) =4 sqrt { 3}]

2. 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -2x+1=0`]의 한 근을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: alpha ^{4} - alpha ^{2} + alpha]의 값은? [10점]

[풀이]

이차방정식 [eqn: 2x^2 -2x+1=0] 의 한 근이 [eqn: alpha] 이므로[eqn: 2 alpha ^{2`}-2 alpha +1=0, ```` alpha^2 - alpha =- { 1} over 2{ }, `` alpha^2 = alpha- { 1} over {2 }]

양변을 제곱하면

[eqn: alpha^4 =( alpha- { 1} over { 2})^2 = alpha^2 - alpha+ { 1} over { 4}]

우변의 [eqn: alpha^2 - alpha] 를 좌변으로 이항하면 [eqn: alpha^4 - alpha^2 + alpha= { 1} over { 4}]

3. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근의 합이 16일 때, [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: f(2020-8x)=0]의 두 근의 합을 구하시오.  [10점]

[풀이]

이차방정식 [eqn: f(x) =0] 의 두 근을 [eqn: alpha, beta] 라 놓으면

[eqn: f(x) =k(x- alpha)(x- beta),(단, k !=0)]

두 근의 합이 16이므로 [eqn: alpha+ beta =16]

[eqn: f(2020-8x)=k(2020-8x`- alpha `)(2020-8x- beta )`=0]

[eqn: THEREFORE x= {2020- alpha } over {8},~~~x= { 2020- beta } over {8 }]

두 근의 합은 [eqn: {2020- alpha } over {8} + {2020- beta } over {8} = {2 TIMES 2020-( alpha + beta )} over {8} = {4040-16} over {8}=503]

4. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 복소수 [eqn: z=a+2bi`]가 [eqn: z ^{2} + LEFT ( ` {bar{z}} ` RIGHT ) ^{2} =0`]을 만족시킬 때, [eqn: 6a+12b ^{2} +11`]의 최솟값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)  [10점]

[풀이]

[eqn: z^2 =(a+2bi)^2 =(a^2 -4b^2 ) +4abi]

[eqn: (barz )^2 =(a-2bi )^2 =(a^2 -4b^2 ) -4abi]  이므로

[eqn: z ^{2`} +(barz )^2 =2(a^2 -4b^2 )=0]

[eqn: THEREFOREa^2 =4b^2]

[eqn: 6a+12b^2 +11] 에 [eqn: 4b ^{2} =a ^{2}] 을 대입하면

[eqn: 6a+12b ^{2} +11=3a ^2 +6a +11 =3(a+1)^2 +8]

[eqn: THEREFORE a=-1] 일 때, [eqn: 6a+12b ^{2`} +11]의 최솟값은 8

5. 두 이차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) =0`]이다.

(나) [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} -3x+2`]로 나누어떨어진다.

[eqn: P` LEFT ( 0 RIGHT ) = it -4`]일 때, [eqn: Q` LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.  [10점]

[풀이]

조건 (가)에서 [eqn: 2P(x)`+Q(x)`=0 ````LRARROW ````Q(x )=-2P(x)]

조건 (나)에서 [eqn: P(x)Q(x)] 가 [eqn: x^2 -3x +2] 가 나누어 떨어지므로

[eqn: P(x)Q(x)]는

[eqn: (x-1)(x-2)] 를 인수로 갖고,

[eqn: P(x), Q(x)] 는 각각 인수로 [eqn: (x-1)(x-2)] 를 갖는다.

[eqn: P(x) =a(x-1)(x-2), ````P(0)=-4]

[eqn: P(0)=2a =-4 , ~~~~a=-2]

즉, [eqn: P(x) =-2 (x-1)(x-2)]

[eqn: Q(x) =4(x-1)(x-2)]

[eqn: Q(4)`=24]

6. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( `-2,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `0,``7 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `2,``a RIGHT )]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오. [10점]

[풀이]

점 [eqn: A(-2,`0),`B(0,`7)] 에 대하여 선분 [eqn: AB] 를 [eqn: 2:1] 로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: (2,`a)] 이므로 [eqn: a= {2 times 7 -1 times 0 } over 2-1 =14]

7. 꼭지점 [eqn: A] 의 좌표가 [eqn: (1,`-2)] 인 [eqn: TRIANGLEABC] 에서 변 [eqn: BC] 의 중점의 좌표가 [eqn: (-2,`4)] 일 때, [eqn: TRIANGLE ABC]의 무게중심의 좌표를 구하시오.

[10점]

[풀이]

변 [eqn: BC] 의 중점을 [eqn: M] 이라고 하면 삼각형 [eqn: ABC] 의 무게중심은 선분 [eqn: AM] 을 [eqn: 2:1] 로 내분하는 점이다. [eqn: A( 1,`-2),`M(-2,`4)] 이므로 삼각형 [eqn: ABC] 의 무게중심의 좌표는 [eqn: ( {2times(-2) +1times1}over2+1 , `{2times4 +1times(-2)} over2+1 )], 즉 [eqn: (-1,`2)]

8. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(1`,`3),`B(2,`1)] 에 대하여 선분 [eqn: AB] 를 [eqn: 3:2] 로 외분하는 점을 [eqn: C] 라 하자. 선분 [eqn: BC] 를 지름으로 하는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,`b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [10점]

[풀이]

두 점 [eqn: A(1,`3),` B(2,`1)] 에 대하여 선분 [eqn: AB] 를 [eqn: 3:2] 로 외분하는 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: C( {3times2 -2times1} over3-2 , `{3times1 - 2times3} over3-2 )], 즉 [eqn: C(4,`-3)]

선분 [eqn: BC] 를 지름으로 하는 원의 중심은 선분 [eqn: BC] 의 중점이므로 두 점 [eqn: B(2,`1),`C(4,`-3)] 에 대하여 선분 [eqn: BC] 의 중점의 좌표는 [eqn: ({2+4} over2 , { 1+(-3)} over2 ),] 즉 [eqn: (3, -1)]

따라서 [eqn: a=3,`b=-1] 이므로 [eqn: a+b=3+(-1)=2]

9. 원 [eqn: x^2 + y^2 =25] 와 직선 [eqn: y=f(x)] 가 제 [eqn: 2]사분면에 있는 원 위의 점 [eqn: P] 에서 접할 때, [eqn: f(-5)f(5)]의 값을 구하시오. [10점]

[풀이]

[eqn: f(x) =ax+b] 로 놓으면 직선 [eqn: y=ax+b] 와 원 [eqn: x^2 + y^2 =25] 가 접하므로 이차방정식 [eqn: x^2 + (ax+b)^2 =25] 는 중근을 갖는다.

이차방정식 [eqn: (a^2 +1) x^2 + 2abx + b^2 -25 =0] 의 판별식을 [eqn: D] 라고 하면 [eqn: D over4 =a^2 b^2 -(a^2 +1)(b^2 -25)=25a^2 b^2 -b^2 +25=0] ········㉠

이때, [eqn: f(-5)f(5) =(-5a+b)(5a +b) =b^2 -25a^2] 이므로 ㉠에 의하여 [eqn: f(-5)f(5)=25] 이다.

10. 직선 [eqn: y=x] 위의 점을 중심으로 하고, [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원 중에서 직선 [eqn: 3x-4y+12=0]과 접하는 원의 개수는 [eqn: 2]이다. 두 원의 중심을 각각 [eqn: rmA, ``B]라 할 때, [eqn: {bar{rmAB}}^{2}]의 값을 구하시오.

[10점]

[풀이]

원의 중심을 [eqn: (a,`a)] 로 놓으면 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원이므로 원의 방정식을 [eqn: (x-a)^2 + (y-a)^2 =a^2] 으로 놓을 수 있다. 점 [eqn: (a,`a)]와 직선 [eqn: 3x-4y+12=0] 사이의 거리는 반지름의 길이 [eqn: LEFT | a RIGHT |] 와 같으므로 [eqn: {LEFT | 3a-4a+12RIGHT |} over sqrt{3^2 + (-4)^2 } = LEFT | a RIGHT | ,] [eqn: LEFT | -a+12 RIGHT | = 5LEFT | a RIGHT |] 양변을 제곱하면 [eqn: (a-12)^2 = 25a^2] 이고 [eqn: a^2 +a -6 =0] 이므로 [eqn: THEREFORE a=-3 ``or`a=2]

따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 [eqn: (-3,`-3)]과 [eqn: (2,`2)] 이다.

두 원의 중심의 좌표를 [eqn: A, ` B] 라 하면 [eqn: {barAB}^2 =50] 이다.