1. < 21 >

[해설]
[STEP 1] 밑이 1보다 작은 지수함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 이용하여 상수 [eqn: a]의 값을 구한다.
함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2x-a}]은 감소함수이므로 닫힌구간 [eqn: [2, 3]]에서 [eqn: x=2]일 때 최댓값을 갖는다.
[eqn: f(2)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4-a} `=27], [eqn: 3^a-4 =3^3], [eqn: a=7]
[STEP 2] 밑이 [eqn: 1]보다 작은 지수함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 구한다.
따라서 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^2x-7] 이므로 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [2, 3]]에서 [eqn: x=3]일 때 최솟값을 갖는다. 따라서
[eqn: m=f(3)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{6-7} =3]
[STEP 3] [eqn: a times m]의 값을 구한다.
따라서 [eqn: a times m=7 times 3=21]

2. < ⓹ >

[해설]
[STEP 1] [eqn: bar {AB}]의 길이를 구한다.
[eqn: f(0)=2^0 +1=2], [eqn: g(0)=-2 ^{-1} +7= {13} over {2}]이므로
두 점 A, B의 좌표는 각각 [eqn: A(0, 2)], [eqn: B LEFT ( 0,` {13} over {2} RIGHT )]이다. 따라서 [eqn: bar{AB} = {13} over {2} -2= {9} over {2}]
[STEP 2] 점 [eqn: C]의 좌표를 구한다.
두 식 [eqn: y=2^x +1], [eqn: y=-2^x-1 +7]을 연립하여 풀면[eqn: 2^x +1=-2^x-1 +7], [eqn: {3} over {2} TIMES 2 ^{x} =6], [eqn: 2^x =4], [eqn: x=2]
[eqn: f(2)=2^2 +1=5]이므로 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: (2, 5)]이다.
[STEP 3] 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이를 구한다.
따라서 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES {9} over {2} = {9} over {2}]

3. < ⓶ >

[해설]
[STEP 1] [eqn: {3} over {a} >1]일 때, [eqn: a]의 값을 구한다.
함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{x}]  에서
(ⅰ) [eqn: {3} over {a} >1], 즉 [eqn: 0<a<3]일 때,함수 [eqn: f(x)]는 증가함수이므로 [eqn: x=2]에서 최댓값 [eqn: 4]를 갖는다.
[eqn: f(2)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{2} =4]에서 [eqn: a ^{2} = {9} over {4}]
[eqn: a= {3} over {2}]또는 [eqn: a=- {3} over {2}]
그런데 [eqn: 0<a<3]이므로 [eqn: a= {3} over {2}]
[STEP 2] [eqn: {3} over {a} =1]일 때, [eqn: a]의 값을 구한다.
(ⅱ) [eqn: {3} over {a} =1], 즉 [eqn: a=3]일 때,
[eqn: f(x)=1]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 4]가 아니다.
[STEP 3] [eqn: {3} over {a} <1]일 때, [eqn: a]의 값을 구한다.
(ⅲ) [eqn: 0<{3} over {a} <1], 즉 [eqn: a>3]일 때,함수 [eqn: f(x)]는 감소함수이므로 [eqn: x=-1]에서 최댓값 [eqn: 4]를 갖는다.
[eqn: f(-1)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{-1} = {a} over {3} =4] 이므로 [eqn: a=12]이다.
[STEP 4] 모든 양수 [eqn: a]의 값의 곱을 구한다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에서 모든 양수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: {3} over {2} TIMES 12=18]이다.

4. < ⓸ >

[해설]
[STEP 1] 곡선 [eqn: y=a^x]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 곡선을 구한다. 곡선 [eqn: y=a^x]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y=log_a x]
[STEP 2] 곡선 위의 점의 좌표를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다. 이 곡선이 점 [eqn: (2, 3)]을 지나므로 [eqn: x=2], [eqn: y=3]을 대입하면 [eqn: 3=log_a 2], [eqn: a^3 =2]이다.
따라서 [eqn: a=^3 sqrt { 2}]이다.

5. < 8 >

[해설]
[STEP 1] 곡선 [eqn: y=2^x]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 곡선의 식을 구한다. 곡선 [eqn: y=2^x]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y=2 ^{-x}]이고, 곡선 [eqn: y=2 ^{-x}]은 직선 [eqn: y=x+1]과 점 [eqn: B(0, 1)]에서 만난다.
[STEP 2] 이 곡선을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼 평행이동한 곡선의 식을 구한다.
곡선 [eqn: y=2 ^{-x}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼 평행이동한 곡선 [eqn: y= f(x)]의 식은 [eqn: y=2 ^{-x+ {1} over {4}} + {1} over {4}]이다.
[STEP 3] 점 [eqn: A]의 좌표를 구한다. 직선 [eqn: y=x+1]은 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}] 만큼 평행이동하여도 직선 [eqn: y=x+1]이 된다. 그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x+1]이 만나는 점 [eqn: A]는 곡선 [eqn: y=2 ^{-x}] 과 직선 [eqn: y=x+1]이 만나는 점인 [eqn: B(0, 1)]이 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼 평행이동한 점 [eqn: A LEFT ( {1} over {4} , {5} over {4} RIGHT )]이다.
[STEP 4] [eqn: {1} over {k ^{2}}]의 값을 구한다.
따라서[eqn: k= sqrt {LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5} over {4} -1 RIGHT ) ^{2}} `= {sqrt {2}} over {4}]이므로[eqn: {1} over {k ^{2}} =8]
이다.

6. < ⓶ >

[해설]
[STEP 1] 곡선 [eqn: y=|9^x -3|]과 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 구한다. 곡선 [eqn: y=|9^x -3|]과 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: |9^x -3|=0]에서 [eqn: 9^x =3^2x =3]이므로 [eqn: 2x=1], [eqn: x={1} over {2}]이다.
[STEP 2] 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표 [eqn: x_1], [eqn: x_2]를 그래프 위에 나타낸다. 이때 두 곡선 [eqn: y=|9^x -3|], [eqn: y=2 ^{x+k}] 이 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: x_1], [eqn: x_2] 가 [eqn: x _{1} <0], [eqn: 0<x_2 <2]를 만족시키는 경우는 그림과 같다.

[STEP 3] 주어진 조건을 만족시키도록 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서의 함수 [eqn: y=2 ^{x+k}]의 함숫값의 범위를 구한다.
[eqn: x=0]일 때 [eqn: 2 ^{0+k} =2 ^{k} >2][eqn: CDOTS CDOTS `]㉠
[eqn: x=2]일 때
[eqn: 2 ^{2+k}# =4 TIMES 2 ^{k} <|9 ^{2} -3|=78]
[eqn: 2^k <19.5] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡
[STEP 4] ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구한다. ㉠, ㉡에서 [eqn: 2<2^k <19.5] 이므로 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다. 따라서 그 합은 [eqn: 2+3+4=9]

{오답피하기}
곡선 [eqn: y=2^x+k]에서 미지수 [eqn: k]가 정해져 있지 않으므로 주어진 부등식 조건을 만족시키는 [eqn: x_1], [eqn: x_2]일 때 함숫값을 따져 볼 수 있어야 한다.

7. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] 로그의 정의와 주어진 식을 이용하여 [eqn: log_a `b]의 값을 구한다.

[eqn: a^f(t) =t]에서 [eqn: f(t)=log_a `t]

[eqn: b^g(t) =t]에서 [eqn: g(t)=log_b` t]

[eqn: 2f(a)=3g(a)]이므로 [eqn: 2 log_a `a=3 log_b` a]에서 [eqn: log_b` a={2} over {3}]

즉, [eqn: log_a `b={3} over {2}]

[STEP 2] 로그의 밑의 변환 공식을 이용하여 조건을 만족시키는 실수 [eqn: c]의 값을 구한다.

[eqn: f(c)=g(27)]이므로

[eqn: log _{a} `c=log _{b} `27= {log _{a} `27} over {log _{a} `b}]

[eqn: = {2} over {3} log _{a} `27=log _{a} `27 ^{{2} over {3}}]

[eqn: =log _{a} `9]

따라서 [eqn: c=9]

8. < ⓸ >

[해설]

[STEP 1] 역함수 관계를 이용하여 [eqn: bar {AB}]를 구한다.

두 곡선 [eqn: y=log_sqrt { 2}`(x-a)]와 [eqn: y=(sqrt { 2} )^x +a]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여

대칭이고, 직선 [eqn: AB]는 직선 [eqn: y=x]에 수직이므로 두 점 [eqn: A], [eqn: B]는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(2t, t)`(t>0)]이라 하면 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B(t, 2t)]이므로 [eqn: bar {AB}=sqrt { 2}t]이다.

[STEP 2] 삼각형 [eqn: OAB]의 특징과 넓이를 이용하여 점 [eqn: A]의 좌표를 구한다.

선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: M]이라 하면 [eqn: M LEFT ( {3} over {2} t, {3} over {2} t RIGHT )]

삼각형 [eqn: OAB]는 [eqn: bar{OA}=bar{OB}]인 이등변삼각형이므로

삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는

[eqn: 6= {1} over {2} TIMES bar{AB} TIMES bar{OM} = {1} over {2} TIMES sqrt {2} t TIMES {3 sqrt {2}} over {2} t= {3} over {2} t ^{2}]

[eqn: t^2 =4], [eqn: t=2]

따라서 [eqn: A(4, 2)]이다.

[STEP 3] 로그의 정의를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.

[eqn: A(4, 2)]가 곡선 [eqn: y=log_sqrt { 2}`(x-a)]위의 점이므로 [eqn: 2=log_sqrt { 2}`(4-a)], [eqn: (sqrt { 2} )^2 =4-a]

따라서 [eqn: a=2]

9. < 54 >

[해설]

[STEP 1] 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 좌표를 구한다.

점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표를 a라 하면 점 [eqn: A(a, 2)]는 곡선 [eqn: y=log_2 4x]위의 점이므로

[eqn: 2=log_2 `4a], [eqn: 4a=2^2]

[eqn: a=1]

따라서 점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: (1, 2)]

점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하면 점 [eqn: B(b, 2)]는 곡선 [eqn: y=log_2`x]위의 점이므로

[eqn: 2=log_2 `b]

[eqn: b=4]

따라서 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: (4, 2)]

[STEP 2] 두 점 [eqn: C], [eqn: D]의 좌표를 구한다.

점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c]라 하면 점 [eqn: C(c, k)]는 곡선[eqn: y=log_2 4x]위의 점이므로

[eqn: k=log_2 `4c`], [eqn: 4c=2^k]

[eqn: c=2^k-2]

따라서 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: (2^k-2 , k)]

점 [eqn: D]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: d]라 하면 점 [eqn: D(d, k)]는 곡선 [eqn: y=log_2`x]위의 점이므로

[eqn: k=log_2 `d]

[eqn: d=2^k]

따라서 점 [eqn: D]의 좌표는 [eqn: (2^k , k)]

[STEP 3] 점 [eqn: E]가 선분 [eqn: CD]를 내분함을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.

점 [eqn: E]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표와 같으므로 [eqn: 4]이고,

점 [eqn: E]가 선분 [eqn: CD]를 [eqn: 1 : 2]로 내분하므로

[eqn: 4= {1 TIMES2 ^{k} +2 TIMES2 ^{k-2}} over {1+2}]

[eqn: = {2 TIMES2 ^{k-1} +2 ^{k-1}} over {3}]

[eqn: = {3 TIMES2 ^{k-1}} over {3} =2 ^{k-1}]

[eqn: k-1=2]

[eqn: k=3]

[STEP 4] 사각형 [eqn: ABDC]의 넓이 [eqn: S]를 구하여 [eqn: 12S]의 값을 구한다.

따라서 [eqn: C(2, 3)], [eqn: D(8, 3)], [eqn: E(4, 3)]이고

[eqn: bar {AB}=3], [eqn: bar{CD}=6 `], [eqn: bar{BE}=1]

사각형 [eqn: ABDC]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES ( bar{AB} + bar{CD} ) TIMES bar{BE} = {1} over {2} TIMES (3+6) TIMES 1= {9} over {2}]

따라서 [eqn: 12S=54]

10. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 함수 [eqn: y=2^x +2]의 그래프를 평행이동한 그래프의 식을 구한다.

함수 [eqn: y=2^x +2]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: y=2^x-m +2] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[STEP 2] 함수 [eqn: y=log_2 8x]의 그래프를 평행이동하고 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 구한다.

함수 [eqn: y=log_2 8x]의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: y=log_2 `8(x-2)] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉡을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: x=log_2 `8(y-2)=3+log_2 `(y-2)]

[eqn: x-3=log_2 `(y-2)]

[eqn: 2^x-3 =y-2]

즉, [eqn: 2^x-3 =y-2] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

[STEP 3] 상수 [eqn: m]의 값을 구한다.

따라서 ㉠과 ㉢이 일치해야 하므로 [eqn: m=3]

11. < 6 >

[해설]

[STEP 1] 세 점 [eqn: A], [eqn: B], C의 좌표를 k에 대한 식으로 나타내고, 무게중심의 좌표를 구한다.

[eqn: A(1, 0)], [eqn: B(k, log_2 `k)], [eqn: C(k, log_{{1} over {2}} `k)]이므로 삼각형 [eqn: ACB]의 무게중심의 좌표는[eqn: LEFT ( {2k+1} over {3} ,0 RIGHT )]

[STEP 2] 무게중심의 [eqn: x]좌표를 비교하여 [eqn: k]의 값을 구한다.

[eqn: {2k+1} over {3} =3]에서 [eqn: k=4]

[STEP 3] 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이를 구한다.

따라서 [eqn: B(4, 2)], [eqn: C(4, -2)]이므로 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times 3=6]

12. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 선분 [eqn: PQ]가 원의 지름임을 이용하여 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 [eqn: x]좌표를 구한다.

[eqn: P(p, log_a `p)], [eqn: Q(q, log_a `q)] [eqn: (p>q)]로 놓으면

선분 [eqn: PQ]의 중점이 원의 중심[eqn: LEFT ( {5} over {4} ,0 RIGHT )]이므로

[eqn: {p+q} over {2} = {5} over {4}]에서 [eqn: p+q={5} over {2}]

[eqn: {log _{a} `p+log _{a} `q} over {2} =0]에서 [eqn: log _{a} `pq=0]

[eqn: pq=a ^{0} =1]

[eqn: p], [eqn: q]를 두 실근으로 갖는 t에 대한 이차방정식은

[eqn: t^2 -{5} over {2} t+1=0], [eqn: 2t^2 -5t+2=0]

[eqn: (2t-1)(t-2)=0]

[eqn: t={1} over {2}] 또는 [eqn: t=2]

즉, [eqn: p=2], [eqn: q={1} over {2}]

[STEP 2] 두 점 사이의 거리를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.

따라서 두 점 [eqn: P(2, log_a `2)], [eqn: Q {;{1} over {2} , -log_a `2}]이고, 선분 [eqn: PQ]의 길이가 원의 지름의 길이 [eqn: {sqrt {13}} over {2}]과 같으므로

[eqn: bar{PQ ^{2}} = LEFT ( 2- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT { log _{a} `2-(-log _{a} `2) RIGHT } ^{2} = LEFT ( {sqrt {13}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {9} over {4} +(log _{a} `4) ^{2} = {13} over {4}]

[eqn: (log _{a} `4) ^{2} =1]

이때 [eqn: a>1]이므로 [eqn: log_a `4=1]에서 [eqn: a=4]

13. < ⓵ >

[해설]

[STEP 1] 두 점 [eqn: A_1], [eqn: B_1]을 지나는 그래프를 보고 좌표를 구한다.

두 곡선 [eqn: y=log_a`x], [eqn: y=log_b `x]와 직선 [eqn: y=1]이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_a `x=1]에서 [eqn: x=a]

[eqn: log_b `x=1]에서 [eqn: x=b]

두 점 [eqn: A_1], [eqn: B_1]의 좌표는 각각 [eqn: (a, 1)], [eqn: (b, 1)]이다.

[STEP 2] 두 점 [eqn: A_2], [eqn: B_2]를 지나는 그래프를 보고 좌표를 구한다.

두 곡선 [eqn: y=log_a`x], [eqn: y=log_b `x]와 직선 [eqn: y=2]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_a `x=2]에서 [eqn: x=a^2]

[eqn: log_b `x=2]에서 [eqn: x=b^2]

두 점 [eqn: A_2], [eqn: B_2]의 좌표는 각각 [eqn: (a^2 , 2)], [eqn: (b^2 , 2)]이다.

[STEP 3] 주어진 조건으로 [eqn: a]와 [eqn: b]사이의 관계식을 구한다.

[eqn: bar{A _{1} B _{1}} =b-a=1] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

선분 [eqn: A_1 B_1]의 중점의 좌표가 [eqn: (2, 1)]이므로

[eqn: { a+b} over { 2}=2]

즉, [eqn: a+b=4] [eqn: CDOTS CDOTS]  ㉡

[STEP 4] [eqn: bar{A_2 B_2}]의 값을 구한다.

따라서 ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: bar{A_2 B_2} =b^2 -a^2 =(b-a)(b+a) =1 times 4=4]

14. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 지수함수와 로그함수의 그래프를 그린다.

함수 [eqn: y=e ^{-x} - {n-1} over {e}]에서

[eqn: n=1]일 때 [eqn: y=e^-x],

[eqn: n=2]일 때 [eqn: y=e ^{-x} - {1} over {e}]

이므로 그래프는 그림과 같다.

또, [eqn: y=|ln`x|]의 그래프는 [eqn: y=ln`x]의 그래프 중 [eqn: x]축 아래 부분을 대칭이동시킨 것으로 그림과 같다.

[STEP 2] [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 구한다.

(ⅰ) n =1일 때,

두 함수 [eqn: y=e^-x] 과 [eqn: y=|ln`x|]의 그래프의 교점의 개수가 2이므로 [eqn: f(1)=2]

(ⅱ) [eqn: n =2]일 때,

두 함수 [eqn: y=e ^{-x} - {1} over {e}] 과 [eqn: y=|ln`x|]의 그래프의 교점이 [eqn: (1, 0)] 뿐이므로 [eqn: f(2)=1]

[STEP 3] [eqn: f(1)+ f(2)`]의 값을 구한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f(1)+ f(2)=2+1=3]

15. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 좌표를 구한다.

두 함수 [eqn: y=log_2 `x], [eqn: y=log_2`(x-2)]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점 이 각각 [eqn: A], [eqn: B]이므로 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 좌표를 구하면 [eqn: A(1, 0)], [eqn: B(3, 0)]

[STEP 2] 두 점 [eqn: P]의 좌표를 구한다.

두 함수[eqn: y=log_2 `x], [eqn: y=log_2`(x-2)]의 그래프와 직선 [eqn: x=k]가 만나는 점이 각각 [eqn: P], [eqn: Q]이므로 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 좌표를 구하면 [eqn: P(k, log_2 `k)], [eqn: Q(k, log_2 `(k-2))]

[STEP 3] 점 [eqn: Q]가 선분 [eqn: PR]의 중점임을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.

이때 [eqn: R(k, 0)]이고 점 [eqn: Q]가 선분 [eqn: PR]의 중점이므로

[eqn: {log _{2} `k} over {2} =log _{2} `(k-2)]

[eqn: log _{2} `k=2log _{2} `(k-2)]

[eqn: log _{2} `k=log _{2} `(k-2) ^{2}]

[eqn: k=(k-2) ^{2}],[eqn: k ^{2} -5k+4=0]

[eqn: (k-1)(k-4)=0]

그런데 [eqn: k>3]이므로 [eqn: k=4]

[STEP 4] 사각형 [eqn: ABQP]의 넓이를 구한다.

따라서 구하는 사각형 [eqn: ABQP]의 넓이는 삼각형 [eqn: ARP]의 넓이에서 삼각형 [eqn: BRQ]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {1} over {2} times (4-1) times log_2 `4-{1} over {2} times (4-3) times log_2 `2=3-{1} over {2} ={5} over {2}]

16. < ⓸ >

[해설]
[STEP 1] 함수 [eqn: y=log_3`x]의 그래프를 평행이동한 그래프의 식을 구한다.
함수 [eqn: y=log_3`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은
[eqn: y=log_3 (x-a)+2] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠
이므로 [eqn: f(x)=log_3 (x-a)+2]
[STEP 2] 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 구한다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 구하기 위해 ㉠을 [eqn: x]에 대하여 정리하면 [eqn: log_3 (x-a)=y-2], [eqn: x-a=3^y-2] ,
[eqn: x=3 ^{y-2} +a]
[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면
[eqn: y=3^x-2 +a]
따라서 [eqn: f ^-1 (x) =3^x-2 +a =3^x-2 +4] 이므로 [eqn: a=4]

17. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] 두 곡선  [eqn: y=2^x]과 [eqn: y=log_2`x]의 관계를 파악한다.

[eqn: y=2^x]에서 [eqn: x=log_2 `y]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 바꾸면 [eqn: y=log_2 `x]

따라서 두 곡선 [eqn: y=2^x]과 [eqn: y=log_2`x]는 역함수 관계이다.

[STEP 2] 점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표 [eqn: a]를 이용하여 세 점 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 좌표를 구한다.

[eqn: A(a, 2^a )], [eqn: B(2^a , a)]이고 [eqn: C(log_2 `a, a)]이다.

[STEP 3] [eqn: bar {AB}=12sqrt { 2}]와 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이를 이용하여 [eqn: a]에 대한 식을 구한다.

[eqn: bar {AB}=12sqrt { 2}]에서

[eqn: 2(2^a -a)^2 =288]

[eqn: 2^a -a=12] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

점 [eqn: A]에서 선분 [eqn: BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: bar{AH}=2^a -a=12]

삼각형 [eqn: ABC]의 넓이가 [eqn: 84]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES bar{BC} TIMES 12=84]

[eqn: bar {BC}=14]

즉, [eqn: 2^a -log_2 `a=14][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[STEP 4] [eqn: a-log_2 `a]의 값을 구한다.

따라서 ㉡-㉠을 하면

[eqn: a-log_2 `a=2]

18. < ⓸ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: A], [eqn: B]의 좌표를 구하여 두 삼각형 [eqn: BCD], [eqn: ACB]의 넓이를 [eqn: p]에 대한 식으로 나타낸다.

[eqn: A(p, log_2 `p)], [eqn: B(2p, log_2 `2p)]이므로

[eqn: (삼각형BCD의넓이)= {1} over {2} TIMES (2p-p) TIMES log _{2} `2p= {p} over {2} TIMES log _{2} `2p]

[eqn: (삼각형ACB의넓이)= {1} over {2} TIMES (2p-p) TIMES log _{2} `p= {p} over {2} TIMES log _{2} `p]

[STEP 2] 두 삼각형의 넓이를 차를 이용하여 [eqn: p]의 값을 구한다.

두 삼각형의 넓이의 차가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {p} over {2} log _{2} `2p- {p} over {2} log _{2} `p=8]

[eqn: {p} over {2} (log _{2} `2p-log _{2} `p)=8], [eqn: {p} over {2} log _{2} `2=8]

따라서 [eqn: p=16]

[다른 풀이]

[STEP 1] 두 삼각형 BCD와 ACB의 공통인 높이를 구한다.

선분 CD를 삼각형 BCD와 삼각형 ACB의 높이라 하면 그 길이는 [eqn: 2p-p=p]로 같으므로

[STEP 2] 두 삼각형의 넓이의 차에 대한 식을 세운다.

(삼각형 BCD와 삼각형 ACB의 넓이의 차)

[eqn: = {p} over {2} TIMES(선분`BD와`선분`AC의`길이의`차)=8]

[STEP 3] [eqn: p]의 값을 구한다.

삼각형 BCD의 밑변인 선분 BD의 길이는 [eqn: log_2 2p]이고, 삼각형 ACB의 밑변인 선분 AC의 길이는 [eqn: log_2 p]이다.

그러므로 [eqn: log_2 2p- log_2 p=log_2 2=1]

따라서 [eqn: p over2 times1=8]에서 [eqn: p=16]

19. < ⓵ >

[해설]

[STEP 1] 점 [eqn: A]의 좌표를 구한다.

곡선 [eqn: y=a^x]이 y축과 만나는 점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: (0, 1)]이다.

[STEP 2] 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 [eqn: y]좌표가 같음을 이용하여 점 [eqn: B]의 좌표를 구한다.

점 [eqn: B]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: A]의 [eqn: y]좌표와 같으므로 [eqn: 1]이다.

[eqn: log _{2} ` LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) =1]

[eqn: x+ {1} over {2} =2], 즉 [eqn: x={3} over {2}]

따라서 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,1 RIGHT )]이다.

[STEP 3] 두 점 [eqn: B], [eqn: C]의 [eqn: x`]좌표가 같음을 이용하여 점 [eqn: C]의 좌표를 구한다.

점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: B]의 [eqn: x`]좌표와 같으므로 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,a ^{{3} over {2}} RIGHT )]이다.

[STEP 4] 삼각형의 넓이를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.

따라서 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES bar{AB} TIMES bar{BC} {1} over {2} TIMES {3} over {2} TIMES (a ^{{3} over {2}} -1)= {21} over {4}]

그러므로 [eqn: a^{{3} over {2} }=8]에서 [eqn: a=4]

20. < ⓹ >

[해설]

[STEP 1] 곡선 위의 두 점의 좌표를 각각 대입하여 [eqn: a]와 [eqn: p] 사이의 관계식을 구한다.

두 점 [eqn: (p, q)], [eqn: (2a-p, a-q)]가 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점이므로

[eqn: f(p)=q], [eqn: f(2a-p)=a-q]에서

[eqn: {3 ^{2a-p}} over {3 _{}^{2a-p} +3} =a-q=a- box{{3 ^{p}} over {3 ^{p} +3}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[STEP 2] ㉠에 [eqn: p=0], [eqn: p=1]을 각각 대입한다.

㉠은 실수 [eqn: p]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: p=0]일 때, [eqn: {3 ^{2a}} over {3 ^{2a} +3} =a- {1} over {4}]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이고,

[eqn: p=1]일 때, [eqn: {3 ^{2a}} over {3 ^{2a} +box9} =a- {1} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

[STEP 3] ㉡, ㉢에서 [eqn: a]의 값을 소거하여 식을 간단히 한다.

㉡, ㉢에서 ㉡-㉢을 정리하면

[eqn: {6 TIMES 3 ^{2a}} over {(3 ^{2a} +3)(3 ^{2a} +9)} = {1} over {4}]

[eqn: (3 ^{2a} +3)(3 ^{2a} +box{9})=24 TIMES3 ^{2a}]

[STEP 4] [eqn: 3^2a =X]로 치환하여 [eqn: X]에 대한 이차방정식을 푼다.

[eqn: 3^2a =X(X>0)]이라 하면

[eqn: (X+3)(X+9)=24X]

[eqn: X^2 -12X+27=0]

[eqn: (X-3)(X-9)=0]

[eqn: X=3] 또는 [eqn: X=9]

[eqn: 3^2a =3] 또는 [eqn: 3^2a =9]

[eqn: 2a=1] 또는 [eqn: 2a=2]

[eqn: a={1} over {2}] 또는 [eqn: a=box1]

이다. 이때 ㉢에서 좌변이 양수이므로 [eqn: a>{1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: a=box1]이다.

[STEP 5] [eqn: (m-n) times g(2)]의 값을 구한다.

따라서 [eqn: g(p)= {3 ^{p}} over {3 ^{p} +3}], [eqn: m=9], [eqn: n=1]이므로

[eqn: (m-n) TIMES g(2)=(9-1) TIMES {3 ^{2}} over {3 ^{2} +3} =6]

21. < 15 >

[해설]

[STEP 1] 일차함수 [eqn: f(x)]의 식을 세운다.

일차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 기울기를 [eqn: a]라 하면

[eqn: a>0]이고 [eqn: f(-5)=0]이므로

[eqn: f(x)=a(x+5) (a>0)] 로 놓을 수 있다.

[STEP 2] 부등식을 풀어 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 기울기를 구한다.

[eqn: 2 ^{f(x)} LEQ 8]에서

[eqn: 2^f(x) LEQ 2^3]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: f(x) LEQ 3]

즉, [eqn: a(x+5) LEQ 3]이고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: x+5 LEQ {3} over {a}]

[eqn: x LEQ {3} over {a} -5`]

이때 주어진 부등식의 해가 [eqn: x LEQ -4]이므로

[eqn: {3} over {a} -5=-4]에서

[eqn: {3} over {a} =1], [eqn: a=3]

[STEP 3] [eqn: f(0)]의 값을 구한다.

따라서 [eqn: f(x)=3(x+5)]이므로

[eqn: f(0)=15]

22. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: 1-2 ^{- {2} over {a}}]의 값의 범위를 구한다.

[eqn: a>0]에서 [eqn: 0<2 ^{- {2} over {a}} <1]

즉, [eqn: 1-2^{-{2} over{a}}>0] 이므로

[STEP 2] [eqn: {Q LEFT ( 4 RIGHT )} over {Q LEFT ( 2 RIGHT )}]를 [eqn: a]에 관한 식으로 나타낸다.

[eqn: {Q LEFT ( 4 RIGHT )} over {Q LEFT ( 2 RIGHT )} = {Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {4} over {a}} RIGHT )} over {Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {2} over {a}} RIGHT )} = {1- LEFT ( 2 ^{- {2} over {a}} RIGHT ) ^{2}} over {1-2 ^{- {2} over {a}}} = {LEFT ( 1-2 ^{- {2} over {a}} RIGHT ) LEFT ( 1+2 ^{- {2} over {a}} RIGHT )} over {1-2 ^{- {2} over {a}}} =1+2 ^{- {2} over {a}}]

[STEP 3] 주어진 조건을 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.

[eqn: {Q LEFT ( 4 RIGHT )} over {Q LEFT ( 2 RIGHT )} = {3} over {2}]에서

[eqn: 1+2^{-{2} over{a}} ={3} over {2}]

[eqn: 2^{-{2} over{a}} ={1} over {2} =2^-1]

[eqn: {-{2} over{a}} =-1]

따라서 [eqn: a=2]

23. < [eqn: 10^{{3} over {2} }] >

[해설]

[STEP 1] 그래프 위의 두 점을 이용하여 [eqn: k], [eqn: n]의 값을 각각 구한다.

신호 전송 범위 [eqn: d]와 수신 신호 강도 [eqn: R] 사이의 관계를 나타낸 그래프에서

[eqn: d=1]일 때, [eqn: R=-35]이므로

[eqn: -35=k-10 log`1^n]

즉, [eqn: k=-35]

[eqn: d=10]일 때, [eqn: R=-55]이므로

[eqn: -55=-35-10 log`10^n]

[eqn: 10n=-35+55=20]

즉, [eqn: n=2]

[STEP 2] [eqn: R=-65]일 때의 [eqn: d]의 값을 구한다.

그러므로 [eqn: R=-35-10 log`d^2] 에서

수신 신호 강도가 [eqn: -65]일 때

[eqn: -65=-35-10 log`d^2]

[eqn: 20 log`d=-35+65=30]

[eqn: log`d={3} over {2}]

즉, [eqn: d=10 ^{{3} over {2}}]

따라서 신호 전송 범위는 [eqn: 10^{{3} over {2} }]

24. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] 초기자산 [eqn: W_0``]을 투자하고 [eqn: 15]년 지난 시점에서의 식을 정리한다.

[eqn: 3w _{0} = {w _{0}} over {2} 10 ^{15a} (1+10 ^{15a} )]에서

[eqn: (10^15a )^2 +10^15a -6=0]

[eqn: (10^15a +3)(10^15a -2)=0]

따라서

[eqn: 10^15a =2]

[STEP 2] 초기자산 [eqn: W_0``]을 투자하고 [eqn: 30]년이 지난 시점에서의 식을 정리하여 [eqn: k]의 값을 구한다.

[eqn: kw _{0} = {w _{0}} over {2} 10 ^{30a} (1+10 ^{30a} )]에서

[eqn: 2k=10^30a (1+10^30a )]

따라서

[eqn: k= {1} over {2} TIMES 10 ^{30a} (1+10 ^{30a} )= {1} over {2} TIMES (10 ^{15a} ) ^{2} LEFT { 1+(10 ^{15a} ) ^{2} RIGHT }# ```= {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES (1+2 ^{2} )=10]