1. 두 점 [eqn: A(-7,``3),``B(-3``,5)]와 원 [eqn: (x+2)^2 +y^2 =4] 위를 움직이는 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: {barAP}^2 + {barBP}^2 `]의 최댓값을 [eqn: M`],최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하여라. [25점]

sol) 선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: M]이라 하면 [eqn: M(-5,4)]이므로 [eqn: barAM =sqrt{2^2 +1^2}=sqrt5]이고 원 [eqn: (x+2)^2 +y^2 =4] 위를 움직이는 점 [eqn: P]에 대하여 삼각형의 중선 정리가 성립하므로 [eqn: {barAP}^2 +{barBP}^2 =2({barPM}^2 +{barAM}^2 )=2({barPM}^2 +5)]가 성립한다. wr, [eqn: {barAP}^2 +{barBP}^2]의 값이 최대이려면 [eqn: {barPM}^2]의 값이 최대이어야 하고, 최소이려면 [eqn: {barPM}^2]의 값이 최소이어야 한다. 한편 원 [eqn: (x+2)^2 +y^2 =4]의 중심을 [eqn: C(-2,`0)]이라 하면 [eqn: barCM =sqrt{(-3)^2+ 4^2}=5]이고, [eqn: barPM]의 최댓값과 최솟값은 각각 [eqn: barCM +2,`barCM -2]이므로 [eqn: 7,`3`]이다. [eqn: THEREFORE M=2(7^2 +5) =108,`m=2(3^2 +5)=28]

2. 중심이 원 [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =8] 위에 있고, [eqn: x]축 및 [eqn: y]축에 동시에 접하는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S pi] 라 할 때, [eqn: S]의 값을 구하시오. [25점]

sol) [eqn: x]축 및 [eqn: y]축에 접하는 원의 중심은 직선 [eqn: y=x] 또는 직선 [eqn: y=-x] 위에 있다. 첫 번째로 원 [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =8] 과 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a,b]라 하면 [eqn: a+b=3,`ab= - 3over2`]이므로 두 원의 넓이의 합은 [eqn: pi a ^{2} + pi b ^{2} = pi (a ^{2} +b ^{2)} = pi LEFT { (a+b) ^{2} -2ab RIGHT } =pi LEFT{3^2 -2TIMES(- 3over2 )RIGHT}=12 pi`]

두 번째로 원[eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =8] 과 [eqn: y=-x] 의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c,d]라 하면 [eqn: c+d=-1,`cd=- 3over2] 이므로 두 원의 넓이의 합은 [eqn: pi c ^{2} + pi d ^{2} = pi (c ^{2} +d ^{2} )= pi LEFT { (c+d) ^{2} -2cd RIGHT } = pi LEFT { (-1) ^{2} -2 TIMES (- {3} over {2} ) RIGHT }]

[eqn: =4 pi] 이다. 따라서 구하는 네 원의 넓이의 합은 [eqn: 16pi]이다. [eqn: THEREFORES=16]

3. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{3}]으로 나눈 나머지는 [eqn: x ^{2} +x+1]이고, [eqn: (x-3) ^{2}]으로 나눈 나머지는 [eqn: 2x-1]이다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{2} (x-3)]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(2)]의 값은?

(sol)

[eqn: f(x)=(x-1) ^{3} Q(x)+x ^{2} +x+1=(x-1) ^{2} LEFT { (x-1)Q(x)+1 RIGHT } +3x]

또, [eqn: f(x)=(x-3) ^{2} Q`'(x)+2x-1` CDOTS CDOTS]㉠

이때 [eqn: f(x)=(x-1) ^{2} (x-3)Q` '' (x)+a(x-1) ^{2} +3x` CDOTS CDOTS]㉡

㉠에서 [eqn: f(3)=5]이므로 ㉡의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: f(3)=4a+9=5``````````````````` THEREFORE a=-1]

따라서 [eqn: R(x)=-(x-1) ^{2} +3x]이므로 [eqn: R(2)=5]

4. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: omega]가 삼차방정식

[eqn: 2x ^{3} +(2a-b)x ^{2} +(2b-a)x+1=0]의 한 허근이 되도록 하는 두 실수 [eqn: a,`b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

(sol)

[eqn: omega]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0]의 근이다. 즉, [eqn: omega ^{2} + omega +1=0,` omega ^{3} =1]

[eqn: 2 omega ^{3} +(2a-b) omega ^{2} +(2b-a) omega +1=0`에서# -3(a-b) omega -2a+b+3=0# THEREFORE `-3(a-b)=0,``-2a+b+3=0]

위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=3,``b=3]

[eqn: THEREFORE `a+b=6]