수학 영역 (가형)

홀수형

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수학 영역 (가형)

홀수형

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16

2017년 3월 고3 모의고사 문제지

수학 영역(가 형)

제 2 교시

홀수형

5지선다형

곡선 [eqn: y=sin ^{2} `x`cos`x`][eqn: left(0 LEQ x LEQ pi over 2 right)`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점]

②

[출제의도] 정적분의 치환적분법을 이해하여 곡선과 [eqn: bold x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: 0`le`x`le`piover2`]에서 [eqn: sin ^{`2} x`cos`x=0`]의 해를 구하면

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x={pi } over {2}]

[eqn: 0`le`x`le`piover2`]일 때 [eqn: sin ^{`2} x`cos`x GEQ 0`]이므로 구하는 넓이는 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} |`{sin ^{2} x`cos`x} `|`dx][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2} x`cos`x} `dx]

[eqn: sin`x=t`]로 놓고 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: cos`x= {dt} over {dx}]

[eqn: x=0`]이면 [eqn: t=0`]이고, [eqn: x= {pi } over {2} `]이면 [eqn: t=1`]

따라서

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2} x`cosx} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} t ^{2} `dt][eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} ` RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: = {1} over {3}]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: root2`]인 두 원 [eqn: C _{`1}], [eqn: C _{`2} `]가 있다. 원 [eqn: C _{`1}] 위의 두 점 [eqn: \P], [eqn: rm Q`]와 원 [eqn: C _{`2}] 위의 점 [eqn: rm R`]에 대하여 [eqn: ANGLE rm QOP it = alpha], [eqn: angle{\ROQ} = beta`]라 하자.
[eqn: rmbar{OQ} BOT bar{QR}`]이고 [eqn: sin `alpha= {4} over {5}`]일 때, [eqn: cos` LEFT ( alpha + beta)`]의 값은?
(단, [eqn: 0<alpha < pi over 2], [eqn: 0<beta < pi over 2]) [3점]

⑤

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: sin ` alpha = {4} over {5} `], [eqn: sin ^{2}`alpha+cos ^{2} ` alpha =1`]이고

[eqn: 0< alpha < pi over 2`]이므로 [eqn: cos `alpha= {3} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm ROQ`]에 대하여

[eqn: rm {bar{OR}} =root2`], [eqn: rm {bar{OQ}} =1], [eqn: rm ANGLE OQR= it {pi } over {2} `]이므로 [eqn: beta= it {pi } over {4} `]

그러므로 [eqn: sin` beta = root2 over 2], [eqn: cos` beta = root2 over 2]

따라서

[eqn: cos( alpha + beta)][eqn: = cos `alpha`cos`beta - sin`alpha` sin`beta]

[eqn: = 3 over 5 times root2 over 2 - 4 over 5 times root2 over 2]

[eqn: = it - root2 over 10]

① [eqn: - {root6} OVER 10]	② [eqn: - {root5} OVER 10]	③ [eqn: - 1 over 5]

④ [eqn: - {root3} OVER 10]	⑤ [eqn: - root2 over 10]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log `_a` x], [eqn: y=log `_b` x `]([eqn: 1 < a<b`])와 직선 [eqn: y=1`]이 만나는 점을 [eqn: {\A}_1], [eqn: {\B}_1`]이라 하고, 직선 [eqn: y=2`]가 만나는 점을 [eqn: {\A}_2], [eqn: {\B}_2`]라 하자. 선분 [eqn: rm`A it _{1} rm B it rm _{1}`]의 중점의 좌표는 [eqn: (2,``1)`]이고
[eqn: bar{rm`A it _{1} rm B it rm _{1}} = 1`]일 때, [eqn: bar{{\A}_2{\B}_2} `]의 값은? [3점]

①

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: y=log _{`a} `x], [eqn: y= log_{`b} `x`]와 직선 [eqn: y=1`]이 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_{`a}`x=1]에서 [eqn: x=a`], [eqn: log_{`b}`x=1]에서 [eqn: x=b`]

두 점 [eqn: rm A it rm _{1} `], [eqn: rm B it rm _{1} `]의 좌표는 각각 [eqn: (a,``1)`], [eqn: (b,``1)`]

[eqn: y= log_{`a}`x`], [eqn: y= log_{`b} `x`]와 직선 [eqn: y=2`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 구하면

[eqn: log_{`a}`x=2`]에서 [eqn: x=a^{`2}], [eqn: log_{`b}`x=2`]에서 [eqn: x=b^{`2}`]

두 점 [eqn: rm A it rm _{2} `], [eqn: rm B it rm _{2} `]의 좌표는 각각 [eqn: left(a ^{`2} ,``2right)`], [eqn: left(b ^{`2} ,``2right)`]

[eqn: bar{{\A}_1{\B}_1} = 1][eqn: = b-a`]

선분 [eqn: {\A}_1{\B}_1}]의 중점의 좌표가 [eqn: (2,``1)`]이므로

[eqn: {a+b} over {2} =2], [eqn: a+b =4]

따라서 [eqn: {bar{rm A it _{2} rm B it _{2}}} =b ^{`2} -a ^{`2}][eqn: =(b-a)(b+a)][eqn: =1times4=4`]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3 root2]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 4 root2]	⑤ [eqn: 6]

좌표평면 위의 한 점 [eqn: rm P it (t,``0)`]을 지나는 직선 [eqn: x=t`]와 두 곡선 [eqn: y=ln `x], [eqn: y=it - ln`x`]가 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B`]라 하자. 삼각형 [eqn: \AQB`]의 넓이가 [eqn: 1`]이 되도록 하는 [eqn: x`]축 위의 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 선분 [eqn: \PQ`]의 길이를 [eqn: f(t)`]라 하자. [eqn: lim _{t`->`1+} (t-1) f(t)`]의 값은?
(단, 점 [eqn: \Q`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: t`]보다 작다.) [3점]

②

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 로그함수의 극한에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: \A it (t,``ln`t)`], [eqn: \B it (t,``-ln`t)`]이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} =2`ln`t`]

선분 [eqn: rm PQ}}]의 길이가 [eqn: f`(t)]이고 삼각형 [eqn: \AQB`]의 넓이가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB }} TIMES {bar{rm PQ it}} =1`]에서 [eqn: {1} over {2} TIMES 2`ln`t TIMES f`(t)=1`]

즉, [eqn: f(t) = 1 over { ln`t}]

[eqn: t-1=s`]로 놓으면 [eqn: t = s+1]이고

[eqn: t`->`1+`]일 때 [eqn: s`->`0+`]

[eqn: lim _{t` -> `1+} ` LEFT { (t-1) f(t) RIGHT }][eqn: = lim _{t` -> `1+} ` {t-1} over {ln`t}][eqn: = lim _ {s`->` 0+} s over ln(s+1)][eqn: =1]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)`]이고, [eqn: 0 LEQ x<2`]일 때 [eqn: f(x)= {(x-a) ^{2}} over {x+1}`]인 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다. 구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은? [4점]

①

[출제의도] 극댓값과 극솟값의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다.

[eqn: a=it-1`]일 때 구간 [eqn: LEFT [`0,``2 RIGHT ) `]에서 [eqn: f(x)=x+1`]이므로

[eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖지 않는다.

이것은 모순이므로 [eqn: a!=it-1]

구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 [eqn: f(x)`]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: f(x)= {(x-a) ^{`2}} over {x+1} `]에서 [eqn: f`` prime (x)= {(x-a)(x+2+a)} over {(x+1) ^{`2}} `]

[eqn: f``'(x)=0`]에서 [eqn: x= a] 또는 [eqn: x= it-a-2]

(ⅰ) [eqn: a<it-a-2`]일 때
[eqn: a<it-a-2`]에서 [eqn: a < it-1]이고,
[eqn: x=it-a-2`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=it-a-2`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<it-a-2<2`], [eqn: -4<a<it-2]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= it -3]

(ⅱ) [eqn: a>it-a-2`]일 때
[eqn: a>it-a-2`]에서 [eqn: a > it-1]이고,
[eqn: x=a`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=a`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<a<2`]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= 1`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -3] 또는 [eqn: 1]

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: (-3)times1= it-3`]

[보충 설명]

(ⅰ) [eqn: a= it -3`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a= 1`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

연속함수 [eqn: f(x)`]가

④

[출제의도] 부분적분법을 이용하여 일반적인 함수의 정적분의 값을 추론한다.

[eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)`dt=F(x)} `]이므로 [eqn: F`` prime (x)=f(x)], [eqn: F`(-1)=0]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx= int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx}} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx- int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx+ int _{-1} ^{0} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{-1} ^{1} {xf(x)`dx=0} `]

정적분의 부분적분법에 의하여,

[eqn: int _{-1} ^{1} {} F(x)`dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xF(x) RIGHT ] _{-1}^{1} - int _{-1} ^{1} {} xf(x)`dx]
[eqn: =F(1)+F(-1)-0]
[eqn: =F(1)+0]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {} f(x)`dx][eqn: =12]

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)`dx=12}], [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx= int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx}}]

를 만족시킨다. [eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)`dt=F`(x)}`]라 할 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {F`(x)`dx}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]인 부채꼴 [eqn: \OAB`]가 있다. 호 [eqn: \AB`] 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 점 [eqn: \B`]에서 선분 [eqn: \OP`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q], 점 [eqn: \Q`]에서 선분 [eqn: \OB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \R`]라 하자. [eqn: {angle \BOP } = theta`]일 때, 삼각형 [eqn: \RQB`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)`]라 하자. [eqn: lim _{theta`-> ` 0+} {r(theta)} over{ theta ^{`2} }`]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < pi over 2`]) [4점]

①

[출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: angle {\BOQ} =theta`], [eqn: bar {\OB} =1`]이고 [eqn: angle {\OQB} = pi over2`]이므로 [eqn: bar{\BQ} = sin` theta`]

또, [eqn: angle {\RQB}][eqn: = pi over 2 - angle {\QBR}][eqn: = pi over 2 - left( pi over 2 - theta` right)][eqn: =theta`], [eqn: bar{\BQ} = sin` theta`]이고 [eqn: angle {\BRQ} = pi over2`]이므로

[eqn: bar{\BR} = sin^{2} ` theta`], [eqn: bar{\RQ} = sin ` theta`cos`theta`]

삼각형 [eqn: \BRQ]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 timesBAR{\BR} times bar{\RQ}][eqn: = 1 over 2 times{\sin} ^2`thetatimessin `theta`cos`theta] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

삼각형 [eqn: \BRQ]에 내접하는 원의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하면

[eqn: 1 over 2 timesr(theta) timesleft( sin`theta + sin`theta`cos`theta + sin^2`theta right)] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해서

[eqn: r(theta) = {sin^2 `theta`cos`theta} over {1+sin`theta+cos`theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta`-> ` 0+} {r(theta)} over{ theta^{`2} }`][eqn: =lim _{theta`-> ` 0+} {sin^2 `theta`cos`theta} over {theta^{`2} (1+sin`theta+cos`theta)}]
[eqn: =lim _{theta`-> ` 0+} {sin^2`theta} over {theta^{`2}}times lim _{theta`-> ` 0+} {cos`theta} over {1+sin`theta+cos`theta}]
[eqn: =1times 1 over 2][eqn: = 1 over2]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 5 over 2]

그림은 함수 [eqn: f(x)=x ^{`2} e ^{`-x+2}`]의 그래프이다.

③

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 그래프와 직선이 만나는 점의 개수를 추론한다.

[eqn: f(x) = x^{`2} e^{`-x +2}`]에서

[eqn: f ``prime (x)=(-x ^{2} +2x)e ^{-x+2}`]

[eqn: f``prime`(x)=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: y=(f CIRC f )(x)`]에서 [eqn: `dy over dx =f ``prime (f(x))f ``prime (x)`]

[eqn: dy over dx =0]인 [eqn: x]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: f``prime(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

(ⅱ) [eqn: f`` prime (f(x))=0]에서
[eqn: f(x)=0`]일 때, [eqn: x=0`]
[eqn: f(x)=2`]일 때,
[eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=beta] 또는 [eqn: x=gamma] ([eqn: alpha < beta < gamma])로 놓으면 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: gamma]	[eqn: cdots]
[eqn: f``'(x)]	-	-	-	[eqn: 0]	+	+	+	[eqn: 0]	-	-	-
[eqn: f``'(f(x))]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: - {8} over {e ^{2}}]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: dy over dx]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-
[eqn: y]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 16 over e^{`2}]	↗	[eqn: 4]	↘

위의 표를 이용하여 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프를 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{`2}]가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4`]이다.

함수 [eqn: y = (f CIRCf)(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{`2}`]의 교점의 개수는?
(단, [eqn: lim _ {x`->`inf} f(x) =0`]) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

곡선 [eqn: y=e ^{`x} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=e`]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: y`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?
[4점]

⑤

[출제의도] 정적분을 활용하여 입체도형의 부피 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: y=e ^{x}`]의 역함수는 [eqn: y=ln`x`]이므로

점 [eqn: (0,``1)`]은 점 [eqn: (1,``0)`]으로, 점 [eqn: (0,``e)`]는 점 [eqn: (e,``0)`]으로 이동한다.

그런데 [eqn: x=t`]([eqn: 1 le t le e])일 때 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: ln`t`]이므로 정삼각형의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 하면

[eqn: S`(t)][eqn: =root3 over 4 times ( ln`t )^2]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int _{1} ^{e} S`(t) `dt`][eqn: ={sqrt {3}} over {4} int _{1} ^{e} {(ln`t) ^{2}} `dt`][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}t( rm ln it `t)^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} - int _{1} ^{e} t left( 2 times 1 over t times {ln`t}right) `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}t( rm ln it `t)^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} - 2int _{1} ^{e} {ln`t} `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} t( rm ln it `t) ^{`2} RIGHT ] _{1}^{e} -2 LEFT [ pile{`#`} t` rm ln it `t-t RIGHT ] _{1}^{e} RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} (e-2)]

[다른 풀이]

[eqn: int ln`x `dx`= x lnx -x+C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)이므로

[eqn: int _{1} ^{e} S`(t) `dt`][eqn: ={sqrt {3}} over {4} int _{1} ^{e} {(ln`t) ^{2}} `dt`]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} rm ln it `t`(t`ln`t`-t) RIGHT ] _{1}^{e} - int _{1} ^{e} {(ln`t-1)} `dt RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} rm ln it `t`(t`ln`t`-t) RIGHT ] _{1}^{e} - LEFT [ pile{`#`} t` rm ln it `t-2t RIGHT ] _{1}^{e} RIGHT }][eqn: = {sqrt {3}} over {4} (e-2)]

[다른 풀이]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `]의 역함수를 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]라 하고, 입체도형의 부피를 [eqn: V`]라 하면

[eqn: V= int _{1} ^{e} {{sqrt {3}} over {4} LEFT { f ^{`-1} LEFT ( y RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `dy`]

이다. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( y RIGHT ) =x`]이고 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: {dy} over {dx} =f`` prime LEFT ( x RIGHT )=e ^{x} `]이므로

[eqn: V][eqn: = {sqrt {3}} over {4} int _{0} ^{1} {} x ^{2} f`` prime LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} int _{0} ^{1} {} x ^{2} e ^{x} dx]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`}x ^{2} `e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 int _{0} ^{1} {x`e ^{x} `dx} RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} x ^{2} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT ( LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{x}} ``dx RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT { LEFT [ pile{`#`} x ^{2} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT ( LEFT [pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ pile{`#`} e ^{x} RIGHT ] _{0}^{1} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} `(e-2)]

① [eqn: {sqrt {3}(e+1)} over {4}]	② [eqn: {sqrt {3}(e-1)} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}(e-1)} over {4}]

④ [eqn: {sqrt 3 {(e-2)}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt 3 {(e-2)}} over {4}]

구간 [eqn: [`0,``1`]`]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수

④

[출제의도] 정적분의 적분법을 이용하여 정적분의 값을 추론한다.

ㄱ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 (나)의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 F`(x)` dx][eqn: = int_0 ^1 left{ f(x)-x right}` dx]
[eqn: = int_0 ^1 f(x)` dx- int_0 ^1 x` dx]
[eqn: =int _0 ^1 f(x)`dx - 1 over 2`]
[eqn: =F`(1) - 1 over 2`]

이므로 [eqn: F`(1) = e- 5 over 2 + 1 over 2][eqn: = e-2`] (거짓)

ㄴ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 [eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx]의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx][eqn: =int_0 ^1 x left { f(x) -x right}` dx]
[eqn: =int _0 ^1 left { xf(x) - x^2 right} `dx`]
[eqn: =int _0 ^1 xf(x)`dx -int _0 ^1 x^2 `dx`][eqn: = left[ pile {`#`} xF`(x) right ] _0^1 - int _0 ^1 F`(x)` dx - 1 over 3]
[eqn: =F`(1) - left ( e - 5 over 2 right) - 1 over 3]
[eqn: = e-2 -e + 5 over 2 - 1 over 3][eqn: = 1 over 6] (참)

ㄷ. [eqn: F` LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{0} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`][eqn: =0`]이고, [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]
(가)에 의해서

[eqn: int _0 ^1 left{F`(x)right}^2` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) left { f(x) - x right} ` dx]
[eqn: =int _0 ^1 F`(x) f(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) F``'(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx]
[eqn: =][eqn: left[ 1 over 2 left{F`(x) right}^{`2} right] _0 ^1 - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 left{F`(1) right} ^{`2}- 1 over 2 left{F`(0) right} ^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 (e-2)^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 e^{`2} - 2e + 11 over 6] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]

조건 (가)의 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 두 번 미분하면 [eqn: f``'(x) = f``''(x)`]

[eqn: {f``''(x) }over {f``'(x)} =1]이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: ln|` f``'(x)`| = x +C_{`1} `](단, [eqn: C_{`1}`]는 적분상수)

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}](단, [eqn: C_{`2}`]는 상수)이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면 [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}](단, [eqn: C_{`3}`]은 적분상수)

[eqn: 0=F`(0) = f(0) -0], [eqn: f(0)=0]

[eqn: f`(x) = f``'(x)-1]이므로 [eqn: f``'(0) =1`]

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}], [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}]에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: ` f``'(0) = C_{`2}=1], [eqn: f(0) = C_{`2} + C_{`3} =0], [eqn: C_{`3}= it -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -1]

이를 조건 (가)에 대입하면

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]

[eqn: int _{0} ^{1} {F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ e ^{`x} - {1} over {2} x ^{`2} -x RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT ( e-1 RIGHT ) - {`1} over {2} -1]
[eqn: =e- {5} over {2}`]

이므로 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]은 조건 (나)를 만족시킨다.

ㄱ. [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =e ^{`1} -1-1=e-2`] (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{1} {x`F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {x` LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx`]
[eqn: = int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx- int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx- int _{0} ^{1} {x} `dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx- LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: =e- LEFT ( e-1 RIGHT ) - {1} over {3} - {1} over {2}][eqn: = {1} over {6}] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { F` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT ) ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { e ^{`2x} +x ^{`2} +1-2x`e ^{`x} +2x-2e ^{`x} RIGHT }} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {e ^{`2x}} `dx+ int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx+ int _{0} ^{1} {1} `dx]	[eqn: -2 int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx+ int _{0} ^{1} {2x} `dx-2 int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx][eqn: = LEFT [ {e ^{`2x}} over {2} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: -2 LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} +2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT ) + {1} over {3} +1-2 TIMES 1+1-2 LEFT ( e-1 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} e ^{2} -2e+ {11} over {6}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: F`(x)=int _0 ^{`x} f(t)` dt`] ([eqn: 0 le x le 1`])

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: F`(x) = f(x) -x`]

(나) [eqn: int_0 ^1 F`(x)`dx = e - 5 over 2`]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: F`(1) = e] ㄴ. [eqn: int_0 ^1 xF`(x)` dx = 1 over 6] ㄷ. [eqn: int _0 ^1 left{F`(x)right}^{`2}` dx = 1 over 2 e^{`2} -2 e + 11 over 6`]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

함수 [eqn: f(theta) = 1- {1} over {1+2`sin` theta }`]일 때, [eqn: lim _{theta `->` 0} {} {10f( theta )} over {theta }`]의 값을 구하시오. [3점]

20

[출제의도] 삼각함수의 극한값을 이해하여 주어진 식의 극한값을 구한다.

[eqn: f( theta)][eqn: = 1-{1} over {1 + 2 sin `theta}][eqn: = {1 + 2sin `theta -1} over {1 + 2 sin `theta}][eqn: ={ 2sin `theta } over {1 + 2 sin `theta}]

이므로

[eqn: lim _{theta ` ->` 0} {} {10f( theta )} over {theta }][eqn: =10 `lim _{theta ` ->` 0} {} {{2sin` theta } over {1+2sin theta }} over {theta }][eqn: =10 `lim _{theta `-> `0} {2sin` theta } over {theta (1+ 2sin theta )}]
[eqn: = 10times2=20]

구간 [eqn: (-1,``INF)`]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=xe ^{`x} +e`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, [eqn: 60`g ``prime (e)`]의 값을 구하시오. [3점]

60

[출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: g(e)=a`]라 하면, [eqn: f(a)=e]

[eqn: f(a)=ae ^{a}+e =e]

그러므로 [eqn: a=0]

[eqn: f ``' (x)=(x+1)e ^{`x} `]

[eqn: f``'(0) = (0+1) e^{`0}=1`]

[eqn: g ``prime (e)= {1} over {f`` prime (g(e))} = {1} over {f ``prime (0)} = 1]

따라서 [eqn: 60g`` prime (e)=60 TIMES {1} =60]

그림과 같이 길이가 [eqn: 12`]인 선분 [eqn: \AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 반원 위에서 호 [eqn: \BC`]의 길이가 [eqn: 4pi`]인 점 [eqn: \C`]를 잡고 점 [eqn: \C`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하자. [eqn: {bar {\CH}} ^{`2}`]의 값을 구하시오. [3점]

27

[출제의도] 호도법을 이해하여 주어진 도형에서 선분의 길이를 구한다.

반원의 중심을 [eqn: \O`]라 하면 반원의 지름의 길이가 [eqn: 12`]이므로 [eqn: bar{\OB}=6]이다.

[eqn: angle {\COB} = theta`]라 하면 호 [eqn: \BC`]의 길이가 [eqn: 4 pi`]이므로

[eqn: 6 times theta =4 pi], [eqn: theta = 2 over 3 pi`]

점 [eqn: \C`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면

[eqn: angle {\COH} = pi - theta][eqn: = pi over 3`]

삼각형 [eqn: \CHO`]는 직각삼각형이고 [eqn: bar{\OC}=6`]이므로

[eqn: bar{\CH} = bar{\OC} times sin pi over 3][eqn: = 6 times root3 over 2][eqn: =3root3]

따라서 [eqn: {bar {\CH}} ^{`2}=(3root{3})^{`2}=27]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^{`x} `]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f(x)`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=x+1`]이 만나는 점 [eqn: \A`]와 점 [eqn: rm B(0,``1)`] 사이의 거리를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 1 over k^{`2}`]의 값을 구하시오. [4점]

8

[출제의도] 지수함수 그래프의 성질을 활용하여 두 점 사이의 거리를 구하는 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: y= 2^{`x}`]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y= 2^{`-x}`]이고 곡선 [eqn: y= 2^{`-x}`]은 직선 [eqn: y= x+1`]과 점 [eqn: (0,``1)`]에서 만난다.

곡선 [eqn: y= 2^{`-x}`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선 [eqn: y=f(x)]는 곡선 [eqn: y= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]과 일치한다. 직선 [eqn: y= x+1`]은 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동하여도 직선 [eqn: y=x+1`]이 된다.

그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y= x+1`]이 만나는 점[eqn: \A`]는 [eqn: y= 2^{`-x}`]과 직선 [eqn: y= x+1`]이 만나는 점인 [eqn: (0,``1)`] 이 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 점 [eqn: left ( 1 over 4 ,``5 over 4 right)`]이다.

따라서 [eqn: k= root{left( 1 over 4 right) ^2 + left( 5 over 4 -1 right) ^2}][eqn: =root2 over 4]이므로 [eqn: 1 over k^{`2} = 8]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y= 2^{`x}`]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선은 [eqn: y=f(x)]이므로 [eqn: f(x)= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]이다.

그러므로 곡선 [eqn: y= f(x)`]와 직선 [eqn: y=x+1`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: x+1= 2^{`- x + 1over4} + 1 over 4`]

[eqn: 2^{`-x+ 1 over 4} = x+ 3 over 4]에서 [eqn: x= 1 over 4]

즉, 점 [eqn: \A`]의 좌표는 [eqn: left( 1 over 4 ,``5 over 4 right)`]이다.

따라서 [eqn: k= root{left( 1 over 4 right) ^2 + left( 5 over 4 -1 right) ^2}][eqn: =root2 over 4]이므로 [eqn: 1 over k^{`2} = 8]

연속함수 [eqn: f(x)`]와 그 역함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

24

[출제의도] 이계도함수를 활용하여 주어진 정적분 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(1)<f(3)`]이고 일대일대응이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 구간 [eqn: left[`1,``3`right]`]에서 증가한다.

그러므로 [eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: =3 TIMES 3-1 TIMES 1- int _{1} ^{3} {} g(x)`dx]

조건 (다)에 의해서 [eqn: int _{1} ^{3} {} g(x)`dx=3`]이므로

[eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: = 8 -3][eqn: =5]

[eqn: int_3 ^7 f(x)`dx][eqn: =int_1 ^7 f(x)`dx- int_1 ^ 3 f(x)`dx][eqn: = 27 - 5][eqn: =22]

조건 (나)에 의해서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 구간 [eqn: (3,``7)`]에서 위로 볼록하다. 조건 (가)에 의해서 [eqn: f(3)=3`], [eqn: f(7) =7`]이므로 구간 [eqn: [`3,``7`]]에서 [eqn: f(x)-x ge 0`]이다.

[eqn: 12 int _3 ^7 left| f(x) - x right| `dx]

[eqn: =12 int _3 ^7 left{ f(x) - x right} `dx]

[eqn: =12left{ int _3 ^7 f(x)`dx - int _3 ^7 x `dx right}]
[eqn: =12 times(22 - 20)][eqn: =24]

(가) [eqn: f(1) =1], [eqn: f(3) =3], [eqn: f(7) =7`]

(나) [eqn: x!=3`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f``''(x)<0`]이다.

(다) [eqn: int _{1} ^{7} {f(x)} `dx= 27], [eqn: int _{1} ^{3} {g(x)} `dx=3`]

[eqn: 12 int _{3} ^{7} {} LEFT | `f(x)-x RIGHT |` dx`]의 값을 구하시오. [4점]

2017년 3월 고3 모의고사 [가형] 해설

1	③	2	⑤	3	②	4	④	5	④
6	⑤	7	①	8	②	9	②	10	⑤
11	①	12	③	13	②	14	①	15	②
16	④	17	①	18	③	19	⑤	20	③
21	④	22	3	23	20	24	60	25	27
26	6	27	8	28	24	29	528	30	90