미분(미적분)                                                                                                    Math Shin

Theme #1. 미분법

Review) 수2 미분

Theme Math

Thm 1.1) 삼각함수의 도함수

(1) [eqn: (sinx) prime `=cosx]                        (2) [eqn: (cosx) prime =-sinx]

(3) [eqn: (tanx) prime =sec ^{2} x]                       (4) [eqn: (cotx) prime =-cosec ^{2} x]

(5) [eqn: (secx) prime =secx````tanx]                   (6) [eqn: (cosecx) prime =-cosecx````cotx]

Pf)

Theme Math

Thm 1.2) 지수함수의 도함수

(1) [eqn: (a ^{x} ) prime =a ^{x} ``lna] (단,[eqn: a != 1,`` a ＞0])	(2) [eqn: (e ^{x} ) prime =e ^{x} `]

(3) [eqn: (a ^{f(x)} ) prime =a ^{f``(x)} (lna)f`` prime (x)]	(4) [eqn: (e ^{f(x)} ) prime =e ^{f``(x)} ``f`` prime (x)]

Pf)

Def 1.1) 이계도함수 (도함수의 활용과 연계)

함수 [eqn: y=f``(x)]의 도함수 [eqn: f``'(x)]가 미분가능할 때, [eqn: f``'(x)]의 도함수를 [eqn: f``(x)]의 이계도함수라 하고 기호로는

[eqn: f``''(x) , ~ y``'' ,~ {d`^2} over {dx^2 } , ~ {d`^2 y } over { d x^2 }]

등으로 나타낸다.

Note) 고계도함수

함수 [eqn: y= f``(x)]가 [eqn: x`]에 대해 [eqn: n`]번 미분가능할 때, [eqn: x`]에 대하여 [eqn: n`]번 계속 미분한 것을  [eqn: n`]계도함수라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: f``^(n) (x) ,~y^(n) ,~ {d`^n} over {d`x^n} ` f``(x) ,~ {d`^n y } over dx^n]

Def 1.2) 곡선의 오목 / 볼록 / 변곡점

(1) 곡선상의 두 점 [eqn: rmA``,``B]에 대하여 [eqn: rm arch AB]가 [eqn: rm bar AB]보다 아래에 있으면 아래로 볼록(위로 오목)이라 한다.

(2) 곡선상의 두 점 [eqn: rmA``,``B]에 대하여 [eqn: rm arch AB]가 [eqn: rm bar AB]보다 위에 있으면 위로 볼록(아래로 오목)이라 한다.

(3) 곡선상의 한 점의 좌우에서 위로 오목, 볼록 상태가 변할 때, 이 점을 변곡점이라 한다.

Thm 1.3) 곡선의 오목 / 볼록 판정

곡선 [eqn: y = f(x)] 가 어떤 구간에서 항상

(1) [eqn: f ``prime prime (x) ``>``0] 이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 그 구간에서 아래로 볼록(위로 오목)

(2) [eqn: f`` prime prime (x)``<``0] 이면 곡선 [eqn: y=f(x)]는 그 구간에서 위로 볼록(아래로 오목)

Pf)

Thm 1.4) 곡선의 변곡점의 판정

함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: f ^{``''} (a)=0]이고, [eqn: x=a]의 좌우에서 [eqn: f ^{``''} (x)]의 부호가 바뀌면 점 [eqn: (a,```f(a))]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

Pf)

Thm 1.5) 몫의 미분법([eqn: y=x^n `]의 미분에서 [eqn: n]이 정수로의 확장)

두 함수 [eqn: f``(x),~g`(x)]의 도함수가 존재하고, [eqn: f(x) != 0]일 때,

[eqn: LEFT ( {g(x)} over {f(x)} RIGHT ) prime] [eqn: = {g'(x)f(x)-g(x)f'(x)} over {LEFT ( f``(x) RIGHT ) ^{2}}]

Pf)

Thm 1.6) 합성함수의 미분법

[eqn: y=f(u)```,``u=g(x)]가 각각 [eqn: u]와 [eqn: x]에 대하여 미분가능하면 합성함수 [eqn: y=f LEFT ( g(x) RIGHT )]도 [eqn: x]에 관하여 미분가능하고, 도함수는
(1) [eqn: {d`y} over {dx} = {d`y} over {d`u} CDOT {d`u} over {dx}] 또는 [eqn: y prime =f`` prime LEFT ( g(x) RIGHT ) CDOT g`` prime (x)]

(2) [eqn: y= LEFT { f``(x) RIGHT } ^{n} `` RARROW ` {dy} over {dx} =n` LEFT { f``(x) RIGHT } ^{n-1} `f`` prime (x)]([eqn: n`]은 정수)

(3) [eqn: y=f(ax+b)``` RARROW ```y'=af'(ax+b)]

Pf)

Thm 1.7) 음함수의 미분법([eqn: y=x^n `]의 미분에서 [eqn: n]이 유리수로의 확장)

[eqn: x]의 함수 [eqn: y]가 음함수 [eqn: f(x,```y)=0]의 꼴로 주어질 때, 각 항의 [eqn: y]를 [eqn: x]의 도함수로 보고 각 항을 [eqn: x]에 대하여 다음과 같이 미분하여 [eqn: {dy} over {dx}]를 구한다.

[eqn: {d} over {dx} y ^{n} = {d} over {d`y} y ^{n} CDOT {d`y} over {dx} =ny ^{n-1} {dy} over {dx}]

Pf) use chain rule!!

Note) 양함수는 항상 음함수로 변형이 가능하나 음함수는 항상 그렇지 않다. 따라서, 음함수의 미분법을 알고 있어야 한다.

Thm 1.8) 역함수의 미분법

함수 [eqn: y=f(x)]가 미분가능하고 그 역함수가 존재할 때, [eqn: {dx} over {dy} != 0]이면

[eqn: {dy} over {dx} = {1} over {{dx} over {dy}}] 또는 [eqn: {dx} over {dy} = {1} over {{dy} over {dx}}]

Pf)

Thm 1.9) 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법

[eqn: x=f(t)``,``y=g(t)]가 각각 미분가능하고 [eqn: f`` prime (t) != 0] 이면 다음이 성립한다.
[eqn: {d`y} over {dx} = {{d`y} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {g'(t)} over {f'(t)}]

Pf)

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x`)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y``]에 대하여

[eqn: f`(`x+y`)=f`(`x`)f`(`y`)+4f`(`x`)+4f`(`y`)+12]

(나) [eqn: f`(`ln2`)=0``], [eqn: f`` prime (`0`)=2``]

이때, [eqn: f`` prime (`ln2`)`]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고, [eqn: f`'(2)=-3], [eqn: f`'(4)=6]일 때, [eqn: lim from x->-2`{f`(x^2`)-f`(4)}over{f`(x)-f`(-2)}]의 값은?

ex) 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,``` {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f` prime (``x)`=1`+` it LEFT { `f(`x) RIGHT } ` ^{2}]

(나) [eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `=`1]

함수 [eqn: g(`x)=`ln `f` prime (`x)]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `]의 값은?

[3점][2011 년 3

ex) 다항함수 [eqn: y``=`` f``(`x`)``]의 도함수 [eqn: f`` prime `(`x`)``]로부터 얻을 수 있는 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF _`} {1} over {f`` prime (n`)}^``]에 대하여, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f`` prime `(`n`) ``not =``0``]이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f``(`x`)``=``2x ^3 ``+``3x ^2 ``+``1``]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``` {1_`} over {f`` prime (n`)}^` `=`` {1_`} over {6}``]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x `->` INF } f`` (`x`)``=`` INF ``]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF _`} {1} over {f`` prime (n`)}^``]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF _`} {1}_` over {f`` prime (n`)}^``]이 수렴하면 [eqn: x``→`` INF ``]일 때 [eqn: f``'(`x`)``]는 발산한다.

ex) 함수 [eqn: f _{} (x)`=ln {x} over {k}`]([eqn: k`]는 자연수)의 역함수를 [eqn: y=g (x)`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f (x)`]위의 점과 곡선 [eqn: y=g(x)`]위의 점 사이의 최단 거리를 [eqn: l _{k} `]라 하자. [eqn: l _{k} >= 3 sqrt {2} `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은?(단, [eqn: e=2.7``]로 계산한다.)

ex) 함수 [eqn: f(x)]가 다음과 같다.

[eqn: f(x)=cases{ pile {## ## }]	[eqn: {{1} over {2} (x ^{3} -3x)]	[eqn: (x LEQ -1~또는~x GEQ 0)]
	[eqn: {{1} over {2} (x ^{3} -3x) -1]	[eqn: (-1<x<0)]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `0} {}` f` prime (x)=`- {3} over {2}]

ㄷ.[eqn: lim_{x`->`-1+0} f(f`'(x)) = 0]

ex) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(cosx)=sin2x+tanx] [eqn: LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT )]를 만족시킬 때, [eqn: f`' LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

ex) 함수 [eqn: f(x)=ln``(tan``x)`````left(0<x< pi over 2 right)``]의 역함수 [eqn: g(x)``]에 대하여

[eqn: lim_h->0 {4g(8h) -pi } over h ``]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x+cos`x+ {pi} over {4}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) `-k` RIGHT |] ([eqn: k]는 [eqn: 0<k<6 pi]인 상수)
라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

ex) 실수 [eqn: t``]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 ``]위의 점 [eqn: left(t,```t^3 right)``]과 직선 [eqn: y=x+6``] 사이의 거리를 [eqn: g(t)``]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: g(t)``]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
ㄴ. 함수 [eqn: g(t)``]는 [eqn: 0``]이 아닌 극솟값을 갖는다.
ㄷ. 함수 [eqn: g(t)``]는 [eqn: t=2``]에서 미분가능하다.

ex)  함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x<=t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

ex)  실수 전체의 집합에서 연속이고 [eqn: f(0)=0`]인 함수 [eqn: y=f(x)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x) `]가   [eqn: f` prime (x)=` LEFT | ``x`` RIGHT |]
이다. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2010년 7월 교육청]

ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 0} {{f(x)} over {x}} =0]

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ` sqrt {2}} {} `g(f(x))=1]

ㄷ. 합성함수 [eqn: y= `{g(g(x))`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ex) 실수 [eqn: t``]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선과 원 [eqn: x^2 + y^2 = e^2t]이 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C``] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a times e ^{b pi}]이다. [eqn: 10(a +b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

ex) 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 서로 다른 두 실 수 [eqn: x,~y`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f ' (x) =0]

(나) [eqn: {f(x)-f(y)} overx-y = f' left( x+y over2 right)]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: f left( x+y over2 right) > {f(x)+f(y)} over2]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)= f(x)]

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2 f'(x) = f'(2x)]

ex)  실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)``]일 때,
[eqn: f(x)``]가 미분가능하면 [eqn: f'(-x)=f'(x)``]이다.

ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: |``f(x)``|<=Mx^2``]이면 [eqn: f'(0)=0``]이다. (단, [eqn: M``]은 양의 상수이다.)

ㄷ. [eqn: lim_{h->0}``{f(c+h)+f(c-h)-2f(c)} over h =0``]이면 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=c``]

에서 미분가능하다.

ex) [eqn: -1`]과 [eqn: 1`]을 제외한 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=`- f(x)`]이다.

(나) [eqn: lim_x->1-0 f(x)=f(1) =`-1 `]이고 [eqn: lim_x->1+0 f(x) =1 `]이다.

(다) [eqn: x!=1`]인 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x)<0`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2014년 3월 서울]

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: y= x`]와 한 점에서 만난다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 세 점에서 만난다.

ㄷ. [eqn: f`'(alpha)`=`-1`]인 실수 [eqn: alpha`]가 적어도 두 개 존재한다.

ex) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> sqrt {2}} {``[xf(x)]`=1}]

ㄴ. 함수 [eqn: [xf(x)]]는 [eqn: x= sqrt {2}]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT ) [xf(x)]]는 [eqn: x= sqrt {2}]에서 미분가능하다.

ex)  이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 도함수 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT ) ``]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f' LEFT ( alpha RIGHT ) =0,~f' LEFT ( -x RIGHT ) =f' LEFT ( x RIGHT ) ``]이다. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?(단, [eqn: x``]축은 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT ) ``]의 점근선이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) ``]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 극댓값이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 양수 [eqn: beta ``]에 대하여 [eqn: f'' LEFT ( beta RIGHT ) =0``]이면 [eqn: 0<x< beta ``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 위로 볼록이다.

ex) 두 다항함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)=-f(x)], [eqn: g(-x)=g(x)]를 만족하고
[eqn: h(x)=f(x)+xg(x)]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: h(0)=0]

ㄴ. [eqn: h {prime } (-x)=h {prime } (x)]

ㄷ. [eqn: h(x)`]의 이계도함수 [eqn: h {prime prime } (x)]가 [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: 1`]을 가질 때, 방정식 [eqn: h {prime prime } (x) -x=0`]의 실근은 적어도 3개이다.

ex) 열린 구간 [eqn: (`0,```2 pi )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {sinx} over {e ^{2x}}]가 [eqn: x = a `]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: cos`a`]의 값은?

ex) 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]를 매개변수 [eqn: t``]로 나타내면
[eqn: cases{&x=e^t _`_`#&y=left(2t^2 +nt+n right)`e^t``]
이고, [eqn: x ge e^{- n over 2 }]일 때 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a_n]에서 최솟값 [eqn: b_n]을 갖는다. [eqn: b_3 over a_3 + b_4 over a_4 + b_5 over a_5 + b_6 over a_6]의 값은?

ex) 직선 [eqn: x=a]가 곡선 [eqn: f(x)=x ^{3} -ax ^{2} -100x+10]의 극대가 되는 점과 극소가 되는 점 사이를 지날 때, 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

ex) 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 도함수 [eqn: f` prime (x)]가 연속이다. [eqn: x`]축과의 교점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]뿐인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {x}]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: c]

[eqn: b]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: d]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: e]

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 열린 구간 [eqn: (b,~0)`]에서 증가한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=b`]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [`a,```e]]에서 [eqn: 4]개의 극값을 갖는다.

ex) 함수 [eqn: f(x)=2`ln(5-x)+ {1} over {4}x ^{`2}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=4`]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점의 개수는 [eqn: 2`]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)= {1} over {4}`]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

ex) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {lnx ^{2}} over {x}]의 극댓값을 [eqn: alpha]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `- {alpha } over {n} x=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오.

ex) 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g`prime(x) LEQ { 1} over {3 }]이다.

(나) [eqn: lim _{ x->3} { f(x)-g(x)} over { (x-3)g(x)}= { 8} over { 9}]

[eqn: f(1)]의 값은?

ex) 그림과 같이 함수 [eqn: f`(x`)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x)`]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고 [eqn: x>0`]일 때 위로 볼록하다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f`'(x)]

함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른  것은? (단, [eqn: f` prime (-1)=f` prime (0)=f` prime (1)=0`])

		〈 보 기 〉
*증명*
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극값을 갖는다. ㄴ. [eqn: f(0)=0`]이면 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값과 극솟값의 합은 [eqn: 0`]이다. ㄷ. [eqn: f(1)<0`]이면 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 오직 하나의 실근을 갖는다.

ex)  [eqn: 3``]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: f(x)``]가

[eqn: f(x) = x^n e^-x]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f left( n over 2 right) `=` f `' left ( n over 2 right)]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x) ``]는 [eqn: x = n ``]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,~ 0)``]은 곡선 [eqn: y = f(x) ``]의 변곡점이다.

ex) 양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +2cos``x]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 범위는?

ex) 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 (2,1)에서의 접선의 기울기는 1이다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)]위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)=e^{ 2 over x }] 에 대하여 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은 ?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> `` INF } {f(x)=1}]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)] 는 극값을 갖지 않는다.

ㄷ. [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: f(x)`]는 증가함수이다.

ex) 그림과 같이 함수 [eqn: y=lnx+4,`````y=e ^{x-4}]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a`,```b`]라 하자. 일차함수 [eqn: y=-x+k`]의 그래프가 [eqn: a <= x <= b]에서 두 함수의 그래프와 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 될 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

ex) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime (-x)``=`-f` prime (x)]이다.

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다.

ㄷ. 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여

[eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | ``` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |]이다.

ex) 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다음 표는 [eqn: x]의 값에 따른 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )]의 변화 중 일부를 나타낸 것이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =-1]

ㄴ. [eqn: 1<a<b<3]이면 [eqn: -1< {g LEFT ( b RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} <0]이다.

ㄷ. 점 [eqn: P LEFT ( 1,`1 RIGHT )]은 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이다.

ex) 함수 [eqn: f(x)= {x- {1} over {2}} over {(x ^{2} -2x+2) ^{2}} `]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: left( 1`,```1 over 2 right) `]에서의 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: sqrt2 over {4} `]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x) `]의 최솟값은 [eqn: - 1 over {8}`]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x) - f(10) = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]개이다.

ex) 양수 [eqn: a]에 대하여 폐구간 [eqn: [-a,~a ]]에서 함수  [eqn: f(x)= {x-5 } over {(x-5) ^{2} +36}]의 최댓값을 [eqn: rm M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: {RMM`}+m=0]이 되도록 하는 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오.

ex) 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f`(x)]에 대하여 점 [eqn: rm A(ITa,``f`(a))]를 곡선 [eqn: y=f`(x)]의 변곡점이라 하고, 곡선 [eqn: y=f`(x)] 위의 점 [eqn: rm A]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g`(x)]라 하자. 직선 [eqn: y=g`(x)]가 함수 [eqn: f`(x)]의 그래프와 점 [eqn: rm B(ITb,``f`(b))]에서 접할 때, 함수 [eqn: h(x)]를  [eqn: h(x)=f`(x)-g`(x)]라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a != b`]이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: h prime (b)=0]

ㄴ. 방정식 [eqn: h prime (x)=0]은 [eqn: 3]개 이상의 실근을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (a,``h`(a)``)]는 곡선 [eqn: y=h(x)]의 변곡점이다.

ex)  정의역이 [eqn: left{x``|``0 le x le pi right}``]인 함수 [eqn: f(x) = 2x cos x``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f'(a) = 0``]이면 [eqn: tan a = 1 over a``]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x = a``]에서 극댓값을 가지는 [eqn: a``]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,~ pi over 3 RIGHT )``]에 있다.

ㄷ. 구간 [eqn: left[0,~ pi over 2 right]``]에서 방정식 [eqn: f(x) = 1``]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2``]이다.

ex) 함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} `e ^{-x} ```(k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

ex) 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)e ^{-x}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: LEFT ( 1,```g(1) RIGHT )]과 점 [eqn: LEFT ( 4,```g(4) RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=g(x)] 의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: (0,```k)]에서 곡선 [eqn: y=g(x)]에 그은 접선의 개수가 [eqn: 3]인 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0]이다.

[eqn: g(-2) TIMES g(4)]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x) = e^x+1 -1]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= 100` left|`f(x)`right|- sum_k=1^n left|` f(x^k ) `right|]

이라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

ex)　실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)=axe ^{2x} +bx ^{2}]

(나) [eqn: x _{1} <x _{2} <0]인 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: f(x _{2} )-f(x _{1} )=3x _{2} -3x _{1}]

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =2e]일 때, [eqn: f`' LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

ex) 함수 [eqn: f(x)=e ^{x+1} +1]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g(x)=100｜f(x)｜- sum _{k=1} ^{n} ｜f(x ^{k} )｜]

이라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n의] 값의 합을 구하시오.

ex) 열린구간 [eqn: (0,``2pi)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=cos`x+2x`sinx]가 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서 극값을 가진다. [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha<beta])

[보기]

ㄱ. [eqn: tan(alpha+pi)=-2alpha]

ㄴ. [eqn: g(x)=tan`x]라 할 때, [eqn: g'(alpha+pi)<g'(beta)]이다.

ㄷ. [eqn: {2(beta-alpha)}over{alpha+pi-beta}<sec^{2}alpha]

ex) 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)sin`x]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(4)]의 값은?

(가) [eqn: lim_{x->inf}{{g(x)}over{x^{2}}=0]

(나) [eqn: lim_{x->0}{{g'(x)}over{x}}=6]

ex) 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)=sin`x]에 대하여 합성함수 [eqn: y=(g CIRC f)(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,~(g CIRC f)(1))]에서의 접선이 원점을 지난다.

[eqn: lim _{x->1} {{f(x)- {pi} over {6}} over {x-1}} =k]

일 때, 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 30k ^{2}]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)= {ln`x} over {x}]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 기울기가 [eqn: t]인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라 하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: a]일 때, 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: a TIMES g`'(a)]의 값은?

ex) 함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} +ax+b)e ^{x}]과 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=e], [eqn: f`'(1)=e]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(f(x))=f`'(x)]이다.

함수 [eqn: h(x)=f ^{-1} (x)g(x)]에 대하여 [eqn: h`'(e)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

ex)　실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)`]이다.

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0`]이다.

(다) [eqn: lim _{x` -> `0} {`} `f(x)=0], [eqn: lim _{x`-> ` INF } {`} f(x)=pi]

함수 [eqn: g(x)= {sin`f(x)} over {x} `]에 대하여 [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)+g(-x)=0`]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `0} {`} `g(x)=0]６

ㄷ. [eqn: f( alpha )= {pi} over {2}`][eqn: (`alpha >0`)`]이면 방정식 [eqn: LEFT | g(x) RIGHT | = {1} over {alpha } `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

ex) 최고차항의 계수가 1인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: F(x)=ln` LEFT | f(x) RIGHT |]라 하고, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: G(x)=ln` LEFT | g(x)sin`x RIGHT |]라 하자.

[eqn: lim _{x -> 1} {(x-1)F`` prime (x)} =3], [eqn: lim _{x->0} {{F``'(x)} over {G``'(x)}} = {1} over {4}]

일 때, [eqn: f(3)+g(3)]의 값은?

ex) [eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 +2x^2 -15x+5]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ),``t RIGHT )], [eqn: x]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( g LEFT ( t RIGHT ),``t RIGHT )]라 하자. [eqn: h LEFT ( t RIGHT )= t times left{ f LEFT ( t RIGHT )- g LEFT ( t RIGHT ) right}]라 할 때, [eqn: h' LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은?

ex) 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g'(x) LEQ { 1} over { 3}]이다.

(나) [eqn: lim _{x` -> `3} {} {`f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)`} = {8} over {9}]

[eqn: f(1)]의 값은?

ex) 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= cases{ `````x ^{ 2}+k &~(x LEQ2 ) #ln(x-2) &~(x>2) }] 이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=x+t]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 한 개일 때, [eqn: k]의 값은?

ex) [eqn: 0<t<1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 함수 [eqn: f(x)=sin`x LEFT ( 0<x< {pi} over {2} RIGHT )]의 그래프가 만나는 점을 P라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 P에서 그은 접선의 [eqn: x]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g`' LEFT ( {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT )]의 값은?

ex) 정수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: (a,~0)]에서 곡선 [eqn: y=(x-n)e ^{x}]에 그은 접선의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: a=0]일 때, [eqn: f(4)=1]이다.

ㄴ. [eqn: f(n)=1]인 정수 [eqn: n]의 개수가 1인 정수 [eqn: a]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{5} f(n)=5]를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1] 또는 3이다.

ex) 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)]인 직선과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t}]이 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 P라 하고, 점 P가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자.

[eqn: t= pi]일 때, 곡선 [eqn: C] 위의 점 P에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a TIMES e ^{b pi }]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

ex) 자연수 [eqn: n]에 대하여 열린구간 [eqn: (3n-3,~3n)]에서 함수

[eqn: f(x)=(2x-3n)sin`2x-(2x ^{2} -6nx+4n ^{2} -1)cos`2x]

가 [eqn: x=alpha]에서 극대 또는 극소가 되는 모든 [eqn: alpha]의 값의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: cos`a _{m} =0]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 [eqn: l]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{l+2} a _{k}]의 값은?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]이고, [eqn: 0LEQx<2]일 때 [eqn: f(x)= { (x-a) ^{ 2} } over { x+1}]인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다. 구간 [eqn: [`0,``2`)]에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 곱은?

ex) 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b][eqn: LEFT ( 0<b< {pi} over {2} RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=sin`(f(x))]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g`'(-x)=-g`'(x)]이다.

(나) 점 [eqn: (k,~g(k))]는 곡선 [eqn: y=g(x)]의 변곡점이고, [eqn: 2kg(k)= sqrt {3} g`'(k)]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [eqn: {pi} over {3} - {sqrt {3}} over {6}](G91)

ex) 2 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )=e^x+1 `left{x^2 + LEFT ( n-2 RIGHT )x-n+3 right} +ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: 1 le g LEFT ( n RIGHT ) le 8]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? 52(G84)