2018 수능 특강

Ⅱ. 삼각함수

Navi : One Pass on Effort

1. 함수 [eqn: f(x)=`sin`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi} over {3}]만큼 평행이동하면 곡선 [eqn: y=af(x)+bf LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT )]와 완전히 겹쳐질 때, [eqn: {b} over {a}]의 값은? (단, [eqn: a,`b]는 상수이다.)

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi} over {3}]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는 [eqn: y=f LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT )]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) =af(x)+bf LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT )]

즉, [eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) = alpha `sinx+b`sin LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) `]가 성립해야 한다.

이때 [eqn: sin LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) =cosx]이고,

[eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) =sinx`cos {pi } over {3} -cosx`sin {pi } over {3}# = {1} over {2} `sinx- {sqrt {3}} over {2} `cosx]

이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: a`sinx+b`cosx= {1} over {2} `sinx- {sqrt {3}} over {2} `cosx]가 성립해야 한다.

따라서 [eqn: a= {1} over {2} ,`b=- {sqrt {3}} over {2}]이어야 하므로

[eqn: {b} over {a} = {- {sqrt {3}} over {2}} over {{1} over {2}} =- sqrt {3}]

{참고}

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: a`sinx+b`cosx= {1} over {2} `sinx- {sqrt {3}} over {2} `cosx]……㉠

가 성립하기 위한 필요충분조건은 다음과 같이 구할 수 있다. ㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: sin0=0,`cos0=1]이므로

[eqn: b=- {sqrt {3}} over {2}]

㉠의 양변에 [eqn: x= {pi} over {2}]를 대입하면 [eqn: sin {pi} over {2} =1,`cos {pi} over {2} =0]이므로

[eqn: a= {1} over {2}]

따라서 등식 ㉠이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b=- {sqrt {3}} over {2}]이어야 한다.

역으로 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b=- {sqrt {3}} over {2}]이면 등식 ㉠이 항상 성립한다.

따라서 등식 ㉠이 성립하기 위한 필요충분조건은

[eqn: a= {1} over {2} ,`b=- {sqrt {3}} over {2}]이다.

2. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,`2pi RIGHT ]]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)=`sin`a`cos`x`+a]와 [eqn: g(x)=`cos`a`sin`x-a]의 그래프가 서로 만나도록 하는 상수 [eqn: a]의 최솟값은?

닫힌 구간 [eqn: [0, 2pi]]에서 두 함수 [eqn: f(x)=sin`a`cos`x+a]와 [eqn: g(x)=cos`a`sin`x-a]의 그래프가 서로 만나려면

방정식 [eqn: sin`a`cos`x+a=cos`a`sin`x-a]

즉, [eqn: cos`a`sin`x-sin`a`cos`x=2a]  [eqn: sin`(x-a)=2a]의 해가 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 존재해야 한다.

[eqn: -a LEQ x-a LEQ 2pi-a]에서 [eqn: -1 LEQ sin`(x-a) LEQ 1]이므로 [eqn: -1 LEQ 2a LEQ 1]

[eqn: - {1} over {2} LEQ a LEQ {1} over {2}]따라서 상수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: -{ 1} over { 2}]이다.

3. 곡선 [eqn: y=2`tan`3x]와 직선 [eqn: x=t LEFT ( 0<t< {pi} over {6} RIGHT )]가 만나는 점을 [eqn: P]라 할 때,[eqn: lim _{t-> 0+} {{{bar{OP}}} over {t}}]의 값은?

[eqn: P(t,2tan3t)] 이므로

[eqn: bar{OP}= sqrt {t ^{2} +4tan ^{2} 3t}]

따라서

[eqn: lim _{t -> 0+} {{{bar{OP}}} over {t} = lim _{t -> 0+} {eqalign{{sqrt {t ^{2} +4tan ^{2} 3t}} over {t}# = lim _{t -> 0+} {eqalign{sqrt {1+4 TIMES LEFT ( {tan3t} over {t} RIGHT ) ^{2}}# = lim _{t -> 0+} {sqrt {1+36 TIMES LEFT ( {tan3t} over {3t} RIGHT ) ^{2}}}}}}}}]

이때

[eqn: lim _{t -> 0+} {{tan3t} over {3t} = lim _{t -> 0+} {eqalign{LEFT ( {sin`3t} over {3t} TIMES {1} over {cos3t} RIGHT )# = lim _{t -> 0+} {{sin`3t} over {3t} TIMES ` lim _{t -> 0+} {eqalign{{1} over {cos`3t}# =1 TIMES {1} over {1} =1}}}}}}]

이므로

[eqn: lim _{t -> 0+} {{{bar{OP}}} over {t} = lim _{t -> 0+} {eqalign{sqrt {1+36 TIMES LEFT ( {tan3t} over {3t} RIGHT ) ^{2}}# = sqrt {1+36 TIMES 1 ^{2}}# = sqrt {37}}}}]

(단, [eqn: O]는 원점이다.)

4. 함수 [eqn: f(x)= {cases{{sin`3x} over {x}&(x<0)#a&(x=0)#{b} over {2+cos`ax}&(x>0)}}]이 [eqn: x=0]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수이다.)

[eqn: lim _{x -> 0-} {f(x)} =3 lim _{x -> 0-} {{sin`3x} over {3x} =3times1=3}]

[eqn: lim _{x -> 0+} {f(x)} = lim _{x -> 0+} {{b} over {2+cosax} = {b} over {2+cos0} = {b} over {3}}]

[eqn: f(a)=0]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이려면

[eqn: lim _{x -> 0-} {f(x)} = lim _{x -> 0+} {f(x)=f(0)}]

이어야 하므로

[eqn: 3= {b} over {3} =a,`]즉 [eqn: a=3,`b=9]

따라서 [eqn: a+b=3+9=12]

5. 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,`pi RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=`sin`x`cos`x]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`f(a) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 0]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

[eqn: f prime (x)=(sin`x) prime `cos`x+sin`x(cos`x) prime # =cos`x`cos`x+sin`x(-sin`x)]

[eqn: =cos ^{2} ``x-sin ^{2} `x# =(cos`x-sin`x)(cos`x+sin`x)]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a,`f(a))]에서의 접선의 기울기가 0이므로

[eqn: f`'(a)=0]에서

[eqn: cos`a=sin`a] 또는 [eqn: cos`a=-sin`a]

즉, [eqn: tan`a=1] 또는 [eqn: tan`a=-1]이다.

[eqn: 0<a<pi에서a= {pi} over {4}] 또는 [eqn: a= {3pi} over {4}]

따라서 구하는 모든 실수 의 [eqn: a]값의 합은

[eqn: { pi} over { 4}+ { 3pi} over {4 }=pi]

6. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]이 제 1사분면에서 만나는 점을 [eqn: P]라 하고, 점 [eqn: P]를 지나고 곡선 [eqn: y=x ^{2}]에 접하는 직선을 [eqn: l _{1}], 점 [eqn: P]를 지나고 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]에 접하는 직선을 [eqn: l _{2}]라 하자. 두 직선 [eqn: l _{1} ,`l _{2}]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan` theta]의 최솟값은?

점 P의 좌표를 [eqn: (a,a ^{2} )`(a>0)]이라 하고 두 직선 [eqn: l _{1,`} l _{2}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha,beta]라 하자. [eqn: y=x ^{2}] 에서 [eqn: y'=2x]이므로 직선 [eqn: l_1]의 기울기는 [eqn: tan`alpha=2a] 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] 위의 점 [eqn: (a,a ^{2} )`]에서의 접선의 방정식은 [eqn: ax+a ^{2} y=r ^{2}]이므로 직선 [eqn: l _{2}]의 기울기는

[eqn: tan`beta=- {1} over {a}]

이때 [eqn: alpha+theta=beta]에서 [eqn: theta=beta-alpha]이므로

[eqn: tan` theta =tan( beta - alpha )# = {tan` beta -tan` alpha } over {1+tan beta tan` alpha }]

[eqn: = {- {1} over {a} -2a} over {1+ LEFT ( - {1} over {a} RIGHT ) TIMES 2a}# = {1} over {a} +2a]

이때 [eqn: a>0]이므로 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여

[eqn: { 1} over { a}+2a GEQ sqrt { { 1} over { a} times2a}=2 sqrt { 2}]

[eqn: LEFT ( 단,`등호는 {1} over {a} =2a,`즉`a= {sqrt {2}} over {2} 일`때`성립한다. RIGHT )]

이므로 [eqn: tan theta]의 최솟값은 [eqn: 2sqrt { 2}]이다.

{참고}

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] 위의 점 [eqn: (x _{1,} y _{1} )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: x _{1} x+y _{1} y=r ^{2}]

7. 그림과 같이 반지금의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: OAB]가 있다. 선분 [eqn: OA] 위의 두 점 [eqn: C,`D], 호 [eqn: AB] 위의 점 [eqn: E], 선분 [eqn: OB] 위의 점 [eqn: F]를 꼭지점으로 하는 정사각형 [eqn: CDEF]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{2}}}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,`0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]

정사각형 CDEF의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면 직각삼각형 OCF에서 [eqn: tan theta = {{bar{CF}}} over {{bar{OC}}} = {x} over {{bar{OC}}}] 이므로 [eqn: {bar{OC}} =x`cot theta] 이때 직각삼각형 ODE에서 피타고라스 정리에 의하여 [eqn: 1 ^{2} `=(x`cot` theta +x) ^{2} `+x ^{2} `=x ^{2} LEFT { `(1+cot` theta ) ^{2} `+1 RIGHT }]이므로

[eqn: x ^{2} = {1} over {(1+cot` theta ) ^{2} +1} = {1} over {2+2cot` theta +cot ^{2`} theta}][eqn: = {sin ^{2} theta} over {2sin ^{2`} theta+2sintheta`costheta+cos ^{2`} theta}]

따라서 정사각형 CDEF의 넓이는 [eqn: S(theta)=x ^{2} = {sin ^{2} theta } over {2sin ^{2`} theta +2sin theta `cos theta +cos ^{2`} theta }]이므로

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{2}}}# = lim _{theta -> 0+} {eqalign{{LEFT ( {sin` theta } over {theta } RIGHT ) ^{2}} over {2sin ^{2`} theta +2sin theta `cos theta +cos ^{2`} theta }# = {1 ^{2}} over {0+0+1 ^{2}} =1}}]

{다른 풀이}

[eqn: bar{OF}=a]라 하면 [eqn: bar{FC}=a`sin`theta]이므로 [eqn: S(theta)=a ^{2} sin ^{2} theta]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {eqalign{{S( theta )} over {theta ^{2}}# = lim _{theta -> 0+} {eqalign{{a ^{2} `sin ^{2} theta } over {theta ^{2}}# = lim _{theta -> 0+} {a ^{2} TIMES lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {`sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2}} `}}}}}]

그런데 [eqn: theta -> 0+]이면 점 F는 A에 한없이 가까워진다. 따라서 [eqn: theta->0+]이면 [eqn: a->1], 즉 [eqn: a ^{2} ->1# #] 이므로 [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{2}} = lim _{theta -> 0+} {a ^{2} TIMES lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {`sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} =1 TIMES 1 ^{2} =1`}}}]

8. 곡선 [eqn: y-`sin`x] 위를 움직이는 점 [eqn: P LEFT ( t,`sin`t RIGHT ) ` LEFT ( 0<t< {pi} over {2} RIGHT )]를 중심으로 하고 직선 [eqn: y=x]에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: f`prime LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )]의 값은?

곡선 [eqn: y=sin`x]위의 점 [eqn: P(t,sin`t)```````0<t< {pi} over {2}]를 중심으로 하고 직선 [eqn: y=x]에 접하는 원의 반지름의 길이 [eqn: f(t)]는 점 P와 직선 [eqn: x-y=0]사이의 거리와 같으므로 [eqn: f(t)= {LEFT | t-sint RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {LEFT | t-sint RIGHT |} over {sqrt {2}}] 이때 [eqn: g(t)=t-sin`t]라 하면 [eqn: `0<t< {pi } over {2}]에서 [eqn: g '(t)=1-cos`t>0] 이므로 [eqn: `0<t< {pi } over {2}]에서 함수 [eqn: g(t)]는 증가하고 [eqn: t=0]일 때,

[eqn: g(0)=0-sin`0=0] 이므로 [eqn: `0<t< {pi } over {2}]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)>0]이다. 따라서

[eqn: f(t)= {t-sint} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: f`'(t)= {t-cost} over {sqrt {2}}] 그러므로

[eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) = {1-cos {pi } over {4}} over {sqrt {2}}# = {1- {sqrt {2}} over {2}} over {sqrt {2}}# = {2- sqrt {2}} over {2 sqrt {2}}# = {sqrt {2} -1} over {2}]

9. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: ABCD]가 있다. 변 [eqn: CD] 위의 점 [eqn: E]에 대하여 선분 [eqn: DE]를 지름으로 하는 원과 직선 [eqn: BE]가 만나는 점 중 [eqn: E]가 아닌 점을 [eqn: F]라 하자. [eqn: ANGLE EBC= theta]라 할 때, 점 [eqn: E]를 포함하지 않는 호 [eqn: DF]를 이등분하는 점과 선분 [eqn: DF]의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> {pi} over {4} -} {{r( theta )} over {{pi} over {4} - theta }}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,`0< theta < {pi} over {4} RIGHT )]

[eqn: ANGLE BEC= ANGLE DEF= {pi} over {2} - theta]이므로 직각삼각형 [eqn: DEF]에서 [eqn: ANGLE EDF= theta]이다. [eqn: {bar{EC}} =tan theta]이므로 [eqn: {bar{DE}} =1-`tan theta]이고, 선분 [eqn: DE]의 중점을 [eqn: M]이라 하면

[eqn: {bar{DM}} = {1-`tan theta } over {2}]

직선 [eqn: DF]가 작은 원과 점하는 점을 [eqn: N]이라 하면 직각삼각형 [eqn: DMN]에서 [eqn: {bar{MN}} = {bar{DM}} ``times`sin theta = {1-`tan` theta } over {2} ` TIMES `sin theta] 이므로 [eqn: {bar{DM}} = {bar{MN}} +2t( theta )]에서

[eqn: r( theta )= {1} over {2} ( {bar{DM}} - {bar{MN}} )# = {1} over {2} ` TIMES ` LEFT ( {1-tan theta } over {2} - {1-`tan theta } over {2} ` TIMES `sin theta RIGHT )# = {(1-tan` theta )(1-sin` theta )} over {4}]

한편, [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-`tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }}]에서 [eqn: {pi} over {4} - theta =t]로 놓으면 [eqn: theta -> {pi} over {4} -]일 때, [eqn: t -> 0+]이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-`tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }} = lim _{t -> 0+} {eqalign{{1-tan LEFT ( {pi } over {4} -t RIGHT )} over {t}# = lim _{t -> 0+} {eqalign{{1- {1-tan`t} over {1+tan`t}} over {t}# = lim _{t -> 0+} {{2tan`t} over {t(1+tan`t)}}}}}}]

[eqn: = lim _{t-> 0+} {{tan`t} over {t} `times` lim _{t-> 0+} {{2} over {1+tan`t}} =1`times`2=2}]

따라서

[eqn: lim _{theta -> {pi} over {4} -} {{r( theta )} over {{pi} over {4} - theta }}][eqn: = lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-`tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }} ` TIMES ` lim _{theta -> {pi } over {4} -} {eqalign{{1-sin` theta } over {4}# =2` TIMES {1- {sqrt {2}} over {2}} over {4} = {1} over {4} (2- sqrt {2} )}}]

2019 수능 특강

10. [eqn: 0 LEQ x <2pi]에서 방정식 [eqn: 2sqrt { 2}cos LEFT ( x- { pi} over {4 } RIGHT )=2`sin`x+1]의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta]라 할 때, [eqn: beta -alpha]의 값은? (단, [eqn: beta >alpha])

[eqn: 2sqrt { 2}cos LEFT ( x- { pi} over {4 } RIGHT )=2`sin`x+1]에서

[eqn: 2sqrt { 2}LEFT ( cos`x`cox{ pi} over {4 }+sin`x`sin { pi} over {4 } RIGHT )=2`sin`x+1]

[eqn: 2sqrt { 2}LEFT ( cos`x times{ sqrt { 2} } over {2}+sin`x times{ sqrt { 2} } over {2 } RIGHT )=2`sin`x+1]

[eqn: 2`cos`x+2`sin`x=2`sin`x+1]

[eqn: cos`x= { 1} over {2 }]

[eqn: 0 LEQ x <2pi]이므로 [eqn: x= { pi} over {3 }] 또는 [eqn: x= { 5pi} over {3 }]

따라서

[eqn: beta-alpha= { 5pi} over {3 }- { pi} over { 3}= { 4pi} over {3 }]

11. 점 [eqn: (2, ~-2)]에서 이차함수 [eqn: y=ax^{2}]의 그래프에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: { pi} over {4 }]가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은?

점 [eqn: (2, ~-2)]를 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은

[eqn: y=m(x-2)-2]

이차함수 [eqn: y=ax^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=m(x-2)-2]가 접하므로 방정식 [eqn: ax^{2}=m(x-2)-2], 즉

[eqn: ax^{2}-mx+2m+2=0]이 중근을 가져야 한다.

방정식 [eqn: ax^{2}-mx+2m+2=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(-m)^{2}-4a(2m+2)=0]

[eqn: m^{2}-8am-8a=0]   …… ㉠

방정식 ㉠의 두 실근을 [eqn: m{1},~ m_{2]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: m_{1}+m_{2}=8a,~ m_{1}m_{2}=-8a]

점 [eqn: (2, ~-2)]에서 이차함수 [eqn: y=ax^{2}]의 그래프에 그은 두 접선의 기울기가 각각 [eqn: m{1},~ m_{2]이므로 두 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha,~ beta]라 하면

[eqn: m_{1}=tan`alpha,~ m_{2}=tan` beta]

두 접선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: { pi} over { 4}]이어야 하므로

[eqn: tan{ pi} over { 4}=|`tan`(alpha-beta)`|]

[eqn: = LEFT | {tan`alpha-tan`beta } over {1+ tan`alpha`tan`beta} RIGHT |]

[eqn: = LEFT | {m_{1}-m_{2}} over {1+m_{1}m_{2} }RIGHT |]

[eqn: = LEFT | {m_{1}-m_{2}} over {1-8a }RIGHT |=1]

[eqn: |`m_{1}-m_{2}`|=|`1-8a`|]에서

[eqn: (m_{1}-m_{2})^{2}=(1-8a)^{2}]

[eqn: (m_{1}+m_{2})^{2}=`-4m_{1}m_{2}=1-16a+64a^{2}]

[eqn: (8a)^{2}-4 times (-8a)=1-16a+64a^{2}]

[eqn: 48a=1]

따라서 [eqn: a={ 1} over {48 }]

12. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(1, ~1), ~B(3,~ 3)]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: P(t, ~0)]에 대하여 [eqn: tan`(∠APB)=f(t)]라 할 때, [eqn: lim _{ t->0+} { { tan`t} over {f(t) } }]의 값을 구하시오.(단, [eqn: t!=1, ~t!=3]이고 [eqn: t>0]이다.)

두 직선 [eqn: PA,~ PB]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를

각각 [eqn: alpha, ~beta]라 하면

[eqn: ∠APB=alpha-beta]

[eqn: A(1, ~1), ~B(3,~ 3),~P(t, ~0)]이므로

[eqn: tan`alpha= { 1} over {1-t }] (단, [eqn: t!=1])

[eqn: tan`beta= { 3} over {3-t }] (단, [eqn: t!=3])

[eqn: f(t)=tan`(∠APB)]

[eqn: =tan`(alpha-beta)]

[eqn: ={ tan`alpha-tan`beta} over {1+tan`alpha`tan`beta }]

[eqn: ={ { 1} over { 1-t}- { 3} over { 3-t} } over {1+{ 1} over { 1-t}times { 3} over { 3-t }]

[eqn: ={ 2t } over {(1-t)(3-t)+3}]

따라서

[eqn: lim _{ t->0+} { { tan`t} over {f(t) } }]

[eqn: =lim _{ t->0+} { LEFT { { tan`t} over {t }times { (1-t)(3-t)+3} over { 2} RIGHT } }]

[eqn: =lim _{ t->0+} { LEFT { { sin`t} over {t }times { 1} over {cos`t }times { (1-t)(3-t)+3} over { 2} RIGHT } }]

[eqn: =lim _{ t->0+} { { sin`t} over {t }times lim _{ t->0+} { 1} over {cos`t }times lim _{ t->0+}{ (1-t)(3-t)+3} over { 2} }]

[eqn: =1 TIMES1 TIMES { 3+3} over {2 }]

[eqn: =3]

13. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{ x->0} { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} } }=3]일 때, [eqn: f'(0)]의 값을 구하시오.

[eqn: lim _{ x->0} { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} } }=3]에서

[eqn: lim _{ x->0} { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} } }]

[eqn: =lim _{ x->0} { LEFT { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} TIMES } } TIMES { 1-cos`x} over { x^{2}} RIGHT }]

[eqn: =lim _{ x->0} { LEFT { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} TIMES } } TIMES { (1-cos`x)(1+cos`x)} over { x^{2}(1+cos`x)} RIGHT }]

[eqn: =lim _{ x->0} { LEFT { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} TIMES } } TIMES {sin^{2}`x} over { x^{2}} TIMES { 1} over { 1+cos`x} RIGHT }]

[eqn: 1-cos`x=t]로 놓으면 [eqn: x` ->`0]일 때, [eqn: t`->`0+]이므로

[eqn: lim _{ x->0} { { f(1-cos`x)-f(0)} over {x^{2} } }]

[eqn: =lim _{ t->0+} { {f(t)-f(0)} over {t } } TIMES lim _{ x->0} { LEFT ( {sin`x } over {x } RIGHT ) ^{2}} TIMES lim _{ x->0} { { 1} over {1+cos`x } }]

[eqn: =f'(0) times1^{2} times { 1} over {2 }= { f'(0)} over {2 }=3]

따라서 [eqn: f'(0)=6]

14. 곡선 [eqn: y=c-4`sin^{2}`x] 위의 점 [eqn: (a, ~b)]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=4`cos`x] 위의 점 [eqn: (a, ~b)]에서의 접선이 서로 같도록 하는 세 상수 [eqn: a, ~b, ~c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: 0 < a <{pi} over 2])

[eqn: f(x)=c-4`sin^{2}`x], [eqn: g(x)=4`cos`x]라 하면

[eqn: f'(x)=(c-4`sin`x`sin`x)']

[eqn: =-4 LEFT { (sin`x)'sin`x+sin`x(sin`x)' RIGHT }]

[eqn: =-8`sin`x`cos`x]

[eqn: g'(x)=-4`sin`x]

두 곡선 [eqn: y=f(x), ~y=g(x)] 위의 점 [eqn: (a, ~b)]에서의 접선이 서로 같으려면

[eqn: f(a)=g(a)=b, ~f'(a)=g'(a)]

가 성립해야 한다.

[eqn: f'(a)=g'(a)]에서

[eqn: -8`sin`a`cos`a=-4`sin`a]

[eqn: 0<a< { pi} over {2 }]에서 [eqn: sin`a!=0]이므로

[eqn: cos`a= { 1} over { 2}]

따라서 [eqn: a= { pi} over {3 }]

[eqn: f(a)=g(a)=b]이므로

[eqn: b=g LEFT ( { pi} over {3 } RIGHT ) =2]이고

[eqn: b=f LEFT ( { pi} over {3 } RIGHT ) =c-4`sin^{2}` { pi} over {3 }]

[eqn: =c-4times { 3} over {4 } =c-3=2]

[eqn: c=3+2=5]

따라서 [eqn: a+b+c= { pi} over {3 }+2+8=7+{ pi} over {3 }]

15. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: { 7 pi} over {12 }]인 부채꼴 [eqn: OAB]가 있다.

호 [eqn: AB] 위의 두 점 [eqn: P, ~Q]에 대하여 점 [eqn: P]에서 선분 [eqn: OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: R], 점 [eqn: Q]에서 선분 [eqn: OP]에 내린 수선의 발을 S라 하자. [eqn: bar { PR}` TIMES bar { OS}` + bar { OR}` TIMES bar { QS}=2 sqrt { 3}]일 때,

[eqn: ∠BOQ=a]이다. [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: bar { PA} < bar{QA}])

[eqn: ∠POA=alpha], [eqn: ∠QOP=beta]라 하면

직각삼각형 [eqn: POR]에서 [eqn: bar{OP}=2]이므로

[eqn: bar{OP}=2`cos`alpha], [eqn: bar{PR}=2`sin`alpha]

직각삼각형 [eqn: QOS]에서 [eqn: bar{OQ}=2]이므로

[eqn: bar{OQ}=2`cos`beta], [eqn: bar{QS}=2`sin`beta]

[eqn: bar { PR}` TIMES bar { OS}` + bar { OR}` TIMES bar { QS}=2 sqrt { 3}]에서

[eqn: 2`sin `alpha times2`cos`beta+2`cos`alpha times2`sin`beta]

[eqn: =4`(sin` alpha `cos` beta +cos`alpha`sin`beta)]

[eqn: =4`sin(alpha+beta)=2 sqrt { 3}]

[eqn: sin(alpha+beta)= { sqrt { 3} } over { 2}]

[eqn: 0<alpha+beta< { 7pi} over {12 }] 이므로 [eqn: alpha+beta= { pi} over { 3}]

따라서 [eqn: ∠BOQ= { 7pi} over { 12}-(alpha-beta)= { 7pi} over {12 }- { pi} over {3 }= { pi} over {4 }]

16. 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=x`sin`x+f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{ x->0 } { { g'(x)} over {x } }=8]      (나) [eqn: lim _{ x->inf} { { g(x)} over { x^{3}} }=4]

[eqn: f(0)=2]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: g(x)=x`sin`x+f(x)]에서

[eqn: g'(x)=sin`x+x`cos`x+f'(x)]

조건 (가) [eqn: lim _{ x->0 } { { g'(x)} over {x } }=8]에서

[eqn: 8= lim _{ x->0} { {sin`x+x`cos`x+f'(x) } over {x } }]

[eqn: = lim _{ x->0} LEFT { { sin`x} over {x }+cos`x+ { f'(x)} over { x} RIGHT }]

[eqn: = lim _{ x->0} {{ sin`x} over {x }} +lim _{ x->0} {cos`x}+ lim _{ x->0}{{ f'(x)} over { x} }]

[eqn: =1+1+ lim _{ x->0}{{ f'(x)} over { x} }]

따라서 [eqn: lim _{ x->0}{{ f'(x)} over { x} }=6]	…… ㉠

[eqn: lim _{ x->0}{{ f'(x)} over { x} }=6]에서 [eqn: x`->`0]일 때, (분모) [eqn: ->`0]이므로

(분자) [eqn: ->`0]이어야 한다.

따라서 [eqn: lim _{ x->0} { f'(x)=0}]

다항함수 [eqn: f'(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x->0} { f'(x)=f '(0)=0]	…… ㉡

조건 (나) [eqn: lim _{ x->inf} { { g(x)} over { x^{3}} }=4]에서

[eqn: 4= lim _{ x->inf} { {x`sin`x+f(x) } over {x ^{3}} }= lim _{ x->inf} { LEFT { { sin`x} over { x^{2}}+ { f(x)} over { x^{3}} RIGHT }]

이때 [eqn: -1 LEQ sin`x LEQ 1]이므로

[eqn: -{ 1} over {x^{2} } LEQ { sin`x} over { x^{2}} LEQ { 1} over {x^{2} }`(x!=0)]

[eqn: lim _{ x->inf} { LEFT ( -{ 1} over {x^{2} } RIGHT )} LEQlim _{ x->inf}{ { sin`x} over { x^{2}} }LEQ lim _{ x->inf}{{ 1} over {x^{2} }}]에서

[eqn: lim _{ x->inf} { LEFT ( -{ 1} over {x^{2} } RIGHT )} = lim _{ x->inf}{{ 1} over {x^{2} }}=0]이므로

[eqn: lim _{ x->inf} { { sin`x} over {x^{2} } }=0]

[eqn: 4=lim _{ x->inf} { { sin`x} over {x^{2} } }+ lim _{ x->inf} { { f(x)} over { x^{3}} }]

[eqn: =0+ lim _{ x->inf} { { f(x)} over { x^{3}} }]

따라서 [eqn: lim _{ x->inf} { { f(x)} over { x^{3}} }=4]에서 다항함수 [eqn: f(x)]는 삼차항의 계

수가 [eqn: 4]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)=4x^{3}+ax^{2}+bx+c] ([eqn: a, ~b, ~c]는 상수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: f'(x)=12x^{2}+2ax+b]

㉡에서 [eqn: f'(0)=0]이므로 [eqn: b=0]

㉠에서

[eqn: 6=lim _{ x->0} { { f'(x)} over {x} } }= lim _{ x->0} { { 12x^{2}+2ax} over { x}} }]

[eqn: =lim _{ x->0} { (12x+2a) }=2a]

[eqn: 2a=6,~ a=3]

[eqn: f(x)=4x^{3}+3x^{2}+c]

[eqn: f(0)=2]에서 [eqn: c=2]

따라서 [eqn: f(x)=4x^{3}+3x^{2}+2]이므로

[eqn: f(1)=4+3+2=9]

17. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: BC]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: O]인 원에 내접하는 사다리꼴 [eqn: ABCD]가 있다. [eqn: ∠AOB=x]라 하고 사각형 [eqn: AOCD]의 넓이를 [eqn: f(x)]라 할 때, [eqn: f ' LEFT ( { pi} over { 4} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: 0 < x < { pi} over { 2}])

사각형 [eqn: AOCD]의 넓이 [eqn: f(x)]는 사다리꼴 [eqn: ABCD]의 넓이에

서 삼각형 [eqn: ABO]의 넓이를 뺀 값과 같다.

원의 중심 [eqn: O]에서 선분 [eqn: AD]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: bar {AD }=2 bar {AH}]

[eqn: bar {AH}= bar { OA}`sin(∠AOH)]

[eqn: = bar { OA}`sin LEFT ( { pi} over { 2} -x RIGHT )]

[eqn: =cos`x]

[eqn: bar {OH}= bar { OA}`cos(∠AOH)]

[eqn: = bar { OA}`cos LEFT ( { pi} over { 2} -x RIGHT )]

[eqn: =sin`x]

사다리꼴 [eqn: ABCD]의 넓이는

[eqn: { 1} over { 2} TIMES( bar { BC}`+ bar { AD} ) TIMES bar { OH}`={ 1} over { 2} (2+2`cos`x)`sin`x]

[eqn: =(1+cos`x)`sin`x]

[eqn: sin`x+sin`x`cos`x]

또한 삼각형 [eqn: ABO]의 넓이는

[eqn: { 1} over { 2} TIMES( bar { OA}`+ bar {OB} ) TIMES sin`x={ 1} over { 2} times 1^{2} times sin`x]

[eqn: ={ 1} over {2 }`sin`x]

따라서 구하는 사각형 [eqn: AOCD]의 넓이 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)=sin`x+sin`x`cos`x- { 1} over {2 }` sin`x]

[eqn: ={ 1} over {2 }`sin`x+sin`x`cos`x]

이므로

[eqn: f'(x)= { 1} over { 2}` cos`x+cos^{2}`x-sin^{2}`x]

따라서

[eqn: f prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) = {1} over {2} `cos` {pi } over {4} +cos ^{2}` {pi } over {4} -sin ^{2} ` {pi } over {4}]

[eqn: ={ 1} over { 2} TIMES { sqrt { 2} } over { 2}+ LEFT ( { sqrt { 2} } over {2 } RIGHT )^{2}-LEFT ( { sqrt { 2} } over {2 } RIGHT )^{2}]

[eqn: ={ sqrt { 2} } over {4 }]

18. 좌표평면에서 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: P]에서의 접선이 직선 [eqn: x=1]과 만나는 점을 [eqn: Q]라 하자. 점 [eqn: A(1, ~0)]에 대하여 점 [eqn: Q]를 지나고 직선 [eqn: AP]와 평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: R]라 하자. [eqn: ∠POA= theta]라 할 때, 세 점 [eqn: O, ~A, ~P]를 지나는 원의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: QAR]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자

[eqn: lim _{ theta ->0+ } { { theta TIMES LEFT { f( theta)- { pi} over {4 } RIGHT } } over {g( theta ) } }]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

점 [eqn: P]는 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 점이므로 [eqn: bar { OP}=1]

[eqn: bar { OP}`= bar { OA},~ ANGLEOAQ= { pi} over { 2},~ bar { OQ}]는 공통이므로 두 삼각형 [eqn: OPQ, ~OAQ]는 합동이다.

[eqn: ∠POQ=∠QOA= { theta } over {2 }]

[eqn: bar { PQ}`= bar { QA}=tan` { theta } over {2 }]

직각삼각형 [eqn: OPQ]에서

[eqn: bar { OQ}`^{2}= bar { OP}`^{2}+ bar { PQ}`^{2}=1+tan^{2} `{ theta } over {2 }]

이때 세 점 [eqn: O, ~A, ~P]를 지나는 원에 대하여 두 점 [eqn: A, ~P]가 원 위의 점이고 [eqn: ∠OPQ=∠OAQ= { pi} over {2 }]이므로 이 원은 점[eqn: Q]도 지난다. 또한 [eqn: ∠OPQ= { pi} over {2 }]이므로 선분 [eqn: OQ]는 세 점 [eqn: O,~ A, ~P]를 지나는 원의 지름이 된다.

따라서 구하는 원의 넓이 [eqn: f( theta )]는

[eqn: f( theta )=pi times LEFT ( { bar { OQ} } over { 2} RIGHT )^{2}]

[eqn: ={pi}OVER {4}times { bar { OQ}`^{2}]

[eqn: ={pi}OVER {4}+{pi}OVER {4} tan^{2}` { theta } over { 2}]

두 직선 [eqn: PA, ~QR]가 평행하므로

[eqn: ∠OQR= { pi} over {2 }]

이때 [eqn: ∠QOA=∠AQR= { theta } over {2 }]이므로

[eqn: bar { AR}`= bar { QA} TIMES tan { theta } over {2 }]

[eqn: = tan`{ theta } over {2 } TIMES tan`{ theta } over {2 }]

[eqn: = tan^{2}`{ theta } over {2 }]

따라서 직각삼각형 [eqn: QAR]의 넓이 [eqn: g( theta )]는

[eqn: g( theta )= { 1} over {2 } TIMES bar { QA} TIMES bar { AR}]

[eqn: = { 1} over {2 } TIMES tan`{ theta } over {2 } TIMES tan^{2}`{ theta } over {2 }]

[eqn: = { 1} over {2 } TIMES tan^{3}`{ theta } over {2 }]

이므로

[eqn: lim _{ theta ->0+} { { theta TIMES LEFT { f( theta)- { pi} over { 4} RIGHT } } over { g( theta)} }]

[eqn: =lim _{ theta ->0+} { { theta TIMES LEFT ({ pi} over { 4}+{ pi} over { 4}`tan^{2}` { theta } over {2 }-{ pi} over { 4} RIGHT ) } over { { 1} over {2 }`tan^{3}`{ theta } over {2 } } }]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {{theta TIMES {pi } over {4} `tan ^{2} ` {theta } over {2} } over {{1} over {2} `tan ^{3} ` {theta } over {2}}}]

[eqn: =pi times lim _{theta -> 0+} {{{theta } over {2} } over {tan` {theta } over {2}}}]

[eqn: =pi times lim _{theta -> 0+} { LEFT ({{theta } over {2} } over {sin` {theta } over {2}} times cos`{theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: =pi times lim _{theta ->0+}{ { 1} over {lim _{theta ->0+} { sin { theta } over {2 } } over {{ theta } over {2 } } } } TIMES lim _{theta ->0+}{cos { theta } over { 2} }]

[eqn: =pi times { 1} over {1 } TIMES1]

[eqn: =pi]