부등식

수학1		모의고사 단원별 총모음(부등식)
				부등식

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▶2009년 03월 서울시교육청(2점)

이차부등식 [eqn: x ^{2} +2x - 3 <= 0 `]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

정답 ⑤

[eqn: (x+3)(x-1) <= 0 `]에서 [eqn: -3 <= x <= 1 `]

[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]

구하는 개수는 [eqn: 5`]이다.

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

▶2007년 10월 교육청(2점)

부등식 [eqn: |`x+1`|<3`]의 해 중에서 [eqn: x ^{2} -3x <= 0`]을 만족하는 모든 정수의 합은?

정답 ④

[출제의도] 이차부등식의 해 구하기

[eqn: |x+1 |<3]의 해는 [eqn: -4<x<2]

[eqn: x^2 -3x≦0]의 해는 [eqn: 0≦x≦3]이므로

만족하는 정수는 [eqn: 0,1]

따라서, 모든 정수의 합은 [eqn: 1]이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2014년 3월 서울[3점]

이차부등식 [eqn: 2x ^{2} -33x-17 LEQ 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[출제의도] 이차부등식의 해를 구한다.

[eqn: 2x ^{2} -33x-17][eqn: =(2x+1)(x-17)][eqn: le0]

[eqn: - {1} over {2} le x le17]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 18]이다.

▶2014년 9월 인천[3점]

부등식 [eqn: 2`□`x-2`□` LEQ 5]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

정답 ③

[출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

ⅰ) [eqn: x GEQ 2`]일 때 [eqn: 2x-4`LEQ 5]

[eqn: x LEQ 9 over2`]

따라서 [eqn: 2 LEQ x LEQ 9 over2 `]

ⅱ) [eqn: x<2`]일 때 [eqn: -2x+4`LEQ 5]

[eqn: x GEQ - 1 over2`]

따라서 [eqn: - 1 over2 LEQ x<2`]

ⅰ), ⅱ)에 의하여

[eqn: - 1 over2 LEQ x LEQ 9 over2`]이다.

따라서 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 5`]

[[eqn: 3]점][2014년 9월 인천]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2014년 6월 평가원[3점]

연립부등식

정답 [eqn: 9]

해설

[출제의도] 연립부등식의 성질 이해하기

부등식 [eqn: |`x-1`|le6]의 해를 구하면 [eqn: -6 le x-1 le 6]이므로

[eqn: -5 le x le 7]이다.

부등식 [eqn: (x-2)(x-8)le0]의 해를 구하면 [eqn: 2le x le8]이다.

그러므로 연립부등식의 해는 [eqn: 2 le x le 7]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta]의 값은 [eqn: 9]이다.

[eqn: left{`` matrix { |``x`-`1``|`le`6~~~~~~``# (`x `-`2`)(`x`-`8`)`le`0 }`]

의 해가 [eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ beta `]일 때, [eqn: alpha `+` beta `]의 값을 구하시오.

▶2014년 6월 평가원[3점]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x ^{2} `-`2(`k`-`2`)x`-`k ^{2} `+`5k`-`3` GEQ `0`]
이 성립하도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은?

정답 ③

해설

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3]의 그래프는

아래로 볼록하므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: y GEQ 0]가 되려면 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축에 접하거나 만나지 않아야 한다.

즉, [eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3=0]의

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D le0]이다.

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( -k ^{2} +5k-3 RIGHT ) LEQ 0]이므로

[eqn: k ^{2} -4k+4+k ^{2} -5k+3 LEQ 0]이다.

[eqn: 2k ^{2} -9k+7 LEQ 0]이고

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k-7 RIGHT ) LEQ 0]이다.

즉, [eqn: 1 LEQ k LEQ {7} over {2}]

따라서 범위 안의 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,~2,~3]이므로 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3]

[eqn: =x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x+ LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} -k ^{2} +5k-3]

[eqn: = LEFT { x- LEFT ( k-2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -2k ^{2} +9k-7` GEQ 0]

이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: -2k ^{2} +9k-7` GEQ 0]이므로

[eqn: 2k ^{2} -9k+7` LEQ 0]이고

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k-7 RIGHT ) LEQ 0]이다.

즉, [eqn: 1 LEQ k LEQ {7} over {2}]

따라서 범위 안의 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,~2,~3]이므로 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▶2007년 09월 서울시교육청(3점)

이차부등식 [eqn: `ax^{2}`+`bx`+`c`>=0`]의 해가 [eqn: x`=`2`]뿐일 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 해집합이 주어진 이차부등식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c` >= `0`]의 해가 [eqn: x`=`2`] 뿐이므로

[eqn: a`<`0`]이고 [eqn: a`x^{2}`+`b`x`+`c`=`a`(x`-`2)^{2}``][eqn: =a`x^{2}`-4`a`x`+`4`a`]

∴ [eqn: a`<`0`]이고, [eqn: b`=`-4a`,``c`=`4a``]

ㄱ. [eqn: a`<`0`]이다.

ㄴ. [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c` = `0`]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: b ^{2} `-4ac=0]이다.

ㄷ. [eqn: a`+`b`+`c`=`a`+`(-4a)`+`4a`=`a`<`0``]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: a`<`0`]	ㄴ. [eqn: b ^{2} `-`4ac`=`0]	ㄷ. [eqn: a`+`b`+`c`<`0]

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①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③　ㄱ, ㄷ
④　ㄴ,　ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 09월 서울시교육청(3점)

[eqn: 0`<` {b} over {a} `<`1`]을 만족시키는 두 실수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 다음 중 항상 성립하는 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 식의 대소 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a`=`-2`,``b`=`-1`]의 경우 [eqn: 0`<` {b} over {a} `<`1`]은 만족시키지만

[eqn: b`>`a`],  [eqn: {a} over {b} `>` {b} over {a} ``]이므로 ①, ②는 성립하지 않는다.

[eqn: a`=`2`,``b`=`1`]의 경우 [eqn: 0`<` {b} over {a} `<`1`]은 만족시키지만

[eqn: {1} over {b} `>` {1} over {a} `], [eqn: a`b`>`b ^{2} `]이므로 ③, ④는 성립하지 않는다.

한편 [eqn: 0`<`{b}over{a}`<`1`]에서 [eqn: a`<`b`<`0`] 또는 [eqn: 0`<`b`<`a`]이다.

즉, [eqn: a`<`0]일 때 [eqn: a`-`b`<`0] 이고 [eqn: a`>`0`]일 때 [eqn: a`-`b`>`0] 이다.

[eqn: a^2 `-`a`b` =`a`(`a`-`b`)`>`0`] ∴ [eqn: a`b`<`a^{2}`]

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

①　[eqn: b`<`a``]	② [eqn: {a} over {b} `<`{b} over {a} ``]	③ [eqn: {1} over {b} `<` {1} over {a} ``]
④ [eqn: a`b`<`b ^{2} ``]	⑤ [eqn: a`b`<`a ^{2} ``]

▶2013년 9월 인천청(3점)

부등식 [eqn: 2`left|`x-1`right| + x le 4 `]를 만족하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은?

정답 ③

[출제의도] 절댓값을 포함한 부등식의 해 구하기

(ⅰ) [eqn: x ge 1 `]일 때 주어진 부등식은
[eqn: 2x -2 +x le 4 `]이므로 [eqn: x le 2]
[eqn: therefore```` 1 le x le 2]

(ⅱ) [eqn: x<1`]일 때 주어진 부등식은
[eqn: -2x +2 +x le 4 `]이므로 [eqn: x ge -2]
[eqn: therefore```` -2 le x <1]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: -2 le x le 2]

따라서 주어진 부등식의 정수인 근은 [eqn: -2 ,```` -1 ,```` 0 ,```` 1 ,```` 2`]이므로 모든 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 0]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2013년 11월 인천청(3점)

연립부등식 [eqn: {cases{` LEFT | `2x-1` RIGHT | `<5 _{{} _{{} _{}}} ^{{} _{{} _{{} _{}}} ^{}}&`#`x ^{2} -5x+4 LEQ 0 _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}&`}}]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는?

정답 ②

[출제의도] 연립이차부등식의 해 구하기

[eqn: LEFT | ``2x-1` RIGHT | ``<5]에서

[eqn: -5<2x-1<5]
[eqn: -4<2x<6]

[eqn: therefore] [eqn: -2<x<3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: x ^{2} -5x+4 LEQ 0]에서

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: therefore] [eqn: 1 LEQ x LEQ `4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 연립부등식의 해는 [eqn: 1 LEQ x<3]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2007년 09월 서울시교육청(3점)

연립부등식 [eqn: cases{```|`x`-`2`|`<`k _{`_{}} ``&#``` x ^{2} `-`2x`-`3` <= `0 ^{}&}]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]가 세 개 존재할 때, 양수 [eqn: k`]의 최댓값은?

정답 ③

[출제의도] 연립이차부등식을 풀고, 조건을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{&|`x`-`2``|`<`k`&~~~~& cdots~㉠#&x ^{2} `-`2x`-`3` <= `0```&~~~~&cdots~㉡} `]

㉠에서 [eqn: -`k`<`x`-`2`<`k`]

∴ [eqn: 2`-`k`<`x`<`2`+`k`]

㉡에서 [eqn: (`x`-`3`)(`x`+`1`)`<=`0`]

∴ [eqn: -1` <= `x` <= `3`]

주어진 연립부등식의 정수해가 세 개가 되려면

[eqn: 0`≦`2`-`k`<`1`]이고 [eqn: 3`<`2`+`k`<=`4]

∴ [eqn: 1`<`k`≦`2``]

따라서 구하는 [eqn: k``]의 최대값은 [eqn: 2`]이다.

① [eqn: 1``]	② [eqn: {3}over{2}``]	③ [eqn: 2``]
④ [eqn: {5}over{2}``]	⑤ [eqn: 3``]

▶2007년 09월 서울시교육청(3점)

이차부등식 [eqn: x ^{2} `-`a`x`+`12` <= 0`]의 해가 [eqn: alpha `<=` x` <= ` beta `]이고, 이차부등식 [eqn: x ^{2} `-`5`x`+`b` >= 0`]의 해가 [eqn: x` <= `alpha `-`1`] 또는 [eqn: x` >= `beta `-`1`]일 때, 상수 [eqn: a,~b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 42]

[출제의도] 해가 주어진 이차부등식의 미정계수의 값을 연립방정식으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

문제의 조건으로부터

[eqn: x ^{2} -ax+12<=0] ⇔ [eqn: (x- alpha )(x- beta )<=0]

⇔ [eqn: x^2 `- (alpha `+` beta `)`x + `alpha`beta`<=`0`]

∴ [eqn: alpha + beta =a ,` ``alpha beta =12]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: x ^{2} -5x+b>=0] ⇔ [eqn: (x- alpha+1)(x- beta+1 ) >=0]

⇔ [eqn: x ^{2} `-( alpha `+` beta `-`2`)`x+`( alpha `-`1)`(` beta `-`1`) GEQ `0`]

∴ [eqn: alpha + beta -2=5,```(alpha-1)( beta -1)=b]	[eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=7,`b=6]

∴ [eqn: ab=42]

▶2007년 10월 국가수준(3점)

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c`<0`]의 해가 [eqn: 1`<x<`3`]일 때, 이차부등식 [eqn: ax ^{2} -bx+c`>0`]의 해는?

정답 ②

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c`<0`]의 해가 [eqn: 1`<x<`3`]이므로,

[eqn: a>0]이고, [eqn: ax ^{2} +bx+c=a(x-1)(x-3)=ax ^{2} -4ax+3a`]

[eqn: THEREFORE b=-4a,``c=3a]

[eqn: ax ^{2} -bx+c>0]의 해는[eqn: ax ^{2}+ 4ax+3a=a(x+1)(x+3)>0]의 해와 같다. [eqn: a>0]이므로 부등식의 해는 [eqn: `x``]<[eqn: -3`] 또는 [eqn: `x``]>[eqn: -1`]이다.

① [eqn: -3`]<[eqn: `x``]<[eqn: -1`]	② [eqn: `x``]<[eqn: -3`] 또는 [eqn: `x``]>[eqn: -1`]	③ [eqn: -3`]<[eqn: `x``]<[eqn: `1`]	④ [eqn: `x``]<[eqn: `1`] 또는 [eqn: `x``]>[eqn: `3`]	⑤ [eqn: -1`<x<3]

▶2007년 10월 국가수준(3점)

[eqn: a>0`]일 때, 부등식 [eqn: LEFT | `ax-1` RIGHT | ＜b`]의 해가 [eqn: -1＜x＜2`]이다. 이때, [eqn: a`b`]의 값은? (단, [eqn: a,``b`]는 상수)

정답 ⑤

부등식[eqn: □ax-1□<b`]에서 [eqn: -b<ax-1<b~,~ ~-b+1<ax<b+1`,`]

[eqn: {-b+1} over {a} <x< {b+1} over {a} `( BECAUSEa>0`)] 이고 해가 [eqn: -1<x< 2`] 이므로

[eqn: {-b+1} over {a} =-1 ~,~ -b+1=-a`][eqn: CDOTS `]㉠, [eqn: {b+1} over {a} =2~,~ b+1=2a CDOTS `]㉡

[eqn: ㉠+㉡`]하여 계산하면 [eqn: a=2`,~b=3`]

[eqn: THEREFORE~~ a b=6`]

① [eqn: -6`]	② [eqn: -3`]	③ [eqn: 2`]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 6`]

▶2007년 03월 교육청(3점)

연립부등식 [eqn: cases{`x+6>0#x ^{2} +2x-35 <= 0} `]을 만족하는 정수 [eqn: x] 의 개수는?

정답 ④

[출제의도] 연립부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x + 6 `> `0]    [eqn: therefore] [eqn: x>-6]  [eqn: cdots]㉠

[eqn: x^2 + 2x - 35 ` <= 0], [eqn: (x + 7 ) ( x-5 ) ` <= 0]

[eqn: therefore] [eqn: -7 <= x <= 5]         [eqn: CDOTS]㉡

㉠, ㉡으로부터 연립부등식의 해는 [eqn: -6 < x <= 5]이다.

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: -5,``-4, ``CDOTS ,``4,``5] 의 [eqn: 11](개)이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▶2007년 03월 교육청(3점)

부등식 [eqn: 3`x`-`a`<`2`x`-`3`]의 해 중 가장 큰 정수가 [eqn: 2`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답 ④

[출제의도] 일차부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3x-a<2x-3`]에서 [eqn: x<a-3]

가장 큰 정수가 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: 2<a-3<=3]이어야 한다.

따라서 [eqn: 5<a<=6]

① [eqn: 2<a<=3]	② [eqn: 3<=a<=4]	③ [eqn: 4<a<=5]
④ [eqn: 5<a<=6]	⑤ [eqn: 6<=a<7]

▶2012년 09월 인천시교육청(3점)

연립부등식 [eqn: {cases{``x ^{2} -2x-3 LEQ 0#`(x-4)(x-a) LEQ 0}} `]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 4`]개가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답　③

[출제의도] 연립부등식의 해의 성질 이해하기

[eqn: {cases{x ^{2} -2x-3 LEQ 0&`````````````````````````` CDOTS `㉠#(x-4)(x-a) LEQ 0&`````````````````````````` CDOTS `㉡}}]

㉠에서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE -1 LEQ x LEQ 3]    [eqn: CDOTS ㉢]

㉡과 ㉢을 동시에 만족하는 정수의 개수가 [eqn: 4`]개이므로 ㉡의 해는 [eqn: a LEQ x LEQ 4]  [eqn: CDOTS `㉣]

㉢

㉣

[eqn: THEREFORE ```-1<a LEQ 0`]

① [eqn: -1 LEQ a LEQ 0]      ② [eqn: -1 LEQ a<0]       ③ [eqn: -1<a LEQ 0]

④ [eqn: 0 LEQ a<1]         ⑤ [eqn: 0<a LEQ 1]

▶2012년 11월 경기도교육청(3점)

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{`x ^{2} +ax+b GEQ 0 _{{} _{{} _{}}}#`x ^{2} +cx+d LEQ 0 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]
의 해가 [eqn: 1 LEQ x LEQ 3] 또는 [eqn: x=4]일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 연립이차부등식의 해 구하기

부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b GEQ 0]와 [eqn: x ^{2} +cx+d LEQ 0]의 해를

수직선에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: x]

그림에서 [eqn: x ^{2} +ax+b GEQ 0]의 해는

[eqn: x LEQ 3] 또는 [eqn: x GEQ 4]이므로 [eqn: (x-3)(x-4) GEQ 0]이다.

[eqn: x ^{2} -7x+12 GEQ 0]에서 [eqn: a=`-7], [eqn: b=12]

[eqn: x ^{2} +cx+d LEQ 0]의 해는

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4]이므로 [eqn: (x-1)(x-4) LEQ 0]이다.

[eqn: x ^{2} -5x+4 LEQ 0]에서 [eqn: c=`-5], [eqn: d=4]

따라서 [eqn: a+b+c+d=`-7+12-5+4=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 09월 인천시교육청(3점)

[eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: x ^{2} -2kx-2k ^{2} +k+4>0`]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은?

정답　①

[출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: x ^{2} -2kx-2k ^{2} +k+4]

[eqn: =(x-k) ^{2} +(-3k ^{2} +k+4)`]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식이 항상 성립하기 위해서는 [eqn: -3k ^{2} +k+4>0`]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE -1<k< {4} over {3} `]

그러므로 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 1`]이다.

① [eqn: 1]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 9]

▶2009년 03월 교육청(3점)

[eqn: a>b>1`]을 만족하는 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은? [

정답 ③

ㄱ. [eqn: a>b`]이므로 [eqn: a-b>0`]이다.

[eqn: { 1} over { a}-{ 1} over {b }= { b-a} over { ab}<0]

∴ [eqn: { 1} over { a}< { 1} over {b }`] (참)

ㄴ. [반례] [eqn: a=3`], [eqn: b=2`]일 때

[eqn: {2} over {3 ^{2}} < {3} over {2 ^{2}} `](거짓)

ㄷ. [eqn: a-1 >0`], [eqn: b-1>0`]이므로

[eqn: ab-(a+b-1)=(a-1)(b-1)>0`]

∴ [eqn: ab>a+b-1`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: { 1} over { a}``<` { 1} over {b }`] ㄴ. [eqn: { b} over { a^2}``>` { a} over {b^2 }`] ㄷ. [eqn: a`b``>`a+b-1`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 09월 부산교육청(3점)

부등식 [eqn: `|``x-2``|` LEQ 3`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

정답 ②

[출제의도] 절댓값을 포함한 부등식을 이해하고 해 구하기

[eqn: -3`leq``x-2` LEQ` 3`]이므로 [eqn: -1` LEQ x` LEQ 5]

정수의 개수는 [eqn: 7]개

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2009년 09월 부산교육청(3점)

이차부등식 의[eqn: `ax ^{2} +bx+c` GEQ `0`] 해집합이 [eqn: LEFT { `3` RIGHT }]일 때, 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 부호를 바르게 나타낸 것은?

정답 ①

[출제의도] 이차부등식의 해집합 이해하기

[eqn: ax ^{2} +bx+c`=`a(x-3) ^{2} ` GEQ `0],

그 해집합이 [eqn: left{ 3 right }]이므로  [eqn: a<0]

[eqn: THEREFORE ```][eqn: b`=`-6a`>`0,```c`=`9a`<`0]

① [eqn: a<`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c<`0`]	② [eqn: a<`0`], [eqn: b<`0`], [eqn: c>`0`]

③ [eqn: a<`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c>`0`]	④ [eqn: a>`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c<`0`]

⑤ [eqn: a>`0`], [eqn: b<`0`], [eqn: c>`0`]

▶2009년 10월 인천교육청(3점)

[eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: (a+b)x ^{2} +(b+c)x+(c+a)>0`]의 해가 [eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0`]의 해는 [eqn: alpha<x<beta`]이다. 이때 [eqn: alpha+beta`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 이차부등식의 근의 성질 이해하기

이차부등식의 해가 [eqn: 1<x<2`]이므로

이차부등식 [eqn: (a+b)x ^{2} +(b+c)x+(c+a)>0`]에서 [eqn: a+b<0`]이고 [eqn: x ^{2} -3x+2<0`]과 계수의 비가 같다.

[eqn: a+b= {b+c} over {-3} = {c+a} over {2} =k~(k<0)`] 라 하면

[eqn: a+b=k,~b+c=-3k,~c+a=2k`]

[eqn: a=3k,~b=-2k,~c=-k`]

따라서 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0`]는

[eqn: 3kx ^{2} -2kx-k>0`]에서 [eqn: k<0`]이므로

[eqn: 3x ^{2} -2x-1<0`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: - {1} over {3} <x<1`]

따라서 [eqn: alpha + beta = {2} over {3} `]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

▶2009년 11월 경기교육청(3점)

연립부등식 [eqn: {cases{x ^{2} -2x-24 LEQ 0` ^{`}#-1 LEQ LEFT [ x-1 RIGHT ] ^{{} ^{{} ^{}}} ` LEQ 6}}]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는?(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

정답 ①

[출제의도] 연립부등식을 풀기

ⅰ)   [eqn: x ^{2} -2x-24` LEQ 0]

⇔ [eqn: (x-6)(x+4)le0]

⇔ [eqn: -4 le x le6]

ⅱ)   [eqn: -1 LEQ LEFT [ x-1 RIGHT ] le6]

⇔ [eqn: -1 LEQ x-1<7]

⇔ [eqn: 0 le x <8]

ⅰ), ⅱ)로부터 연립부등식의 해는 [eqn: 0 le x le6]이다.

따라서 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 7]이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

▶2010년 03월 교육청(3점)

어떤 정수 [eqn: x`]의 [eqn: 4`]배에서 [eqn: 6`]을 빼면 [eqn: 65`]보다 크고 [eqn: x`]의 [eqn: 3`]배에서 [eqn: 5`]를 빼면 [eqn: 50`]보다 작을 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[출제의도] 문제의 뜻에 맞게 연립일차부등식을 세우고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{``4x-6 >65 &# ``3x-5<50& }]

[eqn: 4x>71``]이므로 [eqn: x > 71 over 4 `]

[eqn: 3x<55``]이므로 [eqn: x< 55over 3`]

따라서 [eqn: {71} over {4} <x< {55} over {3} `]이므로

[eqn: x=18`]

▶년 월 인천교육청(3점)

[eqn: ab<0] 을 만족시키는 두 실수 [eqn: a,```b`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ④

[출제의도] 부등식의 성질 추론하기

ㄱ.[eqn: a=2,`b=-1] 이면 [eqn: a+b>0] 이다.  (거짓)

ㄴ.[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} =-4ab>0] 이면

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} > LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}] 이므로 [eqn: LEFT | a-b RIGHT | > LEFT | a+b RIGHT |] (참)

ㄷ.[eqn: {a-b} over {a} - {a+b} over {b} = {-(a ^{2} +b ^{2} )} over {ab} >0] 이므로

[eqn: {a-b} over {a} > {a+b} over {b}]  (참)

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보  기]

ㄱ. [eqn: a+b<0]	ㄴ. [eqn: LEFT |` a-b `RIGHT | `` > LEFT | `a+b `RIGHT |]	ㄷ. [eqn: {a-b} over {a} > {a+b} over {b}]

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶년 월 인천교육청(3점)

최근 어린이 비만이 사회문제로 크게 대두되고 있다. 키와 몸무게를 이용하여 비만의 정도를 추정하는 체질량지수([eqn: rm BMI])는 몸무게([eqn: rm kg])를 키([eqn: rm m])의 제곱으로 나눈 값이다. 다음은 체질량지수를 나타낸 표이다. 키가 [eqn: 150] [eqn: rm cm] 이고 체질량지수가 [eqn: 28] 인 비만 어린이가 몸무게를 감량하여 정상범위에 들어가려고 한다. 이 어린이가 감량하려는 몸무게가 [eqn: x]([eqn: rm kg]) 일 때, 자연수 [eqn: x] 의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 부등식을 이용하여 수학 외적문제 해결하기

키가 [eqn: 1.5 rm (m)] 이고 체질량지수가 [eqn: 28] 이므로

[eqn: x({rmkg})] 을 감량하여 정상체중이 되기 위해서는

[eqn: 18.5 LEQ 28- {x} over {(1.5) ^{2}} <23]

[eqn: 5 TIMES 1.5 ^{2} <x LEQ 9.5 TIMES 1.5 ^{2}]

[eqn: 11.25<x LEQ 21.375] 이므로 자연수 [eqn: x] 의 최솟값은 [eqn: 12]

2005년 9월 서울시교육청(3점)

[eqn: 0 <x`＜`y`＜`z<1] 일 때, 세 수
[eqn: A= {``` {x} over {y} ```} over {z}] ,  [eqn: B= {``x``} over {``` {y} over {z} ```}] ,   [eqn: C= {``z``} over {``` {y} over {x} ```} `]
의 대소 관계로 옳은 것은?

정답 ④

[eqn: A=`` {x} over {y} `` TIMES {1} over {z} = {x} over {yz}]       [eqn: B=``x`` TIMES `` {z} over {y} ``][eqn: = {xz} over {y}]

[eqn: C=``z`` TIMES `` {x} over {y} ``][eqn: = {xz} over {y}]         ∴ [eqn: B=C] … ㉠

한편, [eqn: 0＜z＜1]에서 [eqn: {1} over {z} ＞1]이므로 [eqn: z＜ {1} over {z}]이다.

∴ [eqn: A-B= {x} over {yz} - {xz} over {y} = {x} over {y} LEFT ( {1} over {z} -z RIGHT )][eqn: ＞0] (∵ [eqn: {x} over {y} ＞0], [eqn: {1} over {z} -z``＞`0])

∴ [eqn: A＞B] … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: B`=`C``＜`A]

① [eqn: A``＜`B``＜`C]	② [eqn: B``＜`C``＜`A]

③ [eqn: A`＜`B```=C]	④ [eqn: B``=C``＜`A]

⑤ [eqn: A=B```=C]

▶2005년 09월 서울시교육청(3점)

[eqn: x] 에 대한 이차부등식 [eqn: x ^{2} +`ax``+`b<0] 의 해가 [eqn: -1<x<3] 이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b] 의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +`b ^{2}] 의 값을 구하시오.

정답 13

이차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 해가 [eqn: -1`<`x`<`3`]인 이차부등식은

[eqn: (x+1)(x-3)``<``0`]

즉, [eqn: x ^{2} -2x-3``<``0`]이므로[eqn: a ^{2} +b ^{2} `=`(-2) ^{2} +(-3) ^{2} `=`13]

▶2005년 9월 서울시교육청(3점)

[eqn: x] 에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +`2(k-1)x``+`k ^{2`} -`20=0] 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 [eqn: k] 의 값을 정할 때, 자연수 [eqn: k] 의 개수를 구하시오.

정답 10

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-1)x+k ^{2} -20`=`0`]

이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 (판별식) > [eqn: 0]이어야

하므로[eqn: (k-1) ^{2} -(k` ^{2} -20)``>``0]

이 부등식을 정리하면 [eqn: 2k``<``21]

따라서 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: k``<`` {21} over {2}]이므로

구하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`], … , [eqn: 10]의 [eqn: 10]개이다.

▶2005년 11월 전국연합(3점)

연립부등식 [eqn: cases {`x^2 -4x -12 ``＜``0 ## x^2 ``- 2x -``3 ``≧```0}]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

정답 ④

[eqn: x^2 - 4x -12``＜``0], [eqn: (x-6)(x+2) ``＜``0], [eqn: -2 ``＜``x``＜6~cdots①]

[eqn: x^2 - 2x -3 ``≧``0], [eqn: (x-3)(x+1)``≧``0],

[eqn: x``≦``-1] 또는 [eqn: x``≧``3~ cdots ②]

①, ②의 공통부분은 [eqn: -2``＜``x````≦-1~또는 ~3``≦``x``＜``6]이다.

이를 만족시키는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: -1,~3, ~4,~5]이므로 [eqn: 4]개

① [eqn: 1]                ② [eqn: 2]                  ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                ⑤ [eqn: 5]

▶2010년 10월 교육청(3점)

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식 [eqn: x ^{2} +(k-2)x+k ^{2} GEQ 0`]이 항상 성립하기 위한 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는?

[정답] ①

[출제의도] 이차부등식의 성질 이해하기

이차항의 계수가 양수이므로 주어진 부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하려면 판별식

[eqn: D=(k-2) ^{2} -4k ^{2} LEQ 0]이다.

[eqn: 3k ^{2} +4k-4 GEQ 0]

[eqn: (k+2)(3k-2) GEQ 0]

∴ [eqn: k LEQ -2] 또는 [eqn: k GEQ {2} over {3}]

① [eqn: k LEQ `-2`] 또는 [eqn: k GEQ {2} over {3}]	② [eqn: -2 LEQ k LEQ - {1} over {3}]

③ [eqn: k LEQ - {2} over {3}] 또는 [eqn: k GEQ {1} over {3} `]	④ [eqn: {1} over {3} LEQ k LEQ 2]

⑤ [eqn: - {1} over {3} LEQ k LEQ 1]

▶2010년 11월 교육청(3점)

실수 [eqn: a,~b,~c,~d]에 대하여 [eqn: a>b,~c>d]일 때, 대소 관계가 항상 성립하는 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른것은?

[정답] ③
[eqn: a>b,~c>d]이므로 [eqn: a-b>0,~c-d>0]이다.
ㄱ. [eqn: (ac+bd)-(bc+ad)=(a-b)(c-d)>0]이므로
[eqn: ac+bd>bc+ad]이다.(참)
ㄴ. (반례)
[eqn: a=1,~b=-2,~c=1,~d=-1]이면
[eqn: ac=1,~bd=2]이므로 [eqn: ac<bd]이다.(거짓)
ㄷ. [eqn: sqrt {a-b} + sqrt {c-d} > sqrt {a+c-b-d}]의 양변을 제곱하여 좌변에서 우변을 빼면
[eqn: ( sqrt {a-b} + sqrt {c-d} ) ^{2} -( sqrt {a+c-b-d} ) ^{2}]
[eqn: =2 sqrt {(a-b)} sqrt {(c-d)} =2 sqrt {(a-b)(c-d)} >0]이므로
[eqn: sqrt {a-b} + sqrt {c-d} > sqrt {a+c-b-d}]이다.(참)

따라서 대소 관계가 항상 성립하는 것은 ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: ac+bd>bc+ad]
ㄴ. [eqn: ac>bd]
ㄷ. [eqn: sqrt {a-b} + sqrt {c-d} > sqrt {a+c-b-d}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2011년 10월 인천교육청(3점)

이차부등식 [eqn: x ^{2} `-4x+1 LEQ 0`]을 만족하는 모든 정수해의 합은?

정답 ⑤

[출제의도] 이차부등식 계산하기

[eqn: x ^{2} `-4x+1 LEQ 0``]의 해는 [eqn: 2- sqrt {3} ` LEQ x LEQ 2+ sqrt {3}]

그러므로 정수해는 [eqn: 1,~2,~3]

[eqn: THEREFORE] 모든 정수해의 합은 [eqn: 6]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2011년 10월 인천교육청(3점)

이차부등식 [eqn: x ^{2} -(k-6)x+(k-3) GEQ 0`]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하기 위한 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는?

정답 ②

[출제의도] 절대부등식이 되기 위한 조건 이해하기

[eqn: x^2 -(k-6)x+(k-3) GEQ0]이

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하기 위해서는 판별식

[eqn: D=(k-6)^2 -4(k-3) LEQ0]이므로 [eqn: k^2 -16k +48 LEQ0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4LEQk LEQ12]

① [eqn: 3 LEQ k LEQ 11]	② [eqn: 4 LEQ k LEQ 12]

③ [eqn: 6 LEQ k LEQ 14]	④ [eqn: k LEQ 4] 또는 [eqn: k GEQ 12]

⑤ [eqn: k LEQ 6] 또는 [eqn: k GEQ 14]

▶2011년 10월 인천교육청(3점)

[eqn: a>0`], [eqn: b>0`]일 때, [eqn: LEFT ( 8a+ {3} over {b} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2a}+3b RIGHT ) `]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 25]

[출제의도] 부등식의 성질 이해하기
[eqn: LEFT ( 8a+ {3} over {b} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2a}+3b RIGHT ) =4+24ab+ {3} over {2ab} +9]
[eqn: =13+24ab+ {3} over {2ab} `]
[eqn: ab>0`]이므로
[eqn: {24ab+ {3} over {2ab}} over {2} GEQ sqrt {24ab TIMES {3} over {2ab}} =6`]
즉, [eqn: 24ab+ {3} over {2ab} GEQ 12`] (단, 등호는 [eqn: ab = 1 over 4]일 때 성립한다.)
[eqn: THEREFORE] 최솟값은 [eqn: 25`]이다.

▶2008년 03월 교육청(3점)

[eqn: x`]에 대한 연립부등식 [eqn: cases{``x-2`` <= ``2x-a#``3x-4`` <= ``12-5x} ``]가 해를 갖도록 상수 [eqn: a`]의 값을 정할 때, [eqn: a`]의 최댓값은?

정답 ④

[출제의도] 연립부등식의 해를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{``x-2`` <= ``2x-a&` CDOTS ㉠#``3x-4`` <= ``12-5x&` CDOTS ㉡} ``]

부등식 ㉠을 풀면 [eqn: `x >= a-2]  [eqn: cdots]㉢

부등식 ㉡을 풀면 [eqn: 8x<= 16]

∴ [eqn: x <= 2]      [eqn: cdots]㉣

주어진 연립부등식이 해를 가지려면 ㉢과 ㉣의 공통 범위가 존재하여야 한다.

따라서 그림으로부터 [eqn: a-2 <= 2]이어야 한다.

∴ [eqn: a <= 4]

그러므로 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2008년 03월 교육청(3점)

어느 책 대여점에서는 회원과 비회원에 대한 책 대여료를 다음과 같은 방식으로 계산한다.

구분	회원 가입비	한 권당 대여료
회원	[eqn: 5000]원	[eqn: 800]원
비회원	없음	[eqn: 1200]원

회원으로 가입하여 이용할 경우 책을 [eqn: n`]권 이상 빌리면 비회원으로 빌릴 때보다 돈이 덜 든다고 한다. [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 13``]

[출제의도] 일차부등식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

빌릴 책의 수를 [eqn: n]이라 하면

회원으로 가입하여 빌릴 경우의 비용은 [eqn: 5000+800n]이고, 비회원으로 빌릴 경우의 비용은 [eqn: 1200n]이다.

따라서 비회원의 경우보다 회원으로 가입하여 빌릴 때 돈이 덜 들려면

[eqn: 1200n > 5000+800n]

[eqn: 400n > 5000]

∴ [eqn: n > 12.5]

따라서 [eqn: 13]권 이상 빌리면 비회원으로 빌릴 때보다 돈이 덜 들게 된다.

▶2008년 09월 서울교육청(3점)

[eqn: x``]에 대한 부등식 [eqn: LEFT |` 4x`+`2` RIGHT | `-`1` <= `k``]의 해가 [eqn: -2 <= x <= 1]일 때 상수 [eqn: k``]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 절댓값을 포함한 부등식의 해가 주어져 있을 때 미지수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT | `4`x`+`2` RIGHT | `-`1` <= `k``]  ⇔  [eqn: LEFT | `4`x`+`2` RIGHT | ` <= `k`+`1``]

⇔ [eqn: -`k`-`1` <= `4`x`+`2` <= `k`+`1``]

⇔ [eqn: -`k`-`3` <= `4`x` <= `k`-`1``]

⇔ [eqn: {-`k`-`3`} over {4} ` <= `x` <= ` {`k`-`1`} over {4} ``]

이 부등식의 해가 [eqn: -2` <= `x` <= `1``]이므로

[eqn: {-`k`-`3} over {4} `=`-2``], [eqn: {k`-`1} over {4} `=`1``] ∴ [eqn: k`=`5``]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 7``]
④ [eqn: 9``]	⑤ [eqn: 11``]

▶2008년 09월 서울교육청(3점)

이차부등식 [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c``<`0``]의 해가 [eqn: {1} over {8} `<`x`<` {1} over {2}``]일 때, 이차부등식 [eqn: cx ^{2} `+`bx`+`a` <= `0``]의 해 중에서 정수의 개수는?

정답 ②

[출제의도] 이차부등식의 해를 구하여 주어진 조건을 만족하는 미지수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차부등식 [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c`<`0``]의 해가 [eqn: {1} over {8} `<`x`<` {1} over {2} ``]이므로

[eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c`=`a LEFT ( x`-` {1} over {8} RIGHT ) LEFT ( x`-` {1} over {2} RIGHT ) `=`a LEFT ( x ^{2} `-` {5} over {8} x`+` {1} over {16} RIGHT ) ``](단, [eqn: a`>`0``])

[eqn: =`ax ^{2} `-` {5} over {8} ax`+` {1} over {16} a``]

∴ [eqn: b`=`- {5} over {8} a``], [eqn: c`=` {1} over {16} a``]

[eqn: cx ^{2} `+`bx`+`a` <= `0``] ⇔ [eqn: {1} over {16} ax ^{2} `-` {5} over {8} ax`+`a` <= `0``]

⇔ [eqn: a(x`-`2)(x`-`8)` <= `0``]

⇔ [eqn: 2` <= `x` <= `8``]

따라서 정수 [eqn: x``]의 개수는 [eqn: 2,``3,``4,``5,``6,``7,``8``]의 [eqn: 7``]개다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

▶2008년 03월 교육청(3점)

[eqn: x``]에 대한 연립부등식
[eqn: cases{```2(x-1)>x+1#````x ^{2} -(a+1)x+a <= 0} ``]
을 만족하는 정수 [eqn: x``]가 [eqn: 3``]개만 존재하도록 하는 실수 [eqn: a``]의 값의 범위는?

정답 ①

[출제의도] 이차연립부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: 2(x-1)>x+1``]에서 [eqn: x>3``]

(ii) [eqn: x ^{2} -(a+1)x+a=(x-1)(x-a) <= 0]

[eqn: a<1``]이면 [eqn: a <= x <= 1] 이므로 주어진 연립부등식의 해가 없다.

[eqn: a >=1``]이면 [eqn: 1 <= x <= a]

이때 연립부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]가 [eqn: 3``]개이므로

∴ [eqn: 6 <= a<7``]

① [eqn: 6<= a<7``]	② [eqn: 7<=a<8``]
③ [eqn: 8 <= a<9``]	④ [eqn: 7<a<=8``]
⑤ [eqn: 8<a<=9``]

▶2008년 06월 교육청(3점)

이차항의 계수가 1인 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k`]의 교점이 [eqn: (1`,```k)`,```(11`,```k)`]이다. 부등식 [eqn: f(x)`<f`(2)-2`]의 해가 [eqn: alpha<x<beta`]일 때,  [eqn: alpha beta`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 22]

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용한 부등식의 해 구하기

[eqn: f(1)=f(11)=k]이므로,

[eqn: f(x)=(x-1)(x-11)+k=x ^{2} -12x+11+k]

따라서, 부등식 [eqn: f(x)<f(2)-2]는

[eqn: x ^{2} -12x+11+k < -11+k]

[eqn: x ^{2} -12x+22<0]이고,

이 부등식을 만족하는 [eqn: x]의 범위 [eqn: alpha<x<beta]에 대하여, [eqn: alpha beta =22]이다.

▶2008년 10월 성취도(3점)

부등식 [eqn: (a ^{2} +b ^{2} )x+1>4x+a``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 항상 성립하도록 실수 [eqn: a``,``b`]를 정할 때, 점 [eqn: (a``,``b)`]가 그리는 도형의 길이는?

정답 ⑤

[출제의도] 절대부등식의 성질을 이해하고 호의 길이 계산하기

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )x+1>4x+a`]

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} -4)x>a-1`]

모든 실수 [eqn: x] 에 대하여 항상 성립하려면

[eqn: a ^{2} +b ^{2} -4=0] 이고 [eqn: a-1<0]

[eqn: THEREFORE] 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각이 [eqn: 240 DEG]인      부채꼴의 호의 길이는 [eqn: {8} over {3} pi]

① [eqn: {4} over {3} pi]	② [eqn: {5} over {3} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: {7} over {3} pi]	⑤ [eqn: {8} over {3} pi]

▶2008년 10월 성취도(3점)

부등식 [eqn: LEFT ( x-10 RIGHT )` LEFT | ``x-a`` RIGHT | ` <= 0`]을 만족하는 자연수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 11`]개일 때, 상수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 11]

[출제의도] 이차부등식 이해하기

[eqn: □x-a |>=0]이므로 [eqn: x-10 <=0] 또는 [eqn: x=a]

[eqn: x]가 [eqn: 11]개의 자연수이려면  [eqn: a]는 [eqn: 10]보다 큰 자연수

[eqn: THEREFORE] [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 11]

▶2010년 12월 영남권(3점)

[eqn: 0`<`a`<`b`<`1``]을 만족시키는 두 실수 [eqn: a`,``b``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[eqn: 0`<`a`<`b`<`1``]이므로

ㄱ. [eqn: a over b`-1= a-b over b`<`0``] 따라서 [eqn: a over b`<`1``]  (참)

ㄴ. [eqn: a`<`1`,```b`<`1``]이므로 [eqn: ab`<`1``]   ∴ [eqn: 1 over ab`>`1``]  (참)

ㄷ. <반례> [eqn: a=0.1`,```b=0.2``]일 때,

[eqn: 1over a+b = 1over 0.3 `>`1``]  (거짓)

[보 기]

ㄱ. [eqn: a over b`<`1``]

ㄴ. [eqn: 1 over ab`>`1``]

ㄷ. [eqn: 1over a+b `<`1``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2014년 9월 인천(4점)

연립이차부등식 [eqn: {cases{```x ^{2} `+4x`-21 LEQ 0`````` ^{``}#```x ^{2} -5kx-6k ^{2} `>0}}]의 해가 존재하도록 하는 양의 정수 [eqn: k`]의 개수는?

정답 ③

[출제의도] 연립이차부등식 이해하기

[eqn: x ^{2} `+4x`-21`` LEQ 0]

[eqn: (x+7)(x-3)` LEQ 0]

[eqn: -7 LEQ x LEQ 3]     …… ㉠

[eqn: `x ^{2} -5kx-6k ^{2} ``>0`]

[eqn: (x-6k)(x+k)>0`]

[eqn: k>0]이므로  [eqn: x<-k`] 또는 [eqn: x>6k`] …… ㉡

㉠, ㉡에서 해가 존재하기 위한 [eqn: k`]값의 범위는

[eqn: 0<k<7] 이다.

따라서 양의 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 6`]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▶2014년 9월 인천(4점)

연립부등식
[eqn: y LEQ 4x-2`,~y GEQ -x+8`,~x LEQ 4`]
를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y`]에 대하여 [eqn: y-3x``]의 최댓값은 [eqn: M`,] 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: M-m`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10``]

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 최대․최소 추론하기

[eqn: y-3x =k`] ([eqn: k`]는 상수)라 하면

[eqn: y=3x +k`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 4`,~14 RIGHT )`]를 지날 때

[eqn: k]의 값은 최대이므로 [eqn: M=`2]

[eqn: y=3x +k`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 4`,~4 RIGHT )`]를 지날 때

[eqn: k`]의 값은 최소이므로 [eqn: m`=-8`]

따라서 [eqn: M-m=10]

▶2010년 10월 교육청(4점)

실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: x>0`], [eqn: xy(x+y+2)=32`]일 때, [eqn: (x+y)(y+2)`]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[출제의도] 절대부등식의 성질을 이용하여 수학 내적문제 해결하기

[eqn: (x+y)(y+2) & =xy+2x+y ^{2} +2y# & =y(x+y+2)+2x# & = {32} over {x} +2x# & GEQ 2 sqrt {{32} over {x} 2x} =16```( BECAUSE `x>0)]

(단, 등호는 [eqn: x=4`]일 때 성립한다)

▶2007년 09월 서울교육청(4점)

[eqn: x`+`y`=`2`]를 만족시키는 두 양수 [eqn: x,~y`]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 값의 범위를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: {x+y} over {2} `` >= `` sqrt {xy}]　에서　[eqn: xy` <= 1]

ㄴ.　[eqn: x^2 +y^2 = (x+y ) ^2 -2xy`` = `4-2xy`]에서

[eqn: xy` <= 1]이므로 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `>=`2]

ㄷ. [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} = {x+y} over {xy} = {2} over {xy} ``>= 2]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: xy ``<= `1]	ㄴ. [eqn: x^2 ` +`y^2 `>=`2]

ㄷ. [eqn: {1} over {x} `+` {1} over {y}` <=`1`]

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① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ，ㄷ

▶2007년 09월 서울교육청(4점)

서로 합동인 정사각형 모양의 모눈종이 세 개가 있다. 각각의  모눈종이 위에 그림과 같이 넓이가 같은 두 개의 평행사변형을 겹쳐 그린 다음 어둡게 칠하였다.
[그림 [eqn: 1]], [그림 [eqn: 2`]],  [그림 [eqn: 3`]]에서 어두운 부분의 넓이를 각각 [eqn: A,~B,~C``]라 할 때, 다음 중 [eqn: A,~B,~C``]의 대소 관계로 옳은 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 실수의 대소 관계를 이용하여 주어진 영역의 넓이의 대소를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[그림 [eqn: 1`]]

[그림 [eqn: 2`]]

[그림 [eqn: 3`]]

세 그림에 있는 평행사변형의 넓이는 모두 같으므로 두 평행사변형이 교차하는 부분의 넓이가 작으면 어두운 부분의 넓이는 크다.

[그림 [eqn: 1]]과 [그림 [eqn: 2]]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분의

넓이는 같다.

∴ [eqn: A = B ``]

[그림 [eqn: 1]]과 [그림 [eqn: 3]]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분은

정사각형이다. 그런데 교차하는 부분의 정사각형의 한 변의 길이는 [그림 [eqn: 1]]이 더 크다.

따라서 교차하는 부분의 넓이는 [그림 [eqn: 1]]이 [그림 [eqn: 3]]보다 크다.

∴ [eqn: A < C ``]

∴ [eqn: A = B ``][eqn: < C ``]

① [eqn: A`] [eqn: =] [eqn: B`] [eqn: =] [eqn: C`]	② [eqn: A`] [eqn: <] [eqn: B`] [eqn: <] [eqn: C`]
③ [eqn: C`] [eqn: <] [eqn: A`] [eqn: =] [eqn: B`]	④ [eqn: C`] [eqn: <] [eqn: B`] [eqn: <] [eqn: A`]
⑤ [eqn: A`] [eqn: =] [eqn: B`] [eqn: <] [eqn: C`]

▶2009년 09월 부산교육청(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 집합
[eqn: A _{n} = LEFT { x`|`n ` ^{2} +3n+2 LEQ x LEQ n ` ^{2} +3n+6` RIGHT } ,]
[eqn: B _{n} = LEFT { x`|`2n `^{2} `+2 LEQ x LEQ 2n ` ^{2} +5`RIGHT }]
가 있다.  연산 [eqn: TRIANGLE]을 [eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n} =(A _{n} CUP B _{n} )-(A _{n} SMALLINTER B _{n} )]
으로 정의하고, 집합 [eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n}]의 원소 중 최솟값을 [eqn: f(n)]이라 하면
[eqn: {1} over {f(4)} + {1} over {f(5)} + CDOTS + {1} over {f(9)} `=`K]
이다.  이 때, [eqn: 110`K]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12``]

[출제의도] 집합에서 연산의 의미를 이해하고 부분분수를 적용하기

[eqn: n ^{2} +3n+2-(2n ^{2} +2)=3n-n ^{2} =n(3-n)]

[eqn: n>3]이면 [eqn: n ^{2} +3n+2<2n ^{2} +2]이므로

[eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n}]의 원소의 최솟값은

[eqn: f(n)=n ^{2} `+3n+2][eqn: =(n+1)(n+2)]

이다.

[eqn: {1} over {f(4)} + {1} over {f(5)} + CDOTS + {1} over {f(9)} = {1} over {5 CDOT 6} + {1} over {6 CDOT 7} + CDOTS + {1} over {10 CDOT 11}]

[eqn: = left( {1} over {5} - {1} over {6} right)+ left( {1} over {6} - {1} over {7} right)+ `CDOTS` +left( {1} over {10} - {1} over {11}right )]

[eqn: = {1} over {5} `- ` {1} over {11}][eqn: = {6} over {55}=K]

[eqn: therefore```110K`=`12]

※ [eqn: x`]에 대한 두 다항식

[eqn: f(x) = 2x^2 + 5x+2,] [eqn: g(x) = (a-1) x+b]

가 있다.  (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다)

두 물음에 답하시오.

▶2013년 9월 인천(3점)

다항식 [eqn: f(x) - g(x)`]가 [eqn: x+2`]를 인수로 갖기 위한 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 관계로 항상 옳은 것은?

정답 ④

[출제의도] 인수정리 이해하기

[eqn: f(x) - g(x) `]가 [eqn: x+2`]를 인수로 가지므로

[eqn: f(-2) - g(-2)=0]

[eqn: f(-2)=0`]이므로 [eqn: g(-2)=0]

따라서 [eqn: 2a-b-2=0]

① [eqn: a-b=0]	② [eqn: a+b=0]	③ [eqn: a+b-2=0]
④ [eqn: 2a-b-2=0]	⑤ [eqn: 2a+b+2=0]

▶2013년 9월 인천(4점)

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: x-2 le g(x) le f(x)`]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: b`]의 값의 범위는 [eqn: alpha le b le beta`]이다. [eqn: beta - alpha`]의 최댓값은?

정답 ③

[출제의도] 절대부등식 이해하기

부등식 [eqn: x-2 le (a-1)x +b le 2x^2 +5x+2`]에서

(ⅰ) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (a-1)x +b ge x-2]
즉, [eqn: (a-2)x+b+2 ge 0`]이 성립하여야 하므로

[eqn: a=2,] [eqn: b ge -2]

(ⅱ) (ⅰ)에서 [eqn: a=2`]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2x^2 + 4x+2-b ge 0`]이 성립하여야 하므로
판별식 [eqn: D= 16 - 4 times2 times(2-b) le 0]
따라서 [eqn: b le 0]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해, [eqn: -2 le b le 0`]이므로 [eqn: beta - alpha`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5 over2]	⑤ [eqn: 3]

▶2008년 09월 서울교육청(4점)

두 집합 [eqn: A= LEFT { `x``|``x ^{2} `-`8x`+`12` <= `0 RIGHT } ``], [eqn: B```= LEFT { `x``|``x ^{2} `+`ax`+`b``<`0` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER `B```=` EMPTYSET ``]이고 [eqn: A CUP B```= LEFT { x``|``-1`<`x` <= `6 RIGHT } ``]일 때, 두 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 합 [eqn: a``+`b``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 집합의 연산과 이차부등식의 해에 관한 조건을 이해하여 조건을 만족시키는 미지수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: A`]의 원소 [eqn: x]의 범위는

[eqn: x ^{2} -8x+12` <= `0] [eqn: LRARROW] [eqn: (x-2)(x-6)` <= `0]

[eqn: LRARROW] [eqn: 2` <= `x` <= `6]

한편, 주어진 조건 [eqn: A SMALLINTER B``= EMPTYSET ``], [eqn: A CUP B= LEFT { `x vert -1`<`x` <= `6` RIGHT }]을 만족하도록 집합 [eqn: B``]의 범위를 수직선에 표시하면 그림과 같다.

∴ [eqn: B``= LEFT { ``x vert -1`<`x`<`2` RIGHT } ``]

[eqn: x ^{2} `+`ax`+`b`<`0``]  [eqn: LRARROW] [eqn: -1`<`x`<`2``]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x`+`1)`(x`-`2)`<`0``]

[eqn: LRARROW] [eqn: x ^{2}` -`x`-`2`<`0``]

∴ [eqn: a`=`-1``], [eqn: b`=`-2``]

따라서[eqn: ````a`+`b`=`-3``]이다.

① [eqn: -3``]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3``]

▶2012년 10월 인천시교육청(4점)

건물을 지을 때에는 쾌적한 환경을 조성하기 위해 법으로 정한 건폐율과 용적률의 기준을 적용하여야 한다. 건폐율과 용적률은 다음과 같이 계산한다.

[eqn: (`건폐율`)= {(`건물의```1층```바닥의```넓이`)} over {(`대지의```넓이`)} ` TIMES `100`(`]%[eqn: )]

[eqn: (`용적률`)= {(`건물의```각```층의```바닥```넓이의```합`)} over {(`대지의```넓이`)} ` TIMES `100`(]%[eqn: )]

일반 주거지역에 따른 건폐율과 용적률의 기준표는 다음과 같다.

구분	건폐율	용적률
제[eqn: 1]종 일반주거지역	[eqn: 60`]% 이하	[eqn: 100`]% 이상 [eqn: 200`]% 이하
제[eqn: 2]종 일반주거지역	[eqn: 60`]% 이하	[eqn: 150`]% 이상 [eqn: 250`]% 이하
제[eqn: 3]종 일반주거지역	[eqn: 50`]% 이하	[eqn: 200`]% 이상 [eqn: 300`]% 이하

제[eqn: 2]종 일반주거지역에 가로의 길이가 [eqn: 25` rm ``m`,] 세로의 길이가 [eqn: 16` rm ``m`]인 직사각형 모양의 대지가 있다. 위의 기준표를 적용하여 이 대지에 가로의 길이가 [eqn: (5x-10)``` rm m`,```]세로의 길이가 [eqn: 2x``` rm m`]인 직육면체 모양의 [eqn: 4`]층 건물을 지으려고 할 때, 건물의 가로의 길이[eqn: ( rm m)`]의 최댓값을 구하시오. (단, 건물의 각 층의 바닥 넓이는 동일하다.)

정답  20

30. [출제의도] 이차부등식을 이용하여 수학외적 문제 해결하기

제2종 일반주거지역 건물의 건폐율은 [eqn: 60]% 이하이므로

[eqn: {5} over {2} x(x-2) LEQ 60][eqn: CDOTS㉠]

제2종 일반주거지역 건물의 용적률은 [eqn: 150]% 이상 [eqn: 250]% 이하이므로

[eqn: 150 LEQ 10x(x-2) LEQ 250][eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠,```㉡]에서 [eqn: 15 LEQ x(x-2) LEQ 24]이므로

[eqn: 5 LEQ x LEQ 6]

따라서, [eqn: 15 LEQ 5x-10 LEQ 20]

[eqn: THEREFORE]가로의 길이의 최댓값 [eqn: 20]

▶2012년 10월 인천시교육청(4점)

다음은 [eqn: x>1`]에 대하여 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `] 의 최솟값을 구하는 과정이다.

	[eqn: x>1] 이므로 [eqn: x-1>0] 이고 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: = BOX{```(가)```} ``+ {4} over {x-1} +1] 이므로 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: GEQ `2 sqrt {` BOX{```(가)```} `` TIMES {4} over {x-1}} `+1] [eqn: =BOX{```(나)```}] 단, [eqn: BOX{```(가)```} ``= {4} over {x-1}] 일 때, 등호가 성립한다. 따라서 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `] 는 [eqn: x=`][eqn: box{```(다)```}`]일 때, 최솟값 [eqn: box{```(나)```}`]를 갖는다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(`x`)`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +p+q`]의 값은?

정답  ②

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 유리식의 최솟값 추론하기

[eqn: x>1] 이므로 [eqn: x-1>0] 이고

[eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: = BOX{```x-1``} ``+ {4} over {x-1} +1] 이므로

[eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `][eqn: GEQ `2 sqrt {` BOX{```x-1```} `` TIMES {4} over {x-1}} `+1]

[eqn: = BOX{```5```}]

단, [eqn: BOX{```x-1```} ``= {4} over {x-1}] 일 때, 등호가 성립한다.

따라서 [eqn: {x` ^{2} -`x+4} over {x-1} `] 는 [eqn: x=`][eqn: BOX{```3```} `]일 때,

최솟값 [eqn: BOX{``5```} `]를 갖는다.

[eqn: f(x)`=x-1`,```p=5`,```q=3]

[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +p+q`=9]

① [eqn: 8]        ② [eqn: 9]        ③ [eqn: 10]        ④ [eqn: 11]        ⑤ [eqn: 12]

▶2012년 11월 경기도교육청(4점)

[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: 3]인 직육면체 모양의 나무토막이 있다.

[그림1]

[그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 모양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 [eqn: A]와 나무토막 [eqn: B`]로 나누어졌다.

[그림2]

[eqn: A]의 부피가 [eqn: 47]일 때, [eqn: A]의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: x>1], [eqn: y>1])

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

정답 80

[출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기

([eqn: A]의 부피)[eqn: =3xy-1=47] [eqn: THEREFORE] [eqn: xy=16]

([eqn: A]의 겉넓이)[eqn: =2(xy+3x+3y)]
[eqn: =32+6(x+y)]

산술평균, 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 32+6(x+y) GEQ 32 + 12 sqrt {xy}=80]

(단, 등호는 [eqn: x=y=4]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: A]의 겉넓이의 최솟값은 [eqn: 80]

▶2008년 09월 서울시교육청(4점)

그림과 같이 일직선 위의 세 지점 [eqn: rm A``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]에 같은 제품을 생산하는 공장이 있다. [eqn: rm A``]와 [eqn: rmB``]사이의 거리는 [eqn: 10 ``rmkm``], [eqn: rmB``]와 [eqn: rm C``]사이의 거리는 [eqn: 30`` rmkm``], [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이의 거리는 [eqn: 20``rmkm``]이다. 이 일직선 위의 [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이에 보관창고를 지으려고 한다. 공장과 보관창고와의 거리가 [eqn: x` `rm km`]일 때, 제품 한 개당 운송비는 [eqn: x ^{2} ``]원이 든다고 하자. 세 지점 [eqn: rm A``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]의 공장에서 하루에 생산되는 제품이 각각 [eqn: 100]개, [eqn: 200]개, [eqn: 300]개일 때, 하루에 드는 총 운송비가 [eqn: 155,000]원 이하가 되도록 하는 보관창고는 [eqn: rm A]지점에서 최대 몇 [eqn: rmkm] 떨어진 지점까지 지을 수 있는가? (단, 공장과 보관창고의 크기는 무시한다.) [4점][08-09-서울]

정답 ④

[출제의도] 실생활 문제에서 문제의 조건에 맞는 식을 세워 이차부등식의 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

세 지점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]를 [eqn: rm A``]를 원점으로 하는 수직선 위에 놓으면

[eqn: rm A(0)``], [eqn: rm B(-10)``], [eqn: rm C(20)``]이다.

보관창고의 좌표를 [eqn: t``]라 하면 보관창고는 [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이에 있으므로

[eqn: 0`<`t`<`20``]    …㉠

총 운송비는 [eqn: 100`t ^{2} `+`200`(`t`+`10`) ^{2} `+`300`(`t`-`20`) ^{2} ``]이고

하루에 운송비가 [eqn: 155,000``]원 이하이므로

[eqn: 100`t ^{2} `+`200`(`t`+`10`) ^{2} `+`300`(`t`-`20`) ^{2} ` <= `155000``]

[eqn: t ^{2} `+`2`(`t`+`10) ^{2} `+`3`(`t`-`20`) ^{2} ` <= `1550``]

[eqn: 6`t ^{2}` -`80`t`-`150 `<=` 0``]

[eqn: 3`t ^{2}` -`40`t`-`75 `<= `0]

[eqn: (`3`t`+`5`)`(`t`-`15`) `<=` 0``]

∴ [eqn: - {5} over {3} `<=` t `<= `15``]   …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 0`<`t` <=` 15``]

즉, 보관창고는 [eqn: rm A``]지점에서 최대 [eqn: 15 `rm km``] 떨어진 지점까지 지을 수 있다.

① [eqn: 9``]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

▶2009년 10월 인천교육청(4점)

다음은 두 양의 실수 [eqn: a`,```b`]가 [eqn: a+b=1`]을 만족할 때,
[eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값은  [eqn: box{```(다``)````}] 임을 증명한 것이다.

	<증명> 두 양의 실수 [eqn: a`,```b`]가 [eqn: a+b=1`]을 만족하므로 [eqn: 1=a+b ≥ 2 sqrt {ab}] 따라서 [eqn: {1} over {ab} ≥] [eqn: box{``(``가)``}] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS `]㉠ 그러므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ {1} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS `]㉡ [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} = `][eqn: left(a^2 + 1 over a^2 right)+ left(b^2 + 1 over b^2 right) + 4] [eqn: =(a ^{2} +b ^{2} ) TIMES left(matrix { box{```(나)````}``right)+4] 이므로 ㉠과 ㉡으로부터 [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} ≥ `][eqn: box{```(다)```}] (단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때 성립) 그러므로 [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: box{```(다)```}] 이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 절대부등식의 성질 추론하기

두 양의 실수 [eqn: a`,```b`]가 [eqn: a+b=1`]을 만족하므로

[eqn: 1=a+b GEQ 2 sqrt {ab}]

[eqn: 4]

따라서 [eqn: {1} over {ab} GEQ `]         [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab`]

[eqn: GEQ 1 ^{2} -2 TIMES {1} over {4} `]

그러므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ {1} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} =`][eqn: LEFT ( a ^{2} + {1} over {a ^{2}} RIGHT ) + LEFT ( b ^{2} + {1} over {b ^{2}} RIGHT ) +4]

[eqn: left(1+ {1} over {a ^{2} b ^{2}} right)]

[eqn: =(a ^{2} +b ^{2} ) TIMES ~~~~~~~~``````````~+4]

이므로 ㉠과 ㉡으로부터

[eqn: {25} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} GEQ `]

(단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때 성립)

그러므로 [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: {25} over {2}]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 6]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25 over 2]
②	[eqn: 6]	[eqn: 1 over a^2 + 1 over {b^2}]	[eqn: 25]
③	[eqn: 4]	[eqn: 1 over a^2 + 1 over {b^2}]	[eqn: 25]
④	[eqn: 4]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25]
⑤	[eqn: 4]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25 over 2]

▶2009년 11월 경기교육청(4점)

다음은 양의 실수 [eqn: a`], [eqn: b], [eqn: c``]에 대하여 부등식
[eqn: {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {6abc}]
이 성립함을 증명한 것이다.

정답 ②

[출제의도] 절대부등식을 증명하기

양의 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여

[eqn: (a+b)^2 -4ab=(a-b)^2 ge0]이므로

[eqn: 4ab le(a+b)^2]이고, 같은 방법으로

[eqn: 4bc LEQ (b+c) ^{2} ,``4ca LEQ (c+a) ^{2}]이므로

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT )]

[eqn: = {4ab} over {a+b} c+ {4bc} over {b+c} a+ {4ca} over {c+a} b]

[eqn: LEQ {(a+b) ^{2}} over {a+b} c+ {(b+c) ^{2}} over {b+c} a+ {(c+a) ^{2}} over {c+a} b]

[eqn: =`2(ab+bc+ca)] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]이다.

한편, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca ge0]

⇔ [eqn: (a+b+c) ^{2} -3(ab+bc+ca) GEQ 0]

⇔ [eqn: ab+bc+ca le (a+b+c)^2 over3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]이다.

따라서 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: 4abc left( 1 overa+b + 1overb+c + 1 overc+a right)]

[eqn: le 2over3 (a+b+c)^2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]이다.

이때, [eqn: ㉢]의 양변을 [eqn: 4abc]로 나누면

[eqn: 1overa+b + 1 overb+c + 1overc+a le (a+b+c)^2 over6abc]이다.

∴ (가) [eqn: (a-b) ^{2}], (나) [eqn: 2(ab+bc+ca)], (다) [eqn: 3]

< 증 명 >

양의 실수 [eqn: a, ``b,``c]에 대하여 [eqn: (a+b) ^{2} -4ab=box{~~㈎~~}`ge`0`]

이므로 [eqn: 4ab LEQ (a+b) ^{2}]이고,

같은 방법으로 [eqn: 4bc LEQ (b+c) ^{2} `], [eqn: 4ca LEQ (c+a) ^{2}] 이므로

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT )]

[eqn: = {4ab} over {a+b} c+ {4bc} over {b+c} a+ {4ca} over {c+a} b][eqn: le`box{~~㈏~~}]  [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

이다.

한편,  [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca GEQ 0]에서

[eqn: ab+bc+ca LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {box{~~㈐~~}}][eqn: CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ㉡]

이다.

따라서 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT ) LEQ {2} over {3} (a+b+c) ^{2} ` CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ㉢]

이다.

이때, [eqn: ㉢]의 양변을 [eqn: 4abc]로 나누면

[eqn: {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {6abc}]이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)		(나)		(다)
①	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]
②	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 3]
③	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 4(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]
④	[eqn: (a-2b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 3]
⑤	[eqn: (a-2b) ^{2}]		[eqn: 4(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]

▶2009년 09월 부산교육청(4점)

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 조건에 따른 대소 관계 이해하기

ㄱ. [eqn: |`a`|`=|`a+b+(-b)|`` LEQ `|`a+b`|`+`|``-b`|`=`|`a+b`|`+`|`b`|]

[eqn: THEREFORE ```][eqn: |`a`+`b``|`` GEQ `|`a`|`-`|`b`|] (참)

(단, 등호는 [eqn: ab LEQ `0,```|`a`| GEQ |`b`|]일 때 성립)

ㄴ. [eqn: (sqrt a-b )^2 - (sqrt a - sqrt b )^2 = 2 sqrta sqrtb - 2b`]

[eqn: =2sqrt b (sqrt a - sqrt b ) `geq`0] (참)

(단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때 성립)

ㄷ. [eqn: b over a + a over b geq`2], [eqn: c over b + b over c `geq`2], [eqn: a over c + c over a `geq`2]

[eqn: therefore```b+c over a + c+a over b + a+b over c `geq`6](참)

(단, 등호는 [eqn: a=b=c`]일 때 성립)

ㄱ. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: |`a`+`b``|`` GEQ `|`a`|`-`|`b`|]

ㄴ. [eqn: a GEQ b GEQ 0]이면 [eqn: sqrt a-b` geq`sqrt a - sqrt b]

ㄷ. [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 양수이면 [eqn: b+c over a + c+a over b + a+b over c `geq`6]

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① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 09월 부산교육청(4점)

다음은 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a>0`], [eqn: b>0`]일 때,
[eqn: left(a+`1overb right)left(b+`4overa right)]의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부이다.
(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 산술기하평균을 적용하는 과정 추론하기

<학생풀이>

산술-기하평균을 이용하면

[eqn: a+` {1} over {b} GEQ 2` sqrt {{a} over {b}} `` CDOTS] ㉠   [eqn: b+` {4} over {a} ` GEQ 2` sqrt {{4b} over {a}} `` CDOTS] ㉡

㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면

[eqn: LEFT ( a+` {1} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+` {4} over {a} RIGHT ) GEQ 4` sqrt {{a} over {b} CDOT {4b} over {a}} =8` CDOTS]㉢

그러므로 구하는 최솟값은 [eqn: 8]이다.

<첨삭내용>

㉠의 등호가 성립할 때는  이고

[eqn: ab=1]

㉡의 등호가 성립할 때는  이다.

[eqn: ab=4]

그러므로 ㉢의 등호는 성립할 수 없다.

[eqn: LEFT ( a+` {1} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+` {4} over {a} RIGHT )`]=[eqn: 5`+`ab`+` {4} over {ab}geq `5+`2 sqrt{ab`cdot 4overab}]=[eqn: 9]이므로 최솟값은 [eqn: 9]이다.

(가)	(나)	최솟값

①     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a``=`4`b]	[eqn: 10]

②     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a`b`=`4`]	[eqn: 10]

③     [eqn: a`=`b`]	[eqn: a``=``b]	[eqn: 10]

④     [eqn: a`=`b`]	[eqn: a`b`=`1`]	[eqn: 9]

⑤     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a`b`=`4`]	[eqn: 9]

▶2009년 09월 부산교육청(4점)

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식
[eqn: -1` LEQ `(`a`-`1`)`x`+`b` LEQ `x` ^{2} `+2x`+`2]
이 성립할 때, 점 [eqn: (`a`,```b`)`]가 나타내는 도형의 길이는?

정답 ④

[출제의도] 절대부등식의 뜻을 이해하고 적용하기

[eqn: -1` LEQ `(`a`-`1`)`x`+`b`]이 모든 실수에 대하여 항상 성립하기 위하여 [eqn: a=1`],[eqn: b` GEQ `-1]

[eqn: `b` LEQ `x ^{2} `+2x`+`2]에서 [eqn: `x ^{2} `+2x`+`2`-b` GEQ `0]이 모든 실수에 대하여 항상 성립하기 위하여 판별식[eqn: D` LEQ `0]

[eqn: {D} over {4}]=[eqn: 1`-`2`+b`leq`0`]이므로 [eqn: b` LEQ `1]

[eqn: `therefore`] [eqn: -1leq`b` LEQ `1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 5over4]	③ [eqn: 7over4]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

▶2009년 10월 인천교육청(4점)

어느 양궁 연습장에서는 기본요금을 지불하면 [eqn: x`]개의 화살이 주어지고, [eqn: x`]개를 모두 사용한 후 화살을 초과하여 사용하면 초과하여 사용한 모든 화살에 대하여 한 개당 일정한 초과 요금을 지불해야 한다. 갑과 을이 이 연습장에서 총 [eqn: 70`]개의 화살을 사용하고 갑과 을이 각각 [eqn: 1600`]원, [eqn: 2400`]원의 초과 요금을 지불하였다. 병은 이 연습장에서 [eqn: 70`]개의 화살을 사용하고 [eqn: 9000`]원의 초과 요금을 지불했을 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. (단, 갑, 을, 병은 모두 기본요금을 지불하였다.)

정답 [eqn: 25]

[출제의도] 연립방정식과 유리식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

기본 개수를 [eqn: x], 갑이 추가로 사용한 화살의 개수를 [eqn: a], 을이 추가로 사용한 화살의 개수를 [eqn: b], 1개의 화살에 대한 초과 금액을 [eqn: s]라 하면

갑과 을의 사용한 화살 : [eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( x+b RIGHT ) =70]

[eqn: a+b=70-2x`]

갑의 초과 금액 : [eqn: sa=1600]  [eqn: CDOTS CDOTS `]①

을의 초과 금액 : [eqn: sb=2400]  [eqn: CDOTS CDOTS `]②

병의 초과 금액 : [eqn: s(70-x)=9000]

①, ②에서 [eqn: s(a+b)=4000], [eqn: s(70-2x)=4000]

[eqn: {9000} over {70-x} = {4000} over {70-2x}], [eqn: 9(70-2x)=4 LEFT ( 70-x RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=25`]

▶2009년 11월 경기교육청(4점)

다음은 세 양수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 부등식
[eqn: {a} over {b+c} `+ {b} over {c+a} `+ {c} over {a+b} ` GEQ {3} over {2}]
이 성립함을 증명한 것이다.

[정답] ③

[출제의도] 절대부등식을 증명하기

[eqn: b+c=x,~c+a=y,~a+b=z]라 하면,

[eqn: a+b+c= {1} over {2} LEFT ( x+y+z RIGHT )]이므로

[eqn: a= {1} over {2} LEFT ( y+z-x RIGHT ) ,~b= {1} over {2} LEFT ( z+x-y RIGHT ) ,~c= {1} over {2} LEFT ( x+y-z RIGHT )]이다.

그러므로

[eqn: {a} over {b+c} `+ {b} over {c+a} `+ {c} over {a+b}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {y} over {x} `+ {z} over {x} `+ {z} over {y} `+ {x} over {y} `+ {x} over {z} `+ {y} over {z} RIGHT ) `- {3} over {2}]

[eqn: GEQ 1 CDOT LEFT ( sqrt {{y} over {x} CDOT {x} over {y}} `+ sqrt {{z} over {y} CDOT {y} over {z}} `+ sqrt {{x} over {z} CDOT {z} over {x}} RIGHT ) `- {3} over {2}]

[eqn: = {3} over {2}]

따라서 세 양수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

∴ ㈎ [eqn: {1} over {2}]     ㈏ [eqn: - {3} over {2}]     ㈐ [eqn: 1]

[증명]

[eqn: b+c=x,~c+a=y,~a+b=z]라 하면,

[eqn: a+b+c= BOX{`````㈎~} LEFT ( x+y+z RIGHT )]이므로

[eqn: a= {1} over {2} LEFT ( y+z-x RIGHT ) ,~b= {1} over {2} LEFT ( z+x-y RIGHT ) ,~c= {1} over {2} LEFT ( x+y-z RIGHT )]이다.

그러므로

[eqn: {a} over {b+c} `+ {b} over {c+a} `+ {c} over {a+b}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {y} over {x} `+ {z} over {x} `+ {z} over {y} `+ {x} over {y} `+ {x} over {z} `+ {y} over {z} RIGHT ) `+ BOX{`````㈏~}]

[eqn: GEQ BOX{`````㈐~} LEFT ( sqrt {{y} over {x} CDOT {x} over {y}} `+ sqrt {{z} over {y} CDOT {y} over {z}} `+ sqrt {{x} over {z} CDOT {z} over {x}} RIGHT ) `+ BOX{`````㈏~}]

[eqn: = {3} over {2}]

따라서 세 양수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

㈎	㈏	㈐

① [eqn: {1} over {2}]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: ``1]

② [eqn: {1} over {2}]	[eqn: - {3} over {2}]	[eqn: ``2]

③ [eqn: {1} over {2}]	[eqn: - {3} over {2}]	[eqn: ``1]

④ [eqn: ``2]	[eqn: - {3} over {2}]	[eqn: ``2]

⑤ [eqn: ``2]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: ``2]

▶2009년 12월 영남권(4점)

두 집합 [eqn: A = left { x`|`x^2 - 2kx -1 le 0 right } ,] [eqn: B = left { x`|`x ^2 -5x +4 < 0 right }]에 대하여 [eqn: A cap B]의 원소 중 정수인 원소가 단 하나만 존재하도록 하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: alpha le k < beta]이다. [eqn: alpha beta]의 값은?

[정답] ⑤

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 추론하기

이차부등식 [eqn: x^2 -5x +4 < 0]을 풀면 [eqn: 1 < x<4]이다.

[eqn: f(x) = x^2 - 2kx -1]이라 두면, [eqn: y = f(x)]의 그래프는 [eqn: y]절편이 [eqn: -1]이므로

아래 그림과 같이 [eqn: 2 le x < 3]에서 [eqn: x]축과 만나야 한다.

따라서 [eqn: f(2) = 3-4k le 0,]	[eqn: therefore````k ge 3 over 4]

또 [eqn: f(3 ) = 8 - 6k >0,]	[eqn: therefore`` k < 4 over 3]

따라서 [eqn: 3 over 4 le k < 4 over 3]	[eqn: therefore`` alpha beta =1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

‘피타고라스 나무’란 다음과 같은 규칙으로 그린 [그림 [eqn: 1`]]과 같은 도형이다.

정답 ①

[출제의도] 부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

(가)

(다)

(나)

피타고라스의 정리에 의해 그림에서 정사각형 (가)의 넓이는 정사각형 (나)의 넓이와 정사각형 (다)의 넓이의 합과 같다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: a^2 = b^2 + c^2 `]

이와 같은 관계를 나머지 사각형에 적용하면 모든 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: 3a^2 `]

따라서 [eqn: 3a^2 = 75`]이므로 [eqn: a=5`]

그런데 [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} GEQ 2 sqrt {b ^{2} c ^{2}} =2bc`]이므로

[eqn: 25 GEQ 2bc]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 2abc`]의 최댓값은 [eqn: 125`]

[단계1] : 정사각형을 그린 후 정사각형의 한 변을 빗변으로 하	는 직각삼각형을 그린다.

[단계2] : 직각삼각형의 나머지 두 변을 한 변으로 하는 정사각	형을 각각 그린다.

[단계3] : [단계 [eqn: 2`]]에서 그려진 두 정사각형의 한 변을 각각	빗변으로 하는 직각삼각형을 [단계 [eqn: 1`]]에서 그린 직각삼각형	과 닮음이 되도록 그린다.

[단계4] : [단계 [eqn: 2`]]와 [단계 [eqn: 3`]]을 계속 반복하여 그린다.

[그림 1]

‘피타고라스 나무’의 일부분인 [그림 [eqn: 2`]]에서 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 변의 길이가 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]이고, 정사각형 [eqn: 7`]개의 넓이의 합이 [eqn: 75`]일 때, [eqn: 2abc`]의 최댓값은? [4점-1109-인천교]

[그림 2]

① [eqn: 125]	② [eqn: 130]	③ [eqn: 135]
④ [eqn: 140`]	⑤ [eqn: 145]

▶2008년 09월 서울시교육청(4점)

음이 아닌 두 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 부등식의 성질을 이용하여 주어진 부등식이 절대부등식인지의 여부를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: sqrt {a} ` <= sqrt {a`+`b} `` <= sqrt {a`+`b} `+ sqrt {b} `]이므로

[eqn: sqrt {a} `- sqrt {b} ` <= sqrt {a`+`b} ``](단, 등호는 [eqn: b=0`]일 때 성립한다.)  ∴참

ㄴ. [eqn: sqrt {a+b} >= 0``], [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} >= 0``]이므로

[eqn: ( sqrt {a} + sqrt {b} ) ^{2} `-`( sqrt {a`+`b`} ) ^{2}]

[eqn: =(`a`+`2 sqrt {ab} `+`b)`-`(`a`+`b`)]

[eqn: =`2 sqrt {ab}` >=` 0]

∴[eqn: sqrt {a} + sqrt {b} ` >= sqrt {a`+`b`}``](단, 등호는 [eqn: a=0`] 또는 [eqn: b=0`]일 때 성립한다.)

∴참

ㄷ. [eqn: sqrt {a} `+ sqrt {b} ` >= `0``], [eqn: sqrt {2``(a`+`b)} ` >=` 0``]이므로

[eqn: `( sqrt {2``(a`+`b)} `) ^{2} `-`( sqrt {a} `+` sqrt {b} `) ^{2}]

[eqn: =`2`(`a`+`b`)`-`(`a`+`b`+`2 sqrt {a`b} )]

[eqn: =`a`-`2 sqrt {ab} `+`b`=( sqrt {a} - sqrt {b}` ) ^{2} `>= `0]

∴ [eqn: sqrt {2``(a`+`b)} ` >= sqrt {`a} `+ sqrt {`b} ``](단, 등호는 [eqn: a`=`b``]일 때 성립한다.) ∴참

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: sqrt {a} `- sqrt {b} ` <= sqrt {a`+`b} ``] ㄴ. [eqn: sqrt {a`+`b`} `<= sqrt {a} `+ sqrt {b} ``] ㄷ. [eqn: sqrt {a} `+ sqrt {b} ` <= sqrt {2``(a`+`b)} `]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 03월 서울시교육청(4점)

[eqn: a>0``], [eqn: b>0``], [eqn: c>0``]일 때, <보기>에서 항상 성립하는 부등식을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 여러 가지 절대부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: 1 over a + 1 over b``- ``4over{a+b}`=`{a+b}over ab - 4 over a+b][eqn: `=`{(a+b)^2 -4ab} over {ab(a+b)}]

[eqn: `=`{(a-b)^2} over {ab(a+b)}``≧`0] (등호는 [eqn: a=b]일 때 성립) (참)

ㄴ. [eqn: (roota + rootb )^2 -(root a+b )^2 =a+b+2rootab -(a+b)``][eqn: =2 root ab``][eqn: >0``]

∴ [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} ``> sqrt {a+b} ``] (참)

ㄷ. [eqn: a+b ``≧`2ROOTab], [eqn: b+c ``≧ 2rootbc], [eqn: c+a``≧`2rootca]

각 변끼리 더하면

[eqn: 2(a+b+c)``≧``2(rootab `+`rootbc `+`rootca`)]

∴  [eqn: a+b+c``≧``rootab `+`rootbc `+`rootca`] (등호는 [eqn: a=b=c``]일 때 성립) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: 1 over a + 1 over b``≧ ``4over{a+b}]

ㄴ. [eqn: roota + rootb``>``root a+b``]

ㄷ. [eqn: a+b+c``≧``rootab `+`rootbc `+`rootca`]

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① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 03월 서울시교육청(4점)

[eqn: bar{rmAB} =8``], [eqn: bar{rmAC} =6``], [eqn: ANGLE rm A it =90°``]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC``]에 내접하는 직사각형을 만들 때, [그림1]과 같이 직사각형의 두 변이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우와 [그림2]와 같이 직사각형의 한 변만이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우가 있다.

[그림1]과 [그림2]의 경우에 내접하는 직사각형의 넓이를 각각 [eqn: S_1``], [eqn: S_2``]라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[그림1]                         [그림2]

정답 ⑤

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의 길이를 [eqn: x``], [eqn: y``]라고 하면 [eqn: S _{`1} =xy``]이고, 닮음비에 의해 [eqn: bar{rmBC} = 5 over 3 x + 5 over 4 y =10``]

∴ [eqn: 4x+3y=24``]

산술 · 기하평균에서

[eqn: 24= 4x+3y >= 2 root{4x×3y} ``]

(단, 등호는 [eqn: 4x=3y``]일 때 성립)

[eqn: 12>=root12xy``], [eqn: 12xy<=144``], [eqn: S _{`1} =xy <= 12``]

따라서 [eqn: S _{1} ``]의 최댓값은 [eqn: 12``]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: 4x=3y=12``], 즉 [eqn: x=3``], [eqn: y=4``]일 때 [eqn: S _{1}``]이 최대이다.

따라서 [eqn: S _{1}``]이 최대일 때 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 14``]이다. (참)

ㄷ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의

길이를 [eqn: x``], [eqn: y``]라고 하면 [eqn: S _{`2} =xy``]이고, 닮음비에 의해

[eqn: 4 over 3 x +y+ 3 over 4 x =10``]에서

[eqn: 16x+12y+9x=120``], [eqn: 25x+12y=120``]

[eqn: 120 =25x+12y >=2root{25x×12y} ``]

[eqn: =10 sqrt {12xy} ``]

(단, 등호는 [eqn: 25x=12y``]일 때 성립)

[eqn: root12xy <=12``], [eqn: 12xy<=144``], [eqn: S _{`2} =xy <= 12``]

따라서 [eqn: S_1``]의 최댓값과 [eqn: S_2``]의 최댓값은 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: S_1``]의 최댓값은 [eqn: 12``]이다.

ㄴ. [eqn: S_1``]이 최대일 때, 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 14``]이다.

ㄷ. [eqn: S_2``]의 최댓값과 [eqn: S_1``]의 최댓값은 같다.

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① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

[그림 1]과 같이 길이가 [eqn: 40`]인 직사각형 모양의 종이띠 [eqn: rmABCD`]를 변 [eqn: rm AB`]와 변 [eqn: rmDC`]가 서로 맞닿도록 [그림 2]와 같은 모양으로 접어 붙였다.

정답 [eqn: 200]

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

위의 그림에서와 같이 종이가 접히는 각 점을 [eqn: rm E,`F,`G,`H,`I```]라 하면,

[eqn: bar{rmEF} `+ bar{rmGH} `+ bar{rmIP} `= bar{rmQB} `]

[eqn: bar{rm QE it} `+ bar{rm FG it} `+ bar{rm HI it} `= bar{rm BP it} `]이므로

[eqn: rm bar{QB} it =a`], [eqn: rm bar{BP} it =b`]라 하면 종이띠의 길이가 [eqn: 40`]이므로 [eqn: 2(a+b)=40]에서 [eqn: a+b = 20]이다.

[eqn: l ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=400-2ab]

[eqn: 20=a+b GEQ 2 sqrt {ab}]에서 [eqn: ab LEQ 100]이므로

[eqn: THEREFORE `````][eqn: l ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: 200]

(다른 풀이)

[eqn: rm bar{QB} it =a`], [eqn: rm bar{BP} it =b`]라 하면 종이띠의 길이가 [eqn: 40`]이므로 [eqn: 2(a+b)=40] [eqn: THEREFORE `][eqn: a+b = 20], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =l ^{2}]

실수 [eqn: p,``q,``x,``y`]에 대하여

부등식 [eqn: (p ^{2} +q ^{2} )`(x ^{2} +y ^{2} )` GEQ (px+qy) ^{2`} `]이 절대부등식이므로

[eqn: (1 ^{2} +1 ^{2} )(a ^{2} +b ^{2} ) GEQ (a+b) ^{2}]	[eqn: THEREFORE``` 2l ^{2} GEQ 20 ^{2}]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: l ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: 200]

[그림 1]

[그림 2]

[그림 2]에서 꼭짓점 [eqn: rm `P`]와 꼭짓점 [eqn: rm `Q`] 사이의 거리를 [eqn: l``]이라 할 때, [eqn: l ^{2} ``]의 최솟값을 구하시오. (단, [그림 2]의 모든 면은 서로 수직이거나 평행이다.)

▶2005년 6월 인천교육청(4점)

두 회사 [eqn: A], [eqn: B] 의 월 전화요금은 다음 표에 의하여 기본요금과 추가요금의 합으로 계산한다.

정답 ①

[eqn: A] 의 월 전화요금은 [eqn: a+ a over 100 x] 이고,

[eqn: B] 의 월 전화요금은 [eqn: b+ 2b over 100 x] 이므로

[eqn: a+ {a} over {100} x`<`b+ 2b over 100 x] 이다.

이를 [eqn: x] 에 관하여 정리하면

[eqn: x``> {100(b`-`a)} over {a`-`2b}] [eqn: (∵~b`<`a`<`2b)]

회사	기본요금	추가요금
[eqn: A]	[eqn: a]	한 통화당 [eqn: a] 의 [eqn: 1] %
[eqn: B]	[eqn: b]	한 통화당 [eqn: b] 의 [eqn: 2] %

두 회사의 월 전화요금이 같게 되는 통화수가 존재할 때, [eqn: A] 회사의 월 전화요금이 [eqn: B] 회사의 월 전화요금보다 적게 되는 통화수 [eqn: x] 의 범위는? (단, 두 회사의 기본요금은 다르다.)

① [eqn: x``> {100(`b`-`a)} over {a`-`2b}]	② [eqn: x``< {100(`b`-`a)} over {a`-`2b}]

③ [eqn: x``< {100(`2b`-`a)} over {a`-`b}]	④ [eqn: x``> {100(`2b`-`a)} over {a`-`b}]

⑤ [eqn: x``> {100(`b`-`2a)} over {a`-`b}]

▶2005년 10월 인천시(4점)

재화는 [eqn: 100] 점 만점인 중간고사에서 [eqn: 85] 점을 받았고 [eqn: 20] 점 만점인 수행평가에서 [eqn: 18] 점을 받았다. [eqn: 1] 학기 종합성적은 [eqn: 100] 점 만점인 중간고사와 기말고사가 각각 [eqn: 40] %, 수행평가가 [eqn: 20] %로 반영되어 [eqn: 100] 점 만점으로 환산된다. [eqn: 1] 학기 종합성적이 [eqn: 90] 점 이상이 되기 위하여 [eqn: 100] 점 만점인 기말고사에서 받아야 할 최소 점수를 구하시오.

정답 95

재화의 기말고사 점수를 [eqn: x] 라 하자.

[eqn: 85`․` {40} over {100} +x`․` {40} over {100} +18 `≧` 90]

[eqn: 34+ {2} over {5} x+18 `≧` 90]

[eqn: {2} over {5} x `≧` 38]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x `≧` 95] [eqn: THEREFORE] 최소점수는 [eqn: 95]점.

구분	중간고사 ( 점[eqn: 100] 만점)	기말고사 ( [eqn: 100]점 만점)	수행평가 ( [eqn: 20]점 만점)
점수	[eqn: 85] 점	?	[eqn: 18] 점
[eqn: 1] 학기종합성적 반영비율	[eqn: 40`]%	[eqn: 40`]%	[eqn: 20`]%

▶2005년 11월 전국연합(4점)

[eqn: n``≧``2] 인 정수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

정답 7

[eqn: n =2,~3,~4,~cdots , 81] 을

[eqn: root {n+1 } - root n ``＜`` 1 over {2 rootn}``＜``rootn - root{n -1}] 에 대입하면

[eqn: ~root 3 - root 2 ``＜`` 1 over {2root2}``＜`` root2 -root1]

[eqn: ~root 4 - root 3 ``＜`` 1 over {2root3}``＜`` root3 -root2]

[eqn: ~root 5 - root 4 ``＜`` 1 over {2root4}``＜`` root4 -root3]

[eqn: &․#&․#&․# root 82 - root 81 ``＜ &1 over {2 root81}``＜`` root81 -root80]

위의 식을 변변 더하면

[eqn: root 82 - root 2 ``＜ 1 over2 left( 1over{root2} + 1 over root3 + cdots + 1 over root81 right) ``＜`` root81 -root1]

[eqn: 7``＜``9 - root 2 ``＜`` root 82 - root 2 ``＜``1 over2 left( 1over{root2} + 1 over root3 + cdots + 1 over root81 right) ``＜`` 8]

이므로 정수부분의 값은 [eqn: 7]

[eqn: root {n+1} - root n ``＜`` 1over{2 root n}^` ``＜`` root n - root {n-1}]이 성립함을 이용하여

[eqn: 1 over 2 left( 1over {root2 }^`+ 1over {root3}^` + 1over {root4}^` +``cdots`` + 1over {root81}^` right)]의 값을 계산하였을 때, 정수 부분의 값을 구하시오.