직선의 방정식

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16년 모의고사 대비 단원별 모의고사	수 학 1	직선의 방정식

▶2014년 3월 서울[3점]

그림과 같이 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)] ([eqn: ab !=0])에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: rmQR]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자.

정답 ③

13. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 직선이 항상 일정한 점을 지남을 보인다.

점 [eqn: {\P} (a, ``b)]는 직선 [eqn: x+y=2] 위의 점이므로

[eqn: a+b=2]에서

[eqn: b=2-a]

점 [eqn: rm P it]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발은 각각 [eqn: rm Q it (a,``0)], [eqn: rm R it (0,```b)]

직선 [eqn: l]은 직선 [eqn: {\QR}]와 수직이고, 직선 [eqn: {\QR}]의 기울기는 [eqn: - {b} over {a}]이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는

[eqn: {a} over {b}}][eqn: =][eqn: {BOX{`` {a} over {2-a} ``}}]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-(2-a)= {BOX{`` {a} over {2-a} ``}} `(x-a)]

[eqn: (2-a)y-(2-a) ^{2} =a(x-a)]

[eqn: 2y-ay-4+4a-a ^{2} =ax-a ^{2}]

[eqn: a]에 대하여 정리하면

[eqn: (x+y-4)a+(4-2y)=0] …… ㉠

㉠이 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x+y-4=0], [eqn: 4-2y=0]

[eqn: x=][eqn: {BOX{```2```}}], [eqn: y=][eqn: {BOX{```2```}}]

따라서 [eqn: f(a)= {a} over {2-a}], [eqn: alpha =2], [eqn: beta =2]이므로

[eqn: f left( {4} over {3} right)+ alpha + beta =6]

다음은 직선 [eqn: l`]이 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지남을 보이는 과정이다.

점 [eqn: {rm P}(a,``b)]는 직선 [eqn: x+y=2`] 위의 점이므로

[eqn: b`=`2-a]

이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는

(가)

이므로 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y-(2-a)=`]

(가)

[eqn: `(x-a)`]   …… ㉠

한편, ㉠이 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x=`]

(나)

, [eqn: y=`]

(다)

따라서 직선 [eqn: l`]은 점 [eqn: rm P]의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(a)`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) + alpha + beta]의 값은? (단, [eqn: \O]는 원점이다.)

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

직선 [eqn: x`+ `{y} over {2}`=1`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm P`], 직선 [eqn: {x} over {3} `+`{y} over {4} `=1`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 할 때, 다음 중 두 점 [eqn: rm P`,```Q`]를 지나는 직선의 방정식은?

정답 ②

[eqn: rmP`,``Q`]는 각각 두 직선의 [eqn: x`]절편, [eqn: y`]절편이다.

한편 직선 [eqn: x+ {y} over {2} =1`]의 [eqn: x`]절편, [eqn: {x} over {3} + {y} over {4} =1`]의 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: 1``], [eqn: 4`]이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: x+ {y} over {4} =1]이다.

① [eqn: x`+ `{y} over {3}` =1]	② [eqn: {x} ` + `{y} over {4}` =1]	③ [eqn: {x} over {3} `+ `{y} over {2} `=1]

④ [eqn: {x} over {4}` + `{y} over {2} `=1]	⑤ [eqn: {x} over {3} `+` {y} over {4}` =1]

▶2007년 10월 국가수준(고1)[2점]

두 점 [eqn: rm A(1,````-4)], [eqn: rm B(3,````2)`]를 지나는 직선과 수직인 직선의 기울기는?

정답 ②

직선 [eqn: rm {AB}]의 기울기는 [eqn: {2-(-4)} over {3-1} =3] 이므로 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {3}]이다.

① [eqn: -3`]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: 3`]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

두 직선 [eqn: ax+3y+5=0,~3x+ay+5=0`]이 평행할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ①

두 직선이 평행하려면 [eqn: {a} over {3} `=` {3} over {a} ` != ` {5} over {5} `]이어야 하므로 [eqn: a`=`-3`]이다.

① [eqn: -3`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2-3점]

그림과 같이 네 점 [eqn: rm O(0,```0)], [eqn: rm A(4,```1)], [eqn: rm B(3,```4)], [eqn: rm C(-1,```3)]을 꼭짓점으로 하는 평행사변형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 물음에 답하시오.

정답 (1)[eqn: 13 over 5]  (2) [eqn: 13]

(1) 직선 [eqn: rm OB]의 방정식은 [eqn: 4x-3y=0]이므로

점 [eqn: rm A`(`4`,`1`)]에서 직선 [eqn: rm OB]까지의 거리는 [eqn: {|4 TIMES 4-3|} over {sqrt {4 ^{2} +3 ^{2}}}={13 } over {5}]

(2) [eqn: rm `bar{OB}`=`{sqrt {`4 ^{2}` +`3 ^{2}}`}`=`5`], 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 높이는 [eqn: {13} over {5}]이므로

삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 5 times{13} over {5} `=` {13} over {2}]

평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이므로 [eqn: 2`times` {13} over {2} `=`13]

(1) 점 [eqn: rm A`]와 대각선 [eqn: rm OB`] 사이의 거리를 구하시오. [3점]

(2) 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이를 구하시오. [2점]

▶2007년 11월 교육청[3점]

두 점 [eqn: (3,~5),~(5,~3)`]을 지나는 직선이 두 직선 [eqn: y =x,~y=3x`]와 만나는 교점을 각각 [eqn: rm A,~B`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

정답 [eqn: 8]

[출제의도] 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

[해설] 두 점 [eqn: (3,~5),~(5,~3)`]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-5= {3-5} over {5-3} (x-3)]이므로 [eqn: y=-x+8]  [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=3x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=-x+8]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

㉠이 [eqn: y=x,~y=3x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B`]라 하면 삼각형

[eqn: rm OAB`]는 [eqn: ANGLE rm A=90 DEG]인 직각삼각형이다.

[eqn: rm A`(4,~4)`], [eqn: rm B`(2,~6)`]이므로

삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이[eqn: = rm {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AB} = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {2} TIMES 2 sqrt {2} =8]

▶2012년 03월 부산[3점]

그림과 같이 직선 [eqn: l``:``2x+3y=12`]와 두 점 [eqn: rm A it (4,``0)], [eqn: rm B it (0,``2)`]가 있다. [eqn: rm ` bar{AP} = bar{BP} `]가 되도록 직선 [eqn: l`]위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)`]를 잡을 때,  [eqn: 8a+4b`]의 값을 구하시오.

정답 30

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리 이해하기

점 [eqn: {rmP}(a,~b)`]가 직선 [eqn: 2x+3y=12] 위의 점이므로
[eqn: 2a+3b=12] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: rm{bar PA }= barPB`]이므로 [eqn: LEFT ( a-4 RIGHT )^2 +b^2 = a^2 + LEFT ( b-2 RIGHT )^2]

정리하면 [eqn: 2a-b=3] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a= 21over8], [eqn: b= 9over4`]이다.

[eqn: THEREFORE ~8a+4b=30]

[eqn: l]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P(it a,~b)]

▶2013년 11월 서울[3점]

좌표평면 위에 직선 [eqn: y=x`]위의 한 점 [eqn: rm P]가 있다.
점 [eqn: rmP]에서 점 [eqn: rm A(3,``2)]와 점 [eqn: rm B LEFT ( 5,``3 RIGHT )]에 이르는 거리의 합 [eqn: bar{rm AP it} + bar{rm BP it}]의 값이 최소일 때, 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는?

정답 ①

[eqn: rmO]

[eqn: y=x]

[eqn: rmP]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A LEFT ( 3,`2 RIGHT )]

[eqn: rmB LEFT ( 5,`3 RIGHT )]

[eqn: rmB`' LEFT ( 3,`5 RIGHT )]

점 [eqn: rm B]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점을
[eqn: rm B prime ` it LEFT ( 3,`5 RIGHT )]라 하자.

[eqn: bar{rm AP it} + bar{rm BP it} `= bar{rm AP it} + bar{rm B prime P it} GEQ bar{rmAB` prime }]이므로
[eqn: bar{rm AP it} + bar{rm BP it} `]의 값이 최소인 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm B prime]과 점 [eqn: rm A]를 이은 직선과 직선 [eqn: y=x`]의 교점 [eqn: LEFT ( 3,`3 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rm ABP]는 직각삼각형이므로

따라서 [eqn: (]삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1`=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

▶2012년 11월 경기[3점]

그림과 같이 좌표평면 위에 마름모 [eqn: rm ABCD]가 있다. 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( 1,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,``1 RIGHT )]이고, 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm D]를 지나는 직선 [eqn: l]의 방정식이 [eqn: 2x+ay+b=0]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

정답 4

[출제의도] 두 직선의 평행조건과 수직조건 이해하기

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: l]

직선 [eqn: l]은 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선이다.

(직선 [eqn: rmAC]의 기울기)[eqn: = {3-1} over {1-5} =`- {1} over {2}]

직선 [eqn: l]은 기울기가 [eqn: 2]이고 점 [eqn: (3,``2)]를 지나므로

직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y=2(x-3)+2]

[eqn: 2x-y-4=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-4]

따라서 [eqn: ab=4]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: l]

▶2012년 10월 인천[3점]

그림과 같이 좌표평면 위에 두 직사각형 [eqn: rm OABC`], [eqn: rm FADE`]가 있다. 직선 [eqn: l`]이 두 직사각형 [eqn: rm OABC`]와 [eqn: rm FADE`]의 넓이를 모두 이등분할 때, 직선 [eqn: l`]의 기울기는?

정답  ③

[출제의도] 두 점을 지나는 직선의 기울기를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 교점을 지난다.

[eqn: rm□OABC`]의 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,```` {5} over {2} RIGHT )],

[eqn: rm□FADE``]의 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 5,```` {3} over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: - {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: rmB]

[eqn: rm A` it (`6,`0)]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F` it (4`,`0)]

[eqn: 3]

[eqn: rm C` it (`0,`5)]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 2 over 3]	③ [eqn: - 1 over 2]
④ [eqn: - 1 over 3]	⑤ [eqn: - 1 over 4]

▶2005년 3월 부산교육청[3점]

직선 [eqn: 2x+y+3=0`]과 평행하고, 점 [eqn: (4,```-5`)`]를 지나는 직선이 점 [eqn: (-1,```k`)`]를 지날 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오.

정답 5

[eqn: 2x+y+3=0] 에서 [eqn: y=-2x-3`]

구하는 직선이 [eqn: y=-2x-3`]과 평행하므로

[eqn: y=-2x+b`] 라 놓고 점 [eqn: (4,`-5)]를 지나므로

[eqn: x=4,````y=-5`]를 대입하면

[eqn: -5=-8+b`]  [eqn: THEREFORE ```b=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=-2x+3`]

여기에  [eqn: x=-1,``````y=k`] 를 대입하면

[eqn: k=-2(-1)+3`] [eqn: THEREFORE ``k=5`]

▶2009년 11월 경기교육청[3점]

직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: nx-2y-2=0]과는 수직이고, 직선 [eqn: y=(3-n)x-1]과는 평행할 때, [eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.)

정답 [eqn: 13]

[출제의도] 두 직선의 평행조건과 수직조건을 이해하기

직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: y=` {n} over {2} x-1]과 수직이므로 [eqn: m․ {n} over {2} =-1]에서 [eqn: `mn=-2]이다.

한편, 직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: y= LEFT ( 3-n RIGHT ) x-1]과는 평행하므로 [eqn: m=3-n]에서 [eqn: ``m+n=3]이다.

따라서 [eqn: m ^{2} +n ^{2} = LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2} -2mn=13]

▶2011년 10월 인천교육청[3점]

두 점 [eqn: rm A` it (1,~a)`], [eqn: rm B` it (9,~b)`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]의 수직이등분선의 방정식이 [eqn: 2x+y-15=0`]일 때, [eqn: ab`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 서로 수직인 두 직선의 관계 이해하기

두 점 [eqn: rm A][eqn: (1,~a)`], [eqn: rm B][eqn: (9,~b)`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 5,~ {a+b} over {2} RIGHT )]
직선 [eqn: rm AB`]의 기울기는 [eqn: {b-a} over {8}]

수직이등분선의 방정식 [eqn: 2x+y-15=0] 에서

[eqn: 2 TIMES 5+ {a+b} over {2} -15=0] , [eqn: {b-a} over {8} TIMES(-2) =-1]

[eqn: a+b=10,~a-b=-4]이므로 [eqn: a=3,~b=7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=21]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

▶2009년 05월 경기교육청[3점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: \A(0,``1)`], [eqn: \B`(3,``p)`], [eqn: \C(3,``q)`]에 대하여 두 직선 [eqn: \AB`]와 [eqn: \AC`]는 서로 수직이고 [eqn: overline\BC =10`]일 때, 직선 [eqn: \AB`]의 기울기는? (단, [eqn: q`<0`])

정답 ①

[eqn: bar{BC} =10]이므로 [eqn: p-q=10`` CDOTS CDOTS ㉠]
직선 [eqn: Ab]와 [eqn: AC]가 수직이므로 기울기의 곱은 [eqn: -1]
[eqn: {p-1} over {3} TIMES {q-1} over {3} =-`` CDOTS CDOTS ㉡]
㉠과 ㉡를 연립하여 풀면 [eqn: p=2,`q=-8] 또는 [eqn: p=10,`q=0]
그런데 [eqn: q<0]이므로 [eqn: B(3,`2),`C(3,`-8)]
따라서 직선 [eqn: AB]의 기울기는 [eqn: {1} over {3}]

① [eqn: 1over3`]	② [eqn: 2over3`]	③ [eqn: 4over3`]
④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

▶2005년 10월 평가원

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmR]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: 13]

직선 [eqn: y=2x+1] 위의 한 점[eqn: rmP `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 이 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라고 하자. 점[eqn: rmP]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 13]일 때, 사다리꼴 [eqn: rmPROQ] 의 넓이는?

정답 ③

사다리꼴[eqn: rmPROQ`]에서 [eqn: rmbarPQ `=`13`]이고

점[eqn: rmR`]은 직선 [eqn: y=2x+1`]의 [eqn: y`]절편이므로 [eqn: rmbarOR `=`1`]

점[eqn: rmP`]는 직선 [eqn: y=2x+1`] 위의 점이므로 점[eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: 2x+1`=`13 ~~~~~~∴~x=6`]

따라서 [eqn: rmbarOQ `=`6`] 이다. 그러므로 사다리꼴[eqn: rmPROQ`]의 넓이는

[eqn: rmS`=` 1over2 (1+13)``×``6`=`42``]

① [eqn: 38]         ② [eqn: 40]         ③ [eqn: 42]

④ [eqn: 44]         ⑤ [eqn: 46]

▶2005년 10월 평가원[3점]

점[eqn: (`1`,~1`)]을 지나는 직선 [eqn: `ax+by+2=0``]에 대하여 원점[eqn: \O`]와 이 직선 사이의 거리가 [eqn: {root10 ``} over {``5}]일 때, 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값은?

정답 ③

직선 [eqn: `ax+by+2=0``]이 점[eqn: (`1`,~1`)]을 지나므로

[eqn: `a+b+2=0``]        [eqn: ∴```a+b=-2``~⋯~①`]

원점[eqn: \O`]와 이 직선 사이의 거리가 [eqn: {root10 ``} over {``5}]이므로

[eqn: {``|``2``|} over {root{a^2 `+` b^2 ````}} `=`{root10 ``} over {``5} `]

[eqn: a^2 `+` b^2 `=`10~⋯~②]

그러므로 ①과 ②의 식을 연립하면

[eqn: (a`+`b)^2 ``=`a^2 `+`b^2 `+`2 a `b ` = 10+`2 a `b`=`(-2)^2]

[eqn: 2ab`=`-6`]      [eqn: ∴~a`b`=`-3`]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -4`]	③ [eqn: -3`]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

▶2010년 11월 교육청[3점]

두 직선 [eqn: LEFT ( 2+k RIGHT ) x-y-10=0]과 [eqn: y=- {1} over {3} `x+1]이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 두 직선의 위치 관계를 이해하기

두 직선  [eqn: LEFT ( 2+k RIGHT ) x-y-10=0]과 [eqn: y=- {1} over {3} `x+1]이 서로 수직이므로

[eqn: LEFT ( 2+k RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) `=-1]에서 [eqn: k=1]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

▶2006년 03월 교육청[3점]

좌표평면 위의 점 [eqn: (1,~2)``]와 직선 [eqn: x```+`2y```=`0``] 사이의 거리는?

정답 ④

점 [eqn: (1,``2)]와 직선 [eqn: ``x+2y=0] 사이의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d= {|`1 CDOT 1+2 CDOT 2`|} over {sqrt {1 ^{2} `+2 ^{2} `}} ```= sqrt {5}]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {`2`}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {`5`}]	⑤ [eqn: 5]

▶2006년 03월 교육청[3점]

좌표평면 위의 두 직선 [eqn: y```=`m`x], [eqn: y```=`n`x``][eqn: (`m```>`0,``n```>`0`)``]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 직선 [eqn: y```=`m`x]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 직선 [eqn: y```=`n`x``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기의 [eqn: 2``]배이다.

(나) 직선 [eqn: y```=`m`x]의 기울기는 직선 [eqn: y```=`n`x``]의 기울기의 [eqn: 4``]배이다.

두 상수 [eqn: m,~n``]의 곱 [eqn: m`n``]의 값은?

정답 ②

직선 [eqn: y=m`x]의 기울기는 직선 [eqn: y=nx]의 기울기의 [eqn: 4 `]배이므로

[eqn: m=4n]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=mx]

[eqn: rm B]

[eqn: y=nx]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A(1,0)]

점 [eqn: rmA(1,~ 0) `]을 지나고 [eqn: x `]축에 수직인 직선이 두 직선 [eqn: y=mx], [eqn: y=nx]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm B,~ C `]라 하면 [eqn: rmB(1,~ it m),~rm C(1,~it n) `]이므로

[eqn: bar{rm AC}=n,~bar{rm BC}=m-n `]

직선 [eqn: y=nx]는 [eqn: x `]축과 직선 [eqn: y=mx]가 이루는 각의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{OA} `: bar{OB} `=~ bar{AC} `: bar{BC}] 가 성립한다.

∴ [eqn: rm bar OB =it 1・(m-n) over n][eqn: =3] (∵ [eqn: m=4n])

따라서 직각삼각형 [eqn: rm OAB `]에서 [eqn: 3^2 = 1^2 + m^2]

[eqn: m=2root2], [eqn: n= root2 over2]

∴ [eqn: mn=2]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 2` sqrt {`2`}``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 4` sqrt {`2`}``]

▶2006년 11월 교육청[3점]

두 직선 [eqn: x+ky-1=0], [eqn: kx+(2k+3)y-3=0`]이 서로 평행할 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ③

두　직선이　서로　평행하므로　[eqn: {1} over {k} = {k} over {2k+3} != {-1} over {-3}]이어야　한다．

[eqn: 2k+3=`k^2]  ⇒  [eqn: k^2 -2k-3=0]

⇒  [eqn: (k+1)(k-3)=0]   [eqn: THEREFORE `k``=`3, ````-1]

따라서, 평행한 경우는 [eqn: k=-1]([eqn: k=3]일 경우는　두　직선이 일치)

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]
④   [eqn: 1]	⑤   [eqn: 3]

▶2005년 10월 평가원[3점]

두 직선 [eqn: ax+y-b=0], [eqn: bx-2y-a=0```]이 만나지 않을 때, 직선 [eqn: b`x`+`a`y=0] 의 기울기는? (단, [eqn: a,``b```]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)

정답 ②

두 직선이 만나지 않으려면 평행해야 하므로, 두 직선의 기울기가  같다.   [eqn: - a ` `=` {b} over {`2} ``]

따라서 직선 [eqn: b`x`+`a`y=0]의 기울기는 [eqn: - { b`} over {a`}`=`2 ``]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2006년 11월 교육청[3점]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이를 꼭지점 [eqn: rm A]가 선분 [eqn: rm MN] 위에 놓이도록  접었을 때, 점 [eqn: rm A]가 선분 [eqn: rm MN]과 만나는 점을 [eqn: rm A prime]이라 하자. 이 때, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: rm A prime B] 사이의 거리는? (단, [eqn: rm M]은 선분 [eqn: rm{AB}]의 중점, [eqn: rm N]은 선분 [eqn: rm {CD}]의 중점이다.)

정답 ③

정사각형 [eqn: rmABCD]를 좌표평면 위에 놓자.

점 [eqn: rm M]을 원점으로 하고 직선 [eqn: rmAB]를 [eqn: x]축 위에 잡으면

[eqn: rm bar{AM} = bar{MB} =1]이므로 [eqn: rm A(-1,~0)], [eqn: rmB( 1,~ 0)],

[eqn: rm bar A'B = bar AB =2], [eqn: rm A'(0,~root3 )]이다.

[eqn: rm N]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm M]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: root3 x +y - root3 =0]

직선 [eqn: rm A'B]의 방정식은 [eqn: root3 x+ y-root3 =0]이므로,

점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: rm A'B] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | ` `-root3 -root3 ``RIGHT |} over root{ (root3 )^2 +1^2 `} = root 3]

[eqn: rmM]

[eqn: rmN]

[eqn: rmD]

[eqn: rm A]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA']

①  [eqn: root{2}]	②    [eqn: 3 over 2]	③  [eqn: sqrt {3}]
④    [eqn: 2]	⑤ [eqn: {3root2 }over 2]

▶2008년 10월 학업성취도[3점]

한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm `A`B`C`D`]가 있다. [eqn: rm ANGLE ECD=30 DEG]인 변 [eqn: rm AD`] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여 선분 [eqn: rm `CE`]를 기준으로 그림과 같이 아래 부분의 종이를 접었을 때, 점 [eqn: rm `D` prime `]과 선분 [eqn: rm `AC`]사이의 거리는?

정답 ②

[출제의도] 삼각비를 이용한 점과 직선   사이의 거리 구하기

점 [eqn: rm C]를 원점으로 하는 좌표평면 위에 정사각형을 놓으면 [eqn: ANGLE rm D prime CD=60 DEG]

점 [eqn: rm D']의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1, sqrt {3} RIGHT )]

직선 [eqn: rm AC]의 방정식은 [eqn: y=x]

[eqn: THEREFORE] 점 [eqn: rm D']에서 직선 [eqn: rm AC]까지의 거리는

[eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2}]

① [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4} `]	② [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2} `]	③ [eqn: {sqrt {3} +1} over 4]

④ [eqn: {sqrt {3} -1} over {2} `]	⑤ [eqn: sqrt {2} over 2]

▶2006년 10월 교육청[3점]

한 점 [eqn: rm A(- sqrt {15} `,~0)``]에서 원 [eqn: x ^{2} +(y-3) ^{2} =9``]에 이르는 거리가 [eqn: 3``]인 직선을 [eqn: l`,~m``]이라 할 때, 두 직선 [eqn: l`,~m``]의 기울기의 곱은?

정답 ④

[eqn: rm bar{AP`} `․` LEFT ( bar{AP} + bar{PQ} RIGHT ) ```= bar{AO} ^{2} `]이므로 [eqn: rm bar{PQ`} =2`]이고

[eqn: rm bar{HQ`} = {1} over {2} bar{PQ`} `= {1} over {2} TIMES 2=1``]이다.

그러므로 점 [eqn: rm B(0,~3)``]에서 직선 [eqn: rm {AQ`} ``]까지 거리 [eqn: RMbar{BH`} = sqrt {8} `]이다.

한편, 원의 중심 [eqn: rm B`(0,~3)``]에서 직선 [eqn: RM {AQ`} ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH``]라 하고, [eqn: rm {AQ`} ``]의 기울기를 [eqn: a``]라 하면 직선 [eqn: rm {AQ`} ``]의 직선의 방정식은

[eqn: y=a(x+ sqrt {15} `)``]이다.

따라서 [eqn: sqrt {8} = {□-3+ sqrt {15} a□} over {sqrt {a ^{2} +1`}} ``]이고

[eqn: 7a ^{2} -6 sqrt {15} a+1=0``]

∴ 기울기의 곱은 [eqn: {1} over {7} `]

① [eqn: {1} over {4} ``]	② [eqn: {1} over {5} ``]	③ [eqn: {1} over {6} ``]
④ [eqn: {1} over {7} ``]	⑤ [eqn: {1} over {8} ``]

▶2007년 11월 교육청[3점]

그림의 삼각형 [eqn: rm A prime B prime C prime `]은 삼각형 [eqn: rm A`B`C`]를 평행이동한 도형이다. 두 점 [eqn: rm B prime,``C prime]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: ax+by=24`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.)

정답 ①

[출제의도] 도형의 평행이동을 이해하고 직선의 방정식 구하기

[해설] [eqn: rm △A'B'C']는 [eqn: rm △ABC]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 9]만큼, [eqn: y]축 방향으로  [eqn: 2]만큼 평행이동한 도형이므로 [eqn: rm B'(10,~3),~C'(12,~6)]이다.

두 점 [eqn: rm B',~C']를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-3= {6-3} over {12-10} (x-10)]    [eqn: 3x-2y=24]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=1]

[eqn: rm A`(-5,~8)]

[eqn: rm B`(1,~1)]

[eqn: rm C`(3,~4)]

[eqn: rm A`'(4,~10)]

[eqn: rm C`']

[eqn: rm B`']

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2014년 9월 인천(4점)

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A`,~B`,~C`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심을 [eqn: rm G`]라 하고, 변 [eqn: rm AB`], 변 [eqn: rm BC`], 변 [eqn: rm CA]의 중점의 좌표를 각각 [eqn: rm L LEFT ( 2`,~1 RIGHT ) `,~M LEFT ( 4`,~-1 RIGHT ) `,~N( it a`,~b)`]라 하자. 직선 [eqn: rm BN`]과 직선 [eqn: rm LM`]이 서로 수직이고, 점 [eqn: rm G`]에서 직선 [eqn: rm LM`]까지의 거리가 [eqn: 4 sqrt {2} `]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, 무게중심 [eqn: rm G`]는 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.)

정답 ⑤

[출제의도] 선분의 내분점과 직선의 수직 조건을 활용한 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: rm `BN`]과 직선 [eqn: rm LM`]의 교점을 [eqn: rm P`]라 할 때 직선 [eqn: rm BN`]이 선분 [eqn: rmAC `]의 수직이등분선이므로 점 [eqn: rm P`]는 선분 [eqn: rm LM`]의 중점이다. 따라서 점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {2+4} over {2} `,~ {1-1} over {2} RIGHT ) `=(3`,~0)]

[eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심 [eqn: rmG`]에 대하여

[eqn: rm bar{BG} =2 bar{GN} `]이고 [eqn: rm bar{NP} `=` bar{BP}]이므로

[eqn: rm LEFT ( bar{NP} `+4 sqrt {2} RIGHT ) `:` LEFT ( bar{NP} `-4 sqrt {2} RIGHT ) =2:1]

[eqn: rm bar{NP} =12 sqrt {2} `]

[eqn: rm {barNP} ^{2} = it (a-3) ^{2} +b ^{2} =(12 sqrt {2} ) ^{2}] …… ㉠

한편 직선 [eqn: rm LM`]과 직선 [eqn: rm NP]는 서로 수직이므로

[eqn: {b} over {a-3}` = `1], [eqn: b=a-3] …… ㉡

무게중심 [eqn: rm G]가 제 [eqn: 1`]사분면에 있으므로

㉠, ㉡에서 [eqn: a=15`,~b=12`]

따라서 [eqn: ab=180`]

① [eqn: 60]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 180]

▶2014년 9월 인천(4점)

두 직선
[eqn: l```:`ax-y+a+2=0]
[eqn: m```:`4x+ay+3a+8=0]
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.)

정답 ③

[출제의도] 두 직선의 위치관계 추론하기

ㄱ. [eqn: a=0] 일 때 [eqn: l``:``y=2`,~m``:``x=`-2`]

두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]은 서로 수직이다. (참)

ㄴ. [eqn: a`]에 관하여 정리하면 [eqn: a(x+1)-y+2=0`] 이므로 직선 [eqn: l`]은 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-1`,~2)`]를 지난다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a=0`]일 때, ㄱ에서 두 직선은 서로 수직

[eqn: a`!=0`]일 때, 두 직선 [eqn: l`,``m`]의 기울기는 각각 [eqn: a`,~- {4} over {a} `]이다. [eqn: a=`- {4} over {a} `]를 만족하는 실수 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않으므로 평행이 되기 위한 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[[eqn: 4]점][2014년 9월 인천]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=`0`]일 때 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]은 서로 수직이다. ㄴ. 직선 [eqn: l`]은 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1`,~2)`]를 지난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]이 평행이 되기 위한 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2014년 3월 서울(4점)

그림은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 함수 [eqn: y = f ` ( x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 방정식 [eqn: f(f`(x))=2-f(x)]의 서로 다른 실근의 개수는?

정답 ③

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구한다.

[eqn: f(x)= {cases{-3x+3&``````````(0 LEQ x<1)#{1} over {2} x- {1} over {2}&``````````(1 le x le3)}}]

이므로 [eqn: f(x)=t]([eqn: 0 le t le3])라 하면

[eqn: f(f(x))=2-f(x)]에서

[eqn: f(t)=2-t]

[eqn: \(i)] [eqn: 0 le t <1]일 때

[eqn: -3t+3=2-t]

∴ [eqn: t= {1} over {2}]

[eqn: \(ii)] [eqn: 1 le t le3]일 때

[eqn: { 1} over {2 }t- { 1} over { 2}=2-t]

∴ [eqn: t= { 5} over {3 }]

[eqn: \(i)], [eqn: \(ii)]에서

[eqn: f(x)= {1} over {2}] 또는 [eqn: f(x)= { 5} over {3 }]

그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {2}]은 서로 다른 두 점에서 만나고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= { 5} over {3 }]는 한 점에서 만나므로 방정식 [eqn: f(f(x))=2-f(x)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[다른 풀이]

[eqn: f(f(x))][eqn: = {cases{-3f(x)+3&``````````(0 LEQ f(x)<1)#{1} over {2} f(x)- {1} over {2}&``````````(1 LEQ f(x) LEQ 3)}}]

[eqn: -3x+3 = 1]에서 [eqn: x = 2 over3]이므로

[eqn: f(f(x))][eqn: = {cases{{1} over {2} LEFT ( -3x+3 RIGHT ) - {1} over {2}&`````````` LEFT ( 0 LEQ x< {2} over {3} RIGHT )#-3 LEFT ( -3x+3 RIGHT ) +3&`````````` LEFT ( {2} over {3} LEQ x<1 RIGHT )#-3 LEFT ( {1} over {2} x- {1} over {2} RIGHT ) +3&``````````(1 LEQ x LEQ 3)}}]

[eqn: = {cases{- {3} over {2} x+1&`````````` LEFT ( 0 LEQ x< {2} over {3} RIGHT )#9x-6&`````````` LEFT ( {2} over {3} LEQ x<1 RIGHT )#- {3} over {2} x+ {9} over {2}&`````````` ( 1le x le3 )}}]

[eqn: \(i)] [eqn: 0 LEQ x< {2} over {3}]일 때

[eqn: f(f(x))=2-f(x)]에서

[eqn: -{ 3}over {2 }x+1=2-(-3x+3)]
∴ [eqn: x= {4} over {9}]

[eqn: \(ii)] [eqn: {2} over {3} LEQ x<1]일 때

[eqn: f(f(x))=2-f(x)]에서

[eqn: 9x-6=2-(-3x+3)]
∴ [eqn: x= { 5} over {6 }]

[eqn: \(iii)] [eqn: 1 le x le3]일 때

[eqn: f(f(x))=2-f(x)]에서

[eqn: -{ 3} over {2 }x+ { 9} over { 2}=2-left( { 1} over {2 }x- { 1} over {2 }right)]

∴ [eqn: x=2]

[eqn: \(i)], [eqn: \(ii)], [eqn: \(iii)]에서 방정식 [eqn: f(f(x))=2-f(x)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[4점][2014년 3월 서울] [고2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 03월 부산[4점]

그림과 같이 원점을 지나는 직선 [eqn: l`]이 원점 [eqn: rm O`]와 다섯 개의 점 [eqn: rm A(5,`0)], [eqn: rm B(5,`1)], [eqn: rm C(3,`1)], [eqn: rm D(3,`3)], [eqn: rm E(0,`3)`]을 선분으로 이은 도형 [eqn: rm OABCDE`]의 넓이를 이등분한다. 이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 ②

[출제의도] 도형의 넓이 이등분 증명하기

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: rmR]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

직선 [eqn: l`]과 선분 [eqn: rmCD`]의 교점을 [eqn: rmP`]라 하고 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q,~R`]이라 하면 삼각형 [eqn: rm OQP`]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmOPR`]의 넓이가 서로 같으므로 사각형 [eqn: rmABCQ`]와 사각형 [eqn: rmDERP`]의 넓이가 서로 같다.

따라서 [eqn: 3TIMES rm barER = 2 TIMES1`]에서 [eqn: rm barER = 2 over3`]이고 [eqn: rmP LEFT ( 3,` 7over3 RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: 7 over9`]이다. [eqn: THEREFORE ~ p+q=16]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

▶2012년 10월 인천[4점]

[연속문제] 좌표평면 위에 세 직선

[eqn: bold{l:`5x-2y+7=0`} `]

[eqn: bold{m:`x-y+2=0`} `]

[eqn: bold{n:`ax-y+3=0`} `]

이 있다. 두 물음에 답하시오.

세 직선 [eqn: l`], [eqn: m`], [eqn: n`]으로 삼각형을 만들지 못하도록 하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 곱은?

정답  ④

[출제의도] 직선의 방정식의 성질 이해하기

세 직선이 한 점에서 만나거나 적어도 두 직선이 평행하면 삼각형을 만들지 못하므로

ⅰ) 직선 [eqn: n]이 직선 [eqn: l,```m]의 교점 [eqn: (-1,```1)]을 지날 때, [eqn: a=2]

ⅱ) [eqn: l]□[eqn: n] 일 때, [eqn: a= {5} over {2}]

[eqn: m]□[eqn: n] 일 때, [eqn: a=1]

[eqn: THEREFORE]모든 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 5]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

▶2012년 10월 인천[4점]

[eqn: a=0`]일 때, 세 직선 [eqn: l`,```m`,``n`]으로 만들어지는 삼각형의 무게중심의 좌표는?

정답  ③

[출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: l`]과 [eqn: m`]의 교점의 좌표는 [eqn: (`-1`,```1)`]

[eqn: l`]과 [eqn: n`]의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `- {1} over {5} `,```3` RIGHT ) `]

[eqn: m`]과 [eqn: n`]의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `1`,```3` RIGHT )] 이다.

[eqn: THEREFORE]삼각형의 무게중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,``` {7} over {3} RIGHT )]

① [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,``` {5} over {3} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,```2 RIGHT )]        ③ [eqn: LEFT ( `- {1} over {15} `,``` {7} over {3} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( ` {1} over {15} `,```2 RIGHT )]         ⑤ [eqn: LEFT ( ` {1} over {15} `,``` {7} over {3} RIGHT )]

▶2012년 11월 경기[4점]

그림과 같이 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 각 꼭짓점을 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하면 [eqn: bar{rm AB it} `=4], [eqn: bar{rm BC it} `=2]이다. [eqn: ANGLE rm EBC=30 DEG]가 되도록 변 [eqn: rm CD] 위에 점 [eqn: rm E]를 정하고 선분 [eqn: rm BE]를 따라 이 종이를 접으면 점 [eqn: rm C]는 점 [eqn: rm C prime]으로 옮겨진다. 점 [eqn: rm C prime]과 대각선 [eqn: rm BD] 사이의 거리가 [eqn: a sqrt {5} -b sqrt {15}]일 때, [eqn: 100ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

정답 8

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 1]

[eqn: root3]

[eqn: rm C']

[eqn: rm E]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 30 DEG]

좌표평면 위에 점 [eqn: rmB]가 원점과 일치하도록 직사각형모양의 종이를 놓으면 [eqn: ANGLE rm C prime BC=60 DEG]이다.

[eqn: rm C prime]의 좌표는 [eqn: (1,`` sqrt {3} )]이고 직선 [eqn: rmBD]의 방정식은 [eqn: y=2x]이다.

점 [eqn: rmC']과 직선 [eqn: rmBD] 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때,

[eqn: d= {` LEFT | `2- sqrt {3} ` RIGHT |} over {sqrt {4+1}} = {2} over {5} sqrt {5} - {1} over {5} sqrt {15}]

따라서 [eqn: 100ab=100 TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {5} =8]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: rm C']

[eqn: rm E]

▶2009년 03월 서울시교육청[4점]

좌표평면에 세 점 [eqn: {rmO}(0,``0)`], [eqn: {rmA}(6,``2)`], [eqn: {rmB}(-2,``4)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다.

직선 [eqn: rmOA`] 위의 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: rmOB`] 위의 점 [eqn: rmQ`]가 다음 조건을 만족한다.

(가) 점 [eqn: rm P`]는 제 [eqn: 1`]사분면, 점 [eqn: rmQ`]는 제 [eqn: 2`]사분면 위의 점이다.

(나) ([eqn: △rmOPB`]의 넓이)[eqn: = 1 over 2 × `]([eqn: △rmOAB`]의 넓이)

(다) ([eqn: △rmOPQ`]의 넓이)[eqn: = 3 over 2 × `]([eqn: △rmOPB`]의 넓이)

이때, 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 [eqn: mx+ny=21`]이다. 두 실수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 합 [eqn: m+n`]의 값은?

정답 ①

([eqn: △rmOPB`]의 넓이)[eqn: = 1 over 2 × `]([eqn: △rmOAB`]의 넓이)이고,

점 [eqn: rm P`]가 제1사분면 위의 점이므로 점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: rmOA`]의 중점이다.

∴ [eqn: {rmP} LEFT ( 3,`` 1 RIGHT )`]

([eqn: △rmOPQ`]의 넓이)[eqn: = 3over2 × `]([eqn: △rmOPB`]의 넓이)이고,

점 [eqn: rm Q`]가 제2사분면 위의 점이므로

점 [eqn: rmQ`]는 선분 [eqn: rmOB`]를 [eqn: 3``:``1`]로 외분하는 점이다.

[eqn: {rmQ} LEFT ( {3×(-2)-0} over 3-1 , ``{3×4-0} over 3-1 RIGHT ) `]

∴ [eqn: rm Q it (-3,``6)`]

그러므로 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: y-1 = {- 5 over 6} (x -3 ) `]

∴ [eqn: 5x+6y=21`]

[eqn: m = 5 `], [eqn: n=6`]이므로 [eqn: m+n = 11 `]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 13`]
④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 15`]

▶2013년 11월 서울[4점]

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 5,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,``1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,``0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rmOC]위를 움직이는 점 [eqn: rmD]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이가 같을 때, 직선 [eqn: rmAD]의 기울기는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

정답 ⑤

[eqn: rmO]

[eqn: rmD]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

점 [eqn: rm B]를 지나고 직선 [eqn: rmAC]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rmOC]와 만나는 점을 [eqn: rm D LEFT ( it a,`0 RIGHT )]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이가 같으므로 직선 [eqn: rmBD]의 기울기는 직선 [eqn: rmAC]의 기울기와 같다.
[eqn: {1-0} over {2-a}={3-0} over {5-3}] [eqn: therefore]　[eqn: a=` {4} over {3}]

따라서 직선 [eqn: rmAD]의 기울기는 [eqn: {3-0} over {5- {4} over {3}} `= {9} over {11}]

① [eqn: {5} over {7}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {7} over {9}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {11}]

▶2010년 03월 교육청[4점]

그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x+3], [eqn: y=a`x+b``(`a>0)]가 제[eqn: 1]사분면의 한 점 [eqn: rm A]에서 만난다. 직선 [eqn: y=x+3`]이 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B`,~C`]라 하고 직선 [eqn: y=a`x+b`]가 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: TRIANGLE rm ABO`][eqn: =`2` TRIANGLE rm BOC], [eqn: TRIANGLE rm AC`D][eqn: =3` TRIANGLE rm BOC``]일 때, 상수 [eqn: a`,~b``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 일차함수 그래프의 절편과 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm TRIANGLE ABO`=TRIANGLE ACO+TRIANGLE BOC=`2 TRIANGLE BOC`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ACO`=` TRIANGLE BOC`]

[eqn: RM B(-3,~0)], [eqn: RM C(0,~3)`]이고

두 삼각형 [eqn: rm ACO`,~`BOC`]는 밑변 [eqn: rmCO]를 공유하고 넓이가 같으므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]의 좌표는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE~rm A(3,``6)]

또, [eqn: rm TRIANGLE ACD`= TRIANGLE ACO+ TRIANGLE AOD][eqn: rm =3 TRIANGLE ACO]

[eqn: rm TRIANGLE AOD`=2 TRIANGLE ACO]이므로 [eqn: rm bar{OD} =2 bar{OC}`]

[eqn: rm THEREFORE ~D`(0,`-6)`]

직선 [eqn: y= ax+b`]의 [eqn: y]절편이 [eqn: -6]이므로 [eqn: `b=-6`]

또 직선 [eqn: y=ax-6]이 점 [eqn: RM A(`3`,~6`)]을 지나므로

[eqn: 6= 3a-6] 이다.

[eqn: THEREFORE ~a=4`]

[eqn: therefore`a=4,````b=-6`]

(단, [eqn: rm `O`]는 원점이다.)

① [eqn: a=`2`,````b=`-4]	② [eqn: a=`3`,````b=`-4]

③ [eqn: a=`3`,````b=`-6]	④ [eqn: a=`4`,````b=`-6]

⑤ [eqn: a=`4`,````b=`-8]

▶2011년 10월 인천시교육청[4점]

그림과 같이 세 점 [eqn: rm O it (0,~0)], [eqn: rm A it (3,~4)], [eqn: rm B it (1,~0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm AOB`]가 있다. [eqn: ANGLE rm A`]의 외각의 이등분선이 [eqn: x`]축과 만나는 점 [eqn: rm C]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: a+b sqrt {5} `]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.)

정답 ③

[출제의도] 각의 이등분선의 성질을 이용하여 수학 내적 문제해결하기

[eqn: rm ANGLE A]의 외각은 두 직선 [eqn: rm AB]와 [eqn: rm AO]가 이루는 각이고 각의 이등분선 위의 점에서 두 직선까지의 거리는 같다.

점 [eqn: rm C][eqn: LEFT ( p,~0 RIGHT )]이라 하고 직선 [eqn: rm AB]의 방정식은 [eqn: y=2(x-1)], 직선 [eqn: rm AO]의 방정식은 [eqn: y= { 4} over {3}x]이다. 점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]와 직선 [eqn: rm AO]까지의 거리는 같으므로 [eqn: {| 2p-2| } over { sqrt { 5} }= { |4p | } over { 5}]

[eqn: sqrt { 5} | p-1|= | 2p|]에서 [eqn: 5p^2 -10p +5=4p^2]

[eqn: p^2 -10p+5 =0]이므로 [eqn: p=5 +-2 sqrt { 5}]

[eqn: p=5-2 sqrt { 5}]일 때 점 [eqn: rm C]는 내각의 이등분선이 [eqn: x]축과 만나는 점이므로 [eqn: p=5 +2 sqrt { 5}]

따라서 [eqn: a=5,~b=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=10]

[다른 풀이]

그림과 같이 점 [eqn: rm B`]를 지나고 선분 [eqn: rm AC`]에 평행한 직선을 그어 직선 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: rm M`]이라 하면 평행선의 성질에 의하여

[eqn: rm barAM = barAB]	…… ㉠

또한 [eqn: rm TRIANGLE OBM]□[eqn: rm TRIANGLE OCA]이므로

[eqn: rm bar OA ``:`bar MA ``=` bar OC ``:`bar BC]이다.

㉠에 의하여 [eqn: rm bar OA ``:`bar BA ``=` bar OC ``:`bar BC]

즉, [eqn: rm bar OC ``:`bar BC``= 5 ``:`2sqrt5]이므로 점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm OB`]를 [eqn: 5 ``:`2sqrt5]로 외분하는 점이다. 따라서 점 [eqn: rm C]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 5 +2sqrt5`]이고 [eqn: a=5 `,```b=2`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=10`]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▶2008년 09월 서울시교육청[4점]

좌표평면 위에서 직선 [eqn: y`=`2x`+`2``]가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: {\A}``]라 하고 이 직선 위의 임의의 점 [eqn: {\P}`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H``]라 하자. 이때 삼각형 [eqn: ` rm PAH it `]의 넓이가 [eqn: 5``]가 되도록 하는 점 [eqn: {\P}``]는 두 개가 있다. 이 두 점의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ``], [eqn: beta ``]라 할 때, [eqn: alpha ` beta ``]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 주어진 조건을 이해하여 조건을 만족시키는 방정식의 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

[eqn: t`>`-1``]	[eqn: t`<`-1``]

그림과 같이 점 [eqn: \P``]의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: t``]라 하면 [eqn: y``]좌표는 [eqn: 2`t`+`2``]이므로

삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는

[eqn: t`>`-1``]일 때 [eqn: {1} over {2} `(t`+`1)(2`t`+`2)`=`(t`+`1) ^{2} ``]

[eqn: t`<`-1``]일 때 [eqn: {1} over {2} `(-1`-`t)(-`2`t`-`2)`=`(t`+`1) ^{2} ``]이다.

즉, 삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는 [eqn: t`!=`-1``]일 때 [eqn: (t`+`1)^{2}``]이다.

삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는 [eqn: 5``]이므로

[eqn: (t`+`1)^{2}`=`5``], [eqn: t^{2}`+`2`t`-`4`=`0``]

이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터

구하는 점 [eqn: rm P``]의 [eqn: x``]좌표 [eqn: alpha ,``` beta ``]의 곱 [eqn: alpha ` beta ``]는 [eqn: -4``]이다.

①　[eqn: -`6`]	②　[eqn: -5``]	③　[eqn: -4``]
④　[eqn: -3``]	⑤　[eqn: -2``]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

다음은 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외심을 [eqn: rm F`], 무게중심을 [eqn: rm G`], 수심을 [eqn: rm H`]라 할 때, 선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이 무게중심 [eqn: rm G`]와 일치함을 증명하는 과정이다.

<증명>

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점을

[eqn: rm A it (a``,``b),```` rm B it (-c``,``0),```` rm C it (c``,``0)````(c>0)`]라 하자.

ⅰ) 외심 [eqn: rm F`]의 좌표
직선 [eqn: rm AC`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면, [eqn: m=`]

(가)

변 [eqn: rm AC`]의 수직이등분선은
[eqn: y= {c-a} over {b} x``+`]

(나)

------------------- ①
변 [eqn: rm BC`]의 수직이등분선은 [eqn: x=0]  ------------ ②
①과 ②의 교점이 외심 [eqn: rm F`]의 좌표이므로
[eqn: THEREFORE][eqn: rm F it (``0``,`````]

(나)

[eqn: )]

ⅱ) 수심 [eqn: rm H`]의 좌표
꼭짓점 [eqn: rm B`]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 방정식은
[eqn: y= c-a over b (x+c)]  --------------------- ③
꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 변 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 방정식은

(다)

------------------------- ④
③과 ④의 교점이 수심 [eqn: rm H`]의 좌표이므로
[eqn: THEREFORE][eqn: rm H it LEFT ( ``a```,```` {c ^{2} -a ^{2}} over {b} RIGHT )]

선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2] 로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a} over {3} `,````` {b} over {3} RIGHT )] 이므로

무게중심 [eqn: rm G`]와 일치한다.

위 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ③

[출제의도] 삼각형의 오심을 이해하고 외심, 수심, 무게중심의 관계를 증명하기

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점을

[eqn: rm A it (a``,``b),```` rm B it (-c``,``0),```` rm C it (c``,``0)````(c>0)`]라 하자.

ⅰ) 외심 [eqn: rm F`]의 좌표

직선 [eqn: rm AC`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면, [eqn: m=]

[eqn: {b} over {a-c}]

변 [eqn: rm AC`]의 수직이등분선은

[eqn: y= {c-a} over {b} x``+`]

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]

----------- ①

변 [eqn: rm BC`]의 수직이등분선은 [eqn: x=0] ---------- ②

①과 ②의 교점이 외심 [eqn: rm F`]의 좌표이므로

[eqn: rm F it (``0``,`````]

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]

[eqn: )]

ⅱ) 수심 [eqn: rm H`]의 좌표

꼭짓점 [eqn: rm B`]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 방정식은

[eqn: y= {c-a} over {b} (x+c)] -------------------- ③

꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 변 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 방정식은

[eqn: x=a]

------------------------- ④

③과 ④의 교점이 수심 [eqn: rm H`]의 좌표이므로

[eqn: rm H it LEFT ( ``a```,```` {c ^{2} -a ^{2}} over {b} RIGHT )]

선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2] 로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a} over {3} `,````` {b} over {3} RIGHT )] 이므로 무게중심 [eqn: rm G`]와 일치한다.

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: a-c over b]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
②	[eqn: {a-c} over {b}]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
③	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
④	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {2b}]	[eqn: y=b]
⑤	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: y=b]

▶2005년 6월 인천시[4점]

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A(-8,`3)],  [eqn: rmB],  [eqn: rmC],  [eqn: rmD] 를 꼭지점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 32] 이고, 가로의 길이는 세로 길이의 세 배일 때, 점 [eqn: rmB] 와 [eqn: rmD] 를 지나는 직선의 방정식은? (단, 각 변은 축에 평행하다.)

정답 ③

[eqn: rm D(4,`3)]

[eqn: rm C(4,-1)]

[eqn: rm A(-8,`3)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmB(-8,-1)]

[eqn: rmO]

세로의 길이가 [eqn: a] 라 하면 가로의 길이는 [eqn: 3a] 이다.[eqn: 8a=32] 에서

[eqn: a=4], 가로의 길이는 [eqn: 12], 세로의 길이는 [eqn: 4] 이므로[eqn: rmD(4,3)] 이고,

기울기는 [eqn: { 1} over {3 }] 이다. 따라서 직선의 방정식은 [eqn: y=` {1} over {3} LEFT ( x-4 RIGHT ) +3]

따라서 [eqn: y= {1} over {3} x+ {5} over {3}]

① [eqn: y~=~ { 1} over {3 } x`+` { 3} over {4 }]	② [eqn: y~=~ { 1} over {3 } x`+` { 4} over {3 }]

③ [eqn: y~=~ 1 over3 x`+` { 5} over {3 }]	④ [eqn: y~=~ 1 over 4 x`+` { 4} over {3 }]

⑤ [eqn: y~=~ 1 over 4 x`+` { 5} over { 3}]

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 4], 세로의 길이가 [eqn: 6]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rm DC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하고, 대각선 [eqn: rm AC] 위의 임의의 한 점 [eqn: rm P]에서 세 직선 [eqn: rm BC], [eqn: rm DC], [eqn: rm AM]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm `Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PS`}]를 만족시킬 때, 선분 [eqn: rm `PR]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: RMD(0,```6)]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: rmM(0, ```3)]

[eqn: rm S]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 6]

[eqn: x]

[eqn: y]

위 그림과 같이 점 [eqn: rm `C]를 원점으로 하고, 선분 [eqn: RMBC]를 [eqn: x]축, 선분 [eqn: rm DC]를 [eqn: y]축과 일치시키면, 점 [eqn: rm `A], [eqn: rm `M]의 좌표는 [eqn: rm `A LEFT ( -4,`6 RIGHT )], [eqn: rm M it LEFT ( 0,`3 RIGHT )]이다.

이때, 선분 [eqn: RMPR]의 길이를 [eqn: a]라 하면,

직선 [eqn: rmAC]의 방정식은 [eqn: y=- { 3} over {2 }x]이므로

점 [eqn: rm Q,``P]의 좌표는 [eqn: rm `Q it LEFT ( -a`,``0 RIGHT )], [eqn: RM P ITLEFT ( -a`,`` {3} over {2} a RIGHT )]이다.

한편, 직선 [eqn: RMAM]의 방정식은 [eqn: 3x+4y-12=0]이므로 점 [eqn: rm P LEFT ( it -a,``` {3} over {2} a RIGHT )]에서 직선 [eqn: 3x+4y-12=0]까지의 거리는 [eqn: {LEFT | 3a-12 RIGHT |} over {5}]이다.

또한 주어진 조건에서 [eqn: bar{rm PQ it} = bar{rm PS it}]이므로

[eqn: {3} over {2} a= {LEFT | 3a-12 RIGHT |} over {5} ``] ⇔ [eqn: 5a=2 LEFT | a-4 RIGHT |]이다.

그런데 상수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 0<a<4]이므로

[eqn: 5a=-2a+8]에서 [eqn: a= {8} over {7}]이다.

따라서 [eqn: a= {8} over {7} = {q} over {p}]([eqn: p,~`q`]는 서로소)에서 [eqn: p=7,``q=8]이므로 [eqn: p+q=15]이다.

▶2009년 03월 서울시교육청[4점]

그림과 같이 두 점 [eqn: (4,``0)`], [eqn: (0,``2)`]를 지나는 직선 [eqn: l`]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 임의의 점 [eqn: (x,``y)`]에 대하여 등식[eqn: x^2 +ay^2 +bx+c=0`]이 성립하도
록 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]를 정할 때,
[eqn: | ``a`` | ``+ ``|`` b ``|`` +`` |`` c ``| `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 28]

직선 [eqn: l`]의 [eqn: x`]절편, [eqn: y`]절편이 각각 [eqn: 4`], [eqn: 2`]이므로

직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: { x} over {4 }+ { y} over {2 }=1`]

∴ [eqn: y=-{ 1} over {2 }x+2`]

이것을 주어진 등식에 대입하면

[eqn: x^2 +a LEFT ( -{ 1} over {2 }x+2 RIGHT ) ^2 +bx+c=0`]

[eqn: LEFT ( 1+ { a} over { 4} RIGHT ) x^2 -(2a-b)x +(4a+c)=0`]

이 식이 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로

[eqn: 1+ { a} over { 4}=0`], [eqn: 2a-b=0`], [eqn: 4a+c=0`]

∴ [eqn: a=-4`], [eqn: b=-8`], [eqn: c=16`]

따라서 구하는 값은

[eqn: |``a``|`` +``|``b``|`` +``|``c``|``=28`]

[다른 풀이]

직선 위의 어떤 점을 대입하여도 등식이 성립한다.

직선 위의 점 [eqn: (0,``2)`], [eqn: (2,``1)`], [eqn: (4,``0)`]를 대입하여 정리하면

[eqn: 4a+c=0`]	…… ㉠

[eqn: a+2b+c=-4`]	…… ㉡

[eqn: 4b+c=-16`]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=-4`], [eqn: b=-8`], [eqn: c=16`]

따라서 구하는 값은

[eqn: |``a``|`` +``|``b``|`` +``|``c``|``=28`]

▶2005년 10월 인천시[4점]

다음은 두 직선이 수직일 조건을 증명한 과정이다.

정답 ①

수직인 두 직선 [eqn: y=mx,~y=m` prime x``]와 직선  [eqn: x=1] 과의 교점을

각각 [eqn: rm P,```Q``] 라 하자.

[eqn: rm P``(`` it 1,```m`)``,~ rm Q``(`` it 1,```m` prime )] 이고 [eqn: rm △POQ``]는 직각삼각형이다.

[eqn: rm bar{OP} ` ^{2} + bar{OQ`} ` ^{2} = bar{PQ} ` ^{2} `] 이므로

[eqn: (1+m ^{2} )+(1+m` prime ^{``2} )=(`m-m prime ) ^{2} ``…``㉠]

이 식을 정리하면 [eqn: m TIMES m` prime =`(`-1)``…``㉡]

역으로, ㉡ 이 성립하면 ㉠ 이 성립하므로

[eqn: rm △POQ] 는 직각삼각형이고 [eqn: rm bar{OP} BOT bar{OQ}]  이다.

<증명>

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: 1]

[eqn: x=1]

[eqn: y=mx]

[eqn: y=m'x]

수직인 두 직선[eqn: y=mx,~y=m` prime x``]와

직선  [eqn: x=1] 과의 교점을 각각 [eqn: rm P,```Q``]라 하자.        [eqn: rm P``(`` it 1,````m``)``,~ rm Q``(`` it 1,````m` prime )] 이고 [eqn: rm △POQ``]는 직각삼각형이다. [eqn: rm bar{OP} ` ^{2} + bar{OQ`} ` ^{2} = bar{PQ} ` ^{2} `] 이므로

[eqn: (1+m ^{2} )+(1+m` prime ^{``2} )=`] … ㉠

(가)

이 식을 정리하면   [eqn: m TIMES m` prime =`] … ㉡

(나)

역으로, ㉡ 이 성립하면 ㉠ 이 성립하므로 [eqn: rm △POQ]는 직각삼각형이고 [eqn: rm bar{OP} BOT bar{OQ}]이다.

위의 증명에서 (가), (나) 에 알맞은 것은? [4점]

(가)                 (나)

① [eqn: (m`-`m prime ) ^{2}]            [eqn: -1]

② [eqn: (m`-`m prime ) ^{2}]              [eqn: 1]

③ [eqn: (m`+`m prime ) ^{2}]            [eqn: -1]

④ [eqn: (m`+`m prime ) ^{2}]              [eqn: 0]

⑤ [eqn: (m`+`m prime ) ^{2}]              [eqn: 1]

▶2010년 10월 교육청[4점]

어느 공원에 가로의 길이가 [eqn: rm10m`]이고 세로의 길이가 [eqn: rm12m`]인 직육면체모양의 매점과 식수대가 그림과 같이 배치되어 있다. 매점의 [eqn: rmA`]지점에 서 있는 사람이 [eqn: rmB`]지점에 있는 식수대를 보기 위해 이동해야 하는 거리[eqn: LEFT ( rmm RIGHT )]의 최솟값을 구하시오. (단, 사람과 식수대의 크기와 부피는 고려하지 않고, 매점과 식수대 사이에는 어떠한 장애물도 없으며 공원의 지면은 평면으로 간주한다.)

정답 [eqn: 8]

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 수학 외적문제 해결하기

[eqn: rmB`]지점을 원점으로 하여 매점을 좌표평면 위에 나타내면 [eqn: rmA]지점의 좌표는 [eqn: rmA LEFT ( -22,``-16 RIGHT )]이다.

사람이 직선 [eqn: rm`OC] 또는 직선 [eqn: rm`OC]의 아래쪽 부분이나 직선 [eqn: rmOE] 또는 직선 [eqn: rmOE]의 위쪽 부분에 있으면 식수대를 볼 수 있다. 사람이 식수대를 보기 위해 이동해야 하는 거리의 최솟값은 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rm OC] 사이의 거리이다. 직선 [eqn: rm OC]의 방정식은 [eqn: 4x-3y=0]이고, 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rm OC] 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때

[eqn: d= {LEFT | -88+48` RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}} = {40} over {5} =8(rm m)`]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

두 직선  [eqn: l````:`x+y-2=0`,`````m``:`k`x-y+k+1=0``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 두 직선의 관계 이해하기

ㄱ. 직선 [eqn: m]에 점 [eqn: (-1,`1)]을 대입하면 성립 (참)

ㄴ. [eqn: k=1]일 때, 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]의 기울기의 곱이 [eqn: -1]이므로 수직 (참)

ㄷ. 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 제1사분면에서 만나려면

직선 [eqn: m]이 [eqn: (2,``0)]과 [eqn: (0,```2)]사이를 지나야

하므로 기울기 [eqn: k]의 범위는 [eqn: - {1} over {3} <k<1]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: k]의 개수는 한 개 (거짓)

		<보기>
	ㄱ. 직선 [eqn: m`]은 점 [eqn: (-1``,``1)`]을 지난다. ㄴ. [eqn: k=1`]일 때, 두 직선 [eqn: l] 과 [eqn: m`]은 수직으로 만난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l``]과 [eqn: m``]이 제 [eqn: 1`]사분면에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k``]의 개수는 [eqn: 2]개이다.

① ㄱ	② ㄷ                 ③ ㄱ , ㄴ

④ ㄴ , ㄷ	⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

▶2005년 10월 인천시[4점]

[eqn: rm bar{AB} `] 와 [eqn: rm bar{BC} `] 는 직사각형 [eqn: rm OPQR]을 두 부분으로 나누는 경계선이다. 이 경계선을 두 부분의 넓이의 변화 없이 점 [eqn: rm A] 를 지나는 직선으로 바꿀 때, 이 직선의 기울기는?

정답 ③

[eqn: RMA(6,3)]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: RMO]

[eqn: RMA(6,3)][eqn: RM A(6,``3)]

[eqn: RM B(2,``1)]

[eqn: rm C(3,``0)]

[eqn: RME]

[eqn: RMD]

[eqn: rm bar{AC}]와 평행한 보조선 [eqn: rm bar{BE}]를 긋는다.

[eqn: rm bar{AC}]□[eqn: rm bar{BE}]이므로 [eqn: TRIANGLE rmABC][eqn: =][eqn: TRIANGLE rmAEC] , [eqn: TRIANGLE rm ABD][eqn: =][eqn: TRIANGLE rm CDE]

따라서 [eqn: bar{rmAE}]가 직선 경계임을 알 수 있다.

(직선 [eqn: rm AC it}]의 기울기)[eqn: =](직선 [eqn: rm BE]의 기울기)[eqn: =1]

점 [eqn: rmB(2,1)]을 지나고 기울기 1인 직선의 방정식은 [eqn: y=x-1]이고 [eqn: rmE(1,0)]임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE] (직선 [eqn: rm `AE]의 기울기)[eqn: = {3} over {5}]

[eqn: \A(6,3)]

[eqn: \B(2,1)]

[eqn: \C(3,0)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: \P]

[eqn: \R]

[eqn: \Q]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

▶2005년 10월 평가원(수행평가)[5점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: \A`(3`,``4`)`], [eqn: \B`(1`,``6)`]에 대하여 삼각형 [eqn: \OAB`]의 넓이를 구하려고 한다. 다음 물음에 답하시오.

정답  (1) [eqn: y`=`4over3 x `]  (2) [eqn: 14over5]    (3) [eqn: `7]

(1)  [eqn: y`=`4over3 x `]

(2)  점[eqn: rmB(1,~6)]와  직선 [eqn: 4`x`-3`y`=`0`]사이의 거리

[eqn: {|~4⋅1`-3⋅6~| }over root{4^2 `+ 3^2 ```}`=`14over5]

(3)  [eqn: rmS `=` 1over2 ``×``5``×``14over5 `=``7]

⑴ 두 점 [eqn: \O`,``\A`]를 지나는 직선의 방정식을 구하시오. [1점]

⑵ 점[eqn: \B`]와 직선 [eqn: \OA`]사이의 거리를 구하시오. [2점]

⑶ 삼각형[eqn: rmOAB`]의 넓이를 구하시오. [2점]

▶2013년 9월 인천청[4점]

그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 네 점 [eqn: rmA _{1} ,````A _{2} ,````A _{3} ,````A _{4} `]에 대하여

정답 [eqn: 116]

정사각형 [eqn: rmA _{3} A _{4} B _{4} C _{4} `]는 한 변의 길이가 [eqn: 18`]이므로

점 [eqn: rmA _{3} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 12,````0 RIGHT )]

정사각형 [eqn: rmOA _{1} B _{1} C _{1} ,] [eqn: rmA _{1} A _{2} B _{2} C _{2} ,] [eqn: rm A _{2} A _{3} B _{3} C _{3} `]의 넓이의 비가 [eqn: 1``:``4``:``9`]이므로 정사각형의 한 변의 길이의 비는

[eqn: rm {bar{OA _{1}}} ``:`` {bar{A _{1} A _{2}}} ``:`` {bar{A _{2} A _{3}}} =1``:``2``:``3`]

[eqn: rmbar{OA _{3} }=12`]이므로

[eqn: rm {bar{OA _{1}}} =2,```` {bar{A _{1} A _{2}}} =4,```` {bar{A _{2} A _{3}}} =6]

그러므로 [eqn: rmB _{1} LEFT ( 2,````2 RIGHT ) ,````B _{3} LEFT ( 12,````6 RIGHT )]

따라서 [eqn: rm {bar{B _{1} B _{2}}} ^{2} = LEFT ( sqrt {100+16} RIGHT ) ^{2} =116]

[eqn: rm {bar{OA _{1}}} ,```` {bar{A _{1} A _{2}}} ,```` {bar{A _{2} A _{3}}} ,```` {bar{A _{3} A _{4}}} `]를 각각 한 변으로 하는 정사각형

[eqn: rmOA _{1} B _{1} C _{1} ,] [eqn: rmA _{1} A _{2} B _{2} C _{2} ,] [eqn: rmA _{2} A _{3} B _{3} C _{3} ,] [eqn: rmA _{3} A _{4} B _{4} C _{4} `]가 있다. 점 [eqn: rmB _{4} `]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 30,````18 RIGHT ) `]이고 정사각형 [eqn: rm OA _{1} B _{1} C _{1} ,] [eqn: rmA _{1} A _{2} B _{2} C _{2} ,] [eqn: rm A _{2} A _{3} B _{3} C _{3} `]의 넓이의 비가 [eqn: 1``:``4``:``9`]일 때, [eqn: rm bar{B _{1} B _{3}} ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

▶2007년 11월 교육청[4점]

좌표평면 위의 원점에서 직선 [eqn: 3x-y+2-k(x+y)=0`]까지의 거리의 최댓값은? (단, [eqn: k`]는 실수이다.)

정답 ④

[출제의도] 점과 직선사이의 거리 구하기

원점 [eqn: rm O`]에서 직선 [eqn: (3-k)x-(1+k)y+2=0`]까지의 거리는

[eqn: {|`2`|} over {sqrt {(3-k) ^{2} +(1+k) ^{2}}} = {2} over {sqrt {2k ^{2} -4k+10}}]

거리가 최대가 되려면 분모가 최소일 때이다.

[eqn: 2k ^{2} -4k+10=2(k-1) ^{ 2}+8≧8]이므로

[eqn: {2} over {sqrt {2k ^{2} -4k+10}} <= {2} over {sqrt {8}} = {sqrt {2}} over {2}]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: root 2 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: root 2 over 2]	⑤ [eqn: root 2]

▶2010년 12월 영남권[4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(0,````2),```` B(1,````0)]에 대하여 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: ABCD``]가 있다. 두 점 [eqn: rmA ,````D]를 지나는 직선의 [eqn: x``]절편을 [eqn: alpha], 두 점 [eqn: rmC,````D]를 지나는 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 11]

직선 [eqn: rmAD]는 기울기가 [eqn: 1 over2]이고, [eqn: rmA(0,````2)]를 지나므로 [eqn: y= 1 over2 x +2]이다.

따라서 이 직선이 [eqn: (alpha ,````0)]를 지나면 [eqn: y=0]이므로 [eqn: x=-4,] 즉 [eqn: alpha =-4]이다.

직선 [eqn: rmCD]는 기울기가 [eqn: -2]이고, [eqn: rmC(3,````1)]를 지나므로 [eqn: y=-2 x +7]이다.

따라서 이 직선이 [eqn: (0 ,````beta)]를 지나면 [eqn: x=0]이므로 [eqn: y=7], 즉 [eqn: beta =7]이다.

[eqn: therefore `````beta-alpha =11]

[[eqn: 4]점][2010년 12월 영남]

▶2007년 10월 교육청[4점]

[eqn: rm bar{AB} it =a,~ rm bar{BC} it =b] 인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에서 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 내부에 점 [eqn: rm P`]를 잡고, 점 [eqn: rm P`]에서 변 [eqn: rm AB,~AD`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E,~F`]라 하자. [eqn: rm bar{PE} it =n,~ rm bar{PF} it =m]일 때 ,  <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 직선의 기울기 이해하기

[eqn: n over m`]은 직선 [eqn: rmAP]의 기울기,

[eqn: b over a`]는 직선 [eqn: rmAC]의 기울기,

[eqn: b-n over a-m`]은 직선 [eqn: rmPC]의 기울기이다.

따라서,  [eqn: b-n over a-m`<`b over a`<`n over m]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: {n} over {m} `<` {b} over {a}]     ㄴ. [eqn: {n} over {m} `<` {b-n} over {a-m}]     ㄷ. [eqn: {b-n} over {a-m} `<` {b} over {a}]

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④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 10월 교육청[4점]

네 점 [eqn: rm O it (0, ``0),~ rm A it (6,``0),~ rm B it (6,``12),~ rm C it (0,``12)`]를 꼭지점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x+a`], [eqn: y=x+b`]가 사각형 [eqn: rm OABC`]의 넓이를 삼등분할 때, [eqn: a`b`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 직선의 방정식 구하기

사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이가 [eqn: 72]이므로

사각형 [eqn: rmOAB_1 C_1]의 넓이는 [eqn: 24]이다.

[eqn: 1 over 2 (b+6+b)×6 =24]이므로 [eqn: b=1]

같은 방법으로 [eqn: a=5]

따라서, [eqn: ab =5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]