도형의 이동

수학1		모의고사 단원별 총모음(원~부등식의 영역)
				원~부등식의 영역

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16년 모의고사 대비 단원별 모의고사	수 학 1	도형의 이동~부등식의 영역

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

좌표평면 위의 점 [eqn: \A`(2,``1)`]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B], 점 [eqn: rm A(2, ``1)`]를 직선 [eqn: y``=`x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \`C`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는? [08-10-국가수준]

정답 ③

[eqn: \A]

[eqn: \C]

[eqn: \B]

[eqn: \O]

[eqn: y]

[eqn: x]

점 [eqn: rmA`(2`,``1)`]를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 [eqn: rmB`(-2`,``-1)`]

점 [eqn: rmA`(2`,``1)`]를 직선 [eqn: y`=`x`]에 대칭이동한 점은 [eqn: rm C`(1`,``2)`]

[eqn: bar{rm AB}]의 길이가 [eqn: 2 sqrt {5}], 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: x-2y=0],

[eqn: (1`,``2)`]에서 직선 [eqn: rm AB`]까지의 거리는 [eqn: {3} over {sqrt {5}}]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} ` TIMES `2 sqrt {5} ` TIMES ` {3} over {sqrt {5}} =3`]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

▶2007년 10월 국가수준(고1)[2점]

직선 [eqn: y=2x-3`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동 하였더니 다시 [eqn: y=2x-3`]의 그래프가 되었다. 이때, [eqn: {b} over {a}`]의 값은? (단, [eqn: a != 0])

정답 ④

직선 [eqn: y=2x-3`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동한 직선의 방정식은 [eqn: y-b=2(x-a)-3`]

직선의 방정식을 정리하면 [eqn: y=2x-2a-3+b`]

원래 직선과 같아졌으므로 [eqn: -2a+b-3=-3]

[eqn: THEREFORE2a=b]

[eqn: THEREFORE b over a = 2]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

▶2012년 9월 인천 [3점]

두 양수 [eqn: m`,~n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A LEFT ( -2`,~1 RIGHT ) `]을 [eqn: x`]축의  방향으로 [eqn: m`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 세 점 [eqn: rm `A`,~B`,~C`]를 지나는 원의 중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 3`,~2 RIGHT ) `]일 때, [eqn: mn`]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 점의 평행이동을 활용한 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm A LEFT ( -2`,~1 RIGHT ) `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼 평행이동한 점은 [eqn: rm B LEFT ( it -2+m`,~1 RIGHT ) `]

점 [eqn: rm B LEFT ( it -2+m`,~1 RIGHT ) `]을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 점은 [eqn: rm C LEFT ( it -2+m`,~1+n RIGHT )`]

세 점 [eqn: rmA`,~B`,~C`]를 지나는 원은 중심의 좌표가   [eqn: LEFT ( 3`,~2` RIGHT )`]이고 반지름의 길이가

[eqn: sqrt {LEFT { 3- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 2-1 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {26}`]이므로

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =26`]

점 [eqn: rmB`]는 원 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( -2+m-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-2 RIGHT ) ^{2} =26`]

[eqn: m=10] ([eqn: m`>0])

점 [eqn: rmC`]는 원 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( -2+m-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+n-2 RIGHT ) ^{2} =26`]

[eqn: n=2] ([eqn: n`>0])

따라서 [eqn: mn=20]

(다른 풀이) [eqn: TRIANGLE rm ABC`]는 각 [eqn: rmB`]가 직각이므로 변 [eqn: rmAC`]가 원의 지름이고, 변 [eqn: rmAC`]의 중점이 원의 중심이다.

[eqn: LEFT ( {-2+ LEFT ( -2 RIGHT ) +m} over {2} `,~ {1+1+n} over {2} RIGHT ) `= LEFT ( 3`,~2 RIGHT )]

[eqn: m=10`,~n=2`]

따라서 [eqn: mn=20]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

▶2012년 9월 인천 [3점]

직선 [eqn: x-2y=9`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 도형이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+5 RIGHT ) ^{2} =k``]에 접할 때, 실수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 도형의 대칭이동을 활용한 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: x-2y=9`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선 [eqn: y-2x=9`]가

원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+5 RIGHT ) ^{2} =k`]에 접하므로

[eqn: {LEFT | -2 TIMES 3+ LEFT ( -5 RIGHT ) -9 RIGHT |} over {sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}} `= sqrt {k} `]

따라서 [eqn: k=80]

① [eqn: 80]	② [eqn: 83]	③ [eqn: 85]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 90]

▶2006년 11월 교육청[3점]

[eqn: rmANGLE XOY=45 °`]인 반직선 [eqn: rm OX`] 위에 [eqn: rm bar{OA} =50], [eqn: rm bar{OB} = 120]인 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]가 있다. 반직선 [eqn: rmOY] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{PB}]의 최소값을 구하시오.

정답 130

점 [eqn: rmA]를 반직선 [eqn: rm OY]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A'],

반직선 [eqn: rm OY]와 선분 [eqn: rmA A']의 교점을 [eqn: rmM]이라 하자.

[eqn: △ rmAMP == △A'MP](∵ [eqn: rm SAS]합동),

[eqn: △ rmAOM == △A'OM](∵ [eqn: rm SAS]합동)이므로

[eqn: rm ANGLEAOA'= 90 DEG], [eqn: rm bar{AP} = bar{A'P}], [eqn: rm bar OA = bar OA']

[eqn: rm B]

[eqn: rm X]

[eqn: rm Y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A']

[eqn: rmM]

[eqn: rm A'], [eqn: rm P], [eqn: rm B]가 일직선 상에 있을 때, [eqn: rm barAP +bar PB]의 길이가 최소가 된다.

[eqn: rm bar{AP} + bar{PB} = bar{A prime P} + bar{PB} ` >= bar{A prime B} =130]

따라서, 구하는 최소값은 [eqn: 130]

[eqn: rmB]

[eqn: rmX]

[eqn: rmY]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P]

[eqn: 45 DEG]

▶2007년 10월 교육청[3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (`4,``0),~ rm B it (`0,``4)`]에 대하여 점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rm A`]에서 점 [eqn: rm B`]까지 원 [eqn: (`x-2) ^{2} +(`y-2) ^{2} =4`]의 내부를 지나지 않고 이동할 때, 점 [eqn: rm P`]의 이동 거리의 최솟값은?

정답 ①

[출제의도] 이동 거리의 최소값 구하기

[eqn: rmA]에서 [eqn: (2,0)]까지 [eqn: x`]축을 따라 이동,

[eqn: (2,0)]에서 [eqn: (0,2)]까지 원주를 따라 이동,

[eqn: (0,2)]에서 [eqn: rmB]까지 [eqn: y`]축을 따라 이동하는 것이 이동 거리가 최소인

경로이다.

따라서, 이동 거리의 최소값은 [eqn: 2+pi+2=4+pi`]이다.

① [eqn: 4+ pi]	② [eqn: 6+ pi]	③ [eqn: 4+2 pi]

④ [eqn: 8+ pi]	⑤ [eqn: 6+2 pi]

▶2009년 10월 인천교육청[3점]

두 원
[eqn: C_1`]: [eqn: (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9] , [eqn: C_2 `] : [eqn: x^2 + y^2 = 1]
이 있다. 원 [eqn: C_2 `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동하여 원 [eqn: C_1 `]의 내부에 존재하도록 하기 위한 모든 [eqn: a`]의 값의 범위가 [eqn: alpha <a< beta `]일 때, [eqn: alpha beta `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 도형의 평행이동을 이용하여  수학내적문제 해결하기

원 [eqn: C _{2} `]는 평행이동에 의해 중심[eqn: LEFT ( a,```a RIGHT ) `], 반지름이 [eqn: 1`]인 원이 되며 원 [eqn: C _{1} `]내부에 존재하기 위해서는 두 원의 중심거리가 두 원의 반지름 길이의 차보다 작아야 한다.

[eqn: y=x`]

[eqn: sqrt {LEFT ( a-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2}} <3-1= sqrt4`]

[eqn: 2a ^{2} -18a+37<0`],   [eqn: {9- sqrt {7}} over {2} <a< {9+ sqrt {7}} over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha beta = {9- sqrt {7}} over {2} {9+ sqrt {7}} over {2} = {74} over {4} = {37} over {2} `]

① [eqn: 18]	② [eqn: 37 over 2]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 39 over 2]	⑤ [eqn: 20]

▶2013년 11월 서울[3점]

좌표평면에서 점 [eqn: rm (`1,``4`)]를 점 [eqn: (`-2,`` it a`)]로 옮기는 평행이동에 의하여, 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +8x-6y+21=0`]은
원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +bx-18y+c=0`]으로 옮겨진다.
세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 150]

점 [eqn: LEFT ( 1,`4 RIGHT )]를 점 [eqn: LEFT ( -2,`a RIGHT )]로 옮기는 평행이동에 의하여 좌표평면 위의 점은 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a-4]만큼 옮겨진다.
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +8x-6y+21=0]에서
[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +bx-18y+c=0]에서

[eqn: LEFT ( x+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-9 RIGHT ) ^{2} =81-c+ {b ^{2}} over {4}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]의 원의 중심 [eqn: LEFT ( -4,`3 RIGHT )]이 평행이동에 의하여
[eqn: ㉡]의 원의 중심 [eqn: LEFT ( - {b} over {2} ,`9 RIGHT )]로 옮겨지므로
[eqn: therefore] [eqn: a=10], [eqn: b=14]

평행이동을 하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 [eqn: 4=81-c+ {196} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: c=126`]

따라서 [eqn: a+b+c=150]

▶2006년 11월 교육청[3점]

원 [eqn: C _{1}] : [eqn: x ^{2} -2x+y ^{2`} +4y+4=0]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C _{2}`]라 하자. [eqn: C _{1}] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]와 [eqn: C _{2}] 위의 임의의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 최소 거리는?

정답 ③

[eqn: C_1 ``:`` (x-1)^2 + (y+2)^2 =1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: C_2 ``: ``(x+2)^2 + (y-1)^2 =1]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: C_2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: C_1]

[eqn: -2]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: rm bar PQ]의 최소값은 두 원의 중심사이의 거리에서 두 원의 반지름의 길이의 합을 뺀 것이므로

[eqn: root {3^2 +3^2} -2 = 3 root2 -2]

① [eqn: 2root3 -2]	② [eqn: 2root3 +2]	③ [eqn: 3root2 -2]

④ [eqn: 3root2 +2]	⑤ [eqn: 3root3 -2]

▶2012년 10월 인천[3점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm O(`0`,```0)`], [eqn: rm A(`1`,```1)`], [eqn: rm B( it `a`,``b)`]를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rmOAB`]가 있다. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a+b`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a+b`]만큼 평행이동한 원이 선분 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 이때 선분 [eqn: rm {OP}]의 길이는?

정답  ③

[출제의도] 도형의 평행이동을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rmOAB]가 정삼각형이므로 [eqn: rm bar{OB`} = bar{AB`}]에서

[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2}} = sqrt {(a-1) ^{2} +(b-1) ^{2}}]이므로

[eqn: a+b=1]

평행이동된 원과 선분 [eqn: rmOA]를 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: rm A]

[eqn: y]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm bar{OP`} =`-1+ sqrt {2}]

① [eqn: {-1+ sqrt {2}} over {2}]         ② [eqn: rm -1+ {3 sqrt {2}} over {4}]        ③ [eqn: -1+ sqrt { 2}]

④ [eqn: 2- sqrt { 2}]           ⑤ [eqn: {1+ sqrt {2}} over {2}]

▶2007년 11월 교육청[3점]

원점에 대하여 대칭이동하였을 때, 자기 자신과 일치하는 도형의 방정식을 <보기>에서 모두 고르면?

정답 ③

[출제의도] 원점에 대칭인 도형 이해하기

ㄱ. [eqn: y=-x`]를 원점에 대하여 대칭이동한  도형의 방정식은

[eqn: -y=-(-x)]이므로 [eqn: y=-x]

ㄴ. [eqn: LEFT | `x` + `y` RIGHT |` =1]를 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은

[eqn: LEFT | `-x` - y` RIGHT |` =1]이므로 [eqn: LEFT | `x` + `y` RIGHT |` =1]

ㄷ. [eqn: x^2 +y^2 =2(x+y)`]를 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: (-x)^2 +(-y)^2 =2(-x-y)`]이므로

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =-2(x+y)`]

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: y=`-x]

ㄴ. [eqn: LEFT | `x`+`y` RIGHT |`` =1]

ㄷ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2` ( `x+y` )]

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① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2005년 10월 평가원[3점]

[eqn: y=x^2 -2] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동 하면 점[eqn: (-1,```2)]를 지난다. 이 때, 평행이동한 포물선의 꼭지점의 좌표는? (단, [eqn: m>0])

정답 ③

[eqn: y=(x-m)^2 -2]이 [eqn: (-1,```2)]를 지나므로

[eqn: 2=(-1-m)^2 -2`=`1+2m+m^2 - 2`=`m^2 +2m -1]

[eqn: m^2 +2m -3=0`]

[eqn: (m+3)(m-1)`=`0 ~~~ ```∴~m`=`-3,~1`]

그런데 [eqn: m>0]이므로 [eqn: m`=1`]이다. 따라서

[eqn: y=(x-1)^2 -2 `]이므로 이 포물선의 꼭지점의 좌표는 [eqn: (`1,`-2)]이다.

① [eqn: (-1,`-2)]	② [eqn: (`0,`-2)]        ③ [eqn: (`1,`-2)]

④ [eqn: (`2,`-2)]           ⑤ [eqn: (`3,`-2)]

▶2007년 03월 교육청[3점]

좌표평면 위의 정점 [eqn: rm P] 에 대한 두 점 [eqn: rmA,``B] 의 대칭점은 각각 [eqn: rmA',```B'] 이고, 직선 [eqn: rmAB] 의 방정식은 [eqn: x-2y+4=0`] 이라 한다. 점 [eqn: rmA'] 의 좌표가 [eqn: (3,``1)], 직선 [eqn: rmA'B'] 의 방정식이 [eqn: y=ax+b`] 일 때, 두 상수 [eqn: a`,``b`] 의 곱 [eqn: a`b`] 의 값은?

정답 ①

[출제의도] 좌표평면에서 대칭이동의 성질을 이해하고 있는가

를 묻는 문제이다.

두 점 [eqn: rm{A`'`,``B`'}]은 점 [eqn: rm P]에 대한 두 점 [eqn: rm A,```B]의 대칭점이므로

직선 [eqn: Rm A`'`B`']은 직선 [eqn: rmA`B]의 점대칭도형이다.

[eqn: TRIANGLE rm APB== TRIANGLE A`'PB`']에서 [eqn: ANGLE rm ABP= ANGLE A'B'P](엇각)이므로

[eqn: dyad{rm AB``` it} ``//`` dyad{rmA` prime B` prime ```}]

따라서 직선 [eqn: Rm A`'`B`'] 의 기울기는 직선 [eqn: rmA`B]의 기울기인 [eqn: 1over2]과 같다.

또한, 직선 [eqn: Rm A`'`B`'] 은 [eqn: RM A`'(3,``1)]을 지나므로 직선 [eqn: Rm A`'`B`']의 방정식은

[eqn: y`-1`=`1over2`(x-3)]

[eqn: therefore ~y = 1 over 2 x - 1over 2]

따라서 [eqn: `a`=`1over2`,```b`=`-`1over2]이다.

∴ [eqn: `ab=`-`1over4]

① [eqn: -` {1} over {4} `]	② [eqn: {1} over {4} `]	③ [eqn: -{1} over {3} `]

④ [eqn: {1} over {3} `]	⑤ [eqn: -{1} over {2} `]

▶2007년 03월 교육청[3점]

좌표평면에서 원점 [eqn: rm O] 와 두 점 [eqn: rm A(2,`0),``C(0,`1)] 에 대하여 [eqn: rm bar{OA} ,`` bar{OC} `] 를 두 변으로 하는 직사각형 [eqn: rm OABC] 를 평행이동하여    [eqn: rm `O` -> `O prime ,```A` -> `A prime ,````B` -> `B prime ,```C` -> `C prime] 으로 옮겨지도록 하였다.
점 [eqn: rmB'] 의 좌표가 [eqn: rm (7,4)] 일 때, 직선 [eqn: rm A prime C prime] 의 방정식은?

정답 ②

[출제의도] 좌표평면에서 평행이동을 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm B(2,``1)]이 점 [eqn: rm B'(7,``4)]로 옮겨지므로 직사각형 [eqn: rm O prime A prime B prime C prime]은

직사각형 [eqn: rm OABC]를 [eqn: x`]축의 방향으로 5, [eqn: y]축의 방향으로 3만큼

평행이동한 것이다.

따라서 두 점 [eqn: rm `A(2,``0),~C(0,``1)]은 각각 [eqn: rm `A'(7,``3),~C'(5,``4)]로

옮겨지므로 직선 [eqn: rm A'C']의 방정식은

[eqn: y-3= {4-3} over {5-7} (x-7)]

∴ [eqn: y=- {1} over {2} x+ {13} over {2}]

∴ [eqn: x+2y-13=0]

[다른풀이]

직선 [eqn: rm A'C']은 직선 [eqn: rm AC]를 평행이동한 것이므로

직선 [eqn: rm A'C']의 기울기는 직선 [eqn: rm AC]의 기울기인 [eqn: - {1} over {2}]이다.

한편, [eqn: rm bar{AB} = rm bar{A'B'}= 1]에서 점 [eqn: rm A prime]의 좌표는 [eqn: `(7,`3`)]이므로

이것을 [eqn: y=- {1} over {2} x+b]에 대입하여 정리하면 [eqn: b`=`` {13} over {2}]

따라서 구하는 직선 [eqn: rm A'C']의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} x+ {13} over {2}]

∴ [eqn: x+2y-13=0]

① [eqn: x+2y-10=0]	② [eqn: x+2y-13=0]

③ [eqn: x+2y-16=0]	④ [eqn: 2x+3y-17=0]

⑤ [eqn: 2x+3y-19=0]

▶2007년 10월 학업성취도[3점]

직선 [eqn: y=2x+2`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l _{1} `], 직선 [eqn: l _{1} `]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l _{2} `]라 할 때, 직선 [eqn: l _{2} `]의 방정식은?

정답 ③

[eqn: y=2x+2]를 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 직선 [eqn: l_1 `]: [eqn: x=2y+2],

[eqn: l_1 `]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 직선 [eqn: l_2 `]: [eqn: x=-2y+2],

따라서 직선 [eqn: l_2 `]의 방정식은 [eqn: x+2y-2=0]

① [eqn: x-2y-2=0`]	② [eqn: 2x+y-2=0`]

③ [eqn: x+2y-2=0`]	④ [eqn: 2x+y+2=0`]

⑤ [eqn: x+2y+2=0`]

▶2010년 11월 교육청[3점]

다음은 평행이동과 대칭이동을 이용하여 점 [eqn: P LEFT ( 1,```5 RIGHT )]를 직선 [eqn: x-y+1=0]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: Q]의 좌표를 구하는 과정이다.

정답 ③

[출제의도] 평행이동과 대칭이동의 의미를 이해하기

직선 [eqn: x-y+1=0]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 직선의 방정식은 [eqn: y=x]이다. 또한, 점 [eqn: P LEFT ( 1,``5 RIGHT )]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: P``']이라 하면, 점 [eqn: P``']의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )]이다.

이 때, 점 [eqn: P``']을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: Q``']이라 하면, 점 [eqn: Q``']을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면, 점 [eqn: Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,``2 RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE] (가) [eqn: y=x]     (나)  [eqn: LEFT ( 4,````1 RIGHT )]       (다) [eqn: 1]

직선 [eqn: x-y+1=0]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 직선의 방정식은 이다.

(가)

또한, 점 [eqn: P LEFT ( 1,```5 RIGHT )]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: P`` prime]이라 하면, 점 [eqn: P``']의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )]이다.

이 때, 점 [eqn: P``']을 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: Q``']이라 하면, 점 [eqn: Q``']의 좌표는 이다.

(가)

(나)

따라서 점 [eqn: Q``']을 [eqn: y]축의 방향으로 만큼 평행이동하면, 점 [eqn: Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,```2 RIGHT )]이다.

(다)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(가)	(나)	(다)

① [eqn: y=x]	[eqn: LEFT ( 4,``1 RIGHT )]	[eqn: -1]
② [eqn: y=x]	[eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )]	[eqn: -1]

③ [eqn: y=x]	[eqn: LEFT ( 4,``1 RIGHT )]	[eqn: 1]

④ [eqn: y=x+2]	[eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )]	[eqn: -1]

⑤ [eqn: y=x+2]	[eqn: LEFT ( 4,``1 RIGHT )]	[eqn: 1]

▶2010년 10월 교육청[3점]

어떤 기하프로그램을 이용하여 도형을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 누르면 이 도형은 평행이동 [eqn: f``:`(x`,```y) ``-> `(x+a `,```y+b` )`]에 의하여 이동된다. 이 프로그램을 이용하여 그림과 같이 원 [eqn: C _{1} `]을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 누르면 원 [eqn: C _{1} `]은 원 [eqn: C _{ 2} `]로 이동된다.

정답 ③

[출제의도] 도형의 평행이동을 이용하여 수학 내적문제 해결하기

도형을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 누르면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동 되므로 [eqn: a=3], [eqn: b=-2`]이다.

직선 [eqn: y=mx+n`]을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 눌러 이동된 후의 직선의 방정식도 [eqn: y=mx+n`]이므로

[eqn: m(x-3)+n-2`=mx+n]

[eqn: -3m-2=0], [eqn: m=- {2} over {3} `]

[eqn: THEREFORE `a+b+m= {1} over {3}]

이 프로그램을 이용하여 직선 [eqn: y=mx+n`]을 그린 후, ‘이동’ 버튼을 눌렀더니 이동된 후의 직선의 방정식도 [eqn: y=mx+n`]이었다. 이때 상수 [eqn: a`,```b`,```m`]의 합 [eqn: a+b+m`]의 값은?

① [eqn: - {5} over {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

▶2009년 10월 인천교육청[3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (a`,```2)`,``` rm B it (b`,```1)`]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{PB} `]가 최소가 될 때 [eqn: rm ANGLE APB=120 DEG]이다. 이때[eqn: (b-a)^2`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<b`])

정답 [eqn: 27]

[출제의도] 대칭이동을 이용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x]축 대칭인 점을 [eqn: rm A prime `], 점 [eqn: rm A,~B`]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C,~D`]라 하자.

[eqn: rm bar{AP} + bar{BP} = bar{A'P} + bar{B P} `]가 최소가 되기 위해서는 세 점 [eqn: rm A'`], [eqn: rm P `], [eqn: rm B]가 일직선 위에 있을 때이다.

[eqn: rm ANGLE APC= ANGLE A prime PC= ANGLE BPD=30 DEG]

따라서, [eqn: rm barA'B]의 기울기는 [eqn: tan `30 DEG`]

[eqn: 3 over b-a = 1 over sqrt3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2} =27`]

▶2009년 05월 경기도교육청[3점]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: \A`LEFT ( 2,`` 1over2` RIGHT )], [eqn: \B`(5,``-4)`]가 있다. 직선 [eqn: y=x`] 위를 움직이는 점 [eqn: \P`]와 직선 [eqn: y=-x`] 위를 움직이는 점 [eqn: \Q`]에 대하여 [eqn: overline\AP +overline\PQ +overline\QB`]가 최소가 될 때, 두 점 [eqn: \P`]와 [eqn: \Q`]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=ax+b`]라 하자. 이때, [eqn: a^2 +b^2`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

그림과 같이 [eqn: bar{AP} + bar{PQ} + bar{QB}]이 최소가 될 때, 직선 [eqn: PQ]의 방정식은 직선 [eqn: A``'`B``']의 방정식과 같으므로 직선의 방정식은 [eqn: y=-2x+3]이다.
[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} =13]

▶2011년 10월 인천교육청[3점]

평행이동 [eqn: f`:` LEFT ( `x`,~y` RIGHT ) ` -> ` LEFT ( `x+m`,~y-n` RIGHT ) `]에 의하여
원 [eqn: LEFT ( x+5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-10 RIGHT ) ^{2} =2`]를 옮기면 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} =2`]가 된다. 이때, [eqn: m+n`]의 값은? [3점-1110-인천교]

정답 ⑤

[출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

원의 중심이 [eqn: LEFT ( `-5`,~10` RIGHT ) `]에서 [eqn: LEFT ( `3`,~-2` RIGHT ) `]로 이동되었으므로 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: 8`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -12`]만큼 이동되었다.

[eqn: m=8`,~n=12`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: m+n=20`]

① [eqn: -20]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 20]

▶2010년 10월 교육청[4점]

두 지점 [eqn: rm A`,```B`]사이에 폭이 각각 [eqn: 20`,```10 sqrt {2} `]인 두 직선 도로가 [eqn: 45 {DEG }]의 각을 이루며 만나고 있다. 그림과 같이 두 도로가 만나는 지점 중 한 점을 [eqn: rm O`]라 하고, 이 점을 원점으로 하는 좌표평면을 그렸더니 두 지점 [eqn: rm A`,```B`]의 좌표는 각각 [eqn: rmA(-110`,```50)`,`][eqn: rmB(20`,```-30)`]이 되었다.

정답 ④

[출제의도] 점의 평행이동을 활용하여 수학 외적문제 해결하기

그림과 같이 두 도로에 수직인 방향으로 도로의 폭만큼 평행이동한 두 점을 잇고, 이 선분과 도로가 만나는 점에서 횡단보도를 지날 때 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 최단거리가 된다. 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 평행이동 한 점의 좌표는 각각 [eqn: rm A` prime LEFT ( -110,```30 RIGHT )], [eqn: rm B` prime LEFT ( 10,```-20 RIGHT ) `]이므로 [eqn: bar{rmA`'B`'} =130]이다. 따라서 최단거리는

[eqn: 130+20+10 sqrt {2} =150+10 sqrt {2}]이다.

[eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rm `B`]지점으로 가는 거리가 최소가 되도록 두 도로 위에 횡단보도를 설치하였을 때, 두 횡단보도를 모두 지나 [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rm `B`]지점까지 가는 최단거리는? (단, 횡단보도를 걷는 거리는 도로의 폭과 같다.)

① [eqn: 150-10 sqrt {2}]        ② [eqn: 150- sqrt {2}]         ③ [eqn: 160+ sqrt {2}]

④ [eqn: 150+10 sqrt {2}]         ⑤ [eqn: 160+10 sqrt {2}]

▶2010년 10월 교육청[4점]

직선 [eqn: (2k+1)x+(k+1)y-4=0`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선은 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (a,```b)`]를 지난다. 이때 [eqn: a-b]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 대칭이동을 이용한 수학 내적문제 해결하기

직선 [eqn: (2k+1)x+(k+1)y-4=0`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선은

[eqn: (k+1)x+(2k+1)y-4=0`]이다.

따라서 [eqn: LEFT ( x+2y RIGHT ) k+ LEFT ( x+y-4 RIGHT ) =0`]이고 이 직선은 [eqn: k]값에 관계없이 [eqn: LEFT ( 8,```-4 RIGHT ) `]를 지난다.

[eqn: therefore] [eqn: a-b=12`]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

그림과 같이 직선 [eqn: l```:``x+`y-10``=0`] 과 [eqn: y] 축에 동시에 접하는 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원 [eqn: rm C]가 있다. 이 원 [eqn: rm C]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: a`], [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -b`]만큼 평행이동하였더니 그림과 같이 직선 [eqn: l] 과 [eqn: x`]축에 동시에 접하는 원 [eqn: rm C prime]이 되었다. [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 28]

[출제의도] 공통외접선의 성질을 이용하여 도형의 평행이동 이해하기

원 [eqn: rm C]의 중심의 좌표는 [eqn: rm C it (2,``p)]

[eqn: x+y-10=0]에 접하므로 중심에서 직선까지의 거리는 [eqn: {LEFT | 2+p-10 RIGHT |} over {sqrt {2}} =2]

[eqn: p=8+2 sqrt {2}]

원 [eqn: rm C ']의 중심의 좌표는 [eqn: rm C prime it (q,``2)]

[eqn: x+y-10=0]에 접하므로 중심에서 직선까지의 거리는 [eqn: {LEFT | q+2-10 RIGHT |} over {sqrt {2}} =2]

[eqn: q=8-2 sqrt {2}]

원 [eqn: rm C]의 중심이 [eqn: (2,``8+2 sqrt {2} )]에서 원 [eqn: rm C']의 중심 [eqn: (`8-2 sqrt {2} ,``2)]으로 이동되었으므로

[eqn: a=6-2 sqrt {2}], [eqn: b=6+2 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=28]

▶2005년 11월 전국연합[4점]

반지름의 길이가 [eqn: rm20m]인 원형의 수영장이 있다. 점 [eqn: rm O`]는 수영장의 중심이고,  두 점 [eqn: rm P`], [eqn: RMQ]는 원 위의 점이며 [eqn: rm angle POQ` = 60°]이다. 갑과 을이 각각 [eqn: rm P`], [eqn: RMQ]에서  동시에 출발하여 중심 [eqn: rm O`]를 향해 가고 있다. 호 [eqn: rm PQ`] 위에 한 점[eqn: rm C`]를 고정하고 선분 [eqn: rm OP`]와 선분[eqn: rm OQ`] 위의 임의의 두 지점 [eqn: rm A,~B`]에 갑과 을이 각각 도달하였을 때, 세 지점 [eqn: rm A,~B`,~C`]를 서로 연결한 거리의 합 [eqn: rm bar AB + bar BC + bar CA]의 최소값은?

정답 ④

선분 [eqn: rm OP], [eqn: rmOQ]에 대한 점 [eqn: rm C`]의 대칭점 [eqn: rm C prime,~rm C primeprime]

[eqn: rm bar AC = bar {AC prime}], [eqn: rm bar BC = bar {BC prime prime}] 이므로

[eqn: 60°]

50

[eqn: 25 root 3]

C'

C''

O

A

C

B

P

Q

[eqn: 60°]

[eqn: rm △ ABC`]에서 [eqn: rm bar AB + bar BC + bar CA = bar AB + bar {BC primeprime} + bar {AC prime}``≧``bar {C prime C prime prime}]

[eqn: rm bar AB + bar BC + bar CA]의 최소값은 [eqn: rm bar { C prime C prime prime}]이고, [eqn: rm △ OC prime C prime prime]는

[eqn: rm angle C prime O C prime prime = 120°]인 이등변삼각형이므로

[eqn: 60°]

20

[eqn: 10root3]

[eqn: rm bar {C prime C prime prime} = 20 root 3]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm P`]

[eqn: RMQ]

[eqn: rm C`]

[eqn: 60°]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

① [eqn: rm 15 root2 m]	② [eqn: rm 15 root3 m]
③ [eqn: rm 20 root2 m]	④ [eqn: rm 20 root3 m]
⑤ [eqn: rm 25root2 m]

▶2011년 03월 부산시교육청[4점]

좌표평면에서 포물선 [eqn: y=x^2 -2x]를 포물선
[eqn: y=x^2 -12x+30]으로 옮기는 평행이동에 의하여 직선
[eqn: l`:`x-2y=0]이 직선 [eqn: l`']으로 옮겨진다. 두 직선 [eqn: l,````l``'] 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: d`^2]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 45]

[출제의도] 평행이동을 이해하고 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

포물선 [eqn: y=x^2 -2x]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 [eqn: (y-n)^2 = (x-m)^2 -2(x-m)]

정리하면 [eqn: y= x^2 -2(m+1)x + m^2 +2m+n]

이 포물선이 [eqn: y=x^2 -12x+30]과 일치하므로

[eqn: m=5, n=-5]이다.

직선 [eqn: l`:`x-2y=0]을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 5]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: -5]만큼 평행이동하면 [eqn: (x-5)-2(y+5)=0]이므로 직선 [eqn: l`:` x-2y-15=0]이다.

따라서 두 직선 [eqn: l,````l`']사이의 거리 [eqn: d]는 직선 [eqn: x-2y=0] 위의 점 [eqn: (0,```0)]과 직선 [eqn: x-2y-15=0] 사이의 거리와 같다.

[eqn: d= 15 oversqrt5 =3sqrt5]

[eqn: therefore ``d^ 2 = 45]

▶2005년 11월 전국연합[4점]

한 개의 동전을 던져서 다음과 같은 방법으로 좌표평면 위의  점 [eqn: rm P(1,~1)]을 이동시키려고 한다.

정답 ①

점 [eqn: rm P( it x,~y)]를 이동시키는 경우의 평행이동 된 점의 좌표는 다음과

같다.

앞면이 나오는 경우 : [eqn: (x,~y) →(x+1, ~y-1)]

뒷면이 나오는 경우 : [eqn: (x,~y) →( x-1,~ y +2)]

앞면이 [eqn: 6]회 나오고 뒷면이 [eqn: 4]회 나오면

[eqn: (x,~y ) →(x+6-4 ,~y-6+8)=(x+2,~y+2)]

[eqn: x=1, ~y=1]을 대입하면 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: (3,~3)]

선분 [eqn: rm PQ`]의 길이는 [eqn: root{(3-1)^2 + (3-1)^2 } = root8 =2 root2]

	◦ 앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동 한다. ◦ 뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동 한다.

동전을 [eqn: 10]회 던져서 앞면이 [eqn: 6]회, 뒷면이 [eqn: 4]회 나왔을 때의 평행이동 된 점을 [eqn: rm Q`]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는? [4점]

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: 3root2]

④ [eqn: 3root3]	⑤ [eqn: 4root2]

▶2012년 10월 인천[4점]

원 [eqn: (`x-4`) ^{`2} +(`y-4`) ^{`2} =16`]위를 움직이는 점 [eqn: rm P( it `x`,``` it y)`]를 직선 [eqn: y=x `]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 점 [eqn: rmP`,```Q`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P prime], [eqn: rm Q'`]라 할 때, [eqn: rm LEFT | `` bar{PP'} - bar{QQ prime } ` RIGHT | `]의 최댓값은?

정답  ②

[출제의도] 도형의 대칭이동을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm P`it(x,```y)]에서 [eqn: rmQ`` it (y,````x)], [eqn: rm P prime it (x,```0)], [eqn: rm Q prime it (y,```0)]

이므로 [eqn: rm bar{PP'`} = it y], [eqn: rm bar{QQ` prime `} = it x]

[eqn: rm LEFT | bar{PP prime ``} - bar{Q`Q` prime `} RIGHT | = it LEFT | `y-x` RIGHT | =k]라 하면

[eqn: k]는 직선 [eqn: y=x±k]가 원에 접할 때 최댓값을 가진다. 원의 중심 [eqn: (4,```4)]에서 직선까지의 거리는 [eqn: {LEFT | 4-4±k RIGHT |} over {sqrt {2}} =4]

[eqn: THEREFORE][eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]
④ [eqn: 5 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {6}]

▶2012년 11월 경기[4점]

그림과 같이 동서로 뻗어 있는 직선도로 [eqn: l]과 남서쪽에서 북동쪽으로 뻗어 있는 직선도로 [eqn: m]이 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.
두 직선도로 [eqn: l]과 [eqn: m]이 만나는 지점 [eqn: rm O]로부터 동쪽으로 [eqn: 3` rm km] 떨어진 지점에서 북쪽으로 [eqn: 1` rm km] 떨어진 지점에 정류소 [eqn: A]가 있다. 정류소 [eqn: A]를 출발해서 직선도로 [eqn: l] 위의 한 지점과 직선도로 [eqn: m] 위의 한 지점을 차례로 경유하여 정류소 [eqn: A]로 돌아오는 도로를 만들려고 한다.
만들려고 하는 도로의 길이가 최소가 되도록 직선도로 [eqn: l] 위의 한 지점에 정류소 [eqn: B], 직선도로 [eqn: m] 위의 한 지점에 정류소 [eqn: C`]를 만들 때, 두 정류소 [eqn: B`]와 [eqn: C] 사이의 거리([eqn: rmkm])는? (단, 도로의 폭은 무시하며 모든 지점과 도로는 동일평면 위에 있다.)

정답 ⑤

[출제의도] 대칭이동의 의미를 알고 문제해결하기

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA (3,``1)]

[eqn: rmP (3,``-1)]

[eqn: rmQ (1,``3)]

[eqn: y=x]

지점 [eqn: rmO]를 좌표평면 위의 원점, 직선도로 [eqn: l]을 [eqn: x]축으로 정하면 직선도로 [eqn: m]은 직선 [eqn: y=x], 정류소 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: rm A(3,``1)]이다.

점 [eqn: rm A]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm P]라 하면

[eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: (3,``-1)]이고 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm (1,``3)]이다.

만들려고 하는 도로의 길이는 [eqn: bar{rmPQ}]일 때, 최소이다.

두 점 [eqn: rm P (3,``-1)], [eqn: rm Q(1,``3)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-3=`-2(x-1)] [eqn: therefore] [eqn: y=`-2x+5]

[eqn: x]축과 직선 [eqn: y=`-2x+5]의 교점은 [eqn: rm B LEFT ( {5} over {2} ,``0 RIGHT )]

[eqn: y=x]와 직선 [eqn: y=`-2x+5]의 교점은 [eqn: rm C LEFT ( {5} over {3} ,`` {5} over {3} RIGHT )]

따라서 [eqn: bar{rm BC it} = sqrt {` LEFT ( {5} over {3} - {5} over {2} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5} over {3} `-0` RIGHT ) ^{2}} = {5 sqrt {5}} over {6}][eqn: LEFT ( rmkm RIGHT )]

[eqn: l]

[eqn: 3rmkm]

[eqn: m]

[eqn: 1rmkm]

[eqn: rm O]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: 45 DEG]

남

북

동

서

①  [eqn: sqrt {5} over 2]	② [eqn: {7sqrt {5}} over {12}]	③ [eqn: {2sqrt {5}} over {3}]
④ [eqn: {3 sqrt {5}} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {5}} over {6}]

▶2007년 10월 교육청[4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (`7,``4),`` rm B it (`8,``6)`]과 직선 [eqn: y=x`] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} + bar{PB}`] 의 값을 최소가 되게 하는 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: 5a`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 32]

[출제의도] 점의 직선에 대한 대칭이동 이해하기

[eqn: rmA(7,4)]를 [eqn: y=x]에 대칭이동한 점 [eqn: rmC(4,7)]에

대하여, [eqn: rmbarPA + barPB]가 최소인 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]

와 직선 [eqn: y=x]의 교점이다.

[eqn: y=- 1 over 4 x+8]와 [eqn: y=x]의 교점은 [eqn: left( 32 over 5 , 32 over 5 right)]

따라서, [eqn: 5a=32]

부등식의 영역

16년 모의고사 대비 단원별 모의고사	수 학 1	도형의 이동~부등식의 영역

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

연립부등식 [eqn: cases{x ^{2} `+`y ^{2} <= 4#x`-`y`-`2 <= 0}`]이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S``], 연립부등식 [eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <= 4#x`+`y`+`a`≦`0 }`]이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S`` prime `]이라 하자. [eqn: S``+S`` prime `=`4` pi `]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ②

[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <= 4#x-y-2 <= 0}`]에서 [eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <= 4#y >= x-2}`]이므로 [eqn: S``]는 왼쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이이다.

[eqn: RMO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: x^2 +y^2 =4]

[eqn: y=x-2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: RMO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: x^2 +y^2 =4]

[eqn: y=-x-a]

[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <= 4#x+y+a <= 0}`]에서 [eqn: cases{ x^2 +y^2 ≦ 4#y≦-x-a}`]이므로 해당하는 영역은 원의 내부의 영역 중 직선 [eqn: y=-x-a`]의 아래 부분에 해당된다. 그런데, [eqn: S``]부분의 넓이와 [eqn: S `prime``]부분의 넓이의 합이 [eqn: 4 pi `]이므로 [eqn: S `prime``]은 원의 내부의 영역 중  [eqn: S``]를 뺀 나머지 부분과 같아야 된다. 따라서, [eqn: S`prime`]은 원의 내부의 영역 중  직선 [eqn: y=-x-2]의 직선 아래쪽에 있어야 한다.

따라서 [eqn: cases{x^2 +y^2 ≦ 4# x+y+2≦0}`]

[eqn: THEREFORE `a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

원료 제품	[eqn: rm A(kg)]	[eqn: rm B(kg)]
Ⅰ	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]
Ⅱ	[eqn: 2``]	[eqn: 1``]

어떤 공장에서 제품 Ⅰ, Ⅱ를 생산하는데 원료 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 쓰인다고 한다. 표는 제품을 각각 [eqn: 1]개씩 생산하는데 필요한 원료의 양을 나타낸 것이다. 이 공장에서 하나의 제품을 팔아서 생기는 이익은 제품 Ⅰ, Ⅱ 가 각각 [eqn: 6`]만원, [eqn: 9`]만원이고, 하루에 원료 [eqn: rm A`,``B`]를 각각 [eqn: 400`rmkg], [eqn: 500rm`kg`]까지 쓸 수 있다고 한다. 생산된 제품은 즉시 팔린다고 할 때, 하루에 얻을 수 있는 최대 이익은?

정답 ⑤

하루에 제품Ⅰ,Ⅱ를 각각 [eqn: x`,``y`]개 생산한다면

제품Ⅰ에 사용되는 원료의 양은 [eqn: x+2y <= 400]

제품Ⅱ에 사용되는 원료의 양은 [eqn: 2x+y <= 500]

[eqn: x >= 0`,``y >= 0]를 만족하는 연립부등식의 영역을 나타낸다.

[eqn: (200,100)]

[eqn: y=-2x+500]

[eqn: y=- {1} over {2} x+200]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 6x+9y=k]를 영역 내에서 움직이면 [eqn: x+2y=400], [eqn: 2x+y=500]의 교점[eqn: (200,`100)`]에서 [eqn: k]가 최댓값을 가진다.

[eqn: k=6` TIMES `200`+9` TIMES `100=2100]

따라서 최대이익은 [eqn: 2100`]만원이다.

① [eqn: 1700`]만원	② [eqn: 1800`]만원	③ [eqn: 1900`]만원

④ [eqn: 2000`]만원	⑤ [eqn: 2100`]만원

▶2014년 9월 인천 [3점]

부등식 [eqn: (x+y-2)(x ^{2} +y ^{2} -4x-4y+4) LEQ 0`]의 영역을 좌표평면 위에 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 포함한다.)

정답 ①

[출제의도] 부등식의 영역 이해하기

부등식 [eqn: (x+y-2)(x^2 +y^2 -4x-4y+4) LEQ0] 이 성립하는 경우는 다음 두 가지이다.

[eqn: y GEQ -x+2`,````(x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} LEQ 4] 또는

[eqn: y LEQ -x+2`,````(x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} GEQ 4]

따라서 만족하는 영역은 그림과 같다.

(단, 경계선은 포함한다.)

①		②
③		④
⑤

▶2008년 10월 학업성취도[3점]

점 [eqn: (a,```2)`]가 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} =17`]의 내부에 있을 때, 실수 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하시오.

정답 [eqn: -2 <a < 6 `]

점 [eqn: (a,```2)`]가 원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} `=`17`]의 내부에 있으므로

[eqn: (a-2) ^{2} +(2-1) ^{2} `<`17`]이다.

부등식 [eqn: a ^{2} -4a-12`<`0`]의 해는 [eqn: -2 `<`a`<`6]이다.

▶2006년 03월 부산교육청[3점]

다음은 그림과 같이 적도 부근의 해상 [eqn: rm A``]지점에서 발생한 태풍에 대한 정보이다.

(가) 태풍의 중심은 북동쪽으로 시속 [eqn: 10 sqrt {`2`} `rm km ``]의 일정한 속력으로 이동한다.

(나) 태풍의 반지름의 길이는 시간 당 [eqn: 5`rm km``]씩 증가한다.

이 정보에 의하면, [eqn: rm A``]지점으로부터 동쪽으로 [eqn: 100`rm km ``], 북쪽으로 [eqn: 150`rm km ``] 떨어진 [eqn: rm B``]지점이 태풍의 영향권에 있는 시간은 총 몇 시간인가? (단, 태풍은 항상 원 모양이고, 발생하는 순간의 태풍의 반지름의 길이는 [eqn: 0` rm km``]이며, 태풍의 중심은 직선 방향으로 이동한다고 가정한다. 또, 원의 내부에 있는 지역을 태풍의 영향권이라 한다.)

정답 ④

[eqn: rmA]지점을 원점으로 놓으면 [eqn: t]시간 후의 태풍의 중심의 좌표는 [eqn: (`10t,~10t)] 이다. (∵ (가))

또, (나)에 의하여 태풍(의 영향권)의 반지름은 [eqn: 5t]이므로 태풍의 영향권을 원의 방정식을 이용하여  나타내면

[eqn: (x-10t)^2`+(y-10t)^2`<=(5t)^2]

이 때, [eqn: rmB] 지점의 좌표는 [eqn: (100,~150)]이므로

이것을 대입하여 부등식을 정리하면,

[eqn: (100-10t) ^{2} `+(150-10t) ^{2} <=25t ^{2}]

[eqn: 7t^2`-200t+1300<=0]

[eqn: (t-10)(7t-`130)<=0]

[eqn: 10 <= t<= `130over7]

따라서 [eqn: rmB]지점이 태풍의 영향권에 있는 시간은

[eqn: 130 over 7 -10 =`60over7] (시간)

① [eqn: {`30`} over {7} ``]시간	② [eqn: 5``]시간	③ [eqn: {`40`} over {7} ``]시간

④ [eqn: {`60`} over {7} ``]시간	⑤ [eqn: 9``]시간

▶2007년 11월 교육청[3점]

네 부등식 [eqn: x >= 0,~y >= 0,~2x+3y <= 18,~2x+y <= 10`]을 동시에 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최대값은?

정답 ②

[출제의도] 부등식의 영역에서의 최대값, 최소값 구하기

[해설] 네 부등식 [eqn: x >= 0,~y >= 0,~2x+3y <= 18,~2x+y <= 10`]의 영역을 좌표평면에 나타내면

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: 9]

[eqn: rm O]

[eqn: x+y=k`]라 하면, [eqn: k`]의 최대값은  [eqn: y=-x+k`]의 그래프가

[eqn: 2x+3y = 18,~2x+y = 10`]의 교점 [eqn: ( 3,~4)`]를 지날 때이다.

[eqn: therefore] [eqn: x+y=7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2005년 10월 평가원[3점]

한 컴퓨터 제조업체에서 제품 생산 계획을 세우기 위해 관련 사항을 조사한 것이다. 이익을 최대로 하려면 하루에 [eqn: A```]모델을 몇 대 생산해야 하는가? (단, 생산한 제품은 모두 팔린다고 가정함)

정답 ⑤

A모델의 생산량을 [eqn: x`]대, B모델의 생산량을 [eqn: y`]대라 하고 이 업체의 이익을 [eqn: k`]라고 하자. 그러면 주어진 조건에 의하여

[eqn: 0``<``x```≦```80`,~`0``<``y```≦```100`] ,   [eqn: 0``<``x`+y``≦```150`]

[eqn: k`=`4x`+`2y`~~⋯㉠]

이 성립한다. 따라서 이익이 최대가 되는 때는 오른쪽 그림의 색칠된 영역에서 [eqn: k`]가 최대값을 가질 때이다.

㉠식을 변형하면  [eqn: y`=`-2x`+`k over 2`]

이므로, 기울기가 [eqn: -2`]인 직선에서 [eqn: y`]절편이 최대값을 가질 때 이익이 최대가 된다. 이는 이 직선이 점[eqn: rmQ(80,~70)`]를 지날 때이다.

따라서 A모델을 [eqn: 80`]대 생산할 때 이익이 최대가 된다.

․ 하루에 [eqn: A```]모델은 최대 [eqn: 80]대, [eqn: B``]모델은 최대 [eqn: 100]대 생산할 수 있고, 두 모델을 합해서는 최대 [eqn: 150]대를 생산할 수 있다.

․ 제품 한 개당 [eqn: A```]모델의 이익은 4만원, [eqn: B``]모델의 이익은 2만원이다.

① [eqn: 60]대                ② [eqn: 65]대                ③ [eqn: 70]대

④ [eqn: 75]대                ⑤ [eqn: 80]대

▶2006년 03월 교육청[3점]

[eqn: xy``` >= `0``]일 때, 부등식 [eqn: x`|`x`|```+``y`|`y`|``` <= `1``]의 영역을 좌표평면 위에 나타낸 것은? (단, 경계선은 모두 포함한다.)

정답 ④

ⅰ)[eqn: x>=0,``y>=0]인 경우

[eqn: x^2`+y^2`<=1]

따라서 제1사분면의 원의 내부이다.(경계선 포함)

ⅱ)[eqn: x<=0,``y<=0]인 경우

[eqn: -x^2`-y^2`<=1`]

∴ [eqn: x^2`+y^2`>=-1]

이 부등식은 모든 실수 [eqn: x,``y] 에 대하여 성립하므로

제3사분면 전체이다.

그러므로 구하는 영역은 ④번 그림과 같다.

①	②

③	④

⑤

▶2012년 10월 인천[3점]

두 영양제 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 한 알에 함유되어 있는 비타민과 철분의 양과 한 알의 가격이 표와 같다.

구분	비타민([eqn: rmmg`])	철분([eqn: rmmg`])	한 알의 가격(원)
[eqn: A]	[eqn: 1 rm]	[eqn: 4 rm]	[eqn: 200`]
[eqn: B`]	[eqn: 3 rm]	[eqn: 1 rm]	[eqn: 300`]

두 영양제 [eqn: A`,```B`]만을 이용하여 하루에 비타민 [eqn: rm10mg`]이상, 철분 [eqn: rm18mg`]이상 섭취하고자 할 때, 필요한 최소비용은?

정답  ②

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

하루에 섭취한 영양제 [eqn: A,````B]의 개수를 각각 [eqn: x`], [eqn: y`]라 하면

[eqn: x GEQ 0`,```y GEQ 0`,``` {cases{x+3y GEQ 10#4x+y GEQ 18}}]

위 부등식이 나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

[eqn: 18]

[eqn: {10} over {3}]

[eqn: 10]

[eqn: {9} over {2}]

[eqn: (4,``2)]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 200x+300y=k]

[eqn: y]

하루에 비타민 [eqn: rm10mg] 이상, 철분 [eqn: rm18mg] 이상 섭취하는데 필요한 비용은 [eqn: 200x+300y]이므로

[eqn: 200x+300y=k]라 하면 위 영역에서

[eqn: x=4,````y=2]일 때, [eqn: k]는 최솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE]최소 비용은 [eqn: 1400]원

① [eqn: 1200`]원          ② [eqn: 1400`]원	③ [eqn: 1600`]원

④ [eqn: 1800`]원          ⑤ [eqn: 2000`]원

▶2009년 10월 교육청[3점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2bx-a(a-2)=0`]은 서로 다른 두 실근을 갖고, 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0`]은 실근을 갖지 않도록 실수 [eqn: a`,```b`]를 정할 때, 좌표평면에 점 [eqn: {rm P}(a`,```b)`]가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은?  (단, 점선으로 된 경계는 영역에 포함되지 않는다.)

정답 ①

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x^2 - 2bx - a(a-2) = 0`]에서 서로 다른 두 실근을 가질 조건은

[eqn: D/4=b ^{2} +a LEFT ( a-2 RIGHT ) >0`], [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} >1`]

[eqn: x ^{2} -ax+b=0`]에서 실근을 갖지 않을 조건 [eqn: D=a ^{2} -4b<0`], [eqn: b> {1} over {4} a ^{2} `]

그러므로 공통영역은

①		②
③		④
⑤

▶2006년 11월 교육청[3점]

부등식 [eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x -y-1} )>0]을 만족하는 영역을 바르게 색칠한 것은? (단, 점선으로 된 경계는 영역에 포함되지 않는다.)

정답 ⑤

[eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x-y-1)>0]

⇒　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} -4>0#x-y-1>0}]　　또는　　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} -4<0#x-y-1<0}]

⇒　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} >4#y<x-1}]　　또는　　　[eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} <4#y>x-1}]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

단，점선으로　된　경계는　영역에　포함되지　않는다.）

①

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

②

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

③

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

④

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

⑤

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: 2]

▶2007년 10월 학업성취도[3점]

부등식 [eqn: (x+y)(x-y+1) >= 0`]의 영역을 좌표평면 위에 어둡게 나타낸 것은? (단, 어두운 부분의 경계선은 포함한다.)

정답 ①

구하는 부등식의 영역은 다음 두 연립부등식

[eqn: cases{x+y` >= `0`#x-y+1` >= `0`}] ……㉠, [eqn: cases{x+y` <= `0`#x-y+1` <= `0`}] ……㉡

의 영역의 합집합과 같다.

A

B

따라서 ㉠의 영역을 [eqn: A`], ㉡의 영역을 [eqn: B`]라고 하면, 구하는 영역은

[eqn: A` CUP B`]이고, 이것은 위의 그림의 색칠한 부분이다. 이 때, 경계는

영역에 포함된다.

①	②

③	④

⑤

▶2009년 05월 경기도교육청[3점]

연립부등식 [eqn: cases{x^2 +y^2 `≦24#|``y``|≧`|``sqrt3`x``|}]를 만족하는 좌표평면 위의 점 [eqn: (x,``y)`]가 나타내는 도형의 넓이는?

정답 ②

도형의 넓이는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 24 TIMES {pi} over {3} RIGHT ) =8`pi]

① [eqn: 4pi`]	② [eqn: 8pi`]	③ [eqn: 12pi`]
④ [eqn: 16pi`]	⑤ [eqn: 20pi`]

▶2006년 11월 교육청[3점]

사과는 [eqn: 1]개에 [eqn: 1000]원, 배는 [eqn: 1]개에 [eqn: 1500]원에 판매하는 가게에서 배를 사과의 개수 이상으로 구입하려고 할 때, [eqn: 30000]원을 가지고 구입할 수 있는 사과의 개수를 [eqn: x], 배의 개수를 [eqn: y]라 하자. 이 때,  [eqn: x+y]의 최댓값을 구하시오.

정답 24

구입하려는 사과와 배의 개수를 각각 [eqn: x`]개, [eqn: y`]개라 하면

[eqn: x>=0], [eqn: y>=0],

[eqn: y>=x], [eqn: 1000x+1500y <= 30000]일 때

[eqn: x+y]의 최대값을 구하면 된다.

[eqn: x+y=k]([eqn: k]는 상수)라 놓고 주어진 영역에서 최대가 되는 경우를 구하면

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 30]

[eqn: 20]

[eqn: y=x]

[eqn: x+y=k]

[eqn: (12,``12)]

[eqn: y=- 2 over 3 x+20]

직선 [eqn: y=- x+ k]가 [eqn: (12,``12)]를 지날 때, [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

따라서, [eqn: x+y]의 최대값은 [eqn: 24]

▶2006년 06월 교육청[3점]

놀이공원에서 두 종류의 놀이기구 [eqn: A] 와 [eqn: B] 를 타려고 하는데 두 놀이기구 [eqn: A,`B] 의 [eqn: 1] 회 소요시간은 각각 [eqn: 5] 분, [eqn: 10] 분이고, 요금은 각각 [eqn: 1,200] 원, [eqn: 800] 원이라 한다. 철수가 자유시간 [eqn: 2] 시간 동안 [eqn: 15,000] 원으로 놀이기구를 탈 수 있는 횟수의 최대값을 구하시오. (단, 이동시간과 기다리는 시간은 고려하지 않는다.)

정답15

놀이기구 [eqn: A, ``B]를 각각 [eqn: x], [eqn: y]번 탔다고 할 때,

연립부등식 [eqn: 5x+10y≦120],

[eqn: 1200x+800y≦15000]을 동시에 만족시키는

[eqn: x,y] 영역을 그리면

[eqn: LEFT ( {27} over {4} ,~ {69} over {8} RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

이 중 [eqn: x,~y]가 자연수이므로

주어진 조건에서 횟수를 최대인 것은

[eqn: (7,``8),~(6,``9)] 이다.

따라서 횟수의 최대값은 15이다.

▶2006년 11월 교육청[3점]

제품 재료	[eqn: rm P``]	[eqn: rm Q``]
[eqn: rm A``](톤)	[eqn: 0.8``]	[eqn: 0.4``]
[eqn: rm B``](톤)	[eqn: 0.2``]	[eqn: 0.6``]
<표>

두 종류의 재료 [eqn: rm A,~B``]를 수입하여 제품 [eqn: rm P,~Q``]를 생산ㆍ판매하는 공장이 있다.
표는 [eqn: rm P,~Q``]를 각각 [eqn: 1``]개씩 생산하는데 필요한 재료 [eqn: rm A,~B``]의 무게를 나타낸 것이다.
재료 [eqn: rm A,~B``]의 [eqn: 1``]톤 당 수입가격은 각각 [eqn: 40``]만 원, [eqn: 60``]만 원이고, 한 달 동안 [eqn: rm A,~B``]를 각각 [eqn: 2.4``]톤 이하, [eqn: 2.6``]톤 이하로 수입하고자 한다. 제품 [eqn: rm P,~Q``]의 [eqn: 1``]개 당 판매가격은 각각 [eqn: 70``]만 원, [eqn: 80``]만 원이다.
[eqn: T][eqn: =] ([eqn: rm P,~Q``]의 총 판매가격)[eqn: -] ([eqn: rm A,~B``]의 총 수입가격) 이라 할 때, 한 달 동안 이 공장에서 얻을 수 있는 [eqn: T]의 최대값은?

정답 ⑤

[eqn: rm`P, ~`` Q]를 각각 [eqn: x,``y``]개 생산ㆍ판매한다고 하자.

문제의 조건으로부터

[eqn: x>=0], [eqn: y>=0] … ㉠

[eqn: 0.8x + 0.4y<=2.4]  ∴[eqn: 2x+y <=6] … ㉡

[eqn: 0.2x + 0.6y<=2.6]  ∴[eqn: x+3y <=13] … ㉢

따라서 점 [eqn: (x,``y`)]의 영역은 그림의 색칠한 부분과 같다.

[eqn: (1,4)]

[eqn: 26x+28y=T]

[eqn: x+3y=13]

[eqn: 2x+y=6]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

이 때,

[eqn: T it =70x+80y] [eqn: -(0.8x TIMES 40+0.2x TIMES 60+0.4y TIMES 40+0.6y TIMES 60)]

[eqn: =26x+28y]

위의 그림에서 [eqn: T`]는 두 직선

[eqn: 2x+y =6 , ```` x+ 3y=13}]의 교점 [eqn: (1,``4)]을 지날 때 최대가 되므로

[eqn: T]의 최대값은 [eqn: 26×1 +28×4 = 138](만 원)

① [eqn: 104``]만 원	② [eqn: 116``]만 원	③ [eqn: 124``]만 원

④ [eqn: 132``]만 원	⑤ [eqn: 138``]만 원

▶2007년 10월 학업성취도[3점]

다음 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이는?

정답 ④

[eqn: (x`-`1) ^{2} `+`(y`-`1) ^{2} ` <= `4`]이 나타내는 영역은 중심이 [eqn: (1,``1)]이고

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 내부이고,

[eqn: y` >= `2x`-`1`]이 나타내는 영역은 주어진 원의 중심을 지나는 직선의

윗부분을 나타낸다.

그러므로 공통영역의 넓이는 원의 넓이의 절반인 [eqn: 4pi over 2 = 2pi]이다.

[eqn: cases{(x`-`1) ^{2} `+`(y`-`1) ^{2} ` <= `4`##`y` >= `2x`-`1`}]

① [eqn: {1} over {2} ` pi `+`2``]	② [eqn: 2`-` pi ``]	③ [eqn: 2` pi `-`1``]

④ [eqn: 2` pi `]	⑤ [eqn: 4` pi ``]

▶2010년 10월 교육청[4점]

제과점을 운영하는 유진이는 [eqn: A`,``B`] 두 종류의 쿠키를 만들어 판매하려고 한다. 두 종류의 쿠키 [eqn: 1`]개를 만드는 데 필요한 밀가루의 양, 버터의 양과 쿠키 [eqn: 1`]개의 판매가격은 표와 같다.

정답 ②

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수학 외적문제 해결하기

쿠키[eqn: A`], [eqn: B`]의 개수를 각각 [eqn: x`], [eqn: y`]라 하면 하루에 사용할 수 있는 밀가루와 버터의 양이 각각 [eqn: rm4500g], [eqn: rm2700g`] 이므로 [eqn: x`], [eqn: y`]는 연립부등식

[eqn: x GEQ 0`,```y GEQ 0`,``` {cases{ 15x+10y LEQ 4500# 6x+10y LEQ 2700}}}]

을 만족해야 한다.

위 부등식이 나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

[eqn: A,`B`] 쿠키를 판매한 총 금액이

[eqn: kx+1000y=300000`], [eqn: y=- {k} over {1000} x+300]

이므로 위 영역에서 [eqn: k`]는 [eqn: x=200,``y=150]일 때 최소이다.

[eqn: 200k+150000=300000`]

[eqn: 2k=1500]

∴[eqn: k=750]

	[eqn: A]	[eqn: B]
밀가루([eqn: rmg])	[eqn: 15]	[eqn: 10]
버터([eqn: rmg])	[eqn: 6`]	[eqn: 10]
판매가격(원)	[eqn: k]	[eqn: 1000]

하루에 사용할 수 있는 밀가루와 버터의 양이 각각 [eqn: rm 4500g`], [eqn: rm 2700g`]이다. 하루에 쿠키를 판매한 총 금액이 [eqn: 30]만원이 되게 하려고 할 때, 쿠키 [eqn: A`]의 판매가격 [eqn: k`]의 최솟값은? (단, 만든 쿠키는 모두 팔리는 것으로 한다.)

① [eqn: 700]	② [eqn: 750]	③ [eqn: 800]
④ [eqn: 850]	⑤ [eqn: 900]

▶2010년 11월 교육청[4점]

연립부등식 [eqn: {cases{x ^{2} +y ^{2} -9 LEQ 0&#LEFT ( sqrt {3} x-y RIGHT ) LEFT ( sqrt {3} x+y RIGHT ) ` LEQ 0&}}]을 만족시키는 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가 좌표평면 위에 나타내는 영역의 넓이는?

정답 ②

[출제의도] 부등식의 영역을 이해하기

연립부등식 [eqn: {cases{x ^{2} +y ^{2} -9 LEQ 0&#LEFT ( sqrt {3} x-y RIGHT ) LEFT ( sqrt {3} x+y RIGHT ) ` LEQ 0&}}]을 만족시키는 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 영역의 넓이는

[eqn: 9 pi `` TIMES {120°} over {360°} `=3 pi]이다.

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: 3 pi]	③ [eqn: 4 pi]

④ [eqn: 5 pi]	⑤ [eqn: 6 pi]

▶2010년 11월 교육청[4점]

연립부등식 [eqn: {cases{□x-2□<k&#x ^{2} -2x-3 LEQ 0&}}]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 5]일 때, 양의 정수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 4]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT ) `□`x-2`□`<`k]       ⇔ [eqn: 2-k<x<2+k]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT ) `x ^{2} -2x-3 LEQ 0]   ⇔ [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]

⇔ [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT ) , LEFT ( ⅱ RIGHT )]로부터 연립부등식의 정수해가 [eqn: 5]개 [eqn: LEFT ( x=-1,`0,`1,`2,`3 RIGHT )]가 되기 위해서는 아래 그림과 같이 [eqn: 2-k<-1]이고, [eqn: 2+k>3]이어야 한다.

따라서 [eqn: k>3]이므로 양의 정수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 4]

▶2010년 12월 영남권[4점]

좌표평면에서 세 부등식

정답 [eqn: 52]

두 직선   [eqn: y = root3 x -1], [eqn: y = 1 over root3 x]의 교점의 좌표는 [eqn: rm P``left( root3 over 2 ,```` 1 over 2 right)]이다. 이때 교점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]위의 점이므로 세 부등식을 만족하는 영역은 다음과 같다.

이대 직선 [eqn: y = 1 over root3 x]가 [eqn: x]축과 이루는 각의 크기 [eqn: theta =30 DEG]이다. 따라서 구하는 부등식의 영역의 넓이 [eqn: S``]는 부채꼴 [eqn: rm OQR]와 삼각형 [eqn: rmPOR]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: S= 1 over 2 times 1^2 times pi over3 + 1 over2 times 1^2 times sin 120 DEG = pi over6 + root3 over4]

[eqn: therefore ````36 +16 =52]

[eqn: y ge root3 x -1], [eqn: y le 1 over root3 x], [eqn: x^2 +y^2 le1]

를 동시에 만족하는 점 [eqn: (x,````y)]가 나타내는 영역의 넓이는

[eqn: pi over a + root3 over b]이다. 이때 [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a,````b]는 모두 자연수이다.)

▶2012년 03월 부산[4점]

그림과 같이 두 원 [eqn: C it ` _{1} :`x ^{2} +y ^{2} =1`]과 [eqn: C it ` _{2} :`x ^{2} +y ^{2} =8`]이 있다.  원 [eqn: C _{1} `]에 접하는 직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: ax+by+1=0`]이다. 직선 [eqn: l`]에 평행하고 원 [eqn: C _{2} `]에 접하는 두 직선을 각각 [eqn: l _{1},~l _{2}`]라 하자. 점 [eqn: {rm P} it rm _{1} ` LEFT ( x _{1} ,`y _{1} RIGHT ) `]은 직선 [eqn: l _{1}] 위에 있고, 점 [eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,`y _{2} RIGHT )`]는 직선 [eqn: l _{2} `]와 원 [eqn: C _{2}`]의 접점이다. [eqn: left(ax_1 +by_1 +1right)left(ax_2 +by_2 +1right)`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 부등식의 영역 문제 해결하기

원점에서 직선 [eqn: l`]까지의 거리가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: {1} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} =1`]이다.  [eqn: THEREFORE ~a ^{2} +b ^{2} =1`]

점 [eqn: rm P _{1} it LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )`]에서 직선 [eqn: l`]에 이르는 수선의 길이는 [eqn: LEFT | ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT | =2 sqrt {2} +1`]이고, 점 [eqn: rm P _{2} it LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )`]에서 직선 [eqn: l`]에 이르는 수선의 길이는 [eqn: LEFT | ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT | =2 sqrt {2} -1`]이다. 따라서

[eqn: LEFT | ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT | LEFT | ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT |][eqn: = LEFT ( 2 sqrt {2} +1 RIGHT ) LEFT ( 2 sqrt {2} -1 RIGHT ) =7 it]

그런데 직선 [eqn: l`]이 두 점 [eqn: {rm P} _{1} ` LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )], [eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )]사이를 지나므로 [eqn: LEFT ( ax _{1} +by _{1} +1 RIGHT ) LEFT ( ax _{2} +by _{2} +1 RIGHT ) =`-7`]이다.

[eqn: {rm P} _{1} ` LEFT ( x _{1} ,`y _{1} RIGHT )]

[eqn: {rm P } _{2} ` LEFT ( x _{2} ,`y _{2} RIGHT )]

[eqn: l]

[eqn: l_1]

[eqn: rm O]

[eqn: l_2]

[eqn: C_1]

[eqn: C _{2}]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: -7]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 11월 경기[4점]

어느 컴퓨터 공장에서 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 생산하는 데 각각 조립과정과 검수과정이 모두 필요하다. 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 각각 한 대 생산하는 데 조립과정과 검수과정에 소요되는 시간 및 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터의 한 대당 판매이익은 표와 같다.

구분	조립과정(시간)	검수과정(시간)	판매이익(만원)
노트북 컴퓨터	[eqn: 1.5]	[eqn: 2]	[eqn: 10]
데스크톱 컴퓨터	[eqn: 1]	[eqn: 0.5]	[eqn: 5]

이 공장에서 하루 동안 조립과정과 검수과정에 소요되는 시간이 각각 [eqn: 13]시간, [eqn: 9]시간을 초과할 수 없을 때, 하루 동안 생산한 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를 판매하여 얻을 수 있는 최대 이익(만원)은?

정답 ①

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기

하루 동안 노트북 컴퓨터와 데스크톱 컴퓨터를

각각 [eqn: x]대, [eqn: y]대 생산한다고 할 때,

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0], [eqn: 1.5x+y LEQ 13], [eqn: 2x+0.5y LEQ 9]가

나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 18]

[eqn: 13]

[eqn: { 9} over {2 }]

[eqn: {26} over {3}]

[eqn: 1.5x+y =13]

[eqn: 2x+0.5y = 9]

[eqn: 10x+5y=k]

[eqn: LEFT ( 2,10 RIGHT )]

하루 동안 생산한 컴퓨터를 판매하여 얻을 수 있는 이익을 [eqn: k](만원)이라고 하면 [eqn: 10x+5y=k]이고 [eqn: k]의 값이 최대인 경우는 두 직선 [eqn: 2x+0.5y = 9], [eqn: 1.5x+y =13]의 교점 [eqn: LEFT ( 2,``10 RIGHT )]을 지날 때이다.

따라서 최대 이익은 [eqn: 70](만원)

① [eqn: 70]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 74]
④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 78]

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

두 제품 [eqn: rm `P]와 [eqn: RM Q]의 한 알에 함유되어 있는 비타민[eqn: RMB _{1}], 비타민[eqn: RMC]의 양과 한 알의 가격은 표와 같다.

제품	비타민[eqn: RMB_1]([eqn: rm `mg])	비타민[eqn: RMC]([eqn: rm mg])	한 알의 가격(원)
[eqn: rm `P]	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: 150]
[eqn: RM Q]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 100]

어느 수험생이 이 두 제품 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]만을 이용하여 하루에 비타민[eqn: RMB _{1}]을 [eqn: 60rm mg]이상, 비타민[eqn: RMC]를 [eqn: 80`rm mg]이상 섭취하고자 할 때, 필요한 최소비용은 [eqn: a](원)이다. 이때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 500]

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 최소문제 해결하기

수험생이 하루에 구입해야 할 제품 [eqn: rm P]의 알의 개수를 [eqn: x], 제품 [eqn: rm Q]의 알의 개수를 [eqn: y]라 하면,

하루에 비타민[eqn: rmB _{ 1}]과 비타민[eqn: RMC]의 섭취량은 각각

[eqn: 20x+10y`( rm `mg)], [eqn: 20x+20y (rm mg)]이다.

이때, 주어진 조건에서 수험생이 하루에 비타민[eqn: rm B _{1}]을 [eqn: 60 rm mg]이상, 비타민[eqn: rm C]를 [eqn: 80` rm mg]이상 섭취해야 하므로 [eqn: `` {cases{x GEQ 0,`y GEQ 0`&#eqalign{20x+10y GEQ 60 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}# 20x+20y GEQ 80 ^{{} ^{{} ^{{} ^{} ^{}}}}}&}} ````` CDOTS ①]이다.

한편, 수험생이 하루에 제품을 구입할 비용은

[eqn: 150x+100y]이므로 [eqn: 150x+100y=k`` CDOTS ②]라

하자. 이때, 아래 그림과 같이 [eqn: ②]의 직선을

연립부등식 [eqn: ①]의 영역 위에서 움직일 때,

[eqn: k]의 값의 최소는 두 직선 [eqn: 2x+y=6, ``x+y=4]의 교점 [eqn: LEFT ( 2,```2 RIGHT )]를 지날 때이다.

따라서 제품 [eqn: rm P]를 [eqn: 2]알, 제품 [eqn: rm Q]를 [eqn: 2]알 구입하면 되므로 필요한 최소비용은 [eqn: 150 TIMES2+100 TIMES2=500](원)이다.  ∴ [eqn: a=500]

[eqn: y=-2x+6]

[eqn: y=-x+4]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: rmO]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: (2,``2)]

▶2009년 10월 인천시교육청[4점]

아래 표는 어떤 학생이 체육관에서 수영과 에어로빅을 각각 [eqn: 10`]분 동안 운동했을 때, 소모 열량, 산소 소비량 및 이용 요금을 나타낸 것이다.

운동	소모 열량 (kcal)	산소 소비량 (dl)	[eqn: 10`]분당 이용 요금(원)
수영	[eqn: 48]	70	[eqn: 400]
에어로빅	[eqn: 80`]	50	[eqn: 500]

이 학생의 소모 열량은 [eqn: 320`](kcal) 이상, 산소 소비량은 [eqn: 400`](dl) 이상이 되도록 하는 최소 이용 요금(원)은?

정답 ②

[출제의도] 부등식의 영역의 최대, 최소를 이용하여 수학외적문제 해결하기

수영 시간을 [eqn: 10x`](분), 에어로빅 시간을 [eqn: 10y`](분)라 하자.

소모 열량 : [eqn: 48x+80y GEQ 320`], [eqn: 3x+5y GEQ 20`]

산소 소비량 : [eqn: 70x+50y GEQ 400`], [eqn: 7x+5y GEQ 40`]

의 영역에서

이용 요금 : [eqn: s=400x+500y`] 의 최솟값은

함수 [eqn: y=- {4} over {5} x+ {s} over {500} `]의 [eqn: y`]절편이 최소일 때이다.

즉 [eqn: 3x+5y=20`], [eqn: 7x+5y=40`]의 교점[eqn: LEFT ( 5,~1 RIGHT ) `]을 지날 경우, [eqn: y`]절편이 최소이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: s=2500`](원)

① [eqn: 2100`]	② [eqn: 2500`]	③ [eqn: 2700`]

④ [eqn: 2900`]	⑤ [eqn: 3000]

▶2013년 11월 서울[4점]

어느 제약회사는 마늘과 은행잎에서 천연성분을 추출하여 치료제를 만든다고 한다. 각각의 마늘 [eqn: 1rmkg]과 은행잎 [eqn: 1rmkg]에서 추출되는 천연성분 [eqn: A], [eqn: B`]의 양과 천연성분 [eqn: A], [eqn: B`]를 추출하는데 드는 비용은 표와 같다.

정답 ④

마늘과 은행잎을 각각 [eqn: x LEFT ( rmkg RIGHT )], [eqn: y LEFT ( rmkg RIGHT )]이라 하면,
[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]

[eqn: 3x+y GEQ 45], [eqn: 2x+3y GEQ 65]

가 나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

[eqn: rmO]

[eqn: 2x+y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: LEFT ( 10,`15 RIGHT )]

[eqn: 3x+y=45]

[eqn: 2x+3y=65]

추출하는데 드는 비용을 [eqn: k][eqn: (]만원[eqn: )]라 하면
[eqn: 2x+y=k`]이고
[eqn: k]의 값이 최소인 경우는 두 직선 [eqn: 3x+y=45],
[eqn: 2x+3y=65]의 교점 [eqn: LEFT ( 10,`15 RIGHT )]를 지날 때이다.

따라서 최소 비용은 [eqn: 35](만원)

구분	천연성분 [eqn: A] [eqn: LEFT ( rmmg RIGHT )]	천연성분 [eqn: B] [eqn: LEFT ( rmmg RIGHT )]	추출비용 (만원)
마늘	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 2]
은행잎	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]

천연성분이 함유된 치료제 [eqn: 1]통을 만들기 위해서는
천연성분 [eqn: A`]가 [eqn: 45rmmg`]이상, 천연성분 [eqn: B`]가 [eqn: 65rmmg`]이상 필요하다.
이 치료제 [eqn: 1]통을 만들기 위해 마늘과 은행잎에서 천연성분 [eqn: A], [eqn: B`]를 추출하는데 드는 최소 비용(만원)은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

▶2009년 10월 인천시교육청[4점]

부등식 [eqn: |`x`|+|`y`|≤8`]의 영역에 존재하는 서로 다른 세 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`], [eqn: {rm Q} (b`,```a)`], [eqn: rm R it (0`,```-2)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 내부 또는 경계선 위에 점 [eqn: (2`,```0)]이 존재하도록 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`]를 정할 때, 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`]가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 36]

[출제의도] 대칭이동을 이용한 부등식의 영역 이해하기

점 [eqn: (2`,```0)`]은 [eqn: rm TRIANGLE PQR`]의 내부와 경계선에 존재해야 하므로 점 [eqn: rm P`]가 존재하는 영역은 그림과 같다.

어두운 부분의 넓이는 [eqn: 36`]

▶2007년 11월 교육청[4점]

방정식 [eqn: [``x``]`^2 +[``y`^{2}``] =1`]을 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)]가 좌표평면 위에 나타내는 영역의 넓이는?

정답 ④

[출제의도] 부등식의 영역의 넓이 구하기

[eqn: left {[``x``]` =0`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=1`right }] 또는 [eqn: left {[``x``]` =1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`right }]

또는 [eqn: left {[``x``]` =-1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`right }]인 경우이다.

(ⅰ) [eqn: [``x``]=0`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=1`]인 경우

[eqn: 0 <= x<1`], [eqn: 1 <= y ^{`2} <2`]이므로

[eqn: 0 <= x<1`], {[eqn: -sqrt { 2} < y <= -1`] 또는 [eqn: 1 <= y < sqrt { 2}`]}[eqn: CDOTS CDOTS㉠]

(ⅱ) [eqn: [``x``]`` =1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`]인 경우

[eqn: 1 <= x<2`], [eqn: -1 < y <1`][eqn: CDOTS CDOTS㉡]

(ⅲ) [eqn: [``x``]=-1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`]인 경우

[eqn: -1 <= x < 0`], [eqn: -1 < y <1`][eqn: CDOTS CDOTS㉢]

㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면에 나타내면

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: root 2]

[eqn: -1]

[eqn: - root 2]

구하는 영역의 넓이는 [eqn: 2LEFT { 1 TIMES2+1 TIMES( sqrt { 2}-1) RIGHT }][eqn: =2(1+ sqrt { 2})]

(단, [eqn: [``x``]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: 2(sqrt {2}-1 )]	② [eqn: 2(2`-` sqrt {2} )]

③ [eqn: 4(sqrt {2}-1 )]	④ [eqn: 2(1`+` sqrt {2} )]

⑤ [eqn: 2(2`+` sqrt {2} )]

▶2011년 10월 인천시교육청[4점]

연립부등식

정답 ③

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수학 내적 문제해결하기

연립부등식을 만족하는 영역을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

따라서 영역의 넓이는 [eqn: 8pi + 16]

[eqn: ` {cases{``(x-4) ^{2} +`y ^{2} LEQ 16 _`_`#``` LEFT | ``y`` RIGHT | ` LEQ x }}]

가 나타내는 영역의 넓이는? [4점-1110-인천교]

① [eqn: 4 pi +8]	② [eqn: 4 pi +16]	③ [eqn: 8pi+16]

④ [eqn: 12pi+8]	⑤ [eqn: 12 pi +16]

▶2009년 03월 부산시교육청[4점]

등식
[eqn: root{x-y+1} root {x^2 +y^2 -2} = - root{(x-y+1)(x^2 +y^2 -2)}]
를 만족하는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]를 좌표평면 위에 모두 나타낸 영역을 [eqn: D]라 하자. 이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 제곱근의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

등식이 성립하기 위해서는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]가 다음 ㉠ 또는 ㉡ 또는 ㉢을 만족해야한다.

[eqn: x-y+1<0]이고 [eqn: x^2 +y^2 -2<0]	…… ㉠

[eqn: x-y+1=0]	…… ㉡

[eqn: x^2 +y^2 -2=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

(단, 경계선은 영역에 포함된다.)

ㄱ. 점 [eqn: (-1,~1)]은 [eqn: D]에 속한다. (참)

ㄴ. [eqn: D]에 속하는 모든 점은 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이므로 점 [eqn: (-b,~-a)]도 [eqn: D]에 속한다. (참)

ㄷ. [eqn: root {a^2 +b^2}]의 최솟값은 원점과 직선 [eqn: y=x+1]사이의 거리 [eqn: 1 over {root{ 1^2 + (-1)^2}} = 1 over {root2}]과 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^2 +b^2]의 최솟값은 [eqn: 1 over 2](참)

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: (-1,~1)]은 [eqn: D]에 속한다. ㄴ. 점 [eqn: (a,~b)]가 [eqn: D]에 속하면 점 [eqn: (-b,~-a)]도 [eqn: D]에 속한다. ㄷ. [eqn: D]에 속하는 점 [eqn: (a,~b)]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 최솟값은 [eqn: 1 over 2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 05월 경기도교육청[4점]

이차함수 [eqn: f`(x)=x^2 -2ax +b`]가 [eqn: -1`<x`<1`]에서 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만날 때, 점 [eqn: (a,``b)`]가 존재하는 영역을 바르게 색칠한 것은? (단, [eqn: a,``b`]는 실수이고 경계선은 제외한다.)

정답 ④

(ⅰ) [eqn: x ^{2} -2ax+b=0]이 서로 다른 두 실근을 가지므로 [eqn: b<a ^{2}]

(ⅱ) [eqn: f(-1)=1+2a+b>0]이므로 [eqn: b>-2a-1]
[eqn: f(1)=1-2a+b>0]이므로 [eqn: b>2a-1]

(ⅲ) 이차함수 그래프의 축이 [eqn: x=a]이므로 [eqn: -1<a<1]

▶2007년 09월 서울시교육청[4점]

수직선 위의 두 점 [eqn: rm A`(3)`,~B`(7)`]에 대하여 점 [eqn: \P`(it `x)`]가  [eqn: bar{\AP}`+`bar{\BP}`≦`8`]을 만족시킬 때, 선분 [eqn: {\OP}`]의 길이의 최대값과 최소값의 합은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

정답 ④

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 절대값이 있는 일차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: \P``]의 좌표를 [eqn: x``]라 하면

[eqn: bar{\AP}`=`|`x`-3`|``], [eqn: bar{\BP}`=`|`x`-`7`|``]

[eqn: bar{\AP}`+`bar{\BP}`=`|`x`-`3`|`+`|`x`-`7`|``]

[eqn: |`x`-`3`|`+`|`x`-`7`|`≦`8``]을 풀면

(ⅰ)　[eqn: x`<`3``]일 때,

[eqn: -(`x`-`3`)`-(`x`-`7`)`≦`8``]에서 [eqn: x`≧`1``]

∴ [eqn: 1≦`x`<`3``]

(ⅱ) [eqn: 3`≦`x`<`7``]일 때,

[eqn: (`x`-`3`)`-(`x`-`7`)`≦`8``]에서 [eqn: 0`≦`4``]이므로 해는 모든 실수이다.

∴ [eqn: 3`≦`x`<`7``]

(ⅲ) [eqn: x` >= `7``]일 때,

[eqn: (`x`-`3`)`+(`x`-`7`)` <= `8``]에서 [eqn: x`≦`9``]

∴ [eqn: 7`≦`x` ≦9``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 1`≦`x`≦`9``]

∴ [eqn: 1`≦`bar{\OP}```≦`9``]

따라서 선분 [eqn: \OP`]의 길이의 최대값과 최소값의 합은 [eqn: 10]이다.

① [eqn: 7``]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

▶2009년 03월 서울시교육청[4점]

그림과 같이 두 점 [eqn: rm A it (-1,``1)`], [eqn: rm B it (-1,``-1)`]을 양 끝점으로 하는 선분 [eqn: rmAB`]와 중심이 [eqn: rm C`(1,``0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm C`]가 있다. 점 [eqn: {rmP}(a,``b)`]는 선분 [eqn: rmAB`] 위를 움직이고, 점 [eqn: {rmQ}(c,``d`)`]는 [eqn: b over a cdot d overc `=`-1`]을 만족하면서 원 [eqn: rm C`]의 내부를 움직인다. 이때, 점 [eqn: rmQ`]가 존재하는 영역의 넓이는?

정답 ①

[eqn: {b} over {a} `]는 직선 [eqn: rmOP`]의 기울기이고, [eqn: {d} over {c}`]는 직선 [eqn: rmOQ`]의 기울기이다.

[eqn: {b} over {a} cdot {d} over {c} =-1 `]이므로 직선 [eqn: rmOP`]와 직선 [eqn: rmOQ`]는 서로 수직으로

만난다.

선분 [eqn: rmAB `]를 따라 점 [eqn: rmP`]를 움직이면서 선분 [eqn: rmOQ`]를 선분 [eqn: rm OP`]에 수직이 되게 그려 보면 점 [eqn: rm Q`]가 존재하는 영역은 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: {pi } over {2} - {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1= {pi -2} over {2}`]

이다.

① [eqn: pi-2 over 2`]	② [eqn: pi-2 `]	③ [eqn: pi - 1 `]

④ [eqn: pi-1 over 2`]	⑤ [eqn: pi over 2`]

▶2011년 03월 부산시교육청[4점]

직선으로 뻗어있는 해안선으로부터 [eqn: 2 rm `km] 이내의 해상에서 열릴 바다수영대회를 앞두고 구조대원들이 인명구조훈련을 하고 있다. 해안선으로부터 [eqn: rm 1`km] 떨어진 해상의 두 지점에 [eqn: rm A , ````B]구조대가 서로 [eqn: rm 600 `m] 거리를 두고 출동을 기다리고 있다. 두 구조대는 항상 직선으로 이동하고, 같은 시간 동안 [eqn: rm A]구조대는 [eqn: rm B]구조대보다 두 배의 거리를 이동할 수 있다. 두 구조대가 가상 사고지점을 향하여 동시에 출발할 경우, [eqn: rm B]구조대가 [eqn: rm A]구조대보다 먼저 도착하거나 두 구조대가 동시에 도착할 수 있는 해역의 넓이를 [eqn: S rm `m^2]라 할 때, [eqn: S over {1000 pi}]의 값을 구하시오. (단, 두 구조대가 가상 사고지점까지 이동하는 동안 방해되는 요소는 고려하지 않는다.)

정답 [eqn: 160]

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수학 외적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

좌표평면 위에 [eqn: rm A]구조대의 위치를 원점 [eqn: rm O], [eqn: rm B]구조대의 위치를 점 [eqn: rm Q ( 600, ````0 )]에 두고 가상 사고지점을 [eqn: {rm P} (x , ````y)]라 하면 [eqn: rm bar OP ge 2 bar PQ]이므로

[eqn: root {x^2 + y^2 } ge 2 root {(x-600)^2 + y^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: (x- 800)^2 + y^2 le 160000]

따라서 조건에 맞는 해역의 넓이는 [eqn: 160000 `pi `rm m^2]이다.

[다른 풀이]

[eqn: rm A , ````B] 구조대가 동시에 도착할 때 점 [eqn: {rm P} ( x , ````y )]가 그리는 도형은 [eqn: rm bar OP ``:``bar OQ = 2 ``:``1]을 만족하는 점들의 집합이므로 선분 [eqn: rm OQ]를 [eqn: 2 ``:``1]로 내분하는 점 [eqn: (400, ````0)]과 [eqn: 2``:``1]로 외분하는 점 [eqn: (1200, ````0)]을 지름의 양끝으로 하는 원이다. 이 원은 중심이 점 [eqn: (800, ````0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 400 rm`m]이다.

따라서 조건을 만족하는 해역은 이 원과 그 내부이므로 넓이는 [eqn: 160000`pi `rm m^2]이다.

[eqn: therefore````S over {1000 pi} = 160]

빠른정답

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ①

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 670]

정답 ④

정답 [eqn: 21]

정답 ④

정답　③

정답　③

정답　6

정답  ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 9]

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 15

정답　60

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 16]

정답 [eqn: 25]

정답 [eqn: 54]

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 5]

정답 : [eqn: x ` = ` 4 `, ````` ~ y`=`13``]

정답 [eqn: 24]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 18]

정답 ③

정답 [eqn: 9]

정답 ③

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 42]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답　③

정답 ④

정답　①

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 13

정답 10

정답 ④

[정답] ①

[정답] ③

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: 25]

정답 ④

정답 [eqn: 13``]

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 22]

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

[정답] ④

정답 ③

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 16]

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 12``]

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답  20

정답  ②

정답 80

정답 ④

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 25]

[정답] ③

[정답] ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 [eqn: 200]

정답 ①

정답 95

정답 7

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 19]

정답 ➃

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답　②

정답　14

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

정답 ⑤

정답 [eqn: 13``]

정답 ③

정답 [eqn: 12]

정답 50

정답  ④

정답 ⑤

정답 ②

정답　9

정답  11

정답 [eqn: 8]

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 34]

정답 [eqn: 30]

정답 ⑤

정답 [eqn: 24]

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 (1)[eqn: 13 over 5]

(2) [eqn: 13]

정답 [eqn: 8]

정답 30

정답 ①

정답 4

정답  ③

정답 5

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ②

정답  ④

정답  ③

정답 8

정답 ①

정답 ⑤

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 15]

정답 [eqn: 28]

정답 ①

정답 [eqn: 8]

정답 ③

정답 ③

정답  (1) [eqn: y`=`4over3 x `]

(2) [eqn: 14over5]

(3) [eqn: `7]

정답 [eqn: 116]

정답 ④

정답 [eqn: 11]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 6]

정답 31

정답 25

정답 75

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 18``]

정답  ①

정답 ③

정답 ④

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 113]

정답 [eqn: 70]

정답 ③

정답 [eqn: 16]

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 97]

정답 ②

정답[eqn: 40]

정답 ③

정답 [eqn: 147]

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 26

정답  15

정답 [eqn: 38]

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 130

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 150]

정답 ③

정답  ③

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 27]

정답 [eqn: 13]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 [eqn: 28]

정답 ④

정답 [eqn: 45]

정답 ①

정답  ②

정답 ⑤

정답 [eqn: 32]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: -2 <a < 6 `]

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답  ②

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 24

정답15

정답 ⑤

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 4]

정답 [eqn: 52]

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 500]

정답 ②

정답 ④

정답 [eqn: 36]

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 160]

정답 및 풀이