05. 등차수열과 등비수열

수열의 뜻과 등차수열의 일반항

1

(1) 수열의 뜻

① 차례로 늘어놓은 수의 열을 수열이라고 하고, 수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라 한다.

② 수열을 나타낼 때에는 항에 번호가 붙은 문자의 열을 이용하여

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}], [eqn: CDOTS]

과 같이 나타내며 [eqn: a_1]을 첫째항, [eqn: a_2]를 둘째항, [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}]을 [eqn: n]째항, [eqn: CDOTS] 또는

제[eqn: 1]항, 제[eqn: 2]항, 제[eqn: 3]항, [eqn: CDOTS], 제[eqn: n]항, [eqn: CDOTS]이라고 한다.

③ 수열 [eqn: bold {left{a_n right}]의 제[eqn: n]항 [eqn: bolda_n]이 [eqn: n]에 대한 식으로 주어지면 [eqn: n]에 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]을 차례대로 대입하여 각 항을 구할 수 있다. 이때 이 [eqn: n]에 대한 식을 수열 [eqn: bold {left{a_n right}]의 일반항이라고 한다.

수열 [eqn: LEFT { 2n+1 RIGHT }]의 일반항은 [eqn: a _{n} =2n+1]이므로
[eqn: a _{1} =2 TIMES 1+1=3], [eqn: a _{2} =2 TIMES 2+1=5], [eqn: a _{3} =2 TIMES 3+1=7], [eqn: CDOTS]
따라서 수열 [eqn: LEFT { 2n+1 RIGHT }]은 다음과 같다.
[eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: CDOTS]

보기

(2) 등차수열의 뜻과 일반항

① 등차수열의 뜻과 공차

첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하고, 더하는 일정한 수를 공차라고 한다.

② 등차수열의 일방항

첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]은

[eqn: a _{n} =a+(n-1)d`] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 각 항은 다음과 같다.

설명

[eqn: a_1 =a]

[eqn: a_2 =a_1 +d=a+d]

[eqn: a_3 =a_2 +d=(a+d)+d=a+2d]

[eqn: a_4 =a_3 +d=(a+2d)+d=a+3d]

⋮

따라서 일반항 [eqn: a _{n}] 은

[eqn: a _{n} =a+(n-1)d`] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

등차중항

2

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: b]를 [eqn: a]와 [eqn: c]의 등차중항이라고 한다.

이때 [eqn: b]가 [eqn: a]와 [eqn: c]의 등차중항이이면

[eqn: b-a=c-b], [eqn: 2b=a+b], 즉 [eqn: b= a+c over 2]

인 관계가 성립한다.

역으로 [eqn: b= a+c over 2]이면 [eqn: b-a=c-b]이므로 [eqn: b]는 [eqn: a]와 [eqn: c]의 등차중항이다.

등차수열의 합

3

(1) 첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: d]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = {n left{2a+(n-1)d right}} over 2]

(2) 첫째항이 [eqn: a], 제[eqn: n]항이 [eqn: l]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = n(a+l) over 2]

첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의

설명

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: S_n =a+(a+d)+(a+2d)+ `CDOTS` +(l-d)+l]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

공차가 [eqn: d]인 등차수열

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 제[eqn: n]항이 [eqn: l]이면

[eqn: a _{n} =l]

[eqn: a _{n-1} =l-d]

[eqn: a _{n-2} =l-2d]

⋮

㉠에서 우변의 항을 역순으로 놓으면

[eqn: S_n =l+(l-d)+(l-2d)+` CDOTS` +(a+d)+a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠+㉡을 하면

[eqn: 2S_n][eqn: =UNDERBRACE {n개 } { (a+l)+(a+l)+(a+l)+ `cdots` +(a+l)}][eqn: =n(a+l)]

에서 [eqn: S_n = n(a+l) over 2] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

또한, [eqn: l=a+(n-1)d]이므로 이것을 ㉢에 대입하여 정리하면

[eqn: S_n = {n left{2a+(n-1)d right}} over 2]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: pn ^{2} +qn`(p != 0)]의 꼴이면

참고

이 수열은 등차수열이다.

수열[eqn: LEFT { {2} over {n+4} RIGHT }]의 제[eqn: 5]항을 구하시오.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n} =]([eqn: n]을 3으로 나눈 나머지)일 때, 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: 7]항까지 나열하시오.

제[eqn: 3]항이 [eqn: 11], 제[eqn: 8]항이 [eqn: 21]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하시오.

네 수 [eqn: x,~`12,`~y,`~8]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 실수 [eqn: x,`~y]의 값을 구하시오.

[eqn: a _{2} =1,~a _{5} =10]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합을 구하시오.

등차수열의 합 [eqn: 1+3+5+7+9+ CDOTS +99]의 값을 구하시오.

1. 답 : [eqn: {2} over {9}]

일반항 [eqn: a _{n} = {2} over {n+4}]에 [eqn: n=5]를 대입하면

[eqn: a _{5} = {2} over {9}]

따라서 제[eqn: 5]항은 [eqn: {2} over {9}]이다.

2. 답 : [eqn: 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1]

[eqn: a _{1} =1,a _{2} =2,a _{3} =0,a _{4} =1,a _{5} =2,a _{6} =0,a _{7} =1]

따라서 [eqn: 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1]

3. 답 : [eqn: a _{n} =2n+5]

첫째항을 [eqn: a,]공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=11]

[eqn: a _{8} =a+7d=21]위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=7, d=2]

따라서 첫째항이 [eqn: 7], 공차가 [eqn: 2]이므로 주어진 등차수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의

일반항은

[eqn: a _{n} =7+(n-1) TIMES 2=2n+5]

4. 답 : [eqn: x=14, y=10]

세 수 [eqn: 12, y, 8]에서 [eqn: y]가 등차중항이므로

[eqn: y= {12+8} over {2} =10]

세 수 [eqn: x, 12, 10]에서 [eqn: 12]가 등차중항이므로

[eqn: 12= {x+10} over {2}]

[eqn: x+10=24]

[eqn: x=14]

따라서 [eqn: x=14, y=10]

5. 답 : [eqn: 68]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=1]이고, [eqn: a _{5} =a+4d=10]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=-2, d=3]

따라서 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합은

[eqn: {8 TIMES LEFT { 2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +7 TIMES 3 RIGHT }} over {2} =68]

6. 답 : [eqn: 2500]

등차수열의 첫째항은 [eqn: 1], 공차는 [eqn: 2]이므로

[eqn: 99]를 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 99=1+(n-1) TIMES 2]

[eqn: 2n-1=99]

[eqn: n=50]

따라서 구하는 합은

[eqn: {50(1+99)} over {2} =2500]