1. 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(10,~2 ^{2} `)], 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N(itm,~2 ^{2} `)]을 따르고, 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]이다.

[eqn: f(12)≤g(20)]

을 만족시키는 [eqn: m]에 대하여 [eqn: rm P(21 LEQ itY LEQ 24)]의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

[eqn: f(12)≤g(20)]이므로

[eqn: m-2≤20≤m+2]

이어야 한다.

즉, [eqn: 18≤m≤22]이므로 [eqn: m=22]일 때 확률 [eqn: rm P(21 LEQ itY LEQ 24)]는 최댓값을 갖는다.

확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 [eqn: rm N(itm,~2 ^{2} `)]을 따르므로 [eqn: Z= {Y-22} over {2}]라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 정규분포 N(1, 0)을 따른다.

[eqn: rm P(21 LEQ it Y LEQ 24) & = rm P LEFT ( {21-22} over {2} it LEQ {Y-22} over {2} LEQ {24-22} over {2} RIGHT )# & = rm P(-0.5 LEQ it Z LEQ 1)# &= rm P(-0.5 LEQ it Z LEQ 0)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)# & = rm P(0 LEQ it Z LEQ 0.5)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)# & =0.1915+0.3413=0.5328]

① 0.5328

② 0.6247

③ 0.7745

④ 0.8185

⑤ 0.9104

/ 14

2. 1부터 [eqn: n]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 4장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 4장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX)]를 구하는 과정이다.  (단, [eqn: n≥4])

자연수 [eqn: k`(4≤k≤n)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이 [eqn: k]일 확률은 1부터 [eqn: k-1]까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3장의 카드와 [eqn: k]가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 [eqn: rm P( it X=k)= {{BOX{~(가)~}}} over {{} _{n} rmC _{4}}]이다.

자연수 [eqn: r`(1≤r≤k)]에 대하여 [eqn: {} _{k} rm C _{it r rm} = it {k} over {r} TIMES _{k-1} rm C _{it r-1 rm}]이므로 [eqn: k TIMES {BOX{~(가)~}} =4 TIMES {BOX{~(나)~}}]이다.

그러므로 [eqn: rm E( it X)= sum _{k=4} ^{n} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT }# ``````````````````= {1} over {{}_{n} rm C _{4} it} sum _{k=4} ^{n} (k TIMES {BOX{~(가)~}} )= {4} over {{}_{n} rm C _{4} it} sum _{k=4} ^{n} {BOX{~(나)~}}] 이다.

[eqn: sum _{k=4} ^{n} {BOX{~(나)~}} = _{n+1} rm C _{5} it]이므로 [eqn: rm E( it X)=(n+1) TIMES {BOX{~(다)~}}]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),~g(k)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a×f(6)×g(5)]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

자연수 [eqn: k (4≤k≤n)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이 [eqn: k]일 확률은 1부터 [eqn: k-1]까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3장의 카드와 [eqn: k]가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 [eqn: rm P( it X=k)= {{BOX{{} _{k-1} rm C _{3} it}}} over {{} _{n} rm C _{4} it}] 이다.

자연수 [eqn: r (1≤r≤k)]에 대하여 [eqn: {} _{k} rm C _{it r rm} = it {k} over {r} TIMES _{k-1} rm C _{it r-1 rm}]이 성립하므로 [eqn: r=4]를 대입하면 [eqn: {} _{k} rm C _{4} = it {k} over {4} TIMES _{k-1} rm C _{3}], [eqn: k TIMES {BOX{{} _{k-1} rm C _{3} it}} =4 TIMES {BOX{{} _{k} rm C _{4} it}}] 이다.

그러므로

[eqn: rm E( it X)= sum _{k=4} ^{n} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT } = {1} over {{} _{n} rm C _{4} it} sum _{k=4} ^{n} (k TIMES {BOX{{} _{k-1} rm C _{3} it}} )= {4} over {{} _{n} rm C _{4} it} sum _{k=4} ^{n} {BOX{{} _{k} rm C _{4} it}}]이다. [eqn: sum _{k=4} ^{n} {BOX{{} _{k} rm C _{4} it}} = _{n+1} rm C _{5}]이므로

[eqn: rm E( it X) & = {4} over {{}_{n} rm C _{4} it} TIMES _{n+1} rm C _{5}# it & =4 TIMES {{}_{n+1} rm C _{5} it} over {{}_{n} rm C _{4} it} =4 TIMES {{LEFT ( n+1 RIGHT ) n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT )} over {5!}} over {{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT )} over {4!}}# &= LEFT ( n+1 RIGHT ) TIMES {BOX{{4} over {5}}}]

따라서 [eqn: f(k)= _{k-1} rm C _{3} ,~ it g(k)= _{k} rm C _{4} ,~a= {4} over {5}] 이므로

[eqn: a TIMES f(6) TIMES g(5) & = {4} over {5} TIMES _{5} rm C _{3} TIMES _{5} rm C _{4} = {4} over {5} TIMES _{5} rm C _{2} TIMES _{5} rm C _{1}# & = {4} over {5} TIMES 10 TIMES 5=40]

① 40

② 45

③ 50

④ 55

⑤ 60

3. 어느 고등학교 학생들의 1개월 자율학습실 이용 시간은 평균이 [eqn: m], 표준편차가 5인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 학생 25명을 임의추출하여 1개월 자율학습실 이용 시간을 조사한 표본평균이 [eqn: {bar{x _{1}}}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 [eqn: 80-a≤m≤80+a]이었다. 또 이 고등학교 학생 [eqn: n]명을 임의추출하여 1개월 자율학습실 이용 시간을 조사한 표본평균이 [eqn: {bar{x _{2}}}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 다음과 같다.

[eqn: {15} over {16} {bar{x _{1}}} - {5} over {7} a LEQ m LEQ {15} over {16} {bar{x _{1}}} + {5} over {7} a]

[eqn: n+{bar{x _{2}}}]의 값은? (단, 이용 시간의 단위는 시간이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,  [eqn: rm P(0 LEQ itZ LEQ 1.96)=0.475]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

2

[해설]

학생 25명을 임의추출하여 구한 표본평균이 [eqn: {bar{x _{1}}}]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x _{1}}} -1.96 TIMES {5} over {sqrt {25}} LEQ m LEQ {bar{x _{1}}} +1.96 TIMES {5} over {sqrt {25}}# {bar{x _{1}}} -1.96 LEQ m LEQ {bar{x _{1}}} +1.96]

즉, [eqn: {bar{x _{1}}} -1.96=80-a,~ {bar{x _{1}}} +1.96=80+a]이므로

[eqn: {bar{x _{1}}} =80,~a=1.96]

학생 [eqn: n]명을 임의추출하여 구한 표본평균이 [eqn: {bar{x _{2}}}]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x _{2}}} -1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x _{2}}} +1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}}]

즉,

[eqn: {bar{x _{2}}} -1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} &= {15} over {16} {bar{x _{1}}} - {5} over {7} a,~ {bar{x _{2}}} +1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}}# &= {15} over {16} {bar{x _{1}}} - {5} over {7} a]이므로

[eqn: {bar{x _{2}}} = {15} over {16} {bar{x _{1}}}]이고, [eqn: 1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} = {5} over {7} a]

[eqn: {bar{x _{2}}} = {15} over {16} {bar{x _{1}}}]에서 [eqn: {bar{x _{2}}} = {15} over {16} TIMES 80=75]

[eqn: 1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} = {5} over {7} a]에서

[eqn: 1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} = {5} over {7} TIMES 1.96,~ sqrt {n} =7,~n=49]

따라서 [eqn: n+ {bar{x _{2}}} =49+75=124]

① 121

② 124

③ 127

④ 130

⑤ 133

4. 어느 음식점을 방문한 고객의 주문 대기 시간은 평균이 [eqn: m]분, 표준편차가 [eqn: sigma]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 음식점을 방문한 고객 중 64명을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 이 음식점을 방문한 고객의 주문 대기 시간의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a≤m≤b]이다. [eqn: b-a=4.9]일 때, [eqn: sigma]의 값을 구하시오. (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(it|Z| LEQ 1.96)=0.95]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

10

[해설]

고객의 주문 대기 시간이 표준편차 [eqn: sigma]인 정규분포를 따를 때, 64명을 임의추출하여 얻은 표본평균의 값을 [eqn: {bar{x}}]라 하면 고객의 주문 대기 시간의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {64}} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {64}}]

즉,

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {sigma } over {8} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {sigma } over {8}]

이때 [eqn: a≤m≤b]이고 [eqn: b-a=4.9]이므로

[eqn: b-a=2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {8} =0.49 sigma]

따라서 [eqn: 0.49 sigma =4.9]에서

[eqn: sigma =10]

5. 1부터 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 적힌 수를 더하는 시행을 반복한다. 꺼낸 공은 다시 넣지 않으며, 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이거나 꺼낸 공에 적힌 수를 차례로 더하다가 그 합이 짝수가 되면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX)]를 구하는 과정이다. (단, 모든 공의 크기와 재질은 서로 같다.)

첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 꺼낸 공에 적힌 모든 수의 합이 짝수가 되려면 그 이후 시행에서 홀수가 적힌 공이 한 번 더 나와야 한다. 이때 짝수가 적힌 공은 4개이므로 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 큰 값을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m= {BOX{~(가)~}}]이다.

(ⅰ) [eqn: X=1]인 경우

첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이므로 [eqn: rm P(itX=1)= {4} over {9}]

(ⅱ) [eqn: X=2]인 경우

첫 번째와 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 홀수이므로

[eqn: rm P( it X=2)= {{}_{5} rm P _{2} it} over {{}_{9} rm P _{2} it} = {5} over {18}]

(ⅲ) [eqn: X=k`(3≤k≤m)]인 경우

첫 번째와 [eqn: k]번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고,

두 번째부터 [eqn: (k-1)]번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수이므로 [eqn: rm P( it X=k)= {{BOX{~(나)~}}} over {{} _{9} rm P _{it k rm} it}]

따라서 [eqn: rm E( it X)= it sum _{i=1} ^{m} LEFT { i TIMES rmP(itX=i) RIGHT } =2]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 할 때, [eqn: a+f(4)]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 가장 큰 값을 갖는 경우는 첫 번째와 6번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, 두 번째부터 5번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수일 때이므로 [eqn: m= {BOX{6}}]

(ⅲ) [eqn: X=k`(3≤k≤m)]인 경우

9개의 공에서 [eqn: k]개의 공을 차례대로 꺼내는 경우의 수는 [eqn: {} _{9} rmP _{itk}]

첫 번째와 마지막으로 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수인 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rm P _{2}]

두 번째부터 [eqn: (k-1)]번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수인 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm P _{itk-2}]

그러므로 [eqn: rm P( it X=k)= {{BOX{{} _{5} rm P _{it 2 rm} it TIMES _{4} rm P _{it k-2 rm} it}}} over {{} _{9} rm P _{it k rm} it}]에서

[eqn: f(k)= _{5} rmP _{2} TIMES _{4} P _{itk-2}]

따라서 [eqn: a=6,~f(4)= _{5} rmP _{2} TIMES _{4} P _{2} =20 TIMES 12=240]이므로

[eqn: a+f(4)=6+240=246]

① 246

② 248

③ 250

④ 252

⑤ 254

6. 이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm P(itX LEQ 2)]의 값은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

확률의 합은 1이므로 [eqn: a+ LEFT ( a+ {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( a+ {1} over {2} RIGHT ) =1]에서

[eqn: 3a+ {3} over {4} =1,~a= {1} over {12}]

[eqn: rm P( it X LEQ 2) & =1- rm P( it X=3)# & =1- LEFT ( {1} over {12} + {1} over {2} RIGHT ) = {5} over {12}]

① [eqn: {1} over {4}]

② [eqn: {7} over {24}]

③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {3} over {8}]

⑤ [eqn: {5} over {12}]

/ 14

7. 주머니에 1이 적힌 공이 [eqn: n]개, 2가 적힌 공이 [eqn: (n-1)]개, 3이 적힌 공이 [eqn: (n-2)]개, …, [eqn: n]이 적힌 공이 1개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX) GEQ 5]가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[eqn: n] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k]가 적힌 공의 개수는 [eqn: (n-k+1)]이므로

[eqn: rm P( it X=k)= {2(n-k+1)} over {{BOX{~(가)~}}} (k=1,~2,~3,~ CDOTS ,~n)]

확률변수 [eqn: X]의 평균은

[eqn: rm E( it X) & = sum _{k=1} ^{n} k` rm P( it X=k)]

[eqn: & = {2} over {{BOX{~(가)~}}} TIMES sum _{k=1} ^{n} k(n-k+1)]

[eqn: & = {BOX{~(나)~}}]

[eqn: rm E(itX) GEQ 5]에서 [eqn: n]의 최솟값은   (다)  이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(7)+g(7)+a]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

전체 공의 개수는 [eqn: n+(n-1)+ CDOTS +1= {n(n+1)} over {2}]이므로

[eqn: rm P( it X=k) & = {n-k+1} over {{n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}}# & = {2(n-k+1)} over {{BOX{n LEFT ( n+1 RIGHT )}}}]

확률변수 [eqn: X]의 평균은

[eqn: rm E( it X) & = sum _{k=1} ^{n} k` rm P( it X=k)# & = {2} over {{BOX{n LEFT ( n+1 RIGHT )}}} TIMES sum _{k=1} ^{n} k(n-k+1)# & = {2} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} TIMES sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) k-k ^{2} RIGHT }# & = {2} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} RIGHT }# &= LEFT ( n+1 RIGHT ) - {2n+1} over {3}# &= {BOX{{1} over {3} LEFT ( n+2 RIGHT )}}]

[eqn: rm E( it X)= {1} over {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) GEQ 5]에서 [eqn: n]의 최솟값은  13 이다.

[eqn: f(n)=n(n+1),~g(n)= {1} over {3} (n+2),~a=13]이므로

[eqn: f(7)+g(7)+a&=56+3+13# &=72]

① 72

② 74

③ 76

④ 78

⑤ 80

8. 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

다음은 [eqn: rm E(itX)=0.271]일 때, [eqn: rmV(itX)]를 구하는 과정이다.

[eqn: Y=10X-2.21]이라 하자. 확률변수 [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E(itY)=10rmE(itX)-2.21=0.5]이므로

[eqn: a= {BOX{~(가)~}} ,~b= {BOX{~(나)~}}]

이고 [eqn: rm V(itY)= {7} over {12}] 이다.

한편, [eqn: Y=10X-2.21]이므로 [eqn: rm V( it Y)= {BOX{~(다)~}} TIMES rmV(itX)]이다.

따라서 [eqn: rm V( it X)= {1} over {{BOX{~(다)~}}} TIMES {7} over {12}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,~q,~r]라 할 때, [eqn: pqr]의 값은? (단, [eqn: a, ~b]는 상수이다.)

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: Y=10X-2.21]이라 하자.

이때 확률변수 [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

확률의 합이 1이므로

[eqn: a+b+ {2} over {3} =1]

즉, [eqn: a+b= {1} over {3}] …… ㉠

[eqn: rm E(itX)=0.271]에서

[eqn: rm E( it Y)&=10 rm E( it X)-2.21# &=10 TIMES 0.271-2.21# &=0.5= {1} over {2}]

[eqn: rm E( it Y) & =(-1) TIMES a+0 TIMES b+1 TIMES {2} over {3}# & =-a+ {2} over {3} = {1} over {2} ~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a= {BOX{{1} over {6}}} ,~b= {BOX{{1} over {6}}}]이고 [eqn: rm V(itY)= {7} over {12}] 이다.

한편, [eqn: Y=10X-2.21]이므로 [eqn: rm V( it Y)= {BOX{100}} TIMES rm V( it X)]이다.

그러므로 [eqn: rm V( it X)= {1} over {{BOX{100}}} TIMES {7} over {12}] 이다.

따라서 [eqn: p= {1} over {6} , q= {1} over {6} , r=100]이므로

[eqn: pqr & = {1} over {6} TIMES {1} over {6} TIMES 100# &= {25} over {9}]

① [eqn: {13} over {9}]

② [eqn: {16} over {9}]

③ [eqn: {19} over {9}]

④ [eqn: {22} over {9}]

⑤ [eqn: {25} over {9}]

9. 무게가 1인 추 6개, 무게가 2인 추 3개와 비어 있는 주머니 1개가 있다. 주사위 한 개를 사용하여 다음의 시행을 한다. (단, 무게의 단위는 g이다.)

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 2 이하이면 무게가 1인 추 1개를 주머니에 넣고, 눈의 수가 3 이상이면 무게가 2인 추 1개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 반복하여 주머니에 들어 있는 추의 총무게가 처음으로 6보다 크거나 같을 때, 주머니에 들어 있는 추의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: X]의 확률질량함수 [eqn: rm P( it X=x)(x=3,~4,~5,~6)]을 구하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: X=3]인 사건은 주머니에 무게가 2인 추 3개가 들어 있는 경우이므로

[eqn: rm P( it X=3)= {BOX{~(가)~}}]

(ⅱ) [eqn: X=4]인 사건은

세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4이고 네 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣는 경우와

세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로

[eqn: rm P( it X=4)= {BOX{~(나)~}} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: X=5]인 사건은

네 번째 시행까지 넣은 후 추의 총무게가 4이고 다섯 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣은 경우와

네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로

[eqn: rm P( it X=5)= _{4} rm C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} TIMES {2} over {3} + {BOX{~(다)~}}]

(ⅳ) [eqn: X=6]인 사건은 다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우이므로

[eqn: rm P(itX=6)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,~b,~c]라 할 때, [eqn: {ab} over {c}]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

주사위 한 개를 한 번 던져 무게가 1인 추 1개를 주머니에 넣는 확률은

[eqn: {2} over {6} = {1} over {3}],  무게가 2인 추 1개를 주머니에 넣는 확률은 [eqn: {4} over {6} = {2} over {3}]이다 .

(ⅰ) [eqn: X=3]인 사건은 주머니에 무게가 2인 추 3개가 들어 있는 경우이므로

[eqn: rm P( it X=3)= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} = {BOX{{8} over {27}}}]

(ⅱ) [eqn: X=4]인 사건은

세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4이고 네 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣는 경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로

[eqn: rm P( it X=4)&= _{3} rm C _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) TIMES {2} over {3} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}# &= {BOX{{4} over {27}}} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: X=5]인 사건은

네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4이고 다섯 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣는 경우와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로

[eqn: rm P( it X=5) & = _{4} rm C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} TIMES {2} over {3} + _{4} rm C _{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1}# & = _{4} rm C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} TIMES {2} over {3} + {BOX{{8} over {81}}}]

(ⅳ) [eqn: X=6]인 사건은

다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우이므로

[eqn: rm P(itX=6)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

따라서 [eqn: a= {8} over {27} ,~b= {4} over {27} ,~c= {8} over {81}]이므로

[eqn: {ab} over {c} = {{8} over {27} TIMES {4} over {27}} over {{8} over {81}} = {4} over {9}]

① [eqn: {4} over {9}]

② [eqn: {7} over {9}]

③ [eqn: {10} over {9}]

④ [eqn: {13} over {9}]

⑤ [eqn: {16} over {9}]

10. 두 이산확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]가 가지는 값이 각각 1부터 5까지의 자연수이고

[eqn: rm P( it Y=k)= {1} over {2} rm P( it X=k)+ {1} over {10} (k=1,~2,~3,~4,~5)]

이다. [eqn: rm E(itX)=4]일 때, [eqn: rm E(itY)]의 값은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

두 이산확률변수 [eqn: X,~Y]가 가지는 확률변수가 1부터 5까지의 자연수이고 [eqn: rm E(itX)=4]이므로

[eqn: rm E( it X)= sum _{k=1} ^{5} LEFT { k TIMES rm P LEFT ( it X=k RIGHT ) RIGHT } =4]

[eqn: rm P( it Y=k)= {1} over {2} rm P( it X=k)+ {1} over {10} (k=1,~2,~3,~4,~5)]이므로

[eqn: rm E( it Y) & = sum _{k=1} ^{5} LEFT { k TIMES rm P( it Y=k) RIGHT }# & = sum _{k=1} ^{5} LEFT [ k LEFT { {1} over {2} rm P( it X=k)+ {1} over {10} RIGHT } RIGHT ]# & = sum _{k=1} ^{5} LEFT { {1} over {2} k rm P( it X=k) RIGHT } + sum _{k=1} ^{5} {1} over {10} k# & = {1} over {2} sum _{k=1} ^{5} LEFT { k rm TIMES P( it X=k) RIGHT } + {1} over {10} sum _{k=1} ^{5} k# & = {1} over {2} rm E( it X)+ {1} over {10} TIMES {5 TIMES 6} over {2}# &= {1} over {2} TIMES 4+ {1} over {10} TIMES 15# &=2+ {3} over {2} = {7} over {2}]

① [eqn: {5} over {2}]

② [eqn: {7} over {2}]

③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: {11} over {2}]

⑤ [eqn: {13} over {2}]

11. 2 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1` LEQ `a`<b` LEQ n`],
[eqn: 1 LEQ c<d LEQ n`]을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 [eqn: x=a,~x=b,~y=c,~y=d]로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: 2n]이 되도록 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]를 택한다. 다음은 [eqn: b-a]의 값을 확률변수 [eqn: X]라 할 때 [eqn: rm E(itX)= {n} over {2}]임을 보이는 과정이다.

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 가장 작은 값은 1, 가장 큰 값은   (가)  이다.

[eqn: X=k]일 때, [eqn: b-a=k]이므로 [eqn: 1≤a≤n-k]이고,

[eqn: d-c=n-k]이므로 [eqn: 1 LEQ c LEQ {BOX{~(나)~}}]이다.

그러므로 [eqn: rm P( it X=k)= {(n-k) TIMES {BOX{~(나)~}}} over {sum _{i=1} ^{{BOX{~(가)~}}} (n-i) TIMES i}]이다.

따라서

[eqn: rm E( it X) & = sum _{k=1} ^{{BOX{~(가)~}}} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT }]

[eqn: & = {6} over {{BOX{~(다)~}}} sum _{k=1} ^{{BOX{~(가)~}}} LEFT { k TIMES (n-k) TIMES {BOX{~(나)~}} RIGHT }]

[eqn: & = {n} over {2}]

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각  [eqn: f(n),~g(k),~h(n)]이라 할 때, [eqn: {h(7)} over {f(8) TIMES g(6)}]의 값은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 1≤a<b≤n]을 만족시키는 자연수이고 [eqn: b-a]의 값이 확률변수 [eqn: X]이므로 [eqn: X]가 가질 수 있는 가장 작은 값은 1, 가장 큰 값은 [eqn: box { ~n-1~}]이다.

[eqn: X=k]일 때, [eqn: b-a=k]에서

[eqn: a=b-k]이므로 [eqn: 1≤a≤n-k]이고,

[eqn: d-c=n-k]에서 [eqn: c=d-n+k]인데

[eqn: c]는 자연수이고 [eqn: d≤n]이므로 [eqn: 1 LEQ c LEQ {BOX{`k`}}] 이다.

[eqn: 1≤a≤n-k, 1≤c≤k]에서

[eqn: rm P( it X=k)= {(n-k) TIMES {BOX{`k`}}} over {sum _{i=1} ^{{BOX{n-1}}} (n-i) TIMES i}]

[eqn: rm P(itX=k)]의 분모를 계산하면

[eqn: sum _{i=1} ^{n-1} ( it n-i) TIMES i & = sum _{i=1} ^{n-1} ( it ni-i ^{2} )# &= {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6}]

따라서

[eqn: rm E( it X) & = sum _{k=1} ^{{BOX{n-1}}} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT }# & = sum _{k=1} ^{{BOX{n-1}}} LEFT { k TIMES {6 LEFT ( n-k RIGHT ) TIMES {BOX{`k`}}} over {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} RIGHT }# & = {6} over {{BOX{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )}}} sum _{k=1} ^{{BOX{n-1}}} LEFT { k TIMES (n-k) TIMES {BOX{`k`}} RIGHT }# & = {n} over {2}]

따라서  [eqn: f(n)=n-1,~g(k)=k,~h(n)=n(n-1)(n+1)]이므로

[eqn: {h(7)} over {f(8) TIMES g(6)} & = {7 TIMES 6 TIMES 8} over {7 TIMES 6}# &=8]

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

12. 점 P가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 6의 약수이면 점 P를 양의 방향으로 2만큼, 6의 약수가 아니면 음의 방향으로 1만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 P의 좌표가 9 이상 또는 -4 이하가 되거나 시행 횟수가 6회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때, 점 P의 최종 위치의 좌표를 확률변수 [eqn: X]라 하자.

다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E(itX)]를 구하는 과정이다.

위의 시행을 5회 이하로 하게 되는 경우는 6의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 5회 나오거나 6의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 4회 나오는 경우뿐이다.

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값의 최솟값은 –4이고 최댓값은  (가)  이다.

[eqn: rm P( it X=-4)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=-3)= {BOX{~(나)~}} TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

[eqn: rm P( it X=0)=( _{6} rm C _{2} -1) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=3)= _{6} rm C _{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: rm P( it X=6)= _{6} rm C _{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm P( it X=9)= {BOX{~(다)~}} TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1}]

[eqn: rm P( it X= {BOX{~(가)~}} )= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5}]

따라서 [eqn: rm E( it X)= {1423} over {240}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,~b,~c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

처음부터 6의 약수의 눈이 연속으로 5회 나오는 경우 확률변수 [eqn: X]는 최댓값을 갖고 그 값은 10이므로 [eqn: a=10]

6의 약수인 눈이 나오는 경우를 ○, 6의 약수가 아닌 눈이 나오는 경우를 ×라 하자.

[eqn: X=-3]인 경우는

6의 약수인 눈이 1회, 6의 약수가 아닌 눈이 5회 나오는 경우의 [eqn: {} _{6} rmC _{1}] 가지 중 ×××××○, ××××○×인 경우를 제외한

[eqn: ( _{6} rmC _{1} -2)]가지이므로 [eqn: b=4]

[eqn: X=9]인 경우는

6의 약수인 눈이 5회, 6의 약수가 아닌 눈이 1회 나오는 경우의 [eqn: {} _{6} rmC _{1}] 가지 중 ○○○○○×인 경우를 제외한 [eqn: ( _{6} rm C _{1} -1)]가지이므로

[eqn: c=5]

따라서 [eqn: a+b+c=10+4+5=19]

① 17

② 18

③ 19

④ 20

⑤ 21

13. 좌표평면 위의 한 점 ([eqn: x,~y])에서 세 점 [eqn: (x+1,~y),~(x,~y+1),~(x+1,~y+1)]중 한 점으로 이동하는 것을 점프라 하자. 점프를 반복하여 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 모든 경우 중에서, 임의로 한 경우를 선택할 때 나오는 점프의 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E(itX)]를 구하는 과정이다. (단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.)

점프를 반복하여 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 모든 경우의 수를 [eqn: N]이라 하자. 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라 하면 [eqn: k= {BOX{~(가)~}}]이고, 가장 큰 값은 [eqn: k+3]이다.

[eqn: rm P( it X=k)= {1} over {N} TIMES {4!} over {3!} = {4} over {N}]

[eqn: rm P( it X=k+1)= {1} over {N} TIMES {5!} over {2!2!} = {30} over {N}]

[eqn: rm P( it X=k+2)= {1} over {N} TIMES {BOX{~(나)~}}]

[eqn: rm P( it X=k+3)= {1} over {N} TIMES {7!} over {3!4!} = {35} over {N}]

이고

[eqn: sum _{i=k} ^{k+3} rmP(itX=i)=1]

이므로 [eqn: N= {BOX{~(다)~}}]이다.

따라서 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E(itX)]는 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X)= sum _{i=k} ^{k+3} LEFT { i TIMES rm P LEFT ( it X=i RIGHT ) RIGHT } = {257} over {43}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,~b,~c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

점프를 반복하여 점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 모든 경우의 수를 [eqn: N]이라 하자.

점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 횟수가 최소인 경우는 [eqn: (x+1,~y+1)]점프 3번, [eqn: (x+1,~y)]점프 1번인 경우이므로 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라 하면 [eqn: k= {BOX{`4`}}]이고 가장 큰 값은 [eqn: k+3]이다.

[eqn: X=k]일 때, [eqn: (x+1,~y+1)]점프 3번, [eqn: (x+1,~y)]점프 1번인 경우이므로

[eqn: rm P( it X=k)= {1} over {N} TIMES {4!} over {3!} = {4} over {N}]

[eqn: X=k+1]일 때, [eqn: (x+1,~y+1)]점프 2번, [eqn: (x+1,~y)]점프 2번, [eqn: (x,~y+1)]점프 1번인 경우이므로

[eqn: rm P( it X=k+1)= {1} over {N} TIMES {5!} over {2!2!} = {30} over {N}]

[eqn: X=k+2]일 때, [eqn: (x+1,~y+1)]점프 1번, [eqn: (x+1,~y)]점프 3번, [eqn: (x,~y+1)]점프 2번인 경우이므로

[eqn: rm P( it X=k+2)= {1} over {N} TIMES {6!} over {3!2!} = {1} over {N} TIMES {BOX{60}}]

[eqn: X=k+3]일 때, [eqn: (x+1,~y)]점프 4번, [eqn: (x,~y+1)]점프 3번인 경우이므로

[eqn: rm P( it X=k+3)= {1} over {N} TIMES {7!} over {3!4!} = {35} over {N}]

이고

[eqn: sum _{i=k} ^{k+3} rm P( it X=i)=1# {4} over {N} + {30} over {N} + {60} over {N} + {35} over {N} =1,~ {129} over {N} =1]

이므로 [eqn: N= {BOX{129}}]이다.

따라서 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E(itX)]는 다음과 같다.

[eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT ) = sum _{i=k} ^{k+3} LEFT { i TIMES rm P( it X=i) RIGHT } = {257} over {43}]

그러므로 [eqn: a=4,~b=60,~c=129]이므로

[eqn: a+b+c&=4+60+129# &=193]

① 190

② 193

③ 196

④ 199

⑤ 202

14. 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E(it3X+1)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답/모범답안]

5

[해설]

확률의 합이 1이므로

[eqn: {1} over {k} ( _{4} rmC _{1} + _{4} C _{2} + _{4} C _{3} + _{4} C _{4} )=1]

이항정리에 의하여

[eqn: k= _{4} rmC _{1} + _{4} C _{2} + _{4} C _{3} + _{4} C _{4} =2 ^{4} `-1=15]

[eqn: rm E( it X) & = {1} over {15} (2 TIMES _{4} rm C _{1} +2 ^{2} TIMES _{4} C _{2} +2 ^{3} ` TIMES _{4} C _{3} +2 ^{4} ` TIMES _{4} C _{4} )# & = {1} over {15} (3 ^{4} `-1)# & = {1} over {15} TIMES 80# & = {16} over {3}]

[eqn: rm E(it3X+1)&=rm3E(itX)+1# &=3 TIMES {16} over {3} +1# &=17]

① 13

② 14

③ 15

④ 16

⑤ 17

15. 이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E(it4X+3)]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

11

[해설]

[eqn: rm E( it X) & =(-5) TIMES {1} over {5} +0 TIMES {1} over {5} +5 TIMES {3} over {5}# &=-1+0+3# &=2]

따라서 [eqn: rm E( it 4X+3)=4 rm E( it X)+3=4 TIMES 2+3=11]

16. 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E(it3X)]의 값은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: rm E( it X) & =(-4) TIMES {1} over {5} +0 TIMES {1} over {10} +4 TIMES {1} over {5} +8 TIMES {1} over {2}# & =- {4} over {5} +0+ {4} over {5} +4=4]

따라서 [eqn: rm E( it 3X)=3 rm E( it X)=3 TIMES 4=12]

① 4

② 6

③ 8

④ 10

⑤ 12

17. 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E(it6X+1)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: rm P( it 1 LEQ X LEQ 3)=k(1+2+3)=6k=1# k= {1} over {6}]

[eqn: rm E( it X) & =1 TIMES k+2 TIMES 2k+3 TIMES 3k# & =k+4k+9k# & =14k=14 TIMES {1} over {6} = {7} over {3}]

[eqn: rm E( it 6X+1) & =6 rm E( it X)+1# &=6 TIMES {7} over {3} +1=15]

① 11

② 12

③ 13

④ 14

⑤ 15

18. 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B[eqn: (80,~p)]를 따르고 [eqn: rm E(itX)=20]일 때, [eqn: rm V(itX)]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

15

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B([eqn: (80,~p)])를 따르므로

[eqn: rm E( it X)=80p=20]에서

[eqn: p= {1} over {4}]

따라서

[eqn: rmV(itX)=80 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =15]

19. 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {4} RIGHT )] 을 따르고 [eqn: rm V(itX)=6]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

32

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {4} RIGHT )]을 따르고 [eqn: rm V(itX)=6]이므로

[eqn: rmV(itX)=n TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =6]

따라서 [eqn: n=32]

20. 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {3} RIGHT )] 을 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: rm V(it2X-1)=80]일 때, [eqn: rm E(it2X-1)]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

59

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm V( it X)=n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {2n} over {9}]이고 [eqn: rm V(it2X-1)=80]이므로

[eqn: rm V( it 2X-1)=4 TIMES {2n} over {9} =80], 즉 [eqn: n=90]

따라서

[eqn: rm E( it 2X-1)&=2 rm E( it X)-1# &=2 TIMES 90 TIMES {1} over {3} -1=59]

21. 확률분포 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {2} RIGHT )]을 따르고 [eqn: rm E( it X ^{2} `)= rm V( it X)+25]를 만족시킬 때, [eqn: n]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {2} RIGHT )]에서

[eqn: rm E( it X)=n TIMES {1} over {2} = {n} over {2}]

이고, [eqn: rm V( it X)= rm E( it X ^{2} `)- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} `]에서

[eqn: rm E( it X ^{2} `)- rm V( it X)= rm LEFT { E( it X) RIGHT } ^{2} `]이므로 주어진

조건에 의하여

[eqn: LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} =25]

[eqn: {n ^{2}} over {4} =25]

따라서 [eqn: n=10]

① 10

② 12

③ 14

④ 16

⑤ 18

22. 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {2} RIGHT )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: rm V LEFT ( {1} over {2} it X+1 RIGHT ) =5]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

80

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( n,~ {1} over {2} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm V( it X)=n TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {n} over {4}]

[eqn: rm V LEFT ( {1} over {2} it X+1 RIGHT ) = {1} over {4} V LEFT ( it X RIGHT ) =5]이므로

[eqn: rm V( it X)=4 TIMES 5=20]

따라서  [eqn: {n} over {4} =20]에서

[eqn: n=20×4=80]

23. 한 개의 주사위를 36번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm V(itX)]의 값은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

3의 배수의 눈이 3, 6이므로 한 개의 주사위를 한 번 더질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 확률은 [eqn: { 2}over { 6}= { 1} over { 3}] 이다.

따라서 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 B [eqn: LEFT ( 36,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm V( it X)=36 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =8]

① 6

② 8

③ 10

④ 12

⑤ 14

24. 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B [eqn: LEFT ( 10,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따를 때, [eqn: rm V(it6X)]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

80

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B[eqn: LEFT ( 10,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm V( it X)=10 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {20} over {9}]

[eqn: rm V( it 6X) & =36 rm V( it X)# &=36 TIMES {20} over {9} =80]

25. 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 B[eqn: (n,~p)]를 따르고 [eqn: rm E(it3X)=18,~rmE(it3X ^{2} `)=120]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

18

[해설]

[eqn: rm E( it 3X)=3 rm E( it X)=18]에서

[eqn: rmE(itX)=np=6]  …… ㉠

[eqn: rmE(it3X ^{2} )=3rmE(itX ^{2} `)=120]에서

[eqn: rm E( it X ^{2} )=40]

[eqn: rm V( it X)=np(1-p)= rm E( it X ^{2} `)- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2}]에서

[eqn: 6(1-p)=40-6 ^{2} =4]이므로

[eqn: 1-p= {2} over {3} ,~p= {1} over {3}]

따라서 [eqn: p= {1} over {3}] 을 ㉠에 대입하면

[eqn: {1} over {3} n=6,~n=18]

26. 연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0≤X≤2]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: rm P LEFT ( {1} over {3} LEQ it X LEQ a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답/모범답안]

2

[해설]

[eqn: 0≤x≤2]에서 확률밀도함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는  1이다.

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {3} TIMES {3} over {4} + LEFT ( a- {1} over {3} RIGHT ) TIMES {3} over {4} + {1} over {2} TIMES (2-a) TIMES {3} over {4} =1]

[eqn: {3} over {8} a= {3} over {8}] 에서

[eqn: a=1]

따라서

[eqn: rm P LEFT ( {1} over {3} it LEQ X LEQ a RIGHT ) & = rm P LEFT ( {1} over {3} it LEQ X LEQ 1 RIGHT )# & = LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) TIMES {3} over {4} = {1} over {2}]

① [eqn: {7} over {16}]

② [eqn: {1} over {2}]

③ [eqn: {9} over {16}]

④ [eqn: {5} over {8}]

⑤ [eqn: {11} over {16}]

27. 연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0≤X≤1]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

확률밀도함수의 성질에 의하여 주어진 확률밀도함수의 그래프와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES a+ {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES a & = {1} over {2} a+ {1} over {4} a# &= {3} over {4} a=1]

따라서 [eqn: a= {4} over {3}]

① [eqn: { 10} over { 9}]

② [eqn: {11} over {9}]

③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {13} over {9}]

⑤ [eqn: {14} over {9}]

28. 닫힌 구간 [0, 1]의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

[eqn: f(x)=kx(1-x ^{3} )~(0 LEQ x LEQ 1)]

일 때, [eqn: 24k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

정답/모범답안]

80

[해설]

확률밀도함수의 성질에 의하여 주어진 확률밀도함수의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {k} `x(1-x ^{3} `)dx&=k int _{0} ^{1} {(} x-x ^{4} `)dx# &=k LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {1} over {5} x ^{5} RIGHT ] _{0} ^{1}# &= {3} over {10} k=1]

[eqn: k= {10} over {3}]

따라서 [eqn: 24k=24 TIMES {10} over {3} =80]

29. 어느 농장에서 수확하는 파프리카 1개의 무게는 평균이 180g, 표준편차가 20g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 수확한 파프리카 중에서 임의로 선택한 파프리카 1개의 무게가 190g 이상이고 210g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

정규분포를 따르는 확률변수의 표준화를 이용한다.

이 농장에서 수확하는 파프리카 1개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (180,~20 ^{2} )]을 따르므로 [eqn: Z= {X-180} over {20}]이라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( 190 it LEQ X LEQ 201 RIGHT ) & = rm P LEFT ( {190-180} over {20} it LEQ Z LEQ {210-180} over {20} RIGHT )# & = rm P LEFT ( 0.5 it LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )# & = rm P LEFT ( 0 it LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT ) - rm P LEFT ( 0 it LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )# & = rm 0.4332-0.1915# & = rm 0.2417]

① 0.0440

② 0.0919

③ 0.1359

④ 0.1498

⑤ 0.2417

30. 확률변수 [eqn: X]가 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: { m} over { 3}]인 정규분포를 따르고

[eqn: rm P LEFT ( it X LEQ {9} over {2} RIGHT ) =0.9987]

일 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: m]의 값을 구한 것은?

[정답/모범답안]

4

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N [eqn: it LEFT ( m,~ LEFT ( {m} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] 을 따르므로 [eqn: Z= {X-m} over {{m} over {3}}]이라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

이때

[eqn: rm P it LEFT ( X LEQ {9} over {2} RIGHT ) & = rm P it LEFT ( Z LEQ {{9} over {2} -m} over {{m} over {3}} RIGHT ) =0.9987]

이고,

[eqn: rm P it (Z LEQ 3) & =0.5+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 3)# & =0.5+0.4987=0.9987]

이므로

[eqn: {{9} over {2} -m} over {{m} over {3}} =3# {9} over {2} -m=m,~2m= {9} over {2}]

따라서 [eqn: m= {9} over {4}]

① [eqn: {3} over {2}]

② [eqn: {7} over {4}]

③ 2

④ [eqn: {9} over {4}]

⑤ [eqn: {5} over {2}]

31. 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (5,~2 ^{2} `)]을 따를 때, 등식 [eqn: rm P(itX LEQ 9-2a)=rmP(itX GEQ 3a-3)]을 만족시키는 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: rm P(it9-2a LEQ X LEQ 3a-3)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

4

[해설]

확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프는 직선 [eqn: x=5]에 대하여 대칭이고 [eqn: rm P it (X LEQ 9-2a)= rm P it (X GEQ 3a-3)]이므로

[eqn: {(9-2a)+(3a-3)} over {2} =5]에서 [eqn: a=4]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (5,~2 ^{2} `)]을 따르므로 [eqn: Z= {X-5} over {2}]라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (9-2a LEQ X LEQ 3a-3)# = rm P it (1 LEQ X LEQ 9)= rm P it LEFT ( {1-5} over {2} LEQ Z LEQ {9-5} over {2} RIGHT )# = rm P it (-2 LEQ Z LEQ 2)=2 TIMES rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)# =2 TIMES 0.4772=0.9544]

① 0.7745

② 0.8664

③ 0.9104

④ 0.9544

⑤ 0.9876

32. 어느 회사 직원들의 어느 날의 출근 시간은 평균이 66.4분, 표준편차가 15분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 날 출근 시간이 73분 이상인 직원들 중에서 40%, 73분 미만인 직원들 중에서 20%가 지하철을 이용하였고, 나머지 직원들은 다른 교통수단을 이용하였다. 이 날 출근한 이 회사 직원들 중 임의로 선택한 1명이 지하철을 이용하였을 확률은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

이 회사 직원들의 이 날의 출근 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (66.4,~15 ^{2} )]을 따른다.

이때

[eqn: rm P it (X GEQ 73) & = rm P it LEFT ( Z GEQ {73-66.4} over {15} RIGHT )# & = rm P it (Z GEQ 0.44)# & =0.5- rm P it (0 LEQ Z LEQ 0.44)# & =0.5-0.17=0.33]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 0.33×0.4+0.67×0.2=0.266]

(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ 0.44)=0.17]로 계산한다.)

① 0.306

② 0.296

③ 0.286

④ 0.276

⑤ 0.266

33. 두 연속확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 각각 정규분포 N[eqn: (50,~ sigma ^{2} `),] N[eqn: (65,~4 sigma ^{2} `),]을 따른다.

[eqn: rm P(itX GEQ k)rm&=P(itY LEQ k)# &=0.1056]

일 때, [eqn: k+ sigma]의 값을 오른쪽
표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, [eqn: sigma >0])

[정답/모범답안]

59

[해설]

[eqn: rm P it (X GEQ k)= rm P it (Y LEQ k)]에서

[eqn: rm P it LEFT ( it Z GEQ {k-50} over {sigma } RIGHT ) = rm P it LEFT ( it Z LEQ {k-65} over {2sigma } RIGHT )]

즉, [eqn: {k-50} over {sigma } = {k-65} over {2 sigma }]이므로

[eqn: k=55]

[eqn: rm P LEFT ( it Z GEQ {55-50} over {sigma } RIGHT ) = rm P it LEFT ( it Z GEQ {5} over {sigma } RIGHT ) =0.1056]이므로

[eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {5} over {sigma } RIGHT ) & =0.5-0.1056# & =0.3944]

따라서 [eqn: rm {5} over {sigma } =1.25]에서 [eqn: rm sigma =4]이므로

[eqn: k+ sigma =55+4=59]

34. 어느 공장에서 생산하는 축구공 1개의 무게는 평균이 430g이고 표준편차가 14g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 축구공 중에서 임의로 선택한 축구공 1개의 무게가 409g 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

축구공 1개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: (430,~14 ^{2} )]을 따르고,  [eqn: Z= {X-430} over {14}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (X GEQ 409) & = rm P it LEFT ( Z GEQ {409-430} over {14} RIGHT )# & = rm P it (Z GEQ -1.5)# & =0.5+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)# & =0.5+0.4332# & =0.9332]

① 0.6915

② 0.8413

③ 0.9332

④ 0.9772

⑤ 0.9938

35. 확률변수 [eqn: X]가 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르고  [eqn: rm P(itX LEQ 3)=rmP(3it LEQ X LEQ 80)=0.3]일 때, [eqn: m+ sigma]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ 0.25)=0.1,~rmP(it0 LEQ Z LEQ 0.52)=0.2]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

155

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: LEFT ( m,~ sigma ^{2} RIGHT )]을 따르므로 [eqn: Z= {X-m} over {sigma }]이라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

[eqn: rm P it (X LEQ 3)=0.3]에서 [eqn: m>3]

[eqn: rm P it (X LEQ 3)&= rm P it LEFT ( Z LEQ {3-m} over {sigma } RIGHT )# &= rm P it LEFT ( Z GEQ {m-3} over {sigma } RIGHT )# &=0.5- rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {m-3} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {m-3} over {sigma } RIGHT ) =0.5-0.3=0.2]

이때 [eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.52 RIGHT ) =0.2]이므로

[eqn: {m-3} over {sigma } =0.52]

즉, [eqn: m=3+0.52 sigma] …… ㉠

[eqn: rm P it (3 LEQ X LEQ 80)=0.3]에서

[eqn: rm P it (X LEQ 3)+ rm P it (3 LEQ X LEQ 80)= rm P it (X LEQ 80)=0.6]이므로 [eqn: m<80]

[eqn: rm P it (3 LEQ X LEQ 80) & = rm P it ( {3-m} over {sigma } LEQ Z LEQ {80-m} over {sigma } )# & = rm P it ( {3-m} over {sigma } LEQ Z LEQ 0)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ {80-m} over {sigma } )# & = rm P it (0 LEQ Z LEQ {3-m} over {sigma } )+ rm P it (0 LEQ Z LEQ {80-m} over {sigma } )# & = rm 0.2+P it (0 LEQ Z LEQ {80-m} over {sigma } )=0.3]

[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ {80-m} over {sigma } )=0.1]

이때 [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 0.25)=0.1]이므로 [eqn: {80-m} over {sigma } =0.25]

[eqn: m=80-0.25 sigma]  …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 3+0.52 sigma =80-0.25 sigma]

[eqn: 0.77 sigma =77,~ sigma =100]

따라서 [eqn: m=3+0.52×100=55]이므로

[eqn: m+ sigma & =55+100# & =155]

36. 확률변수 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르고 다음 등식을 만족시킨다.

[eqn: rm P(itm LEQ X LEQ m+12)-rmP(itX LEQ m-12)=0.3664]

오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: sigma]의 값을 구한 것은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (m,~r ^{2} )]을 따르므로 [eqn: Z= {X-m} over {sigma }]이라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

[eqn: rm P(itm LEQ X LEQ m+12)-rmP(itX LEQ m-12)=0.3664]에서

[eqn: rm P( it m LEQ X LEQ m+12) & = rm P( it {m-m} over {sigma } LEQ Z LEQ {m+12-m} over {sigma } )# & = rm P( it 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } )]

[eqn: rm P( it X LEQ m-12) & = rm P( it Z LEQ {m-12-m} over {sigma } )= rm P( it Z LEQ {12} over {sigma } )# & = rm P( it Z GEQ {12} over {sigma } )=0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } )]

따라서 [eqn: rm P it(m≤X≤m+12)-rm P it(X≤m-12)]

[eqn: = rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } RIGHT ) - LEFT { 0.5- rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } RIGHT ) RIGHT }# =-0.5+ rm 2P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } RIGHT ) =0.3664 # rm 2P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } RIGHT ) it =0.5+0.3664=0.8664#rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {12} over {sigma } RIGHT ) it =0.4332]

이때 [eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT ) it =0.4332]이므로 [eqn: {12} over {sigma } =1.5,~ sigma =8]

① 4

② 6

③ 8

④ 10

⑤ 12

37. 확률변수 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르고 [eqn: F(x)=rmP(itX LEQ x)]라 하자.

[eqn: m]이 자연수이고

[eqn: 0.5 LEQ F LEFT ( {11} over {2} RIGHT ) LEQ 0.6915,~F LEFT ( {13} over {2} RIGHT ) =0.8413]

일 때, [eqn: F(k)=0.9772]를 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[정답/모범답안]

8

[해설]

[eqn: F(x) & = rm P it (X LEQ x)# & = rm P it LEFT ( Z LEQ {x-m} over {sigma } RIGHT ) it]

[eqn: F LEFT ( {13} over {2} RIGHT ) =0.8413,~ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)=0.3413]이므로

[eqn: {{13} over {2} -m} over {sigma } =1,~ sigma = {13} over {2} -m]  …… ㉠

[eqn: 0.5 LEQ F LEFT ( {11} over {2} RIGHT ) LEQ 0.6915]이므로

[eqn: 0 LEQ {{11} over {2} -m} over {sigma } LEQ 0.5]  …… ㉡

㉡에 ㉠을 대입하여 정리하면

[eqn: {9} over {2} LEQ m LEQ {11} over {2}] 이고 [eqn: m]이 자연수이므로

[eqn: m=5], [eqn: sigma = {3} over {2}]

[eqn: F(k)=0.9772]이므로

[eqn: {k-5} over {{3} over {2}} =2,~k=8]

38. 정규분포 N[eqn: (m, ~4)]를 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 함수 [eqn: g(k)=rmP(itk-8 LEQ X LEQ k)] 는 [eqn: k=12]일 때 최댓값을 갖는다. 상수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

8

[해설]

[eqn: g(12)=rm P it(4≤X≤12)])가 [eqn: g(k)]의 최댓값이므로

[eqn: m= {4+12} over {2} =8]

39. 확률변수 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 5인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(10)> f(20)]

(나) [eqn: f(4)< f(22)]

[eqn: m]이 자연수일 때, [eqn: rm P(it17 LEQ X LEQ 18)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (m,~5 ^{2} )]을 따르므로 곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이다.

조건 (가)에서 [eqn: f(10)>f(20)]이므로

[eqn: m< {10+20} over {2} ,~m<15]  …… ㉠

조건 (나)에서  [eqn: f(4)<f(22)]이므로

[eqn: m> {4+22} over {2} ,~m>13]  …… ㉡

㉠과 ㉡에서 [eqn: m]은 자연수이므로

[eqn: m=14]

그러므로 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (14,~5 ^{2} )]을 따르고  [eqn: Z= {X-14} over {5}]라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (17 LEQ X LEQ 18)# = rm P it LEFT ( {17-14} over {5} LEQ Z LEQ {18-14} over {5} RIGHT )# = rm P it (0.6 LEQ Z LEQ 0.8)# = rm P it (0 LEQ Z LEQ 0.8)- rm P it (0 LEQ Z LEQ 0.6)# =0.288-0.226# =0.062]

① 0.044

② 0.053

③ 0.062

④ 0.078

⑤ 0.097

40. 어느 실험실의 연구원이 어떤 식물로부터 하루 동안 추출하는 호르몬의 양은 평균이 30.2mg, 표준편차가 0.6mg인 정규분포를 따른다고 한다. 어느 날 이 연구원이 하루 동안 추출한 호르몬의 양이 29.6mg 이상이고 31.4mg 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

호르몬의 양을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (30.2,~0.6 ^{2} )]을 따르고 [eqn: Z= {X-30.2} over {0.6}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (29.6 LEQ X LEQ 31.4)# = rm P it LEFT ( {29.6-30.2} over {0.6} LEQ Z LEQ {31.4-30.2} over {0.6} RIGHT )# = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 2)# = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 0)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)# = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)# =0.3413+0.4772# =0.8185]

① 0.3830

② 0.5328

③ 0.6247

④ 0.7745

⑤ 0.8185

41. 어느 공항에서 처리되는 각 수하물의 무게는 평균이 18kg, 표준편차가 2kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공항에서 처리되는 수하물 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 이 수하물의 무게가 16kg 이상이고 22kg 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

4

[해설]

수하물의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (18,~2 ^{2} )]을 따르고, [eqn: Z= {X-18} over {2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (16 LEQ X LEQ 22)# = rm P it LEFT ( {16-18} over {2} LEQ Z LEQ {22-18} over {2} RIGHT )# = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 2)# = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)# =0.3413+0.4772# =0.8185]

① 0.5328

② 0.6247

③ 0.7745

④ 0.8185

⑤ 0.9104

42. 어느 쌀 모으기 행사에 참여한 각 학생이 기부한 쌀의 무게는 평균이 1.5kg, 표준편차가 0.2kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 행사에 참여한 학생 중 임의로 1명을 선택할 때, 이 학생이 기부한 쌀의 무게가 1.3kg 이상이고 1.8kg 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

쌀의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (1.5,~0.2 ^{2} )]을 따르고, [eqn: Z= {X-1.5} over {0.2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (1.3 LEQ X LEQ 1.8)# = rm P it LEFT ( {1.3-1.5} over {0.2} LEQ Z LEQ {1.8-1.5} over {0.2} RIGHT )# = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 1.5)# = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)# =0.3413+0.4332# =0.7745]

① 0.8543

② 0.8012

③ 0.7745

④ 0.7357

⑤ 0.6826

43. 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (4,~3 ^{2} `)]을 따를 때, [eqn: sum _{n=1} ^{7} rmP(itX LEQ n)=a]이다. [eqn: 10a]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

35

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (4,~3 ^{2} )]을 따르므로 [eqn: Z= {X-4} over {3}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

이때

[eqn: sum _{n=1} ^{7} rm P( it X LEQ n) & = sum _{n=1} ^{7} rm P LEFT ( it Z LEQ {n-4} over {3} RIGHT )# & = rm P LEFT ( it Z LEQ -1 RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ - {2} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ - {1} over {3} RIGHT )# & ``````+ rm P LEFT ( it Z LEQ 0 RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ {1} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ {2} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ 1 RIGHT )# & = rm P LEFT ( it Z GEQ 1 RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z GEQ {2} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z GEQ {1} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ 0 RIGHT )# & `````+ rm P LEFT ( it Z LEQ {1} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ {2} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ 1 RIGHT )]

[eqn: = rm LEFT { P LEFT ( it Z GEQ 1 RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ 1 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { rm P LEFT ( it Z GEQ {2} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ {2} over {3} RIGHT ) RIGHT }# ```````+ LEFT { rm P LEFT ( it Z GEQ {1} over {3} RIGHT ) + rm P LEFT ( it Z LEQ {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } + rm P LEFT ( it Z LEQ 0 RIGHT )# =1+1+1+ {1} over {2} = {7} over {2}]

따라서 [eqn: a= { 7} over {2 }]이므로

[eqn: 10a=10 TIMES {7} over {2} =35]

{다른 풀이}

정규분포곡선을 이용한 풀이

정규분포 N([eqn: (4,~3 ^{2} )]을 따르는 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수를 [eqn: f(x)]라 하면 그림과 같이 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(4+x)=f(4-x)], 즉

[eqn: f(x)=f(8-x)]를 만족시킨다.

위의 그림에서 [eqn: rm P it(X≤8-k)=rm P it(X≥k)]이고,

[eqn: rm P it(X≤k)+rm P it(X≥k)=1]이므로

[eqn: rm P it(X≤k)+rm P it(X≤8-k)=1]

[eqn: rm P it (X LEQ 1)+ rm P it (X LEQ 7)=1,~ rm P it (X LEQ 2)+ rm P it (X LEQ 6)=1# P it (X LEQ 3)+ rm P it (X LEQ 5)=1]

이고, [eqn: rm P it(X≤4)=0.5]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{7} rm P( it X LEQ n)# = rm P it LEFT ( X LEQ 1 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 2 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 3 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )# ```````+ rm P it LEFT ( X LEQ 5 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 6 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 7 RIGHT )# = LEFT { rm P it LEFT ( X LEQ 1 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 7 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { rm P it LEFT ( X LEQ 2 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 6 RIGHT ) RIGHT }# ```````+ LEFT { rm P it LEFT ( X LEQ 3 RIGHT ) + rm P it LEFT ( X LEQ 5 RIGHT ) RIGHT } + rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )# =1+1+1+0.5=3.5=a]

따라서 [eqn: 10a=10×3.5=35]

44. 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (10,~4 ^{2} `)], 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포  N[eqn: (m,~4 ^{2} `)]을 따르고, 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 확률밀도함수는 각각  [eqn: f(x)]와  [eqn: g(x)]이다.

[eqn: f(12)=g(26),~rmP(itY GEQ 26) GEQ 0.5]일 때, [eqn: rm P(itY LEQ 20)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

정규분포를 따르는 두 확률변수 [eqn: X,~Y]의 표준편차가 같으므로 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 평행이동에 의하여 일치할 수 있다.

확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 N[eqn: (m,~4 ^{2} )]을 따르고, [eqn: rm P it(Y≥26)≥0.5]이므로 [eqn: m≥26]이다.

또한 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 N[eqn: (10,~4 ^{2} )]을 따르고 [eqn: f(12)=g(26)]이므로 두 함수 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 [eqn: m=26+2=28]이므로 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 N[eqn: (28,~4 ^{2} )]을 따르고, [eqn: Z= {Y-28} over {4}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (Y LEQ 20)= rm P it LEFT ( Z LEQ {20-28} over {4} RIGHT )# = rm P it (Z LEQ -2)# = rm P it (Z GEQ 2)# =0.5- rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)# =0.5-0.4772# =0.0228]

① 0.0062

② 0.0228

③ 0.0896

④ 0.1587

⑤ 0.2255

45. 숫자 1이 적혀 있는 공 10개, 숫자 2가 적혀 있는 공 20개, 숫자 3이 적혀 있는 공 30개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 10번 반복하여 확인한 10개의 수의 합을 확률변수 [eqn: Y]라 하자. 다음은 확률변수 [eqn: Y]의 평

균 [eqn: rm E(itY)]와 분산 [eqn: rm V(itY)]를 구하는 과정이다.

주머니에 들어 있는 60개의 공을 모집단으로 하자. 이 모집단에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 이 공에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]의 확률분포, 즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.

따라서 모평균 [eqn: m]과 모분산 [eqn: sigma ^{2}]은

[eqn: m= rm E( it X)= {7} over {3} ,~ sigma ^{2} `= rm V( it X)= {BOX{~(가)~}}]

이다.

모집단에서 크기가 10인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하면

[eqn: rm E( it {bar{X}} )= {7} over {3} ,~ rm V( it {bar{X}} )= {BOX{~(나)~}}]

이다.

주머니에서 [eqn: n]번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: X _{n}]이라 하면

[eqn: Y= sum _{n=1} ^{10} X _{n} =10 {bar{X}}]

이므로

[eqn: rm E( it Y)= {70} over {3} ,~ rm V( it Y)= {BOX{~(다)~}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,~q,~r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

[정답/모범답안]

4

[해설]

주어진 모집단의 확률분포에서

[eqn: sigma ^{2} `= rm V( it X)=1 TIMES {1} over {6} +4 TIMES {1} over {3} +9 TIMES {1} over {2} - {49} over {9} =6- {49} over {9} = {5} over {9}]

이므로 [eqn: p= {5} over {9}]

[eqn: {bar{X}}]는 이 모집단에서 크기가 10인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이므로

[eqn: rm V( {bar{it X rm}} )= {V( it X) rm} over {10} = {5} over {9} TIMES {1} over {10} = {1} over {18}]

즉, [eqn: q= {1} over {18}]

또,

[eqn: rm V( it Y)= rm V( it 10 {bar{X}} )=100 rm V( it {bar{X}} )=100 TIMES {1} over {18} = {50} over {9}]

이므로 [eqn: r= {50} over {9}]

따라서

[eqn: p+q+r= {5} over {9} + {1} over {18} + {50} over {9} = {37} over {6}]

① [eqn: {31} over {6}]

② [eqn: {11} over {2}]

③ [eqn: {35} over {6}]

④ [eqn: {37} over {6}]

⑤ [eqn: {13} over {2}]

46. 어느 도시의 시민 한 명이 1년 동안 병원을 이용한 횟수는 평균이 14, 표준편차가 3.2인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 시민 중에서 임의추출한 256명의 1년 동안 병원을 이용한 횟수의 표본평균이 13.7 이상이고 14.2 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

이 도시의 시민 한 명이 1년 동안 병원을 이용한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (14,~3.2 ^{2} `)]을 따르므로 크기가 256인 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: (14,~ {3.2 ^{2} `} over {256} )] ,

즉 N[eqn: (14,~0.2 ^{2} `)]을 따른다.

이때 확률변수 [eqn: Z= {{bar{X}} -14} over {0.2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P( it 13.7 LEQ {bar{X}} LEQ 14.2) & = rm P LEFT ( {13.7-14} over {0.2} it LEQ Z LEQ {14.2-14} over {0.2} RIGHT )# & = rm P( it -1.5 LEQ Z LEQ 1)# & = rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.5)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1)# &=0.4332+0.3413# &=0.7745]

① 0.6826

② 0.7745

③ 0.8185

④ 0.9104

⑤ 0.9710

47. 어느 모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같다.

[eqn: rm E(itX ^{2} `)= {16} over {3}]일 때, 이 모집단에서 임의추출한 크기가 20인 표본의 표본평균 [eqn: {bar{X}}]에 대하여 [eqn: rm V(it {bar{X}} )]의 값은?

[정답/모범답안]

4

[해설]

표본평균의 확률분포를 이용한다.

{문제 풀이}

[STEP 1]  주어진 조건을 이용하여 [eqn: a, ~b]의 값을 구한다.

확률의 합이 1이므로

[eqn: {1} over {6} +a+b=1]

[eqn: a+b= {5} over {6}] …… ㉠

[eqn: rm E(itX ^{2} `)= {16} over {3}]이므로

[eqn: rm E( it X ^{2} `)=0 ^{2} TIMES {1} over {6} +2 ^{2} ` TIMES a+4 ^{2} ` TIMES b= {16} over {3}]

[eqn: a+4b= {4} over {3}] …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a= {2} over {3} ,~b= {1} over {6}]

[STEP 2]  확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타낸다.

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X) & =0 TIMES {1} over {6} +2 TIMES {2} over {3} +4 TIMES {1} over {6}# &=2]

[eqn: rm V( it X) & = rm E( it X ^{2} `)- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} `# & = {16} over {3} -2 ^{2} `# & = {4} over {3}]

[STEP 3]  [eqn: rm V(it {bar{X}} )]의 값을 구한다.

모집단에서 임의추출한 크기가 20인 표본의 표본평균이 [eqn: {bar{X}}]이므로

[eqn: rm V( it {bar{X}} ) & = {rm V( it X)} over {20}# & = {1} over {20} TIMES {4} over {3}# & = {1} over {15}]

① [eqn: {1} over {60}]

② [eqn: {1} over {30}]

③ [eqn: {1} over {20}]

④ [eqn: {1} over {15}]

⑤ [eqn: {1} over {12}]

48. 어느 공장에서 생산하는 화장품 1개의 내용량은 평균이 201.5g이고 표준편차가 1.8g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 화장품 중 임의추출한 9개의 화장품 내용량의 표본평균이 200g 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

공장에서 생산하는 화장품 1개의 내용량을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (201.5,~1.8 ^{2} )]을 따른다.

이 공장에서 생산한 화장품 중 임의추출한 9개의 화장품 내용량의 표본평균을 확률변수 [eqn: {bar{X}}]라 하면 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 201.5,~ {1.8 ^{2}} over {9} RIGHT )] , 즉 N[eqn: LEFT ( 201.5,~0.6 ^{2} RIGHT )]을 따르고,

[eqn: Z= {{bar{X}} -201.5} over {0.6}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을  따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P( it {bar{X}} GEQ 200) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {200-201.5} over {0.6} RIGHT )# & = rm P( it Z GEQ -2.5)# & = rm P( it -2.5 LEQ Z LEQ 0)+ rm P( it Z GEQ 0)# & = rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2.5)+ rm P( it Z GEQ 0)# & =0.4938+0.5# & =0.9938]

① 0.7745

② 0.8413

③ 0.9332

④ 0.9772

⑤ 0.9938

49. 대중교통을 이용하여 출근하는 어느 지역 직장인의 월 교통비는 평균이 8이고 표준편차가 1.2인 정규분포를 따른다고 한다. 대중교통을 이용하여 출근하는 이 지역의 직장인 중 임의추출한 [eqn: n]명의 월 교통비의 표본 평균을 [eqn: {bar{X}}]라 할 때,

[eqn: rm P(it7.76 LEQ {bar{X}} LEQ 8.24) GEQ 0.6826]

이 되기 위한 [eqn: n]의 최솟값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 교통비의 단위는 만 원이다.)

[정답/모범답안]

25

[해설]

어느 지역 직장인의 월 교통비를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (8,~1.2 ^{2} )]을 따른다.

이때 표본의 크기가 [eqn: n]인 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는

[eqn: rm E( it {bar{X}} )=8,~ rm V( it {bar{X}} )= {1.2 ^{2}} over {n}]

따라서 확률변수 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 8,~ LEFT ( {1.2} over {sqrt {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{X}} -8} over {{1.2} over {sqrt {n}}}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다 .

[eqn: rm P( it 7.76 LEQ {bar{X}} LEQ 8.24) & = rm P LEFT ( it {7.76-8} over {{1.2} over {sqrt {n}}} LEQ Z LEQ {8.24-8} over {{1.2} over {sqrt {n}}} RIGHT )# & = rm P LEFT ( - it {sqrt {n}} over {5} LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} RIGHT )# & =2 rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} RIGHT )]

[eqn: rm P( it 7.76 LEQ {bar{X}} LEQ 8.24) GEQ 0.6826]에서

[eqn: rm 2P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} RIGHT ) GEQ 0.6826], 즉 [eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} RIGHT ) GEQ 0.3413]

이때 [eqn: rm P(0it LEQ Z LEQ 1)=0.3413]이므로 [eqn: {sqrt {n}} over {5} GEQ 1], 즉 [eqn: n≥25]이어야 한다 .

따라서 구하는 [eqn: n]의 최솟값은 25이다.

50. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

이 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 할 때, [eqn: rm V(it {bar{X}} )]의 값은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

확률의 합이 1이므로

[eqn: a=1- {1} over {3} - {1} over {2} = {1} over {6}]

[eqn: rm E( it X)&=(-2) TIMES {1} over {3} +0 TIMES {1} over {2} +1 TIMES {1} over {6}# & =- {1} over {2}]

[eqn: rm E( it X ^{2} ) & =(-2) ^{2} TIMES {1} over {3} +0 ^{2} TIMES {1} over {2} +1 ^{2} ` TIMES {1} over {6}# &= {3} over {2}]

[eqn: rm V( it X) & = rm E( it X ^{2} )- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} = {3} over {2} - LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2}# & = {5} over {4}]

이때 표본의 크기가 16이므로

[eqn: rm V( it {bar{X}} )= {rm V( it X)} over {16} = {5} over {64}]

① [eqn: {5} over {64}]

② [eqn: {7} over {64}]

③ [eqn: {9} over {64}]

④ [eqn: {11} over {64}]

⑤ [eqn: {13} over {64}]

51. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

이 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하자. [eqn: rm E( it {bar{X}} )= {5} over {6}] 일 때, [eqn: a+2b]의 값은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: rm E( it {bar{X}} )= rm E( it X)]에서 [eqn: rm E( it {bar{X}} )= {5} over {6}] 이고 [eqn: rm E( it X)=a+2b]이므로

[eqn: a+2b= {5} over {6}]

① [eqn: {1} over {6}]

② [eqn: {1} over {3}]

③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]

⑤ [eqn: {5} over {6}]

52. 정규분포 N[eqn: (0,~4 ^{2} `)]을 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}], 정규분포 N[eqn: (3,~2 ^{2} `)]을 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{Y}}]라 하자.
[eqn: rm P( {bar{it X rm}} GEQ 1)=P( it {bar{Y it rm }} LEQ a)]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답/모범답안]

3

[해설]

확률변수 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 0,~ LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{X}} -0} over {{4} over {3}}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을  따른다.

확률변수 [eqn: {bar{Y}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 3,~ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] 을 따르고, [eqn: Z= {{bar{Y}} -3} over {{1} over {2}}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을  따른다.

[eqn: rm P( it {bar{X}} GEQ 1)= rm P( it {bar{Y}} LEQ a)]에서

[eqn: rm P( it {bar{X}} GEQ 1) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {1-0} over {{4} over {3}} RIGHT ) = rm P LEFT ( itZ GEQ {3} over {4} RIGHT )]

[eqn: rm P( it {bar{Y}} LEQ a) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {a-3} over {{1} over {2}} RIGHT )# & = rm P( it Z LEQ 2(a-3))# & = rm P( it Z GEQ 2(3-a))]

따라서 [eqn: {3} over {4} =2(3-a),~3=24-8a]이므로

[eqn: 8a=21,~a= {21} over {8}]

① [eqn: {19} over {8}]

② [eqn: {5} over {2}]

③ [eqn: {21} over {8}]

④ [eqn: {11} over {4}]

⑤ [eqn: {23} over {8}]

53. 어느 항공편 탑승객들의 1인당 수하물 무게는 평균이 15kg, 표준편차가 4kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 항공편 탑승객들을 대상으로 16명을 임의추출하여 조사한 1인당 수하물 무게의 평균이 17kg 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

1인당 수하물 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (15,~4 ^{2} `)]을 따른다.

이때 임의추출한 크기가 16인 표본의 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 15,~ LEFT ( {4} over {4} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] , 즉 N[eqn: (15,~1 ^{2} `)]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{X}} -15} over {1}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P( it {bar{X}} GEQ 17) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {17-15} over {1} RIGHT )# & = rm P( it Z GEQ 2)# &=0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2)# &=0.5-0.4772# &=0.0228]

① 0.0228

② 0.0668

③ 0.1587

④ 0.3085

⑤ 0.3413

54. 모표준편차가 14인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하자. [eqn: sigma ( {bar{X}} )=2]일 때, [eqn: n]의 값은?

[정답/모범답안]

5

[해설]

[eqn: rm sigma ( it {bar{X}} )= {sigma } over {sqrt {n}} = {14} over {sqrt {n}} =2]

[eqn: sqrt {n} =7]이므로

[eqn: n=49]

① 9

② 16

③ 25

④ 36

⑤ 49

55. 정규분포 N[eqn: (50,~8 ^{2} `)]을 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}], 정규분포 N[eqn: (75,~ sigma ^{2} `)]을 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{Y}}]라 하자.

[eqn: rm P( it {bar{X}} LEQ 53)+ rm P( it {bar{Y}} LEQ 69)=1]일 때, [eqn: rm P( it {bar{Y}} GEQ 71)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

1

[해설]

정규분포 N[eqn: (50,~8 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 16인 표본의 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 50,~ LEFT ( {8} over {sqrt {16}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] , 즉 N[eqn: (50,~2 ^{2} )]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{X}} -50} over {2}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다 .

[eqn: rm P( it {bar{X}} LEQ 53) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {53-50} over {2} RIGHT )# & = rm P( it Z LEQ 1.5)# & =0.5+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.5)]

정규분포 N[eqn: (75,~ sigma ^{2} `)]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 25인 표본의 표본평균 [eqn: {bar{Y}}]는 정규분포 N [eqn: LEFT ( 75,~ LEFT ( {sigma } over {sqrt {25}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] , 즉  N [eqn: LEFT ( 75,~ LEFT ( {sigma } over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{Y}} -75} over {{sigma } over {5}}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포  N(0, 1)을 따른다.

[eqn: rm P( it {bar{Y}} LEQ 69) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {69-75} over {{sigma } over {5}} RIGHT )# & = rm P( it Z LEQ - {30} over {sigma } )# & = rm P( it Z GEQ {30} over {sigma } )# & =0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {30} over {sigma } RIGHT )]

이때 [eqn: rm P( it {bar{X}} LEQ 53)+ rm P( it {bar{Y}} LEQ 69)=1]이므로

[eqn: 0.5+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.5)+0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {30} over {sigma } RIGHT ) =1# rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.5)= rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {30} over {sigma } RIGHT )]

즉, [eqn: 1.5= {30} over {sigma }]이므로

[eqn: sigma =20]

따라서

[eqn: rm P( it {bar{Y}} GEQ 71) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {71-75} over {4} RIGHT )# & = rm P( it Z GEQ -1)# & =0.5+ rm P( it -1 LEQ Z LEQ 0)# & =0.5+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1)# & =0.5+0.3413# & =0.8413]

① 0.8413

② 0.8644

③ 0.8849

④ 0.9192

⑤ 0.9452

56. 어느 지역의 1인 가구의 월 식료품 구입비는 평균이 45만 원, 표준편차가 8만 원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역의 1인 가구 중에서 임의로 추출한 16가구의 월 식료품 구입비의 표본평균이 44만 원 이상이고 47만 원 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

이 지역의 1인 가구의 월 식료품 구입비를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (45,~8 ^{2} `)]을 따른다.

이 지역의 1인 가구 중에서 임의로 추출한 16가구의 월 식료품 구입비의 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하면

[eqn: rm E( it {bar{X}} )=45,~ sigma ( it {bar{X}} )= {8} over {sqrt {16}} =2]

이므로 확률변수 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 N[eqn: (45,~2 ^{2} `)]을 따르고, [eqn: Z= {{bar{X}} -45} over {2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을  따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P( it 44 LEQ {bar{X}} LEQ 47) & = rm P LEFT ( it {44-45} over {2} LEQ Z LEQ {47-45} over {2} RIGHT )# & = rm P( it -0.5 LEQ Z LEQ 1)# & = rm P( it 0 LEQ Z LEQ 0.5)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1)# & =0.1915+0.3413=0.5328]

① 0.3830

② 0.5328

③ 0.6915

④ 0.8185

⑤ 0.8413

57. 주머니 속에 1의 숫자가 적혀 있는 공 1개, 3의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: n]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 2번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하자.

[eqn: rm P( it {bar{X}} =1)= {1} over {49}] 일 때, [eqn: rm E( it {bar{X}} )= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답/모범답안]

26

[해설]

[eqn: rm P( it {bar{X}} =`1)= {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} = {1} over {49}] 에서

[eqn: (n+1) ^{2} `=49,~n=6]

[eqn: rm E( it {bar{X}} )]는 모평균과 같으므로

[eqn: rm E( it {bar{X}} )= {1+3n} over {n+1} = {1+3 TIMES 6} over {6+1} = {19} over {7}] 에서

[eqn: p=7,~q=19]

따라서 [eqn: p+q=7+19=26]

58. 어느 회사에서 생산된 야구공의 무게는 평균이 144.9g, 표준편차가 6g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 야구공 중 임의로 선택한 야구공 9개 무게의 표본평균이 141.7g 이상 148.9g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답/모범답안]

2

[해설]

생산된 야구공의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 N[eqn: (144.9,~6 ^{2} `)]을 따른다.

이때 임의로 선택한 야구공 9개 무게의 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하면 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포  N [eqn: LEFT ( 144.9,~ LEFT ( {6} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT )], 즉 N[eqn: (144.9,~2 ^{2} `)]을 따르고,

[eqn: Z= {{bar{X}} -144.9} over {2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it 141.7 LEQ {bar{X}} LEQ 148.9 RIGHT )# = rm P LEFT ( it {141.7-144.9} over {2} LEQ Z LEQ {148.9-144.9} over {2} RIGHT )# = rm P( it -1.6 LEQ Z LEQ 2)= rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.6)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2)# =0.4452+0.4772=0.9224]

① 0.9165

② 0.9224

③ 0.9267

④ 0.9282

⑤ 0.9413

59. 어느 마을에서 수확하는 수박의 무게는 평균이 [eqn: m]kg, 표준편차가 1.4kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 마을에서 수확한 수박 중에서 49개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 이 마을에서 수확하는 수박의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a≤m≤7.992]이다. [eqn: a]의 값은?
(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: rm P(it|Z| LEQ 1.96)=0.95]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

4

[해설]

이 마을에서 수확하는 수박의 무게의 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 표준편차 [eqn: sigma =1.4], 표본의 크기 [eqn: n=49]이고, 표본평균의 값을 [eqn: {bar{x}}]라 하면

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {1.4} over {sqrt {49}} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {1.4} over {sqrt {49}}]

[eqn: 7.992-a# = LEFT ( {bar{x}} +1.96 TIMES {1.4} over {sqrt {49}} RIGHT ) - LEFT ( {bar{x}} -1.96 TIMES {1.4} over {sqrt {49}} RIGHT )# =2 TIMES 1.96 TIMES {1.4} over {sqrt {49}}# =0.784]

이므로

[eqn: a=7.992-0.784=7.208]

① 7.238

② 7.228

③ 7.218

④ 7.208

⑤ 7.198

60. 어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이 [eqn: m]분, 표준편차가 [eqn: sigma]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역 주민 중 16명을 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 75분일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 [eqn: a≤m≤b]이다. 이 지역 주민 중 16명을 다시 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 77분일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간이 [eqn: c≤m≤d]이다. [eqn: d-b=3.86]을 만족시키는 [eqn: sigma]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(it|Z| LEQ 1.96)=0.95], [eqn: rm P(it|Z| LEQ 2.58)=0.99]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

12

[해설]

표준편차 [eqn: sigma], 표본의 크기 [eqn: n=16]이고, 표본평균 [eqn: {bar{x}} =75]일 때, 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

[eqn: 75-1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {16}} LEQ m LEQ 75+1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {16}}]

표본평균 [eqn: {bar{x}} =77]일 때, 신뢰도 99 %의 신뢰구간은

[eqn: 77-2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {16}} LEQ m LEQ 77+2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {16}}]

[eqn: b=75+1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {16}} ,# d=77+2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {16}}]

이므로

[eqn: d-b & = LEFT ( 77+2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {16}} RIGHT ) - LEFT ( 75+1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {16}} RIGHT )# & =2+0.155 sigma =3.86]

[eqn: 0.155a=1.86]

따라서 [eqn: sigma =12]

61. 어느 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 초콜릿 중에서 임의추출한 크기가 49인 표본을 조사하였더니 초콜릿 무게의 표본평균의 값이 [eqn: {bar{x}}]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1.73≤m≤1.87]이다. [eqn: {sigma } over {{bar{x}}} =k]일 때, [eqn: 180k]의 값을 구하시오. (단, 무게의 단위는 g이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(it0 LEQ |Z| LEQ 1.96)=0.475]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

25

[해설]

표준편차가 [eqn: sigma], 표본의 크기가 49이고 표본평균의 값이 [eqn: {bar{x}}]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {49}} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {49}}]이다.

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {sigma } over {7} =1.73]  …… ㉠

[eqn: {bar{x}} +1.96 TIMES {sigma } over {7} =1.87]  …… ㉡

㉠+㉡을 하면 [eqn: 2 {bar{x}} =3.6]에서 [eqn: {bar{x}} =1.8]

㉡-㉠을 하면 [eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {7} =0.14]

[eqn: sigma = {0.14 TIMES 7} over {2 TIMES 1.96} =0.25]

따라서 [eqn: k= {0.25} over {1.8} = {25} over {180}] 이므로

[eqn: 180k=180 TIMES {25} over {180} =25]

62. 어느 농가에서 생산하는 석류의 무게는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 40인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농가에서 생산하는 석류 중에서 임의추출한 크기가 64인 표본을 조사하였더니 석류 무게의 표본평균의 값이 [eqn: {bar{x}}]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 농가에서 생산하는 석류 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간을 구하면 [eqn: {bar{x}} -c LEQ m LEQ {bar{x}} +c]이다. [eqn: c]의 값은? (단, 무게의 단위는 g이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 [eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ 2.58)=0.495]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

12.9

[해설]

이 농가에서 생산하는 석류 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 표준편차 [eqn: sigma =40]이고 표본의 크기 [eqn: n=64], 표본평균의 값이 [eqn: {bar{x}}]이므로

[eqn: {bar{x}} -2.58 TIMES {40} over {sqrt {64}} LEQ m LEQ {bar{x}} +2.58 TIMES {40} over {sqrt {64}}# {bar{x}} -2.58 TIMES 5 LEQ m LEQ {bar{x}} +2.58 TIMES 5# {bar{x}} -12.9 LEQ m LEQ {bar{x}} +12.9]

따라서 [eqn: c=12.9]

63. 어느 회사 직원들의 하루 여가 활동 시간은 모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 10인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 중 [eqn: n]명을 임의추출하여 신뢰도 95%로 추정한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰구간이 [eqn: 38.08≤m≤45.92]일 때, [eqn: n]의 값은? (단, 시간의 단위는 분이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 [eqn: rm P(0 LEQ itZ LEQ 1.96)=0.475]로 계산한다.)

[정답/모범답안]

25

[해설]

모표준편차가 10인 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하였을 때 그 표본평균을 [eqn: {bar{x}}] 라 하면 신뢰도 95 %로 추정한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}}]

이때 신뢰구간이 [eqn: 38.08≤m≤45.92]이므로

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}} =38.08]  …… ㉠

[eqn: {bar{x}} +1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}} =45.92]  …… ㉡

㉡-㉠을 하면

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}} =7.84# sqrt {n} =5]

따라서 [eqn: n=25]