수학Ⅱ 2학기 서술형 수행평가 2학년 ( )반 이름 ( )	유의사항	총 점수 : 6문항 60점 (문항마다 점수가 상이함) 논리적인 서술이 부족할 시 감점 미사여구는 생략 가능하나 중요한 설명이 빠진 경우 감점 ex) 이므로, 놓으면, 따라서 등 생략가능

1. 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x rarrow INF } {{f(x)-x ^{3}} over {x ^{2}} =-11,` lim _{x rarrow 1} {{f(x)} over {x-1} =-9}}]

를 만족시킬 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오. [5점]

풀이)

[eqn: lim _{x rarrow INF } {{f(x)-x ^{3}} over {x ^{2}} =-11}]에서

[eqn: f(x)-x ^{3} =-11x ^{2} +ax+b]이다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -11x ^{2} +ax+b]

[eqn: lim _{x rarrow 1} {{f(x)} over {x-1} =-9}]에서

[eqn: (분모) rarrow 0]이므로 [eqn: (분자)` rarrow 0]이다.

[eqn: f(x)]는 다항함수이므로 [eqn: lim _{x rarrow 1} {f(x)=} f(1)=0]

[eqn: lim _{x rarrow 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1} =f` prime (1)=-9}]

[eqn: f(1)=-10+a+b=0]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -22x+a]

[eqn: f` prime (1)=-19+a=-9,``a=10], [eqn: b=0]

[eqn: f(x)=x ^{3} -11x ^{2} +10x]

2. 오른쪽 그림과 같이 함수

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} - {4} over {3} x]의 그래프 위의 한 점을 [eqn: P(t,``f(t))(t>0)]라고 하자. 점 [eqn: P]에서의 접선 [eqn: l]과 점 [eqn: P]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선 [eqn: m]이 서로 수직일 때, 점 [eqn: P]의 [eqn: x]좌표를 구하시오.

(1) 접선 [eqn: m]과 [eqn: y=f(x)]와 접하는 점을 [eqn: Q(a,``f(a))]라 할 때,

[eqn: t]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내시오. [5점]

풀이)

[eqn: f`'(x)=x ^{2} - {4} over {3}]

[eqn: Q LEFT ( a,`` {1} over {3} a ^{3} - {4} over {3} a RIGHT )]에서의

접선의 기울기 [eqn: f`'(a)][eqn: =a ^{2} - {4} over {3}]

접선 [eqn: m]의 방정식은

[eqn: y= LEFT ( a ^{2} - {4} over {3} RIGHT ) (x-a)+ {1} over {3} a ^{3} - {4} over {3} a]

접선 [eqn: m]과 [eqn: y=f(x)]의 교점의 [eqn: x] 좌표는

[eqn: {1} over {3} x ^{3} - {4} over {3} x= LEFT ( a ^{2} - {4} over {3} RIGHT ) x- {2} over {3} a ^{3}] 의 해이다.

[eqn: x ^{3} -3a ^{2} x+2a ^{3} =0]

[eqn: (x-a) ^{2} (x+2a)][eqn: =0]

교점 중 [eqn: x=a]가 아닌 점이 [eqn: x=t]이므로

[eqn: t=-2a]

(2) 접선 [eqn: l]과 접선 [eqn: m]이 수직임을 이용하여, [eqn: t]의 값을 구하시오. [5점]

풀이)

[eqn: a=- {t} over {2}]

접선 [eqn: l]의 기울기 [eqn: f`'(t)=t ^{2} - {4} over {3}]

접선 [eqn: m]의 기울기 [eqn: f` prime (a)=f`' LEFT ( - {t} over {2} RIGHT ) = {t ^{2}} over {4} - {4} over {3}]

[eqn: f` prime (t)` TIMES `f` prime (a)= LEFT ( t ^{2} - {4} over {3} RIGHT ) LEFT ( {t ^{2}} over {4} - {4} over {3} RIGHT ) =-1]

[eqn: {1} over {4} t ^{4} - {5} over {3} t ^{2} + {25} over {9} =0,`~~9t ^{4} -60t ^{2} +100=0]

[eqn: (3t ^{2} -10) ^{2} =0,`t ^{2} = {10} over {3}]

[eqn: t= {sqrt {30}} over {3} ( BECAUSE t>0)]

3. 이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고,

삼차함수 [eqn: g(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 0]이다. 함수

[eqn: h(x)= {cases{f(x)&(x LEQ 0)#g(x)&(x>0)}}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h`'(-3)+h`'(4)]의 값을 구하시오.

(가) 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근의 합은 1이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [-2,``3]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt {3}]이다.

(1) 이차항의 계수가 [eqn: 0]인 삼차함수 [eqn: g(x)=px ^{3} +qx+k]의 특징을 설명하시오. [3점]

풀이) [eqn: I(x)=px ^{3} +qx]는 [eqn: I(-x)=-I(x)] 원점대칭 함수

[eqn: g(x)=I(x)+k] 로 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 함수로

[eqn: (0,``k)]에 대해서 대칭인 함수

(2) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: a], [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: p], [eqn: h(0)=k]라 할 때, [eqn: h(x)]의 그래프와 함수식을 구하시오. [6점]

풀이)

[eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서  미분가능하므로

[eqn: f(0)=g(0)=h(0)=k]

[eqn: f`'(0)=g`'(0)]

[eqn: f(x)] : [eqn: x=-1]에서 극대이므로 [eqn: a<0]

[eqn: f(x)=k], [eqn: x=0][eqn: ,] [eqn: alpha]에 대하여

[eqn: x=-1]에 대칭이므로 [eqn: alpha=-2]

[eqn: f(x)=ax(x+2)+k]

[eqn: g(x)] : [eqn: g`'(0)=f` prime (0)=2a<0], [eqn: (0,``k)]대칭

[eqn: h(x)=h(0)=k] 실근의 합이 1이므로

[eqn: g(x)][eqn: =k]는 [eqn: x=3]에서 실근을 갖는다.

[eqn: g(x)][eqn: -k]은 원점 대칭이므로

[eqn: g(x)=px(x+3)(x-3)+k]

[eqn: h(x)= {cases{a(x ^{2} +2x)+k&(x LEQ 0)#p(x ^{3} -9x)+k&(x>0)}}]

(3) [eqn: h(x)]가 미분가능하고, [eqn: [-2,``3]]에서 최댓값과 최솟값의 차이가 [eqn: 3+4 sqrt {3}]임을 이용하여 [eqn: a,``p]를 구하고, [eqn: h`'(-3)+h`'(4)]의 값을 계산하시오. [6점]

풀이)

[eqn: h(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: f`'(0)=][eqn: 2a=][eqn: -9p=g`'(0)]

[eqn: h(x)]는 [eqn: f(-1)]에서 최댓값 [eqn: g(x)]의 극솟값에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g`'(x)=][eqn: p(3x ^{2} -9)][eqn: =0], [eqn: x= sqrt {3}]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: (최댓값)=f(-1)][eqn: =-a+k]

[eqn: (최솟값)=g( sqrt {3} )][eqn: =-6 sqrt {3} p+k]

[eqn: f(-1)-g( sqrt {3} )=6 sqrt {3} p-a=6 sqrt {3} p+ {9} over {2} p=3+4 sqrt {3}]

[eqn: p= {2} over {12 sqrt {3} +9} times(3+4 sqrt {3} )= {2} over {3}], [eqn: a=- {9} over {2} p=-3]

[eqn: h(x)= {cases{-3(x ^{2} +2x)+k&(x LEQ 0)#{2} over {3} (x ^{3} -9x)+k&(x>0)}}]

[eqn: h`'(-3)=f`'(-3)][eqn: =12]

[eqn: h`'(4)=g`'(4)=26]

[eqn: h`'(-3)+`h'(4)=38]

4. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: x^2 f(x) = 2x^6 - x^4 +2 int _1 ^x t``f(t) dt]

를 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값을 구하시오. [5점]

풀이)

[eqn: x^2 f(x) = 2x^6 - x^4 +2 int _1 ^x t``f(t) dt]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x`f(x) + x^2 f`'(x)=12x^5 -4x^3 + 2x`f(x)]

[eqn: f`'(x)=12x^3 -4x]

따라서

[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { f'(x) dx}=3x^4 -2x^2 +C]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

한편, ㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=2-1+2 int_1 ^1 t``f(t)dt =1+0=1]

이므로 ㉡에서

[eqn: f(1)=3-2+C=1], [eqn: C=0]

따라서 [eqn: f(x)=3x^4 -2x^2]이므로 [eqn: f(-1)=1]

5. 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =|``x-2``|], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1]

에 대하여 [eqn: int _{-2} ^{1} {} LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값을 구하시오.

(1) 구간별로 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]의 식을 구하시오. [5점]

풀이)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )= | x-2|], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=x^2 +1]이므로

[eqn: LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )= f (g LEFT ( x RIGHT ))]

[eqn: = f LEFT ( x^2 +1 RIGHT )= |x^2 -1|]

[eqn: |x^2 -1|]의 절댓값 기호 안의 식이 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값을 구하면

[eqn: x^2 -1 =0]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )=0]

[eqn: therefore x=-1] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = |x^2 -1 |]을 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]을 기준으로 구간을 나누어 나타내면

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -1&&&(x LEQ -1~또는~x GEQ 1)#-x ^{2} +1&&&LEFT ( -1<x<1 RIGHT )}}]

(2) [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )] 식을 이용하여, [eqn: int _{-2} ^{1} {} LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값을 구하시오. [5점]

풀이)

[eqn: LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]을 기준으로 식이 다르므로 적분구간 [eqn: [-2,``1]]을 [eqn: x=-1]을 기준으로 구간을 나누어 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: therefore`` int_-2 ^1 LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )dx]

[eqn: = int_-2 ^-1 LEFT ( x^2 -1 RIGHT )dx + int_-1^1 LEFT ( -x^2 +1 RIGHT )dx]

[eqn: = left[ 1 over3 x^3 -x right]_-2 ^-1 + left[ - 1 over3 x^3 +x right] _-1 ^1]

[eqn: = left{ LEFT ( - 1 over3 +1 RIGHT )- LEFT ( - 8 over3 +2 RIGHT ) right} + left{ LEFT ( - 1 over3 +1 RIGHT )- LEFT ( 1 over3 -1 RIGHT ) right}]

[eqn: = 4 over3 + 4 over3 = 8 over3]

6. 양수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f ( x )]를 [eqn: f ( x ) = int _{3t} ^{x} { ( s ^{2} -4ts+3t ^{2} ) ds}]라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f ( x )]의 최댓값을 [eqn: g ( t )]라 하자. <보기>의 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참과 거짓을 밝히시오.

<보기>

ㄱ. [eqn: f prime ( x ) = ( x-t ) ( x-3t )]

ㄴ. [eqn: t>2]일 때, [eqn: g (t ) = {2} over {3} ( 3t-2) ^{2}]이다.

ㄷ. [eqn: t>0]에서 정의된 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t= {1} over {2}]에서만 미분가능하지 않다.

(1) ㄱ의 참과 거짓을 밝히시오. [3점]

풀이)

[eqn: f prime ( x ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2}= ( x-t ) ( x-3t )]

따라서 참이다.

(2) ㄴ의 참과 거짓을 밝히시오. [5점]

풀이)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{3t} ^{x} {( s ^{2} -4ts+3t ^{2} ) ds}][eqn: = LEFT [ {1} over {3} s ^{3} -2ts ^{2} +3t ^{2} s RIGHT ] _{3t} ^{x}][eqn: = {1} over {3} x ^{3} -2tx ^{2} +3t ^{2} x][eqn: = {1} over {3} x ( x-3t ) ^{2}]

[eqn: f prime ( t ) =0], [eqn: f(t)= {4} over {3} t ^{3}]이므로
[eqn: f ( x ) - {4} over {3} t ^{3} = {1} over {3} x ( x ^{2} -6tx+9t ^{2} ) - {4} over {3} t ^{3}][eqn: = {1} over {3}( x-t ) ^{2} ( x-4t )]
[eqn: f ( t ) =f ( 4t ) = {4} over {3} t ^{3}]

[eqn: t>2]일 때

함수 [eqn: f ( x )]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f ( 2 ) = {2} over {3} (3t-2) ^{2}]  따라서 참이다.

(3) ㄷ의 참과 거짓을 밝히시오. [7점]

풀이)

(ⅰ) [eqn: t LEQ 2<4t] 즉, [eqn: {1} over {2} <t LEQ 2]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=t]에서 최댓값을 가지므로

[eqn: g(t)=f ( t ) = {4} over {3} t ^{3}]

(ⅱ) [eqn: 4t LEQ 2] 즉, [eqn: 0<t LEQ {1} over {2}]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f(2)= {2} over {3} (3t-2) ^{2}]

따라서 [eqn: g(t)= cases{ `2over3 (3t-2)^2&~ LEFT ( 0<t le 1over2 RIGHT ) #`~~~4over3 t^3 & ~LEFT ( 1over2 < t le 2 RIGHT )#`2over3 (3t-2)^2&~(t>2) }]  이다.

미분가능성을 조사하면

① [eqn: t= {1} over {2}]일 때,

[eqn: lim _{it t -> {1} over {2} -} {} {g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}} = lim _{it t -> {1} over {2} -} {} {{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}][eqn: = lim _{itt-> {1} over {2} -}{} {{(2t-1)(6t-5)} over {2t-1}}=-2]

[eqn: lim _{itt -> {1} over {2} +}{}{{g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}}}= lim _{itt-> {1} over {2} +}{} {{{4} over {3} t ^{3} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}}]

[eqn: = lim _{itt -> {1} over {2} +} {}{{ ( 2t-1 ) ( 4t ^{2} +2t+1 )} over {3(2t-1)}}=1]

따라서 [eqn: t= {1} over {2}]에서 미분가능하지 않다.

② [eqn: t=2]일 때,

[eqn: lim _{itt -> 2-}{} {{g(t)-g(2)} over {t-2}}= lim _{itt-> 2-} {}{{{4} over {3} t ^{3} - {32} over {3}} over {t-2}}]

[eqn: = lim _{itt`-> 2-}{} {{{4} over {3} (t ^{3} -8)} over {t-2}}= lim _{itt-> 2-}{} {{4(t ^{2} +2t+4)} over {3}} =16]

[eqn: lim _{itt -> 2+} {}{{g(t)-g(2)} over {t-2}}= lim _{itt -> 2+}{} {{{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {32} over {3}} over {t-2}}]

[eqn: = lim _{itt -> 2+}{} {{2(t-2)(3t+2)} over {t-2}} =16]

따라서 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

①, ②에 의하여 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: g ( t )]는
[eqn: t= {1} over {2}]에서만 미분가능하지 않다. 따라서 참이다.