점과 좌표

수학1		모의고사 단원별 총모음
				식의 계산

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▶2014년 3월 서울(2점)

수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(1)], [eqn: {\B}(7)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1``:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: {rm P}(a)]라 할 때, [eqn: a]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 수직선 위의 두 점의 내분점을 구한다.

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1`:`3]으로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: rm P it (a)]이므로

[eqn: a= {1 times 7+3times 1} over {1+3}]

[eqn: = {5} over {2}]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A `(-1,``2),``` B` (2`,``3),```C` it(a,``1)`]에 대하여 [eqn: bar{\AC}`=`bar{\BC}`]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ②

[eqn: rm ` bar{AC} = bar{BC}]이므로

[eqn: sqrt {(a+1) ^{2} +(1-2) ^{2}} = sqrt {(a-2) ^{2} +(1-3) ^{2}}]

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 6a=6]

따라서 [eqn: a=1]

① [eqn: {1} over {sqrt {2}}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt {2}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

▶20년 월 인천교육청(고1)[2점]

두 점 [eqn: rm A(`1,```2)], [eqn: rm B(`6,```3)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P] 의 좌표를 [eqn: (a,```0)] 이라 할 때, [eqn: a] 의 값은?

정답 ②

[출제의도] 두 점 사이의 거리 계산하기

[eqn: bar{rm PA it} = bar{rm PB it}]이므로 [eqn: {bar{rm PA it rm }}^{2} ={ bar{rm PB it rm }} ^{2}]이다.

[eqn: (a-1) ^{2} +4= LEFT ( a-6 RIGHT ) ^{2} +9]

[eqn: -2a+5=-12a+45]

[eqn: THEREFORE `a=4]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2009년 09월 부산교육청(고1)[2점]

수직선 위의 두 점 [eqn: A`(`-1`)`], [eqn: B`(`2`)`]를 이은 선분 [eqn: AB`]를 [eqn: 3``:`2`]로 외분하는 점 [eqn: rm P`]의 좌표는?

정답 ⑤

[출제의도] 외분점을 구하는 공식 적용하여 계산하기

[eqn: rmbar{AB``}]를 [eqn: 3:2`]로 외분하는 점

[eqn: rm P``left( {6-(-2)} over {3-2} right)=P`(8)`]

① [eqn: P` LEFT ( {4} over {5} RIGHT )]	② [eqn: P`left({6} over {5}right)]	③ [eqn: P`left( {8} over {5}right)]

④ [eqn: P`left(4)]	⑤ [eqn: P`left(`8)]

▶2007년 10월 국가수준(고1)[2점]

두 점 [eqn: rm A(-4,````-3)`], [eqn: rm B(11,````9)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점의 좌표는?

정답 ①

[eqn: rm barAB]를 1 : 2로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: {11-8} over 1+2 =1], [eqn: {9-6} over {1+2} =1]

[eqn: THEREFORE (1,```1)`]

① [eqn: (1,```1)`]	② [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,``` {3} over {2} RIGHT ) `]	③ [eqn: (3,```3)`]

④ [eqn: LEFT ( {7} over {5} ,``` {5} over {2} RIGHT )]	⑤ [eqn: (6,```5)`]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

수직선 위의 두 점 [eqn: \A`,`B`]에 대하여 선분 [eqn: \AB`]를 [eqn: 2``:`1`]로 내분하는 점이 [eqn: {\P} `(3)], 선분 [eqn: \AB`]를 [eqn: 2``:`1`]로 외분하는 점이 [eqn: rm Q it `(7)`] 이다. 선분 [eqn: \`PQ`]의 중점을 [eqn: \M`]이라 할 때, 선분 [eqn: \AM`]의 길이는?

정답 ②

[eqn: {\A}(a)``,`{\B}(b)```]라 하면

선분 [eqn: {rm AB it}]를 [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점이 [eqn: rm P(3)`]이므로 [eqn: {2b`+`a} over {2`+`1} `=`3``], [eqn: a`+`2`b`=`9`]

선분 [eqn: {rm AB it}]를 [eqn: 2`:`1`]로 외분하는 점이 [eqn: rmQ`(7)`]이므로 [eqn: {2b`-`a} over {2`-`1} `=`7``], [eqn: -a`+`2`b`=`7`]

위의 연립방정식을 풀면 [eqn: a`=`1,`b`=`4``] 이므로 [eqn: rm A(1)`,``B(4)`]이다. 선분 [eqn: rm PQ`]의 중점의 좌표는 [eqn: \M(5)`]이다.

따라서 선분 [eqn: rm AM= LEFT | 5-1 RIGHT | =4]이다.

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]
④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

▶2005년 10월 인천교육청

수직선 위에 일정한 간격으로 [eqn: 7] 개의 점이 있다. [eqn: 7] 개의 점을 각각 [eqn: RM A], [eqn: RM B], [eqn: RM C], [eqn: RM D], [eqn: RM E], [eqn: rm F], [eqn: RMG] 라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

정답 ④

ㄴ. [eqn: rm bar{CD}] 를 [eqn: 2:3] 으로 외분하는 점이 [eqn: rm A] 이므로 거짓.

[eqn: THEREFORE] ㄱ, ㄷ은 참

[eqn: \F]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

․

[eqn: \C]

․

․

[eqn: \D]

․

․

[eqn: \E]

․

․

[eqn: \G]

ㄱ. [eqn: rm bar{AC}] 를 [eqn: 3``:`1] 로 외분하는 점은 [eqn: rm D]

ㄴ. [eqn: rm bar{CD}] 를 [eqn: 2``:`3] 으로 외분하는 점은 [eqn: rm F]

ㄷ. [eqn: rm bar{AG}] 를 [eqn: 2``:`1] 로 내분하는 점은 [eqn: rm E]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▶2007년 09월 서울교육청[3점]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A`(`-1`,~4)`,~``B`(`5,~-5`)`]를 이은 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점이 직선 [eqn: y`=`2`x`+`k`] 위에 있을 때, 상수 [eqn: k `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 좌표평면에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: AB`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2 TIMES 5+1 TIMES (-1)} over {2+1} ,~ {2 TIMES (-5)+1 TIMES 4} over {2+1} RIGHT ) ``=`(3,~-2)`]이다.

점 [eqn: (3,~-2)`]가 직선 [eqn: y`=`2`x`+`k`] 위의 점이므로 [eqn: -2= 6+k]

∴ [eqn: k`=`-8]

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

▶2013년 9월 인천청(3점)

점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( 1,~6 RIGHT ) `]을 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 두 변 [eqn: rmAB,~AC`]의 중점을 가각 [eqn: rmM][eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT ) ,~rmN][eqn: LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT ) `]라 하자.

정답 ③

꼭짓점 [eqn: rmB,~C`]의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( a _{1} ,~b _{1} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{2} ,~b _{2} RIGHT ) `]라 하자.

두 점 [eqn: rmM,~N`]은 두 변 [eqn: rmAB,~AC`]의 중점이므로

[eqn: 1+a _{1} =2x _{1} ,~1+a _{2} =2x _{2} `]이고

[eqn: 6+b _{1} =2y _{1} ,~6+b _{2} =2y _{2}]

그런데 [eqn: x _{1} +x _{2} =2,~y _{1} +y _{2} =4`]이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} =2,~b _{1} +b _{2} =-4]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC`]의 무게중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( {1+a _{1} +a _{2}} over {3} ,~ {6+b _{1} +b _{2}} over {3} RIGHT ) = LEFT ( 1,~ {2} over {3} RIGHT )]

[eqn: x _{1} +x _{2} =2,~y _{1} +y _{2} =4`]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는?

① [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~ {2} over {3} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( 1,~ {2} over {3} RIGHT )]
④ [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]

▶2013년 11월 서울(3점)

그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 6], 세로의 길이가 [eqn: 3]인 직사각형 [eqn: rm OABC]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 선분 [eqn: rm OD]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점과 직선 [eqn: rm CD]사이의 거리는?

정답 ④

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: -4]

[eqn: -2]

[eqn: rm E]

[eqn: x]

직사각형 [eqn: rmOABC]를 점 [eqn: rm O]가 원점과 일치하도록 하는
좌표평면에 놓으면 [eqn: rm A(6,`0)], [eqn: rm B(6,`3)], [eqn: rm C(0,`3)]이다.

선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 1`:2]로 내분하는 점은
[eqn: rm D LEFT ( {6+0} over {1+2} ,` {3+0} over {1+2} RIGHT ) =D LEFT ( 2,`1 RIGHT )]

선분 [eqn: rm OD]를 [eqn: 2`:3]으로 외분하는 점을 [eqn: rmE]라 하면

[eqn: rm E LEFT ( {4-0} over {2-3} ,` {2-0} over {2-3} RIGHT ) =E LEFT ( -4,`-2 RIGHT )]

직선 [eqn: rmCD]의 방정식은 [eqn: x+y-3=0]

따라서 점 [eqn: rmE]와 직선 [eqn: rmCD]사이의 거리는

[eqn: {LEFT | -4-2-3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {9} over {sqrt {2}} = {9} over {2} sqrt {2}]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: 6]

[eqn: 3]

[eqn: rm B]

① [eqn: {3} over {2} sqrt {2}]	② [eqn: {5} over {2} sqrt {2}]	③ [eqn: {7} over {2} sqrt {2}]

④ [eqn: {9} over {2} sqrt {2}]	⑤ [eqn: {11} over {2} sqrt {2}]

▶2007년 09월 서울교육청[3점]

그림과 같이 반직선 [eqn: rm OA`]와 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 점 [eqn: \O`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \OB}`]를 반지름으로 하는 원이 반직선 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: \P`], 선분 [eqn: rm OA it}`]를 [eqn: 1``:``3`]으로 내분하는 점 [eqn: \D`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm DB}`]를 반지름으로 하는 원이 반직선 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 하자.

이때, [eqn: {{bar {\OP}} }^{``2} `+`{bar {\OQ} }^{``2} `]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 선분의 내분점과 수직선 위의 무리수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar {\OP} `=`bar {\OB} `=` root{4^2 `+`4^2 }` =` 4root2]

[eqn: bar {\OD} = 1 over4 bar {\OA}][eqn: =1], [eqn: bar {\DA} = 3], [eqn: bar {\DB} = root {3^2 +4^2} =5] 이므로

[eqn: bar{\OQ}`=`bar{\OD} `+ `bar{\DB}`=`1`+`5`=`6`]

∴ [eqn: {bar{rm OP it}} ^{``2} +` {bar{rm OQ it}} ^{``2} `][eqn: =][eqn: 32`+`36`=`68`]

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

▶2011년 11월 교육청[3점]

두 점 [eqn: A( 4,~ -3 ), ~ B( 9,~7 )]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 3~:~2] 로 내분하는 점의 좌표는?

정답 ①

[eqn: left( { 3 times 9 + 2 times 4 } over 3+2 ,~ { 3 times 7 + 2 times (-3) } over 3+2 right)]

① [eqn: (7,~ 3)]	② [eqn: (7,~ 4)]	③ [eqn: (13,~ 7 )]

④ [eqn: (13,~ 15)]	⑤ [eqn: (15,~ 2 )]

▶2010년 10월 서울교육청[3점]

수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(-2)`,```B(3)`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 이때 선분 [eqn: rm PQ`]의 중점의 좌표는?

정답 ①

[출제의도] 내분점, 외분점, 중점의 좌표 이해하기

내분점 [eqn: rmP] : [eqn: {2‧`3+3(-2)} over {2+3} = 0]

외분점 [eqn: rmQ] : [eqn: {2‧`3-(-2)} over {2-1} ` = 8`]

이므로 [eqn: bar{rmPQ}]의 중점의 좌표는 [eqn: {0+8} over {2} ` = 4`]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

▶2011년 09월 인천교육청[3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(2,``4)`], [eqn: rm B(-2,``5)`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2`]로 외분하는 점의 좌표를 [eqn: (x,~y)`]라 할 때, [eqn: xy`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[출제의도] 좌표평면 위에서 외분점의 좌표 계산하기

두 점 [eqn: rm A(2,``4),```B(-2,``5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( `x,~y` RIGHT ) ``= LEFT ( {1 TIMES (-2)-2 TIMES 2} over {1-2} ,~ {1 TIMES 5-2 TIMES 4} over {1-2} RIGHT ) `][eqn: =`(`6`,```3)]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: `xy=18]

▶2011년 09월 인천교육청[3점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A it (a,~b)], [eqn: rm B it (1,~3)], [eqn: rm C it (2,~2)]에 대하여, 선분 [eqn: rm `AB]의 중점을 [eqn: rm `M], 선분 [eqn: rm `CM]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm `G]라 하자. 점 [eqn: rm `G]의 좌표가 [eqn: rm (4,~5)]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 19]

[출제의도] 삼각형의 무게중심 이해하기

점 [eqn: rm G]가 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이므로

[eqn: {a+1+2 } over { 3} =4,~{b+3+2 } over { 3} =5]이다.

따라서 [eqn: a=9,~b=10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=19]

▶2011년 03월 부산교육청[3점][고2]

삼각형 [eqn: \ABC]의 변 [eqn: \BC]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: \P]라 하고, 선분 [eqn: \AP]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점을 [eqn: \Q]라 할 때,
[eqn: rm {(삼각형~ ABC의~넓이) }over{(삼각형~ CPQ의~넓이) }]의 값은?

정답 ➃

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점의 위치를 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar {\ AP} : bar{\ PQ} = 2:1]이므로

[eqn: TRIANGLE \CPQ = 1 over 2 TRIANGLE APC], [eqn: TRIANGLE \APC = 1 over 4 TRIANGLE ABC]에서

[eqn: TRIANGLE \CPQ = 1 over 8 TRIANGLE ABC]

[eqn: THEREFORE ~ {TRIANGLE \ABC} over { TRIANGLE \CPQ } = 8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▶2009년 09월 부산교육청[3점]

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 변 [eqn: rm AB`], [eqn: rm BC`], [eqn: rm CA`]의 중점이 각각 [eqn: (`1`,```2`)`], [eqn: (`3`,```5`)`], [eqn: (`a`,```b`)`]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC`]의 무게중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {8} over {3}` ,``` {14} over {3} ` RIGHT ) `]이다. 이 때, [eqn: a`+`b`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 평면도형에서 무게중심의 뜻 이해하기

[eqn: {1`+`3+`a} over {3}]=[eqn: {8} over {3}], [eqn: {2`+`5+`b} over {3}]=[eqn: {14} over {3}]이므로 [eqn: a`]=[eqn: 4], [eqn: b`]=[eqn: 7]

[eqn: `therefore`][eqn: a+b`]=[eqn: 11]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

▶2011년 09월 인천교육청[3점]

좌표평면 위의 한 점 [eqn: rm A][eqn: (2,~1)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외심은 변 [eqn: rm BC`]위에 있고 좌표가 [eqn: (-1`,```-1)`]일 때, [eqn: rm {bar{AB }} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 두 점 사이의 거리를 구하여 수학내적문제 해결하기

삼각형 [eqn: rmABC]의 외심을 [eqn: rm O prime]라 하면, 외심[eqn: rm `O` prime]에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 [eqn: rm O prime]는 변 [eqn: rm`BC`]의 중점이다. 따라서 외심의 성질에 의해 삼각형 [eqn: rm`ABC`]는 변 [eqn: rm`BC`]를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

그러므로 [eqn: rm ` {bar{AB }}^2 + {bar{AC }}^2 = {bar{BC}}^2]이고 [eqn: rm bar{BC} =2` bar{O prime A}]이므로

[eqn: rm{bar{BC}}^2 =4` {bar{O prime A}}^2 =4(`3 ^{2} `+2 ^{2} `)=52]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm ` {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} =52]

① [eqn: 51]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 53]
④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 55]

▶2006년 09월 교육청[3점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (-2,``5)``], [eqn: rm B it (6,``-3)``]을 잇는 선분 [eqn: rm AB``]를 [eqn: t``:``(1-t)``]로 내분하는 점이 제[eqn: 1`]사분면에 있을 때, [eqn: t``]의 값의 범위는? (단, [eqn: 0<t<1``])

정답 ②

선분 [eqn: rm AB``]를 [eqn: t``:``(1-t)``]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {t`‧`6+(1-t)`‧`(-2)} over {t+(1-t)} ,~ {t`‧`(-3)+(1-t)`‧`5} over {t+(1-t)} RIGHT )``] =[eqn: (8t-2,``5-8t)``]

이 점이 제[eqn: 1``]사분면에 있을 때

[eqn: 8t-2>0,~5-8t>0``]

∴ [eqn: {1} over {4} <t< {5} over {8} ``]

① [eqn: {1} over {8} <t< {1} over {4}``]	② [eqn: {1} over {4} <t< {5} over {8}``]	③ [eqn: {3} over {8} <t< {3} over {4}``]

④ [eqn: {1} over {2} <t< {7} over {8}``]	⑤ [eqn: {5} over {8} <t<1``]

▶2005년 11월 전국연합[3점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A(2,~4)], [eqn: rm B(-2,~6)], [eqn: rm C( 6,~8)]를 꼭지점으로 하는 [eqn: rm △ ABC`]에서 변 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm P`], 변 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm Q`], 변 [eqn: rm CA]의 중점을 [eqn: rm R]이라 하자. [eqn: rm △PQR`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a,~b`)]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: rm△ABC`]의 무게중심과 각 변의 중점을 연결하여 만든

[eqn: rm △PQR`]의 무게중심은 같다. [eqn: rm△ABC`]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {2 + (-2) + 6} over 3 ,~ {4+6+8}over 3 right) = ( 2,~6)]

따라서 [eqn: a= 2, ~ b = 6], [eqn: a+b = 8]

① [eqn: 4]                    ② [eqn: 5]                  ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]                    ⑤ [eqn: 8]

▶2010년 12월 영남권[3점]

수직선 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,``B``]사이의 거리가 [eqn: a``]일 때 선분 [eqn: rmAB``]를 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점 [eqn: rmP``]와 [eqn: 1``:``3``]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ``]에 대하여 두 점 [eqn: rmP`,``Q``]사이의 거리는?

정답 ③

서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,``B``]는 수직선 위에 있고

[eqn: {rmA}`(0)`,```{rmB}`(a)``]라 하면,

[eqn: {rmP}`left(2a over 2+1 right)= {rmP}`left( 2over3`a right)`,````{rmQ}`left( a over 1-3 right)={rmQ}`left(- a over2 right)``]이므로,

두 점 사이의 거리는 [eqn: left| 2over3 a - left( - 1over 2 a right) right| = 7over6 a``]

① [eqn: {1} over {2}a]	② [eqn: {5} over {6}a]	③ [eqn: {7} over {6}a]

④ [eqn: {4} over {3}a]	⑤ [eqn: {3} over {2}a]

▶2012년 09월 인천[3점]

꼭짓점 [eqn: rmA`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT ) `]인 [eqn: TRIANGLE rmABC`]에서 변 [eqn: rmBC`]의 중점의 좌표가 [eqn: left(-2,~4right)`]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC`]의 무게중심의 좌표는?

정답　②

[출제의도] 삼각형의 무게중심 구하기

변 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rm M``]이라 하자. [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심은 선분 [eqn: rm AM`]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로 무게중심의 좌표는

[eqn: rm LEFT ( {2`․`(-2)+1`․`1} over {2+1} ,``` {2`․`4+1`․`(-2)} over {2+1} RIGHT )][eqn: = rm LEFT ( -1,~2 RIGHT ) `]

① [eqn: left(- {1} over {2} ,~1right)]	② [eqn: left(-1,~2right)]          ③ [eqn: left(- {3} over {2} ,~3right)]

④ [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]            ⑤ [eqn: left( {1} over {2} ,~-1right)]

▶2012년 09월 인천[3점]

좌표평면 위에 있는 두 점 [eqn: rm `A` it `(a-1,~4)`], [eqn: rm `B` it `(5,~a-4)`] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {10} `]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오.

정답　14

[출제의도] 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 계산하기

두 점 [eqn: rm `A` it `(a-1,~4)`], [eqn: rm `B` it `(5,~a-4)`] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {10} `]이므로

[eqn: bar{rm AB it} it ^{2} =(a-6) ^{2} +(8-a) ^{2} =10`]

[eqn: THEREFORE ``a ^{2} -14a+45=0`]이다.

따라서 모든 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 14`]

▶2012년 11월 경기[3점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm O(0,``0)], [eqn: rm A(3,``0)], [eqn: rm B(0,``6)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 내부에 점 [eqn: rm P]가 있다.
이때, [eqn: rm bar{OP} ^{`2} + rm bar{AP} ^{`2} + rm bar{BP} ^{`2}]의 최솟값은?

정답 ⑤

[출제의도] 두 점 사이의 거리 구하기

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x,``y)]라 하면

[eqn: rm {barOP} ^{2} + {rm barAP} ^{2} + rm {barBP} ^{2}]

[eqn: = LEFT ( x ^{`2} +y ^{2} ` RIGHT ) + LEFT { (x-3) ^{2} +y ^{2} RIGHT } + LEFT { `x ^{2} +(y-6) ^{2} RIGHT }]
[eqn: =3x ^{2} -6x+3y ^{2} -12y+45]
[eqn: =3(x-1) ^{2} +3(y-2) ^{2} +30]

따라서 [eqn: x=1], [eqn: y=2]일 때, 최솟값은 [eqn: 30]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 30]

▶2006년 월 인천교육청[3점]

삼각형 [eqn: rm ABC] 의 세 변 [eqn: rm AB`,`````BC`,`````CA] 에 대하여 변 [eqn: rm AB] 를 [eqn: 1:2] 로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (10,`````8)], 변 [eqn: rm BC] 를 [eqn: 1:3] 으로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (5,`````-3)], 변 [eqn: rm CA] 를 [eqn: 2:3] 으로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (2,`````12)] 라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABC] 의 무게중심 [eqn: rm G] 의 좌표를 ([eqn: a,```b]) 라 할 때, [eqn: a+b] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 11]

[출제의도] 내분점의 성질 이해하기

삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 꼭짓점의 좌표를

[eqn: rm A it (x _{1} ,``y _{1} )],[eqn: rm B it (x _{2,} ``y _{2} ),` rm C it (x _{3} ,``y _{3} )] 라 하면

[eqn: LEFT ( {x _{2} +2x _{1}} over {3} ,` {y _{2} +2y _{1}} over {3} RIGHT ) = LEFT ( 10,``8 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( {x _{3} +3x _{2}} over {4} ,` {y _{3} +3y _{2}} over {4} RIGHT ) = LEFT ( 5,``-3 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( {2x _{1} +3x _{3}} over {5} ,` {2y _{1} +3y _{3}} over {5} RIGHT ) = LEFT ( 2,``12 RIGHT )] 이고

[eqn: 2x _{1} +x _{2} =30], [eqn: 3x _{2} +x _{3} =20], [eqn: 3x _{3} +2x _{1} =10]이므로 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =15]

[eqn: 2y _{1} +y _{2} =24], [eqn: 3y _{2} +y _{3} =-12], [eqn: 3y _{3}+2y _{1} =60]이므로 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} =18]이다. 따라서

[eqn: {rmG}`(a,`b)={rmG}` LEFT ( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} RIGHT )]

[eqn: ={rmG}` LEFT ( 5,`6 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `a+b=11]

▶2006년 11월 교육청[3점]

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm P(3,```7)], [eqn: rm Q(1,```1)], [eqn: rm R(9,```3)]으로부터 같은 거리에 있는 직선 [eqn: l`]이 선분 [eqn: rm PQ], [eqn: rm PR`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자. 선분 [eqn: rm QR]의 중점을 [eqn: rm C`]라 할 때, [eqn: △rm ABC`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: rm G( it x,~y)]라 하면 [eqn: x+y]의 값은?

정답 ⑤

세 점 [eqn: rm P,``Q,``R`]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P' ,``Q' ,``R']라 하면

[eqn: rm TRIANGLE PAP'== TRIANGLE QAQ']([eqn: ∵ rmASA]합동)이므로 점 [eqn: rm A]는 선분 [eqn: rm PQ]의 중점이다. 마찬가지로 점 [eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm PR]의 중점이다.

따라서, 세 점 [eqn: rm A,``B,``C]는 각각 선분 [eqn: rm PQ], 선분 [eqn: rm PR], 선분 [eqn: rm QR]의 중점이므로 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심은 [eqn: rm TRIANGLE PQR]의 무게중심과 일치한다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: l]

[eqn: rm R(9,``3)]

[eqn: rm Q(1,``1)]

[eqn: rm P(3,``7)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P']

[eqn: rm Q']

[eqn: rm R']

[eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심을 [eqn: rm G(it x,``y)]라 하면

[eqn: x= {3+1+9} over {3} = {13} over {3}], [eqn: y= {7+1+3} over {3} = {11} over {3}]

따라서, [eqn: x+y= {13} over {3} + {11} over {3} =8]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: l]

[eqn: rm R(9,``3)]

[eqn: rm Q(1,``1)]

[eqn: rm P(3,``7)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

① [eqn: 16 over 3]	②  [eqn: 6]	③ [eqn: {20} over {3}]
④ [eqn: 22 over 3]	⑤  [eqn: 8]

▶2014년 9월 인천(4점)

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P(3`,~4)`,~Q(12`,~5)`]에 대하여  [eqn: rm ANGLE POQ`]의 이등분선과 선분 [eqn: rm PQ`]와의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: {b} over {a} `]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 13``]

[출제의도] 선분의 내분점을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm bar{OP} =5`,~ bar{OQ} =13`]

[eqn: rm ANGLE POQ`]의 이등분선과 [eqn: rm bar{PQ} `]의 교점을 [eqn: rm M`]이라 하면 각의 이등분선의 성질에 의해

[eqn: rm bar{PM} ``:`` bar{MQ} ``=`5`:`13]

점 [eqn: rm M`]은 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 5`:`13]으로 내분하므로

점 [eqn: rm M`]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: {b} over {a} `= {11} over {2}]

따라서 [eqn: a+b=13]

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

수직선 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A( it a)], [eqn: rm B( it b)], [eqn: rm C( it c)]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점 [eqn: rmP(itp)]가 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: m:n]으로 외분하는 점이 될 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m != n], [eqn: m>0], [eqn: n>0])

정답 ③

[출제의도] 선분의 내분과 외분을 이해하여 추론하기

선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: m``:`n]으로 내분하는 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: p= {mc+na} over {m+n} CDOTSCDOTS①]

이고, 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: m``:`n]으로 외분하는 점 [eqn: rm P]의

좌표는 [eqn: p= {mc-nb} over {m-n} CDOTS CDOTS ②]이다.

따라서 [eqn: mc+na overm+n][eqn: = {mc-nb} over {m-n}cdotscdots③]이다.

ㄱ. [eqn: a=1,```b=5,```m=1,```n=`2]를 [eqn: ③]식에 대입하면, [eqn: {c+2} over {3} = {c-10} over {-1}]에서 [eqn: c=7]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a=0,```c=3,```m=2,```n=`1]을 [eqn: ③]식에 대입    하면, [eqn: {6+0} over {3} = {6-b} over {1}]에서 [eqn: p=2], [eqn: b=4]가 되어

[eqn: a<p<c<b]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: ①]식의 양변에 [eqn: m+n]을 곱하면

[eqn: LEFT ( m+n RIGHT ) p=mc+na` CDOTS CDOTS ④]이다.

[eqn: ②]식의 양변에 [eqn: m-n]을 곱하면

[eqn: LEFT ( m-n RIGHT ) p=mc-nb` CDOTS CDOTS ⑤]이다.

이때, [eqn: ④]식과 [eqn: ⑤]식을 연립하여 [eqn: p]에 관하여    정리하면 [eqn: p= a+b over2]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

< 보 기 >

ㄱ. [eqn: a=1,```b=5,```m=1,```n=`2]이면 [eqn: c=7]이다.

ㄴ. [eqn: m>n]이면 [eqn: a<p<b<c]이다.

ㄷ. [eqn: p= { a+b} over { 2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

좌표평면 위의 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점[eqn: A(1,5)], [eqn: B(6-p, 1+q )], [eqn: C(8+p, 9-p)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심을 [eqn: G]라 하자. 선분 [eqn: AG]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점을 [eqn: P(a,b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심을 [eqn: G(x,y)]라 하면

[eqn: x = { 1 +( 6-p)+(8+p)} over 3 = 5]

[eqn: y ={ 5+(1+q)+(9-q)} over 3 = 5]

선분 [eqn: AG]를 [eqn: 3:!]로 외분하는 점을 [eqn: P(a,b)]라 하면

[eqn: a = {15 - 1 } over 2 =7], [eqn: b={ 15 - 5 } over 2 = 5]이다.

∴ [eqn: 7+5 = 12]

(별해) 선분 [eqn: AG]를 [eqn: 3:!]로 외분하는 점은 선분 [eqn: BC]의 중점이므로 [eqn: P(7,5)]이다.

∴ [eqn: 7+5 = 12]

▶2005년 9월 서울시[4점]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y] 에 대하여 복소수 [eqn: x+yi`]를 좌표평면 위의 점 [eqn: (`x,``y)`]에 대응시킨다. 예를 들면, [eqn: 3+2i`]를 점 [eqn: (`3,``2)`]에 대응시키고, [eqn: -3i`]를 점 [eqn: (`0,``-3)`]에 대응시킨다.

정답 50

ⅰ) [eqn: n=1`]일 때 [eqn: (3+4i) TIMES i=-4+3i`]이므로[eqn: rm P_{1} (-4,``3)`]

ⅱ) [eqn: n=2`]일 때 [eqn: (3+4i) TIMES i ^{2} =-3-4i`]이므로[eqn: rm P _{2} (-3,``-4)`]

ⅲ) [eqn: n=3`]일 때 [eqn: (3+4i) TIMES i ^{3} =4-3i`]이므로[eqn: rm P _{3} (4,``-3)`]

ⅳ) [eqn: n=4`]일 때 [eqn: (3+4i) TIMES i ^{4} =3+4i`]이므로[eqn: rm P _{4} (3,``4)`]

네 점[eqn: rm P _{1} `],[eqn: rm P _{2} `],[eqn: rm P _{3} `],[eqn: rm P _{4} `]를 꼭지점으로 하는 사각형은

한 변의 길이가 [eqn: 5 sqrt {2} `]인 정사각형이다.

따라서 구하는 사각형의 넓이는 [eqn: (5 sqrt {2} ) ^{2} =50`]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 복소수 [eqn: (`3+4i)` TIMES i` ^{`n} `]을 대응시킨 점을 [eqn: rm P it rm _{n} `]이라 할 때, 네 점 [eqn: rm P_1] , [eqn: rm P_2] , [eqn: rm P_3] , [eqn: rm P _4] 를 꼭지점으로 하는 사각형의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.)

▶2012년 10월 인천[4점]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=8`,] [eqn: rm bar{AC} `=6`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 3``:`1`]로 내분하는 점 [eqn: rmD`]에 대하여 [eqn: rm bar{AD} `=5]일 때, 선분 [eqn: rmBC`]의 길이는?

정답  ④

[출제의도] 연립방정식을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

그림과 같이 점 [eqn: rmA`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`]라 하고 [eqn: rmbarAP`= it h], [eqn: rm bar{CD} `=itx`], [eqn: rm bar{PD} `= it y`]라 하면

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: h]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmP]

[eqn: rmD]

[eqn: h ^{2} =64-(3x-y) ^{2}]

[eqn: h ^{2} =36-(x+y) ^{2}]

[eqn: h ^{2} =25-y ^{2} `]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm bar{BC} `=4 sqrt {6}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: rm 5]

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 3 sqrt {10}]
④ [eqn: 4 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 10]

▶2013년 9월 인천청(4점)

세 꼭짓점의 좌표가 [eqn: {rmA}(0,~3),] [eqn: {rmB}(-5,~-9),] [eqn: {rmC}(4,~0)`]인

정답 ⑤

[eqn: bar{rmAC} = root{16+9} =5]

[eqn: bar{rmAB} = root{25+144} = 13]

선분 [eqn: rmAP`]와 선분 [eqn: rmDC`]가 평행하므로 평행선의 성질에 의하여

[eqn: bar{rmAB}`:`bar{rmAD}`=`bar{rmPB}`:`bar{rmPC}]

그런데 [eqn: bar{rmAC}= bar{rmAD}`]이므로 [eqn: bar{rmAD} =5]

[eqn: bar{rmAB}`:`bar{rmAD}`= `bar{rmPB} `:`bar{rmPC}`=`13:5`]이므로

점 [eqn: rmP`]는 [eqn: bar{rmBC}`]를 [eqn: 13:5`]로 외분하는 점

따라서 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: Left( 77 over8 ,~ 45 over8 right)]

삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 그림과 같이 [eqn: bar{rmAC} = bar{ rmAD}`]가 있도록 점 [eqn: rmD`]를 선분 [eqn: rmAB] 위에 잡는다. 점 [eqn: rmA`]를 지나면서 선분 [eqn: rmDC`]와 평행인 직선이 선분 [eqn: rmBC`]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 이때, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는?

① [eqn: Left( 61 over8 ,~ 29 over8 right)]	② [eqn: Left( 65 over 8 ,~ 33 over8 right)]	③ [eqn: Left( 69 over 8 ,~ 37 over8 right)]
④ [eqn: Left( 73 over 8 ,~ 41 over8 right)]	⑤ [eqn: Left( 77 over8 ,~ 45 over 8 right)]

▶2012년 11월 경기[4점]

그림과 같이 [eqn: △ rm ABC]에서 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 5:2]로 외분하는 점을 [eqn: rm E]라 하고, 두 점 [eqn: rm D]와 [eqn: rm E]를 지나는 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자.

다음은 [eqn: bar{rm AF it} `: bar{rm FC it} `=m:n]일 때, [eqn: mn]의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: l]

그림과 같이 점 [eqn: rm C]를 지나고 직선 [eqn: l]과 평행한 직선이 선분 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm G]라 하자.

[eqn: △ rm ADF]와 [eqn: △ rm AGC]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: l]

[eqn: rmG]

[eqn: {bar{rm AF it}} over {bar{rm FC it}} `= {bar{rm AD it}} over {bar{rm DG it}} `` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: △ rm BCG]와 [eqn: △ rm BED]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `= {bar{rm BD it}} over {bar{rm DG it}} ` CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]과 [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: {bar{rm AD it}} over {bar{rm BD it}} `․` {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `․` {bar{rm FC it}} over {bar{rm AF it}} =]

[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

(가)

한편, [eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm BD it}} =2:3], [eqn: bar{rm BE it} : bar{rm EC it} =5:2], [eqn: bar{rm AF it} : bar{rm FC it} =m:n]이므로

[eqn: ㉢]으로부터 [eqn: {m} over {n} `=]

(나)

따라서 [eqn: mn=]

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+bc]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 선분의 내분과 외분을 이해하여 추론하기

[eqn: {bar{rm AD it}} over {bar{rm BD it}} ㆍ {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} ㆍ {bar{rm FC it}} over {bar{rm AF it}}][eqn: =][eqn: {bar{rm AD it}} over {bar{rm BD it}} ㆍ {bar{rm BD it}} over {bar{rm DG it}} ㆍ {bar{rm DG it}} over {bar{rm AD it}} =1]
[eqn: {2} over {3} TIMES {5} over {2} TIMES {n} over {m} =1]에서 [eqn: {m} over {n} = {5} over {3}]이므로

[eqn: mn=15]이다.

따라서 [eqn: a+bc=1+ {5} over {3} TIMES 15=26]

① [eqn: 17]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 65]

▶2012년 09월 인천[4점]

그림과 같이 일차함수 [eqn: y=x `]의 그래프와 이차함수 [eqn: y=x^2`]의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다. 곡선 [eqn: y=x^2`]위에 두 점 [eqn: rmA`,```B`]를 잡고, 직선 [eqn: y=x`]위에 두 점 [eqn: rmC`,```D`]를 잡아 이 도형 위에 정사각형 [eqn: rmABCD`]를 그린다. 이 정사각형 [eqn: rmABCD`]의 대각선의 길이가 [eqn: 2 sqrt {a} +b`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.)

정답　9

[출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO`]

사각형 [eqn: rmABCD`]의 점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: (alpha,~alpha^2`)`], 점 [eqn: rmB`]의 좌표를 [eqn: (beta,~beta ^{2} `)`]라 놓으면 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: ( alpha ,~ alpha )`], 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: (beta ^{2} ,~beta ^{2} )`]이 된다. 직선 [eqn: rmAB`]와 직선 [eqn: rmCD`]의 기울기가 같으므로

[eqn: {beta ^{2} -alpha ^{2}} over {beta-alpha} `=`1`] ⇒ [eqn: alpha+beta=1`] [eqn: CDOTS `]㉠

이다. 이때, 사각형의 두 대각선 [eqn: rmBD`]와 [eqn: rmAC`]의 교점을 점 [eqn: rmM`]이라 하면 사각형 [eqn: rmABCD`]는 정사각형이므로 [eqn: bar{rm BD it} `=2 bar{rm BM` it}]이다. 즉,

[eqn: beta-beta ^{2} =2(beta-alpha)`]

[eqn: beta ^{2} + beta -2 alpha =0`]

㉠에 의하여 [eqn: alpha=1-beta`]

[eqn: beta ^{2} +3beta-2=0`], [eqn: beta= {-3+ sqrt {17}} over {2}] [eqn: (BECAUSE `beta `>0)]

따라서 대각선의 길이는

[eqn: beta - beta ^{2} = beta (1- beta )]

[eqn: = LEFT ( {-3+ sqrt {17}} over {2} RIGHT ) TIMES ` LEFT ( {5- sqrt {17}} over {2} RIGHT ) `=2 sqrt {17} -8]

그러므로 [eqn: a=17,``b=-8]

[eqn: THEREFORE ```a+b=9`]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: y=x]

▶2012년 10월 인천[4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`1`,```5`)`], [eqn: rm B( it `a`,``` it b`)`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]가 직선 [eqn: y=x+1 `]과 수직으로 만나는 점을 [eqn: rm P`]라 하자.
[eqn: rm bar{AP} `: bar{PB} `=1:`2`]일 때, [eqn: 4ab`]의 값을 구하시오.

정답  11

[출제의도] 평면좌표의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm bar{AB`}]와 직선 [eqn: y=x+1]이 수직이므로 [eqn: {b-5} over {a-1} =-1]

[eqn: a+b=6] [eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: rm bar{AP`} `:` bar{PB`} =1`:`2]인 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rmP`it LEFT ( {a+2} over {3} ,`` {b+10} over {3} RIGHT )]

점 [eqn: rmP`]는 직선 [eqn: y=x+1] 위의 점이므로

[eqn: a-b=5] [eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠,```㉡]에서 [eqn: a= {11} over {2}], [eqn: b= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: 4ab=11]

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 세 지점이 있다. [eqn: RMB]는 [eqn: RMA]로부터 동쪽으로 [eqn: 12 rm `km]만큼, 북쪽으로 [eqn: 6` rm km]만큼 떨어진 곳에 있으며, [eqn: RMC]는 [eqn: RMA]로부터 동쪽으로 [eqn: 15` rm km]만큼 떨어진 곳에 있다.

어떤 건설회사가 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 각 지점에서 어느 [eqn: rm`D]지점까지 도로를  건설하려고 한다. 각 구간별 건설예정인 도로의 건설비용은 아래  그림과 같이 거리에 정비례한다.

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 각 지점에서 [eqn: rm`D]지점까지의 각각의 도로 건설비용이  모두 같은 [eqn: rm`D]지점은 두 곳이다. 이 두 지점 사이의 거리를 [eqn: x`]([eqn: rm km])라 할 때, [eqn: x]의 값을 구하시오. (단, 네 지점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]는  동일 평면에 위치하며 모든 도로는 두 지점을 직선으로 연결한 평면상의 도로이다.)

정답 [eqn: 8]

[출제의도] 두 점 사이의 거리를 이용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: RMA LEFT ( -12, ```0 RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B LEFT ( 0,``6 RIGHT )]

[eqn: x]

•

•

•

[eqn: rm C LEFT ( 3,```0 RIGHT )]

위 그림과 같이 두 지점 [eqn: RMA,```C]를 지나는 직선을 [eqn: x]축으로 하고, 지점 [eqn: RMB]를 지나면서 [eqn: x]축에 수직인 직선을 [eqn: y]축이라 하면, 각 지점 [eqn: rm `A,``B,``C]의 좌표는

[eqn: RMA LEFT ( -12, ```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,``6 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,```0 RIGHT )]이다.

이때, 구하는 [eqn: RMD]지점의 좌표를 [eqn: rm D ITLEFT ( a,```b RIGHT )]라 하자.

동일평면 위의 [eqn: RMA ,``B,``C] 각 지점에서 [eqn: rm`D]지점까지의 각각의 직선 도로 건설비용이 모두 같다고 하였으므로

[eqn: bar{rm AD it} `:` bar{rm BD it} `: bar{rm `CD it} `=`4``:`2:1]임을 알 수 있다.

ⅰ) [eqn: bar{rm AD it} `:` bar{rm BD it} ``=`4``:`2`=`2`:`1]에서 [eqn: 2 bar{rm BD it} `=` bar{RMAD}]

즉, [eqn: 4`{ bar{rm BD it rm }}^2 `=` {bar{rm AD it}}^2]

⇔ [eqn: 4LEFT { a ^{ 2}+ LEFT ( b-6 RIGHT ) ^{ 2} RIGHT }= LEFT ( a+12 RIGHT ) ^{ 2}+b^2]

⇔ [eqn: a ^{2} -8a+b ^{2} -16b=0 CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ①]

ⅱ) [eqn: ` bar{rm BD it} `: bar{rm `CD it} `=`2:1]에서 [eqn: 2 bar{rm CD it} `=` bar{rm BD it}]

즉, [eqn: 4` {bar{rm CD} }^2 `=`{ bar{rm BD it}} ^{2}}]

⇔ [eqn: 4 LEFT { LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} RIGHT } =a ^{2} + LEFT ( b-6 RIGHT ) ^{2}]

⇔ [eqn: a ^{2} -8a+b ^{2} +4b=0 CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ②]

[eqn: ①], [eqn: ②]를 연립하여 풀면, [eqn: (a,b)= LEFT ( 0,```0 RIGHT ) ,``` LEFT ( 8,```0 RIGHT )]이다. 그러므로 두 지점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) ,``` LEFT ( 8,```0 RIGHT )]이다. 따라서 두 지점 사이의 거리는 [eqn: 8 rm km]이다.

∴ [eqn: x=8]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm 12` km]

[eqn: rm 15` km]

[eqn: rm 6` km]

[eqn: ●]

[eqn: ●]

[eqn: ●]

동

서

남

북

건설비용

거리[eqn: ( rm `km)]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: rm`AD]구간

[eqn: rm `CD]구간

[eqn: rm `BD]구간

(억원)

▶2008년 09월 서울시교육청[4점]

그림은 한 변의 길이가 [eqn: 4``]인 정사각형 [eqn: rmA`B`C`D``]의 내부에 한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정사각형 [eqn: rm E`F`G`H``]를 [eqn: rm bar{AB}``]와 [eqn: rm bar{EF}``]가 평행하도록 그린 것이다. 네 사다리꼴 [eqn: rm A`B`F`E``], [eqn: rm B`C`G`F``], [eqn: rm C`D`H`G``], [eqn: rm D`A`E`H``]의 넓이를 각각 [eqn: rmS_1``], [eqn: rmS_2``], [eqn: rmS_3``], [eqn: rmS_4``]라 하자.

정답 ⑤

[출제의도] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]를 점 [eqn: rm B]를 원점으로 하는 좌표평면 위에 놓으면,

[eqn: rm A`(` it 0`,``4`)``], [eqn: rm C`(` it 4`,``0`)``], [eqn: rm D`(` it 4`,``4`)``]이고

점 [eqn: rm F``]의 좌표를 [eqn: (`a`,``b`)`]라 하면, (단, [eqn: 0`<`a`<`2 ``], [eqn: 0`<`b`<`2``])

[eqn: rm E`(` it a`,``b+2`)], [eqn: rm G`(` it a+2`,```b`)], [eqn: rm H`(` it a+2`,```b+2`)``]이다.

ㄱ. [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} +` bar{CG} ` ^{2} `=` it LEFT { a ^{2} `+`(b-2) ^{2} RIGHT } + LEFT { (a`-`2) ^{2} `+`b ^{2} RIGHT }]

[eqn: rm bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2} `=` LEFT ( it a ^{2} `+`b ^{2} RIGHT ) `+` LEFT { (a`-`2) ^{2} `+`(b`-`2) ^{2} RIGHT }]

∴ [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} +` bar{CG} ` ^{2} `=` bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2}]        ∴참

ㄴ. [eqn: rm bar{AE} `=` bar{BF}``]에서 [eqn: rm{ bar{AE} } ^{2} `=` {bar{BF}} ^{2}``]

[eqn: a ^{2} `+`(b-2) ^{2} `=`a ^{2} `+`b ^{2} ``]

[eqn: 4b`=`4``]  ∴ [eqn: b`=`1``]

[eqn: rm bar{CG} ` ^{2} it `=`(a`-`2) ^{2} +b ^{2} =(a`-`2) ^{2} `+`1``]

[eqn: rm bar{DH} `^{2}` it `=`(a`-`2) ^{2}` +`(b`-`2) ^{2`} =`(a-2) ^{2}` +`1]

∴ [eqn: rm bar{CG} `=` bar{DH}]                    ∴참

ㄷ. [eqn: rm S _{1} `+`S _{3} `=` {1} over {2} `(4`+`2) TIMES it LEFT { `a`+`(2`-`a) RIGHT } `=`6``]

[eqn: rm S _{2}` +`S _{4}` = `{1} over {2} `(4`+`2) TIMES it LEFT { b`+`(2`-`b) RIGHT }` =`6``]

∴ [eqn: rm S _{1}` +`S _{3}` =`S _{2}` +`S _{4}``]             ∴참

<보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} `+` bar{CG} ` ^{2} `=` bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2} ``] ㄴ. [eqn: rm bar{AE}` = `bar{BF} ``]이면 [eqn: rm {bar{CG}} `=`{bar{DH}}``]이다. ㄷ. [eqn: rmS_1 `+` S_3 `=`S_2` +`S_4``]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ，ㄷ

▶2011년 10월 인천시교육청[4점]

네 점 [eqn: rm O it (0,~0)], [eqn: rm A itLEFT ( 2,~ {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rm B it (1,~2)], [eqn: rm C it (-1,~1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC]가 있다. 선분 [eqn: rm OA]의 연장선 위에 점 [eqn: rm D(it`a,~b)]를 잡아 사각형 [eqn: rm OABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm COD]의 넓이가 같도록 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a>2])

정답 ④

[출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학 내적 문제해결하기

[eqn: rm □OABC`= rmTRIANGLECOD]이므로 [eqn: rm □OABC`= TRIANGLE OAC`+ TRIANGLE ABC]

[eqn: rmTRIANGLE COD = TRIANGLE OAC + TRIANGLEADC]에서 [eqn: rmTRIANGLEABC = TRIANGLE ADC]

변 [eqn: rm AC]는 [eqn: rmTRIANGLEABC]와 [eqn: rm TRIANGLE ADC]의 공통밑변이므로 높이가 같아야 한다. 따라서 [eqn: rm barAC □ bar DB]

직선 [eqn: rm OA]의 방정식은 [eqn: y= { 1} over {4 }x]이고 직선 [eqn: rm OA] 위의 점 [eqn: rm D]의 좌표는 [eqn: rm D][eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )= LEFT ( a,~ { 1} over { 4}a RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rm BD]의 기울기는 [eqn: {{1} over {4} a-2}over {a-1}]

한편, 직선 [eqn: rm AC]의 기울기는 [eqn: - {1} over {6}]이므로

[eqn: {{1} over {4} a-2}over {a-1} =- { 1} over {6 }]이다.

따라서 [eqn: a= { 26} over {5 }], [eqn: b= { 1} over {4 }a= { 13} over {10 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b= { 13} over { 2}]

① [eqn: 5]	② [eqn: 11over2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 13over2]	⑤ [eqn: 7]

▶2008년 09월 서울시교육청[4점]

두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]가 있다. [eqn: rm A``]그릇에는 농도가 [eqn: a``] %인 소금물 [eqn: 300`` rm g``]이 들어 있고, [eqn: rm B``]그릇에는 농도가 [eqn: b``] %인 소금물 [eqn: 200`` rm g``]이 들어 있다. 두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]의 소금물을 모두 섞을 때의 농도를 [eqn: x``] %라 하자. 이때 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: x``]를 좌표로 하는 수직선 위의 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``]라 하면 점 [eqn: \R``]는 선분 [eqn: \PQ`]를 [eqn: m``:`n``]으로 내분하는 점이다. 두 자연수 [eqn: m``], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: {m} over {n} ``]의 값은? (단, [eqn: 0`<`a`<`b``]이다.)

정답 ④

[출제의도] 유리식의 성질과 내분점의 개념을 이해하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]의 소금물을 섞을 때의 농도 [eqn: x``]%는

[eqn: x`=` {3a`+`2b} over {300`+`200} TIMES 100`=` {300a`+`200b`} over {300`+`200} `=` {3a`+`2b} over {5}``]

세 점 [eqn: rm P``], [eqn: rmQ``], [eqn: rm R``]의 좌표가 각각 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: x``]이고

[eqn: {3a`+`2b} over {5} `=` {2b`+`3a} over {2`+`3}``]이므로

점 [eqn: rm R``]는 선분 [eqn: rm PQ``]를 [eqn: 2``:`3`]으로 내분하는 점이다.

∴ [eqn: m``:`n`=`2``:`3``]

따라서 [eqn: {m} over {n} `=` {2} over {3}]이다.

①　[eqn: {2}over{5}`]	②　[eqn: {1}over{2}`]	③　[eqn: {3}over{5}`]
④　[eqn: {2}over{3}`]　	⑤　[eqn: {3}over{2}`]

▶2005년 9월 서울시[4점]

좌표평면 위에서 세 점  [eqn: rm O(`0,``0)`], [eqn: rm A(`4,`1`)], [eqn: rm B(`1,`4`)] 를 꼭지점으로 하는 삼각형[eqn: rm `OAB]에 대하여 선분[eqn: rm `AB`]를 [eqn: 1:2`]로 외분하는 점을[eqn: rm C`], 선분[eqn: rm `AB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을[eqn: rm D`]라 하자. 두 삼각형[eqn: rm OCB`],[eqn: rm OAD] 의 무게중심을  각각[eqn: rm G _{1} `],[eqn: rm G _{2}] 라 할 때, 선분[eqn: rm {G _{1} G _{2}}] 의 길이는?

정답 ①

선분 [eqn: rm OA]는 삼각형 [eqn: rm OCB]의 중선이므로 삼각형 [eqn: rm OCB]의

무게중심 [eqn: rm G _{1}]은 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

마찬가지로 삼각형 [eqn: rm OAD]의 무게중심 [eqn: rm G _{2}]는 선분 [eqn: rm OB]를 [eqn: 2:1]로

내분하는 점이다.

이때 [eqn: TRIANGLE `` rm OG _{1} G _{2} `]□ [eqn: TRIANGLE ` rm OAB`]이고 그 닮음비가 [eqn: 2``:``3`]이므로

선분 [eqn: rm G _{1} G _{2}]의 길이는 선분 [eqn: rm AB]의 길이의 [eqn: {2} over {3}]이다.

따라서 구하는 선분의 길이는

[eqn: {2} over {3} sqrt {(4-1) ^{2} +(1-4) ^{2} `} =2 sqrt {2}]

[다른풀이]

점[eqn: rm `C]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 7``,``-2`) RIGHT .] 점[eqn: rm `D]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -2``,``7`) RIGHT .]

삼각형 [eqn: rm OCB]의 무게중심 [eqn: rm G _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT. LEFT ( {8} over {3} ``,`` {2} over {3} ` RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm OAD]의 무게중심 [eqn: rm G _{2}]의 좌표는 [eqn: LEFT. LEFT ( {2} over {3} ``,`` {8} over {3} ` RIGHT )]

따라서 선분 [eqn: rm G _{1} G _{2}]의 길이는

[eqn: sqrt {LEFT ( {8} over {3} - {2} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} - {8} over {3} RIGHT ) ^{2} `}][eqn: = sqrt {2 ^{2} +2 ^{2} `}][eqn: =2 sqrt {2`} `]

①   [eqn: 2 sqrt {2} `]           ②  [eqn: {5root2}over{3} `]           ③  [eqn: {4root2}over{3} `]

④ [eqn: sqrt {2} `]             ⑤  [eqn: {2root2}over{3} `]

▶2010년 10월 교육청[4점]

다음은 [eqn: □rmABCD`]의 무게중심 [eqn: rmG`]를 구하는 과정이다.

정답 ②

[출제의도] 삼각형의 무게중심을 이용하여 수학 내적문제 해결하기

[eqn: TRIANGLE rm OAB,` TRIANGLE OBC]의 무게중심을 각각 [eqn: rm G _{1} `,``` rm G _{2} `]라 하면 [eqn: rm G _{1} LEFT ( 2`,``` {4} over {3} RIGHT ) `,``` rm G _{2} LEFT ( {2} over {3} `,```2 RIGHT ) `]이다.

[eqn: TRIANGLE rm OAB,` TRIANGLE OBC]의 넓이는 각각 [eqn: 8,``2`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm OAB``: TRIANGLE OBC=4:1`]이고,

무게중심은 선분 [eqn: rm G _{1} rm G _{2} `]를 [eqn: 1:4]로 내분하는 점이다.

따라서 [eqn: rm G LEFT ( {26} over {15} `,``` {22} over {15} RIGHT ) `]이다. [eqn: THEREFORE ``alpha + beta = {48} over {15} = {16} over {5}]

위의 [eqn: □rmABCD`]에서 [eqn: TRIANGLE rmABC`]의 무게중심을 [eqn: rmG _{1}`], [eqn: TRIANGLE rm ACD`]의 무게중심을 [eqn: rm G _{2}`]라 하자. [eqn: rm`G _{1} ,``G _{2}`]를 지나는 가늘고 긴 막대 위에 사각형을 올려 놓으면 [eqn: TRIANGLE rmABC`]와 [eqn: TRIANGLE rm ACD`]가 모두 평형을 이루기 때문에 [eqn: □rmABCD`]는 평형을 이룬다. 따라서 무게중심 [eqn: rmG`]는 선분 [eqn: rm `G _{1}G _{2} `]위에 있다.

이때 [eqn: TRIANGLE rmABC`]의 넓이와 [eqn: TRIANGLE rm ACD`]의 넓이의 비가 [eqn: m``:`n`]이면 [eqn: □rmABCD`]의 무게중심 [eqn: rmG`]의 좌표는 선분 [eqn: rm `G _{1}G _{2} `]를 [eqn: n``:`m`]으로 내분하는 점이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

위의 설명에 따라 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm O(0`,```0)`], [eqn: rm A(4`,```0)`], [eqn: rm B(2`,```4)`], [eqn: rm C(0`,```2)`]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: □rmOABC`]의 무게중심의 좌표를 구하면 [eqn: rm G LEFT ( alpha` ,``` beta RIGHT )`]이다. [eqn: alpha + beta `]의 값은?

①[eqn: {12} over {5}]	② [eqn: {16} over {5}]	③  [eqn: {18} over {5}]
④ [eqn: {22} over {5}]	⑤ [eqn: {26} over {5}]

▶2008년 09월 서울시교육청[4점]

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`0`,``2)``], [eqn: rm B`(`3`,``0)``]을 잇는 선분 [eqn: rm AB``]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]에 대하여 선분 [eqn: rm OC``]의 길이의 제곱 [eqn: bar{rm OC} it ^{`2}} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O``]는 원점이고 점 [eqn: rm C``]는 제[eqn: `1``]사분면 위의 점이다.)

정답 [eqn: 34]

[출제의도] 주어진 도형을 조건에 맞게 좌표평면에 나타내고, 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 점 [eqn: rm C``]에서 [eqn: x`]축 위에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E``]라 하면

삼각형의 합동조건에 의해 [eqn: rm TRIANGLE `AOB` == ` TRIANGLE `BEC``]이다.

그러므로 점 [eqn: rm C``]의 좌표는 [eqn: rm (5,~3)``]

따라서 [eqn: rm bar{OC} ` ^{2} ``=`5 ^{2} ``+`3 ^{2} ``=`34``]이다.

▶2009년 10월 인천시교육청[4점]

[eqn: ANGLE rm B = 90 DEG `]이고 선분 [eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 6`], 선분 [eqn: rm BC`]의 길이가 [eqn: 4`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm L`], 선분 [eqn: rm BC``]를 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm M`], 선분 [eqn: rm AC`]와 선분 [eqn: rm LM`]의 교점을 [eqn: rm N`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm CMN`]의 넓이를 [eqn: S`]라고 할 때, [eqn: 20S`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학내적문제 해결하기

좌표평면에 점 [eqn: rm B`]를 원점, 점 [eqn: rm A`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( 0,~6 RIGHT ) `], 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,~0 RIGHT ) `]이라 하자.

선분 [eqn: rm AB`]의 중점 [eqn: rm L`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT ) `], 선분 [eqn: rm BC``]를 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점 [eqn: rm M`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 6,~0 RIGHT ) `]이다.

직선 [eqn: rm AC`]의 방정식 : [eqn: {x} over {4} + {y} over {6} =1`]

직선 [eqn: rm LM`]의 방정식 : [eqn: {x} over {6} + {y} over {3} =1`]

직선 [eqn: rm AC`]와 직선 [eqn: rm LM`]의 교점 [eqn: rm N`]의 좌표는  [eqn: LEFT ( 3,~ {3} over {2} RIGHT ) `]이므로 삼각형 [eqn: rm CMN`]의 넓이 [eqn: S= {3} over {2} `]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 20S`][eqn: =30`]

▶2007년 11월 교육청[4점]

그림과 같이 두 산봉우리 [eqn: rm A,~B`]지점을 직선으로 잇는 케이블을 설치하려고 한다. [eqn: rm A,~B`]의 높이 차는 [eqn: rm 200m`]이고, [eqn: rm A`]에서 [eqn: rm B`]를 올려다 본 각은 [eqn: 30°]이다. 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: m```:```n]으로 내분하는 점 [eqn: rm P`]와 [eqn: n```:```m`]으로 내분하는 점 [eqn: rm Q`]에 각각 지지대를 설치했더니, [eqn: rm P`]와 [eqn: rm Q`] 사이의 거리가 [eqn: rm 200m`]가 되었다. 이 때, [eqn: {n} over {m}`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 선분의 내분 이해하기

[eqn: rm barAP``:` barPB`` =it m:n `], [eqn: rm barAQ``:` barQB`` =it n:m `]이므로 [eqn: rm barAB =400] 이고,

[eqn: rm barAP =it x]라 하면 [eqn: rm barQB =200- it x]

[eqn: rm barAP``:` barPB`` =it m:n `], [eqn: rm barAQ``:` barQB`` =it n:m `]이므로

[eqn: x : (400-x) = (200-x ): (200+x)]

[eqn: therefore] [eqn: x=100]

[eqn: rm barAP``:` barPB`` =100:300]

[eqn: therefore] [eqn: n over m = 3]

(단, 케이블의 늘어짐은 무시한다.)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm 200m]

[eqn: rm 200m]

[eqn: 30°]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

▶2010년 11월 교육청[4점]

평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {10}]인 원 [eqn: O]가 있다. 그림은 원 [eqn: O]위의 두 점, [eqn: A,`B]와 원 내부의 점 [eqn: B]를 잡아 [eqn: bar{AB} `=`8], [eqn: barBC`=4], [eqn: ANGLE ABC`=90 DEG]가 되도록 원과 원의 내부의 일부를 잘라낸 도형이다. [eqn: barOB`=l]이라 할 때, [eqn: 3l ^{2}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 24]

그림과 같이 원 [eqn: O]의 중심을 좌표평면의 원점으로 하고 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: LEFT ( u,v RIGHT )]라 놓으면, 점 [eqn: B]와 점 [eqn: C]의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( u,v-8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( u+4,v-8 RIGHT )]이다.

한편, [eqn: barOA`=2 sqrt {10}]이므로

[eqn: u ^{2} +v ^{2} =40``` CDOTS CDOTS `㉠]

또한 [eqn: barOB`=2 sqrt {10}]이므로

[eqn: LEFT ( u+4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( v-8 RIGHT ) ^{2} =40``` CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠]과 [eqn: ㉡]을 연립하여 풀면,

[eqn: LEFT ( u,v RIGHT ) = LEFT ( 2,6 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( -6,-2 RIGHT )]이다. 이때, 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,-2 RIGHT )]  또는 [eqn: LEFT ( -6,-6 RIGHT )]이다.

그런데 [eqn: LEFT ( -6,-6 RIGHT )]은 원 내부의 점이 아니므로 조건을 만족시키는 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,-2 RIGHT )]이다. 따라서 [eqn: l=barOB`= sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {8}]이므로 [eqn: 3l ^{2} =24]

▶2007년 05월 교육청[4점]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4``]인 정사각형 [eqn: rm ABCD```]에서 [eqn: rm bar{BC} ,``` bar{AD}]의 중점을 [eqn: rm E, ~ H```]라 하고, [eqn: rm bar CD```]위에 [eqn: rm bar CF = bar DG =1]  이 되도록 두 귀퉁이를 잘라 육각형 [eqn: rm ABEFGH```]를 만들었다. 점 [eqn: rm O,```P]는 [eqn: rm bar AB```]위에 있고, 점 [eqn: rm Q```]가 [eqn: rm bar EF ,] 점 [eqn: rm R``]이 [eqn: rm bar GH```]위에  있으며 [eqn: rm bar QR // bar FG```]일 때, 직사각형 [eqn: rm OPQR```]의 넓이가 최대가 되는 선분 [eqn: rm QR```]의 길이는?

정답 ③

[출제의도]이차함수를 이용하여 최대값 구하기

점 [eqn: rmR]에서 [eqn: rm bar AD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS]라 하자.

[eqn: rmbarRS = itx]라 하면, [eqn: rm barHS = it 2x]이고,

[eqn: rm barOR = 2 + it 2x,``rm barQR ` = 4- it 2x]이므로

[eqn: rm□OPQR]의 넓이는

[eqn: S=(2+2x)(4-2x)][eqn: =-4x ^{2} +4x+8]

[eqn: =-4 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +9]

[eqn: therefore x= 1over 2]일 때, 최대 넓이 9

따라서, [eqn: rm barQR = 4 - 2 times bar RS = 4- 2 times 1 over 2 =3]

① [eqn: 7 over 3]	② [eqn: 8 over 3]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: 10 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 3]

▶2005년 11월 전국연합[4점]

[eqn: x,~y`]에 대한 방정식 [eqn: xy + x + y - 1 = 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x,~y`]를 좌표평면 위의 점 [eqn: (x,~y`)]로 나타낼 때, 이 점들을 꼭지점으로 하는 사각형의 넓이는?

정답 ②

[eqn: xy + x +y - 1 = 0]에서 [eqn: (x+1 ) ( y +1 ) = 2 cdots ㉠]이고,

[eqn: x,~y`]는 정수이므로 ㉠을 만족하는 정수해를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (0,~1),~(1,~0), (-2,-3),~(-3,-2)]이다.

네 점을 꼭지점으로 하는 사각형은 그림과 같다.

O

A[eqn: (1,~0)]

B[eqn: (0,~1)]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

C[eqn: (-3,-2)]

D[eqn: (-2,-3)]

사각형[eqn: rm ABCD]은 직사각형이고 넓이는 [eqn: rm bar AB times bar BC = root2 times 3 root 2 = 6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 3root2]	⑤ [eqn: 4root2]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

다음 두 조건을 만족하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 개수는?

	(가) [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 점 [eqn: rm `A` it (`a``,``b`)`]와 두 점 [eqn: rm `B(-1``,``1)`], [eqn: rm `C`(2```,``-2)`]를 연결하여 삼각형을 만든다. (나) [eqn: y`]축이 선분 [eqn: rm `AB`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분하고, [eqn: x`]축이 선분 [eqn: rm `AC`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분한다. (단, [eqn: m,````n`]은 양의 정수)

정답 ②

[출제의도] 직선의 방정식과 내분점을 이용하여 문제 해결하기

선분 [eqn: rm AB it}]의 내분점 [eqn: LEFT ( {-m+an} over {m+n} ,` {m+bn} over {m+n} RIGHT )]은

[eqn: y]축 위의 점이므로 [eqn: {-m+an} over {m+n} =0], [eqn: a= {m} over {n}]

선분 [eqn: {rm AC it}]의 내분점 [eqn: LEFT ( {2m+an} over {m+n} ,` {-2m+bn} over {m+n} RIGHT )]은

[eqn: x]축 위의 점이므로 [eqn: {-2m+bn} over {m+n} =0], [eqn: b= {2m} over {n}]

점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]는 [eqn: b=2a]를 만족하므로

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~10 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] 삼각형 [eqn: rm ABC]의 개수는 [eqn: 5]개

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

16년 모의고사 대비 단원별 모의고사	수 학 1	직선의 방정식