집합(2점)

수학Ⅱ 모의고사 단원별 총모음 2015년

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } ,~B= LEFT { 1,~3,~k RIGHT }]에 대하여 합집합 [eqn: A CUP B]의 모든 원소의 합이 [eqn: 21]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: k]를 제외한 집합 [eqn: A CUP B]의 원소의 합은 [eqn: 15]이므로 [eqn: k]의 값은 [eqn: 6]이다.

[2점][2015년 고1 10월 대성]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``3 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { `2,``4 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은?

정답 ④

[출제의도] 집합의 연산을 활용하여 계산하기

[eqn: A CUP B= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 10]

[2점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

전체집합 [eqn: U= it LEFT { 1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= it LEFT { 1`,~2` RIGHT } `], [eqn: B= it LEFT { 2`,~3,~4` RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A^C` CUP B`]의 원소의 개수는?

정답 ④

[출제의도] 집합의 원소의 개수 계산하기

[eqn: U= it LEFT { 1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= it LEFT { 1`,~2` RIGHT } `],

[eqn: B= it LEFT { 2`,~3,~4` RIGHT } `]에 대하여

집합 [eqn: A ^{c} ` CUP B`=left{2,``3,``4,``5`right}]이므로 원소의 개수는

[eqn: 4`]개이다.

[2점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

두 집합 [eqn: A= left{ 1,~2,~3,~4,~5 right },] [eqn: B`= left{ 3,~4,~5,~6,~7,~8,~9 right }]에 대하여 [eqn: n(B`-A)]의 값은?

정답 ④

[eqn: B`-A= left{ 6,~7,~8,~9 right }]이므로 [eqn: n(B`-A) =4]

[2점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합(3점)

[eqn: 36]의 양의 약수를 모두 원소로 갖는 집합 [eqn: A]가 있다. 공집합이 아닌 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 모든 원소의 합이 홀수인 부분집합의 개수를 구하시오. (단, 집합의 원소가 한 개일 때, 그 원소를 모든 원소의 합으로 생각한다.)

정답 [eqn: 256]

[eqn: 36 = 2^2 times 3^2]이므로

[eqn: A= left{ 1,~2,~3,~4,~6,~12 ,~18,~ 36 right}]

집합 [eqn: A]의 원소 중에서 홀수는 [eqn: 1,~3,~9]이고 나머지는 짝수이다. 집합의 모든 원소의 합이 홀수이려면 홀수는 홀수개만 포함하여야 한다.

(ⅰ) 홀수가 [eqn: 1]개인 부분집합

짝수 [eqn: 2,~4,~6,~ 12,~18,~36]으로 부분집합을 만든 다음 [eqn: 1,~3,~9] 중에서 한 개를 원소로 포함시키는 경우이므로 그 개수는 [eqn: 2^6 times 3 = 192]

(ⅱ) 홀수가 [eqn: 3]개인 부분집합

짝수 [eqn: 2,~4,~6,~ 12,~18,~36]으로 부분집합을 만든 다음 [eqn: 1,~3,~9]를 모두 원소로 포함시키는 경우이므로 그 개수는 [eqn: 2^6 = 64]

따라서, 구하는 부분집합의 개수는 [eqn: 192 + 64 = 256]이다.

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

전체집합 [eqn: U=left{`x` |`x`]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1`,~3`,~5`,~7`,~9 RIGHT }`]와 [eqn: B`]에 대하여 그림과 같은 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합이 [eqn: LEFT { 1`,~2`,~9 RIGHT } `]일 때, 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은?

정답 ③

이해력 – 집합과 명제

[eqn: B= LEFT { 2`,~3`,~5`,~7 RIGHT }`]이므로 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 17`]이다.

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

집합 [eqn: LEFT { 2`,~4`,~6`,~8`,~10 RIGHT }`]의 부분집합 중에서 [eqn: 4`]의 배수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는?

정답 ③

이해력 – 집합과 명제

집합 [eqn: LEFT { 2`,~4`,~6`,~8`,~10 RIGHT }`]의 모든 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5} =32`]이고, [eqn: 4`]의 배수는 [eqn: 4`]와 [eqn: 8`]이므로 [eqn: 4`]의 배수를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5-2} =2 ^{3} =8`]이다. 따라서  [eqn: 4`]의 배수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 [eqn: 32-8=24`]이다.

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A,~B]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ③

[eqn: A = left{1,~2 right}]이면 [eqn: B= left{1,~2,~3,~4 right}]

[eqn: A = left{1,~2,~3 right}]이면 [eqn: B= left{1,~2,~4 right}]

[eqn: A = left{1,~2,~4 right}]이면 [eqn: B= left{1,~2,~3 right}]

[eqn: A = left{1,~2,~3,~4 right}]이면 [eqn: B= left{1,~2 right}]

따라서, 구하는 순서쌍 [eqn: (A,~B)]의 개수는 [eqn: 4]이다.

(가) [eqn: A cap B = left{1,~2 right}]

(나) [eqn: A cup B =U]

두 집합 [eqn: A,~B]의 순서쌍 [eqn: (A,~B)]의 개수는?

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

자연수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A,~B``]가

정답 [eqn: 27]

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9,~11,~13,~15,~17,~19 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { 2,~3,~5,~7,~11,~13,~17,~19 RIGHT }]

[eqn: A-B= LEFT { 1,~9,~15 RIGHT }]

[eqn: B-A= LEFT { 2 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT ( A-B` RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) = LEFT { 1,~2,~9,~15 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) `]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+9+15=27`]이다.

[eqn: A= LEFT { x`left|`x`는```20```이하의```홀수 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { x` LEFT | `x`는```20```이하의```소수 RIGHT } RIGHT .]

일 때, 집합 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) `]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

정답 ④

[출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

드 모르간의 법칙에 의해 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `= LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C}]

[eqn: n(A` CUP B`)`][eqn: =n(U)-n` LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT )][eqn: =50-5=45]

따라서 [eqn: n`LEFT ( LEFT ( A-B RIGHT ) CUP ` LEFT ( B-A RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: =n(A`CUP B`)-n(A` SMALLINTER B`)`][eqn: =45-12=33`]

[eqn: n(U`)=50`], [eqn: n`(A`smallinterB)=12`], [eqn: n`left(A^{C}smallinter`B^{C}``right)=5`]

일 때, [eqn: n` LEFT ( ` LEFT ( A-B `` RIGHT ) ` CUP LEFT ( B-A `` RIGHT ) ` RIGHT)`]의 값은?

[3점][2015년 고1 9월 인천교육청]

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

집합 [eqn: A= LEFT { `z`` LEFT | ``z=i` ^{n} ` RIGHT . RIGHT .], [eqn: n`]은 자연수[eqn: {matrix{`}right}`]에 대하여 집합 [eqn: B= LEFT { z _{1} ` ^{2} +z _{2} ` ^{2} `` LEFT | ``z _{1} IN A`,```z _{2} IN A^` RIGHT } ` RIGHT .]일 때,  집합 [eqn: B`]의 원소의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 [eqn: 3]

[출제의도] 조건을 만족시키는 집합의 포함관계를 이용하여 추론하기

[eqn: A= LEFT { i,```-1,```-i,```1 RIGHT } `]이고

[eqn: z IN A`]이면 [eqn: z ^{2} =1`] 또는 [eqn: z^{2} =-1`]이므로

[eqn: B= LEFT { z _{1} ^{```2} +z _{2} ^{```2} ` LEFT | z _{1} IN A`,```z _{2} IN A RIGHT } ` RIGHT .][eqn: = LEFT { -2,```0,```2 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B`]의 원소의 개수는 [eqn: 3]

[3점][2015년 고1 9월 인천교육청]

전체집합 [eqn: U=left{``x``left|``][eqn: x`]는 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: A=][eqn: "{"`x`` LEFT | ``x` RIGHT .]는 [eqn: 4`]의 약수[eqn: "}"],[eqn: B="{"`x`` LEFT | `x` RIGHT .]는 [eqn: 12`]의 약수[eqn: "}"]
일 때, [eqn: A` SUBSET X` SUBSET B`]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

정답 8

[출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: LEFT { 1,``2,``4 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1,``2,``3,``4,``6,`12 RIGHT }]이므로

조건을 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

전체집합 [eqn: U="{"`x``left|``x`]는 [eqn: 9`]이하의 자연수[eqn: "}"]의 두 부분집합 [eqn: A`,```B`]에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER `B= LEFT { `1 RIGHT .], [eqn: 2][eqn: LEFT. ` RIGHT }], [eqn: A ^{C} `` SMALLINTER `B= LEFT { ` RIGHT .][eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5][eqn: LEFT. ` RIGHT }], [eqn: A ^{C} ` SMALLINTER `B`` ^{C} ="{"][eqn: 8], [eqn: 9][eqn: LEFT. ` RIGHT }]를 만족시키는 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은?

정답 ⑤

[출제의도] 집합의 연산 이해하기

주어진 집합들을 벤다이어그램으로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: U]

[eqn: 1]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 9]

[eqn: 8]

따라서 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 16]

[3점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~6 RIGHT }]과 [eqn: B]가 다음 조건을 만족시킨다.

집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은?

정답 ①

조건 (나)에서

[eqn: A SMALLINTER LEFT ( A-B RIGHT ) =A SMALLINTER LEFT ( A SMALLINTER B ^{C} RIGHT ) =A SMALLINTER B ^{C}]

[eqn: =A-B=A]

이므로

[eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]

또한 [eqn: A CUP B=U]이므로 [eqn: B= LEFT { 3,~4,~5 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은

[eqn: 3+4+5=12]

(가) [eqn: A CUP B=U]

(나) [eqn: A SMALLINTER LEFT ( A-B RIGHT ) =A]

[3점][2015년 고1 10월 대성]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

자연수 [eqn: x]에 대한 세 조건
[eqn: p~:~x ^{2} -7x+12=0]
[eqn: q`:`x]는 [eqn: 4]의 배수이다.
[eqn: r`:` LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) LEQ 0]
의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q,~R]라 하자. 집합 [eqn: LEFT ( P CUP Q RIGHT ) ^{C} SMALLINTER R]의 원소의 개수는?

정답 ④

[eqn: P= LEFT { 3,~4 RIGHT } ,~Q= LEFT { 4,~8,~12,~ CDOTS RIGHT } ,~R= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~ CDOTS ,~10 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: LEFT ( P CUP Q RIGHT ) ^{C} SMALLINTER R=P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} SMALLINTER R]의 원소는 [eqn: 10]이하의 자연수 중에서 [eqn: 3,~4,~8]을 제외한 것이다.

따라서 구하는 원소의 개수는 [eqn: 7]이다.

[3점][2015년 고1 10월 대성]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

집합 [eqn: U= left{1,~2,~3,~cdots,~10 right}]의 세 부분집합 [eqn: A,~B,~C]가

정답 [eqn: 35]

[eqn: A-B = left{2,~5,~6,~9 right},~A-C= left{1,~2,~4,~8 right}]이므로

[eqn: A cap (B cap C)^c =A cap ( B ^c cup C^c )]

[eqn: =(A cap B^c ) cup (A cap C^ c )]

[eqn: =(A -B) cup (A-C)]

[eqn: = left{ 2,~5,~6,~9 right} cup left{1,~2,~4,~8 right}]

[eqn: = left{1,~2,~4,~5,~6,~8,~9 right}]

따라서 집합 [eqn: A cap (B cap C)^c]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+4+5+6+8+9 = 35]

[eqn: A-B= left{2,~5,~6,~9right},~A-C = left{1,~2,~4,~8 right}]을 만족시킬 때, 집합 [eqn: A cap (B cap C)^c]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[3점][2015년 고1 10월 대성]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 중 [eqn: A SMALLINTER LEFT ( A ^{C} CUP B RIGHT )]와 항상 같은 집합은?

정답 ①

[eqn: A SMALLINTER LEFT ( A ^{C} CUP B RIGHT ) = LEFT ( A SMALLINTER A ^{C} RIGHT ) CUP LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: = EMPTYSET CUP LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: =A SMALLINTER B]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: A SMALLINTER B]	② [eqn: A CUP B]	③ [eqn: A-B]

④ [eqn: B-A]	⑤ [eqn: A CUP B ^{C}]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x|x]는 [eqn: 20]이하의 자연수}에 대하여 조건

정답 ①

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~cdots,~20 RIGHT }]의 원소 중 홀수이고 [eqn: 3]의 배수인 것은 [eqn: 3], [eqn: 9], [eqn: 15]이다.

따라서 진리집합의 모든 원소들의 합은 [eqn: 3+9+15=27]

‘[eqn: x]는 홀수이고 [eqn: 3]의 배수이다.’

의 진리집합의 모든 원소의 합은?

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: n(U) =30], [eqn: n(A) = 20], [eqn: n(A SMALLINTER B)=10], [eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )=5]일 때, [eqn: n(B)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

[eqn: A ^{c} SMALLINTER B ^{c} =(A CUP B) ^{c}]이므로

[eqn: n (A cup B ) = n(U) - n(A^c cap B^c `)=30-5=25]

[eqn: n(A CUP B)=n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)]이므로

[eqn: 25=20 + n(B) -10]

[eqn: therefore] [eqn: n(B) =15]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

전체집합 [eqn: U= left{x`` |``x`]는 [eqn: 200`] 이하의 자연수[eqn: `right}`]의 두 부분집합 [eqn: A,~B`]가 다음과 같다.

정답 ④

[eqn: (A-B)smallunion(B smallinterA^c right)=(A-B)smallunion(B-A) `]

[eqn: n(A)=50,~n(B)=40,~n(A smallinterB)=10 `]

따라서, 집합 [eqn: (A-B)smallunion(B smallinterA^c ) `]의 원소의 개수는

[eqn: 50+40-2times10=70 `]

[eqn: A=left{x`` |``x`]는 [eqn: 4`]의 배수[eqn: `right}`], [eqn: B=left{x`` |``x`]는 [eqn: 5`]의 배수[eqn: `right}`]

집합 [eqn: (A-B)smallunion(B smallinterA^c ) `]의 원소의 개수는?

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: 40`]	② [eqn: 50`]	③ [eqn: 60`]

④ [eqn: 70`]	⑤ [eqn: 80`]

두 집합

정답 [eqn: 57]

[eqn: A cup B = left{1,~2,~3,~4,~5,~6 right}]이므로 집합 [eqn: A cup B]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^6 = 64]이다.

(ⅰ) [eqn: X cap A = emptyset], [eqn: X cap B ne emptyset]인 집합 [eqn: X]는

[eqn: left{5 right}], [eqn: left{6 right}], [eqn: left{5 ,~6right}]의 [eqn: 3]개

(ⅱ) [eqn: X cap A ne emptyset], [eqn: X cap B = emptyset]인 집합 [eqn: X]는

[eqn: left{1 right}], [eqn: left{2 right}], [eqn: left{1,~2 right}]의 [eqn: 3]개

(ⅲ) [eqn: X cap A = emptyset], [eqn: X cap B = emptyset]인 집합 [eqn: X]는

[eqn: emptyset]의 [eqn: 1]개

따라서 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 64-3-3-1 = 57]

[eqn: A = left{1,~2,~3,~4 right}], [eqn: B= left{3,~4,~5,~6 right}]

에 대하여 [eqn: X cap A ne emptyset], [eqn: X cap B ne emptyset], [eqn: X subset ( A cup B)]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오.

[3점][2015년 8월 비상]

두 집합 [eqn: A,~B`]에 대하여

정답 ⑤

두 집합 [eqn: A,~B`]의 포함관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: A=left{2,~3,~4,~5right}`]이므로 집합 [eqn: A`]의 모든 원소들의 합은 [eqn: 2+3+4+5=14`]이다.

[eqn: A smallunionB=left{1,~2,~3,~4,~5 right},~ A SMALLINTERB=left{3,~4right},~B-A=left{1right}`]일 때, 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합은?

[3점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 11`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 13`]	⑤ [eqn: 14`]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,``4,``6,``8 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,``4 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은?

정답 ③

[출제의도] 차집합 계산하기

[eqn: A-B= LEFT { 6,``8 RIGHT } `]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 14``]이다.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`,``B`]에 대하여

정답 [eqn: 34]

[출제의도] 집합의 원소의 개수 이해하기

[eqn: n LEFT ( A ^{C} ` CUP B ^{C`} ` RIGHT ) =n LEFT ( (A SMALLINTER B) ^{C} `` RIGHT )]

[eqn: =n(U`)-n(A SMALLINTER B`)][eqn: =40-6=34]

[eqn: n(U`)=40], [eqn: n(A SMALLINTER B`)=6]

일 때, [eqn: n LEFT ( A ^{C} ` CUP B ^{`C`} ` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

집합(4점)

어느 학급의 전체학생 [eqn: 35]명에게 학급 체험활동으로 영화, 연극, 뮤지컬 중 한 가지 이상을 선택하도록 하였더니 그 결과가 다음과 같았다.

정답 ⑤

영화, 연극, 뮤지컬을 선택한 학생의 집합을 각각 [eqn: A,~B,~C]라 하면

[eqn: n LEFT ( A CUP B CUP C RIGHT ) =35]

(가)에서 [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]

(나)에서 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER C RIGHT ) =3]

(다)에서 [eqn: n LEFT ( B SMALLINTER C RIGHT ) =5]

(라)에서 [eqn: n LEFT ( A CUP B RIGHT ) =24]

[eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로 세 집합 [eqn: A,~B,~C]의 포함관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: n LEFT ( A CUP B RIGHT ) =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B RIGHT ) =24]

[eqn: n LEFT ( A CUP B CUP C RIGHT ) =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B RIGHT ) +n LEFT ( C RIGHT ) -3-5]

[eqn: 35=24+n LEFT ( C RIGHT ) -8]

[eqn: therefore~n LEFT ( C RIGHT ) =19]

(가) 영화와 연극 두 가지를 모두 선택한 학생은 없었다.

(나) 영화와 뮤지컬 두 가리를 모두 선택한 학생은 [eqn: 3]명이었다.

(다) 연극과 뮤지컬 두 가지를 모두 선택한 학생은 [eqn: 5]명이었다.
(라) 영화 또는 연극을 선택한 학생은 [eqn: 24]명이었다.

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: 100`]명의 학생을 대상으로 세 문제 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]를 풀게 하였다. 문제 [eqn: a`]를 맞힌 학생의 집합을 [eqn: A`], 문제 [eqn: b`]를 맞힌 학생의 집합을 [eqn: B`], 문제 [eqn: c`]를 맞힌 학생의 집합을 [eqn: C`]라 할 때, [eqn: n(`A`)=40], [eqn: n(`B`)=35], [eqn: n(`C``)=52], [eqn: n LEFT ( `A SMALLINTER B`` RIGHT ) =15], [eqn: n LEFT ( `A SMALLINTER C`` RIGHT ) =10], [eqn: n LEFT ( `A ^{C} ` SMALLINTER `B ^{`C} ` SMALLINTER C ^{``C`} `` RIGHT ) =7`]이다. 세 문제 중 두 문제 이상을 맞힌 학생 수의 최솟값은?

정답 ④

[출제의도] 집합의 원소의 개수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

전체집합을 [eqn: U], [eqn: n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)=x],

[eqn: n( LEFT ( B` SMALLINTER C`` RIGHT ) -A)=y]라 하고 벤다이어그램에

각각의 영역에 해당하는 원소의 개수를 표시하면

[eqn: 15+x]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: C]

[eqn: 10-x]

[eqn: 15-x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 20-y]

[eqn: 7]

[eqn: 42-y]

[eqn: n(A CUP B CUP C)=102-y=93]이므로 [eqn: y=9]

[eqn: x]의 범위는 [eqn: 0LEQx LEQ10]

두 문제 이상 맞힌 학생 수는 [eqn: 34-x]이므로

최솟값은 [eqn: x=10]일 때 [eqn: 24]명

[4점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지의 자연수를 모두 원소로 갖는 집합 [eqn: A`]가 있다. 집합 [eqn: A`]의 부분집합 [eqn: X``]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

정답 ①

집합 [eqn: X``]는 (가)에 의하여 짝수 [eqn: 2,~4,~6,~8,~10] 중에서 한 개 이상을 원소로 가져야 하고, (나)에 의하여 [eqn: 3`]의 배수 [eqn: 3,~6,~9] 중에서 한 개 이상을 원소로 가져야 한다.

[eqn: 6 IN X``]이면 (가), (나)를 모두 만족시키므로 [eqn: 6 IN X``]인 집합 [eqn: X``]의 개수는 [eqn: 2 ^{9} =512`]이다.

[eqn: 6 NOTIN X``]이면

(ⅰ) [eqn: 3 IN X``]이고 [eqn: 9 NOTIN X``]일 때,

[eqn: 3,~6,~9`]를 제외한 원소로 만든 부분집합의 개수에서 홀수 [eqn: 1,~5,~7`]로

만든 부분집합의 개수를 빼면 되므로 집합 [eqn: X``]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -2 ^{3} =120`]이다.

(ⅱ) [eqn: 3 NOTIN X``]이고 [eqn: 9 IN X``]일 때,

[eqn: 3,~6,~9`]를 제외한 원소로 만든 부분집합의 개수에서 홀수 [eqn: 1,~5,~7`]로

만든 부분집합의 개수를 빼면 되므로 집합 [eqn: X``]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -2 ^{3} =120`]이다.

(ⅲ) [eqn: 3 IN X``]이고 [eqn: 9 IN X``]일 때,

[eqn: 3,~6,~9`]를 제외한 원소로 만든 부분집합의 개수에서 홀수 [eqn: 1,~5,~7`]로

만든 부분집합의 개수를 빼면 되므로 집합 [eqn: X``]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -2 ^{3} =120`]이다.

따라서, 구하는 집합 [eqn: X``]의 개수는

[eqn: 512+120 TIMES 3=872`]이다.

(가) 집합 [eqn: X``]의 모든 원소의 곱은 짝수이다.

(나) 집합 [eqn: X``]의 원소 중에는 [eqn: 3`]의 배수가 한 개 이상 있다.

집합 [eqn: X``]의 개수는? (단, 집합의 원소가 [eqn: 1`]개일 때, 그 원소를 모든 원소의 곱으로 생각한다.)

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 872]	② [eqn: 874]	③ [eqn: 876]

④ [eqn: 878]	⑤ [eqn: 880]

[eqn: 100] 이하의 자연수를 모두 원소로 갖는 집합을 [eqn: U``]라 하자. 전체집합 [eqn: U``]의 세 부분집합 [eqn: P,~Q,~R``]가

정답 [eqn: 26]

[eqn: 64=2 ^{6} ,~81=3 ^{4} ,~25=5 ^{2}]

[eqn: P ^{C} ``]은 [eqn: 2`]의 배수의 집합, [eqn: Q ^{C} ``]은 [eqn: 3`]의 배수의 집합, [eqn: R ^{C} ``]은 [eqn: 5`]의 배수의 집합이므로

[eqn: n LEFT ( P ^{C} ` RIGHT ) =50,~n LEFT ( Q ^{C} ` RIGHT ) =33,~n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT ) =20]

[eqn: P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} ``]은 [eqn: 6`]의 배수의 집합, [eqn: Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ``]은 [eqn: 15`]의 배수의 집합,

[eqn: R ^{C} SMALLINTER P ^{C} ``]은 [eqn: 10`]의 배수의 집합이므로

[eqn: n LEFT ( P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} ` RIGHT ) =16,~n LEFT ( Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ` RIGHT ) =6,~n LEFT ( R ^{C} SMALLINTER P ^{C} ` RIGHT ) =10]

[eqn: P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ``]은 [eqn: 30`]으 배수의 집합이므로

[eqn: n LEFT ( P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ` RIGHT ) =3]

[eqn: THEREFORE ~n LEFT ( P ^{C} CUP Q ^{C} CUP R ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: =n LEFT ( P ^{C} ` RIGHT ) +n LEFT ( Q ^{C} ` RIGHT ) +n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: -n LEFT ( P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} ` RIGHT ) -n LEFT ( Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ` RIGHT ) -n LEFT ( P ^{C} SMALLINTER R ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: +n LEFT ( P ^{C} SMALLINTER Q ^{C} SMALLINTER R ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: =50+33+20-16-6-10+3]

[eqn: =74]

[eqn: THEREFORE ~n LEFT ( P SMALLINTER Q SMALLINTER R` RIGHT ) =n LEFT ( U` RIGHT ) -n LEFT ( LEFT ( P SMALLINTER Q SMALLINTER R` RIGHT ) ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: =n LEFT ( U` RIGHT ) -n LEFT ( P ^{C} CUP Q ^{C} CUP R ^{C} ` RIGHT )]

[eqn: =100-74=26]

[eqn: P= LEFT { x`left|`x`는```64`와```서로소 RIGHT }]

[eqn: Q= LEFT { x` LEFT | `x`는```81`과```서로소 RIGHT } RIGHT .]

[eqn: R= LEFT { x` LEFT | `x`는```25`와```서로소 RIGHT } RIGHT .]

일 때, [eqn: n LEFT ( P SMALLINTER Q SMALLINTER R` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) `]는 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수이다.)

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

집합 [eqn: X=left{`x``|```][eqn: x`]는 [eqn: 10``]이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]의 원소 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: X`]의 부분집합 중 [eqn: n`]을 최소의 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 [eqn: f(`n`)`]이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 부분집합의 개수 추론하기

[eqn: f LEFT ( `n RIGHT ) `]은 원소 [eqn: n`]을 최소의 원소로 갖는 집합 [eqn: X`]의 부분집합의 개수이므로 [eqn: f LEFT ( `n RIGHT ) `=2 ^{10-n}]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =`4] (참)

ㄴ. [eqn: f(9)=2], [eqn: f(10)=1]이므로 [eqn: f(9)>f(10)] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)=682] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[4점][2015년 9월 인천]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( `8` RIGHT ) =`4] ㄴ. [eqn: a`inX], [eqn: b`][eqn: IN `X``]일 때, [eqn: a<b]이면 [eqn: f LEFT ( `a` RIGHT ) <f LEFT ( `b` RIGHT )] ㄷ. [eqn: f(`1`)+f(`3`)+f(`5`)+f(`7`)+f(`9`)=682]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

전체집합 [eqn: U= left{ x`|` x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: `right}]의 두 부분집합

정답 ①

[eqn: B= left{2,~3,~5,~7 right}]

(가)에서 [eqn: A cap X = B cap X]이고 [eqn: A cap B = left{2,~5 right}]이므로

[eqn: 3 nin X,~4 nin X,~6 nin X,~7 nin X]

(나)에서 [eqn: (A cup B)^c subset X]이고

[eqn: A cup B= left{2,~3,~4,~5,~6,~7 right}]이므로

[eqn: left{ 1,~8,~9,~10 right} subset X]

즉, 집합 [eqn: X]는 [eqn: 1,~8,~9,~10]은 포함하고 [eqn: 3,~4,~6,~7]은 포함하지 않는 집합 [eqn: U]의 부분집합이다. 따라서 집합 [eqn: X]의 개수는 집합 [eqn: left{2,~5 right}]의 부분집합의 개수와 같다.

∴ [eqn: 2^2 = 4]

[eqn: A= left{ 2,~4,~5,~6 right},~B= left{ x`|`x]는 소수[eqn: `right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는?
(단, [eqn: X subsetU])

[4점][2015년 고1 10월 대성]

(가) [eqn: A cap X = B cap X]

(나) [eqn: (A^c cap B^c ) cup X=X]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

집합 [eqn: A`=` LEFT { x vert x는`10`이하의`자연수 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: X]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 896]

집합 [eqn: A]의 원소 중에서 [eqn: 4`]의 배수는 [eqn: 4,8]로 [eqn: 2`]개이고, [eqn: 4]의 배수가 아닌 짝수는 [eqn: 2,6,10]으로 [eqn: 3]개이다.

(ⅰ) 집합 [eqn: X]가 [eqn: 4]의 배수를 포함하는 경우

집합 [eqn: X]가 [eqn: 4]의 배수를 포함하는 경우는 [eqn: 4]를 포함하고 [eqn: 8]은 포함하지 않는 경우, [eqn: 8]은 포함하고 [eqn: 4]는 포함하지 않는 경우,[eqn: 4]와 [eqn: 8]을 모두 포함하는 경우로 세 가지이다.

이때, [eqn: 4]의 배수가 아닌 짝수와 홀수는 포함하여도 되고 포함하지 않아도 된다. 따라서, 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 3 TIMES 2 ^{10-2} `=`768]이다.

(ⅱ) 집합 [eqn: X]가 [eqn: 4]의 배수를 포함하지 않는 경우

[eqn: 4]의 배수가 아닌 짝수를 적어도 두 개 이상 포함하여야 하므로 그 경우는 [eqn: 2,6]은 포함하고 [eqn: 10]은 포함하지 않는 경우, [eqn: 2,10]은 포함하고 [eqn: 6]은 포함하지 않는 경우, [eqn: 6,10]은 포함하고 [eqn: 2]는 포함하지 않는 경우, [eqn: 2,6,10]을 모두 포함하는 경우로 네 가지이다. 이 때, 홀수는 포함하여도 되고 포함하지 않아도 된다. 따라서, 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 4 TIMES 2 ^{10-5} `=`128]이다. (ⅰ),(ⅱ)에 의하여 구하는 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 768+128=`896]이다.

(가) [eqn: X` SUBSET A`,`X` != EMPTYSET]

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 4]의 배수이다.

집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오. (단, 집합의 원소가 [eqn: 1]개일 때, 그 원소를 모든 원소의 곱으로 생각한다.)

[4점][2015년 고2 10월 중앙]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``a RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``5 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: X= LEFT { `x+y│x` IN A`,```y` IN B` RIGHT }]라 할 때, [eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) =10]이
되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

정답 [eqn: 8]

[출제의도] 집합의 개념 이해하기

[eqn: X= LEFT { `2,``3,``4,``5,``6,``7,``8,``9,``a+1,``a+3,``a+5 RIGHT }]이므로

[eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) =10]이 되기 위해서는

([eqn: a+3<2], [eqn: a+5 GEQ 2])
또는 ([eqn: a+1 LEQ 9], [eqn: a+3>9])

[eqn: THEREFORE] [eqn: -3 LEQ a<`-1] 또는 [eqn: 6<a LEQ8]

그러므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 7], [eqn: 8]

따라서 자연수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 8]

[4점] [2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

어느 학교에서 [eqn: 62]명의 학생을 대상으로 실시한 네일아트, 바리스타, 헤어디자이너의 세 가지 직업 체험의 신청 결과가 다음과 같다.

정답 ➂

수학 외적 문제 해결 능력 – 집합과 명제

네일아트, 바리스타, 헤어디자이너의 세 가지 직업체험을 신청한 학생들의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 라 하면 오른쪽 그림에서

[eqn: a`+`d`+`g`+`f=57]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: b`+`d`+`e`+`g=35]	[eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: c`+`e`+`f`+`g=43]	[eqn: cdotscdots]㉢

[eqn: a`+`b`+`c`+`d`+`e`+`f`+`g=62]	[eqn: cdotscdots]㉣

[eqn: ㉠`+`㉡`+`㉢`-`㉣] 을 하면 [eqn: d`+`e`+`f`+`2g=73]

[eqn: THEREFORE d`+`e`+`f=73`-`2g]

이때, 직업 체험을 두 가지만 신청한 학생의 수인 [eqn: d`+`e`+`f]의 값이 최소가 되려면 [eqn: g]의 값이 최대가 되어야 한다.

[eqn: g]의 최대값은 [eqn: 35]이므로

[eqn: d`+`e`+`f=73`-`2g GEQ 73`-`2` TIMES `35=3]

따라서 직업 체험을 두 가지만 신청한 학생의 수의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

(가) 모든 학생은 한 가지 이상의 직업 체험을 신청하였다.
(나) 네일아트, 바리스타, 헤어디자이너의 직업 체험을 신청한

학생들은 각각 [eqn: 57]명, [eqn: 35]명, [eqn: 43]명이었다.

직업 체험을 두 가지만 신청한 학생의 수의 최솟값은?

[4점][2015년 고2 8월 비상]

➀ [eqn: 1]	➁ [eqn: 2]	➂ [eqn: 3]

➃ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

전체집합 [eqn: U = LEFT { `x ` |`x는 ```100``이하의 ```자연수 RIGHT }]의 두 부분집합	[eqn: A = LEFT { `3n-1 ` |`n은 ```자연수 RIGHT }], [eqn: B = LEFT { `4n+1 ` |`n은 ```자연수 RIGHT }]	에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B]의 모든 원소들의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 376]

[eqn: a_n =3n-1], [eqn: b_n =4n+1] [eqn: (n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS )]이라 하면

[eqn: LEFT { a_n RIGHT } `:`2`,``5`,``8`,``11`,``14`,``17`,``20`,``23`,``26`,``29`,`` CDOTS]

[eqn: LEFT { b_n RIGHT } `:`5`,``9`,``13`,``17`,``21`,``25`,``29`,``33`,`` CDOTS]

따라서 [eqn: A SMALLINTER B]의 원소는 [eqn: 5`,``17`,``29`,`` CDOTS]이므로

첫째항이 [eqn: 5]이고 공차가 [eqn: 12]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: c_n =5+(n-1) TIMES12 =12n-7] [eqn: (n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS )]

이라 하면 [eqn: 12n-7 LEQ 100]에서 [eqn: n LEQ { 107} over { 12} =8.9 CDOTS]

이므로 집합 [eqn: A SMALLINTER B]의 모든 원소들의 합은

[eqn: c_1 +c_2 + CDOTS c_n = { 8(5+89)} over { 2}=376]

[4점][2015년 고2 8월 비상]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x LEFT | x는```800의 ```자연수 right]의 두 부분집합 [eqn: A,```B]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 634]

집합 [eqn: (A cap B^c )U(A^c cap B)]를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: 800(=2^5 TIMES 5^2 )]이하의 자연수 중 [eqn: 5]의 배수의 개수는 [eqn: 160]이므로 그림에서 ㉠, ㉡에 속하는 원소의 개수의 합은 [eqn: 160]이다. 또한 그림의 ㉢은 집합 [eqn: A cap B]이므로 [eqn: 800]의 양의 약수 중 [eqn: 5]의 배수가 아닌 [eqn: 1,```2,```2^2 ,2^3 `,```2^4,```2^5]이 속한다.

따라서, ㉠, ㉡, ㉢에 속하는 원소의 개수의 합은 [eqn: 160+6=166]이다.

한편 [eqn: A^c cap B^c =(A cupB)^c]이므로 [eqn: n(A^c cap B^c )]은 ㉣에 속하는 원소의 개수와 같다.

[eqn: therefore``n(A^c cap B^c )=n(U)-n(A cup B)]

[eqn: =800-166=634]

(가) [eqn: A= LEFT { x LEFT | x는```800의 ```약수 right]

(나) [eqn: (A cap B^c )U(A^c cap B)= left{x는```5의 ```배수 right }]

[eqn: n(A^c cap B^c )]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 고2 10월 대성]

서로 다른 네 자연수 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4]에 대하여 두 집합

정답 ⑤

조건 (가)에서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} =93]…… ㉠

집합 [eqn: X]의 모든 원소의 합을 [eqn: S(X)]라 하면

[eqn: S(A) +S(B) = S( A cupB)+S(A cap B)]이므로

[eqn: (a_1 +a_2 +a_3 +a_4 ) +(a_1 +a_2 +a_3 +a_4 + 4b)]

[eqn: =169+(22+31)]

[eqn: 2(a_1 +a_2 +a_3 +a_4 ) + 4b =222]

[eqn: 4b = 222-2 times93 = 36]([eqn: because]㉠)

[eqn: therefore~b=9]

[eqn: A= LEFT { a _{1,} ```a _{2,} ```a _{3,} ```a _{4} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x+b left|x inA ,~b는````자연수RIGHT }]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 93]이다.

(나) 집합 [eqn: A cup B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 169]이다.

(다) [eqn: A cap B = LEFT { 22,````31 RIGHT }]

상수 [eqn: b]의 값은?

[4점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x``|```x는````10`이하의``자연수 RIGHT }]의 부분집합 중에서 다음 조건을 만족시키는 집합의 개수를 구하시오.

정답  120

주어진 조건을 만족시키는 집합을 A라 하자. 집합 A의 원소 중 가장 작은 수는 3이어야 하므로 집합 A는 1과 2는 원소로 가지지 않고 3은 반드시 원소로 가져야 한다. 따라서 조건 (가)를 만족시키는 집합 U의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{10-2-1} `=2 ^{7} `=`128`(개)]

또한 모든 원소들의 곱이 짝수이므로 적어도 하나의 짝수를 포함하여야 한다. 집합 [eqn: LEFT { 3,`5,`7,`9 RIGHT }]의 부분집합 중 3을 반드시 포함하는 집합의 개수는 [eqn: 2 ^{3} `=8]이므로 조건 (가)를 만족하는 128개의 집합 중에서 홀수만을 원소로 가지는 집합만 제외하면 된다.

따라서 구하는 집합 A의 개수는 [eqn: 128-8=120```(개)]이다.

[4점][2015년 고2 5월 대성]

(가) 집합의 원소 중 가장 작은 수는 3이다.

(나) 모든 원소의 곱은 짝수이다.

실수 전체의 집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 집합의 성질 이해하기

집합 [eqn: A= LEFT { x _{1} ,`x _{2} ,`x _{3} ,`x _{4} ,`x _{5} RIGHT } `]라 하면

[eqn: x _{1} +`x _{2} +`x _{3} +`x _{4} +`x _{5} =28`]이다.

집합 [eqn: B= LEFT { {x _{1} +a} over {2} `, {x _{2} +a} over {2} `,` {x _{3} +a} over {2} `,` {x _{4} +a} over {2} `,` {x _{5} +a} over {2} RIGHT }]

이므로 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: {1} over {2} LEFT ( x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} +x _{5} ` RIGHT ) + {5} over {2} a]

[eqn: = {1} over {2} TIMES `28+ {5} over {2} a]

[eqn: =14+ {5} over {2} a]

이다. 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합과 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합에서 집합 [eqn: A` SMALLINTER `B`]의 모든 원소의 합을 뺀 것과 같다.

따라서

[eqn: 49=28+ LEFT ( 14+ {5} over {2} a RIGHT ) -(10+13)]

[eqn: {5} over {2} a=30]이다.

[eqn: THEREFORE a=12]

[eqn: n(A)=5,`] [eqn: LEFT . LEFT . B= LEFT { ` {x+a} over {2} ` RIGHT | `x` IN `A` RIGHT } RIGHT .]

이다. 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 고2 6월 부산]

(가) 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 28`]이다.

(나) 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 49`]이다.

(다) [eqn: `A` SMALLINTER B``= LEFT { 10,`13 RIGHT } `]

명제와 부등식(2점)

명제 ‘[eqn: x=2`]이면 [eqn: x ^{3} -k=0]이다.’가 참이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [2점]

정답 ⑤

[출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기

명제 ‘[eqn: x=2]이면 [eqn: x ^{3} -k=0]이다.’가 참이 되려면

[eqn: 8-k=0`]

따라서 [eqn: k=8`]

① [eqn: 4]       ② [eqn: 5]       ③ [eqn: 6]       ④ [eqn: 7]       ⑤ [eqn: 8]

[2점][2015년 고2 9월 인천]

명제와 부등식(3점)

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p,~q]가 다음과 같다.
[eqn: p`:` LEFT | x-2 RIGHT | LEQ a]

정답 ②

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라 할 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: P SUPERSET Q]이ㅓ야 한다.

[eqn: LEFT | x-2 RIGHT | LEQ a]에서

[eqn: -a LEQ x-2 LEQ a]

[eqn: 2-a LEQ x LEQ 2+a]

[eqn: therefore~P= LEFT { x□2-a LEQ x LEQ 2+a RIGHT }]

[eqn: LEFT | x LEFT ( x-5 RIGHT ) RIGHT | LEQ 6]에서

(ⅰ) [eqn: x LEFT ( x-5 RIGHT ) GEQ -6]에서

[eqn: x ^{2} -5x+6 GEQ 0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: therefore~x LEQ 2] 또는 [eqn: x GEQ 3]

(ⅱ) [eqn: x LEFT ( x-5 RIGHT ) LEQ 6]에서

[eqn: x ^{2} -5x-6 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: therefore~-1 LEQ x LEQ 6]

(ⅰ),(ⅱ) 에 의하여

[eqn: Q= LEFT { x□-1<x LEQ 2`또는`3 LEQ x LEQ 6 RIGHT }]

이때, [eqn: P SUPERSET Q]이려면 [eqn: 2-a LEQ -1]이고 [eqn: 2+a GEQ 6]이어야 한다.

즉, [eqn: a GEQ 3]이고 [eqn: a GEQ 4]이어야 하므로 [eqn: a GEQ 4]이다.

따라서, 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

[eqn: q`:` LEFT | x LEFT ( x-5 RIGHT ) RIGHT | LEQ 6]
[eqn: p]가 [eqn: q]익 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p`,~q`]가 다음과 같다.

정답 ⑤

수학 내적 문제 해결 능력 – 집합과 명제

두 조건 [eqn: p`,~q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`,~Q`]라 할 때, [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

[eqn: LEFT | `x+2` RIGHT | LEQ 3`]에서

[eqn: -3 LEQ x+2 LEQ 3`,~-5 LEQ x LEQ 1]

[eqn: P= LEFT { `x`|`-5 LEQ x LEQ 1 RIGHT }]

[eqn: (x-a)(x+a) LEQ 0`]에서 [eqn: a`]는 양수이므로

[eqn: -a LEQ x LEQ a]

[eqn: Q= LEFT { `x`|`-a LEQ x LEQ a RIGHT }]

이때, [eqn: P SUBSET Q`]이려면 [eqn: -a LEQ -5`]이고 [eqn: a GEQ 1`]이여야 한다.

즉, [eqn: a ge5 `]이고 [eqn: a GEQ 1`]이여야 하므로 [eqn: a ge5 `]이다.

따라서 양수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

[eqn: p``:`` LEFT | `x+2` RIGHT | LEQ 3]

[eqn: q``:``(x-a)(x+a) LEQ 0]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

전체집합 [eqn: U]에 대하여 세 조건 [eqn: p,~q,~r]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q,~R]라 하자. 두 명제 [eqn: p`` -> `` SIM q,~r`` -> ``q]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ①

ㄱ. (참) 명제 [eqn: p``rarrow sim q]가 참이므로 [eqn: P subset Q^c]에서 [eqn: P cap Q = EMPTYSET]

ㄴ. (거짓) 명제 [eqn: r `` rarrow `` q]가 참이므로 [eqn: R subset Q]에서 [eqn: Q cap R =R]

ㄷ. (거짓) [반례] [eqn: U= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT } ,``P= LEFT { 1 RIGHT } ,``Q= LEFT { 2,`3 RIGHT } ,``R= LEFT { 2 RIGHT }]라 하면 [eqn: P subset Q^c]이므로 명제 [eqn: p`` rarrow `` simq]는 참이고, [eqn: R subset Q]이므로 명제 [eqn: r `` rarrow `` q]도 참이지만 [eqn: P cup R = left{1,~2 right} ne U]이다.

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

ㄱ. [eqn: P cap Q = EMPTYSET] ㄴ. [eqn: Q cap R = Q] ㄷ. [eqn: P cup R =U]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

[eqn: x>1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x+ {4} over {x-1} +9`]의 최솟값을 구하시오,

정답 [eqn: 14]

[eqn: x+ {4} over {x-1} +9= LEFT ( x-1 RIGHT ) + {4} over {x-1} +10]

[eqn: GEQ 10+2 sqrt {LEFT ( x-1 RIGHT ) cdot {4} over {x-1}}]

[eqn: =10+2 TIMES 2]

[eqn: =14``](단, 등호는 [eqn: x=3`]일 때 성립한다.

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p,~q]가
[eqn: p`:`x ^{2} -x-2=0]
[eqn: q:`x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]
일 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: x ^{2} -x-2=0]에서

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore~x=-1] 또는 [eqn: x=2]

조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P]라 하면

[eqn: P= LEFT { -1,~2 RIGHT }]

조건 [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: Q]라 하면 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로

[eqn: P SUBSET Q]이어야 한다.

즉, [eqn: -1]과 [eqn: 2]가 모두 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]의 근이다.

[eqn: x=-1]과 [eqn: x=2]가 모두 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]의 근이다.

[eqn: x=-1]을 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]에 대입하면

[eqn: -1+1-a+b=0]

[eqn: therefore~a=b]	⋯㉠

[eqn: x=2]를 [eqn: x ^{2} +x ^{2} +ax+b=0]에 대입하면

[eqn: 8+4+2a+b=0]

[eqn: therefore~2a+b=-12]	⋯㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-4,~b=-4]

[eqn: therefore~a+b=-8]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: -4]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -8]

실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

정답 ④

[출제의도] 두 조건의 진리집합 사이의 관계 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

명제 [eqn: p ` -> `q`]가 참이므로 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

[eqn: P SUBSET Q`]가 성립하도록

두 집합 [eqn: P=]{[eqn: x`□][eqn: x GEQ a] 또는 [eqn: x` LEQ `-a]},

[eqn: Q=]{[eqn: x`□][eqn: x < -2] 또는 [eqn: x GEQ 4]}를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: -a]

[eqn: a]

[eqn: x]

[eqn: Q]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: P]

[eqn: -a < -2] …… ㉠, [eqn: a GEQ 4`] …… ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: a GEQ 4]

따라서 양수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 4`]

[eqn: p`:` |`x` |gea `] ,	[eqn: q`:`x<`-2`] 또는 [eqn: x` GEQ 4`]

일 때, 명제 [eqn: p````rarrow``q`]가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[3점][2015년 고1 9월 인천교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT } `]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: P`]에 대하여 명제 ‘집합 [eqn: P`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x`]는 [eqn: 3`]의 배수이다.’가 참이 되도록 하는 집합 [eqn: P`]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 명제의 참, 거짓을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

명제 ‘집합 [eqn: P`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x`]는 [eqn: 3`]의 배수이다.’가 참이 되도록 하려면 집합 [eqn: P`]는 적어도 하나의 [eqn: 3`]의 배수를 원소로 가져야 한다.

(ⅰ) [eqn: LEFT { `3` RIGHT }][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT } `]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8]

(ⅱ) [eqn: LEFT { `6` RIGHT } `][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8]

(ⅲ) [eqn: LEFT { 3,```6 RIGHT } `][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,``3,```6 RIGHT } `]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 4`]

따라서 (ⅲ)은 (ⅰ)과 (ⅱ)에 동시에 포함되므로 구하는 집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8+8-4=12`]

[3점][2015년 고1 9월 인천교육청]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: xy>0], [eqn: x+y=3`]일 때, [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `]의 최솟값은?

정답 ②

[출제의도] 절대부등식의 최대 ․ 최소 이해하기

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {x+y} over {xy} = {3} over {xy}]            …… ①

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: x+y GEQ 2 sqrt {xy}]                     …… ②

(단, 등호는 [eqn: x=y`]일 때 성립)

그러므로 [eqn: (x+y) ^{2} GEQ 4xy]이고 정리하면

[eqn: {1} over {xy} GEQ {4} over {(x+y) ^{2}}]                     …… ③

①, ②, ③에 의하여

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {3} over {xy} GEQ {12} over {(x+y) ^{2}} = {4} over {3}]

따라서 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `]의 최솟값은 [eqn: {4} over {3}]

(별해)

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {1} over {3} LEFT ( {1} over {x} + {1} over {y} RIGHT ) (x+y)][eqn: = {1} over {3} LEFT ( 2+ {y} over {x} + {x} over {y} RIGHT )]

[eqn: GEQ {1} over {3} LEFT ( 2+2 sqrt {{y} over {x} times {x} over {y}} RIGHT ) = {4} over {3}]

(단, 등호는 [eqn: x=y`]일 때 성립)

따라서 최솟값은 [eqn: 4over3]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하고

정답 ④

[출제의도] 진리집합의 포함관계 이해하기

명제 [eqn: SIM p`->`q]가 참이기 위해서는 [eqn: P ^{C} SUBSET Q]

[eqn: 5]

[eqn: -4]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: Q]

[eqn: P ^{C}]

[eqn: P ^{C}]

[eqn: Q]

[eqn: x]

[eqn: -4 LEQ -a]이고 [eqn: a LEQ 5]

따라서 [eqn: a LEQ 4]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 4

[eqn: P= LEFT { ``x```left|```(`x+4`)(`x-5`) LEQ 0` RIGHT } `], [eqn: Q= LEFT { ``x```left|```|``x``|>a` RIGHT }]

일 때, 명제 [eqn: `simp``` -> ```q`]가 참이기 위한 자연수 [eqn: a`]의 개수는?

[3점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

세 조건 [eqn: p,~q,~r]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이고, [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 충분조건일 때, <보기>에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

세 조건 [eqn: p,~q,~r]의 진리집합을 각각 [eqn: rmP,~Q,~R]라 하면

[eqn: Q SUBSET P,~P SUBSET R]이므로 [eqn: Q SUBSET P SUBSET R]이다.

ㄱ. [eqn: P SUBSET R]이므로 [eqn: p~ RARROW ~r] (참)

ㄴ. [eqn: Q SUBSET P]에서 [eqn: P ^{C} SUBSET Q ^{C}]이므로 [eqn: SIM p~ RARROW ~ SIM q] (참)

ㄷ. [eqn: Q SUBSET R]이므로 [eqn: q~ RARROW ~r] (참)

[3점][2015년 고1 10월 대성]

ㄱ. [eqn: p~ -> ~r] ㄴ. [eqn: SIM p~ -> ~ SIM q] ㄷ. [eqn: q~ -> ~r]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 집합 [eqn: A= left{ 1, ~3 right} ,~B= left{2,~2a-1,~a^2 -3 right} `]에 대하여 명제 ‘[eqn: x inA `]이면 [eqn: x inB `]이다.’ 가 참일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ⑤

명제 ‘[eqn: x inA `]이면 [eqn: x in B `]이다.’ 가 참이므로 [eqn: A subsetB `]이고, [eqn: 1 inA `]이므로 [eqn: 1in B `]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 2a-1 =1 `]일 때,
[eqn: a=1 `]이고, [eqn: a^2 -3 = -2 `]이므로 [eqn: B= left{-2,~1,~2 right} `]
이때, [eqn: 3 notin B `]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 2a-1=3 `]일 때,
[eqn: a=2 `]이고, [eqn: a^2 -3 =1 `]이므로 [eqn: B= left{1,~2,~3 right} `]이 되어
조건을 만족시킨다.

[eqn: therefore~a=2 `]

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p,~q`]가 다음과 같다.

정답 ②

두 조건 [eqn: p,~q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q`]라 하자.

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q`]이고,

[eqn: P= LEFT { 2,~-2 RIGHT } `]이므로

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx-8=0`]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

은 [eqn: 2`]와 [eqn: -2`]를 근으로 갖는다.

㉠에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: 8+4a+2b-8=0`]

[eqn: THEREFORE ~4a+2b=0`]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠에 [eqn: x=-2`]를 대입하면

[eqn: -8+4a-2b-8=0`]

[eqn: THEREFORE ~4a-2b=16`]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=2,~b=-4`]

[eqn: THEREFORE ~a+b=-2`]

[eqn: p~:~x^2 = 4 `],	[eqn: q~:~x^3 +ax^2 +bx-8=0`]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

명제 ‘[eqn: x ^{2} -ax+9 != 0]이면 [eqn: x != 3]이다.’ 가 참일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 명제의 대우 이해하기

주어진 명제가 참이므로

대우 명제 ‘[eqn: x=3]이면 [eqn: x ^{2} -ax+9=0]이다.’가 참이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 9-3a+9=0]

따라서 [eqn: a=6]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

세 조건 [eqn: p,~q,~r`]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q,~R`]라 하면 [eqn: P SMALLINTER R=P,~P SMALLINTER Q ^{C} =P`]가 성립한다. <보기>에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: P,~Q,~R`]는 전체집합 [eqn: U`]의 부분집합이다.)

정답 ③

[eqn: P SMALLINTERR=P`]이면 [eqn: P SUBSET R`]

[eqn: P SMALLINTER Q ^{C} =P`]이면 [eqn: P subset Q^C ,~]즉 [eqn: P SMALLINTER Q= EMPTYSET`]

세 집합 [eqn: P,~Q,~R`]의 포함관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 명제 [eqn: p`→r,~p`-> SIMq`]가 참이고 [eqn: p`->r`]의 대우 [eqn: simr`->simp`]도 참이다.

그런데 벤 다이어그램에서 [eqn: Q notSUBSET R^C `]일 수 있으므로 [eqn: q`->simr`]가 반드시 참이라고 할 수 없다.

이상에서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.

[3점][2015년 고2 5월 대성]

ㄱ. [eqn: p` -> SIM q] ㄴ. [eqn: q`-> SIMr`] ㄷ. [eqn: SIMr`->simp`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 조건
[eqn: p:x+2=0`]
[eqn: q:x-1=0`]
[eqn: r:x^2 +ax+b=0`]
에 대하여 [eqn: p`]는 [eqn: r`]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

정답 ②

[eqn: x+2=0`]은 [eqn: x^2 +ax+b=0`]이기 위한 충분조건이므로 ‘[eqn: x=-2`]이면 [eqn: x^2 +ax+b=0`]’이 성립한다. 즉, [eqn: x=-2`]는 방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0`]의 한 근이다.

마찬가지로 [eqn: x^2 +ax+b=0`]은 [eqn: x-1=0`]이기 위한 필요조건이므로 ‘[eqn: x-1=0`]이면 [eqn: x^2 +ax+b'`]’이 성립한다. 즉 [eqn: x=1`]은 방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0`]의 한 근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (-2)+1=-a,~(-2)times1=b`]

따라서 [eqn: a=1,~b=-2`]이므로 [eqn: a^2 +b^2 =5`]이다.

[3점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 8`]

전체집합 [eqn: U`]가 실수 전체의 집합일 때, 실수 [eqn: x`]에 대한

정답 ②

[출제의도] 집합과 명제 추론하기

ㄱ. [eqn: a=0`]이면

[eqn: p``:``0 TIMES LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) <0`]이 되어 이 부등식을

만족하는 실수 [eqn: x`]는 존재하지 않으므로

[eqn: P= EMPTYSET `]이다. [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: a>0], [eqn: b=0`]이면

조건 [eqn: p`]의 진리집합은 [eqn: P= LEFT { x LEFT | 1<x<2 RIGHT } RIGHT . `]이고,

조건 [eqn: q`]의 진리집합은 [eqn: Q= LEFT { x LEFT | x>0 RIGHT } RIGHT . `]이므로

[eqn: P SUBSET Q`]이다. [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. [eqn: a<0], [eqn: b=3`]이면

조건 [eqn: p`]의 진리집합은 [eqn: P= LEFT { x LEFT | x`<1````또는````x`>`2` RIGHT } RIGHT .]

이므로  조건[eqn: SIM p`]의 진리집합은

[eqn: P ^{C} = LEFT { x LEFT | 1` LEQ `x` LEQ `2 RIGHT } RIGHT . `]이다.

조건 [eqn: q`]의 진리집합은 [eqn: Q= LEFT { x LEFT | x>3 RIGHT } RIGHT . `]이고

[eqn: P ^{rm C it} notSUBSET Q`]이므로 명제 ‘[eqn: SIM p`]이면 [eqn: q`]이다.’는 거짓이다.

[eqn: THEREFORE]거짓

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p:``a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) <0],	[eqn: q:``x>b`]

이다. 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.)

[3점][2014년 고2 6월부산]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a=0`]일 때, [eqn: P= EMPTYSET `]이다.

ㄴ. [eqn: a>0], [eqn: b=0`]일 때, [eqn: P SUBSET Q`]이다.

ㄷ. [eqn: a<0], [eqn: b=3`]일 때, 명제 ‘[eqn: SIM p`]이면 [eqn: q`]이다.’는 참이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

명제와 부등식(4점)

[eqn: x>0], [eqn: y>0]일 때, [eqn: LEFT ( `4x+ {1} over {y} ` RIGHT ) LEFT ( ` {1} over {x} +16y` RIGHT ) `]의 최솟값은?

정답 ②

[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

[eqn: xy>0]이므로 절대부등식의 성질을 이용하면

[eqn: LEFT ( 4x+ {1} over {y} RIGHT ) LEFT ( {1} over {x} +16y RIGHT ) =4+16+64xy+ {1} over {xy}][eqn: GEQ 20+2 sqrt {64xy TIMES {1} over {xy}}][eqn: =20+16=36]

(단, 등호는 [eqn: xy= {1} over {8} `]일 때 성립)

[4점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]인 것은 [eqn: box{~~~~~}`]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다. <보기> 중 위의 [eqn: box{~~~~~}`]안에 알맞은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ②

ㄱ. [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이면 [eqn: ab=0]이다.

그러나 [eqn: a=0], [eqn: b=1]일 때 [eqn: ab=0]이지만 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이 아니다.

따라서 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]인 것은 [eqn: ab=0]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

ㄴ. [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이면 [eqn: a+b=0]이다.

그러나 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]일 때 [eqn: a+b=0]이지만 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이 아니다.

따라서 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]인 것은 [eqn: a+b=0]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

ㄷ. [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0` LRARROW ` LEFT ( a+ {1} over {2} b RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} b ^{2} =0]

[eqn: LRARROW] [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]

따라서 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]인 것은 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0]이기 위한 필요충분조건이다.

따라서       안에 알맞은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2015년 고2 5월 종로]

ㄱ. [eqn: ab=0] ㄴ. [eqn: a+b=0] ㄷ. [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 필요조건과 충분조건을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: p`:`a ^{2} +b ^{2} =0````` LRARROW `````][eqn: a=0`], [eqn: `b=0]
[eqn: q`:`a=b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄴ. [eqn: p`:`ab<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0])
[eqn: q`:`a<0] 또는 [eqn: b<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0]) 또는 ([eqn: a<0], [eqn: b<0])
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄷ. [eqn: p`:`a ^{3} -b ^{3} = LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) =0]에서

[eqn: a-b=0] 또는 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0]

[eqn: a=b]

[eqn: q`:`a ^{2} -b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT ) =0]이므로

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=`-b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

		보 기
ㄱ. [eqn: p`:`a ^{2} +b ^{2} =0] [eqn: q`:`a=b] ㄴ. [eqn: p`:`ab<0] [eqn: q`:`a<0] 또는 [eqn: b<0] ㄷ. [eqn: p`:`a ^{3} -b ^{3} =0] [eqn: q`:`a ^{2} -b ^{2} =0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건

정답 ③

[eqn: 2x-4<0]에서 [eqn: x<2]이므로

[eqn: P= LEFT { x LEFT | x<2 RIGHT } RIGHT .]

[eqn: x ^{2} -ax+2x-2a GEQ 0]에서

[eqn: x ^{2} -(a+2)x-2a GEQ 0], [eqn: (x+2)(x-a) GEQ 0]이므로

[eqn: Q= LEFT { x LEFT | (x+2)(x-a) GEQ 0 RIGHT } RIGHT .]

ㄱ. (참) [eqn: a= -2]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+2)^2 ge 0]이므로 집합 [eqn: Q]는 실수 전체의 집합이다. 따라서 [eqn: P SUBSET Q]이므로 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

ㄴ. (참) [eqn: a=2]일 때, [eqn: Q = LEFT {x left| x le -2```` 또는````x ge 2 RIGHT }] 따라서 [eqn: P SMALLINTER Q != EMPTYSET]이므로 집힙 [eqn: P]의 어떤 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]는 집합 [eqn: Q]의 원소이다.

ㄷ. (거짓) 명제 [eqn: sim p] [eqn: ->] [eqn: q]가 항상 참이 되려면 [eqn: P ^{c} SUBSET Q]를 만족시켜야 한다.

이때 [eqn: P^c = LEFT {x left| x ge 2 RIGHT }]이므로

(ⅰ) [eqn: a> -2]일 때,
[eqn: Q= LEFT { x LEFT | x LEQ -2````또는````x GEQ a RIGHT } RIGHT .]이므로
[eqn: P ^{c} SUBSET Q]를 만족시키려면 [eqn: a le 2]이어야 한다.

따라서 [eqn: -2<a LEQ 2]

(ⅱ) [eqn: a le -2]일 때,
[eqn: Q= LEFT { x LEFT | x LEQ -a````또는````x GEQ -2 RIGHT } RIGHT .]이므로
[eqn: P ^{c} SUBSET Q]를 항상 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a le 2]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: p: 2x-4<0], [eqn: q:x ^{2} -ax+2x-2a GEQ 0]

의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

ㄱ. [eqn: a=-2]일 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. ㄴ. [eqn: a=2]일 때, 집합 [eqn: P]의 어떤 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]는 집합 [eqn: Q]의 원소이다. ㄷ. 명제 [eqn: SIM p] [eqn: ->] [eqn: q]가 항상 참이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: -2 LEQ a LEQ 2]이다.

[4점][2015년 고2 8월 비상]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 실수 [eqn: x`,```y]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가	[eqn: p`:`(x-1) ^2 +y^2 LEQ a] [eqn: q`:` |` x-2` | + |` y-2` | LEQ 2]일 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양의 실수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 17]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P`,```Q]라 하면	[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: P SUPERSET Q]가 성립하여야 한다.

집합 [eqn: P]는 중심의 좌표가 [eqn: (1,```0)]이고, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { a}]인 원과 원의 내부를 나타내고, 집합 [eqn: Q]는 도형 [eqn: |`x`|+ |`y` | =2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 도형과 도형의 내부를 나타내므로 [eqn: P SUPERSET Q]를 만족하도록 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

원의 중심 [eqn: (1,```0)]에서 점 [eqn: (4`,```2)]까지의 거리는

[eqn: sqrt { (4-1)^2 +(2-0)^2} = sqrt { 13}]

원의 중심 [eqn: (1,```0)]에서 점 [eqn: (2`,```4)]까지의 거리는

[eqn: sqrt { (2-1)^2 +(4-0)^2} = sqrt { 17}]이므로

[eqn: a GEQ 17]

따라서 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: 17]

[[eqn: 4]점][2015년 고2 8월 비상]

명제

정답 ①

[출제의도] 명제의 대우 이용하여 문제 해결하기

주어진 명제가 참이 되기 위해서 그 명제의 대우 ‘[eqn: x-a=0`]이면 [eqn: x ^{2} -6x+5=0`]이다.’가 참이 되어야 한다. [eqn: x=a`]일 때 [eqn: a ^{2} -6a+5=0`]을 만족하는 모든 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 6`]이다.

‘[eqn: x ^{2} -6x+5 != 0`]이면 [eqn: x-a != 0`]이다.’

가 참이 되기 위한 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은?

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이차함수 [eqn: f(x)= ax^2 +2ax+10]에 대하여 명제

정답 [eqn: 12]

주어진 명제가 거짓이므로 주어진 명제의 부정

‘모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ-2]이다.’

는 참이다.

따라서 이차부등식 [eqn: ax^2 +2ax+10 GEQ-2] 즉, [eqn: ax^2 +2ax+12 GEQ0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 [eqn: a>0]이고 이차방정식 [eqn: ax^2 +2ax+12 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D LEQ0]이어야 한다.

[eqn: D over 4 =a^2 -12a LEQ0]에서 [eqn: a(a-2) LEQ0]

이때 [eqn: a>0]이므로 [eqn: 0< a LEQ 12]

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

‘어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)< -2]이다’

가 거짓이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[4점][2015년 고2 10월 대성]

함수(2점)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x-3]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

정답 ④

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: =f LEFT ( {1} over {2} times2-3 RIGHT )]

[eqn: =f LEFT ( -2 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} times LEFT ( -2 RIGHT ) -3=-4]

[2점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x+3`]의 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)`]에 대하여 [eqn: f ^{-1} (5)`]의 값은?

정답 ④

계산능력 - 함수

[eqn: f ^{-1} (5)=k`]라 하면 [eqn: f(k)=5`]이므로

[eqn: {1} over {2} k+3=5], [eqn: {1} over {2} k=2]

[eqn: THEREFORE ~k=4]

[2점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x-1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x+6]에 대하여 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 6 RIGHT )]의 값은?

정답 ④

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x-1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x+6]에서

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =2times6-1=11]이므로

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 6 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 11 RIGHT )]

[eqn: =11+6=17]

[2점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

함수(3점)

두 함수 [eqn: f(x) = 3x-1,~g(x) = x^2 + x+1]에 대하여

정답 ③

[eqn: f^ -1 ( 2) = k]라 하면

[eqn: f(k)=2]

[eqn: 3k-1 =2,~ 3k=3]

∴ [eqn: k=1]

∴ [eqn: (g circ f^ -1 )(2) = g( f^ -1 (2))]

[eqn: = g(1)]

[eqn: = 1^2 +1+1]

[eqn: =3]

[eqn: (g circ f^-1 )(2)]의 값은?

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-1,~ LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

정답 ③

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-1]이므로

[eqn: 2a+b=-1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: -a+b=2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-1,~b=1]

[eqn: therefore~a+b=0]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(`x`)= {1} over {2} x+1], [eqn: g(`x`)=][eqn: -x ^{2} +5`]가 있다. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: h(`x`)`]가 [eqn: LEFT ( `f CIRC h` RIGHT ) (`x`)=g(`x`)``]를 만족시킬 때, [eqn: h(`3`)`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 합성함수와 역함수 이해하기

[eqn: h(3)`=`k`]라 하면

[eqn: f LEFT ( h(3) RIGHT ) =][eqn: g(3)`]이므로 [eqn: f(k)=-4`]

[eqn: {1} over {2} k+1=-4], [eqn: k=-10`]

따라서 [eqn: h(3)=-10`]

(별해)

[eqn: h=(f ^{`-1} CIRC f) CIRC h]

[eqn: =f` ^{-1} CIRC (f CIRC h)=f ^{`-1} CIRC g]이므로

[eqn: h(3)=f ^{`-1} (g(3))=f ^{`-1} (-4)=k`]라 하면,

역함수의 성질에 의하여

[eqn: f(k)= {1} over {2} k+1=-4`]이므로 [eqn: k=-10`]

따라서 [eqn: h(3)=-10`]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f(`x`)=2x-1], [eqn: g(`x`)=x ^{2}]에 대하여

정답 49

[출제의도] 합성함수 계산하기

[eqn: (g CIRC f)(4)=g(7)=49]

[eqn: (``g CIRC f`)(`4`)`]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 9월 인천]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]가 그림과 같을 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) + LEFT ( f circ LEFT ( f circf RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]

[eqn: LEFT ( f CIRC LEFT ( f CIRC f RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =1]

[eqn: therefore`][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC LEFT ( f CIRC f RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =3+1+1=5]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정의역이 [eqn: LEFT { -1,````1 RIGHT }]인 두 함수

정답 [eqn: 20]

[eqn: f(-1)=g(-1)]에서 [eqn: 2-a+ 3 = -4 + b]

[eqn: a+b=9]	…… ㉠

[eqn: f(1)=g(1)]에서 [eqn: 2+a+ 3 = 4 + b]

[eqn: a-b = -1]	…… ㉡

㉠, ㉡의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=4], [eqn: b=5]

[eqn: therefore] [eqn: ab=20]

[eqn: f(x)=2x ^{2} +ax+3], [eqn: g(x) = 4x+b]

에 대하여 [eqn: f=g]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 종로]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]가 그림과 같을 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) + LEFT ( f circ LEFT ( f circf RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]

[eqn: LEFT ( f CIRC LEFT ( f CIRC f RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =1]

[eqn: therefore`][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC LEFT ( f CIRC f RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =3+1+1=5]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`2x-3]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `=`4]일 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 7]

이해 능력 – 함수

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `=`4]이므로

[eqn: a`=`f LEFT ( 4 RIGHT ) `=`2 TIMES 4`-3=5]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( a RIGHT ) `=`f LEFT ( 5 RIGHT ) `=`2 TIMES 5-3=7]

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

함수 [eqn: y= {1} over {3} x ^{2} - {4} over {3} ``(x GEQ `0`)]의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프가 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a`,`b)`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은?

정답 ③

함수 [eqn: y= 1over3 x^2 - 4over3 `(x>=0`)]의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프의 교점은 함수 [eqn: y= 1over3 x^2 - 4over3 `(x>=0`)]의 그래프와 [eqn: y=x`]의 교점과 같다.

[eqn: 1over3 x^2 - 4over3 =x`]에서 [eqn: x^2 -3x-4=0], [eqn: (x+1)(x-4)=0`]

[eqn: THEREFORE x=4 `( BECAUSE x>=0`)]

따라서 구하는 교점의 좌표는 [eqn: (4`,`4)]이므로

[eqn: a+b=4+4=8]

[3점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: 6``]	② [eqn: 7``]	③ [eqn: 8``]

④ [eqn: 9``]	⑤ [eqn: 10``]

[세트형 문항] 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)`=`2`x`-`3], [eqn: g(x)=x`+`4]에 대하여 [eqn: LEFT ( `g` ^{-1} CIRC f`` RIGHT ) `(`5`)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 3]

이해 능력 – 함수

[eqn: left( g`^-1 circ f`right) (`5`)`=`g`^-1 left( `f `(`5`)`right) = g`^-1 `(`7`)]

[eqn: g` ^{-1`} (`7`)=k] ([eqn: k]는 상수) 라 하면 [eqn: g`(`k`)=7]이므로

[eqn: k`+`4=7]	[eqn: THEREFORE ``k=3]

[eqn: therefore``left( `g`^-1 circ f``right)(`5`)=3]

[3점][2015년 고2 8월 비상]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f]는 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일 대응이다.
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: `f LEFT ( 1 RIGHT ) >f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) >f LEFT ( 2 RIGHT )]
일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) times LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

정답 ③

함수 [eqn: f]는 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일 대응이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: `f LEFT ( 1 RIGHT ) >f LEFT ( 3 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]

이때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) >f LEFT ( 2 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =3times2=6]

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 12]

일차함수 [eqn: f(x)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 함수

정답 ④

[출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: y=f(2x+3)]에서 [eqn: x`], [eqn: y]를 서로 바꾸어 쓰면

[eqn: x=f(2y+3)`]이다.

그러므로

[eqn: 2y+3=g(x)`]

역함수는 [eqn: `y= {1} over {2} g(x)- {3} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: a= {1} over {2} `], [eqn: b=- {3} over {2} `]이다.

[eqn: therefore a+b=-1`]

[eqn: y=f(2x+3)`]

의 역함수를 [eqn: g(x)`]에 대한 식으로 나타내면 [eqn: y=a`g(x)+b`]이다.

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +3`], [eqn: g(x)= sqrt {x-1} `]에 대하여  [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) ( sqrt {7} )`]의 값을 구하시오.

정답 3

[출제의도] 합성함수를 이용한 함숫값 계산하기

[eqn: LEFT ( g` CIRC `f RIGHT ) ( sqrt {7} )=g(7+3)= sqrt {10-1} =3`]

[3점][2014년 고2 6월부산]

두 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-10], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x-1`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `f` ^{-1} CIRC g` RIGHT ) (1)`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 역함수와 합성함수 이해하기

[eqn: (f` ^{-1} CIRC g)(1)=f ^{`-1} LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f` ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) `]이다.

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =a`]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =1`]이다. 따라서

[eqn: a-10=1]

이다.  [eqn: THEREFORE `a=11]

따라서 [eqn: (f` ^{-1} CIRC g)(1)=11`]이다.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

반지름의 길이가 [eqn: x]인 원의 넓이를 [eqn: f(x)]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: {rm g} (x)]라 할 때, [eqn: {rm g} (10pi)]의 값은?

정답 ①

[eqn: {rm g} (10pi) = x]라 하면 역함수의 정의에 의해

[eqn: f(x) = 10pi]

[eqn: f(x)= pi x^2]이므로 [eqn: f(x) = pi x^2 = 10 pi]

따라서 [eqn: x^2 =10]이므로 [eqn: x =root10 `` ( BECAUSE`` x>0 )]

[3점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: root10]	② [eqn: root10pi]	③ [eqn: 10 over pi]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 100]

함수 [eqn: f(x)= sqrt { x+7}+12]에 대하여 [eqn: (f circ f)(29)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 17]

[eqn: f(29) = sqrt { 29+7}+12 =6+12=18]이므로

[eqn: (f circ f)(29) = f(f(29))=f(18)]

[eqn: =sqrt { 18+7} +12=5+12=17]

[3점][2015년 고2 10월 대성]

함수(4점)

집합 [eqn: X= left{ x`|` 0 le x le 2 right}]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]가 있다.

정답 ④

[eqn: f(x) = cases{ -2x+2~~&( x le x < 1 ) # ```````2x-2&( 1 le x le 2 )]

(ⅰ) [eqn: 0 le x le 1 over 2]일 때, [eqn: 1 le -2x +2 le 2]이므로

[eqn: f( f(x)) = f( -2x+2)]

[eqn: =2 (-2x +2 ) -2 = -4x+2]

[eqn: -4a +2=a]에서 [eqn: a= 2 over 5]

(ⅱ) [eqn: 1 over 2 < x le 1]일 때, [eqn: 0 le -2x+2 <1]이므로

[eqn: f(f(x)) = f(-2x +2)]

[eqn: =-2 (-2x+2) +2 = 4x-2]

[eqn: 4a-2 =a]에서 [eqn: a = 2 over 3]

(ⅲ) [eqn: 1 < x< 3 over 2]일 때, [eqn: 0< 2x-2 < 1]이므로

[eqn: f(f(x)) = f( 2x-2)]

[eqn: =-2 (2x-2) +2 =-4x+ 6]

[eqn: -4a+6 =a]에서 [eqn: a= 6 over 5]

(ⅳ) [eqn: 3 over 2 le x le 2]일 때, [eqn: 1 le 2x-2 le 2]이므로

[eqn: f(f(x)) = f(2x-2)]

[eqn: =2 (2x-2) -2 = 4x- 6]

[eqn: 4a-6 =a]에서 [eqn: a=2]

따라서, [eqn: (f circ f)(a) =a]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: f(x) = 2 `| ` x-1 ` |]일 때, [eqn: ( f circ f) (a) =a]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 개수는?

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: X = left { 1, ````2, ````3, ````4, ````5 right}`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f`]는 역함수가 존재하고 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ⑤

이해력 - 함수

함수 [eqn: f`]는 역함수가 존재하므로 일대일 대응이다.

(가)에서 [eqn: f(1) = 1]

(나)에서 [eqn: f^-1 (2) = 4`]이므로 [eqn: f(4) = 2]

(다)에서 [eqn: f(3) = k`]라 하면 [eqn: f(k) = 3`]이므로

[eqn: k ne 1], [eqn: k ne 2], [eqn: k ne 4]

[eqn: therefore ```` k = 3] 또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k= 3`]이면 [eqn: f(3) = 3]
(라)에서 [eqn: f(2) + f(3) = 7`]이므로
[eqn: f (2) = 4], [eqn: f(5) = 5]

(ⅱ) [eqn: k = 5`]이면 [eqn: f(3) = 5], [eqn: f(5) = 3]
(라)에서 [eqn: f(2) + f(3) = 7`]이므로 [eqn: f(2) = 2`]가 되어 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이라는 사실에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(2) = 4], [eqn: f(3) = 3], [eqn: f(5) = 5`]이고, 함수 [eqn: f`]의 대응관계를 나타내면 다음과 같다.

따라서 [eqn: a in X `]일 때, [eqn: f(a) = f^-1 (a) `]를 만족시키는 [eqn: a`]는 [eqn: 1,````2,````3,````4,````5`]로 [eqn: 5`]개다.

(가) [eqn: f(1) = 1]

(나) [eqn: f^-1 (2) = 4]

(다) [eqn: f( f(3)) = 3]

(라) [eqn: f(2) + f(3) = 7]

[eqn: a in X `]일 때, [eqn: f(a) = f^-1 (a) `]를 만족시키는 [eqn: a`]의 개수는?

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: A= LEFT { `1 RIGHT .], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5][eqn: LEFT . ` RIGHT } `]에 대하여

정답 ⑤

[출제의도] 역함수의 성질 추론하기

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =2`]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`]이므로 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]

이와 같은 방법으로

[eqn: g(2)=5], [eqn: g(3)=2], [eqn: g(4)=3], [eqn: g(5)=4]

[eqn: g(2)+ LEFT ( g CIRC f RIGHT ) ^{-1} (1)][eqn: =5+f` ^{`-1} LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =10]

집합 [eqn: A`]에서 집합 [eqn: A`]로의 두 함수 [eqn: f(`x`)`], [eqn: g(`x`)`]가 있다.

두 함수 [eqn: y=f(`x`)`], [eqn: y=(`f CIRC g`)(`x`)`]의 그래프가 각각 그림과 같을 때, [eqn: g`(`2`)+(`g CIRC f`) ^{-1} (`1)`]의 값은?

[4점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수

정답 12

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

역함수가 존재하려면 함수 [eqn: f(x)]가 일대일 대응

이어야 하므로

(ⅰ) [eqn: x GEQ1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=`x ^{2} -ax+3= LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +3]
[eqn: {a} over {2} ` LEQ 1], [eqn: a LEQ 2]

(ⅱ) [eqn: x<1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=-x ^{2} +2bx-3=- LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +b ^{2} -3]
[eqn: b`geq1]

(ⅲ) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로
[eqn: lim _{x` -> `1+`} {f(x)} = lim _{x` -> `1-`} {f(x)}][eqn: 1-a+3=-1+2b-3]
[eqn: a+2b=8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: a LEQ 2], [eqn: b GEQ 1], [eqn: a+2b=8]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]를 좌표평면 위에 나타내면 [eqn: 3a+2b=k]의 그래프가 [eqn: (2`,```3)]을 지날 때 [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

[eqn: b=- {1} over {2} a+4]

[eqn: b=- {3} over {2} a+ {k} over {2}]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rm`O]

[eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]

[eqn: {k} over {2}]

따라서 [eqn: 3a+2b]의 최댓값은 [eqn: a=2], [eqn: b=3]일 때 [eqn: 12]

[eqn: f(`x`)= {cases{eqalign{`````x ^{2} -ax+3# ``````````````}&eqalign{(`x GEQ 1`)# }#`-x ^{2} +2bx-3`````&(`x<1`)`}}]

의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 3a+2b`]의 최댓값을 구하시오.

[4점][2015년 9월 인천]

양의 실수 전체의 집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]와 [eqn: g]를 각각

정답 [eqn: 1]

[eqn: ( g ^-1 circ f^-1 ) (12) = g^-1 ( f^ -1 (12))]

[eqn: f^-1 (12)=a]로 놓으면 [eqn: f^-1 (x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이므로 [eqn: f(a)=12]가 성립한다.

[eqn: f(a) = a^2 + 4a =12]에서

[eqn: a^2 + 4a -12=0]

[eqn: (a+6)( a-2) =0]

이므로

[eqn: a=2](∵ [eqn: a>0])

[eqn: THEREFORE g ^{-1} (f ^{-1} (12))=g ^{-1} (2)]

[eqn: g^-1 (2) =b]로 놓으면 [eqn: g^-1 (x)]는 [eqn: g(x)]의 역함수이므로 [eqn: g(b) =2]가 성립한다.

[eqn: g(b) = b+3 over b+1 =2]에서

[eqn: b+3 =2 (b+1)]

이므로 [eqn: b=1]

∴ [eqn: g^-1 ( f^-1 (12)) = g^-1 (2) =1]

[eqn: f(x) = x^2 + 4x,~ g(x) = x+3 over x+1]

이랄 할 때, [eqn: ( g^-1 circ f^-1 )(12)]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 고1 10월 대성]

함수 [eqn: f(x) =2015x+2014]의 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=f ^{-1} (x)]의 실근을 [eqn: alpha]라 하자. 이때 [eqn: {f( alpha )+f ^{-1} ( alpha )} over {alpha }]의 값은?

정답 ①

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: f(x)=f ^{-1} (x)]의 근과 방정식 [eqn: f(x) =x]의 근이 서로 일치한다.

[eqn: therefore] [eqn: f(alpha) = f^-1 (alpha)], [eqn: f(alpha) = alpha]

[eqn: {f( alpha )+f ^{-1} ( alpha )} over {alpha } = {2f( alpha )} over {alpha } = {2 alpha } over {alpha } =2]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 2014]	⑤ [eqn: 2015]

집합 [eqn: A = left{`3, ``4,``5 right}]에 대하여 함수 [eqn: f`:`A ``rarrow`A`]와 함수 [eqn: g`:` A ``rarrow `A`]가 모두 일대일대응이다. [eqn: f`(`4)=5], [eqn: g`(`4)=3], [eqn: (`f ``ⴰ`g) (`3) =5]일 때, [eqn: f`(`3) + g(`5) + (`f``ⴰ`g)(`5)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[eqn: (`f``ⴰ`g)(`3) =5]에서 [eqn: f(`g(`3)) =5]

이때 [eqn: f`]가 일대일대응이고 [eqn: f(`4) =5]이므로 [eqn: g(`3) =4]

따라서 [eqn: g`]가 일대일대응이고, [eqn: g(`3) =4], [eqn: g(`4)=3]이므로 [eqn: g(`5) =5]

[eqn: rm(`i)] [eqn: f(`3) =3], [eqn: f(`5)=4]일 때
[eqn: f(`g(`5) ) = f(`5) =4]
[eqn: therefore] [eqn: f(`3) + g(`5)+ (`f``ⴰ`g)(`5) = 3 + 5 + 4 =12]

[eqn: rm (``ii)] [eqn: f(`3) =4], [eqn: f(`5)=3]일 때
[eqn: f(`g(`5)) = f(`5)=3]
[eqn: therefore] [eqn: f(`3) + g(`5) + (`f``ⴰ`g)(`5) = 4 +5+3 =12]

[eqn: rm(`i)], [eqn: rm (``ii)]에서 [eqn: f(`3) + g(`5) + (`f``ⴰ`g)(`5) = 12]

[다른 풀이]

[eqn: (`f``ⴰ`g)(`3) = 5]에서 [eqn: f(`g(`3)) =5]

이때 [eqn: f`]가 일대일대응이고 [eqn: f(`4) =5]이므로 [eqn: g(`3) = 4]

따라서 [eqn: g`]가 일대일대응이고 [eqn: g(`3) =4], [eqn: g(`4)=3]이므로

[eqn: g(`5)=5]

[eqn: therefore] [eqn: (`f``ⴰ`g) (`5) = f(`g(`5)) =f(`5)]

따라서 [eqn: left{` f(`3), `` (`f``ⴰ`g) (`5) right} = left{`f(`3),``f(`5) right}][eqn: = left{`3, ``4 right}]

이므로 구하는 값은

[eqn: f(`3) + g(`5) +(`f``ⴰ`g)(`5)][eqn: = 3 + 5 + 4][eqn: =12]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

함수 [eqn: f(`x) = `- 1over x + 1]에 대하여 [eqn: f`^100 `(`4)]의 값은?
[eqn: (]단, [eqn: f`^1 =f], [eqn: f` ^{2} =f``ⴰ` f], [eqn: cdots], [eqn: f`^{n+1} = f`^n ``ⴰ` f], [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots`)]

정답 ③

[eqn: f`^1 (`4)= `- 1over 4 + 1 = 3 over4]

[eqn: f`^2 (`4) = ` - 4over3 + 1 = `- 1over3]

[eqn: f`^3 (`4) = `- 1 over { - 1over3} + 1 =4]

[eqn: f`^4 (`4) = ` - 1over4 + 1 = 3over4]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: f`^{n+3} (`4) = f`^n (`4)] [eqn: (`n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots] [eqn: )]임을 알 수 있다.

[eqn: therefore] [eqn: f` ^{100} (`4)=f` ^{97} (`4)=` CDOTS `=f` ^{1} (`4)= {3} over {4}]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: - 1over3]	② [eqn: - 1over100]	③ [eqn: 3 over 4]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 100]

역함수가 존재하는 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,``g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ②

이해 능력 – 함수

(가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{3x-1&LEFT ( x<1 RIGHT )#x+1&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]     ………………… ㉠

(나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`t]라 하면 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `=`3t+2]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`3x+2]                      ………………… ㉡

이때, [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1} LEFT ( -1 RIGHT ) `=`k]라 하면

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( k RIGHT ) `=`-1]

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( k RIGHT ) RIGHT ) `=`-1`,`g LEFT ( k RIGHT ) `=`0`] [eqn: LEFT ( BECAUSE ㉠ RIGHT )]

[eqn: 3k+2=0] [eqn: LEFT ( BECAUSE ㉡ RIGHT )]

[eqn: THEREFORE k`=`-` {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1} ` LEFT ( -1 RIGHT ) `=`-` {2} over {3}]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`2x- LEFT | x-1 RIGHT |]

(나) [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `=`3f LEFT ( x RIGHT ) +2]

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1} LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

[4점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: - {3} over {4}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {1} over {3}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f]가

이고, 함수 [eqn: f]의 역함수 [eqn: g]가 존재한다.
[eqn: g ^{1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g ^{n+1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{n} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )] ([eqn: n=1,`2,`3,` CDOTS])라 할 때,
[eqn: a+g ^{10} LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{11} LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3+a], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4+a]이고

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.
그러므로 [eqn: a=`-1]

역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =4], [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: g ^{3} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{6} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )],

[eqn: g ^{11} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g(g LEFT ( x RIGHT ) )=g ^{2} LEFT ( x RIGHT )]

따라서 [eqn: a+g ^{10} LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{11} LEFT ( 2 RIGHT ) =a+g LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{2} LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =`-1+3+4=6]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{``````x ^{2} ```````````` LEFT ( x=1,`2 RIGHT ) _{{} _{`}}#`x+a``````` LEFT ( x=3,`4 RIGHT ) ` LEFT ( `a RIGHT .}}]

는 상수[eqn: )]

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+2,~g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x-1`]이 있다. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) >0`]이 성립하도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는?

정답 ➁

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) `]
[eqn: =a LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) +2`]
[eqn: =ax ^{2} +ax-a+2`]

부등식 [eqn: ax ^{2} +ax-a+2>0`]이 항상 성립하려면

(ⅰ) [eqn: a != 0`]일 때, [eqn: a>0`]이고, 이차방정식
[eqn: ax ^{2} +ax-a+2=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D=a ^{2} -4a LEFT ( -a+2 RIGHT ) <0`]
[eqn: 5a ^{2} -8a<0,~5a LEFT ( a- {8} over {5} RIGHT ) <0`]
[eqn: THEREFORE ~0<a< {8} over {5} `]

(ⅱ) [eqn: a=0`]일 때, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =2`]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) >0`]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 0 LEQ a< {8} over {5} `]이므로 정수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 0,~1`]의 [eqn: 2`]이

다.

[4점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

집합 [eqn: X=` LEFT { 1,2,3,4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f``:````X```` -> `````X]는 역함수가 존재하고, 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 5]

함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하므로 함수 [eqn: f]는 일대일 대응이고 [eqn: f(1)=4,```f(2)=3]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 다음 두 가지 경우가 존재한다.

(i)

[eqn: f`` ^{4} `=``I````]  (단, [eqn: I]는 항등함수) 이므로

[eqn: f` ^{5``} `(3)+f` ^{10} `(3)=f(3)`+f ^{2} `(3)=1+f(1)=1+4=5]

(ii)

위와 같은 경우에는  [eqn: f` ^{n} `(x)=x]를 만족하는 최소의 자연수 [eqn: n]의 값은 2이므로 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

(i), (ii)에 의하여  [eqn: f` ^{5``} `(3)+f` ^{10} `(3)=5] 이다.

(가) [eqn: f(1)=4,````f(2)=3]

(나) 정의역의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` ^{`n} ``(x)=x]를 만족시키는

최소의 자연수 [eqn: n]의 값은 4이다.

[eqn: f ^{`5} `(3)`+f` ^{`10`} `(3)]의 값을 구하시오.
(단,   [eqn: f`` ^{1} ``=f]이고, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f`` ^{n+1} `=f` CIRC f``` ^{n}]이다.)

[4점][2015년 고2 5월 대성]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2015)`]의 값을 구하시오.

정답 172

[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 함숫값 추측하기

조건 (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 2015 RIGHT ) =f LEFT ( 3 TIMES {2015} over {3} RIGHT )]

[eqn: =3f LEFT ( {2015} over {3} RIGHT )]

[eqn: =3 ^{2} f LEFT ( {2015} over {3 ^{2}} RIGHT )]

[eqn: vdots]

[eqn: =`3 ^{6} f LEFT ( {2015} over {3 ^{6}} RIGHT )]

이다.

[eqn: {2015} over {3 ^{6}} `]의 범위는 [eqn: 2< {2015} over {3 ^{6} `} <3`]이므로 조건 (가)에

의하여 [eqn: f LEFT ( {2015} over {3 ^{6}} RIGHT ) =3- {2015} over {3 ^{6}} `]이다.

[eqn: therefore][eqn: 3 ^{6} f LEFT ( {2015} over {3 ^{6}} RIGHT ) =`3 ^{6} LEFT ( 3- {2015} over {3 ^{6}} RIGHT ) `]

[eqn: =3 ^{7} -2015=172`]

[4점][2014년 고2 6월부산]

(가) [eqn: f(x)`=1`- LEFT | x-2 RIGHT | `````(`1 LEQ x LEQ 3)]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(3x)`=`3f(x)``]이다.

유리식과 유리함수(3점)

좌표평면에서 함수 [eqn: y= {5x+6} over {3x+a} `]의 그래프를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동하였더니 함수 [eqn: y= {-4x+6} over {3x+b} `]의 그래프와 일치하였다. [eqn: a-b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

정답 [eqn: 9]

두 함수 [eqn: y= {5x+6} over {3x+a} ,~y= {-4x+6} over {3x+b} `]가 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로 함수 [eqn: y= {5x+6} over {3x+a} `]의 역함수는 [eqn: y= {-4x+6} over {3x+b} `]이다.

[eqn: y= {5x+6} over {3x+a} `]을 [eqn: x`]에 대하여 정리하면

[eqn: 3xy+ay=5x+6]

[eqn: LEFT ( 3y-5 RIGHT ) x=-ay+6]

[eqn: x= {-ay+6} over {3y-5}]

[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= {-ax+6} over {3x-5}]

이때, [eqn: y= {-ax+6} over {3x-5} `]과 [eqn: y= {-4x+6} over {3x+b} `]는 일치하여야 하므로

[eqn: a=4,~b=-5]

[eqn: THEREFORE ~a-b=9]

[3점][2015년 고1 10월 중앙]

좌표평면에서 함수 [eqn: y= {ax+b} over {x-2}]의 그래프가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

[eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

정답 ④

함수 [eqn: y= {ax+b} over {x-2}]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 1= {-a+b} over {-1-2}]

[eqn: therefore~a-b=3]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

한편, [eqn: y= {ax+b} over {x-2}]를 [eqn: x]에 대하여 풀면

[eqn: y LEFT ( x-2 RIGHT ) =ax+b,~ LEFT ( y-a RIGHT ) x=2y+b]

[eqn: x= {2y+b} over {y-a}]

위 식의 [eqn: x]와 [eqn: y]를 바꾸면

[eqn: y= {2x+b} over {x-a}]

(나)에 의하여 함수 [eqn: y= {2x+b} over {x-a}]의 그래프가 함수 [eqn: y= {ax+b} over {x-2}]의 그래프와 일치하므로

[eqn: a=2,~b=-1~ LEFT ( BECAUSE ㉠ RIGHT )]

[eqn: therefore~a+b=1]

[다른 풀이]

(가), (나)에 의하여 함수 [eqn: y= {ax+b} over {x-2}]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: -1= {a+b} over {1-2}]

[eqn: therefore~a+b=1]

(가) 점 [eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )]을 지난다.

(나) 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시키면 원래의 그래프와 일치한다.

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

좌표평면에서 함수 [eqn: y= { ax+b} over {x+1 }]의 그래프와 직선 [eqn: y= - { 1} over {2 }x+2]가 두 점 [eqn: P`,```Q]에서 만난다. 두 점 [eqn: P`,```Q]의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: 0`,```2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a`,```b]는 상수이다.)

정답 ⑤

두 점 [eqn: P`,```Q]는 모두 직선 [eqn: y= - { 1} over {2 }x+2] 위의 점이므로  [eqn: P(0`,```2)], [eqn: `Q(2`,```1)]

점 [eqn: P(0`,```2)]는 함수 [eqn: y= { ax+b} over {x+1 }]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 2= { 0+b} over { 0+1}]	∴ [eqn: b=2] [eqn: CDOTS CDOTS``㉠]

점[eqn: `Q(2`,```1)]은 함수 [eqn: y= { ax+b} over {x+1 }]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 1= { 2a+b} over { 2+1}]	[eqn: 2a+b=3]	∴ [eqn: a= { 1} over { 2}] [eqn: (∵ ```㉠)]

∴ [eqn: a+b= { 5} over {2 }]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: { 1} over { 2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 3} over { 2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5} over {2 }]

철수는 [eqn: rm A]지점을 출발하여 거리가 [eqn: 6`` rm km] 만큼 떨어진 [eqn: rm B]지점으로 이동한 후 [eqn: rmB]지점에서부터 거리가 [eqn: 8`` rm km] 떨어진 [eqn: rmC]지점까지 이동하려고 한다. [eqn: rm A]지점을 출발하여 처음 [eqn: 1`` rm km]는 일정한 속력으로 걷다가 [eqn: rm B]지점까지 남은 [eqn: 5`` rm km]는 처음 걷는 속력보다 시속 [eqn: 2`` rm km]만큼 더 빠르게 이동하고, [eqn: rm B]지점에서부터 [eqn: rm C]지점까지는 처음 걷는 속력의 [eqn: 2]배의 속력으로 이동하려고 한다. [eqn: rm A]지점에서부터 [eqn: rm C]지점까지 이동하는 데 걸리는 시간이 [eqn: 2]시간 [eqn: 40]분 이하가 되도록 할 때, 처음 걷는 속력의 최솟값은? (단, 속력의 단위는 [eqn: rm km]/시이다.)

정답 ①

처음 걷는 속력을 [eqn: v``]([eqn: rm km/]시)라 하면 [eqn: rmB]지점까지 [eqn: 5`` rm km]를 이동하는 속력은 [eqn: v+2``]([eqn: rm km/]시)이고, [eqn: rmB]지점에서부터 [eqn: rmC]지점까지 [eqn: 8``rm km]를 이동하는 속력은 [eqn: 2v``]([eqn: rm km/]시)이다.

이때 [eqn: rm A]지점에서부터 [eqn: rm C]지점까지 이동하는 데 걸리는 시간이 [eqn: 2]시간 [eqn: 40]분 이하가 되어야 하므로

[eqn: 1 over v + 5 over {v+2} + 8 over 2v le 2 + 2 over 3]

[eqn: 1 over v + 1 over {v+2} le 8 over 15]

이때, [eqn: v>0 ,~ v+2>0]이므로 양변에 [eqn: 15v(v+2)]를 곱하면

[eqn: 15(v+2) + 15v le 8v(v+2)]

[eqn: 8v^{2} - 14v - 30 ge 0]

[eqn: (8v + 10) (v-3) ge 0]

[eqn: v>0]이므로 [eqn: v-3 ge 0]

[eqn: THEREFORE`` v ge 3]

따라서 구하는 속력의 최솟값은 [eqn: 3``]([eqn: rm km/]시)이다.

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7 over 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 함수 [eqn: y`=` {2x-4} over {x+1}]의 그래프가 [eqn: x]축 , [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`,`B]라 하고, 두 점근선의 교점을 [eqn: rm P]라 하자. 삼각형 [eqn: rm APB]의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 8]

이해력 – 함수

[eqn: y`=` {2x-4} over {x+1} `=` {2 LEFT ( x+1 RIGHT ) `-6} over {`x+1} `][eqn: =` {-6} over {x+1} `+2] 에서 점근선의 방정식은 [eqn: x=`-1,`y=2]이다.  [eqn: THEREFORE P`` LEFT ( -1`,2 RIGHT )]

[eqn: y`=` {2x-4} over {x+1} `]에서 [eqn: x=0]일 때 [eqn: y=` {0-4} over {0+1} `=`-4]이므로 [eqn: B` LEFT ( 0,-4 RIGHT )]이고

[eqn: y=0]일 때, [eqn: 0`=` {2x-4} over {x+1}]에서 [eqn: x=2]이므로 [eqn: A` LEFT ( 2,0 RIGHT )]이다.

그림과 같이 점 [eqn: B]에서 직선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 [eqn: Q]라 하고, 점 [eqn: A]에서 직선 [eqn: BQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: R]라 하자.

사각형 [eqn: PQRA]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 4+6 RIGHT ) TIMES 3`=`15]

삼각형 [eqn: PQB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 1=`3]

삼각형 [eqn: ABR]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 4=`4]

따라서, 삼각형 [eqn: APB]의 넓이는 [eqn: 15`- LEFT ( 3+4 RIGHT ) `=`8]이다.

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+2} +a]의 그래프의 점근선의 방정식이
[eqn: x=b], [eqn: y=3]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+2} +a]의 그래프의 점근선의

방정식은 [eqn: x=`-2], [eqn: y=3]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=`-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=5]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2`]에서 유리함수 [eqn: y= {3x+1}over{x+2}]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M +m`]의 값은?

정답 ④

[eqn: y= {3x+1}over{x+2} = {3(x+2)-5}over{x+2} = 3- 5over{x+2}]이므로

유리함수 [eqn: y= {3x+1}over{x+2}]의 그래프는

유리함수 [eqn: y=- 5overx `]의 그래프를

[eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼

평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: 0<=x<=2`]에서

유리함수 [eqn: y= {3x+1}over{x+2}]의 최댓값은

[eqn: x=2`]일 때 [eqn: 7over4 `,`]최솟값은 [eqn: x=0`]일 때 [eqn: 1over2`]이다.

[eqn: THEREFORE M+m = 7over4 + 1over2 = 9over4`]

[3점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: 1over2 `]	② [eqn: 3over2`]	③ [eqn: 7over4`]

④ [eqn: 9over4`]	⑤ [eqn: 10over3`]

유리함수 [eqn: y= {1} over {x+1} -3`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= {1} over {x+1} -3`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼

평행이동하면 [eqn: y= {1} over {x+1} -3`+a`]의 그래프이다.

이 그래프가 원점을 지나므로

[eqn: 0= {1} over {0+1} -3`+a`]이다.

따라서 [eqn: a=2`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: y= {1} over {x+1} -3`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼

평행이동하면 원점을 지나므로 원점을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -a`]만큼 평행이동한 점 [eqn: LEFT ( 0,``-a RIGHT ) `]는

[eqn: y= {1} over {x+1} -3`]의 그래프를 지난다.

그러므로 [eqn: -a= {1} over {0+1} -3`]이다.

따라서 [eqn: a=2`]이다.

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

유리함수 [eqn: y= {3} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 5,``a RIGHT ) `]를 지날 때,

정답 ⑤

[출제의도] 유리함수의 평행이동 이해하기

유리함수 [eqn: y= {3} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼 평행이동한 그래프는 유리함수 [eqn: y= {3} over {x-4} +5`]의 그래프와 같다.

유리함수 [eqn: y= {3} over {x-4} +5`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 5,``a RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: a= {3} over {5-4} +5`]

이다. [eqn: THEREFORE `a=8`]

상수 [eqn: a`]의 값은

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

유리식과 유리함수(4점)

좌표평면에서 함수 [eqn: f(x) = { bx +2 } over { x+ a}]의 그래프는 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ②

곡선 [eqn: y= f(x)]는 점 [eqn: (-3,~1)]을 지나므로

[eqn: 1= -3b+2 over -3+a]

∴ [eqn: a+ 3b =5~~~cdotscdots]㉠

곡선 [eqn: y= f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프의 식은

[eqn: y= { b( x-1)+2 } over x-1+a = 2-ab over x-1+a +b]

이고, 점근선의 방정식은 [eqn: x=1-a,~ y=b]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)]각 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이려면

[eqn: 1-a=b~~~cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-1,~ b=2]

∴ [eqn: f(x) = 2x+2 over x-1 = 4 over x-1 +2]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: left( t,~ 4 over t-1 +2 right)``( t >0)]라 하면

[eqn: {rmA}( t,~0),~{rmB} left(0,~ 4 over t-1 +2 right)]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: t-1>0]이다.

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: {rm bar AP }+ {rm bar BP}= 4 over t-1 + 2+ t]

[eqn: =( t-1) + 4 over t-1 + 3]

[eqn: ge 2 sqrt { ( t-1) times 4 over t-1} + 3 = 7]

(단, 등호는 [eqn: t-1 = 4 over t-1], 즉 [eqn: t=3]일 때 성립한다.)

따라서, 사각형 [eqn: rmOAPB]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 7 times 2 =14]이다.

(가) 점 [eqn: (-3,~1)]을 지난다.

(나) 곡선 [eqn: y= f(x)]의 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 제 [eqn: 1]사분면의 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA,~B]라 할 때, 사각형 [eqn: rmOAPB]의 둘레의 길이의 최솟값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

좌표평면에서 함수 [eqn: y = 2x+1 over x `]의 그래프 위의 제[eqn: 1`]사분면의 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A,````B`]라 하자. 사각형 [eqn: rm OAPB`]의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

정답 [eqn: 8]

수학 내적 문제 해결 능력 - 함수

[eqn: rm P left( it t, ```` 2t+1 over t right) `` (t > 0)`]이라 하면

[eqn: rm A it (t, ````0)], [eqn: rm B left( 0, ```` it 2t+1 over t right)]

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: rm bar OA + bar OB][eqn: = t + 2t+1 over t = t + 1 over t + 2][eqn: ge 2 sqrt{ t times 1 over t } + 2][eqn: =4]

[eqn: left( pile{#}]단, 등호는 [eqn: t = 1 over t`]일 때, 즉 [eqn: t = 1`]일 때 성립한다.[eqn: pile{#}right)]

따라서 사각형 [eqn: rm OAPB`]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 4 times 2 = 8`]이다.

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x-p} +q`]에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -1,~7 RIGHT ) `]을 지나고, 점근선의 방정식은 [eqn: x=-2,~y=-1`]이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q`]라 하고, 그래프의 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,~C`]라 하자. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k,~p,~q`]는 상수이고, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

정답 ⑤

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 점근선의 방정식이

[eqn: x=-2,~y=-1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x+2} -1]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,~7 RIGHT ) `]을 지나므로

[eqn: 7= {k} over {-1+2} -1,~k=8]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) = {8} over {x+2} -1]

ㄱ. (참) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT ) `]을 지나므로 함수

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]를 지난다.

ㄴ. (참) [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에 [eqn: y=0`]을 대입하면 [eqn: x=6`]이고, [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에 [eqn: x=0`]

을 대입하면 [eqn: y=3`]이므로 [eqn: rmP LEFT ( 6,~0 RIGHT ) ,~Q LEFT ( 0,~3 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 3=9`]이다.

ㄷ. (참) 점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~ {8} over {a+2} -1 RIGHT ) `` LEFT ( 0<a<6 RIGHT ) `]이라 하면 사각형

[eqn: rmOBAC`]의 둘레의 길이는 [eqn: 2 LEFT ( a+ {8} over {a+2} -1 RIGHT ) `]이다.

이때, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 2 LEFT ( a+ {8} over {a+2} -1 RIGHT ) =2 LEFT ( a+2+ {8} over {a+2} -3 RIGHT )]

[eqn: GEQ 2 LEFT { 2 sqrt {LEFT ( a+2 RIGHT ) TIMES {8} over {a+2}} -3 RIGHT }]

[eqn: =2 TIMES LEFT ( 2 TIMES 2 sqrt {2} -3 RIGHT )]

[eqn: =8 sqrt {2} -6]

(단, 등호는 [eqn: a=2 sqrt {2} -2`]일 때 성립한다.)

따라서, 사각형 [eqn: rm OBAC]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 8 sqrt {2} -6`]이다.

ㄱ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]를 지난다. ㄴ. 삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 넓이는 [eqn: 9`]이다. ㄷ. 사각형 [eqn: rmOABC`]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 8 sqrt {2} -6`]이다.

[4점][2015년 고2 5월 중앙 나형]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 좌표평면에서 함수 [eqn: y= { k} over { x-p} +q]의 그래프는 점 [eqn: (-1`,```7)]을 지나고, 점근선의 방정식은 [eqn: x=-2], [eqn: y=-1]이다. 함수 [eqn: y= { k} over { x-p} +q]의 그래프의 제 [eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: A]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: B`,```C]라 하자. 사각형 [eqn: OBAC]의 둘레의 길이의 최솟값이 [eqn: m+ n sqrt { 2}]일 때, [eqn: m^2 +n^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`,```p`,```q]는 상수이고, [eqn: m`,```n]은 유리수이며, [eqn: O]는 원점이다.)

정답 [eqn: 100]

함수 [eqn: y= { k} over { x-p} +q]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: x=-2], [eqn: y=-1]이므로 [eqn: y= { k} over { x+2} -1]

함수 [eqn: y= { k} over { x-p} +q]의 그래프가 점 [eqn: (-1`,```7)]을 지나므로

[eqn: 7= { k} over { -1+2} -1],	[eqn: k=8]	∴ [eqn: y= { 8} over { x+2} -1]

이때, 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`, ``` { 8} over {a+2 }-1 RIGHT )][eqn: (0<a<6)]이라하면 사각형 [eqn: OBAC]의 둘레의 길이는

[eqn: 2LEFT ( a`+ { 8} over {a+2 }-1 RIGHT )]이다.

이때, 산술·기하평균에 의하여

[eqn: 2LEFT ( a`+ { 8} over {a+2 }-1 RIGHT )][eqn: =2LEFT ( a`+2+ { 8} over {a+2 }-3 RIGHT )][eqn: GEQ 2 LEFT { 2 sqrt { (a+2) TIMES { 8} over { a+2} }-3 RIGHT }][eqn: =8 sqrt { 2} -6]

(단, 등호는 [eqn: a=2 sqrt { 2} -2]일 때 성립한다.)

따라서, 사각형 [eqn: OBAC]의 둘레의 길이의 최솟값은  [eqn: 8 sqrt { 2} -6]이다.

∴  [eqn: m^2 +n^2 =36+64 =100]

[4점][2015년 고2 5월 중앙 가형]

[eqn: {bar{rm AB it}}][eqn: =][eqn: {bar{rm BC it}} =][eqn: {bar{rm CD it}} =2`], [eqn: {bar{rm AD it}} =3`]인 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD`]에서 선분 [eqn: rmBC`]위를 움직이는 점을 [eqn: rm E], 직선 [eqn: rmAE`]와 직선 [eqn: rmCD`]의 교점을 [eqn: rmF`]라 하자. 점 [eqn: rm C`]와 점 [eqn: rmE] 사이의 거리를 [eqn: x`][eqn: (0 LEQ x LEQ 2)], 점 [eqn: rmC`]와 점 [eqn: rm F] 사이의 거리를 [eqn: f(`x)`]라 할 때, 함수 [eqn: y=f(`x`)`]의 그래프의 모양으로 알맞은 것은?

정답 ①

[출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기

삼각형 [eqn: rm AFD]와 삼각형 [eqn: rmEFC]는 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AD` it}} :` {bar{rm EC it}} `=` {bar{rm DF it}} `:` {bar{rm CF it}}]

[eqn: 3`:`x`= LEFT { `f(`x`)+2` RIGHT } ``:`f(`x`)]

[eqn: f(`x`)`=` {-6} over {x-3} `-`2~(0 LEQ x LEQ 2)]

따라서 함수 [eqn: y=f(`x)`]의 그래프의 모양은

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[4점][2015년 9월 인천]

유리함수 [eqn: f(x) = ax+b over cx+d]의 그래프는 원점을 지나고 점근선의 방정식이 [eqn: x=2,~y=1]이다. 함수 [eqn: y= 1 over f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 다음 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 겹쳐진다. 상수 [eqn: m]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 상수이다.)

정답 ②

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 점근선의 방정식이 [eqn: x=2,~y=1]이므로

[eqn: f(x) =1+ k over x-2]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 원점을 지나므로

[eqn: 0= 1+ k over -2]  ∴ [eqn: k=2]

∴ [eqn: f(x) = 1+ 2 over x-2 = x over x-2 ~~cdots]㉠

즉, [eqn: 1 over f(x) = x-2 over x = 1- 2 over x]이므로 [eqn: y= 1- 2 over x]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y= 1+ 2 over x]

[eqn: y= 1+ 2 over x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동하면

[eqn: y= 1+ 2 over x-m ~~cdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: m=2]

[4점][2015년 고1 10월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

정의역이 [eqn: LEFT { x LEFT | x GEQ -1 RIGHT } RIGHT .]인 함수[eqn: f(x)= { 8x+a} over { x+2}]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 5]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

정답 ②

[eqn: f(x) = {8x+a} over x+2 = {8(x+2) + a - 16} over x+2]

[eqn: = 8 + {a-16} over x+2]

[eqn: f(-1) = a-8]

(ⅰ) [eqn: a>16]일 때,

정의역이 [eqn: left{ x ``|`` x ge -1 right}]이므로 오른쪽 그림에서 함수 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: left{ y``|``8<y le a-8 right}] 따라서 치역의 원소중 정수는 [eqn: 9,~10,~11,~12,~13]의 [eqn: 5]개이어야 하므로 [eqn: 13 le a-8 < 14]  [eqn: therefore 21 le a < 22]

(ⅱ) [eqn: a<16]일 때,

정의역이 [eqn: left{ x ``|`` x ge -1 right}]이므로 오른쪽 그림에서 함수 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: left{ y``|``a-8 le y <8 right}] 따라서 치역의 원소중 정수는 [eqn: 3,~4,~5,~6,~7]의 [eqn: 5]개이어야 하므로 [eqn: 2<a-8 le 3]  [eqn: therefore````10<a le 11]

(ⅲ) [eqn: a=16]일 때, [eqn: f(x) = 8]이므로 조건을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 21]과 [eqn: 11]이므로

모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 21+11 =32]

[4점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: 28]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 44]

두 함수 [eqn: f(x)= {x+2a} over {x+20}]와 [eqn: g(x)= {x+a} over {x+10}]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=k`` TIMES `g(x)]의 그래프와 일치한다. 세 상수 [eqn: m,`n,`k]의 합 [eqn: m+n+k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 10이 아닌 상수이다.)

정답 13

[eqn: f(x)= {x+2a} over {x+20} `= {x+20+2a-20} over {x+20}]

[eqn: = {2a-20} over {x+20} +1]

[eqn: g(x)= {x+a} over {x+10} `= {x+10+a-10} over {x+10}]

[eqn: = {a-10} over {x+10} +1]

그런데

[eqn: 2g(x)`= {2a-20} over {x+10} `+2]이므로

함수 [eqn: y=2`g(x)]의 그래프는 [eqn: y=`f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 10만큼, [eqn: y]축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

[eqn: THEREFORE m+n+k=10+1+2=13]

[4점][2015년 고2 5월 대성]

[세트] [eqn: bold a`]는 상수이고, 유리함수  [eqn: bold{f(x)= {2} over {x-a} `+3a-1} ``]에
대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=f(x)]

직선 [eqn: y=x`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=x]

[eqn: a]

[eqn: 3a-1]

곡선 [eqn: y=f(x)`]의 두 점근선의 교점은 [eqn: LEFT ( a,``3a-1 RIGHT ) `]이다.

직선 [eqn: y=x`]가 이 교점을 지나므로

[eqn: a=3a-1`]이다.

[eqn: THEREFORE `a= {1} over {2}]

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: { 2} over {3 }]	⑤ [eqn: 5over6`]

[eqn: a=1`]일 때, 유리함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]와 직선 [eqn: y=`-x+3`] 사이의 거리의 최솟값은?

정답 ④

[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 최대, 최소 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=-x+3]

[eqn: \P]

[eqn: a=1`]이므로 유리함수 [eqn: y= {2} over {x-1} +2`]의 그래프의 점근선은 [eqn: x=1`], [eqn: y=2`]이다.

직선 [eqn: x+y-3=0``]은 두 점근선의 교점 [eqn: (1,``2)`]를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 [eqn: x+y-3=0``]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: x>1`]인 경우만 생각해도 된다.

유리함수 그래프 위를 움직이는 한 점을

[eqn: rmP LEFT ( itt,`` {2} over {t-1} +2 RIGHT ) `]라 하면

점 [eqn: rmP`]와 직선 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | t+ {2} over {t-1} +2-3 RIGHT |} over {sqrt {2}} `= {LEFT | t-1+ {2} over {t-1} RIGHT |} over {sqrt {2}} `]이다.

[eqn: t>1`]이므로 [eqn: (t-1)+ {2} over {t-1} ge2 sqrt {2} `]이다.

따라서 구하는 거리의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

[4점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

유리함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over x+b]의 그래프가 [eqn: x]축의 양의 부분과 만나고, [eqn: y]축과는 만나지 않을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ④

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over x+b]의 그래프가 [eqn: x]축의 양의 부분과 만나므로 [eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 0]보다 커야 한다.

따라서 [eqn: ax+1=0]에서 [eqn: x= - 1 over a >0]이어야 하므로 [eqn: a<0]이다. (참)

ㄴ. 유리함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over x+b]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나지 않으려면 [eqn: y]이 점근선이어야 한다.

[eqn: therefore``b=0] (거짓)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 [eqn: f(x) = 1 over x +a] ([eqn: a<0])의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때, 직선 [eqn: y= ax+a]은 점 [eqn: (0,```a)]를 지나고 기울기가 [eqn: a] ([eqn: a<0])이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 항상 만나지 않는다.

ㄱ. [eqn: a<0] ㄴ. [eqn: b>0] ㄷ. 직선 [eqn: y= ax+a]는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나지 않는다.

[4점][2015년 고2 10월 대성]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

무리식과 무리함수(2점)

무리함수 [eqn: y= sqrt { 3+x}+b]의 정의역은 [eqn: LEFT { ``x``|``x gea`` RIGHT }], 치역은 [eqn: LEFT { ``y``|``y ge-1`` RIGHT }]이다. 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

정답 ①

무리함수 [eqn: y= sqrt { 3+x}+b]의 그래프는 무리함수 [eqn: y= sqrt { x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 것이므로 정의역은 [eqn: LEFT {``x``|``x ge-3 RIGHT }], 치역은 [eqn: LEFT { ``y``|``y GEQ b RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: a=-3,~b=-1]이므로 [eqn: a+b=-4]이다.

[2점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

무리식과 무리함수(3점)

그림과 같이 정의역이 [eqn: left{ x ` |` x ge -9 right}]인 함수 [eqn: y= a sqrt x+b + c]의 그래프가 두 점 [eqn: (-9,~-2),~(-5,~ 2)]를 지난다.

정답 [eqn: 16]

함수 [eqn: y= a sqrt x+b + c]의 그래프는 [eqn: y=a sqrt x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -9]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 그래프이므로

[eqn: y= a sqrt x+9 -2]

점 [eqn: (-5,~2)]를 지나므로

[eqn: 2=2a-2]

∴ [eqn: a=2]

∴ [eqn: y= 2 sqrt x+9 -2]

따라서, [eqn: rmA(-8,~0) ,~B(0,~4)]이므로 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times 8 times 4=16]이다.

함수 [eqn: y= a sqrt x+b + c]의 그래프가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: LEFT ( -1,```-2 RIGHT ) `]이고, 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]를 지나는 이차함수의 그래프의 [eqn: x GEQ -1`]인 부분을 나타내는 식을 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수가 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c`]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b,~c`]는 상수이다.)

정답 [eqn: 2]

이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 [eqn: LEFT ( -1,```-2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: y=k LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} -2``]([eqn: k`]는 상수)

라 하면 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 2=4k-2,~k=1]

[eqn: THEREFORE ~y= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} -2]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} -2`` LEFT ( x GEQ -1 RIGHT )]

이 때, [eqn: y= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} -2`` LEFT ( x GEQ -1,~y GEQ -2 RIGHT ) `]를 [eqn: x`]에 대하여 풀면

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} =y+2`` LEFT ( x GEQ -1,~y GEQ -2 RIGHT )]

[eqn: x= sqrt {y+2} -1`` LEFT ( x GEQ -1,~y GEQ -2 RIGHT )]

위 식의 [eqn: x`]와 [eqn: y`]를 바꾸면

[eqn: y= sqrt {x+2} -1`` LEFT ( x GEQ -2,~y GEQ -1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~a=1,~b=2,~c=-1]

[eqn: THEREFORE ~a+b+c=2]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

그림과 같이 함수 [eqn: y= roota(x+2) +b `]의 그래프가 점 [eqn: rmA(-2,~-1)`]을 지나고 [eqn: y`]축과 점 [eqn: rmB(0,~1)`]에서 만난다. 함수 [eqn: y=roota(x+2) +b `]이 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rmP}(p,~0)`]이라 할 때, 상수 [eqn: p`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

정답 ③

함수 [eqn: y=roota(x+2) +b `]의 그래프가 점 [eqn: rmA(-2,~-1)`]을 지나므로

[eqn: -1 = roota(-2+2) +b `]

[eqn: therefore~b=-1 `]

점 [eqn: rmB(0,~1)`]을 지나므로

[eqn: 1= roota(0+2) -1 ,~root2a = 2 `]

[eqn: therefore~a=2 `]

[eqn: therefore~y= root2(x+2) -1 `]

점 [eqn: {rmP}(p,~0)`]을 지나므로

[eqn: 0=root2(p+2) -1 `]

[eqn: root2(p+2) =1 ,~2(p+2)=1,~2p=-3 `]

[eqn: therefore~p= - 3over2 `]

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: - 7over4 `]	② [eqn: - 13 over8 `]	③ [eqn: - 3 over2 `]

④ [eqn: - 11 over8 `]	⑤ [eqn: - 5 over4 `]

두 무리함수 [eqn: f(x)`=` sqrt {x} `-`1,`g(x)`= sqrt {2x} `-`1]에 대하여 그림과 같이 두 함수  [eqn: y=f(x),``y=g(x)]의 그래프가 만나는 점을 A라 하고, 직선  [eqn: x=`a``(`a>0)]와 두 함수 [eqn: y=f(x),``y=g(x)] 의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: B], [eqn: C]라 하자. 삼각형 [eqn: ABC] 의 넓이가 [eqn: 2-` sqrt {2}] 일 때, [eqn: a]의 값은?

정답 ➁

수학 내적 문제 해결 능력 – 함수

두 함수 [eqn: f(x)`=` sqrt {x} `-```1,`g(x)`= sqrt {2x} `-``1] 의 그래프가 모두 점 [eqn: (`0,``-`1)]을 지나므로 [eqn: A`(0,``-1)]이다,

또, [eqn: B`(a,`` sqrt {a} `-1),``C`(a,` sqrt {2a} `-1)]이므로 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} ` TIMES ` {bar{BC}} `` TIMES ``a`=`` {1} over {2} `a left{ ( sqrt {2a} `-`1)`-`( sqrt {a} `-1) right}]

[eqn: =` {sqrt {2} `-`1} over {2} a sqrt {a}]

삼각형 [eqn: ABC]의 넓이가 [eqn: 2`- sqrt {2}]이므로

[eqn: {sqrt {2} `-`1} over {`2} a sqrt {a`} `=`2`-` sqrt {2} ,``a sqrt {a} `=`2 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE `a`=`2]

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[3점][2015년 고2 8월 비상]

➀ [eqn: sqrt {3}]	➁ [eqn: 2]	➂ [eqn: 3]

➃ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4]

무리함수 [eqn: f(x)=`- sqrt {2x-a} +b`]가 [eqn: x=2`]에서 최댓값 [eqn: 4`]를 가질 때, 두 상수 [eqn: a,~b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

정답 ④

무리함수 [eqn: f(x)=-root{2x-a}+b`]의 정의역은 [eqn: 2x-a GEQ0,~x geq{a over 2}`]이므로 [eqn: x={a over 2}`]에서 최댓값 [eqn: b`]를 가진다.

[eqn: THEREFORE{a over2}=2,~b=4`]

[eqn: therefore a=4,~b=4`]

[eqn: thereforea+b=8`]

[3점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

함수 [eqn: f(x) = sqrt{ax+b}] ([eqn: a>0,] [eqn: b>0])에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프가 점 [eqn: P(8,`8)]에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]및 [eqn: y]축으로 둘러사인 부분의 넓이가 [eqn: 20]일 때, 곡선 [eqn: y=f^-1 (x)]와 직선 [eqn: x=8] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수이다.)

정답 [eqn: bold 12]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 곡선 [eqn: y=f^-1 (x)]와 직선 [eqn: y=x]및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 서로 같다.

따라서 곡선 [eqn: y=f^-1 (x)]와 직선 [eqn: x=8] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= 1 over2 times 8 times 8 -20= 12]

[3점][2015년 고2 5월 대성]

[세트형문제9] 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 직선 [eqn: {bold{x=n`}} `]이 무리함수 [eqn: {bold{f`(x)=sqrt {2x+2}}} + {bold{3}} `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm boldA _{it n rm}], [eqn: {bold{x}} `]축과 만나는 점을 [eqn: bold rm B _{it n rm}][eqn: rm {bold{B _{it n rm}}} `]이라 하자. (단, [eqn: bold {rmO}`][eqn: boldrm`O`]는 원점이다.) 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `A _{` it `n rm}]

[eqn: rm `B _{it`n}]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=n]

삼각형 [eqn: rm OA _{7} B _{7} `]의 넓이는?

정답 ③

[출제의도] 무리함수 문제 해결하기

[eqn: rm A it rm _{n} LEFT ( n,`` sqrt {2n+2} +3 RIGHT )], [eqn: rm B it rm _{it n} LEFT ( it n,``0 RIGHT ) `]이므로 [eqn: n=7`]을 대입하면

[eqn: rm sqrt {2 TIMES `7+2} +3=7]

이다. 따라서 [eqn: rm `A _{7} (7,``7)], [eqn: rm B it rm _{7} LEFT ( 7,```0 RIGHT ) `]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm OA _{7} B _{7} `]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES `7` TIMES `7= {49} over {2} `]이다.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: {45} over {2}]	② [eqn: {47} over {2}]	③ [eqn: {49} over {2}]

④ [eqn: {51} over {2}]	⑤ [eqn: {53} over {2}]

무리식과 무리함수(4점)

좌표평면에서 두 함수
[eqn: y= sqrt {2x+6} -5,~y= sqrt {-2x+6} +5`]
의 그래프와 두 직선 [eqn: x=-3,~x=3`]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 60]

[eqn: y= sqrt {2x+6} -5= sqrt {2 LEFT ( x+3 RIGHT )} -5]

이므로 함수 [eqn: y= sqrt {2x+6} -5`]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {2x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -5`]만큼 평행이동한 것이다.

[eqn: y= sqrt {-2x+6} +5= sqrt {-2 LEFT ( x-3 RIGHT )} +5]

이므로 함수 [eqn: y= sqrt {-2x+6} +5`]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {-2x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼 평행이동한 것이다.

두 함수 [eqn: y= sqrt {2x+6} -5,~y= sqrt {-2x+6} +5`]의 그래프는 그림과 같고, 그림에서 두 빗금친 부분의 넓이는 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 가로의 길이가 [eqn: 6,] 세로의 길이가 [eqn: 10`]인 직사각형의 넓이와 같으므로

[eqn: 6 TIMES 10=60`]이다.

[4점][2015년 고1 10월 중앙]

두 함수 [eqn: f(`x`)= {1} over {5} x ^{2} + {1} over {5} k~(x GEQ 0)],

정답 ②

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f(x)= {1} over {5} x ^{2} + {1} over {5} k~(x GEQ 0)]의 역함수는

[eqn: g(x)= sqrt {5x-k}]이고 두 함수 [eqn: y=f(x)],
[eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점은 직선 [eqn: y=x] 위에 있다.

[eqn: {1} over {5} x ^{2} + {1} over {5} k=x]

[eqn: x ^{2} -5x+k=0]은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

[eqn: k GEQ 0], [eqn: D= LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} -4`k>0]

[eqn: 0 LEQ k< {25} over {4}]이므로 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 7]

[eqn: g(`x`)= sqrt {5x-k}]에 대하여 [eqn: y=f(`x`)], [eqn: y=g(`x`)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 개수는?

[4점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

무리함수 [eqn: f(x) = sqrt ax+b]의 정의역은 [eqn: left{ x`|` x le 6 right}]이고, [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0,~ 6)]을 지난다. 이 그래프의 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,~C]라 할 때, [eqn: rm bar AB + bar AC]의 최댓값은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 17]

[eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (0,~ 6)]을 지나므로 [eqn: sqrt b = 6]에서 [eqn: b= 36]

[eqn: f(x)]의 정의역이 [eqn: left{ x`|` x le 6 right}]이므로 [eqn: a le 0]

또한 [eqn: -b over a = -36 over a = 6]에서 [eqn: a=-6]

∴ [eqn: f(x) = sqrt -6x+36]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x,~ y),~rm bar AB + bar AC = itk]라 하면

[eqn: x+y = k]  ∴ [eqn: y=-x+ k]

위의 그림과 같이 [eqn: rm bar AB + bar AC]는 무리함수

[eqn: y= sqrt -6x+36]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+ k]가 접할 때 최댓값을 가지므로

[eqn: sqrt -6x+36 =-x+ k]

에서 양변을 제곱하면

[eqn: -6x+ 36 = x^2 -2kx + k^2]

[eqn: x^2 -2( k-3) x+ k^2 -36 =0~~cdots]㉠

㉠의 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: D over 4 = (k-3)^2 -( k^2 - 36) =0]

∴ [eqn: k= 15 over 2]

따라서 [eqn: rm bar AB + bar AC]의 최댓값은 [eqn: 15 over 2]이므로

[eqn: p=2,~ q=15]

∴ [eqn: p+q = 17]

[4점][2015년 고1 10월 대성]

함수 [eqn: f(x)= sqrt {a(x-b)} +c]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f(0) =0]일 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 8]

주어진 그래프는 [eqn: y= sqrt { ax}][eqn: (a>0)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: b=-1], [eqn: c= -2]

원점 [eqn: (0,````0)]을 지나므로

[eqn: 0= sqrt { a(0+1)}-2]

[eqn: therefore] [eqn: a=4]

[eqn: therefore] [eqn: abc=8]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y= sqrt {x+4} +1`]이 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: y=`- {1} over {4} x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

정답 ①

[출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 함수 [eqn: y= sqrt {x+4} +1]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이고
두 점 [eqn: rm A LEFT ( `0,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `-4,``1 RIGHT )]을 지난다.
직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x]는 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm B]를 지난다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -4]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y= sqrt {x+4} +1]

[eqn: y=`- {1} over {4} x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rm OAB= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 4=6]

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x-1 over x-2 = root x+a + a-1]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: alpha le a le beta]이다. [eqn: 5 ( alpha^2 + beta^2 )]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[eqn: y = x-1 over x-2]과 [eqn: y = root x+a + a-1]의 그래프를 생각해보자. [eqn: y = root x+a + a-1]의 그래프의 시작점 [eqn: ( - a~ -a -1 )]은 직선 [eqn: y =- x-1] 위에 있다.

그림에서 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 [eqn: y = x-1 over x-2]과 직선 [eqn: y = -x -1]의 두 교점 [eqn: rmP ,] [eqn: rm Q]에 대해 선분 [eqn: rm P Q] 위의 점이 [eqn: y = root x+a + a-1]의 그래프의 시작점이 되어야 하므로 [eqn: rm P ,] [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: x-1 over x-2 = -x - 1 ,] [eqn: -x + 1= ( x-2)( x+1) ,] [eqn: x^2 -x -2 = -x + 1]  [eqn: therefore][eqn: x^2 = 3]

[eqn: rm P ( - root 3 ,~ root 3-1 ) ,] [eqn: rm Q ( root 3 ,~ - root 3-1 )]이므로

[eqn: - root 3 le -a le root 3] 즉, [eqn: - root 3 le a le root 3]  [eqn: therefore] [eqn: alpha^2 + beta ^2 = 6]이다.

[eqn: therefore] [eqn: 5 ( alpha^2 + beta ^2 ) =30]

[4점] [2015년 05월 종로]

함수 [eqn: f(x) = rootx+6]과 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 직선 [eqn: y=-x+a] [eqn: (-6 le a le 6)]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmA], 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

정답 ③

함수 [eqn: f(x) = rootx+6]의 역함수 [eqn: g(x)]를 구하면 [eqn: y=rootx+6]에서 [eqn: x=y^2 -6] [eqn: (y ge 0)]이므로

[eqn: g(x) = x^2 - 6] [eqn: (x ge0)]

한편, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점은 직선 [eqn: y=x]와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점과 같으므로 [eqn: x^2 - 6 = x]에서

[eqn: x^2 - x - 6 = 0], [eqn: (x+2)(x-3)=0]

[eqn: therefore~x=-2] 또는 [eqn: x=3]

따라서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3]이다. ([eqn: because~x ge 0])

[eqn: a=-6]일 때, [eqn: rmB (0,~-6)], [eqn: a=6]일 때, [eqn: rmB(3,~3)]이므로 [eqn: rmB ( it t,~t^2 - 6)]이라 하면 [eqn: -6 le a le 6]일 때 [eqn: 0 le t le 3]이다.

위의 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]가 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하면 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: rm barAB = 2 barBC]이다.

선분 [eqn: rmBC]의 길이는 점 [eqn: rmB( it t,~t^2 - 6)]에서 직선 [eqn: y=x], 즉 [eqn: x-y=0]에 이르는 거리와 같으므로

[eqn: rmbarBC = it {|t-t^2 + 6 |} over root2][eqn: ={-left(t - 1 over 2 right)^2 + 25 over 4} over root2] [eqn: (0 le t le 3)]

따라서 선분 [eqn: rmBC]의 길이의 최댓값은 [eqn: t= 1 over 2]일 때

[eqn: {25 over 4 over root2 } = {25root2} over 8]이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값은

[eqn: 2 times { 25root2} over { 8} = { 25root2} over { 4}]이다.

[4점][2015년 8월 비상]

① [eqn: { 19root2} over { 4}]	② [eqn: { 11root2} over { 2}]	③ [eqn: { 25root2} over { 4}]

④ [eqn: 7root2]	⑤ [eqn: { 31root2} over { 4}]

함수 [eqn: f(x)= {cases{sqrt {x}&``(x GEQ 0)#`````x ^{2}&``(x<0)}} `]의 그래프와 직선 [eqn: x+3y-10=0`]이 두 점 [eqn: rm `A(-2,``4)], [eqn: rm `B`(4,``2)`]에서 만난다. 그림과 같이 주어진
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

정답 [eqn: 10]

[출제의도] 무리함수와 역함수 문제 해결하기

구하고자 하는 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의 그래프는 함수 [eqn: y=x ^{2}][eqn: (x` LEQ 0)`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치하고 점 [eqn: rm `A`]는 같은 방법의 대칭이동으로 점 [eqn: rm `B`]로 이동한다. 따라서 그림과 같이 [eqn: S``'`]의 영역과 [eqn: S``'']의 영역의 넓이는 서로 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm`B]

[eqn: S`` prime]

[eqn: S``` prime prime]

따라서 [eqn: S`]의 값은 삼각형 [eqn: rm `OAB`]의 넓이와 같다.

삼각형 [eqn: rm `OAB`]에서 밑변을 [eqn: rm ` {bar{AB}} `]라 하면, 높이는 원점과 직선 [eqn: x+3y-10=0`] 사이의 거리이다.

[eqn: {bar{rm`AB}} =][eqn: sqrt {(4+2) ^{2} +(4-2) ^{2}} =2 sqrt {10} `]이고 높이는

[eqn: {LEFT | 0+3 TIMES 0-10 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +3 ^{2}}} = sqrt {10}]

이다.

따라서 [eqn: S= {1} over {2} TIMES sqrt {10} TIMES 2 sqrt {10} =10`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm`B]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: rm `C']

[eqn: rm`H]

[eqn: S``']

[eqn: S``'']

[eqn: rm`C]

직선 [eqn: x+3y-10=0`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점은 [eqn: rm `C LEFT ( 0,` {10} over {3} RIGHT ) `]이다. 점 [eqn: rm `C`]를 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점을

[eqn: rm `C prime LEFT ( {10} over {3} ,`0` RIGHT ) `]이라 하고 점 [eqn: rm `B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm `H`]라 하자. 그림과 같이 [eqn: S``'`]의 영역과 [eqn: S``'']의 영역의 넓이는 서로 같기 때문에 [eqn: S`]의 값은 사다리꼴[eqn: rm ``COHB`]의 넓이에서 삼각형[eqn: rm `BC prime H]의 넓이를 뺀 것과 같다.

(사다리꼴 [eqn: rm ``COHB`]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 2+ {10} over {3} RIGHT ) TIMES 4][eqn: = {32} over {3}]

(삼각형 [eqn: rm `BC prime H`]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 4- {10} over {3} RIGHT ) TIMES 2][eqn: = {2} over {3}]

따라서 [eqn: S= {32} over {3} - {2} over {3} =10`]이다.

[4점][2015년 고2 6월 부산]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x+3y-10=0]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

등차수열(2점)

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: a_2 + a_7 =15,~a_4 +a_9 =27`]일 때, [eqn: a_2`]의 값은?

정답 ③

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항과 공차를 각각 [eqn: a,~d`]라 하면

[eqn: a_2 +a_7 = (a+d)+(a+6d)=2a+7d=15`]

[eqn: a_4 +a_9 = (a+3d)+(a+8d) =2a+11d=27`]

연립하여 풀면 [eqn: d=3,~a=-3`]

[eqn: thereforea_2 =a+d=0`]

[2점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

등차수열(3점)

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_3 =6], [eqn: a _{4} +a _{6} = 20]일 때, [eqn: a_7]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 [eqn: left { a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_3 = a+ 2d = 6] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a_4 + a_6 = a + 3d + a+5d = 2a+8d = 20] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서

[eqn: a=2], [eqn: d=2]

따라서 [eqn: a_7 = 2+ 6 times 2 = 14]

[3점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} =55]
일 때, [eqn: a _{11}]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 등차수열 이해하기

[eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} =5timesa _{6} =55]

[eqn: therefore`a _{6} =11]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{6} -a _{1} =5d=10] [eqn: THEREFORE][eqn: d=2]

따라서 [eqn: a _{11} =a _{1} +10d=21]

[3점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =-2], [eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5} =12]일 때, 이 수열의 공차는?

정답 ④

[eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5} =a _{4} + LEFT ( a _{3} +a _{5} RIGHT )]

[eqn: =a _{4} +2a _{4}]

[eqn: =3a _{4} =12]

[eqn: therefore][eqn: a _{4} =4]

따라서 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{4} -a _{1} =3d=6]

[eqn: therefore][eqn: d=2]

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5} = LEFT ( a _{1} +2d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +3d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +4d RIGHT )]

[eqn: =3a _{1} +9d]

[eqn: =-6+9d]

[eqn: -6+9d=12]이므로 [eqn: d=2]

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{10} =0,~S _{15} =25]일 때, 이 수열의 공차는?

정답 ②

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: S _{10} = {10 LEFT ( 2a _{1} +9d RIGHT )} over {2} =0,~2a _{1} +9d=0]	⋯㉠

[eqn: S _{15} = {15 LEFT ( 2a _{1} +14d RIGHT )} over {2} =25,~a _{1} +7d= {5} over {3}]	⋯㉡

따라서 ㉠, ㉡에서 [eqn: a _{1} =-3,~d= {2} over {3}]이다.

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3 ,~ a_4 -a_2 = 4]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10} a_k]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 120]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_4 -a_2 = 2d =4]

[eqn: THEREFORE`` d= 2]

따라서 [eqn: a_n = 3+ (n-1) times 2 = 2n +1]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} (2k+1)]

[eqn: = 2 times {10 times 11} over {2} + 1 times 10]

[eqn: = 110 +10 = 120]

[3점][2015년 8월 종로]

등차수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: a_4 =7], [eqn: a_8 -a_6 =8]일 때, [eqn: a_10]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 31]

이해 능력 – 수열

등차수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_8 -a_6 =2d =8]에서 [eqn: d=4]

[eqn: a_4 =a+3d =a+12 =7]에서 [eqn: a=-5]

[eqn: therefore``a_10 =a+9d =-5+36 =31]

[3점][2015년 10월 비상]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{3} =8], [eqn: a _{7} =20]일 때, [eqn: a _{11}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 등차수열 계산하기

공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{7} =a _{3} +4d=20], [eqn: 4d=12]

따라서 [eqn: a _{11} =a _{7} +4d=20+12=32]

[3점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[세트문항] 함수 [eqn: bold{ f(x) = a^{x}-1 `` (a>1) }]과 자연수 [eqn: bold n]에 대하여

[eqn: bold{ f(x_{k}) = k over n] ([eqn: bold{ 0 le k le n ,}] [eqn: boldk]는 정수)일 때, 물음에 답하시오.

[eqn: a=2 , ~ n=15]이고 세 수 [eqn: x_1 ,~ x_k ,~ x_10]이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 자연수 [eqn: k]의 값은?

정답 ③

[eqn: f(x_{k}) = k over n]에서 [eqn: 2^{x_{k}} -1 = k over n]

[eqn: THEREFORE`` x_{k} = log_{2}`` left( 1+ k over n right)]

[eqn: n=15]이고 세 수 [eqn: x_1 ,~ x_k ,~ x_10]이 순서대로 등차수열을 이루면

[eqn: 2x_k = x_1 + x_10]

이므로

[eqn: 2`` log_{2}`` left( 1+ k over 15 right) = log_{2}`` left( 1+ 1 over 15 right) + log_{2}`` left( 1+ 10 over 15 right)]

[eqn: log_{2}`` {left( 1+ k over 15 right)}^{2} = log_{2}`` left( 1+ 1 over 15 right) left( 1+ 10 over 15 right)]

[eqn: {left( 1+ k over 15 right)}^{2} = left( 1+ 1 over 15 right) left( 1+ 10 over 15 right)]

[eqn: (15+k)^{2} = 16 times 25]

[eqn: (15+k)^{2} = 4^{2} times 5^{2}]

[eqn: 15 + k = 4 times 5] [eqn: (BECAUSE`` 15 + k >0)]

[eqn: THEREFORE`` k= 5]

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =2,`a _{9} =23] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}] 의 값은?

정답 [eqn: ④]

등차수열  [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 에서

[eqn: a _{1} +a _{10} =a _{2} +a _{9} =2+23=25] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} = {10} over {2} LEFT ( a _{1} +a _{10} RIGHT ) =5 TIMES 25=125]

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 110]	② [eqn: 115]	③ [eqn: 120]
④ [eqn: 125]	⑤ [eqn: 130]

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} -2a _{3} =-9``]일 때, [eqn: a _{10} -a _{8} ``]의 값은?

정답 ③

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{2} -2a _{3} =a+(a+d)-2(a+2d)=-3d=-9]

[eqn: THEREFORE ~d=3]

[eqn: THEREFORE ~a _{10} -a _{8} =2d=2 TIMES 3=6]

[3점][2015년 9월 대성]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 45]

[eqn: a_n = 3(n-1) +1 = 3n-2][eqn: (n=1,```2,```3,`cdots)]

[eqn: b_n = 2(n-1) +1 = 2n-1][eqn: (n=1,```2,```3,`cdots)]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -b _{k} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3k-2-2k+1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: =55-10]

[eqn: =45]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_2=4], [eqn: a_6=28]일 때, [eqn: a_8]의 값은?

정답 ④

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a _{n} = LEFT ( n-1 RIGHT ) d]이므로

[eqn: a _{2} =a+d=4], [eqn: a _{6} =a+5d=28]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: d=6], [eqn: a=-2]

[eqn: a _{8} =-2+7times6=40]

[다른 풀이]

등차중항을 이용하면

[eqn: a _{4} = {a _{2} +a _{6}} over {2} = {4+28} over {2} =16]

[eqn: a _{6} = {a _{4} +a _{8}} over {2} = {16+a _{8}} over {2} =28]

[eqn: THEREFORE `a _{8} =2 TIMES 28-16=40]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 45]

[eqn: a_n = 3(n-1) +1 = 3n-2][eqn: (n=1,```2,```3,`cdots)]

[eqn: b_n = 2(n-1) +1 = 2n-1][eqn: (n=1,```2,```3,`cdots)]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -b _{k} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3k-2-2k+1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: =55-10]

[eqn: =45]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_2 =4], [eqn: a_6 =28]일 때, [eqn: a_8]의 값은?

정답 ④

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a _{n} = LEFT ( n-1 RIGHT ) d]이므로

[eqn: a _{2} =a+d=4], [eqn: a _{6} =a+5d=28]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: d=6], [eqn: a=-2]

[eqn: a _{8} =-2+7times6=40]

[다른 풀이]

등차중항을 이용하면

[eqn: a _{4} = {a _{2} +a _{6}} over {2} = {4+28} over {2} =16]

[eqn: a _{6} = {a _{4} +a _{8}} over {2} = {16+a _{8}} over {2} =28]

[eqn: THEREFORE `a _{8} =2 TIMES 28-16=40]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{4}=9`], [eqn: a _{7} =21`]일 때, [eqn: a _{3} +a _{8}]의 값은?

정답  ③

[2014년 3월 교육청]

[출제의도] 등차수열의 성질을 이해하고 주어진 항의 값을 구한다.

[eqn: a _{n} `][eqn: =a+(n-1)d`] ([eqn: a _{1} `][eqn: =a`], [eqn: d`]: 공차)에서

[eqn: a _{4} `][eqn: =a+3d`][eqn: =9`], [eqn: a _{7} `][eqn: =a+6d`][eqn: =21`]이므로

위의 두 식을 연립하면 [eqn: d`][eqn: =4`]

[eqn: a _{8} `][eqn: =a _{4} +4d`]이고 [eqn: a _{3} `][eqn: =a _{4} -d `]이므로

[eqn: a _{3} +a _{8} `][eqn: =2a _{4} +3d`]

[eqn: =2 TIMES 9+3 times 4`][eqn: =30`]

[다른 풀이  1]

[eqn: d`][eqn: =4`]이므로 [eqn: a _{4} `][eqn: =a+12`][eqn: =9`], [eqn: a`][eqn: =`-3`]

[eqn: a _{n} `][eqn: =`-3+(n-1) TIMES 4`][eqn: =4n-7`]

[eqn: a _{3} `][eqn: =5`], [eqn: a _{8} `][eqn: =25`]

[eqn: a _{3} +a _{8} `][eqn: =30`]

[다른 풀이  2]

[eqn: a _{4`}]는 제[eqn: 4`]항이고, [eqn: a _{7`}]은 제[eqn: 7`]항이다.

또, [eqn: a _{3} `]은 제[eqn: 3`]항이고, [eqn: a _{8`}]은 제[eqn: 8`]항이다.

[eqn: 4+7`][eqn: =3+8`]이므로 [eqn: {a _{4} +a _{7}}`][eqn: = {a _{3} +a _{8}}`]

따라서 [eqn: a _{3} +a _{8} `][eqn: = {9+21} `][eqn: =30`]

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = n^2`]일 때, [eqn: a_50`]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 99]

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해하여 제[eqn: bold 50`]항의 값을 계산한다.

[eqn: a _{50} `][eqn: =S _{50} -S _{49}`][eqn: =50 ^{2} -49 ^{2}`]

[eqn: =(50-49)(50+49)`][eqn: =99`]

[다른 풀이]

[eqn: a_n `][eqn: = S_n - S_n-1 `] ([eqn: n ge 2 `])

[eqn: = n^2 - (n-1)^2 `]

[eqn: = 2n-1 `]

따라서 [eqn: a _{50} `][eqn: =99`]

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

정답  ①

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하고 등차수열의 합이 최대가 되는 항을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=26]

[eqn: a _{9} =a+8d=8]

[eqn: 6d=`-18`]이므로 [eqn: d=`-3], [eqn: a=32]

따라서 [eqn: a _{n} =32-3(n-1)=`-3n+35]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: a _{n} =`-3n+35>0]을 만족시켜야 하므로 [eqn: n< {35} over {3}]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 11]이다.

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: d=`-3], [eqn: a=32]

이므로

[eqn: S_n ={n left{64+(n-1)(-3)right}}over{2}]

[eqn: =`- 3over2 n^2 + 67 over2 n]

[eqn: = `- 3over2 left(n- 67over6 right)^2 + 67^2 over24]

따라서 [eqn: 67over6]에 가장 가까운 자연수는 [eqn: 11`]이므로 [eqn: n=11`]일 때 [eqn: S_n`]은 최댓값을 갖는다.

[eqn: a _{3} =26], [eqn: a _{`9} =8]

일 때, 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값은?

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

공차가 [eqn: 7]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_13 -a_11]의 값은?

정답 ③

공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_13 -a_11 =2d]이므로 [eqn: 2 times 7 =14]

[3점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

첫째항이 [eqn: 2``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

정답 11

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항이 [eqn: 2``]이므로 [eqn: a _{n} =2+(n-1)`d``]

[eqn: a _{7} +a _{11} = 2 + 6d + 2+ 10 d = 4 + 16 d =20]

[eqn: THEREFORE``` d= 1]

[eqn: THEREFORE a_{10} = a + 9 d = 2+ 9 =11]

[eqn: a _{7} +a _{11} =20]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 6월 평가원]

제[eqn: 2]항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_10]의 값은?

정답 ①

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: a_2 =a+2=3]

[eqn: therefore``a=1]

[eqn: therefore``a_10 =1+(10-1)times2=19]

[3점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

수열 [eqn: left{a_n right}``]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S_n ``]이라 하면 [eqn: S_n =n^2 +2015``][eqn: (n=1,2,3,`` CDOTS``)``]이다.

정답 ②

[eqn: a_11 +a_12 +a_13 +`` CDOTS``+a_20]

[eqn: =S_20 -S_10]

[eqn: =(20^2 +2015)-(10^2 +2015)]

[eqn: =400-100=300]

[eqn: a_11 +a_12 +a_13 +`` CDOTS``+a_20 ``]의 값은?

[3점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 280]             ② [eqn: 300]             ③ [eqn: 320]

④ [eqn: 340]             ⑤ [eqn: 360]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4`]일 때, [eqn: a _{5} `]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 등차수열 계산하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: d=a _{2} -a _{1} =3`]이다.

따라서 [eqn: a _{5} =a _{1} +4d=13`]이다.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

※ 그림과 같이 이차함수 [eqn: bold{y=f(x)}]의 그래프가 원점을 지나고 [eqn: bold{x=1}]일 때 최댓값 [eqn: bold 3]을 갖는다. 물음에 답하시오.

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]까지의 합이 [eqn: f (n)]일 때, [eqn: a_5]의 값은?

정답 ②

이차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (1,~3)]이므로

[eqn: f(x) = a (x-1)^2 + 3] ([eqn: a]는 상수)

곡선 [eqn: y= f(x)]가 원점을 지나므로

[eqn: 0= a (0-1)^2 +3]	[eqn: THEREFORE`` a=-3]

[eqn: THEREFORE`` f(x) = -3x^2 + 6x]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: f(n) = { n left{ 2a_1 + (n-1)d right}} over {2}]

[eqn: = d over 2 n^2 + left( a_1 - d over 2 right)n = -3n^2 + 6n]

에서 [eqn: d= -6 ,~ a_1 =2]이다.

따라서 [eqn: a_n = a_1 + (n-1)d = -6n +9]이므로

[eqn: a_5 = -6 times 5 + 9 = - 21]

[3점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: -24]	② [eqn: -21]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -12]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

정답 [eqn: 21]

이해 능력-수열

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{6} =6]에서

[eqn: LEFT ( a+d RIGHT ) + LEFT ( a+5d RIGHT ) =2a+6d=6]	[eqn: cdots]㉠

[eqn: a _{9} -a _{3} =18]에서

[eqn: LEFT ( a+8d RIGHT ) - LEFT ( a+2d RIGHT ) =6d=18]

[eqn: d=3]	[eqn: cdots]㉡

㉠에 ㉡을 대입하면 [eqn: a=-6]

[eqn: THEREFORE a _{10} =-6+9times3=21]

[eqn: a _{2} +a _{6} =6], [eqn: a _{9} -a _{3} =18]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 5월 비상]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 하자.

정답 19

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_2 + a _ 6 = 14]에서 [eqn: 2 a+ 6d = 14]	…… ㉠

[eqn: S_8 = { 8 left{ a+ (a+ 7d ) right } } over 2 = 64]에서

[eqn: 2 a+7d = 16]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: d= 2,~ a= 1]

[eqn: therefore``` a_10 = 1+9 times 2 = 19]

[eqn: a_2 + a_6 = 14 ,~` S_8 = 64]

일 때, [eqn: a_10]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 5월 비상]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에서 [eqn: a_1 =2,~ a_3 + a_4 =10]일 때, [eqn: a_6]의 값은?

정답 ②

[eqn: a_n = 2+ ( n-1) d]라 하면

[eqn: a_3 + a_4 = (2+ 2d)+( 2+ 3d) = 4+ 5d =10]

∴ [eqn: d= 6 over 5]

∴ [eqn: a_6 = 2+ 5d = 2+ 6 =8]

[3점][2015년 6월 종로]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[세트문항] 두 함수 [eqn: boldf(x)=x ^{2} `]과 [eqn: bold{g(x)=- LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k}] [eqn: bold{(`k>0`)}]에 대하여 물음에 답하시오.

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

직선 [eqn: y=k]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 만나는 두 점을
[eqn: \A], [eqn: \B]라 하고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점을 [eqn: \C]라 하자.
세 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RM C]의 [eqn: x`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,
상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: \A]는 제[eqn: 2]사분면 위의 점이다.)

정답 ①

[출제의도] 등차수열 이해하기

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: - sqrt {k}], [eqn: sqrt {k}]

세 수 [eqn: - sqrt {k} ,``` sqrt {k} ,```3]이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: 2 sqrt {k} =- sqrt {k} +3], [eqn: sqrt {k} =1]

따라서 [eqn: k=1]

[3점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: { 5} over { 4}]	③	[eqn: { 3} over { 2}]	④	[eqn: { 7} over { 4}]	⑤	[eqn: 2]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_10 =100 ,`` a_9 - a_8 =10]일 때, [eqn: a_15]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 150]

[eqn: a_9 -a_8 =10]에서 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차가 [eqn: 10]이므로

[eqn: a_15 =a_10 +5 times 10 = 100 +50=150]

[3점]

세 실수 [eqn: a,```b,```c]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: c-a]의 값은?

정답 ⑤

이해력 – 수열

(가)에서 [eqn: b+5=2 TIMES0]

[eqn: therefore``b=-5]

(나)에서 등차수열 [eqn: a,```b,```5,```c]의 공차는

[eqn: 95-b=5-(-5)=10]

[eqn: therefore``a=-5-10=-15]

[eqn: c=5+10=15]

[eqn: therefore``c-a=15-(-15)=30]

[3점][2015년 10월 중앙]

(가) [eqn: b,```0,```5]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) [eqn: a,```b,```5,```c]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_3 =50,~a_5 =30]일 때, [eqn: a_1]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 70]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_5 -a_3 =30-50=-20=2d] [eqn: therefore~d=-10]

[eqn: a_3 =a_1 +2d]이므로 [eqn: 50=a_1 +2times(-10)]

[eqn: therefore~a_1 =50+20=70]

[3점][2015년 10월 중앙]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}`]대하여 [eqn: a_8 - a_4 = 28`]일 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}`]의 공차를 구하시오.

정답 [eqn: 7]

[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{8} -a _{4} =4d=28]

[eqn: THEREFORE ~d=7]

[3점][2016(A) /수능 22]

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}`]대하여 [eqn: 2(a_2 + a_3 ) =a_9]일 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}`]의 공차를 구하시오.

정답 [eqn: 3]

[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?

공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} =2+d], [eqn: a _{3} =2+2d], [eqn: a _{9} =2+8d]

이므로

[eqn: 2 LEFT ( 2+d+2+2d RIGHT ) =2+8d]

[eqn: 8+6d=2+8d]

[eqn: THEREFORE ~d=3]

[3점][2016(B) /수능 22]

등차수열(4점)

[세트문항] 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]이 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) [eqn: a_10 =0]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 > a_n]이다.

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. 물음에 답하시오. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[eqn: a_5 `a_15 =-225]일 때, [eqn: S_n]의 최솟값은?

정답 ④

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

㈎에서 [eqn: a_10 =0]이므로 [eqn: a+9d=0] [eqn: CDOTS CDOTS``㉠]

[eqn: a_5 `a_15 =-225]에서 [eqn: (a+4d)(a+14d)=-225]

[eqn: (-5d) TIMES (5d) =-225] [eqn: (∵ ```㉠)]	[eqn: d^2 =9]

[eqn: d=3] [eqn: (∵ ```d > 0)]

∴ [eqn: a=-27] [eqn: (∵ ```㉠)]

[eqn: a_n =-27 +(n-1) TIMES3 =3n -30]

수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항부터 제 [eqn: 9]항까지 음수이고, [eqn: a_10 =0]이므로 [eqn: S_9 =S_10]이 [eqn: S_n]의 최솟값이다.

∴ [eqn: S_9 =S_10][eqn: ={ 10 TIMES(-27 +0) } over { 2} =-135]

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: -120]	② [eqn: -125]	③ [eqn: -130]
④ [eqn: -135]	⑤ [eqn: -140]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]에서	[eqn: sum _{ k=1} ^{40 } a_k =A], [eqn: sum _{ k=1} ^{20 } a_2k = { 2} over {3 } A]

정답 [eqn: 3]

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: sum _{ k=1} ^{40 } a_k = { 40(2a+39d)} over { 2} =A]  ∴ [eqn: 2a+39d= { 1} over {20 } A] [eqn: CDOTS CDOTS``㉠]

수열 [eqn: left{a_2n right}`]의 첫째항이 [eqn: a+d]이고 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{20 } a_2k = { 20 LEFT { 2(a+d) +19 TIMES2d RIGHT } } over { 2} = { 2} over {3 } A]

∴ [eqn: 2a+40d= { 1} over {15 } A] [eqn: CDOTS CDOTS``㉡]

㉡-㉠을 하면 [eqn: d= { 1} over {60 }A]	[eqn: CDOTS CDOTS``㉢]

㉢을 ㉠에 대입

[eqn: 2a + { 39} over {60 } A = { 1} over {20 }A]	∴ [eqn: a = -{ 3} over {10 } A]

수열 [eqn: left{a_4n right}`]은 첫째항이 [eqn: a+3d]이고 공차가 [eqn: 4d]인 등차수열이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 } a_4k = { 10 LEFT { 2(a+3d) +9 TIMES 4d RIGHT } } over { 2}][eqn: =5 TIMES(2a +42d)][eqn: =5 TIMES LEFT { 2 TIMES LEFT ( - { 3} over {10 }A RIGHT ) + 42 TIMES { 1} over {60 }A RIGHT }= { 1} over {2 } A]

∴ [eqn: p+q =3]

일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } a_4k = { q} over { p} A]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단 [eqn: p`,```q]는 서로 소인 자연수이다.)

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

그림과 같이 직선 [eqn: x = t `(t > 1)]와 두 로그함수 [eqn: y = log_a x ,] [eqn: y = log_b x]의 그래프 및 [eqn: x]축이 만나는 점을 각각 [eqn: P, ```Q , ````R]라 하자. [eqn: bar PQ , ````bar QR , ````bar PR]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: log_a b]의 값은?(단, [eqn: 1 < a < b])[4점]

정답 ①

[eqn: bar PQ = log_a t - log_b t ,] [eqn: bar QR = log_b t ,] [eqn: bar PR = log_a t]이므로 [eqn: 2 log_b t = (log_a t - log_b t ) + log_a t][eqn: = 2 log_a t - log_b t]

[eqn: 3 log_b t = 2 log_a t]

[eqn: {3log t } over {log b } = {2 log t } over {log a}]

[eqn: therefore][eqn: log_a b = { log b } over { log a} = {3 log t } over {2 log t} = 3 over 2]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 4]

④ [eqn: 6 over 5]	⑤ [eqn: 7 over 6]

[세트문항] 이차함수 [eqn: {bold{f(}} ` {bold{x}} `bold)`]가 모든 실수 [eqn: boldx`]에 대하여

[eqn: {bold{f(`4+x) ` {bold{=f(4-x)}}}} `}}]

를 만족시킨다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(`n`)`]이 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열

정답 ③

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n"{"2a _{1} +3(n-1)"}"} over {2} =a(n-4) ^{2} +b] [eqn: f(n)= {3} over {2} n(n-8)]

함수 [eqn: y=left|`f(x)right|]의 그래프는

[eqn: x`]

[eqn: y]

[eqn: y=left|`f(x)right|]

[eqn: rm O]

[eqn: 8]

(ⅰ) [eqn: k` LEQ 3] 또는 [eqn: k` GEQ 8]일 때,
[eqn: ` LEFT | f(k) RIGHT | < LEFT | f(k+1) RIGHT |]

(ⅱ) [eqn: 4` LEQ k` LEQ 7]일 때,
[eqn: ` LEFT | f(k) RIGHT | > LEFT | f(k+1) RIGHT |]

따라서 자연수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 7]

[eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합과 같을 때,

[eqn: LEFT | `f(k) RIGHT | `> LEFT | `f(k+1) RIGHT |]이 성립하도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

[4점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm P]라 하고, 선분 [eqn: rm PC] 위의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 세 삼각형 [eqn: rm ABP], [eqn: rm APQ], [eqn: rm AQC]의 넓이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} = it {q} over {p}]이다. 이때 [eqn: p+ q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 133]

[eqn: rm TRIANGLEABC]가 정삼각형이므로 [eqn: rm {bar{BP}} =2], [eqn: rm {bar{AP}} =2 sqrt {3}]

세 삼각형 [eqn: rm ABP], [eqn: rm APQ], [eqn: rm AQC]는 모두 높이가 선분 [eqn: rm AP]이므로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: rm barBP], [eqn: rmbar PQ], [eqn: rm bar QC]도 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

[eqn: rm {bar{PQ}} = it x]라 하면 [eqn: 2], [eqn: x], [eqn: 2-x]가 이 순서대로 등차수열을 이루기 위해서는

[eqn: 2x=2+2-x], [eqn: x = 4 over 3]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} = {124} over {9}]

[eqn: therefore] [eqn: p+ q = 9+124 = 133]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `,` LEFT { c _{n} RIGHT }]을

정답 ⑤

추론 능력(추측) -  수열

ㄱ. (참) [eqn: b _{1} `=`a _{1} +a _{2} `,`b _{2} `=a _{3} `+a _{4} `,`b _{3} `=`a _{5} +a _{6}]

[eqn: c _{1} `=`a _{1} `+a _{2} `+a _{3} `,`c _{2} `=`a _{4} `+a _{5} `+a _{6} `]이므로

[eqn: b _{1} +b _{2} +b _{3} =a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} =c _{1} +c _{2}]

ㄴ. (참) 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: b _{n+1} `-b _{n} `][eqn: =`a _{2n+1} +`a _{2n+2} - LEFT ( a _{2n-1} +a _{2n} RIGHT )]

[eqn: =` LEFT ( a _{2n+1} -a _{2n-1} RIGHT ) + LEFT ( a _{2n+2} -a _{2n} RIGHT )]

[eqn: =`2d+`2d=`4d=12]

[eqn: THEREFORE d=``3]

[eqn: c _{n+1} -c _{n}]

[eqn: =`a _{3n-1} +a _{3n+2} +a _{3n+3} - LEFT ( a _{3n-2} +a _{3n-1} +a _{3n} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a _{3n+1} -a _{3n-2} RIGHT ) `+ LEFT ( a _{3n+2} -a _{3n-1} RIGHT ) + LEFT ( a _{3n-3} -a _{3n} RIGHT )]

[eqn: =`3d+3d+3d=9d=27]

ㄷ. (참) [eqn: c _{2n} -b _{3n} `=`][eqn: a _{6n-2} +a _{6n-1} +a _{6n} - LEFT ( a _{6n-1} +a _{6n} RIGHT )]

[eqn: =`a _{6n-2} `=`12n`+5]

[eqn: 6n-2=k]라 하면 [eqn: 6n`=k+2`]이므로

[eqn: a _{6n-2} `=`12n+5]에서 [eqn: a _{k} `=`2 LEFT ( k+2 RIGHT ) +5`=`2k+9]

[eqn: THEREFORE a _{n} `=`2 _{n} `=9]

[eqn: b _{n} `=`a _{2n-1} +a _{2n} `,`c _{n} `=a _{3n-2} +a _{3n-1} +a _{3n} ``][eqn: LEFT ( n=`1,2,3, CDOTS RIGHT )]이라

하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2015년 고2 10월 중앙]

ㄱ. [eqn: b _{1} +b _{2} +b _{3} `=`c _{1} +c _{2}] ㄴ. [eqn: b _{n+1} -b _{n} `=`12]이면 [eqn: c _{n+1} -c _{n} `=`27] [eqn: LEFT ( n=1,2,3, CDOTS RIGHT )] ㄷ. [eqn: c _{2n} -b _{3n} `=`12n+5]이면 [eqn: a _{n} `=`2n+9]이다. [eqn: LEFT ( n=`1,2,3, CDOTS RIGHT )]

① ㄱ                ② ㄴ                ③ ㄱ,ㄴ

④ ㄱ,ㄷ             ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

첫째항이 모두 [eqn: 2015]이고 공차가 자연수인 두 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 12]

[eqn: a_m =2015+(m-1)d]

[eqn: b_n =2015+(n-1)(d+6)]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_n =a_m]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]이 존재하므로 [eqn: (m-1)d =(n-1)(d+6)]

[eqn: m= { nd+6n-6} over {d }][eqn: =n+ { 6n-6} over { d}=n+ { 6(n-1)} over { d}]

이때, [eqn: m]이  자연수이어야 하므로 [eqn: d]는 [eqn: 6]의 양의 약수 중 하나이어야 한다.

∴ [eqn: d= 1`,```2`,```3`,```6]	구하는 합은 [eqn: 12]

(가) 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공차가 [eqn: d]이면 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 공차는

[eqn: d+6]이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_n =a_m]을 만족시키는

자연수 [eqn: m]이 존재한다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공차가 될 수 있는 모든 값들의 합을 구하시오.

[[eqn: 4]점] [2015년 8월 비상]

다음 그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축과 세점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~0 RIGHT )]에서 만난다. 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} S _{n} =f LEFT ( n RIGHT )]
이 성립할 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

정답 ①

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차가 [eqn: 3]이므로 [eqn: a _{n} =3n+alpha]라 하면

[eqn: S _{n} = {n LEFT ( a _{1} +a _{n} RIGHT )} over {2} = {n LEFT ( 3n+2alpha+3 RIGHT )} over {2}]

[eqn: THEREFORE `a _{n} S _{n} = LEFT ( 3n+alpha RIGHT ) times {n LEFT ( 3n+2alpha+3 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} n LEFT ( 3n+ alpha RIGHT ) LEFT ( 3n+2 alpha +3 RIGHT )]

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =an LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-5 RIGHT )]이므로

[eqn: a _{n} S _{n} =f LEFT ( n RIGHT )]에서

[eqn: {1} over {2} n LEFT ( 3n+ alpha RIGHT ) LEFT ( 3n+2 alpha +3 RIGHT ) =an LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-5 RIGHT )]

즉, [eqn: {1} over {2} LEFT ( 3n+ alpha RIGHT ) LEFT ( 3n+2 alpha +3 RIGHT ) =a LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-5 RIGHT )][eqn: cdotscdots]㉠

등식 ㉠이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립하므로

[eqn: n=3,~5]일 때도 성립한다.

㉠에 [eqn: n=3]을 대입하면 [eqn: LEFT ( alpha+9 RIGHT ) LEFT ( alpha+6 RIGHT ) =0][eqn: cdotscdots]㉡

㉠에 [eqn: n=5]을 대입하면 [eqn: LEFT ( alpha +15 RIGHT ) LEFT ( alpha +9 RIGHT ) =0][eqn: cdotscdots]㉢

㉡, ㉢을 모두 만족하는 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: -9]이므로

[eqn: a _{n} =3n-9]

[eqn: therefore`a _{10} =30-9=21]

[4점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

등비수열(2점)

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서

정답 ②

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} a _{3} =a`timesar ^{2} =a ^{2} r ^{2} =36]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: a _{2} a _{4} =ar`timesar ^{3} =a ^{2} r ^{4} =12]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면

[eqn: r ^{2} = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~a _{3} a _{5} =ar ^{2} ` TIMES ar ^{4} =a ^{2} r ^{4} TIMES r ^{2} =12 TIMES {1} over {3} =4]

[eqn: a _{1} a _{3} =36,~a _{2} a _{4} =12]
일 때, [eqn: a _{3} a _{5}]의 값은

[2점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 1 over 3 ,~ a ,~ 27]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 음수 [eqn: a]의 값은?

정답 ③

[eqn: 1 over 3 ,~ a ,~27]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항의 성질에 의해

[eqn: a^2 = 1 over 3 times 27 = 9]	[eqn: THEREFORE`` a= -3 `` ( BECAUSE`` a<0)]

[2점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3 root3]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: - root3]	⑤ [eqn: - {root3} over 3]

공비가 [eqn: sqrt {2} `]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{3} =6`]일 때, [eqn: a _{7} `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: a _{7} =a _{3} TIMES LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{4} =6 TIMES 4=24]

[2점][2015년 8월 중앙]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

공비가 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: left{ a_{n} right}]에 대하여 [eqn: a_{1}=4], [eqn: 3a_{5}=a_{7}]
일 때, [eqn: a_{3}]의 값은?

정답 ③

[eqn: a_{1}=4], [eqn: 3a_{5}=a_{7}]이고

[eqn: a_{n}]은 등비수열이므로

[eqn: 3a_{5}=3a_{1} r^{4}]

[eqn: a_{7}=a_1{}r^{6}]

따라서 [eqn: r^{2}=3]

[eqn: therefore` a_{3}=a_{1} cdot r^{2}=4 cdot 3=12]

[2점][2015년 9월 평가원]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

등비수열(3점)

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_2 +a_4 =30,``a_3 +a_5 =10]일 때, [eqn: a_7]의 값은?

정답 ①

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a,``]공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_2 +a_4 =30]에서

[eqn: ar +ar^3 =ar(1+r^2 )=30]	……㉠

[eqn: a_3 +a_5 =10]에서

[eqn: ar^2 +ar^4 =ar^2 (1+r^2 )=10]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: r= 1 over3 ,```a=81]

따라서 [eqn: a_n = 81 times LEFT ( 1 over3 RIGHT )^n-1]이므로

[eqn: a_7 = 81 times LEFT ( 1 over3 RIGHT )^6 =3^4-6 =3^-2 = 1 over9]

[3점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 1 over9]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: d LEFT ( d>0 RIGHT )]인 등차수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이라 하자. [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{5}]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 다음 중 [eqn: a]와 [eqn: d]의 관계식으로 옳은 것은?

정답 ①

[eqn: a _{1} =a,~a _{2} =a+d,~a _{5} =a+4d]
[eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{5}]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a LEFT ( a+4d RIGHT ) = LEFT ( a+d RIGHT ) ^{2}]

[eqn: a ^{2} +4ad=a ^{2} +2ad+d ^{2}]

[eqn: 2ad=d ^{2}]

[eqn: therefore~2a=d LEFT ( BECAUSE d>0 RIGHT )]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 2a=d]	② [eqn: 3a=d]	③ [eqn: 4a=d]

④ [eqn: 3a=2d]	⑤ [eqn: 4a=3d]

[세트문항] 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: loga _{n} =n`loga _{1}]을 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n] 항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.  물음에 답하시오.

[eqn: a _{5} =32]일 때, [eqn: S _{5}]의 값은?

정답 ②

[eqn: loga _{5} =5loga _{1}]에서

[eqn: a _{5} =a _{1} ` ^{5} =32]

[eqn: therefore~a _{1} =2]

즉, [eqn: loga _{n} =n`log2=log2 ^{n}]이므로

[eqn: a _{n} =2 ^{n}]

[eqn: therefore~S _{5} = {2 LEFT ( 2 ^{5} -1 RIGHT )} over {2-1} =2 ^{6} -2=62]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: a _{1} = root {3} of {2} ,~a _{4} = root {6} of {2} ``]일 때, [eqn: a _{2} TIMES a _{3} ``]의 값은?

정답 ①

[eqn: a _{1} TIMES a _{4} =a _{2} TIMES a _{3} ``]이므로

[eqn: a _{2} TIMES a _{3} = root {3} of {2} TIMES root {6} of {2} =2 ^{{1} over {3} + {1} over {6}} =2 ^{{1} over {2}} = sqrt {2}]

[3점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: root {3} of {2}]	③ [eqn: root {5} of {2}]

④ [eqn: root {7} of {2}]	⑤ [eqn: root {9} of {2}]

공차가 [eqn: p]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 공비가 [eqn: p]인 등비수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_5 -a_2 =9]일 때, [eqn: b_5 overb_2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: b_1 !=0])

정답 [eqn: 27]

[eqn: a_5 -a_2 =3p=9]이므로 [eqn: p=3]

[eqn: THEREFORE`` b_5 overb_2 = { b_1 times p^4} over {b_1 times p }=p^3 =3^3 =27]

[3점][2015년 5월 대성]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_2 a_4 =8 ,```` a_4 a_6 = 32]일 때, [eqn: a_4]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 4`]

등비수열 [eqn: left{a_n right} ``]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_2 a_4 = ar times ar^3 = a^2 r^4 =8 cdots㉠]

[eqn: a_4 a_6 = ar^3 times ar^5 = a^2 r^8 = 32 cdots ㉡]

㉠, ㉡에서

[eqn: r^4 =4]

[eqn: therefore~r= root2 `` LEFT ( because~a_n >0 RIGHT )]

㉠에서 [eqn: a= root2]이므로

[eqn: a_4 = ar^3 = root2 times LEFT ( root2 RIGHT )^3 =4]

[3점][2015년 7월 대성]

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여

정답 [eqn: 28]

등비수열 [eqn: left{a_n right]의 공비를 [eqn: left{a_n right]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_8 =a_5 r^3], [eqn: a_6 =a_3 r^3]이므로

[eqn: a_6 +a_8 =(a_3 +a_5 )r^3 =7r^3 =56]

[eqn: r^3 =8] [eqn: therefore``r=2]

[eqn: THEREFORE ``a _{5} +a _{7} =a _{3} r ^{2} +a _{5} r ^{2}]

[eqn: =r^2 left(a_3 +a_5 right)]

[eqn: =4 TIMES7 =28]

[eqn: a_3 +a_5 =7], [eqn: a_6 +a_8 =56]

일 때, [eqn: a_5 +a_7]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 11월 대성]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{3} =15], [eqn: a _{2} +a _{4} =30]일 때, [eqn: a _{3} +a _{4}]의 값은?

정답 ④

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{4} =r LEFT ( a _{1} +a _{3} RIGHT ) =15r=30]

[eqn: therefore`r=2]

[eqn: a _{1} +a _{3} =a _{1} +4a _{1} =15]

[eqn: therefore`a _{1} =3]

[eqn: therefore`a _{3} +a _{4} =aa _{1} +8a _{1} =12times3=36]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} TIMES a _{4} =64]일 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: a _{2} TIMES a _{4} = LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{2} =64]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a _{3} =8]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: 1`]과 [eqn: 4`]사이에 세 실수 [eqn: a _{`1} ,~a _{`2} ,~a _{`3} `]을 넣어
[eqn: 1,~a _{`1} ,~a _{`2} ,~a _{`3} ,~4`]
가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a _{`1} TIMES a _{`2} TIMES a _{`3`}]의 값은?

정답. ③

[eqn: (a _{`2} ) ^{`2} `=`4] [eqn: ~~~ THEREFORE a _{`2} `=`2`( BECAUSE `]공비가 실수이면 [eqn: a _{`2} >0`)`]
[eqn: ~a _{`1} a _{`3} `=`(a _{`2} ) ^{`2} `=`4`]
[eqn: ~ THEREFORE `a _{`1} a _{`2} a _{`3} `=`a _{`1} a _{`3} TIMES a _{`2} `=`4 TIMES 2`=`8`]

[[eqn: 3`]점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 16`]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: a_1 =2], [eqn: {a_3 a_4 } over{a_1 a_5 } + { a_5 a_8 } over { a_2 a_9 } = 12]
일 때, [eqn: a_5]의 값을 구하시오.

정답. [eqn: 162]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {a_3 a_4 } over{a_1 a_5 } + { a_5 a_8 } over{ a_2 a_9 } = {2r^2 cdot2r^3 } over{2cdot2r^4 } + { 2r^4 cdot 2r^7 } over{ 2r cdot 2r^8 } =12]이므로

[eqn: r+r^2 =12]	[eqn: therefore r=3] ([eqn: because r>0])

[eqn: therefore a_5 = 2 cdot 3^4 = 162]

[3점] [2015년 07월 종로]

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{5} =8a _{2} ,~a _{4} =8]
일 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

정답 ④
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a _{5} =8a _{2}]에서

[eqn: r ^{3} =8,~therefore~r=2]

[eqn: a _{4} =8]이므로

[eqn: a _{3} = {a _{4}} over {r} = {8} over {2} =4]

[3점][2015년 10월 대성]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서로 다른 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 18]이 이 순서대로 등비수열을 이루고 [eqn: a`+`b=8]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

이해 능력 – 수열

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 18]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: b` ^{2} =18``a]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

또, [eqn: a`+`b=8]에서 [eqn: a=8`-`b]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: b` ^{2} =18`(8`-`b)], [eqn: b` ^{2} `+`18`b`-`144=0]

[eqn: (`b`+`24`)(`b`-`6`)=0]

[eqn: therefore``b=6``(because``b >0),```a=2]

[eqn: THEREFORE ``ab=2` TIMES `6=12]

[3점][2015년 고2 8월 비상]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} =64], [eqn: a _{2} =2a _{3}]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

정답 ①

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} =2a _{3}]에서 [eqn: {a _{3}} over {a _{2}} = {a _{1} r ^{2}} over {a _{1} r} =r= {1} over {2}]

[eqn: therefore`a _{5} =64times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} =64times {1} over {16} =4]

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

세 수 [eqn: 2,~a,~18]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 6]

세 수 [eqn: 2,~a,~18]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: a^2 = 36]

[eqn: therefore~a=6] [eqn: ( because~a>0)]

[3점][2015년 8월 비상]

등비수열 [eqn: left{a_n right}``]에 대하여 [eqn: a_1 =3,``][eqn: a_8 =24sqrt2 ``]이다.

정답 [eqn: 90]

등비수열의 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: a_n =a_1 r^n-1 =3 cdot r^n-1 ``]이므로

[eqn: a_8 =3 cdot r^7 =24 sqrt2]

[eqn: THEREFORE````r^7 =8sqrt2 =(sqrt2 )^7]

[eqn: THEREFORE````r=sqrt2]

[eqn: THEREFORE````a_1 +a_2 +a_3 +`` CDOTS``+a_8 = {3cdot (sqrt2 `^8 -1)} over {sqrt2 -1}]

[eqn: =45(sqrt2 +1)][eqn: =45+45sqrt2]

[eqn: THEREFORE````p=45,``q=45]

[eqn: THEREFORE````p+q=90]

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`` CDOTS``+a_8 =p+q sqrt2 ``]일 때, 두 유리수 [eqn: p,``q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 대성]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 [eqn: a _{1} `times`a _{9} =8``]일 때, [eqn: a _{2} ``times`a _{5} `times`a _{8} `]의 값은

정답 ④

[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 첫째항을 [eqn: a`],

공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{1} ` TIMES `a _{9} = LEFT ( a RIGHT ) LEFT ( ar ^{8} RIGHT ) = LEFT ( ar ^{4} RIGHT ) ^{2} `=8``]이다.

그러므로 [eqn: ar ^{4} =2 sqrt {2} `]이다.

[eqn: therefore][eqn: `a _{2} ` TIMES `a _{5} TIMES ``a _{8} = LEFT ( ar RIGHT ) LEFT ( ar ^{4} RIGHT ) LEFT ( ar ^{7} RIGHT )]

[eqn: =a ^{3} r ^{12} = LEFT ( ar ^{4} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =16 sqrt {2}]

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 12 sqrt {2}]	③ [eqn: 14 sqrt {2}]

④ [eqn: 16 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt {2}]

어느 공장에서 생산하는 직원뿔대 모양의 유리컵의 높이는 [eqn: a`](cm)이고 크기와 모양은 모두 일정하다. [그림 1]과 같이 유리컵 두 개를 밑면이 지면과 평행하도록 지면 위에 포개어 쌓으면 유리컵 한 개의 높이의 [eqn: {2} over {3}`]만큼 항상 겹치게 된다.
[그림 2]와 같이 유리컵 [eqn: 3`]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이가 [eqn: 20`](cm)이다. 유리컵 [eqn: 6`]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이는 [eqn: k`](cm)이다. [eqn: k`]의 값은? (단, 유리컵을 쌓은 지면은 평평하다.)

정답 ②

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용한 실생활 문제 해결하기

[eqn: a]

[eqn: {2} over {3} a]

[eqn: 20]

유리컵 [eqn: n]개를 포개어 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이를 [eqn: a _{n}]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: {1} over {3} a]인 등차수열이다.

따라서 [eqn: a _{n} =a+(n-1) TIMES {1} over {3} a][eqn: =left( {n+2} over {3}right) a]이다.

그리고 [eqn: a _{3} =20]이므로 [eqn: a=12]이다.

따라서 [eqn: a _{n} =4(n+2)]이다.

[eqn: thereforek=a _{6} =32]

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

어느 음악 사이트에서는 매달 말에 그 달 [eqn: rm `A`]노래의 다운로드 건수를 발표한다. [eqn: 2015`]년 [eqn: 1`]월부터 [eqn: 5`]월까지 이 사이트에서 발표한 [eqn: rm `A`]노래의 다운로드 건수는 매달 일정한 비율로 감소하였다. [eqn: 2015`]년 발표한 [eqn: rm `A`]노래의 ‘[eqn: 1`]월 다운로드 건수’는 [eqn: 480`]건이었고, ‘[eqn: 5`]월 다운로드 건수’가 [eqn: 30`]건이었다. [eqn: 2015`]년 ‘[eqn: 3`]월 다운로드 건수’를 구하시오.

정답 [eqn: 120]

[출제의도] 등비수열을 이용한 실생활 문제 해결하기

[eqn: 1`]월부터 [eqn: 5`]월까지 감소하는 일정한 비율을 [eqn: r`]라 하자. [eqn: rm `A`]노래의 ‘[eqn: n`]월 다운로드 건수’를 [eqn: a _{n} `][eqn: (n=1,2, CDOTS ,5)`]라 하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 480`]이고 공비가 [eqn: r`]인 등비수열이므로

[eqn: a _{5} =480 TIMES r ^{4} =30]

[eqn: r= {1} over {2}]

이다. 따라서 [eqn: a _{3} =`480 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} =120`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: rm `A`]노래의 ‘[eqn: 3`]월 다운로드 건수’를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: 480], [eqn: x], [eqn: 30]

은 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: x ^{2} =480 TIMES 30=14400]

이다. [eqn: THEREFORE `x=120]

[3점][2015년 고2 6월 부산]

수열 [eqn: left{a_n` right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n]항까지의 합 [eqn: S _{n}`]이 [eqn: S _{n} =n+2 ^{n}]일 때, [eqn: a_6`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 추론하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: =(n+2 ^{n} )- LEFT { (n-1)+2 ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: =2 ^{n-1} +1``(n GEQ 2)]

따라서 [eqn: a _{6} =33]

[3점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 31]	②	[eqn: 33]	③	[eqn: 35]	④	[eqn: 37]	⑤	[eqn: 39]

[세트문항] 구간 [eqn: bold{ left(0`,``inf right)}]에서 정의된 함수 [eqn: bold{f(x)={p} over {x}}] [eqn: bold(p>1)]의
그래프는 그림과 같다. 물음에 답하시오.

[eqn: f(x)= { p} over { x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

세 수 [eqn: f(a)`,~f left( sqrt { 3}right)`,~f(a+2)]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 등비수열 이해하기

세 수 [eqn: f(a),``f( sqrt { 3}),``f(a+2)]가

이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: left{f( sqrt { 3})right}^2`=f(a)timesf(a+2)]

[eqn: left({ p} over { sqrt { 3} }right)^2`= { p} over { a}times {p} over { a+2}]

[eqn: a ^{2} `+2a-3=0]

[eqn: (a-1)(a+3)=0]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=1]

[3점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: { 9} over { 8}]	③	[eqn: { 5} over { 4}]	④	[eqn: { 11} over { 8}]	⑤	[eqn: 3OVER2]

공비가 [eqn: 0`]이 아닌 등비수열 [eqn: left{ a_n right} `]에 대하여 [eqn: a_1 `=` 4], [eqn: 3` a_5 `=` a_7 `]일 때, [eqn: a_3 `]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 9월 평가원]

정답 [eqn: 12]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비를 [eqn: r `]이라 하면 [eqn: 3 a_5 `=` a_7 `]으로부터

[eqn: 3 times left( 4 r^4 right) `=` 4 r^6]   ∴ [eqn: r^2 `=` 3]

[eqn: a_3 `=` a_1 times r^2 `]이므로 [eqn: a_3 `=` 12]

첫째항의 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: a_3 = 4 a_1 ,~a_7 = (a_6 )^2]
일 때, 첫째항 [eqn: a_1]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구할 수 있는가?

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{3} =4a _{1}]에서 [eqn: a _{1} r ^{2} =4a _{1}]이므로

[eqn: r ^{2} =4]

[eqn: a _{7} = LEFT ( a _{6} RIGHT ) ^{2}]에서 [eqn: a _{1} r ^{6} = LEFT ( a _{1} r ^{5} RIGHT ) ^{2} =a _{1} ` ^{2} r ^{10}]

따라서 [eqn: a _{1} r ^{4} =1]이므로

[eqn: a _{1} TIMES 4 ^{2} =16a _{1} =1]

[eqn: THEREFORE ~a _{1} = {1} over {16}]

[3점][2016(A) /수능 7]

① [eqn: 1over16]	② [eqn: 1 over8]	③ [eqn: 3 over16]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 5 over16]

등비수열(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm ABCD]에서 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A_1], [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1], [eqn: rm D_1]이라 하고 [eqn: bar { rm A_1 B_1}], [eqn: bar { rm B_1 C_1}], [eqn: bar { rm C_1 D_1}], [eqn: bar { rm D_1 A_1}]을 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{1}]이라 하자.

정답 ①

[출제의도] 등비수열을 활용하여 추론하기

종이 [eqn: rm ABCD]를 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt 2]인
정사각형이므로, [eqn: S_1]을 펼친 그림에서 접힌 모든 선들의
길이의 합은 [eqn: 4 sqrt 2]이다.

[eqn: S _{1}]을 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이고
종이가 [eqn: 2]겹이므로, [eqn: S_2]를 펼친 그림에서 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합은 [eqn: 8]이다.
[eqn: S _{2}]를 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: 1 over sqrt 2]인 정사각형이고
종이가 [eqn: 4]겹이므로, [eqn: S_3]을 펼친 그림에서 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합은 [eqn: 8sqrt2]이다.
그러므로 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합은
첫째항이 [eqn: 4 sqrt 2]이고 공비가 [eqn: sqrt2]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: S_n]을 펼친 그림에서 접힌 모든 선들의 길이의 합 [eqn: l_n]은 첫째항이 [eqn: 4 sqrt 2]이고 공비가 [eqn: sqrt2]인 등비수열의 제[eqn: n]항까지의 합이다.
[eqn: therefore] [eqn: l _{5} = { 4 sqrt 2 times left{left(sqrt2 right)^5 -1 right} } over {sqrt 2 -1 } = 24 + 28 sqrt 2]

[eqn: S_1]에서 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하고 [eqn: bar { rm A_2 B_2}], [eqn: bar { rm B_2 C_2}], [eqn: bar { rm C_2 D_2}], [eqn: bar { rm D_2 A_2}]를 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A_1], [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1], [eqn: rm D_1]이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 모양을 [eqn: S_n]이라 하고, [eqn: S_n]을 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm ABCD]와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 하자. 예를 들어, [eqn: l_1 = 4 sqrt 2]이다.

[eqn: l_5]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[4점][2015년 4월 경기]

[eqn: rmB_2]
① [eqn: 24 + 28 sqrt 2]	② [eqn: 28 + 28 sqrt 2]	③ [eqn: 28 + 32 sqrt 2]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

⇩

[eqn: S _{1}]을 펼친 그림

[eqn: S _{2}]를 펼친 그림

⇩

④ [eqn: 32 + 32 sqrt 2]	⑤ [eqn: 36 + 32 sqrt 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

ㄱ. (참) 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: a _{1} =a,~a _{n} =ar ^{n-1} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

이때,

[eqn: a _{1} a _{3} =a TIMES ar ^{2} =a ^{2} r ^{2}]

[eqn: a _{n} a _{n+2} =ar ^{n-1} TIMES ar ^{n+1} =a ^{2} r ^{2n} =a ^{2} r ^{2} LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{n-1} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

따라서, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} a _{n+2} RIGHT } `]는 첫째항이 [eqn: a ^{2} r ^{2} `]이고 공비가 [eqn: r ^{2} `]인 등비수열

이다.

ㄴ. (참) 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: a _{1} =a,~a _{n} =ar ^{n-1} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

이때,

[eqn: LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+ar RIGHT ) ^{2} =a ^{2} LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2}]

[eqn: LEFT ( a _{n} +a _{n+1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( ar ^{n-1} +ar ^{n} RIGHT ) ^{2} = LEFT { a LEFT ( 1+r RIGHT ) r ^{n-1} RIGHT } ^{2}]

[eqn: =a ^{2} LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2} LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{n-1} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

따라서, 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( a _{n} +a _{n+1} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: a ^{2} LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2} `]이고 공비가 [eqn: r ^{2} `]

인 등비수열이다.

ㄷ. (거짓) [반례] [eqn: a _{n} =n+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `]이면

[eqn: a _{n+1} =n+1+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `]이므로

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =2n+1]

따라서, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +a _{n+1} RIGHT } `]은 등차수열이지만 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 등차수열

이 아니다.

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 등비수열이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} a _{n+2} RIGHT } `]도 등비수열이다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 등비수열이면 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( a _{n} +a _{n+1} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]도 등비수열 이다. ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +a _{n+1} RIGHT } `]이 등차수열이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]도 등차수열이다.

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항은 [eqn: 0`]이 아니고, 공비는 [eqn: 1`]이 아닌 양수일 때,

정답 [eqn: 8]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{30} `a _{k} = {a LEFT ( r ^{30} -1 RIGHT )} over {r-1} =A]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

수열 [eqn: LEFT { a _{2n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: ar`]이고 공비가 [eqn: r ^{2} `]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `a _{2k} = {ar LEFT { LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{15} -1 RIGHT }} over {r ^{2} -1}]

[eqn: = {ar LEFT ( r ^{30} -1 RIGHT )} over {LEFT ( r+1 RIGHT ) LEFT ( r-1 RIGHT )} = {1} over {3} A]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠[eqn: ÷]㉡을 하면 [eqn: {r+1} over {r} =3`]에서

[eqn: r= {1} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { a _{3n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: ar ^{2} `]이고 공비가 [eqn: r ^{3} `]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{3k} = {ar ^{2} LEFT { LEFT ( r ^{3} RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {r ^{3} -1} = {ar ^{2} LEFT ( r ^{30} -1 RIGHT )} over {r ^{3} -1}]

[eqn: = {a LEFT ( r ^{30} -1 RIGHT )} over {r-1} TIMES {r ^{2}} over {r ^{2} +r+1}]

[eqn: =A TIMES {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2} +1}]

[eqn: = {1} over {7} A]

[eqn: THEREFORE ~p=7,~q=1]

[eqn: THEREFORE ~p+q=8]

[eqn: sum _{k=1} ^{30} `a _{k} =A,~ sum _{k=1} ^{15} `a _{2k} = {1} over {3} A]

라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{3k} = {q} over {p} A`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

첫째항이 [eqn: 3^10]이고 공비가 [eqn: 3^{- 2 over3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T_n RIGHT }]을 다음과 같이 정의하자.

정답 [eqn: 14]

[eqn: T_m+3 =T_m times a_m+1 times a_m+2 times a_m+3]이므로

[eqn: T_m+3 =T_m]이 성립하려면

[eqn: a_m+1 times a_m+2 times a_m+3 =1]

그런데, [eqn: LEFT ( a_m+2 RIGHT ) ^2 =a_m+1 times a_m+3]

[eqn: LEFT ( a_m+2 RIGHT ) ^3 =1]

즉, [eqn: a_m+2 =1]이어야 한다.

[eqn: a_n =][eqn: 3^10 times (3 ^{- 2 over3 })^n-1 = 3 ^{-2n+32 over3]

이므로 [eqn: a_m+2 = 3 ^{-2n+32 over3}=1=3^0]

위 식에서 [eqn: -2m+28=0]이므로

[eqn: m=14]

[eqn: T_n = a_1` times` a_2 `times a_3 `times CDOTStimes a_n ``(n GE 1)]

[eqn: T_m+3 =T_m]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 5월 대성]

한 변의 길이가 [eqn: 66]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 세 선분 [eqn: rmAB`], [eqn: rm AC], [eqn: rmCB`]를 [eqn: 5:1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP _{1} `], [eqn: rm Q _{1} `], [eqn: rm R _{1} `]이라 하고, 세 선분 [eqn: rm AP _{1}], [eqn: rm AQ _{1}], [eqn: rm CR _{1}]을 [eqn: 5:1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm P _{2} `], [eqn: rm Q _{2} `], [eqn: rm R _{2} `]라 하고, 세 선분 [eqn: rm AP _{2}], [eqn: rm AQ _{2}], [eqn: rm CR _{2}]를 [eqn: 5:1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm P _{3} `], [eqn: rm Q _{3} `], [eqn: rm R _{3} `]이라 하자.

정답 22

[출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} `= it a _{n}], [eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} `= it b _{n}], [eqn: rm {bar{C _{it n rm} D _{it n rm}}} `= it c _{n}],

[eqn: rm {bar{D _{it n rm} E _{it n rm}}} `= it d _{n}], [eqn: rm {bar{E _{it n rm} F _{it n rm}}} `= it e _{n} `]이라 하면,

[eqn: b _{n} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: c _{n} = {5} over {6} b _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{n}],

[eqn: d _{n} = {5} over {6} c _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{n}], [eqn: e _{n} = {5} over {6} d _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{n}]

한편, [eqn: a _{n+1} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: a _{1} =bar{rmA _{1} B _{1} }=66times {1} over {6} times LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} + {bar{rm B _{2} C _{2} it}} + {bar{rm C _{3} D _{3} it}} + {bar{rm D _{4} E _{4} it}} + {bar{rm E _{5} F _{5} it}}]

[eqn: =a _{1} +b _{2} +c _{3} +d _{4} +e _{5}]

[eqn: =a _{1} + {5} over {6} a _{2} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{3} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{4} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{5}]

[eqn: =a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{8} a _{1}]

[eqn: = {a _{1} LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}} `=`25 LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT } =25- {5 ^{12}} over {6 ^{10}}]

[eqn: a=10], [eqn: b=12]

따라서 [eqn: a+b=22]

이와 같은 방법으로 세 선분 [eqn: rm AP _{it k-1 rm}], [eqn: rm AQ _{it k-1 rm}], [eqn: rm CR _{it k-1 rm}]을 [eqn: 5:1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm P _{itk} `], [eqn: rm Q _{it k rm} `], [eqn: rm R _{it k rm} `][eqn: (`k=`4`,```5`,```6`,``` CDOTS `)`]라 하자.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: rmAR _{1`}]과 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rmA _{itn}], 선분 [eqn: rm AR _{2}]와 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rm B _{it n rm}], 선분 [eqn: rm AR _{3`}]과 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rm C _{it n rm}], 선분 [eqn: rm AR _{4`}]와 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rm D _{it n rm}], 선분 [eqn: rm AR _{5`}]와 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rm E _{it n rm}], 선분 [eqn: rm AR _{6`}]과 선분 [eqn: rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 교점을 [eqn: rm F _{it n rm}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} + {bar{rm B _{2} C _{2} it}} + {bar{rm C _{3} D _{3} it}} + {bar{rm D _{4} E _{4} it}} + {bar{rm E _{5} F _{5} it}} =][eqn: 25- {5 ^{`b}} over {6 ^{`a}}]일 때,
[eqn: a+b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이다.)

[4점][2015년 고2 9월 인천]

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자. [eqn: S _{3} =7a _{3} `]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}} `]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 502]

[출제의도] 등비수열과 등비수열의 합의 관계를 이해하고 수열의 합을 구한다.

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`][eqn: (a>0)], 공비를 [eqn: r`][eqn: (r>0)`]이라 하면

[eqn: S _{3} =7a _{3} `]에서 [eqn: a+ar+ar ^{2}=7ar^2]

[eqn: a>0]이므로

[eqn: 1+r+r ^{2} =7r ^{`2}]

[eqn: 6r ^{2} -r-1=0]

[eqn: (3r+1)(2r-1)=0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r= {1} over {2}]

따라서

[eqn: a _{n} =a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: S _{n} = {a LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {1} over {2}} `][eqn: =2a LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }`]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{8} ` {2a LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{8} `(2 ^{n} -1)]

[eqn: = {2(2 ^{8} -1)} over {2-1} -8=502]

[다른 풀이]

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`][eqn: (a>0)], 공비를 [eqn: r`][eqn: (r>0)`]이라 하면

ⅰ) [eqn: r=1`]일 때

[eqn: S _{3} =7a _{3} `]에서 [eqn: a+a+a=7a]

[eqn: 4a=0]에서 [eqn: a=0]

[eqn: a>0`]이므로 조건을 만족하지 않는다.

ⅱ) [eqn: r`ne`1`]일 때

[eqn: S _{3} =7a _{3} `]에서 [eqn: {a(1-r ^{3} )} over {1-r} =7`ar ^{2}]

[eqn: {a(1-r)(1+r+r ^{2} )} over {1-r} =7`ar ^{2}]

[eqn: r != 1]이므로 [eqn: a(1+r+r ^{2} )=7ar ^{2}]

[eqn: a>0]이므로

[eqn: 1+r+r ^{2} =7r ^{2}]

[eqn: 6r ^{2} -r-1=0]

[eqn: (3r+1)(2r-1)=0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r= {1} over {2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}}=502]

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

공차가 [eqn: 6]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여

정답 ②

[eqn: d=6]이라 두면

[eqn: a_2 , ~a_k , ~a_8]이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: d(k-2) = d(8-k)]

[eqn: therefore~ 2k = 10]   [eqn: k=5]

[eqn: a_1 , ~a_2 , ~a_5]가 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a_2 ^2 = a_1 times a_5]

[eqn: (a_1 + 6)^2 = a_1 (a_1 + 24)]

식을 정리하면 [eqn: 12 a_1 + 36 = 24a_1]

[eqn: therefore~a_1 = 3]

[eqn: a_1 + k = 8]

세 항 [eqn: a_2 , ~a_k , ~a_8]은 이 순서대로 등차수열을 이루고,

세 항 [eqn: a_1 , ~a_2 , ~a_k]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: k+a_1]의 값은?

[4점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

첫째항이 [eqn: -5]이고 공차가 양수 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{n} >0]인 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: f LEFT ( d RIGHT )]라 하자. [eqn: 10leqf LEFT ( d RIGHT ) leq11]을 만족시키는 [eqn: d]의 값의 범위가 [eqn: alpha <d`leqbeta]일 때, [eqn: 80 LEFT ( alpha+beta RIGHT )]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 90]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: -5]이고 공차가 [eqn: d]이므로

[eqn: a _{n} =-5+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d]

[eqn: 10leqf LEFT ( d RIGHT ) leq11]에서 [eqn: f LEFT ( d RIGHT )]는 자연수이므로

[eqn: f LEFT ( d RIGHT ) =10] 또는 [eqn: f LEFT ( d RIGHT ) =11]

(i) [eqn: f LEFT ( d RIGHT ) =10]일 때, [eqn: a _{9} leq0], [eqn: a _{10} >0]

[eqn: a _{9} =-5+8d`leq0]에서 [eqn: d` LEQ {5} over {8}]

[eqn: a _{10} =-5+9d`>0]에서 [eqn: d`> {5} over {9}]

[eqn: therefore` {5} over {9} <d`leq {5} over {8}]

(ii) [eqn: f LEFT ( d RIGHT ) =11]일 때, [eqn: a _{10} LEQ 0], [eqn: a _{11} >0]

[eqn: a _{10} =-5+9d` LEQ 0]에서 [eqn: d` LEQ {5} over {9}]

[eqn: a _{11} =-5+10d`>0]에서 [eqn: d`> {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` {1} over {2} <d` LEQ {5} over {9}]

(i), (ii)에서 [eqn: {1} over {2} <d` LEQ {5} over {8}]

[eqn: THEREFORE ` alpha = {1} over {2} ,~beta= {5} over {8}]

[eqn: therefore`80 LEFT ( alpha+beta RIGHT ) =80 LEFT ( {1} over {2} + {5} over {8} RIGHT ) =80times {9} over {8} =90]

[4점][2015년 8월 비상]

[eqn: 1]이 아닌 네 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여

정답 ②

[eqn: c=ab], [eqn: d=bc=b TIMES ab=ab ^{2}]

따라서 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: a], [eqn: ab], [eqn: ab^2]이므로 공비가 [eqn: b]인 등비수열이다.

[eqn: log` ab=log` a+log` b]

[eqn: log `ac=log `a+log `c=log` a+log` ab=2 log` a+log `b]

따라서 [eqn: log` b], [eqn: log` ab], [eqn: log` ac]는 [eqn: log` b], [eqn: log` a+log` b], [eqn: 2 log` a+log` b]이므로 공차가 [eqn: log `a]인 등차수열이다.

따라서 (가), (나)에 알맞은 값을 곱한 것은 [eqn: b log` a]이다.

[eqn: ab=c], [eqn: bc=d]

가 성립할 때, 다음 (가), (나)에 알맞은 값을 곱한 것은?

[4점][2015년 10월 종로]

세 수 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: d]는 이 순서대로 공비가 [eqn: box{~~㈎~~}]인 등비수열을 이루고, 세 수 [eqn: log`b], [eqn: log`ab], [eqn: log`ac]는 이 순서대로 공차가 [eqn: box{~~㈏~~}]인 등차수열을 이룬다.

① [eqn: b`log sqrt {a}]	② [eqn: b`log`a]	③ [eqn: b`log`a^2]

④ [eqn: b^2`log`a]	⑤ [eqn: b^2`log sqrt { a}]

[eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다 작은 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: m+n`]의 값을 구하시오.

정답 80

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 미지수 구하는 문제 해결하기

조건 (나)에서 [eqn: n ^{2} =16 ^{2} m`], [eqn: m=` LEFT ( {n} over {16} RIGHT ) ^{2} `]이고

[eqn: m`]은 자연수이므로 [eqn: n`]은 [eqn: 16`]의 배수이어야 한다.

그리고 [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다 작은 [eqn: 16`]의 배수는

[eqn: 16,`32,`48,`64,`80,`96`]이므로 [eqn: n`]은 이들 값 중에서 선택할 수 있다.

조건 (가)로부터

[eqn: log _{`m} `n`= {q} over {p} `] (단, [eqn: p,`q`]는 서로소인 자연수)

라 둘 수 있고, 로그의 정의로부터 [eqn: n=m ^{{q} over {p}} `]로 나타낼 수 있다. 식을 변형하면 [eqn: n ^{p} =m ^{q} `]이고 [eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: m=c` ^{p} `], [eqn: n=c` ^{q} `](단, [eqn: c`]는 자연수)로 둘 수 있다.

[eqn: n`]은 [eqn: 16,`32,`48,`64,`80,`96`] 값들 중 [eqn: c ^{`q} `]꼴로 표현할 수

있는 값이므로 [eqn: 16,`32,`64`] 세 수뿐이다.

그러므로 [eqn: n`=`16,`32,`64`]이고 각각에 대하여

[eqn: m=` LEFT ( {n} over {16} RIGHT ) ^{2} `]에서 [eqn: m`]을 구하면 [eqn: m`=1,`4,`16`] 이다.

조건에서 [eqn: m`], [eqn: n`]이 [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다

작은 자연수이므로 [eqn: n=64`], [eqn: m`=16`]이다.

따라서 [eqn: m+n`=80`]이다.

[4점][2014년 고2 6월부산]

(가) [eqn: log _{`m} `n`]은 유리수이다.

(나) 세 수 [eqn: m`], [eqn: n`], [eqn: 256`]은 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

여러가지수열(3점)

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: {2} over {1} times {4} over {3} times {6} over {5} times CDOTS times {2n} over {2n-1} > sqrt {2n+1}]	⋯(*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변) [eqn: =` {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}], (우변) [eqn: =~ sqrt {3}]이므로 부등식 (*)이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k]일 때, 부등식 (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: {2} over {1} times {4} over {3} times {6} over {5} times CDOTS times {2k} over {2k-1} > sqrt {2k+1}] 위의 식의 양변에 [eqn: {2k+2} over {2k+1}]를 곱하면 [eqn: {2} over {1} times {4} over {3} times {6} over {5} times CDOTS times {2k} over {2k-1} times {2k+2} over {2k+1}] [eqn: > sqrt {2k+1} times {2k+2} over {2k+1}] [eqn: = sqrt {{{BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}} over {2k+1}}] [eqn: > sqrt {{{BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}} over {2k+1}}] [eqn: = sqrt {2k+3}] 따라서, [eqn: n=k+1]일 때에도 부등식 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 (*)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,~g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: p+f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

정답 ①

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =box2], (우변)[eqn: = sqrt {3}]이므로 부등식 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, 부등식 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: {2} over {1} times {4} over {3} times {6} over {5} times CDOTS times {2k} over {2k-1} > sqrt {2k+1}]

위의 식의 양변에 [eqn: {2k+2} over {2k+1}]를 곱하면

[eqn: {2} over {1} times {4} over {3} times {6} over {5} times CDOTS times {2k} over {2k-1} times {2k+2} over {2k+1}]

[eqn: > sqrt {2k+1} times {2k+2} over {2k+1}]

[eqn: = sqrt {{{BOX{LEFT. LEFT ( RIGHT . 2k+2 RIGHT ) ^{2}}}} over {2k+1}}]

[eqn: > sqrt {{{BOX{LEFT. LEFT ( RIGHT . 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )}}} over {2k+1}}]

[eqn: = sqrt {2k+3}]

[eqn: therefore~p=2,~f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( 2k+2 RIGHT ) ^{2} ,~g LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )]

[eqn: therefore~p+f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) =2+64+63=129]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 129]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 135]

④ [eqn: 138]	⑤ [eqn: 141]

[세트문항] 그림과 같이 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+3~ LEFT ( a>0 RIGHT )] 의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,~B LEFT ( 3,~3 RIGHT )]에서 만난다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x+n]이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a _{n} ,~b _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} b _{k}]의 값은?

정답 ⑤

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,`~B LEFT ( 3,~3 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에서 [eqn: a+b+3=1]

[eqn: therefore~a+b=-2]	⋯㉠

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]에서 [eqn: 9a+3b+3=3]	⋯㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=1,~b=-3]

[eqn: therefore~f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -3x+3]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x+n]이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는
[eqn: x ^{2} -3x+3=x+n], 즉 [eqn: x ^{2} -4x+3-n=0]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a _{n} b _{n} =3-n]

[eqn: therefore~ sum _{k=1} ^{20} a _{k} b _{k} = sum _{k=1} ^{20} LEFT ( 3-k RIGHT ) = sum _{k=1} ^{20} 3- sum _{k=1} ^{20} k]

[eqn: =20times3- {20times21} over {2}]

[eqn: =60-210=-150]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: -110]	② [eqn: -120]	③ [eqn: -130]

④ [eqn: -140]	⑤ [eqn: -150]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a _{1} =7`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

정답 ②

이해력 – 수열

[eqn: a _{1} =7]

[eqn: a _{2} =a _{1} +3=7+3=10]

[eqn: a _{3} = {1} over {2} a _{2} = {10} over {2} =5]

[eqn: a _{4} =a _{3} +3=5+3=8]

[eqn: a _{5} = {1} over {2} a _{4} = {8} over {2} =4]

[eqn: a _{6} = {1} over {2} a _{5} = {4} over {2} =2]

[eqn: a _{n+1} = {cases{``a _{n} +3````(`a _{n} 은``홀수)&``#`` {1} over {2} a _{n} ````````(`a _{n} 은```짝수)``&``}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{6} `]의 값은?

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 10]

[세트문항]그림과 같이 이차함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: rm A(1,````0)], [eqn: rm B(2,````0)`]에서 만나고, [eqn: y`]축과 점[eqn: rm C(0,````4)`]에서 만난다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)`]와 직선 [eqn: y = n`]이 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a_n], [eqn: b_n `]이라 하자. [eqn: sum _{ k=1} ^{20 } a_k ` b_k `]의 값은?

정답 ②

이해력 - 수열

이차함수 [eqn: y = f(x) `]의 그래프가 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: rm A(1, ````0)], [eqn: rm B(2,````0)`]에서 만나므로

[eqn: f(x)=a(x-1)(x-2)] ([eqn: a`]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: y`]축과 점 [eqn: rm C(0,````4)`]에서 만나므로

[eqn: f(0) = 4, ````2a = 4]

[eqn: therefore ```` a=2]

[eqn: therefore ```` f(x) = 2 (x-1)(x-2)]

곡선 [eqn: y = f(x)`]와 직선 [eqn: y = n`]이 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2 (x-1)(x-2)= n], 즉 [eqn: 2x^2 - 6x+ 4 - n = 0`]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a_n b_n = 4-n over 2 = 2 - n over 2]

[eqn: therefore ```` sum _{ k=1} ^{20 } a_k b_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{20 } left( 2 - k over 2 right) = sum _{ k=1} ^{ 20} 2 - 1 over 2 sum _{ k=1} ^{ 20}k]
[eqn: = 20 times 2 - 1 over 2 times { 20 times 21} over 2 = - 65]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: -55]	② [eqn: -65]	③ [eqn: -75]

④ [eqn: -85]	⑤ [eqn: -95]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =2n - 3]일 때, [eqn: sum _{k=2} ^{m} a _{k+1} =48]을 만족시키는 [eqn: m]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{k=2} ^{m} a _{k+1} = sum _{k=2} ^{m} LEFT { 2 LEFT ( k+1 RIGHT ) -3 RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=2} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) - LEFT ( 2 times 1-1 RIGHT )]

[eqn: =2times {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {2} -m-1]

[eqn: =m ^{2} -1][eqn: =48]

따라서 [eqn: m=7]

[3점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[세트문항] 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA _{itn} ,~rmB _{itn}]의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( n,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~n RIGHT )]이라 하자. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

선분 [eqn: rmA _{20} B _{20}]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역(경계선 제외)에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 점의 개수는?

정답 ⑤

직선 [eqn: rmA _{20} B _{20}]의 방정식이 [eqn: x+y=20]이고 [eqn: x+y]의 값이 홀수이므로

[eqn: x+y=2k+1~ LEFT ( 1 LEQ k LEQ 9 RIGHT )]	⋯㉠

이때, [eqn: x,~y]가 자연수이므로 ㉠을 만족시키는 점은

[eqn: LEFT ( 1,~2k RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~2k-1 RIGHT ) ,~ CDOTS ,~ LEFT ( 2k,~1 RIGHT )]

의 [eqn: 2k]개다.

따라서 주어진 조건을 만족시크는 점의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{9} 2k=2times {9times10} over {2} =90]

(가) [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 모두 자연수이다.

(나) [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 홀수이다.

[3점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 70]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 86]	⑤ [eqn: 90]

수열 [eqn: left{ a_n right}]이

정답 ⑤

[eqn: n ge 2]일 때, [eqn: a_n = 1 + 5(n-1) + sum _{ k=1} ^{ n-1} a_k]이므로

[eqn: a_n+1 - a_ n = box{``5``} + a_n]

[eqn: therefore~a_n+1 = 2 a_n + box{``5``}]    [eqn: cdotscdots]㉠

㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면 등식이 성립하므로 [eqn: n ge 1]일 때 ㉠이 성립한다.

따라서

[eqn: a_n+1 + box{``5``} = 2 (a_n + box{``5``} )]

이고 [eqn: a_1 + 5 = 6]이므로 수열 [eqn: left{ a_ n + 5 right}]는 첫째항이 [eqn: 6], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

즉, [eqn: a_n + 5 = 6 times2^n-1 = 3 times2^n]이므로

[eqn: a_n = box{``3 cdot2^n``} - box{``5``}]

따라서 [eqn: a=5], [eqn: f(n) = 3 cdot 2^n]이므로

[eqn: f(a) = f(5) = 3 cdot2^5 = 96]

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = 1 + 5n + sum _{ k=1} ^{n } a_k] [eqn: (n ge 1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

[eqn: n ge 2]일 때, [eqn: a_n = 1 + 5 ( n-1) + sum _{ k=1} ^{n-1 }a_k]이므로

[eqn: a_n+1 - a_n = box{~~(가)~~} + a_n]

[eqn: therefore ~a_n+1 = 2a_n + box{~~(가)~~}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면 등식이 성립하므로 [eqn: n ge 1]일 때, ㉠이 성립한다.

따라서

[eqn: a_n+1 + box{~~(가)~~} = 2(a_n + box{~~(가)~~})]

이므로

[eqn: a_n = box{~~(나)~~} ``-`` box{~~(가)~~}]

위의 과정에서 (가)에 알맞은 값을 [eqn: a], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(a)]의 값은?

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: 32]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 96]

[세트문항] 두 이차함수 [eqn: f(x) = x^2 - 6x], [eqn: g(x) = x^2 - 2x]에 대하여 물음에 답하시오.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT | f(n-1)-g(n) RIGHT |]의 값은?

정답 ①

[eqn: f(n-1) - g(n) = left{ (n-1)^2 - 6(n-1) right} - (n^2 - 2n)]

[eqn: = (n^2 - 8n + 7)-(n^2 - 2n)]

[eqn: = -6n+7]

[eqn: therefore~ sum _{ n=1} ^{10 } |f(n-1) - g(n) |]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{10 } | -6n+7|]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{10 } | 6n -7|]

[eqn: =1+ sum _{ n=2} ^{ 10} (6n-7)]

[eqn: =1+ left{ 1+ sum _{ n=1} ^{ 10} (6n-7) right}]

[eqn: =1 + left( 1 + 6 times { 10 cdot 11} over {2 } - 7 cdot10 right)]

[eqn: =262]

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: 262]	② [eqn: 264]	③ [eqn: 266]

④ [eqn: 268]	⑤ [eqn: 270]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

정답 [eqn: 47]

[eqn: a _{2} =2a _{1} +1=2 TIMES 2+1=5]

[eqn: a _{3} =2a _{2} +1=2 TIMES 5+1=11]

[eqn: a _{4} =2a _{3} +1=2 TIMES 11+1=23]

[eqn: a _{5} =2a _{4} +1=2 TIMES 23+1=47]

[eqn: a _{1} =2,~a _{n+1} =2a _{n} +1`` LEFT ( n=1,~2,~3,`` CDOTS RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{5} `]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

자연수 [eqn: n`]에 대하여

정답 [eqn: 15]

[eqn: sum _{k=1} ^{n+1} ` LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) = sum _{k=2} ^{n+2} `k LEFT ( k+2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) -g LEFT ( n RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n+1} ` LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{n} `k LEFT ( k+2 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=2} ^{n+2} `k LEFT ( k+2 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{n} `k LEFT ( k+2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT ) + LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+4 RIGHT ) -3]

[eqn: =2n ^{2} +10n+8]

이때, [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) -g LEFT ( n RIGHT ) =608`]이므로

[eqn: 2n ^{2} +10n+8=608]

[eqn: n ^{2} +5n-300=0,~ LEFT ( n-15 RIGHT ) LEFT ( n+20 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~n=15`` LEFT ( BECAUSE ~n>0 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n+1} ` LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n} `k LEFT ( k+2 RIGHT )]

라 하자. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) -g LEFT ( n RIGHT ) =608`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

수열 [eqn: left{a_n right}`]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

정답 ④

[eqn: a_3 +a_4 +a_5][eqn: =sum _{ k=1} ^{ 5}a_k - sum _{ k=1} ^{ 2}a_k][eqn: =5 TIMES 2^5 - 2 TIMES 2^2 =152]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n} a_k =n TIMES2^n]

을 만족시킬 때, [eqn: a_3 +a_4 +a_5]의 값은?

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 56]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 136]
④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 158]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

정답 [eqn: 47]

[eqn: a _{2} =2a _{1} +1=2 TIMES 2+1=5]

[eqn: a _{3} =2a _{2} +1=2 TIMES 5+1=11]

[eqn: a _{4} =2a _{3} +1=2 TIMES 11+1=23]

[eqn: a _{5} =2a _{4} +1=2 TIMES 23+1=47]

[eqn: a _{1} =2,~a _{n+1} =2a _{n} +1`` LEFT ( n=1,~2,~3,`` CDOTS RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{5} `]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

[세트문항] 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를  [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`2x ^{n} `- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

이라 하자. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,[eqn: sum _{n=1} ^{7} `a _{n}]의 값은?

정답 ⑤

수학 내적 문제 해결 능력 – 수열

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`2x ^{n} - LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 [eqn: a _{n}]이라 하면 나머지정리에 의해

[eqn: a _{n} `=`f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 TIMES 2 ^{n} -1=`2 ^{n+1} -1]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{7} a _{n} `=` sum _{n=1} ^{7} LEFT ( 2 ^{n+1} -1 RIGHT )][eqn: =` {4 LEFT ( 2 ^{7} -1 RIGHT )} over {2-1} `-7``][eqn: =` LEFT ( 2 ^{9} -4 RIGHT ) `-7]

[eqn: =`512`-`11=`501]

[3점][2015년 10월 비상]

① [eqn: 301]	② [eqn: 351]	③ [eqn: 401]
④ [eqn: 451]	⑤ [eqn: 501]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =k-1], [eqn: a _{2} = {4} over {3} k],
[eqn: a _{3} =3k-3`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

정답 110

[출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열이므로 [eqn: 2times{{4} over {3}}k =(k-1)+(3k-3)]

그러므로 [eqn: k=3]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 2]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = {10 LEFT ( 2 TIMES 2+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} =110]

[4점][2015년 고2 9월 인천]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} `k ^{2} a _{k} =n ^{2} +n`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k}} over {k+1} `]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} a _{k} =n ^{2} +n`]이므로 [eqn: a _{1} =2`],

[eqn: n ^{2} a _{n} = LEFT ( n ^{2} +n RIGHT ) - LEFT { (n-1) ^{2} +n-1 RIGHT } =2n(n` GEQ 2)`]

이므로 [eqn: a _{n} = {2} over {n} LEFT ( n` GEQ `1 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k}} over {k+1} = sum _{k=1} ^{10} {2} over {k(k+1)} = {20} over {11}]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: {17} over {11}]	② [eqn: {18} over {11}]	③ [eqn: {19} over {11}]

④ [eqn: {20} over {11}]	⑤ [eqn: {21} over {11}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 - ( n^3 + n^2 ) x + n =0]의 두 근을 [eqn: alpha_n ,] [eqn: beta_n]이라 할 때, [eqn: sum from{ n=1} to 20 { alpha_n beta_n } over { alpha_n + beta_n }]의 값은?

정답 ④
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha_n + beta_n = n^3 + n^2],  [eqn: alpha_n beta_n = n]
∴ [eqn: sum from{ n=1} to 20 {alpha_ n beta_n} over { alpha_n + beta_n }][eqn: = sum from{ n=1} to 20 n over {n^3 + n^2 }]
[eqn: = sum from{ n=1} to 20 1 over {n(n+1 )}][eqn: = sum from{ n=1} to 20 left( 1 over n - 1 over n+1 right)]
[eqn: = left( 1 - 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + cdots]
[eqn: + left( 1 over 19 - 1 over 20 right) + left( 1 over 20 - 1 over 21 right)]
[eqn: = 1 - 1 over 21 = 20 over 21]

[3점][2015년 7월 대성]

① [eqn: 14 over21]	② [eqn: 16 over 21]	③  [eqn: 6 over 7]

④ [eqn: 20 over 21]	⑤ [eqn: 22 over 21]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1``,`a _{2} `=`4] 이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n+2} =3n` LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} -2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n}] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

정답 [eqn: ③]

주어진 관계식의 양변을 [eqn: n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )]로 나누면

[eqn: {a _{n+2}} over {n+2} =][eqn: {3} over {n+1}][eqn: a _{n+1} - {2a _{n}} over {n}]

[eqn: {a _{n}} over {n} =b _{n}] 으로 놓으면

[eqn: b _{n+2} =`3b _{n+1} -2b _{n}]

[eqn: THEREFORE b _{n+2} -b _{n+1} =2 LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT )] 따라서 수열 [eqn: LEFT { b _{n+1} -b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: b _{2} -b _{1} = {a _{2}} over {2} - {a _{1}} over {1} = {4} over {2} - {1} over {1} =1]이고, 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE b _{n+1} -b _{n} =1 TIMES 2 ^{n-1} =2 ^{n-1}]

[eqn: BECAUSE b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( b _{k+1} -b _{k} RIGHT )][eqn: =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2 ^{k-1}]

[eqn: =`1+ {1 LEFT ( 2 ^{n-1} -1 RIGHT )} over {2-1} =2 ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE a _{n} `=`nb _{n} =`n TIMES 2 ^{n-1} LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )] 따라서

[eqn: p=2`,`f LEFT ( n RIGHT ) = {3} over {n+1} ,g LEFT ( n RIGHT ) =2 ^{n-1}]  이므로

[eqn: p+f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) =2+ {3} over {2+1} +2 ^{4-1}][eqn: =`2+1+8=11]

주어진 관계식에서

[eqn: {a _{n+2}} over {n+2} =` LEFT ( 가 RIGHT ) a _{n+1} -` {2a _{n}} over {n} ` CDOTS ` LEFT ( STAR RIGHT )]

[eqn: {a _{n}} over {n} =b _{n}]으로 놓으면 [eqn: LEFT ( STAR RIGHT )] 에서

[eqn: b _{n+2} -b _{n+1} = {BOX{```````````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````````````````}} LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT )]

즉, 수열 [eqn: LEFT { b _{n+1} -b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: b _{2} -b _{1}] 이고 공비가 [eqn: LEFT ( 나 RIGHT )]인 등비수열이다. 따라서 [eqn: b _{n+1} -b _{n} = {BOX{```````````````````````````````````}}] 이므로

[eqn: b _{n} = {BOX{````````````````(다)``````````````}}]

[eqn: THEREFORE a _{n} =`nb _{n} =n TIMES {BOX{````````````````(다)``````````````}} ````` LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

위의 (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ,g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: p+f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[세트문항]좌표평면에서 점 [eqn: P _{n} LEFT ( n=1`,`2`,`3`,` CDOTS RIGHT )]을 다음과 같이 정한다.

(가) 점 [eqn: P _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,0 RIGHT )]이다.

(나) 점 [eqn: P` _{3n-2}]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 직선 [eqn: y=x]가

만나는 점은 [eqn: P` _{3n-1}]이다.

(다) 점 [eqn: P` _{3n-1}]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발은 점 [eqn: P _{3n}]이다.

(라) 점 [eqn: P _{3n}]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x]축의 방향으로

[eqn: n]만큼 평행이동한 점은 [eqn: P _{3n+1}]이다.

예를 들어 점 [eqn: P _{7}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,0 RIGHT )]이다 . 13번과 14번의 두 물음에

답하시오.

점 [eqn: P _{100}]의 [eqn: x]의 좌표는?

정답 [eqn: ①]

[eqn: 100=`3 TIMES 34-2] 이므로 점 [eqn: P` _{100}]은 [eqn: x]축 위의 점이다.

[eqn: P` _{1} LEFT ( 1,0 RIGHT ) ,`P` _{4} LEFT ( 1+1`,`0 RIGHT ) ``,``P` _{7} LEFT ( 1+1+2``,`0 RIGHT ) `,` CDOTS] 이므로

[eqn: P _{3n-2} LEFT ( 1+1+2+3+ CDOTS +n-1,0 RIGHT )]

따라서 점 [eqn: P` _{100}]의 [eqn: x]의 좌표는

[eqn: 1+1+2+3+ CDOTS +33=1+ {33 TIMES 34} over {2} =562]

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 562]	② [eqn: 570]	③ [eqn: 579]
④ [eqn: 587]	⑤ [eqn: 596]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 두 등식

정답 ③

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -2a _{k} +1+a _{k} ` ^{2} +2a _{k} +1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} ` ^{2} +2 RIGHT ) =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2} + sum _{k=1} ^{10} 2]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2} +20=120]

[eqn: therefore` sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2} =50]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2} -10=50-10=40]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) ^{2} =20], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) ^{2} =100]

이 성립할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) LEFT ( a _{k} +1 RIGHT )]의 값은?

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 함수 [eqn: y=root{-x+n^2 } `]의 그래프가 두 점 [eqn: {rmA}(n^2 ,~0),~{rmB}(0,~n)`]을 지난다. [eqn: n=10 `]일 때, 곡선 [eqn: y=root-x+n^2 `]과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 영역에 속하는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점의 개수는? (단, 경계선은 포함한다.)

정답 ②

곡선과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 영역에 속하는 점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: k`]

([eqn: k`]는 [eqn: 1 LEQ k<10`]인 자연수)라 하자.

[eqn: sqrt {-x+100} =k`]에서

[eqn: -x+100=k ^{2} `]

[eqn: THEREFORE ~x=100-k ^{2} `]

따라서, 주어진 영역에 속하는 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 [eqn: k`]인 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1 LEQ x LEQ 100-k ^{2} `]인 자연수이고, [eqn: k`]는 [eqn: 1 LEQ k<10`]인 자연수이므로 구하는 점의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{9} LEFT ( 100-k ^{2} RIGHT )][eqn: =100 TIMES 9- {9 TIMES 10 TIMES 19} over {6} `]

[4점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: 606`]	② [eqn: 615`]	③ [eqn: 624`]

④ [eqn: 633`]	⑤ [eqn: 642`]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1}]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 합 이해하기

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의

일반항 [eqn: a _{n} =2 ^{n-1}]이다.

[eqn: a _{2k-1} =2 ^{2k-2} =4 ^{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1} = sum _{k=1} ^{5} 4 ^{k-1} = {1 TIMES LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1} =341]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 341]	② [eqn: 343]	③ [eqn: 345]

④ [eqn: 347]	⑤ [eqn: 349]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} =n ^{2} +6n]
일 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{5} =S _{5} -S _{4} =55-40=15]

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

모든 항이 양의 실수인 수열 [eqn: "{"a_n "}"]이
[eqn: a_1 =k], [eqn: a_n a_n+1 +a_n+1 = ka_n ^{`2} + ka_n `] ([eqn: n GEQ 1])
을 만족시키고 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n = 5`]일 때, 실수 [eqn: k] 의 값은?

정답  ①

[2014년 3월 교육청]

[출제의도] 무한등비급수의 성질을 이해하여 귀납적으로 정의된 수열의 공비를 구한다.

[eqn: a_n a_n+1 +a_n+1`][eqn: =k`a _{n} ^{`2} +k`a _{n} `]에서

[eqn: LEFT(a_n +1 RIGHT) a_n+1`][eqn: = k`a_n (a_n +1)`]이고 [eqn: a_n +1`][eqn: ne 0`]이므로

양변을 [eqn: a_n +1`]로 나누면 [eqn: a_n+1 `][eqn: =k`a_n`]

수열 [eqn: "{"a_n"}"`]은 [eqn: a _{1} `][eqn: =k`], 공비가 [eqn: k`]인 등비수열

그러므로 [eqn: a_n `][eqn: =k ^{`n} `]

수열 [eqn: "{"a_n "}"`]의 공비 [eqn: k`]가 [eqn: 0<k<1`]이므로

무한등비급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n`]은 [eqn: k over1-k`]로 수렴한다.

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } k` ^{n}][eqn: = k over 1-k `][eqn: = 5 `]

따라서 [eqn: k`][eqn: = 5over6 `]

(단, [eqn: 0 < k <1 `])

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 5over6]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 1 over 2]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2 ^{`n-1} `]의 모든 양의 약수의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} `]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 502]

[2014년 3월 교육청]

[출제의도] 양의 약수와 등비수열의 합을 활용하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: 2 ^{`n-1} `]의 모든 양의 약수 : [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 2 ^{2} `], [eqn: CDOTS `], [eqn: 2 ^{n-1} `]

[eqn: a _{n`}][eqn: =1+2+` CDOTS `+2 ^{n-1}][eqn: = {1 TIMES LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT )} over {2-1} `][eqn: =2 ^{n} `-1]

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} `][eqn: = sum _{n=1} ^{8} LEFT ( 2 ^{n} -1` RIGHT ) `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{8} 2 ^{n} - sum _{n=1} ^{8} 1`]

[eqn: = {2 TIMES LEFT ( 2 ^{8} -1 RIGHT )} over {2-1} -8`]

[eqn: =2 ^{9} -2-8`][eqn: =502`]

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

수열 [eqn: left {a_n right }]에 대하여 [eqn: sum_k=1^10 a_k =10]일 때,
[eqn: sum_k=1^10 left { (a_k +1)(a_k +3)right } - sum_k=1^10 left { (a_k -2)(a_k -3)right }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 60]

[eqn: sum_k=1^10 left { (a_k +1)(a_k +3)right } - sum_k=1^10 left { (a_k -2)(a_k -3)right }][eqn: = sum_k=1^10 (a_k`^2 +4a_k +3)- sum_k=1^10 (a_k`^2 -5a_k +6)][eqn: = sum_k=1^10 (9a_k -3)][eqn: = 9 sum_k=1^10 a_k -30][eqn: =90-30=60]

[3점] [2015년 05월 종로]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 = 2a_n +1]([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])이 성립할 때, [eqn: a_7 - a_5]의 값을 구하시오.

정답. [eqn: 96]

[eqn: a_n+1 +p =2(a_n +p)]

∴ [eqn: p=1]

[eqn: a_n+1 +1 = 2(a_n +1)]

[eqn: a_n +1 = 2^n-1 (a_1 +1)]

∴ [eqn: a_n = 2^n -1]

∴ [eqn: a_7 - a_5 =(2^7 -1) - (2^5 -1)]

[eqn: = 2^5 cdot3 =96]

[[eqn: 3]점] [2015년 05월 종로]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

정답 ③

[eqn: sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 5a _{k} +b _{k} RIGHT ) =5 sum _{k=1} ^{11} a _{k} + sum _{k=1} ^{11} b _{k}]

[eqn: =5 TIMES 4+24]

[eqn: =44]

[eqn: sum _{k=1} ^{11} a _{k} =4,~~ sum _{k=1} ^{11} b _{k} =24]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 5a _{k} +b _{k} RIGHT )]의 값은?

[3점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k+a RIGHT ) =300`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 19`]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k+a RIGHT )][eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} k+ sum _{k=1} ^{10} a`]
[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +10a`]
[eqn: =110+10a=300`]

[eqn: THEREFORE ~a=19`]

[3점][2015년 6월 평가원]

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 [eqn: a_2 +2 a_3 + 3a_4 = 11],
[eqn: 2a_1 +3a_2 +4a_3 +5a_4 =23]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{4 }{a_k }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 6]

[eqn: 2a_1 +3a_2 +4a_3 +5a_4 =23]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: a_2 +2a_3 +3a_4 =11]	[eqn: cdots] ㉡

㉠에서 ㉡을 빼면

[eqn: 2(a_1 +a_2 +a_3 +a_4 )=12]

[eqn: therefore~][eqn: sum _{ k=1} ^{4 }{a_k =6]

[[eqn: 3]점] [2015년 07월 종로]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k+1} `a _{k} =(n+1) ^{2}]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{99} a _{n} `]의 값을 구하시오.

정답. [eqn: 102]

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: a _{1} =4]

[eqn: n GEQ 2`]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k+1} `a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} (-1) ^{k+1} `a _{k} =(n+1) ^{2} -n ^{2}] 이므로

[eqn: (-1) ^{n+1} `a _{n} =2n+1]

[eqn: THEREFORE ~a _{n} = {2n+1} over {(-1) ^{n+1}} ``(n GEQ 2)]

[eqn: a _{1} +(a _{2} +a _{3} )+(a _{4} +a _{5} )+ CDOTS (a _{98} +a _{99} )]

[eqn: =4+(-5+7)+(-9+11)+ CDOTS (-197+199)]

[eqn: =4+2 TIMES 49]

[eqn: =102]

[3점] [2015년 07월 종로]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이

정답 ③

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 8} (a_k +1)^2 - sum _{ k=1} ^{ 8} (a_k -1)^2]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{ 8} LEFT { (a_k +1)^2 - (a_k -1)^2 RIGHT }]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{ 8} 4 a_k][eqn: =4sum _{ k=1} ^{ 8} ( sqrt { k+1}- sqrt { k} )]

[eqn: =4 LEFT { ( sqrt { 2}- sqrt { 1} ) + ( sqrt { 3}- sqrt { 2} )+ CDOTS+ ( sqrt { 9}- sqrt { 8} ) RIGHT }=8]

[eqn: a_n = sqrt { n+1} - sqrt { n}] [eqn: (n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS )]

일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 8} (a_k +1)^2 - sum _{ k=1} ^{ 8} (a_k -1)^2]의 값은?

[[eqn: 3]점] [2015년 8월 비상]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

정답 [eqn: 103]

[eqn: sum_k=1^n (a_k+1 -a_k ) = 3n+2]이므로

[eqn: a_11 = a_1 + sum _k=1 ^10 (a_k+1 - a_k )]

[eqn: =a_1 +(3 times 10 +2)]

[eqn: =a_1 +32 =43]

[eqn: therefore~ a_1 =11]

[eqn: therefore~ a_31 =a_1 + sum_k=1 ^ 30 (a_k+1 -a_k )]

[eqn: = 11+ (3 times 30 +2 ) = 103]

[eqn: sum_k=1^n (a_k+1 -a_k ) = 3n+2] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

가 성립한다. [eqn: a_11 =43]일 때, [eqn: a_31]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 10월 대성]

[eqn: 10]과 서로소가 아닌 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 수열을 [eqn: left{ a_n right}]이라 할 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{24 } a_k]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 500]

[eqn: 10 = 2 times5]이므로 [eqn: 10]과 서로소가 아닌 지연수는 [eqn: 2]의 배수이거나 [eqn: 5]의 배수이다. 따라서 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수인 자연수를 작은 수부터 차례대로 나열한 것으므로

[eqn: left{ a_n right}] : [eqn: 2,~4,~5,~6,~8,~10,~12,~14,~15,~16,~18,~20,cdots]

[eqn: therefore~ sum _{ k=1} ^{24 } a_k = sum _{ k=1} ^{ 20} 2k + (5+15+25+35)]

[eqn: = 2 times { 20 times 21} over { 2} + 80 = 420 + 80 = 500]

[다른 풀이]

[eqn: 10 = 2 times 5]이므로 [eqn: 10]과 서로소가 아닌 자연수는 [eqn: 2]의 배수이거나 [eqn: 5]의 배수이다.

따라서 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수인 자연수를 작은 수부터 차례대로 나열한 것이므로

[eqn: left{ a_n right}] : [eqn: 2,~4,~5,~6,~8,~10,~12,~14,~15,~16,~18,~20,cdots]

[eqn: therefore~ sum _{ k=1} ^{24 } a_k = sum _{ k=1} ^{6 } a_k + sum _{ k=7} ^{12 } a_k + sum _{ k=13} ^{18 } a_k + sum _{ k=19} ^{24 } a_k]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{6 } a_k + left( sum _{ k=1} ^{6 } a_k + 10 times 6 right)]

[eqn: +][eqn: left( sum _{ k=1} ^{6 } a_k + 20 times 6 right)][eqn: + left( sum _{ k=1} ^{6 } a_k + 30 times 6 right)]

[eqn: = 4 sum _{ k=1} ^{6 } a_k + 360]

이때, [eqn: sum _{ k=1} ^{6 } a_k = 35]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{24 } = 4 times 35 + 360 = 500]

[3점][2015년 8월 비상]

[eqn: left{ a_n right} ~:~2,~4,~5,~6,~8,~cdots]

수열 [eqn: left{a_n right}``]에 대하여

정답 [eqn: 530]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} (2a_k +1)^2]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{ 10} (4a_k `^2 +4a_k +1)]

[eqn: =4 sum _{ k=1} ^{ 10} a_k `^2 +4 sum _{ k=1} ^{10 } a_k + sum _{ k=1} ^{ 10} `1]

[eqn: =400+120+10]

[eqn: =530]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} a_k =30,``][eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} a_k `^2 =100]

일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} `(2`a_k +1)^2 ``]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 5월 대성]

수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]이

정답 22

[출제의도] 일반항과 부분합과의 관계 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} `=`S _{n`} `]이라 하면, [eqn: a_n`=S_n`-S_n-1`][eqn: (n` GEQ 2)]이므로

[eqn: na _{n} ` _{`} `= sum _{k=1} ^{n} ka _{k} ``-` sum _{k=1} ^{n-1} ka _{k} `]

[eqn: = {n ^{2} (n+1)} over {2} - {n(n-1) ^{2}} over {2} `]

[eqn: =` {n(3n-1)} over {2} ``][eqn: (n` GEQ 2)]

이다.

[eqn: a _{n} = {3n-1} over {2} (n`ge2)`]

그런데 [eqn: a _{1} = sum _{k=1} ^{1} ka _{k} `=` {1 ^{2`} (1+1)`} over {2} `=1]이다.

따라서 [eqn: a _{n} = {3n-1} over {2} `][eqn: (n` GEQ 1)]이다.

[eqn: therefore`a _{15} =22`]

[다른 풀이]

[eqn: 15a _{15} = sum _{k=1} ^{15} ka _{k} - sum _{k=1} ^{14} ka _{k}]

[eqn: 15a _{15} = {15 ^{2} times16-14 ^{2} times15} over {2}]

[eqn: = {15(15times16-14times14)} over {2}]

[eqn: =15times22]

[eqn: therefore`a _{15} =22]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ka _{k} `=` {n ^{2`} left(n+1 right)`}over2`] ([eqn: n=`][eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots])

을 만족시킬 때, [eqn: a_15`]의 값을 구하시오.

[3점][2014년 고2 6월부산]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =9`], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =5`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 여러 가지 수열 성질 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )][eqn: = sum _{k=1} ^{10} a _{k} +2 sum _{k=1} ^{10} b _{k}][eqn: =9+10=19]

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

[세트문항]그림은 이차함수 [eqn: f(x) =x^2 -5x]의 그래프를 나타낸 것이다. 물음에 답하시오.

수열 [eqn: left{a_n right]의 일반항이 [eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{ n}f(k)]일 때, [eqn: a_m = a_m+1]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값은?

정답 ①

이해능력- 수열

[eqn: a_m+1 = sum _{ k=1} ^{ m+1}f(k)=sum _{ k=1} ^{ m}f(k) +f(m+1)]

[eqn: =a_m +f(m+1)]

이때, [eqn: a_m = a_m+1]이려면 [eqn: f(m+1)=0]이어야 한다.

[eqn: f(m+1)=(m+1)^2 -5(m+1)]

[eqn: =m^2 -3m-4=(m-4)(m+1)=0]

[eqn: therefore``m=4] ([eqn: because``m]은 자연수)

[3점][2015년 5월 비상]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,

정답 ⑤

[eqn: a_6 + a_7 + a_8 =( a_1 + a_2 + cdots + a_8 ) -( a_1 + a_2 + cdots + a_5 )]

[eqn: =S_8 -S_5]

[eqn: =( 8^2 + 2 times 8) -( 5 ^2 + 2 times 5 )]

[eqn: = 80 - 35 = 45]

[eqn: S_n = n^2 + 2n]이다. [eqn: a_6 + a_7 + a_8]의 값은?

[3점][2015년 6월 종로]

① [eqn: 41]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 45]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합이 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{2k}]의 값은?

정답 ①
[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =f LEFT ( n RIGHT ) =n ^{2} -2n]이므로

[eqn: a _{1} =f LEFT ( 1 RIGHT ) =1 ^{2} -2 TIMES 1=-1]	⋯㉠

이고, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} =f LEFT ( n RIGHT ) -f LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: =n ^{2} -2n- LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: 2n-3]	⋯㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a _{n} =2n-3~ LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]이므로

[eqn: a _{2k} =2 LEFT ( 2k RIGHT ) -3=4k-3]

[eqn: THEREFORE ~ sum _{k=1} ^{10} a _{2k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k-3 RIGHT )]

[eqn: =4times {10times11} over {2} -3times10=190]

[3점][2015년 10월 대성]

① [eqn: 190]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 210]

④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 230]

[eqn: sum _{n=1} ^{12} LEFT ( sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1} RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[eqn: sum _{n=1} ^{12} LEFT ( sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {5} - sqrt {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( sqrt {25} - sqrt {23} RIGHT )]

[eqn: = sqrt {25} -1=4]

[3점][2015년 11월 중앙]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 수열 [eqn: LEFT { a` _{n} ` RIGHT }], [eqn: LEFT { b` _{n} ` RIGHT }]이

정답 [eqn: 46]

이해 능력 – 수열

[eqn: sum_{k=1}^{20}{a_k} =A], [eqn: sum _{k=1} ^{20} b _{k} =B]라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{20} left( a _{k}`+`b _{k}` right)=sum _{k=1} ^{20} a _{k} `+` sum _{k=1} ^{20} b _{k}]

[eqn: =A`+`B`=`60]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( 3`a _{k} `-`2`b _{k} ` RIGHT ) = 3sum _{k=1} ^{20} a _{k} `-` 2sum _{k=1} ^{20} b _{k}]

[eqn: =3`A`-``2`B`=`10]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: A=26]

[eqn: therefore `` sum _{k=1} ^{20} LEFT ( a _{k} `+`1 ` RIGHT ) = sum _{k=1} ^{20} a _{k} `+` sum _{k=1} ^{20} 1]

[eqn: =A`+`20=26`+`20=46]

[eqn: sum_{k=1}^{20} (a`_k `+`b`_k `)=60], [eqn: sum _{k=1} ^{20} (3`a` _{k} `-`2`b` _{k} `)=10]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} (a` _{k} `+`1`)]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 고2 8월 비상]

[세트문항]수열 [eqn: bold {left{a_n right} }]에 대하여 [eqn: bold{ a_n = 6 times left( ` 1 over 2 ` right)^{n-1} `` (n ge 1)]일 때,

물음에 답하시오.

[eqn: S_{n} = a_1 + a_2 + cdots + a_n]에 대하여 [eqn: lim _{ n ->` inf} `{ S_{n}}]의 값은?

정답 ①

[eqn: S_{n} = a_1 + a_2 + cdots + a_n]

[eqn: = {6 left{ 1 - left(` 1 over 2 ` right)^{n} right} } over {1- 1 over 2} = 12 left{ 1 - left(` 1 over 2 ` right)^{n} right}]

이므로

[eqn: lim _{ n->` inf} {S_{n} } = lim _{ n->` inf}{ 12 left{ 1 - left(` 1 over 2 ` right)^{n} right} }=12]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{ n->` inf} {S_{n} } = sum _{ n=1} ^{ inf} a_{n} = {6} over {1 - 1 over 2}=12]

[3점][2015년 6월 종로]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

수열 [eqn: "{"a_n"}"]은 [eqn: a_1 = 2]이고, [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum from{ k=1} to n a_k = ( n+1 )^2 a_n][eqn: cdots cdots (*)]
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

[eqn: (*)]에서 [eqn: sum from{ k=1} to n-1 a_k = n^2 a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )] 이므로 [eqn: 3]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum from{k=1} to n a_k - sum from{ k=1} to n-1 a_k][eqn: = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1] [eqn: a_n = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1] ∴ [eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )] 따라서 [eqn: n ge 3]일 때, [eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1] [eqn: = n over n+2 times n-1 over n+1 times a_n-2] [eqn: cdots cdots] [eqn: = BOX{~~(가)~~} times a_2] [eqn: (*)]에서 [eqn: a_2 = BOX{~~(나)~~}]이므로 [eqn: a_n = BOX{~~(가)~~} times BOX{~~(나)~~}][eqn: ( n ge 2 )] 따라서 구하는 일반항은 [eqn: a_1 = 2 ,] [eqn: a_n = BOX{~~(가)~~} times BOX{~~(나)~~}][eqn: ( n ge 2 )]

정답 ③
[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =(n+1) ^{2} a _{n} (n >= 2)][eqn: cdots cdots (*)]
[eqn: (*)]에서
[eqn: sum from{ k=1} to n-1 a_k = n^2 a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )]
두 식을 변끼리 빼서 정리하면
[eqn: sum from{k=1} to n a_k - sum from{ k=1} to n-1 a_k][eqn: = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1]
[eqn: a_n = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1]
[eqn: "{"(n+1)^2 -1 "}"a_n = n^2 a_n-1]
[eqn: n(n+2)a _{n} =n ^{2} a _{n-1}]

[eqn: (n+2)a _{n} =n`a _{n-1}]
∴ [eqn: a _n over a_n-1 = n over n+2] [eqn: ( n ge 3 )]
[eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1]
[eqn: = {n} over {n+2} TIMES {n-1} over {n+1} TIMES a _{n-2}]
[eqn: cdots cdots]
[eqn: = n over n+2 times n-1 over n+1 times n-2 over n times cdots times 4 over 6 times 3 over 5 times a_2]
[eqn: = BOX{~12 over {(n+2 )(n+1 ) }~} times a_2]	[eqn: cdots cdots㉠]
[eqn: (*)]에서 [eqn: n=2]를 대입하면
[eqn: sum from{k=1} to 2 a_k = (2+1 )^2 a_2]
[eqn: a_1 + a_2 = 9 a_2], [eqn: 2+ a_2 = 9 a_2]
∴ [eqn: a_2 =BOX{~ 1 over 4 ~}]
따라서 ㉠에서
[eqn: a_n = BOX{~12 over {(n+2)(n+1)}~} times BOX{~1 over 4 ~}]
[eqn: = 3 over {(n+1)(n+2 ) }] [eqn: (n ge 3 )]	[eqn: cdots cdots㉡]
㉡에 [eqn: n=2]를 대입하면
[eqn: a _{2} = {3} over { 3 times 4 } = 1 over 4]
이므로 등식이 성립한다. 따라서 구하는 일반항은
[eqn: a_n = cases{~~~~~~~2~~~~~~~~(n=1)#~ 3 over {(n+1)(n+2 )}~~( n ge 2 )}]
∴ [eqn: f(n) = 12 over {(n+1`)(n+2)} ,] [eqn: p= 1over 4]
∴ [eqn: p times f(5) = 1 over 4 times 12 over 42 = 1 over 14]

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n) ,] (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p times f(5)]의 값은?

[3점][2015년 7월 대성]

① [eqn: 1 over 10]	② [eqn: 1 over 12]	③ [eqn: 1 over 14]

④ [eqn: 1 over 16]	⑤ [eqn: 1 over 18]

수열 [eqn: left{a_n right]은 [eqn: a_1 =2]이고,

정답 ④

연역적 추론 능력(증명) – 수열

(*)의 양변에 [eqn: n+2]를 각각 곱하면

[eqn: (n+2)a_n+1 -(n+2)=(n+1)a_n -1]

위 등식을 정리하면

[eqn: (n+2)a_n+1 =(n+1)a_n + box{n+1]이다.

[eqn: b_n =(n+1)a_n]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b_n+1 =b_n + box{`n+1`]이고

[eqn: b_1 = 2a_1 =2 TIMES2 = 4]이므로

[eqn: b_n =4 + sum _{ k=1} ^{n-1 }(k+`1)]

[eqn: =4 + n(n-1) over2 +n-1]

[eqn: =3 + {n^2 +n } over 2] [eqn: (n GEQ2)]      [eqn: cdotscdots㉠]

㉠은 [eqn: n=1]일 때도 성립하므로

[eqn: b_n = box{ 3+ {n^2 +n} over 2}] [eqn: (n GEQ1)]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = b_n over n+1 =box{ 3+ {n^2 +n} over 2} over n+1 } = 3 over n+1 + 2 over n]

[eqn: therefore``f(n)=n+1], [eqn: g(n)=3 +{ n^2 +n} over 2]

[eqn: therefore``f(9)+g(9)=10+48=58]

[eqn: a_n+1 -1 ={(n+1)a_n -1 } over n+2] [eqn: (n GEQ1)]          [eqn: cdotscdots(*)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

(*)의 양변에 [eqn: n+2]를 각각 곱하면

[eqn: (n+2)a_n+1 -(n+2)=(n+1)a_n -1]

[eqn: (n+2)a_n+1 =(n+1)a_n + box{~~(가)~~]

이다. [eqn: b_n =(n+1)a_n]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b_n+1 =b_n + box{~~(가)~~]

이고, [eqn: b_1 =4]이므로

[eqn: b_n = box{~~(나)~~] [eqn: (n GEQ1)]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = box{~~(나)~~} over n+1] [eqn: (n GEQ1)]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),```g(n)]이라 할 때, [eqn: f(9)+g(9)]의 값은?

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 55]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 57]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 59]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: a_1 =-2`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

정답 ⑤

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +3 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `]을 만족시키므로

위 등식의 양변에 [eqn: 2 ^{n} `]을 각각 곱하면

[eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} =2 ^{n-1} `a _{n} +][eqn: box{~~6~~}] [eqn: (n ge1)]

이다. [eqn: b_n =2^n-1 a_n`]이라 하면 [eqn: b_1 =-2`]이고

[eqn: b_n+1 =b_n +][eqn: box{~~6~~}] [eqn: (n ge1)]

따라서 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: -2`]이고 공차가 [eqn: 6`]인 등차수열이므로

[eqn: b _{n} =-2+(n-1)times6=][eqn: box{~~6n-8~~}] [eqn: (n ge1)]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n-1}} (][eqn: box{~~6n-8~~}][eqn: )] [eqn: (n ge1)]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: p=6,~f(n)=6n-8]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: p timesf(4)=6 TIMES 16=96]

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +3 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +3 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] 을 만족시키므로 위 등식의 양변에 [eqn: 2 ^{n} `]을 각각 곱하면 [eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} =2 ^{n-1} `a _{n} +] [eqn: (n ge1)] (가) 이다. [eqn: b_n =2^n-1 a_n`]이라 하면 [eqn: b_1 =-2`]이고 [eqn: b_n+1 =b_n +] [eqn: (n ge1)] (가) 이므로 [eqn: b_n =] [eqn: (n ge1)] (나) 이다. 따라서 [eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n-1}} (][eqn: )] [eqn: (n ge1)] (나) 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)`]이라 할 때, [eqn: p timesf(4)`]의 값은?

[3점][2015년 고2 8월 비상]

① [eqn: 48]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 96]

여러가지수열(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 선분 [eqn: rmAB] 위에

정답 [eqn: 6]

[eqn: rm bar{{rmA}P_{it n}} =ita_n]이므로

[eqn: {bar{rmBP_{it n }} =1- a_n ,~ {rm bar {BQ_{itn}} = 1 over 2 - 1 over 2 it a_n ,]

[eqn: {bar{rmCQ_{it n }} = 1 over 2 + 1 over 2 a_n ,~ {rm bar {CR_{itn}} = 1 over 4 + 1 over 4 it a_n ,]

[eqn: {bar{rmDR_{it n }} = 3 over 4 - 1 over 4 a_n ,~ {rm bar {DS_{itn}} = 3 over 8 - 1 over 8 it a_n ,]

[eqn: {bar{rmAS_{it n }} = 5 over 8 + 1 over 8 a_n ,~ {rm bar {AP_{itn+1}} = 5 over 16 + 1 over 16 it a_n]

∴ [eqn: a_n+1 = 1 over 16 a_n + 5 over 16]

∴ [eqn: p= 1 over 16 ,~ q= 5 over 16]

∴ [eqn: 16( p+q ) = 6]

[eqn: { rm bar AP_1 } = a_1]인 점 [eqn: rmP_1]이 있다. 점 [eqn: rmP_1]에 대하여 선분 [eqn: rmBC] 위에

[eqn: rm bar BP_1 = 2 bar BQ_1]이 되도록 점 [eqn: rmQ_1]을 잡는다. 점 [eqn: rmQ_1]에 대하여 선분 [eqn: rmCD] 위에 [eqn: rm bar CQ_1 = 2 bar CR_1]이 되도록 점 [eqn: rmR_1]을 잡는다. 점 [eqn: rmR_1]에 대하여 선분 [eqn: rmDA] 위에 [eqn: rm bar DR_1 = 2 bar DS_1]이 되도록 점 [eqn: rmS_1]을 잡는다. 점 [eqn: rmS_1]에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rm bar AS_1 = 2 bar AP_2]가 되도록 점 [eqn: rmP_2]를 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: {rmP}_n]을 잡아나갈 때, [eqn: { rm bar AP_{it n } }= a_n]이라 하면

[eqn: a_n+1 = p a_n + q] [eqn: ( n=1,~2,~3,~cdots)]인 관계가 성립한다. [eqn: 16 ( p+ q )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 상수이다.)

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여

정답 [eqn: 250]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`(d<0)]라 하자.

(가)에서 [eqn: S_10 =S_20]이므로

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_10 = a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_20]

∴ [eqn: a_11 + a_12 + a_13 + cdots + a_20 =0]

즉, [eqn: {10 (a_11 + a_20 )} over 2 =0]이므로 [eqn: a_11 + a_ 20 =0]

∴ [eqn: 2a+ 29d =0] [eqn: cdotscdots]㉠

∴ [eqn: a_n = - 29 over 2 d + ( n-1) d]

[eqn: = left( n- 31 over 2 right) d]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]은 첫째항부터 제[eqn: 15]항까지는 양수이고 제[eqn: 16]항부터는 음수이므로 (∵ [eqn: d<0]) [eqn: S_n]의 최댓값은 [eqn: S_15]이다.

[eqn: S_15 ={15 (2a + 14d ) } over 2 = 15 (a+ 7d) = 225]

∴ [eqn: a+ 7d =15~~cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=29,~ d=-2]

∴ [eqn: a_n =-2n + 31]

∴ [eqn: T_20 = a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_15 -a_16 - cdots - a_20]

[eqn: =S_15 -{ 5 (a_16 + a_20 )} over 2]

[eqn: = 225 -{ 5 times (-1 -9)} over 2]

[eqn: = 225 + 25 = 250]

[eqn: S_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots+ a_n ```( n=1,~2,~3,~cdots)]

이라 할 때, 수열 [eqn: left{ a_ n right}]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: S_10 =S_20]

(나) [eqn: S_n]의 최댓값은 [eqn: 225]이다.

[eqn: T_n = |` a_1 ` | +|` a_2 ` | +|` a_3 ` | +cdots +|` a_n ` |]이라 할 때, [eqn: T_20]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

그림과 같이 제 [eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, 제 [eqn: 2]행에는 [eqn: 2]개, ⋯, 제 [eqn: n]행에는 [eqn: n]개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 한 개씩 적었다.

정답 ①

제 [eqn: 10]행의 왼쪽 끝 직사각형에 적힌 수는

[eqn: 2 ^{10-1} =2 ^{9} =512]

제 [eqn: 10]행의 직사각형에 적힌 모든 수의 합은 첫째항이 [eqn: 512]이고 공차가 [eqn: 10]인 등차수열의 첫째항부터 제 [eqn: 10]항까지의 ㅎ바과 같으므로

[eqn: {10times LEFT { 2times512+ LEFT ( 10-1 RIGHT ) times10 RIGHT }} over {2}].

[eqn: = {10times LEFT ( 1024+90 RIGHT )} over {2}]

[eqn: =5570]

(가) 제 [eqn: 1]행의 직사각형에는 [eqn: 1]을 적는다.

(나) 제 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]행의 왼쪽 끝 직사각형에는 제 [eqn: n]행의 왼쪽 끝 직사각형에 적힌 수의 두 배인 수를 적는다.

(다) [eqn: n GEQ 2]일 때, 제 [eqn: n]행은 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: n]인 등차수열이 되도록 적는다.

제 [eqn: 10]행의 [eqn: 10]개의 직사각형에 적힌 모든 수의 합은?

[4점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 5570]	② [eqn: 5580]	③ [eqn: 5590]

④ [eqn: 5600]	⑤ [eqn: 5610]

[세트문항]좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n rm}]이라 하자.

[eqn: y= x^2]

[eqn: y= sqrt n x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rmP_ { it n}]

점 [eqn: rmP _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: y= sqrt n x]와 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ _{itn}`], [eqn: rmR _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OQ _{it n rm} R _{it n rm}]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} {2 S _{n}} over {sqrt {n}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

정답 ③

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm P _{itn} LEFT ( it sqrt {n} ,``n RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]와 수직인
직선의 방정식은 [eqn: y=- {1} over {sqrt {n}} LEFT ( x- sqrt {n} RIGHT ) +n]이므로
[eqn: rmQ _{itn} LEFT ( it LEFT ( n+1 RIGHT ) sqrt {n} ,``0 RIGHT )], [eqn: rm R _{it n rm} LEFT ( 0,``itn+1 RIGHT )]

[eqn: S _{n} = {1} over {2} times` LEFT ( n+1 RIGHT ) sqrt {n} times` LEFT ( n+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{5} {2S _{n}} over {sqrt {n}} = sum _{n=1} ^{5} left{ {2} over {sqrt {n}}` times` {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} sqrt {n}} over {2} right}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{5} ` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}] [eqn: = sum _{n=1} ^{5} LEFT ( n ^{2} +2n+1 RIGHT )]

[eqn: = {5times6times11} over {6} +2times {5times6} over {2} +5][eqn: =90]

[4점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

수열 [eqn: left { a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은

[eqn: a_1 = 36], 계차수열의 일반항이 [eqn: 2n-14]인 수열이다.

[eqn: a_n = 36 + sum _{ k=1} ^{n-1 } LEFT ( 2k-14 RIGHT ) = n^2 - 15n +50]

[eqn: a_n =n ^{2} -15n+50=6]

[eqn: n^2 -15n +44 = 0]

[eqn: LEFT ( n-4 RIGHT ) LEFT ( n-11 RIGHT )=0]

[eqn: therefore] [eqn: n=4] 또는 [eqn: n=11]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 15]

(가) [eqn: a_1 = 36]

(나) [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n-14] ([eqn: n ge1])

[eqn: a_n = 6]일 때, 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[4점][2015년 4월 경기]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 123]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

(가)에서 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]

(나)에서 [eqn: n ge 3]인 자연수에 대하여
[eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n-2}]와 [eqn: a _{n-1}]의 합을 [eqn: 4]로 나눈 나머지이므로

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{3} =3], [eqn: a _{4} =1], [eqn: a _{5} =0], [eqn: a _{6} =1],

[eqn: a _{7} =1], [eqn: a _{8} =2], [eqn: CDOTS `]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =8], [eqn: a _{n+6} =a _{n}]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{6n} a _{k} =8n`]

[eqn: n=20]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{120} a _{k} =160]

[eqn: a _{121} =a_1 = 1], [eqn: a _{122} =a_2 = 2], [eqn: a _{123} =a_3 = 3]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}= 160+1+2+3= sum _{k=1} ^{120} a _{k} +a _{121} +a _{122} +a _{123}]

따라서 [eqn: m=123]

(가) [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]

(나) [eqn: a_n]은 [eqn: a _{n-2}]와 [eqn: a _{n-1`}]의 합을 [eqn: 4]로 나눈 나머지 ([eqn: n ge 3])

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = 166]일 때, [eqn: m]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 4월 경기]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =3]이고,

정답 [eqn: 235]

[출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 추론하기

[eqn: a _{1} =3]

[eqn: a _{2} = {3+93} over {2} =48]

[eqn: a _{3} = {48} over {2} =24]

[eqn: a _{4} = {24} over {2} =12]

[eqn: a _{5} = {12} over {2} =6]

[eqn: a _{6} = {6} over {2} =3]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{k} =3]을 만족시키는 [eqn: 50]이하의 모든 자연수 [eqn: k]는

[eqn: 1], [eqn: 6], [eqn: 11], [eqn: 16], [eqn: CDOTS], [eqn: 46]

따라서 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: sum _{m=1} ^{10} LEFT ( 5m-4 RIGHT ) `=5 TIMES {10 TIMES LEFT ( 10+1 RIGHT )} over {2} -4 TIMES 10]

[eqn: =235]

([eqn: a_n]은 짝수)

([eqn: a_n]은 홀수)

[eqn: a _{n+1} = {cases{` {a _{n}} over {2}&#` {a _{n} +93} over {2}&}}]

성립한다. [eqn: a _{k} =3]을 만족시키는 [eqn: 50] 이하의 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

[4점][2015년 4월 경기]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 13 ^{n} -23 ^{2n} +33 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{2015} `a _{k} `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 13 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같고, [eqn: 23 ^{2n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{2n} ,] 즉 [eqn: 9 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다. 또, [eqn: 33 ^{3n} `]의 일의 자리의 수자는 [eqn: 3 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자와 같고, [eqn: 3 ^{3n} =27 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다.

따라서 [eqn: 13 ^{n} -23 ^{2n} +33 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{n} -9 ^{n} +7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다.

[eqn: 3 ^{1} =3,~3 ^{2} =9,~3 ^{3} =27,~3 ^{4} =81,~3 ^{5} =243,`` CDOTS `]

이므로 [eqn: 3 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3,~9,~7,~1`]이 반복된다.

[eqn: 9 ^{1} =9,~9 ^{2} =81,~9 ^{3} =729,~9 ^{4} =6561,~9 ^{5} =59049,`` CDOTS `]

이므로 [eqn: 9 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 9,~1`]이 반복된다.

[eqn: 7 ^{1} =7,~7 ^{2} =49,~7 ^{3} =343,~7 ^{4} =2401,~7 ^{5} =16807,`` CDOTS]

이므로 [eqn: 7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 7,~9,~3,~1`]이 반복된다.

이 때,

[eqn: 3-9+7=1]

[eqn: 9-1+9=17]

[eqn: 7-9+3=1]

[eqn: 1-1+1=1]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =1,~a _{2} =7,~a _{3} =1,~a _{4} =1`]이 반복되어 나타나고, [eqn: 2015=4 TIMES 503+3`]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{2015} `a _{k} = LEFT ( 1+7+1+1 RIGHT ) TIMES 503+ LEFT ( 1+7+1 RIGHT ) =5039]

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 5031]	② [eqn: 5033]	③ [eqn: 5035]

④ [eqn: 5037]	⑤ [eqn: 5039]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} =n ^{2} +3n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 급수의 성질 이해하기

[eqn: a _{1} =4], [eqn: {a _{n}} over {n} = sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} - sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} =2n+2`(`n` GEQ `2)`]

그러므로 [eqn: a _{n} =2n ^{2} +2n``][eqn: (`n` GEQ 1`)]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {``` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {a _{k}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {k(k+1)} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { ` {1} over {2} LEFT ( ` {1} over {1} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {a _{n}} `= {1} over {2}]

[4점][2015년 9월 인천]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

두 집합

정답 256

[출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

집합 [eqn: A`]의 원소 중에서 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가
[eqn: 1]인 항을 작은 수부터 차례로 나열하면

[eqn: 4,``16,``64,`256,` CDOTS]

따라서 [eqn: a _{4} `=`256]

(별해)

[eqn: 2 ^{n} =3m-2], [eqn: 2(2 ^{n-1} +1)=3m]

[eqn: LEFT ( 2 ^{n-1} +1 RIGHT )]이 [eqn: 3]의 배수가 되어야 하므로

[eqn: n-1=2k-1] [eqn: (`k=1,`2,`3,` CDOTS `)], [eqn: n=2k]

[eqn: "{"a _{n} "}"`:] [eqn: 2 ^{2} ,``2 ^{4} ,``2 ^{6} ,``2 ^{8} ,`` CDOTS]

따라서 [eqn: a _{4} `=`256]

[eqn: A= LEFT { `2 ^{`l} ` RIGHT | `][eqn: l`]은 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { `3m-2` RIGHT | `m`]은 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]

에 대하여 집합 [eqn: A`smallinterB`]의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열하여 만든 수열을 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]이라 하자. [eqn: a _{4} `]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 9월 인천]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 곡선 [eqn: y= sqrt {`3`x}], [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm} `], [eqn: rm B _{it n rm}]이라 하고 삼각형 [eqn: rm A _{itn rm} rm `B _{it n rm} rm `B _{it n+1 rm}]의 넓이를 [eqn: S _{itn}]이라 하자.

정답 5

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm `A _{it `n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {3n} RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {n} RIGHT ) ``]이므로

[eqn: rm {bar{A _{it `n rm} B _{it n rm}}} _{it rm} = it sqrt {3n} - sqrt {n} = sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]

[eqn: S _{it n rm } = {sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( S _{n+1} -S _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {n+1} - sqrt {n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ){{sqrt {n}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}} `][eqn: = {sqrt {3} -1} over {4}]

이므로 [eqn: a=- {1} over {4}], [eqn: `b= {1} over {4}]

따라서 [eqn: 40 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =5]

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {sqrt {n} LEFT ( `S _{n+1} -S _{n} ` RIGHT )} =a+b sqrt {3} `]일 때, [eqn: 40 LEFT ( `a ^{2} +b ^{2} ` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[4점][2015년 9월 인천]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,

정답 ⑤

[eqn: S_1 =2 `]이고 [eqn: S_n+2 =S_n +2]이므로 수열 [eqn: LEFT { S_2n-1 RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: S_2n-1 =2+(n-1)times 2 =2n]

[eqn: S_2 =1]이고 [eqn: S_n+2 = S_n +2]이므로 수열 [eqn: LEFT { S_2n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: S_2n =1+(n-1)times 2 =2n-1]

즉, [eqn: a_1 =S_1 =2]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_2n+1 =S_2n+1 -S_2n]

[eqn: =S_2(n+1)-1 -S_2n]

[eqn: =2(n+1)-(2n-1)=3]

[eqn: a_2n = S_2n -S_2n-1 =(2n-1)-2n =-1]

이 성립한다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 각 항을 차례로 나열하면

[eqn: 2,``-1,``3,``-1,``3,``-1,``3,`` CDOTS]

이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 20} LEFT | a_k RIGHT |][eqn: =2+1+3+1+3+1+ CDOTS+1]

[eqn: =2+1times10+3 times 9=39]

[eqn: S_1 =2,``S_2 =1,``S_n+2 =S_n +2] [eqn: (n=1,``2,``3,`` CDOTS)]

이다. [eqn: sum _{ k=1} ^{ 20} LEFT | a_k RIGHT |]의 값은?

[4점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[eqn: a_1 `,```a_2`,``` CDOTS`,```a_n]은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]의 값을 가진다.	[eqn: a_1 `+`a_2`+` CDOTS`+``a_n = 2```(n GEQ 2 )]일 때, [eqn: sum _{ i=1} ^{n }a_i` 2^i-1]의 꼴로 나타내어지는 수 전체의 집합을 [eqn: A_n]이라 하자. 예를 들어	[eqn: A_3 = LEFT { 1+1·2+0·2^2`,``` 1+0·2+1·2^2`,``` 0+1·2+1·2^2` RIGHT }]

정답 [eqn: 10]

[eqn: A_2 = LEFT { 1+1·2` RIGHT }]

[eqn: A_3 = LEFT { 1+1·2+0·2^2`,``` 1+0·2+1·2^2`,``` 0+1·2+1·2^2` RIGHT }]

[eqn: A_4 = LEFT { 1+1·2+0·2^2`+0·2^3 ,``` 1+0·2+1·2^2`+0·2^3 ,`]

[eqn: 1+` 0·2+0·2^2 +1·2^3`, ```0+` 1·2+1·2^2 +0·2^3`,]

[eqn: 0+` 1·2+0·2^2 +1·2^3`, ```0+` 0·2+1·2^2 +1·2^3` RIGHT }]

이므로

[eqn: S_2 =1(1+2)]

[eqn: S_3 =2(1+2+2^2 )]

[eqn: S_4 =3(1+2+2^2 +2^3 )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S_n =(n-1)(1+2+2^2 +` CDOTS`+2^n-1 )]

[eqn: =(n-1) { 1·(2^n -1)} over {2-1 } =(n-1)(2^n -1)]

그런데

[eqn: S_9 =8(2^9 -1) =2^12 -8 < 2^12]

[eqn: S _{10} =9(2 ^{10} -1)=9·2 ^{10} -9>8·2 ^{10} =2 ^{12}]

이므로 [eqn: S_n > 2^12]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 10]

[eqn: =LEFT { 3`,```5`,```6 RIGHT }]이다.

집합 [eqn: A_n]의 모든 원소들의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n > 2^12]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[4점][2015년 9월 대성]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 분수를 [eqn: 1 over k], [eqn: 2 over k], [eqn: 3 over k], [eqn: cdots], [eqn: k-1 over k], [eqn: k over k] [eqn: (k=1,```2,```3,`cdots)]의 순서로 나열한 수열이다.

정답 ⑤

수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 각 항을 나열하면

[eqn: {1} over {3},``{1} over {4},`` {1} over {5},``{2} over {5},`` {1} over {6},``{2} over {6},`` {1} over {7},``{2} over {7},``{3} over {7},`` {1} over {8},``{2} over {8},``{3} over {8}, `CDOTS]

이다. 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]은

(ⅰ) 분모가 홀수일 때

[eqn: { 1 } over {2k+1},`` { 2 } over {2k+1},`` { 3 } over {2k+1}, `cdots`,`` { k } over {2k+1}][eqn: (k=1,```2,```3,` CDOTS )]

(ⅱ) 분모가 짝수일 때

[eqn: { 1 } over {2k+2},`` { 2 } over {2k+2},`` { 3 } over {2k+2}, `cdots`,`` { k } over {2k+2}][eqn: (k=1,```2,```3,` CDOTS )]

을 차례로 나타낸 수열이다.

즉, 분모가 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: cdots]인 항의 수가

각각 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: cdots]이다.

따라서 분모가 [eqn: 2k+1]일 때까지의 항의 수는

[eqn: 2(1+2+3+`cdots`+k-1)+k =k(k-1)+k = k^2]

[eqn: k^2 =100]에서 [eqn: k=10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b_100 = 10 over 21]

[eqn: LEFT { a_n RIGHT }]: [eqn: {1} over {1},``{1} over {2},``{2} over {2},`` {1} over {3},``{2} over {3},``{3} over {3},`` {1} over {4},``{2} over {4},``{3} over {4},``{4} over {4},`` {1} over {5},`CDOTS]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 각 항 중 그 값이 [eqn: 1 OVER 2] 이상인 항을 모두 삭제하고, 남아 있는 항을 나열한 수열을 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]이라 하자. 즉,

[eqn: LEFT { b_n RIGHT }]: [eqn: {1} over {3},`` {1} over {4},`` {1} over {5},`` {2} over {5},`CDOTS]

이때 [eqn: b_100]의 값은?

[4점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 5 over 11]	② [eqn: 5 over 14]	③ [eqn: 7 over 17]

④ [eqn: 9 over 19]	⑤ [eqn: 10 over 21]

모든 항이 양수이고, 공비가 [eqn: 1]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

정답 [eqn: 25]

이해능력 - 수열

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a,]공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{19}]는 첫째항이 [eqn: a]이고 공비가 [eqn: r ^{2}]인 등비수열의 제[eqn: 10]항까지의 합이므로

[eqn: A`=` {a LEFT ( r ^{20} -1 RIGHT )} over {r ^{2} -1}]

[eqn: {1} over {a _{2}} `+ {1} over {a _{4}} `+ {1} over {a _{6}} `+ CDOTS `+ {1} over {a _{20}} `]은 첫째항이 [eqn: {1} over {ar}]이고 공비가 [eqn: {1} over {r ^{2}}]인 등비수열의 제[eqn: 10]항까지의 합이므로

[eqn: B`=` {{1} over {ar} LEFT ( 1- {1} over {r ^{20}} RIGHT )} over {1- {1} over {r ^{2}}}][eqn: `=` {{1} over {ar ^{21}} LEFT ( r ^{20} -1 RIGHT )} over {{1} over {r ^{2}} LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )}][eqn: `=` {r ^{20} -1} over {ar ^{19} LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )}]

[eqn: A:B``=`5:4]에서 [eqn: {B} over {A} `=` {4} over {5}]이므로

[eqn: {B} over {A} `=` {{r ^{20} -1} over {ar ^{19} LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )}} over {{a LEFT ( r ^{20} -1 RIGHT )} over {r ^{2} -1}}][eqn: =` {1} over {a ^{2} r ^{19} `} `=` {4} over {5}]

[eqn: THEREFORE `a ^{2} r ^{19} `=` {5} over {4}]  이때,

[eqn: a _{1} a _{20} `=`a TIMES ar ^{19} `=`a ^{2} r ^{19}]

[eqn: a _{2} a _{19} `=`ar TIMES ar ^{18} `=`a ^{2} r ^{19}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: a _{20} a _{1} `=`ar ^{19} TIMES a`=`a ^{2} r ^{19}]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{20} a _{k} a _{21-k} `=` {5} over {4} TIMES 20`=`25]

[eqn: A`=`a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{19}], [eqn: B`=` {1} over {a _{2}} `+` {1} over {a _{4}} + {1} over {a _{6}} + CDOTS + {1} over {a _{20}}]

이라 하자. [eqn: A:B`=`5:4`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} a _{21-k}]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 고2 10월 중앙]

첫째항이 [eqn: 6]이고 공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a _{n} +a _{n+2} RIGHT ) x-a _{n+1} =0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha _{n}] , [eqn: beta _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( alpha _{n} +1 RIGHT ) LEFT ( beta _{n} +1 RIGHT ) =180]일 때, [eqn: a _{11}]의 값을
구하시오.

정답 [eqn: 26]

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha_n] , [eqn: beta_n]
이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =a _{n} +a _{n+2} =2a _{n+1}] , [eqn: alpha_n beta_n =`-a_n+1]

[eqn: sum_n=1^10 {left( alpha_n +1 right) left(beta_n +1 right) }][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( alpha _{n} beta _{n} + alpha _{n} + beta _{n} +1 RIGHT )]                         [eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( -a _{n+1} +2a _{n+1} +1 RIGHT )]
[eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( a _{n+1} +1 RIGHT ) =180]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=180] [eqn: CDOTS CDOTS㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: a_1 `]을 더하면
[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=a _{1} +180]
[eqn: {11 TIMES LEFT ( a _{1} +a _{11} RIGHT )} over {2} = {11 TIMES LEFT ( 6+a _{11} RIGHT )} over {2} =6+170]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{11} =26]

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}],
[eqn: y=`- sqrt {x} +n]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 300]

[출제의도] 수열의 합 추론하기

함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -n ^{2}]만큼 평행이동한 것이고,
함수 [eqn: y=`- sqrt {x} +n]의 그래프는 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이므로
두 함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부
또는 그 경계는 <그림1>과 같다.

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

<그림1>

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

[eqn: ㉠]

[eqn: ㉡]

[eqn: ㉢]

<그림2>

이 때, 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한
후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n ^{2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼
평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인
영역 [eqn: ㉠]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=n ^{2}],
[eqn: y=n`]으로 둘러싸인 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수와 같다.

그러므로 영역 [eqn: ㉠]과 영역 [eqn: ㉡]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수는 영역 [eqn: ㉡]과 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와
[eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

[eqn: x]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: CDOTS], [eqn: n ^{2}] 이므로 [eqn: LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]개

[eqn: y]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: n] 이므로 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} = LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( n +1 RIGHT ) =n ^{3} +n ^{2} +n+1]

따라서
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} = sum _{n=1} ^{5} LEFT ( n ^{3} +n ^{2} +n+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} RIGHT ) + LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) +5]

[eqn: =300]

[다른 풀이]

<그림1>에서 [eqn: y]의 값에 대한 점의 개수는 아래의
표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: y=0]	[eqn: y=1]	[eqn: y=2]	[eqn: y=3]	[eqn: y=4]	[eqn: y=5]	합
[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]					[eqn: 4]
[eqn: 2]	[eqn: 9]	[eqn: 5]	[eqn: 1]				[eqn: 15]
[eqn: 3]	[eqn: 19]	[eqn: 13]	[eqn: 7]	[eqn: 1]			[eqn: 40]
[eqn: 4]	[eqn: 33]	[eqn: 25]	[eqn: 17]	[eqn: 9]	[eqn: 1]		[eqn: 85]
[eqn: 5]	[eqn: 51]	[eqn: 41]	[eqn: 31]	[eqn: 21]	[eqn: 11]	[eqn: 1]	[eqn: 156]

[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} =4+15+40+85+156=300]

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{4} =7 `]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]의 값은?

정답  ①

[출제의도] 수열의 규칙을 추론하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: 1 LEQ n LEQ 15`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개

[eqn: 16 LEQ n LEQ 30`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개

[eqn: VDOTS `]

[eqn: 15(k-1)+1 LEQ n LEQ 15k`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개 ([eqn: k=1,`2,`3`,` CDOTS `])

[eqn: a _{16} `]은 [eqn: 16 LEQ n LEQ 30`]을 만족시키는 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: n] 중 가장 큰 수이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지 자연수 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수들의 합이다.

[eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지 자연수 중에는 [eqn: 10`]개의 [eqn: 3`]의 배수, [eqn: 6`]개의 [eqn: 5`]의 배수, [eqn: 2`]개의 [eqn: 15`]의 배수가 있다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `][eqn: = sum _{n=1} ^{30} n- sum _{n=1} ^{10} 3n- sum _{n=1} ^{6} 5n+ sum _{n=1} ^{2} 15n`]

[eqn: =240`]

[다른 풀이]

[eqn: a _{1`][eqn: }=1 `], [eqn: a _{2}`][eqn: =2`], [eqn: a _{3}`][eqn: =4`], [eqn: a _{4}`][eqn: =7 `], [eqn: a _{5}`][eqn: =8 `], [eqn: a _{6}`][eqn: =11 `], [eqn: a _{7} `][eqn: =13 `], [eqn: a _{8}`][eqn: =14 `]이고

[eqn: k`]([eqn: k`][eqn: =1,`2,`3,`cdots`,14`])가 [eqn: 15`]와 서로소이면 [eqn: 15+k`]도 [eqn: 15`]와 서로소이므로

[eqn: a _{9} `][eqn: = a_1 + 15 `], [eqn: a _{10} `][eqn: = a_2 + 15`], [eqn: cdots`], [eqn: a _{16} `][eqn: = a_8 + 15 `]

[eqn: sum_n=1 ^8 a_n `][eqn: = 1+2+4+7+8+11+13+14 `][eqn: = 60`]

[eqn: sum_n=1 ^16 a_n `][eqn: = sum _{n=1} ^{8} a _{n} + sum _{n=9} ^{16} a _{n}`]

[eqn: = 2sum_n=1 ^8 a_n + 15 times 8 `]

[eqn: = 2 times 60 + 120`]

[eqn: =240`]

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

집합 [eqn: U=` LEFT { ``x`|`x`는~ 30 ~이하의~자연수` RIGHT }`]의 부분집합

정답  [eqn: 184]

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 수열의 규칙을 추론하여 수열의 합을 구한다.

조건 (가)에서 두 원소의 합이 31이 아니므로 집합 [eqn: A`]에 속하지 않는 원소는 [eqn: 31-a _{i} `]([eqn: 1 le i le 15])이다.

그러므로 [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2}`]과 [eqn: sum _{i=1} ^{15} LEFT ( 31-a _{`i} RIGHT ) ^{2} `]의 합은 집합 [eqn: U`]의 모든 원소의 제곱의 합과 같다.

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + sum_i=1 ^15 left( 31- a_{`i} right)^2 `][eqn: = sum _{i=1} ^{30} `i^{`2}]

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + sum_i=1 ^15 31^2 - 62 sum_i=1 ^15 a_i + sum_i=1 ^15 a_{`i} ^2 `][eqn: = {30 times31times61}over6]

조건 (나)에 의해

[eqn: 2sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + 15 times 31^2 - 62 times264 `][eqn: = {5 times31times61}`]

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} `][eqn: = 1over2 LEFT( {5 times31times61}-15 times 31^2 + 62 times264 RIGHT)]

[eqn: = 31 over2 LEFT( {5 times61}-15 times 31 + 2 times264 RIGHT)]

[eqn: = 31 over2 LEFT(- {5 times32}+ 2 times264 RIGHT)]

[eqn: =31 times184]

따라서 [eqn: 1over31 sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} `][eqn: =184`]

[참고]

두 원소의 합이 [eqn: 31`]이 되는 쌍은 [eqn: (1,~30)`], [eqn: (2,~29)`], [eqn: cdots] , [eqn: (15,~16)`]이므로 집합 [eqn: A`]는 각 순서쌍에서  원소를 하나씩 택하여 얻을 수 있다. 이와 같은 방법으로 찾은 집합 [eqn: A`]의 여러 예 중 하나는 다음과 같다.

[eqn: LEFT{5,``7,``9,``10,``11,``12,``14,``16,``18,``23,``25,``27,``28,``29,``30 RIGHT }`]

[eqn: A= left{a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~cdots~,~a_15 right}]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A `]의 임의의 두 원소 [eqn: a_{`i}], [eqn: a_{`j}]([eqn: i ne j])에 대하여 [eqn: a_{`i} +a_{`j} !=31]

(나) [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{`i} =264]

[eqn: 1 over {31}sum _{i=1} ^{15} {`a _{`i} ^{``2}}]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~2]]에서 [eqn: f(x)=|`x-1`|`]이고,
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)`]를 만족시킬 때,
함수 [eqn: g(x)]를

정답  [eqn: 427]

[출제의도] 주어진 함수의 그래프와 조건을 이해하여 수열의 합을 추측한다.

닫힌 구간 [eqn: [`0,~2]]에서 함수 [eqn: g(x)=x+f(x)]는

[eqn: g(x)= {cases{1&````(0 LEQ x<1)#2x-1&````(1 LEQ x LEQ 2)}}]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x+2)=(x+2)+f(x+2)]

[eqn: =x+2+f(x)]

[eqn: =g(x)+2]

이므로 제[eqn: 1]사분면에서 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때 [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이므로 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는 그림에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점으로 나타내어진다. 또, [eqn: a=n`]일 때 주어진 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]의 개수는 [eqn: g(n)`]과 같다. 따라서

[eqn: a _{1} =g(1)+g(2)+g(3)=1+3+3=7],

[eqn: a _{2} =g(2)+g(3)+g(4)=3+3+5=11],

[eqn: a _{3} =g(3)+g(4)+g(5)=3+5+5=13],

[eqn: a _{4} =g(4)+g(5)+g(6)=5+5+7=17],

[eqn: a _{5} =g(5)+g(6)+g(7)=5+7+7=19],

[eqn: a _{6} =g(6)+g(7)+g(8)=7+7+9=23],

[eqn: a _{7} =g(7)+g(8)+g(9)=7+9+9=25],

[eqn: a _{8} =g(8)+g(9)+g(10)=9+9+11=29]

[eqn: VDOTS]

여기서

[eqn: a _{3} -a _{1} =a _{5} -a _{3} =a _{7} -a _{5} =` CDOTS `=6],

[eqn: a _{4} -a _{2} =a _{6} -a _{4} =a _{8} -a _{6} =` CDOTS `=6]

이므로

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{2n-1} `]과 [eqn: a _{2n} `]을 추론하면

[eqn: a _{2n-1} `=a _{1} +6(n-1)=7+6(n-1)=6n+1]

[eqn: a _{2n} `=a _{2} +6(n-1)=11+6(n-1)=6n+5]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n}][eqn: =sum _{n=1} ^{8} a _{2n-1} + sum _{n=1} ^{7} a _{2n}]

[eqn: =sum _{n=1} ^{8} (6n+1)+ sum _{n=1} ^{7} (6n+5)]

[eqn: =LEFT ( 6 TIMES {8 TIMES 9} over {2} +1 TIMES 8 RIGHT ) +LEFT ( 6 TIMES {7 TIMES 8} over {2} +5 TIMES 7 RIGHT )]

[eqn: =427]

[eqn: g(x)=x+f(x)]

라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a,``b`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)`]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n} `]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

(가) [eqn: n le a le n+2`]

(나) [eqn: 0`<b` LEQ `g(a)]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여

정답 [eqn: 84]

[eqn: a_n] [eqn: = {1} over {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} = {sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1}} over {(2n+1)-(2n-1)}]

[eqn: = {1} over {2} ( sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1} )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_1 +a_2 +a_3 + `cdots` +a_k]

[eqn: = 1 over 2 left {(root3 - root1 )+( root5 - root3 )+( root7 - root5 )+ `cdots]

[eqn: LEFT . +( sqrt {2k+1} - sqrt {2k-1} ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} ( sqrt {2k+1} -1)=6]

[eqn: root 2k+1 =13], [eqn: 2k+1=169]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=84]

[eqn: a _{n} = {1} over {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}}][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)]일 때,

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{k} =6]

을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 10월 종로]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta~ LEFT ( alpha<beta RIGHT )]라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을
[eqn: a _{1} =alpha,~a _{2} =beta,~a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n} ~ LEFT ( n=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT )]
으로 정의한다. 이때 [eqn: a _{100} ` ^{2} +a _{101} ` ^{2}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha+beta=6,~alphabeta=3]

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n}]에 [eqn: n=1,~2,~3,~ CDOTS]을 차례대로 대입하면

[eqn: a _{1} =alpha]

[eqn: a _{2} =beta]

[eqn: a _{3} =beta-alpha]

[eqn: a _{4} =-alpha]

[eqn: a _{5} =-beta]

[eqn: a _{6} =alpha-beta]

[eqn: a _{7} =alpha]

[eqn: a _{8} =beta]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: a _{n+6} =a _{n} ~ LEFT ( n=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT )]임을 알 수 있다.

[eqn: 100=6times16+4,~101=6times16+5]

[eqn: therefore~a _{100} =a _{4} =-alpha,~a _{101} =a _{5} =-beta]

[eqn: a _{100} ` ^{2} +a _{101} ` ^{2} = LEFT ( -alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -beta RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{2} -2alphabeta]

[eqn: =36-6=30]

[다른 풀이]

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n}]이므로 [eqn: a _{n+2} -a _{n+1} =-a _{n}]

[eqn: therefore~a _{n+3} =a _{n+2} -a _{n+1} =-a _{n}]

[eqn: therefore~a _{n+6} =a _{n} ~ LEFT ( n=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT )]

[4점][2015년 10월 종로]

그림과 같이 평면에 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 무수히 많이 이어 붙였다. 이때, 이웃한 두 정사각형 모양의 타일은 한 변을 공유한다. 그림과 같이 [eqn: 2]개의 타일에 색이 칠해져 있고, 다음 단계에 따라 타일에 계속하여 색을 칠한다.

정답 ①

[[eqn: n]단계]에서 새로 색칠되는 타일의 개수를 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: a_1 = 8], [eqn: a_2 =10]    …… ㉠

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때, [([eqn: n+1]단계)]에서 새로 색칠되는 타일은 [[eqn: n]단계]에서 새로 색칠된 타일보다 [eqn: 2]개가 더 많으므로
[eqn: a_2k = a_2k-1 +2] [eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)] …… ㉡

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때, [([eqn: n+1]단계)]에서 새로 색칠되는 타일은 [[eqn: n]단계]에서 새로 색칠된 타일보다 [eqn: 6]개가 더 많으므로
[eqn: a_2k+1 = a_2k + 6] [eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)] …… ㉢
㉡, ㉢에서
[eqn: a_2k+1 = a_2k-1 + 8], [eqn: a_2k+2 = a_2k +8] [eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)]이므로 [eqn: a_n+2 = a_n +8] [eqn: (n ge 1)]

따라서 [[eqn: 7]단계]까지 타일에 색을 칠했을 때, 색칠된 타일의 총 개수는

[eqn: 2+ a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_7]

[eqn: = 2+(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 )+(a_2 + a_4 + a_6 )]

[eqn: = 2 + {4(2 times8 + 24) }over 2 + {3(2 times 10 + 16)}over 2]([eqn: because]㉠)

[eqn: = 2 + 80 + 54 = 136]

[[eqn: 1]단계] 색이 칠해져 있는 두 개의 타일과 꼭짓점은 공유하고 변은 공유하지 않는 타일에 각각 색을 칠한다.

[[eqn: n]단계] [[eqn: (n-1)]단계]까지 색칠된 타일 중 적어도 하나의 타일과 꼭짓점은 공유하고 [[eqn: (n-1)]단계]까지 색칠된 타일 중 어느 것과도 변은 공유하지 않는 타일에 각각 색을 칠한다.

다음은 위의 단계에 따라 타일에 색을 칠했을 때, [[eqn: 1]단계], [[eqn: 2]단계]의 결과를 나타낸 것이다.

이와 같은 방법으로 [[eqn: 7]단계]까지 타일에 색을 칠했을 때, 색칠된 타일의 총 개수는?

[4점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 136]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 142]	⑤ [eqn: 144]

[세트문항] 최고차항의 계수가 [eqn: 4`]이고 두 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( a,~0 RIGHT ) `][eqn: LEFT ( a<0 RIGHT ) `]을 지나는 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

다음의 물음에 답하시오.

[eqn: a=-1`]일 때, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 [eqn: x`]축 및 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{it n, rm} ~B _{it n rm} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{9} {1} over {a _{n}} `]의 값은?

정답 ➀

[eqn: a=-1`]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x LEFT ( x+1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: rmA _{itn} LEFT ( itn,~0 RIGHT ) ,~rmB _{itn} LEFT (it n,~4n LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: a _{n} = bar{rm A _{it n rm} B _{it n rm} it} =4n LEFT ( n+1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{9} {1} over {a _{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{9} {1} over {4n LEFT ( n+1 RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {4} sum _{n=1} ^{9} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `]
[eqn: = {1} over {4} LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {9} - {1} over {10} RIGHT ) RIGHT } `]
[eqn: = {1} over {4} LEFT ( {1} over {1} - {1} over {10} RIGHT ) = {9} over {40} `]

[4점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 9 over 40]	② [eqn: 19 over 80]	③ [eqn: 1over 4]
④ [eqn: 21over 80]	⑤ [eqn: 11over 40]

그림은 [eqn: x`>`-1``]인 범위에서 두 유리함수 [eqn: y= 1 over x+1 ,``][eqn: y= 1 over x+2 ``]의 그래프를 나타낸 것이다. 곡선 [eqn: y= 1 over x+2 ``]과 [eqn: y``]축의 교점을 [eqn: P_1 ``]이라 하고, 점 [eqn: P_1 ``]을 지나고 [eqn: y``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y= 1 over x+1 ``]과 만나는 점을 [eqn: Q_1 ``]이라 하자. 점 [eqn: Q_1 ``]을 지나고 [eqn: x``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y= 1 over x+2 ``]과 만나는 점을 [eqn: P_2 ``]라 하고, 점 [eqn: P_2 ``]를 지나고 [eqn: y``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y= 1 over x+1 ``]과 만나는 점을 [eqn: Q_2 ``]라 하자.

정답 ⑤

[eqn: y= 1 over x+1 ``]의 그래프는 [eqn: y= 1 over x+2 ``]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: 1``]만큼 평행이동한 것이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: bar{P_n `Q_n} =1``]이다.

따라서 점 [eqn: Q_n ``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: n``]이므로

[eqn: bar{Q_n `P_n+1} = 1 over n+1 - 1 over n+2]

[eqn: THEREFORE```` sum _{ n=1} ^{ 10} l_n = sum _{ n=1} ^{10 } left(1+ 1 over n+1 - 1 over n+2 right)]

[eqn: =10+ sum _{ n=1} ^{10 } left( 1 over n+1 - 1 over n+2 right)]

[eqn: =10+ left( 1 over 2 - 1 over 3 right)+left( 1 over 3 - 1 over 4 right)+`` CDOTS``+left( 1 over 11 - 1 over 12 right)]

[eqn: =10 + 1 over 2 - 1 over 12 = 125 over 12]

이와 같은 방법으로 점 [eqn: P_3,``Q_3 ,``P_4 ,``Q_4 ,`` CDOTS,``P_n ,``Q_n ,`` CDOTS``]을 정할 때, [eqn: bar{P_n Q_n } +bar{Q_n P_n+1} =l_n ``]이라 하자. [eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}l_n ``]의 값은?

[4점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 39 over 4]             ② [eqn: 119 over 12]             ③ [eqn: 121 over 12]

④ [eqn: 41 over 4]             ⑤ [eqn: 125 over 12]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: x=2n-1`]과 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `+1`], [eqn: y= { 1} over {x+2 }`]의 교점을 각각 [eqn: rmP _{itn`}], [eqn: rmQ _{itn`}]이라 하고,

정답 169

[출제의도] 여러 가지 수열의 성질을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: \P_{itn]

[eqn: rm Q _{itn}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm Q _{itn+1}]

[eqn: y= {1} over {x} +1]

[eqn: y= {1} over {x+2}]

[eqn: x=2n-1]

[eqn: x=2n+1]

[eqn: rm P' _{it n rm}]

[eqn: rm P' _{it n+1 rm}]

[eqn: x=2n-1`]과 [eqn: x=2n+1`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을

각각 [eqn: rm P' _{it n rm}], [eqn: rm P' _{it n+1 rm}]라 하자.

[eqn: S _{n} = {1} over {2} {bar{rm P _{it n rm} Q _{it n rm} ` it}} TIMES {bar{rm P' _{it n rm} P' _{it n+1 rm} it}}]

[eqn: =` LEFT ( {1} over {2n-1} `-` {1} over {2n+1} RIGHT ) +1`]

[eqn: sum _{n=1} ^{8} S _{n} = sum _{n=1} ^{8} LEFT ( {1} over {2n-1} `-` {1} over {2n+1} RIGHT ) +8`]

[eqn: = LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {15} - {1} over {17} RIGHT ) +8`]

[eqn: =1- {1} over {17} +8= {152} over {17}]

[eqn: therefore`][eqn: p+q=17+152=169`]

직선 [eqn: x=2n+1`]과 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `+1`], [eqn: y= { 1} over {x+2 }`]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{it n` rm +1}], [eqn: rm Q _{it n` rm +1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{it `n rm} `Q _{it n rm} `P _{it `n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{it `n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} S _{n} = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014년 고2 6월부산]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: \P_{ITn]

[eqn: rm Q _{ITn}]

[eqn: rm P _{ITn+1}]

[eqn: rm Q _{IT n+1}]

[eqn: y= {1} over {x} +1]

[eqn: y= {1} over {x+2}]

[eqn: x=2n-1]

[eqn: x=2n+1]

[세트문항] 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 직선 [eqn: {bold{x=n`}} `]이 무리함수 [eqn: {bold{f`(x)=sqrt {2x+2}}} + {bold{3}} `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm boldA _{it n rm}], [eqn: {bold{x}} `]축과 만나는 점을 [eqn: bold rm B _{it n rm}][eqn: rm {bold{B _{it n rm}}} `]이라 하자. (단, [eqn: bold {rmO}`][eqn: boldrm`O`]는 원점이다.)
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `A _{` it `n rm}]

[eqn: rm `B _{it`n}]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=n]

선분 [eqn: rm `A _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무리함수와 수열 문제 해결하기

선분 [eqn: rm `A _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이가 [eqn: sqrt {2n+2} +3`]이므로

[eqn: a _{n} `]은 [eqn: sqrt {2n+2} +3`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.

ⅰ) [eqn: n=1,``2,``3`]인 경우

[eqn: 5 LEQ sqrt {2n+2} +3<6]

이므로 [eqn: a _{n} =5`]이다.

ⅱ) [eqn: n=4,``5,``6`]인 경우

[eqn: 6< sqrt {2n+2} +3<7]

이므로 [eqn: a _{n} =6`]이다.

ⅲ) [eqn: n=7,``8,``9,`10]인 경우

[eqn: 7 LEQ sqrt {2n+2} +3<8]

이므로 [eqn: a _{n} =7`]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =5 TIMES 3+6 TIMES 3+7 TIMES 4=61`]이다.

[4점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

두 수열 [eqn: LEFT { `a`_n` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b` _{n} ` RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: a _{10} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 105]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k= {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} = {n ^{2} +n} over {2} `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} b` _{k} =2 sum _{k=1} ^{n} k= sum _{k=1} ^{n} 2k`]이다. 그러므로 [eqn: b _{k} =2k]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = LEFT { {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT } ^{2} = {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4} `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a` _{k} `-5 RIGHT ) b` _{k} =2 sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = sum _{k=1} ^{n} 2k ^{3} `]이다.

그러므로 [eqn: ` LEFT ( a` _{k} `-5 RIGHT ) b` _{k} =2k ^{3} `]이다.

따라서 [eqn: b _{k} =2k``]이므로 [eqn: `a` _{k} `-5=k ^{2} `]이다.

[eqn: a _{k} =k ^{2} +5`]이므로 [eqn: a _{10} =105`]이다.

[다른 풀이]

수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해서

[eqn: b _{n} = LEFT ( n ^{2} +n RIGHT ) - LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT } `=2n][eqn: (n`ge`2)]

[eqn: b _{1} =1 ^{2} +1=2`]이므로

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: b _{n} =2n`]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a` _{k} `b` _{k} -5 sum _{k=1} ^{n} b` _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{n} (a` _{k} -5)b` _{k} `]이므로

[eqn: (a` _{n} -5)b` _{n} `= {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {2} - {LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} n ^{2}} over {2} =2n ^{3} `][eqn: (n`ge`2)]

[eqn: (a _{1} -5)b _{1} = {1 ^{2} TIMES 2 ^{2}} over {2} =2`]이므로

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: LEFT ( a _{n} -5 RIGHT ) b _{n} =2n ^{3} `]이다.

[eqn: b _{n} =2n`]이므로 [eqn: a _{n} =n ^{2} +5`]이다.

따라서 [eqn: a _{10} =105`]이다.

[4점][2015년 고2 6월 부산]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =n ^{2} +n]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{n} a` _{k} ``b` _{k} -5 sum _{k=1} ^{n} b` _{k} = {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {2} `]

자연수 [eqn: n]에 대하여 원점과 직선 [eqn: nx + root{2n+1}y = n^3 -n] 사이의 거리를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: sum _{ k=2} ^{20 } {1} over {a_k}]의 값은?

정답 ③

점과 직선 사이의 거리 공식에 의하여

[eqn: a_n = {left |` n^3 -n ` right | } over { root{ n^2 + (root{2n+1})^{2}} } = {left |` n^3 -n ` right | } over {root{n^2 +2n +1}}]

[eqn: = {left |` n^3 -n ` right | } over { root{ (n+1)^2 }} = {left |` n(n-1)(n+1) ` right | } over { left |` n+1 ` right |}]

[eqn: = n (n-1) `` ( BECAUSE`` n ge 1 )]

[eqn: THEREFORE`` sum _{ k=2} ^{20 } {1} over {a_k}]

[eqn: = sum _{ k=2} ^{20 } {1} over {(k-1)k} = sum _{ k=2} ^{20 } left( 1 over k-1 - 1 over k right)]

[eqn: = left( 1 over 1 - 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + cdots+ left( 1 over 19 - 1 over 20 right)]

[eqn: = 1 - 1 over 20 = 19 over 20]

[4점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: 9 over 19]	② [eqn: 18 over 19]	③ [eqn: 19 over 20]

④ [eqn: 10 over 21]	⑤ [eqn: 20 over 21]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 집합 [eqn: S _{n}], [eqn: T _{n}]을 다음과 같이 정의하자.

정답 ④

수학 내적 문제 해결 능력-수열

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: S _{n} = LEFT { m|6 LEQ `m` LEQ 9,`m RIGHT .]은 정수}[eqn: = LEFT { 6,~7,~8,~9 RIGHT }]

[eqn: T _{n} = LEFT { m|4 LEQ `m` LEQ 9,`m RIGHT .]은 정수}[eqn: = LEFT { 4,~5,~6,~7,~8,~9 RIGHT }]이므로

[eqn: LEFT ( S _{1} CUP T _{1} RIGHT ) - LEFT ( S _{1} SMALLINTER T _{1} RIGHT ) = LEFT { 4,~5 RIGHT }]

[eqn: thereforea _{1} =4]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: S _{n} = LEFT { m|12 LEQ `m` LEQ 15,`m RIGHT .]은 정수}[eqn: = LEFT { 12,~13,~14,~15 RIGHT }]

[eqn: T _{n} = LEFT { m|12 LEQ `m` LEQ 17,`m RIGHT .]은 정수}[eqn: = LEFT { 12,~13,~14,~15,`~16,~`17 RIGHT }]        이므로

[eqn: LEFT ( S _{2} CUP T _{2} RIGHT ) - LEFT ( S _{2} SMALLINTER T _{2} RIGHT ) = LEFT { 16,~17 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE a _{2} =16]

(ⅲ) [eqn: n geq3]일 때,

[eqn: 2n LEFT ( n+1 RIGHT ) > LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )]이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{14} {1} over {a _{n}} = {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + sum _{n=3} ^{14} {1} over {a _{n}}]

[eqn: = {1} over {4} + {1} over {16} + sum _{n=3} ^{14} {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}]

[eqn: = {5} over {16} + sum _{n=3} ^{14} LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = {5} over {16} + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {16} RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: S _{n} = LEFT { m| LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) LEQ `m` LEQ LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) +3,`m RIGHT .]은 정수}

[eqn: T _{n} = LEFT { m|2n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEQ `m` LEQ 2n LEFT ( n+1 RIGHT ) +5,`m]은 정수}

집합 [eqn: LEFT ( S _{n} CUP T _{n} RIGHT ) - LEFT ( S _{n} SMALLINTER T _{n} RIGHT )]의 원소 중 가장 작은 수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{14} {1} over {a _{n}}]의 값은?

[4점][2015년 5월 비상]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

정답 [eqn: 275]

발견적 추론 능력(추측)-수열

[eqn: rm P _{1} LEFT ( 0,~1 RIGHT )]

점 [eqn: rmP _{2}]는 점 [eqn: rmP _{1}]을 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{2} LEFT ( 0+2,~1+2 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{3}]는 점 [eqn: rmP _{2}]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{3} LEFT ( 0+2,~1+2+2 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{4}]는 점 [eqn: rm P _{3}]을 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 4]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{4} LEFT ( 0+2+4,~1+2+2+4 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{5}]는 점 [eqn: rm P _{4}]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{5} LEFT ( 0+2+4,~1+2+2+4+3 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{6}]는 점 [eqn: rm P _{5}]를 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 6]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{5} LEFT ( 0+2+4+6,~1+2+2+4+3+6 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{7}]는 점 [eqn: rm P _{6}]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{5} LEFT ( 0+2+4+6,~1+2+2+4+3+6+4 RIGHT )]

점 [eqn: rm P _{8}]는 점 [eqn: rm P _{7}]을 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 8]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: rm P _{5} LEFT ( 0+2+4+6+8,~1+2+2+4+3+6+4+8 RIGHT )]

[eqn: cdots]

[eqn: rm P _{20} LEFT ( 0+2+4+6+8+ CDOTS +20,]

[eqn: LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +10 RIGHT ) + LEFT ( 2+4+6+ CDOTS +20 RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: a=2+4+6+8+ CDOTS +20=2times {10times11} over {2} =110]

[eqn: b= LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +10 RIGHT ) + LEFT ( 2+4+6+ CDOTS +20 RIGHT )]

[eqn: = {10 TIMES 11} over {2} +2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =55+110=165]

[eqn: therefore`a+b=275]

(가) 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이다.

(나) 점 [eqn: rmP _{it2n}]은 점 [eqn: rmP _{it2n-1}]을 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2n]만큼

평행이동한 점이다.

(다) 점 [eqn: rmP _{it2n+1}]은 점 [eqn: rmP _{it2n}]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n+1]만큼 평행이동한

점이다.

점 [eqn: rmP _{20}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 5월 비상]

함수 [eqn: f_{n} (x) = (x- a_{n+1}) (x- a_{n})]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{5 }` {f_{n} prime (a_{n+1}) } over {f_{n} (1) }]의 값은?

정답 ③

[eqn: f_{n} prime (x) = (x- a_{n}) + (x- a_{n+1}) = 2x- a_{n+1} - a_{n}]이므로

[eqn: f_{n} prime (a_{n+1} ) = 2a_{n+1} - a_{n+1} - a_{n}]

[eqn: =a_{n+1} - a_{n}]

[eqn: f_{n} (1) = (1- a_{n+1}) (1- a_{n})]

[eqn: sum _{ n=1} ^{5 }` {f_{n} prime (a_{n+1}) } over {f_{n} (1) }]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{5 }` {a_{n+1} - a_{n} } over {(1- a_{n+1}) (1- a_{n}) }]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{5 }` { left({ 1} over {1- a_{n+1}} - {1} over {1- a_{n}} right)}]

[eqn: = left({ 1} over {1- a_{2}} - {1} over {1- a_{1}} right) + left({ 1} over {1- a_{3}} - {1} over {1- a_{2} } right) + cdots+ left({ 1} over {1- a_{6}} - {1} over {1- a_{5}} right)]

[eqn: ={ 1} over {1- a_{6}} - {1} over {1- a_{1}}]

[eqn: ={ 1} over {1- 6 times left(` 1 over 2 ` right)^{5} } - {1} over {1- 6 }]

[eqn: = 16 over 13 + 1 over 5 = {80 + 13} over {65} = 93 over 65]

[4점][2015년 6월 종로]

① [eqn: 7 over 5]	② [eqn: 92 over 65]	③ [eqn: 93 over 65]

④ [eqn: 94 over 65]	⑤ [eqn: 19 over 13]

그림과 같이 제[eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, 제[eqn: 2]행에는 [eqn: 2]개, [eqn: cdots,] 제[eqn: n]행에는 [eqn: n]개의 원을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙에 따라 수를 적는다.

정답 ⑤

[eqn: n]행의 왼쪽에서 첫 번째 원에 적힌 수를 [eqn: a_n]이라 하면 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: 1,~2,~3,~6,~9,~14,~cdots]이고,

[eqn: a _{2} `=`a _{1} `+1# a _{3} `=`a _{2} `+1# a _{4} `=`a _{3} `+3# a _{5} `=`a _{4} `+3# ``````` VDOTS]

[eqn: a _{15} `=1+2(1+3+5+ CDOTS +13)]

[eqn: = 1 + 2 times {7(1+13)} over {2} = 99]

따라서 [eqn: 15]행에 나열된 [eqn: 15]개의 원에 적힌 모든 수의 합은

[eqn: {15(99+99+14times2)} over {2} = 1695]

(가) 제[eqn: 1]행의 원에 [eqn: 1]을 적고 모든 홀수 행에 있는 각 원에 홀수를 크기 순서대로 빠짐없이 적는다.

(나) 제[eqn: 2]행의 첫 번째 원에 [eqn: 2]를 적고 모든 짝수 행에 있는 각 원에 짝수를 크기 순서대로 빠짐없이 적는다.

제[eqn: 15]행에 나열된 [eqn: 15]개의 원에 적힌 모든 수의 합은?

[4점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 1475]	② [eqn: 1540]	③ [eqn: 1585]

④ [eqn: 1650]	⑤ [eqn: 1695]

그림과 같이 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 중심이 [eqn: (n^2 ,```` 0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: n]인 [eqn: 10]개의 원으로 이루어진 도형을 [eqn: F]라 하자. 자연수 [eqn: k]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =k ^{2}]이 도형 [eqn: F]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: a_k]라 하자. 예를 들어 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_2 =1]이다. [eqn: sum _{ k=1} ^{100 }a_k]의 값은?

정답 ②

각 원의 중심의 [eqn: x]좌표가 [eqn: n^2]이고 반지름의 길이가 [eqn: n]이므로

[eqn: a _{k} = {cases{1~&(k=n ^{2} +n)#2&(k != n ^{2} +n)}}]

이때 [eqn: 1 LEQ k LEQ 100]이므로

[eqn: 1 LEQ n ^{2} +n LEQ 100]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n= 1,````2,````3,`cdots,````9]

따라서 [eqn: 1 LEQ k LEQ 100]인 자연수 [eqn: k] 중 [eqn: a_ k =1]인 자연수의 개수는 [eqn: 9]이고, [eqn: a_k =2]인 자연수의 개수는 [eqn: 100 -9 =91]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} =9 TIMES 1+91 TIMES 2=191]

[4점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 189]	② [eqn: 191]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 195]	⑤ [eqn: 197]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 13 ^{n} -23 ^{2n} +33 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{2015} `a _{k} `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 13 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같고, [eqn: 23 ^{2n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{2n} ,] 즉 [eqn: 9 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다. 또, [eqn: 33 ^{3n} `]의 일의 자리의 수자는 [eqn: 3 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자와 같고, [eqn: 3 ^{3n} =27 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다.

따라서 [eqn: 13 ^{n} -23 ^{2n} +33 ^{3n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3 ^{n} -9 ^{n} +7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자와 같다.

[eqn: 3 ^{1} =3,~3 ^{2} =9,~3 ^{3} =27,~3 ^{4} =81,~3 ^{5} =243,`` CDOTS `]

이므로 [eqn: 3 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3,~9,~7,~1`]이 반복된다.

[eqn: 9 ^{1} =9,~9 ^{2} =81,~9 ^{3} =729,~9 ^{4} =6561,~9 ^{5} =59049,`` CDOTS `]

이므로 [eqn: 9 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 9,~1`]이 반복된다.

[eqn: 7 ^{1} =7,~7 ^{2} =49,~7 ^{3} =343,~7 ^{4} =2401,~7 ^{5} =16807,`` CDOTS]

이므로 [eqn: 7 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 7,~9,~3,~1`]이 반복된다.

이 때,

[eqn: 3-9+7=1]

[eqn: 9-1+9=17]

[eqn: 7-9+3=1]

[eqn: 1-1+1=1]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =1,~a _{2} =7,~a _{3} =1,~a _{4} =1`]이 반복되어 나타나고, [eqn: 2015=4 TIMES 503+3`]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{2015} `a _{k} = LEFT ( 1+7+1+1 RIGHT ) TIMES 503+ LEFT ( 1+7+1 RIGHT ) =5039]

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 5031]	② [eqn: 5033]	③ [eqn: 5035]

④ [eqn: 5037]	⑤ [eqn: 5039]

자연수[eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 [eqn: x]축 및 두 직선[eqn: x=n,````x=2n]으로 둘러싸인 영역의 경계 및 내부에 각 변이 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행하고 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형을 만든다. 이때 한 변의 길이가[eqn: 1]인 정사각형의 각 꼭짓점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{4} +a _{8} +a _{16} =2 ^{k} -2]일 때, 자연수[eqn: k]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 32]

직선 [eqn: x=n]과 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]이 만나는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( n,`2 ^{n} RIGHT )]이고 직선 [eqn: x=2n-1]과 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]이 만나는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( 2n-1,`2 ^{2n-1} RIGHT )]이다.

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형을 만들 때, 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 각 꼭짓점의 좌표가 정수인 정사각형의 개수[eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =2 ^{n} +2 ^{n+1} + CDOTS +2 ^{2n-1}]

[eqn: = {2 ^{n} LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT )} over {2-1}]

[eqn: =2 ^{2n} -2 ^{n}]

[eqn: THEREFORE a _{1} +a _{2} +a _{4} +a _{8} +a _{16}]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{2} -2 RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{4} -2 ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{8} -2 ^{4} RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{16} -2 ^{8} RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{32} -2 ^{16} RIGHT )]

[eqn: =2 ^{32} -2]

[eqn: THEREFORE k=32]

[[eqn: 4]점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 420]

이해 능력 - 수열

함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프는 [eqn: 0 le x le 2]에서

[eqn: f(x) = 3 over {x+1} -1]의 그래프를 그린 후에 두 직선 [eqn: x=0,~ x= 2]에 대하여 각각 대칭이 되도록 그리면 다음과 같다.

한편, 곡선 [eqn: y = root{x over n}]는 점 [eqn: (4n,~2)]를 지나므로 [eqn: a_1 =2]

[eqn: a_n+1 = a_n +2]이므로

[eqn: a_n = a_1 + 2(n-1) = 2n]

[eqn: THEREFORE`` sum _{ n=1} ^{ 20} a_n = sum _{ n=1} ^{ 20}2n = 2 times {20 times 21} over {2} = 420]

(가) [eqn: 0 le x le 2]에서 [eqn: f(x) = 3 over {x+1} -1]이다.

(나) 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프는 두 직선 [eqn: x=0,~ x=2]에 대하여

각각 대칭이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 곡선 [eqn: y = root{x over n}]

[eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]의 교점의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ 20} a_n]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 10월 비상]

다음 [eqn: {[]단계[eqn: ]`]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다.

	[eqn: {[]단계 [eqn: 1`][eqn: ]`] [eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 1][eqn: >]을 얻는다. [eqn: {[]단계 [eqn: 2`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: 1][eqn: >]의 아래에 [eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 2][eqn: >]를 얻는다. [eqn: {[]단계 [eqn: 3`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: 2][eqn: >]의 아래에 [eqn: 4]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 3][eqn: >]을 얻는다. [eqn: VDOTS] [eqn: {[]단계 [eqn: m`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: m-1][eqn: >]의 아래에 [eqn: (m+1)]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: m][eqn: >]을 얻는다. ([eqn: m GEQ 2])

정답 165

[출제의도] 계차수열을 활용하여 추론하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{n+`1} -a _{n} =3n+3`]이므로

[eqn: a _{n} =3+ sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 3k+3 RIGHT ) = {3n(n+1)} over {2}] [eqn: LEFT ( n geq2 RIGHT ) `]

따라서 [eqn: a _{10} =165]

			[eqn: CDOTS]
[eqn: <]그림 [eqn: 1`][eqn: >]	[eqn: <]그림 [eqn: 2`][eqn: >]	[eqn: <]그림 [eqn: 3`][eqn: >]	[eqn: CDOTS]

[eqn: <]그림 [eqn: n][eqn: >]에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 [eqn: a _{n} `]
[eqn: (][eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS][eqn: )]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} =3`], [eqn: a _{2} =9]이다.

[eqn: a _{10`}]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 7월 교육청]

[세트문항] 자연수 [eqn: boldn`]에 대하여 함수 [eqn: bold{f( x )`]가 다음과 같다.

[eqn: {bold{f(x)= {x+2n ^{2} +n} over {x-n} `}}]물음에 답하시오.

[eqn: n=k`][eqn: (`k=1], [eqn: 2], [eqn: 3,`cdots][eqn: )]일 때, 곡선 [eqn: y=f(`x`)]의 제[eqn: `1]사분면 위의 점 중에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축까지의 거리가 같게 되는 점을 [eqn: rm P _{it k rm}]라 하고, 점 [eqn: rm P _{it k rm} `]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q _{it k rm}], [eqn: rm R _{it k rm} `]라 하자. 사각형 [eqn: rm OQ _{itk} rm `P _{it k` rm} R _{it k rm} `]의 넓이를 [eqn: A _{k}]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} `A _{k`}]의 값은? [4점]

정답 ①

[출제의도] 유리함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f(x)= {x+2`k ^{2} +k} over {x-k}]의 그래프와

직선 [eqn: y=x]의 제[eqn: 1]사분면 위의 교점은

[eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( it 2k+1,~2k+1 RIGHT )]이므로 [eqn: A _{k} =(2k+1) ^{2}]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} A _{k} = sum _{k=1} ^{10} (4k ^{2} +4k+1)=1770]

[4점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: 1770]	② [eqn: 1780]	③ [eqn: 1790]

④ [eqn: 1800]	⑤ [eqn: 1810]

다음은 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]의 일반항 [eqn: a _{`n} `]이 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {k} ``]일 때,

정답 ③

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,
(좌변)[eqn: =2+a _{1} =3`],
(우변)[eqn: =2a _{`2} =2 LEFT ( `1+ {BOX{````` {1} over {2} ````}} ` RIGHT ) =3`]
이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`][eqn: (m GEQ 2)]일 때
(★)이 성립한다고 가정하면
[eqn: m+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{m-1} =ma _{m}]이므로
[eqn: LEFT ( `m+1` RIGHT ) +a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} `+a _{m} `]
[eqn: =m`a _{m} +`][eqn: {BOX{`````a _{m} +1`````}} `]
[eqn: =(`m+1) LEFT ( `a _{`m+1} -` {BOX{````` {1} over {m+1} `````}} ` RIGHT )+1]
[eqn: =(`m+1)`a _{`m+1} `]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n-1} =na _{`n} `]이 성립한다.

[eqn: p= {1} over {2}], [eqn: f(m)=a _{m} +1], [eqn: g(m)= {1} over {m+1}]

따라서 [eqn: {p` TIMES f(`3)} over {g(`11)} `=17]

[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1} `=n`a _{`n} `]     [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] (★)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때, (좌변)[eqn: =2+a _{1} =3`], (우변)[eqn: =2a _{`2} =2 LEFT ( `1+ {BOX{`````(가)`````}} ` RIGHT ) =3`] 이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=m(`m GEQ 2`)]일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: m+a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} `=m`a` _{m} `]이므로 [eqn: LEFT ( `m+1` RIGHT ) +a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} `+a _{m} `] [eqn: =m`a _{m} +`][eqn: {BOX{`````(나)`````}} `] [eqn: =(`m+1) LEFT ( `a _{`m+1} -` {BOX{`````(다)`````}} ` RIGHT ) +1] [eqn: =(`m+1)`a _{`m+1} `] 이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1} `=n`a _{`n} `]이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(`m)`], [eqn: `g(m)`]이라 할 때, [eqn: {p` TIMES f(`3`)} over {g(`11`)} `]의 값은?

[4점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

정답 ②

[eqn: n=k]일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{j=1} ^{n} {1} over {sqrt {j}} <2 sqrt {n}]

[eqn: sum _{j=1} ^{k+1} {1} over {sqrt {j}} = sum _{j=1} ^{k} {1} over {sqrt {j}} + BOX{1 OVER sqrt { k+1} } <2 sqrt {k} + 1 OVER sqrt { k+1}]

[eqn: = {2 sqrt {k ^{2} +k} +1} over {sqrt {k+1}}]

[eqn: {{BOX{2 sqrt {k ^{2} +k}}} +1} over {sqrt {k+1}} < {2 sqrt {k ^{2} +k+ {BOX{1 over 4}}} +1} over {sqrt {k+1}}][eqn: ={ 2(k+1)} over { sqrt { k+1} } =2 sqrt { k+1}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(k) = 1 over sqrt { k+1}]

[eqn: g(k) = 2 sqrt { k^2 +k}]

[eqn: a = 1 over 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(2) TIMES g(3) TIMES a= {1} over {sqrt {3}} TIMES 2 sqrt {12} TIMES {1} over {4} =1]

[eqn: sum _{j=1} ^{n} {1} over {sqrt {j}} <2 sqrt {n}]	…… ㉠

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 (좌변)[eqn: = sum _{j=1} ^{1} {1} over {sqrt {j}} =1], (우변)[eqn: =2 sqrt {1} =2] [eqn: 1<2]이므로 부등식 ㉠이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{j=1} ^{k+1} {1} over {sqrt {j}} = sum _{j=1} ^{k} {1} over {sqrt {j}} + BOX{``~(가)~``} <2 sqrt {k} + BOX{``~(가)~``}] [eqn: 2 sqrt {k} + BOX{``~(가)~``} = {BOX{``~(나)~``} +1} over {sqrt {k+1}} < {2 sqrt {k ^{2} +k+ BOX{``~(다)~``}} +1} over {sqrt {k+1}}] [eqn: {2 sqrt {k ^{2} +k+ BOX{``~(다)~``}} +1} over {sqrt {k+1}} = { 2(k+1)} over { sqrt { k+1} } =2 sqrt { k+1}] 따라서 [eqn: n= k+1]일 때에도 부등식 ㉠이 성립한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 ㉠이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 하고, (다)에 알맞은 값을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(2) TIMES g(3) TIMES a]의 값은?

[4점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt { 2}]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 일반항 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k ^{2}}]일 때,
[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

정답 ④

[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기

(1) [eqn: n=2]일 때, (*)에서

(좌변)[eqn: =a _{1} + {1} over {1} + {1} over {2} =1+ {1} over {1} + {1} over {2} = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(우변)[eqn: =2a _{2} =2 TIMES LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m] ([eqn: m GEQ 2])일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} =ma _{m}]

이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m} + sum _{i=1} ^{m+1} {1} over {i}]

[eqn: =a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{m-1} +a _{m} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} + {1} over {m+1}]

[eqn: =ma _{m} +a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = {BOX{````` LEFT ( m+1 RIGHT ) _{`} ^{`} `````}} ` TIMES a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT { a _{m+1} - {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= {5} over {2}], [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =m+1]

따라서 [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1} + sum _{i=1} ^{n} {1} over {i} =na _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=2]일 때, (*)에서

(좌변)[eqn: =a _{1} + {1} over {1} + {1} over {2} = {BOX{``````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}}]

(우변)[eqn: =2a _{2} = {BOX{``````````(가) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}}]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m] ([eqn: m GEQ 2])일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} =ma _{m}]

이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m} + sum _{i=1} ^{m+1} {1} over {i}]

[eqn: = {BOX{``````````(나) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}} `timesa _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT { a _{m+1} - {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,  [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 [eqn: a_1 =0]이고 [eqn: n ge 2]인 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여

정답 ④

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =2 ^{1-1} -1=0]이므로 (✽)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, (✽)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} =2 ^{k-1} -k]

이때 [eqn: a _{k+1} = {BOX{k(k-1) over 2}} + sum _{i=1} ^{k} a _{i}]이므로

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {k(k-1) over 2} + sum _{i=1} ^{k} LEFT ( 2^i-1 -box{~i~} RIGHT )]

[eqn: = {k(k-1)} over {2} + {2 ^{k} -1} over {2-1} - {1} over {2} k(k+1)]

[eqn: =(2^k -1)+ box{ ``{1} over {2} k``} LEFT { (k-1)-(k+1) RIGHT }]

[eqn: =2^k -(k+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(k) = k(k-1) over 2], [eqn: g(i) =i], [eqn: h(k) = 1 over 2 k]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(6)+g(7)+h(8)][eqn: = 15+7+4=26]

[eqn: a _{n=} {(n-1)(n-2)} over {2} + sum _{i=1} ^{n-1} a _{i}]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]이

[eqn: a_ n =2^ n-1 -n]  [eqn: (n=1, ```2, ```3, ```cdots)] …… (✽)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =2 ^{1-1} -1=0]이므로 (✽)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, (✽)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} =2 ^{k-1} -k]

이때 [eqn: a _{k+1} = {BOX{~㈎~}} + sum _{i=1} ^{k} a _{i}]이므로

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {BOX{~㈎~}} + sum _{i=1} ^{k} LEFT ( 2^i-1 -box{~㈏~} RIGHT )]

[eqn: =(2^k -1)+ box{~㈐~} LEFT { (k-1)-(k+1) RIGHT }]

[eqn: =2^k -(k+1)]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 (✽)이 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (✽)이 성립한

다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(i )], [eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: f(6)+g(7)+h(8)]의 값은?

[4점][2015년 10월 종로]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

정답 ①

[출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: (좌변)=6 TIMES 1 TIMES 1 ^{2} `=6`]이고,

[eqn: (우변)=5 TIMES 1 ^{4} +1 ^{2} =6`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT ) =5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} `]

이다.

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT { sum _{k=1} ^{m} k+ LEFT ( ` BOX{``(m+1)``} ` RIGHT ) RIGHT } LEFT { sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }] [eqn: =6 LEFT { LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT ) + LEFT ( m+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} sum _{k=1} ^{m} k+ LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{3} RIGHT }]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) ` LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( ` {BOX{``(m+1)``}} ` RIGHT ) ` TIMES LEFT { 6 sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{m} k+6 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( m+1` RIGHT ) ` TIMES LEFT { m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT ) +3m LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( m+1` RIGHT ) ^{2} ` TIMES LEFT { m LEFT ( 2m+1 RIGHT ) +3m LEFT ( m+1 RIGHT ) +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} TIMES (` {BOX{`5m ^{2} +10m`+6`}} `)`]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: + LEFT ( m+1` RIGHT ) ^{2} ` TIMES LEFT { 5 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: +5 LEFT ( m+1` RIGHT ) ^{4} `+ LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +5 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{4} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} +5 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m+1} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: f(m)`=m+1], [eqn: g(m)`=5m ^{2} +10m+6`]이므로

[eqn: {g(10)} over {f(5)} `= {606} over {6} =101`]이다.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{n} k ^{4} + sum _{k=1} ^{n} k ^{2}] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: (좌변)=6 TIMES 1 TIMES 1 ^{2} `=6`]이고,

[eqn: (우변)=5 TIMES 1 ^{4} +1 ^{2} =6`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} `]

이다.

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT { sum _{k=1} ^{m} k+ LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) RIGHT } LEFT { sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) ` TIMES LEFT { 6 sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{m} k+6 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} TIMES (` BOX{`(나)``} `)`]

[eqn: vdots]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m+1} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: {g(10)} over {f(5)} `]의 값은?

[4점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 101]	② [eqn: 103]	③ [eqn: 105]

④ [eqn: 107]	⑤ [eqn: 109]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

정답 ①

(ⅰ) [eqn: n=k]일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1^2 -2^2 +3^2 -cdots+(-1)^k-1 TIMESk^2 =(-1)^k-1 TIMES {k(k+1) } over 2]

위 식의 양변에 [eqn: (-1)^k TIMES box{(k+1)^2]를 각각 더하면

[eqn: 1^2 -2^2 +3^2 -cdots+(-1)^k-1 TIMESk^2 +(-1)^k TIMES box{``(k+1)^2``]

[eqn: =(-1)^k-1 TIMES {k(k+1) } over 2 +(-1)^k TIMES box{``(k+1)^2``]

[eqn: =(-1)^k TIMES left{{box{-k(k+1) } over 2 +(-1)^k TIMES box{``(k+1)^2``}right]

[eqn: =(-1)^k TIMES {box{{(k+1)(k+2)} over 2 }]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 등식이 성립한다.

즉, [eqn: f(k)=(k+1)^2], [eqn: g(k)=-k(k+1)], [eqn: h(k)= {(k+1)(k+2)} over 2]이므로 [eqn: f(7)+g(8)+h(9)=8^2 -8 TIMES9 + { 10 TIMES11} over 2][eqn: =64-72+55=47]

[eqn: 1^2 -2^2 +3^2 -cdots+(-1)^n-1 TIMESn^2 =(-1)^n-1 TIMES {n(n+1) } over 2]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(i) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =1=](우변)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1^2 -2^2 +3^2 -cdots+(-1)^k-1 TIMESk^2 =(-1)^k-1 TIMES {k(k+1) } over 2]

위 식의 양변에 [eqn: (-1)^k TIMES box{`````(가)`````]를 각각 더하면

[eqn: 1^2 -2^2 +3^2 -cdots+(-1)^k-1 TIMESk^2 +(-1)^k TIMES box{```(가)```]

[eqn: =(-1)^k-1 TIMES {k(k+1) } over 2 +(-1)^k TIMES box{```(가)```]

[eqn: =(-1)^k TIMES left{{box{```(나)```` } over 2 +(-1)^k TIMES box{```(가)```}right]

[eqn: =(-1)^k TIMES {box{```(다)```` }]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

(i), (ii)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),```g(k),```h(k)]라 할 때, [eqn: f(7)+g(8)+h(9)]의 값은?

[4점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: 47]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 55]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =a_4 =1]이고,

정답 ③

[eqn: a_{n+2} - a_{n} +4= 0]에서 [eqn: a_{n+2} - a_{n} = -4]

수열 [eqn: left{a_2n-1 right}]은 첫째항이 [eqn: a _{1} =1]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열이므로

[eqn: a_2n-1 = 1+(n-1)times(-4)= -4n +5]

마찬가지로 [eqn: a _{4} =1]이고, [eqn: a_{n+2} - a_{n} = -4]이므로

수열 [eqn: left{a_2n right}]은 첫째항이 [eqn: a_2 = a_4 +4 =box{~5~}`]이고, 공차가 [eqn: -4]인 등차수열이다.

[eqn: THEREFORE`` left{a_2n right} = 5 + (n-1)(-4) = box{~-4n+9~}`]

[eqn: THEREFORE`` S_{2n}= sum _{ k=1} ^{2n }`{a_{k}} = sum _{ k=1} ^{n }`{a_{2k-1}} + sum _{ k=1} ^{n }`{a_{2k}}]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{n }`{(-4k+5) } + sum _{ k=1} ^{n }`{ (-4k+9)}]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{n }`{ (box{`-8k+14}`) }]

[eqn: = - 8times {n(n+1)} over {2} + 14n = -4n^{2} + 10n]

따라서 [eqn: p=5,~ f(n) = -4n+9 ,~ {rm g} (k) = -8k+14]이므로

[eqn: p+ f(10) + {rm g} (10) = 5 - 31 - 66 = -92]

[eqn: a_{n+2} - a_{n} +4= 0 `` (n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: 2n]항까지의 합 [eqn: S_{2n} = -4n^{2} + 10n]을 구하는 과정이다.

[eqn: a_{n+2} - a_{n} +4= 0]에서 [eqn: a_{n+2} - a_{n} = -4]

수열 [eqn: left{a_2n-1 right}]은 첫째항이 [eqn: a _{1} =1]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열이므로

[eqn: a_2n-1 = -4n +5]

마찬가지로 [eqn: a _{4} =1]이고, [eqn: a_{n+2} - a_{n} = -4]이므로

수열 [eqn: left{a_2n right}]은 첫째항이 [eqn: a_2 = box{~(가)~}`]이고, 공차가 [eqn: -4]인 등차수열이다.

[eqn: THEREFORE`` left{a_2n right} = box{~(나)~}`]

따라서 [eqn: S_{2n}= sum _{ k=1} ^{2n }`{a_{k}} = sum _{ k=1} ^{n }`{a_{2k-1}} + sum _{ k=1} ^{n }`{a_{2k}}]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{n }`{(` box{~(다)~}`)} = -4n^{2} + 10n]

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p ,] (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n) ,] [eqn: {rm g} (k)]라 할 때, [eqn: p+ f(10) + {rm g} (10)]의 값은?

[4점][2015년 6월 종로]

① [eqn: -96]	② [eqn: -94]	③ [eqn: -92]

④ [eqn: -90]	⑤ [eqn: -88]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

정답 ⑤

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2S _{1} =3a _{1} -1`]이므로

[eqn: a _{1} =1]

[eqn: 2S _{n+1} =3a _{n+1} -4(n+1)+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡-㉠]을 하면

[eqn: 2 LEFT ( S _{n+1} -S _{n} RIGHT ) =3a _{n+1} -3a _{n} -4]

[eqn: 2a _{n+1} =3a _{n+1} -3a _{n} -4]

[eqn: a _{n+1} =3a _{n} +` {BOX{````````4````````}} `]

[eqn: a _{n+1} +2=3 LEFT ( a _{n} +2 RIGHT )]

이다. 수열 [eqn: LEFT { a_n +2 RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: a_1 +2], 공비가 [eqn: 3]인
등비수열이므로

[eqn: a _{n} +2`= LEFT ( a _{1} +2 RIGHT )` times `3 ^{n-1} `]

일반항 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n} =3times3 ^{n-1} -2=` {BOX{````3 ^{n} -2````}}] ([eqn: n GEQ 1])

이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: p=4], [eqn: f(n)=3 ^{n} -2]

따라서 [eqn: p+f(5)=4+ LEFT ( `3 ^{5} -2` RIGHT ) =245]

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] ([eqn: n GEQ 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2S _{1} =3a _{1} -1`]이므로 [eqn: a _{1} =1]이다.

[eqn: 2S _{n+1} =3a _{n+1} -4(n+1)+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: ㉠]을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{n+1} = 3a _{n} +`][eqn: ` {BOX{~~~(가) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}]

이다. 수열 [eqn: LEFT { a_n +2 RIGHT }]가 등비수열이므로
일반항 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n}=`][eqn: ` {BOX{~~~(나) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}] ([eqn: n GEQ 1])

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때,

[eqn: p+f(5)]의 값은?

[4점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 225]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 235]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 245]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =6,~a _{2} =2]이고,
[eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} +a _{n-1} ~ LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

정답 ④

주어진 식에 의하여 [eqn: n GEQ 2]일 때
[eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} -a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} -a _{n-1}]

이므로 [eqn: b _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} -a _{n}]이라 하면

[eqn: b _{n} =b _{n-1} ~ LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

[eqn: therefore~b _{n} =b _{n-1} = CDOTS =b _{1} =3a _{2} -a _{1} =box0]

즉, [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} =a _{n}]이므로

[eqn: THEREFORE ~a _{n+1} =a _{n} TIMES {BOX{{1} over {n+2}}}]

위 식의 양변에 [eqn: n]대신 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~n-1]을 차례로 대입하면

[eqn: a _{2} = {a _{1}} over {3}]

[eqn: a _{3} = {a _{2}} over {4}]

[eqn: a _{4} = {a _{3}} over {5}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} = {a _{n-1}} over {n+1}]

위 식을 변끼리 곱하면

[eqn: a _{n} = {a _{1}} over {3times4times CDOTS LEFT ( n+1 RIGHT )} = {BOX{{1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}}} ~]

따라서 [eqn: p=0,~f LEFT ( n RIGHT ) = {1} over {n+2} ,~g LEFT ( n RIGHT ) = {12} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !}]

이므로

[eqn: p+f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) =0+ {1} over {6} + {12} over {5!}]

[eqn: = {1} over {6} + {1} over {10} = {4} over {15}]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ,~g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: p+f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

주어진 식에 의하여 [eqn: n GEQ 2]일 때
[eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} -a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} -a _{n-1}]	⋯㉠

이다.

[eqn: b _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} -a _{n}]이라 하면 ㉠에서

[eqn: b _{n} = {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}} ~ LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

[eqn: therefore~a _{n+1} =a _{n} times {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]	⋯㉡

㉡의 양변에 [eqn: n]대신 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~n-1]을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: a _{n} = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}} ~ LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

이다.

[4점][2015년 6월 대성]

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {2} over {15}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {4} over {15}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

정답 ⑤

(ⅱ)[eqn: n]이 짝수일 때,

[eqn: n=2m]([eqn: m]은 자연수)이라 하면

[eqn: S _{2m+1} =a _{1} + LEFT ( a _{2} +a _{3} RIGHT ) + LEFT ( a _{4} +a _{5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{2m} +a _{2m+1} RIGHT )]

[eqn: =1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} + CDOTS + LEFT ( 2m+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( 4k ^{2} -4k+1 RIGHT )]

[eqn: = {BOX{~ {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+3 RIGHT )} over {3} ~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a _{2m+1} =S _{2m+1} -S _{2m}]

[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+3 RIGHT )} over {3} - {2m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )} over {3}]

[eqn: = {BOX{LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )}}]

[eqn: a _{2m} =S _{2m} -S _{2m-1}]
[eqn: = {2m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )} over {3} - {m LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )} over {3}]

[eqn: = {BOX{m LEFT ( 2m+1 RIGHT )}}]

[eqn: THEREFORE a _{n} = {BOX{{n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}}}]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( m RIGHT ) = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+3 RIGHT )} over {3}]

[eqn: g LEFT ( m RIGHT ) = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( m RIGHT ) =m LEFT ( 2m+1 RIGHT )]

[eqn: i LEFT ( n RIGHT ) = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( 5 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT ) +i LEFT ( 8 RIGHT )]

[eqn: = {6 TIMES 11 TIMES 13} over {3} +7 TIMES 13+7 TIMES 15+ {8 TIMES 9} over {2}]

[eqn: =286+91+105+36=518]

[eqn: a _{n} +a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( n=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항[eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. (ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: n=2m-1]([eqn: m]은 자연수)이라 하면 [eqn: S _{2m}][eqn: = LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT ) + LEFT ( a _{3} +a _{4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{2m-1} +a _{2m} RIGHT )] [eqn: =2 ^{2} +4 ^{2} + CDOTS + LEFT ( 2m RIGHT ) ^{2}] [eqn: = {2m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m+1 RIGHT )} over {3}] (ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: n=2m]([eqn: m]은 자연수)이라 하면 [eqn: S _{2m+1} =a _{1} + LEFT ( a _{2} +a _{3} RIGHT ) + LEFT ( a _{4} +a _{5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{2m} +a _{2m+1} RIGHT )] [eqn: =1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} + CDOTS + LEFT ( 2m+1 RIGHT ) ^{2}] [eqn: = {BOX{~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~}}] (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a _{2m+1} =S _{2m+1} -S _{2m} = {BOX{~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~}}] [eqn: a _{2m} =S _{2m} -S _{2m-1} = {BOX{~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~}}] [eqn: THEREFORE a _{n} = {BOX{~ LEFT ( 라 RIGHT ) ~}}]

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )], [eqn: g LEFT ( m RIGHT )], [eqn: h LEFT ( m RIGHT )], [eqn: i LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT ) +i LEFT ( 8 RIGHT )]의 값은?

[4점][2015년 9월 중앙]

① [eqn: 498]	② [eqn: 503]	③ [eqn: 508]

④ [eqn: 513]	⑤ [eqn: 518]

다음은 [eqn: 3]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: n ^{n+1} > LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{n}]	[eqn: CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS](*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,~g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) timesg LEFT ( 9 RIGHT )]의 값은?

정답 ③

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2} = {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2}} over {k ^{k+1}} times {BOX{~k ^{k+1} ~}}]

[eqn: > {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2}} over {k ^{k+1}} times LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k}]

[eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2k+2}} over {k ^{k+1}}]

[eqn: = LEFT { {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}} over {k} RIGHT } ^{k+1}]

[eqn: = LEFT ( {k ^{2} +2k+1} over {k} RIGHT ) ^{k+1}]

[eqn: = LEFT ( {BOX{~~k+2+ {1} over {k} ~~}} RIGHT ) ^{k+1}]

[eqn: > LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{k+1}]

[eqn: therefore~f LEFT ( k RIGHT ) =k ^{k+1} ,~g LEFT ( k RIGHT ) =k+2+ {1} over {k}]

[eqn: therefore~f LEFT ( 3 RIGHT ) times LEFT ( 9 RIGHT ) =3 ^{4} times LEFT ( 9+2+ {1} over {9} RIGHT ) =3 ^{4} times {100} over {9} =900]

<증명>

(ⅰ) [eqn: n=3]일 때, (좌변)[eqn: =3 ^{4} =81], (우변)[eqn: =4 ^{3} =64]이므로 부등식 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] [eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT )]일 때, 부등식 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: k ^{k+1} > LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k}]

이다. 이때,

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2} = {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2}} over {k ^{k+1}} times {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}]

[eqn: > {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k+2}} over {k ^{k+1}} times LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{k}]

[eqn: = LEFT ( {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}} RIGHT ) ^{k+1}]

[eqn: > LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{k+1}]

따라서, [eqn: n=k+1]일 때도 부등식 (*)이 성립한다.

(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 [eqn: 3]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 (*)이 성립한다.

[4점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 300]	② [eqn: 600]	③ [eqn: 900]

④ [eqn: 1200]	⑤ [eqn: 1500]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]이

정답 ③

[eqn: a_{n+1} - a_{n} = a_{n} (5 - a_{n+1})]의 양변을 [eqn: a_{n+1} a_{n}]으로 나누면

[eqn: 1 over {a_n} - 1 over { a_n+1 } = 1 over { a_n+1 } (5 - a_{n+1})]

[eqn: = 5 over {a_n+1} -1]

[eqn: 1 over { a_n+1 } = box{ `1 over 6 ` }` left( 1 + 1 over {a_n} right)]

[eqn: b_n = 1 over a_n]이라 하면

[eqn: b_n+1 = box{ `1 over 6 ` }`(1+ b_n ) ,] [eqn: b_n+1 - 1 over 5 = box{ `1 over 6 ` }`left( b_n - 1over5 right)]

이때 [eqn: b_1 = 1 over a_1]이므로 [eqn: b_1 - 1 over 5 = 4 over 5]

즉, 수열 [eqn: left{ b_n - 1 over 5 right}]은 첫째항이 [eqn: 4 over 5 ,] 공비가 [eqn: 1 over 6]인 등비수열이므로

[eqn: b_n - 1 over 5 = 4 over 5 left(` box{ `1 over 6 ` } ` right)^{`n-1}]

따라서 [eqn: b_n = 4 over 5 left(` box{ `1 over 6 ` } ` right)^{`n-1} + 1 over 5]이므로

[eqn: a_n = 1 over b_n = 1 over {4over5 left(` 1 over 6 ` right)^{n-1} + 1 over 5} = {box{` 5 times 6^{n-1}`} over {6^{n-1}+4}]

즉, [eqn: a = 1 over 6 ,] [eqn: f(n) = 5 times 6^{n-1}]이므로

[eqn: f(12a) = f(2) = 5 times 6 =30]

[eqn: a_1 = 1 ,] [eqn: a_{n+1} - a_{n} = a_{n} (5 - a_{n+1}) `` (n ge 1)]

을 만족시킬 때, 다음은 일반항 [eqn: a_{n}]을 구하는 과정이다.

[eqn: a_{n+1} - a_{n} = a_{n} (5 - a_{n+1})]의 양변을 [eqn: a_{n+1} a_{n}]으로 나누면

[eqn: 1 over {a_n} - 1 over { a_n+1 } = 1 over { a_n+1 } (5 - a_{n+1})]

[eqn: = 5 over {a_n+1} -1]

[eqn: 1 over { a_n+1 } = box{ `(가) pile{`#`} }` left( 1 + 1 over {a_n} right)]

[eqn: b_n = 1 over a_n]이라 하면

[eqn: b_n+1 = box{ `(가) pile{`#`} }(1+ b_n ) ,] [eqn: b_n+1 - 1 over 5 = box{ `(가) pile{`#`} }left( b_n - 1over5 right)]

[eqn: b_n - 1 over 5 = 4 over 5 left(` box{ `(가) pile{`#`} } ` right)^{`n-1}]

즉, [eqn: b_n = 4 over 5 left(` box{ `(가) pile{`#`} } ` right)^{`n-1} + 1 over 5]이므로

[eqn: a_n = 1 over b_n = {box{~(나)~}} over {6^{n-1}+4}]

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a,] (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(12a)]의 값은?

[4점][2015년 8월 종로]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고,

정답 ①

연역적 추론 능력(증명) - 수열

[eqn: ( AST )]의 양변에 각각 [eqn: 2^n]을 곱하면

[eqn: 2^n+1 a_n+1 - 2^n a_n = box{`` 2n-1 ``}]

이다. [eqn: b_n = 2^n a_n]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b_n+1 - b_n = box{`` 2n-1 ``}]이고, [eqn: b_1 = 2]이므로

[eqn: b_n = b_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } (2k-1)]

[eqn: = 2 +2 times {n(n-1)} over {2} - (n-1)]

[eqn: = n^2 -2n +3 `` (n ge 2)]	[eqn: cdots cdots]㉠

㉠은 [eqn: n=1]일 때도 성립하므로

[eqn: b_n = box{`` n^2 -2n +3 ``} `` (n ge 1)]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = {box{`` n^2 -2n +3 ``}} over {2^n} `` (n ge 1)]이다.

[eqn: THEREFORE`` f(n)= 2n-1 ,~ {rm g}(n) = n^2 - 2n +3]

[eqn: THEREFORE`` f(10) + {rm g}(10) = 19 + 83 = 102]

[eqn: 2a_n+1 - a_n = (2n-1) left(` 1 over 2 ` right)^{n} `` (n ge 1)]	[eqn: cdots cdots ( AST )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

[eqn: ( AST )]의 양변에 각각 [eqn: 2^n]을 곱하면

[eqn: 2^n+1 a_n+1 - 2^n a_n = box{~~(가)~~}]

이다. [eqn: b_n = 2^n a_n]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b_n+1 - b_n = box{~~(가)~~}]

이고, [eqn: b_1 = 2]이므로

[eqn: b_n = box{~~(나)~~} `` (n ge 1)]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = {box{~~(나)~~}} over {2^n} `` (n ge 1)]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n) ,~ {rm g}(n)]이라 할 때,

[eqn: f(10) + {rm g}(10)]의 값은?

[4점][2015년 10월 비상]

① [eqn: 102]	② [eqn: 104]	③ [eqn: 106]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 110]

수열 [eqn: "{"a_n"}"]은 [eqn: a_1 = 2]이고, [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum from{ k=1} to n a_k = ( n+1 )^2 a_n][eqn: cdots cdots (*)]
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

[eqn: (*)]에서 [eqn: sum from{ k=1} to n-1 a_k = n^2 a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )] 이므로 [eqn: 3]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum from{k=1} to n a_k - sum from{ k=1} to n-1 a_k][eqn: = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1] [eqn: a_n = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1] ∴ [eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )] 따라서 [eqn: n ge 3]일 때, [eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1] [eqn: = n over n+2 times n-1 over n+1 times a_n-2] [eqn: cdots cdots] [eqn: = BOX{~~(가)~~} times a_2] [eqn: (*)]에서 [eqn: a_2 = BOX{~~(나)~~}]이므로 [eqn: a_n = BOX{~~(가)~~} times BOX{~~(나)~~}][eqn: ( n ge 2 )] 따라서 구하는 일반항은 [eqn: a_1 = 2 ,] [eqn: a_n = BOX{~~(가)~~} times BOX{~~(나)~~}][eqn: ( n ge 2 )]

정답 ③
[eqn: sum from{ k=1} to n a_k = ( n+1 )^2 a_n][eqn: cdots cdots (*)]
[eqn: (*)]에서
[eqn: sum from{ k=1} to n-1 a_k = n^2 a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )]
두 식을 변끼리 빼서 정리하면
[eqn: sum from{k=1} to n a_k - sum from{ k=1} to n-1 a_k][eqn: = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1]
[eqn: a_n = (n+1 )^2 a_n - n^2 a_n-1]
[eqn: "{"(n+1)^2 -1 "}"a_n = n^2 a_n-1]
[eqn: n(n+2 ) a_n = n a_n-1]
∴ [eqn: a _n over a_n-1 = n over n+2] [eqn: ( n ge 3 )]
∴ [eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1] [eqn: ( n ge 3 )]
[eqn: a_n = n over n+2 times a_n-1]
[eqn: = n over n+1 times n-1 over n+1 times a_n-2]
[eqn: cdots cdots]
[eqn: = n over n+2 times n-1 over n+1 times n-2 over n times cdots times 4 over 6 times 3 over 5 times a_2]
[eqn: = BOX{~12 over {(n+2 )(n+1 ) }~} times a_2]	[eqn: cdots cdots㉠]
[eqn: (*)]에서 [eqn: n=2]를 대입하면
[eqn: sum from{k=1} to 2 a_k = (2+1 )^2 a_2]
[eqn: a_1 + a_2 = 9 a_2]|[eqn: 2+ a_2 = 9 a_2]
∴ [eqn: a_2 =BOX{~ 1 over 4 ~}]
따라서 ㉠에서
[eqn: a_n = BOX{~12 over {(n+2)(n+1)}~} times BOX{~1 over 4 ~}]
[eqn: = 3 over {(n+1)(n+2 ) }] [eqn: (n ge 3 )]	[eqn: cdots cdots㉡]
㉡에 [eqn: n=2]를 대입하면
[eqn: a _{2} = {3} over { 3 times 4 } = 1 over 4]
이므로 등식이 성립한다. 따라서 구하는 일반항은
[eqn: a_n = cases{~~~~~~~2~~~~~~~~(n=1)#~ 3 over {(n+1)(n+2 )}~~( n ge 2 )}]
∴ [eqn: f(n) = 12 over {(n+1`)(n+2)} ,] [eqn: p= 1over 4]
∴ [eqn: p times f(5) = 1 over 4 times 12 over 42 = 1 over 14]

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n) ,] (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p times f(5)]의 값은?

[4점][2015년 7월 대성]

① [eqn: 1 over 10]	② [eqn: 1 over 12]	③ [eqn: 1 over 14]

④ [eqn: 1 over 16]	⑤ [eqn: 1 over 18]

수열 [eqn: LEFT{a_n`right}`]이 [eqn: a_1`=2,````a_n+1`=2a_n`+2(n+1)] [eqn: (n`ge1)][eqn: cdots]㉠

정답 ③

[eqn: a_n+1`=2a_n`+2(n+1)]  [eqn: (n`ge1)]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_n`=2a_n-1`+2n]	[eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a_n+1`-a_n`=2a_n`-2a_n-1`+2]

[eqn: a_n+1`-a_n`+2=2(a_n`-a_n-1`+2)]

이므로

[eqn: a_n+1`-a_n`+2=(a_2`-a_1`+2)2^n-1] [eqn: (n`ge1)]

[eqn: a_2`=8`]이므로

[eqn: a_n+1`-a_n`=8cdot2^n-1`-2]

따라서 [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} `=a _{1} `+ sum _{k=1} ^{n-1} (a _{k+1}-a_k`)]

[eqn: =2+ sum _{k=1} ^{n-1} (8 CDOT 2^k-1`-2)]

[eqn: =2+ { 8(2^n-1`-1)} over {2-1 }-2(n-1)]

[eqn: =2^n+2`-2(n+2)]

따라서 [eqn: f(n)=8cdot2^n-1`,````g(n)=2^n+2`-2(n+2)]이므로

[eqn: f(10)-g(10)=2^12`-(2^12`-24)=24]

을 만족시킨다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n`right}`]의 일반항을 구하는 과정이다.

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n =2a_n-1 +2n] [eqn: cdots]㉡ ㉠, ㉡에서 [eqn: a_n+1`-a_n`+2=2(a_n`-a_n-1`+2)] [eqn: a_2`=8`]이므로 [eqn: a_n+1 -a_n = box{````(가)````}`-2````(n ge1)] 이다. 따라서 [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} `=a _{1} `+ sum _{k=1} ^{n-1} (a _{k+1}-a_k`)=box{````(나)````}] 이때 [eqn: a_1`=2`]이므로 [eqn: a_n =box {````(나)````}] [eqn: (n`ge1)]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),````g(n)`]이라 할 때,

[eqn: f(10)-g(10)`]의 값은?

[4점][2015년 9월 대성]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

수열 [eqn: left{a_n right}`]은 [eqn: a_1`=1`]이고, [eqn: {RMS} _{ITn} `=`IT sum _{k=1} ^{n}`a_k`]라 할 때,
[eqn: 3{rmS}_n = (n+2) a_n ~(n ge 1 ) `]

정답 ③

[eqn: 3RMS_{ITn}=it(n+2)a_{n}~(n GEQ1)`]에서

[eqn: 3RMS_{ITn+1}=it(n+3)a_{n+1}~(n GEQ1)`]이므로

[eqn: 3RMS_{ITn+1}-3S_{ITn}=it(n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: {rmS}_{n+1}-{rmS}_{n}=a_{n+1}`]이므로

[eqn: 3a_{n+1}=(n+3)a_{n+1}-(n+2)a_{n}`]

[eqn: THEREFORE ~ {a _{n+1}} over {a _{n}} = box{{n+2} over {n}}`]

[eqn: THEREFORE ~ {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES {a _{4}} over {a _{3}} TIMES` cdots ` TIMES {a _{n}} over {a _{n-1}}`]

[eqn: = {3} over {1} TIMES {4} over {2} TIMES {5} over {3} TIMES ` CDOTS` TIMES {n+1} over {n-1}`]

[eqn: = box{{n(n+1)} over {2}}~(n GEQ2)`]

이때 [eqn: a_1 =1`]이므로

[eqn: a _{n} = BOX{{n(n+1)} over {2}} ~(n ge1)`]

따라서 [eqn: f(n)= {n+2} over {n} ,~g(n)= {n(n+1)} over {2}`]이므로

[eqn: f(5) TIMES g(10)= {7} over {5} TIMES {10 TIMES 11} over {2}=77`]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n `]을 구하는 과정이다.

[eqn: 3{rmS}_n = (n+2) a_n ~(n ge 1) `]에서

[eqn: 3{rmS}_n+1 = (n+3)a_n+1 ~(n ge1 ) `]이므로

[eqn: 3 rm S it _{n+1} -3 rm S it _{n} =(n+3)a _{n+1} -(n+2)a _{n} `]이고

[eqn: a_n+1 over a_n =`]

(가)

이다.

따라서

[eqn: a_2 over a_1 times a_3 over a_2 times a_4 over a_3 times `cdots`times a_n overa_n-1 = `]

(나)

[eqn: (n ge 2 ) `]

이고, [eqn: a_1 =1 `]이므로

[eqn: a_n = `]

(나)

[eqn: (n ge 1) `]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n) `]이라 할 때,

[eqn: f(5) times g(10)`]의 값은?

[4점][2015년 11월 대성]

① [eqn: 73`]	② [eqn: 75`]	③ [eqn: 77`]

④ [eqn: 79`]	⑤ [eqn: 81`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =5`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

정답  ②

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 구하는 과정을 증명한다.

주어진 식에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{2n+1} =a _{2n} -2a _{2n-1}]	… ㉠

[eqn: a _{2n+2} =6a _{2n+1} -a _{2n}]	… ㉡

[eqn: a _{2n+3} =a _{2n+2} -2a _{2n+1}]	… ㉢

이므로 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하면

[eqn: a _{2n+3} =a _{2n+2} -2a _{2n+1}]

[eqn: =(6a _{2n+1} -a _{2n} )-2a _{2n+1}]

[eqn: =4a _{2n+1} -(a _{2n+1} +2a _{2n-1} )]

[eqn: =3a _{2n+1} -2a _{2n-1}]

이다. 즉,

[eqn: a _{2n+3} -a _{2n+1} =2(a _{2n+1} -a _{2n-1} )]

[eqn: =2 ^{n} (a _{3} -a _{1} )]

이고, ㉠에서 [eqn: a _{3} =a _{2} -2a _{1} =3]이므로 [eqn: a_3 -a_1 =2]

따라서

[eqn: a _{2n+1} -a _{2n-1} =2 ^{n}] ([eqn: n GEQ 1`])

[eqn: a _{2n-1} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2 ^{k}]

[eqn: =1+ {2(2 ^{n-1} -1)} over {2-1}]

[eqn: =2 ^{n} -1] ([eqn: n GEQ 2`])

이고, [eqn: a _{1} =1`]이므로

[eqn: a _{2n-1} =2 ^{n} -1]([eqn: n GEQ 1])

㉠으로부터

[eqn: a _{2n} =a _{2n+1} +2a _{2n-1}]

이므로

[eqn: a _{2n}][eqn: =(2 ^{`n+1} -1)+2(2 ^{n} -1)]

[eqn: =2 ^{n+2} -3] ([eqn: n GEQ 1`])

이다.

즉, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{2n-1} =2 ^{n} -1], [eqn: a _{2n} =2 ^{`n+2} -3]

이다.

(가)에 알맞은 식은 [eqn: 2^n`]이므로 [eqn: f(n)=2 ^{n}]

(나)에 알맞은 식은 [eqn: 2^n -1]이므로 [eqn: g(n)=2 ^{n} -1]

(다)에 알맞은 식은 [eqn: 2^n+2 -3]이므로 [eqn: h(n)=2 ^{`n+2} -3]

따라서

[eqn: {f(5)g(10)} over {h(10)-1} = {2 ^{5} (2 ^{10} -1)} over {(2 ^{12} -3)-1}][eqn: = {2 ^{5} (2 ^{10} -1)} over {2^2 ( 2 ^{10} -1)} =8]

[eqn: a _{n+2} = {cases{a _{n+1} -2a _{n}&~(`n`이~홀수)#6a _{n+1} -a _{n}&~(`n`이~짝수)}}]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

주어진 식에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{2n+1} =a _{2n} -2a _{2n-1}]     … ㉠

[eqn: a _{2n+2} =6a _{2n+1} -a _{2n}]     … ㉡

[eqn: a _{2n+3} =a _{2n+2} -2a _{2n+1}`]  … ㉢

이므로 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 정리하면

[eqn: a _{2n+3} -a _{2n+1} =2(a _{2n+1} -a _{2n-1} )]

이고, ㉠에서 [eqn: n=1`]일 때 [eqn: a _{3} =3`]이므로

[eqn: a _{2n+1} -a _{2n-1} =` {BOX{``(가)``}] ([eqn: n GEQ 1`])

이다. 따라서

[eqn: a _{2n-1} =` {BOX{``(나)``}}] ([eqn: n GEQ 1`])

이고, ㉠으로부터

[eqn: a _{2n} =a _{2n+1} +2a _{2n-1}]

이므로

[eqn: a _{2n} =` {BOX{``(다)``}}] ([eqn: n GEQ 1`])

이다. 그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{2n-1} =` {BOX{``(나)``}}], [eqn: a _{2n} =` {BOX{``(다)``}}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(n)], (다)에 알맞은 식을 [eqn: h(n)`]이라 할 때, [eqn: {f(5)g(10)} over {h(10) -1} `]의 값은?

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a_1 =2``]이고,
[eqn: na _{n} = sum _{k=1} ^{n} (`n-1)a _{k} ~(n=2,~3,~ CDOTS )`]
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n`]을 구하는 과정이다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)``]이라 할 때, [eqn: {g(6)} over {f(6)} `]의 값은?

정답. ③

[eqn: na _{n} = LEFT ( n-1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} a _{k} ``]
[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n} over {n-1} a _{n} `,~S _{n} = {n} over {n-1} a _{n} `]

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} = {n} over {n-1} a _{n} - {n-1} over {n-2} a _{n-1} `]
[eqn: THEREFORE]  [eqn: a _{n} = {BOX{{LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}} over {n-2}}} CDOT a _{n-1} `` LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]
[eqn: a _{n} = {a _{n}} over {a _{n-1}} CDOT {a _{n-1}} over {a _{n-2}} CDOT `` CDOTS `` CDOT {a _{3}} over {a _{2}} cdot a_2``]
[eqn: = {LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}} over {n-2} TIMES {LEFT ( n-2 RIGHT ) ^{2}} over {n-3} TIMES CDOTS TIMES {2 ^{2}} over {1} TIMES a _{2}]
[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT ) CDOTS 2a _{2} `]
[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) !a _{2} `]
한편 주어진 식에 [eqn: n=2`]를 대입하면
[eqn: 2a_2 =a_1 +a_2`]
[eqn: THEREFORE~~a_2 =a_1 =2`]
[eqn: THEREFORE~~][eqn: a _{n} = {BOX{2 LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) !`}} `` LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]
따라서 [eqn: (가)= {LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}} over {n-2} `,~(나)=2 LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) !`]이므로
[eqn: THEREFORE ~~ {g(6)} over {f(6)} = {2 CDOT 5 CDOT 5!} over {{25} over {4}} =192]

주어진 식에 의하여 [eqn: na _{n} = LEFT ( n-1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} a _{k} ``]이므로
[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} ``]라 할 때,

[eqn: S _{n} = {n} over {n-1} a _{n} `]
이다.
[eqn: 3 `]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_n =S_n -S_n-1 ``]
이 성립하므로
[eqn: a _{n} = {BOX{{} ^{} ~(가)~ _{}}}cdot a_n-1`` LEFT ( n GEQ3 RIGHT )]
이다. 따라서
[eqn: a _{n} = {a _{n}} over {a _{n-1}} CDOT {a _{n-1}} over {a _{n-2}} CDOT `` CDOTS `` CDOT {a _{3}} over {a _{2}} cdot a_2``]

[eqn: = {BOX{{} ^{} ~(나)~ _{}}} `` LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]

[4점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: 124]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 192]
④ [eqn: 208]	⑤ [eqn: 312]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: S_n = sum _{ k=1} ^{n } a_k]라 할 때,

정답 ⑤

[eqn: S_n+1 + 1 = 2^n (S_n +1)] [eqn: cdots]㉠

이고 [eqn: b_n = log_2 (S_n + 1)]

이므로 [eqn: therefore~S_n + 1 = 2^b_n]  [eqn: therefore~S_n+1 + 1 = 2^b_n+1]이다.

[eqn: therefore] ㉠ [eqn: RARROW~ 2^b_n+1 = 2^n cdot 2^b_n]

[eqn: RARROW] [eqn: b_n+1 = box{~n~} + b_n]   [eqn: therefore~box{~(가)~} = n]

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = 2^{{n^2 - n + 2 }over 2} - 2^{box{ {(n-1)^2 - (n-1) + 2 }over 2}}]

[eqn: therefore box {~(나)~} = {n^2 - 3n + 4} over 2]

[eqn: therefore~ f(n) = n~~ g(n) = {n^2 - 3n + 4} over 2]

[eqn: therefore~ f(12)=12 ~~g(5) = 7]

[eqn: therefore~f(12) - g(5) = 12-7 = 5]

[eqn: a_n+1 = (2^n -1)(S_n + 1)~(n ge 1)]       [eqn: cdotscdots] (*)

이 성립한다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

식 (*)의 양변에 [eqn: S_n]을 더하여 정리하면

[eqn: S_n+1 + 1 = 2^n (S_n +1)]

이다. [eqn: b_n = log_2 (S_n + 1)]이라 하면 [eqn: b_1 =1]이고

[eqn: b_n+1 = box{~(가)~} + b_n]

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n = {n^2 - n + 2} over 2]    [eqn: (n ge 1)]

이므로

[eqn: S_n = 2^{{n^2 - n + 2 }over 2} - 1]  [eqn: (n ge 1)]

이다. 그러므로 [eqn: a_1 =1]이고 [eqn: n ge 2]일 때,

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = 2^{{n^2 - n + 2 }over 2} - 2^{box{~(나)~}}]

이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,

[eqn: f(12) - g(5)]의 값은?

[4점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left {a_n right }]은 [eqn: a_1 =2]이고, [eqn: a_n = sum_k=1^n-1 `-k over k+1 a_k] [eqn: (n ge 2)]를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p times f(3)times g(4)]의 값은?

정답 ④

자연수 [eqn: n(n ge 3)]에 대하여

[eqn: a_n -a_n-1 = sum_k=1^n-1 -k over k+1 a_k - sum_k=1^n-2 -k over k+1 a_k][eqn: = box {`- n-1 over n`} `a_n-1]

[eqn: a_n = box {` 1 over n`}`a_n-1] [eqn: (n ge 3)]

[eqn: n=3,~4,~5,~cdots,~n]을 차례로 대입하여 정리하면

[eqn: a_n = box {`-2`}` 1 over n!] [eqn: (n ge 3)]

[eqn: therefore```p times f(3) times g(4)=-2 cdot -2 over 3 cdot 1 over 4 = 1 over 3]

주어진 식으로부터 [eqn: a_2 =`- 1 over 2 a_1 `=`-1]이다.

자연수 [eqn: n] [eqn: (n ge 3)]에 대하여

[eqn: a_n -a_n-1 = sum_k=1^n-1`-k over k+1 a_k - sum_k=1^n-2`-k over k+1 a_k = box {~~(가)~~}`a_n-1]

[eqn: a_n = box {~~(나)~~}`a_n-1] [eqn: (n ge 3)]

[eqn: n=3,~4,~5,~cdots,~n]을 차례로 대입하여 정리하면

[eqn: a_n = box {~~(다)~~}` 1 over n!] [eqn: (n ge 3)]

[eqn: cdots cdots]

[4점] [2015년 07월 종로]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: - 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 2]

수열 [eqn: "{"a_n"}"]은 [eqn: a _{1} =2``]이고,
[eqn: a _{n+1} -1= {(n+1)a _{n} -1} over {n+2} ~(n GEQ 1)]	…… (＊)
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} ``]을 구하는 과정이다.

정답 ④

(＊)의 양변에 [eqn: n+2``]를 각각 곱하면
[eqn: (n+2)a _{n+1} -(n+2)=(n+1)a _{n} -1]

위 등식을 정리하면

[eqn: (n+2)a _{n+1} =(n+1)a _{n} +` {BOX{~~n+1~~}} ``]이다. [eqn: b _{n} =(n+1)a _{n} ``]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: b _{n+1} =b _{n} +` {BOX{~~n+1~~}} ``]이고,

[eqn: b _{1} =2a _{1} =2 TIMES 2=4``]이므로

[eqn: b _{n} =4+ sum _{k=1} ^{n-1} `(k+1)]

[eqn: =4+ {n(n-1)} over {2} +n-1]

[eqn: =3+ {n ^{2} +n} over {2} ~(n GEQ 2)]	[eqn: cdots cdots㉠]

㉠은 [eqn: n=1``]일 때도 성립하므로

[eqn: b _{n} =` {BOX{~~3+ {n ^{2} +n} over {2} ~~}} ~(n GEQ 1)]

이다. 그러므로

[eqn: a _{n} = {b _{n}} over {n+1} = {{BOX{~~3+ {n ^{2} +n} over {2} ~~}}} over {n+1} = {3} over {n+1} + {n} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~f(n)=n+1,~g(n)=3+ {n ^{2} +n} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~f(9)+g(9)=10+48=58]

(＊)의 양변에 [eqn: n+2``]를 각각 곱하면 [eqn: (n+2)a _{n+1} -(n+2)=(n+1)a _{n} -1] [eqn: (n+2)a _{n+1} =(n+1)a _{n} +`box{~~(가)~~}] 이다. [eqn: b _{n} =(n+1)a _{n} ``]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: b _{n+1} =b _{n} +`box{~~(가)~~}] 이고, [eqn: b _{1} =4``]이므로 [eqn: b _{n} =` {BOX{~~(나)~~}} ~(n GEQ 1)] 이다. 그러므로 [eqn: a _{n} = {box{~~(나)~~}} over {n+1} ~(n GEQ 1)] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n) ,] [eqn: g(n)``]이라 할 때,

[eqn: f(9)+g(9)``]의 값은?

[[eqn: 4]점] [2015년 8월 비상]

① [eqn: 55]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 57]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 59]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2`]이고,

정답 ⑤

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {a _{n} +3} over {n+1}] [eqn: (n GEQ 1)]에서

[eqn: (n+1)(a _{n+1} -a _{n} )=a _{n} +3]

[eqn: (n+1)a _{n+1} =(n+2)a _{n} +3]

양변을 [eqn: (n+1)(n+2)`]로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {n+1} +]

[eqn: {3} over {(n+1)(n+2)}]

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n+1} `]이라 하면 [eqn: b _{1} = {a _{1}} over {2} =1`]이므로

[eqn: b _{n} =b _{n} + {3} over {(n+1)(n+2)}] [eqn: (n GEQ 1)]

[eqn: THEREFORE b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} {3} over {(k+1)(k+2)`}] [eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: =1+3 sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: =1+3 LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1+3` LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: =1+] [eqn: = {5n-1} over {2n+2}]

[eqn: {3(n-1)} over {2(n+1)}]

즉, [eqn: {a _{n}} over {n+1} = {5n-1} over {2n+2}]이므로

[eqn: a _{n} = {5n-1} over {2} ``][eqn: (n GEQ 2)] [eqn: CDOTS ``]㉠

㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: a _{1} = {5-1} over {2} =2`]

이므로

[eqn: a _{n} =`] [eqn: (n GEQ 1)]

[eqn: {5n-1} over {2}]

따라서 [eqn: f(n)= {3} over {(n+1)(n+2)} ,```g(n)= {3(n-1)} over {2(n+1)} `,``h(n)= {5n-1} over {2}]

이므로

[eqn: {g(5)+h(3)} over {f(5)} = {1+7} over {{1} over {14}} =112]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {a _{n} +3} over {n+1}] [eqn: (n GEQ 1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {a _{n} +3} over {n+1}] [eqn: (n GEQ 1)]에서 [eqn: (n+1)a _{n+1} =(n+2)a _{n} +3] 양변을 [eqn: (n+1)(n+2)`]로 나누면 [eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {n+1} +] [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n+1} `]이라 하면 [eqn: b _{n+1} =b _{n} +] [eqn: (n GEQ 1)]이므로 [eqn: b _{n} =b _{1} +`] 이다. 따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항 [eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n`} =] [eqn: (n GEQ 1)]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`,`g(n),``h(n)`]이라 할 때, [eqn: {g(5)+h(3)} over {f(5)} `]의 값은?

[4점][2015년 10월 대성]

① [eqn: 96]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 112]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

정답 ④

[eqn: b _{n} = {S _{n}} over {2 ^{n}}]이라 하면 [eqn: b _{1} = {S _{1}} over {2} = {BOX{` {1} over {2} `}}]이고,

[eqn: b_n+1 = b_n + 1 over 2]이므로

[eqn: b_n = 1 over 2 + (n-1) 1 over 2 =box{`n over 2`}]

즉, [eqn: {S _{n}} over {2 ^{n}}= n over 2]이므로

[eqn: S_n][eqn: = n over 2 times 2^n = n times 2^n-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_n][eqn: =S_n - S_n-1]

[eqn: = n times 2^n-1 -(n-1) times 2^n-2]

[eqn: =LEFT { 2n-(n-1) RIGHT } times 2^n-2]

[eqn: =(n+1) times 2^n-2] [eqn: (n GEQ 2)]

이때, [eqn: a_1 = S_1]이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( ` {BOX{`n+1`}} ` RIGHT ) TIMES 2 ^{n-2}] [eqn: (n GEQ 1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= 1 over 2], [eqn: f(n) = n over 2], [eqn: g( n) = n+1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+ f(3) + g(4) = 1 over 2 + 3 over 2 + 5 =7]

[eqn: a_n+1 = S_n + 2^ n] [eqn: (n GEQ 1)] …… ㉠

이 성립한다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} =S _{n+1} -S _{n}]이므로 ㉠에서

[eqn: S_n+1 = 2 S_n + 2^n] [eqn: (n GEQ 1)]

위 식의 양변을 [eqn: 2^ n+1]으로 나누면

[eqn: {S _{n+1}} over {2 ^{n+1}} = {S _{n}} over {2 ^{n}} + {1} over {2}]

이때, [eqn: b _{n} = {S _{n}} over {2 ^{n}}]이라 하면 [eqn: b _{1} = {BOX{``````(가)``````}}]이므로

[eqn: b _{n} = {BOX{``````(나)``````}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S_n][eqn: = {BOX{``````(나)``````}}` times 2^n]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n} = LEFT ( ` {BOX{``````(다)``````}} ` RIGHT ) ` TIMES 2 ^{n-2}] [eqn: (n GEQ 1)]

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(3)+g(4)]의 값은?

[4점][2015년 11월 중앙]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1`= { 1} over { 4}]이고
[eqn: left(n+1right)a _{n} `=a _{n+1} left(3n-2a _{n} right)] [eqn: (n ge1)]
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

	주어진 식의 양변을 [eqn: a_{n}a_{n+1}]로 나누면 [eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}] 이다. [eqn: b_{n}= { n} over{ a_{n}}]이라 하면 [eqn: b_{n+1}=3b_{n}+box{``(가)``}] 이고, [eqn: b _{n+1} -1=3left(b _{n} -1 right)]이다. [eqn: b_1`= 4]이므로 [eqn: b _{n} -1=box{``(나)``}] [eqn: b_{n}=box{``(나)``}+1] 이다. 그러므로 [eqn: a_n`= { n} over {box{``(나)``}+1}] ([eqn: n GEQ 1]) 이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라
할 때, [eqn: p+ f(3)]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여

추론하기

주어진 식의 양변을 [eqn: a_{n}a_{n+1}]로 나누면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}]

이다. [eqn: b_{n}= { n} over{ a_{n}}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =3b _{n} + {BOX{``` LEFT ( -2 RIGHT ) ```}}]

이고, [eqn: b _{n+1} -1=3(b _{n} -1)]이다.

[eqn: b_1`= 4]이므로 수열 [eqn: LEFT { b _{n} -1 RIGHT }]은

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다.

[eqn: b _{n} -1= {BOX{`3 ^{n} `}}]

[eqn: b _{n} = {BOX{`3 ^{n`}}} +1]

이다. 그러므로

[eqn: a _{n} `= {n} over {{BOX{`3 ^{n} `}} +1}] ([eqn: n geq 1])

이다.

[eqn: p=-2,``f(n)=3^n]

따라서 [eqn: -2+f(3)=25]

[4점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 24]	②	[eqn: 25]	③	[eqn: 26]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 28]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]은 [eqn: a _{1} =3`]이고,

정답 ⑤

추론 능력 (증명) - 수열

( * )의 양변에 [eqn: 2n+1]을 가각 더하면

[eqn: a _{n+1} +2n+1][eqn: =a _{n} +2 sqrt {a _{n} +2n-1} -1+2n+1]
[eqn: = LEFT ( a _{n} +2n-1 RIGHT ) +2 sqrt {a _{n} +2n-1} +1]
[eqn: = LEFT ( sqrt {a _{n} +2n-1} RIGHT ) ^{2} +2 sqrt {a _{n} +2n-1} +1]
[eqn: = LEFT ( sqrt {a _{n} +2n-1} + BOX{`1`} RIGHT ) ^{2}]

이때, ( * )에서 [eqn: a _{n+1} >a _{n} >0`]이므로

[eqn: sqrt {a _{n+1} +2n+1} = sqrt {a _{n} +2n-1} +1]

수열 [eqn: LEFT { sqrt {a _{n} +2n-1} ` RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: sqrt {a _{1} +2-1} =2,`````]공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이므로

[eqn: sqrt {a _{n} +2n-1} =box{``n+1``}```]

따라서, 수열 [eqn: left{a _{n} `right}]의 일반항은

[eqn: a _{n} =(n+1) ^{2} -(2n-1)=box{``n ^{2} +2``}]

[eqn: THEREFORE ````p=1,````f(n)=n+1,````g(n)=n ^{2} +2]

[eqn: therefore````p+f(7)+g(9)=1+8+83=92]

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2 sqrt {a _{n} +2n-1} -1]	[eqn: (n`geq`1)]	[eqn: cdotscdotscdotscdots](*)

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n`}]을 구하는 과정이다.

(*)의 양변에 [eqn: 2n+1]을 각각 더하여 정리하면 [eqn: a _{n+1} +2n+1= LEFT ( sqrt {a _{n} +2n-1} +box{````(가)````} RIGHT ) ^{2}] 이때, (*)에서 [eqn: a _{n+1} >a _{n} >0`]이므로 [eqn: sqrt {a _{n+1} +2n+1} = sqrt {a _{n} +2n-1} +box{````(가)`````}] 따라서, 수열 [eqn: left{ sqrt {a _{n} +2n-1} `right}`]의 일반항은 [eqn: sqrt {a _{n} +2n-1} =box{````(나)````}] 이러므로 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]의 일반항은 [eqn: a _{n} =box{````(다)````}] 이다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),````g(n)`]이라 할 때, [eqn: p+f(7)+g(9)]의 값은?  [4점]

① [eqn: 84]	② [eqn: 86]	③ [eqn: 88]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 92]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right} `]은 [eqn: a_1 = 10 `]이고

[eqn: left( a_n+1 right)^n+1 `=` { a_1 + left( a_2 right)^2 + left( a_3 right)^3 + ` cdots ` + left( a_n right)^n } over n] ([eqn: n Ge 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n `]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: b_n `=` left( a_n right)^n `]이라 하면 [eqn: b_1 `=`10 `]이고 주어진 식으로부터

[eqn: b_n+1 `=` { b_1 + b_2 +` cdots ` + b_n } over n] ([eqn: n Ge 1])

이다. [eqn: S_n `= Sum from {k=1} to n ` b_k `]라 하면

[eqn: S_n+1 `=` box {~ (가)~} `times S_n]

이다.

[eqn: S_1 `=`10],

[eqn: S_n `=` S_1 times S_2 over S_1 times S_3 over S_2 times ` cdots ` times S_n over S_n-1] ([eqn: n Ge 2])

를 이용하여 [eqn: S_n `]을 구하면

[eqn: S_n `=` box{ ~ (나)~ }] ([eqn: n Ge 1])

이다.

[eqn: vdots]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n) `]이라 할 때, [eqn: f(5) times g(6) `]의 값은?

정답 ①

[eqn: S_n `= Sum from { k=1} to n ` b_k `]라 하면 [eqn: b_n+1 `=` { b_1 + b_2 + ` cdots ` +b_n } over n `]으로부터

[eqn: b_n+1 `=` S_n over n] [eqn: Lrarrow] [eqn: n ` b_n+1 `=` S_n] [eqn: cdots ~ ㉠]

마찬가지 논리로

[eqn: b_n+2 `=` S_n+1 over n+1] [eqn: Lrarrow] [eqn: (n+1) b_n+2 `=` S_n+1] [eqn: cdots ~ ㉡`]

이므로 [eqn: ㉡-㉠`]으로부터

[eqn: (n+1) b_n+2 - n ` b_n+1 `=` S_n+1 - S_n]

[eqn: Lrarrow] [eqn: (n+1) b_n+2 - n ` b_n+1 `=` b_n+1]

[eqn: Lrarrow] [eqn: (n+1) b_n+2 `=` (n+1) b_n+1]

∴ [eqn: b_n+2 `=` b_n+1] (∵ [eqn: n Ge 1])

또한 [eqn: ㉡ div ㉠`]으로부터 [eqn: { (n+1) b_n+2 } over {n `b_n+1 } `=` S_n+1 over S_n]이므로

[eqn: S_n+1 `=` box {`` n+1 over n ``} ` times S_n]

[eqn: S_n `=` S_1 times S_2 over S_1 times S_3 over S_2 times ` cdots ` times S_n over S_n-1]

[eqn: =` 10 times 2 over 1 times 3 over 2 times ` cdots ` times n over n-1]

[eqn: =` box {``10n``}]

[eqn: f(n) `=` n+1 over n], [eqn: g (n) `=` 10n `]이므로

[eqn: f(5) times g(6) `=` 6 over 5 times 60 `=` 72]

[4점][2015년 9월 평가원]

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

첫째항이 [eqn: 15]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면

정답 ②

[eqn: a _{n+1} =S _{n} +n`times`4 ^{n+1} +1` LEFT ( n`geq`1 RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: n`geq2]일 때, ㉠에서 [eqn: n] 대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: a _{n} =S _{n-1} + LEFT ( n-1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n} +1` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =S _{n} -S _{n-1} +n TIMES `4 ^{n+1} - LEFT ( n-1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n}]

[eqn: =a _{n} + LEFT ( 4n-n+1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n}]

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} + LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n} ` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )]

위의 등식의 양변을 [eqn: 2 ^{n+1}]으로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {2 ^{n+1}} = {a _{n}} over {2 ^{n}} + LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES `2 ^{n-1} ` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )]

이때, [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {2 ^{n`}} ` LEFT ( n`geq`2 RIGHT )]이라 하면

[eqn: a _{2} =S _{1} +1times4 ^{1+1} +1=15+16+1=32]이므로

[eqn: b _{2} = {a _{2}} over {2 ^{2}} = {32} over {4} =] [eqn: 8]

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES `2 ^{n-1} ` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: b _{n} =][eqn: b _{n}][eqn: +` sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) times2 ^{k-1}]

[eqn: =][eqn: 8][eqn: +` sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2 ^{k} -2 ^{k-1} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: 8][eqn: + sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k} - sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: =][eqn: 8][eqn: + sum _{k=3} ^{n} LEFT ( 3k-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1} - sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: =][eqn: 8][eqn: + LEFT ( 3n-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} -14][eqn: + sum _{k=3} ^{n-1} LEFT { LEFT ( 3k-2 RIGHT ) - LEFT ( 3k+1 RIGHT ) RIGHT } TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: = LEFT ( 3n-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} - sum _{k=2} ^{n-1}] [eqn: 3times2 ^{k-1}]

[eqn: = LEFT ( 3n-5 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} +6]

따라서, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은

[eqn: a _{1} =15], [eqn: a _{n} = LEFT ( 3n-5 RIGHT ) times2 ^{2n-1} +6times2 ^{n} ` LEFT ( n`geq2 RIGHT )]이다.

[eqn: therefore][eqn: p=8], [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3times2 ^{k-1}]

[eqn: therefore][eqn: p+f LEFT ( 5 RIGHT ) =8+3times2 ^{4} =56]

[eqn: a _{n+1} =S _{n} +n`times`4 ^{n+1} +1` LEFT ( n`geq`1 RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이 성립한다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

㉠으로부터

[eqn: a _{n} =S _{n-1} + LEFT ( n-1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n} +1` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 각 변끼리 뺀 식을 정리하면

[eqn: a _{n+1} =2a _{n} + LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES `4 ^{n} ` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )]

위의 등식의 양변을 [eqn: 2 ^{n+1}]으로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {2 ^{n+1}} = {a _{n}} over {2 ^{n}} + LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES `2 ^{n-1} ` LEFT ( n` GEQ `2 RIGHT )]

이때, [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {2 ^{n`}} ` LEFT ( n`geq`2 RIGHT )]이라 하면 , [eqn: b _{2}][eqn: =box{~(가)~}`]이므로

[eqn: b _{n}][eqn: =box{~(가)~}`][eqn: +` sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) times2 ^{k-1}]

[eqn: =box{~(가)~}`][eqn: +` sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2 ^{k} -2 ^{k-1} RIGHT )]

[eqn: =box{~(가)~}`][eqn: + sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k} - sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: =box{~(가)~}`][eqn: + sum _{k=3} ^{n} LEFT ( 3k-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1} - sum _{k=2} ^{n-1} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: =box{~(가)~}`][eqn: + LEFT ( 3n-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} -14]

[eqn: + sum _{k=3} ^{n-1} LEFT { LEFT ( 3k-2 RIGHT ) - LEFT ( 3k+1 RIGHT ) RIGHT } TIMES 2 ^{k-1}]

[eqn: = LEFT ( 3n-2 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} - sum _{k=2} ^{n-1}][eqn: box{~(나)~}`]

[eqn: = LEFT ( 3n-5 RIGHT ) TIMES 2 ^{n-1} +6]

이다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은

[eqn: a _{1} =15], [eqn: a _{n} = LEFT ( 3n-5 RIGHT ) times2 ^{2n-1} +6times2 ^{n} ` LEFT ( n`geq2 RIGHT )]

이다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: p+f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은?

[4점][2015년 10월 중앙]

① [eqn: 54]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 62]

지수(2점)

[eqn: 2 ^{{2} over {3}} TIMES root {3} of {16}`]의 값은?

정답 ②

계산 능력 – 지수와 로그

[eqn: 2 ^{{2} over {3}} TIMES root {3} of {16}`][eqn: =2 ^{{2} over {3}} TIMES 2 ^{{4} over {3}} =2 ^{{2} over {3} + {4} over {3}} =2 ^{2} =4]

수학 영역

[2점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 4^{ 1over2} times 8^{ 1over3}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산하기

[eqn: 4 ^{{1} over {2}} TIMES 8 ^{{1} over {3}} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {2}} TIMES LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {3}} =2`times2=4]

[2점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 9 times 4 ^{3 over2]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 9 times 4 ^{3 over2][eqn: =9 times (2^2 ) ^{3 over2][eqn: =9 times2^3][eqn: =9 times 8 =72]

수학Ⅱ 모의고사 단원별 총모음 2015년

[2점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 36]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 72]

[eqn: left( - 1 over 2 right)^{-3} div left( sqrt2 right)^6]의 값은?

정답 ③

계산능력 – 지수함수와 로그함수

[eqn: left( - 1 over 2 right)^{-3} div left( sqrt2 right)^6]=[eqn: left(-8) times 1 over 8 = -1]

[2점][2015년 9월 중앙]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - 1 over 2]	⑤ [eqn: - 1 over 4]

[eqn: root {3} of {2 ^{4}} times8÷ root {5} of {2 ^{2}}]의 값은?

정답 ④

[eqn: root {3} of {2 ^{4}} TIMES 8÷ root {5} of {2 ^{2}} =2 ^{{4} over {3}} TIMES 2 ^{3} ÷2 ^{{2} over {6}}]

[eqn: =2 ^{{4} over {3} +3- {1} over {3}} =2 ^{4} =16]

[2점][2015년 11월 종로]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: 9^ { 1 over 9 } TIMES 27^ { 1 over 27 }]을 계산하면?

정답 ②

[eqn: 9^ { 1 over 9 } TIMES 27^ { 1 over 27 }] [eqn: =(3^2 )^ { 1 over 9 } TIMES (3^3 )^ { 1 over 27 }][eqn: =3 ^{{2} over {9} +{1} over {9}} =3^ { 1 over 3 }]

[2점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 3^ { 1 over 6 }]	② [eqn: 3^ { 1 over 3 }]	③ [eqn: 3^ { 1 over 2 }]
④ [eqn: 3^ { 2 over 3 }]	⑤ [eqn: 3^ { 5 over 6 }]

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16}]의 값은? [2점]

정답 ②

[출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} =2 ^{` {1} over {3} `+` {4} over {6}} =2]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]       ⑤ [eqn: 5]

[2점][2015년 고2 9월 인천]

[eqn: 3`times8 ^{{2} over {3} `}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 3` TIMES 8 ^{{2} over {3} `} =3 TIMES (2 ^{3} ) ^{{2} over {3}} =3 TIMES 4=12]

[2점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 6]      ② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]      ④ [eqn: 12]      ⑤ [eqn: 14]

[eqn: log`_2 ``25 times log`_5 `` 4]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: log`_2 ``25 times log`_5 `` 4 = { log``5^2 } over {log``2} times { log``2^2 } over { log``5} = 2 times 2 =4]

[2점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 2 ^{-2} TIMES 6 ^{3}]의 값은?

정답 [eqn: ③]

[eqn: 2 ^{-2} TIMES 6 ^{3} =2 ^{-2} TIMES LEFT ( 2 TIMES 3 RIGHT ) ^{3} =2 ^{-2+3} TIMES 3 ^{3} =54]

[2점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 42]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 54]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 66]

[eqn: { sqrt 3 of 2} over { sqrt 3 of 16 }]의 값은?

정답 ①
[eqn: { sqrt 3 of 2} over { sqrt 3 of 16 }][eqn: = sqrt 3 of {2 over 16} = sqrt 3 of { 1 over 8 }][eqn: = sqrt 3 of{ left( 1 over 2 right)^3][eqn: = 1over 2]

[2점][2015년 7월 대성]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 6]

[eqn: 8 ^ {1 over3 } times 9 ^ { 3 over2 }]의 값은? [2점]

정답 ③

[eqn: 8^{1 over3 } times 9 ^ {3 over2 } = (2^3 ) ^{1 over3} times(3^2 ) ^{3 over2} = 2 times 27 =54]

① [eqn: 42]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 54]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 66]

[2점][2015년 9월 대성]

[eqn: root {3} of {2} times root {6} of {16}]의 값은?

정답 ③

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} = root {3} of {2} TIMES root {3} of {sqrt {16}} = root {3} of {2} TIMES root {3} of {4}]

[eqn: = root {3} of {2 TIMES 4} = root {3} of {2 ^{3}} =2]

[다른 풀이]

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} =2 ^{{1} over {3}} TIMES 16 ^{{1} over {6}} =2 ^{{1} over {3}} TIMES LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {6}}]

[eqn: =2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {3} + {2} over {3}} =2]

[2점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: root {3} of {4}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root {3} of {16}]	⑤ [eqn: 4]

지수방정식 [eqn: 2 ^{2x+1} =32]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: 2 ^{2x+1} =2 ^{5}]이므로 [eqn: 2x+1=5]

따라서 [eqn: x=2]

[2점][2015년 11월 고2 (가) 경기교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 4 ^{- {3} over {2}} TIMES 8 ^{{5} over {3}} `]의 값은?

정답  ④

[2015년 3월 교육청]

[출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: 4^{- 3 over 2 } times 8^{5 over 3}][eqn: =(2 ^{2} ) ^{- {3} over {2}} TIMES (2 ^{3} ) ^{{5} over {3}}]
[eqn: = 2^-3 times 2^5][eqn: = 2^2][eqn: =4]

[2점][2015년 3월 서울시 교육청]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 8]

[eqn: root {3} of {2 ^{5}} TIMES 2 ^{3} ÷2 ^{{2} over {3}} `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: root {3} of {2 ^{5}} TIMES 2 ^{`3} ÷2 ^{{2} over {3}} `=`2 ^{` {5} over {3} +3- {2} over {3}} `=`2 ^{`4} `=`16`]

[[eqn: 2`]점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: root {3} of {2} `]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16`]

[eqn: 8 ^{1 over {3}}+9^{1 over2]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 8 ^{1 over {3}}+9^{1 over2} =(2^3 ) ^{1 over {3}}+(3^2 ) ^{1 over2} =2+3=5]

[2점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 8 ^{{1} over {3}} TIMES 4 ^{{3} over {2}}]의 값은? [[eqn: 2`]점] [2015년 07월 종로]

정답. ④

[eqn: 8 ^{{1} over {3}} TIMES 4 ^{{3} over {2}} =(2 ^{3} ) ^{{1} over {3}} TIMES (2 ^{2} ) ^{{3} over {2}} =2 TIMES 8=16]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: 2 ^{- {1} over {3}} times3 ^{{1} over {6}} times6 ^{{1} over {3}}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 2 ^{- {1} over {3}} TIMES 3 ^{{1} over {6}} TIMES 6 ^{{1} over {3}} =2 ^{- {1} over {3}} TIMES 3 ^{{1} over {6}} TIMES LEFT ( 2times3 RIGHT ) ^{{1} over {3}}]

[eqn: =2 ^{- {1} over {3} + {1} over {3}} TIMES 3 ^{{1} over {6} + {1} over {3}}]

[eqn: =1 TIMES 3 ^{{1} over {2}}]

[eqn: = sqrt {3}]

[2점][2015년 10월 종로]

① [eqn: 1]	② [eqn: root {3} of {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: root {3} of {3}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

[eqn: 3times27 ^{{2} over {3}}]의 값은?

정답 ①

[eqn: 3 TIMES 27 ^{{2} over {3}} =3 TIMES LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{{2} over {3}}]

[eqn: =3 TIMES 3 ^{2}]

[eqn: =3 ^{3} =27]

[2점][2015년 11월 중앙]

① [eqn: 27]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[eqn: 8^ {- 8over3} times root16^3 `]의 값은?

정답 ②

[eqn: 8^{- 8over3}=left(2^3 right)^{- 8over3} =2^-8`]

[eqn: root16^3 = 16^ {3over2} = left(2^4 right)^{3over2} = 2^6 `]

이므로

[eqn: 8^ {- 8over3} times root16^3 =2^-8 times 2^6 =2^ -8+6 = 2^-2 = 1over4`]

[2점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 1over8`]	② [eqn: 1over4`]	③ [eqn: 1over2`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

[eqn: 27 ^{{1} over {3}} TIMES 9 ^{{1} over {2}} `]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 27 ^{{1} over {3}} TIMES 9 ^{{1} over {2}} `=(3 ^{3} ) ^{{1} over {3}} TIMES (3 ^{2} ) ^{{1} over {2}} `=3 ^{1} TIMES 3 ^{1} =3 ^{2`} =9`]

[2점][2014년 고2 6월 부산]

① [eqn: {1} over {9} ``]	② [eqn: {1} over {3} ``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: root {3} of {8} TIMES 2 ^{2} `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: root {`3} of {8} TIMES 2 ^{2} `= root {3} of {2 ^{3}} TIMES 4=2` TIMES `4=8``]

[2점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14`]

[eqn: left( 1over 8 right)^{1over3} TIMES left( 1over4 right)^{- 1over2}]의 값은?

정답 ④

계산 능력-지수와 지수함수

[eqn: left( 1over 8 right)^{1over3} TIMES left( 1over4 right)^{- 1over2}][eqn: =left(2^-3 right)^{1over3} TIMES left( 2^-2 right)^{- 1over2}][eqn: =2^-1 TIMES 2][eqn: =1]

[2점][2015년 5월 비상]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: root {3} of {2} TIMES 16 ^{{2} over {3}}]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: root {3} of {2} TIMES 16 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{8} over {3}} =2 ^{3} =8`]

[2점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 2`]	②	[eqn: 2 sqrt {2}]	③	[eqn: 4`]	④	[eqn: 4 sqrt {2}]	⑤	[eqn: 8`]

[eqn: 2 times 27^{ 1 over 3}`]의 값은?

[2점][2015년 9월 평가원]

정답 ①

[eqn: 2 times 27^{ 1 over 3} = `2 times 3 `=` 6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: 8 ^ {1over3} + 27^ {2 over3}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 지수의 법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: 8 ^{{1} over {3}} +27 ^{{2} over {3}}][eqn: = LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {3}} + LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{{2} over {3}}]
[eqn: =2 ^{1} +3 ^{2}]
[eqn: =2+9=11]

[2점][2016(A) /수능 2]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

지수(3점)

두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2^{`a} =3 `], [eqn: 3^{`b} = root2 `]가 성립할 때, [eqn: a ` b`]의 값은?

정답  ④

[출제의도] 지수법칙과 거듭제곱근을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{`a}`][eqn: =3`]이므로 이 식을 [eqn: 3 ^{`b}`][eqn: = sqrt {2} `]에 대입하면

[eqn: left( {2^{`a}right)^{`b}`][eqn: = root2 `]

이 식을 정리하면 [eqn: {2^{`ab}`][eqn: = 2^{` 1over 2}`]이므로 [eqn: ab`][eqn: = 1 over 2 `]

[다른 풀이  1]

로그의 정의에 의해

[eqn: a`][eqn: = log_2` 3`], [eqn: b`][eqn: =log _{3} ` sqrt {2} `]

따라서 [eqn: ab`][eqn: =log _{2} `3` cdot`log _{3} ` sqrt {2} `][eqn: =log _{2} sqrt {2} `][eqn: = {1} over {2} `]

[다른 풀이  2]

주어진 식의 양변에 밑이 [eqn: 3`]인 로그를 취하면

[eqn: a`log _{3} `2`][eqn: =1`], [eqn: b`][eqn: = {1} over {2} rm log _{3} `2`]

[eqn: a= {1} over {log _{3} `2} `]

따라서 [eqn: ab`][eqn: = {1} over {log _{3} `2} `cdot` {1} over {2} rm log _{3} `2`][eqn: = 1 over 2 `]

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1over 2]	⑤ [eqn: 1}]

[eqn: 30 LEQ a LEQ 40], [eqn: 150 LEQ b LEQ294`]일 때, [eqn: sqrt {a} +root {3} of {b} `]의 값이 자연수가 되도록 하는 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 252]

[2014년 3월 교육청]

[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수를 구한다.

[eqn: sqrt {a} + root {3} of {b} `]이 자연수가 되기 위해서는 [eqn: a`]는 어떤 자연수의 제곱 꼴이고 [eqn: b`]는 세제곱 꼴이다.

[eqn: 5^2 <30`le`a`le`40`< 7^2 `]이므로 [eqn: a`][eqn: =`6 ^{2} `]

또, [eqn: 5 ^{3} <150`][eqn: =`5 ^{2} TIMES 6 < 6^3 `]이고

[eqn: 6^3 <294 `][eqn: =7 ^{2} times 6 < 7^3 `]

이므로 [eqn: 5< root 3 of b `< 7`], [eqn: b`][eqn: = 6 ^{3} `]

따라서 [eqn: a+b`][eqn: =36+216`][eqn: =252`]

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]가 [eqn: 2 ^{`x} =3 ^{`y} =24`]를 만족시킬 때,

정답  ③

[2015년 3월 교육청]

[출제의도] 로그의 성질을 이해하고 식의 값을 구한다.

[eqn: 2`^x = 24]이므로

[eqn: x=log _{2} `24=log _{2} (2 ^{3} TIMES 3)=3+log _{2} `3]

따라서 [eqn: x-3 = log_2 ` 3]

[eqn: 3`^y = 24`]이므로

[eqn: y=log _{3} `24=log _{3} (3 TIMES 8)=1+log _{3} `8]

따라서 [eqn: y-1 = log_3 ` 8]

그러므로 [eqn: (x-3)(y-1)]의 값은

[eqn: (x-3)(y-1) = log_2 ` 3 ` log_3 ` 8]

[eqn: = log_2 ` 3 times {log_2 ` 8}over{log_2 ` 3}]

[eqn: = log_2 ` 8 = 3]

[eqn: (x-3)(y-1)`]의 값은?

[3점][2015년 3월 서울시 교육청]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

두 실수 [eqn: x,`y]가 [eqn: 2 ^{x+1} =` {2} over {3} `,`3 ^{y-1} `=` {1} over {24}]을 만족시킬 때, [eqn: xy]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 3]

이해력 – 지수와 로그

[eqn: 2 ^{x+1} `=` {2} over {3}]에서 [eqn: 2 ^{x} `= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE 3=` {1} over {2 ^{x}}]  ………………………………………  ㉠

[eqn: 3 ^{y-1} `=` {1} over {24}]에서 [eqn: 3 ^{y} `=` {1} over {8}]

[eqn: LEFT ( {1} over {2 ^{x}} RIGHT ) ^{y} `=` {1} over {8}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ㉠ RIGHT )]

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{xy} `=` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: THEREFORE xy`=`3]

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

[eqn: a^5 = 8], [eqn: b^3 =32]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a`,```b]에 대하여 [eqn: { b} over {a }=2^k]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: a^5 = 8]에서 [eqn: a= root {5} of {8}=2^ { 3 over {5 }]

[eqn: b^3 =32]에서 [eqn: b= root {3} of {32}=2^ { 5 over {3 }]

∴ [eqn: { b} over {a }= { 2^ { 5 over {3 } } over {2^ { 3 over 5 }} =2^ { 13 over 15 }]	[eqn: k= { 16} over {15 }]

[[eqn: 3]점] [2015년 8월 비상]

① [eqn: { 4} over { 5}]	② [eqn: { 13} over { 15}]	③ [eqn: { 14} over { 15}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: { 16} over { 15}]

두 실수 [eqn: x,~y]가 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} =1,~2 ^{x} =3 ^{y}]을 만족시킬 때, [eqn: 2 ^{x} times3 ^{y}]의 값은?

정답 ④

[eqn: 2 ^{x} =3 ^{y} =k~ LEFT ( k>0 RIGHT )]로 놓으면

[eqn: 2 ^{x} =k]에서 [eqn: 2=k ^{{1} over {x}}]

[eqn: 3 ^{y} =k]에서 [eqn: 3=k ^{{1} over {y}}]

위의 두 식을 곱하면

[eqn: 6=k ^{{1} over {x}} timesk ^{{1} over {y}} =k ^{{1} over {x} + {1} over {y}} =k]

[eqn: therefore~2 ^{x} times3 ^{y} =k ^{2} =6 ^{2} =36]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 36]

[eqn: ( sqrt 3 of 3 + 3 )( sqrt 3 of 9 - 3 times sqrt 3 of 3 + 9 )]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[eqn: x= sqrt 3 of 3]이라 하면

[eqn: ( sqrt 3 of 3 + 3 )( sqrt 3 of 9 - 3 times sqrt 3 of 3 + 9 ) =( x+3)( x^2 - 3x+ 9)]

[eqn: =x ^3 + 27]

[eqn: =3+ 27 = 30]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

[eqn: 2^a = 6], [eqn: (a-1) b = 5`]일 때, [eqn: 3^b `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 32]

이해력 – 지수와 로그

[eqn: 2^a = 6`]에서 [eqn: a = log _{`2} `6`]

[eqn: a - 1 = log_{`2} `6 - 1 = log_{`2} `6 - log_{`2} `2 = log_{`2} `3]

[eqn: (a-1) b = 5`]에서

[eqn: b = 5 over { log_{`2} `3} = 5 log_{`3} `2 = log_{`3} `32]

[eqn: therefore ```` 3^b = 3^{log_{`3} `32 } = 32]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

[eqn: 4 ^{x} =27 ^{y} =6]일 때, [eqn: {1} over {2x} + {1} over {3y}]의 값은?

정답 ②

[eqn: 4 ^{x} =6]에서 [eqn: 2 ^{2x} =6]이므로

[eqn: 6 ^{{1} over {2x}} =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: 27 ^{y} =6]에서 [eqn: 3 ^{3y} =6]이므로

[eqn: 6 ^{{1} over {3y}} =3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠[eqn: times]㉡을 하면

[eqn: 6 ^{{1} over {2x}} times6 ^{{1} over {3y}} =2times3=6]

[eqn: 6 ^{{1} over {2x} + {1} over {3y}} =6]

[eqn: therefore~ {1} over {2x} + {1} over {3y} =1]

[다른 풀이]

[eqn: 4 ^{x} =27 ^{y} =6]에서

[eqn: x=log _{4} 6,~y=log _{27} 6]

[eqn: {1} over {2x} + {1} over {3y}][eqn: = {1} over {2log _{4} 6} + {1} over {3log _{27} 6}]
[eqn: = {1} over {log _{2} 6} + {1} over {log _{3} 6}]
[eqn: =log _{6} 2+log _{6} 3]
[eqn: =log _{6} 6=1]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 4^x =5]일 때, [eqn: { 8^x +8^-x} over {2^x -2^-x }]의 값은?

정답 ①

[eqn: { 8^x +8^-x} over {2^x -2^-x }]의 분모, 분자에 각각 [eqn: 2^x]을 곱하면

[eqn: { 8^x +8^-x} over {2^x -2^-x }][eqn: ={ 16^x +4^-x} over {4^x -1 }][eqn: ={ 5^2 + { 1} over {5 } } over { 5-1}= { 63} over { 10}]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: { 63} over { 10}]	② [eqn: { 21} over { 5}]	③ [eqn: { 63} over { 20}]
④ [eqn: { 63} over { 25}]	⑤ [eqn: { 21} over {10 }]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+4=0]의 두 근을 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: 4 ^{{1} over {a}} times4 ^{{1} over {b}}]의 값은?

정답 ③

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+4=0]의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]이므로

[eqn: a+b=6], [eqn: ab=4]

[eqn: 4 ^{{1} over {a}} TIMES 4 ^{{1} over {b}}][eqn: = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {a}} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {b}} =2 ^{{2} over {a}} TIMES 2 ^{{2} over {b}}]
[eqn: =2 ^{{2} over {a} + {2} over {b}} =2 ^{{2 LEFT ( a+b RIGHT )} over {ab}}]
[eqn: =2 ^{{12} over {4}} =2 ^{3}]
[eqn: =8]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 4 root {3} of {2}]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 8 root {3} of {2}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {2}]

[eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: a `]에 대하여 [eqn: 4^a +4^-a =18 ``]일 때, [eqn: 2^a - 2^-a `]의 값은?

정답 ④

[eqn: (2^a -2^-a )^2][eqn: = 4^a -2 times 2^a times 2^-a +4^-a]
[eqn: = (4^a +4^ -a ) -2]
[eqn: =18 -2 =16]

그런데 [eqn: a>1 `]이므로 [eqn: 2^a -2^ -a >0]

[eqn: therefore ```` 2^a -2^-a =4]

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

어느 양식장의 물고기들에게 어떤 전염병이 유행하고 있다. 이 전염병에 대하여 조사한 바에 따르면 이 양식장의 전체 물고기의 수를 [eqn: S`,]이 전염병에 처음 감염된 물고기의 수를 [eqn: T`,]이 전염병이 처음 발병한 후 [eqn: x]일이 지날 때까지 감염된 총 물고기의 수를 [eqn: M]이라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ②

수학 외적 문제 해결 능력 - 지수와 지수함수

전체 물고기가 [eqn: 1000]마리인 이 양식장에서 이 전염병에 처음 감염된 물고기가 [eqn: 10]마리이므로 [eqn: S`=`1000`,`T`=`10]  이 전염병이 처음 발병한 후 [eqn: k]일이 지나면 감염된 물고기의 수가 전체 물고기의 수의 절반이 [eqn: 500]마리 이상이 되므로 다음 관계식이 성립한다.

[eqn: {1} over {500} GEQ {1} over {M} `=` {LEFT ( 1000-10 RIGHT ) TIMES 2 ^{-k}} over {1000}]

[eqn: {1} over {500} GEQ {990 TIMES 2 ^{-k}} over {1000}]

[eqn: 990 TIMES 2 ^{-k} LEQ 2,2 ^{-k} ` GEQ 495``]

[eqn: 2 ^{8} =`256,`2 ^{9} =512]이므로 [eqn: k GEQ 9]

따라서 구하는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 9]이다.

[eqn: {1} over {M} `=` {LEFT ( S-T RIGHT ) TIMES 2 ^{-x}} over {S} `] (단, [eqn: S`>T])

전체 물고기가 [eqn: 1000]마리인 이 양식장에서 이 전염병에 처음 감염된 물고기가 [eqn: 10]마리였을 때, 이 전염병이 처음 발병한 후 [eqn: k]일이 지나면 전체 물고기의 절반 이상이 감염된다고 한다. 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

[3점][2015년 10월 비상]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11`]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15`]

어떤 펌프의 흡입구경 [eqn: D`(`rmmm)], 단위시간(분) 동안의 유체 배출량 [eqn: Q`( rm `m ^{3} /]분[eqn: )], 흡입구의 유속 [eqn: V`(`rmm/]분[eqn: )]사이에 다음과 같은 관계가 성립한다고 한다.

정답 ①

[출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: D _{A} =k` LEFT ( {{2} over {3} Q _{B}} over {{8} over {27} V _{B}} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}}][eqn: =k TIMES {3} over {2} LEFT ( {Q _{B}} over {V _{B}} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}} = {3} over {2} D _{B}]

[eqn: D _{A} -D _{B} = {1} over {2} D _{B} =60]

따라서 [eqn: D _{B} =120]

[eqn: D=k` LEFT ( {Q} over {V} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}}] (단, [eqn: V>0`], [eqn: k`]는 양의 상수이다.)

두 펌프 [eqn: A`,```B`]의 흡입구경을 각각 [eqn: D _{A}], [eqn: D _{B} `], 단위시간(분) 동안의 유체배출량을 각각 [eqn: Q _{A}], [eqn: Q _{B} `], 흡입구의 유속을 각각 [eqn: V _{A}], [eqn: V _{B} `]라 하자. [eqn: Q _{A} `]가 [eqn: Q _{B} `]의 [eqn: {2} over {3}]배, [eqn: V _{A} `]가 [eqn: V _{B} `]의 [eqn: {8} over {27}]배, [eqn: D _{A} -D _{B} =60]일 때, [eqn: D _{B}`]의 값은?

[3점][2015년 9월 인천]

① [eqn: 120]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 140]

소득분포에 관한 파레토 법칙에 의하면, 연간 소득액이 [eqn: x]억원 이상인 사람 수를 [eqn: N]이라 할 때 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. [eqn: log`N`=`log`A`-`a`log`x] ( 단 , [eqn: a]와 [eqn: A]는 상수이다.)

정답 [eqn: ③]

소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{1}], 1억 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{2,}] 2억 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{3}]이라 하면

[eqn: log`N _{1} `=`log`A`-`a`log``0.5`` CDOTS ㉠]

[eqn: log`N _{2} `=`log`A`-`a`log``1`` CDOTS ㉡]

[eqn: log`N _{3} `=`log`A`-`a`log``2` CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠,㉡] 에서

[eqn: log`N _{1} -log`N _{2} =-a`log`0.5`+a`log`1]

[eqn: log` {N _{1}} over {N _{2}} `=`a`log``2`=`log``2 ^{a}]

[eqn: THEREFORE {N _{1}} over {N _{2}} =2 ^{a} =3]

[eqn: ㉠,㉢] 에서

[eqn: log`N _{1} -log`N _{3} =-a`log`0.5`+a`log`2]

[eqn: log` {N _{1}} over {N _{3}} `=2`a`log``2]

[eqn: THEREFORE {N _{1}} over {N _{3}} =2 ^{2a} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2} =3 ^{2} =9]

어느 도시에서 연간 소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인 사람 수가 연간 소득이 [eqn: 1]억 원 이상인 사람 수의 [eqn: 3]배일 때, 연간 소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인

사람 수는 연간 소득이 [eqn: 2]억 원 이상인 사람 수의 [eqn: p]배이다, [eqn: p`]의 값은?

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 sqrt {3}]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 9 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 27]

어느 나라의 [eqn: 1``]년 동안의 국민총생산량을 [eqn: P](억 달러), 주당 평균 노동시간을 [eqn: L](시간), 총 투자액을 [eqn: K](억 달러)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: P=2.01L ^{alpha } K ^{1- alpha } ~]
(단, [eqn: alpha ``]는 그 해의 경제상황에 따른 상수이다.)
이 나라에서 [eqn: 1993``]년에는 주당 평균 노동시간이 [eqn: 64], 총 투자액이 [eqn: 81], [eqn: alpha =0.75``]이었고, [eqn: 2013``]년에는 주당 평균 노동시간이 [eqn: 48], 총 투자액이 [eqn: 144], [eqn: alpha =0.5``]이었다. 이 나라의 [eqn: 2013``]년의 국민 총생산량은 [eqn: 1993``]년의 국민총생산량의 [eqn: x``]배이다. [eqn: x``]의 값은?

정답 ②

[eqn: 1993``]년과 [eqn: 2003``]년의 국민총생산량을 각각 [eqn: P _{1} ,~P _{2} ``]라 하면,

[eqn: P _{1} =2.01 TIMES 64 ^{0.75} TIMES 81 ^{0.25}]

[eqn: P _{2} =2.01 TIMES 4.8 ^{0.5} TIMES 144 ^{0.5}]

이므로

[eqn: {P _{2}} over {P _{1}} = {2.01 TIMES 48 ^{0.5} TIMES 144 ^{0.5}} over {2.01 TIMES 64 ^{0.75} TIMES 81 ^{0.25}}]

[eqn: = {2.01 TIMES (2 ^{4} TIMES 3) ^{0.5} TIMES (2 ^{4} TIMES 3 ^{2} ) ^{0.5}} over {2.01 TIMES (2 ^{6} ) ^{0.75} TIMES (3 ^{4} ) ^{0.25}}]

[eqn: = {3 ^{0.5}} over {2 ^{0.5}} = sqrt {{3} over {2}} = {sqrt {6}} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~x= {sqrt {6}} over {2}]

[3점][2015년 7월 대성]

① [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2]

비행기가 항력을 이겨서 등속수평비행하는 데 필요한 동력을 필요마력이라 한다. 필요마력 [eqn: P`](마력)와 비행기의 항력계수 [eqn: C], 비행속력 [eqn: V`]([eqn: rm m/]초), 날개의 넓이 [eqn: S`]([eqn: rm m ^{2}]) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ①

[출제의도] 지수를 활용하여 문제해결하기

두 비행기 [eqn: A], [eqn: B`]의 필요마력을 각각 [eqn: P _{it A rm}] , [eqn: P _{it B rm}]

날개의 넓이를 각각 [eqn: S _{A}] , [eqn: S _{B}]라 하자.

[eqn: P _{it A rm } = {1} over {150} it kC` it LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} it S _{it A}]이고, [eqn: S _{B} =3S _{A}]이므로

[eqn: P _{it B rm } = {1} over {150} it k it C` LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} it S _{B} = {1} over {150} kC` it LEFT ( it V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT ) it]

[eqn: P _{it B rm} = sqrt { 3} P _{it A rm}]이므로

[eqn: {P _{A}} over {P _{B}} = {1} over {sqrt {3}} = {LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} S _{A}} over {LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT )} = {1} over {3} LEFT ( {V _{A}} over {V _{B}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( {V _{it A}} over {V _{it B}} RIGHT ) ^{3} =3 ^{{1} over {2}}]

따라서 [eqn: {V _{it A}} over {V _{it B}} =3 ^{{1} over {6}}]

[eqn: P`= {1} over {150} it k`C it `V` ^{``3} it S]  (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

날개의 넓이의 비가 [eqn: 1:3]인 두 비행기 [eqn: A], [eqn: B`]가 동일한 항력계수를 갖고 각각 등속수평비행하고 있을 때, 필요마력의 비는 [eqn: 1: sqrt {3}]이고 비행속력은 각각 [eqn: V _{it A rm }] , [eqn: V _{it B} `]이다. [eqn: {V _{it A} } over {V _{it B}}]의 값은?

[3점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 3 ^{{1} over {6}}]	② [eqn: 3 ^{{1} over {3}}]	③ [eqn: 3 ^{{1} over {2}}]

④ [eqn: 3 ^{{2} over {3}}]	⑤ [eqn: 3 ^{{5} over {6}}]

어느 팝콘 기계가 [eqn: n(rm g)]의 팝콘을 만드는 데 [eqn: t](초)가 걸린다고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ③

주어진 조건에서 [eqn: 30=a · 200^ { 3 over 2 }]

따라서 [eqn: 800`rm g]의 팝콘을 만드는 데 걸리는 시간은

[eqn: a · 800^ { 3 over 2 }][eqn: =a · 200^ { 3 over 2 } ․ 4^{ 3 over 2 } =240](초) 즉, 4분이다.

[eqn: t=a · n^ { 3 over 2 }] (단, [eqn: a]는 상수이다.)

이 기계가 [eqn: 200`rm g]의 팝콘을 만드는 데 [eqn: 30]초가 걸린다고 할 때, [eqn: 800`rm g]의 팝콘을 만드는 데 걸리는 시간은?

[3점][2015년 10월 대성]

① [eqn: 3]분	② [eqn: 3]분 [eqn: 30]초	③ [eqn: 4]분

④ [eqn: 4]분 [eqn: 30]초	⑤ [eqn: 5]분

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 [eqn: m`]이고 단면적이 [eqn: S`]인 구형 물체의 종단속력 [eqn: v`](m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

정답 ④

[출제의도] 지수법칙을 이용한 실생활 문제 해결하기

두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 질량을 각각 [eqn: m _{A}], [eqn: m _{B} `]라 하고

단면적을 각각 [eqn: S _{A}], [eqn: S _{B} `]라 하자.

[eqn: m _{A} :`m _{B} =1:2 sqrt {2}], [eqn: S _{A} :S _{B} `=1:8`]이므로

[eqn: m _{B} =2 sqrt {2} m _{A} `], [eqn: S _{B} `=8S _{A} `]이다.

[eqn: {v _{A} ^{2}} over {v _{B} ^{2}} = {{2m _{A} `g} over {D` rho S _{A}}} over {{4 sqrt {2} m _{A} `g} over {D` rho LEFT ( 8S _{A} RIGHT )}} `=2 sqrt {2}]

[eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{2} =2 ^{{3} over {2}}]

[eqn: LEFT { LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{{3} over {2}} = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `=2 ^{{9} over {4}}]

[eqn: v ^{2} = {2m`g} over {D` rho S} `]

(단, [eqn: D`]는 끌림 계수, [eqn: rho `]는 공기 밀도, [eqn: g`]는 중력가속도이며,
질량 단위는 [eqn: rm`kg`], 단면적 단위는 [eqn: rm `m ^{2} `]이다.)

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 작용하는 끌림 계수([eqn: D`]), 공기 밀도([eqn: rho]), 중력가속도([eqn: g`])가 서로 같다. 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 질량의 비는 [eqn: 1:2 sqrt {2} `]이고 단면적의 비는 [eqn: 1:8`]일 때, 두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 종단속력을 각각 [eqn: v _{A} `], [eqn: v _{B} `]라 하자. [eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은?

[3점][2014년 고2 6월부산]

① [eqn: 2 ^{{9} over {8}}]	② [eqn: 2 ^{{3} over {2}}]	③ [eqn: 2 ^{{15} over {8}}]	④ [eqn: 2 ^{{9} over {4}}]	⑤ [eqn: 2 ^{{21} over {8}}]

지수(4점)

[eqn: sqrt { 2}]의 네제곱근 중 양수인 것을 [eqn: x]라 할 때, [eqn: x^n]이 [eqn: 100] 이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 6]

[eqn: x= root {4} of {sqrt {2}}= 2^{ 1 over 8]이므로 [eqn: x^n =2^{n over 8]이 자연수일 필요충분조건은 [eqn: n]이  [eqn: 8]의 배수인 것이다. 그런데, [eqn: x^48 =2^6 <100<x^56 =2^7]이므로 구하는 자연수 n는 [eqn: 8,```16,```24,```40,```48]의 [eqn: 6]개다.

[4점][2015년 고2 10월 대성]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}], [eqn: a+b= {4} over {3} ab]일 때, [eqn: 8 ^{a} TIMES 3 ^{b}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 216]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}]에서 양변에 [eqn: 2 ^{b}]을 곱하면

[eqn: 2 ^{a} times2 ^{b} =3 ^{b} times2 ^{b}]

[eqn: 2 ^{a+b} =6 ^{b}]

[eqn: a+b= {4} over {3} ab]이므로 [eqn: 2 ^{{4} over {3} ab} =6 ^{b}]

[eqn: 2 ^{{4} over {3} a} =6], [eqn: 2 ^{a} =6 ^{{3} over {4}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 8 ^{a} TIMES 3 ^{b} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{3} TIMES 2 ^{a} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{4} =216]

[4점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a`,```b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 240]

[eqn: sqrt { { 8^a TIMES 3^b } over {81 } }][eqn: =2^ { 3a over 2 } TIMES 3^ { b-4 over 2 }]이 자연수가 되려면 두 지수 [eqn: { 3a} over { 2}`,``` { b-4} over {2 }]는 음이 아닌 정수이어야 한다.

[eqn: a`,```b]가 자연수이므로 [eqn: a=2m`,```b=2n+2] ([eqn: m`,```n]은 자연수) 로 놓으면 [eqn: 1`LEQ `a`LEQ 20]에서 [eqn: 1`LEQ `2m`LEQ 20]

∴ [eqn: { 1} over {2 } `LEQ `m`LEQ 10]

따라서 [eqn: m=1`,``2`,``3`,`` CDOTS`,``10]이므로 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 10] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 1`LEQ `b`LEQ 50]에서 [eqn: 1`LEQ `2n+2`LEQ 50]

∴ [eqn: -{ 1} over {2 } `LEQ `n`LEQ 24]

따라서 [eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS`,``24]이므로 [eqn: b]의 개수는 [eqn: 24] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]의 개수는 [eqn: 10 TIMES 24 =240]

[[eqn: 4]점][2015년 고2 8월 비상]

(가) [eqn: 1`LEQ `a`LEQ 20], [eqn: 1`LEQ `b`LEQ 50]

(나) [eqn: sqrt { { 8^a TIMES 3^b } over {81 } }]은 자연수이다.

상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 3 ^{-2a} TIMES sqrt {7} `=2 ^{a- {1} over {2}} `]일 때, [eqn: 324 ^{`a}]의 값을 구하시오.

정답 14

[출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 3 ^{-2a} TIMES sqrt {7} `=2 ^{a- {1} over {2}} `]에서 [eqn: {sqrt {7}} over {9 ^{a}} = {2 ^{a}} over {sqrt {2}} `]이다.

따라서 [eqn: 18 ^{a} = sqrt {14} `]이다.

[eqn: therefore324 ^{a} = LEFT ( 18 ^{2} RIGHT ) ^{a} = LEFT ( 18 ^{a} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {14} RIGHT ) ^{2} =14`]

[다른 풀이]

[eqn: 3 ^{-2a} TIMES sqrt {7} `=2 ^{a- {1} over {2}} `]의 양변을 제곱하면,

[eqn: LEFT ( 3 ^{-2a} TIMES sqrt {7} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( 2 ^{a- {1} over {2}} RIGHT ) ^{2} ``]

[eqn: 3 ^{-4a} times`7`=`2 ^{2a-1} `]

[eqn: 3 ^{-4a} times`7=4 ^{a} times` {1} over {2}]

이다.

양변에 [eqn: 2times3 ^{4a} `]를 곱하면

[eqn: 14=4 ^{a} times`3 ^{4a`}]

[eqn: = LEFT ( 4 TIMES 81 RIGHT ) ^{a}]

[eqn: =324 ^{a}]

이다.

[eqn: therefore` LEFT ( 324 RIGHT ) ^{a} =14`]

[4점][2014년 고2 6월부산]

[eqn: rmA]채굴회사는 [eqn: rmB]국가에 있는 어느 셰일광구의 [eqn: 20]년간 독점 채굴권을 획득하였고, 다음과 같이 조사되었다.

셰일가스의 판매금액은 [eqn: 1]배럴 당 [eqn: 70]달러로 [eqn: 20]년간 변하지 않는다고 가정할 때, [eqn: rmA]채굴회사가 이 셰일광구에서 [eqn: 20]년간 얻을 수 있는 수익 금액(총 판매금액[eqn: -]총 채굴비용)은?
(단, [eqn: 1.2^20 = 38], [eqn: (1.08 )^20 = 4.7]로 계산한다.) [4점] [2015년 05월 종로]

정답 ②

[eqn: n]년 째의 채굴량은 [eqn: 2(1.2)^n-1]만 배럴이고 [eqn: 1]배럴 당 채굴비용은 [eqn: 50(0.9)^n-1]이므로 수익은 [eqn: 2(1.2)^n-1 times left{ 70 - 50(0.9)^n-1 right}]

따라서 [eqn: 20]년간 얻을 수 있는 수익은

[eqn: sum _{n=1} ^{20} ``left[ `2(1.2) ^{n-1} TIMES LEFT { 70-50(0.9) ^{n-1} RIGHT }`right]][eqn: =sum _{n=1} ^{20} ``left{ `140(1.2) ^{n-1} -100(1.08) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: = {140 left{(1.2)^20 -1 right}} over 0.2 - ` {100left{(1.08)^20 -1 right}} over 0.08]

[eqn: = 700 (1.2)^20 - 1250 (1.08 )^20 +550][eqn: =21275](만 달러)

㈎ 첫 해의 채굴량은 [eqn: 2]만 배럴이고 다음 해부터는 전 해 채굴량의 [eqn: 20%]씩 증가한다.

㈏ 첫 해의 채굴비용은 [eqn: 1]배럴당 [eqn: 50]달러이고 다음 해부터는 전 해 비용의 [eqn: 10%]씩 감소한다.

① [eqn: 1]억 [eqn: 8430]만 달러	② [eqn: 2]억 [eqn: 1275]만 달러	③ [eqn: 2]억 [eqn: 6475]만 달러
④ [eqn: 3]억 [eqn: 1533]만 달러	⑤ [eqn: 3]억 [eqn: 34350]만 달러

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 [eqn: m`]이고 단면적이 [eqn: S`]인 구형 물체의 종단속력 [eqn: v`](m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

정답 ④

[출제의도] 지수법칙을 이용한 실생활 문제 해결하기

두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 질량을 각각 [eqn: m _{A}], [eqn: m _{B} `]라 하고

단면적을 각각 [eqn: S _{A}], [eqn: S _{B} `]라 하자.

[eqn: m _{A} :`m _{B} =1:2 sqrt {2}], [eqn: S _{A} :S _{B} `=1:8`]이므로

[eqn: m _{B} =2 sqrt {2} m _{A} `], [eqn: S _{B} `=8S _{A} `]이다.

[eqn: {v _{A} ^{2}} over {v _{B} ^{2}} = {{2m _{A} `g} over {D` rho S _{A}}} over {{4 sqrt {2} m _{A} `g} over {D` rho LEFT ( 8S _{A} RIGHT )}} `=2 sqrt {2}]

[eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{2} =2 ^{{3} over {2}}]

[eqn: LEFT { LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{{3} over {2}} = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `=2 ^{{9} over {4}}]

[eqn: v ^{2} = {2m`g} over {D` rho S} `]

(단, [eqn: D`]는 끌림 계수, [eqn: rho `]는 공기 밀도, [eqn: g`]는 중력가속도이며,
질량 단위는 [eqn: rm`kg`], 단면적 단위는 [eqn: rm `m ^{2} `]이다.)

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 작용하는 끌림 계수([eqn: D`]), 공기 밀도([eqn: rho]), 중력가속도([eqn: g`])가 서로 같다. 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 질량의 비는 [eqn: 1:2 sqrt {2} `]이고 단면적의 비는 [eqn: 1:8`]일 때, 두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 종단속력을 각각 [eqn: v _{A} `], [eqn: v _{B} `]라 하자. [eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은?

[4점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 2 ^{{9} over {8}}]	② [eqn: 2 ^{{3} over {2}}]	③ [eqn: 2 ^{{15} over {8}}]

④ [eqn: 2 ^{{9} over {4}}]	⑤ [eqn: 2 ^{{21} over {8}}]

로그(2점)

[eqn: log _{16} LEFT ( log _{4} 2 RIGHT )]의 값은?

정답 ①

[eqn: log _{16} LEFT ( log _{4} 2 RIGHT ) =log _{2 ^{4}} LEFT ( log _{2 ^{2}} 2 RIGHT )]

[eqn: =log _{2 ^{4}} {1} over {2}]

[eqn: =log _{2 ^{4}} 2 ^{-1}]

[eqn: =- {1} over {4}]

[2점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: - {1} over {4}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {2} over {3}]	⑤ [eqn: - {3} over {4}]

[eqn: log _{3} 15-log _{3} {5} over {9}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: log _{15} -log _{3} {5} over {9} =log _{3} LEFT ( 15times {9} over {5} RIGHT ) =log _{3} 27]

[eqn: ````````````````````````````````````````````````=log _{3} 3 ^{3} =3]

[2점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: log _{6} 4-log _{6} 24]를 계산하면?

정답 ②

[eqn: log _{6} 4-log _{6} 24]

[eqn: =log _{6} {4} over {24} =log _{6} {1} over {6} =log _{6} 6 ^{-1}]

[eqn: =-1]

[2점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: log` _{2} ` {4} over {7} `+` {log```7} over {log``2}]의 값은?

정답 [eqn: ②]

[eqn: log` _{2} `7+log` _{2} ` {4} over {7} `][eqn: `=`log` _{2} ` LEFT ( 7` TIMES {4} over {7} RIGHT )][eqn: `=`log` _{2} `4][eqn: `=`log` _{2} `2 ^{2}][eqn: `=`2`log` _{2} `2 ^{2} `=`2]

[2점][2015년 8월 종로]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: log_2`7+log_2` 4over7]의 값은? [[eqn: 2]점]

정답 ②

[eqn: log_2`7+log_2`{4over7} =log_2`{left( 7times 4over7 right)} =log_2`4][eqn: =log_2`2^2 =2log_2`2=2]

① [eqn: root2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4root2]

[eqn: log_{3} ` 36 - log_{3} `4]의 값은?

정답 ④

계산 능력 - 로그와 로그함수

[eqn: log_{3} ` 36 - log_{3} `4 = log_{3} `36 over 4 = log_{3} `9]

[eqn: = log_{3} `3^2 = 2]

[2점][2015년 10월 비상]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

[eqn: log` _{2} `36`+`log` _{2} ` {1} over {9}] 의 값은?

정답 ③

계산 능력 - 로그와 로그함수

[eqn: log` _{2} `36`+`log` _{2} ` {1} over {9} =`][eqn: log` _{2} ` LEFT ( 36 TIMES {1} over {9} RIGHT ) `][eqn: =`log _{2} `4=log _{2} `2 ^{2} `=`2`]

[3점][2015년 10월 비상]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: log _{`2} `3+log` _{2} `6-log` _{2} `9`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `3+log` _{2} `6-log` _{2} `9`=log _{2} {3 TIMES 6} over {9}][eqn: =log _{2} 2=1]

[2점][2015년 9월 인천]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: log_2 9 times log_3 16]의 값은?

정답 ⑤
[eqn: log_2 9 times log_3 16][eqn: = { log 9} over { log 2 } times { log16} over { log 3 }][eqn: = { 2 log 3 } over { log 2} times { 4 log2} over { log 3 }][eqn: =8]

[2점][2015년 7월 대성]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: log _{2} 6+log _{2} 12-2log _{2} 3]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: log _{2} 6+log _{2} 12-2log _{2} 3=log _{2} 6+log _{2} 12-log _{2} 3 ^{2}]

[eqn: =log _{2} {6times12} over {3 ^{2}}]

[eqn: =log _{2} 8]

[eqn: =log _{2} 2 ^{3}]

[eqn: =3]

[2점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: -log _{2} 3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: log _{2} 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: 8^ {2over3} + log_3 `9 `]의 값은?

정답 ③

[eqn: 8 ^{{2} over {3}} +log _{3} `9][eqn: = LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{{2} over {3}} +log _{3} `3 ^{2} `]
[eqn: =2 ^{2} +2=6`]

[2점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

[eqn: log _{`6} `2+log _{`6} `3]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 계산하기

[eqn: log` _{6} `2+log _{`6} `3=log _{`6} `6=1]

[2점][2015년 11월 고2 (나) 경기교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log_4 `36 -log_2`24]의 값은?

정답 ①

[eqn: log_4 `36 -log_2`24][eqn: =log_2 `6 -log_2`24][eqn: =log_2 ` { 6} over {24 }][eqn: =-2]

[[eqn: 2]점] [2015년 8월 비상]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: log` _{2} `5+log` _{2} ` {4} over {5} `]의 값은?

정답 ②

[eqn: log` _{2} `5+log` _{2} ` {4} over {5} =log` _{2} ` LEFT ( 5 TIMES {4} over {5} RIGHT ) =log` _{2} `4=2]

[2점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 2 ^{-2} times`log _{2} 16]의 값은?

정답 ①
[eqn: 2 ^{-1} timeslog _{2} 16= {1} over {2 ^{2}} timeslog _{2} 2 ^{4} = {1} over {4} times4=1]

[2점][2015년 10월 대성]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: log _{3} LEFT ( 4- sqrt {7} RIGHT ) +log _{3} LEFT ( 4+ sqrt {7} RIGHT )]의 값은?

정답 ④

[eqn: log _{3} LEFT ( 4- sqrt {7} RIGHT ) +log _{3} LEFT ( 4+ sqrt {7} RIGHT )]

[eqn: =log _{3} LEFT { LEFT ( 4- sqrt {7} RIGHT ) LEFT ( 4+ sqrt {7} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =log _{3} LEFT ( 16-7 RIGHT ) =log _{3} 9]

[eqn: =log _{3} 3 ^{2} =2]

[2점][2015년 8월 비상]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[eqn: `log _{2} 24-log _{2}` 3`]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 로그 계산하기

[eqn: `log _{2} 24-log _{2} 3`=log _{2} 8=3]

[2점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

[eqn: log _{2} 6+log _{2} 12-2log _{2} 3]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: log _{2} 6+log _{2} 12-2log _{2} 3=log _{2} 6+log _{2} 12-log _{2} 3 ^{2}]

[eqn: =log _{2} {6times12} over {3 ^{2}}]

[eqn: =log _{2} 8]

[eqn: =log _{2} 2 ^{3}]

[eqn: =3]

[2점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: -log _{2} 3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: log _{2} 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

로그(3점)

[eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: log`` _{a} ``b+log`` _{b} ``a ^{2} =4`]일 때, [eqn: (log`` _{a} ``b) ^{2} +4(log`` _{b} ``a) ^{2} `]의 값은?

정답 ③

이해력 – 지수와 로그

[eqn: log`` _{a} ``b+log`` _{b} ``a ^{2} =4`]에서

[eqn: log`` _{a} ``b+2`log`` _{b} ``a=4`]

위의 식의 양변을 제곱하면

[eqn: (log`` _{a} ``b) ^{2} +4(log`` _{b} ``a) ^{2} +2`log`` _{a} ``b TIMES 2`log`` _{b} ``a=16]

[eqn: (log`` _{a} ``b) ^{2} +4(log`` _{b} ``a) ^{2} +4=16]

[eqn: THEREFORE ~(log`` _{a} ``b) ^{2} +4(log`` _{b} ``a) ^{2} =12]

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: log _{`5}` 27 times `log _{`3}` 5]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log`_5`27 times log`_3`5 = { log `27 } over {log`5 } times {log `5 } over {log`3 }]

[eqn: `= {3log`3} over {log`5} TIMES {log`5} over {log`3} =3]

[3점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log` _{2} 4+(log _{`2} 16) ^{2} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log` _{2} 4=2]이고

[eqn: LEFT ( log` _{2} 16 RIGHT ) ^{2} =4 ^{2} =16]이다.

[eqn: THEREFORE `log _{2} 4+ LEFT ( log` _{2} 16 RIGHT ) ^{2} =2+16=18]

[3점][2015년 고2 6월 부산]

[eqn: left(log _{2} 81 right)times`left(log _{3} 32right)`]의 값을 구하시오.

정답 20

[출제의도] 로그값 계산하기

[eqn: left(log _{2} 81 right)times`left(log _{3} 32right)``=left(4log _{2} 3right) TIMES `left(5log _{3} 2right)`=`20`]

[3점][2014년 고2 6월부산]

[eqn: log_3 9 +log_2 8]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[eqn: log_3 9 +log_2 8=2+3=5]

[3점][2015년 고2 10월 대성]

등식 [eqn: sum from{k=1} to n `log k+1 over k = 3 `log 5]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 124]

[eqn: sum_k=1^n log{ {k+1}overk }]

[eqn: = log 2over1 + log 3over2 +log 4over3 + cdots + log {n+1}overn]

[eqn: =log left( 2over1 times 3over2 times 4over3 times cdots times {n+1}over n right)]

[eqn: =log(n+1) =3 log5 =log5^3]

따라서 [eqn: n+1 =5^3 =125]이므로

[eqn: n=124`]

[3점][2015년 6월 대성]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x`log` _{2} `12+k=0`]의 한 근이 [eqn: log` _{2} `3`]일 때, [eqn: 2 ^{k} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

정답 [eqn: 9]

[eqn: x ^{2} -x`log` _{2} `12+k=0`]의 [eqn: log` _{2} `3`]이 아닌 다른 한 근을 [eqn: alpha `]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +log` _{2} `3=log` _{2} `12,~ alpha TIMES log` _{2} `3=k]

[eqn: alpha =log` _{2} `12-log` _{2} `3=log` _{2} ` {12} over {3} =log` _{2} `4=2]

[eqn: k=2`log` _{2} `3=log` _{2} `9]

[eqn: THEREFORE ~2 ^{k} =9]

[다른 풀이]

[eqn: x ^{2} -x`log` _{2} `12+k=0`]의 한 근이 [eqn: log` _{2} `3`]이므로

[eqn: LEFT ( log` _{2} `3 RIGHT ) ^{2} -log` _{2} `3 TIMES log` _{2} `12+k=0]

[eqn: THEREFORE ~k=log` _{2} `3 LEFT ( log` _{2} `12-log` _{2} `3 RIGHT )]

[eqn: =log` _{2} `3 TIMES log` _{2} `4]

[eqn: =2`log` _{2} `3=log` _{2} `9]

[eqn: THEREFORE ~2 ^{k} =9]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

[eqn: log `2=a], [eqn: log `3=b]일 때, 다음 중 [eqn: log `450]을 [eqn: a]와 [eqn: b]의 식으로 나타낸 것은?

정답 ④

[eqn: log `450][eqn: =log ` { 9 TIMES100 } over { 2}]

[eqn: =log`9 +log`100 -log `2]

[eqn: =2 log`3 +log`100 -log `2]

[eqn: =-a +2b +2]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: a-2b+2]	② [eqn: -a+2b+1]

③ [eqn: a+2b+1]	④ [eqn: -a+2b+2]

⑤ [eqn: a+2b+2]

세 수 [eqn: log_3 4], [eqn: x], [eqn: log_ sqrt { 2} 9]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: x]의 값은?

정답 ④

세 수 [eqn: log_3 4], [eqn: x], [eqn: log_ sqrt { 2} 9]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: x^2 =log`_3 4 TIMES log`_ sqrt { 2}9][eqn: = { log`4} over { log`3 } TIMES { log`9} over { log` sqrt { 2} }]

[eqn: = {2 log`2} over { log`3 } TIMES { 2log`3} over { { 1} over { 2}` log` 2} } =8]

∴ [eqn: x= 2 sqrt { 2}] [eqn: (∵```x> 0)]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4]

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: log``k]의 소수부분을 [eqn: f(k)]라 하자. [eqn: f(mn)=0]을 만족시키는 [eqn: 100]보다 작은 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 순서쌍 [eqn: (m,~n)]의 개수는?

정답 ③

[eqn: f(mn )=0]을 만족시키려면 [eqn: mn = 10^t]([eqn: t]는 음이 아닌 정수)으 꼴이어야 한다. [eqn: m], [eqn: n]은 [eqn: 100]보다 작은 자연수이므로 [eqn: mn =1] 또는 [eqn: mn =10] 또는 [eqn: mn = 100] 또는 [eqn: mn = 1000]이어야 한다.

[eqn: mn =1]일 때, 순서쌍 [eqn: (m,~n )]은 [eqn: (1,~1)]로 [eqn: 1]개다.

[eqn: mn =10]일 때, 순서쌍 [eqn: (m,~n )]은 [eqn: (1,~10)], [eqn: (2,~5)], [eqn: (5,~2)], [eqn: (10,~1)]로 [eqn: 4]개다.

[eqn: mn =100]일 때, 순서쌍 [eqn: (m,~n)]은 [eqn: (2,~50)], [eqn: (4,~25)], [eqn: (5,~20)], [eqn: (10,~10)], [eqn: (20,~5)], [eqn: (25,~4)], [eqn: (50,~2)]로 [eqn: 7]개다.

[eqn: mn =1000]일 때, 순서쌍 [eqn: (m,~n )]은 [eqn: (20,~50)], [eqn: (25,~40 )], [eqn: (40,~25)], [eqn: (50,~20)]으로 [eqn: 4]개다.

따라서, 구하는 순서쌍 [eqn: (m,~n)]의 개수는 [eqn: 1+4+7+4=16]이다.

[3점][2015년 9월 중앙]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: a=log` LEFT ( `1+ sqrt {2} RIGHT ) `]일 때, [eqn: {10 ^{`a} +10 ^{`-a}} over {10 ^{`a} -10 ^{`-a}} `]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 10^a =1+ sqrt { 2}]이므로 [eqn: 10 ^{2a} =3+2 sqrt {2}]

[eqn: {10 ^{a} +10 ^{-a}} over {10 ^{a} -10 ^{-a}} = {10 ^{2a} +1} over {10 ^{2a} -1} = {4+2 sqrt {2}} over {2+2 sqrt {2}} = sqrt {2}]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {1} over {2} + {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 1+ {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: 1+ sqrt {2}]

[eqn: log _{`2} `48-log _{`2} `3`+ {log _{`3} `64} over {log _{`3} `2} `]의 값을 구하시오. [3점]

정답 10

[출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `48-log _{`2} `3`+ {log _{`3} `64} over {log _{`3} `2} `][eqn: =log _{2} {48} over {3} +log _{2} 64=4+6=10`]

[3점][2015년 고2 9월 인천]

[eqn: log``2=a`], [eqn: log``3`=b`]라 할 때, [eqn: log`` {12} over {5}]를 [eqn: a], [eqn: b`]로 나타낸 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log` _{} ` {12} over {5} `=``log` _{} `12-log` _{} `5]

[eqn: =` LEFT ( 2log` _{} `2+log _{} `3 RIGHT ) -log` _{} ` {10} over {2}]

[eqn: = LEFT ( 2a+b RIGHT ) - LEFT ( 1-a RIGHT )][eqn: =3`a+b-1]

[3점][2015년 9월 인천]

① [eqn: a+b-1]        ② [eqn: 2a-b-1]       ③ [eqn: 2a+b-1]

④ [eqn: 3a-b-1]       ⑤ [eqn: 3a+b-1]

[eqn: log2=a], [eqn: log3=b]일 때, [eqn: {1-a} over {b} =log`_{3}`box{~~~~}`]이다. [eqn: box{~~~~}`]안에 알맞은 값은?

정답 ②

[eqn: {1-a} over {b} = {1-log2} over {log3} = {log10-log2} over {log3}]

[eqn: = {log {10} over {2}} over {log3} = {log5} over {log3}]

[eqn: =log _{3} 5]

따라서       안에 알맞은 값은 [eqn: 5]이다.

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: log sqrt {521} +log0.534 ^{2}]의 값을 다음 상용로그표를 이용하여 구한 것은?

정답 ④

[eqn: log sqrt {521} +log0.534 ^{2}]

[eqn: = {1} over {2} `log LEFT ( 5.21times100 RIGHT ) +2log LEFT ( 5.34times {1} over {10} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 0.7168+2 RIGHT ) +2 LEFT ( 0.7275-1 RIGHT )]

[eqn: =0.3584+1+1.4550-2]

[eqn: =1.8134-1]

[eqn: =0.8134]

[3점][2015년 고2 5월 종로]

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: 5.1]	[eqn: .7076]	[eqn: .7084]	[eqn: .7093]	[eqn: .7101]	[eqn: .7110]	[eqn: .7118]	[eqn: cdots]
[eqn: 5.2]	[eqn: .7160]	[eqn: .7168]	[eqn: .7177]	[eqn: .7185]	[eqn: .7193]	[eqn: .7202]	[eqn: cdots]
[eqn: 5.3]	[eqn: .7243]	[eqn: .7251]	[eqn: .7259]	[eqn: .7267]	[eqn: .7275]	[eqn: .7284]	[eqn: cdots]
[eqn: 5.4]	[eqn: .7324]	[eqn: .7332]	[eqn: .7340]	[eqn: .7348]	[eqn: .7356]	[eqn: .7364]	[eqn: cdots]

① [eqn: 0.6987]	② [eqn: 0.7546]	③ [eqn: 0.7972]

④ [eqn: 0.8134]	⑤ [eqn: 0.8451]

[eqn: log`2=a`], [eqn: log`3=b`]일 때, [eqn: {1-a} over {b} =log`_{3}`box{~~~~}`]이다. [eqn: box{~~~~}`]안에 알맞은 값은?

정답 ②

[eqn: {1-a} over {b} = {1-log2} over {log3} = {log10-log2} over {log3}]

[eqn: = {log {10} over {2}} over {log3} = {log5} over {log3}]

[eqn: =log _{3} 5]

따라서       안에 알맞은 값은 [eqn: 5]이다.

[3점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: 1]이 아닌 서로 다른 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: log _{a} b=log _{b} a]
일 때, [eqn: LEFT ( a+4b RIGHT ) ^{2}]의 최솟값은?

정답 ⑤

[eqn: log _{a} b=log _{b} a]에서 [eqn: log _{a} b= {1} over {log _{a} b}]이므로

[eqn: LEFT ( log _{a} b RIGHT ) ^{2} =1]

[eqn: THEREFORE `log _{a} b=-1] 또는 [eqn: log _{a} b=1]

즉, [eqn: b= {1} over {a}][eqn: LEFT ( because`a!=b RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( a+4b RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+ {4} over {a} RIGHT ) ^{2} =a ^{2} +8+ {16} over {a ^{2}}]

이때, [eqn: a ^{2} + {16} over {a ^{2}} geq2 sqrt {a ^{2} times {16} over {a ^{2}}} =8]

(단, 등호는 [eqn: a=2]일 때 성립한다.)

이므로

[eqn: LEFT ( a+4b RIGHT ) ^{2} GEQ 8+8=16]

따라서 [eqn: LEFT ( a+4b RIGHT ) ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 16]이다.

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: log3.14=A]일 때, [eqn: log sqrt {314}]를 [eqn: A]로 나타내면?

정답 ①

[eqn: log sqrt {314} = {1} over {2} `log314]

[eqn: = {1} over {2} `log LEFT ( 3.14times100 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} `log LEFT ( 3.14+log100 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( A+2 RIGHT )]

[eqn: =1+ {1} over {2} A]

[3점][2015년 10월 종로]

① [eqn: 1+ {1} over {2} A]	② [eqn: 1+A]	③ [eqn: 1+2A]

④ [eqn: 2+ {1} over {2} A]	⑤ [eqn: 2+A]

[eqn: log _{(x-1)} LEFT ( -x ^{2} +4x+5 RIGHT ) `]가 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은?

정답 ③

[출제의도] 로그 문제 해결하기

[eqn: log _{(x-1)} LEFT ( -x ^{2} +4x+5 RIGHT ) `]가 정의되기 위해서는 로그의 밑의 조건과 진수의 조건을 만족해야 한다.

ⅰ) 밑의 조건에 의해

[eqn: x-1>0`], [eqn: x-1 != 1`]

[eqn: x>1,```x != 2`]

이다.

ⅱ) 진수의 조건에 의해

[eqn: -x ^{2} +4x+5>0`]

[eqn: x ^{2} -4x-5<0`]

[eqn: (x+1) LEFT ( x-5 RIGHT ) <0`]

[eqn: -1<x<5]

이다.

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: ``1<x<5,``x != 2`]이다.

만족하는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 3,`4`]이므로 합은 [eqn: 7`]이다.

[3점][2015년 고2 6월 부산]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: log_{x^2} `(-x^2 +2x +8)]이 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

정답 ③

[eqn: log_{x^2} `(-x^2 +2x +8)]이 정의되기 위해서는 로그의 밑의 조건과 진수의 조건을 만족해야 한다.

(ⅰ) 밑의 조건에 의해

[eqn: x^2 >0 ,~ x !=1]

[eqn: THEREFORE`` x != -1 ,~ x !=0 ,~ x != 1]

(ⅱ) 진수의 조건에 의해

[eqn: -x^2 +2x +8 > 0 ,~ x^2 -2x -8 <0]

[eqn: (x+2)(x-4) <0]	[eqn: THEREFORE`` -2 < x <4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 정수 [eqn: x]의 값의 합은	[eqn: 2+3=5]

[2점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: a_n = log{root n+1} over {root n }] (단, [eqn: n = 1 , ~2, ~3, ~cdots])으로 정의되는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^99 a_n]의 값은?

정답. ①

[eqn: sum_n=1 ^99 a_n =sum_n=1 ^99 log{root n+1} over {root n }]

[eqn: = sum_n=1 ^99 (log rootn+1 - log root n )]

[eqn: = (log root2 - log 1 ) +(log root3 - log root2 ) + ``cdots`` + (log root100 - log root 99 )]

[eqn: = log root100 - log 1]

[eqn: =1]

[[eqn: 3]점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log` _{27} `3 ^{2n+1}]이 [eqn: 3`]의 배수가 되도록 하는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하시오.

정답. [eqn: 11`]

[eqn: log` _{27} `3 ^{2n+1} =log` _{3 ^{3}} `3 ^{2n+1} = {1} over {3} (2n+1)]

따라서 [eqn: {1} over {3} (2n+1)]이 [eqn: 3`]의 배수가 되도록 하는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]은

[eqn: {1} over {3} (2n+1)=3k`(k=1,~2,~3,~ CDOTS )]

[eqn: 2n+1=9k,~n= {9k-1} over {2}]

[eqn: n=4,~13,~22,~ CDOTS ,~94]

따라서 조건을 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 11`]이다.

[3점] [2015년 07월 종로]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm P,~Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ②

두 점 [eqn: rm P,~Q]의 좌표는 각각 [eqn: (a,~ log``50) ,~ left( b ,~ log``1 over 2 right)]로 놓을 수 있다.

[eqn: log``50 - log `` 1 over 2 = log``100 = log ``10^2 = 2]

이고,  직선 [eqn: rm PQ]의 기울기는 [eqn: 2]이므로

[eqn: {log``50 - log `` 1 over 2} over {a-b} = 2 over a-b =2]

[eqn: THEREFORE`` a-b =1]

따라서 두 점 [eqn: rm P ,~ Q] 사이의 거리는

[eqn: bar{rm PQ} = root{ (a-b)^2 + left( log``50 - log `` 1 over 2 right)^2 }]

[eqn: = root{1^2 + 2^2} = root5]

(가) 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: y= log``50] 위의 점이다.

(나) 점 [eqn: rm Q]는 직선 [eqn: y = log`` 1 over 2] 위의 점이다.

(다) 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기는 [eqn: 2]이다.

두 점 [eqn: rm P ,~ Q] 사이의 거리는?

[3점][2015년 고2 10월 대성]

① [eqn: 2]	② [eqn: root5]	③ [eqn: root6]

④ [eqn: root7]	⑤ [eqn: 2 root2]

[eqn: logx=3.14], [eqn: logy=-1.14]인 두 양수 [eqn: x,``y]를

정답 ①

이해 능력- 로그와 로그함수

[eqn: logx=log(a TIMES10^m )][eqn: =m+loga][eqn: =3+0.14]에서

[eqn: m=3], [eqn: loga=0.14]

[eqn: logy=log(b TIMES10^n )][eqn: =n+logb][eqn: =-1.14][eqn: =-2+0.86]

[eqn: n=-2], [eqn: logb=0.86]

따라서 [eqn: logab=loga+logb =0.14+0.86=1]

에서 [eqn: ab=10]

[eqn: thereforeab+m+n=10+3+(-2)=11]

[eqn: x= a TIMES 10^m], [eqn: y= b TIMES 10^n]

([eqn: m,``n]은 정수, [eqn: 1LEQ a<10], [eqn: 1LEQ b<10])

으로 나타낼 때, [eqn: ab+m+n]의 값은?

[3점][2015년 5월 비상]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

일정한 두께의 조직에 묻혀있는 뼈에 함유된 미네랄의 양이 [eqn: M(rm g`/`cm^2`)]일 때 이 뼈를 투과하기 직전의 방사선의 강도를 [eqn: I_0 (rm KeV )], 이 뼈를 투과한 직후의 방사선의 강도를 [eqn: I` (rm KeV )]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ②

뼈 [eqn: rmA]에 함유된 미네랄의 양을 [eqn: 2M]이라 하면 뼈 [eqn: rmB]에 함유된 미네랄의 양은 [eqn: M]이다.

뼈 [eqn: rmB]를 투과하기 직전의 방사선의 강도가 [eqn: 20 rm KeV]일 때 뼈 [eqn: rmB]를 투과한 직후의 방사선의 강도가 [eqn: 10 rmKeV]이므로

[eqn: M= k`log {20 over {10} =k`log`2]	……㉠

뼈 [eqn: rmA]를 투과하기 직전의 방사선의 강도가 [eqn: 100 rmKeV]일 때 뼈 [eqn: rmA]를 투과한 직후의 방사선의 강도를 [eqn: I` (rm KeV )]라 하면

[eqn: 2M= k`log {100} over { I}]	……㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 2k`log`2=][eqn: k`log {100} over { I}][eqn: = k(2-log`I)]

[eqn: log`I=2-2log2=log`100 over4 =log`25]

[eqn: THEREFORE``I=25]

[eqn: M= k`log { I_0} over { I}] (단, [eqn: k]는 상수이다.)

같은 두께의 조직에 묻혀 있는 두 뼈 [eqn: rmA,```B]에 대하여 뼈 [eqn: rmA]에 함유된 미네랄의 양은 뼈 [eqn: rmB]에 함유된 미네랄의 양의 [eqn: 2]배이다. 뼈 [eqn: rmB]를 투과하기 직전의 방사선의 강도가 [eqn: 20 rmKeV]일 때 뼈 [eqn: rmB]를 투과한 직후의 방사선의 강도가 [eqn: 10 rmKeV]이다. 뼈 [eqn: rmA]를 투과하기 직전의 방사선의 강도가 [eqn: 100 rmKeV]일 때, 뼈 [eqn: rmA]를 투과한 직후의 방사선의 강도는? (단, 단위는 [eqn: rmKeV]이다.)

[3점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

인지심리학에서 힉-하이먼 법칙[eqn: (rmHick-Hy mann~law)]에 의하면 선택지의 개수 [eqn: n]과 선택에 걸리는 시간 [eqn: T] 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 [eqn: 15]

선택지의 개수가 [eqn: 3]일 때 선택에 걸리는 시간이 [eqn: T_1]이므로

[eqn: T_1 = k` log_2 `(3+1) = 2k]

∴ [eqn: k={T_1} over 2]

선택에 걸리는 시간이 [eqn: 2T_1]이 되는 선택지의 개수를 [eqn: a]라 하면

[eqn: 2T_1 = k ` log_2 ` (a+1)]

[eqn: 2T_1 = T_1 over 2 `log_2` (a+1)]

[eqn: log_2 ` (a+1) =4,~ a+1 = 2^4]

∴ [eqn: a= 15]

[eqn: T= k `log _2 `` ( n+1)] (단, [eqn: k]는 상수)

선택지의 개수가 [eqn: 3]일 때 선택에 걸리는 시간을 [eqn: T_1]이라 하자. 선택에 걸리는 시간이 [eqn: 2T_1]이 되는 선택지의 개수를 구하시오.

[3점][2015년 고2 8월 중앙]

어떤 제품이 생산된지 [eqn: t]개월 후의 실제 누적매출액을 [eqn: Y _{t}]라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ⑤

[eqn: logY _{1} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{}][eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: logY _{2} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{2}][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠에서

[eqn: logY _{2} -logY _{1} = LEFT ( loga RIGHT ) b ^{2} - LEFT ( loga RIGHT ) b]

[eqn: log {Y _{2}} over {Y _{1}} = LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

그런데, [eqn: Y _{2} = {1} over {root {4} of {a}} Y _{1}], [eqn: {Y _{2}} over {Y _{1}} = {1} over {root {4} of {a}} =a ^{- {1} over {4}}]이므로

[eqn: loga ^{- {1} over {4}} = LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

[eqn: - {1} over {4} `loga= LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

이때 [eqn: loga!=0]([eqn: because][eqn: a!=1])이므로

[eqn: - {1} over {4} =b ^{2} -b], [eqn: b ^{2} -b+ {1} over {4} =0], [eqn: LEFT ( b- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: therefore][eqn: b= {1} over {2}]

[eqn: logY _{t} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{t}](단, [eqn: K], [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 1]이 아닌 양의 상수이다.)

이 제품이 생산된 지 [eqn: 2]개월 후의 실제 누적매출액이 [eqn: 1]개월 후의 실제 누적매출액의 [eqn: {1} over {root {4} of {a}}]배라고 할 때, [eqn: b]의 값은?

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

어떤 제품이 생산된지 [eqn: t]개월 후의 실제 누적매출액을 [eqn: Y _{t}]라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ⑤

[eqn: logY _{1} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{}][eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: logY _{2} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{2}][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠에서

[eqn: logY _{2} -logY _{1} = LEFT ( loga RIGHT ) b ^{2} - LEFT ( loga RIGHT ) b]

[eqn: log {Y _{2}} over {Y _{1}} = LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

그런데, [eqn: Y _{2} = {1} over {root {4} of {a}} Y _{1}], [eqn: {Y _{2}} over {Y _{1}} = {1} over {root {4} of {a}} =a ^{- {1} over {4}}]이므로

[eqn: loga ^{- {1} over {4}} = LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

[eqn: - {1} over {4} `loga= LEFT ( loga RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -b RIGHT )]

이때 [eqn: loga!=0]([eqn: because][eqn: a!=1])이므로

[eqn: - {1} over {4} =b ^{2} -b], [eqn: b ^{2} -b+ {1} over {4} =0], [eqn: LEFT ( b- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: therefore][eqn: b= {1} over {2}]

[eqn: logY _{t} =logK+ LEFT ( loga RIGHT ) b ^{t}](단, [eqn: K], [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 1]이 아닌 양의 상수이다.)

이 제품이 생산된 지 [eqn: 2]개월 후의 실제 누적매출액이 [eqn: 1]개월 후의 실제 누적매출액의 [eqn: {1} over {root {4} of {a}}]배라고 할 때, [eqn: b]의 값은?

[3점][2015년 11월 종로]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

어떤 악취 물질에 대하여 악취 물질의 농도가 [eqn: C]일 때의 악취의 세기를 [eqn: I]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: I-I _{0} =k`log {C} over {C _{0}}] (단, [eqn: I _{0} ,~C _{0} ,~k]는 상수)
악취 물질의 농도가 [eqn: {1} over {100} C _{0}]일 때의 악취의 세기는 [eqn: {2} over {3} I _{0}]이다. 악취 물질의 농도가 [eqn: {1} over {1000} C _{0}]일 때의 악취의 세기는? (단, [eqn: C>0])

정답 ④

악취 물질의 농도가 [eqn: {1} over {100} C _{0}]일 때의 악취의 세기는 [eqn: {2} over {3} I _{0}]이므로

[eqn: {2} over {3} I _{0} -I _{0} =k`log {{1} over {100} C _{0}} over {C _{0}}]

[eqn: - {1} over {3} I _{0} -I _{0} =-2k]

[eqn: therefore~k= {1} over {6} I _{0}]

악취 물질의 농도가 [eqn: {1} over {1000} C _{0}]일 때의 악취의 세기를 [eqn: I _{x}]라 하면

[eqn: I _{x} -I _{0} =k`log {{1} over {1000} C _{0}} over {C _{0}}]

[eqn: = {1} over {6} I _{0} times LEFT ( -3 RIGHT )]

[eqn: =- {1} over {2} I _{0}]

[eqn: therefore~I _{x} = {1} over {2} I _{0}]

[3점][2015년 고2 5월 중앙]

① [eqn: {1} over {4} I _{0}]	② [eqn: {1} over {3} I _{0}]	③ [eqn: {5} over {12} I _{0}]

④ [eqn: {1} over {2} I _{0}]	⑤ [eqn: {7} over {12} I _{0}]

소득분포에 관한 파레토 법칙에 의하면, 연간 소득액이 [eqn: x]억원 이상인 사람 수를 [eqn: N]이라 할 때 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. [eqn: log`N`=`log`A`-`a`log`x] ( 단 , [eqn: a]와 [eqn: A]는 상수이다.)

정답 [eqn: ③]

소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{1}], 1억 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{2,}] 2억 원 이상인 사람 수를 [eqn: N _{3}]이라 하면

[eqn: log`N _{1} `=`log`A`-`a`log``0.5`` CDOTS ㉠]

[eqn: log`N _{2} `=`log`A`-`a`log``1`` CDOTS ㉡]

[eqn: log`N _{3} `=`log`A`-`a`log``2` CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠,㉡] 에서

[eqn: log`N _{1} -log`N _{2} =-a`log`0.5`+a`log`1]

[eqn: log` {N _{1}} over {N _{2}} `=`a`log``2`=`log``2 ^{a}]

[eqn: THEREFORE {N _{1}} over {N _{2}} =2 ^{a} =3]

[eqn: ㉠,㉢] 에서

[eqn: log`N _{1} -log`N _{3} =-a`log`0.5`+a`log`2]

[eqn: log` {N _{1}} over {N _{3}} `=2`a`log``2]

[eqn: THEREFORE {N _{1}} over {N _{3}} =2 ^{2a} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2} =3 ^{2} =9]

어느 도시에서 연간 소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인 사람 수가 연간 소득이 [eqn: 1]억 원 이상인 사람 수의 [eqn: 3]배일 때, 연간 소득이 [eqn: 5]천만 원 이상인

사람 수는 연간 소득이 [eqn: 2]억 원 이상인 사람 수의 [eqn: p]배이다, [eqn: p`]의 값은?

[3점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 sqrt {3}]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 9 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 27]

어떤 물질의 해수면에서의 밀도가 [eqn: N_0`(rm`g/cm^3`)`]이고, 해수면으로부터 고도가 [eqn: h``rm(km)`]인 곳에서의 이 물질의 밀도를 [eqn: N(rm`g/cm^3`)`]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ④

고도가 [eqn: h_1 `]인 곳에서의 이 물질의 밀도는 해수면에서의 밀도의 [eqn: 1 over 5 `]배이므로

[eqn: log` N_0 = -kh_1 + log`N_0 over 5]

[eqn: log`N_0 - log` N_0 over 5 = - kh_1]

[eqn: therefore```` kh_1 = - log` 5]	[eqn: cdots] ㉠

고도가 [eqn: h_2`]인 곳에서의 이 물질의 밀도는 해수면에서의 밀도의 [eqn: 1 over 20`]배이므로

[eqn: log` N_0 = -kh_2 + log`N_0 over 20]

[eqn: log`N_0 - log` N_0 over 20 = - kh_2]

[eqn: therefore```` kh_2 = - log` 20]	[eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: h_2 over h_1][eqn: = { kh_2} over {k h_1} = { log` 20} over {log` 5}]
[eqn: = {1+ log` 2} over { 1-log` 2} = {1+0.3} over {1- 0.3}]
[eqn: = 13 over 7]

[eqn: logN_0`=-kh+logN`] (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

해수면으로부터 고도가 [eqn: h_1`(rm`km)`], [eqn: h_2`(rm`km)`]인 곳에서의 이 물질의 밀도가 각각 해수면에서의 밀도의 [eqn: { 1} over {5` }]배, [eqn: { 1} over {20` }]배일 때, [eqn: { h_2} over {h_1 }`]의 값은?  (단, [eqn: log`2=0.30`]으로 계산한다.)

[3점][2015년 9월 대성]

① [eqn: { 13} over {4 }]	② [eqn: { 13} over {5 }]	③ [eqn: { 13} over {6 }]

④ [eqn: { 13} over {7 }]	⑤ [eqn: { 13} over { 8}]

고산지대에서 자라는 어떤 식물이 키가 [eqn: L_0]([eqn: rm cm])에서 [eqn: L]([eqn: rm cm])가 될 때까지 걸리는 시간을 [eqn: T](일)이라 하면 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 [eqn: 200]

[eqn: T_1 =k` log {2L_0 overL_0 } =k` log2]

[eqn: T_2 =k` log {6L_0 overL_0 } =k` log6]

이고 [eqn: T_2 -T_1 =100]이므로

[eqn: k`log6 -k`log2 =100], [eqn: k`log 6 over 2 =100]

[eqn: therefore``k`=`100 over log3]

따라서 [eqn: T= {100} over {log3} TIMES log {L} over {L _{0}}]이므로

[eqn: n=` {100} over {log`3} TIMES log` {9L _{0}} over {L _{0}} = {100} over {log3} TIMES 2log3=200]

[eqn: T =k` log {L overL_0] (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

이 식물의 키가 [eqn: L_0]([eqn: rm cm])에서 [eqn: 2L_0]([eqn: rm cm])가 될 때까지 걸리는 시간은 [eqn: T_1](일)이고, [eqn: L_0]([eqn: rm cm])에서 [eqn: 6L_0]([eqn: rm cm])가 될 때까지 걸리는 시간은 [eqn: T_2](일)이다. [eqn: T_2 -T_1 =100](일)일 때, 이 식물의 키가 [eqn: L_0]([eqn: rm cm])에서 [eqn: 9L_0]([eqn: rm cm])가 될 때까지 걸리는 시간은 [eqn: n](일)이다.

자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[3점][2015년 11월 대성]

벤포드의 법칙에 따르면 우리 주변에 널린 다양한 수치자료에서 [eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지의 자연수 중 자연수 [eqn: n`]이 첫 자리 수가 될 확률 [eqn: {rmP}(n) `]은 다음과 같다고 한다.

정답 ④

[eqn: {rmP}(8)= log` 9over8 = 2 log`3 - 3 log`2 `]

[eqn: {rmP}(1)= log`2 `]

[eqn: {rmP}(2)=log`3over2 = log`3-log`2 `]

[eqn: {rmP}(8)=k{rmP}(1)+l{rmP}(2) `]에서

[eqn: 2log`3-3log`2 =k`log`2+l(log`3-log`2) `]

[eqn: (2-l)log`3=(k-l+3)log`2 `]

이때, [eqn: 2-l!= 0 `]이면 [eqn: k-l+3 over2-l = {log`3} over{log`2} `]이고, 좌변은 유리수, 우변은 무리수가 되어 모순이다.

따라서, [eqn: 2-l=0,~k-l+3=0`]이므로

[eqn: l=2,~k=-1`]

[eqn: therefore~k+l=1 `]

[eqn: {rmP}(n)= log left( 1 + 1overn right) `]

두 정수 [eqn: k,~l`]에 대하여 [eqn: {rmP}(8)=k{rmP}(1)+l{rmP}(2)`]가 성립할 때, [eqn: k+l`]의 값은?

[3점][2015년 고2 10월 중앙]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

점토 [eqn: rm A]의 압축지수 [eqn: C _{c}]는 어느 압밀시험 장치에서 일정하고
다음과 같이 계산된다고 한다.

정답 ③

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: C _{c} = {0.5-0.3} over {log`6.4-log`3.2} = {0.2} over {log`2}]이므로

[eqn: {0.2} over {log`2} = {0.3-0.1} over {log`x-log`6.4} = {0.2} over {log` {x} over {6.4}}]

[eqn: log`` {x} over {6.4} =log`2], [eqn: {x} over {6.4} =2]

따라서 [eqn: x=12.8]

[eqn: C _{c} = {e _{1} -e _{2}} over {log`p _{2} -log`p _{1}}]

(단, 하중강도가 [eqn: p _{1}]([eqn: rm `kg/cm ^{2}])과 [eqn: p _{2}]([eqn: rm `kg/cm ^{2}])일 때의 간극비는
각각 [eqn: e _{1}], [eqn: e _{2}]이다.)
이 압밀시험 장치에서 점토 [eqn: rm A]의 하중강도가 [eqn: 3.2` rm `kg/cm ^{2}]와
[eqn: 6.4` rm `kg/cm ^{2}]일 때의 간극비는 각각 [eqn: 0.5], [eqn: 0.3]이었고,
하중강도가 [eqn: x rm ``kg/cm ^{2}]일 때 간극비가 [eqn: 0.1]이 되었다. [eqn: x]의 값은?

[3점][2015년 11월 고2 (가) 경기교육청]

① [eqn: 9.6]	② [eqn: 11.2]	③ [eqn: 12.8]

④ [eqn: 14.4]	⑤ [eqn: 16]

반지름의 길이가 [eqn: r (rmcm)]이고, 높이가 [eqn: h (rmcm)]인 원기둥 모양의 안테나를 지면에 수직으로 세웠을 때의 인덕턴스를 [eqn: L(rm H)]이라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ②

수학 외적 문제 해결 능력 – 로그와 로그함수

[eqn: L_1 = 2L_2]이므로

[eqn: 2 LEFT ( k`log {a} over {8} -1 RIGHT ) TIMES 10 ^{-6} =4 LEFT ( k`log {sqrt {a}} over {2} -1 RIGHT ) TIMES 10 ^{-6}]

[eqn: k`log {a} over {8} -1=2k`log {a} over {2} -2]

[eqn: k`log left ( sqrt {a } over 2 right)^2 -k log a over 8 =1]

[eqn: k`log a over 4 -k log a over 8 =1], [eqn: k`log {{a} over {4}} over {{a} over {8}} =1]

[eqn: k`log 2 =1]   [eqn: therefore`k`= 1 over {log 2]

[eqn: L=2 LEFT ( k`log {h} over {r} -1 RIGHT ) TIMES 10 ^ -6](단, [eqn: k]는 상수이다.)

반지름의 길이가 [eqn: 8rmcm]이고 높이가 [eqn: a (rmcm)]인 원기둥 모양의 안테나를 지면에 수직으로 세웠을 때의 인덕턴스를 [eqn: L_1 (rm H)]이라 하고, 반지름의 길이가 [eqn: 2rmcm]이고 높이가 [eqn: sqrt { a} (rmcm)]인 원기둥 모양의 안테나를 지면에 수직으로 세웠을 때의 인덕턴스를 [eqn: L_2 (rm H)]라 하자. [eqn: L_1 = 2L_2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: 1 over log5]	② [eqn: 1 over log2]	③ [eqn: log2]

④ [eqn: 2log2]	⑤ [eqn: log5]

농도가 [eqn: rho]인 용액 [eqn: A]에 입사함 빛의 세기가 [eqn: I _{0}]이고 이 용액을 투과한 빛의 세기가 [eqn: I]일 때, 이 용액의 흡수층의 두께를 [eqn: D]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: D= {k} over {rho} `log {I _{0}} over {I}](단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)
농도가 [eqn: rho _{1}]인 용액 [eqn: A]에 입사한 빛의 세기가 이 용액을 투과한 빛의 세기의 [eqn: 2]배일 때, 이 용액의 흡수층의 두께를 [eqn: D _{1}]이라 하자. 농도가 [eqn: 3rho _{1}]인 용액 [eqn: A]에 입사한 빛의 세기가 이 용액을 투과한 빛의 세기의 [eqn: a]배일 때, 이 용액의 흡수층의 두께는 [eqn: {1} over {2} D _{1}]이다. 양수 [eqn: a]의 값은?

정답 ④

농도가 [eqn: rho _{1}]인 용액 [eqn: A]에 입사한 빛의 세기가 이 용액을 투과한 빛의 세기의 [eqn: 2]배일 때, 이 용액의 흡수층의 두께를 [eqn: D _{1}]이므로

[eqn: D _{1} = {k} over {rho _{1}} `log {2I} over {I} = {k} over {rho _{1}} `log2][eqn: cdotscdots]㉠

농도가 [eqn: 3rho _{1}]인 용액 [eqn: A]에 입사한 빛의 세기가 이 용액을 투과한 빛의 세기의 [eqn: a]배일 때, 이 용액의 흡수층의 두께는 [eqn: {1} over {2} D _{1}]이므로

[eqn: {1} over {2} D _{1} = {k} over {3rho _{1}} `log {aI} over {I} = {k} over {3rho _{1}} `loga][eqn: cdotscdots]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: {1} over {2} TIMES {k} over {rho _{1}} `log2= {k} over {3rho _{1}} `loga]

[eqn: loga= {3} over {2} log2]

[eqn: therefore`a=2 ^{{3} over {2}} =2 sqrt {2}]

[3점][2015년 8월 비상]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

지표면에서 목표물을 볼 수 있는 최대 거리인 시정거리는 상대습도와 먼지농도에 의하여 결정된다. [eqn: rmA``]지역의 상대습도가 [eqn: 60%``]일 때, 시정거리를 [eqn: L], 먼지농도를 [eqn: G``]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: log`L=k+log`1.2-log`G``]
(단, [eqn: k``]는 상수, [eqn: L>0,~G>0])
어느 날 [eqn: rmA``]지역의 상대습도가 [eqn: 60``%``]이고 먼지농도가 [eqn: 2.4``]일 때, [eqn: rmA``]지역의 시정거리가 [eqn: 500``]이라고 한다. 다음날 [eqn: rmA``]지역의 상대습도가 [eqn: 60%``]이고 시정거리가 [eqn: 240``]일 때, [eqn: rmA``]지역의 먼지농도는 [eqn: a``]이다. [eqn: a``]의 값은? (단, 시정거리의 단위는 [eqn: rmm``]이고, 먼지농도의 단위는[eqn: rm mu g/m ^{3} ``]이다.)

정답 ③

[eqn: log`L=k+log`1.2-log`G``]	…… ㉠

㉠에 [eqn: G=2.4,~L=500``]을 대입하면

[eqn: log`500=k+log`1.2-log`2.4]

[eqn: THEREFORE ~k=log`500-log`1.2+log`2.4]

[eqn: =log` {500 TIMES 2.4} over {1.2}]

[eqn: =log`1000]

[eqn: =3]

즉, [eqn: log`L=3+log`1.2-log`G``]이므로 [eqn: L=240``]일 때,

[eqn: log`240=3+log`1.2-log`a]

[eqn: log`a=log`1000+log`1.2-log`240]

[eqn: =log {1000 TIMES 1.2} over {240}]

[eqn: =log`5]

[eqn: THEREFORE ~a=5]

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4.5]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 5.5]	⑤ [eqn: 6]

로그(4점)

[eqn: log`_2` (-x^2 +ax+4)`]의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 6`]일 때, 모든 자연수 [eqn: a`]의 값의 곱을 구하시오.

정답  [eqn: 30]

[출제의도] 로그의 정의와 이차함수의 성질을 활용하여 자연수의 개수 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)`][eqn: =`-x ^{2} +ax +4`]라 하면

로그의 진수 조건에 의해 [eqn: f(x) > 0 `]

[eqn: f(x)`][eqn: =`-x ^{2} +ax+4`]

[eqn: =`- LEFT ( x^2 -ax+ {a ^{2}} over {4} - {a ^{2}} over {4} RIGHT ) +4 `]

[eqn: =`- LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} + {a ^{2}} over {4} + 4`]

[eqn: log _{`2} `` LEFT ( -x ^{2} +ax +4 RIGHT ) `]의 값이 자연수가 되는 실수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6`]이므로 [eqn: y`][eqn: =f(x)`]의 그래프는 아래 그림과 같이 [eqn: y`][eqn: =2 ^{1} `], [eqn: y`][eqn: =2 ^{2} `], [eqn: y`][eqn: =2 ^{3} `]과 각각 [eqn: 2]개의 점에서 만나고 [eqn: y`][eqn: =2 ^{n}] ([eqn: n GEQ 4])와는 만나지 않는다.

즉, [eqn: 2 ^{3} < {a ^{2} } over {4} +4 <2 ^{4} `]

[eqn: 16<a ^{2} <48 `]이고, [eqn: a]가 자연수이므로 [eqn: a`][eqn: =5`], [eqn: 6`]

따라서 [eqn: 5 times 6 `][eqn: =30`]

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

[eqn: log _{4} LEFT ( a+2b RIGHT ) `=log _{6} LEFT ( a+b RIGHT ) =log _{9} `b``]를 만족시키는 두 양수 [eqn: a,~ b`]에 대하여 [eqn: {b} over {a} `]의 값은?

정답. ⑤

[eqn: log _{4} LEFT ( a+2b RIGHT ) `=log _{6} LEFT ( a+b RIGHT ) =log _{9} `b=k``]로 놓으면
[eqn: a+2b=4 ^{k} `]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠
[eqn: a+b=6 ^{k} `]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡
[eqn: b=9 ^{k} `]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
[eqn: LEFT ( 6 ^{k} RIGHT ) ^{2} =6 ^{2k} =36 ^{k} =4 ^{k} 9 ^{k} `]
[eqn: THEREFORE ~ LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} =b LEFT ( a+2b RIGHT ) `]
[eqn: b ^{2} -ba-a ^{2} =0`]에서 양변을 [eqn: a ^{2} `]으로 나누면
[eqn: LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) -1=0`]
[eqn: {b} over {a} >0`]이므로 [eqn: {b} over {a} = {1+ sqrt {5}} over {2} `]이다.

[4점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: 1+ sqrt {5}]	② [eqn: -1+ sqrt {5}]	③ [eqn: 2+root5]

④ [eqn: {-1+ sqrt {5}} over {2} `]	⑤ [eqn: {1+ sqrt {5}} over {2}]

[eqn: 4^{`m}`]이 [eqn: 8`] 자리의 정수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: m`]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: log``2 = 0.301`]로 계산한다.)

정답  [eqn: 25]

[출제의도] 상용로그의 성질을 이해하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수의 합을 구한다.

[eqn: 4^m `]이 [eqn: 8`]자리의 정수이기 때문에 [eqn: 4^m `]의 상용로그의 지표는 [eqn: 7`]이다. 따라서

[eqn: 7 le log `4^m < 8`]

[eqn: 7 le m log `4 < 8`]

[eqn: 7 over{ log `4} le m < 8 over{ log `4}`]

[eqn: 7 over{2`log `2} le m < 8 over{ 2`log `2}`]

[eqn: 7 over{0.602} le m < 4 over{ 0.301}`]

[eqn: 11.6`` rm CDOTS LEQ it m<13.2 rm ` CDOTS `]이므로 [eqn: m`][eqn: =12`], [eqn: 13`]

따라서 [eqn: 12 + 13`][eqn: =25`]

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 소수부분을 [eqn: f(x)`]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(2 ^{k} )=`m`log`2-n`]이다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m+n`]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 67]

[출제의도] 상용로그의 지표와 소수부분을 이해하고 가수의 합을 구한다.

ⅰ) [eqn: 1 le k le 3]일 때, [eqn: 1 le 2^k < 10]이므로

[eqn: log `2^k`]의 지표는 [eqn: 0`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k = k log `2]

ⅱ) [eqn: 4 le k le 6]일 때, [eqn: 10 le 2^k < 10^2]이므로

[eqn: log `2^k`]의 지표는 [eqn: 1`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -1][eqn: = k log `2 -1]

ⅲ) [eqn: 7 le k le 9]일 때, [eqn: 10^2 le 2^k < 10^3]이므로

[eqn: log `2^k`]의 지표는 [eqn: 2`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -2][eqn: = k log `2 -2]

ⅳ) [eqn: k=10]일 때, [eqn: 10^3 le 2^k < 10^4]이므로

[eqn: log `2^k`]의 지표는 [eqn: 3`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -3][eqn: = k log `2 -3]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} f(2 ^{k} )`][eqn: = sum_{k=1}^10 k log`2 - (1 times 3 + 2times 3 + 3times1)`]

[eqn: = 55 log `2 - 12]

이므로 [eqn: m = 55], [eqn: n=12]

따라서 [eqn: m+n= 67]

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= log ``x]이다. [eqn: f(n)`]의 정수부분이 [eqn: 1`], 소수부분이 [eqn: alpha`]일 때, [eqn: 2alpha`]의 정수 부분이 [eqn: 1`]인 모든 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: 3.1 <root10 `<3.2`])

정답  ③

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: f(n)`][eqn: rm =log it ``n`][eqn: =1+ alpha `]

조건에 의해 [eqn: 1 LEQ 2 alpha <2`]에서 [eqn: {1} over {2} LEQ alpha <1`]

[eqn: 1+ {1} over {2} LEQ log``n<2`], [eqn: 10 ^{{3} over {2}} LEQ n<10 ^{2} `]

문제에서 [eqn: 3.1< sqrt {10}` <3.2`], [eqn: 31 ^{} <10 sqrt {10} <32 ^{} `]

즉, [eqn: 10 root10 `][eqn: = 31. cdots `]이므로 [eqn: 31. cdots ` LEQ n<10 ^{2} `]

그런데 [eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: 32 LEQ n<100`]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 68`]이다.

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 64]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 72]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자.

정답 [eqn: 70]

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +3g(x)=3]에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {3- LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {3}]이고 [eqn: 0 LEQ g LEFT ( x RIGHT ) <1]이므로

[eqn: 0 LEQ {3- LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {3} <1]

[eqn: 0< LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEQ 3]

[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-1]

ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3}]이므로 [eqn: log`x= {5} over {3}] [eqn: THEREFORE x=10 ^{{5} over {3}}]

ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3}]이므로 [eqn: log`x=- {1} over {3}] [eqn: THEREFORE x=10 ^{- {1} over {3}}]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: x=10 ^{{5} over {3}}] 또는 [eqn: x= 10^{- {1} over {3}}]

모든 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 10 ^{{4} over {3}}]

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=4]이고 [eqn: 10 LEFT ( p+q RIGHT ) =70]

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +3g LEFT ( x RIGHT )]의 값이 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 10 ^{{q} over {p}}]이다. [eqn: 10 LEFT ( p+q RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015년 4월 경기]

[eqn: x ge1]일 때, [eqn: log`x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=LEFT { {f(x)+1} RIGHT } {g(x)}]의 그래프와 직선 [eqn: y= n]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1 } ^{ 10} LEFT ( log`_`a_n `+ 1 over n+1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 65]

[출제의도] 정수부분 소수부분을 활용하여 문제해결하기

정수 [eqn: k]([eqn: k ge0])에 대하여
[eqn: 10^k} le x < 10^{k+1}]에서 [eqn: log `x]의 정수부분 소수부분은

[eqn: f(x) =k], [eqn: g(x) = log`x` - k]이므로

[eqn: y= LEFT { f(x) +1 RIGHT } g left (x right ) = LEFT ( {k+1} RIGHT ) left(log `x`-k right )]가

[eqn: y=n]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: LEFT ( {k+1} RIGHT ) left(log `x`-k right ) = n]

[eqn: log `x = k+ n over k+1] (단, [eqn: n <k+1])

[eqn: therefore] [eqn: x= 10^{ k+ n over k+1 }]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: x= 10^ { 1 + 1 over 2 }], [eqn: 10^ { 2 + 1 over 3 }], [eqn: 10^ { 3 + 1 over 4 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore] [eqn: a_1 = 10^{ 1 + 1 over 2 }]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: x= 10^ { 2 + 2 over 3 }], [eqn: 10^ { 3 + 2 over 4 }], [eqn: 10^ { 4 + 2 over 5 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore] [eqn: a_2 = 10^{ 2 + 2 over 3 }]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: x= 10^ { 3 + 3 over 4 }], [eqn: 10^ { 4 + 3 over 5 }], [eqn: 10^ { 5 + 3 over 6 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore] [eqn: a_3 = 10^{ 3 + 3 over 4 }]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore] [eqn: a_n = 10^{ n + n over n+1 }]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( log` _{`} a _{n} `+ {1} over {n+1} RIGHT )` = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( log` _{`} 10^{n + n over n+1 }`+ {1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10}left(n+1 right) = 65]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: 1]

[eqn: 100]

[eqn: x]

[eqn: a_1]

[eqn: a_2]

[eqn: y= LEFT { f(x) +1 RIGHT } g left (x right )]

[4점][2015년 4월 경기]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: logx]의 지표와 소수부분을 각각 [eqn: f(x),```g(x)]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: 3.1< sqrt { 10}<3.2])

정답 [eqn: 74]

[eqn: logx =n+alpha] ([eqn: n]은 정수, [eqn: 0LEQalpha<1])

이라 하면

[eqn: logx^2 =2n+2alpha]

(i) [eqn: 0LEQalpha< 1 over 2]일 때

[eqn: f(x)=n], [eqn: f(x^2 )=2n]이므로 (가)에서 [eqn: n GEQ1]

[eqn: g(x)=alpha], [eqn: g(x^2 )=2alpha]에서 [eqn: alpha LEQ 2alpha]이므로 조건 (나)를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

(ii) [eqn: 1 over 2 LEQalpha< 1]일 때

[eqn: f(x)=n], [eqn: f(x^2 )=2n+1]이므로 (가)에서 [eqn: 3n+1 GEQ1]

[eqn: therefore``n GEQ0]

[eqn: g(x)=alpha], [eqn: g(x^2 )=2alpha-1]에서 [eqn: alpha LEQ 2alpha]이므로 조건 (나)에서 [eqn: alpha>2alpha-1], [eqn: alpha <1]

[eqn: therefore``1 over 2 LEQalpha< 1]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: 1 over 2 LEQlogx< 1], [eqn: 1+ 1 over 2 LEQlogx< 2]

[eqn: 2+ 1 over 2 LEQlogx< 3]

즉 [eqn: sqrt { 10} LEQx< 10], [eqn: 10sqrt { 10} LEQx< 100]

[eqn: 100sqrt { 10} LEQx< 1000], [eqn: cdots]이고 [eqn: x]가 [eqn: 100]이하의 자연수이므로

[eqn: 4 LEQx LEQ 9], [eqn: 32 LEQx LEQ 99]

따라서 구하는 자연수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: 6+68=74]

[4점][2015년 5월 종로]

(가) [eqn: f(x)+f(x^ 2 ) GEQ1]

(나) [eqn: g(x) >g(x^ 2 )]

[eqn: LEFT [x RIGHT ]]를 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수라 하자. 예를 들면 [eqn: LEFT [2.3 RIGHT ]=2], [eqn: LEFT [5 RIGHT ]=5]이다. 이차방정식 [eqn: 2ax^2 -(8a+1)x+(2a-1)=0]의 두 근이 [eqn: LEFT [ log`A RIGHT ]], [eqn: log`A-LEFT [ log`A RIGHT ]]가 되도록 상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a> 1 over 2 RIGHT )]의 값을 정할 때, [eqn: log`A = q over p]이다. 이때 [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 26]

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: LEFT [ log`A RIGHT ]+log`A-LEFT [ log`A RIGHT ] = 8a+1 over 2a = 4 + 1 over 2a]

[eqn: log`A=4+ {1} over {2a}]

[eqn: a > 1 over2]이므로 [eqn: 0 < 1 over 2a < 1]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT [ log`A RIGHT ] = LEFT [ 4+ {1} over {2a} RIGHT ]=4]

[eqn: log`A- LEFT [ log`A RIGHT ] =4+ {1} over {2a} -4= {1} over {2a}]

따라서 주어진 이차방정식이 두 근은 [eqn: 4], [eqn: 1 over 2a]이다.

[eqn: therefore] [eqn: 4 TIMES {1} over {2a} = {2a-1} over {2a}]

[eqn: 2 over a =1 - 1 over 2a], [eqn: {5} over {2a} =1]

[eqn: therefore] [eqn: a = 5 over 2]

[eqn: log`A][eqn: = 4+ 1 over 2a]

[eqn: = 4+ 1 over 5 = 21 over 5]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 5+21 =26]

[4점][2015년 고2 5월 종로]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x) ,````g(x)]라 할 때, 등식

정답 [eqn: 810]

[eqn: logf(x) = 1over 3 g(x)]에서

[eqn: f(x) = 10^{1over 3 g(x)}]

그런데 [eqn: 0<g(x) <1]이므로

[eqn: 0 le 1over 3 g(x) < 1over 3]이고, [eqn: 10^0 le f(x) < 10^{1 over 3}]

[eqn: therefore] [eqn: 1 LEQ f(x)<` root {3} of { 10}][eqn: = 2.1 times times]

[eqn: f(x)]는 정수이므로 [eqn: f(x)=1] 또는 [eqn: 2]이다.

(ⅰ) [eqn: f(x)=1]일 때, [eqn: g(x) =3 log1 =0]

[eqn: therefore] [eqn: logx = f(x) +g(x) =1]

[eqn: therefore] [eqn: x=10]

(ⅱ) [eqn: f(x)=2]일 때, [eqn: g(x) =3 log2 =log8]

[eqn: therefore] [eqn: logx][eqn: = f(x) +g(x)]
[eqn: = 2+ log 8 =log800]

[eqn: therefore] [eqn: x=800]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 10+800 =810]

[eqn: logf(x) = 1over 3 g(x)]

를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[4점][2015년 5월 대성]

자연수 [eqn: n]에 대하여 상용로그 [eqn: log`2^n]의 소수부분을 [eqn: a_n]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]을

정답 ②

[eqn: log`2^n]의 정수부분을 [eqn: k,``]소수부분을 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: log`2^n][eqn: =k+ alpha] ([eqn: k]는 정수, [eqn: 0LE alpha<1])

이므로

[eqn: log`2^n+1][eqn: =log LEFT ( 2^n times 2 RIGHT )=][eqn: log`2^n][eqn: +log`2]

[eqn: =k+ alpha][eqn: +log`2]

즉, [eqn: log`2^n+1]과 [eqn: log`2^n]의 지표가 같으면 [eqn: log`2^n+1]의 가수는 [eqn: alpha +log`2]이므로 [eqn: alpha]보다 크다.

한편 [eqn: log`2^n+1]의 지표가 [eqn: log`2^n]의 지표보다 크면 [eqn: log`2^n+1]의 지표는 [eqn: log`2^n]의 지표보다 항상 [eqn: 1]만큼 크다.	……㉠

이대 [eqn: log`2^n+1]의 가수는 [eqn: alpha +log`2-1][eqn: = alpha -`log`5]

이므로 [eqn: alpha]보다 작다.

따라서 [eqn: log`2^n]과 [eqn: log`2^n+1]의 지표가 같으면 [eqn: b _n`=1}]이고, [eqn: log`2^n]과 [eqn: log`2^n+1]의 지표가 다르면 [eqn: b_n =-1]이다.

[eqn: log`2^1 =0.3010]의 지표는 [eqn: 0]이다.

[eqn: log`2^100 =100log`2=100 times 0.3010=30.10]이므로 [eqn: log`2^100]의 지표는 [eqn: 30]이다.

㉠에서 [eqn: 99]이하의 자연수 [eqn: n]중 [eqn: log`2^n+1]의 지표가 [eqn: log`2^n]의 지표보다 [eqn: 1]만큼 큰 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 30]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: b_n =-1]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 30]이고, [eqn: b_n =1]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 99-30=69]이다.

[eqn: THEREFORE`` sum _{ k=1} ^{99 }b_k =30 times (-1)+69 times 1=39]

[eqn: b_n =cases{` 1&(a_n+1 > a_n ) _{it} #` -1&(a_n+1 < a_n ) }]	[eqn: (n=1,``2,``3,`` CDOTS)]

으로 정의하자. [eqn: sum _{ k=1} ^{99 }b_k]의 값은?(단, [eqn: log`2 =0.3010]으로 계산한다.)

[4점][2015년 5월 대성]

① [eqn: 37]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 45]

[eqn: 10<a<b<100]인 두 자연수 [eqn: a,``b]에 대하여
[eqn: log _{3} a- LEFT [ log _{3} a RIGHT ] =log _{3} b- LEFT [ log _{3} b RIGHT ]]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

정답. [eqn: 24]

[eqn: log _{3} a]와 [eqn: log _{3} b]의 소수부분이 같다.
[eqn: log _{3} b-log _{3} a=log _{3} {b} over {a} =k](단, [eqn: k]는 자연수)이다.
[eqn: {b} over {a} =3 ^{k}]   [eqn: therefore```b=3 ^{k} a]
[eqn: LEFT ( i RIGHT ) ```k=1]일 때 [eqn: b=3a]
[eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) = LEFT ( 11,```33 RIGHT ) ,``` LEFT ( 12,```36 RIGHT ) ,```cdots,``` LEFT ( 33,```99 RIGHT ) ``:``23]개     [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: LEFT ( ii RIGHT ) ```k=2]일 때 [eqn: b=9a]
[eqn: LEFT ( a,``b RIGHT ) = LEFT ( 11,```99 RIGHT )] : [eqn: 1]개                           [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에서 순서쌍의 개수는 [eqn: 23+1=24](개)이다.

[4점] [2015년 05월 종로]

두 자연수 [eqn: a,`b]는 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ②

[eqn: log_a b= n over m] ([eqn: m]과 [eqn: n]은 서로소인 자연수)로 놓으면

[eqn: b = a^{n over m}]에서 [eqn: a^n = b^m]이다.

즉, [eqn: c]가 자연수일 때, [eqn: a=c^m], [eqn: b= c^n]으로 놓을 수 있다.

[eqn: therefore`10 < c^m <c^n < 100]

(ⅰ) [eqn: c=2]일 때, [eqn: 10<2^m < 2^n <100]이고,

[eqn: 2^4 =16], [eqn: 2^5 =32], [eqn: 2^6 = 64]이므로

[eqn: 10<16<32<100]에서 [eqn: m=4], [eqn: n=5]

[eqn: 10<16<64<100]에서 [eqn: m=4], [eqn: n=6]

[eqn: 10<32<64<100]에서 [eqn: m=5], [eqn: n=6]

[eqn: therefore` log_a b = 5 over4] 또는 [eqn: 6 over 4] 또는 [eqn: 6 over 5]

(ⅱ) [eqn: c=3]일 때, [eqn: 10< 3^m < 3^n <100]

[eqn: 3^3 =27], [eqn: 3^4 =81]이므로

[eqn: 10<27<81<100]에서 [eqn: m=3], [eqn: n=4]

[eqn: therefore` log_a b= 4 over3]

(ⅲ) [eqn: c=4]일 때, [eqn: 10< 4^m < 4^n < 100]

[eqn: 4^2 = 16], [eqn: 4^3 =64]이므로

[eqn: 10<16<64<100]에서 [eqn: m=2], [eqn: n=3]

[eqn: therefore log_a b = 3 over2]

이상에서 서로 다른 [eqn: log_a b]의 값들의 개수는

[eqn: 6 over5], [eqn: 5 over 4], [eqn: 4 over3], [eqn: 3 over2]으로 [eqn: 4]이다.

㈎ [eqn: log _a b]는 유리수이다.

㈏ [eqn: 10`<`a`<`b`<`100]

서로 다른 [eqn: log_a b]의 값들의 개수는?

[4점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음 조건을 만족시키는 양수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오.

정답 15

(가)에서 [eqn: 3 LE log root 5 of x < 4]이므로

[eqn: 10^3 le root 5 of x < 10 ^4 ,~ 10^15 le x < 10^20]	…… ㉠

(나)에서 [eqn: log x ^3 = n] ([eqn: n]은 정수)이므로

[eqn: x^3 = 10 ^n ,~ x = 10 ^{ n over 3 }]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 10 ^{15} LEQ 10 ^{{n} over {3}} <10 ^{20}]

[eqn: THEREFORE``` 15 le n over 3 < 20 ,~ ~ 45 le n <60]

따라서 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 60-45 = 15]이므로 양수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 15]이다.

[4점][2015년 5월 비상]

(가) [eqn: log root 5 of x]의 정수부분은 [eqn: 3]이다.

(나) [eqn: log x^3]의 소수부분은 [eqn: 0]이다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: A_k = left {x`right |`log_k ``x]의 값이 유리수, [eqn: x]는 [eqn: 10 le x<100]인 자연수[eqn: `right }]의 원소의 개수를 [eqn: a_k]라 할 때, [eqn: sum_k=2^9 a_k]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[eqn: log_k ``x=p] ([eqn: p]는 유리수)라 하면 [eqn: x=k^p] 이므로

[eqn: k=2]일 때 [eqn: x=2^p =2^4 ,~2^5 ,~2^6]

[eqn: k=3]일 때 [eqn: x=3^p =3^3 ,~3^4]

[eqn: k=4]일 때 [eqn: x=4^p =4^2 ,~4^{5 over 2} ,~4^3]

[eqn: k=5]일 때 [eqn: x=5^p =5^2]

[eqn: k=6]일 때 [eqn: x=6^p =6^2]

[eqn: k=7]일 때 [eqn: x=7^p =7^2]

[eqn: k=8]일 때 [eqn: x=8^p =8^{4 over 3} ,~8^{5 over 3} ,~8^2]

[eqn: k=9]일 때 [eqn: x=9^p =9^{3 over 2 } ,~9^2]

따라서 [eqn: sum_k=2^9 a_k]의 값은 [eqn: 16]이다.

[4점] [2015년 05월 종로]

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: logx]의 정수부분과 소수부분을   각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 등식
[eqn: log LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 10x RIGHT ) RIGHT } =g LEFT ( x RIGHT )]
를 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 합은?

정답 ⑤

[eqn: logx=n+ alpha ~ LEFT ( n은``음이`아닌`정수,~0 LEQ alpha <1 RIGHT )]

이라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =n,~g LEFT ( x RIGHT ) =alpha]

[eqn: log10x=1+logx]이므로 [eqn: f LEFT ( 10x RIGHT ) =n+1]

[eqn: log LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 10x RIGHT ) RIGHT } =g LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: logn LEFT ( n+1 RIGHT ) =alpha]	⋯㉠

이때 [eqn: 0 LEQ alpha<1]이므로

[eqn: 0 LEQ logn LEFT ( n+1 RIGHT ) <1]

[eqn: 1 LEQ n LEFT ( n+1 RIGHT ) <10]

[eqn: therefore~n=1] 또는 [eqn: n=2]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

㉠에서 [eqn: alpha=log2]이므로

[eqn: logx=1+log2=log20]

[eqn: therefore~x=20]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때

㉠에서 [eqn: alpha=log6]이므로

[eqn: logx=2+log6=log600]

[eqn: therefore~x=600]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 등식을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 20+600=620]

[4점][2015년 6월 대성]

① [eqn: 540]	② [eqn: 560]	③ [eqn: 580]

④ [eqn: 600]	⑤ [eqn: 620]

양수[eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 정수부분을[eqn: f LEFT ( x RIGHT )], 소수부분을[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,[eqn: lim _{x-> 1-0} {LEFT { f LEFT ( 100x RIGHT ) +g LEFT ( 10x RIGHT ) RIGHT }}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 2]

[eqn: log100x=2+log`x]이므로 [eqn: f LEFT ( 100x RIGHT ) =2+f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: log`10x=1+log`x]이므로 [eqn: g LEFT ( 10x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE lim _{x-> 1-0} {LEFT { f LEFT ( 100x RIGHT ) +g LEFT ( 10x RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x-> 1-0} {LEFT { 2+f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x-> 1-0} {LEFT { 2+log`x RIGHT } =2+0=2}]

[[eqn: 4]점]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log` x]의 정수부분을 [eqn: f(x)]라 할 때,

정답 ③

지표 기준으로 [eqn: a,~b]의 범위를 나누어 보면

[eqn: cases{ 1 le a < 10~~이면 ~ f(a) = 0 ~cdots① #10 le a <20 ~이면~f(a) = 1 ~ cdots②}]

[eqn: cases{ 1 le b < 10~~이면 ~ f(b) = 0 ~cdots③ #10 le a <20 ~이면~f(b) = 1 ~ cdots④}]

ⅰ) ①, ③일 때 [eqn: f(ab) = 2]이고

[eqn: log ab < 2]이어서 만족하는 [eqn: (a,~b)]는 없다.

ⅱ) ①, ④일 때 [eqn: f(ab) = 2]이고

[eqn: ab ge 100]이 되는 자연수 [eqn: a,~b]를 확인해 보면 [eqn: a=8], [eqn: b = 13]일 때, [eqn: a+b = 21]로 최소가 된다.

ⅲ) ②, ③일 때는 [eqn: rm ii)]와 같은 방법으로 [eqn: (13, ~8)]일 때임을 알 수 있다.

ⅳ) ②, ④일 때는 [eqn: f(ab) = 3]이고

[eqn: ab ge 1000]이어서 만족하는 [eqn: (a,~b)]는 없다.

[eqn: therefore~ a+b]의 최솟값은 [eqn: 21]이다.

[eqn: f(ab) = f(a) f(b) + 2]

를 만족시키는 [eqn: 20]이하의 두 자연수 [eqn: a,~b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]에 대하여 [eqn: a+b]의 최솟값은?

[4점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

[eqn: 2`]이상 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합

정답 [eqn: 193]

[출제의도] 지수와 로그 이해하기

[eqn: log _{`n} `k]가 유리수라 하면

[eqn: log _{`n} `k= {q} over {p} `]([eqn: p,``q]는 정수, [eqn: p != 0])

이고

[eqn: log _{`n} `k= {q} over {p} TIMES 1= {q} over {p} `log _{`m} `m=log` _{m ^{p}} ``m ^{q}]([eqn: m]은 [eqn: 2]이상의 자연수)

이므로 [eqn: n=m ^{p} `]일 때 [eqn: k=m ^{q}]이다.

즉, [eqn: n=2 ^{p} `]일 때 [eqn: log _{`n} `k]가 유리수가 되기 위해서는 [eqn: k=1,``2,``2 ^{2} , CDOTS ,`2 ^{p-1} ,`2 ^{p}]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) =p+1`]이다. 그러므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) GEQ 5]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 2 ^{4} ,``2 ^{5} ,``2 ^{6} `]이다.

[eqn: n=3 ^{p} `]일 때 [eqn: log _{`n} `k]가 유리수가 되기 위해서는 [eqn: k=1,``3,``3 ^{2} , CDOTS ,`3 ^{p-1} ,`3 ^{p}]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{p} RIGHT ) =p+1`]이다. 그러므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) GEQ 5]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 3 ^{4}]이다.

[eqn: m GEQ 4]일 때 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다. 따라서 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2 ^{4} +3 ^{4} +`2 ^{5} +`2 ^{6} =193`]이다.

[eqn: LEFT { `log _{`n} k`` LEFT | `k`는``자연수,``1 LEQ k LEQ n RIGHT } RIGHT .]

의 원소 중 유리수의 개수를 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3`]이다. [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오.

[4점][2015년 고2 6월 부산]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,``b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]의 개수가 [eqn: 300]이상이 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: k]의 값을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(2) TIMES f(3) TIMES f(4)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 120`]

[eqn: therefore`A]구역에서의 순서쌍의 개수

[eqn: =k`times`n ^{k} - LEFT ( n+n ^{2} +cdots+n ^{k} RIGHT )]

[eqn: =k`times`n ^{k} - {n LEFT ( n ^{k} -1 RIGHT )} over {n-1}]

[eqn: = LEFT ( k- {n} over {n-1} RIGHT ) times`n ^{k} + {n} over {n-1}]

[eqn: B]구역에서 순서쌍의 개수를 [eqn: b _{k}]라 하면,

[eqn: b _{k} =k ^{2} + LEFT ( k ^{2} -1 ^{2} RIGHT ) + LEFT ( k ^{2} -2 ^{2} RIGHT ) +cdots+ LEFT { k ^{2} - LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =k ^{3} - {LEFT ( k-1 RIGHT ) timesk LEFT ( 2k-1 RIGHT )} over {6}]

[eqn: = {k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( 4k-1 RIGHT )} over {6}]

[eqn: therefore`n=2]일 때 순서쌍의 개수는

[eqn: LEFT ( k-2 RIGHT ) times`2 ^{k} +2+b _{k} >300`:`k`geq`6]

[eqn: n=3]일 때

[eqn: LEFT ( k- {3} over {2} RIGHT ) times`3 ^{k} + {3} over {2} +b _{k} >300`:`k`geq`5]

[eqn: n=4]일 때

[eqn: LEFT ( k- {4} over {3} RIGHT ) TIMES `4 ^{k} + {4} over {3} + {k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( 4k-1 RIGHT )} over {6} b _{k} >300`:`k` GEQ `4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) times`f LEFT ( 3 RIGHT ) times`f LEFT ( 4 RIGHT ) =120]

[4점][2015년 6월 평가원]

(가) [eqn: a<n ^{k}]이면 [eqn: b LEQ log _{n} a]이다.

(나) [eqn: a GEQ n ^{k}]이면 [eqn: b LEQ - LEFT ( a-n ^{k} RIGHT ) ^{2} +k ^{2}]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자.

정답 [eqn: 16]

(ⅰ)[eqn: n= 8]일 때 [eqn: log 8]의 가수는 [eqn: log 8]이다. [eqn: log x]의 지표는 [eqn: 8]이고, [eqn: log x]의 가수는 [eqn: log 8]보다 크거나 같으므로 [eqn: 8 + log 8 le log x < 9]

[eqn: therefore][eqn: 8 times 10^8 le x < 10^9]

따라서 [eqn: f(8)][eqn: = 10^9 - 8 times 10^8 = 2 times 10^8]이다.

(ⅱ)[eqn: n= 20]일 때 [eqn: log 20]의 가수는 [eqn: log 2]이다. [eqn: log x]의 지표는 [eqn: 20]이고, [eqn: log x]의 가수는 [eqn: log 2]보다 크거나 같으므로 [eqn: 20 + log 2 le log x < 21]

[eqn: therefore][eqn: 2 times 10^20 le x < 10^21]

따라서 [eqn: f(20) = 10^21 - 2 times 10^20 = 8 times 10^20]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: log {f(20)} over {f(8)}][eqn: = log {8 times 10^20 } over { 2 times 10^8}][eqn: = log (4 times 10^12 )][eqn: = 12 + log 4]

이므로 [eqn: log {f(20)} over {f(8)}]의 지표는 [eqn: 12], 가수는 [eqn: log4]이다.

[eqn: therefore][eqn: p+q = 12 + 4 = 16]

(가) [eqn: log x]의 지표는 [eqn: n]이다.

(나) [eqn: log x]의 가수는 [eqn: log n]의 가수보다 크거나 같다.

[eqn: log {f(20)} over {f(8)}]의 지표는 [eqn: p], 가수는 [eqn: log `q]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 7월 대성]

자연수가 아닌 양수 [eqn: x`]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 14`]

[eqn: x`]는 자연수가 아니므로 [eqn: log`x=n+alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0<alpha<1`])로 놓으면

[eqn: log`x^3 =3`log`x=3n+3`alpha`]

(가)에서 가수 [eqn: 3`alpha`]는 정수이므로

[eqn: alpha = 1over 3`] 또는 [eqn: 2 over 3`] [eqn: (because~0<alpha<1`)`]

(ⅰ) [eqn: alpha = 1over 3`]일 때, [eqn: log`x`]의 지표는 [eqn: n`], [eqn: log`x^3`]의 지표는 [eqn: 3n+1`]이므로
[eqn: 3n+1=n+10`]
[eqn: therefore~n= 9 over 2`] (모순)

(ⅱ) [eqn: alpha = 2 over 3`]일 때, [eqn: log`x`]의 지표는 [eqn: n`], [eqn: log`x^3`]의 지표는 [eqn: 3n+2`]이므로
[eqn: 3n+2=n+10`]
[eqn: therefore~n=4`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n=4,~alpha = 2over 3`]이므로 [eqn: log`x^3`]의 지표는 [eqn: 3 times 4 +2=14`]이다.

(가) [eqn: log`x^3`]의 가수는 [eqn: 0`]이다.

(나) [eqn: log`x^3`]의 지표는 [eqn: log`x`]의 지표보다 [eqn: 10`]만큰 크다.

[eqn: log`x^3`]의 정수부분을 구하시오.

[4점][2015년 7월 대성]

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`` x`]의 지표와 소수부분을 각각 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 [eqn: x`]의 값의 곱을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: log``M]의 값은?

정답 ①

[eqn: log ``x=`n+` alpha (n`]은 정수, [eqn: 0<= alpha <1`])이라 하면

[eqn: f(x)=n `,` g(x) `=` alpha]

(가)에서 [eqn: 3 g(x)= `3 alpha`]의 값이 정수이어야 하므로

[eqn: alpha `=`0 ``또는 ` alpha= 1over3 `또는 `alpha`=` 2over3`]

(ⅰ) [eqn: alpha=0`]일 때,

[eqn: log ``x^3 `= `3 `log`x `=`3n`]

[eqn: log `x^2 `=` 2 `log``x =2n`] 이므로

[eqn: f(x^3 )= 3n `,` g(x^2 `)=0]

(나)에서 [eqn: f(x^3 `) + 3 `g(x^2 `)=3n +0 =12]

[eqn: THEREFORE n=4`]

따라서 [eqn: log ``x`=`4+0`]이므로 [eqn: x= 10^4`]

(ⅱ)[eqn: alpha = 1over 3 `]일 때,

[eqn: log `x^3 = 3 `log``x = 3n+1`]

[eqn: log x^2 `=`2 `log``x = `2n + 2over3 `] 이므로

[eqn: f(x^3 `)=3n+1 `,` ``g(x^2 `)= 2over3]

(나)에서 [eqn: f(x^3 ) + 3 g(x^2 `) = 3n+1 +2 = 12`]

[eqn: THEREFORE n=3`]

따라서 [eqn: log `x = 3+ 1over3]이므로 [eqn: x= 10 ^{3+ 1over3} =10^{10over3]

(ⅲ) [eqn: alpha = 2 over3]일 때,

[eqn: log ``x^3 `= 3 `log`x = 3n+2]

[eqn: log `x^2 = 2 `log `x = 2n + 4over3 = 2n+1 + 1over3] 이므로

[eqn: f(x^3 )= 3n+2 `,` g(x^2 )= 1over3`]

(나)에서 [eqn: f(x^3 ) + 3 g(x^2 ) = 3n+2+1=12`]

[eqn: THEREFORE n=3`]

따라서 [eqn: log `x =` 3+ 2over3 `]이므로 [eqn: x= 10^ {3+ 2over3 } =10^{11over3]

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에 의하여

[eqn: M=10^4 times 10^{10over3 } times 10^{11over3 } = 10^{ 4+ 10over3 + 11over3 } =10^11]

[eqn: THEREFORE log``M= log`10^11 =11]

[4점][2015년 9월 대성]

(가) [eqn: f(x)+3 g(x)`]의 값은 정수이다.

(나) [eqn: f(x^3 `) + 3 g(x^2 `) =12`]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]

④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log``x`]의 정수부분을 [eqn: f(x)`]라 하자. 등식
[eqn: f(x^{2})=3f(x)`]

정답 ①

[eqn: log`x=n+ alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0LEQ alpha<1`])라 하면

[eqn: log`x^2 =2n+2 alpha`]

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ alpha < {1} over {2}`]일 때,
[eqn: f(x)=n,~f(x^2 )=2n`]이므로 [eqn: 2n=3n`]
[eqn: THEREFORE~n=0`]

[eqn: 0 LEQ log`x< {1} over {2}`]에서 [eqn: 1 LEQ x< sqrt {10}`]이므로 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 1,~2,~3`]의 [eqn: 3`]개이다.

(ⅱ) [eqn: {1} over {2}le alpha < 1 `]일 때,

[eqn: f(x)=n`,~f(x^{2})=2n+1`]이므로 [eqn: 2n+1=3n`]

[eqn: THEREFORE~n=1`]

[eqn: 1+ {1} over {2}le log`x <2`]에서 [eqn: 10 sqrt {10}le x < 100`]이므로

자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 32,~33,~ CDOTS,~99`]의 [eqn: 68`]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 자연수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3+68=71`]

를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]의 개수는? (단, [eqn: 3.1< root {10}<3.2`])

[4점][2015년 11월 대성]

① [eqn: 71]	② [eqn: 73]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 77]	⑤ [eqn: 79]

서로 다른 두 자리의 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: log _{sqrt {m}} n]이 자연수일 때, [eqn: m`+`n]의 값은?

정답 ➂

이해 능력 – 지수와 로그

[eqn: log_{sqrt{m}}`n=k] ([eqn: k]는 자연수)라 하면 [eqn: n=(sqrt{m}`)^k]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때, [eqn: n`=` sqrt {m}]이므로 [eqn: m]은 두 자리의 완전제곱수이고 [eqn: n]은 한 자리의 자연수이다. 따라서 조건을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때, [eqn: n=m]이므로 조건을 만족하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때, [eqn: n`=`m ^{{3} over {2}}]이므로 [eqn: m]은 두 자리의 완전제곱수이다.

[eqn: m=4 ^{2} ,``5 ^{2} `` CDOTS ,``9 ^{2}]이면 [eqn: n=4 ^{3} ,``5 ^{3} `` CDOTS ,``9 ^{3}]이고, 이 중 두 자리의 자연수는 [eqn: 4^3]뿐이므로

[eqn: m=4^2], [eqn: n=4 ^{3}]

(ⅳ) [eqn: k GEQ 4]일 때, [eqn: n GEQ m ^{2}]이므로 [eqn: m]이 두 자리의 자연수이면 [eqn: n]은 두 자리의 자연수가 아니다. 따라서 조건을 만족하지 않는다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서 [eqn: m=4 ^{2} =16], [eqn: n=4 ^{3} =64]이므로

[eqn: m`+`n=16`+`64=80]

[4점][2015년 고2 8월 비상]

➀ [eqn: 64]	➁ [eqn: 72]	➂ [eqn: 80]

➃ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 96]

[eqn: 1 le x le 1000]인 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log``x]의 정수 부분과 소수 부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: f(x) - 4 g(x) =0]이 성립하도록 하는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱은?

정답. ④

[eqn: f(x)-4g(x)=0], 즉 [eqn: f(x)=4g(x)]에서 [eqn: 1 le x le 1000]이므로 [eqn: 0 le log``x le 3] 즉 [eqn: 0 le f(x)+g(x) le 3]이다.

그런데 [eqn: f(x)=4g(x)], [eqn: g(x)= 1 over 4 f(x)] 이므로

[eqn: 0 le f(x)+ 1 over 4 f(x)le 3], [eqn: 0 le 5 over 4 f(x) le 3]	[eqn: therefore```0 le f(x) le 12 over 5]

[eqn: f(x)]는 정수이므로 [eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=1] 또는 [eqn: f(x)=2]이다.

(ⅰ) [eqn: f(x)=0]이면 [eqn: g(x)=0]이고 [eqn: log``x=0] 이므로 [eqn: x=1]

(ⅱ) [eqn: f(x)=1]이면 [eqn: g(x)= 1 over 4]이고 [eqn: log``x= 5 over 4] 이므로 [eqn: x=10^{5 over 4}]

(ⅲ) [eqn: f(x)=2]이면 [eqn: g(x)= 1 over 2]이고 [eqn: log``x= 5 over 2] 이므로 [eqn: x=10^{5 over 2}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 10^{15 over 4}]이다.

[4점] [2015년 07월 종로]

① [eqn: 10^3]	② [eqn: 10^{13 over 4}]	③ [eqn: 10^{7 over 2}]

④ [eqn: 10^{15 over 4}]	⑤ [eqn: 10^4]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`` x]의 정수 부분과 소수 부분을 각각 [eqn: f(x),~ g(x)]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m,~n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값을 작은 순서대로 나열하여 만든 수열을 [eqn: left{a_k right}]라 하자.

정답 [eqn: 126]

(가), (나)의 두 등식을 변끼리 더하면

[eqn: left{ f( m) + g(m) right} - left{ f(n) + g(n) right}= 1- log` 2]이므로

[eqn: log` m - log ` n = log ` m over n = log ` 5]

∴ [eqn: m= 5n]

이때 조건 (가)에서 [eqn: m]의 자릿수가 [eqn: n]의 자릿수보다 [eqn: 1]이 커야 하므로 주어진 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m,~n]을 나열하면 다음과 같다.

[eqn: n]	[eqn: m]	[eqn: a_k = m+n]
[eqn: 2]	[eqn: 10]	[eqn: a_1 =12]
[eqn: 3]	[eqn: 15]	[eqn: a_2 =18]
[eqn: 4]	[eqn: 20]	[eqn: a_3 =24]
[eqn: 5]	[eqn: 25]	[eqn: a_4 =30]
[eqn: 6]	[eqn: 30]	[eqn: a_5 = 36]
[eqn: 7]	[eqn: 35]	[eqn: a_ 6 = 42]
[eqn: 8]	[eqn: 40]	[eqn: a_ 7 = 48]
[eqn: 9]	[eqn: 45]	[eqn: a_8 = 54]
[eqn: 20]	[eqn: 100]	[eqn: a_9 = 120]
[eqn: 21]	[eqn: 105]	[eqn: a_10 = 126]

∴ [eqn: a_10 = 105 +21 = 126]

(가) [eqn: f( m) - f(n) =1]

(나) [eqn: g(m) - g(n) =- log `2]

예를 들어 [eqn: a_1 = 12]이다. [eqn: a_10]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 10월 대성]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때,

정답 ②

[eqn: log` a= f(a) + g(a)] [eqn: (0 le g(a) <1)]

[eqn: log`b=f(b) + g(b)] [eqn: (0 le g(b) < 1)]

[eqn: LEFT { f(a) -1 RIGHT } LEFT { f(b) -1 RIGHT }=1]에서

[eqn: f(a) -1 = -1], [eqn: f(b) -1 =-1] 또는 [eqn: f(a) -1 = 1], [eqn: f(b) -1 =1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(a) =0], [eqn: f(b) =0] 또는 [eqn: f(a) =2], [eqn: f(b) =2]

이때, [eqn: g(a) + g(b) =0]에서 [eqn: g(a) =0], [eqn: g(b) =0]이므로

[eqn: log`a=0], [eqn: log`b=0] 또는 [eqn: log`a=2], [eqn: log`b=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1], [eqn: b=1] 또는 [eqn: a= 10^2], [eqn: b= 10^2]

따라서, 구하는 순서쌍 [eqn: (a,````b)]는 [eqn: (1,````1)], [eqn: (100,````100)]으로 [eqn: 2]개이다.

[eqn: LEFT { f(a) -1 RIGHT } LEFT { f(b) -1 RIGHT }=1], [eqn: g(a) + g(b) =0]

을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,````b)]의 개수는?

[4점][2015년 11월 중앙]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log`n`]의 정수부분을 [eqn: f(n),~]소수부분을 [eqn: g(n)`]이라 하자. 등식 [eqn: {f(60)-f(3)}over{g(60)-g(3)}={f(m)-f(40)}over{g(m)-g(40)}`]을 만족시키고 [eqn: 1000`]보다 작은 모든 자연수 [eqn: m`]의 값의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 802`]

[eqn: log3=0+log3`]이므로 [eqn: f(3)=0,~g(3)=log3 `]

[eqn: log40=1+log4`]이므로 [eqn: f(40)=1,~g(40)=log4`]

[eqn: log60=1+log6`]이므로 [eqn: f(60)=1,~g(60)=log6`]

[eqn: {f(60)-f(3)}over{g(60)-g(3)}={f(m)-f(40)}over{g(m)-g(40)}`]에서

[eqn: {1-0}over{log6-log3}={f(m)-1}over{g(m)-log4}`]

[eqn: 1overlog2 ={f(m)-1}over{g(m)-log4}`]

[eqn: g(m)-log4=left{f(m)-1right}timeslog2`]

[eqn: g(m)=f(m)timeslog2 +log2 `]

[eqn: 1le m <1000`]이므로

[eqn: f(m)=0`] 또는 [eqn: f(m)=1`] 또는 [eqn: f(m)=2`]

(i) [eqn: f(m)=0`]일 때,
[eqn: g(m)=log2`]이므로
[eqn: logm=0+log2=log2`]
[eqn: therefore~m=2`]

(ii) [eqn: f(m)=1`]일 때,
[eqn: g(m)=log2+log2=log4`]이므로
[eqn: log`m=1+log4=log40`]
[eqn: therefore~m=40`]
이때, 주어진 등식의 우변의 분모가 [eqn: 0`]이 되므로 모순이다.

(iii) [eqn: f(m)=2`]일 때,
[eqn: g(m)=2log2+log2=log8`]이므로
[eqn: logm=2+log8=log800`]
[eqn: therefore~m=800`]

따라서, 구하는 모든 자연수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: 2+800=802`]이다.

[4점][2015년 8월 중앙]

양수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: log ` `x`]의 지표와 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x) `]라 하고, [eqn: h(x) `=` x + 5 f(x) `]라 하자. 두 조건
[eqn: f (m) Le f(x)],   [eqn: g (h(m)) Le g(x)]
를 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 개수를 [eqn: p (x) `]라 할 때, [eqn: Sum from { k=1} to 10 `p(2k)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 53]

[eqn: log `` x `]의 지표와 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x) `]라 할 때,

[eqn: f(m) LE f(x)], [eqn: g (m + 5 f(m)) Le g(x) `]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수를 [eqn: p(x) `]라 하면 [eqn: Sum from {k=1} to 10 ` p(2k) `=` p(2) +p(4) + ` cdots ` + p(20 )`]으로부터 [eqn: f (m) `]은 [eqn: log `` 20 `]의 지표보다 작거나 같아야 하므로 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1 `]이 됨을 알 수 있다.

1) [eqn: f(m) `=` 0 `]일 때,

[eqn: 0 LE f(x)], [eqn: g (m) Le g(x) `]을 만족하는 한 자리 자연수 [eqn: m`]은

[eqn: x `=` 2]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2]

[eqn: x `=` 4]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

[eqn: x `=` 6]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: x `=` 8]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]

[eqn: x `=` 10]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 12]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 14]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 16]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 18]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 2 0]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2]

2) [eqn: f(m) `=` 1 `]일 때,

[eqn: 1 LE f(x)], [eqn: g (m +5) Le g(x) `]을 만족하는 두 자리 자연수 [eqn: m`]은

[eqn: x `=` 10]일 때, [eqn: m `=`95]

[eqn: x `=` 12]일 때, [eqn: m `=` 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 14]일 때, [eqn: m `=` 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 16]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 18]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 2 0]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: 15], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97],

[eqn: 98], [eqn: 99]

1), 2)로부터 [eqn: Sum from {k=1} to 10 ` p(2k) `=`2+4+6+8+1+1+1+1+2+1]

[eqn: +5+5+7+9+11`=` 65]

[4점][2015년 9월 평가원]

양수 [eqn: A]에 대하여 [eqn: log`A]의 소수부분을 [eqn: g(A)]라 하자. [eqn: 10 LEQ x<1000]인 실수 [eqn: x]와 [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(x) +g( root{n} of x )=1]을 만족시키는 [eqn: g(x)]의 최솟값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_2 times a_3 times a_4 times cdots times a_10]의 값은?

정답 ①

[eqn: log`{root{n} of x}=log`x^{1over n} = 1over n `log`x]

(ⅰ) [eqn: 10 LEQ x <100]일 때, [eqn: 1 LEQ log x<2]이므로
[eqn: g(x)=log`x-1], [eqn: 1over n LEQ 1 over n `log`x < 2 over n]이므로
[eqn: g( root{n} of x ) = 1over n `log`x~(because~n GEQ2)]
[eqn: g(x)+g( root {n} of x )=1]에서 [eqn: log`x-1 + 1over n `log`x =1]
[eqn: therefore~log`x= 2n over n+1 = 1+ n-1 over n+1]
[eqn: therefore~g(x)= n-1 over n+1 ~cdots㉠]

(ⅱ) [eqn: 100 LEQ x <1000]일 때, [eqn: 2 LEQ log`x<3]이므로
[eqn: g(x)=log`x-2], [eqn: 2over n LEQ 1over n `log`x< 3over n]이므로
[eqn: n=2]일 때, [eqn: g(root{n} of x )= 1over n` log`x-1]
[eqn: g(x)+g(root{n} of x )=1]에서 [eqn: log`x-2 + 1over n `log`x-1=1]
[eqn: therefore~log`x= 4n over n+1 = 8over3 =2+ 2over3]
[eqn: therefore~g(x)= 2over3 ~cdots㉡]
[eqn: n GEQ3]일 때, [eqn: g( root{n} of x )= 1over n `log`x]
[eqn: g(x)+ g( root {n}of x )=1]에서 [eqn: log`x-2 + 1overn `log`x=1]
[eqn: therefore~log`x= 3n over n+1 = 2+ n-2 over n+1]
[eqn: therefore~g(x)= n-2 over n+1 ~cdots㉢]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a_n (n GEQ2)]은 다음과 같다.

[eqn: n=2]일 때, ㉠에서 [eqn: g(x)= 1over3 ,] ㉡에서 [eqn: g(x)= 2over3]이고, [eqn: 1over3 < 2over3]이므로 [eqn: a_2 = 1over3]

[eqn: n GEQ3]일 때, ㉠에서 [eqn: g(x)= n-1 over n+1 ,] ㉢에서 [eqn: g(x)= n-2 over n+1]이고, [eqn: 0< n-2 over n+1 < n-1 over n+1 <1]이므로 [eqn: a_n = n-2 over n+1]

[eqn: therefore~a_2 times a_3 times a_4 times cdots times a_10][eqn: = 1over3 times 1over4 times 2over5 times 3over6 times 4over7 times 5over8 times 6over9 times 7over10 times 8over11][eqn: = 2over{9times10times11} = 1over495]

[4점][2015년 10월 중앙]

① [eqn: 1over495]	② [eqn: 1over500]	③ [eqn: 1over505]

④ [eqn: 1over510]	⑤ [eqn: 1over515]

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 정수부분을 [eqn: f(x)]라 하자.
[eqn: f(n+10)=f(n)+1]
을 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는?

정답 ⑤

[출제의도] 상용로그의 정수부분을 이해할 수 있는가?

[eqn: 1 LEQ n LEQ 100]이므로 [eqn: 0 LEQ f LEFT ( n RIGHT ) LEQ 2]이다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =0] 즉 [eqn: 1 LEQ n LEQ 9]일 때
[eqn: f LEFT ( n+10 RIGHT ) =1]이어야 하므로
[eqn: 10 LEQ n+10<100]
[eqn: THEREFORE ~1 LEQ n LEQ 9]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =1] 즉 [eqn: 10 LEQ n LEQ 99]일 때
[eqn: f LEFT ( n+10 RIGHT ) =2]이어야 하므로
[eqn: 100 LEQ n+10 LEQ 1000]
[eqn: THEREFORE ~90 LEQ n LEQ 99]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =2] 즉 [eqn: n=100]일 때
[eqn: f LEFT ( n+10 RIGHT ) =f LEFT ( 110 RIGHT ) =2]이므로
[eqn: f LEFT ( n+10 RIGHT ) =3]을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는

[eqn: 9+10=19]

[4점][2016(B) /수능 20]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: logt]의 소수부분을 [eqn: f(t)]라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 [eqn: t]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: a_{4}+a_{5}]의 값은?

정답 ③

[eqn: f(t^n )= -2f(t)+1]이라고 하고, [eqn: f(t)]를 정의역으로 그래프를 그리자.

① [eqn: 1LEQ t LEQ 10]에서 [eqn: y=f(t)]는 일대일대응, [eqn: 10LEQ t < 100]에서도 마찬가지로 [eqn: y=f(t)]는 일대일대응으므로 [eqn: a_n]은 (교점의 개수)[eqn: TIMES2]가 된다.

㉠ [eqn: n=4]                        ㉡ [eqn: n=5]

[eqn: RARROW~ a_4 =3 TIMES2 =6], [eqn: a_5 =3 TIMES2 =6]

[eqn: therefore6+6=12]

[4점][2015년 6월 평가원]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

(가) [eqn: 1 leq t<100]

(나) [eqn: f(t^{n} ) +2f(t)=1]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log `n]의 정수부분을 [eqn: f(n)], 소수부분을 [eqn: g(n)]이라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: k ,```m]의 순서쌍 [eqn: (k`,```m)]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[eqn: log `2=0+log`2]이므로

[eqn: f(2)=0], [eqn: g(2)=log`2]

(나)에서

[eqn: { f(k)} over { g(k)-log`2} = { f(m)} over { g(m)-log`2}]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

(ⅰ) [eqn: 1 ` LEQ k<`10]일 때

[eqn: f(k)=0]이므로 ㉠에서

[eqn: f(m)=0], [eqn: g(k) != log`2], [eqn: g(m) != log`2]이어야 한다.

따라서, [eqn: 1 ` LEQ k<`m <`10]이고 [eqn: k != 2], [eqn: m != 2]이어야 하므로 순서쌍 [eqn: (k`,```m)]의 개수는 [eqn: ` _8 C _2 =28]

(ⅱ) [eqn: 10 ` LEQ k<`200]일 때

[eqn: f(k)=1] 또는 [eqn: f(k)=2]

또한,  [eqn: 10 ` < m LEQ `200]이므로 [eqn: f(m)=1] 또는 [eqn: f(m)=2]

[eqn: f(k)=f(m)]이면 ㉠에서 [eqn: g(k)=g(m) != log`2]이어야 하므로

[eqn: k=m]이 되어 [eqn: k< m]에 모순이다.

즉, [eqn: f(k) != f(m)]이어야 하므로

[eqn: f(k)=1], [eqn: f(m)=2] (∵ [eqn: k< m])

∴ [eqn: 10 ` LEQ k<`100], [eqn: 100 ` LEQ k LEQ `200]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

㉠에서 [eqn: g(k) != log`2], [eqn: g(m) != log`2]이어야 하므로

[eqn: k != 20], [eqn: m!= 200] (∵ [eqn: ㉡])	[eqn: CDOTS CDOTS `㉢]

이 때, [eqn: g(k)=log`k -1], [eqn: g(m)=log` m-2]이므로

[eqn: { 1} over { log`k -1-log`2} = { 2} over { log`m -2-log`2}]

[eqn: log``m`-2-log``2=2log``k-2-2log``2]

[eqn: 2 log`k - log`m =log`2]

[eqn: log` { k^2} over {m } =log`2],	[eqn: { k^2} over {m } =`2]	∴ [eqn: m = { k^2} over { 2}]

㉡, ㉢, ㉣을 모두 만족시키는 순서쌍 [eqn: (k`,```m)]은 [eqn: (16`,```128)], [eqn: (18`,```162)]로 2개이다.

따라서, 구하는 순서쌍 [eqn: (k`,```m)]의 개수는 [eqn: 28+2=30]

[[eqn: 4]점]

(가) [eqn: 1 ` LEQ k<`m LEQ`200]

(나) [eqn: { f(k)-f(2)} over { g(k)-g(2)} = { f(m)-f(2)} over { g(m)-g(2)}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log``2 ^{n} `]의 정수부분은 [eqn: 19`]이고 [eqn: log``2 ^{n} `]의 소수부분을 [eqn: alpha `]라 할 때, [eqn: 2`log``2 LEQ alpha <3`log``2`]이다. [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log``2=0.30`]으로 계산한다.)

정답 [eqn: 66]

[eqn: log``2 ^{n} `]의 정수부분은 [eqn: 19`]이고 [eqn: log``2 ^{n} `]의 소수부분 [eqn: alpha `]에 대하여

[eqn: 2`log``2 LEQ alpha <3`log``2`]이므로

[eqn: 19+2`log``2 LEQ log``2 ^{n} <19+3`log``2`]에서

[eqn: 19.6 LEQ n`log``2 LEQ 19.9]

[eqn: 19.6 LEQ 0.3n<19.9]

[eqn: THEREFORE ~ {196} over {3} LEQ n< {199} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~n=66]

[4점][2015년 6월 종로]

어떤 세포의 안쪽 농도가 [eqn: C_1]이고 바깥쪽 농도가 [eqn: C_2]일 때, 이 세포가 물질 [eqn: A]를 세포 바깥쪽에서 안쪽으로 옮기는 데 필요한 에너지를 [eqn: E]([eqn: rm kcal])라 하면

정답 ③

[eqn: C_1 = nC_2]이므로

[eqn: E_n][eqn: =k(log` nC_{2} -log`C_{2} )]

[eqn: =k`log {nC _{2}} over {C _{2}} =k`log`n]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {E _{6}} over {E _{2}} = {k`log`6} over {k`log`2} =log _{2} `6=log _{2} (2 TIMES 3)]

[eqn: =1+ log_2`3]

[eqn: E=k(logC _{1} -logC _{2} )](단, [eqn: k]는 양의 상수)

인 관계가 성립한다고 한다. 이 세포의 안쪽 농도가 바깥쪽 농도의 [eqn: n]배일 때, 이 세포가 물질 [eqn: A]를 세포 바깥쪽에서 안쪽으로 옮기는 데 필요한 에너지를 [eqn: E_n]([eqn: rm kcal])라 하자. 이때 [eqn: E_6 over E_2]의 값은?

[4점][2015년 고2 5월 종로]

① [eqn: log _{2} `3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1+ log _{2} `3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2+log _{2} `3]

어떤 국가의 매년 국민 총생산량은 그 국가가 속한 기업들의 그 해의 투자량에 따라 변한다. 기업들의 투자량이 [eqn: I`](억 원)일 때 국민 총생산량 [eqn: G`](조 원)은 다음 식을 만족한다고 한다.
[eqn: G=0.69(I-2000)^0.5] (단, [eqn: I`ge2000])
기업들의 [eqn: 2015]년 투자량은 [eqn: 2200]억 원이고 [eqn: 2016]년 투자량이 [eqn: 2440]억 원일 때 국민 총생산량은 각각 [eqn: G_A`](조 원), [eqn: G_B`](조 원)이다.
[eqn: log``G_B - log``G_A]의 값은? (단, [eqn: log ``1.1=0.0414, ~log ``2=0.3010]으로 계산한다.)

정답. ④

[eqn: log``G_B - log``G_A][eqn: = log`` {G_B} over {G_A}]에서

[eqn: G_B over G_A = { 0.69(2440-2000)^0.5 } over {0.69(2200-2000)^0.5}= left( 440 over 200 right) ^0.5 =2.2^0.5]

[eqn: therefore~][eqn: log`` G_B over G_A = log`` 2.2^0.5 = 1 over 2 (log``2 + log``1.1)]

[eqn: = 1 over 2 (0.3010 +0.0414) = 0.1712]

[[eqn: 4]점] [2015년 05월 종로]

① [eqn: 0.1682]	② [eqn: 0.1692]	③ [eqn: 0.1702]
④ [eqn: 0.1712]	⑤ [eqn: 0.1722]

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다.

정답 ④

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

임피던스가 [eqn: 8]인 스피커를 저항이 [eqn: 5]인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 [eqn: a]인
접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의
[eqn: 2]배이므로

[eqn: 10`log `LEFT ( 1+ {2 TIMES 5} over {8} RIGHT )` =`2 TIMES 10`log `LEFT ( 1+ {2a} over {8} RIGHT )]

[eqn: log `{9} over {4}`=`log` LEFT ( 1+ {2a} over {8} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: LEFT ( 1+ {a} over {4} RIGHT ) ^{2} = {9} over {4}]

[eqn: 1+` {`a} over {4} = {3} over {2}] ([eqn: because] [eqn: a>0])

따라서 [eqn: a=2]

접속 케이블의 저항을 [eqn: R], 스피커의 임피던스를 [eqn: r], 전송 손실을 [eqn: L]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: L = 10` log `LEFT ( 1+{ 2R } over { r } RIGHT )]

(단, 전송 손실의 단위는 [eqn: rm dB], 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 [eqn: Ω]이다.)

이 앰프에 임피던스가 [eqn: 8]인 스피커를 저항이 [eqn: 5]인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 [eqn: a]인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 [eqn: 2]배이다. 양수 [eqn: a]의 값은?

[4점][2015년 4월 경기]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

컴퓨터 화면에서 마우스 커서()가 아이콘까지 이동하는 시간을 [eqn: T`](초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를 [eqn: D`](cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 [eqn: W`](cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단, [eqn: D>0])

정답  ②

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 실생활과 관련된 외적 문제를 해결한다.

마우스 커서가 아이콘 [eqn: rmA`]까지 이동하는 시간이 [eqn: 0.71`]초이므로

[eqn: 0.71`][eqn: =a+ 1over10 rm log`_2`LEFT(it D_{rmA} +1 RIGHT) `] … ㉠

마우스 커서가 아이콘 [eqn: rmB`]까지 이동하는 시간이 [eqn: 0.66`]초이므로

[eqn: 0.66`][eqn: =a+ 1over10 rm log`_2`LEFT(it D_{rm`B} +1 RIGHT) `] … ㉡

㉠-㉡에서

[eqn: 0.05 `][eqn: = {1} over {10} `log _{`2} (D _{rm A it} +1)- {1} over {10} `log _{`2} (D _{rm `B it} +1)`]

[eqn: = {1} over {10} rm `log` _{`2} ` it {D _{rm A it} +1} over {D _{rm `B it} +1} `]

즉, [eqn: 0.5`][eqn: = rm log_{`2}`it{D_{rmA} +1}over{D_{rm`B} +1} `]

따라서 [eqn: it {D _{rm A it} +1} over {D _{rm `B it} +1} `][eqn: = 2^{`0.5} `][eqn: = root 2]

[eqn: T`=a+ 1 over10 rm log`_2`LEFT(it D over{W ``}+1 RIGHT)] (단, [eqn: a`]는 상수)

그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 있다.

현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 [eqn: rm A`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm A`]의 폭 [eqn: W_{rm A} `]와 아이콘 [eqn: rm B`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm B`]의 폭 [eqn: W_{rm B} `]는 모두 [eqn: 1]cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 [eqn: rm A`]의 중심까지의 거리와 아이콘 [eqn: rm B`]의 중심까지의 거리를 각각 [eqn: D_{rm A} `](cm), [eqn: D_{rm `B} `](cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 [eqn: rm A`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm A} `], 아이콘 [eqn: rm B`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm B} `]는 각각 [eqn: 0.71`]초, [eqn: 0.66`]초이다. [eqn: {D_{rm A} +1} over { D_{rm`B} +1 }`]의 값은?

[4점][2015년 3월 서울시 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt2]	⑤ [eqn: 4]

고속철도의 최고소음도 [eqn: L rm (dB)`]을 예측하는 모형에 따르면 한 지점에서 가까운 선로 중앙 지점까지의 거리를 [eqn: d rm (m)], 열차가 가까운 선로 중앙 지점을 통과할 때의 속력을 [eqn: v ` rm (km/h)`]라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 ②

[eqn: B``]의 속력을 [eqn: v_B `]라 하면 , [eqn: A `]의 속력은 [eqn: v_A `=` 0.9 `v_B `]라 놓을 수 있다.

[eqn: L_A `=` 80 + 28` log ` {0.9 v_B} over 100 ` - 14`log ` d over 25],

[eqn: L_B `=` 80 + 28` log ` { v_B} over 100 ` - 14`log ` d over 25]로부터

[eqn: L_B - L_A `=` 28 ` left( log ``{0.9 `v_B} over 100 `-` log `` { v_B} over 100 right) `=` 28 ` log ``0.9]

[eqn: = `28 ` left( log `` 9 over 10 right) `=` 28 ` left( 2` log ``3 - 1 right) `=` 56`log ` `3 - 28]

[eqn: L `=` 80 +28 ` log `` v over 100 `-` 14` log `` d over 25]

가까운 선로 중앙 지점 [eqn: rm P `]까지의 거리가 [eqn: rm 75 m `]인 한 지점에서 속력이 서로 다른 두 열차 [eqn: A], [eqn: B ``]의 최고소음도를 예측하고자 한다. 열차 [eqn: A]가 지점 [eqn: rm P `]를 통과할 때의 속력이 열차 [eqn: B ``]가 지점 [eqn: rm P `]를 통과할 때의 속력의 [eqn: 0.9`]배일 때, 두 열차 [eqn: A], [eqn: B ``]의 예측 최고소음도를 각각 [eqn: L_A], [eqn: L_B `]라 하자. [eqn: L_B - L_A `]의 값은?

[4점]

① [eqn: 14 - 28` log ``3]	② [eqn: 28 - 56` log `` 3]	③ [eqn: 28 - 28 ` log ``3]

④ [eqn: 56- 84 ` log `` 3]	⑤ [eqn: 56- 56 ` log `` 3]

어떤 해동장비를 사용하여 얼어 있는 생선 [eqn: A``rmkg]을 모두 해동하는 데 걸리는 최소시간을 [eqn: t`]분이라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답: ④

[eqn: log`8 =k+a log`3]	[eqn: cdotscdots``]㉠

[eqn: log`20 =k+a log`9]	[eqn: cdotscdots``]㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: a log `3 = log` 20 over8 = log` 5 over2]	[eqn: cdotscdots``]㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: k= log`8 - log ` 5 over2 = log `16 over 5]

따라서 얼어 있는 생선 [eqn: 27``rmkg]을 모두 해동하는데 걸리는 시간은

[eqn: log`t][eqn: = log ``16 over 5 + a` log``27][eqn: = log ``16 over 5 + 3a` log`3][eqn: = log ``16 over 5 + 3` log``5 over2][eqn: = log`{16 times 5^3 } over{5 times 2^3 } = log``50]

[eqn: therefore```` t= 50]

[eqn: log``t = k+ a` log ``A] (단, [eqn: a,````k]는 상수이다.)

이 해동장비를 사용하여 얼어 있는 생선 [eqn: 3``rmkg]을 모두 해동하는 데 걸리는 최소 시간은 [eqn: 8]분이고, 얼어 있는 생선 [eqn: 9``rmkg]을 모두 해동하는데 걸리는 최소 시간은 [eqn: 20]분이다. 이 해동장비를 사용하여 얼어 있는 생선 [eqn: 27``rmkg]을 모두 해동하는데 걸리는 최소 시간은?

[4점][2015년 고2 5월 대성]

① [eqn: 35] 분	② [eqn: 40] 분	③ [eqn: 45] 분
④ [eqn: 50] 분	⑤ [eqn: 55] 분

광원에서 단위시간에 나오는 빛의 양을 광도라 하고, 관측지점에서 측정되는 빛의 밝기를 조도라 한다. 어떤 지역에서 광도가 [eqn: C(rmcd)]인 광원으로부터 [eqn: x(rmm)]만큼 떨어진 곳에서 측정된 조도 [eqn: L(rmlux)]은 다음과 같은 관계식을 만족시킨다고 한다.

정답 ③

광도가 [eqn: C]인 광원으로부터 [eqn: x(rmm)]만큼 떨어진 곳에서 측정된 조도를 [eqn: L]이라 하면 [eqn: 2x(rmm)]만큼 떨어진 곳에서 측정된 조도는 [eqn: L over 8]이다.

[eqn: log{C over L}= kx + logx^2 `][eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: log{8C over L}= 2kx + log4x^2 `][eqn: cdotscdots㉡]

㉡-㉠을 하면

[eqn: log{8C over L}-log{C over L}]

[eqn: = 2kx + log4x^2 -kx + logx^2 `]

[eqn: = 2kx + log4+2logx -kx + 2logx]

[eqn: = kx + log4]

[eqn: log{8C over L}}over {log{C over L}} =log8=kx+log4]

[eqn: kx=3log2 -2log2 =log2]

[eqn: thereforex= log2 over k]

[eqn: log{C over L}= kx + logx^2 `] ([eqn: k]는 양의 실수)

이 지역에서 광도가 [eqn: C(rmcd)]인 광원으로부터 [eqn: x(rmm)]만큼 떨어진 곳에서 측정된 조도가 이 광원으로부터 [eqn: 2x(rmm)]만큼 떨어진 곳에서 측정된 조도의 [eqn: 8]배일 때, 다음 중 [eqn: x]와 같은 값은?

[4점][2015년 5월 비상]

① [eqn: log2 over 4k]	② [eqn: log2 over 2k]	③ [eqn: log2 over k]

④ [eqn: 2log2} over k]	⑤ [eqn: 4log2} over k]

어떤 용액의 산성도를 나타내는 [eqn: rm PH]는 용액 속에 든 수소이온 [eqn: rm H^{+}]의 농도(단위: [eqn: rm mol/ L])에 의해 결정되는데, 수소이온 농도 [eqn: rm H^{+}]의 농도가 [eqn: A(rm mol/ L)]일 때, 산성도 [eqn: rm PH]의 값은 다음과 같다.

정답 ②

제주지역에 내린 산성도 [eqn: rm PH]의 값이 [eqn: 6.8]인 비의 수소 이온 농도 [eqn: rm H^{+}]의 농도 [eqn: p]는

[eqn: 6.8 = 1 over {log`p} = - log`p]

즉, [eqn: log`p = - 6.8]에서 [eqn: p = 10^{-6.8}]

서울지역에 내린 산성도 [eqn: rm PH]의 값이 [eqn: 4.2]인 비의 수소 이온 농도 [eqn: rm H^{+}]의 농도 [eqn: q]는

[eqn: 4.2 = 1 over {log`q} = - log`q]

즉, [eqn: log`q = - 4.2]에서 [eqn: p = 10^{-4.2}]

[eqn: THEREFORE`` p over q = {10^{-6.8}} over {10^{-4.2}} = 10^{-2.6} = 1 over {10^{2.6}} ={1} over {root {5} of {10^{13}} }]

([eqn: rm PH]의 값)[eqn: = 1 over {log`A}]

어느 날 제주지역의 산성도 [eqn: rm PH]의 값이 [eqn: 6.8]인 비가 내렸는데, 이 비의 수소이온 농도 [eqn: rm H^{+}]의 농도를 [eqn: p(rm mol/ L)]라 하고, 같은 날 서울지역에 산성도 [eqn: rm PH]의 값이 [eqn: 4.2]인 비가 내렸는데 이 비의 수소이온 [eqn: rm H^{+}]의 농도를 [eqn: q(rm mol/ L)]라 할 때, [eqn: p over q]의 값은?

[4점][2015년 6월 종로]

① [eqn: {1} over {root {3} of {10^{13}} }]	② [eqn: {1} over {root {5} of {10^{13}} }]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: root {5} of {10^{13}}]	⑤ [eqn: root {3} of {10^{13}}]

디지털 사진을 압축할 때 원본 사진과 압축한 사진의 다른 정도를 나타내는 지표인 최대 신호 대 잡음비를 [eqn: P], 원분 사진과 압축한 사지의 평균제곱오차를 [eqn: E``]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

정답 5

[eqn: P_A =k - 10 log E`_A]	…… ㉠

[eqn: P_B =k - 10 log E`_B]	…… ㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: P_A - P_ B = - 10 log E`_A + 10 log E`_B = - 10 log {E`_A } over {E`_B }]

[eqn: 5 = - 10 log {E`_A } over {E`_B }]	[eqn: THEREFORE``` log {E`_A } over {E`_B } =- 1 over 2]

[eqn: {E`_A } over {E`_B } = 10^{- 1 over 2} = 1 over root 10 = 1 over 10 root 10]

[eqn: THEREFORE``` m= 1 over 10]	[eqn: THEREFORE``` 50 m= 50 times 1 over 10 = 5]

[eqn: P=k - 10 log E`] (단, [eqn: k]는 상수, [eqn: E `>0])

두 원본 사진 [eqn: \A,~ B`]를 압축했을 때 최대 신호 대 잡음비를 각각 [eqn: P_A], [eqn: P_B]라 하고, 평균제곱오차를 각각 [eqn: E _A `` ( E_A >0)], [eqn: E _B `` ( E_B >0)]라 하자. [eqn: P_A - P _ B = 5]일 때, [eqn: E_A OVER E_B = m root 10]이다. [eqn: 50m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m]은 유리수이다.)

[4점][2015년 11월 중앙]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: {bar{AB}} `=`log` _{`2`} `4a`,``` {bar{AD`}} `=`2 ^{``a``+``2}]인 직사각형 [eqn: ABCD]가 있다, 선분 [eqn: AB] 위에 [eqn: {bar{AE}} `=`log _{```2} `a] 가 되도록 점 [eqn: E]를 잡고, 선분 [eqn: AD] 위에 [eqn: {bar{AF}} `=`2 ^{``a}] 이 되도록 점 [eqn: F]를 잡는다. 점 [eqn: E]를 지나고 직선 [eqn: AD]와 평행한 직선이 선분 [eqn: CD]와 만나는 점을 [eqn: G], 점 [eqn: F``]를 지나고 직선 [eqn: AB]와 평행한 직선이 선분 [eqn: BC]와 만나는 점을 [eqn: H] 라 하고, 두 선분 [eqn: `EG,``FH]가 만나는 점을 [eqn: I``]라 하자.

정답 ➀

수학 내적 문제 해결 능력 – 지수와 로그

[eqn: {bar{AE}} =log _{2} `a], [eqn: {bar{AF}} =2 ^{a}]이므로 직사각형 [eqn: AEIF] 의

넓이는 [eqn: 2 ^{a} TIMES log _{2} `a]

[eqn: {bar{FD}} `=` {bar{AD}} `-` {bar{AF}} `=2` ^{a+2} -2` ^{a} =3` TIMES `2` ^{a}]

[eqn: {bar{EB}} `=` {bar{AB}} `-` {bar{AE}} `=`log` _{2} `4a`-`log` _{2} `a=`log` _{2} `4=2]

이므로 직사각형 [eqn: IHCG] 의 넓이는

[eqn: 2` TIMES `(`3` TIMES `2` ^{a} `)`=`6` TIMES `2` ^{a}]

직사각형 [eqn: AEIF``]의 넓이가 직사각형 [eqn: IHCG``]의 넓이의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: 2` ^{a} ` TIMES `log` _{2} `a=`2` TIMES `(`6` TIMES `2` ^{a} `)]

[eqn: THEREFORE ``log` _{2} `a=12]

[eqn: THEREFORE ` {bar{AB}} `=`log` _{2} `4a`=`2`+`log` _{2} `a=14]

직사각형 [eqn: AEIF]의 넓이가 직사각형 [eqn: IHCG]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, 선분 [eqn: AB]의 길이는?

[4점][2015년 고2 8월 비상]

➀ [eqn: 14]	➁ [eqn: 16]	➂ [eqn: 18]

➃ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

마우스 포인터를 컴퓨터 화면 내의 점 [eqn: A]에서 출발하여 지름의 길이가 [eqn: w `rm (cm)]인 원의 내부까지 이동하는 동작을 반복할 때, 이 동작을 한 번 하는 데 걸린 평균시간 [eqn: T](초)와 점 [eqn: A]에서 원의 중심까지의 거리 [eqn: D rm(cm )]는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

정답 [eqn: 70]

점 [eqn: A]에서 지름의 길이가 [eqn: a rm (cm)]인 원의 중심까지의 거리가 [eqn: 6a rm (cm)]이고 점 [eqn: A]에서 출발하여 이 원의 내부까지 마우스포인터를 이동하는 동작을 반복할 때, 이 동작을 한 번 하는 데 걸린 평균시간이 [eqn: 0.8](초)이므로 [eqn: 0.8 = k + 0.5 log left( 6a over a + 1 right)]

[eqn: 0.8 = k + 0.5 log 7][eqn: cdots]㉠

점 [eqn: A]에서 지름의 길이가 [eqn: m b rm (cm)]인 원의 중심까지의 거리가 [eqn: b rm(cm)]이고 점 [eqn: A]에서 출발하여 이 원의 내부까지 마우스포인터를 이동하는 동작을 반복할 때, 이 동작을 한 번 하는 데 걸린 평균시간이 [eqn: 1.3](초)이므로 [eqn: 1.3 = k + 0.5 log left( b over mb + 1 right)][eqn: cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: 0.5 = 0.5 left{ log left( b over mb + 1 right) - log 7 right}]

[eqn: log {1 over m + 1} over 7 = 1]

[eqn: {1 over m + 1} over 7 = 10]

[eqn: 1 over m + 1 = 70]  [eqn: therefore][eqn: m= 1 over 69]  [eqn: therefore][eqn: p = 69 , ````q= 1]  [eqn: therefore][eqn: p+q = 70]

[eqn: T= k + 0.5 log left( D over w + 1 right)]

(단, [eqn: k]는 상수이고, 점 [eqn: A]는 원의 외부에 있다.)

점 [eqn: A]에서 지름의 길이가 [eqn: a rm (cm)]인 원의 중심까지의 거리가 [eqn: 6a rm (cm)]이고 점 [eqn: A]에서 출발하여 이 원의 내부까지 마우스 포인터를 이동하는 동작을 반복할 때, 이 동작을 한 번 하는 데 걸린 평균시간이 [eqn: 0.8](초)이었다. 점 [eqn: A]에서 지름의 길이가 [eqn: mb rm(cm)]인 원의 중심까지의 거리가 [eqn: b rm(cm)]이고 점 [eqn: A]에서 출발하여 이 원의 내부까지 마우스포인터를 이동하는 동작을 반복할 때, 이 동작을 한 번 하는 데 걸린 평균시간이 [eqn: 1.3](초)이었다. [eqn: m]의 값을 [eqn: q over p]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015년 9월 중앙]

화학 반응 속도 이론에서 반응  속도를 [eqn: k` LEFT ( mol`/`L` BULLET s RIGHT )], 역반응 속도를 [eqn: s LEFT ( mol`/`L` BULLET s RIGHT )], 활성화 에너지를 [eqn: E`` LEFT ( KJ``/mol RIGHT )], 절대온도를 [eqn: T` LEFT ( K RIGHT )]라 하면 [eqn: log`k`=log``s`-` {E} over {cT} `](단, [eqn: c]는 상수)가 성립한다고 한다. 반응 속도가 역반응 속도의 [eqn: 100]배이고 절대온도가 [eqn: 400K]인 활성화 에너지를 [eqn: E` _{1} LEFT ( KJ`/`mol RIGHT )],반응 속도가 역반응 속도의 [eqn: 10]배이고 절대온도가 [eqn: 200K]인 활성화 에너지를 [eqn: E` _{2} LEFT ( KJ`/`mol RIGHT )]라 할 때, [eqn: {E` _{1}} over {E` _{2}}]의 값은?

정답 [eqn: ④]

[eqn: log``k`=`log``s`-` {E} over {cT}]에서 [eqn: log``k``-`log``s``=``log` {k} over {s} `=`- {E} over {cT}]이므로

[eqn: LEFT ( i RIGHT )]  [eqn: k`=`100`s]인  경우

[eqn: log`` {100`s} over {s} `=``-` {E _{1}} over {400c} ,``log`100``=- {E _{1}} over {400c} `]

[eqn: THEREFORE `E _{1} `=`-800c]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT )]  [eqn: k`=`10`s]인  경우

[eqn: log`` {10`s} over {s} `=``-` {E _{2}} over {200c} ,``log`10``=- {E _{2}} over {200c} `]

[eqn: THEREFORE `E _{2} `=`-200c]

[eqn: THEREFORE {E` _{1}} over {E` _{2}} `=` {-800`c} over {-200c} `=`4]

[4점][2015년 8월 종로]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

총 공기흡인량이 [eqn: V``left( \m^{3}right)]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: W``left(㎎ right)]일 때의 공기 중 먼지 농도 [eqn: C``left( ㎍/ \m^{3}right)]는 다음
식을 만족시킨다고 한다.

정답 ②

[출제의도] 로그방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: log`C _{rm A it} =3-logV _{0} +log`W _{0}]         … ㉠

[eqn: log`C _{rm B it} =3-log` {1} over {9} V _{0} +log` {1} over {27} W _{0}]    … ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: log` {C _{rm A it}} over {C _{rm B it}} =log {1} over {9} -log {1} over {27} =log`3]

따라서 [eqn: {C _{rm A it}} over {C _{rm B it}} =k`]이므로 [eqn: k=3]

[eqn: log `C`=` 3-` log`V +`log``W] ([eqn: W>0])
[eqn: \A`]지역에서 총 공기흡인량이 [eqn: V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C_{\A}], [eqn: \B`]지역에서 총 공기흡인량이 [eqn: { 1} over { 9} V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: { 1} over { 27}W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C _{` rm B it}]라 하자. [eqn: C_{\A}`=kC_{`\B}`]를 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: W_0`>0])

[4점][2015년 7월 교육청]

	①	[eqn: sqrt { 3}]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 3sqrt { 3}]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 9sqrt { 3}]

빠른정답

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 256]

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 27]

정답 ④

정답 [eqn: 3]

정답 8

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 35]

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 15]

정답 ④

정답 [eqn: 57]

정답 ⑤

정답 ③

정답 [eqn: 34]

정답 ⑤

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 26]

정답 ③

정답 ①

정답 [eqn: 896]

정답 [eqn: 8]

정답 ➂

정답 [eqn: 376]

정답 [eqn: 634]

정답 ⑤

정답  120

정답 [eqn: 12]

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 14]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ②

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 [eqn: 17]

정답 ①

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 ④

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 49

정답 ②

정답 [eqn: 20]

정답 ②

정답 [eqn: 7]

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 3]

정답 ③

정답 ④

정답 3

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 17]

정답 ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 12

정답 [eqn: 1]

정답 ①

정답 [eqn: 12]

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 ➁

정답 [eqn: 5]

정답 172

정답 [eqn: 9]

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 8]

정답 ⑤

정답 ④

정답 ①

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: 8]

정답 ⑤

정답 [eqn: 100]

정답 ①

정답 ②

정답 ②

정답 13

정답 ③

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 16]

정답 [eqn: 2]

정답 ③

정답 ➁

정답 ④

정답 [eqn: bold 12]

정답 ③

정답 [eqn: 60]

정답 ②

정답 [eqn: 17]

정답 [eqn: 8]

정답 ①

정답 [eqn: 30]

정답 ③

정답 [eqn: 10]

정답 ③

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 [eqn: 120]

정답 [eqn: 31]

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: ④]

정답 ③

정답 [eqn: 45]

정답 ④

정답 [eqn: 45]

정답 ④

정답  ③

정답  [eqn: 99]

정답  ①

정답 ③

정답 11

정답 ①

정답 ②

정답 ④

정답 ②

정답 [eqn: 21]

정답 19

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 150]

정답 ⑤

정답 [eqn: 70]

정답 [eqn: 7]

정답 [eqn: 3]

정답 ④

정답 [eqn: 3]

정답 ①

정답 ③

정답 [eqn: 133]

정답 ⑤

정답 [eqn: 12]

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ①

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 27]

정답 [eqn: 4`]

정답 [eqn: 28]

정답 ④

정답 ②

정답. ③

정답. [eqn: 162]

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ①

정답 [eqn: 6]

정답 [eqn: 90]

정답 ④

정답 ②

정답 [eqn: 120]

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 12]

정답 ①

정답 ①

정답 ③

정답 [eqn: 8]

정답 [eqn: 14]

정답 22

정답  [eqn: 502]

정답 ②

정답 [eqn: 90]

정답 ②

정답 80

정답 ①

정답 ⑤

정답 ②

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 47]

정답 [eqn: 15]

정답 ④

정답 [eqn: 47]

정답 ⑤

정답 110

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: ③]

정답 [eqn: ①]

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 15]

정답  ①

정답  [eqn: 502]

정답 [eqn: 60]

정답. [eqn: 96]

정답 ③

정답 [eqn: 19`]

정답 [eqn: 6]

정답. [eqn: 102]

정답 ③

정답 [eqn: 103]

정답 [eqn: 500]

정답 [eqn: 530]

정답 22

정답 ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 46]

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 [eqn: 6]

정답 [eqn: 250]

정답 ①

정답 ③

정답 [eqn: 15]

정답 [eqn: 123]

정답 [eqn: 235]

정답 ⑤

정답 ②

정답 256

정답 5

정답 ⑤

정답 [eqn: 10]

정답 ⑤

정답 [eqn: 25]

정답 [eqn: 26]

정답 [eqn: 300]

정답  ①

정답  [eqn: 184]

정답  [eqn: 427]

정답 [eqn: 84]

정답 [eqn: 30]

정답 ①

정답 ➀

정답 ⑤

정답 169

정답 ①

정답 [eqn: 105]

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 275]

정답 ③

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 [eqn: 32]

정답 [eqn: 420]

정답 165

정답 ①

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 ①

정답 ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답  ②

정답. ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ⑤

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 [eqn: ③]

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ②

정답  ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답. ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ⑤

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답  ④

정답  [eqn: 252]

정답  ③

정답 [eqn: 3]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 30]

정답 [eqn: 32]

정답 ②

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: ③]

정답 ②

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 6]

정답 [eqn: 216]

정답 [eqn: 240]

정답 14

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: ②]

정답 ②

정답 ④

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ①

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 18]

정답 20

정답 [eqn: 5]

정답 [eqn: 124]

정답 [eqn: 9]

정답 ④

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 10

정답 ⑤

정답 ②

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답. ①

정답. [eqn: 11`]

정답 ②

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 15]

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: ③]

정답 ④

정답 [eqn: 200]

정답 ④

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ③

정답  [eqn: 30]

정답. ⑤

정답  [eqn: 25]

정답  [eqn: 67]

정답  ③

정답 [eqn: 70]

정답 [eqn: 65]

정답 [eqn: 74]

정답 [eqn: 26]

정답 [eqn: 810]

정답 ②

정답. [eqn: 24]

정답 ②

정답 15

정답 [eqn: 16]

정답 ⑤

정답 [eqn: 2]

정답 ③

정답 [eqn: 193]

정답 [eqn: 120`]

정답 [eqn: 16]

정답 [eqn: 14`]

정답 ①

정답 ①

정답 ➂

정답. ④

정답 [eqn: 126]

정답 ②

정답 [eqn: 802`]

정답 [eqn: 53]

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 [eqn: 30]

정답 [eqn: 66]

정답 ③

정답. ④

정답 ④

정답  ②

정답 ②

정답: ④

정답 ③

정답 ②

정답 5

정답 ➀

정답 [eqn: 70]

정답 [eqn: ④]

정답 ②

[정답 및 풀이-수학Ⅱ]