그래프가 제시된 문제

7대 함정

Navi : One Pass on Effort

1. [eqn: a>1] 인 실수 [eqn: a] 에 대하여 곡선 [eqn: y=log _{a} x] 와 원 [eqn: C: LEFT ( x- {5} over {4} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = {13} over {16}]의 두 교점을 [eqn: rm P,~Q]라 하자. 선분 [eqn: rm PQ]가 원 [eqn: C]의 지름일 때, [eqn: a]의 값은?

[eqn: rm P( it p,~log _{a} `p),~ rm Q( it q,~log _{a} `q)(p>q)]로 놓으면 선분 [eqn: rm PQ]의 중점이 원의 중심 [eqn: LEFT ( {5} over {4} ,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: {p+q} over {2} = {5} over {4} ,~ {log _{a} p+log _{a} q} over {2} = {log _{a} pq} over {2} =0]

에서

[eqn: p+q= {5} over {2} ,~pq=1]

이때 [eqn: p,~q]를 두 실근으로 갖는 [eqn: t]에 대한 이차방정식은

[eqn: t ^{2} `- {5} over {2} t+1=0,~2t ^{2} `-5t+2=0]

[eqn: (2t-1)(t-2)=0]

따라서 [eqn: t= {1} over {2}]또는 [eqn: t=2]이므로 [eqn: p=2,~q= {1} over {2}]

즉, [eqn: rm P(2,~log _{a} 2),~rm Q LEFT ( {1} over {2} ,~-log _{a} 2 RIGHT )]이고, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이가 원의 지름 [eqn: {sqrt {13}} over {2}]이므로

[eqn: LEFT ( 2- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT { log _{a} 2- LEFT ( -log _{a} 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( {sqrt {13}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

정리하면 [eqn: LEFT ( log _{a} 4 RIGHT ) ^{2} =1]

[eqn: a>1]이므로 [eqn: log _{a} 4=1]에서 [eqn: a=4]

2. 양수 [eqn: a]에 대하여 그림과 같이 함수 [eqn: y=ln`x]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=-2x+2,~y=-2x+2e ^{a} +a]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm P(1,~0),~Q( it e ^{a} ,~a)]라 하고, 함수 [eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}}]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=-2x+2,~y=-2x+2e ^{a} +a]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm R,~S]라 하자. 두 함수 [eqn: y=ln~x], [eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}}]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=-2x+2,~y=-2x+2e ^{a} +a]로 둘러싸인 영역 [eqn: rm PRSQ]의 넓이를 [eqn: S(a)]라 할 때, [eqn: lim _{a -> 0+} {{S LEFT ( a RIGHT )} over {a}}]의 값은?

[eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}} =ln LEFT ( x-2 RIGHT ) -4]이므로 함수 [eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}}]의 그래프는 함수 [eqn: y=ln`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 그래프이다. 즉, 함수 [eqn: y=ln`x]의 그래프 위의 점 [eqn: (t,~ln`t)]는 함수 [eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}}]의 그래프 위의 점 [eqn: (t+2,~ln`t-4)]로 이동한다.

두 점 [eqn: (t,~ln`t)]와 [eqn: (t+2,~ln`t-4)]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=-2(x-t)+ln`t]이다.

즉, 기울기가 [eqn: -2]인 직선과 함수 [eqn: y=ln {x-2} over {e ^{4}}]의 그래프가 만나는 점은 기울기가 [eqn: -2]인 직선이 함수 [eqn: y=ln`x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: –4]만큼 평행이동한 점이므로 점 [eqn: rm R,~S]의 좌표는 각각 [eqn: rm R(3,-4),~S( it e ^{a} +2,~a-4)]이다.

곡선 [eqn: rm PQ]와 곡선 [eqn: rm RS]는 평행이동하면 서로 일치하므로 도형 [eqn: rm PRSQ]의 넓이는 사각형 [eqn: rm PRSQ]의 넓이와 같다.

점 [eqn: rm R]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 변 [eqn: rm PQ]와 만나는 점을 [eqn: rm T]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PRT]의 변 [eqn: rm PR]가 변 [eqn: rm QS]와 만나도록 옮겨서 붙이면 그림과 같이 빗금친 사각형이 된다.

점 [eqn: rm R]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 점 [eqn: rm S]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선과 만나는 점을 [eqn: rm U]라 하면 직사각형 [eqn: rm TRUS]의 넓이는 사각형 [eqn: rm PRSQ]의 넓이와 같다.

즉, [eqn: S(a)]=(직사각형 [eqn: rm TRUS]의 넓이)

직선 [eqn: rm PQ]의 방정식은 [eqn: y= {a} over {e ^{a} -1} LEFT ( x-1 RIGHT )]이고 직선 [eqn: rm RT]의 방정식은 [eqn: x=3]이므로 [eqn: y= {a} over {e ^{a} -1} LEFT ( x-1 RIGHT )]에 [eqn: x=3]을 대입하면

점 [eqn: rm T]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: {2a} over {e ^{a} -1}]이다.

점 [eqn: rm R]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: –4]이므로

[eqn: {bar{rm TR it}} = {2a} over {e ^{a} -1} - LEFT ( -4 RIGHT ) = {2a} over {e ^{a} -1} +4]

점 [eqn: rm R]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]이고 점 [eqn: rm U]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: e ^{a} +2]이므로

[eqn: {bar{rm RU it}} =e ^{a} +2-3=e ^{a} -1]

즉, [eqn: S(a)= LEFT ( e ^{a} -1 RIGHT ) LEFT ( {2a} over {e ^{a} -1} +4 RIGHT )]

따라서

[eqn: lim _{a -> 0+} {{S LEFT ( a RIGHT )} over {a}} & = lim _{a -> 0+} {{e ^{a} -1} over {a} LEFT ( {2a} over {e ^{a} -1} +4 RIGHT )}# & = lim _{a -> 0+} {LEFT { 2+ {4 LEFT ( e ^{a} -1 RIGHT )} over {a} RIGHT }}# & =2+4 TIMES 1=6]

① [eqn: 3]

② [eqn: 4]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 7]

3. 그림과 같이 좌표평면에서 네 점 [eqn: rm A(4,~4),~B(8,~4),~C(8,~8),~D(4,~8)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm ABCD]와 곡선 [eqn: y=2 ^{x-m} +2n]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 두 자연수 [eqn: m,~n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT )]의 개수를 구하시오.

위의 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{x-m} +2n]이 정사각형 [eqn: rm ABCD]와 서로 다른 두 점에서 만나려면 두 자연수 [eqn: m,~n]이 [eqn: x=4]에서

[eqn: 2 ^{4-m} +2n<8] ……㉠

을 만족시켜야 하고 [eqn: x=8]에서

[eqn: 2 ^{8-m} +2n>4] ……㉡

를 만족시켜야 한다.

[eqn: 2 ^{4-m} >0]이므로 [eqn: 2 ^{4-m} +2n>2n]

㉠에서 [eqn: 2n<8]이므로 [eqn: n<4]

즉, [eqn: n=1,~2,~3]인 경우만 생각하면 된다.

(i) [eqn: n=1]인 경우

㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{4-m} +2<8,~16 TIMES {1} over {2 ^{m}} <6]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} < {3} over {8}]

즉, [eqn: 2 ^{m} > {8} over {3}]

㉡에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{8-m} +2>4,~256 TIMES {1} over {2 ^{m}} >2]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} >128]

즉, [eqn: 2 ^{m} <128]

[eqn: {8} over {3} <2 ^{m} <128]에서 [eqn: 2 ^{1} < {8} over {3} <2 ^{2}]이므로

[eqn: 2 ^{2} LEQ 2 ^{m} <2 ^{7}]

즉, [eqn: 2 LEQ m<7]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 2,~3,~4,~5,~6]의 [eqn: 5]개이다.

(ii) [eqn: n=2]인 경우

㉠에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: 2 ^{4-m} +4<8,~16 TIMES {1} over {2 ^{m}} <4]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} < {1} over {4}]

즉, [eqn: 2 ^{m} >4]

㉡에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: 2 ^{8-m} +4>4,~256 TIMES {1} over {2 ^{m}} >0]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} >0]

즉, [eqn: 2 ^{m} >0]

[eqn: 2 ^{m} >4]에서

[eqn: 2<m LEQ 10]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10]의 [eqn: 8]개이다.

(iii) [eqn: n=3]인 경우

㉠에 [eqn: n=3]을 대입하면

[eqn: 2 ^{4-m} +6<8,~16 TIMES {1} over {2 ^{m}} <2]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} < {1} over {8}]

즉, [eqn: 2 ^{m} >8]

㉡에 [eqn: n=3]을 대입하면

[eqn: 2 ^{8-m} +6>4,~256 TIMES {1} over {2 ^{m}} >-2]

[eqn: {1} over {2 ^{m}} >- {1} over {128}]

즉, [eqn: 2 ^{m} >0]

[eqn: 2 ^{m} >8]에서

[eqn: 3<m LEQ 10]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 4,~5,~6,~7,~8,~9,~10]의 [eqn: 7]개이다.

(i) ~ (iii)에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 5+8+7=20]

( 단, [eqn: 1 LEQ m LEQ 10,~1 LEQ n LEQ 10])

4. 그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=ln~x] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P( it t,~ln`~t)(t>1)]와 점 [eqn: rm A(1,~0)]이 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: rm AP]와 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하자. [eqn: lim _{t -> 1+} {{S LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}}}]의 값은?

직선 [eqn: rm AP]의 기울기는 [eqn: {ln`t} over {t-1}]이므로 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: rm AP]와 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=- {t-1} over {ln`t} LEFT ( x-t RIGHT ) +ln`t]

이 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rm B]의 좌표를 구하기 위하여 위의 식에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0=- {t-1} over {ln`t} LEFT ( x-t RIGHT ) +ln`t]

[eqn: {t-1} over {ln`t} x= {t LEFT ( t-1 RIGHT )} over {ln`t} +ln`t]

[eqn: x=t+ {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} over {t-1}]

즉, 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t+ {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} over {t-1} ,~0 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: t>1]에서 삼각형 [eqn: rm ABP]의 밑변 [eqn: rm AB]의 길이는

[eqn: t+ {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} over {t-1} -1=t-1+ {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} over {t-1}]

이고 높이는 [eqn: ln`t]이므로 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t) & = {1} over {2} TIMES LEFT { t-1+ {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} over {t-1} RIGHT } TIMES ln`t# & = {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} `ln`t+ LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{3}} over {2 LEFT ( t-1 RIGHT )}]

[eqn: lim _{t -> 1+} {{S LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}}} = lim _{t -> 1+} {{LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} `ln`t+ LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{3}} over {2 LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{3}}}]

[eqn: t-1=t prime]으로 치환하면 [eqn: t` -> 1+]일 때 [eqn: t prime ` -> 0+]이므로

[eqn: lim _{t -> 1+} {{LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} `ln`t+ LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{3}} over {2 LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{3}}}# = lim _{t prime -> 0+} {{t prime ^{2} `ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT ) + LEFT { ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {2t prime ^{3}}}# = lim _{t prime -> 0+} {{t prime ^{2} `ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT )} over {2t prime ^{3}}} + lim _{t prime -> 0+} {{LEFT { ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {2t prime ^{3}}}# = {1} over {2} lim _{t prime -> 0+} {{ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT )} over {t prime }} + {1} over {2} lim _{t prime -> 0+} {LEFT { {ln` LEFT ( t prime +1 RIGHT )} over {t prime } RIGHT } ^{3}}# = {1} over {2} + {1} over {2}# =1]

5. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]과 함수 [eqn: y=tan~x]의 그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n}}]의 값은?

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) pi<a _{n} < {pi} over {2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) pi]이므로

[eqn: {LEFT ( n-1 RIGHT ) pi} over {n} < {a _{n}} over {n} < {{pi} over {2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) pi} over {n}]

이때

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( n-1 RIGHT ) pi } over {n}} = pi ,# lim _{n -> INF } {{{pi} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT ) pi } over {n}} = pi]

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n}} =pi]

{다른 풀이}

[eqn: y=tan`x]의 주기가 [eqn: pi]이고 점근선이

[eqn: x= {2k+1} over {2} pi]([eqn: k]는 정수)

이므로 다음 그림에서와 같이

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { a _{n} - LEFT ( n-1 RIGHT ) pi RIGHT }} = {pi} over {2}]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n}} = lim _{n -> INF } {{LEFT { a _{n} - LEFT ( n-1 RIGHT ) pi RIGHT } + LEFT ( n-1 RIGHT ) pi} over {n}} = pi]

① [eqn: {pi } over {4}]

② [eqn: {pi} over {2}]

③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]

⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

6. 그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm A], 이 원이 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하고, 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm S]에 대하여 [eqn: ANGLE rm SOA= theta]라 하자. 점 [eqn: rm S]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]와 만나는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm S]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm T]라 하자. 사각형 [eqn: rm SPTQ]의 넓이를 [eqn: rm T( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> {pi } over {3} -} {{T LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {3} - theta }}]의 값은?

직선 [eqn: y= sqrt {3} x]의 기울기가 [eqn: sqrt {3}]이므로 [eqn: rm 0< theta < {pi } over {3}]

[eqn: rm {bar{OS}} = rm 3]이므로 [eqn: rm {bar{SQ}} = rm 3sin` theta ,~ rm {bar{OQ}} = rm 3cos` theta]

[eqn: rm {bar{SQ}} = rm {bar{PT}}]이므로

[eqn: rm {bar{OT}} = {{bar{rm PT it rm}}} over {tan {pi } over {3}} rm = {3sin` theta } over {sqrt {3}} = sqrt {3} `sin` theta]

[eqn: rm {bar{TQ}} = rm {bar{OQ}} - rm {bar{OT}} =3cos` theta - sqrt {3} sin` theta]

즉, [eqn: T( theta )=3sin` theta (3cos` theta - sqrt {3} `sin` theta )]

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {3} -} {{T LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {3} - theta }} = lim _{theta -> {pi } over {3} -} {{3`sin` theta LEFT ( 3cos` theta - sqrt {3} `sin` theta RIGHT )} over {{pi } over {3} - theta }}]에서

[eqn: {pi} over {3} - theta =t]라 하면 [eqn: theta -> {pi} over {3} -]일 때 [eqn: t -> 0+]이므로

[eqn: lim _{t -> 0+} {{3sin LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT ) LEFT { 3cos LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT ) - sqrt {3} `sin LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT ) RIGHT }} over {t}}]

이때

[eqn: 3cos LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT ) - sqrt {3} `sin LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT )# =3 LEFT ( cos`t`cos` {pi } over {3} +sin`t`sin` {pi } over {3} RIGHT ) - sqrt {3} LEFT ( sin` {pi } over {3} `cos`t-cos` {pi } over {3} `sin`t` RIGHT )# =3 LEFT ( {1} over {2} `cos`t+ {sqrt {3}} over {2} `sin`t RIGHT ) - sqrt {3} LEFT ( {sqrt {3}} over {2} `cos`t- {1} over {2} `sin`t RIGHT )# =2 sqrt {3} `sin`t]

이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {3} -} {{T LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {3} - theta }} & = lim _{t -> 0+} {{6 sqrt {3} `sin` LEFT ( {pi } over {3} -t RIGHT ) sin`t} over {t}}# & =6 sqrt {3} `sin` {pi } over {3} =9`]

[eqn: LEFT ( 단,~ rm O는원점이고~0< theta < {pi } over {3} RIGHT )]

① [eqn: 3]

② [eqn: 6]

③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]

⑤ [eqn: 15]

7. 그림과 같이 좌표평면에서 중심이 원점 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 직선 [eqn: x=1]과 만나는 점을 [eqn: rm Q], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm R]라 하고, 직선 [eqn: x=1]이 직선 [eqn: rm OP]와 만나는 점을 [eqn: rm S]라 하자. 점 [eqn: rm A(1,~0)]에 대하여 [eqn: ANGLErm POA= theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQS]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ARQ]의 넓이의 합을 [eqn: S( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} =a]일 때, [eqn: 100a]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( 단,~0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

직각삼각형 [eqn: rm OPR]에서 [eqn: cos theta = rm {{bar{OP}}} over {{bar{OR}}} = {1} over {{bar{OR}}}]이므로

[eqn: {bar{rm OR it}} = {1} over {cos` theta }]

직각삼각형 [eqn: rm OAS]에서 [eqn: cos theta = rm {{bar{OA}}} over {{bar{OS}}} = {1} over {{bar{OS}}}]이므로

[eqn: {bar{rm OS it}} = {1} over {cos` theta }]

즉, [eqn: rm {bar{OR}} = rm {bar{OS}} = {1} over {cos` theta }]이고 [eqn: rm {bar{OP}} = rm {bar{OA}}], 각 [eqn: rm POA]는 공통이므로

삼각형 [eqn: rm OPR]와 삼각형 [eqn: rm OAS]는 합동이다.

삼각형 [eqn: rm PQS]와 삼각형 [eqn: rm ARQ]에 대하여

[eqn: rm ∠ PQS= ∠ AQR ,]

[eqn: rm ANGLE QPS= ANGLE QAR= {pi } over {2} ,]

[eqn: {bar{rm PS it}} = {bar{rm AR it}} = {1} over {cos` theta } -1]

이므로 삼각형 [eqn: rm PQS]와 삼각형 [eqn: rm ARQ]도 합동이다.

즉, [eqn: S( theta )=2 TIMES (삼각형~rm ARQ의~넓이)]

삼각형 [eqn: rm OQP]와 삼각형 [eqn: rm OQA]에 대하여

선분 [eqn: rm OQ]는 공통이고

[eqn: rm {bar{QP}} = rm {bar{QA}} ,~ rm {bar{OP}} = rm {bar{OA}}]

이므로 삼각형 [eqn: rm OQP]와 삼각형 [eqn: rm OQA]도 합동이다.

즉, [eqn: rm ANGLE QOA= {1} over {2} ANGLE POA= {1} over {2} theta]

[eqn: tan {theta } over {2} = rm {{bar{AQ}}} over {{bar{OA}}} = {bar{AQ}}]

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) &=2 TIMES {1} over {2} TIMES rm {bar{AQ}} TIMES {bar{AR}}# &=2 TIMES {1} over {2} TIMES tan` {theta } over {2} TIMES LEFT ( {1} over {cos` theta } -1 RIGHT )# &=tan` {theta } over {2} TIMES {1-cos` theta } over {cos` theta }]

이므로

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} &= lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {tan` {theta } over {2}} over {theta } TIMES {1-cos` theta } over {theta ^{2} `cos` theta } RIGHT )}# &= lim _{theta -> 0+} {{tan` {theta } over {2}} over {theta }} TIMES lim _{theta -> 0+} {{1-cos` theta } over {theta ^{2} `cos` theta }}# &= {1} over {2} TIMES lim _{theta -> 0+} {{1-`cos ^{2} ` theta } over {theta ^{2} LEFT ( 1+`cos` theta RIGHT ) cos` theta }}# &= {1} over {2} TIMES lim _{theta -> 0+} {LEFT { {sin ^{2} ` theta } over {theta ^{2}} TIMES {1} over {LEFT ( 1+`cos` theta RIGHT ) cos` theta } RIGHT }}# &= {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {1} over {2 TIMES 1}# &= {1} over {4}]

따라서 [eqn: a= {1} over {4}]이므로

[eqn: 100a=100 TIMES {1} over {4} =25]

8. 그림과 같이 좌표평면에서 점 [eqn: rm A(-3,~0)]을 지나는 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 한 점 [eqn: rm P]에서만 만나고, 점 [eqn: rm B(2 ,~0)]을 지나는 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 한 점 [eqn: rm Q]에서만 만난다. 사각형 [eqn: rm PABQ]의 넓이가 [eqn: a sqrt {2} +b sqrt {3}]일 때, 두 유리수 [eqn: a ,~b]에 대하여 [eqn: 12(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이고 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 2]사분면, 점 [eqn: rm Q]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[eqn: rm ANGLE PAO= alpha ,~ ANGLE QBO= beta]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm OPA]에서 [eqn: rm ANGLE OPA= {pi} over {2}]이고 [eqn: rm {bar{OP}} =1]이므로

[eqn: sin` alpha = {1} over {3}]

즉, [eqn: cos` alpha = sqrt {1 ^{2} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}} = {2 sqrt {2}} over {3}]

직각삼각형 [eqn: rm OQB]에서 [eqn: rm ANGLE OQB= {pi} over {2}]이고 [eqn: rm {bar{OQ}} =1]이므로

[eqn: sin` beta = {1} over {2}]

즉, [eqn: cos` beta = sqrt {1 ^{2} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {3}} over {2}]

선분 [eqn: rm PQ]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm M]이라 하자.

[eqn: rm ANGLE POQ&= ANGLE POM+ ANGLE MOQ# &= LEFT ( {pi } over {2} - ANGLE rm POA RIGHT ) + LEFT ( {pi } over {2} - ANGLE rm QOB RIGHT )# &= LEFT { {pi } over {2} - LEFT ( {pi } over {2} - alpha RIGHT ) RIGHT } + LEFT { {pi } over {2} - LEFT ( {pi } over {2} - beta RIGHT ) RIGHT }# &= alpha + beta]

[eqn: rm sin`( ANGLE POQ) & =sin` LEFT ( alpha + beta RIGHT )# & =sin` alpha `cos` beta +cos` alpha `sin` beta # & = {1} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} + {2 sqrt {2}} over {3} TIMES {1} over {2}# & = {sqrt {3} +2 sqrt {2}} over {6}]

(사각형 [eqn: rm PABQ]의 넓이)[eqn: =](삼각형 [eqn: rm AOP]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm POQ]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm QOB]의 넓이)

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 1 TIMES sin` LEFT ( {pi } over {2} - alpha RIGHT ) + {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES sin` LEFT ( ANGLE POQ RIGHT )# ```````+ {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1 TIMES sin` LEFT ( {pi } over {2} - beta RIGHT )# = {3} over {2} `cos` alpha + {1} over {2} `sin` LEFT ( ANGLE rm POQ RIGHT ) +cos` beta # = {3} over {2} TIMES {2 sqrt {2}} over {3} + {sqrt {3} +2 sqrt {2}} over {12} + {sqrt {3}} over {2}# = {7 sqrt {3} +14 sqrt {2}} over {12}]

따라서 [eqn: a= {14} over {12} ,~b= {7} over {12}]이므로

[eqn: 12(a+b)=12 LEFT ( {14} over {12} + {7} over {12} RIGHT ) =21]

9. 곡선 [eqn: y=2e ^{-x}]위의 점 [eqn: rm P it (t,~2e ^{-t} )(t>0)]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A]라 하고, 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 삼각형 [eqn: rm APB]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: t]의 값은?

[eqn: y prime =-2e ^{-x}]이므로 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-2e ^{-t} =-2e ^{-t} LEFT ( x-t RIGHT )]

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y=2(1+t)e ^{-t}]

즉, [eqn: rm B it (0,~2(1+t)e ^{-t} ^{`} )]

점 [eqn: rm A it LEFT ( 0,~2e ^{-t} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm AB it }} = 2te ^{-t}]

삼각형 [eqn: rm APB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

[eqn: S(t)= {1} over {2} TIMES 2te ^{-t} TIMES t# =t ^{2} e ^{-t}]

[eqn: S prime (t)=2te ^{-t} -t ^{2} e ^{-t}# =t LEFT ( 2-t RIGHT ) e ^{-t}]

[eqn: S prime (t)=0]에서 [eqn: t>0]이므로 [eqn: t=2]

이때 0<t<2 일 때 S'(t)>0 이고 t>2 일 때 S'(t)<0 이므로

[eqn: S(t)]는 [eqn: t=2]에서 극대이면서 최대가 된다.

따라서 구하는 [eqn: t]의 값은 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 1]

② [eqn: {e} over {2}]

③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: e]

10. 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: k]에 대하여 함수[eqn: y=e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(k)]라 하자. [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속일 때, 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? (단, [eqn: f(0)=-5 ,~f(-1)=f(5)=0])

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 방정식 [eqn: f(x)=0]의 해가 [eqn: -1](중근), [eqn: 5]이므로 [eqn: f(x)=a(x+1) ^{2} `(x-5)]([eqn: a]는 상수)로 나타낼 수 있다.

[eqn: f(0)=-5]이므로

[eqn: f(0)=a TIMES `(-5)=-5a=-5]에서 [eqn: a=1]

즉, [eqn: f(x)=(x+1) ^{2} `(x-5)=x ^{3} `-3x ^{2} `-9x-5]

[eqn: y=e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]에 대하여

[eqn: y prime =f prime LEFT ( x RIGHT ) e ^{f LEFT ( x RIGHT )} &= LEFT ( 3x ^{2} -6x-9 RIGHT ) e ^{x ^{3} -3x ^{2} -9x-5}# &=3 LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT )}]

[eqn: e ^{f LEFT ( x RIGHT )} >0]이므로 [eqn: y prime]의 부호는 [eqn: (x-3)(x+1)]의 부호와 같다.

즉, [eqn: x< -1] 또는 [eqn: x>3]일 때, [eqn: y prime >0]

[eqn: -1<x<3]일 때, [eqn: y prime <0]

[eqn: x=3]또는 [eqn: x=-1]일 때, [eqn: y prime =0]이다.

함수 [eqn: e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	[eqn: -1]	…	[eqn: 3]	…
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]	↗	극대	↘	극소	↗

[eqn: lim _{x -> - INF } {e ^{f LEFT ( x RIGHT )} =0} ,~ lim _{x -> INF } {e ^{f LEFT ( x RIGHT )} = INF }]이고 [eqn: e ^{f LEFT ( -1 RIGHT )} =e ^{0} =1], [eqn: e ^{f LEFT ( 3 RIGHT )} =e ^{4 ^{2} TIMES LEFT ( -2 RIGHT )} =e ^{-32}]이므로 함수 [eqn: y=e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]의 그래프는 다음과 같다.

양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: g(k)]는 다음과 같다.

[eqn: g(k)= {cases{1&LEFT ( 0<k<e ^{-32} ~또는~k>1 RIGHT )#eqalign{3# 2}&eqalign{LEFT ( e ^{-32} <k<1 RIGHT )# LEFT ( k=e ^{-32} ~또는~k=1 RIGHT )}}}]

즉, [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: y=g(x)]가 불연속인 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x=e^-32] 또는 [eqn: x=1]이다.

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: e ^{-32}]이다.

① [eqn: e^-32]

② [eqn: e^-30]

③ [eqn: e^-28]

④ [eqn: e^-26]

⑤ [eqn: e^-24]

11. 그림과 같이 양수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y=e ^{x} +t]의 그래프와 함수 [eqn: y=ln(x-t)]의 그래프가 있다. 이 두 함수의 그래프와 모두 만나는 원의 넓이의 최솟값을 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t-> INF } {{S LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{2}}}]의 값은?

함수 [eqn: y=e ^{x} +t]에서 [eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면

[eqn: x=e ^{y} `+t# e ^{y} `=x-t# y=ln`(x-t)]

즉, 함수 [eqn: y=ln(x-t)]는 함수 [eqn: y=e ^{x} `+t]의 역함수이므로 함수 [eqn: y=e ^{x} `+t]의 그래프는 함수 [eqn: y=ln(x-t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

다음 그림과 같이 두 함수의 그래프와 모두 만나는 원 중에서 넓이가 최소인 원은 두 함수의 그래프와 각각 한 점에서 만나야 하며 원의 중심은 직선 [eqn: y=x] 위에 있어야 한다.

두 함수 [eqn: y=e ^{x} `+t,~y=ln(x-t)]의 그래프 위의 점에서의 접선이 직선 [eqn: y=x]와 평행할 때의 접점을 각각 [eqn: rm A,~B]라 하면 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 원의 넓이가 [eqn: S(t)]이다.

[eqn: y=e ^{x} `+t]에서

[eqn: y prime =e ^{x}]

[eqn: e ^{x} =1]일 때, [eqn: x=0]이므로

[eqn: rm A it (0,~t+1),~rm B it (t+1,~0)]이다.

즉, 원의 지름의 길이가

[eqn: sqrt {LEFT { 0-(t+1) RIGHT } ^{2} + LEFT { (t+1)-0 RIGHT } ^{2}} =(t+1) sqrt {2}]

이므로 [eqn: S(t)= LEFT { {LEFT ( t-1 RIGHT ) sqrt {2}} over {2} RIGHT } ^{2} pi= {LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2}} over {2} pi]

따라서

[eqn: lim _{t -> INF } {{S LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{2}}} & = lim _{t -> INF } {{LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} pi } over {2t ^{2}}}# & = {pi } over {2}]

① [eqn: {pi} over {2}]

② [eqn: {3} over {4} pi]

③ [eqn: pi]

④ [eqn: {5} over {4} pi]

⑤ [eqn: {3} over {2} pi]

12. [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 [eqn: y=a ^{x}]이 만나는 점의 개수를 [eqn: f(a)]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{3} f LEFT ( e ^{{1} over {ke}} RIGHT ) + sum _{k=1} ^{5} f LEFT ( e ^{{k} over {e}} RIGHT )]의 값은?

(i) [eqn: 0<a<1]인 경우

두 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 [eqn: y=a ^{x}]은 다음 그림과 같으므로 [eqn: f(a)=1]

(ii) [eqn: a>1]인 경우

두 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 [eqn: y=a ^{x}]은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이므로 두 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 [eqn: y=a ^{x}]이 만나는 점의 개수는 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의 개수를 구하기 위해 우선 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]가 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 구해 보자.

[eqn: y=log _{a} `x]에서 [eqn: y prime = {1} over {ln`a} TIMES {1} over {x}]이므로 점 [eqn: (t,~log _{a} `t)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {1} over {ln`a} TIMES {1} over {t}]이고, 곡선 위의 점 [eqn: (t,~log _{a} `t)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= {1} over {ln`a} TIMES {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT ) +log _{a} `t] …… ㉠

이 접선이 원점을 지나려면

[eqn: 0= {1} over {ln`a} TIMES {1} over {t} TIMES LEFT ( -t RIGHT ) +log _{a} `t]

[eqn: {1} over {ln`a} = {ln`t} over {ln`a}]에서 [eqn: t=e]

㉠에 [eqn: t=e]를 대입하면 접선의 방정식은

[eqn: y= {1} over {ln`a} TIMES {1} over {e} LEFT ( x-e RIGHT ) +log _{a} `e]

이고, 이 접선의 방정식이 [eqn: y=x]와 일치해야 하므로

[eqn: {1} over {ln`a} TIMES {1} over {e} =1]에서 [eqn: a=e ^{{1} over {e}}]

즉, 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]가 한 점에서 만나도록 하는

실수 [eqn: a]는 [eqn: a=e ^{{1} over {e}}]이다.

곡선 [eqn: y=log _{a} `x]는 [eqn: a>1]에서 [eqn: a]의 값이 커질수록 곡선

[eqn: y=log _{a} `x]와 직선 [eqn: x=k`(k>1)]가 만나는 점이 [eqn: x]축과 가까워지므로 함수 [eqn: f(a)]는 다음과 같다.

[eqn: 1<a<e ^{{1} over {e}}]일 때 [eqn: f(a)=2]

[eqn: a=e ^{{1} over {e}}]일 때, [eqn: f(a)=1]

[eqn: a>e ^{{1} over {e}}]일 때, [eqn: f(a)=0]

즉, (i), (ii)에 의하여

[eqn: f(a)= {cases{2&LEFT ( 1<a<e ^{{1} over {e}} RIGHT )#eqalign{1# 0}&eqalign{LEFT ( 0<a<1~또는~a=e ^{{1} over {e}} RIGHT )# LEFT ( a>e ^{{1} over {e}} RIGHT )}}}]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{3} f LEFT ( e ^{{1} over {ke}} RIGHT ) + sum _{k=1} ^{5} f LEFT ( e ^{{k} over {e}} RIGHT ) & =f LEFT ( e ^{{1} over {e}} RIGHT ) + sum _{k=2} ^{3} f LEFT ( e ^{{1} over {ke}} RIGHT ) +f LEFT ( e ^{{1} over {e}} RIGHT ) + sum _{k=2} ^{5} f LEFT ( e ^{{1} over {ke}} RIGHT )# & =1+2 TIMES 2+1+4 TIMES 0=6]

① [eqn: 3]

② [eqn: 4]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 7]

13. 함수 [eqn: f(x)= {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4}]와 함수 [eqn: g(x)= {4-|x-4|} over {2}]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 0 LEQ a LEQ 8]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 최솟값은?

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]라 하자.

(i) [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]일 때,

[eqn: int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}# = int _{0} ^{a} {LEFT ( {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4} RIGHT ) dx+ int _{a} ^{4} {{x} over {2} dx}} + int _{4} ^{8} {{-x+8} over {2} dx}# = LEFT [ {5} over {2} x-5ln` LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{a} + LEFT [ {1} over {4} x ^{2} RIGHT ] _{a}^{4} + LEFT [ - {x ^{2}} over {4} +4x RIGHT ] _{4}^{8}# = {5} over {2} a-5ln` LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln`4+8- {1} over {4} a ^{2}]

따라서 [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]에서

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = {5} over {2} a-5ln` LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln`4+8- {1} over {4} a ^{2}]

(ii) [eqn: 4 LEQ a LEQ 8]일 때,

[eqn: int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}# = int _{0} ^{a} {LEFT ( {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4} RIGHT ) dx+ int _{a} ^{8} {{-x+8} over {2} dx}}# = LEFT [ {5} over {2} x-5ln` LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{a} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{2} +4x RIGHT ] _{a}^{8}# = {5} over {2} a-5ln` LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) - LEFT ( -5ln`4 RIGHT ) -16+32- LEFT ( - {1} over {4} a ^{2} +4a RIGHT )# = {5} over {2} a-5ln` LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln`4+16+ {1} over {4} a ^{2} -4a]

따라서 [eqn: 4 LEQ a LEQ 8]에서

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = {5} over {2} a-5ln` LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln`4+16+ {1} over {4} a ^{2} -4a]

따라서 [eqn: 0<a<4]일 때,

[eqn: S prime (a)= {-(a-1)(a ^{2} -4a+20)} over {2(a ^{2} +4)}]이므로

[eqn: a=1]에서 극대이고

[eqn: S(0)=8]        …… ㉠

[eqn: S(4)=14-5 ln`5] …… ㉡

[eqn: 4<a<8]일 때,

[eqn: S prime (a)= {(a-6)(a+1)(a+2)} over {2(a ^{2} +4)}]이므로

[eqn: a=6]에서 극소이고

[eqn: S(6)=16-5 ln`10] …… ㉢

따라서 ㉠, ㉡, ㉢에서 구하는 최솟값은

[eqn: S(6)=16-5 ln`10]

① [eqn: 14-5ln`5]

② [eqn: 15-5ln`10]

③ [eqn: 15-5ln`5]

④ [eqn: 16-5ln`10]

⑤ [eqn: 16-5ln`5]

14. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} + {1} over {2} int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx}]의 값은?

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx}]에서 [eqn: 2x=t]로 놓으면 [eqn: 2= {dt} over {dx}]

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2,~x=4]일 때 [eqn: t=8]이므로

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} = {1} over {2} int _{2} ^{8} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

[eqn: int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx}]에서 [eqn: x-4=t]로 놓으면 [eqn: 1= {dt} over {dx}]

[eqn: x=10]일 때 [eqn: t=6,~x=16]일 때 [eqn: t=12]이므로

[eqn: int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx} = int _{6} ^{12} {g LEFT ( t RIGHT ) dt-60}]

따라서

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} + {1} over {2} int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx}# = {1} over {2} LEFT ( int _{2} ^{8} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} + int _{6} ^{12} {g LEFT ( t RIGHT ) dt-60} RIGHT )# = {1} over {2} LEFT ( 8 TIMES 12-2 TIMES 6-60 RIGHT ) =12]

{다른 풀이}

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx}]에서 [eqn: 2x=t]로 놓으면 [eqn: 2= {dt} over {dx}]

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2,~x=4]일 때 [eqn: t=8]이므로

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} = {1} over {2} int _{2} ^{8} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

함수 [eqn: y=g(x-4)-10]의 그래프는 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -10]만큼 평행이동한 것이다. 또한 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x-4)-10]의 그래프는 다음과 같다.

점 [eqn: rm A(2,~6)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점의 좌표는 [eqn: (6,~2)]이고 이 점을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -10]만큼 평행이동한 점은 [eqn: rm A prime (10,~-8)]

마찬가지로 점 [eqn: rm B(8,~12)]를 같은 방법으로 이동시킨 점은 [eqn: rm B prime (16,~-2)]이다.

즉, 곡선 [eqn: rm AB]와 곡선 [eqn: rm A prime B prime]은 서로 포개어진다.

그림과 같이 [eqn: int _{2} ^{8} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =P+Q]로 놓고

[eqn: int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx} =- LEFT ( R+S RIGHT )]로 놓으면

[eqn: P=S]이고 [eqn: Q=6 TIMES (8-2)=36,~R=2 TIMES (16-10)=12]이다.

따라서

[eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} + {1} over {2} int _{10} ^{16} {LEFT { g LEFT ( x-4 RIGHT ) -10 RIGHT } dx}# = {1} over {2} LEFT ( P+Q RIGHT ) - {1} over {2} LEFT ( R+S RIGHT )# = {1} over {2} LEFT ( Q-R RIGHT )# = {1} over {2} LEFT ( 36-12 RIGHT ) =12]

① [eqn: 12]

② [eqn: 14]

③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 20]

15. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=f(8)=0]이다. 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f prime (x)]에 대하여 그림과 같이 함수[eqn: y=e ^{x} `f prime (x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0,~2,~5]이고 함수 [eqn: y=e ^{x} `f prime (x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=8]로 둘러싸인 세 부분 [eqn: A,~B,~C]의 넓이가 각각 [eqn: 4,~9,~13]일 때, [eqn: int _{0} ^{4} {e ^{2x} f LEFT ( 2x RIGHT ) dx}]의 값은?

[eqn: int _{0} ^{4} {e ^{2x} f LEFT ( 2x RIGHT ) dx}]에서 [eqn: 2x=t]로 놓으면

[eqn: 2= {dt} over {dx}]에서 [eqn: dx= {1} over {2} dt]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0,~x=4]일 때 [eqn: t=8]이므로

[eqn: int _{0} ^{4} {e ^{2x} f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} = {1} over {2} int _{0} ^{8} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

[eqn: int _{0} ^{8} {e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]에서 [eqn: g prime (x)=e ^{x}]이라 하면 [eqn: g(x)=e ^{x} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{8} {e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) dx} & = LEFT [ e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{8} - int _{0} ^{8} {e ^{x} f prime LEFT ( x RIGHT ) dx}# & = LEFT { e ^{8} f LEFT ( 8 RIGHT ) -e ^{0} f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } -(A-B+C)# & =(0-0)-(4-9+13)# & =-8]

따라서

[eqn: int _{0} ^{4} {e ^{2x} f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} &= {1} over {2} int _{0} ^{8} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) dt}# &= {1} over {2} TIMES LEFT ( -8 RIGHT )# &=-4]

① [eqn: -4]

② [eqn: -2]

③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: 4]

16. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=e ^{x} `,~y=ln`x]와 양수 [eqn: t]에 대하여 네 점 [eqn: rm O it (0,~0),~rm A it (t+1,~0),~rm B it (t+1,~t+1),~rm C it(0,~t+1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC]가 있다. 두 곡선 [eqn: y=e ^{x} `,~y=ln`x]와 직사각형 [eqn: rm OABC]로 둘러싸인 세 도형 중 색칠된 도형의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {{S LEFT ( t RIGHT ) -1} over {ln` LEFT ( t+1 RIGHT )}}]의 값은?

곡선 [eqn: y=ln`x]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=t+1]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{1} ^{t+1} {ln`x`dx} & = LEFT [ x`ln`x-x RIGHT ] _{1}^{t+1}# & =(t+1)ln`(t+1)-(t+1)+1# & =(t+1)ln`(t+1)-t]

또한 두 곡선 [eqn: y=e ^{x} ,~y=ln`x]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

[eqn: S(t) & =(t+1) ^{2} -2 LEFT { (t+1)ln`(t+1)-t RIGHT }# & =t ^{2} +4t+1-2(t+1)ln`(t+1)]

이때 [eqn: t>0]에서 [eqn: ln`(t+1)>0]이므로

[eqn: {S(t)-1} over {ln`(t+1)} `= {t ^{2} +4t} over {ln`(t+1)} `-2(t+1)]

따라서

[eqn: lim _{t -> 0+} {{S LEFT ( t RIGHT ) -1} over {ln` LEFT ( t+1 RIGHT )}} &= lim _{t -> 0+} {LEFT { {t ^{2} +4t} over {ln` LEFT ( t+1 RIGHT )} -2 LEFT ( t+1 RIGHT ) RIGHT }}# &= lim _{t -> 0+} {LEFT { {t+4} over {{1} over {t} `ln` LEFT ( t+1 RIGHT )} -2 LEFT ( t+1 RIGHT ) RIGHT }}# &= {lim _{t -> 0+} {LEFT ( t+4 RIGHT )}} over {lim _{t -> 0+} {LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{{1} over {t}}}} - lim _{t -> 0+} {2 LEFT ( t+1 RIGHT )}# &= {4} over {1} -2=2]

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

도형의 성질을 이용하는 문제

17. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 호 [eqn: rm AB]위의 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rm PH]와 선분 [eqn: rm AB]의 교점을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: rm ANGLE POH= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm AQH]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,~0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm {bar{OH}} =cos` theta]이므로 [eqn: rm {bar{HA}} =1-cos` theta]

직각삼각형 [eqn: rm OAB]에서 [eqn: rm {bar{OA}} ={bar{OB}}]이므로

[eqn: rm ∠ OAB= ∠ OBA] …… ㉠

이때, [eqn: rm {bar{OB}} // {bar{PH}}]이므로

[eqn: rm ∠ OBA= ∠ HQA] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: rm ∠ HAQ= ∠ HQA]

즉, 직각삼각형 [eqn: rm HAQ]에서 [eqn: rm {bar{HA}} = {bar{HQ}}]

따라서 삼각형 [eqn: rm AQH]의 넓이 [eqn: S( theta )]는

[eqn: S( theta )= {LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) ^{2}} over {2}]

이므로

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}} & = lim _{theta -> 0+} {{LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) ^{2}} over {2 theta ^{4}}}# & = lim _{theta -> 0+} {{LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}} over {2 theta ^{4} LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}}}# & = lim _{theta -> 0+} {{1} over {2 LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}}} TIMES lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {sin` theta } over {theta ^{4}} RIGHT ) ^{4}}# & = {1} over {2 LEFT ( 1+1 RIGHT ) ^{2}} TIMES 1 ^{4} = {1} over {8}]

① [eqn: {1} over {8}]

② [eqn: {1} over {4}]

③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]

18. 그림과 같이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]인 반직선 [eqn: l] 위의 한 점 [eqn: rm P]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 원점 [eqn: rm O]에 대하여 [eqn: {bar{rm OP it}} =r]이다.

㈏ 두 점 [eqn: rm A(1,~0),~B(2,~0)]과 반직선 [eqn: l] 위의 임의의 점 [eqn: rm X]에 대하여 [eqn: {bar{rm AX it}}+{bar{rm BX it}}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rm X]는 점 [eqn: rm P]이다.

점 [eqn: rm P]의 좌표가 [eqn: (x,~y)]일 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{y} over {theta }}]의 값은?

점 [eqn: rm B]를 반직선 [eqn: l]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B prime]이라 하면

[eqn: rm {bar{PB}} = rm {bar{PB prime }}]

이므로 세 점 [eqn: rm A,~P,~B prime]이 일직선 위에 있을 때

[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{BP}}]가 최소이다.

즉, [eqn: rm ∠ OPA+ ∠ OPB=pi]이다.

점 [eqn: rm A(1,~0)]에서 반직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{1}]이라 하면

삼각형 [eqn: rm OAH _{1}]은 [eqn: rm ANGLE AOH _{1} = theta]이고 [eqn: rm {bar{OA}} =1]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm {bar{OH _{1}}} =cos` theta]

따라서 [eqn: rm {bar{PH _{1}}} it =r-cos` theta]

같은 방법으로 생각하면

[eqn: rm {bar{BH _{2}}} it =2`sin` theta]

에서 [eqn: rm {bar{OH _{2}}} =2`cos` theta]이므로 [eqn: rm {bar{PH _{2}}} it =2`cos` theta -r]

또한, [eqn: rm ANGLE OPA+ ANGLE OPB=pi]에서 [eqn: rm ANGLE OPB=pi- ANGLE OPA]이므로

[eqn: rm cos( ∠ OPB)=-cos( ∠ OPA)]

[eqn: {r-2`cos` theta } over {sqrt {r ^{2} -4r`cos` theta +4}} = {- LEFT ( r-cos` theta RIGHT )} over {sqrt {r ^{2} -2r`cos` theta +1}}]

[eqn: {r ^{2} -4r`cos` theta +4`cos ^{2} ` theta } over {r ^{2} -4r`cos` theta +4} = {r ^{2} -2r`cos` theta +cos ^{2} ` theta } over {r ^{2} -2r`cos` theta +1}]

[eqn: 1- {r ^{2} -4`sin ^{2} ` theta } over {r ^{2} -4r`cos` theta +4} =1- {sin ^{2} ` theta } over {r ^{2} -2r`cos` theta +1}]

[eqn: 4 LEFT ( r ^{2} -2r`cos` theta +1 RIGHT ) =r ^{2} -4r`cos` theta +4]

[eqn: 3r ^{2} -4r`cos` theta =0]

즉, [eqn: r= {4} over {3} `cos` theta]이므로

[eqn: y=r`sin` theta = {4} over {3} `sin` theta `cos` theta]

따라서 [eqn: lim _{theta -> 0+} {{y} over {theta }} = lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {4} over {3} TIMES {sin` theta } over {theta } TIMES cos`` theta RIGHT )} = {4} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]

② [eqn: {2} over {3}]

③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]

⑤ [eqn: {5} over {3}]

19. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]와 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]가 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 점 [eqn: rm B( sqrt {2} ,~0)]에 대하여 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고 두 선분 [eqn: rm PH]와 [eqn: rm OA]가 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: rm ANGLE POB= theta]에 대하여 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: S( theta )], 선분 [eqn: rm PQ]의 길이를 [eqn: l( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES l LEFT ( theta RIGHT )}}]의 값은?

원의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {2}]이므로

[eqn: rm P( sqrt {2} `cos` theta ,~ sqrt {2} `sin` theta )], [eqn: rm H(0,~ sqrt {2} sin` theta )]

또한 점 [eqn: rm A]는 원 위의 점이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x ^{2} +( sqrt {x} ) ^{2} =2]

[eqn: x ^{2} +x-2=0]

[eqn: (x+2)(x-1)=0]

이때 [eqn: rm x>0]이므로 [eqn: x=1]

즉, [eqn: rm A(1 ,~1)]이므로 직선 [eqn: rm OA]의 방정식은

[eqn: y=x]

[eqn: rm Q( sqrt {2} sin` theta ,~ sqrt {2} `sin` theta )]이므로

[eqn: S( theta ) & = {1} over {2} TIMES sqrt {2} `sin` theta ( sqrt {2} `cos` theta - sqrt {2} `sin` theta )# & =sin` theta (cos` theta -sin` theta )]

[eqn: l( theta ) & = sqrt {2} `cos` theta - sqrt {2} `sin` theta # & = sqrt {2} (cos` theta -sin` theta )]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES l LEFT ( theta RIGHT )}}# = lim _{theta -> 0+} {{sin` theta LEFT ( cos` theta -sin` theta RIGHT )} over {sqrt {2} ` theta LEFT ( cos` theta -sin` theta RIGHT )}}# = lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {1} over {sqrt {2}} TIMES {sin` theta } over {theta } RIGHT )}# = {1} over {sqrt {2}} TIMES 1= {sqrt {2}} over {2}]

{다른 풀이}

[eqn: rm ANGLE HPO= ANGLE POB= theta]이므로 삼각형 [eqn: rm OPQ]에서

[eqn: rm {bar{OP}} = sqrt {2} ,~ rm {bar{PQ}} it =l LEFT ( theta RIGHT )]

이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES `l LEFT ( theta RIGHT ) TIMES sin` theta]

[eqn: {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES l LEFT ( theta RIGHT )} = {sqrt {2}} over {2} TIMES {sin` theta } over {theta }]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES l LEFT ( theta RIGHT )}} &= lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {sqrt {2}} over {2} TIMES {sin` theta } over {theta } RIGHT )}# &= {sqrt {2}} over {2} TIMES 1= {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: LEFT ( 단,~0< theta < {pi } over {4} 이고,~ rm O는~원점이다. RIGHT )]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]

⑤ [eqn: 2]

20. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB }} =1,~ ANGLE BAC= theta]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 점 [eqn: rm B]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rm BPQ]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}}]의 값은?

삼각형 [eqn: rm ABP]에서

[eqn: rm {bar{BP}} = rm {bar{AB}} sin` theta =sin` theta]

또한, [eqn: rm ANGLE BAP= ANGLE BPQ= theta]이므로

[eqn: rm {bar{BQ}} = rm {bar{BP}} sin` theta =sin` theta `sin` theta =sin ^{2} ` theta]

[eqn: rm {bar{BQ}} = rm {bar{BP}} sin` theta =sin` theta `sin` theta =sin ^{2} ` theta]

따라서 삼각형 [eqn: rm BPQ]의 넓이 [eqn: S( theta )]는

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) &= {1} over {2} TIMES rm {bar{BQ}} TIMES rm {bar{PQ}}# &= {1} over {2} TIMES sin ^{2} ` theta TIMES sin` theta `cos`` theta # &= {1} over {2} `sin ^{2} ` theta `cos`` theta]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} = lim _{theta -> 0+} {{{1} over {2} `sin ^{3} ` theta `cos` theta } over {theta ^{3}}}# = lim _{theta -> 0+} {LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( {sin` theta } over {theta } RIGHT ) ^{3} TIMES cos` theta RIGHT }}# = {1} over {2} TIMES 1 ^{3} TIMES 1`= {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: 1]

③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: {5} over {2}]

21. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]위의 두 점 [eqn: rm P,~Q]에서 각각 접하는 두 직선 [eqn: l,~l prime]은 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: theta ,~2 theta]이다. 두 직선 [eqn: l,~l prime]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm R,~S]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OPR]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rm OSQ]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> {pi} over {2} -} {{f LEFT ( theta RIGHT )} over {LEFT ( {pi} over {2} - theta RIGHT ) ^{2} g LEFT ( theta RIGHT )}}]의 값은?

[eqn: rm {bar{OP}} =1]이므로 [eqn: rm {bar{PR}} = {1} over {tan` theta }]

[eqn: rm {bar{OQ}} =1]이고 [eqn: rm ANGLE OSQ= pi -2 theta]이므로

[eqn: rm {bar{QS}} = {1} over {tan` LEFT ( pi - theta RIGHT )} =- {1} over {tan`2 theta }]

따라서

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) & = {1} over {2} TIMES rm {bar{PR}} TIMES rm {bar{OP}}# & = {1} over {2} TIMES {1} over {tan` theta } TIMES 1# & = {1} over {2`tan` theta }]

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) & = {1} over {2} TIMES rm {bar{QS}} TIMES rm {bar{OQ}}# & = {1} over {2} TIMES LEFT ( - {1} over {tan`2 theta } RIGHT ) TIMES 1# & =- {1} over {2`tan`2 theta }]

이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -} {{f LEFT ( theta RIGHT )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2} g LEFT ( theta RIGHT )}}# = lim _{theta -> {pi } over {2} -} {{{1} over {2tan` theta }} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( - {1} over {2tan`2 theta } RIGHT )}}# = lim _{theta -> {pi } over {2} -} {{{1} over {tan` LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT )}} over {t ^{2} TIMES LEFT { - {1} over {tan LEFT ( pi -2t RIGHT )} RIGHT }}} LEFT ( {pi } over {2} - theta =t라~하면 RIGHT )# = lim _{t -> 0+} {{tan`t TIMES tan`2t} over {t ^{2}}}# = lim _{t -> 0+} {LEFT ( {tan`t} over {t} TIMES {tan`2t} over {t} TIMES 2 RIGHT )}# =1 TIMES 1 TIMES 2# =2]

[eqn: LEFT ( 단,~ {pi } over {4} < theta < {pi } over {2} 이고,~ rm O는~원점이다. RIGHT )]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: 1]

③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: {5} over {2}]

22. 그림과 같이 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} =2`sin` theta]이고 [eqn: rm ANGLE ACB= theta]이다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{r LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}}]의 값은?

[eqn: {bar{rm AC it}} =2`sin` theta ,~ rm ANGLE ACB= theta]이므로

[eqn: {bar{rm BC it}} =2 TIMES 2`sin` theta TIMES cos` theta =4`sin` theta `cos` theta]

이고 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2`sin` theta TIMES 4`sin` theta `cos` theta TIMES sin` theta =4`sin ^{3} ` theta `cos` theta] …… ㉠

또한 내접원의 반지름의 길이가 [eqn: r( theta )]이므로 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES r LEFT ( theta RIGHT ) TIMES LEFT ( 2`sin` theta +2`sin` theta +4`sin` theta `cos` theta RIGHT )# = LEFT ( 2`sin` theta +2`sin` theta `cos` theta RIGHT ) TIMES r LEFT ( theta RIGHT )] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT ( 2`sin` theta +2`sin` theta `cos` theta RIGHT ) TIMES r LEFT ( theta RIGHT ) =4`sin ^{3} ` theta `cos` theta]

[eqn: r( theta )= {2`sin ^{2} ` theta `cos` theta } over {1+cos` theta }]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{r LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} & = lim _{theta -> 0+} {{{2`sin ^{2} ` theta `cos` theta } over {1+cos` theta }} over {theta ^{2}}}# & = lim _{theta -> 0+} {LEFT ( 2 TIMES {sin ^{2} ` theta } over {theta ^{2}} TIMES {cos` theta } over {1+cos` theta } RIGHT )}# & =2 TIMES 1 ^{2} TIMES {1} over {2} =1]

① [eqn: {1} over {5}]

② [eqn: {2} over {5}]

③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]

⑤ [eqn: 1]

23. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]를 점 [eqn: rm A]를 중심으로 시계 반대방향으로 [eqn: theta]만큼 회전시킨 정사각형을 [eqn: rm AB prime C prime D prime]이라 하자. 두 변 [eqn: rm B prime C prime ,~CD]의 교점을 [eqn: rm E]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm AB prime D]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rm B prime ED]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{f LEFT ( theta RIGHT ) -g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은?

[eqn: rm {bar{AB prime }} = rm {bar{AD}} =2,~ ANGLE B prime AD= {pi } over {2} - theta]이므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) & = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )# & =2`cos` theta]

또한 [eqn: rm ANGLE B prime DE= ANGLE DB prime E]이므로 삼각형 [eqn: rm B prime ED]는 이등변삼각형이고 점 [eqn: rm B prime]을 지나고 변 [eqn: rm BC]에 평행한 직선이 두 변 [eqn: rm AB,~CD]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm F,~G]라 하면

[eqn: rm {bar{B prime F}} =2`sin` theta ,~ rm {bar{B prime G}} =2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT )]

이고 [eqn: rm ANGLE B prime ED= {pi} over {2} + theta]에서 [eqn: rm ANGLE B prime EG= {pi } over {2} - theta]이므로

[eqn: rm {bar{B prime E}} = {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT )} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )} = {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT )} over {cos` theta }]

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) &= {1} over {2} TIMES {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT )} over {cos` theta } TIMES {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT )} over {cos` theta } TIMES sin` LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )# &= {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT ) ^{2}} over {cos` theta }]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{f LEFT ( theta RIGHT ) -g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}# = lim _{theta -> 0+} {{2`cos` theta - {2 LEFT ( 1-sin` theta RIGHT ) ^{2}} over {cos` theta }} over {theta }}# =2 lim _{theta -> 0+} {{cos ^{2} ` theta - LEFT ( 1-sin` theta RIGHT ) ^{2}} over {theta `cos` theta }}# =2 lim _{theta -> 0+} {{LEFT ( cos` theta +sin` theta -1 RIGHT ) LEFT ( cos` theta -sin` theta +1 RIGHT )} over {theta `cos` theta }}# =2 lim _{theta -> 0+} {LEFT { LEFT ( {cos` theta -1} over {theta } + {sin` theta } over {theta } RIGHT ) LEFT ( cos` theta -sin` theta +1 RIGHT ) TIMES {1} over {cos` theta } RIGHT }}# =2 lim _{theta -> 0+} {LEFT [ LEFT { {cos ^{2} ` theta -1} over {theta LEFT ( cos` theta +1 RIGHT )} + {sin` theta } over {theta } TIMES LEFT ( cos` theta -sin` theta +1 RIGHT ) TIMES {1} over {cos` theta } RIGHT } RIGHT ]}# =2 lim _{theta -> 0+} {LEFT [ LEFT { {-sin ^{2} ` theta -1} over {theta LEFT ( cos` theta +1 RIGHT )} + {sin` theta } over {theta } TIMES LEFT ( cos` theta -sin` theta +1 RIGHT ) TIMES {1} over {cos` theta } RIGHT } RIGHT ]}# =2 lim _{theta -> 0+} {LEFT { LEFT ( - {sin` theta } over {theta } TIMES {sin` theta } over {cos` theta +1} + {sin` theta } over {theta } RIGHT ) TIMES LEFT ( cos` theta -sin` theta +1 RIGHT ) TIMES {1} over {cos` theta } RIGHT }}# =2 TIMES LEFT { LEFT ( -1 TIMES 0+1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1-0+1 RIGHT ) TIMES 1 RIGHT } =4]

① [eqn: 2]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]

⑤ [eqn: 6]

24. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에서 점 [eqn: rm B]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 사분원 위에 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하고, [eqn: rm ANGLE PBC= theta]라 하자. 색칠된 도형 [eqn: rm PAH]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 도형 [eqn: rm PCI]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{pi -f LEFT ( theta RIGHT )} over {2 theta +g LEFT ( theta RIGHT )}}]의 값은?

[eqn: rm {bar{BP}} =2]이므로

[eqn: rm {bar{P`I}} =2-2`cos` theta ,~ {bar{PH}} =2`cos` theta ,`~ {bar{BH}} =2`sin` theta]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) & = {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) - {1} over {2} TIMES 2`sin` theta TIMES 2`cos`` theta # & = pi -2` theta -2`sin` theta `cos`` theta]

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) & = LEFT { {1} over {2} TIMES 2`cos` theta TIMES 2`sin` theta + LEFT ( 2-2`cos` theta RIGHT ) TIMES 2`sin` theta RIGHT } - {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES theta # & =2`sin` theta `cos` theta +4`sin` theta -4`sin` theta `cos` theta -2 theta # & =4`sin` theta -2`sin` theta `cos` theta -2 theta]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{pi -f LEFT ( theta RIGHT )} over {2 theta +g LEFT ( theta RIGHT )}} & = lim _{theta -> 0+} {{2 theta +2`sin` theta `cos` theta } over {4`sin` theta -`2`sin` theta `cos` theta }}# & = lim _{theta -> 0+} {{2+2` TIMES {sin` theta } over {theta } TIMES cos` theta } over {4 TIMES {sin` theta } over {theta } `-`2` TIMES {sin` theta } over {theta } TIMES cos` theta }}# & = {2+2 TIMES 1 TIMES 1} over {4 TIMES 1-2 TIMES 1 TIMES 1} =2]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: 1]

③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: {5} over {2}]

빈칸의 내용을 추론하는 문제

25. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x,~y]에 대한 연립부등식 [eqn: {cases{x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} LEQ 1&#y LEQ tx&}}]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자.

다음은 [eqn: f prime (2)]의 값을 구하는 과정이다.

원 [eqn: C] : [eqn: `x ^{2} `+(y-1) ^{2} `=1]의 중심을 [eqn: rm A], 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l:y=tx]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm O ,~B]라 하자.

직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]라 하면 [eqn: rm ANGLE OAB=2 theta]이다.

주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하면 [eqn: g( theta )= theta - {BOX{~~㈎~~}}]이다.

[eqn: t=tan` theta]이므로 [eqn: g( theta )=f(t)=f(tan` theta )]이고 합성함수의 미분법에 의하여 [eqn: g prime ( theta )=f prime (t) TIMES {BOX{~~㈏~~}}]이다.

[eqn: t=2]일 때, [eqn: tan` theta =2]이므로 [eqn: f prime (2)= {BOX{~~㈐~~}}]이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: h _{1} ( theta ),~h _{2} ( theta )]라 하고 ㈐에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a TIMES h _{1} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) TIMES h _{2} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은?

원 [eqn: C] : [eqn: `x ^{2} `+(y-1) ^{2} `=1]의 중심을 [eqn: rm A], 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l:y=tx]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm O ,~B]라 하자. 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]라 하면 [eqn: rm ANGLE OAB=2 theta]이다.

주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하면

[eqn: g( theta ) & = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES 2 theta - {1} over {2} TIMES 2`sin` theta TIMES cos` theta # & = theta - {BOX{~~sin` theta `cos` theta ~~}}] ……  ㉠

이다.

[eqn: t=tan` theta]이므로 [eqn: g( theta )=f(t)=f(tan` theta )]이고 합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g prime ( theta )=f prime LEFT ( tan` theta RIGHT ) TIMES LEFT ( tan` theta RIGHT ) prime =f prime LEFT ( t RIGHT ) TIMES {BOX{~~sec ^{2} ` theta ~~}}]

이다.

한편 ㉠에서

[eqn: g prime ( theta ) & =1-(cos theta cos theta -sin theta sin theta )# & =1-cos ^{2} theta +sin ^{2} theta # & =2`sin ^{2} theta]

이므로 [eqn: f prime (t)= {g prime ( theta )} over {sec ^{2} theta } = {2`sin ^{2} theta } over {sec ^{2} theta } =2`sin ^{2} theta `cos ^{2} theta]

[eqn: t=2]일 때, [eqn: tan` theta =2]이고 [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로

[eqn: sin` theta = {2} over {sqrt {5}} ,~cos` theta = {1} over {sqrt {5}}]

따라서 [eqn: f prime (2)=2 TIMES {4} over {5} TIMES {1} over {5} = {BOX{~ {8} over {25} ~}}]

[eqn: h _{1} LEFT ( theta RIGHT ) =sin` theta `cos` theta ,~h _{2} LEFT ( theta RIGHT ) =sec ^{2} theta `,~a= {8} over {25}]이므로

[eqn: a TIMES h _{1} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) TIMES h _{2} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) & = {8} over {25} TIMES sin` {pi } over {4} `cos` {pi } over {4} TIMES sec ^{2} ` {pi } over {4}# & = {8} over {25} TIMES {sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {2}} over {2} TIMES 2# & = {8} over {25}]

① [eqn: {8} over {25}]

② [eqn: {2} over {5}]

③ [eqn: {12} over {25}]

④ [eqn: {14} over {25}]

⑤ [eqn: {16} over {25}]

26. 그림과 같이 좌표평면 위에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]위의 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A(1,~0)]에서 출발하여 점 [eqn: rm B(-1,~0)]까지 원을 따라 시계 반대 방향으로 움직일 때, 삼각형 [eqn: RM POQ]의 넓이가 [eqn: 1]이 되도록 점 [eqn: rm Q]를 [eqn: x]축 위에 잡는다.

[eqn: ANGLE rm POA= theta (0< theta < pi )]라 할 때, [eqn: theta]의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율이 [eqn: {1} over {2}]이다. 다음은 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]를 출발한 지 [eqn: {2} over {3} pi]초가 되는 순간 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율을 구하는 과정이다. (단, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

점 [eqn: rm P]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점이고, [eqn: ANGLE rm POA= theta (0< theta < pi )]이므로 그 좌표는 [eqn: (cos` theta ,~sin` theta )]이다. 이때 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f( theta )]라 하면 삼각형 [eqn: rm POQ]의 넓이가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f( theta )= {BOX{~~㈎~~}}]이다.

따라서 [eqn: f( theta )]의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율은 [eqn: {d} over {dt} f( theta )= {BOX{~~㈏~~}}]이다.

[eqn: t= {2} over {3} pi]일 때 [eqn: theta = {pi} over {3}]이므로 점 [eqn: rm P]가 출발한 지 [eqn: {2} over {3} pi]초가 되는 순간 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율은 [eqn: {BOX{~~㈐~~}}]이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f( theta ),~g( theta )]라 하고 ㈐에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f(p pi ) TIMES g(p pi )]의 값은?

점 [eqn: rm P]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점이고, [eqn: ANGLE rm POA= theta (0< theta < pi )]이므로 그 좌표는 [eqn: (cos` theta ,~sin` theta )]이다.

이때 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f( theta )]라 하면 삼각형 [eqn: rm POQ]의 넓이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT ) TIMES sin theta =1]

즉, [eqn: f( theta )= {2} over {sin` theta } = BOX{~~2csc` theta ~~}]

이다. 이때 문제의 조건에서 [eqn: {d theta } over {dt} = {1} over {2}]이므로 [eqn: f( theta )]의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율은

[eqn: {d} over {dt} f LEFT ( theta RIGHT ) & = {d} over {d theta } LEFT ( 2csc` theta RIGHT ) BULLET {d theta } over {dt}# & = LEFT ( -2csc` theta `cot` theta RIGHT ) TIMES {1} over {2}# & = BOX{`-csc` theta `cot` theta `}]

[eqn: t= {2} over {3} pi]일 때 [eqn: theta = {pi} over {3}]이므로 점 [eqn: rm P]가 출발한 지 [eqn: {2} over {3} pi]초가 되는 순간 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 시간 [eqn: t](초)에 대한 변화율은

[eqn: -csc {pi } over {3} TIMES cot {pi } over {3} =- {cos {pi } over {3}} over {sin ^{2} {pi } over {3}} =- {{1} over {2}} over {{3} over {4}} = BOX{`- {2} over {3} `}]

이다.

따라서 [eqn: f( theta )=2csc` theta ,~g LEFT ( theta RIGHT ) =-csc` theta `cot` theta]이고, [eqn: p=- {2} over {3}]이므로

[eqn: f LEFT ( p` pi RIGHT ) TIMES g LEFT ( p` pi RIGHT )# =2csc LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT ) TIMES LEFT { -csc LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT ) cot LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT ) RIGHT }# = {2} over {sin LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT )} TIMES LEFT { - {cos LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT )} over {sin ^{2} LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT )} RIGHT }# = {2} over {- {sqrt {3}} over {2}} TIMES {{1} over {2}} over {LEFT ( - {2} over {3} pi RIGHT ) ^{2}} =- {8 sqrt {3}} over {9}]

① [eqn: - {8 sqrt {3}} over {9}]

② [eqn: - {7 sqrt {3}} over {9}]

③ [eqn: - {2 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: - {5 sqrt {3}} over {9}]

⑤ [eqn: - {4 sqrt {3}} over {9}]

27. 곡선 [eqn: y=e ^{-x}]위의 점 [eqn: (t,~e ^{-t} )]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P ,~Q]라 하자. 다음은 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이의 최댓값을 구하는 과정이다. ( 단, [eqn: t>0]이고, [eqn: rm O]는 원점이다. )

곡선 [eqn: y=e ^{-x}]위의 점 [eqn: (t,~e ^{-t} )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=-e ^{-t ^{`}} x+ {BOX{~~㈎~~}}] ……㉠

이다. ㉠에 [eqn: y=0,~x=0]을 각각 대입하여 두 점 [eqn: rm P ,~Q]의 좌표를 구하면

[eqn: rm P it (t+1,~0), rm ~Q it LEFT ( 0,~ {BOX{~~㈎~~}} RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)= {1} over {2} TIMES LEFT ( t+1 RIGHT ) TIMES {BOX{~~㈎~~}}]

이다.

이때 [eqn: f prime (t)=- {BOX{~~㈏~~}} TIMES e ^{-t}]이고

[eqn: 0<t< {BOX{~~㈐~~}}]에서 [eqn: f prime (t)>0],

[eqn: t> {BOX{~~㈐~~}}]에서 [eqn: f prime (t)<0]

이므로 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t= {BOX{~~㈐~~}}]에서 극대이면서 최대이다.

따라서 함수 [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: {BOX{~~㈑~~}}]이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: g(t),~h(t)]라 하고 ㈐, ㈑에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: {g(a)h(5)} over {b}]의 값을 구하시오.

[eqn: y=e ^{-x}]을  [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: y prime =-e ^{-x}]

점  [eqn: (t,~e ^{-t} )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-e ^{-t ^{`}} =-e ^{-t ^{`}} LEFT ( x-t RIGHT )]

즉, [eqn: y=-e ^{-t ^{`}} x+ BOX{~~ LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t ^{`}} ~~}]    ……  ㉠

이다. ㉠에  [eqn: y=0,~x=0]을 각각 대입하여 두 점  [eqn: rm P ,~Q]의 좌표를 구하면

[eqn: rm P it (t+1,~0), rm ~Q it LEFT ( 0,~ BOX{` LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} `} RIGHT )]

삼각형  [eqn: rm OPQ]의 넓이를  [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t) & = {1} over {2} TIMES LEFT ( t+1 RIGHT ) TIMES BOX{` LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} `}# & = {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} e ^{-t}]

이다. 이때

[eqn: f prime (t) & = LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} - {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} e ^{-t}# & =- BOX{` {LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )} over {2} `} TIMES e ^{-t}]

이므로  [eqn: t>0]일 때 함수  [eqn: f(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	…	[eqn: 1]	…
[eqn: f prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		↗	극대	↘

따라서 함수  [eqn: f(t)]는  [eqn: t= BOX{`1`}]에서 극대이면서 최대이므로  [eqn: f(t)]의 최댓값은

[eqn: f(1)= {1} over {2} (1+1) ^{2} `e ^{-1} = BOX{` {2} over {e} `}]

이다.

따라서 [eqn: g(t)=(t+1)e ^{-t ^{`}} ,~h(t)= {(t+1)(t-1)} over {2} ,~a=1,~b= {2} over {e}]이므로

[eqn: {g(a)h(5)} over {b} & =g(1) TIMES h(5) TIMES {e} over {2}# & = {2} over {e} TIMES 12 TIMES {e} over {2}# & =12]

28. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} = rm {bar{CD}} = rm {bar{DA}} =1,~ {bar{BC}} >1]인 등변사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 두 꼭짓점 [eqn: rm A ,~D]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm M ,~N]이라 하자.

다음은 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이의 최댓값을 구하는 과정이다.

[eqn: rm ANGLE BAM= ANGLE CDN= theta ` LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]라 하고 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 하면

[eqn: S( theta )=cos` theta + {BOX{~~㈎~~}}]

이다.

[eqn: S prime ( theta )=0]에서 [eqn: theta = {BOX{~~㈏~~}}]이고

[eqn: 0< theta < {BOX{~~㈏~~}}]에서 [eqn: S prime ( theta )>0],

[eqn: {BOX{~~㈏~~}} < theta < {pi} over {2}]에서 [eqn: S prime ( theta )<0]

이므로 [eqn: S( theta )]는 [eqn: theta = {BOX{~~㈏~~}}]에서 극대이면서 최대이다.

따라서 [eqn: S( theta )]의 최댓값은 [eqn: {BOX{~~㈐~~}}]이다.

위의 ㈎에 알맞은 식을 [eqn: f( theta )]라 하고 ㈏, ㈐에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,~q]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) TIMES p TIMES q ^{2}]의 값은?

[eqn: rm ANGLE BAM= ANGLE CDN= theta ` LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]라 하고 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 하면

[eqn: S( theta ) & = {1} over {2} TIMES LEFT { 1+ LEFT ( 1+2`sin` theta RIGHT ) RIGHT } TIMES cos` theta # & = LEFT ( 1+sin` theta RIGHT ) cos` theta # & =cos` theta + BOX{`sin` theta `cos` theta `}]

이므로

[eqn: S prime ( theta ) & =-sin` theta +cos ^{2} ` theta -sin ^{2} ` theta # & =-sin` theta + LEFT ( 1-sin ^{2} ` theta RIGHT ) -sin ^{2} ` theta # & =-2sin ^{2} ` theta -sin` theta +1]

이다.

[eqn: S prime ( theta )=0]에서

[eqn: 2`sin ^{2} ` theta +sin` theta -1=0]

[eqn: (2`sin` theta -1)(sin` theta +1)=0]

[eqn: rm 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: sin` theta = {1} over {2}]에서

[eqn: theta = BOX{` {pi} over {6} `}]

이때 [eqn: rm 0< theta < BOX{{pi } over {6}}]에서 [eqn: S prime ( theta )>0],

[eqn: rm BOX{{pi } over {6}} < theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: S prime ( theta )<0]

이므로 [eqn: S( theta )]는 [eqn: theta = BOX{` {pi} over {6} `}]에서 극대이면서 최대이다.

따라서 [eqn: S( theta )]의 최댓값은

[eqn: S LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) & =cos` {pi } over {6} +sin` {pi } over {6} `cos` {pi } over {6}# & = {sqrt {3}} over {2} + {1} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2}# & = BOX{` {3 sqrt {3}} over {4} `}]

이다.

따라서 [eqn: f( theta )=sin` theta `cos` theta ,~p= {pi } over {6} ,~q= {3 sqrt {3}} over {4}]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) TIMES p TIMES q ^{2} & =sin` {pi } over {4} `cos` {pi } over {4} TIMES {pi } over {6} TIMES LEFT ( {3 sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2}# & = {sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {2}} over {2} TIMES {pi } over {6} TIMES {27} over {16}# & = {9} over {64} pi]

① [eqn: {3} over {64} pi]

② [eqn: {3} over {32} pi]

③ [eqn: {9} over {64} pi]

④ [eqn: {3} over {16} pi]

⑤ [eqn: {15} over {64} pi]

두 가지 이상의 조건이 주어진 문제

29. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g prime (x) LEQ {1} over {3}]이다.

㈏ [eqn: lim _{x -> 3} {{f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}} = {8} over {9}]

[eqn: f(1)]의 값은?

조건 ㈏ 에서 [eqn: x` -> `3]일 때, [eqn: (분모)` -> `0]이므로 [eqn: (분자)` -> `0]이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 3} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } =0}]이므로

[eqn: f(3)=g(3)]

또한 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 서로 역함수의 관계이므로

[eqn: f(3)=g(3)=3] …… ㉠

[eqn: lim _{x -> 3} {{f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}}# = lim _{x -> 3} {{f(x)-f(3)-g(x)+g(3)} over {(x-3)g(x)}}# = lim _{x -> 3} {LEFT { {f(x)-f(3)} over {x-3} TIMES {1} over {g(x)} - {g(x)-g(3)} over {x-3} TIMES {1} over {g(x)} RIGHT }}# =f prime LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES {1} over {g LEFT ( 3 RIGHT )} -g prime LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES {1} over {g LEFT ( 3 RIGHT )}# = {1} over {3} LEFT { f prime LEFT ( 3 RIGHT ) -g prime LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } {8} over {9}]

이때 [eqn: g prime LEFT ( 3 RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f prime LEFT ( 3 RIGHT )}]이므로

[eqn: {1} over {3} LEFT { f prime LEFT ( 3 RIGHT ) - {1} over {f prime LEFT ( 3 RIGHT )} RIGHT } = {8} over {9}]

[eqn: 3 LEFT { f prime LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -8f prime LEFT ( 3 RIGHT ) -3=0]

[eqn: LEFT { 3f prime LEFT ( 3 RIGHT ) +1 RIGHT } LEFT { f prime LEFT ( 3 RIGHT ) -3 RIGHT } =0]

따라서 [eqn: f prime (3)=- {1} over {3}]또는 [eqn: f prime (3)=3]

[eqn: y=g(x)]로 놓으면

[eqn: f(y)=x]이고 [eqn: g prime (x)= {1} over {f prime (y)}]이므로

조건 ㈎ 에서 [eqn: g prime (x)= {1} over {f prime (y)} LEQ {1} over {3}]

즉, [eqn: f prime (y) GEQ 3]이므로 [eqn: f prime (3)=3]이다.

이때 [eqn: f prime (x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수이고

[eqn: x=3]일 때 최솟값 [eqn: 3]을 가지므로

[eqn: f prime (x)=3(x-3) ^{2} +3]이다.

[eqn: f(x)=(x-3) ^{3} +3x+C`(C는~상수)]이고

[eqn: f(3)=3]이므로

[eqn: f(3)=9+C=3,~C=-6]

따라서 [eqn: f(x)=(x-3) ^{3} +3x-6]이므로

[eqn: f(1)=(1-3) ^{3} +3-6=-11]

① [eqn: -11]

② [eqn: -9]

③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]

⑤ [eqn: -3]

30. 역함수가 존재하는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)-f(-x)=x]

㈏ [eqn: f(1)= {3} over {2} ,~f prime (1)= {3} over {4}]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: g(x)=f ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =a]로 놓으면

[eqn: f(a)= {1} over {2}]

조건 ㈎에서 [eqn: f(x)-f(-x)=x]이므로 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)-f(-1)=1]

[eqn: f(-1) & =f(1)-1# & = {3} over {2} -1= {1} over {2} (조건~㈏에~의하여)]

즉, [eqn: a=-1]이므로

[eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =-1]

[eqn: g prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f prime LEFT ( -1 RIGHT )}]이므로 [eqn: f prime (-1)]의 값을 구하면 된다.

[eqn: f(x)-f(-x)=x]의 양변을 [eqn: x]에 대하며 미분하면

[eqn: f prime (x)+f prime (-x)=1]이므로 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f prime (1)+f prime (-1)=1]

[eqn: f prime (-1)=1-f prime (1)# =1- {3} over {4} = {1} over {4} (조건~㈏에~의하여)]

따라서 [eqn: g prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( -1 RIGHT )} =4]

{참고}

[eqn: f(x)= {x+ sqrt {x ^{2} +3}} over {2}]은 주어진 조건을 만족시키는 함수의 예이다.

31.최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

㈏ 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]이다.

㈐ 방정식 [eqn: LEFT | f(x)-1 RIGHT | =2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 5]이다.

[eqn: g(x)=e ^{f(x)}]라 할 때, [eqn: g prime ( sqrt {3} )]의 값은?

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 두 조건 ㈎, ㈏ 를 모두 만족시키는 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때 방정식 [eqn: LEFT | f(x)-1 RIGHT | =2]의 서로 다른 실근이 [eqn: 5]개인 경우는 다음과 같다.

[eqn: f prime (x) & =4x(x ^{2} -a ^{2} )# & =4x ^{3} -4a ^{2} `x(a는~양수)]

로 놓으면

[eqn: f(x)=x ^{4} -2a ^{2} `x ^{2} +C(C는~상수)]

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 3]이므로

[eqn: f(0)=C=3]

함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -1]이므로

[eqn: f(a)=a ^{4} -2a ^{4} +3=-1,~a ^{4} =4]

즉, [eqn: a ^{2} =2]이므로

[eqn: f(x)=x ^{4} -4x ^{2} +3]

따라서 [eqn: g prime (x)=f prime (x)e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: g prime ( sqrt {3} ) & =f prime ( sqrt {3} )e ^{f( sqrt {3} )}# & =(12 sqrt {3} -8 sqrt {3} )e ^{9-12+3} `# & =4 sqrt {3}]

① [eqn: 2sqrt { 3}]

② [eqn: 3 sqrt {3}]

③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 5 sqrt {3}]

⑤ [eqn: 6 sqrt {3}]

32. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} `(ax+b)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f prime (2)]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

[eqn: f prime (x)&=e ^{x} (ax+b)+ae ^{x} `# &=e ^{x} (ax+b+a)]

조건 ㈎에서 [eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4} over {sin`x}} =4]이고, [eqn: x` -> `0]일 때 [eqn: (분모)` -> `0]이므로 [eqn: (분자)` -> `0]이다.

즉, [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -4 RIGHT ] = LEFT { f(0) RIGHT } ^{2} -4=0}]

[eqn: LEFT { f(0) RIGHT } ^{2} =4]에서 [eqn: f(0)=2]또는 [eqn: f(0)=-2]

(i) [eqn: f(0)=b=2]일 때

[eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4} over {sin`x}}# = lim _{x -> 0} {LEFT [ {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x} TIMES {x} over {sin`x} TIMES LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +2 RIGHT } RIGHT ]}# =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES 1 TIMES LEFT ( 2+2 RIGHT )# =4f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =4]

에서 [eqn: f'(0)=1]이므로

[eqn: b+a=2+a=1]

[eqn: a=-1]

이때 [eqn: f(1)=(a+b)e=e>0]이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: f(0)=b=-2]일 때

[eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4} over {sin`x}}# = lim _{x -> 0} {LEFT [ {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x} TIMES {x} over {sin`x} TIMES LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } RIGHT ]}# =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES 1 TIMES LEFT ( -2-2 RIGHT )# =-4f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =4]

에서 [eqn: f'(0)=-1]이므로

[eqn: b+a=-2+a=-1]

[eqn: a=1]

이때 [eqn: f(1)=(a+b)e=-e<0]이므로 조건 ㈏를 만족시킨다.

따라서 [eqn: f prime (x)=e ^{x} (x-1)]이므로

[eqn: f prime (2)=e ^{2} `]

㈎ [eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4} over {sin`x}} =4]

㈏ [eqn: f(1)<0]

① [eqn: {e ^{2}} over {2}]

② [eqn: e ^{2}]

③ [eqn: {3} over {2} e ^{2}]

④ [eqn: 2e ^{2}]

⑤ [eqn: {5} over {2} e ^{2}]

33. 양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]이다.

㈏ 임의의 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: (0,~0),~(t,~f(t)),~(t+1,~f(t+1))]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: {t+1} over {t}]이다.

㈐ [eqn: int _{1} ^{2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} =2]

[eqn: int _{{7} over {2}} ^{{11} over {2}} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} = {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

위의 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A it (t,~f(t)),~ rm B it (t+1,~f(t+1))]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime ,~B prime]이라 하면 조건 ㈏ 에서 삼각형 [eqn: rm AOB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} tf(t)+ {1} over {2} LEFT { f(t)+f(t+1) RIGHT } - {1} over {2} (t+1)f(t+1)= {t+1} over {t}]

[eqn: {1} over {2} LEFT { (t+1)f(t)-tf(t+1) RIGHT } = {t+1} over {t}]

양변에 [eqn: {2} over {t(t+1)}]를 곱하여 정리하면

[eqn: {t(t+1)} over {t+1} = {f LEFT ( t RIGHT )} over {t} =- {2} over {t ^{2}}]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {f LEFT ( t RIGHT )} over {t}]로 놓으면

[eqn: g(t+1)-g(t)=- {2} over {t ^{2}}] …… ㉠

함수 [eqn: g(t)]의 한 부정적분을 [eqn: G(t)]라 할 때, ㉠의 양변을 [eqn: t]에 대하여 적분하면

[eqn: int _{} ^{} {LEFT { g(t+1)-g(t) RIGHT }} `dt= int _{} ^{} {LEFT ( - {2} over {t ^{2}} RIGHT )} dt]

즉, [eqn: G(t+1)-G(t)= {2} over {t} +C(C는~상수)]

조건 ㈐에서

[eqn: int _{1} ^{2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} & = int _{1} ^{2} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} =G LEFT ( 2 RIGHT ) -G LEFT ( 1 RIGHT )# & = {2} over {1} +C=2]

이므로 [eqn: C=0]이다.

따라서 구하는 정적분의 값은

[eqn: int _{{7} over {2}} ^{{11} over {2}} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} & =G LEFT ( {11} over {2} RIGHT ) -G LEFT ( {7} over {2} RIGHT )# & =G LEFT ( {11} over {2} RIGHT ) -G LEFT ( {9} over {2} RIGHT ) +G LEFT ( {9} over {2} RIGHT ) -G LEFT ( {7} over {2} RIGHT )# & = {2} over {{9} over {2}} + {2} over {{7} over {2}} = {4} over {9} + {4} over {7}# & = {64} over {63}]

[eqn: p=63,~q=64]이므로 [eqn: p+q=127]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

34. 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(-x)=f(x)]

㈏ [eqn: f(x+2)=f(x)]

[eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8]일 때, [eqn: int _{1} ^{7} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 구하시오.

[eqn: g(x)=xf(x)]로 놓으면

조건 ㈎에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(-x) & =(-x)f(-x)=-x f(x)# & =-g(x)]

가 성립하므로 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: int _{-a} ^{a} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]

이 성립한다.

조건 ㈏에 의하여 모든 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: f(t+4)=f(t+2)=f(t)]

이므로

[eqn: int _{1} ^{7} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx} & = int _{-3} ^{3} {LEFT . LEFT ( t+4 RIGHT ) f(t+4 RIGHT ) dt}# & = int _{-3} ^{3} {LEFT ( t+4 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}# & = int _{-3} ^{3} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} +4 int _{-3} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

조건 ㈏에 의하여

[eqn: int _{-3} ^{-1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8]

따라서

[eqn: int _{1} ^{7} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx} & =4 int _{-3} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =12 int _{-1} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}# & =12 TIMES 8=96]

35. 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 사차함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} `+a)(x-a ^{2} `) ^{2} `-bx ^{2}]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a>0,~b>0]

㈏ 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형 중 [eqn: x]축의 윗부분의 넓이를 [eqn: S(a)]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( a RIGHT )} over {a ^{5}}} =k]이다. [eqn: 100k]의 값을 구하시오.

[eqn: f(0)=a ^{5} != 0]이므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 [eqn: x=0]을 근으로 갖지 않는다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)=0]이 서로 다른 세 실근을 갖는 것은 방정식 [eqn: {(x ^{2} +a)(x-a ^{2} ) ^{2}} over {x ^{2}} =b]가 서로 다른 세 실근을 갖는 것과 같다. 이때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) & = {(x ^{2} +a)(x-a ^{2} ) ^{2}} over {x ^{2}}# & =x ^{2} -2a ^{2} x+a ^{4} +a- {2a ^{3}} over {x} + {a ^{5}} over {x ^{2}}]

이라 하면

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) & =2x-2a ^{2} + {2a ^{3}} over {x ^{2}} - {2a ^{5}} over {x ^{3}}# & = {2} over {x ^{3}} LEFT ( x ^{4} -a ^{2} x ^{3} +a ^{3} x-a ^{5} RIGHT )# & = {2} over {x ^{3}} LEFT ( x-a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +a ^{3} RIGHT )]

이므로 함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…		[eqn: -a]		[eqn: 0]		[eqn: a^2]		…
[eqn: g prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	…	↘	[eqn: a LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{3}]	↗		↘	[eqn: 0]	↗	…

따라서 방정식 [eqn: {(x ^{2} +a)(x-a ^{2} ) ^{2}} over {x ^{2}} =b]가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 [eqn: b=a(a+1) ^{3}]

즉, [eqn: f(x) & =(x ^{2} +a)(x-a ^{2} ) ^{2} -a(a+1) ^{3} x ^{2}# & =x ^{4} -2a ^{2} `x ^{3} -3(a ^{3} +a ^{2} )x ^{2} -2a ^{3} `x+a ^{5}# & =(x+a) ^{2} ` LEFT { x ^{2} -2(a ^{2} +a)x+a ^{3} RIGHT } `]

에서 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 세 실근은

[eqn: -a,~a LEFT ( a+1- sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT ) ,~a LEFT ( a+1+ sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT )]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표를

[eqn: -a,~ alpha =a LEFT ( a+1- sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT ) ,~ beta =a LEFT ( a+1+ sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT )]이라 하면 구하는 영역은 그림의 색칠된 부분이다.

따라서

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) & = int _{-a} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT ) dx}# & = LEFT [ {x ^{2}} over {5} - {a ^{2} x ^{4}} over {2} - LEFT ( a ^{3} +a ^{2} RIGHT ) x ^{3} -a ^{3} x ^{2} +a ^{5} x RIGHT ] _{-a}^{alpha }# & = {alpha ^{5}} over {5} - {a ^{2} alpha ^{4}} over {5} - LEFT ( a ^{3} +a ^{2} RIGHT ) alpha ^{3} -a ^{3} alpha ^{2} +a ^{5} alpha + {a ^{5}} over {5} + {a ^{6}} over {2}]

이므로

[eqn: {S LEFT ( a RIGHT )} over {a ^{5}} = {1} over {5} LEFT ( {alpha } over {a} RIGHT ) ^{5} - {a} over {2} LEFT ( {alpha } over {a} RIGHT ) ^{4} - LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( {alpha } over {a} RIGHT ) ^{3} - LEFT ( {alpha } over {a} RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( {alpha } over {a} RIGHT ) + {1} over {5} + {a} over {2}]

이고

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{alpha } over {a}} & = lim _{theta -> 0+} {{a LEFT ( a+1- sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT )} over {a}}# & = lim _{theta -> 0+} {LEFT ( a+1- sqrt {a ^{2} +a+1} RIGHT ) =0}]

에서 [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S LEFT ( a RIGHT )} over {a ^{5}}} = {1} over {5}]

즉, [eqn: k= {1} over {5}]이므로 [eqn: 100k=20]

36. 닫힌 구간 [eqn: [0,~2pi]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: (0,~2pi)]에서 이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(0)=-1,~f prime LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =2]

㈏ [eqn: pi LEQ a<b LEQ 2 pi]이면 [eqn: f prime (a) GEQ f prime (b)]이다.

㈐ 열린 구간 [eqn: (0,~ pi )]에서 [eqn: f prime prime (x)=cos`x]이다.

[eqn: int _{0} ^{2 pi } {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 최댓값은?

(i) [eqn: 0<x< pi]일 때

[eqn: f prime prime (x)=cos`x]이므로

[eqn: f prime (x)=sin`x+C _{1} (단,~C _{1} 은~적분상수)]

조건 ㈎에서 [eqn: f prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =2]이므로

[eqn: C _{1} =1]

즉, [eqn: f prime (x)=1+sin`x]

따라서 [eqn: f(x)=x-cos`x+C _{2} (단,~C _{2} 는~적분상수)]

조건 ㈎에서 [eqn: f(0)=-1]이므로

[eqn: -1+C _{2} =-1]

[eqn: C _{2} =0]

즉, [eqn: f(x)=x-cos`x]

한편 [eqn: f prime (x)]는 열린 구간 [eqn: (0,~2 pi )]에서 연속이므로

[eqn: f prime ( pi )=1,~f( pi )= pi +1]

(ii) [eqn: p<x<2p]일 때

조건 ㈏에서 [eqn: f prime (x) LEQ f prime ( pi )=1]

즉, [eqn: int _{pi } ^{x} {f prime LEFT ( t RIGHT ) dt} LEQ int _{pi } ^{x} {dt}]이므로

[eqn: f(x)-f( pi ) LEQ x- pi]

[eqn: f( pi )= pi +1]이므로

[eqn: f(x) LEQ x+1]

따라서 (i), (ii)에서

[eqn: int _{0} ^{2 pi } {f LEFT ( x RIGHT ) dx} & = int _{0} ^{pi } {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{pi } ^{2 pi } {f LEFT ( x RIGHT ) dx}# & LEQ int _{0} ^{pi } {LEFT ( x-cos`x RIGHT ) dx} + int _{pi } ^{2 pi } {LEFT ( x+1 RIGHT ) dx}# & = LEFT [ {x ^{2}} over {2} -sin`x RIGHT ] _{0}^{pi } + LEFT [ {x ^{2}} over {2} +x RIGHT ] _{pi }^{2 pi }# & =2 pi ^{2} + pi]

① [eqn: pi ^{2} +pi]

② [eqn: 2pi ^{2} - pi]

③ [eqn: 2pi ^{2}]

④ [eqn: 2pi ^{2} + pi]

⑤ [eqn: 2pi ^{2} +2 pi]

실생활 활용 문제

37. 눈높이가 [eqn: 1`rm m]인 어린이가 나무로부터 [eqn: 7` rm m] 떨어진 지점에서 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta]이었다. 나무로부터 [eqn: 2` rm m] 떨어진 지점까지 다가가서 나무를 바라보았더니 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta + {pi} over {4}]가 되었다. 나무의 높이는 [eqn: a(rm m)]또는 [eqn: b( rm m)]이다. [eqn: a+b]의 값은?

주어진 그림을 단순화하면 다음 그림과 같다.

[eqn: rm {bar{AH}} it =x,~ rm ANGLE BQH- ANGLE BPH= alpha ,~ ANGLE BQA- ANGLE BPA= beta]라 하면

[eqn: rm tan( ANGLE BQH)= {1} over {2}]

[eqn: rm tan( ANGLE BPH)= {1} over {7}]

[eqn: rm tan( ANGLE BQA) it = {x-1} over {2}]

[eqn: rm tan( ANGLE BPA) it = {x-1} over {7}]

이므로

[eqn: tan` alpha = {{1} over {2} - {1} over {7}} over {1+ {1} over {2} TIMES {1} over {7}} = {1} over {3}]

[eqn: tan` beta &= {{x-1} over {2} - {x-1} over {7}} over {1+ {x-1} over {2} TIMES {x-1} over {7}}# &= {5 LEFT ( x-1 RIGHT )} over {14+ LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}}]

또한 [eqn: alpha + beta = {pi} over {4}]이므로

[eqn: tan LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = {{1} over {3} + {5 LEFT ( x-1 RIGHT )} over {14+ LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}}} over {1- {1} over {3} TIMES {5 LEFT ( x-1 RIGHT )} over {14+ LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}}} =1]

이 식을 정리하면

[eqn: x ^{2} -12x+25=0]

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a+b=12]

① [eqn: 12]

② [eqn: 14]

③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 20]

38. 그림과 같이 높이가 각각 [eqn: rm 600`m,~150`m]인 두 개의 산이 있다. 높이가 [eqn: rm 600`m,~150`m]인 두 개의 산의 정상 지점 [eqn: rm A,~B]에서 지면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C,~D]라 하고, 정상 지점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. [eqn: rm ANGLE HBC= theta ,~ ANGLE ABH=2 theta]일 때, 선분 [eqn: rm CD]의 길이는?

위의 그림에서 [eqn: rm {bar{CD}} it =x LEFT ( rm m RIGHT )]라 하면 두 직각삼각형 [eqn: rm BCH,~ABH]에서 [eqn: rm {bar{CH}} it =150 LEFT ( rm m RIGHT ) ,~ rm {bar{AH}} it =450 LEFT ( rm m RIGHT )]이므로

[eqn: tan` theta = {150} over {x}]

[eqn: tan`2 theta = {450} over {x}]

[eqn: tan`2 theta & =tan` LEFT ( theta + theta RIGHT )# & = {2`tan` theta } over {1-`tan ^{2} ` theta }]

에서

[eqn: {450} over {x} = {2 TIMES {150} over {x}} over {1- LEFT ( {150} over {x} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: 2x ^{2} =3(x ^{2} -150 ^{2} )]

[eqn: x ^{2} =3 TIMES 150 ^{2} `]

[eqn: x=150 sqrt {3} `]

따라서 선분 [eqn: rm CD]의 길이는 [eqn: rm 150 sqrt {3} `m]이다.

① [eqn: 100 sqrt { 2}rm m]

② [eqn: 100 sqrt {3} rm m]

③ [eqn: 150 sqrt {2} rm m]

④ [eqn: 150 sqrt {3} rm m]

⑤ [eqn: 200 sqrt {2} rm m]

39. 어느 지점의 기후가 대륙성 기후인지 해양성 기후인지를 나타내는 수치를 대륙도라 한다. 연교차가 [eqn: R`` CENTIGRADE]이고 위도가 북위 [eqn: theta DEG (0< theta LEQ 90)]인 지점에서의 대륙도 [eqn: K]는 다음 식을 만족시킨다.

[eqn: K= {1.7R} over {sin` theta DEG } +c] (단, [eqn: c]는 상수이다.)

연교차가 [eqn: 20 CENTIGRADE]이고 위도가 북위 [eqn: 30 DEG]인 지점 [eqn: rm A]의 대륙도는 [eqn: 48]이고, 연교차가 [eqn: t` CENTIGRADE]이고 위도가 북위 [eqn: 75 DEG]인 지점 [eqn: rm B]의 대륙도는 [eqn: 80]일 때, [eqn: t]의 값은?

연교차가 [eqn: 20 CENTIGRADE]이고 위도가 북위 [eqn: 30 DEG]인 지점 [eqn: rm A]의 대륙도는 [eqn: 48]이므로

[eqn: 48= {1.7 TIMES 20} over {sin`30 DEG } +c]

[eqn: c=-20]

연교차가 [eqn: t` CENTIGRADE]이고 위도가 북위 [eqn: 75 DEG]인 지점 [eqn: rm B]의 대륙도는 [eqn: 80]이므로

[eqn: 80= {1.7t} over {sin`75 DEG } -20] ……㉠

[eqn: sin`75ù & =sin(30 DEG +45 DEG )# & =sin`30 DEG `cos`45 DEG +cos`30 DEG `sin`45 DEG # & =sin`30 DEG `sin`45 DEG +sin`60 DEG sin`45 DEG # & =0.5 TIMES 0.70+0.86 TIMES 0.70=0.952]

㉠에서 [eqn: 80= {1.7t} over {0.952} -20]

[eqn: (80+20) TIMES 0.952=1.7t]

따라서

[eqn: t= {95.2} over {1.7} =56]

(단, [eqn: sin`45 DEG =0.70,~sin`60 DEG =0.86]으로 계산한다.)

① [eqn: 44]

② [eqn: 48]

③ [eqn: 52]

④ [eqn: 56]

⑤ [eqn: 60]

40. 놀이동산에 그림과 같이 원 모양의 대관람차가 있다. 이 대관람차의 곤돌라의 중심이 가장 낮은 지점 [eqn: rm A]에 있을 때의 높이와 가장 높은 지점 [eqn: rm B]에 있을 때의 높이의 차가 [eqn: 100` rm m]이고, 가장 낮은 지점 [eqn: rm A]에 있을 때 곤돌라의 중심은 지상에서 [eqn: 2` rm m]높이에 있다. 이 곤돌라는 [eqn: rm A] 지점을 출발하여 시계 방향으로 돌고, 한 바퀴를 회전하는 데 걸리는 시간은 [eqn: 15]분이다. 이 곤돌라의 중심이 [eqn: rm A] 지점을 출발한 지 [eqn: x]분 후에 곤돌라의 중심의 높이가 [eqn: y` rm m]일 때, 다음 식을 만족시킨다.

[eqn: y=50`sin {2 pi } over {15} LEFT ( x- {15} over {4} RIGHT ) +52]

[eqn: rm A] 지점에서 출발하여 [eqn: 2]시간 동안 곤돌라의 중심이 지상에서 [eqn: 80` rm m] 높이에 있을 때, 출발 후 [eqn: t]분 후라 하자. 모든 [eqn: t]의 값의 합은?

곤돌라의 중심이 [eqn: rm A] 지점을 출발한 지 [eqn: x]분 후에 곤돌라의 중심의 높이가 [eqn: y` rm m]일 때

[eqn: y=50`sin` {2 pi } over {15} LEFT ( x- {15} over {4} RIGHT ) +52]

이므로 이 식을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

이 곤돌라의 중심이 가장 낮은 지점 [eqn: rm A]에서 처음으로 지상에서 [eqn: 80` rm m] 높이에 있을 때까지를 출발 후 [eqn: t](분)이라 하면 두 번째로 지상에서 [eqn: 80` rm m] 높이에 있을 때는 출발 후 [eqn: 15-t](분)이다. 이 곤돌라가 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간이 [eqn: 15](분)이므로 지상에서 [eqn: 80` rm m] 높이에 있을 때는 출발 후

[eqn: t,~15-t,~15+t,~30-t,~30+t,~45-t,~ CDOTS ,105+t,~120-t]로 [eqn: 2]시간, 즉 [eqn: 120]분 동안 총 [eqn: 16]번이다.

따라서 구하는 시간의 합은

[eqn: t+(15-t)+(15+t)+(30-t)+(30+t)# +(45-t)+ CDOTS +(105+t)+(120-t)# = LEFT { t+(15-t) RIGHT } + LEFT { (15+t)+(30-t) RIGHT }# + LEFT { (30+t)+(45-t) RIGHT } + CDOTS + LEFT { (105+t)+(120-t) RIGHT }# =15+45+75+ CDOTS +225# = {8 TIMES (15+225)} over {2}# =960(분)]

① [eqn: 720]

② [eqn: 840]

③ [eqn: 960]

④ [eqn: 1080]

⑤ [eqn: 1200]

명제의 참, 거짓을 판단하는 문제

41. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(x) != 1]

㈏ [eqn: f(x)+f(-x)=0]

㈐ [eqn: f prime (x)= LEFT { 1+f(x) RIGHT } LEFT { 1+f(-x) RIGHT }]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 조건 ㈏ 에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고, 조건 ㈎ 에서 [eqn: f(x) != 1]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) != -1]이다. (참)

ㄴ. 조건 ㈐ 에서

[eqn: f prime (x) & = LEFT { 1+f(x) RIGHT } LEFT { 1+f(-x) RIGHT }# & = LEFT { 1+f(x) RIGHT } LEFT { 1-f(x) RIGHT }]

이고 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 그 그래프는 원점에 대하여 대칭이며 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) != 1,~f(x) != -1]이므로 [eqn: -1<f(x)<1]이다.

즉, [eqn: 1+f(x)>0,~1-f(x)>0]이므로 [eqn: f prime (x)>0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에서 증가한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f prime (x) & = LEFT { 1+f(x) RIGHT } LEFT { 1+f(-x) RIGHT }# & = LEFT { 1+f(x) RIGHT } LEFT { 1-f(x) RIGHT }# & =1- LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]

이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime prime (x)=-2f(x)f prime (x)]

이때 [eqn: f prime prime (x)=0]이면 [eqn: f(x)=0](왜냐하면 ㄴ에서 [eqn: f prime (x)>0]이므로)

그런데 [eqn: f(x)]는 원점에 대하여 대칭이고 증가하므로 [eqn: f(x)]의 값의 부호는 [eqn: x=0]의 좌우에서만 변한다.

즉, [eqn: f prime prime (x)]의 부호는 [eqn: x=0]의 좌우에서만 변하므로 [eqn: f(x)]의 변곡점은 [eqn: (0,~0)]뿐이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) != -1]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 어떤 열린 구간에서 감소한다. ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

42. 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=n`sin` {x} over {n} ,~x ^{2} +y ^{2} =1]이 만나는 제[eqn: 1]사분면 위의 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p _{n}]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(x)=x-n`sin` {x} over {n}]라 하면 [eqn: f` prime (x)=1-cos` {x} over {n} GEQ 0]

따라서 [eqn: f(x)]는 증가하는 함수이고 [eqn: f(0)=0]이므로

[eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)=x-n`sin {x} over {n} >0`]

즉, [eqn: n`sin` {x} over {n} <x(참)]

ㄴ. 두 곡선 [eqn: y=n`sin` {x} over {n} ,~x ^{2} +y ^{2} =1]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: p _{n}]이므로

[eqn: p _{n}^{2} + LEFT ( n`sin` {p _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} =1]

그런데 ㄱ에서 [eqn: n`sin` {p _{n}} over {n} <p _{n}]이므로

[eqn: 1=p _{n}^{2} + LEFT ( n`sin` {p _{n}^{2}} over {n} RIGHT ) <p _{n}^{2} +p _{n}^{2} =2p _{n}^{2} `]

[eqn: p _{n}^{2} > {1} over {2}]이므로 [eqn: p _{n} > {sqrt {2}} over {2}](왜냐하면 [eqn: p _{n} >0]) (참)

ㄷ. [eqn: g(x)=n`sin` {x} over {n} - LEFT ( n`sin` {1} over {n} RIGHT ) x]라 하면

[eqn: g prime (x)=cos` {x} over {n} -n`sin` {1} over {n}]

[eqn: g prime prime (x)=- {1} over {n} `sin` {x} over {n}]

이때 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: 0< {x} over {n} < {1} over {n} < pi]이므로 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g prime prime (x)<0]

즉, [eqn: g '(x)]는 [eqn: 0<x<1]에서 감소하는 함수이고

[eqn: g prime (0) & =1-n`sin {1} over {n}# & =n LEFT ( {1} over {n} -sin {1} over {n} RIGHT ) >0(왜냐하면~ㄱ에서)]

또한, [eqn: h(x)=n`tan` {x} over {n} -x]라 하면

[eqn: h prime (x)=sec ^{2} {x} over {n} -1 GEQ 0]이므로

[eqn: h(x)]는 증가하는 함수이고 [eqn: h(0)=0]이므로

[eqn: n`tan` {x} over {n} >x]

따라서

[eqn: g prime (1)=cos` {1} over {n} -n`sin` {1} over {n} =n`cos {1} over {n} LEFT ( {1} over {n} -tan` {1} over {n} RIGHT ) <0]

이때 [eqn: g prime ( alpha )=0(0< alpha <1)]을 만족시키는 [eqn: x= alpha]가 [eqn: 1]개 존재하므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: g(x)=n`sin` {x} over {n} - LEFT ( n`sin` {1} over {n} RIGHT ) x GEQ 0]

즉, [eqn: {sqrt {2}} over {2} <p _{n} <1]이므로 [eqn: LEFT ( n`sin` {1} over {n} RIGHT ) p _{n} LEQ n`sin` {p _{n}} over {n}](참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: x>0]일 때, [eqn: n`sin` {x} over {n} <x] ㄴ. [eqn: p _{n} > {sqrt {2}} over {2}] ㄷ. [eqn: LEFT ( n`sin` {1} over {n} RIGHT ) p _{n} LEQ n`sin` {p _{n}} over {n}]

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

43. 두 이차함수 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 그래프가 그림과 같고 [eqn: f prime (a)=g prime (b)=0,~g(0)=f(c)=0]이다.

[eqn: h(x)= f(x)g(x)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: h(x)= f(x)g(x)]에서

[eqn: h prime (x)=f prime (x)g(x)+f(x)g prime (x)]

열린 구간 [eqn: (0,~a)]에서 [eqn: f(x)>0,~g(x)<0]이고 [eqn: f prime (x)>0,~g prime (x)<0]이므로

[eqn: h prime (x)=f prime (x)g(x)+f(x)g prime (x)<0]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 열린 구간 [eqn: (0,~a)]에서 감소한다.(참)

ㄴ. [eqn: h'(x)= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]에서

[eqn: h prime prime (x) & =f prime prime (x)g(x)+f prime (x)g prime (x)+f prime (x)g prime (x)+f(x)g prime prime (x)# & =f prime prime "(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g" prime prime (x)]

열린 구간 [eqn: (a,~b)]에서 [eqn: f(x)>0,~g(x)<0,~f prime (x)<0,~g prime (x)<0]이고 [eqn: f(x)]는 위로 볼록하므로 [eqn: f prime prime (x)<0,~g(x)]는 아래로 볼록하므로 [eqn: g prime prime (x)>0]

따라서 [eqn: h prime prime (x)>0]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 열린 구간 [eqn: (a,~b)]에서 아래로 볼록하다. (거짓)

ㄷ. ㄱ에서 함수 [eqn: h(x)]는 열린 구간 [eqn: (0,~a)]에서 감소하고 [eqn: h(x)<0]인데, [eqn: g(0)=f(c)=0]에서 [eqn: h(0)=h(c)=0]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 열린 구간 [eqn: (a,~c)]중 어느 구간에서 증가한다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [0,~c]]에서 극솟값을 갖는다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]는 열린 구간 [eqn: (0,~a)]에서 감소한다. ㄴ. 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 열린 구간 [eqn: (a,~b)]에서 위로 볼록하다. ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [0,~c]]에서 극솟값을 갖는다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

44. 함수 [eqn: f(x)=x`cos`x-sin`x(-2pi LEQ x LEQ 2pi)]에 대하여 [eqn: g(x)=f(f(x))]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(x)=x cos`x-sin`x]에서

[eqn: f(-x) & =-x`cos(-x)-sin(-x)# & =-x`cos`x+sin`x# & =-f(x)]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.(참)

ㄴ. [eqn: g( pi )=f(f( pi ))=f(- pi )= pi]

[eqn: g(2 pi )=f(f(2 pi ))=f(2 pi )=2 pi]

이므로 구간 [eqn: [ pi ,~2 pi ]]에서의 평균변화율은

[eqn: {f LEFT ( 2 pi RIGHT ) -g LEFT ( pi RIGHT )} over {2 pi - pi } = {2 pi - pi } over {2 pi - pi } =1]

이고, [eqn: g(x)]가 열린 구간 [eqn: ( pi ,~2 pi )]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 [eqn: g'(a)=1]인 실수 [eqn: a]가 [eqn: pi]와 [eqn: 2pi]사이에 적어도 한 개 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: f prime (x)=cos`x-x`sin`x-cos`x]에서

[eqn: f prime (x)=-x`sin`x]

[eqn: f prime (x)=0]을 만족시키는 [eqn: x`(-2 pi <x<2 pi )]는 [eqn: - pi ,~0,~ pi]이므로 [eqn: y=f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( -2 pi RIGHT )]	…	[eqn: - pi]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: pi]	…	[eqn: LEFT ( 2 pi RIGHT )]
[eqn: f prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: -2 pi]	↗	[eqn: pi]	↘	[eqn: 0]	↘	[eqn: - pi]	↗	[eqn: 2 pi]

따라서 열린 구간 [eqn: (-2 pi ,~2 pi )]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: g(x)=f( f(x))]에서

[eqn: g(-x)&=f(f(-x))=f(-f(x))# &=-f(f(x))=-g(x)]

이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프도 [eqn: 0 LEQ x<2 pi]인 범위에서만 조사하면 [eqn: -2 pi <x<2 pi]의 모든 범위에서의 그래프를 알 수 있다.

위의 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로부터 [eqn: f( alpha )=0,~f( beta )= pi ( pi < alpha < beta <2 pi )]로 놓고, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형을 그리기 위하여 [eqn: g prime (x)]를 조사해 보자.

[eqn: g prime (x)=f prime (f(x))f prime (x)]이므로

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]인 범위에서 [eqn: g prime (x)=0]인 [eqn: x]는 [eqn: f prime (f(x))=0] 또는 [eqn: f'(x)=0]의 해이다.

[eqn: f prime (f(x))=0`(0 LEQ x<2 pi )]의 해는 [eqn: f(x)=- pi] 또는 [eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=pi]를 만족시키는 [eqn: x]이므로

[eqn: x=0,~x=p,~x= alpha ,~x= beta]이고

[eqn: f prime (x)=0`(0 LEQ x<2 pi )]의 해는 [eqn: x=0,~x= pi]이다.

위의 결과를 이용하여 [eqn: y=g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	…	[eqn: pi]	…	[eqn: alpha]	…	[eqn: beta]	…	[eqn: LEFT ( 2 pi RIGHT )]
[eqn: f prime (x)]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: 0]	↘	[eqn: - pi]	↗	[eqn: 0]	↗	[eqn: pi]	↗	[eqn: 2 pi]
[eqn: f prime (f LEFT ( x RIGHT ) )]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g prime (x)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: 0]	↗	[eqn: pi]	↘	[eqn: 0]	↘	[eqn: - pi]	↗	[eqn: 2 pi]

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]인 범위에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=pi]인 점에서 극댓값, [eqn: x= beta]인 점에서 극솟값을 갖고 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: -2 pi <x<2 pi]인 범위에서 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ㄴ. [eqn: g prime (a)=1]인 실수 [eqn: a]가 [eqn: pi]와 [eqn: 2pi] 사이에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. 열린 구간 [eqn: (-2pi,~2pi)]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 가지 이상의 개념이 융합된 문제

45. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(1)+f(2)+f(3)]의 값을 구하시오.

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 3 ^{n} +b RIGHT ) TIMES LEFT ( a+2 RIGHT ) - {1} over {2} TIMES a TIMES b- {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3 ^{n}# = {3 ^{n}} over {2} a+b]

조건 ㈏에서 [eqn: b LEQ log _{2} `a]이므로

[eqn: 2 ^{b} LEQ a]

조건 ㈐에서 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: 50] 이하이므로

[eqn: {3 ^{n}} over {2} a+b LEQ 50]

즉, [eqn: 3 ^{n} a+2b LEQ 100]

(i) [eqn: n=1]일 때

[eqn: 3a+2b LEQ 100]이고 [eqn: 2 ^{b} LEQ a]이므로

[eqn: b=1]일 때, [eqn: 2 LEQ a LEQ {98} over {3}]

[eqn: b=2]일 때, [eqn: 4 LEQ a LEQ 32]

[eqn: b=3]일 때, [eqn: 8 LEQ a LEQ {94} over {3}]

[eqn: b=4]일 때, [eqn: 16 LEQ a LEQ {92} over {3}]

[eqn: b GEQ 5]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(1)=31+29+24+15=99]

(ii) [eqn: n=2]일 때

[eqn: 9a+2b LEQ 100]이고 [eqn: 2 ^{b} LEQ a]이므로

[eqn: b=1]일 때, [eqn: 2 LEQ a LEQ {98} over {9}]

[eqn: b=2]일 때, [eqn: 4 LEQ a LEQ {96} over {9}]

[eqn: b=3]일 때, [eqn: 8 LEQ a LEQ {94} over {9}]

[eqn: b GEQ 4]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(2)=9+7+3=19]

(iii) [eqn: n=3]일 때

[eqn: 27a+2b LEQ 100]이고 [eqn: 2 ^{b} LEQ a]이므로

[eqn: b=1]일 때, [eqn: 2 LEQ a LEQ {98} over {27}]

[eqn: b GEQ 2]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(3)=2]

따라서 (i)~(iii)에 의하여

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)=99+19+2=120]

(단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

㈎ 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (-2,~3 ^{n} )]이다.

㈏ 점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, [eqn: a]와 [eqn: b]는 자연수이고 [eqn: b LEQ log _{2} `a]를 만족시킨다.

㈐ 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는 [eqn: 50] 이하이다.

46. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{2} (3x+4)]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A ,~B]라 하고, 점 [eqn: rm B]를 지나고 직선 [eqn: rm AB]에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=log _{2} (3x+4)]의 점근선과 만나는 점을 [eqn: rm P]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이는?

[eqn: y=log _{2} (3x+4)] …… ㉠

㉠에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: log _{2} (3x+4)=0]

[eqn: 3x+4=1]

즉, [eqn: x=-1]

그러므로 점 [eqn: rm A]의 좌표는

[eqn: rm A(-1,~0)] …… ㉡

㉠에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y=log _{2} 4=2]

이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는

[eqn: rm B(0,~2)] …… ㉢

직선 [eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: {2-0} over {0-(-1)} =2]이므로 점 [eqn: rm B]를 지나고 직선 [eqn: rm AB]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} x+2]

곡선 [eqn: y=log _{2} (3x+4)]의 점근선은

[eqn: x=- {4} over {3}]

점근선과 직선 [eqn: y=- {1} over {2} x+2]의 교점 [eqn: rm P]의 좌표는

[eqn: rm P LEFT ( - {4} over {3} ,~ {8} over {3} RIGHT )] …… ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: {bar{rm AB it}} & = sqrt {LEFT { 0- LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{2}}# & = sqrt {5}]

[eqn: {bar{rm PB it}} & = sqrt {LEFT { 0- LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 2- {8} over {3} RIGHT ) ^{2}}# & = sqrt {{16} over {9} + {4} over {9}}# & = {2 sqrt {5}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {5} TIMES {2 sqrt {5}} over {3} = {5} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]

② [eqn: {4} over {3}]

③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]

⑤ [eqn: {11} over {6}]

47. 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{2} `x,~y=log _{4} `x]와 직선 [eqn: y=n]이 만나는 점을 각각 [eqn: {rm P it} _{n} ,~{rm Q it} _{n}]이라 하자. 부등식 [eqn: bar{{ rm P it} _{n} { rm Q it} _{n}} LEQ 2 ^{40} -2 ^{20}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: rm P it rm _{n} LEFT ( 2 ^{n} ,~n RIGHT ) ,~ rm Q it rm _{n} LEFT ( 4 ^{n} ,~n RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm P it _{n} rm Q it _{n}}} =4 ^{n} -2 ^{n}]

[eqn: {bar{rm P it rm _{n} rm Q it rm _{n} it}} LEQ 2 ^{40} -2 ^{20}]에서

[eqn: 4 ^{n} -2 ^{n} LEQ 2 ^{40} -2 ^{20} ,~4 ^{n} -2 ^{n} -2 ^{20} LEFT ( 2 ^{20} -1 RIGHT ) LEQ 0]

이므로 [eqn: 2 ^{n} =t`(t GEQ 2)]라 하면

[eqn: t ^{2} -t-2 ^{20} ` LEFT ( 2 ^{20} -1 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: LEFT ( t ^{2} -2 ^{20} RIGHT ) ` LEFT ( t+2 ^{20} -1 RIGHT ) LEQ 0]

그런데 [eqn: t ^{2} +2 ^{20} -1>0]이므로

[eqn: t-2 ^{20} LEQ 0]

즉, [eqn: 2 LEQ t LEQ 2 ^{20}]이므로

[eqn: 1 LEQ n LEQ 20]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{20} k= {20 TIMES 21} over {2} =210]

48. 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `-1]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2n]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f(x)]라 하자. 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `-1,~y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: g(n) A]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} g LEFT ( n RIGHT )]의 값은?

곡선 [eqn: y=2 ^{x} `-1]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2n]만큼 평행이동한 곡선 [eqn: y=f(x)]는 그림과 같다.

즉, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (2n,~0)]을 지나고, 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `-1,~y=f(x)]는 직선 [eqn: x=n]에 대하여 대칭이므로 두 곡선은 점 [eqn: (n,~2 ^{n} -1)]에서 만난다.

이때 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `-1,~y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은

[eqn: x=1]일 때, [eqn: 0]개

[eqn: x=2]일 때,

[eqn: (2,~1),~(2,~2 ^{2} -2)]로 [eqn: 2 ^{2} -2](개)

[eqn: x=3]일 때,

[eqn: (3,~1),~(3,~2),~(3,~3),~y,~(3,~2 ^{3} -2)]로 [eqn: 2 ^{3} -2](개)

[eqn: x=4]일 때,

[eqn: (4,~1),~(4,~2),~(4,~3),~ CDOTS ,~(4,~2 ^{4} -2)]로 [eqn: 2 ^{4} -2](개)

⋮

[eqn: x=n-1]일 때,

[eqn: (n-1,~1),~(n-1,~2),~(n-1,~3),~ CDOTS ,~(n-1,~2 ^{n-1} -2)]로 [eqn: 2 ^{n-1} -2](개)

[eqn: x=n]일 때,

[eqn: (n,~1),~(n,~2),~(n,~3),~ CDOTS ,~(n,~2 ^{n} -2)]로 [eqn: 2 ^{n} -2](개)

이므로

[eqn: g(n) & =2 LEFT { (2 ^{2} -2)+(2 ^{3} -2)+(2 ^{4} -2)+ CDOTS +(2 ^{n-1} -2) RIGHT } +2 ^{n} -2# & =2 sum _{k=1} ^{n-2} LEFT ( 2 ^{k+1} -2 RIGHT ) +2 ^{n} -2# & =2 TIMES LEFT { {4 LEFT ( 2 ^{n-2} -1 RIGHT )} over {2-1} -2 TIMES LEFT ( n-2 RIGHT ) RIGHT } +2 ^{n} -2# & =3 TIMES 2 ^{n} -4n-2]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{5} g LEFT ( n RIGHT ) & = sum _{n=1} ^{5} LEFT ( 3 TIMES 2 ^{n} -4n-2 RIGHT )# & = {6 LEFT ( 2 ^{5} -1 RIGHT )} over {2-1} -4 TIMES {5 TIMES 6} over {2} -2 TIMES 5# & =186-60-10# & =116]

① [eqn: 112]

② [eqn: 116]

③ [eqn: 120]

④ [eqn: 124]

⑤ [eqn: 128]

49. [eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: (f(t),~t)], [eqn: x]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: (g(t),~t)]라 하자. [eqn: h(t)=t TIMES LEFT { f(t)-g(t) RIGHT }]라 할 때, [eqn: h prime (5)]의 값은?

[eqn: h(t)=t TIMES LEFT { f(t)-g(t) RIGHT }]에서

[eqn: h prime (t)=f(t)-g(t)+t TIMES LEFT { f prime (t)-g prime (t) RIGHT }]이고

[eqn: h prime (5)=f(5)-g(5)+5 LEFT { f prime (5)-g prime (5) RIGHT }] ……  ㉠

곡선  [eqn: y=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]와 직선  [eqn: y=5]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -15x+5=5]

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -15x=0]

[eqn: x(x+5)(x-3)=0]

[eqn: x=-5]또는  [eqn: x=0]또는 [eqn: x=3]

따라서 [eqn: f(5)=3, g(5)=-5]

[eqn: 0<t<41]에서  [eqn: x=f(t) , x=g(t)]의 역함수가

[eqn: t=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]이고 [eqn: {dt} over {dx} =3x ^{2} +4x-15]이므로

[eqn: f prime (5) & = {1} over {LEFT ( f ^{-1} RIGHT ) prime LEFT ( 3 RIGHT )}# & = {1} over {3 TIMES 3 ^{2} +4 TIMES 3-15}# & = {1} over {24}]

[eqn: g prime (5) & = {1} over {LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) prime LEFT ( -5 RIGHT )}# & = {1} over {3 TIMES LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} +4 TIMES LEFT ( -5 RIGHT ) -15}# & = {1} over {40}]

따라서 ㉠에 의하여

[eqn: h prime (5) & =f(5)-g(5)+5 LEFT { f prime (5)-g prime (5) RIGHT }# & =3-(-5)+5 LEFT ( {1} over {24} - {1} over {40} RIGHT )# & =8+ {1} over {12}# & = {97} over {12}]

① [eqn: {79} over {12}]

② [eqn: {85} over {12}]

③ [eqn: {91} over {12}]

④ [eqn: {97} over {12}]

⑤ [eqn: {103} over {12}]

50. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2} -1}} =4]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x-1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g prime (3)= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2} -1} =4}]에서 [eqn: x` -> `1]일 때 [eqn: (분모)` -> `0]이므로 [eqn: (분자)` -> `0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT } =0}]

이때 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

즉, [eqn: f(1)=3]

따라서

[eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2} -1}} & = lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x ^{2} -1}}# & = lim _{x -> 1} {LEFT { {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} TIMES {1} over {x+1} RIGHT }}# & = lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} TIMES lim _{x -> 1} {{1} over {x+1}}# & =f prime (1) TIMES {1} over {2}# & =4]

이므로 [eqn: f prime (1)=8]

한편 함수 [eqn: f(x-1)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g( f(x-1))=x] …… ㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g prime (f(x-1))f prime (x-1)=1] …… ㉡

[eqn: f(1)=3]이므로 ㉡의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g prime (f(1))f prime (1)=1]

즉, [eqn: g prime (3)=1f prime (1)= {1} over {8}]

따라서 [eqn: p=8,~q=1]이므로

[eqn: p+q=9]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

51. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1} =3}]

㈏ [eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x-2} =5}]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하고 [eqn: g(x)]가 미분가능할 때, 함수 [eqn: h(x)=(g CIRC g)(x)]라 한다. [eqn: h prime (4)]의 값은?

조건 ㈎의 [eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1} =3}]에서 [eqn: x` -> 1]일 때 [eqn: (분모)` -> `0]이므로 [eqn: (분자)` -> `0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]

이때 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

즉, [eqn: f(1)=2]

따라서

[eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}} & = lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}# & =f prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3]

조건 ㈏의 [eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x-2} =5}]에서 [eqn: x` ->2]일 때 [eqn: (분모)` -> `0] 이므로 [eqn: (분자)` -> `0] 이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x -> 2} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT } =0}]이어야 하므로 [eqn: f(2)-4=0]에서 [eqn: f(2)=4]

따라서

[eqn: lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x-2}} & = lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x-2}}# & =f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =5]

[eqn: f(1)=2,~f(2)=4]이므로

[eqn: g(2)=1,~g(4)=2]

또 [eqn: f prime (1)=3,~f prime (2)=5]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: g prime (2)= {1} over {f prime (g(2))} = {1} over {f prime (1)} = {1} over {3}]

[eqn: g prime (4)= {1} over {f prime (g(4))} = {1} over {f prime (2)} = {1} over {5}]

[eqn: h(x)=(g CIRC g)(x)=g(g(x))]에서

[eqn: h prime (x)=g prime (g(x))g prime (x)]

따라서

[eqn: h prime (4)=g prime (g(4))g prime (4)# =g prime (2)g prime (4)# = {1} over {3} TIMES {1} over {5}# = {1} over {15}]

① [eqn: {1} over {16}]

② [eqn: {1} over {15}]

③ [eqn: {1} over {14}]

④ [eqn: {1} over {13}]

⑤ [eqn: {1} over {12}]

52. 양수 [eqn: a]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [-a,~a]]에서 함수 [eqn: f(x)=(x+a) sqrt {a ^{2} -x ^{2}}]의 최댓값을 [eqn: M(a)]라 할 때, [eqn: lim _{x -> INF } {{M LEFT ( a RIGHT )} over {sqrt {3} a ^{2} +2}}]의 값은?

[eqn: f(x)=(x+a) sqrt {a ^{2} -x ^{2}}]에서 [eqn: -a<x<a]일 때

[eqn: f prime (x) & = sqrt {a ^{2} -x ^{2}} +(x+a) TIMES {-x} over {sqrt {a ^{2} -x ^{2}}}# & = {LEFT ( a ^{2} -x ^{2} RIGHT ) -x LEFT ( x+a RIGHT )} over {sqrt {a ^{2} -x ^{2}}}# & = {-2x ^{2} -ax+a ^{2}} over {sqrt {a ^{2} -x ^{2}}}# & = {- LEFT ( 2x ^{2} +ax-a ^{2} RIGHT )} over {sqrt {a ^{2} -x ^{2}}}# & = {- LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( 2x-a RIGHT )} over {sqrt {a ^{2} -x ^{2}}}]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x= {a} over {2}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -a]	…	[eqn: {a} over {2}]	…	[eqn: a]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= {a} over {2}]에서 극대이면서 최대이므로

[eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) & = LEFT ( {a} over {2} +a RIGHT ) sqrt {a ^{2} - LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) ^{2}}# & = {3a} over {2} sqrt {{3} over {4} a ^{2}}# & = {3 sqrt {3}} over {4} a ^{2}]

즉, [eqn: M(a)= {3 sqrt {3}} over {4} a ^{2}]

따라서

[eqn: lim _{x -> INF } {{M LEFT ( a RIGHT )} over {sqrt {3} a ^{2} +2}} & = lim _{x -> INF } {{{3 sqrt {3}} over {4} a ^{2}} over {sqrt {3} a ^{2} +2}}# & = lim _{x -> INF } {{{3 sqrt {3}} over {4}} over {sqrt {3} + {2} over {a ^{2}}}}# & = {3} over {4}]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: {2} over {3}]

③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {4} over {5}]

⑤ [eqn: {5} over {6}]

53. 닫힌 구간 [eqn: [0,~1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =2,~ int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} =2 sqrt {2}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {|f(t)|dt} `(0 LEQ x LEQ 1)]

일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)F(x)dx}]의 값은?

열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: f(x)=0]인 [eqn: x]의 값을 [eqn: a]라 하면

[eqn: f( alpha )=0]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =2,]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} =2 sqrt {2}]

이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B]라 하면

[eqn: A+B=2 sqrt {2} ,~A-B=2]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: A=1+ sqrt {2} ,~B=-1+ sqrt {2}]

따라서

[eqn: int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =1- sqrt {2} ,~ int _{alpha } ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =1+ sqrt {2}]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{alpha } ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {|f(t)|dt}]에서 [eqn: F prime (x)= LEFT | f(x) RIGHT |]

(i) [eqn: 0<x<a]이면 [eqn: f(x)=-F prime (x)]이므로

[eqn: int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx} & = int _{0} ^{alpha } {-F prime LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx}# & =- {1} over {2} int _{0} ^{alpha } {2F prime LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx}# & =- {1} over {2} LEFT [ LEFT { F LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] _{0}^{alpha }# & =- {1} over {2} LEFT { F LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT } ^{2} + {1} over {2} LEFT { F LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ^{2}# & =- {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}]

(ii) [eqn: a<x<1]이면 [eqn: f(x)=F prime (x)]이므로

[eqn: int _{alpha } ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx} & = {1} over {2} int _{alpha } ^{1} {2F prime LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx}# & = {1} over {2} LEFT [ LEFT { F LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] _{alpha }^{1}# & = {1} over {2} LEFT { F LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} - {1} over {2} LEFT { F LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT } ^{2}# & = {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}]

따라서 (i), (ii)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT ) dx} & =- {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} + {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}# & =4- LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}# & =4- LEFT ( 3-2 sqrt {2} RIGHT )# & =1+2 sqrt {2}]

① [eqn: 4- sqrt {2}]

② [eqn: 2+ sqrt {2}]

③ [eqn: 5- sqrt {2}]

④ [eqn: 1+2 sqrt {2}]

⑤ [eqn: 2+2 sqrt {2}]

54. 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: f prime (x)>0,~f prime prime (x)>0]이다.

㈏ [eqn: f(0)=0,~f(1)=1,~f prime (0)= {1} over {4} ,~f prime (1)=2]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하고 [eqn: g(x)]의 이계도함수가 존재할 때, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | {g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {f prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} RIGHT | dx} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: f(g(x))=x]

이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (g(x))g prime (x)=1]이므로

[eqn: g prime (x)= {1} over {f prime (g(x))}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | {g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {f prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} RIGHT | dx} = int _{0} ^{1} {LEFT | g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}] …… ㉠

이때 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) >0,~f prime prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래로 볼록하면서 증가한다.

한편 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 위로 볼록하면서 증가한다.

즉, [eqn: g prime (x)>0,~g prime prime (x)>0]

㉠에서 [eqn: g(x)=t]로 놓으면 [eqn: g prime (x) {dx} over {dt} =1]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=g(0)=0], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=g(1)=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} & =- int _{0} ^{1} {g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g prime LEFT ( x RIGHT ) dx}# & =- int _{0} ^{1} {g prime prime LEFT ( t RIGHT ) dt}# & =- LEFT [ g prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{1}# & =g prime LEFT ( 0 RIGHT ) -g prime LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}]이고 [eqn: g(0)=0,~g(1)=1,~f prime (0)= {1} over {4} ,~f prime (1)=2]이므로

[eqn: g prime LEFT ( 0 RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f prime LEFT ( 0 RIGHT )} =4]

[eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f prime LEFT ( 1 RIGHT )} = {1} over {2}]

즉, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | {g prime prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {f prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} RIGHT | dx} & =g prime LEFT ( 0 RIGHT ) -g prime LEFT ( 1 RIGHT )# & =4- {1} over {2} = {7} over {2}]

따라서 [eqn: p=2,~q=7]이므로

[eqn: p+q=2+7=9]

55. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 그 도함수 [eqn: f prime (x)]는 연속이고, 두 함수 [eqn: f(x),~f prime (x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(3)=10]

㈏ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime (-x)=-f prime (x)]이다.

㈐ 음이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: int _{n} ^{n+1} {f(x)dx} =2n+1]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {72k} over {n ^{2}} f prime LEFT ( {6k} over {n} -3 RIGHT )}]의 값을 구하시오

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {72k} over {n ^{2}} f prime LEFT ( {6k} over {n} -3 RIGHT )} & =72 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} f prime LEFT ( {6k} over {n} -3 RIGHT ) {1} over {n}}# & =72 int _{0} ^{1} {xf prime LEFT ( 6x-3 RIGHT ) dx}]

[eqn: 6x-3=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =6]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=-3], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=3]이므로

[eqn: 72 int _{0} ^{1} {xf prime LEFT ( 6x-3 RIGHT ) dx}# =72 int _{-3} ^{3} {LEFT { {t+3} over {6} f prime LEFT ( t RIGHT ) TIMES {1} over {6} RIGHT } dt}# =2 int _{-3} ^{3} {LEFT ( t+3 RIGHT ) f prime LEFT ( t RIGHT ) dt}# =2 int _{-3} ^{3} {tf prime LEFT ( t RIGHT ) dt} +6 int _{-3} ^{3} {f prime LEFT ( t RIGHT ) dt}# =2 int _{-3} ^{3} {tf prime LEFT ( t RIGHT ) dt+6 TIMES 0} (조건~㈏에~의하여)# =2 int _{-3} ^{3} {tf prime LEFT ( t RIGHT ) dt}]

조건 ㈏에서 [eqn: f prime (-x)=-f prime (x)]이므로

[eqn: f(-x)=f(x)+C (C는~적분상수)]   ……  ㉠

㉠에  [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(0)=f(0)+C,~C=0]

즉,  [eqn: f(-x)=f(x)]                ……  ㉡

이때  [eqn: u(t)=t,~v prime (t)=f prime (t)]라 하면

[eqn: 2 int _{-3} ^{3} {tf prime LEFT ( t RIGHT ) dt}# =2 LEFT [ tf LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ] _{-3}^{3} -2 int _{-3} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}# =2 LEFT { 3f LEFT ( 3 RIGHT ) - LEFT ( -3 RIGHT ) TIMES f LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT } -2 int _{-3} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}# =12f LEFT ( 3 RIGHT ) -4 int _{0} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} (㉡에~의하여)]

조건 ㈐ 에서 [eqn: int _{n} ^{n+1} {f(x)dx} =2n+1]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx} = int _{0} ^{1} {f(x)dx} + int _{1} ^{2} {f(x)dx} + int _{2} ^{3} {f(x)dx}# =(2 TIMES 0+1)+(2 TIMES 1+1)+(2 TIMES 2+1)# =1+3+5=9]

조건 ㈎ 에서  [eqn: f(3)=10]이므로

[eqn: 12f(3)-4 int _{0} ^{3} {f(t)dt} =12 TIMES 10-4 TIMES 9=84]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {72k} over {n ^{2}} f prime LEFT ( {6k} over {n} -3 RIGHT )} =84]

56. [eqn: a>1]일 때, 정의역이 [eqn: LEFT { x|0 LEQ x LEQ {1} over {a} RIGHT }]인 함수

[eqn: f(x)= int _{x} ^{ax} {sqrt {1-t ^{2}} dt}]가 [eqn: x= {sqrt {3}} over {2a}]에서 최댓값이 [eqn: M]일 때, [eqn: {pi} over {M}]의 값을 구하시오.

[eqn: f(x) & = int _{x} ^{ax} {sqrt {1-t ^{2}} dt}# & = int _{0} ^{ax} {sqrt {1-t ^{2}} dt} - int _{0} ^{x} {sqrt {1-t ^{2}} dt}]

이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (x) & =a sqrt {1-(ax) ^{2}} - sqrt {1-x ^{2}}# & = {a ^{2} LEFT ( 1-a ^{2} x ^{2} RIGHT ) - LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT )} over {a sqrt {1-(ax) ^{2}} + sqrt {1-x ^{2}}}# & = {LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) LEFT { 1- LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) x ^{2} RIGHT }} over {a sqrt {1-(ax) ^{2}} + sqrt {1-x ^{2}}}]

따라서 [eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x= {1} over {sqrt {a ^{2} +1}}]이고 [eqn: x= {1} over {sqrt {a ^{2} +1}}]에서 극대이이면서 최댓값을 갖는다.

즉, [eqn: {1} over {sqrt {a ^{2} +1}} = {sqrt {3}} over {2a}]에서 [eqn: {1} over {a ^{2} +1} = {3} over {4a ^{2}}]이므로 [eqn: a ^{2} =3]

이때 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a= sqrt {3}]

따라서 [eqn: M=f LEFT ( {sqrt {3}} over {2a} RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = int _{{1} over {2}} ^{{sqrt {3}} over {2}} {sqrt {1-t ^{2}} dt}]이고, 이것이 의미하는 것은 그림과 같이 색칠된 부분의 넓이이다.

[eqn: rm (부채꼴~OAB의~넓이)+(삼각형~OAD의~넓이)# -(삼각형~OBC의~넓이)# = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {6} + {1} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2} TIMES {1} over {2} - {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2}# = {pi } over {12}]

즉, [eqn: M= {pi } over {12}]이므로 [eqn: {pi } over {M} =12]