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음함수, 매개변수 미분법	담당교사( ) 시간 ( 시)	이름:

매개변수 [eqn: t]([eqn: t>0])으로 나타내어진 함수

[eqn: x=t- {2} over {t}], [eqn: y=t ^{2} + {2} over {t ^{2}}]

에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

2017학년도 9월모평 가형 14번

① [eqn: - 2 over3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 4 over3]

④ [eqn: - 5 over3]	⑤ [eqn: -2]

매개변수 [eqn: t]([eqn: t>0])로 나타내어진 함수

[eqn: x=t+2 sqrt {t}], [eqn: y=4t ^{3}]

에 대하여 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값을 구하시오.

2017년 4월학평 가형 24번

매개변수 [eqn: t]로 나타낸 곡선 [eqn: x=ln`t,~y=t ^{2} -4t]위의 임의의 점에서의 접선의 기울기를 [eqn: m(t)]라 하자. [eqn: m(t)]가 최소가 되도록 하는 곡선 위의 점을 P([eqn: a, ~b])라 하고, [eqn: m(t)]의 최솟값을 [eqn: c]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: t>0])

[정답/모범답안]

13

[해설]

[eqn: x=ln`t,~y=t ^{2} -4t]에서

[eqn: {dx} over {dt} = {1} over {t} ,~ {dy} over {dt} =2t-4]

이므로

[eqn: m(t) & = {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {2t-4} over {{1} over {t}} =2t ^{2} -4t# &=2(t-1) ^{2} -2 GEQ -2`(단,`등호는`t=1일`때`성립)]

즉, [eqn: t>0]일 때 [eqn: m(t)≥-2]이고,

[eqn: t=1]일 때 [eqn: x=ln`1=0,~y=1-4=-3]에서 P(0, -3)이므로

[eqn: a=0], [eqn: b=-3,~c=-2]

따라서

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =0 ^{2} +(-3) ^{2} +(-2) ^{2} =13]

곡선 [eqn: x ^{3} +xy+y ^{3} -8=0]과 [eqn: x]축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는?

2011년 10월학평 가형 5번

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

곡선 [eqn: xy-y ^{3} ln`x=2]에 대하여 [eqn: x=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

2019년 7월학평 가형 8번

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수

[eqn: x=tan` theta], [eqn: y=cos ^{2} ` theta] [eqn: left( matrix{rm#rm} right.]단, [eqn: - {pi } over {2} < theta < {pi } over {2}][eqn: left. matrix{ rm#rm} right)]

에 대하여 이 곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 1`,~ {1} over {2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

2011년 4월학평 가형 20번

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: x = sqrt{ y^2 + 2 } - y]에 대하여 [eqn: dy over dx]를 구하면?

3

곡선 [eqn: x = 2y over{ y^2 + 1 } ( -1 < y< 1 )]에서 [eqn: y = 0]일 때의 접선의 기울기는?

2

① [eqn: - 1 over 2]    ② [eqn: 1 over 2]    ③ [eqn: 1]    ④ [eqn: 2]    ⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: y=2 ^{x} -2 ^{-x}]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 좌표를 [eqn: (f(t),~t)]라 하자.

함수 [eqn: g(t)=f(t) TIMES LEFT { 4 ^{f(t)} +4 ^{-f(t)} RIGHT }]일 때,             [eqn: LEFT { g prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) -15 RIGHT } TIMES 68`ln`2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: t]는 실수이다.)

[정답/모범답안]

257

[해설]

점 [eqn: (f(t),~t)]는 함수 [eqn: y=2 ^{x} -2 ^{-x}]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 2 ^{f(t)} -2 ^{-f(t)} =t]     …… ㉠

㉠의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4 ^{f(t)} +4 ^{-f(t)} =t ^{2} +2]이므로

[eqn: g(t) & =f(t) TIMES LEFT { 4 ^{f(t)} +4 ^{-f(t)} RIGHT }# &=f(t) TIMES (t ^{2} +2)=(t ^{2} +2)f(t)]

함수 [eqn: g(t)]를 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: g prime (t)=2tf(t)+(t ^{2} +2)f prime (t)]     …… ㉡

[eqn: f LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) =k]라 하면 ㉠에서 [eqn: 2 ^{k} -2 ^{-k} = {15} over {4}]

[eqn: 4 TIMES 2 ^{2k} -15 TIMES 2 ^{k} -4=0,~(4 TIMES 2 ^{k} +1)(2 ^{k} -4)=0]

[eqn: 4 TIMES 2 ^{k} +1>0]에서 [eqn: 2 ^{k} =4]

[eqn: k=2], 즉 [eqn: f LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) =2]      …… ㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: g prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) & =2 TIMES {15} over {4} TIMESf LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) + LEFT { LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) ^{2} +2 RIGHT } TIMESf prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT )]

[eqn: & =2 TIMES {15} over {4} TIMES2+ LEFT ( {225} over {16} +2 RIGHT ) TIMESf prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT )# & =15+ {257} over {16} TIMESf prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT )]

함수 [eqn: h(x)=2 ^{x} -2 ^{-x}]이라 하면 ㉠에서

[eqn: h(f(t))=t]     …… ㉣

즉, 함수 [eqn: f]는 함수 [eqn: h]의 역함수이다.

㉣의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: h prime (f(t))f prime (t)=1, f prime (t)= {1} over {h prime (f(t))}]

이때

[eqn: h prime (x)=2 ^{x} TIMES ln`2-2 ^{-x} TIMES ln`2 TIMES (-1)=(2 ^{x} +2 ^{-x} )ln`2]

[eqn: h prime (2)=(2 ^{2} +2 ^{-2} )ln`2= {17} over {4} `ln`2]이므로

[eqn: f prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) = {1} over {h prime LEFT ( f LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {h prime (2)} = {4} over {17`ln`2}]

따라서

[eqn: g prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) & =15+ {257} over {16} TIMESf prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT )]

[eqn: & =15+ {257} over {16} TIMES {4} over {17`ln`2}# & =15+ {257} over {68`ln`2}]

이므로

[eqn: LEFT { g prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) -15 RIGHT } TIMES 68`ln`2=257]

{참고}

㉠의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 ^{f(t)} TIMES ln`2 TIMES f prime (t)-2 ^{-f(t)} TIMES ln`2 TIMES LEFT { -f prime (t) RIGHT } =1# LEFT { 2 ^{f(t)} +2 ^{-f(t)} RIGHT } f prime (t) ln`2=1# f prime (t)= {1} over {LEFT { 2 ^{f(t)} +2 ^{-f(t)} RIGHT } ln`2} ~~~~~ CDOTS CDOTS (*)]

[eqn: f LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) =2]이므로 (*)에 [eqn: t= {15} over {4}]를 대입하면

[eqn: f prime LEFT ( {15} over {4} RIGHT ) & = {1} over {LEFT { 2 ^{f LEFT ( {15} over {4} RIGHT )} +2 ^{-f LEFT ( {15} over {4} RIGHT )} RIGHT } ln`2}# & = {1} over {(2 ^{2} +2 ^{-2} )ln`2} = {4} over {17`ln`2}]

[eqn: 0<t<1`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]와
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x` LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f left(x right)`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 그은 접선의 [eqn: x`]절편을 [eqn: g left(t right)`]라 하자. [eqn: g prime LEFT ( {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT ) `]의 값은?

(2019년 7월 모의고사 21번)

① -28  ② -24  ③ -20  ④ -16  ⑤ -12