#강	02	#쪽	028	#번	001	#문항코드	9420-0069

[문제]

포물선 [eqn: y ^{2} =4a LEFT ( x+1 RIGHT )]의 준선이 x=-4일 때, 상수 a의 값은?

① -1

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

[정답/모범답안]

4

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =4a LEFT ( x+1 RIGHT )]은 포물선 [eqn: y ^{2} =4ax]를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

포물선 [eqn: y ^{2} =4ax]는 초점의 좌표가 (a, 0)이고 준선의 방정식이

x=-a이므로 포물선 [eqn: y ^{2} =4a LEFT ( x+1 RIGHT )]의 초점의 좌표는

(a-1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-a-1이다.

따라서 -a-1=-4에서

a=3

#강	02	#쪽	028	#번	002	#문항코드	9420-0070

[문제]

포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 서로 다른 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심이 포물선의 초점 F와 일치할 때, [eqn: rm {bar{AF}} + {bar{BF}} + {bar{CF}}]의 값은?

① 4

② 6

③ 8

④ 10

⑤ 12

[정답/모범답안]

5

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =8x=4 TIMES 2 TIMES x]의 초점은 F(2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2이다.

포물선 위의 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c라 하고, 세 점 A, B, C에서 포물선의 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 A', B', C'이라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{AF}} = {bar{AA prime }} it =a+2,~ rm {bar{BF}} = {bar{BB prime }} it =b+2,~ {rm {bar{CF}} = {bar{CC prime }}} =c+2]

삼각형 ABC의 무게중심이 포물선의 초점 F와 일치하므로

[eqn: {a+b+c} over {3} =2]에서 a+b+c=6

따라서

[eqn: rm{barAF}+{barBF}+{barCF}={barAA'}+{barBB'}+{barCC'}]

=(a+2)+(b+2)+(c+2)

=a+b+c+6

=6+6=12

#강	02	#쪽	028	#번	003	#문항코드	9420-0071

[문제]

초점이 F인 포물선 [eqn: x ^{2} -6x-4y+9=0] 위의 점P(a, b)에 대하여 [eqn: {bar{rmPF}} =10]이 되도록 하는 모든 a의 값의 합은?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

[정답/모범답안]

3

[해설]

[eqn: x ^{2} -6x-4y+9=0]에서 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `=4y]

포물선 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `=4y]는 포물선 [eqn: x ^{2} `=4y]를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

포물선 [eqn: x ^{2} =4y]의 초점의 좌표는 (0, 1)이고 준선의 방정식이 y=-1이므로 포물선 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =4y]의 초점 F의 좌표는 (3, 1)이고 준선의 방정식은 y=-1이다.

[eqn: rm{barPF}=10]이므로 포물선의 정의에 의하여 점 P(a, b)에서 준선

y=-1에 이르는 거리가 10이다.

즉, b-(-1)=10에서 b=9

점 P(a, 9)가 포물선[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =4y] 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} =36]

a-3=6 또는 a-3=-6

a=9 또는 a=-3

따라서 모든 a의 값의 합은

9+(-3)=6

#강	02	#쪽	028	#번	004	#문항코드	9420-0072

[문제]

쌍곡선 [eqn: x ^{2} -3y ^{2} =3]의 한 초점과 이 쌍곡선의 점근선 사이의 거리는?

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

② 1

③ [eqn: { 2 sqrt { 3} } over { 3}]

④ [eqn: sqrt { 3}]

⑤ 2

[정답/모범답안]

2

[해설]

쌍곡선 [eqn: x ^{2} -3y ^{2} =3], 즉 [eqn: {x ^{2}} over {3} -y ^{2} =1]에서

[eqn: c= sqrt {3+1} =2]이므로 두 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이다.

또 점근선의 방정식은

[eqn: y= +- {1} over {sqrt {3}} `x], 즉 [eqn: x± sqrt {3} y=0]

따라서 점 [eqn: LEFT ( ±2,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x± sqrt {3} y=0]사이의 거리는

[eqn: {LEFT | +- 2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( +- sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}} = {2} over {2} =1]

#강	02	#쪽	028	#번	005	#문항코드	9420-0073

[문제]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {12} =1]의 두 초점 중 y좌표가 양수인 점을 F, 타원 위의 점 (1, -3) 에서의 접선을 l이라 하자. 점F와 직선 l 사이의 거리는?

① [eqn: 2 sqrt {2} -2]

② [eqn: 2 sqrt {2} -1]

③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2} +1]

⑤ [eqn: 2 sqrt {2} +2]

[정답/모범답안]

5

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {12} =1]1의 초점 F의 y좌표를 c라 하면

[eqn: c= sqrt {12-4} =2 sqrt {2}]이므로 [eqn: {rmF} LEFT ( 0,~2 sqrt {2} RIGHT )]

타원 위의 점 (1, -3)에서의 접선 l의 방정식은

[eqn: {1times`x} over {4} + {LEFT ( -3 RIGHT ) times`y} over {12} =1], 즉 x-y-4=0

따라서 점 [eqn: rm F it LEFT ( 0,~2 sqrt {2} RIGHT )]와 직선 l 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | -2 sqrt {2} -4 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = {2 sqrt {2} +4} over {sqrt {2}} =2 sqrt {2} +2]

#강	02	#쪽	028	#번	006	#문항코드	9420-0074

[문제]

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 점 P와 두 점 A(5, 4), B(2, 0)에 대하여 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값은?

① 10

② 11

③ 12

④ 13

⑤ 14

[정답/모범답안]

3

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} `=8x=4 TIMES 2 TIMES x]에서 점 B(2, 0)은 초점이고 준선의 방정식은 x=-2이다.

두 점 P, A에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm{barPB}={barPH}]이다.

선분 AH'이 포물선과 만나는 점을 P'이라 하면 삼각형 ABP의 둘레의 길이는

[eqn: rm{barAP}+{barPB}+{barBA}={barAP}+{barPH}+{barBA}]

[eqn: GEQ rm {bar{AP prime }} + {bar{P prime H prime }} + {bar{BA}}]

[eqn: =rm{barAH'}+{barBA}]

[eqn: = LEFT ( 5+2 RIGHT ) + sqrt {LEFT ( 5-2 RIGHT ) ^{2} +4 ^{2}} `=7+5=12]

따라서 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 12이다.

#강	02	#쪽	029	#번	007	#문항코드	9420-0075

[문제]

그림과 같이 두 점 F(3, 0), F'(-3, 0)을 초점으로 하는 쌍곡선과 원점을 중심으로 하고 두 초점 F, F'을 지나는 원이 제 1사분면과 제 3사분면에서 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자. 사각형 FPF'Q의 넓이가 10일 때, 쌍곡선의 주축의 길이는?

① 2

② [eqn: 2 sqrt {2}]

③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ 4

⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

[정답/모범답안]

4

[해설]

선분 FF'이 주어진 원의 지름이고 두 점 P, Q는 모두 원위에 있으므로 [eqn: RMANGLE FPF prime = ANGLE FQF prime =90 DEG], 즉 두 삼각형 FPF', FQF'은 직각삼각형이다.

[eqn: rm {bar{PF}} =m,~ {bar{PF prime }} =n` LEFT ( m<n RIGHT )]이라 하면 [eqn: rm{barFF'}=6]이므로

[eqn: m ^{2} +n ^{2} =36] …… ㉠

한편 두 점 P, Q가 원점에 대하여 대칭이므로 사각형 FPF'Q는 직사각형이다.

사각형 FPF'Q의 넓이가 10이므로

mn=10 …… ㉡

쌍곡선의 주축의 길이는[eqn: rm{barPF'}-{barPF}=n-m]이고 ㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT ( n-m RIGHT ) ^{2} `=m ^{2} `+n ^{2} `-2mn=36-2times10=16]

따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 4이다.

#강	02	#쪽	029	#번	008	#문항코드	9420-0076

[문제]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1 LEFT ( a>0,~b>0 RIGHT )]의 두 초점을 F, F'이라 하고, 제 1사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P를 지나고 x축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 Q라 하자. [eqn: rm{barPF}={barPQ}={barOF}=2]일 때, 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, O는 원점이다.)

① [eqn: 2sqrt { 3}-2]

② [eqn: 2sqrt { 3}-1]

③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: 2 sqrt {3} +1]

⑤ [eqn: 2 sqrt {3} +2]

[정답/모범답안]

1

[해설]

선분 PQ와 y축이 만나는 점을 R라 하고, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 쌍곡선의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로

[eqn: rm{barPR}={barQR}=1]

[eqn: rm{barOH}={barRP}=1]에서

[eqn: rm {bar{HF}} = {bar{OF}} - {bar{OH}} =2-1=1]

직각삼각형 PHF에서

[eqn: rm {bar{PH}} = sqrt {{barPF} ^{2} -{BARHF} ^{2}} = sqrt {2 ^{2} -1 ^{2}} = sqrt {3}]

[eqn: rm {bar{F'H}}=2 {bar{OF}} - {bar{HF}} =2 TIMES 2-1=3]이므로 직각삼각형 PF'H에서

[eqn: rm {bar{F prime P}} = sqrt {{bar{F prime H ^{}}} ^{2} + {bar{PH}} ^{2}} `= sqrt {3 ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} `=2 sqrt {3}]

따라서 쌍곡선의 주축의 길이는

[eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} =2 sqrt {3} -2]

#강	02	#쪽	029	#번	009	#문항코드	9420-0077

[문제]

직선 3x-2y+12=0이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {k} + {y ^{2}} over {27} =1 LEFT ( k>0 RIGHT )]에 접할 때, 타원의 두 초점 사이의 거리는?

① [eqn: 2 sqrt {22}]

② [eqn: 2 sqrt {23}]

③ [eqn: 4 sqrt {6}]

④ 10

⑤ [eqn: 2 sqrt {26}]

[정답/모범답안]

2

[해설]

직선 3x-2y+12=0에서 [eqn: y= {3} over {2} x+6]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k} + {y ^{2}} over {27} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: {3} over {2}]인 접선의방정식은

[eqn: y= {3} over {2} x± sqrt {{9} over {4} k+27}]

즉, 직선 [eqn: y= {3} over {2} x± sqrt {{9} over {4} k+27}]은 직선 [eqn: y= {3} over {2} x+6]과 일치하므로

[eqn: sqrt {{9} over {4} k+27} =6]

양변을 제곱하면

[eqn: {9} over {4} k+27=36]에서 k=4

즉, 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {27} =1]에서 [eqn: sqrt {27-4} = sqrt {23}]이므로 두 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~ sqrt {23} RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~- sqrt {23} RIGHT )]이다.

따라서 타원의 두 초점 사이의 거리는

[eqn: LEFT | sqrt {23} - LEFT ( - sqrt {23} RIGHT ) RIGHT | =2 sqrt {23}]

#강	02	#쪽	029	#번	010	#문항코드	9420-0078

[문제]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {k} =1]의 장축이 x축과 만나는 두 점 중에서 x좌표가 양수인 점을 A라 하고, 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원이 타원과 만나는 두 점을 P, Q, 타원의 내부에서 x축과 만나는 점을 B라하자. 사각형 APBQ가 마름모일 때, 상수 k에 대하여 3k의 값은? (단, 0<k<25)

① 22

② 23

③ 24

④ 25

⑤ 26

[정답/모범답안]

4

[해설]

타원[eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {k} =1]이 x축과 만나는 두 점 중 x좌표가 양수인 점 A의 좌표는 (5, 0)이다.

주어진 원의 중심이 A(5, 0)이고, 원의 반지름의 길이가 2이므로 점 B의 좌표는 (3, 0)이다.

세 점 P, B, Q는 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인원 위의 점이고, 사각형 APBQ가 마름모이므로

[eqn: rm {bar{AP}} = {bar{PB}} = {bar{AB}} = {bar{BQ}} = {bar{AQ}} =2]

즉, 삼각형 APB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이다.

점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 선분 AB의 중점이고, 선분 PH의 길이는 한 변의 길이가 2인 정삼각형의 높이이므로 점 P의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,~ sqrt {3} RIGHT )]이다.

점 P가 타원 위의 점이므로

[eqn: {4 ^{2}} over {25} + {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} over {k} =1]

[eqn: {16} over {25} + {3} over {k} =1]에서 [eqn: k= {25} over {3}]

따라서 [eqn: 3k=3times {25} over {3} =25]

#강	02	#쪽	029	#번	011	#문항코드	9420-0079

[문제]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {4} =1]위의 점 P(2, 2)에서의 접선 l이 y축과 만나는 점을 A, 점 P를 지나고 직선 l에 수직인 직선이 y축과 만나는 점을 B라 할 때, 삼각형 PAB의 넓이는?

① [eqn: {7} over {2}]

② 4

③ [eqn: {9} over {2}]

④ 5

⑤ [eqn: {11} over {2}]

[정답/모범답안]

4

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {4} =1] 위의 점 P(2, 2)에서의 접선 l의 방정식은

[eqn: {2x ^{}} over {2} - {2y ^{}} over {4} =1], 즉 y=2x-2

직선 l이 y축과 만나는 점 A의 좌표는 (0, -2)이다.

직선 l의 기울기가 2이므로 직선 l과 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {2}] 이고, 점 P를 지나고 직선 l에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y-2=- {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT )], 즉 [eqn: y=- {1} over {2} x+3]

이 직선이 y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, 3)이다.

따라서 삼각형 PAB의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times LEFT ( 3+2 RIGHT ) times2=5]

#강	02	#쪽	030	#번	012	#문항코드	9420-0080

[문제]

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점을 F라 하고, 제 1사분면에 있는 포물선 위의 점 P에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 사각형 OFPH의 넓이가 [eqn: 3 sqrt {2}] 일 때, 선분 PF의 길이는? (단, O는 원점이다.)

① [eqn: sqrt {5}]

② [eqn: sqrt {6}]

③ [eqn: sqrt {7}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]

⑤ 3

[정답/모범답안]

5

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에서 초점은 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이다.

[eqn: {rm bar{PF}} =a]라 하고 점 P에서 포물선의 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 A라 하면 포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm{barPF}={barPA}]이므로

[eqn: rm{barPH}={barPA}-{barAH}=a-1]

이때 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 B라 하면

[eqn: {rmbar{PB}} = sqrt {{rmbar{PF}} ^{2} - {rmbar{FB}} ^{2}} = sqrt {a ^{2} - LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =sqrt { 4a-4}=2 sqrt { a-1}]

이때 사다리꼴 OFPH의 넓이가 [eqn: 3sqrt { 2}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT { LEFT ( a-1 RIGHT ) +1 RIGHT } times2 sqrt {a-1} =3 sqrt {2}]

[eqn: a sqrt {a-1} =3 sqrt {2}]

양변을 제곱하면

[eqn: a ^{3} `-a ^{2} =18,~a ^{3} `-a ^{2} `-18=0]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +2a+6 RIGHT ) =0]

a는 실수이므로 a=3

따라서 선분 PF의 길이는 3이다.

#강	02	#쪽	030	#번	013	#문항코드	9420-0081

[문제]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]의 두 초점을 F, F'이라하자. 제 1사분면에 있는 포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 P에 대하여 선분 PF가 타원과 만나는 점을 Q라 할 때, [eqn: {bar{rmPQ}}= bar { rmQF'}]이 성립한다. 선분 PF'의 길이는? (단, 점 F의 x좌표는 양수이다.)

① [eqn: 2 sqrt {5}]

② [eqn: sqrt {22}]

③ [eqn: 2 sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {26}]

⑤ [eqn: 2 sqrt {7}]

[정답/모범답안]

5

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]에서 [eqn: sqrt {4-3} =1]이므로

두 초점은 F(1, 0), F'(-1, 0)

또 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점은 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이다.

점 P가 포물선 위의 점이므로 점 P에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm{barPF}={barPH}] …… ㉠

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm{barQF}+{barQF'}=2times2=4]이고

[eqn: rm{barPQ}={barQF'}]이므로

[eqn: rm{barPF}={barQF}+{barQP}={barQF}+{barQF'}=4] …… ㉡

점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 K라 하면 ㉠, ㉡에서 점 P

의 x좌표는 3이므로

[eqn: rm{barFK}=2]

직각삼각형 PFK에서

[eqn: rm {bar{PK}} = sqrt {{bar{PF}} ^{2} - {bar{FK}} ^{2}} = sqrt {4 ^{2} -2 ^{2}} =2 sqrt {3}]

따라서 직각삼각형 PF'K에서

[eqn: rm {bar{PF` prime }} = sqrt {{bar{F` prime K}} ^{2} + {bar{PK}} ^{2}} = sqrt {4 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {7}]

#강	02	#쪽	030	#번	014	#문항코드	9420-0082

[문제]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {k} =1 LEFT ( k>0 RIGHT )]의 두 초점 중 x좌표가 양수인 점을 F, 음수인 점을 F'이라하자. 쌍곡선 위에 있고 제 1사분면에 있는 점 P에 대하여 선분 F'P의 연장선 위에 [eqn: rm {bar{F'Q}} ``=10]이 되도록 점 Q를 잡는다. 삼각형 PFQ가 [eqn: rmANGLE FPQ=90 DEG]인 직각이등변삼각형일 때, 상수 k의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

12

[해설]

직각이등변삼각형 PFQ에서 [eqn: RM{BARPF}={BARPQ}]이므로

[eqn: RM{BARF'Q}={BARF'P}+{BARPQ}={BARF'P}+{BARPF}]

이때 [eqn: RM{BARF'Q}=10]이므로

[eqn: RM{BARPF'}+{BARPF}=10] …… ㉠

쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: RM{BARPF'}-{BARPF}=2TIMES1=2] …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: rm {bar{PF prime }} =6,~ {bar{PF}} =4]

직각삼각형 PF'F에서

[eqn: rm {bar{F prime F}} = sqrt {{bar{F'P}} ^{2} + {bar{PF}} ^{2}} = sqrt {6 ^{2} +4 ^{2}} =2 sqrt {13}]

따라서 두 초점은[eqn: rm F LEFT ( sqrt {13} ,~0 RIGHT ) ,~F prime LEFT ( - sqrt {13} ,~0 RIGHT )]이므로

1+k=13에서 k=12

#강	02	#쪽	030	#번	015	#문항코드	9420-0083

[문제]

포물선 [eqn: y ^{2} =12x]의 초점을 F라 하고, 점 F를 하나의 초점으로 갖는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {k} =1 LEFT ( k>0 RIGHT )]의 또 다른 초점을 F'이라 하자. 포물선과 쌍곡선이 제 1사분면에서 만나는 점을 P라 할 때, [eqn: rm {bar{PF prime }} ^{2} - {bar{PF}} ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

120

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =12x=4 TIMES 3 TIMES `x]의 초점은 F(3, 0)이고 준선의 방정식은 x=-3이다.

이때 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {k} =1]의 또 다른 초점은 F'(-3, 0)이므로

[eqn: sqrt {4+k} =3]에서 k=5

즉, 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]

포물선과 쌍곡선이 제 1사분면에서 만나는 점 P에서 포물선의 준선 x=-3에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm{barPF}={barPH}]이므로

[eqn: rm {bar{PF prime }} ^{2} - {bar{PF}} ^{2} = {bar{PF prime }} ^{2} `- {bar{PH}} ^{2}] ……  ㉠

점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 삼각형 PHF' 이 직각삼각형이므로

[eqn: rm {bar{PF prime }} ^{2} - rm {bar{PH}} ^{2} = rm {bar{HF prime }} ^{2} = rm {bar{PH prime }} ^{2}] ……  ㉡

포물선 [eqn: y ^{2} =12x]와 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]이 만나는 점의 x좌표는

[eqn: {x ^{2}} over {4} - {12x} over {5} =1]

[eqn: 5x ^{2} -48x-20=0]

[eqn: LEFT ( 5x+2 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) =0]

[eqn: x=- {2} over {5}] 또는 x=10

이때 점 P는 제 1사분면 위에 있으므로 점 P의 x좌표는 10이다.

x=10을 [eqn: y ^{2} =12x]에 대입하면

[eqn: y ^{2} =12 TIMES 10=120]에서 [eqn: y=±2 sqrt {30}]

즉, [eqn: rm P LEFT ( 10,~2 sqrt {30} RIGHT )]

따라서 ㉠, ㉡에서

[eqn: rm {bar{PF prime }} ^{2} - {bar{PF}} ^{2} = {bar{PH prime }} ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {30} RIGHT ) ^{2} =120]

#강	02	#쪽	030	#번	016	#문항코드	9420-0084

[문제]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]의 한 초점을 F(3, 0)이라 하고, 제1사분면 위에 있는 쌍곡선 위의 점을 P라 하자. 점 A(9, 5)에 대하여 [eqn: rm{barAP}+{barPF}]의 최솟값은?

① 9

② [eqn: 3 sqrt {10}]

③ 10

④ [eqn: 4 sqrt {7}]

⑤ 12

[정답/모범답안]

1

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]의 또 다른 초점을 F'이라 하면

F'(-3, 0)이다.

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm{barPF'}-{barPF}=2times2=4]이므로

선분 AF'이 쌍곡선과 제 1사분면에서 만나는 점을 P'이라 하면

[eqn: rm {bar{AP}} + {bar{PF}} = {bar{AP}} + LEFT ( {bar{PF prime }} -4 RIGHT )]

[eqn: =rm{barAP}+{barPF'}-4]

[eqn: GEQ rm {bar{AP prime }} + {bar{P`'F`'}} -4]

[eqn: = rm {bar{AF`'}} -4]

[eqn: = sqrt {{9- LEFT ( -3 RIGHT ) } ^{2} +5 ^{2}} -4=13-4=9]

따라서 [eqn: rm {bar{AP}} + {bar{PF}}]의 최솟값은 9이다.

#강	02	#쪽	031	#번	017	#문항코드	9420-0085

[문제]

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =16x] 위의 점 P에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 A(-2, 8)에 대하여 [eqn: rm{barAP}+{barPH}]가 최솟값을 가질 때, 삼각형 AHP의 넓이는?

① 2

② [eqn: {5} over {2}]

③ 3

④ [eqn: { 7} over { 2}]

⑤ 4

[정답/모범답안]

1

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =16x=4times4times`x]에서 초점은 F(4, 0)이고 준선의 방정식은 x=-4이다.

점 P에서 준선 x=-4에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm{barPF}={barPH’}]

또 선분 AF가 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]와 만나는 점을 P'이라 하면

[eqn: rm {bar{AP}} + {bar{PH}} = {bar{AP}} + LEFT ( {bar{PH prime }} -4 RIGHT )]

[eqn: =rm{barAP}+{barPF}-4]

[eqn: GEQrm{barAP'}+{barP'F}-4]

[eqn: = {bar{rmAF}} -4]

즉, [eqn: rm{barAP}+{barPH}]의 값은 점 P가 점 P'일 때 최솟값을 갖는다.

직선 AF의 방정식은

[eqn: y= {0-8} over {4- LEFT ( -2 RIGHT )} LEFT ( x-4 RIGHT )], 즉 [eqn: y=- {4} over {3} x+ {16} over {3}]

포물선 [eqn: y ^{2} =16x]와 직선 [eqn: y=- {4} over {3} x+ {16} over {3}]이 만나는 점의 y좌표는 [eqn: y ^{2} =-12y+64,~y ^{2} +12y-64=0]에서

[eqn: LEFT ( y+16 RIGHT ) LEFT ( y-4 RIGHT ) =0]

y=-16 또는 y=4

이때 점 P'은 제1사분면 위에 있으므로 점 P'의 y좌표는 4이다.

y=4를 [eqn: y ^{2} =16x]에 대입하면 16=16x에서 x=1

즉, P'(1, 4)

따라서 [eqn: rm{barAP}+{barPH}]가 최솟값을 가질 때, 삼각형 AHP의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times1times4=2]

#강	02	#쪽	031	#번	018	#문항코드	9420-0086

[문제]

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점 F를 지나고 중심 C가 x축에 있는 원이 포물선과 만나는 두 점을 P, Q라 하자. 두 점 P, Q에서의 포물선의 접선과 원의 접선이 일치할 때, 사각형 OQCP의 넓이는? (단, O는 원점이다.)

① [eqn: 8 sqrt {3}]

② [eqn: 10 sqrt {3}]

③ [eqn: 12 sqrt {3}]

④ [eqn: 14 sqrt {3}]

⑤ [eqn: 16 sqrt {3}]

[정답/모범답안]

2

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에서 초점은 F(1, 0)이다.

원의 중심 C의 좌표를 (c, 0)이라 하면 원이 초점 F를 지나므로 원의 반지름의 길이는 [eqn: rm{barCF}=c-1]이다.

그러므로 원의 방정식은 [eqn: LEFT ( x-c RIGHT ) ^{2} +y ^{2} `= LEFT ( c-1 RIGHT ) ^{2} `]이다.

[eqn: y ^{2} =4x`]를 [eqn: LEFT ( x-c RIGHT ) ^{2} `+y ^{2} = LEFT ( c-1 RIGHT ) ^{2} `]에 대입하면

[eqn: LEFT ( x-c RIGHT ) ^{2} `+4x= LEFT ( c-1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: x ^{2} `-2 LEFT ( c-2 RIGHT ) x+2c-1=0] …… ㉠

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 포물선이 만나는 점에서의 접선이 일치하므로

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( c-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 2c-1 RIGHT ) =0]

[eqn: c ^{2} -6c+5=0]

[eqn: LEFT ( c-1 RIGHT ) LEFT ( c-5 RIGHT ) =0]

(c-1)이면 원의 반지름의 길이가 0이므로 c=5

㉠에 c=5를 대입하면

[eqn: x ^{2} -6x+9=0,~ LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `=0]에서 x=3

즉, 접점의 x좌표가 3이므로 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,~2 sqrt {3} RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~-2 sqrt {3} RIGHT )]이다.

따라서 사각형 OQCP의 넓이는 삼각형 POC의 넓이의 2배이므로

[eqn: 2 TIMES LEFT ( rm 삼각형POC의넓이 RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 5 TIMES 2 sqrt {3} RIGHT ) =10 sqrt {3}]

#강	02	#쪽	031	#번	019	#문항코드	9420-0087

[문제]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7} =1]의 두 초점 중 x좌표가 양수인 점을 F, 음수인 점을 F'이라 하자. 제 1사분면에 있는 타원 위의 점 P에 대하여 ∠F'PF의 이등분선이 x축과 만나는 점의 x좌표가 1일 때, [eqn: rm{barPF'}-{barPF}]의 값을 구하시오.

[정답/모범답안]

[eqn: {8} over {3}]

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {7} =1]에서 [eqn: sqrt {16-7} =3]이므로

두 초점은 F(3, 0), F'(-3, 0) …… ➊

∠F'PF의 이등분선이 x축과 만나는 점을 Q라 하면

[eqn: rm {bar{FQ}} =2,~ {bar{F prime Q}} =4]에서 [eqn: rm {bar{FQ}} `: {bar{F`'Q}} =1`:`2]이므로

삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여

[eqn: rm {bar{PF}} `: {bar{PF'}} =1`:`2] …… ➋

점 P가 타원 위의 점이므로

[eqn: RM{BARPF}+{BARPF'}=2TIMES4=8]

이때 [eqn: {rmbar{PF}} =k]라 하면 [eqn: {RMBARPF'}=2k]이므로

[eqn: {RMBARPF}+{RMBARPF'}=k+2k=3k=8]

에서 [eqn: k= {8} over {3}]

따라서  [eqn: rm {bar{PF}} = {8} over {3} ,~ rm {bar{PF prime }} = {16} over {3}]이므로 …… ➌

[eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} = {16} over {3} - {8} over {3} = {8} over {3}] …… ➍

{참고}

삼각형의 각의 이등분선의 성질 삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선과 변 BC의 교점을 D라 하면

[eqn: rm {bar{AB}} : {bar{AC}} = {bar{BD}} : {bar{CD}}]

#강	02	#쪽	031	#번	020	#문항코드	9420-0088

[문제]

쌍곡선 [eqn: x ^{2} -4y ^{2} =4]와 직선 mx-y-m-2=0이 한 점에서 만날 때, 모든 실수 m의 값의 곱을 구하시오.

[정답/모범답안]

[eqn: {5} over {12}]

[해설]

mx-y-m-2=0에서 y=m(x-1)-2이므로 이 직선은 기울기가 m이고 점 (1, -2)를 지난다.

쌍곡선 [eqn: x-4y ^{2} =4], 즉 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} `=1]의 두 점근선의 방정식은

[eqn: y= {1} over {2} x,~y=- {1} over {2} x]…… ➊

직선 mx-y-m-2=0, 즉 y=mx-m-2가 쌍곡선과 한 점에서 만날 때는 다음 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) 직선이 쌍곡선의 점근선과 평행한 경우

[eqn: m= {1} over {2}] 또는 [eqn: m=- {1} over {2}] …… ➋

(ⅱ) 직선이 쌍곡선에 접하는 경우

쌍곡선에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은

[eqn: y=mx± sqrt {4m ^{2} -1}]

이 직선이 y=mx-m-2와 일치하므로

[eqn: -m-2=± sqrt {4m ^{2} -1}]

양변을 제곱하면

[eqn: m ^{2} +4m+4=4m ^{2} -1]

[eqn: 3m ^{2} -4m-5=0]

이 이차방정식의 두 실근이 두 접선의 기울기이므로 두 접선의 기울기의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: - {5} over {3}]이다. …… ➌

(ⅰ), (ⅱ) 에서 모든 실수 m의 값의 곱은

[eqn: {1} over {2} times LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) times LEFT ( - {5} over {3} RIGHT ) = {5} over {12}] …… ➍