수학A반 교재(명제 ~ 함수)

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Theme #1. 명제 용어정리

Remark) 명제는 수학 세계에서 사용되는 논리이자 언어이다. 수학의 전반에 걸쳐 가장 기본이 되는 내용인 동시에 논리적 사고하여 수학적으로 문제 상황에 접근하는 방식에 관한 내용이므로 매우 중요한 가치를 갖는다. 따라서, 명제 part에서 문제가 발생할 경우 향후 수학 학습에 매우 치명적일 수밖에 없기 때문에 명확한 이해가 필요하다!!!!!!

Note) 명제 학습의 필요성 : 명제는 수학적 문장을 구성하는 원리

Note) 명제를 구성하는 요소 : “~이면, 이고, 또는, ~이 아니다, 모든, 어떤” 의 총 6가지.

Def 1.1) 용어 정리

Theme Math                                                                                                                  Math Shin

① 명제 : 참, 거짓을 명확히 판별할 수 있는 식이나 문장.

Goal :

② 조건 : 변수를 포함하는 문장으로, 그 변수에 적당한 값을 대입하면 명제가 되는 것.

[eqn: RARROW] 변수에 투입되는 수에 따라 참, 거짓이 변함.

Goal :

③ 진리집합 : 조건이 참이 되게 하는 원소들의 집합. (집합과 명제를 관련시켜주는 매개)

Note) 두 개의 조건 (가정과 결론)으로 구성 되어있는 명제가 주된 관심사임. (정리의 기본 form)

“[eqn: p]이면 [eqn: q]이다” [eqn: ==] [eqn: p`` -> ``q]

※ 주의 : 수학에서 말하는 “~이면”은 if의 개념이 아니라 suppose의 개념임.

즉, 가정은 항상 참이라 생각하고 가정을 만족시키는 모든 경우에 결론이 만족될 때, 그 명제는 참이 된다.

Note) 어떤 수학적 문장의 진리집합을 구하는 것과 참, 거짓을 구별하는 것은 앞으로 무수히 많이 경험하게 된다.

일반적으로 참, 거짓을 구별하는 문제가 난이도가 높고 따라서 적절한 전략이 필요하다.

ex) 4의 배수는 2의 배수이다.

ex) [eqn: x,``y]가 무리수 이면 [eqn: x+y]도 무리수이다.

Theme #2. 명제의 구성요소

Def 2.1) [eqn: p]의 부정 : 명제 [eqn: p]에 대하여 “[eqn: p]가 아니다”를  [eqn: p]의 부정이라 한다. [eqn: ==] ~[eqn: p]

[eqn: RARROW] 부정은 집합으로 생각했을 때, 여집합의 개념을 담고 있다.

Thm 2.1) and / or 의 부정

① “또는(or)” 의 부정 [eqn: RARROW] “그리고(and)”

② “그리고(and)” 의 부정 [eqn: RARROW] “또는(or)”

③ “모든(all)”의 부정 [eqn: RARROW] “어떤(some)”

④ “어떤(some)”의 부정 [eqn: RARROW] “모든(all)”

Thm 2.2) “모든 // 어떤”을 바라보는 시각

ex) [eqn: 0<x<1]을 만족하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: a-1<x<a+1]일 때, [eqn: a]의 범위는?

ex) [eqn: 0<x<1]을 만족하는 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: a-1<x<a+1]일 때, [eqn: a]의 범위는?

결론 :

	모든(all)	어떤(some)
참	모든 경우가 참	한 가지 경우만 참이면 ok!!
거짓	한 가지 경우만 거짓이면 ok!!	모든 경우가 거짓

ex) 실수 전체의 집합에 대하여 명제 ‘어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x^2 -18x +k <0`]'의 부정이 참이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 최솟값을 구하시오.

ex)  명제 ‘[eqn: k-1 LEQ x LEQ k+3`]인 어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 0 LEQ `x` LEQ 2`]이다.’가 참이 되게 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는?

ex) 실수 전체의 집합에서 명제 ‘모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -8x+k GEQ 0]이다’ 의 부정이 참이 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값을 구하시오.

Theme #3. 참, 거짓 판별

Note) 명제를 대상으로 한 참, 거짓을 판별하는 문제의 유형을 “정오판별 문제”라 부른다. 정오판별 문제는 대학수학능력시험 30문항 중 2~3문항 정도 출제가능(대체적으로 1~2문항)하고, 체감 난이도가 높기 때문에 많은 연습을 통하여 최선의 방법을 체화하는 것이 중요하다.

① 진리집합을 이용한 판별

[eqn: P SUBSET Q```` LRARROW ``p``` -> ```q]는 참 : [eqn: p``` RARROW ```q]

[eqn: `` LRARROW ``p``` -> ```q]는 거짓

이 때, [eqn: P]는 조건 [eqn: p]의 진리집합 // [eqn: Q]는 조건 [eqn: q]의 진리집합

② 이미 학습한 수학적 사실을 이용한 판별

ex) [eqn: ac=bc``` -> ```a=b]

Tip)

ex) 세 실수 [eqn: a,``b,``c```]에 대하여 [보기]의 명제 중 참인 것을 모두 고르면?

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: verta vert>1```]이면 [eqn: 0 < 1 over {verta vert }<1 ```]이다.

ㄴ. [eqn: 0<a<b```]이면 [eqn: 0 < 1 over a < 1 over b```]이다.

ㄷ. [eqn: b<a<0```]이고 [eqn: c!=0```]이면 [eqn: a over c < b over c ``]이다.

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helpmemath

* 작성자 *

ex) <보기>의 명제 중에서 참인 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: a<b<0`]이면 [eqn: a^2 > b^2 `]이다.

ㄴ. [eqn: a >= 0`] 또는 [eqn: b >= 0`]이면 [eqn: sqrt {a} sqrt {b}`= sqrt {ab} `]이다.

ㄷ. [eqn: LEFT | `a ` RIGHT | `+ LEFT | `b ` RIGHT | `>= LEFT | `a+b ` RIGHT | `]이면  [eqn: a >= 0`]이고 [eqn: b >= 0`]이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

ex)  전체집합 [eqn: U`]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]가 각각 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합이고, 세 명제 [eqn: p`` -> `q], [eqn: SIM p`` -> `q], [eqn: sim r`` -> `p]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		보 기
ㄱ. [eqn: P ^{`C} ` SUBSET Q] ㄴ. [eqn: R-P ^{`C} ``= EMPTYSET] ㄷ. [eqn: `R ^{C} ` CUP P ^{`C} SUBSET Q]

ex) 전체집합 [eqn: U`]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]가 각각 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]의 진리집합이라 하자. [eqn: P` SMALLINTER Q=P], [eqn: R ^{C} ` CUP Q=U`]일 때, 참인 명제만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		보 기
ㄱ. [eqn: p`` -> ``q] ㄴ. [eqn: r`` -> `q] ㄷ. [eqn: p`` -> ` SIM r]

ex) 전체집합 [eqn: U``]에 대하여 세 조건 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`], [eqn: R`]라 하자. 세 명제 [eqn: p` -> ` SIM q`], [eqn: SIM q` -> ``r`], [eqn: q` -> ` SIM r`]가 모두 참일 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: P` SMALLINTER Q```= EMPTYSET `] ㄴ. [eqn: P`capR=R] ㄷ. [eqn: Q`` CUP R```=U]

ex) 전체집합 [eqn: U``]에 대하여 세 조건 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`], [eqn: R`]라 하자. 명제 [eqn: p`->`q`,] [eqn: SIMp`->`q], [eqn: simp`->`r`]가 참일 때,   <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: Q``-R^c`=`R]	ㄴ. [eqn: P`-R`=`emptyset`]	ㄷ. [eqn: Q``-`P`subset`R]

ex) 조건 [eqn: p,~q,~r,~s]에 대하여 다음 세 명제가 참이라고 한다.
㈎ [eqn: p]이면 [eqn: q]이다.	㈏ [eqn: r]가 아니면 [eqn: q]가 아니다.
㈐ [eqn: s]가 아니면 [eqn: q]가 아니거나 또는 [eqn: r]가 아니다.
이때 다음 중 반드시 참이라고는 말할 수 없는 것은?
① [eqn: p]이면 [eqn: s]이다.
② [eqn: q]이면 [eqn: s]이다.
③ [eqn: p] 또는 [eqn: q] 또는 [eqn: r]이면 [eqn: s]이다.
④ [eqn: p]이고 [eqn: q]이고 [eqn: r]이면 [eqn: s]이다.
⑤ [eqn: p] 또는 [eqn: q]이면 [eqn: r]이다.

ex) 다음은 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D] 네 사람의 컴퓨터 활용능력시험 결과이다.

위 사실로부터 얻을 수 있는 추론 중 항상 옳은 것은?

	(가) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 급에 각각 [eqn: 1] 명, [eqn: 2] 명, [eqn: 1] 명이 합격했다. (나) [eqn: A] 와 [eqn: B] 는 다른 급수에 합격했다. (다) [eqn: A] 와 [eqn: C] 는 다른 급수에 합격했다. (라) [eqn: D] 는 세 사람과 다른 급수에 합격했다

① [eqn: A] 는 [eqn: 1] 급에 합격했다.	② [eqn: B] 는 [eqn: 2] 급에 합격했다.

③ [eqn: A] 는 [eqn: 3] 급에 합격했다.	④ [eqn: C] 는 [eqn: 1] 급에 합격했다.

⑤ [eqn: D] 는 [eqn: 3] 급에 합격했다.

ex) 혈액형이 각각 [eqn: \A]형, [eqn: \B]형, [eqn: \O]형인 세 사람이 다음과 같이 말하였다.

갑: 나는 [eqn: \B]형이다.

을: 나는 [eqn: \O]형이 아니다.

병: 나는 [eqn: \B]형이 아니다.

세 사람 중에서 한 사람의 말만 참일 때, A형, B형, O형인 사람을 순서대로 나열하면?

Theme #4. 명제의 역, 이, 대우

Def 4.1) 명제의 역, 이, 대우

Thm 4.1)

명제 [eqn: p``` -> ```q] 와 대우명제 [eqn: SIM q```` -> `` SIM `p] 는 참, 거짓을 같이한다. (동치관계)

Pf)

※ 주의 : 본 명제와 그 역명제는 참, 거짓을 같이하지 않는다.

ex) 2의 배수이면 4의 배수이다.

4의 배수이면 2의 배수이다.

cf) 대우명제를 학습하는 이유

① 증명방법

- 직접증명 : 가정에서 출발하여 논리에 의해 결론에 도달하는 방법.

- 간접증명 : 직접증명이 힘들다고 판단 될 때, 대우관계를 이용하거나 결론을 부정하는 등의 방법으로

증명하는 방법. (대우법, 귀류법 등)

② 대우법의 활용

ex)  [eqn: n ^{2}]이 2의 배수이면 [eqn: n]은 2의 배수이다.

③ 귀류법의 논리구조

ex) [eqn: sqrt {2}]는 무리수이다.

ex) 다음은 1보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대한 명제 “[eqn: sqrt {n}]보다 작거나 같은 모든 소수가 [eqn: n]을 나누지 않으면, [eqn: n]은 소수이다.”

를 증명한 것이다.

결론을 부정하여 [eqn: n]이 소수가 아니라고 가정하면, [eqn: n=lm]인 1보다 큰 자연수 [eqn: l,```m]이 존재한다.

[eqn: l]을 나누는 한 소수를 [eqn: p], [eqn: m]을 나누는 한 소수를 [eqn: q]라 하면, [eqn: pq]는 [eqn: lm]을 나눈다.

그러므로, [eqn: pq LEQ n]이다. 만약, [eqn: p> sqrt {n}]이고 [eqn: q> sqrt {n}]이면, [eqn: pq> sqrt {n} sqrt {n} =n]이므로 모순이다.

따라서,

이다.

즉, [eqn: n]의 약수 중에서 [eqn: sqrt {n}]보다 작거나 같은 소수가 존재한다. 그런데 이것은 가정에 모순이므로, [eqn: n]은 소수이다.

ex) [eqn: 3m^2 -n^2 =1]을 만족하는 정수 [eqn: m,``n`]은 존재하지 않음을 보여라.

Theme #5. 필요조건과 충분조건

Def 5.1) [eqn: p``` RARROW ```q] : [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건

[eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건

[eqn: p``` LRARROW ```q] : [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 혹은 [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요충분조건 = 동치 = 같은 말

Note) 필요조건과 충분조건의 용어가 다소 혼돈의 여지가 있으므로 굳이 이해를 할 필요는 없음.

Tip) 필요조건 / 충분조건 판정

step #1. 필요/충분조건을 판정하기 위해서는 우선 양방향 명제의 참/거짓이 확인 되어야 한다.

step #2. 주어가 무엇인지 판단한다.

step #3. 주어가 화살표를 주면 충분조건 // 주어가 화살표를 받으면 필요조건

ex) [eqn: a=3]은 [eqn: a ^{2} =9]이기 위한        조건이다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} >0]은 [eqn: ab != 0]이기 위한        조건이다.

[eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | =0]은 [eqn: a=b=0]이기 위한       조건이다.

ex) 실수의 집합에서 두 조건

[eqn: p:x≧1]

[eqn: q:x^2 -(2+a)x+2a =0]

에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 실수 [eqn: a]의 최솟값은?

ex) 조건 [eqn: p] 가 조건 [eqn: q] 이기 위한 필요충분조건인 것만을 <보기> 에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x,```y,```z] 는 [eqn: 0] 이 아닌 실수)

[보  기]

ㄱ. [eqn: p] : [eqn: x+y=xy]               [eqn: q]  : [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} =1]

ㄴ. [eqn: p] : [eqn: 0<x<y]                [eqn: q] : [eqn: 0< {1} over {y} < {1} over {x}]

ㄷ. [eqn: p] : [eqn: (x-y)(y-z)(z-x)=0]     [eqn: q] : [eqn: x=y=z]

ex) 두 조건 [eqn: a`,````b]에 대하여 [eqn: LEFT < `a`,````b` RIGHT >]를

[eqn: <a,``b>`` {cases{``1&(a``가```b``이기``위한```충분조건이지만``#&필요조건이```아닐```때``)``#&#``0``&(a가````b`이기위한``필요충분조건일```때``)``#&#``-1&(a```가```b이기```위한``필요조건이지만``#&충분조건이``아닐``때``)}}]

으로 정의한다. 세 집합 [eqn: A`,```B`,```X`]에 대하여 조건  [eqn: p`,````q`,````r] 이 다음과 같을 때,

[eqn: p:`][eqn: X```` SUBSET `(A` SMALLINTER `B)]

[eqn: q:] [eqn: X```` SUBSET `(A` CUP `B)]

[eqn: r:] [eqn: X```` SUBSET `A] 또는 [eqn: X```` SUBSET `B]

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helpmemath

* 작성자 *

[eqn: LEFT < `p`,````q` RIGHT > ``-``2` LEFT < `q`,````r` RIGHT > ``-``3` LEFT < `r`,````p` RIGHT >]의 값은?

ex) 세 실수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대하여 조건 [eqn: p`]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p] : [eqn: x=0`]이고 [eqn: y=0`] [eqn: q] : [eqn: |`x+y`|=|`x-y`|] ㄴ. [eqn: p] : [eqn: x>y>z] [eqn: q] : [eqn: (x-y)(y-z)(z-x)<0] ㄷ. [eqn: p] : [eqn: xy<0] [eqn: q] : [eqn: |`x`|+|`y`|>|`x+y`|]

ex)  두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건인 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: x], [eqn: y`]는 실수이다.)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: p:|`x`| + |`y`| = 0]	[eqn: q:x^2 + y^2 = 0]

ㄴ. [eqn: p:xy!=0]	[eqn: q: |`x`| + |`y`| >0]

ㄷ. [eqn: p:x<y]	[eqn: q:|`x-y`|>x-y]

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helpmemath

* 작성자 *

ex) 전체집합 [eqn: U]가 유한집합일 때, [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A`,` B] 에 대하여 보기에서 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건인 것을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: A`,` B] 는 공집합이 아니고 [eqn: n ` (X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: p ``:`` n(A)` ≤` n (B)]     [eqn: q``:`` A SUBSET B]

ㄴ. [eqn: p ``:`` n (A-B)=0]      [eqn: q``:``n(A)= n (B)]

ㄷ. [eqn: p``:`` A `=` B^c]           [eqn: q ``:`` A CUP B = U]

ex) 전체집합 [eqn: rmU`]에서의 두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합 [eqn: \P,~Q]가
[eqn: LEFT (\ P SMALLINTER Q RIGHT )cup LEFT (P-Q RIGHT )=P cup Q].   [eqn: rmP cap (P cap Q^C )^C = P]
를 동시에 만족할 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인가?

ex)　다음의 조건 [eqn: p`]는 조건 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인가? 단, [eqn: a,``b`]는 상수이다.
[eqn: p:```|`x-a`|<1]이고 [eqn: |`y-b`|<1],    [eqn: q:```|`x-y-a+b`| <2]

ex) 세 조건 [eqn: p,~q,~r``] 의 진리집합이 각각
[eqn: P= LEFT { LEFT ( x,~y RIGHT ) `□`y LEQ mx+2 RIGHT }],

[eqn: Q= LEFT { LEFT ( x,~y RIGHT ) `□`x ^{2} +y ^{2} LEQ 1 RIGHT }],

[eqn: R= LEFT { LEFT ( x,~y RIGHT ) `□`y LEQ -x ^{2} +2x RIGHT }]

일 때, [eqn: p``]가 [eqn: q``]또는 [eqn: r``]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 상수 [eqn: m``]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 두 조건 [eqn: p,```q]가 [eqn: p] : [eqn: (x-a)(x-b) LEQ 0], [eqn: q```:``(x-1)(x-3) LEQ 0]이고, 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되기 위한 두 실수 [eqn: a,```b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 영역을 좌표평면 위에 나타내었을 때, 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 영역의 넓이를 구하시오.

Theme #6. 절대부등식

Remark) 절대부등식과 관련된 문제는 출제빈도가 매우(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)높기 때문에 다양한 문제를 접해보면서 적응력을 키워나가야 한다. 실제로 이미 몇 가지의 절대부등식은 학습이 되어 있고 이와 더불어 대표적인 절대부등식을 알아보도록 하자.

Def 6.1) 절대부등식

절대부등식 : 부등식에 포함되어 있는 미지수에 어떠한 실수의 값을 대입해도 항상 참인 부등식

cf) 항등식 : 미지수에 어떠한 값을 대입해도 항상 참인 등식

ex) [eqn: ax>b]가 절대부등식이 되기 위한 [eqn: a,```b]의 조건을 구하시오.

Thm 6.1) 이미 학습한 절대부등식

(1) [eqn: a ^{2} ±ab+b ^{2} GEQ 0] (단, 등호는 [eqn: a=0,````b=0]일 때 성립) [eqn: RARROW] 완전제곱식의 성질 이용!!

(2) [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca GEQ 0] (단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립)

Pf)

ex) 임의의 실수 [eqn: a,~b,~c``]에 대하여 [eqn: a+b+c = 6] 일 때, 부등식
[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} GEQ ab+bc+ca]를 이용하여 [eqn: ab + bc + ca]의 최댓값을 구하여라.

ex) 오른쪽 그림과 같이 높이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 내부의 한 점 [eqn: P]에서 [eqn: bar AB], [eqn: bar BC], [eqn: bar CA]에 내린 수선의 발의 길이를 각각 [eqn: a,``b,``c]라고 할 때, [eqn: ab+bc+ca]의 최댓값은?

Thm 6.2) 이차인 절대부등식

(1) 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0] [eqn: ``` LRARROW]  [eqn: a>0,```D<0]

(2) 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c GEQ 0] [eqn: ``` LRARROW]  [eqn: a>0,```D LEQ 0]

Pf) by function!!

cf) 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c<0]이 되기 위한 필요충분조건은?

Theme Math                                                                                                                      Math shin

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx ^{2} -kx+3}]의 값이 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (m-3)x ^{2} -2(m-3)x+4>0]을 만족할 [eqn: m]의 범위를 구하여라.

ex) 실수 [eqn: x,```y]의 값에 관계없이 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2xy+10x+my+n GEQ 0]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: m,```n]에 대하여 [eqn: m+3n]의 최솟값을 구하여라.

ex) [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 부등식 [eqn: x+a LEQ x ^{2} LEQ 2x+b]가 항상 성립할 때, [eqn: b-a]의 최솟값을 소숫점 아래 둘째자리까지 구하시오.

ex) [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]일 때, [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: x ^{2} -6x GEQ a ^{2} -6a]가 항상 성립하기 위한 [eqn: a]값의 범위는?

Thm 6.3) 산술 ․ 기하평균

[eqn: a>0,```b>0]일 때, [eqn: {a+b} over {2} GEQ sqrt {ab} GEQ {2ab} over {a+b}] (단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립)

✔ 이 정리는 최대 최소와 관련된 문제의 형태로 매우 자주 출제된다.

✔ 정리의 조건에 주목할 것!! (부등식을 적용할 대상이 양수임이 확보되지 않으면 문제 출제 불가능!! [eqn: RARROW] 최대최소를 묻는 문항에 양수조건이나 질량, 부피, 길이 등 양수의 개념이 포함되어 있다면 100% 산술기하!!!!!)

✔ 실제로 기출 된 문항을 분석해보면 조화평균은 크게 의미 없다 해도 무방하다.

Pf)

M1) 도형

M2) 대수

Note) 산술 ․ 기하 평균의 확장

[eqn: {a _{1} +a _{2} ^{{} _{}} + BULLET BULLET BULLET +a _{n}} over {n} GEQ root {n} of {a _{1} a _{2} BULLET BULLET BULLET a _{n}}] (단, 등호는 [eqn: a _{1} =a _{2} = BULLET BULLET BULLET =a _{n}]일 때 성립)

ex) 두 양수 [eqn: a,```b]가 [eqn: a ^{2} b=1]일 때, [eqn: 2a+b]의 최솟값은?

ex) [eqn: a>0,```b>0]일 때, [eqn: (a+ {1} over {b} )( {9} over {a} +b)]의 최솟값을 구하여라.

잘못된 풀이)

ex) [eqn: x != 2]인 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -4x+ {1} over {(x-2) ^{2}}]의 최솟값을 구하여라.

ex) 실수 [eqn: a]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 - 2ax +a-1 =0]이 양수인 두 근을 가질 때, [eqn: 5a-3+ {5} over {a-1}]의 최솟값은?

ex) 양수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: { b+c} over { a}+ { c+a} over { b}+ { a+b} over { c}]의 최솟값을 구하시오.

ex) 양수 [eqn: a,b,c]에 대하여 [eqn: ( a+3b + 4c) left( 1 over {a+3b} + 1 over c right)]의 최솟값을 구하시오.

ex)  좌표평면에서 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm P it (`a,``b)`]에 대하여 [eqn: a+2b=10`]이 성립한다. [eqn: x`]축 위의 두 점 [eqn: rm A it (`2,``0)`], [eqn: rm B it (`6,``0)`]과 [eqn: y`]축 위의  두 점 [eqn: rm C it (`0,``1)`], [eqn: rm D it (0,``3)`]에 대하여 두 삼각형 [eqn: rm ABP], [eqn: rm CDP`]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}] 라 할 때, [eqn: S _{1}] 과 [eqn: S _{2}] 의 곱 [eqn: S _{1}`S_2] 의 최댓값을 구하시오.

ex) 오른쪽 그림과 같이 일직선 위에 있는 네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D``]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} : {bar{BC}} `=` {bar{BC}} : {bar{CD}}][eqn: =1:a]이다.
삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmQCD]의 넓이가 각각 [eqn: 4,~16``]이고, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmQCD]의 넓이가 각각 [eqn: rmS _{1} ,] [eqn: rmS _{2}]일 때, [eqn: rmS _{1} +S _{2}]의 최솟값을 구하시오.

ex) 길이가 [eqn: 10``]인 선분 [eqn: rmAB``]위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]에 대하여 중심이 [eqn: rmA``]이고 반지름이 선분 [eqn: rmAP``]인 원을 [eqn: C _{1} ``], 중심이 [eqn: rmB``]이고 반지름이 선분 [eqn: rmBP``]인 원을 [eqn: C _{2} ``]라 하자. 두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2} ``]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,~S _{2} ``]라 할 때, [eqn: 4S _{1} +S _{2} ``]의 최솟값은?

ex) 좌표평면에 점 [eqn: {rmP}(0,``3)`]과 곡선 [eqn: y= 8 over x +3`]이 있다. 점 [eqn: {rmQ} `]가 이 곡선 위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmPQ`]의 길이의 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: m^2`]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x]가 0이 아닌 실수 일 때, 다음 중 [eqn: x+ {4} over {x}]의 범위를 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: ax ^{2} -bx+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 하고, 이차방정식 [eqn: bx ^{2} -ax+1=0]의 두 근을 [eqn: gamma ,``` delta]라 한다. [eqn: alpha beta >0,``` gamma delta >0]일 때, [eqn: alpha + beta + gamma + delta]의 최솟값을 구하시오.

ex) [eqn: A=90 ^{DEG }] 인 직각삼각형 [eqn: ABC]의 꼭지점 [eqn: A]에서 밑변 [eqn: BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: D]라 하자.

[eqn: bar{AB} =x,``` bar{AD} =y,``` bar{AC} =z]라 할 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르면?

a. [eqn: {1} over {x ^{2}} + {1} over {z ^{2}} = {1} over {y ^{2}}]

b. [eqn: xz=1]이면 [eqn: 0<y LEQ {sqrt {2}} over {2}]

c. [eqn: xz=1]이면 [eqn: bar{BC} GEQ sqrt {2}]

ex) 오른쪽 그림과 같이 [eqn: bar AB =3], [eqn: bar BC =4]인 직각삼각형 [eqn: ABC]에 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: p,``q]인 직사각형이 내접하고 있다. 이때, [eqn: { 4} over { p}+ { 3} over { q}]의 최솟값은?

ex) 밑넓이가 [eqn: 54], 높이가 [eqn: 4]인 여러 모양의 직육면체 포장상자를 그림과 같이 네 개의 끈으로 묶으려고 한다. 그 중 사용된 네 개의 끈의 길이의 합이 가장 작은 상자를 선택할 떄, 상자의 모든 모서리의 길이의 합은? (단, 매듭의 길이는 무시한다.)

ex)  양수 [eqn: a,``b]에 대하여 식 [eqn: a^2 +b+ { 16} over { 2a+b}]의 최솟값과 그 때의 [eqn: a,``b]의 값을 각각 구하시오.

ex) 오른쪽 그림에서 기울기가 음수이고 점 [eqn: (1,``2)]를 지나는 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: A], [eqn: y]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: B]라고 하자. 이때 [eqn: triangle OAB]의 넓이의 최솟값은?

ex) [eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)=x+ { 1} over { x}+ { 4x} over { x^2 +1}]는 [eqn: x=alpha]에서 최소값 [eqn: m]을 갖는다. 이때, [eqn: alpha+m]의 값을 구하시오.

Thm 6.4) 코시 - 슈바르츠 부등식

[eqn: a,```b,```x,```y]가 실수일 때, [eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} ) GEQ (ax+by) ^{2}]  (단, 등호는 [eqn: {x} over {a} = {y} over {b}]일 때 성립)

Theme Math                                                                                                                      Math Shin

Pf)

Thm 6.5) 삼각부등식

(1) [eqn: LEFT | a+b RIGHT | LEQ LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |] (단, 등호는 [eqn: ab GEQ 0]일 때 성립)

(2) [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | LEQ LEFT | a+b RIGHT |] (단, 등호는 [eqn: ab LEQ 0]일 때 성립)

Pf)

ex) [eqn: a ^{2} +b ^{2} =100]을 만족하는 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: (a+3b) ^{2}]의 값이 최대가 될 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

ex) 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: x>0`], [eqn: xy(x+y+2)=32`]일 때, [eqn: (x+y)(y+2)`]의 최솟값을 구하시오.

ex)　 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: |`a`+`b``|`` GEQ `|`a`|`-`|`b`|]

ㄴ. [eqn: a GEQ b GEQ 0]이면 [eqn: sqrt a-b` geq`sqrt a - sqrt b]

ㄷ. [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 양수이면 [eqn: b+c over a + c+a over b + a+b over c `geq`6]

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helpmemath

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ex) [eqn: x>0], [eqn: y>0]이고 [eqn: x+y=5]일 때, [eqn: { 1} over { x}+ { 4} over { y}]의 최솟값을 [eqn: m], 그때의 [eqn: x,``y]의 값을 각각 [eqn: a,``b]라 할 때, [eqn: abm]의 값을 구하시오.

ex) 넓이가 1인 정삼각형 [eqn: ABC]의 내부의 점 [eqn: P]에서 각 변까지의 거리를 [eqn: a,```b,```c]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 최솟값은?

ex)  그림은 화가 라파엘로의 벽화 ‘아테네 학당’의 일부이다.  은호는 수학자 유클리드가 컴퍼스를 이용하여 도형을 작도하고 있는 칠판을 보고, 반지름의 길이가 [eqn: 5] 인 원 [eqn: rmO] 에 내접하는 정삼각형 [eqn: rmABC] 와 정삼각형 [eqn: rmPQR] 을 이용하여 다음과 같은 도형을 만들었다.
어두운 부분의 넓이의 최솟값을 구하기 위하여 정삼각형 [eqn: rmPQR]을 원 [eqn: rmO] 에 내접하면서 움직였더니, 어두운 부분의 넓이의 최솟값이 [eqn: a pi -b sqrt {3}] 이었다. 이때, [eqn: a+b] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,```b] 는 유리수)

ex)  그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 6``], 세로의 길이가 [eqn: 3`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여 [eqn: bar{rm AB it}], [eqn: bar{rm BC it}], [eqn: bar{rm CD it}], [eqn: bar{rm DA it} `]를 각각 [eqn: m`:`n`]으로 내분한 점을 [eqn: rm P`,~Q`,~R`,~S`]라 하자. 평행사변형 [eqn: rm P`Q`R`S`] 의  넓이를 [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT ) `]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m,````n`]은 양의 정수)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: rm H it LEFT ( 2``,``1 RIGHT ) `=8]

ㄴ. [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT ) `= rm H it LEFT ( n``,``m RIGHT )]

ㄷ. [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 9`]이다.

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helpmemath

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ex) 실수 [eqn: x,``y,``z,``w]가 다음 두 등식 [eqn: x+y+z+w=7], [eqn: x^2 +y^2 +z^2 +w^2 =13]을 만족할 때, [eqn: w]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =5,] [eqn: rm {bar{BC}} =12,] [eqn: rm {bar{CA}} =13]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD,~E,~F``]라 할 때, [eqn: rm {5} over {{bar{PD}}} + {12} over {{bar{PE}}} + {13} over {{bar{PF}}}]의 최솟값을 구하시오.

Theme #7. 함수의 정의

Remark) 함수(관계, 규칙)는 우리 주변에서 일어나는 현상을 표현할 수 있는 가장 강력한 도구 중 하나이다. 따라서, 어떤 하나의 현상이 함수로 표현되면 그 함수를 분석하여 그것이 알려주고자 하는 정보를 찾아야 함은 분명하다. 이제 함수의 기본부터 출발하여 다양한 함수들이 소개될 때마다 그 함수를 해석(analysis)하는 연습을 해 볼 것이며, 실제로 현행 수능에서 가장 강조하고 있는 영역 중 하나가 함수 해석임을 잊지 말자.

Remark) 함수의 정의는 다양한 관점을 이용하여 제시되고 있다. 변화, 대응 등이 바로 그것인데, 고등학교 수학에서 함수의 정의는 두 집합간의 대응관계로 함수를 이야기 하고 있다.

Def 7.1) 함수의 정의

두 집합 [eqn: X,```Y]에서 집합 [eqn: X] 의 각 원소에 대하여 집합 [eqn: Y] 의 원소가 하나씩 대응될 때, 이 대응관계 [eqn: f]를 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 함수라 하고, 이것을 기호로 [eqn: f``:``X``` -> ```Y] 와 같이 나타낸다.

이 때, 집합 [eqn: X]를 함수 [eqn: f]의 정의역, 집합 [eqn: Y]를 함수 [eqn: f]의 공역이라 한다. 또, 함수값 전체의 집합 [eqn: f(X)= LEFT { f(x)```□```x IN X RIGHT }]를 함수 [eqn: f]의 치역이라 한다.

Note) [eqn: f``:``X``` -> ```Y]에서 정의역 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,```x _{2}]에 대하여 [eqn: f(x _{1} ) != f(x _{2} )]이면 [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때, [eqn: f]를 함수라 한다.

Note) 치역은 공역의 부분집합이다.

Note) 함수의 정의역이나 공역이 별도로 주어지지 않을 경우 정의역과 공역은 실수전체의 집합으로 간주하면 됨.

Note) 정의역과 공역이 유한집합인지 무한집합인지에 따라 그 함수의 표현수단이 달라진다.

ex)  다음 보기의 그래프 중 함수인 것을 모두 고르시오.

<보 기>

ex) 집합 [eqn: X= left{ 1, 2, 3 right}]에서 집합 [eqn: Y= left{a, b,c right}]로의 함수 [eqn: f``]에 대하여 [eqn: f(3)=c , ~ Y ne left{f(x) vert x in X right}]를 만족할 때, 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오.

ex)　집합 [eqn: A = left{ 1, 2, 3 right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: f]에 대하여 ‘[eqn: x in A]이면 [eqn: 2x- f(x) in A]’를 만족할 때, 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: X,```Y]가 [eqn: X= LEFT { 0,```1,```2 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { -2,```-1,```0,``1,```2 RIGHT }]일 때, 함수 [eqn: f``:``X``` -> ```Y]가 임의의 [eqn: x IN X]에 대하여 [eqn: xf(x)]는 상수가 된다. 이 때, 이를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``]가

[eqn: f(x)= {cases{2x-1&(x가~유리수)#2x&(x가~무리수)}} ``]　일 때, [eqn: f(x)-f(x-1)``]의 값을 구하시오.

ex) 양수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= LEFT [ {LEFT [ x RIGHT ]} over {x} RIGHT ]]의 치역은?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 정의된 함수 [eqn: f(x)= LEFT [ -x RIGHT ] + LEFT [ x RIGHT ]]의 치역은?

ex) 함수 [eqn: f(x)=x-4 LEFT [ {x} over {4} RIGHT ]]라고 할 때, 자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a)+f(a+1)+f(a+2)+f(a+3)]의 값은?

ex) 함수 [eqn: f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ]]에 대한 설명으로 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(x)=-1]이 되는 [eqn: x]는 존재하지 않는다 ㄴ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { f(x)``□```n LEQ x<n+1 RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: n]개다. ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { f(x)``□```-n LEQ x<-n+1 RIGHT }]의 원소의 개수는 ([eqn: n]+1)개다.

ex) 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f```]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

	(가) [eqn: f(1)=2] (나) [eqn: f(n+1)= cases{sqrt {2} f(n)&``````````(f(n)```이~무리수)#&#sqrt {2} f(n)-( sqrt {2} ) ^{n}&``````````(f(n)```이~유리수)}]

이 때, [eqn: f``(5)```]의 값을 구하시오.

ex) 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} = LEFT { (a,```b)``□``a ^{2} +b ^{2} <n,``a,``b IN N CUP LEFT { 0 RIGHT } RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: S _{n}]의 원소의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(1)+f(2)=4] ㄴ. 두 자연수 [eqn: i,```j]에 대하여 [eqn: i<j]이면 [eqn: f(i)<f(j)]이다. ㄷ. [eqn: f(50)=45]

ex) 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``]가 임의의 두 양수 [eqn: x`,``y``]에 대하여  [eqn: f(xy) = f(x ) +f(y)``]를 만족한다.  [eqn: f(8)=6``]일 때, [eqn: f LEFT (1 over 8 RIGHT ) + f(1) + f(4)``]의 값을 구하시오.

ex) 실수 전체의 집합을 정의역으로 하고 양의 실수의 집합을 공역으로 하는 함수 [eqn: f``(x)```]가
[eqn: f``(x+y)=f``(x) BULLET f``(y)]
를 만족할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(0)=1] ㄴ. [eqn: f(-x)= {1} over {f(x)}] ㄷ. [eqn: f(3x)=3f(x)]

ex) 실수에서 실수로의 함수 [eqn: f]가 다음 두 조건을 모두 만족한다.

(가) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ x]

(나) 임의의 실수 [eqn: x,```y]에 다하여 [eqn: f(x+y) GEQ f(x)+f(y)]

다음 중 옳은 것만을 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(0)=0] ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) LEQ -f(-x)] ㄷ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=x]

ex) 정수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 임의의 두 정수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)]

(나) [eqn: f(1)=1]

다음 중 옳은 것만을 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(0)=2] ㄴ. [eqn: f(3)=-2] ㄷ. 모든 정수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+6)=f(x)]가 성립한다.

ex) 집합 [eqn: A= left{ -2,```-1,```0,```1,```2 right}]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

㈎ 함수 [eqn: f]는 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수이다.

㈏ [eqn: A]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이다.

ex) 자연수 전체의 집합 [eqn: N]에 대하여 함수 [eqn: f:`N`` -> ``N]이 [eqn: f(x)=]([eqn: x] 이하의 자연수 중 [eqn: x]와 서로소인 수의 개수)일 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )] ㄴ. [eqn: p]가 소수이면 [eqn: f(p)=p-1] ㄷ. [eqn: p,```q]가 서로 다른 소수이면 [eqn: f(pq)=p(q-1)]

ex) 실수 전체의 집합 [eqn: R]의 부분집합 [eqn: A]에 대하여 함수 [eqn: f _{A} :``R``` -> ```R]을 [eqn: f _{A} (x)= {cases{1`````&(x IN A)#3&(x NOTIN A)}}]으로 정의할 때, 집합 [eqn: R]의 부분집합 [eqn: X,```Y]에 대하여 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. 집합 [eqn: X]에 관계없이 함수 [eqn: f _{X}]의 치역은 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]이다. ㄴ. [eqn: f _{X CUP Y} (x)=f _{X} (x)+f _{Y} (x)] ㄷ. [eqn: f _{X ^{c}} (x)=4-f _{X} (x)]

ex) 함수 [eqn: y= f(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - 2x f(t) + f(t) =0]의 근에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고르시오.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(t)]의 값이 최대일 때, 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. 중근을 갖게 하는 서로 다른 실수 [eqn: t]는 [eqn: 7]개이다. ㄷ. [eqn: |``t``| >2]일 때, 서로 다른 두 허근을 갖는다.

Remark) 함수를 다루는 데 있어서 대부분의 학생들이 정의역(!!!!!)과 공역의 중요성을 간과하고 함수식에만 집중하는 오류를 범하고 있다. 실제로, 동일한 함수식을 갖더라도 전혀 다른 관계를 나타내는 경우가 존재하고, 이는 정의역과 공역의 차이에서 비롯된다.

Def 7.2) 함수의 상등

두 함수 [eqn: f``:``X``` -> ```Y], [eqn: g``:``U``` -> ```V] 에 대하여 정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 원소에 대한 함수값이 같을 때,

즉,  (1) [eqn: X=U,```Y=V]   (2) 정의역의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)]

일 때, 두 함수는 서로 같다고 하고, 기호로 [eqn: f=g]와 같이 나타낸다.

ex) 다음 보기 중 두 함수 [eqn: f,~g``]가 서로 같은 것을 모두 고른 것은?

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: f(x)= LEFT | ``x`` RIGHT | ,~g(x)=x``]

ㄴ. 정의역이 [eqn: LEFT { -1,~0,~1 RIGHT } ``]일 때, [eqn: f(x)=x,~g(x)=x ^{3} ``]

ㄷ. [eqn: f(x)= {1} over {x+2} ,~g(x)= {x-2} over {x ^{2} -4} ``]

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helpmemath

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ex) 정의역이 집합 [eqn: X]인 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2,```g(x)=2x ^{2} +x]가 서로 같을 때, [eqn: X]의 모든 원소의 합의 최댓값은?(단, [eqn: X != EMPTYSET])

ex) 원소의 개수가 [eqn: 2]인 집합 [eqn: X]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x+3,```g(x)]가 서로 같고, [eqn: g(x)=f(2x)]가 성립한다. 집합 [eqn: X]에서 정의된 함수 [eqn: h(x)=ax+b]가 함수 [eqn: f(x)]와 서로 같을 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오.

ex) 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2}], [eqn: g(x)=x-2]의 정의역이 [eqn: X```]로 서로 같고 [eqn: f=g```]일 때, 이를 만족하는 집합[eqn: X] 의 개수를 구하시오. (단, [eqn: X != phi])

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2 RIGHT } ,`Y= LEFT { y vert y는`정수 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: Y`]로의 함수 [eqn: f,``g]가 [eqn: f(x)=x+1,`~ｇ(x)=x ^{2} +ax+b]이다. [eqn: f= rm g``]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

Theme #8. 여러 가지 함수

Remark) 함수를 대응관계를 이용하여 정의 하였다. 두 집합 [eqn: X,```Y] 가 주어질 때, 이 두 집합사이의 대응관계는 다양한 모습을 갖는데 이들 중, 특별한(수학적으로 의미를 갖는) 관계를 알아보도록 하자.

Def 8.1) 일대일함수

함수 [eqn: f``:``X``` -> ```Y]에서 정의역 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,```x _{2}]에 대하여 [eqn: f(x _{1} )=f(x _{2} )]이면 [eqn: x _{1} =x _{2}]일 때, 함수 [eqn: f]를 일대일함수라고 한다.

Def 8.2) 일대일대응 (역함수가 존재할 조건) [eqn: RARROW] 매우중요!!!

함수 [eqn: f```:``X``` -> ```Y]에서

(1) 치역과 공역이 같고

(2) 정의역 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,```x _{2}]에 대하여 [eqn: f(x _{1} )=f(x _{2} )]이면 [eqn: x _{1} =x _{2}]

일 때, 함수 [eqn: f]를 일대일 대응이라고 한다.

Note) 함수 [eqn: f]가 일대일대응이기 위해서는 정의역과 공역의 원소의 개수가 같아야 한다. (유한집합인 경우)

Def 8.3) 항등함수

함수 [eqn: f```:``X``` -> ```X]에서

(1) 정의역과 공역이 같고

(2) 모든 [eqn: x IN X]에 대하여 [eqn: f(x)=x]

일 때, 함수 [eqn: f]를 항등함수라고 한다.

Def 8.4) 상수함수

함수 [eqn: f```:``X``` -> ```Y]에서 모든 [eqn: x IN X]에 대하여 [eqn: f(x)=c] [eqn: (c IN Y,```c]는 상수)

일 때, 함수 [eqn: f]를 상수함수라고 한다.

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { x``□``-1 <= x <= 3 RIGHT } ,~Y= LEFT { y``□``1 <= y <= 9 RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f(x)=ax+b``]가 일대일 대응일 때, 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: 2a+b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0``])

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= {cases{x-1&(x >= 1)#ax-a+b&(x<1)}}]

가 일대일 대응이 되기 위한 상수 [eqn: a,~b``]의 조건을 구하시오.

ex) 집합 [eqn: X = left{ x vertx>=a right}``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f(x)= x^2 -2x``]가 일대일 대응이기 위한 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: A= LEFT { x```□```x LEQ k RIGHT }], [eqn: B= LEFT { y```□```y GEQ k+12 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 [eqn: y=x ^{2} -3x]가 일대일 대응이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

ex) 집합 [eqn: X= LEFT { 0,```1,```2 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 2,```3,```4 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: a-b+c]의 최댓값을 구하여라.

	(가) 함수 [eqn: f]는 일대일 대응이다. (나) 집합 [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]([eqn: a>0])

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { -1,```0,```1 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { -2,```-1,```0,```1,```2 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:``X``` -> ````Y]가 다음 조건을 모두 만족 할 때, 함수 [eqn: f]의 개수는?

	집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,```x _{2}]에 대하여 (가) [eqn: f(x _{1} +x _{2} )=f(x _{1} )+f(x _{2} )] (나) [eqn: f(x _{1} )=f(x _{2} )]이면 [eqn: x _{1} =x _{2}]

ex) 집합 [eqn: X= LEFT { -1,~0,~1 `RIGHT }```]에 대하여 [eqn: X```]에서 [eqn: X```]로의 항등함수인 것을 <보기>에서 모두 고르시오. (단, [eqn: LEFT [ `x` RIGHT ]```]는 [eqn: x```]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{3}] ㄴ. [eqn: g(x)= {LEFT | `x+1` RIGHT | - LEFT | `x-1` RIGHT |} over {2}] ㄷ. [eqn: h(x)= LEFT [ `x` RIGHT ]]

ex) 집합 [eqn: A]를 정의역으로 하는 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -6]이 항등함수가 되도록 하는 집합 [eqn: A]의 개수는?(단, [eqn: A != EMPTYSET])

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } ,~Y= LEFT { 5,~6,~7 RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수의 개수를 [eqn: a``], 일대일 대응의 개수를 [eqn: b``]라 할 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { x _{1} ,```x _{2} ,``` BULLET BULLET BULLET ,```x _{n} RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { y _{1} ,```y _{2} ,``` BULLET BULLET BULLET ,```y _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 중에서 상수함수가 아닌 함수의 개수를 [eqn: f(n)], [eqn: x _{1}]이 [eqn: y _{1}]에 대응되지 않는 일대일 대응의 개수를 [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(3)+g(4)]의 값을 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } ,~Y= LEFT { 2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT } ``]에 대하여 다음 조건을 만족하는 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오.

집합 [eqn: X``]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ``]에 대하여

㈎ [eqn: f(3)=5``]

㈏ [eqn: x _{1} <x _{2} ``]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )``]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

ex) 집합 [eqn: S= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]에서 [eqn: S]로의 함수 [eqn: f]중에서 집합 [eqn: S]의 모든 원소 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) GEQ n]을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는?

ex)  집합 [eqn: X=` LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT }]에 대하여
두 함수 [eqn: f`:`X` -> `X`], [eqn: g:`X` -> `X`]가 있다.
함수 [eqn: y=f(x)`]는 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]를 만족시키고 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h`:`X` -> X`]를

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =` {cases{` ^{{} ^{}} `f LEFT ( x RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}&``````` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#` _{{} _{}} `g LEFT ( x RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}&``````` LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) >f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

라 정의하자. 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]가 일대일대응일 때,
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +h LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

Sub Theme. 절댓값과 가우스가 포함된 함수

Note) 절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프

(1) [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프                                (3) [eqn: LEFT | y RIGHT | =f(x)]의 그래프

(2) [eqn: y=f( LEFT | x RIGHT | )]의 그래프                                (4) [eqn: LEFT | y RIGHT | =f( LEFT | x RIGHT | )]의 그래프

ex) [eqn: 0 LEQ p<1]인 실수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= LEFT | x+1 RIGHT | + LEFT | x-1 RIGHT | + LEFT | x-p RIGHT |]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1,```x=-1]로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값은?

ex) 다음 중 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: y= LEFT | x-a RIGHT | -a+1]의 그래프와 항상 만나지 않는 직선은?

① [eqn: y=x+1]  ② [eqn: y=x-1]  ③ [eqn: y=x-2]  ④ [eqn: y=-x+1]   ⑤ [eqn: y=-x-1]

ex) 도형 [eqn: LEFT | x RIGHT | + LEFT | y RIGHT | =4]에 내접하는 원의 넓이를 구하시오.

ex) [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: y=x LEFT [ x-1 RIGHT ]]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 양수 [eqn: k]의 값의 합은?

ex) 두 함수 [eqn: f(x)= LEFT [ x ^{2} RIGHT ] ,```g(x)= LEFT [ x RIGHT ] ^{2}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: f( sqrt {2} )>g( sqrt {2} )]

ㄴ. [eqn: x]가 정수이면 [eqn: f(x)=g(x)]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=g(x)]를 만족하는 [eqn: x]는 정수이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

ex) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= LEFT | x-1 RIGHT | +kx]의 치역이 어떤 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a LEQ y LEQ a+2]라고 할 대, 상수 [eqn: k]의 값은?(단, [eqn: k>0])

Theme #9. 합성함수

Remark) 사회 현상은 하나의 원인에 하나의 결과가 대응될 때 굉장히 복잡한 과정을 거치게 된다. 이를 설명하는 개념이 합성함수이고 이는 두 개 이상의 함수를 연결 짓는 매우 중요한 도구이다. 실제로, 함수를 공부함에 있어서 복잡한 형태를 띠는 함수는 합성함수인 경우가 많다. 또한, 합성함수의 경우 매우 출제 빈도가 높고 이는 합성함수의 정의를 제대로 공부하면 모든 걱정이 사라진다~^^(치환이 핵심!!!!!!!!!!!!!!!!)

Def 9.1) 합성함수

두 함수 [eqn: f```:`X`` -> Y,] [eqn: g``:Y`` -> `Z`]가 주어졌을 때, 두 함수 [eqn: f]와  [eqn: g]를 통하여 [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x]에 [eqn: Z]의 원소 [eqn: g``(`f``(x))] 를 대응시킨 새로운 함수를 [eqn: f]와 [eqn: g]의 합성함수라 하고, 기호로 [eqn: g CIRC f~:~X~ -> `Z]와 같이 나타낸다. 이 때, [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: (g circ f``)``(x)=g``(`f``(x))]

cf) 합성함수가 정의되기 위한 조건 [eqn: RARROW] 일단 합성함수가 정의가 되어야 이를 분석할 수 있음.!!

ex) 정의역이 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]인 두 함수 [eqn: f,```g]가 [eqn: f(x)=ax+3], [eqn: g(x)=x+2]일 때, 함수 [eqn: g CIRC f]가 정의되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

Thm 9.1) 합성함수의 성질

세 함수 [eqn: f,~g,~h``]에 대하여

1)  [eqn: f CIRC g != g CIRC f]

2) [eqn: (f CIRC g) CIRC h=f CIRC (g CIRC h)]

3) [eqn: f CIRC I=I CIRC f=f~(I``는~항등함수)] 이 성립한다.

Pf)

Note) 합성함수의 개념을 대수에 적용시키면??

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: f(x)= {cases{2x-3&(x`가~짝수일~때)#-x+5&(x`가~홀수일~때)}}] 일 때, [eqn: (f CIRC f)(3)``]의 값을 구하시오.

ex) 세 함수 [eqn: f,~g,~h``]를 다음과 같이 정의할 때, 다음 중 합성함수가 정의되지 않는 것은?

[eqn: f(x)=x-1``]	[eqn: (1 <= x <= 3)``]

[eqn: g(x)=(x-1) ^{2} ``]	[eqn: (0 <= x <= 3)``]

[eqn: h(x)=x ^{3} ``]	[eqn: (0 <= x <= 4)``]

① [eqn: g CIRC f``]	② [eqn: h CIRC f``]	③ [eqn: h CIRC g``]     ④ [eqn: h CIRC g CIRC f``]      ⑤ [eqn: h CIRC f CIRC g``]

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``]가 [eqn: f LEFT ( {3x+1} over {2} RIGHT ) =6x-5``]일 때, [eqn: f(2x+1)``]을 구하시오.

ex) 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)``]가 다음과 같다.  [eqn: f(x)= {cases{0&(x >= 1)#1&(x<1)}} ,~g(x)=x ^{2} -x+1``]

다음 중 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]의 그래프의 개형은?

ex) 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 `RIGHT }```]에 대하여 함수 [eqn: f~:~A``` -> ```A```]를 다음과 같이 정의한다.
[eqn: f(x)= cases{x+1&(x PREC 4)#``````1&(x=4)}], [eqn: f ^{1} =f], [eqn: f ^{n+1} =f CIRC f ^{n}] ([eqn: n=1,~2,~3,~ CDOTS])이라 할 때, [eqn: f ^{2007} (1)]의 값을 구하시오.

ex) 다음 그림은 두 함수 [eqn: y=f``(x)```]와 [eqn: y=x```]의 그래프이다. [eqn: LEFT ( f CIRC f CIRC f RIGHT ) LEFT ( {1} over {4} RIGHT )``]의 값은?

① [eqn: b]	② [eqn: c]	③ [eqn: d]         ④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 1]

ex) 함수 [eqn: f(x)= LEFT | x-2 RIGHT |]에 대하여 [eqn: (f CIRC f CIRC f)(x)=0]의 실근의 개수를 구하여라.

ex)  두 함수 [eqn: y`=`f``(`x`)``]와 [eqn: y`=`g``(`x`)``]의 그래프가 각각 아래 그림과 같다. 다음 중 [eqn: y`=`(g`CIRCf)`(`x`)``]의 그래프의 개형은?

ex) 두 함수
[eqn: `f(x)= LEFT | `x` RIGHT | -4],  [eqn: g(x)= cases{`-x ^{2} +4&````(`x >= 0)#~~x ^{2} +4&````(`x<`0`)`}``]
에 대하여 [eqn: g(f(k))=3] 을 만족하는 실수 [eqn: k``]의 값을 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]([eqn: alpha>beta``])라 하자. 이때 [eqn: alpha-beta``]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f`(x)]와 일차함수 [eqn: g`(x)]의 합성함수가 [eqn: (f CIRC g`)(x)= LEFT { g``(x) RIGHT } ^{ 2 } +4], [eqn: (g CIRC f``)(x)=4 LEFT { g(x) RIGHT } ^{ 2 } +1]일때, [eqn: g`(52)`]의 값을 구하시오.

ex) 그림은 이차함수 [eqn: y```=`f(`x`)``]의 그래프이다. 방정식 [eqn: f(`f(`x`))```=`0``]의 서로 다른 세 실근의 합은?

ex)  음이 아닌 정수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`]가 음이 아닌 정수 [eqn: n]과 [eqn: 0 LEQ k LEQ 9]인 정수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)`=0]

(나) [eqn: f(10n+k)`=f(n)+k]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		보 기
ㄱ. [eqn: f(100)`=1] ㄴ. [eqn: (`f CIRC f`)(999)=9] ㄷ. [eqn: f(n)]이 [eqn: 6]의 배수이면 [eqn: n]은 [eqn: 6]의 배수이다.

ex) [eqn: 0 <= x <= 2``]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= {cases{2x&(0 <= x <= 1)#-2x+4&(1 <= x <= 2)}}]

에 대하여 [eqn: y=(f CIRC f)(x)``]의 그래프와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)=5x- LEFT [ ``5x`` RIGHT ] ``]에 대하여

[eqn: f ^{2} (x)=(f CIRC f)(x)``]

[eqn: f ^{3} (x)=(f CIRC f ^{2} )(x)``]

⋮

[eqn: f ^{n} (x)=(f CIRC f ^{n-1} )(x)``]일 때, [eqn: f LEFT ( {3} over {8} RIGHT ) +f ^{2} LEFT ( {3} over {8} RIGHT ) + CDOTS +f ^{80} LEFT ( {3} over {8} RIGHT ) ``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: LEFT [ ``x`` RIGHT ] ``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수)

ex)   세 함수 [eqn: f`,``g`,``h``]는 실수 전체의 집합 [eqn: R``]에서 [eqn: R``]로의 일대일 대응이고 [eqn: f(x)= 3x-2``,`~~(f circ g circ h )(x) = 3 g LEFT ( x over 2 RIGHT )-2``]일 때, [eqn: (h circ h ) (8)``]의 값을 구하시오.

ex) 두 일차함수 [eqn: f_1``,``f_2``]에 대하여 [eqn: f_1 circ f_1``,`````f_1 circ f_2``,````f_2 circ f_1``,````f_2 circ f_2``]는 각각 [eqn: f_1``]또는 [eqn: f_2`]와 일치한다. 이 때,

[eqn: f_1 (1) = f_2 (1) =1``]을 만족하는 함수 [eqn: f_1``,``f_2``]의 순서쌍 [eqn: (``f_1``,``f_2``)``]의 개수를 구하시오.

ex) 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: P(P(x+1))= 2x``]를 만족시키는 일차 다항식 [eqn: P(x`)]의 개수는?

ex) 함수 [eqn: f(x)= { x}^{2 }-x-6], [eqn: g(x)= { x}^{2 }-ax+4]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f CIRC g)(x) >= 0]이 되는 실수 [eqn: a]의 범위는? (단,[eqn: f CIRC g]는 [eqn: g]와[eqn: f]의 합성함수이다.)

ex) 0이 아닌 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 0이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: f(x)+2f( {1} over {x} )=3x]를 만족 할 때, [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족하는 실수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

ex) 두 함수 [eqn: f(x),```g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=ax+2,```(g CIRC f)(x)=x ^{2} -x-2]일 때, 부등식 [eqn: g(x) LEQ 0]의 정수해가 [eqn: 7]개 이상 존재하도록 하는 양의 정수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

ex) 정의역이 [eqn: LEFT { x```□```0 LEQ x LEQ 1 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)=3x- LEFT [ 3x RIGHT ]]에 대하여 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)]의 근의 개수는?

Theme #10. 역함수

Remark) 역함수는 합성함수와 더불어 대수적인 의미를 지니는 개념인 동시에 모든 함수에 공통적으로 적용할 수 있는 개념이므로 확실하게 학습해 두는 것이 좋다. 어떤 대응관계가 존재할 때, 그것의 역대응을 생각해 보는 것은 너무나 자연스러운 일이다.

Def 10.1) 역함수

함수 [eqn: f~:~X~ -> `Y``]가 일대일 대응일 때, [eqn: Y``] 의 임의의 원소 [eqn: y`]에 대하여 [eqn: f``(x)=y`]가 되는 [eqn: x IN X`]를 대응시킨 [eqn: Y]에서 [eqn: X]로의 함수를 얻을 수 있다. 이 함수를 [eqn: f``]의 역함수라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: f` ^{-1} `:~Y` -> `X] . 이 때, [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x=f ^{-1} (y)]이다.

Note) 역함수가 존재할 조건 [eqn: RARROW]

Thm 10.1) 역함수의 성질

일대일 대응인 함수 [eqn: f``:``X``` -> ```Y]와 그 역함수 [eqn: f ^{-1} ```:``Y``` -> ```X]로 부터

(1) [eqn: f`` ^{-1} CIRC f=I _{X} ,]  [eqn: f`` ^{} CIRC f ^{-1} =I _{Y}]	(2) [eqn: (f`` ^{-1} ) ^{-1} =f]	(3) [eqn: (f CIRC g) ^{-1} =g ^{-1} CIRC f``` ^{-1}]	(4) [eqn: f``(a)=b~ LRARROW `f`` ^{-1} (b)=a]

Pf)

Thm 10.2) 역함수의 그래프

함수 [eqn: f```:```R``` -> ```R] 에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이다.

Pf)

ex) 실수 전체의 집합 [eqn: R``]에서 [eqn: R``]로의 함수 [eqn: f(x)= {cases{{1} over {2} x+a&(x >= 0)#2x+a&(x<0)}}] 가 [eqn: f ^{-1} (-1)=4``]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ``]의 값을 구하시오.

ex) 두 함수 [eqn: f,~g``]를 오른쪽 그림가 같이 정의할 때,
[eqn: (f CIRC g ^{-1} )(5)+(f CIRC g) ^{-1} (5)``]의 값을 구하시오.

ex) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{2}&(1 <= x <= 3)#ax+b&(x<1~또는~x>3)}}] 의 역함수가 존재하도록 하는 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: a-b``]의 값을 구하시오.

ex) 일차함수 [eqn: f(x)= ax+b]의 그래프가 직선 [eqn: y= 1 over 2 x +3]에 수직이고, 그 역함수 [eqn: y= f^-1 (x)]의 그래프가 점 [eqn: (-1, 2)]를 지날 때, 상수 [eqn: a, b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f``(`x`)`=`4x-1``]의 역함수를 [eqn: g``(`x`)``]라 할 때, 함수[eqn: f``(`3x`)``]의 역함수를 [eqn: g``(`x`)``]로 나타낸 것은?

① [eqn: g`({x over 3})`]	② [eqn: 3`g`(`x`)`]	③ [eqn: g`(3x)`]      ④ [eqn: {1 over 3}`g`(3x)]	⑤ [eqn: {1 over 3}`g`(x)]

ex) 오른쪽 그림은 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=x]의 그래프이다. 이 때, 합성함수 [eqn: (f^-1`circf^-1`)(b)]의 값은? (단, [eqn: f^-1`]는 [eqn: f]의 역함수이다.)

① [eqn: a]	② [eqn: b]     ③ [eqn: c]	④ [eqn: d]       ⑤ [eqn: e]

ex) 오른쪽 그림은 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프와 직선 [eqn: y=x``]이다. 합성함수 [eqn: f ^{2} (x)=(f CIRC f)(x)``], [eqn: f ^{3} (x)=(f CIRC f ^{2} )(x)``], ⋯, [eqn: f ^{n} (x)=(f CIRC f ^{n-1} )(x)``]라 할 때, [eqn: f ^{2008} (a)``]의 값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: a``]

③ [eqn: b``]	④ [eqn: c``]

⑤ [eqn: d``]

ex) 함수 [eqn: f``(`x`)`=`x^3`-3x^2`+4x-3``]의 역함수를 [eqn: g``(`x`)``]라 할 때, 방정식 [eqn: g``(`x`)`=`2x``]의 모든 실근의 합을 구하시오.

ex) 양의 실수 전체의 집합 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 일대일대응인 두 함수 [eqn: f`,~g``]에 대하여 [eqn: f ` ^{-1} (`x`)```=`x ^{2} ,~~(`f CIRC g ^{-1} `)(`x ^{2} `)```=`x``]  일 때, [eqn: (`f CIRC g`)`(`20`)``]의 값은? (단, [eqn: f ` ^{-1} ``], [eqn: g ` ^{-1} ``]는 각각 [eqn: f`,~g``]의 역함수이다.)

ex) 함수 [eqn: f``]에 대하여 [eqn: f ^{`2} (x)=f(f(x))``], [eqn: f ^{`3} (x)=f(f ^{`2} (x))``], [eqn: CDOTS ``]이라 정의하자. 이때 집합 [eqn: X="{"1,~2,~3"}"]에 대하여 함수 [eqn: f~:~X``->``X``]가 두 조건 [eqn: f(1)=3,```f` ^{3} =I``] ([eqn: I``]는 항등함수) 를 만족한다. 함수 [eqn: f``]의 역함수를 [eqn: g``]라 할 때, [eqn: g^10 (2)+g^11 (3)``]의 값은?

ex) 정의역이 [eqn: X = left{ 1, 2, 3, 4 right}]인 함수 [eqn: f]가 [eqn: f(1)=a , ~ f(2)=b , ~ f(3)=c , ~ f(4)=d]일 때, [eqn: f= [ a, b, c, d ]]로 나타내기로 하자. 집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 두 함수 [eqn: g, h]에 대하여 [eqn: g = [ 2, 3, 4, 1], ~ h= [ 3, 4, 1, 2]]일 때, 함수 [eqn: ( h circ g )^-1]를 [eqn: [a, b, c, d]]의 꼴로 나타내어라.

ex) 다음 그림과 같은 함수 [eqn: y`=`f``(`x`)``]와 그 역함수 [eqn: y`=`f`^-1`(`x`)``]의 그래프가 다음 조건을 모두 만족한다.

	(가) 두 선분 [eqn: AB,```CD``]는 직선 [eqn: y`=`x``]에 수직이다. (나) 선분 [eqn: BD``]는 [eqn: x``]축에 평행하다.

점 [eqn: A``]의 좌표가 [eqn: (`1,``2`)``]이고 [eqn: f``(1)-f^-1`(1)`=`5``]일 때, 삼각형 [eqn: ABD``]의 넓이를 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { x□x >= 1 RIGHT } ,~Y= LEFT { y□y >= 2 RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2ax+a ^{2} -2``]의 역함수가 존재할 때, 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: X= LEFT { x```□```-6 LEQ x LEQ 6 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { y```□```p LEQ y LEQ 6 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f(x)=a(x+6)+6]의 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)]가 존재한다. [eqn: f(0)>0]을 만족시키는 정수 [eqn: p]의 최솟값은?

ex) 양의 실수의 집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]가 임의의 [eqn: a,```b IN X]에 대하여 [eqn: f(af(b))=bf(a)]를 만족시킬 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. 함수 [eqn: f]는 일대일함수이다. ㄴ. 함수 [eqn: f]의 공역과 치역은 같다. ㄷ. 임의의 [eqn: x IN X]에 대하여 [eqn: f(f(x))=x]이다 ㄹ. [eqn: f ^{-1} =f]

ex) 실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: f ^{-1}]가 존재하고 임의의 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: f(a+b)=f ^{-1} (a)+f ^{-1} (b)]가 성립할 때, 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(1)=1]이면 [eqn: f(4)=3]이다. ㄴ. [eqn: f ^{-1} (a+b)=f(a)+f(b)] ㄷ. [eqn: f(a)=b,```f(b)=a]이면 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]와 적어도 한 점에서 만난다

Theme #11. 유리식

Note) 정수와 다항식은 매우 유사한 역할을 하고 정수에서 유리수로의 확장을 생각할 수 있듯이 다항식에서 유리식으로의 확장 역시 충분히 고려할 가치를 갖는다.

Def 11.1) 유리식 (Rational expression)의 정의

유리식 : 두 다항식 [eqn: A,````B]의 비, 즉 분수 [eqn: {A} over {B}]([eqn: B != 0])꼴로 나타내어지는 식 (모든 다항식은 유리식)

Thm 11.1) 유리식의 성질 (통분//약분가능성)

다항식 [eqn: A,````B,```C] ([eqn: B != 0,```C != 0])에 대하여

(1) [eqn: {A} over {B} = {A TIMES C} over {B TIMES C}]

(2) [eqn: {A} over {B} = {A÷C} over {B÷C}]

[eqn: RARROW] 분모, 분자에 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식은 성립한다.

pf) easy

Note) 약분 : 분모, 분자의 공약수로 나누어 유리식을 간단히 하는 과정

기약분수 : 분모, 분자의 최대공약수로 나누어 더 이상 약분할 수 없을 때까지 간단히 하는 과정

통분 : 분모간의 최소공배수를 공통분모로 하는 유리식을 만드는 과정

Theme #12. 유리식의 사칙연산

Note) 유리식의 사칙연산 = 유리수의 사칙연산

따라서 이미 알고 있는 사칙연산을 얼마나 정확하고 빠르게 해내느냐가 관건임. (연습의 문제)

ex) [eqn: {1} over {x+1} - {1} over {x+2} - {1} over {x+3} + {1} over {x+4}]를 간단히 하면?

ex) [eqn: {x} over {x-1} + {2x-7} over {x-3} + {x-4} over {x-5} - {4x-27} over {x-7}]를 간단히 하면?

[eqn: RARROW] 진분수식 :

가분수식 :

분모의 차수와 분자의 차수를 비교했을 때, 분모의 차수가 분자의 차수보다 같거나 낮으면 분자는 분모로 나눗셈이 가능하다. 분수식의 합 ․ 차에 있어서 분자에 높은 차수가 있는 경우 통분과정에서 매우 복잡한 계산이 이루어지므로 계산의 효율성이 떨어짐.

이 때, 분자의 차수를 떨어뜨리기 위해 취할 수 있는 방법은 두가지가 존재하고 이는 다음과 같다.

M1) 직접 나누기

M2) 나머지 정리를 이용한 끼워맞추기

ex) [eqn: {a ^{2}} over {(a-b)(a-c)} + {b ^{2}} over {(b-c)(b-a)} + {c ^{2}} over {(c-a)(c-b)}]를 간단히 하면?

ex) [eqn: {x+1} over {x ^{2} -1} TIMES {x ^{2} -x} over {x ^{2} -x-2} ÷ {x} over {x ^{2} +3x+2}]를 간단히 하면?

ex) [eqn: a+b+c=0]일 때, [eqn: a( {1} over {b} + {1} over {c} )+b( {1} over {c} + {1} over {a} )+c( {1} over {a} + {1} over {b} )]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: {2a+4x} over {3-2x}]가 [eqn: x]의 값에 관계없이 일정한 값을 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: x != {3} over {2}])

ex) 상수 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,``` BULLET BULLET BULLET ,`a _{9}]에 대하여 [eqn: {x ^{9} -1} over {(x-1) ^{10}} = {a _{1}} over {x-1} + {a _{2} ^{}} over {(x-1) ^{2}} + BULLET BULLET BULLET + {a _{9}} over {(x-1) ^{9}}]가 1이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립할 때, [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +a _{8}]의 값을 구하여라.

ex)  [eqn: f(n)= {n ^{3} +n ^{2} -2n} over {n ^{2} -4} + {n+1} over {-n ^{2} +n+2}]일 때, [eqn: LEFT [ f(2007) RIGHT ] + LEFT [ f(2008) RIGHT ]]의 값을 구하여라.

(단. [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수 이다.)

ex)  0 이 아닌 세 실수 [eqn: a, b, c]에 대하여  [eqn: a+b+c=2 ,~ ab+bc+ca= - 1], [eqn: a over bc + b over ca + c over ab = -3] 일 때, [eqn: bc over a + ca over b + ab over c]의 값을 구하시오.

ex)  [eqn: {n^2 -10n+4 } over n-10]가 정수가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

ex) [eqn: {x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}} over {xy+yz+zx} =5,``` {y+z} over {x} + {z+x} over {y} + {x+y} over {z} =6] 일 때, [eqn: {(x+y+z) ^{3}} over {xyz}]의 값을 구하여라.

ex) 갑과 을은 그림과 같은 트랙의 [eqn: rmS`]지점]에서 서로 반대방향으로 동시에 출발하였다. 출발 후 갑이 [eqn: 160``rmm`]를 달리고 난 지점]에서 처음으로 서로 만났고, 을이 [eqn: rmS`]지점]까지 [eqn: 50``rmm`]를 남겨 놓은 지점]에서 두 번째로 만났다. 두 사람의 속력이 각각 일정하다고 할 때, 이 트랙의 길이는 [eqn: a``rmm`]이다. [eqn: a`]의 값을 구하시오.

Theme #13. 번분수 // 부분분수

Note) 유리식의 기본적인 연산과 더불어 특수한 형태의 유리식과 관련된 유형을 익힐 필요가 있음.

매우 자주 등장하는 계산 테크닉이므로 반드시 숙달해야 하고 특히, 부분분수 분해는 이 후 수1학습을 비롯한 많은 영역에서 보게 될 것임.

Thm 13.1) 번분수식

[eqn: {{A} over {B}} over {{C} over {D}} = {AD} over {BC}]

pf)

Thm 13.2) 부분분수 분해 (곱으로 연결되어 있는 합으로 변환!!)

(1) [eqn: {1} over {AB} = {1} over {B-A} ( {1} over {A} - {1} over {B} )]

(2) [eqn: {1} over {ABC} = {1} over {C-A} ( {1} over {AB} - {1} over {BC} )]

pf)

Note) 헤비사이드의 부분분수 분해

ex) [eqn: {x} over {x- {1} over {x+ {1} over {x}}}]를 간단히 하면?

ex) 자연수 [eqn: a,```b,```c]에 대하여 등식 [eqn: {32} over {15} =a+ {1} over {b+ {1} over {c}}]이 성립할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

ex) 실수 [eqn: x]를 다음과 같이 표현할 수 있을 때, [eqn: x]의 값을 구하면?

[eqn: x=1+ {1} over {2+ {1} over {1+ {1} over {2+ {1} over {1+ BULLET BULLET BULLET }}}}]

ex) [eqn: {1} over {x(x+1)} + {1} over {(x+1)(x+2)} + {1} over {(x+2)(x+3)}]을 간단히 하면?

ex) [eqn: {1} over {1 BULLET 3} + {1} over {2 BULLET 4} + {1} over {3 BULLET 5} + BULLET BULLET BULLET + {1} over {99 BULLET 101}]의 값은?

ex) 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 집합
[eqn: A _{n} = LEFT { x`|`n ` ^{2} +3n+2 LEQ x LEQ n ` ^{2} +3n+6` RIGHT } ,]

[eqn: B _{n} = LEFT { x`|`2n `^{2} `+2 LEQ x LEQ 2n ` ^{2} +5`RIGHT }] 가 있다.  연산 [eqn: TRIANGLE]을 [eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n} =(A _{n} CUP B _{n} )-(A _{n} SMALLINTER B _{n} )]으로 정의하고, 집합 [eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n}]의 원소 중 최솟값을 [eqn: f(n)]이라 하면 [eqn: {1} over {f(4)} + {1} over {f(5)} + CDOTS + {1} over {f(9)} `=`K]이다.  이 때, [eqn: 110`K]의 값을 구하시오.

Theme #14. 비례식

Thm 14.1) 비례식의 성질 (거의 대부분의 문제가 비례상수의 존재만 인식하면 ok!!!!)

비례식 [eqn: x:y=a:b]가 성립하면

(1) [eqn: x=ak,````y=bk] ([eqn: k`:`]비례상수)

(2) [eqn: {x} over {y} = {a} over {b} ,`````ay=bx]

(3) [eqn: {x+y} over {y} = {a+b} over {b}]

(4) [eqn: {x-y} over {y} = {a-b} over {b}]

(5) [eqn: {x+y} over {x-y} = {a+b} over {a-b}]

(6) [eqn: {a} over {b} = {c} over {d} = {e} over {f} = {a+c+e} over {b+d+f} = {pa+qc+re} over {pb+qd+rf}] (단, [eqn: b+d+f != 0], [eqn: pb+qd+rf != 0]) : 가비의 리(일반화 가능)

cf) [eqn: x:y:z=a:b:c````` LRARROW ````x=ak,```y=bk,```z=ck]

pf)

ex) [eqn: a:b=4:3]일 때, [eqn: {ab} over {(a+b) ^{2}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: ab != 0])

ex) [eqn: (x+y):(y+z):z=5:7:4]일 때, [eqn: {xyz} over {(x+y)(y+z)(z+x)}]의 값은?

ex) [eqn: x-2y+z=0,````x+3y-2z=0]을 만족하는 실수 [eqn: x,```y,```z]에 대하여 [eqn: {(x+y+z) ^{2}} over {xy+yz+zx}]의 값을 구하여라.(단, [eqn: xyz != 0])

ex) [eqn: {a+2b} over {b-2a} = {-3b} over {a} =k]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: {a} over {b} = {c} over {d} = {e} over {f} = {3} over {4}]일 때, [eqn: {2a-4c+7e} over {2b-4d+7f}]의 값을 구하여라.(단, [eqn: 2v-4d+7f != 0])

Theme #15. 유리함수

Remark) 함수의 기본적인 내용에 대한 학습이 완료되었다. 이 지식들을 바탕으로 지금부터 소개되는 함수들을 해석해 보도록 하자. 1학기 때 학습한 다항식을 떠올리면 다항식은 수에서의 정수와 같은 역할을 한다고 배웠다.

즉, 다항식을 이용하여 분수형태의 식(유리식)을 생각할 수 있게 되고 이것이 바로 유리함수이다.

Def 15.1) 유리함수

함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: x]에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라고 하고, 특히 [eqn: f(x)]가 [eqn: x]에 대한 분수식일 때, 이 함수를 분수함수라고 한다.

cf) 분수함수 [eqn: SUBSET] 유리함수

ex) [eqn: y=x+3] // [eqn: y= {x ^{2} -9} over {x-3}] // [eqn: y= {x-3} over {x-2}] // [eqn: y= {2x} over {x ^{2} -2}]

Remark) 함수의 종류(고등수준)에는 다항함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수가 있고 이 함수들에 대하여 기본적인 분석을 해나갈 것이다. 이 때, 함수를 바라보는 시각은 주어진 함수의 가장 기본이 되는 sample함수를 떠올리고, 그것을 어떻게 조작해야 원하는 함수를 얻을 수 있을지를 고민해야만 한다.

Thm 15.1) 분수함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}][eqn: (ad-bc != 0,```c != 0)]의 그래프

함수의 식을 [eqn: y= {k} over {x-p} +q] ([eqn: k != 0])꼴로 변형할 수 있으므로

(1) [eqn: y= {k} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 그래프이다.

(2) 정의역 : [eqn: LEFT { x```□```x != p인`실수 RIGHT }], 치역 : [eqn: LEFT { y```□```y != q인`실수 RIGHT }]

(3) 점근선이 두 직선 [eqn: x=p,```y=q]인 직각쌍곡선이다.

(4) 점 [eqn: (p,```q)]에 대하여 대칭이고, 두 직선 [eqn: y=±(x-p)+q]에 대하여도 대칭이다.

Pf) Use [eqn: y= {k} over {x}]!!!!

ex) 함수 [eqn: y= {1} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하였더니 두 직선 [eqn: y=x-6], [eqn: y=-x+2]에 대하여 각각 대칭이 되었다. 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: -pq``]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: y= {1-2x} over {x-2}]의 그래프는 점 [eqn: (`a`,`b`)]에 대하여 대칭이고, 직선 [eqn: y=x+c]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc``]의 값을 구하시오.

ex) 두 분수함수 [eqn: y```=` {`ax```+`1`} over {`2x```-`6`}], [eqn: y```=` {`bx```+`1`} over {`2x```+`6`} ``]의 그래프가 직선 [eqn: y```=`x``]에 대하여 대칭일 때, [eqn: b```-`a``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b``]는 상수이다.)

ex) 분수함수 [eqn: y `=` {ax+b } over { x+c } ```]의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 [eqn: y```]축과 점 [eqn: (0`,``4)`]에서 만나고 두 점근선이 점 [eqn: (-4`,``2)`]에서 만날 때, 세 상수 [eqn: a,``b,``c``]에 대하여 [eqn: a+b-c``]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: y= {2} over {x}]의 그래프와 직선 [eqn: y=ax+1]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

ex) 함수 [eqn: y= {k} over {x-5} +2]의 그래프가 모든 사분면을 지나도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값을 구하여라

ex) 함수 [eqn: f(x)= {x} over {x-1}]에 대하여 [eqn: (g CIRC f)(x)=x+1]을 만족시키는 함수 [eqn: g(x)]의 역함수 [eqn: g ^{-1} (x)]가 존재할 때, [eqn: g ^{-1} (3)]의 값은?

ex) [eqn: 3 LEQ x LEQ 5]에서 부등식 [eqn: ax+1 LEQ {x+1} over {x-2} LEQ bx+1]이 항상 성립할 때, [eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합은?

ex) [eqn: 2 LEQ x LEQ 3]에서 부등식 [eqn: ax ^{2} -2ax+a+1 LEQ {x+1} over {x-1} LEQ bx ^{2} -2bx+b+1]이 항상 성립할 때, 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], [eqn: b]의 최솟값을 [eqn: m]이라 한다. 이 때, [eqn: M+m]의 값은?

ex) [eqn: 0 LEQ x LEQ 5]에서 방정식 [eqn: x- LEFT [ x RIGHT ] = {1} over {x-1}]의 해의 개수는?

ex) 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 분수함수 [eqn: y= {2x-2} over {x ^{2} -x+1}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm``]의 값을 구하시오.

ex) 두 집합 [eqn: A= LEFT { ` LEFT ( x,``y RIGHT ) ` `y= {2x+4} over {x+1} ,``0≦x≦1 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { LEFT ( x,``y RIGHT ) ` `y=m LEFT ( x+2 RIGHT ) RIGHT }]에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B != EMPTYSET]이 성립하는 [eqn: m]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 분수함수 [eqn: y=f``(x) ```]의 그래프가 두 직선[eqn: y=x+4,~y=-x-2]에 대하여 각각 대칭일 때, 역함수 [eqn: y=f^{-1} (x) ```]의 그래프는 두 직선 [eqn: y=px+q,~y=rx+s ```]에 대하여 각각 대칭이다. 이 때, 네 상수 [eqn: p,~q,~r,~s ```]에 대하여  [eqn: p^2 +q^2 +r^2 +s^2` ```]의 값을 구하시오.

ex) 양의 실수 전체의 집합 [eqn: A]에 대하여 집합 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: f]와 [eqn: h]를 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x,~h LEFT ( x RIGHT ) = {40x+60} over {f LEFT ( x RIGHT )}]으로 정의한다.  함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: h LEFT ( g LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT )]의 값을 구하시오.

ex) 분수함수 [eqn: y= 2x+4 over {|``x``|+1}`]는 [eqn: x=p`]에서 최댓값 [eqn: q`]를 갖는다. 이때 [eqn: p+q`]의 값은?

ex) 그림과 같이 제[eqn: 1]사분면에 있는 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A LEFT ( ita,```` {2} over {a} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( itb,```` {2} over {b} RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: \AB]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC], 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmD]라 하자.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

(단, [eqn: a<b]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

		<보기>
	ㄱ. 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+b]이다. ㄴ. 두 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmOD]의 기울기의 합은 [eqn: 0]이다. ㄷ. [eqn: bar{\AB}=2bar{\OA}]일 때, [eqn: rm ANGLE AOC`= 3over2 ANGLE AOD]이다.

ex) 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {4} over {x} `] 위의 점 중에서 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP`], 제[eqn: 3`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고, 점 [eqn: rmQ`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 할 때, 육각형 [eqn: rm APBCQD`]의 넓이의 최솟값은?

ex) 그림과 같이 함수 [eqn: y= {2} over {x-1} +2]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 이 함수의 그래프의 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 하고, 두 점근선의 교점을 [eqn: rm S]라 하자. 사각형 [eqn: rm PRSQ]의 둘레의 길이의 최솟값은? (단, 점 [eqn: rm rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rmP]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm S]

[eqn: y= {2} over {x-1} +2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

ex) 그림과 같이 함수 [eqn: y= {1} over {x}] 의 제 [eqn: 1] 사분면 위의 점 [eqn: rmA] 에서 [eqn: x] 축과 [eqn: y] 축에 평행한 직선을 그어 [eqn: y= {k} over {x}] [eqn: (k`>0)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm B,`C] 라 하자. [eqn: rmTRIANGLE ABC] 의 넓이가 [eqn: 50] 일 때, [eqn: k] 의 값을 구하시오.

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: y= {1} over {x}]

[eqn: y= {k} over {x}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

ex)  그림과 같이 함수 [eqn: f(x)= {8} over {2x-1}][eqn: LEFT ( x＞ {1} over {2} RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-x]가 있다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P]를

지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=`-x]와 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 하자. 선분 [eqn: RM`PQ]의 길이의 최솟값은?

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=`-x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: {1} over {2}]

Theme #16. 제곱근

Def 16.1) 무리식

근호 안에 문자를 포함하는 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식

Thm 16.1) 제곱근의 성질 (제곱근의 정의는 반드시 기억할 것!!)

임의의 실수 또는 그 결과가 실수인 식 [eqn: A]에 대하여

(1) [eqn: sqrt {A ^{2}} = cases{A&(A GEQ 0)#-A&(A<0)}] [eqn: = LEFT | A RIGHT |]

(2) [eqn: root {3} of {A ^{3}} =A]

Pf) By graph

ex) [eqn: -1 LEQ a LEQ 1,```x=(a-1) ^{2}]일 때, [eqn: sqrt {x} + sqrt {x+4a}]를 간단히 하면?

ex) [eqn: 0<a<1,````x=a+ {1} over {a}]일 때, [eqn: sqrt {x ^{2} -4} -x]를 [eqn: a]를 써서 간단히 하면?

ex) [eqn: sqrt {x ^{2} +4x+4} + sqrt {x ^{2} -2x+1}]을 간단히 하면?

ex) 실수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p`:` {sqrt {x+3}} over {sqrt {x-12}} =- sqrt {{x+3} over {x-12}} ,`````q:`-5<x<n-4]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때,

상수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

Theme #17. 분모의 유리화

✔ 분모의 유리화 : 분모가 근호를 포함하고 있을 때, 값은 유지시키면서 분모의 근호를 없애는 것

- 무리식의 연산과정에서 그 편의성을 확보하기 위하여 수행하는 작업이므로 충분한 연습을 통해 숙달되어야 함.

ex) 다음 식을 간단히 하시오.

(1) [eqn: {2x} over {sqrt {x+1} - sqrt {1-x}}]

(2) [eqn: {1} over {sqrt {x+2} + sqrt {x}} + {1} over {sqrt {x+2} - sqrt {x}}]

ex) 자연수 [eqn: a,````b]에 대하여 [eqn: N(a,````b)= {1} over {sqrt {a} + sqrt {b}}]로 정의할 때, [eqn: N(1,```2)+N(2,```3)+N(3,```4)+ BULLET BULLET BULLET +N(15,```16)]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: f(x)= sqrt {2x+1} + sqrt {2x-1}]일 때, [eqn: {1} over {f(1)} + {1} over {f(2)} + {1} over {f(3)} + BULLET BULLET BULLET + {1} over {f(40)}] 의 값을 구하시오.

ex) [eqn: {1} over {1- sqrt {2} + sqrt {3}}]을 간단히 하면?

ex) 양의 실수 [eqn: x]의 소수 부분을 [eqn: y]라고 하면 [eqn: x^2 +y^2 =3]이 성립한다. 이 때, [eqn: 1 over y]의 값을 구하시오.

ex)[eqn: sqrt {3}]의 소수부분을 [eqn: a _{1}], [eqn: {1} over {a _{1}}]의 소수부분을 [eqn: a _{2}], [eqn: {1} over {a _{2}}]의 소수부분을 [eqn: a _{3}], [eqn: BULLET BULLET BULLET], [eqn: {1} over {a _{n}}]의 소수부분을 [eqn: a _{eqalign{n+1# }}]이라 하자.

[eqn: a _{30}]의 값은?

ex)  [eqn: n``≧``2] 인 정수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: root {n+1} - root n ``＜`` 1over{2 root n}^` ``＜`` root n - root {n-1}]이 성립함을 이용하여 [eqn: 1 over 2 left( 1over {root2 }^`+ 1over {root3}^` + 1over {root4}^` +``cdots`` + 1over {root81}^` right)]의 값을 계산하였을 때,     정수 부분의 값을 구하시오.

ex) [eqn: ( root2 + root 3 )^2008 = a]라 할 때, [eqn: (root 2 - root 3 )^ 2008]을 [eqn: a]로 나타내시오.

ex)  무리수 [eqn: root n]의 정수 부분을 [eqn: a], 소수 부분을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a^2 +b^2 = 3-2b]를 만족하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: n]이 자연수이고, [eqn: x= left{ { ( root 2 +1 )^n + ( root 2 -1 )^n } over 2 right}^2]일 때, [eqn: root x + root x-1]의 값은?

ex) [eqn: root {x^2 +1 } = - x root { 1 + 1 over x^2 }]을 만족하고, [eqn: 1 over { root 3-|x| }]의 값이 정수가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

ex) 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +n}]의 정수 부분을 [eqn: f(n)], 소수 부분을 [eqn: g(n)]이라고 할 때, [eqn: {f(n)} over {g(n)}]의 정수 부분을 구하시오.

Theme #18. 무리함수

Def 18.1) 무리함수

함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: x]에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 한다.

Note) 무리함수의 가장 sample이 되는 함수는 [eqn: y= sqrt {x}]이고 이를 기본으로 무리함수를 해석하기로 하자.

Note) 고1수준에 적합한 무리함수는 [eqn: y= sqrt {x}]를 기본으로 하는 함수와 [eqn: y= sqrt {r ^{2} -x ^{2}}]형태의 함수, 이 둘 뿐이다.

Note) [eqn: y= sqrt {x}]

Thm 18.1) 무리함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c] ([eqn: a != 0])의 그래프

함수를 [eqn: y= sqrt {a(x-p)} +q]꼴로 변형할 수 있으므로

(1) [eqn: y= sqrt {ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 그래프이다.

(2) 정의역 : [eqn: a>0]일 때 [eqn: LEFT { x```□```x GEQ p인`실수 RIGHT }], [eqn: a<0]일 때 [eqn: LEFT { x```□```x LEQ p인`실수 RIGHT }]

치역 : [eqn: LEFT { y```□```y GEQ q RIGHT }]인 실수

(3) 점 [eqn: (p,```q)]가 그래프의 시작점이다.

Pf)

Thm 18.2) 무리함수 [eqn: y= sqrt {r ^{2} -x ^{2}}]([eqn: r>0])의 그래프

(1) [eqn: y= sqrt {r ^{2} -x ^{2}}]의 그래프는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]에서 [eqn: x]축 위쪽에 그려지는 반원을 나타낸다.

(2) 정의역 :　[eqn: LEFT { x```□```-r LEQ x LEQ r RIGHT }], 치역 : [eqn: LEFT { y```□```0 LEQ y LEQ r RIGHT }]

Pf)

ex) 점 [eqn: (`-2``,``2`)]를 지나는 함수 [eqn: y= sqrt {-ax}]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 후 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 점 [eqn: (`-8``,`-3`)]을 지난다고 한다. 이 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 + b^2``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a != 0])

ex) 함수 [eqn: y= root {ax+b}+c``]의 그래프가   오른쪽 그림과 같을 때, 함수  [eqn: y= b over {x+a} +c``]의 그래프로 적당한 것은?

ex) 함수 [eqn: y= SQRT { ax+b} ```]와 그 역함수의 그래프가 점[eqn: (1,~2) ```]에서 만날 때, 두 상수 [eqn: a,~b ```]에 대하여 [eqn: -ab ``]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)= cases { root 2x-4 +1 ~ &(x>=2) # - 2 over x + 2 ~ & ( 0<x<2 )}}]에 대하여

[eqn: f^-1 (2)+f^-1 (-4)]의 값을 구하시오.

ex) 무리함수 [eqn: f(x)= sqrt {x-1} +k]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: k]의 최댓값은?

ex) 꼭지점의 좌표가 [eqn: ( {1} over {2} ,``` {9} over {2} )]인 이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 점 [eqn: (0,```4)]를 지날 때, 무리함수 [eqn: g(x)=a sqrt {x+b} +c]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

		<보기>
	ㄱ. 정의역은 [eqn: LEFT { x```□```x GEQ -2 RIGHT }]이고, 치역은 [eqn: LEFT { y```□```y LEQ 4 RIGHT }]이다. ㄴ. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 제 3사분면을 지난다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]([eqn: alpha < beta])라 할 때, [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값은 2이다.

ex) 함수 [eqn: f(x)= LEFT [ sqrt {x} -1 RIGHT ]]에 대한 설명 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오

		<보기>
	ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족한다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 -1이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx]가 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 양수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: {2} over {9}]이다.

ex) 두 함수 [eqn: f(x)= sqrt {2x+3}], [eqn: g(x)=px+q][eqn: (p>0)]에 대하여 부등식 [eqn: f(x- {3} over {2} ) LEQ g(x) LEQ f(x)]를 만족하는 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: 2 LEQ x LEQ 3]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

ex) 두 부등식 [eqn: y GEQ sqrt {4x-4} -2], [eqn: y LEQ 4]를 동시에 만족하는 두 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: xy]의 최댓값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)= sqrt {1-x} + sqrt {1+x}]의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.

ex)  [eqn: -9<=x<= -1]에서 함수 [eqn: y= - 2 root -x + 3]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m over M]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: y= sqrt {2-4x}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 함수 [eqn: y= sqrt {x+1} +2]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라고 할 때, 연립방정식 [eqn: {cases{y= sqrt {x+1} +2&#y=g(x)&}}]의 근을 [eqn: x= alpha ,```y= beta]라고 한다. 이 때, [eqn: alpha ^{2} -5 beta]의 값은?

ex) 두 함수 [eqn: f(x)= sqrt {20-2x} ,```g(x)= sqrt {12+2x}]에 대하여 [eqn: -6 LEQ x LEQ 10]에서 정의된 함수 [eqn: h(x)=f(x)+g(x)]의 최댓값을 구하여라.

ex) 다음 중 무리함수 [eqn: y=1- sqrt {-x ^{2} +2x}]의 그래프는?

①		②
③		④
⑤

ex) 함수 [eqn: y=- sqrt {4-x ^{2}}]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx+2-3m]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]의 값의 범위가 [eqn: alpha <= m< beta]일 때, 상수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha +5 beta]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x} + sqrt {4-x}]의 최댓값을 구하시오.