2012-3월 • 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	②	2	⑤	3	④	4	③	5	①
6	③	7	⑤	8	④	9	⑤	10	②
11	②	12	①	13	④	14	①	15	③
16	③	17	①	18	⑤	19	②	20	④
21	⑤	22	[eqn: 13]	23	[eqn: 8]	24	[eqn: 208]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 51]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 136]	29	[eqn: 24]	30	[eqn: 32]

해 설

1. [출제의도] 로그의 밑을 같게 하여 로그의 계산을 한다.

[eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 -log` _{9} `2`][eqn: =][eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 - 1over2 `log` _{3} `2`]

[eqn: =][eqn: {1} over {2} left(`log` _{3} `6 - `log` _{3} `2`right)]

[eqn: = 1over2 `log`_3` 6over2]

[eqn: = 1over2 `log`_3` 3][eqn: = 1over2]

2. [출제의도] 행렬의 기본연산인 덧셈, 뺄셈, 실수배 등의 계산을 한다.

[eqn: 2A=X``-B`]에서

[eqn: X=2A+B]

[eqn: `=2][eqn: {pmatrix{`1&``-2`#`2&``-1`}}][eqn: +][eqn: pmatrix { `-1&`` 2`#` -1&`` 3`}`]

[eqn: `=][eqn: pmatrix { `2& ``-4`#` 4&`` -2`}][eqn: +][eqn: pmatrix { `-1&`` 2`#` -1&`` 3`}`]

[eqn: `=][eqn: pmatrix { `1& ``-2`#` 3&`` ```````1`}]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 3]이다.

3. [출제의도] 무한등비수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`][eqn: =][eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{4^n -1}]

[eqn: `=][eqn: lim _{ n->inf} {4 - 1 over 4^n}over{1- 1over 4^n} =4]

4. [출제의도] 삼각함수의 여러 가지 공식을 이용하여 함수의 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x)= {LEFT ( cosx+sinx RIGHT ) ^{2}} over {sin2x}]

[eqn: `= {sin2x+1} over {sin2x}]

[eqn: `=1+ {1} over {sin2x}]

[eqn: 0<sin2x LEQ 1]이므로 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

5. [출제의도] 무연근의 뜻과 무리방정식의 풀이 방법을 이해하여 무리방정식의 해를 구한다.

[eqn: sqrt {x+4} = LEFT | `x` RIGHT |` -2`] … ㉠

주어진 식의 양변을 제곱하면

[eqn: x+4=x ^{2} -4 `LEFT |` x `RIGHT |` +4`]

(ⅰ) [eqn: x`geq`0]일 때

[eqn: x ^{2} -5x=0], [eqn: x(x-5)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=0] 또는 [eqn: x=5]

㉠에 대입하면 [eqn: x=0`]은 무연근이다. 따라서 구       하는 근은 [eqn: x=5`]이다.

(ⅱ) [eqn: x<0`]일 때

[eqn: x ^{2} +3x=0], [eqn: `x(x+3)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=-3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실근의 곱은 [eqn: -15`]       이다.

6. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 같은 값을 갖는 삼각함수를 찾는다.

[eqn: tan`10 DEG + {1} over {tan`20 DEG }][eqn: = {sin10 DEG } over {cos`10 DEG } + {cos`20 DEG } over {sin20 DEG }]

[eqn: `= {sin10°sin20°+cos`10°cos`20°} over {cos`10°sin20°}]

[eqn: `= {cos(20°-10°)} over {cos10°sin20°}]

[eqn: `= {cos`10°} over {cos`10°sin`20°}]

[eqn: `= {1} over {``sin20°}]

7. [출제의도] 극값의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 다항함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: lim _{ x`->`inf} {`{f`(x)} over x^3 }`=`1]이므로 [eqn: f`(x)`]는 삼차함수이고 삼차항의 계수는 [eqn: 1`]이다. 따라서 [eqn: f` prime(x)`]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: x`=`-1`]과 [eqn: x`=`2`]에서 극값을 가지므로 [eqn: f` prime(x)`]는 [eqn: x+1`]과 [eqn: x-2`]를 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f` prime(x)`=`3(x+1)(x-2)`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ h`->`0} {{f`(3+h)-f`(3-h)} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0} {left{f`(3+h)-f`(3)right}-left{f`(3-h)-f`(3)right}} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0}{{f`(3+h)-f`(3)}} over h }`+` lim _{ h`->`0}{{f`(3-h)-f`(3)}} over -h }]

[eqn: =`2f` prime(3)`=`2`․`3`․`4`․`1`=`24]

8. [출제의도] 무연근과 그래프의 평행이동을 이해하여 분수방정식의 해의 개수를 구한다.

방정식 [eqn: LEFT { ` {f(x)} over {g(x)} `-`1` RIGHT } ` LEFT { ` {g(x)+1} over {f(x)} `-1 RIGHT } `=`0]에서

[eqn: {` LEFT { `f(x)-g`(`x`) RIGHT } LEFT { `g`(x)`-f`(x)+1` RIGHT } `} over {f(x)``g`(x)} `=`0]이므로

[eqn: { `f(x)-g`(`x`)` = 0] 또는 [eqn: g`(`x)`-`f`(`x)`+`1=0`],

[eqn: f`(`x)`` != `0`], [eqn: g`(`x`)`` != `0`]

(ⅰ) 방정식 [eqn: `f(x)=`g`(`x`)`]의 해는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=0]         또는 [eqn: x=1]이다. 그런데 [eqn: x=0]은 무연근이므로        구하는 해는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=1]이다.

(ⅱ) 방정식 [eqn: g(x)=``f(`x)-`1`]의 해는 [eqn: x=b] 또는 [eqn: x=c]       또는 [eqn: x=d]이고 이들은 모두 무연근이 아니다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 해의 개수는 [eqn: 5]이다.

9. [출제의도] 위치와 속도의 관계 및 속도의 부호의 의미를 이해하여 두 점이 서로 반대 방향으로 움직인 시각을 구한다.

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`]에서의 속도를 각각 [eqn: v_{rmP}`], [eqn: v_{rmQ}`]라 하면

[eqn: v_{rmP}=`{d`x_{\P} }over dt `=`2t-a`]

[eqn: v_{rmQ}`=`{d`x_{\Q}} over dt `=` 2t-1 over {t^2 -t+1} `]

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 움직이는 방향이 서로 반대 방향이 되려면 [eqn: v_{rmP}v_{rmQ}<0]이어야 한다.

[eqn: v_{rmP}v_{rmQ}`=][eqn: {(2t-a)(2t-1)} over {t^2 -t+1}` < 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {(2t-a)(2t-1)}<0] … ㉠ [eqn: (BECAUSE``t^2 -t+1`>`0)]

㉠의 해가 [eqn: 1over2 <t< 2]이므로 [eqn: a over2 =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4]

10. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{{1} over {x}} =80`] … ㉠, [eqn: 2 ^{{2} over {y}} = {1} over {10} `] … ㉡, [eqn: 2 ^{{1} over {z}} =a ^{{1} over {3}} `] … ㉢

㉠[eqn: ×]㉡[eqn: ÷]㉢ 하면

[eqn: 2 ^{{1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z}} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `]

[eqn: {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =2`], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =64`]
[다른풀이]

[eqn: {1} over {x} =log _{`2} ``80,`] [eqn: {1} over {y} =log _{`4} `` {1} over {10} ,`] [eqn: {1} over {z} =log _{8} ``a`]

[eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =log _{`2} `` {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =1`]

[eqn: 2 ^{1} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =2 ^{6} =64`]

11. [출제의도] 행렬의 연산법칙과 역행렬의 뜻을 이해하여 행렬의 성분의 합을 구한다.

(가)에서 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)에서 [eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]

[eqn: A ^{-1} LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) =` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`-1`#-2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: A LEFT ( ` pile{-1`#-2`} RIGHT ) = LEFT ( ` pile{2`#3`} RIGHT ) `]

[eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}}]로 놓으면

[eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT )], [eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) `]이므로

[eqn: 2a`+`3b`=`3,```2c`+`3d`=`5]    [eqn: cdots`]㉠

[eqn: -a-`2b`=`2,```-c``-2d`=`3]   [eqn: cdots`]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a`=`12`,`````b`=`-7`,````c`=`19`,````d`=`-11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A=][eqn: {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이1]

(가)에서 [eqn: A LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을 대입하면

[eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]에서 [eqn: A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2``#`3`} RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} ^{-1} `]

[eqn: = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&```-1`#`3&```-2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이2]

(가)의 양변에 행렬 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: A ^{2} +E=A`]

[eqn: A ^{2} LEFT ( pile{`2#`3} RIGHT ) +E`` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =A` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]에서 (나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을

대입하면 [eqn: A LEFT ( ` pile{3`#5`} RIGHT ) + LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `A LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{1#2} ` RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} ^{-1}][eqn: = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`````````5&```-3`#`-3&``````````2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

12. [출제의도] [eqn: sum`]의 성질과 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: n< a_n <n+1`]에서

[eqn: sum_k=1^n k < sum_k=1^n a_k <sum_k=1^n (k+1)]이므로

[eqn: n(n+1)over2 < sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2`]

[eqn: n(n+1)over2n^2 < 1overn^2 sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2n^2`]

[eqn: lim_n->inf n(n+1)over2n^2 =lim_n->inf n(n+3)over2n^2`= 1over2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a_k`= 1over2]

13. [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 무한급수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm C_1`]은 정삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1 `]의 무게중심이므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 각각 삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1`]의 넓이의 [eqn: 1 over3 `]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 [eqn: {1} over {3}` ·` {sqrt {3}} over {4}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = sqrt {3} `]이다.

[eqn: S _{1}]은 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `], [eqn: \C _{1} OB _{1}]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `= {1} over {2}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}` ·` {pi } over {3} `-2 sqrt {3} =2 pi -2 sqrt {3} `]

부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]과 부채꼴 [eqn: rm A _{2} OB _{2} `]의 닮음비는

[eqn: 2root3` : 2 = root3` :1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 3:1`]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2pi`-2root3], 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {2 pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} =3` pi -3 sqrt {3}]

14. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그로 나타내어진 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: E`_{\K} = t` log` {LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }} over{ LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` }}]이므로 [eqn: p`=`t`log`a over b]

또, [eqn: p+60 `=`t left(1+log`a over b right)]

[eqn: =`t+t`log`a over b]

[eqn: =`t+p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t`=`60]

따라서 [eqn: p+q``=`t`log`{10^2 a} over {sqrt10 b}]

[eqn: =`t left( 3 over 2 +log`a over b right)]

[eqn: =`3 over 2 t +p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: q``= 3 over 2 t ``= 3 over 2 ``․``60`=90]

15. [출제의도] 로그함수의 미분법을 이해하여 미분계수를 구한다.

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]

[eqn: =`ln` LEFT ( 1+ LEFT { f`(x) RIGHT } ^{2} right) RIGHT .]에서

[eqn: g` prime(x)`=`{2f`(x)`f` prime(x)} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`{2f`(x)`[1+left{f`(x)right}^2 ]} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`2f`(x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[다른풀이]

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]이므로

[eqn: g` prime (`x)=` {f`` '' `(`x)} over {f`` prime (`x)} ``=` {2`f`(x)``f` prime (x)} over {`f`` prime (x)} ``=`2`f`(`x`)`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[참고]

함수 [eqn: y= tan `x`]는 주어진 조건을 만족시킨다.

16. [출제의도] 함수의 연속의 뜻을 이해하여 주어진 함수의 연속 여부를 판정한다.

ㄱ.

[eqn: x` -> ```0`]일 때 [eqn: g`(x)` -> ``+0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `+0} {`f`(t)} `=`0]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(0)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=`f`(g`(0))`=`0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 연속이다.

ㄴ.

[eqn: x` -> ```0`]일 때 [eqn: g`(x)` -> ``+0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `+0} {`f`(t)} `=`0]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(0)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=`f`(g`(0))`=`0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 연속이다.

ㄷ.

[eqn: x` -> ``0`]일 때,  [eqn: g`(x)` -> `1-0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `1-0} {`f`(t)} `=`2]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(1)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} ` != `f`(g`(0))`]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 불연속이다.

이상에서 [eqn: x`=`0`]에서 연속인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. [출제의도] 증명 과정을 이해하여 빈 칸에 들어갈 식을 구한다.

[eqn: a_n+12 -a_n = {(n+12)(n+13)}over2 - n(n+1) over2]

[eqn: =6(2n+13)]

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 = a_12n-1][eqn: = 6n(12n-1)]

[eqn: b_4n =a_12n = 6n(12n+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( b_4k-3 + b_4k-2 + b_4k-1 +b_4k ` RIGHT )]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: 6LEFT ( 48k^2 -24k +7 RIGHT )]

[eqn: = 6(16n^3 +12n^2 + 3n)]

따라서 [eqn: f(n)=6(2n+13)`], [eqn: g(n)=6n(12n-1)],

[eqn: h(k)= 6(48k^2 -24k+7)]이므로

[eqn: f(1)+g(2)+h(1)= 90+276+186=552`]

18. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 행렬의 성질에 대한 명제의 참ㆍ거짓을 판정한다.

ㄱ. 조건 (가)에서 [eqn: B`(A+E``)=E`]이므로 [eqn: B`]의 역행렬      은 [eqn: A+E``]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: B```^-1 = A+E``]이므로

[eqn: AB```=][eqn: LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )B]

[eqn: =E-B]

[eqn: =B`` LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )]

[eqn: =BA] (참)

ㄷ. [eqn: AB```=BA]이므로 (나)에서

[eqn: A^2 B= A(AB``) =A(BA)]

[eqn: =A(E-B``)][eqn: = A-AB``][eqn: =A+E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB```= `-E`]

따라서 행렬 [eqn: AB`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2`]이다.       (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[참고]

[eqn: B`(A+E``)=E`]에서 역행렬의 정의에 의해

[eqn: `(A+E``)B=E`]가 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB=BA]

19. [출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 절댓값을 포함하는 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: g(x)=x`|`x`|`], [eqn: h(x)=|`x-1`|`^3`]으로 놓으면

두 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]는 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f(x)]도 실수 전체에서 미분가능하다.

[eqn: g'(0)=0], [eqn: h'(1)=0]이고

[eqn: x>0]일 때 [eqn: g(x)=x^2],

[eqn: x<1]일 때 [eqn: h(x)=`-(x-1)^3]이므로

[eqn: f`'(0)=0+h'(0)][eqn: =`-3(0-1)^2 =`-3]

[eqn: f`'(1)=g'(1)+0= 2``·``1=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(0)+f`'(1)=-3+2=`-1]

[다른풀이1]

[eqn: f(x)=x`|`x`|+|`x-1`|` ^{3}]에서 [eqn: f(0) =1], [eqn: f(1) =1]

[eqn: lim _{``h`` -> +0} {f(0+h)`-`f(0)`} over h][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {-h ^{3`} +4h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} (-h ^{2`} +4h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: lim _{``h`` -> -0} {} {f(0+h)`-`f(0)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {-h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {-h ^{3`} +2h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} (-h ^{2`} +2h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f``'(0`)`=`-3`]

[eqn: lim _{``h`` -> +0} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `+0`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> ``+0`} {} {h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ```+0`} {} (`h ^{2`} +`h+2)`][eqn: = 2]

[eqn: lim _{``h`` -> -0} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`| ` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `-0`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ``-0`} {} {-h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> ```-0`} {} (`-h ^{2`} +`h+2)`][eqn: =`` 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`` prime (1`)`=``2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-`3`+`2``=`-1]

[다른풀이2]

[eqn: f(x)][eqn: =`` {cases{``x ^{2} ```+`(x-1) ^{3} &(x` GEQ 1`)#``x ^{2`} `-``(x-1) ^{3} &(`0 LEQ x<`1)#`-x ^{2`} `-(x-1) ^{3} &(`x<0)}} ``]

이므로

[eqn: f`'(x)`=`` {cases{`2`x```+`3(x-1) ^{2} &(x>1`)#``2x``-`3(x-1) ^{2} &(`0<x<1)#`-2x`-3(x-1) ^{2} &(`x<0)}}]

[eqn: lim _{x` -> `+0} {} f` prime(x)=2`` ․ ``0`-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: lim _{x` -> `-`0} {} f` prime (x)=`-2`` ․ ``0``-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)=`-3]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f` prime (x)=2`` ․ ``1`+`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: lim _{x` -> `1-`0} {} f` prime(x)=2`` ․ ``1`-`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (1)=2]

이상에서 [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-3`+`2=`-1]

20. [출제의도] 삼각함수의 극한과 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한값을 구한다.

삼각형 [eqn: rmPAO`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm Q`], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rmAOP][eqn: = TRIANGLE rm AOQ``+ TRIANGLE OPQ``+ TRIANGLE PAQ]이므로

[eqn: {1} over {2} ``․`` bar{rm AO it} `` ․` rm bar{OP} `` ․`` sin LEFT ( pi - theta RIGHT )][eqn: = {r} over {2} ``․`` bar{rmAO} + {r} over {2} ``․`` bar{rmOP} + {r} over {2} ``․`` bar{rmPA}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sin`theta`=r LEFT ( 2+ bar{rmPA} RIGHT )]  … ㉠

직각삼각형 [eqn: \ABP]에서

[eqn: bar{rmPA}`= bar{rmAB}`cos` theta over 2 ` = 2`cos` theta over 2 `] … ㉡이므로

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: r= {sin`theta} over {2+ 2cos` theta over 2}]이다.

따라서 [eqn: f`( theta )`=` pi r ^{2} `=` {pi`sin ^{2} theta} over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 } RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: lim _{` theta ` -> `+0} {` {f`( theta )} over {` theta ` ^{2}}} `=` lim _{` theta ` -> +`0} {` {sin ^{2} theta} over {` theta ` ^{2}}} `·` {pi} over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: `=` lim _{` theta ` -> +`0} {` {sin ^{2} theta } over {` theta ` ^{2}}} `·` lim _{theta-> +0} {{pi } over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 } RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: =1^2`·` {pi} over {16}][eqn: = {pi} over {16}]

[다른풀이]

삼각형 [eqn: rmPAO`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm Q`]라 하고 원 [eqn: rmQ`]와 변 [eqn: rmAP`]의 접점을 [eqn: rmR`]라 하면

[eqn: bar{rmOR}` BOT`bar{rmAP}`], [eqn: bar{rm QR it} ` BOT ` bar{rm AP it} `]이다.

삼각형 [eqn: rm AOR`]에서 [eqn: ANGLE rmRAO`=` theta over 2 `]이므로

[eqn: bar{rmAR}`=bar{rmOA} `cos ` theta over 2 `=`cos` theta over 2]

삼각형 [eqn: rm AQR`]에서 [eqn: ANGLE rmRAQ`=` theta over 4 `]이므로

[eqn: bar{rmQR}`=bar{rmAR} `tan ` theta over 4 `=`cos` theta over 2`tan` theta over 4]

따라서 [eqn: f`( theta )`=` pi ` bar{rm QR it }`^{2}} `=` pi `cos` ^{2} {pi } over {2} `tan` ^{2} `` {theta } over {4} `]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ ` theta` ->`+0} { `{f`( theta)} over { `theta`^2 }}`=`lim _{ ` theta` ->+`0} { `{pi`cos`^2 theta over 2 `tan`^2 theta over 4 `} over { `theta`^2 }}]

[eqn: `=`lim _{ ` theta` ->+`0} { `{pi`cos`^2 theta over 2 `tan`^2 theta over 4 `} over { `left( theta over 4 right)^2 ․`16 }}]

[eqn: =` {pi } over {16} ` lim _{` theta ` -> `+0} {} ` {tan` ^{2} ` {theta } over {4}} over {LEFT ( {theta } over {4} RIGHT ) ^{2}} `` lim _{` theta ` -> `+0} {`cos` ^{2} ` {theta } over {2}}]

[eqn: `=` {pi } over {16} `․`1 ^{2} `․`1^2 `=` {pi } over {16}]

21. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 2^n]이 [eqn: 1]이 될 때까지 시행이 [eqn: n]번 반복된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_{2^n} =n]

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: k]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n +1]	[eqn: 2^n +2]	[eqn: 2^n +3]
시행	[eqn: 2^n-1]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n-1 +1]	[eqn: 2^n +2]
	[eqn: 2^n-2]	⋮	[eqn: 2^n-1]	⋮
	⋮		⋮
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: a_k]	[eqn: n]	[eqn: n+1]	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]

따라서 [eqn: S_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a_k][eqn: = 4n+4]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S`_50][eqn: =204]

22. [출제의도] 등차수열의 뜻을 이해하여 등차수열의 항을 구한다.

[eqn: a _{1} +a _{4} =a _{2} +a _{3}]이므로 [eqn: 4+a _{4} =17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

[다른풀이1]

공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{3} =17]에서 [eqn: 2a _{1} +3d=17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: d=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

[다른풀이2]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =21]이므로 [eqn: 3a _{2} =21]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} =7]

[eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{2} =7]이므로 공차는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

23. [출제의도] 지수함수의 미분법을 이해하여 접선의 방정식을 구한다.

[eqn: y` prime`=`e^3-x `(3-x) prime`=`-e^3-x `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: =`-e^3-3`=`-e^0`=`-1`]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y-1`=`-(x-3)`], [eqn: y`=`-x+4`] 접선의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편은 각각 [eqn: 4`]이므로

구하는 도형의 넓이는 [eqn: 1 over 2 TIMES4 TIMES4`=`8``]이다.

24. [출제의도] 극한의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 다항함수를 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(x)]는 이차함수임을 알 수 있다.

[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c`]로 놓으면

[eqn: lim_x->inf {left{f(x) right}^2 }overx^4 =lim_x->inf {(ax^2 +bx+c)^2 }overx^4 =a^2 =4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] ([eqn: BECAUSE][eqn: a>0])

조건 (나)에서

[eqn: f(x)-x^2 = (2x^2 +bx+c)-x^2]

[eqn: =x^2 +bx+c]

[eqn: =(x-1)(x-c)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)-x ^{2}} over {x-1} =lim _{x -> 1} {(x-1)(x-c)} over x-1]

[eqn: = 1-c=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: c=-2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f(x)=2x^2 +x-2]이므로 [eqn: f(10)=208]

25. [출제의도] 고차부등식과 분수부등식의 풀이 방법을 이해하여 연립부등식의 해를 구한다.

[eqn: ``x(x-2)(x+3)>0`]에서

[eqn: -3<x<0] 또는 [eqn: x>2] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: {x-n} over {x+`2} LEQ 0`]에서

[eqn: (x-`n)`(x`+`2) LEQ 0], [eqn: x!= -2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<x≤n] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: -2<x<0`] 또는 [eqn: 2<x≤n`]이므로

만족시키는 정수 [eqn: x `]는 [eqn: -1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], …, [eqn: n`]으로

[eqn: (`n-1`)]개이다.

따라서 [eqn: n -1 = 15]이므로 [eqn: n``=16``]이다.

26. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 항의 값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 각 항을 구하면 다음과 같다.

[eqn: a _{3} =a _{1} `=1], [eqn: a_5 = a_3][eqn: =1], [eqn: a_ 7 = a_ 5][eqn: =1], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_2n-1 = 1`]

[eqn: a _{4} =a _{2} `+`1=`2], [eqn: a _{6} =a _{4} `+`1=`3], [eqn: a _{8} =a _{6} `+`1=`4], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2n} =n`]

따라서 [eqn: a_100 + a_101][eqn: = 50 + 1 = 51]이다.

27. [출제의도] 수열의 합 [eqn: S_n `]과 일반항 [eqn: a_n `]의 관계를 이해하여 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: S _{n`} = {6n} over {n+1}]에서

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: = 6n over n+1 - 6(n-1) over n]

[eqn: = {6n^2 -6(n^2 -1)}over n(n+1)]

[eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 =S_1 = 3]이므로 [eqn: a_n][eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥1])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_n +a_n+1 = 6over{n(n+1)} + 6 over{(n+1)(n+2)}]

[eqn: = 6 LEFT ( 1over n - 1over n+1 RIGHT )+6 LEFT ( 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} +a _{n+1}` right)][eqn: =][eqn: 6 sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( 1over k - 1over k+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} LEFT ( 1+ 1over2 - 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: = 6 LEFT ( 1+ 1over2 RIGHT ) = 9]

[다른풀이1]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n} over {n+1} =6``]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n+6} over {n+2} =6``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} ``+a _{n+1} `)`= lim _{n`-> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +a _{k+1} )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n} a _{k} + sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( S _{n} +S _{n+1} -a _{1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} `+ lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} `-a _{1} `]

[eqn: =6+6-3=9`] ([eqn: BECAUSE `a _{1} =S _{1} =3])

[다른풀이2]

[eqn: a_n +a_n+1 = LEFT ( S_n -S_n-1 RIGHT )+ LEFT ( S_n+1 -S_n` RIGHT )]

[eqn: =][eqn: S_n+1 -S_n-1]

[eqn: = 6(n+1) over n+2 - {6(n-1) over n]

[eqn: = {6n(n+1)-6(n-1)(n+2)}overn(n+2)]

[eqn: = 12 over n(n+2)]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 +a_2 = S_2 = 4]이므로

[eqn: a_n +a_n+1][eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥1])

28. [출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구한다.

[eqn: ANGLE rmCAB=theta]라 하면 [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} ``․`` 5 ``․`` 4sin` theta], [eqn: S _{2} = {1} over {2} ``․`` 3 ``․`` 4cos`theta]

[eqn: S _{1} +S _{2} =10`sin`theta+6`cos`theta]

[eqn: `=root136 `sin LEFT ( theta + alpha RIGHT )]

[eqn: left(`cos alpha= 10over root136], [eqn: sin alpha = 6over root136 `right)]

따라서 [eqn: S ` _{1} +S ` _{2}]의 최댓값은 [eqn: root136]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: M```^2 = 136]

29. [출제의도] 로그함수와 도형의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: log`_2`x^3][eqn: -log`_2`x][eqn: =3log`_2`x][eqn: -log`_2`x]

[eqn: =2log`_2`x]

이므로 두 점 [eqn: \F,``G]는 두 선분 [eqn: \BD,``CE]를 각각 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: □` \BFGC = 2over3 ×□` BDEC]

[eqn: = 2over3 LEFT ( 8 ×△ \ADB RIGHT )]

[eqn: = 16over3 × 9 over 2]

[eqn: = 24]

30. [출제의도] 주어진 함수의 그래프에서 접선이 곡선보다 위쪽에 놓이도록 하는 접점의 범위를 구한다.

직선 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]는 곡선 위의 점 [eqn: \P][eqn: (t,``f(t))]에서의 접선이므로 접선이 주어진 곡선의 위쪽에 놓이려면 접점은 곡선이 위로 볼록한 부분의 점이다.

그런데 위로 볼록한 부분에 있는 점에서의 접선 중에는 구간 [eqn: [`0,``2`]`]에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프 아래쪽을 지나는 직선이 생길 수 있다.

그러므로 원점에서 그은 접선의 접점과 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x]좌표를 조사하면 된다.

[eqn: y=x^2 (x-2)^2`]에서

[eqn: y'=2x(x-2)^2 +2x^2 (x-2)]

[eqn: = 4x(x-1)(x-2)]

점 [eqn: (a,``f(a))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a^2 (a-2)^2 =4a(a-1)(a-2)(x-a)]

[eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: -a^2 (a-2)^2 =`-4a^2 (a-1)(a-2)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2over3]

한편 곡선 [eqn: y=x^2 (x-2)^2]은 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이므로 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하면 [eqn: 2over3 + b=2`]에서 [eqn: b= 4over3]

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 실수 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: 2over3 ≤t≤ 4over3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 36pq = 36 ``·``2over3 ``·`` 4over3 = 32]

2011-3월 • 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	②	3	⑤	4	③	5	③
6	①	7	⑤	8	④	9	②	10	②
11	⑤	12	④	13	⑤	14	②	15	④
16	③	17	⑤	18	③	19	①	20	①
21	②	22	[eqn: 32]	23	[eqn: 49]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 90]
26	[eqn: 8]	27	[eqn: 17]	28	[eqn: 120]	29	[eqn: 9]	30	[eqn: 6]

해 설

1. [출제의도] 로그의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log` _{3} 12-log _{3} {4} over {27} `][eqn: =log _{3} left(`12 TIMES {27} over {4}`right)`]

[eqn: =log _{3} 81=4]

2. [출제의도] 행렬의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=B-AB]

[eqn: = LEFT ( E-A RIGHT ) B]

[eqn: = pmatrix{`0&1#-1`&2} pmatrix{0&`1#`1&0}]

[eqn: = pmatrix{1&0#2&-1}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 2]이다.

[다른 풀이]

행렬 [eqn: E``-A]에 행렬 [eqn: B]를 곱하면 행렬 [eqn: E``-A]의 1열과 2열이 바뀌므로 행렬의 성분의 합에는 영향을 주지 않는다. 따라서 행렬 [eqn: X]의 성분의 합은 행렬 [eqn: E-A]의 성분의 합과 같다.

3. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{x -> 3} {} {x ^{2} -3x} over {sqrt {x+1} -2}]

[eqn: = lim _{x -> 3} {} {x(x-3) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )} over {x-3}]

[eqn: = lim _{x -> 3} {``x LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )}]

[eqn: =3 LEFT ( sqrt {3+1} +2 RIGHT )]

[eqn: =3 CDOT 4=12]

4. [출제의도] 삼각방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2(2cos ^{2} x-1)=1+cosx]

[eqn: 4cos ^{2} x-cosx-3=0]

[eqn: (4cosx+3)(cosx-1)=0]

∴ [eqn: cosx`=- {3} over {4} ,``cosx`=`1``]

이때 [eqn: cos` alpha `=` {3} over {4} `] [eqn: LEFT ( `0`<` alpha `<` {pi } over {2} ` RIGHT )`]라 하면

[eqn: cosx`=- {3} over {4} `]의 해는 [eqn: x`=` pi - alpha `,``x`=` pi + alpha]이다.

[eqn: `cosx`=`1`]의 해는 [eqn: x=0`]

따라서 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2 pi]이다.

5. [출제의도] 고차부등식의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) [eqn: a<0]일 때,

[eqn: a^2`-2a<a^2`-4a<a^2`-6a]이므로 해는

[eqn: a^2`-2a<x<a^2`-4a`], [eqn: `x>a ^{2} `-6a]

[eqn: a ^{2} `-2a=8`], [eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: a ^{2} `-6a=16]이다.

따라서 연립방정식을 만족하는 [eqn: a=-2]이다.

ⅱ) [eqn: a=0]일 때,

[eqn: x^3`>0]

따라서 [eqn: x>0]이므로 조건에 맞지 않는다.

ⅲ) [eqn: a>0]일 때,

[eqn: a^2`-2a>a^2`-4a>a^2`-6a]이므로 해는

[eqn: a ^{2} `-6a<x<a ^{2} `-4a`], [eqn: x>a ^{2} `-2a]

[eqn: a ^{2} `-2a=16`], [eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: a ^{2} `-6a=8]이다.

따라서 연립방정식을 만족하는 상수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: a=`-2]

[다른 풀이]

[eqn: a` not=0]일 때  세 수 [eqn: a ^{2} `-2a], [eqn: a ^{2} `-4a], [eqn: a ^{2} `-6a] 중 크기가 작은 수부터 두 번째 수는 [eqn: a ^{2} -4a]이다. 그러므로

[eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: (a+2)(a-6)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=6]

그런데 [eqn: a=6]인 경우는 주어진 해의 범위를 만족하지 않는다.

[eqn: therefore``a=-2]

6. [출제의도] 역함수의 접선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f `prime (x)=e ^{x} +(x-1)e ^{x} =xe ^{x}]

[eqn: g` prime `(x)= {`1} over {f` prime LEFT ( y RIGHT )}]이므로

[eqn: g'(e ^{2} )= {1} over {f'(2)} = {1} over {2e ^{2}}]

7. [출제의도] 삼각함수의 배각 공식을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} =rm bar{P _{5} P _{6}}=2sin {pi} over {10}], [eqn: rm ` bar{P _{1} P _{4}} =2cos {pi} over {5}], [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} =2cos {pi} over {10}]

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} CDOT ` bar{P _{1} P _{4}} CDOT ` bar{P _{1} P _{5}} =8`sin {pi } over {10} `cos {pi } over {5} `cos {pi } over {10}]

[eqn: rm =4`sin {pi } over {5} `cos {pi } over {5}]

[eqn: rm =2`sin {2 } over {5}pi]

[다른 풀이]

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} =2cos {2 } over {5}pi], [eqn: rm ` bar{P _{1} P _{4}} =2cos { pi } over {5}], [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} =2cos {pi} over {10}]

[eqn: S=][eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} `` TIMES bar{`P _{1} P _{4}} ` TIMES bar{`P _{1} P _{5}}]라고 하면

[eqn: sin` {` pi } over {10} `S][eqn: =sin` {` pi } over {10} CDOT `2```cos` {2` } over {5}pi CDOT `2```cos` {` pi } over {5} CDOT `2```cos {pi } over {10}]

[eqn: =sin` {` pi } over {10} CDOT `2``cos` {` pi } over {10} CDOT `2`cos` {` pi } over {5} CDOT `2`cos {2 } over {5} pi]

[eqn: =sin` {`` pi `} over {5} ` CDOT `2`cos` {` pi } over {5} CDOT `2`cos {2 } over {5}pi]

[eqn: =sin` {`2 } over {5}pi ` CDOT `2`cos {2 } over {5}pi]

[eqn: =sin` {`4` } over {5} `pi]이므로

[eqn: S= {sin {4` } over {5}pi} over {sin` {` pi } over {10}} = {sin {` pi } over {5}} over {sin` {pi} over {10}}]

[eqn: = {2`sin` {pi } over {10} `cos {pi } over {10}} over {sin` {` pi } over {10}}]

[eqn: =2cos {pi } over {10} `]

[eqn: =`2`sin {2` pi `} over {5} `]

8. [출제의도] 주기함수와 연속함수의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {(2x+a} )= lim _{x -> 1+0} {(x ^{2} +bx+3)} `]

[eqn: 2+a=1+b+3]

따라서 [eqn: a-b=2]

ⅱ) [eqn: f(x+5)=f(x)]이므로

[eqn: f(3)=f(-2)]

[eqn: 3 ^{2} +3b+3=2 TIMES (-2)+a]

따라서 [eqn: a-3b=16]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: a=-5], [eqn: b=-7]

∴ [eqn: f(x)= cases{2x-5&(-2` LEQ `x`<1)#x ^{2} -7x+3&`(1` LEQ `x` LEQ 3)}]

[eqn: f(2011)``=f(402times5+1)`]

[eqn: =f(1)`][eqn: =1-7+3][eqn: =`-3]

9. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: 3]은 한 자리의 양의 정수이므로 [eqn: f(3)=0], [eqn: 2011]은 네 자리의 양의 정수이므로 [eqn: f(2011)=3]

[eqn: f(n)=1] 또는 [eqn: f(n)=2`]이다.

(나)에서 주어진 식의 좌변을 인수분해하면

[eqn: LEFT { g(n)-log2 RIGHT } LEFT { g(n)-log5 RIGHT }<0]

∴  [eqn: log`2 < g(n) < log`5]

이때 [eqn: log``n`=`f`(n)`+`g`(n)`]이므로

ⅰ) [eqn: f`(n)`=`1``]일 때 [eqn: 1`+`log`2`<`f`(n`)`+`g`(n)`<`1`+`log`5`]

∴ [eqn: log``20`<`log``n`<`log``50`]

따라서 양의 정수 [eqn: n``]은 [eqn: 21`,``22`,`` CDOTS `,``49`]로 [eqn: 29``]개다.

ⅱ) [eqn: f`(n)`=`2``]일 때 [eqn: 2`+`log`2`<`f`(n`)`+`g`(n)`<`2`+`log`5`]

∴ [eqn: log``200`<`log``n`<`log``500`]

따라서 양의 정수 [eqn: n``]은 [eqn: 201`,``202`,`` CDOTS `,``499`]로 [eqn: 299``]개다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 양의 정수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 29+299=328``]이다.

10. [출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

로그의 진수조건에 의하여

[eqn: x`>0], [eqn: y`>`3``]

그런데 행렬 [eqn: A``]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: log_{2}`(x`+`1)`+`log_{2}`(y`-`3)`=`0``]

[eqn: log_{2}``(x`+`1)(y`-`3)`=`0``]

[eqn: (x`+`1)(y`-`3)`=`1``]

[eqn: THEREFORE ``xy-3x+y-4=0]   … ㉠

또, 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (1`+`log_{`3}`x`)`-`log_{`3}`y`=`0``]

[eqn: log_{``3}``{3x}over{y}`=`0``]

∴[eqn: ` {3x} over {y} `=`1``]

∴ [eqn: y`=`3x``]	… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면

∴ [eqn: x`y``=`4``]

11. [출제의도] 행렬의 연산에 대한 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(-B)=E``]이므로 [eqn: A ^{-1} =`-B``]

[eqn: BA=`-A ^{-1`} A=`-E=AB]

ㄱ. [eqn: A ^{2} +B ^{`2} = LEFT ( A+B` RIGHT ) ^{2} -AB``-BA]

[eqn: =3E] (참)

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: A^n+2 + B^n+2]

[eqn: = LEFT ( A ^{n+1} +B ^{`n+1} RIGHT ) (A+B`)-A ^{n+1} B`-B ^{``n+1} A]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} -A ^{n} AB-B`` ^{``n} BA]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} +A ^{n} +B``` ^{n}] (참)

ㄷ. ㄴ을 이용해서

[eqn: A ^{3} +B`` ^{3} =A ^{2} +B`` ^{2} +A+B=3E+E=4E]

[eqn: A ^{4} +B`` ^{4} =A ^{3} +B`` ^{3} +A ^{2} +B`` ^{2} =4E+3E=7E]

[eqn: A ^{5} +B`` ^{5} =A ^{4} +B`` ^{4} +A ^{3} +B`` ^{3} =7E+4E=11E]

[eqn: vdots]

[eqn: A ^{9} +B``` ^{9} =A ^{8} +B`` ^{8} +A ^{7} +B`` ^{7} =76`E] (참)

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: B=E`-A`]이므로

[eqn: AB=A(E-A)=A-A ^{2} `=`-E``]에서

[eqn: A ^{2} =A+E`]   … ㉠

같은 방법으로

[eqn: B ^{`2} =B+E`]   … ㉡

그러므로

[eqn: A ^{2} +B`` ^{2} =A+E+B+E]

[eqn: =(A+B)+2E`=3E`]

ㄴ. ㉠의 양변에  [eqn: A ^{n}]을 곱하면

[eqn: A ^{n+2} =A ^{n+1} +A ^{n} `]  … ㉢

㉡의 양변에  [eqn: B ^{n}]을 곱하면

[eqn: B`` ^{n+2} =B`` ^{n+1} +B`` ^{n} `]  … ㉣

㉢과 ㉣에서

[eqn: A ^{n+2} +B`` ^{n+2} =A ^{n+1} +B ^{``n+1} +A ^{n} +B`` ^{n} `]

12. [출제의도] 분수방정식의 근을 구하는 과정을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {x-1} - {1} over {x+1} = {a} over {2x ^{2}}]의 양변에

분모의 최소공배수 [eqn: 2x ^{2} (x-1)(x+1)]을 곱하면

[eqn: 2x ^{2} (x+1)-2x ^{2} (x-1)=a(x ^{2} -1)]

[eqn: 4x ^{2} =ax ^{2} -a]

[eqn: (a-4)x ^{2} =a]

ⅰ) [eqn: a=4]인 경우

[eqn: 0` CDOT x ^{2} =4]이므로 해가 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: a` not= 4]인 경우

[eqn: x ^{2} = {a} over {a-4}] … ㉠

(1) [eqn: {a} over {a-4} ge0]이면 실근이 존재하지만

이 해가 모두 무연근이어야 하므로

㉠에서 [eqn: x=0]이면 [eqn: a=0]

㉠에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]이면 [eqn: a-4=a]이므로

실수 [eqn: a]가 존재하지 않는다.

(2) [eqn: {a} over {a-4} <0]이면 실근이 존재하지 않으므로

[eqn: a(a-4)<0]

[eqn: 0<a<4]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1,`2,`3]이다.

ⅰ), ⅱ)에서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 0,`1,`2,`3,`4]로 [eqn: 5]개다.

13. [출제의도] 로그함수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: T``=`0``]일 때 [eqn: P``=`4.8``]이므로 [eqn: a`+`{b}over{c}`=`log``4.8``]이다.       그런데 [eqn: log``4`<`log``4.8`<`log``5``]에서

[eqn: 2`log``2`<`log``4.8`<`1`-`log``2``]이므로

[eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] (참)

ㄴ. [eqn: y=log`P``]라 하면 [eqn: y=a`+` {b} over {c`+`T``} ``]의 그래프는 점근선이 [eqn: T=-c], [eqn: y=a`]이다. 그런데 주어진 표를 이용하면 [eqn: T````]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값도 증가하므로 분수함수의 그래프는 그림과 같아야 한다.

∴ [eqn: b``<`0``] (참)

ㄷ. ㄴ의 [eqn: y=`a`+` {b} over {c`+`T} ``]의 그래프에서 [eqn: T```>`-c``]인 모든 실수 [eqn: T``]에 대하여 [eqn: y<a]이다.

∴ [eqn: logP<a]

따라서 [eqn: P``<`10` ^{a} ``]이다. (참)

14. [출제의도] 지수함수를 이해하고 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {\P}`(k`,``a^{k}`)`,``{\Q}`(k`,``a^{2k}`)`,``{\R}`(k`,``k`)``]라 하면

[eqn: k`=`2``]일 때 [eqn: a^{2k}`=`k``]이므로 [eqn: a^{4}`=`2``]

∴ [eqn: a`=`root{``4}of{2}``] (∵ [eqn: a`>`1`])

∴ [eqn: a ^{x} `=`2 ^{{x} over {4}} `],  [eqn: a ^{2x} `=`2 ^{{x} over {2}} `]

ㄱ. [eqn: k`=`4``]이면 [eqn: LEFT ( root{4}of{2} RIGHT )^{`8}`=`4``]이므로 [eqn: a^{2k}`=`k``]이다.

따라서 점 [eqn: rm Q]와 점 [eqn: rmR]는 일치한다. (참)

ㄴ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``=12``]이다.

이때 [eqn: 2 ^{{k} over {4}} `=`t``(t>0)]라 하면

[eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``] 또는 [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]이다.

i) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``]인 경우 [eqn: (t`-`4)(t`+`3)`=`0``]에서

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t=4]

∴ [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`4``]

∴ [eqn: {k}over{4}`=`2`]

∴ [eqn: k`=`8``]

ii) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]인 경우 [eqn: t ^{2} `-`t`+`12`=`0``]의 판별식이 음수이므로 [eqn: t>0] 조건을 만족시키는 실수 [eqn: t``]가 존재하지 않는다. 따라서, [eqn: k]도 존재하지 않는다.

i), ii)에 의하여 [eqn: k`=`8``]이므로 [eqn: {\Q}`(8`,``16`)``], [eqn: {\R}`(8`,``8`)``]

∴ [eqn: bar{\QR}`=`8``] (참)

ㄷ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``]에서 [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`t``]([eqn: t`>`0``])라 하면 [eqn: bar{\PQ}`=`|`t^{`2}`-`t``|``]이다.

이때 [eqn: y`=` LEFT | t ^{2} `-`t` RIGHT | `=` LEFT | LEFT ( t`-` {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} `-` {1} over {4} `` RIGHT | `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: bar{rm PQ it} `=` {1} over {8} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: t]의 값은 3개이므로 실수 [eqn: k``]의 값도 [eqn: 3``]개이다. (거짓)

15. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rm PQR``]의 내접원의 반지름을 [eqn: a _{1}]이라 하면[eqn: sqrt {2} a _{1} +a _{1} =root2]에서 [eqn: a _{1} =2-root2]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} times ( 2root2 -2 ) times 1 = root2 -1]

삼각형 [eqn: rm PP_{it n-1} R_{it n-1}]의 내접원의 반지름을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: sqrt {2} a _{n} +a _{n} = {sqrt {2} a _{n-1}} over {2}]

∴ [eqn: a _{n} = {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}} a _{n-1}`]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_{n}`RIGHT }``]이 공비가 [eqn: {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}}]인 등비수열을 이루므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {2} -1} over {root2} RIGHT ) ^{2} = {3-2 sqrt {2}} over {2}]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {sqrt {2} -1} over {1- {3-2 sqrt {2}} over {2}} = {6-2 sqrt {2}} over {7}]

∴ [eqn: p+q={4}over{7}]

16. [출제의도] 함수의 연속의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -0} {} f(x)=-1] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-0} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =(-1)+1=0]이고

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =1+(-1)=0]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =0]이다.

[eqn: x=1]에서 함숫값 [eqn: f(1)+g(1)=0]이다.

[eqn: lim _{x -> 1} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =f(1)+g(1)]이므로

[eqn: f(x) + g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: lim _{x -> 1-0} {} (f CIRC g)(x)= lim _{x -> 1-0} {} f(x)=`-1]이고

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} (f CIRC g)(x)= lim _{x -> -1+0} {} f(x)=`-1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} (f CIRC g)(x)=`-1],

[eqn: (f CIRC g)(1)= f left( g(1) right) = f(0)=0]이다.

따라서 [eqn: lim _{x -> 1} {} (f CIRC g)(x) != (f CIRC g)(1)]이므로

함수 [eqn: left( f circ g right)(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용한 증명을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{i=1} ^{2k+1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT ) + sum _{i=2k} ^{2k+1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2k+k ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2k+1+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { i+(k-1) ^{2} +(2k-1) RIGHT } + LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: = sum_{i=1}^{2k-1} LEFT {i+(k-1)^2 right} + sum_{i=1}^{2k-1}{(2k -1)} + LEFT ( 2k^2 +4k+1 RIGHT )]

이므로 [eqn: f(k)=2k^2 +4k+1]이다.

한편

[eqn: sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { i+(k-1) ^{2} RIGHT } + sum _{i=1} ^{2k-1} (2k-1)+ LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =(k-1) ^{3} +k ^{3} + sum _{i=1} ^{2k-1} (2k-1)+ LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =(k-1) ^{3} +k ^{3} +(2k-1) ^{2} + LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =k ^{3} -3k ^{2} +3k-1+k ^{3} +4k ^{2} -4k+1+2k ^{2} +4k+1`]

[eqn: =k ^{3} +k ^{3} +3k ^{2} +3k +1]

[eqn: =k ^{3} + LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{3}]

그러므로 [eqn: g(k)=k ^{3} +(k+1) ^{3}]이다.

∴ [eqn: {g(4)} over {f(4)} = {189} over {49} = {27} over {7}]

18. [출제의도] 함수에서 접선의 뜻을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

두 접점의 좌표를

[eqn: rm P LEFT ( `alpha ,``` alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha ` RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( `beta ,``` beta ` ^{3} -3 beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )]라 하면

ㄱ. [eqn: y'=3x ^{2} -6x+2]이므로 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점의 [eqn: x]좌표는  [eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0]을 만족하므로 [eqn: alpha+beta=2]이다. (참)

ㄴ. 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점이 존재하므로 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 다른 실수이다.

[eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0] 이 서로 다른 실근을 가지므로

[eqn: 3 ^{2} -3(2-m)>0]

[eqn: therefore] [eqn: m>-1] (참)

ㄷ. 두 접선은 평행하므로 두 접선 사이의 거리가 [eqn: rmbarPQ]가 되기 위해서는 두 접점 [eqn: rmP], [eqn: rm`Q]를 지나는 직선과 접선이 수직이어야 한다. 즉, 기울기의 곱은 [eqn: -1]이다.

[eqn: m TIMES {LEFT ( alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha RIGHT ) `- LEFT ( beta ` ^{3} -3` beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )} over {alpha - beta } =`-1]

[eqn: m LEFT { alpha ^{2} + beta ^{2} + alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

[eqn: m LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} - alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

그런데, [eqn: alpha`,``beta`]는 [eqn: 3x^{2}`-`6x`+`2`-`m`=`0``]의 두 근이므로

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha `+` beta `=`2`], [eqn: alpha `beta `=`{2`-`m}over{3}``]

∴ [eqn: m LEFT ( {2-m} over {3} RIGHT ) =1]

∴ [eqn: m ^{2} -2m+3=0]

판별식 [eqn: D over 4`=1 ^{2} -3=-2<0]이므로 실수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

따라서 두 접선 사이의 거리와 [eqn: rmbarPQ]가 같아지는 실수 [eqn: m]은 존재하지 않는다. (거짓)

19. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n``]행에 있는 유리수들은

[eqn: 1 over 2^n], [eqn: {3} over {2 ^{n}}], [eqn: {5} over {2 ^{n}}], [eqn: cdots], [eqn: {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}]

이고, 분자를 나열한 수열이 첫째항이 [eqn: 1``]이고 공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로 [eqn: n``]행의 총 항수를 [eqn: k``]라 하면 [eqn: 2k`-`1`=`2 ^{n} `-`1`]에서 [eqn: k`=`2 ^{n-1} ``]이다.

∴ [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n} `-`1`} over {2 ^{n} ``}]

∴ [eqn: b_{n}`=` {1} over {2 ^{n}} ` TIMES ` {2 ^{n-1} ` LEFT { 1`+`(2 ^{n} `-`1`) RIGHT }} over {2} `][eqn: `=` {2 ^{n}} over {4} `]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {(2 ^{n} +1)a _{n}}}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{2 ^{n}} over {4}} over {(2 ^{n} +1) {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{2 ^{n} TIMES `2 ^{n}} over {4(2 ^{n} +1)(2 ^{n} -1)}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{4 ^{n}} over {4(4 ^{n} -1)} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1} over {4` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} = {1} over {4}]

20. [출제의도] 도형의 넓이의 순간변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

내접하는 사각형의 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위의 두 꼭짓점을 각각 [eqn: rmS], [eqn: rmR]라 하고 선분 [eqn: rm {OC} `]와 선분 [eqn: rmPQ], 선분 [eqn: rm {RS}]의 교점을 각각 [eqn: rm{D}], [eqn: rmE]라 하자.

삼각형 [eqn: rm DOP]에서

[eqn: rm bar{DP} = bar{OP} sin {pi } over {36} it t][eqn: rm =sin {pi } over {36} t]

[eqn: rm bar{OD} = bar{OP} cos {pi } over {36} it t][eqn: =cos {pi } over {36} t]

[eqn: rm ANGLE EOS= {pi} over {4}]이므로 [eqn: rm bar{OE} `= bar{ES} `(= bar{DP} )]

이다. 그러므로 [eqn: rm□PQRS]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)= rm bar{PQ} `cdotbarPS]

[eqn: = rm 2 bar{DP} ` CDOT LEFT ( bar{OD} - bar{OE} RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t` LEFT ( cos {pi } over {36} t-sin {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: =sin {pi } over {18} t`-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: S`` prime (t)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: = {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-sin {pi } over {18} t RIGHT )]

[eqn: S`` prime (6)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {3} -sin` {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: = {1- sqrt {3} `} over {36} pi]

21. [출제의도] 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} = rm barOP_{it n}]이라 하자.

[eqn: y_n = a_n`` sin { n-1 }over{3} pi]에서

[eqn: y_1 =0], [eqn: y_2 >0], [eqn: y_3 >0], [eqn: y_4 =0], [eqn: y_5 <0], [eqn: y_6 <0], [eqn: y_7 =0], [eqn: cdots] 으로 [eqn: y_n]의 부호가 주기적으로 바뀐다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 몇 개의 항을 구하면

[eqn: a_1 = 1]	[eqn: a_2 = 1]	[eqn: a_3 = 1 over 2]
[eqn: a_4 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a_5 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a _{6} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} left( {4} over {3} right)]
[eqn: a _{7} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	[eqn: a _{8} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	...

으로 동경 [eqn: {rm OP}_1]에서 동경 [eqn: {rm OP}_7]까지 동경이 [eqn: 2 pi]만큼 회전하면 [eqn: a_7]은 [eqn: a_1]의  [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]배이다.

즉, [eqn: 2 pi]만큼씩 회전할 때마다 그 이전 길이의 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]배가 된다.

[eqn: a_n+6 = LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 a_n]인 관계가 성립하므로

[eqn: a _{50} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} a _{44} = ``CDOTS`` = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16} a _{2} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]

22. [출제의도] 거듭제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(좌변)[eqn: = root {n} of {2} TIMES root {n} of {8} = root {n} of {16}]

(우변)[eqn: = root {8} of {2} = root {8 TIMES 4} of {2 ^{4}} = root {32} of {16}]

따라서 [eqn: n=32]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 2^{1over n} times 2^{3 over n} = 2^{4 over n} = 2^{1 over 8}]

따라서 [eqn: {4} over {n} = {1} over {8}]이므로 [eqn: n=32]이다.

23. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3^x`=`t(t>0)]라 하면 [eqn: t-root{t+2}=4]

∴ [eqn: t-4= sqrt {t+2}] ([eqn: t>4])

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: t ^{2} `-9t+14=0]

[eqn: (t-2)(t-7)=0], [eqn: t=2,```7]

[eqn: therefore`t=7] ([eqn: because][eqn: t>4])

[eqn: 3 ^{alpha} =7]

[eqn: therefore][eqn: 9` ^{alpha } =(3 ^{alpha} ) ^{2} =49]

24. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin` alpha `+`cos alpha `+sin` beta `+`cos beta `]

[eqn: = sqrt {2} `sin LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) + sqrt {2} `sin LEFT ( beta + {pi } over {4} RIGHT ) ```]

[eqn: = sqrt {2} ` LEFT { sin LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) +`sin` LEFT ( beta +` {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: =2 sqrt {2} `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) `cos LEFT ( {alpha - beta } over {2} RIGHT ) `]

[eqn: =2 sqrt {2} `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) `cos` {pi } over {6}]

[eqn: = sqrt {6} ``sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) ``]

그러므로 [eqn: `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) ``=1]일 때

최댓값 [eqn: M```= sqrt {6}]이고, [eqn: `M`` ^{2} =6]

[참고]

[eqn: alpha = {5} over {12} pi]이고 [eqn: beta = {pi } over {12}]일 때

두 식 [eqn: {alpha +beta } over {2} = {pi } over {4}]과 [eqn: {alpha-beta } over {2} = {pi } over {6}]를 만족시킨다.

25. [출제의도] 삼각함수와 관련된 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: rmbar{AC _{2}} =2], [eqn: rm bar{C _{1} C _{2}}=2root10]이므로

[eqn: rm bar{AC _{1}} = sqrt { LEFT ( 2root10 RIGHT ) ^2 - 2^2} = root36 =6]

[eqn: rmangleC_2 C_1 A = { theta} over {2 }]이므로 [eqn: tan {theta } over {2} = {2} over {6} = {1} over {3}]

[eqn: tan` theta `= {2tan {theta } over {2}} over {1-tan ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {1} over {9}} = {3} over {4}]

[eqn: therefore`120`tan`theta`=90]

26. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x)f(0)+4f(x)+4f(0)+12]

[eqn: LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(0)+3 RIGHT } =0]

[eqn: f(0)=-3]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+4f(x)+4f(h)+12-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+3f(x)+4f(h)+12} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(h)+3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: ={LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{ f(h)+3 } over {h}} }]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } f`'(0)]

[eqn: =2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f`'(ln2)= 2left{ f(ln2) +4 right} =8]

[다른 풀이]

(가)에서 양변에 [eqn: 4]를 더하여 인수분해하면

[eqn: f(x+y)+4= LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(y)+4 RIGHT }]

[eqn: f(x)+4=g(x)]라 하면

[eqn: g(x+y)=g(x)g(y)]  …㉠

㉠에서 [eqn: y=0]이라 하면

[eqn: g(x)=g(x)g(0)]

[eqn: g(x) LEFT { 1-g(0) RIGHT } =0]

[eqn: g(0)=1]

[eqn: f`'(x)=g'(x)]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(x+h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{g(x)g(h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: =g(x)` lim _{h -> 0} {{g(h)-1} over {h}}]

[eqn: =g(x)`` lim _{h -> 0} {{g(h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: =g(x)``g` prime (0)] [eqn: (` BECAUSE `g` prime (0)=f` prime (0)=2)]

[eqn: =2g(x)=2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

따라서

[eqn: f prime (ln2)=2 LEFT { f(ln2)+4 RIGHT }][eqn: =2times4][eqn: =8]

27. [출제의도] 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm O _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F], 직선 [eqn: rmO _{1} O _{2}]와 현 [eqn: rmBC], 호 [eqn: rmBC]의 교점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rmE]라 하자.

[eqn: rm bar{O _{1} F}][eqn: = rm bar{O _{1} E}][eqn: =f(theta)], [eqn: rm ANGLE OO _{1} F= theta]

[eqn: rm bar{OE} = bar{OO _{1}} + bar{O _{1} E}][eqn: = {f( theta ) it} over {cos theta } +f( theta )][eqn: =1]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = {costheta} over {1+costheta}]

[eqn: rm bar{OD} =sin theta], [eqn: rm bar{ED} =1-sin theta `]이므로

[eqn: g( theta )= {1-sin theta } over {2}]

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -0} { {g( theta )} over {LEFT { f( theta ) RIGHT } ^{2}} }= lim _{theta -> {pi } over {2} -0} {{ {1-sin theta } over {2}} over {LEFT ( {costheta} over {1+costheta} RIGHT )^2}}]

[eqn: = lim _{theta -> {pi } over {2} -0} { {(1-sin theta )(1+cos theta ) ^{2}} over {2cos ^{2} theta }}]

[eqn: {pi } over {2} -theta =t]라 하면, [eqn: theta={pi } over {2} -t]이고

[eqn: sin` theta =sin` LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT ) =cos`t], [eqn: cos` theta =cos` LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT ) =sin`t]

[eqn: theta-> {pi} over {2} -0]일때 [eqn: t -> +0]이다.

(주어진 식) [eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1-cost)(1+sint) ^{2}} over {2sin ^{2} t}]

[eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1-cost`)(1+sint) ^{2}} over {2 LEFT ( `1-cos ^{2} t` RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1+sint) ^{2}} over {2(1+cost)}]

[eqn: = {1} over {4} = {q} over {p}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q = 1`]이므로 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =17]이다.

28. [출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: a _{n} =2n-1`(n ge1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {LEFT ( `a _{n} +1` RIGHT ) LEFT ( `a _{n} +3` RIGHT )} = sum _{n=1} ^{24} {500} over {2n(`2n+2`)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{24} {125} over {n(n+1)}]

[eqn: =125 sum _{n=1} ^{24} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )=120]

29. [출제의도] 그래프의 경로를 이해하는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 [eqn: rm P `, `Q `,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 4]개, [eqn: rm P `, `Q `,`R,` Q] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm Q`, `P `,`Q,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm R `, `Q `,` `P] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 1]개로 모두 [eqn: 9]개다.

30. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(k)= LEFT ( k-1 RIGHT ) n+n-k+1]

[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) k+1]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f(k)`=` sum _{k=1} ^{n} LEFT { (n-1)k+1 RIGHT }]

[eqn: =`(n-1) {n(n+1)} over {2} +n]

[eqn: = {1} over {2} n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: lim _{n -> INF } {{12 sum _{k=1} ^{n} f(k)} over {n ^{3}}} = lim _{n -> INF } {{6n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}} =6]

2010-3월 • 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	⑤	3	③	4	②	5	③
6	①	7	②	8	④	9	①	10	⑤
11	③	12	⑤	13	②	14	④	15	③
16	②	17	⑤	18	[eqn: 30]	19	[eqn: 12]	20	[eqn: 10]
21	[eqn: 6]	22	[eqn: 136]	23	[eqn: 37]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 71]
26	①	27	④	28	②	29	①	30	[eqn: 16]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{`{2} over {3}} TIMES`` 5 ^{- {1} over {3}} TIMES ``10 ^{ ` {4} over {3}} =2 ^{` {2} over {3}} TIMES ``5 ^{- {1} over {3}} TIMES`` 2 ^{` {4} over {3}} TIMES ``5 ^{` {4} over {3}}]

[eqn: = 2 ^{` {2} over {3}+ 4over3 } TIMES ``5 ^{- {1} over {3} + 4 over3 } = 2^{`2} times` 5 = 20]

2. [출제의도] 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{`5} `3 `TIMES ( log _{`3} sqrt {5} -log _{1over 9 } 125 )]

[eqn: = log _{`5} `3 `times left( 1over2 ` log _{`3}` 5 + 3over2 ` log _{`3} `5 right)]

[eqn: = log_{`5}` 3 times 2 `log_{`3}` 5 = 2]

3. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n` left( sqrt {n ^{2} +1} -n` right ) =lim _{n -> INF } {} `n over { sqrt {n ^{2} +1} +n} = 1over2 `]

4. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a^{`x-1} <a^{`2x+1 } `]의 해가 [eqn: x< -2`]이려면

[eqn: x< -2``~LRARROW``~x-1>2`x+1]

∴ [eqn: 0<a<1]

[eqn: log _{`a} (x-2)`<log _{`a} (4-x)`]에서

[eqn: x-2 >4-x]  ∴ [eqn: x>3] … ㉠

진수는 양수이어야 하므로 [eqn: x-2>0`,``4-x>0]

∴ [eqn: 2<x<4] … ㉡

㉠, ㉡에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: 3<x<4 `]이다.

5. [출제의도] 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=sin theta `A +costheta` E]

[eqn: =sin theta `pmatrix{`0&``-1#`1&````````0} +cos theta ` pmatrix{`1&``0`#`0&``1`}][eqn: = pmatrix{`cos theta &```-sin theta` #`sin theta &``````````cos theta` } `]이므로

[eqn: X ^{``-1} = pmatrix{````````cos theta &````sin theta `#-sin theta &````cos theta` } `][eqn: =`-sin theta `pmatrix{`0&``-1#`1&````````0} +cos theta` pmatrix{`1&``0`#`0&``1`}]

[eqn: =`-sin theta A +cos theta E]

6. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝수인 사건을 [eqn: A`], 정육면체 모양의 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자가 짝수인 사건을 [eqn: B`]라 하자. 두 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝수이려면 두 숫자 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P` it (B``|``A)= {rm P` it (A SMALLINTER B)} over {rm P` it (A)}][eqn: = {1over4 times 2over6} over {1over4 times 2over6 + 3over4 times 4over6} = {1} over {7}]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: T``=`2T _{`0} `]일 때, [eqn: v= sqrt {10} `v _{`0} `]이므로 이를 대입하면

[eqn: log` sqrt {10} ``=K ``LEFT ( {1} over {T _{`0}} - {1} over {2T _{`0}} RIGHT )]

[eqn: {1} over {2} = {K} over {2T _{`0}}]  ∴ [eqn: {K} over {T _{`0}} =1]

[eqn: T``=`4T _{`0}]일 때

[eqn: log`` {v} over {v _{`0}} =K`` LEFT ( {1} over {T _{`0}} - {1} over {4T _{`0}} RIGHT ) `=` {3K} over {4T _{`0}} `= {3} over {4}]

[eqn: {v} over {v _{`0}} ``=`10 ^{{3} over {4}}]

∴ [eqn: v=10 ^{{3} over {4}} v_{`0} = root {4} of {1000} v_{`0}]

8. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = {1} over {sqrt {2}} pmatrix{`0&```-2`#`2&``````````0`}]이므로

[eqn: A ^{4} = {1} over {2} pmatrix{`-4&```````````0`#````````0&```-4`}][eqn: =`-2` E`]

[eqn: B`` ^{3} = {1} over {4} pmatrix{`-8&``````````0`#`````````0&```-8`}][eqn: =`- 2`E`]

∴ [eqn: A ^{12} +B `` ^{12} =(A ^{4}` ) ^{`3} +(B ``^{3} `) ^{`4}][eqn: =`- 8` E+16`E``= 8 `E]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 8+ 8 = 16`]이다.

9. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 각 항의 값을 구하면

[eqn: a _{`1} =6`], [eqn: a _{`2} =15=3`a _{`1} -3]

[eqn: a _{`3} =3`a _{`2} -3]

…

이므로 [eqn: a _{`n+1} =3`a _{`n} -3`]이 성립함을 알 수 있다.

[eqn: a _{`n+1}- 3over2 =3 `left(a _{`n} - 3over2 right)`]에서

[eqn: a _{`n} - {3} over {2} = LEFT ( a _{`1} - {3} over {2} RIGHT ) ``․``3 ^{`n-1}]

∴ [eqn: a _{`n} = {3} over {2} (3 ^{`n} +1)]

따라서 [eqn: a _{`5} = {3} over {2} (3 ` ^{5} +1) = 366`]이다.

10. [출제의도] 지수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 2 ^{`x} ``․``3 ^{`y} =6 ^{`z} ``․``6 ^{`z} =36 ^{`z}] (참)

ㄴ. [eqn: 2 ^{`z} ``․``3 ^{`z-y} = {2 ^{`z} ``․``3 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = {6 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = 1] (참)

ㄷ. [eqn: 2 ^{`x} =3 ^{`y} =3 ^{`1-x}]에서 [eqn: 6 ^{`x} =3], [eqn: x=log _{`6} `3]

[eqn: 6 ^{`z} =2 ^{`x} =2 ^{`log _{`6} `3}]에서 [eqn: z=log _{`6} `2 ^{`log _{`6} `3} =log _{`6} `2``․``log _{`6} `3] (참)

11. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: (AB`A) ^{2} =(AB`A)`(AB`A)=AB`A ^{2} B`A]

[eqn: =AB`` ^{2} A=A ^{2} =E] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= LEFT ( matrix{```````1&```````1`#`-1&-1`} RIGHT )], [eqn: B``= LEFT ( matrix{`2&````-1`#`4&````-2`} RIGHT )]라 하면

[eqn: A ^{2} =B ^{`2} =O`]이지만 [eqn: AB`` != O`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +2`A+E=O`], 즉 [eqn: A `left(- A-2E` right)=E`]이므로 행렬 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

[eqn: AB=A`]의 양변에 [eqn: A ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: B``=E`] (참)

12. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 점 [eqn: rm A it rm _{`it n rm} `]을 정하면

[eqn: n=4k-2 `]([eqn: k=2,`3,`cdots `])일 때, 점 [eqn: rm A it rm _{`it n rm} `]은 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.

[eqn: rm A _{`6} (`3,```2`),``` rm A _{`10} (`5,```4`),```rm A _{`14} (`7,```6`),``cdots`,``]

[eqn: rm A it rm _{`it 4k-2 rm} (2k-1`,``2k-2) `]

따라서 [eqn: rmA _50 ( 25,`24)`]이므로 [eqn: p+q = 49 `]이다.

13. [출제의도] 수열의 성질을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{`1} +a _{`2} +a _{`3} +`` CDOTS ``+a _{`n}]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )+ LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) (3``․``4`a _{`2} )+ LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} RIGHT ) (5``․``6`a _{`3} )]

[eqn: +`` CDOTS ``+ LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { (2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +5``․``6`a _{`3} )][eqn: + ``cdots]

[eqn: + LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { 1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +`` CDOTS ``+(2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: >= LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) +2 `LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT )]

[eqn: +3 `LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT )+`` CDOTS ``+n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =1- {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} + {1} over {5} - {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} - {1} over {2n}]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} + {1} over {2n}]

[eqn: -2 `LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]  (나) [eqn: n `LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

(다) [eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

14. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: O _{`1} `]과 직선 [eqn: l_{`2} `]의 한 교점을 [eqn: rmA _{`1}`], 원 [eqn: O _{`1} `]의 중심을 [eqn: rm B_{`1} (`3,```0`)]이라 하면 삼각형 [eqn: rm{A _{`1} `O`B _{`1} }`]은 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rmO`A _{`1}` }=3sqrt2]

[eqn: S _{`1} = {1} over {2} pi left( {3 sqrt {2}} over {2} right) ^{2} + {9} over {4} pi - {9} over {2} = {9} over {2} ( pi -1)]

같은 방법으로 원 [eqn: O _{`2} `]와 직선 [eqn: l_{`3} `]의 한 교점을 [eqn: rm A _{`2} `], 원 [eqn: O _{`2} `]의 중심을 [eqn: rm B _{`2} `]라 하면 삼각형 [eqn: rm{A _{`2} `O`B _{`2} }`]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rm O`A _{`2} it} =3`]

[eqn: S _{`2} = {1} over {2} pi left( {3} over {2} right) ^{2} + {pi} over {4} left( {3sqrt2} over {2} right) ^{2} - {1} over {2} left( {3sqrt2} over {2} right) ^{2} = {9} over {4} ( pi -1)]

[eqn: CDOTS]

[eqn: S _{`n} = {9} over {2 ^{`n}} (pi-1)]

수열 [eqn: left{S _{`n} right}`]은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} (pi-1)], 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{`n} = {{9} over {2} ( pi -1)} over {1- {1} over {2}} =9( pi -1)]

15. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정삼각형에 칠할 색을 결정하는 경우의 수는

[eqn: `_8 rmC_{`2} = 28]

나머지 [eqn: 6`]가지 색으로 등변사다리꼴을 칠하는 경우의 수는 [eqn: `_6 rmC_{`3} times(3-1)! times3! =240]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 28 times240=6720`]이다.

16. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rmP_2 = 1over4 + 1over4 = 1over2] (참)

ㄴ. 짝수 번을 이동하면 말은 [eqn: rm A`] 또는 [eqn: rm D``]에 도착하게 된다. 말이 [eqn: (2n+2)`]번째에 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착하려면 처음 [eqn: 2`]번을 이동한 후 [eqn: rmA`]에 있고 그 이후 [eqn: 2`n`]번을 이동하여 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착해야 하므로

[eqn: rmP_{it2n+2} = 1over2 P_{it2n}] (참)

ㄷ. [eqn: {rm P } _{2n-1} =0`] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,` CDOTS `])이므로

∴ [eqn: sum_k=1^10 rm {P}_ {itk }=rm P_2 +P_4 +P_6 +P_8 +P_10]

[eqn: = 1over2 + 1over2^{`2} + 1over2^{`3} + 1over2^{`4} + 1over2^{`5}][eqn: = 31over32] (거짓)

17. [출제의도] 정규분포를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수험생의 점수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N(156`,``20`^2 )`]을 따른다.

합격하기 위한 최저 점수를 [eqn: k`](점)이라 하면

[eqn: rm P it (X >= k)= rm P it LEFT ( Z >= {k-156} over {20} RIGHT ) = {200} over {1000} =0.2]

[eqn: {rm P}left(0<=Z <= k-156over 20 right) = 0.3]

[eqn: {k-156} over 20 = 0.84]

∴ [eqn: k = 172.8]

18. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A `pmatrix{`2`#`3`} =pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`} ` pmatrix{`2`#`3`} = pmatrix{`2`a+3`b`#`2`c+3`d`} = pmatrix{`3`#`4`}][eqn: A ^{2} `pmatrix{`2`#`3`} = AA `pmatrix{`2`#`3`}= A `pmatrix{`3`#`4`}=pmatrix {`a`&`b`#`c`&`d`} `pmatrix{`3`#`4`}=pmatrix{`3`a+4`b`#`3`c+4`d`} = pmatrix{`5`#`7`}]

[eqn: 2`a +3`b =3 `,``3`a+4`b=5]

∴ [eqn: a=3`,``b=`-1]

[eqn: 2`c +3`d =4 `,``3`c+4`d=7]

∴ [eqn: c=5`,``d=`-2]

따라서 [eqn: a`b`c`d=30`]이다.

19. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(`x)=2`x ^{2} -2`n`x+ {1} over {2} n ^{2} +6`n+1`=2 `left(x- {n} over {2} right) ^{2} +6`n+1]

∴ [eqn: {rmP}_n ` left ( n over2 `,``6`n+1 `right) `]

따라서 [eqn: x_{`n} = n over2 `,```` y_{`n} = 6`n+1]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } ` {y_{`n} } over {x_{n} } `=` lim _{n -> INF } {{6`n+1} over { {n} over {2}} `=12]

20. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 각 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`], 수열 [eqn: LEFT {` b _{`n} ` RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{`2} =b _{`2} `]이므로 [eqn: 2+d=2`r] … ㉠

[eqn: a _{`4} =b _{`4}`]이므로 [eqn: 2+3d=2`r^{`3}] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r ^{`3} -3`r+2=0]

[eqn: (r-1) ^{`2} (r+2)=0]

∴ [eqn: r`=`-2`](∵ [eqn: r!=1 `]), [eqn: d=`-6]

∴ [eqn: a _{`5} +b _{`5} =(2+4`d)+2r ^{`4}] [eqn: =`-22+32=10]

21. [출제의도] 상용로그의 가수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`n = alpha `]라 하면 [eqn: 1<n<10]이므로 [eqn: 0< alpha<1]이다.

[eqn: log` {1} over {n}][eqn: =`-log`n=` - alpha = `-1+(1- alpha)]

[eqn: log`n^2][eqn: =2`log`n =2 `alpha]

(ⅰ) [eqn: 0< alpha< 1over2 `]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha`]이므로 [eqn: 0< alpha< 1over3]

따라서 [eqn: 0<log`n< 1over3 `]이므로 [eqn: 1<n< root {3} of {10}]

∴ [eqn: n= 2]

(ⅱ) [eqn: 1over2 <= alpha <1`]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha-1`]이므로 [eqn: 1over2 <= alpha < 2over3]

따라서 [eqn: 1over2 <= log`n < 2over3 `]이므로 [eqn: sqrt {10} <= n< root {3} of {100}]

∴ [eqn: n=4]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2+4=6`]이다.

22. [출제의도] 함수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: f(`3)=2`]인 경우

[eqn: 1,``2`]는 [eqn: 1`]로, [eqn: 4,``5,``6`]은 [eqn: 3,``4,``5,``6`] 중 하나로 대응되므로 경우의 수는 [eqn: ` _{`1} Π _{`2} TIMES _{`4} Π _{`3} =64]

(ⅱ) [eqn: f(`3)=4`]인 경우

[eqn: 1,``2`]는 [eqn: 1,``2,``3`] 중 하나로, [eqn: 4,``5,``6`]은 [eqn: 5,``6`] 중 하나로 대응되므로 경우의 수는 [eqn: `_{`3} Π _{`2} times_{`2} Π _{`3} =72]

(ⅲ) [eqn: f(`3)=6`]인 경우는 없다.

따라서 구하는 모든 함수의 개수는 [eqn: 64+72 =136`]이다.

23. [출제의도] 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꺼낸 [eqn: 2`]개의 공에 적혀 있는 숫자 중에서 최솟값이 [eqn: k`]([eqn: k=1`,```2`,``3])가 되는 경우의 수는 [eqn: k`]이상의 숫자 중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수에서 [eqn: k`]보다 큰 숫자  중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수를 뺀 것과 같다.

[eqn: rmP (it X=1)][eqn: ={` _{6} rm C _{`2} - ` _{4} rm C _{`2}} over {` _{6} rm C _{`2} it} = {9} over {15} = 3 over 5]

[eqn: rmP (it X=2)][eqn: ={ ` _{4} rm C _{`2} - ` _{2} rm C _{`2} } over {`_6rmC_{`2} } = 5 over 15 = 1 over3]

[eqn: rmP (it X=3)][eqn: ={` _{2} rm C _{`2}} over {`_6rmC_{`2} } = 1over 15]

따라서 확률변수 [eqn: X`]의 평균은

[eqn: 1 times 3over 5 + 2 times 1 over 3 + 3 times 1 over 15 = 22 over 15]이다.

∴ [eqn: p+q=15+22=37`]

24. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT {a _{`n} RIGHT } `]은 [eqn: 2`,``1`,``2`,``1`,``2`,``1`,`` CDOTS]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{`n}} over {3 ^{`n}} `= LEFT ( {2} over {3} + {2} over {3 ^{`3}} + {2} over {3 ^{`5}} +` CDOTS `` RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3 ^{`2}} + {1} over {3 ^{`4}} + {1} over {3 ^{`6}} +` CDOTS`` RIGHT )]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {1} over {9}} ``+` {{1} over {9}} over {1- {1} over {9}}]

[eqn: = {3} over {4} `+` {1} over {8} `= {7} over {8}]

∴ [eqn: p+q=8+7=15]

25. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: \AOB`]의 넓이가 [eqn: 16`]이고 [eqn: rmbar OB = 4 `]이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 8`]이다.

점 [eqn: rm A]는 곡선 [eqn: y=2^{`x} - 1 `] 위의 점이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha `]라 하면 [eqn: 2^ {`alpha} -1 = 8 `]  ∴ [eqn: alpha =log `_{2}` 9]

이때, 점 [eqn: \A(log ` _{2}` 9` ,``8)`]은 곡선 [eqn: y=2 ^{-x} + a over9 `] 위의 점이므로 [eqn: 8=2 ^{-log `_{`2}` 9} + a over9 = 1over9 + a over9]

∴ [eqn: a= 71]

26. [출제의도] 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x+a) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x], [eqn: x ^{2}], [eqn: x ^{4}]의 계수는

[eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`1} `a ^{`9} `], [eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`2} ``a ^{`8} `], [eqn: ` _{10} `{rm C} it _{`4}`` a ^{`6} `] 즉, [eqn: 10`a ^{`9} `], [eqn: 45`a ^{`8} `], [eqn: 210`a ^{`6} `]

이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (45`a ^{`8} ) ^{2} =10`a ^{`9} `․``210`a ^{`6}]

∴ [eqn: a= {28} over {27}]

27. [출제의도] 확률변수의 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a+ {1} over {3} +b=1]에서 [eqn: a+b= {2} over {3}]

[eqn: rm E it (X``)=`-a+b], [eqn: rm E it (X ``^{2} )=a+b= {2} over {3}]이므로

[eqn: rm V it (X``)= rm E it (X ``^{2} )- LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2}][eqn: = {2} over {3} -(-a+b) ^{2} = 5over12]

∴ [eqn: (a-b)^2 = 1 over 4]

28. [출제의도] 독립시행의 확률과 이항정리를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmP(itk) = `_100` rmC_{`itk} it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^{`k} LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ^{`100-k}][eqn: (k`=`0,`1,`2,`cdots,`100)]

[eqn: sum _{k=1} ^{50} LEFT { {\P}(2`k-1)-{\P}(2`k) RIGHT }]

[eqn: = rm LEFT { P(1)-P(2) RIGHT }+LEFT { P(3) -P(4)RIGHT } + `` CDOTS ``+LEFT { P(99) -P(100)RIGHT }]

[eqn: =` _{100} ` rm C _{` it 1 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{99} -` _{100} ` rm C _{` it 2 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{98} +` _{100} ` rm C _{` it 3 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{97}]

[eqn: -`cdots`+ `_100 `rmC_{`it99}` it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^99 LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ``- `_100` rmC_{`100} it ``LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^100]

[eqn: =`- LEFT ( 1over 3 - 2 over 3 RIGHT )^100 + LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^100 = LEFT ( 2over 3 RIGHT )^100 -LEFT ( 1over 3 RIGHT )^100]

29. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{ `n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{`n} `]이 모두 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {}` `a _{`n} =`` lim _{n -> INF } {} ``b _{`n} =`0`]이다. (거짓)

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }(` a _{`n} +`b_{`n} ) `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a_{`n} -` b _{`n} ) `]이 모두 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {}` `(`a _{`n} +`b_{`n} ) = lim _{n -> INF } {} ``(`a_{`n} -` b _{`n} ) =0`]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```a _{`n} = 1over2 lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )+(`a_{`n} -`b_{`n} ) RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```b _{`n} = `lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )-`a_{`n} RIGHT } =0]

따라서 두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }]은 모두 수렴한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{`n} =(-1) ` ^{` n} `], [eqn: b _{`n} =(-1)` ^{` n+1} `]이면

[eqn: LEFT |`` a _{`n} +`b _{`n}`` RIGHT |` `=0`], [eqn: LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | ``=2`]이므로

두 수열 [eqn: LEFT {` LEFT |` a _{`n} +`b _{`n}` RIGHT |` RIGHT } `], [eqn: LEFT {`` LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | `RIGHT }`]이 모두 수렴하지만 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }`]은 수렴하지 않는다. (거짓)

30. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이와 같다.

[eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프는 [eqn: y=log` _{`6} (x+1)`]의 그래프를 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시킨 것이다. 원점을 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시키면 [eqn: (2`,``-4)`]이고, 점 [eqn: (2`,``-4)`]는 직선 [eqn: y=`-2x`] 위의 점이다.

따라서 [eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-2x`]의 교점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: rm A(2,``-4)]이다. 이때, 점 [eqn: rmC `]의 좌표는 [eqn: (4`,``0)`]이므로 [eqn: bar{rm OC} `= 4`]이고, 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이는 [eqn: 4 times 4 = 16 `]이다.

2009-3월 • 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	①	2	④	3	④	4	④	5	②
6	④	7	②	8	④	9	⑤	10	⑤
11	①	12	③	13	③	14	⑤	15	①
16	③	17	⑤	18	[eqn: 36]	19	[eqn: 165]	20	[eqn: 220]
21	[eqn: 24]	22	[eqn: 10]	23	[eqn: 23]	24	[eqn: 490]	25	[eqn: 840]
26	③	27	②	28	②	29	①	30	[eqn: 12]

해 설

1. [출제의도] 유리수인 지수의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 9^{- 1over2} = 1over root9 = 1over 3]

2. [출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X= A^-1 B&={pmatrix{`1``&``1`#`3`&``4}}^-1 pmatrix{-1``&``2`#`````3`&``4}]

[eqn: = pmatrix{-7``&``````4`#`````6`&-2`} ``]

따라서 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1]이다.

3. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+2 ^{n}} over {3 ^{n}} =sum_n=1^inf left( 1over 3 right)^n + sum_n=1^inf left( 2over 3 right)^n]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}} = {5} over {2}]

4. [출제의도] 등비수열의 일반항을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: c _{n} =a _{n} b _{n}]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { c _{n} ` RIGHT }]도 등비수열이다.

[eqn: c _{n} =ar ^{n-1}]이라 하면

[eqn: ar ^{3} =3``] … ㉠, [eqn: ar ^{6} =6]  … ㉡

[eqn: ㉡÷㉠]을 계산하면

[eqn: r ^{3} =2]

∴ [eqn: a _{16} b _{16} ``=c _{16} =ar ^{15} =ar ^{3} LEFT ( r ^{3} RIGHT ) ^{4} =48]

5. [출제의도] 지수부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]년 후의 물가지수가 현재의 [eqn: 2]배 이상이 된다면

[eqn: (1+0.04) ^{n} >= 2]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log 1.04 >= log2]

[eqn: n >= {log2} over {log`1.04} = {0.301} over {0.017} =17.7 TIMES TIMES]

따라서 [eqn: 18]년 후에 물가지수가 처음으로 현재의 [eqn: 2]배 이상이 된다.

6. [출제의도] 조건부확률의 뜻을 알고 이를 이용하여 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서

[eqn: rm P( it A CUP B)= rm P( it A)+rm P( it B)- rm P( it A cap B)=0.6]

(나)에서

[eqn: rm P( it A) LEFT { 1- rm P( it B``|`A) RIGHT } = rm P( it A)- rm P( it A SMALLINTER B)=0.2]

∴ [eqn: rm P( it B)=0.6-0.2=0.4]

7. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) 두 종류의 과일을 선택하는 경우가 [eqn: 3]가지이고, 이를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우가 [eqn: 6]가지이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 18]가지이다.

(ⅱ) 세 종류의 과일을 선택하는 경우가 [eqn: 3]가지이고, 이를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우가 [eqn: 12]가지이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 36]가지이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는 [eqn: 54]가지이다.

8. [출제의도] 등비수열이 포함된 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ( sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} -4 ^{n} )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {a ^{n}} over {sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} +4 ^{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} { LEFT ( a over4 RIGHT ) ^{n}} over {sqrt {1 +LEFT ( a over16 RIGHT ) ^{n}} +1}]

(ⅰ) [eqn: 0<a<4]일 때 [eqn: 0]으로 수렴한다.

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때 [eqn: 1over2]로 수렴한다.

(ⅲ) [eqn: a>4]일 때 발산한다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1,``2,``3,``4]의 [eqn: 4]개다.

9. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 이를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm B,````C]의 좌표를 각각 [eqn: rm B(ita,````0),````rmC(itb,````0)]이라 하고, 점 [eqn: rmE]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 [eqn: rm bar{DG} `=`1`]에서

[eqn: log _{2} b=log _{2} a+1=log _{2} 2a]

∴ [eqn: b=2a]

[eqn: rm bar{AD}`` `:` bar{DE} `=`2```:`3`]에서

[eqn: (b-a`)```:`(k-b`)=`2````:`3`]

[eqn: k= {5} over {2} b- {3} over {2} a= {7} over {2} a]

[eqn: rm□ABCD`=`□DEFG`]에서

[eqn: (b-a)log _{2} a=k-b= {3} over {2} (b-a)]

[eqn: a != b]이므로 [eqn: a=2 sqrt {2} ,````b=4 sqrt {2}]

∴ [eqn: k= {7} over {2} a=7 sqrt {2}]

10. [출제의도] 조건을 만족하는 점의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P_{it n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n]이라 하면

[eqn: {x_n+1 `^2 -x_n`^2 }over {x_n+1 -x_n }=n]에서

[eqn: x_n+1 +x_n =n]

그런데 [eqn: x_1 =1]이므로 수열 [eqn: LEFT { x_n RIGHT }]은

[eqn: 1,``0,``2,``1,``3,``2,``4,``3,``5,``4,``cdots]

이다. 따라서 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: x_2n-1 = n], [eqn: x_2n = n-1]

따라서 점 [eqn: rm P_2009] 즉, 점 [eqn: rmP_{(2times1005 -1)}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1005]이다.

11. [출제의도] 무한급수를 활용하여 도형의 넓이의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm B_2 P_1 C_1 P_2]에서

[eqn: bar{rm P _{1} C _{1} it} = {1} over {3} bar{rm B _{1} C _{1} it} =2 sqrt {3}]

[eqn: bar{rm C _{1} C _{2} it} = {1} over {2} bar{rm AC _{1} it} =3]이므로

[eqn: S _{1} = bar{rm P _{1} C _{1} it} cdot bar{rm C _{1} C _{2} it} =6 sqrt {3}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: bar{rm P _{it n+1} C _{it n+1} it} ``= {1} over {2}` bar{rm P _{it n} C _{it n} it}]이므로

[eqn: S _{it n+1} `=` {1} over {4} S _{it n}]

∴ [eqn: ` sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {6 sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} `=`8 sqrt {3}]

12. [출제의도] 역행렬의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(E+B`)=E] 에서 [eqn: A^-1 =][eqn: E+B]이므로

[eqn: A(E+B)=(E+B`)A=E`]

[eqn: A+AB=A+BA]

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB=BA]

이때, [eqn: AB-BA=O=A+B]이므로 [eqn: B =` -A]

[eqn: A(E+B`)=E]에 [eqn: B =` -A]를 대입하면

[eqn: A(E-A)=E], [eqn: A^2 -A+E=O]

위 등식의 양변에 [eqn: A+E]를 곱하면
[eqn: (A+E)(A ^{2} -A+E)=A ^{3} +E=O]

∴ [eqn: A ^{3} =-E]

∴ [eqn: (AB) ^{20} =(-A ^{2} ) ^{20} =A ^{40}]

[eqn: =(A ^{3} ) ^{13} A=``(-E) ^{13} A=-A]

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_1 = {1} over {1} - {1} over {2} = {1} over {2}], [eqn: T_1 = 1over2]이므로 (*)이 성립한다.

[eqn: S_m+1 = {1} over {1} - {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} +` CDOTS]

[eqn: `+ {1} over {2m-1} - {1} over {2m}+ 1over 2m+1 - 1over 2m+2]

[eqn: =S_m + {1} over {2m+1} - {1} over {2m+2}]

[eqn: T_m+1 = {1} over {m+2} + {1} over {m+3} + {1} over {m+4} +` CDOTS `+ {1} over {2m+2}]

[eqn: =T_m - {1} over {m+1}] [eqn: + {1} over {2m+1} + {1} over {2m+2}]

[eqn: =T_m] [eqn: + {1} over {2m+1} - {1} over {2m+2}]

가정에서 [eqn: S_m =T_m]이므로 [eqn: S_m+1 =T_m+1]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

14. [출제의도] 수열의 수렴, 발산을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n=2m]일 때 [eqn: S _{n} =S _{2m} =0]

[eqn: n=2m-1]일 때 [eqn: S _{n} =S _{2m-1} =1]

ㄱ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m}} != lim _{m -> INF } {S _{2m-1}}]이므로 수열 [eqn: "{" S _{n}"}"]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m}} over 2m = 0], [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m-1}} over 2m-1 = 0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n} =0] (수렴)

ㄷ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _1 +S_2 +cdots+S_2m} over {2m} = lim _{m -> INF } m over 2m = 1over2]이고,

[eqn: lim _{m -> INF } {S _1 +S_2 +cdots+S_2m-1} over {2m-1} = lim _{m -> INF } m over 2m-1 = 1over2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS +S _{n}} over {n} = 1over2] (수렴)

이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

15. [출제의도] 행렬의 연산에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A in S]이고 [eqn: A^-1]가 존재한다고 가정하자.

[eqn: A ^{2} =O]의 양변에 [eqn: (A ^{-1} ) ^{2} =(A ^{2} ) ^{-1}]을 곱하면 [eqn: E``` = O]가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: A in S]이면 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다. (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A=pmatrix{` 1`&` 0`#`0`&`0 `}]의 역행렬은 존재하지 않는다.

그런데 [eqn: A ^{2} =A != O]이므로 [eqn: A notin S]이다. (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: A=pmatrix{` 0`&` 1`#`0`&`0 `}], [eqn: B=pmatrix{` 0`&` 0`#`1`&`0 `}]이면 [eqn: A^2 = B``^2 =O]이므로 [eqn: A in S], [eqn: B `in S]이다.

이때 [eqn: AB=pmatrix{` 1`&` 0`#`0`&`0 `}]이고, [eqn: (AB) ^{2} =AB != O]이므로 [eqn: AB notin S]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.

16. [출제의도] 지수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: v _{rm A} =`c` LEFT ( {pi a ^{2}} over {2 pi a} RIGHT ) ^{{2} over {3}} (0.01) ^{{1} over {2}} = {c} over {10} LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {3}}],

[eqn: v _{rm B} =`c` LEFT ( {pi b ^{2}} over {2 pi b} RIGHT ) ^{{2} over {3}} (0.04) ^{{1} over {2}} = {2c} over {10} LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {3}}]이므로

[eqn: {v _{rm A}} over {v _{rm B}} =][eqn: {c over 10 left(a over 2 right)^{2 over 3} } OVER {2c over 10 left(b over 2 right)^{2 over 3} }][eqn: = 1 OVER 2 left(a over b right)^{2 over 3} } = 2]

이때, [eqn: left(a over b right)^{2 over 3} } = 4]이므로 [eqn: a over b = 8]

17. [출제의도] 주어진 규칙성을 이용하여 검은 돌의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

각 행에 있는 검은 돌의 개수를 세 행씩 묶어서 생각하면

[eqn: (1,``0,``1)], [eqn: (2,``1,``2)], [eqn: (3,``2,``3)], [eqn: (4,``3,``4)], [eqn: (5,``4,``5)], …

이므로 [eqn: a_3k-2 +a_3k-1 +a_3k][eqn: =3k-1]이다.

∴ [eqn: sum_n=1^30 a_n = sum_k=1^10 (3k-1)]

[eqn: = 3times55 -10 = 155]

[다른 풀이]

홀수 행에 놓인 검은 돌의 개수를 차례로 나열하면 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 5], [eqn: 5], …이다.

짝수 행에 놓인 검은 돌의 개수를 차례로 나열하면 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 6], [eqn: 6], …이다.

∴ [eqn: sum_n=1^30 a_n][eqn: =3(1+3+5+7+9)+3(2+4+6+8)+2times10]

[eqn: =155]

18. [출제의도] 밑의 변환공식을 이용하여 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(주어진 식)[eqn: =3times 3 times log4 over log3 timeslog9 over log2]

[eqn: = 3times3times2times2=36]

19. [출제의도] 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x-1) ^{n} `][eqn: =` sum _{ r`=`0} ^{n } `_n rmC_{it r} it(-1)^n-r `x^r `]

이므로 [eqn: x^2 `]의 계수는 [eqn: `_n rmC_2 `it(-1)^n-2 `]이다.

∴ [eqn: `_n rmC_2 `it(-1)^n-2 ` ` `=`-55]

[eqn: {n(n-1)} over {2}TIMES ` (-1) ^{n-2} `=`-55]

에서 [eqn: n`=`11`]이므로 [eqn: x^3 `]의 계수는

[eqn: `_11 rmC_3 `it(-1)^11-3` `=`{11 TIMES10 TIMES9} over {3 TIMES2 TIMES1}`=`165]

20. [출제의도] 이항분포와 정규분포의 관계를 이해하고 이를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 400,```` {1} over {2} RIGHT )]을 따르고, 시행의 횟수가 충분히 크므로 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 200,````10 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P` it `(X <= k)=` rm `P` it ` LEFT ( Z <= {k-200} over {10} RIGHT ) =0.9772]이고

[eqn: rm P` it `(Z <= 2)=` rm `P` it ` LEFT ( Z <= 0 RIGHT ) + rm P(0 <= Z <= 2)]

[eqn: =0.5+0.4772=0.9772]

이므로 [eqn: {k-200} over {10} =2]

∴ [eqn: k=220]

21. [출제의도] 주어진 상황에서 일어날 수 있는 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꼭짓점의 위치에 있는 원에 들어가는 수를 각각 [eqn: a,````b,````c`]라 할 때, 각 변에 있는 세 수의 합이 모두 같으므로 [eqn: 1+2+3+4+5+6+a+b+c]의 값이 [eqn: 3]의 배수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: a+b+c]의 값도 [eqn: 3]의 배수가 되어야 한다.

이 중에서 가능한 집합 [eqn: "{"a,````b,````c`"}"]는

[eqn: "{"1,```2,````3`"}"], [eqn: "{"1,````3,````5`"}"], [eqn: "{"2,````4,````6`"}"], [eqn: "{"4,````5,````6`"}"]이고,

이 네 개의 집합에 대하여 숫자를 배열하는 경우의 수는 각각 [eqn: 6]가지이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 4times6=24](가지)이다.

22. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^2 =pmatrix{`m^2 ``&``0`#`m^2 -5^2 ``&``5^2`}``]

[eqn: A^3 =pmatrix{`m^3 ``&``0`#`m^3 -5^3 ``&`5^3`}``]

[eqn: vdots]

이므로 [eqn: A^n =pmatrix{`m^n ``&``0`#`m^n -5^n ``&``5^n`}``]임을 추론할 수 있다.

따라서 [eqn: A^n]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2m^n][eqn: =2^49]이다.

∴ [eqn: m^n = 2^48]

이때, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n]은 [eqn: 48][eqn: =2^4 times 3]의 약수이다.

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (m,``n)]의 개수는

[eqn: (4+1)(1+1)=10]이다.

23. [출제의도] 확률분포표를 이해하고 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 20a ^{2} +10a ^{2} +3a= {3} over {5}]에서 [eqn: a= {1} over {10}]

[eqn: X]의 평균 [eqn: rmE(itX``)]는

[eqn: rm E it (X``)=0 TIMES {2} over {5} +1 TIMES {1} over {5} +2 TIMES {1} over {10} +3 TIMES {3} over {10}] [eqn: = {13} over {10}]

∴ [eqn: `p+q=23]

24. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: 5 <= log`k<6] 이므로

[eqn: 10 ^{5} <= k<10 ^{6}] … ㉠

(나)에서 [eqn: log {sqrt {k}} over {7}]의 가수가 [eqn: 0]이므로

[eqn: log` {sqrt {k}} over {7} =n] ([eqn: n]은 정수)

따라서 [eqn: {sqrt {k}} over {7} =10 ^{n}]이므로

[eqn: k=49 TIMES 10 ^{2n}]

㉠에서 [eqn: n=2]이므로

[eqn: k=49 TIMES 10 ^{4} =490000]

∴ [eqn: {k} over {1000} =490]

25. [출제의도] 주어진 규칙성을 활용하여 직선들의 교점의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구하는 [eqn: a_15 - a_14]의 값은 [eqn: 2]단계, [eqn: 4]단계, [eqn: 6]단계, …, [eqn: 14]단계에서 그린 직선의 총 개수와 [eqn: 15]단계에서 그린 직선의 개수의 곱과 같다.

∴ [eqn: a_15 - a_14 = 15times (2+4+6+cdots+14) = 840]

26. [출제의도] 로그부등식을 이용하여 실수의 대소를 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a<b<1]에서

[eqn: log _{a} a>log _{a} b>log _{a} 1]

∴ [eqn: 0<log _{a} b<1] … ㉠

[eqn: a+1>1]에서

[eqn: log _{b} (a+1)<log _{b} 1=0] … ㉡

[eqn: 1<a+1<b+1] 에서

[eqn: log _{a+1} (a+1)<log _{a+1} (b+1)]

∴ [eqn: log _{a+1} (b+1)>1] … ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: log _{b} (a+1)<log _{a} b<log _{a+1} (b+1)]

∴ [eqn: B```<A``<C]

27. [출제의도] 정규분포곡선을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자.

[eqn: S_1 `=`rmP(it40 <=X <=50)-S]

[eqn: S _{2} `=` rm P( it 40<=Y <= 50)-S][eqn: =`rmP(it50 <=Y <=60)-S]

∴ [eqn: S_2 -S_1 `][eqn: =`rmP(it50 <=Y <=60)-rmP(it40 <=X<=50)]

[eqn: =`rmP left(it0 <=Z<= 60-50 over 5 right)`-``rmP left(it0 <=Z <= 50-40 over 10 right)`]

[eqn: =`rmP left(it0 <=Z <= 2 right)`-`rmP left(it0 <=Z <= 1 right)]

[eqn: =`0.4772-0.3413`=`0.1359]

28. [출제의도] 무한수열과 무한급수의 수렴, 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n` -> INF } {left(a _{n} +b _{n} right)}`=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} right)}`=` 2] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} `=` alpha }]라고 하면 [eqn: b _{n} =2+ {1} over {n} -a _{n}]에서

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{n} `=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} -a _{n} right)`=`2- alpha }}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} `=`0`]이므로 ㄴ에 의해

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`2`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]은 발산한다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

29. [출제의도] 독립시행의 확률을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmA`]대학교에 합격하려면 수시모집에서 합격하거나, 수시모집에서 불합격하고 정시모집에서 합격해야 하므로 한 학생이 [eqn: rmA`]대학교에 합격할 확률은

[eqn: {1} over {2} + {1} over {2} ` TIMES {1} over {3} `=` {2} over {3}]이다.

따라서 [eqn: 3`]명 중 [eqn: 2`]명이 합격할 확률은

[eqn: ` _{3} rm C _{2}` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )` = {4} over {9}]이다.

30. [출제의도] 서로 독립인 사건의 뜻을 이해하고 이를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k]의 값에 따른 확률을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: k]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
[eqn: {\P}(A)]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {4} over {8}]	[eqn: {5} over {8}]	[eqn: {6} over {8}]	[eqn: {7} over {8}]
[eqn: {\P}(B)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]
[eqn: {\P}(A SMALLINTER B)]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {4} over {8}]

[eqn: rmP(itA SMALLINTERB)=rmP(itA)rmP(itB)]를 만족할 때, 두 사건 [eqn: A,````B`]가 서로 독립이므로 이를 만족하는 상수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2,````4,````6]이다. 따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 12]이다.

2008-3월 • 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	③	2	④	3	③	4	①	5	③
6	②	7	④	8	⑤	9	②	10	④
11	⑤	12	⑤	13	②	14	③	15	⑤
16	⑤	17	①	18	[eqn: 32]	19	[eqn: 672]	20	[eqn: 55]
21	[eqn: 128]	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 310]	24	[eqn: 81]	25	[eqn: 79]
26	①	27	①	28	②	29	④	30	[eqn: 36]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {3} of {(8 TIMES 27) ^{2}} =][eqn: root {3} of {6 ^{6}} =][eqn: root {3} of {36 ^{3}} =36]

2. [출제의도] 역행렬을 이해하고 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} X`=B`]의 양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: A``]를 곱하면

[eqn: AA ^{-1} X`=AB`]

∴ [eqn: X`=AB`][eqn: = pmatrix{2&~~3`#1&-2}][eqn: pmatrix{3&~~2`#1&-2}][eqn: = pmatrix{`9`&``~-2`#`1`&`````````6`}]

따라서 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

3. [출제의도] 이항분포의 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: V(X)=n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =20]

∴ [eqn: n=90]

4. [출제의도] 서로 독립인 두 사건의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 사건 [eqn: A,~B]는 서로 독립이므로

[eqn: {\P}(A|B)={\P}(A)], [eqn: {\P}(B`|A)={\P}(B)]

∴ [eqn: {\P}(A)= {\P}(B) = 3over4]

또, [eqn: {\P}(A cap B)= {\P}(A ) {\P}(B)= 9 over 16]

∴ [eqn: {\P}(A cup B)][eqn: ={\P}(A)+{\P}(B) - {\P}( A cap B)]
[eqn: = 3over4 + 3over4 - 9over16 = 15over 16]

5. [출제의도] 연립방정식과 행렬을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

연립방정식 [eqn: LEFT ( matrix{2-k&`````3`#2&`````1-k} RIGHT ) pmatrix{x#y} = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]이

[eqn: x=0,``y=0``] 이외의 해를 가지려면

[eqn: LEFT ( 2-k RIGHT ) LEFT ( 1-k RIGHT ) -3 CDOT 2=0]

즉, [eqn: k ^{2} -3k-4=0````` THEREFORE``` k=-1,`4]

따라서 구하는 실수 [eqn: k``]의 값의 합은 [eqn: 3]이다.

6. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {n ^{2}} < sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {(n+1)^2}]

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} <n+1]

∴ [eqn: a _{n} =n]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -a _{n} RIGHT ) = lim _{n -> INF } {}` n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}} = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n^2}} +1}} = {1} over {2}]

7. [출제의도] 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5]는 반드시 포함되어야 하므로 [eqn: 5]를 뽑는 경우의 수는 [eqn: 1](가지)

[eqn: 5]를 제외한 [eqn: 8]개의 자연수 중에서 나머지 두 수를 뽑을 때 적어도 하나의 짝수를 뽑는 경우의 수는

[eqn: \ `_8 C_2 - _4 C_2 =28-6=22](가지)

뽑힌 [eqn: 3]개의 자연수를 이용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 3! = 6](개)

따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 1×22×6=132](개)

8. [출제의도] 로그의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 0<a<1,`` b>1 ``]이므로 [eqn: log _a b <log_a 1=0]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b <0]  (참)

ㄴ. [eqn: 0<a<1,`` b< 1over a ``]이므로 [eqn: log _{a} b>log _{a} {1} over {a} =`-1]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b > - 1over2]
따라서 [eqn: - 1over 2 < A < 0 `]이므로 [eqn: B = 1over A < -2`]
∴ [eqn: A>B]  (참)

ㄷ. [eqn: A = 1over B `]이므로 [eqn: `AB`` =1`]
∴ [eqn: log _{ab} LEFT | `A`` RIGHT | +log _{ab} LEFT | `B`` RIGHT | =log _{ab} LEFT | `AB`` RIGHT | =log _{ab} 1=0](참)

9. [출제의도] 등비수열의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =a+ar+ar ^{2} +ar ^{3} +ar ^{4}]

[eqn: =a(1+r+r ^{2`} +r ^{3`} +r ^{4``} `)= {31} over {2}]

[eqn: a _{1} a _{2} a _{3} a_4 a_5 =a CDOT ar CDOT ar ^{2}CDOT ar ^{3}CDOT ar ^{4} =a ^{5} r ^{10}=32]

∴ [eqn: ar ^{2} =2]

[eqn: {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + {1} over {a _{3}}`+ {1} over {a _{4}} + {1} over {a _{5}} `]

[eqn: = {1} over {a} + {1} over {ar} + {1} over {ar ^{2}}+ {1} over {ar ^{3}}+ {1} over {ar ^{4}}]
[eqn: =` {1} over {ar^4} LEFT ( 1+r+r^2 +r^3 +r^4 } RIGHT )]
[eqn: =` {a} over {(ar ^{2})^2} LEFT ( 1+r+r ^{2} +r ^{3} +r ^{4} RIGHT )][eqn: = {31} over {8}]

10. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (a,~ b`) `in` A`], [eqn: (c,~ d`) `in` B`]이므로

[eqn: 3^a = b], [eqn: log_3 c=d]이다.

ㄱ. (반례) [eqn: a=1,```b=3`]일 때 [eqn: (1,```3) IN A`]이지만

[eqn: (1 ^{3} ,```3 CDOT 3) NOTIN A`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 3^a = b] 즉, [eqn: log _3 b = a]
∴ [eqn: (b`,~a)`in`B] (참)

ㄷ. [eqn: 3^a = b `], [eqn: log_3 c=d] 즉, [eqn: 3^d = c`]가 성립하므로
[eqn: 3^ a+d = bc]
∴ [eqn: (a+d,~ bc` )` IN `A] (참)

11. [출제의도] 수열의 항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a _{6} =a _{3} +1=(a_1 -1)+1=1] (참)

ㄴ. [eqn: n=2 ^{k} `]이면
[eqn: a_ n = a _{2 ^{k}} =a _{2 ^{k-1}} +1=a _{2 ^{k-2}} +2= `CDOTS]
[eqn: `=a _{2 ^{0}} +k=k+1] (참)

ㄷ. [eqn: a _{2n} =a _{n} +1,``a _{2n+1} =a _{n} -1`]이므로
[eqn: a _{2n} -a _{2n+1} =2]가 성립한다.
∴ [eqn: a _{2 ^{k}} -a _{2 ^{k} +1} =2]
따라서 [eqn: n= 2^k +1`]일 때, ㄴ을 이용하면
[eqn: a _{n} =a _{2 ^{k} +1} =a _{2 ^{k}} -2=(k+1)-2 = k-1] (참)

12. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: N _{15`} =1515` CDOTS 15``]는 [eqn: 2 TIMES 15]자리의 수이므로
[eqn: log`N_15 ``]의 지표는 [eqn: 30-1=29]이다.
∴ [eqn: p(15)=29] (거짓)

ㄴ. [eqn: q(n)=0]이면 [eqn: log`N _{n} =p(n)`](정수)
즉, [eqn: N _{n} =10 ^{p(n)}]이다.
한편, [eqn: q(1)=0]이고, [eqn: n != 1]이면 [eqn: N _{n}]은 [eqn: 10 ^{k}]의 꼴이 될 수 없다. 즉, [eqn: q(n) != 0]
따라서 [eqn: n]은 [eqn: 1]뿐이다. (참)

ㄷ. [eqn: n=10 ^{k}]은 [eqn: (k+1)]자리의 수이고
[eqn: N _{n}]은 [eqn: n(k+1)]자리의 수이므로
[eqn: p(n)=nk+n-1]
이때 [eqn: n-1=10 ^{k} -1]은 [eqn: k]자리의 수이고
[eqn: N _{n-1}]은 [eqn: (n-1)k]자리의 수이므로
[eqn: p(n-1)=nk-k-1]
∴ [eqn: p(n)-p(n-1)=n+k] (참)

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) : [eqn: 1]

(나) : [eqn: (k+1)a_k -k`]

(다) : [eqn: 1 over k+1`]

14. [출제의도] 이산확률변수의 평균과 분산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: {rm P}(Y=k)= {rm P}(X=10-k)]이므로
[eqn: {rm P}(5<=Y<=7)= {rm P}(3<=X<=5)] (참)

ㄴ. 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: \ B left( 10,`` 1over2 right) `]을 따르므로
[eqn: {rmE}(X)= 1over 2 cdot 10 = 5]
[eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmE}(Y)= {rmE}(10-X) = 10 -{rm E}(X) = 5`]
∴ [eqn: {rmE}(Y)={rmE}(X)] (참)

ㄷ. [eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(10-X) = {rmV}(X)`]
∴ [eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(X)`] (거짓)

15. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

임의의 두 점을 [eqn: {rm P}(a,`b),``{rm Q}(c,`d)]라 하면,
[eqn: M _{rmP} = LEFT ( ` matrix{```````a```&`b`#-b```&`a`} RIGHT )], [eqn: M _{rm Q} = LEFT ( matrix{````````c```&```d`#`-d```&```c`} RIGHT )]

ㄱ. [eqn: M _{rmP} M _{rm Q} = LEFT ( ` matrix{````````a`&``b`#`-b`&```a`} RIGHT ) LEFT ( matrix{```````c`&`d`#`-d`&`c`} RIGHT )= LEFT ( matrix{``````ac-bd`&```ad+bc`#`-ad-bc`&```ac-bd`} RIGHT )]에 대응하는 점 [eqn: rm`R``][eqn: (ac-bd,```ad+bc)``]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: M _{rm Q it} M _{rm P it} = LEFT ( matrix{``````c``&d#-d``&c} RIGHT ) LEFT ( matrix{`````a&`b#-b&```a} RIGHT ) = LEFT ( matrix{```````ac-bd```&`ad+bc`#`-ad-bc```&``ac-bd`} RIGHT )]
∴ [eqn: M _{rm P it} M _{rm Q it} =M _{rm Q it} M _{rm P it}] (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm P``]가 원점이 아니면 [eqn: a^2 +b^2 !=0``]이므로
[eqn: LEFT ( ` matrix{```````a``&``b`#`-b``&```a`} RIGHT )^-1 = {1} over {a ^{2} +b ^{2}} LEFT ( matrix{`a``&`-b`#`b``&````````a`} RIGHT )]
따라서 [eqn: M _{rmP} M _{rm S} =E``]인 점 [eqn: rm S` it LEFT ( {a} over {a ^{2} +b ^{2}} ,```- {b} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT )]가 존재한다. (참)

16. [출제의도] 등비수열의 합을 이해하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \A]지역의 연간 휘발유 소비량이 전년도의 [eqn: r`]배로 감소한다고 하면

[eqn: 2007]년의 휘발유 소비량은 [eqn: a]톤,

[eqn: 2008]년의 휘발유 소비량은 [eqn: ar`]톤, [eqn: CDOTS` ,]

[eqn: 2015]년의 휘발유 소비량은 [eqn: ar ^{8} `]톤으로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: 2015]년의 휘발유 소비량은 [eqn: 1 over 3 a]톤이므로

[eqn: ar ^{8}][eqn: =][eqn: 1 over 3 a],[eqn: ```r ^{8} `= {1} over {3}]

∴ [eqn: r= root {8} of {{1} over {3}} = {1} over {root {8} of {3}} = {1} over {1.15}= 20 over23]

따라서 [eqn: 16]년 동안 사용되는 휘발유 전체의 양은

[eqn: a+ar+ar ^{2} `+ CDOTS +ar ^{15} `]
[eqn: = {a(1- r ^{16}) } over {1-r} `][eqn: ={ a left({1-{1} over {9}}right)} over {1- 20 over 23 }= {184} over {27} a](톤)

17. [출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_1 = pi - left{ 1over 2 × pi over 2 + left( pi over 4 - 1over2 right) right}][eqn: = pi+1 over 2]

원 [eqn: rmC _{it n } `]의 지름의 길이를 [eqn: l_n]이라 하면

[eqn: l_n+1 = root2 over 2 l_n]이므로

[eqn: S_n+1 = left( root2 over 2 right)^2 S_n = 1over 2 S_n]

∴ [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } S _n `][eqn: = {pi+1 over 2} over {1- 1 over 2 }= pi+1]

18. [출제의도] 로그방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log_2 x -6=t]로 치환하면 [eqn: log_2 x =t +6 `]이므로

[eqn: (log_2 x-6)^2 +log_2 x ^2 -11=t^2 +2(t+6)-11=0]

[eqn: t^2 +2t+1 = (t+1)^2 = 0]

∴ [eqn: t=-1]

이때 [eqn: log_2 x =5]이므로

[eqn: x=2^5 = 32]

19. [출제의도] 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left(2x- 1over x right)^7 `]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_ 7{ rmC} _r (2x)^r left( - 1over x right) ^7-r = `_ 7{ rmC} _r times 2^r times (-1)^7-r times x^2r-7 `]

이므로 [eqn: 2r-7=3]에서 [eqn: r=5]

따라서 [eqn: x^3 `]의 계수는 [eqn: `_ 7{ rmC} _5 times 2^5 times (-1)^2 = 672`]

20. [출제의도] 등차수열의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { a_n RIGHT },``LEFT { b_n RIGHT }`]이 등차수열이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k}]
[eqn: = {10(a _{1} +a _{10} `)} over {2} + {10(b _{1} +b _{10} `)} over {2}]
[eqn: =5 LEFT { (a _{1} +b _{1} `)+(a _{10} +b _{10} `) RIGHT }=500]
∴ [eqn: a _{10} +b _{10} `=55`]

21. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4 ^{a} >0,``2 ^{b} >0`]이므로

[eqn: 4 ^{a} +2 ^{b} >= 2 sqrt {4 ^{a} CDOT 2 ^{b}}][eqn: =2 sqrt {2 ^{2a+b}} =2 sqrt {2 ^{12}} =128]
(단, 등호는 [eqn: a=3,```b=6`]일 때 성립한다.)

22. [출제의도] 상용로그의 값과 [eqn: sum _{} ^{}]의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

정의에 따라 [eqn: LEFT [ log_10`S _{n} RIGHT ] `]는 [eqn: log_10`S _{n} `]의 지표와 같다.

[eqn: S _{1} =1,``S _{2} =1+2=3,``S _{3} =1+2+3=6`]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{1} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{2} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{3} RIGHT ] =0]

[eqn: S _{4} =1+2+3+4=10],[eqn: S _{13} =1+2+3+` CDOTS `+13=91]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{4} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{5} RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log_10`S _{13} RIGHT ] =1]

[eqn: S _{14} =1+2+3+`cdots`+14=105],

[eqn: S _{20} =1+2+3+` CDOTS `+20=210]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{14} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{15} RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log_10`S _{20} RIGHT ] =2]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{20} LEFT [ log_10`S _{n} RIGHT ]=0 times 3 +1times10+2times 7 =24]

23. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 100<=A<1000], [eqn: 900<B<1000]이고,

[eqn: log`B`]의 가수가 [eqn: log`A`]의 가수의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: logA=2+ alpha], [eqn: logB=2+2 alpha `` LEFT ( 0 <= alpha < {1} over {2} RIGHT )]

[eqn: 2log`A-logB=log {A ^{2}} over {B}=2] 이므로 [eqn: {A ^{2}} over {B} =100`]

∴ [eqn: 100B=A ^{2}]

[eqn: A]는 [eqn: 10]의 배수이므로 [eqn: A=10C] ([eqn: C`]는 자연수)라
하면 [eqn: 100B=(10C)^2 =100C^2]  ∴ [eqn: B`=`C ^{2`}]

따라서 [eqn: B]는 [eqn: 900]보다 큰 세 자리의 수이면서 완전제곱수이다.

[eqn: 30^2 =900, ~~31^2 =961, ~~32^2 =1024]이므로

[eqn: B=31^2], [eqn: A^2 =100B=10^2 cdot31^2 =(310)^2]

∴ [eqn: A=310]

24. [출제의도] 연립방정식을 행렬을 이용하여 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x], [eqn: y]에 관한 연립방정식을 만들면

[eqn: cases{ 0.6x +0.3y=45 # 0.5x+0.4y=42 }]

[eqn: cases{ 6x +3y=450 # 5x+4y=420}]

이것을 행렬을 이용하여 나타내면

[eqn: pmatrix { 6~&3 #5~ &4 } pmatrix { x # y }=pmatrix { 450 # 420}]

[eqn: pmatrix { x # y }={pmatrix { 6~&3 #5~ &4 }} ^-1 pmatrix { 450# 420 }]
[eqn: = 1over 9{pmatrix {`````4`&`-3 `#-`5``` &````````6`}} pmatrix {` 450 # `420` }]

∴ [eqn: a=4,``b=-5]

∴ [eqn: (a-b)^2 = (4+5)^2 =81]

25. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4]개의 동전을 던질 때, 앞면과 뒷면이 각각 [eqn: 2]개씩 나올 확률은

[eqn: \`_4 C_2 left( 1over 2 right)^2 left( 1over2 right)^2 = 3over 8]

따라서 구하는 확률은

[eqn: left( 1- 3over8 right) times 3 over 8 = 15 over 64]

∴ [eqn: p+q=79]

26. [출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n>=2]일 때 [eqn: S_n - a_n = S_n-1]이므로

[eqn: S_n - a_n =S_n-1 = n+3 over n+2] ([eqn: n>=2])

∴ [eqn: sum_n=1^inf a_n][eqn: =lim_n->inf S_n = lim_n->inf S_n-1 = 1]

27. [출제의도] 조건부확률을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

진서가 던진 주사위가 홀수인 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 진서가 이기는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rmP}(B`|A)]이다.

[eqn: {rmP}(A)= 1over2]

[eqn: {rmP}(A ∩B)= 1over 6 × 0 + 1over 6 × 2over6 + 1over6 × 4over6][eqn: = 1over6]

∴ [eqn: {rmP}(B`|A)= {{rmP}(A cap B)} over{ {rmP}(A)}][eqn: ={1over6} over{1 over2} = 1over 3]

28. [출제의도] 지수함수의 그래프와 관련된 내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

곡선 [eqn: y`=`3^x `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: b_k `]만큼 평행이동시킨 곡선 [eqn: y`=3^x-b_k `]이 점 [eqn: (k,``2)`]를 지난다고 하면
[eqn: 2`=`3^k-b_k `]이다.

∴ [eqn: 3^-b_k `=`2 over {3^k }]

이때 곡선 [eqn: y`=`3^x-b_k `]의 [eqn: y`]절편은 [eqn: 3^-b_k `]이므로
[eqn: a_k `=`3^-b_k `=`2 over {3^k }]이다.

∴ [eqn: SUM from { { k`}=`1} to inf`a_k `=`SUM from { { k`}=`1} to inf`2 over {3^k } `=`2 SUM from { { k`}=`1} to inf `left( 1 over 3 right) ^k]

[eqn: `=` 2over3 over {1- 1 over 3 } `=`1]

29. [출제의도] 표본평균의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

제품 [eqn: A`]의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}`(120,``10^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_1 =][eqn: {rmP}`(`X`≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 10 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧1)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=1)`]
[eqn: =0.1587]

한편, 크기가 [eqn: 4]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포
[eqn: {rmN}`(120,``5^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_2 =][eqn: {rmP}`(`bar {X``}≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 5 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧2)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=2)`]
[eqn: =0.0228]

∴ [eqn: p_1 - p_2][eqn: =0.1359]

30. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: \A], [eqn: \B]가 [eqn: 2]인용 소파에 앉는 경우의 수는
[eqn: 2! TIMES 3! = 2 TIMES 6=12](가지)

(ii) [eqn: \A], [eqn: \B]가 [eqn: 3]인용 소파에 앉는 경우의 수는
[eqn: rm 2 TIMES 2! TIMES 3!`=24`](가지)

(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 12+24=36](가지)