1.< ⓹ >

[해설]

거듭제곱근의 정의를 이용하여 [eqn: m], [eqn: n]이 될 수 있는 값을 구한다.

[eqn: root {3} of {2m} =(2m) ^{{1} over {3}}]이 자연수이므로

[eqn: m=2^2 times k^3] ([eqn: k]는 자연수)

꼴이다.

[eqn: 135]이하의 자연수 중 [eqn: m]이 될 수 있는 값은 [eqn: 2^2 times 1^3] , [eqn: 2^2 times 2^3], [eqn: 2^2 times 3^3]이다.

또, [eqn: sqrt {n ^{3}} =n ^{{3} over {2}}]이 자연수이므로

[eqn: n=l^2] ([eqn: l]은 자연수)

꼴이다.

9 이하의 자연수 중 [eqn: n]이 될 수 있는 값은 [eqn: 1^2], [eqn: 2^2], [eqn: 3^2]이다. [eqn: m+n]의 최댓값을 구한다. 따라서 [eqn: m+n]의 최댓값은

[eqn: 2^2 times 3^3 +3^2 =108+9=117]

2. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 [eqn: f(n)]을 구한다.

자연수 [eqn: n]의 값과 상관없이 [eqn: n(n-4)]의 세제곱근 중 실수인 것의 개수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(n)=1]

[STEP 2] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 [eqn: g(n)]을 구한다.

[eqn: n(n-4)]의 네제곱근 중 실수인 것의 개수는

(ⅰ) [eqn: n(n-4)>0]일 때, [eqn: g(n)=2]

(ⅱ) [eqn: n(n-4)=0]일 때, [eqn: g(n)=1]

(ⅲ) [eqn: n(n-4)<0]일 때, [eqn: g(n)=0]

[STEP 3] 부등식을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구한다.

[eqn: f(n)>g(n)]에서 [eqn: g(n)=0]이어야 하므로

[eqn: n(n-4)<0]

즉, [eqn: 0<n<4]이므로 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3=6]

3. < ⓸ >

[해설]

[STEP 1] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} - root {3} of {81x} +a=0]의 두 근이 [eqn: root {3} of {3}] 과 [eqn: b]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: root {3} of {3} +b= root {3} of {81}], [eqn: root {3} of {3} b=a]

그러므로

[eqn: b= root {3} of {81} - root {3} of {3} = root {3} of {3 ^{4}} - root {3} of {3} =2 root {3} of {3}]

[eqn: a= root {3} of {3} b= root {3} of {3} `times`2 root {3} of {3} =2 root {3} of {3 ^{2}}]

[STEP 2] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 [eqn: ab]의 값을 구한다.

따라서

[eqn: ab=2 ^{3} sqrt {3 ^{2}} TIMES 2 ^{3} sqrt {3} "="4 ^{3} sqrt {3 ^{3}} =4 TIMES 3=12]

4. < ⓹ >

[해설]

[STEP 1] 함수의 그래프를 보고 거듭제곱근의 정의를 이용하여 [eqn: b], [eqn: c]의 값을

구한다.

점 [eqn: P_2]의 [eqn: y]좌표는 정사각형 [eqn: OQ_1 AB]의 한 변의 길이가 [eqn: a]이므로 [eqn: b= root {3} of {a}]

점 [eqn: P_3]의 [eqn: y]좌표는 정사각형 [eqn: OQ_2 CD]는 한 변의 길이가 [eqn: b]이므로 [eqn: c= sqrt {b} = sqrt {root {3} of {a}} = root {6} of {a}]

[STEP 2] 지수법칙을 이용하여 a의 값을 구한다.

[eqn: bc= root {3} of {a} root {6} of {a} =a ^{{1} over {3}} a ^{{1} over {6}} =a ^{{1} over {3} + {1} over {6}} =a ^{{1} over {2}} =2] 에서 [eqn: a=2^2 =4]

[STEP 3] 점 [eqn: P_1]이 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점임을 이용하여 점 [eqn: P_1]의 [eqn: y]좌표를 구한다.

따라서 점 [eqn: P_1]의 [eqn: y]좌표의 값은 [eqn: f(a)=4^2 =16]

5. < ⓹ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: m=4]를 대입하여 ㄱ의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. [eqn: A_4]는 [eqn: 2 ^{a} = {4} over {b}]에서

[eqn: 4=2^a times b]인 자연수의 순서쌍 [eqn: (a, b)]를 원소로 갖는 집합이므로

[eqn: 4=2^1 times 2], [eqn: 4=2^2 times 1]에서

[eqn: A_4 = left{ (1, 2), (2, 1) right}](참)

[STEP 2] [eqn: m=2^k]을 대입하여 ㄴ의 참, 거짓을 판별한다.

ㄴ. [eqn: m=2^k]일 때, [eqn: A_m =A_{2^k}]

[eqn: A_m]은 [eqn: 2 ^{a} = {2 ^{k}} over {b}]에서

[eqn: 2 ^{k} =2 ^{a} TIMES b]인 자연수의 순서쌍 [eqn: (a, b)]를 원소로 갖는 집합이므로

[eqn: A _{m} = LEFT { (1,2 ^{k-1} ),(2,2 ^{k-2} ),(3,2 ^{k-3} ), CDOTS ,(k,2 ^{0} ) RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: n(A_m )=k](참)

[STEP 3] [eqn: n(A_m )=1]이 되기 위한 조건을 따져서 ㄷ의 참, 거짓을 판별한다.

ㄷ. [eqn: A_m]은 [eqn: 2 ^{a} = {m} over {b}] 에서

[eqn: m=2^a times b]인 자연수의 순서쌍 [eqn: (a, b)]를 원소로 갖는 집합이다.

[eqn: b]가 짝수, 즉 [eqn: b=2b']([eqn: b']은 자연수)라 하면

[eqn: m=2 ^{a} TIMES b=2 ^{a} TIMES 2b prime =2 ^{a+1} b prime]

이므로 [eqn: (a+1, b')]도 원소가 되어 [eqn: n(A _{m} ) GEQ 2]가 되므로 [eqn: n(A_m )=1]이 되기 위해서는 [eqn: b]는 홀수이어야 한다.

[eqn: b= {m} over {2 ^{p}}]이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: p]가 오직 하나만 존재하므로 [eqn: p=1]이어야 한다. ([eqn: p GEQ 2]이면 [eqn: n(A _{m} )!= 1]이므로)

따라서 [eqn: m=2^1 times (홀수)]이어야 한다.

두 자리 자연수 중에서 [eqn: 2^1 times ( 홀수)]인 자연수는[eqn: 2 TIMES 5,`2 TIMES 7,`2 TIMES 9,` CDOTS ,2 TIMES 49] 이다.

따라서 [eqn: n(A_m )=1]이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: CDOTS] , [eqn: 49]의 [eqn: 23]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

6. < [eqn: 33] >

[해설]

[STEP 1] 거듭제곱근의 정의와 [eqn: (a ^{m} ) ^{n} =a ^{mn}]임을 이용하여 지수의 조건을 구한다.

[eqn: root {3} of {4 ^{n}} =4 ^{{n} over {3}} =2 ^{{2n} over {3}}]이 정수가 되기 위해서는 [eqn: {2n} over {3}]이 자연수이어야 한다.

[STEP 2] 조건을 만족시키는 [eqn: n]의 개수를 구한다.

따라서 [eqn: n]은 3의 배수이다.

[eqn: n]은 100 이하의 자연수이고, 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수의 개수는 33이다.

따라서 구하는 [eqn: n]의 개수는 33이다.

7. < ⓸ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: 2^a =3]을 [eqn: 3 ^{b} = sqrt {2}]에 대입한다.

[eqn: 2^a =3]이므로 이 식을 [eqn: 3^b =sqrt { 2}]에 대입하면

[eqn: (2^a )^b =sqrt { 2}]

[STEP 2] [eqn: (a ^{m} ) ^{n} =a ^{mn}] 임을 이용하여 [eqn: ab]의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{a b} =2 ^{{1} over {2}}]

따라서 [eqn: ab= {1} over {2}]

[다른 풀이] 로그를 이용한 풀이

[STEP 1] 로그의 정의를 이용하여 a, b를 나타낸다.

로그의 정의에 의하여

[eqn: a=log_2 3], [eqn: b=log_3 root2]

[STEP 2] ab의 값을 구한다.

따라서

[eqn: ab=log_2 3 times log_3 root2]

[eqn: =log3 overlog2 times {log{root2}} over log3 = {log{root2}} over log2]

[eqn: =log_2 root2]

[eqn: =log_2 2^{1over2}]

[eqn: ={rm 1} over {2}]

8. < 252 >

[해설]

[STEP 1] [eqn: a], [eqn: b]의 조건을 파악한다.

[eqn: sqrt { a}+root {3} of {b}]가 자연수가 되기 위해서는 [eqn: sqrt { a}]도 자연수, [eqn: root {3} of {b}]도 자연수이어야 한다.

즉, [eqn: a]는 어떤 자연수의 제곱 꼴이어야 하고, [eqn: b]는 세제곱 꼴이어야 한다.

[STEP 2] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 [eqn: a+b]의 값을 구한다.

[eqn: 5^2 <30 LEQ a LEQ 40<7^2] 이므로

[eqn: a=6^2]

또, [eqn: 5^3 <150=5^2 times 6<6^3]이고

[eqn: 6^3 <294=7^2 times 6<7^3]

이므로 [eqn: 5^3 <b<7^3]에서

[eqn: 5<root {3} of {b} <7]

따라서 [eqn: root {3} of {b} =6], [eqn: b=6^3 =216]

따라서 [eqn: a+b=36+216=252]

9. < 4 >

[해설]

[STEP 1] 로그의 정의를 이용하여 [eqn: b]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타낸다.

[eqn: log_a `b=3]에서 [eqn: b=a^3]

[STEP 2] 로그의 밑의 변환 공식과 상용로그를 이용한다. 따라서

[eqn: log` {b} over {a} TIMES `log _{a} `100=log` {a ^{3}} over {a} TIMES `log` {100} over {log`a} =log`a ^{2} TIMES {2} over {log`a}# ```````````````````````````````````````````````````````=2`log`a TIMES {2} over {log`a} =4]

10. < 9 >

[해설]

[STEP 1] 로그의 밑의 조건을 확인한다.

[eqn: x]가 밑이므로 [eqn: x>0], [eqn: x!=1] …… ㉠

[STEP 2] 로그의 진수 조건을 이용하여 이차부등식을 푼다.

로그의 진수 조건에 의하여 [eqn: -x^2 +4x+5>0]이므로

[eqn: x^2 -4x-5<0], [eqn: (x+1)(x-5)<0]

[eqn: -1<x<5] …… ㉡

[STEP 3] 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구한다.

㉠, ㉡에서 [eqn: 0<x<1] 또는 [eqn: 1<x<5]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 구하는 합은

[eqn: 2+3+4=9]

11. < 1 >

[해설]

[STEP 1] 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구한다.

두 점 [eqn: (1, log_2 `5)], [eqn: (2, log_2 `10)]을 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {log _{2} `10-log _{2} `5} over {2-1}]

[STEP 2] [eqn: log _{a} M-log _{a} N=log _{a} {M} over {N}]임을 이용한다.

따라서

[eqn: {log _{2} `10-log _{2} `5} over {2-1} = {log _{2} {10} over {5}} over {1} =log _{2} `2=1]

12. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] 로그의 밑의 변환 공식과 성질을 이용한다.

[eqn: {1} over {log _{4} `18} + {2} over {log _{9} `18} =log _{18} `4+2`log _{18} `9]

[eqn: =log _{18} `2 ^{2} +2`log _{18} `3 ^{2}]

[eqn: =log _{18} `2 ^{2} +log _{18} `(3 ^{2} ) ^{2}]

[eqn: =log _{18} `2 ^{2} +log _{18} `3 ^{4}]

[eqn: =log _{18} `(2 ^{2} TIMES3 ^{4} )=log _{18} `(2 TIMES3 ^{2} ) ^{2} =log _{18} `18 ^{2} =2`log _{18} `18=2]

13. < ② >

[해설]

[STEP 1]
[eqn: log_a `M^k =k`log_a `M], [eqn: log_a `MN=log_a `M+log_a `N]임을 이용한다.

[eqn: log` sqrt {149} = {1} over {2} log`419= {1} over {2} `log`(4.19 TIMES 100)# ```````````````````````````````= {1} over {2} (log`4.19+log`100)= {1} over {2} (log`4.19+2)]이고

[STEP 2] 상용로그표를 이용한다.

상용로그표에서 [eqn: log`4.19=0.6222] 이므로
[eqn: log`sqrt {419 }={1} over {2 }(0.6222+2) =1.3111]

14. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: log _{a ^{m}} b ^{n} = {n} over {m}log_a b] ([eqn: m], [eqn: n]은 실수, [eqn: m!=0`])임을 이용하여 주어진 식의 양변을 나타낸다.

[eqn: log_sqrt{3}`a=2`log_3 `a=log_3 `a^2]

[eqn: log_9 `ab={1} over { 2}`log_3 `ab=log_3 `(ab)^{{1} over { 2}} =log_3 `sqrt{ab}]

[STEP 2] 양변을 비교하여 [eqn: b]를 [eqn: a]로 나타낸다.

[eqn: log_3 `a^2 =log_3 `sqrt { ab}]에서

[eqn: a^2 =sqrt { ab}]

양변을 제곱하면

[eqn: a^4 =ab`]

[eqn: a(a^3 -b)=0]에서 [eqn: a!=0]이므로

[eqn: b=a^3]

[STEP 3] [eqn: log_a `M^k =k`log_a `M]임을 이용하여 [eqn: log_a `b]의 값을 구한다.

따라서 [eqn: log_a `b=log_a a^3 =3 log_a `a =3]

15. < 7 >

[해설]

[STEP 1] [eqn: A(x)]의 의미를 파악해서 [eqn: A(4)], [eqn: A(5)], [eqn: CDOTS] , [eqn: A(8)] 을 구한다.

[eqn: log_x `n]이 자연수가 되려면 [eqn: n]은 [eqn: x]의 거듭제곱이어야 하므로 [eqn: A(x)]의 값은 [eqn: 1]부터 [eqn: 300] 사이의 자연수 중 [eqn: x]의 거듭제곱으로 나타내어지는 수의 개수이다.

[eqn: 2 ^{8} <300<2 ^{9}]이므로

[eqn: A(2)=8]

이와 같은 방법으로 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: A(x)]의 값을 구하면

[eqn: 3^5 <300<3^6] 이므로 [eqn: A(3)=5]

[eqn: 4^4 <300<4^5] 이므로 [eqn: A(4)=4]

[eqn: 5^3 <300<5^4] 이므로 [eqn: A(5)=3]

[eqn: 6^3 <300<6^4] 이므로 [eqn: A(6)=3]

[eqn: 7^2 <300<7^3] 이므로 [eqn: A(7)=2]

[eqn: 8^2 <300<8^3] 이므로 [eqn: A(8)=2]

[STEP 2] 함수 [eqn: f]가 일대일대응이 될 조건을 이용하여 집합 [eqn: X]의 개수를 구한다.

전체집합 [eqn: P]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X]에 대하여 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: X]로의 대응 [eqn: f]가 일대일대응이 되려면 집합 [eqn: X]는 집합 [eqn: left{ 2, 3, 4, 5, 8 right}]의 부분집합이어야 한다.

함수 [eqn: f]가 일대일대응이므로 임의의 [eqn: a IN `X]에 대하여 [eqn: f(a) IN X], [eqn: f( f(a))=a]를 만족시키는 집합 X는 [eqn: left{4 right}], [eqn: left{2, 8 right}], [eqn: left{3, 5 right}], [eqn: left{2, 4, 8 right}], [eqn: left{3, 4, 5 right}], [eqn: left{2, 3, 5, 8 right}], [eqn: left{2, 3, 4, 5, 8 right}]이다.

따라서 함수 [eqn: f : X rarrow X]가 일대일대응이 되도록 하는 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 7]이다.

16. < 78 >

[해설]

[STEP 1] 로그의 진수 조건과 두 수가 같음을 이용하여 관계식을 세운다.

로그의 진수 조건에서

[eqn: na-a^2 >0], [eqn: nb-b^2 >0]이므로

[eqn: 0<a<n], [eqn: 0<b<n]

또 [eqn: log_2 (na-a^2 )=log_2 (nb-b^2 )]에서

[eqn: na-a^2 =nb-b^2]

[eqn: b^2 -a^2 -nb+na=0]

[eqn: (b-a)(b+a)-n(b-a)=0]

[eqn: (b-a)(b+a-n)=0]

[eqn: b-a>0]이므로

[eqn: b+a=n]

[STEP 2] [eqn: log_2 (na-a^2 )]과 [eqn: log_2 (nb-b^2 )]이 같은 자연수임을 이용하여 [eqn: ab=2^k `(k=1, 2, 3, CDOTS )]의 꼴이어야 함을 이해한다.

[eqn: log_2 (na-a^2 )])이 자연수이고

[eqn: na-a^2 =(b+a)a-a^2 =ab]이므로

[eqn: ab=2 ^{k} `(k=1,2,3, CDOTS )]의 꼴이어야 한다.

[STEP 3] a, b의 값의 범위에서 직선 [eqn: b+a=n]과 곡선 [eqn: ab=2^k]의 교점이 존재해야 함을 이용하여 k에 대한 조건을 구한다.

한편, [eqn: 0<b-a LEQ {n} over {2}]에서

[eqn: 0<(n-a)-a LEQ {n} over {2}], [eqn: 0<b-(n-b) LEQ {n} over {2}]

따라서

[eqn: {n} over {4} LEQ a<{n} over {2}], [eqn: {n} over {2}<b LEQ {3n} over {4}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

즉, 그림과 같이 직선 [eqn: b+a=n]과 곡선 [eqn: ab=2^k]이 ㉠의 범위에서 만나는 점이 존재해야 한다.

[eqn: {2^k} over {n} GEQ {3n} over {4}], [eqn: {2^k} over {n} < {n} over {2}]이 동시에 성립해야 하므로

[eqn: {3n^2} over {16} LEQ 2^k < {n^2} over {4}]

[eqn: 3n ^{2} LEQ 2 ^{k+4} <4n ^{2} `(k=1,2,3, CDOTS )]

[STEP 4] [eqn: k]에 대한 부등식에 [eqn: k]대신에 [eqn: 1,`2,`3,` CDOTS] 을 차례로 대입하여 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하여 그 합을 계산한다.

[eqn: 3n^2 LEQ 2^k+4 <4n^2] 에 [eqn: k] 대신에 [eqn: 1,`2,`3,` CDOTS]을 차례로 대입하면

[eqn: k=1]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 32<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 3]

[eqn: k=2]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 64<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

[eqn: k=3]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 128<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 6]

[eqn: k=4]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 256<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9]

[eqn: k=5]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 512<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 12], [eqn: 13]

[eqn: k=6]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 1024<4n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 17], [eqn: 18]

[eqn: k=7]일 때, [eqn: 3n^2 LEQ 2048< 4n^2]을 만족시키는 [eqn: 20] 이하의 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: 20] 이하의 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 17], [eqn: 18]이고, 그 합은

[eqn: 3+6+9+12+13+17+18=78]

17. < 16 >

[해설]

[STEP 1] 주어진 등식을 정리하여 [eqn: log_a `b], [eqn: log_b` a]의 값을 구한다.

[eqn: {log _{a} b} over {2a} = {3} over {4}]이므로 [eqn: log _{a} `b= {3a} over {2}]

[eqn: {18log _{b} a} over {b} = {3} over {4}]이므로 [eqn: log _{b} a= {b} over {24}]

[STEP 2] [eqn: log _{a} `b= {1} over {log _{b} `a}]임을 이용하여 [eqn: ab]의 값을 구한다.

[eqn: log _{a} `b TIMES log _{b} `a= {3a} over {2} TIMES {b} over {24} =1]

[eqn: {ab} over {16} =1]

따라서 [eqn: ab=16]

18. < 25 >

[해설]

[STEP 1] 상용로그의 성질을 이용한다.

[eqn: 4^m]  이 [eqn: 8]자리의 정수이므로 [eqn: 7 LEQ log`4^m <8]

[STEP 2] [eqn: log_a `M^k =k`log_a `M]임을 이용하여 [eqn: m]의 값의 범위를 구한다.

[eqn: 7 LEQ m`log`4<8]

[eqn: {7} over {log`4} LEQ m< {8} over {log`4}]

[eqn: {7} over {2log`2} LEQ m< {8} over {2log`2}]

[eqn: {7} over {0.602} LEQ m< {4} over {0.301}]

[eqn: 11.6××× LEQ m<13.2×××]

[STEP 3] 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 구한다.

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: m]의 값은 [eqn: 12], [eqn: 13]이므로 [eqn: 12+13=25]

19. < 30 >

[해설]

[STEP 1] 로그의 진수 조건을 확인한다.

[eqn: f(x)=-x^2 +ax+4]라 하면

로그의 진수 조건에 의하여

[eqn: f(x)>0]

[STEP 2] [eqn: log_2 `(-x^2 +ax+4)]의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6]인 조건을 찾는다.

[eqn: f(x)=`-x ^{2} +ax+4=`- LEFT ( x ^{2} -ax+ {a ^{2}} over {4} - {a ^{2}} over {4} RIGHT ) +4# ````````````````=`- LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} + {a ^{2}} over {4} +4]

[eqn: log_2 `(-x^2 +ax+4)]의 값이 자연수가 되는 실수  [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래 그림과 같이 [eqn: y=2^1], [eqn: y=2^2], [eqn: y=2^3] 과 각각 [eqn: 2]개의 점에서 만나고 [eqn: y=2^n][eqn: (n GEQ 4)]와는 만나지 않는다.

[STEP 3] 부등식을 풀어 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 곱을 구한다.

즉, [eqn: 2 ^{3} < {a ^{2}} over {4} +4<2 ^{4}]

[eqn: 4 <{ a ^{2}} over {4} <12]

[eqn: 16<a^2 <48]

이고 [eqn: a]가 자연수이므로 만족시키는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 5 times 6=30]

20. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 로그의 정의와 성질을 이용하여 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 식을 구한다.

[eqn: 2^x =24]이므로

[eqn: x =log_2 `24=log_2 `(2^3 times 3) =log_2 `2^3 +log_2 `3 =3+log_2 `3]

따라서 [eqn: x-3=log_2 `3]

[eqn: 3^y =24]이므로

[eqn: y =log_3 `24=log_3 `(3 times 8) =log_3 `3+log_3 `8 =1+log_3 `8]

따라서 [eqn: y-1=log_3 `8]

[STEP 2] [eqn: log _{a} `b= {log _{c`} b`} over {log _{c} a}]([eqn: c>0, c!=1])임을 이용하여 [eqn: (x-3)(y-1)]의 값을 구한다.

따라서

[eqn: (x-3)(y-1)=log _{2} `3 TIMESlog _{3} `8]

[eqn: =log _{2} `3 TIMES {log _{2} `8} over {log _{2} `3}]

[eqn: =log _{2} `8=log _{2} `2 ^{3} =3]

20. < ⓷ >

[해설]

[STEP 1] 로그의 정의와 성질을 이용하여 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 식을 구한다.

[eqn: 2^x =24]이므로

[eqn: x =log_2 `24=log_2 `(2^3 times 3) =log_2 `2^3 +log_2 `3 =3+log_2 `3]

따라서 [eqn: x-3=log_2 `3]

[eqn: 3^y =24]이므로

[eqn: y =log_3 `24=log_3 `(3 times 8) =log_3 `3+log_3 `8 =1+log_3 `8]

따라서 [eqn: y-1=log_3 `8]

[STEP 2] [eqn: log _{a} `b= {log _{c`} b`} over {log _{c} a}]([eqn: c>0, c!=1])임을 이용하여 [eqn: (x-3)(y-1)]의 값을 구한다.

따라서

[eqn: (x-3)(y-1)=log _{2} `3 TIMESlog _{3} `8]

[eqn: =log _{2} `3 TIMES {log _{2} `8} over {log _{2} `3}]

[eqn: =log _{2} `8=log _{2} `2 ^{3} =3]

21. < ⓶ >

[해설]

[STEP 1] 열차 [eqn: B]가 지점 [eqn: P]를 통과할 때의 속력을 [eqn: v]로 놓고 [eqn: L _{A}], [eqn: L _{B}]를 각각 구한다.

열차 [eqn: B]가 지점 [eqn: P]를 통과할 때의 속력을 [eqn: v]라 하면 열차 [eqn: A]가 지점 [eqn: P]를 통과할 때의 속력은 [eqn: 0.9v]이고 [eqn: d=75]이므로

[eqn: L _{A} =80+28log {0.9v} over {100} -14log {75} over {25}] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: L _{B} =80+28log {v} over {100} -14log {75} over {25}] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[STEP 2] [eqn: log _{a} M-log _{a} N=log _{a} {M} over {N}]임을 이용하여 [eqn: L_B -L_A]의 값을 구한다.

㉠, ㉡에서

[eqn: L _{B} -L _{A} =28 LEFT ( log {v} over {100} -log {0.9v} over {100} RIGHT )]

[eqn: =28log {{v} over {100}} over {{0.9v} over {100}}]

[eqn: =28log {10} over {9}]

[eqn: =28(log`10-log`9)]

[eqn: =28(1-log`3 ^{2} )=28(1-2log3)=28-56log3]

22. < ⓸ >

[해설]

[STEP 1] [eqn: 30]분 후의 식을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.

[eqn: 30]분 후 농도가 [eqn: 2`ng/mL]이므로

[eqn: log`(10-2)=1-30k]

[eqn: k= {1} over {30} (1-log`8)= {1} over {30} log` {10} over {8} = {1} over {30} log` {5} over {4}]

[STEP 2] [eqn: 60]분 후의 식을 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.

[eqn: 60]분 후 농도가 [eqn: a`ng/mL]이므로

[eqn: log`(10-a)=`1-60k`=`1-2`log` {5} over {4}# ```````````````````````````````````````=`log`10-log {25} over {16} =`log` {10} over {{25} over {16}}# ```````````````````````````````````````=`log` {160} over {25} =`log` {32} over {5}]

따라서 [eqn: 10-a= {32} over {5}]에서 [eqn: a= {18} over {5} =3.6]