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				여러 가지 방정식

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여러 가지 방정식

▶2014년 9월 인천[3점]

사차방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+3 RIGHT ) -5=0`]의 서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha `,~ beta `]라 할 때, [eqn: alpha {bar{alpha `}} `+ beta {bar{beta `}} `]의 값은? (단, [eqn: bar{z`} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

정답 ⑤

[출제의도] 사차방정식의 근 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+3 RIGHT ) -5=0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} +x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x-2 RIGHT ) =0]

[eqn: alpha` ,~ beta]는 [eqn: x ^{2} +x+4=0`]의 서로 다른 두 허근이므로 [eqn: alpha beta `=`4]

[eqn: bar{alpha `} `=` beta `,] [eqn: bar{beta `} `=` alpha `]이므로,  [eqn: alpha bar{alpha` } + beta bar{beta` } `=`2alphabeta]

따라서 [eqn: alpha bar{alpha` } + beta bar{beta` } `=`8]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▶2011년 10월 인천교육청(3점)

사차방정식 [eqn: x(x-1)(x-2)(x-3)-24=0`]의 모든 허근의 곱은?

정답 ⑤

[출제의도] 사차방정식의 근의 성질 이해하기

[eqn: x(x-1)(x-2)(x-3)-24=0]             [eqn: (x ^{2} -3x)(x ^{2} -3x+2)-24=0]

[eqn: x^2 -3x =t]라 하면 [eqn: t(t+2)-24=0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -3x+6 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x-4 RIGHT ) =0`]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -3x+6 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) =0`]

그런데 [eqn: x ^{2} -3x+6=0] 의 근이 허근이므로 모든 허근의 곱은 [eqn: 6]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

▶2012년 03월 부산시교육청(3점)

방정식 [eqn: (x ^{2} +2x-4) ^{3} +1=0`]의 서로 다른 실근의 개수는?

정답 ①

[출제의도] 방정식 이해하기

[eqn: (`x ^{2} ``+`2x`-4`)` ^{3} ```=`-1`]에서 [eqn: x`]가 실수이므로

[eqn: `x ^{2} ``+`2x`-4````=`-1`]이다. [eqn: `x ^{2} ``+`2x`-3=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이므로 주어진 방정식의 실근의 개수도 [eqn: 2`]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2012년 11월 경기도교육청(3점)

사차방정식 [eqn: x ^{4} +3x ^{3} +3x ^{2} -x-6=0]의 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha ^{`2} + beta ^{``2}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 사차방정식의 해 구하기

[eqn: x ^{4} +3x ^{3} +3x ^{2} -x-6=0`]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x-1=0] 또는 [eqn: x+2=0] 또는 [eqn: x ^{2} +2x+3=0]

[eqn: x ^{2} +2x+3=0]의 두 허근이 [eqn: alpha], [eqn: beta `]이므로

[eqn: alpha + beta =`-2], [eqn: alpha beta=3]이다.

따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =`-2]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

▶2014년 6월 평가원[3점]

다음은 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 세 근이 [eqn: alpha `,~ beta `,~ gamma `]일 때, [eqn: {1}over{alpha }`,~{1}over{ beta }`,~{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 삼차방정식을 구하는 과정의 일부이다.

정답 ①

해설

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: alpha `]가 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 한 근이므로

[eqn: alpha ^{3} `+`2 alpha ^{2} `+` 3alpha`+`1 `=`0`]이다.

[eqn: alpha`]는 [eqn: 0`]이 아니므로 양변을 [eqn: alpha^3 `]으로 나누면

[eqn: 1+ 2 over alpha + 3 over alpha^2 + 1 over alpha^3 =0]이므로

식을 정리하면

[eqn: LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{3} `+`BOX{~~3~~}`times` LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{2} `+`2 left(` 1over alpha `right)`+`1 `=`0`]이다.

그러므로 [eqn: 1over alpha `]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한

삼차방정식 [eqn: {BOX{~~x^3 + 3x^2 +2x+1~~}} `=`0`]의 한 근이다.

같은 방법으로

[eqn: beta `,``gamma`]도 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 근이므로

[eqn: beta ^{3} `+`2 beta ^{2} `+` 3beta`+`1 `=`0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이고,

[eqn: gamma ^{3} `+`2 gamma ^{2} `+` 3gamma`+`1 `=`0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

이다.

[eqn: beta], [eqn: gamma]는 [eqn: 0`]이 아니므로 식 ㉠, ㉡의 양변을 각각

[eqn: beta`^3], [eqn: gamma^3]으로 나누면

[eqn: 1+ 2 over beta + 3 over {beta`^2} + 1 over {beta`^3} =0], [eqn: 1+ 2 over gamma + 3 over gamma^2 + 1 over {gamma`^3 }=0]이므로

식을 정리하면

[eqn: left( 1over beta right)^3 +3 left( 1over beta right)^2 +2left( 1over beta right) +1=0], [eqn: left( 1over gamma right)^3 +3 left( 1over gamma right)^2 +2left( 1over gamma right) +1=0]

이다.

그러므로 [eqn: 1over beta], [eqn: 1 over gamma]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 + 3x^2 +2x+1=0]의 근이다.

따라서 [eqn: {1}over{alpha }`,~{1}over{ beta }`,~{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식은 [eqn: x^3 + 3x^2 +2x+1=0]이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: f(2)=25]이므로 [eqn: p+f(2)=28]이다.

[eqn: alpha `]가 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 한 근이므로

[eqn: alpha ^{3} `+`2 alpha ^{2} `+` 3alpha`+`1 `=`0`]

이다.

[eqn: alpha`]는 [eqn: 0`]이 아니므로 양변을 [eqn: alpha^3 `]으로 나누어 정리하면

[eqn: LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{3} `+`BOX{~(가)~}`times` LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{2} `+`2 left(` 1over alpha `right)`+`1 `=`0`]

이다.

그러므로 [eqn: 1over alpha `]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식

[eqn: {BOX{~~~~(나)~~~~}} `=`0`]

의 한 근이다.

같은 방법으로

[eqn: beta `,``gamma`]도 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 근이므로

[eqn: vdots]

이다.
따라서 [eqn: {1}over{alpha }`,``{1}over{ beta }`,``{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가
[eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식은

[eqn: {BOX{~~~~(나)~~~~}} `=`0`]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f`(`x)`]라 할 때, [eqn: p`+`f`(`2)`]의 값은?

① [eqn: 28`]	② [eqn: 29`]	③ [eqn: 30`]
④ [eqn: 31`]	⑤ [eqn: 32`]

▶2005년 9월 서울시교육청(3점)

[eqn: a] , [eqn: b] 가 유리수 일 때, [eqn: x] 에 대한 삼차방정식
[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+1=0]
의 한 근이 [eqn: -1`+sqrt {2}] 이다. [eqn: a+b]  의 값은?

정답 ③

주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 [eqn: -1+ sqrt {2} `]가 한

근이면 [eqn: -1- sqrt {2} `]도 근이 된다.

또, 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: x ^{2} +2x-1`=`0`]

이므로 다항식 [eqn: x ^{2} +2x-1`]은 다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+1`]의

인수이다. 따라서

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+1`=`(x ^{2} +2x-1)(x-1)][eqn: =`x ^{3} +x ^{2} -3x+1]

[eqn: THEREFORE ``a+b`=`1-3`=`-2]

① [eqn: 0]               ② [eqn: -1]                ③ [eqn: -2]

④ [eqn: -3]             ⑤ [eqn: -4]

▶2006년 09월 교육청(3점)

삼차방정식 [eqn: x^3 + x ^{2} +a x -8 `=`0``]의 한 근이 [eqn: 2``]일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

정답 ①

[eqn: x=2``]가 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax-8`=`0``]의 근이므로

[eqn: 2 ^{3} +2 ^{2} +2a-8`=`0``]

[eqn: 2a+4`=`0``]

∴ [eqn: a=-2``]

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0``]
④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 3``]

▶2013년 9월 인천청(3점)

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -7x+6=0`]의 세 근 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma ``` LEFT ( `alpha > beta > gamma `` RIGHT ) `]

정답 [eqn: 13]

삼차다항식 [eqn: x ^{3} -7x+6`]을 인수분해하면 [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `]이므로

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -7x+6=0`]의 세 근은 각각

[eqn: alpha =2,~ beta =1,~ gamma =-3~ LEFT ( alpha > beta > gamma RIGHT )]

따라서 [eqn: alpha +2 beta +3 gamma =13]

에 대하여 [eqn: alpha +2 beta -3 gamma `]의 값을 구하시오.

▶2006년 09월 교육청(3점)

삼차방정식 [eqn: x` ^{3} +1=0``]의 한 허근을 [eqn: alpha ``]라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: bar{alpha } `]는 [eqn: alpha ``]의 켤레복소수이다.)

정답 ②

ㄱ. [eqn: x^3 +1 =(x+1)(x^2 -x+1)=0``]에서 [eqn: alpha``]는 이차방정식
[eqn: x^2 -x+1=0``]의 근이므로 [eqn: alpha`^ 2 - alpha +1=0`](참)

ㄴ. [eqn: alpha ``]가  [eqn: x^2 -x+1=0``]의 근이므로 [eqn: bar alpha``]도 근이 된다.
근과 계수의 관계에서
[eqn: alpha + bar alpha = alpha `bar alpha =1``](참)

ㄷ. [eqn: alpha ``], [eqn: bar alpha``]가 방정식 [eqn: x^3 +1=0``]의 근이므로
[eqn: alpha^3 = (`bar alpha `)^3 =-1``]

∴ [eqn: alpha^3 + (` bar alpha `)^3 =-2``]

한편, [eqn: alpha + bar alpha = alpha `bar alpha =1``]이므로

[eqn: alpha^2 + ( `bar alpha` )^2 = ( alpha + bar alpha )^2 -2 alpha bar alpha = 1 -2 =-1``]

∴ [eqn: alpha^3 + ( `bar alpha` )^3 ≠ alpha^2 + ( bar alpha`) `^2 ``]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: alpha^3 + ( `bar alpha` )^3 = ( alpha + bar alpha ) left{ alpha^2 - alpha bar alpha + ( bar alpha`) `^2 right}``]
[eqn: = alpha^2 + ( bar alpha )^2 -1 ``][eqn: ≠][eqn: alpha^2 +(` bar alpha `)^2 ``]

ㄱ. [eqn: alpha ` ^{2} - alpha +1`=`0``]

ㄴ. [eqn: alpha `+ bar{alpha } `=` alpha `` bar{alpha }` =`1``]

ㄷ. [eqn: alpha ` ^{3} +(` bar{alpha } `)` ^{3} `= `alpha ` ^{2} +(` bar{alpha } `)` ^{2} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶20년 월 교육청(3점)

계수가 실수인 [eqn: x] 에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx-8=0] 의 한 근이 [eqn: 1- sqrt {3} i] 일 때, [eqn: a+b] 의 값은?      (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ①

[출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: 1- sqrt {3} i]가 주어진 삼차방정식의 근이므로

[eqn: LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) ^{3} +a LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) -8=0]

[eqn: (-2a+b-16)-(2a+b) sqrt {3} i=0] 이고 [eqn: a,b] 가

실수이므로

[eqn: -2a+b-16=0] …①

[eqn: 2a+b=0] …②

①,②를 연립하여 풀면 [eqn: a=-4], [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE a+b=4]

(별해)

주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 [eqn: 1- sqrt {3} i] 이면 [eqn: 1+ sqrt {3} i] 도 근이다. 나머지 한 근을 [eqn: alpha]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: (1- sqrt {3} i)+(1+ sqrt {3} i)+ alpha =-a]  …①

[eqn: (1- sqrt {3} i)(1+ sqrt {3} i)+ alpha (1- sqrt {3} i)][eqn: + alpha (1+ sqrt {3} i)=b]  …②

[eqn: (1- sqrt {3} i)(1+ sqrt {3} i) alpha =8]  …③

①,②,③을 연립하여 풀면[eqn: alpha =2], [eqn: a=-4], [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE a+b=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▶2010년 10월 교육청(3점)

사차방정식 [eqn: (x ^{2} +x) ^{2} +(x ^{2} +x)-6=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], 두 허근을 [eqn: gamma ``], [eqn: delta `] 라 할 때, [eqn: gamma delta - alpha beta `] 의 값은?

정답 ④

[출제의도] 치환을 이용한 사차방정식의 풀이 이해하기

[eqn: x ^{2} +x=t`]로 놓으면

[eqn: t ^{2} +t-6=(t-2)(t+3)=0]

∴[eqn: t=2`] 또는 [eqn: t=-3]

(i) [eqn: t=2`]일 때

[eqn: x ^{2} +x=2], [eqn: x ^{2} +x-2=0`]은

판별식 [eqn: D=1 ^{2} -4‧1‧(-2)=9>0`]이므로 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]를 갖고 근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha beta = {-2} over {1} =-2`]이다.

(ii) [eqn: t=-3`]일 때

[eqn: x ^{2} +x=-3], [eqn: x ^{2} +x+3=0`]은

판별식 [eqn: D=1 ^{2} -4‧1‧`3=-11<0`]이므로 서로 다른 두 허근 [eqn: gamma `], [eqn: delta `]를 갖고 근과 계수와의 관계에서 [eqn: gamma delta = {3} over {1} =3`]이다.

따라서 [eqn: gamma delta - alpha beta =3-(-2)=5]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2010년 12월 영남권(3점)

[eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 -2x^2 -4x +k=0]의 세 근 [eqn: alpha ,````beta,````gamma``]가 다음을 만족할 때, 실수 [eqn: k``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 670]

삼차방정식 [eqn: x^3 -2x^2 -4x +k=0]의 세 근 [eqn: alpha ,```` beta ,```` gamma]이므로

[eqn: alpha^3 - 2 alpha^2 - 4 alpha +k=0] [eqn: cdotscdots] ①

[eqn: beta^3 - 2 beta^2`` - 4 beta +k=0] [eqn: cdotscdots] ②

[eqn: gamma^3 ``- 2 gamma^2 ``- 4 gamma +k=0] [eqn: cdotscdots] ③

①[eqn: +]②[eqn: +]③을 하면

[eqn: (alpha ^3 + beta^3 + gamma^3 ) - 2 (alpha^2 + beta^2 + gamma^2 ) - 4( alpha + beta + gamma ) +3k=0]

[eqn: therefore````-3k +2010=0]

[eqn: therefore ````k=670]

[eqn: (alpha ^3 + beta^3 + gamma^3 ) - 2 (alpha^2 + beta^2 + gamma^2 ) - 4( alpha + beta + gamma ) = -2010]

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▶2014년 6월 평가원[4점]

[eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `-`5x ^{2} `+`(`k`-`9`)x`+`k`-`3`=`0`]이 [eqn: 1`]보다 작은 한 근과 [eqn: 1`]보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은?

정답 ④

해설

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용하여 문제해결하기

삼차방정식 [eqn: x^3 -5x^2 +(k-9)x+k-3=0]에서 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: k-9]	[eqn: k-3]
		[eqn: -1]	[eqn: 6]	[eqn: -k+3]
	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: k-3]		[eqn: 0]

[eqn: x^3 -5x^2 +(k-9)x+k-3][eqn: =(x+1)(x^2 -6x+k-3)]이다.

[eqn: x=`-1]은 주어진 삼차방정식의 해이다.

따라서 [eqn: x ^{2} -6x+k-3=0]은 [eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f(x)=x^2 - 6x+k-3]이라 하면 [eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D over 4 =9-k+3>0]이므로

[eqn: k<12]이다.                                [eqn: CDOTS CDOTS ~㉠]

또한, [eqn: f(1)=1-6+k-3>0]이므로 [eqn: k>8]이다. [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 8<k<12]이므로 정수 [eqn: k]는 [eqn: 9`,~10`,~11]이다. 그러므로 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 30]이다.

① [eqn: 24`]	② [eqn: 26`]	③ [eqn: 28`]

④ [eqn: 30`]	⑤ [eqn: 32`]

▶2014년 6월 평가원[4점]

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -9x ^{2} +k-10=0]의 모든 근이 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 21]

해설

[출제의도] 사차방정식 해의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x^2 = t]([eqn: t ge0])라 하면 주어진 사차방정식은

[eqn: t^2 -9t+k-10=0]이므로 [eqn: t]에 대한 이차방정식이다.

즉, 방정식 [eqn: t^2 -9t+k-10=0]의 두 실근이 [eqn: 0]이상이어야 한다.

따라서 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D ge0], (두 근의 합)[eqn: GEQ 0,](두 근의 곱)[eqn: ge0]이어야 한다.

[eqn: D = 9^2 - 4 (k-10)ge0]이므로

[eqn: k le 121over4]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

(두 근의 합)[eqn: =9 GEQ 0]이므로

[eqn: k]의 값에 관계없이 성립한다.	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

두 근의 곱 [eqn: k-10 ge 0]이므로

[eqn: k ge10]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의해 [eqn: 10 le k le 121over4]이므로 모든 근이 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 10`,~11`,~ CDOTS `,~30]
이므로 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 21]이다.

▶2014년 9월 인천[4점]

그림과 같이 [eqn: 1`,~2,`~3`]의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 6`]장, [eqn: 5`]장, [eqn: 4`]장이 있다. 이 [eqn: 15]장의 카드 중 갑이 [eqn: 9`]장을 갖고 을이 나머지 [eqn: 6`]장을 가진 후 카드에 적힌 숫자를 모두 확인한 결과는 다음과 같다.

정답 ④

[출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식을 활용한 수학 외적 문제 해결하기

갑이 가진 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]의 숫자가 적힌 카드의 개수를 각각 [eqn: a`,~b`,~c`]라 하면, 을이 가진 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]의 숫자가 적힌 카드의 개수는 각각 [eqn: 6-a`,`][eqn: 5-b`,~4-c`]이다.

[eqn: a+b+c=9]

(가)에서

[eqn: a+2b+3c= LEFT ( 6-a RIGHT ) +2 LEFT ( 5-b RIGHT ) +3 LEFT ( 4-c RIGHT ) +2]

(나)에서

[eqn: a+4b+9c= LEFT ( 6-a RIGHT ) +4 LEFT ( 5-b RIGHT ) +9 LEFT ( 4-c RIGHT ) -4]

정리하면

[eqn: cases {a+b+c=9 # a+2b+3c=15#a+4b+9c=29]

[eqn: a=4`,~b=4`,~c=1`]

따라서 갑이 가진 카드 중 숫자 [eqn: 2`]가 적힌 카드는 모두 [eqn: 4`]장

	(가) 갑이 가진 카드에 적힌 [eqn: 9`]개의 수를 모두 더한 값은 을이 가진 카드에 적힌 [eqn: 6`]개의 수를 모두 더한 값보다 [eqn: 2]만큼 크다. (나) 갑이 가진 카드에 적힌 [eqn: 9`]개의 수를 각각 제곱한 후 모두 더한 값은 을이 가진 카드에 적힌 [eqn: 6`]개의 수를 각각 제곱한 후 모두 더한 값보다 [eqn: 4]만큼 작다.

갑이 가진 카드 중 숫자 [eqn: 2`]가 적힌 카드는 모두 몇 장인가?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 09월 인천시교육청(4점)

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +5x ^{2} +(k+3)x+k=0`]의 세 근이 음수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

정답　③

[출제의도] 삼차방정식의 근 이해하기

[eqn: 2x ^{3} +5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x`+k``=` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +3x+k RIGHT )]

이므로 주어진 방정식의 세 근이 음수가 되기 위해서는 [eqn: 2x ^{2} +3x+k=0]의 두 근이 음수가 되어야 한다. 따라서 [eqn: 2x ^{2} +3x+k=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta] 라 하면

(i)[eqn: ``D``=`9-8k GEQ `0````], [eqn: `` THEREFORE `k LEQ {9} over {8} ````]

(ii)[eqn: `` alpha `+` beta ```=`-` {3} over {2} `<0`]

(iii)[eqn: ```` alpha beta ``=` {k} over {2} ``>0``], [eqn: ```` THEREFORE k>0`]

(i), (ii), (iii) 으로부터 [eqn: 0<`k` LEQ ` {9} over {8}]

① [eqn: -1 LEQ k LEQ {5} over {8}]      ② [eqn: -1 LEQ k< {9} over {8}]      ③ [eqn: 0<k LEQ {9} over {8}]

④ [eqn: 0<k< {11} over {8}]        ⑤ [eqn: 1 LEQ k< {11} over {8}]

▶2012년 09월 인천시교육청(4점)

그림은 오각기둥의 전개도이다. 이 전개도의 점선을 따라 접어서 만든 오각기둥의 부피가 [eqn: 108`]일 때, 전개도에서 [eqn: x`]의 값은?

정답　③

[출제의도] 삼차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: x]

[eqn: x+1]

[eqn: x+3]

[eqn: x+2]

오각기둥의 부피를 구하면

[eqn: LEFT [ x LEFT ( x+3 RIGHT ) + {2 LEFT { LEFT ( x+3 RIGHT ) +x RIGHT }} over {2} ` RIGHT ] LEFT ( x+1 RIGHT ) =108]

[eqn: LEFT { x LEFT ( x+3 RIGHT ) +2x+3 RIGHT } LEFT ( x+1 RIGHT ) =108]

[eqn: x ^{3} +6x ^{2} +8x-105=0`]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +9x+35 RIGHT ) =0`]

[eqn: x ^{2} +9x+35 >0`]이므로 [eqn: x=3`]

[eqn: x]

[eqn: x]

[eqn: x+3]

[eqn: x+1]

[eqn: x+2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 09월 인천시교육청(4점)

그림과 같이 원 밖의 점 [eqn: rmP]에서 원에 그은 접선의 접점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 원과 만나는 두 점을 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]라 하자.

[eqn: bar{rm PB it} =x ^{2} -x+4`], [eqn: bar{rm BC it} =2x`], [eqn: bar{rm PA it} =2 sqrt {6} x`]가 되도록 하는 모든 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오.

정답　6

[출제의도] 고차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: {bar{rm PA it} }^2`= bar{rm PB it} `‧ bar{rm PC it} `]이므로

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {6} x RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( x ^{2} -x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+4 RIGHT )]이다.

즉, [eqn: x ^{4} -17x ^{2} +16=0``]

[eqn: x ^{2} =t]로 치환하면

[eqn: t ^{2} -17t+16= LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-16 RIGHT ) =0`]

[eqn: THEREFORE ``t=1], [eqn: t=16]

[eqn: x ^{2} =1], [eqn: x ^{2} =16]이므로

[eqn: x=1], [eqn: x=4]([eqn: BECAUSE ``x>0])

따라서 모든 [eqn: x`]값의 합은 [eqn: 5`]이다.

▶2012년 10월 인천시교육청(4점)

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -ax-1=0`]이 두 개의 음의 실근과 한 개의 양의 실근을 갖도록 [eqn: a`]의 값을 정할 때, [eqn: a`]의 최솟값은?

정답  ⑤

19. [출제의도] 삼차방정식의 근의 성질 이해하기

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -ax-1=(x-1) LEFT { x ^{2} +(a+1)x+1 RIGHT }]이므로 [eqn: x=1`]이 양의 실근이 된다.

따라서 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x+1=0]이 음수인 두 근을 가져야 하므로

ⅰ) [eqn: D`=(a+1) ^{2} -4 GEQ 0]

ⅱ) 두 근의 합 : [eqn: -a-1<0]

ⅲ) 두 근의 곱은 [eqn: 1`]

[eqn: THEREFORE][eqn: a`geq`1`]

① [eqn: -3]      ② [eqn: -2]      ③ [eqn: -`1]      ④ [eqn: 0]      ⑤ [eqn: 1]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

삼차방정식 [eqn: x ^3 + ax^2 + bx + c = 0 `]의 세 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma`]라 하자. [eqn: {1} over {alpha beta } `], [eqn: {1} over {beta gamma } `], [eqn: {1} over {gamma alpha } `]을 세 근으로 하는 삼차방정식을
[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-1=0`]이라 할 때, [eqn: a^2 + b^2 + c^2 `]의 값은? (단, [eqn: a,```b,```c]는 상수이다.)

정답 ①

[출제의도] 삼차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0`]의 세 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma`]이므로[eqn: alpha + beta + gamma =-a], [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha =b], [eqn: alpha beta gamma =-c]

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-1=0`]의 세 근이

[eqn: {1} over {alpha beta } `], [eqn: {1} over {beta gamma } `], [eqn: {1} over {gamma alpha } `]이므로

ⅰ) [eqn: {1} over {alpha beta } `+ {1} over {beta gamma } + {1} over {gamma alpha } = {alpha + beta + gamma } over {alpha beta gamma } = {a} over {c} =2]

ⅱ) [eqn: {1} over {alpha beta } TIMES {1} over {beta gamma } + {1} over {beta gamma } TIMES {1} over {gamma alpha } + {1} over {gamma alpha } TIMES {1} over {alpha beta }]

[eqn: = {1} over {alpha beta ^{2} gamma } `+ {1} over {alpha beta gamma ^{2}} + {1} over {alpha ^{2} beta gamma }]

[eqn: = {alpha gamma + alpha beta + beta gamma } over {( alpha beta gamma ) ^{2}} = {b} over {c ^{2}} =3]

ⅲ) [eqn: {1} over {alpha beta } TIMES {1} over {beta gamma } TIMES {1} over {gamma alpha } = {1} over {( alpha beta gamma ) ^{2}} = {1} over {c ^{2}} =1]

[eqn: c ^{2} =1]이므로 ⅰ)에서 [eqn: a ^{2} =4], ⅱ)에서 [eqn: b ^{2} =9]

[eqn: ` THEREFORE ````a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =14]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 16`]
④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 18`]

▶2011년 10월 인천교육청(4점)

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 서로 다른 두 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]이고, 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax-36=0`]의 서로 다른 세 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma `]일 때 [eqn: b-a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.)

정답 [eqn: 9]

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 이용하여 수학 내적 문제해결하기

[eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: alpha,~ beta] 이고

[eqn: x^3 +ax-36=0]의 세 근이 [eqn: alpha,~ beta,~ gamma] 이므로

[eqn: x^3 +ax-36=(x^2 +ax+b)(x- gamma)]

[eqn: =x^3 +(a- gamma )x^2 +(b-a gamma)x -b gamma]

따라서 [eqn: {cases{0=a- gamma~~``` CDOTS ㉠ #a=b-a gamma ~~ CDOTS ㉡#36=b gamma~~````````` CDOTS ㉢ }}]

㉠에서 [eqn: a= gamma] 이므로

㉡에서 [eqn: b=a^2 +a], ㉢에서 [eqn: ab=36]

연립하여 [eqn: a,~b]를 구하면 [eqn: a=3,~b=12]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b-a=9]

▶2011년 03월 부산교육청(4점)

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: 1,``` alpha ,` ``beta]가 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 때, 상수 [eqn: k]의 값은 [eqn: {n} over {m}]이다. [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m]과 [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

정답 ①
[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 지각삼각형의 성질을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0]의 한 실근이 [eqn: 1]이므로

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x+k RIGHT ) =0]이다.

따라서 [eqn: alpha , beta]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+k=0]의 서로 다른 두 실근이므로 [eqn: alpha + beta =3,```` alpha beta =k]이다.

ⅰ) [eqn: 1]이 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =9-2k=1]에서 [eqn: k=4]이므로

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+4=0]은 실근을 갖지 않는다.

ⅱ) [eqn: alpha]가 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우

[eqn: 1+ beta ^{2} = alpha ^{2} ,```` alpha ^{2} - beta ^{2} = LEFT ( alpha - beta RIGHT ) LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =1]에서

[eqn: alpha - beta = {1} over {3}]이므로 [eqn: alpha = {5} over {3} ,```` beta = {4} over {3}]

따라서 [eqn: k= {5} over {3} TIMES {4} over {3} = {20} over {9}]이다.

ⅲ) [eqn: beta]가 직각삼각형의 빗변의 길이인 경우

ⅱ)와 같은 방법으로 [eqn: k= {20} over {9}]이다.

[eqn: THEREFORE ```m+n=9+20=29]

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

▶2100년 11월 교육청(4점)

방정식 [eqn: x^3 -1=0]의 한 허근을 [eqn: w]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른것은?

정답 ⑤

ㄱ. [eqn: x^3 -1=0]에서 [eqn: w^3 =1]이므로
[eqn: w^10 = (w^3 )^3 w=w] (참)
ㄴ. [eqn: w^2 +w+1=0,~{bar{w}}^2 + barw + 1=0]이므로
[eqn: w^2 over{1+w} + bar{w} over {1+ {bar{w}}^2} = -2] (참)
ㄷ. [eqn: w^4n + (w+1)^4n + 1]
[eqn: =(w^3 w)^n + (-w ^2 )^4n + 1]
[eqn: =(w^3 w)^n + (w^3 )^2x w ^2n + 1]
[eqn: = w^n +w^2n +1 = w^2n +w^n +1]
(ⅰ) [eqn: n=3k] [eqn: (k=1,~2,~3,~ CDOTS)]이면,
[eqn: w^2n =1,~w^n =1]이므로 [eqn: w^2n + w^n +1 =3]
(ⅱ) [eqn: n=3k+1] [eqn: (k=0,~1,`2,~ CDOTS)]이면,
[eqn: w^6k+2 + w^3k+1 +1=w^2 +w+1=0]
(ⅲ) [eqn: n=3k+2] [eqn: (k=0,~1,~2,~ CDOTS)]이면
[eqn: w^6k+4 + w^3k+2 +1]
[eqn: =w^4 +w^2 +1 = w+ w^2 +1 =0]
그러므로 [eqn: w^4n + (w+1)^4n +1 =0]을 만족시키는 [eqn: 30]이하의 양의 정수 [eqn: n]의 개수는
[eqn: 30-]([eqn: 3]이하의 [eqn: 3]의 배수의 개수)
[eqn: =30-10=20]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: w^10 =w]

ㄴ. [eqn: w^2 over{1+w} + bar{w} over{1+ {bar{w}}^2}=-2] (단, [eqn: barw]는 [eqn: w]의 캴레복소수이다.)

ㄷ. [eqn: w^4n + (w+1)^4n +1 =0]을 만족시키는 [eqn: 30]이하의 양의 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 20]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2013년 11월 서울(4점)

방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -6x+8 RIGHT ) =120]의 한 허근을 [eqn: omega]라  때, [eqn: omega ^{2} -5 omega]의 값은?

정답 ①

[eqn: LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -6x+8 RIGHT ) =120]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) =120]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -5x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+6 RIGHT ) =120]

[eqn: x ^{2} -5x=t]라 하면

[eqn: LEFT ( t+4 RIGHT ) LEFT ( t+6 RIGHT ) -120=0]
[eqn: t ^{2} +10t-96=0]

[eqn: LEFT ( t-6 RIGHT ) LEFT ( t+16 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -5x-6 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+16 RIGHT ) =0]

[eqn: x ^{2} -5x-6=0] 또는 [eqn: x ^{2} -5x+16=0]
[eqn: x ^{2} -5x-6= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) =0]은
서로 다른 두 실근 [eqn: -1], [eqn: 6]을 갖는다.

[eqn: x ^{2} -5x+16=0]이 허근을 가지므로

[eqn: omega ^{2} -5 omega =-16]

① [eqn: -16]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -12]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -8]

▶2005년 11월 전국연합(4점)

삼차방정식 [eqn: x^3 = 1]의 한 허근을 [eqn: omega`]라 할 때,

정답 15

[eqn: omega]는 [eqn: x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1 )=0]의 한 허근이므로

[eqn: omega^3 = 1,~ omega^2 + omega +1 = 0]을 만족한다.

[eqn: omega + 1 = omega^4 + 1 = omega^7 + 1 = cdots = omega^28 +1 = -omega^2]

[eqn: omega^2 + 1 = omega^5 +1 = omega^8 + 1 = cdots = omega^29 + 1 = - omega], [eqn: omega^2 + omega =-1]이고

[eqn: 1over{omega+1} + 1 over {omega^2 +1}+ 1 over {omega^3 +1}= & {omega^3 }over{- omega^2} + {omega^3}over{-omega}+ 1 over 1+1 #= &- omega -omega^2 + 1over2 #=& -(omega^2 +omega) + 1over 2 #=& -(-1)+ 1over 2 = 3over 2]

이므로 주어진 식의 값은 [eqn: 3 over 2 times 10 = 15]

[eqn: 1 over{omega^` +1 } + 1 over{omega^2^` +1 }+ 1 over{omega^3^` +1 }+``cdots `` + 1 over{omega^30^` +1 }]의 값을 구하시오.

▶2012년 09월 인천시교육청(3점)

연립방정식 [eqn: cases{` x+y-z=4 #`x-y+z=2#`x+y+z=12 }`]를 만족하는 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대하여 [eqn: xyz`]의 값을 구하시오.

정답　60

[출제의도] 연립방정식의 해 구하기

[eqn: x+y-z=4``] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: x-y+z=2``] [eqn: CDOTS]㉡

[eqn: x+y+z=12``] [eqn: CDOTS]㉢

㉠[eqn: +]㉡을 하면  [eqn: x=3`], ㉡[eqn: -]㉢을 하면 [eqn: y=5],

㉢[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: z=4] 이므로 [eqn: xyz=60`]

▶2013년 11월 서울(3점)

연립방정식 [eqn: {cases{`x+y=5 _{{} _{}} ^{{} ^{}}&`#`y+z=6 _{{} _{}} ^{{} ^{}}&`#`2x+z=7 _{{} _{{} _{}}} ^{{} _{{} _{}} ^{}}&`}}]의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta], [eqn: z= gamma `]라
할 때, [eqn: alpha ` beta ` gamma `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

연립방정식

[eqn: {cases{`x+y=5 _{}&``` CDOTS CDOTS ㉠ _{}#`y+z=6 _{} ^{}&``` CDOTS CDOTS ㉡ _{} ^{}#`2x+z=7 ^{}&``` CDOTS CDOTS ㉢ ^{}}}]
[eqn: ㉡], [eqn: ㉢]에서

[eqn: 2x-y=1`][eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉣]에서

[eqn: x=2]이므로 [eqn: y=3], [eqn: z=3]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: alpha =2], [eqn: beta=3]，[eqn: gamma =3]

따라서 [eqn: alpha ` beta ` gamma =18]

▶2014년 6월 평가원[3점]

연립방정식

정답 [eqn: 16]

해설

[출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식 이해하기

[eqn: LEFT { ` {matrix{x-2y=10~~~~~``&`` CDOTS CDOTS ~㉠#x-y-z=8~~~~``&`` CDOTS CDOTS ~㉡#x+3y+z=`-12&`` CDOTS CDOTS ~㉢}} RIGHT .]

㉡[eqn: +]㉢을 계산하면

[eqn: 2x+2y=`-4]	[eqn: cdots][eqn: cdots~㉣]

㉠[eqn: +]㉣를 계산하면 [eqn: 3x=6]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉣, ㉤에 의해 [eqn: x=2], [eqn: y=`-4], [eqn: z=`-2]이다.

따라서 [eqn: xyz=16]이다.

[다른풀이]

㉠+㉡+㉢을 계산하면 [eqn: 3x=6]이므로 [eqn: x=2]이다.

㉠, ㉡에 의해 [eqn: y=`-4], [eqn: z=`-2]이므로 [eqn: xyz=16]이다.

[eqn: LEFT { `` {matrix{x`-`2y`=`10~~~~~``#x`-`y`-`z`=`8~~~````#x`+`3y`+`z`=`-12}} RIGHT .]

를 만족시키는 [eqn: x`,``y`,``z`]에 대하여 [eqn: xyz`]의 값을 구하시오.

▶2014년 6월 평가원[4점]

연립방정식

정답 [eqn: 25]

해설

[출제의도] 미지수가 2개인 연립이차방정식 이해하기

[eqn: LEFT { `` {matrix{``x ^{2} -y ^{2} =6~~~~~~~~~~&` CDOTS CDOTS `㉠#(x+y) ^{2} -2(x+y)=3&` CDOTS CDOTS `㉡}} RIGHT .]

식 ㉡에서 [eqn: x+y=t]라 하면 [eqn: t^2 -2t-3=0]이므로

[eqn: (t-3)(t+1)=0] 즉, [eqn: t=3] 또는 [eqn: t=`-1]이다.

그러므로 [eqn: x+y=3] 또는 [eqn: x+y=`-1]이다.

한편, [eqn: x], [eqn: y]는 양수이므로

[eqn: x+y=3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

식 ㉠을 인수분해하면 [eqn: (x+y)(x-y)=6]이므로

㉢에 의해 [eqn: 3(x-y)=6]이다.

따라서 [eqn: x-y=2]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

이다.

㉢+㉣을 계산하면 [eqn: 2x=5]이므로 [eqn: x= 5over2]이다.

[eqn: x= 5over2]를 ㉢에 대입하면 [eqn: y= 1over2]이다.

따라서 [eqn: 20xy=25]이다.

[다른풀이]

[eqn: LEFT { `` {matrix{``x ^{2} -y ^{2} =6~~~~~~~~~~&` CDOTS CDOTS `㉠#(x+y) ^{2} -2(x+y)=3&` CDOTS CDOTS `㉡}} RIGHT .]

[eqn: x+y=alpha `,``xy=beta]라 하면 [eqn: (x-y)^2 = (x+y)^2 -4xy]이므로

[eqn: (x-y) ^{2} = alpha ^{2} -4 beta]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

식 ㉡에 의해 [eqn: alpha^2 - 2alpha-3=0]이 된다.

그러므로 [eqn: alpha=3] 또는 [eqn: alpha=`-1]이고 [eqn: x], [eqn: y`]는 양수이므로 [eqn: alpha=3] 즉, [eqn: x+y=3]이다.

따라서 식 ㉢은 [eqn: (x -y )^2 = 9-4beta]이다.

또한, 식 ㉠을 제곱하면 [eqn: (x^2 - y^2 )^2 = 6^2]이고, 등식을 정리하면 [eqn: (x+y)^2 (x-y)^2 = 6^2]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

식 ㉣에 [eqn: x+y=3]과 식 ㉢을 대입하면

[eqn: 3^2 (9 - 4beta) = 6^2]이므로 [eqn: 9-4beta= 4] 즉, [eqn: beta= 5over4]이다.

따라서 [eqn: 20xy=25]이다.

[eqn: LEFT { `` {matrix{x ^{2} `-`y ^{2} `=`6`~~~~~~~~~~~#(`x`+`y`) ^{2} `-`2(`x`+`y`)`=`3`}} ` RIGHT .]

을 만족시키는 양수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: 20xy`]의 값을 구하시오.

▶2011년 03월 부산교육청(4점)

연립방정식 [eqn: cases{```x`+y`-z= `6 _{`} `#````x`-y`+z= `-4 _{`} `#```-x`+y` +z= `8 _{`}]의 해를 [eqn: x= alpha ,] [eqn: y= beta,] [eqn: ~ z= gamma]라 할 때 [eqn: alpha^2 + beta^2 + gamma^2]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 54]
[출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {cases{```x`+y`-z=`6~~& CDOTS CDOTS `` ㉠_` _`# ````x`-y`+z=`-4 ~~ & CDOTS CDOTS`` ㉡_`_` #```-x`+y`+z=`8 & CDOTSCDOTS ``㉢ _{`}}}]

㉠[eqn: +]㉡에서 [eqn: x=1]

㉡[eqn: +]㉢에서 [eqn: z=2]

㉢[eqn: +]㉠에서 [eqn: y=7]

[eqn: ∴```alpha^2 + beta^2 + gamma^2 = 1^2 +7^2 +2^2 =54]

▶2005년 10월 인천시(4점)

두 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b``=`0], [eqn: x ^{2} -bx+a``=`0] 은 공통근을 갖는다. [eqn: x ^{2} -ax+b=0] 의 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] 라 하고 [eqn: x ^{2} -bx+a=0] 의 근을 [eqn: alpha], [eqn: gamma] 라 할 때, [eqn: alpha][eqn: +][eqn: beta][eqn: +][eqn: gamma] 의 값은? (단, [eqn: a != b])

정답 ③

공통근이 [eqn: alpha] 이므로

[eqn: cases{alpha ^{2} -a alpha +b=0&``…``㉠#alpha ^{2} -b alpha +a=0&``…``㉡}]

[eqn: ㉠-㉡] 하면 [eqn: -a alpha+b alpha+b-a=0]

[eqn: (b-a) alpha +(b-a)=0]

[eqn: ( alpha +1)(b-a)=0]

공통근 [eqn: alpha=-1] ([eqn: BECAUSE] [eqn: a != b]) ㉠ 에 대입하면 [eqn: a+b=-1]

[eqn: alpha + beta + gamma =][eqn: (alpha + beta) + (alpha + gamma)-alpha]         [eqn: =a+b-(-1)=-1+1=0]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2012년 11월 경기도교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: rm bar{AD} `:bar{DC} `=3:2]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다.
변 [eqn: rm AD]를 삼등분한 점들 중 [eqn: rm A]에 가까운 점을 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmD]에 가까운 점을 [eqn: rm P _{2}]라 하고, 변 [eqn: rm DC]를 삼등분한 점들 중 [eqn: rm D]에 가까운 점을 [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rmC]에 가까운 점을 [eqn: rm Q _{2}]라 하자.

세 삼각형 [eqn: rm A`Q _{1} `D], [eqn: rm P _{1} `Q _{2} `D], [eqn: rm P _{2} `C`D]의 넓이의 합이 [eqn: 10]일 때,
직사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 길이는?

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm Q _{2}]

정답 ②

[출제의도] 연립이차방정식을 활용하여 추론하기

[eqn: bar{rm AD it} =x], [eqn: bar{rm DC it} =y`]라 하면 [eqn: x:y=3:2]

[eqn: 2x=3y`] [eqn: CDOTSCDOTS ㉠]

[eqn: TRIANGLE rm AQ _{1} D + TRIANGLE rm P _{1} Q _{2} D+ TRIANGLE rm P _{2} CD][eqn: = {xy} over {6} + {2xy} over {9} + {xy} over {6} = {5xy} over {9} =10]에서

[eqn: xy=18] [eqn: CDOTSCDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: x=3 sqrt {3}], [eqn: `y=2 sqrt {3}]

따라서 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 10 sqrt {3}]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 10 sqrt {3}]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 10 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 10 sqrt {6}]

▶2011년 10월 인천교육청(4점)

연립방정식

정답 ①

[출제의도] 이차연립방정식의 해 구하기

[eqn: {cases{``x ^{2} -xy=2~~ CDOTS ㉠#``xy-y ^{2} =6~~CDOTS ㉡}}]

[eqn: ㉠ TIMES 3-㉡] :

[eqn: 3x ^{2} -4xy+y ^{2}= LEFT ( x-y RIGHT )LEFT ( 3x-y RIGHT ) =0]

ⅰ) [eqn: x=y] 일 때, 해가 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: 3x=y] 일 때, [eqn: ㉠]에서 [eqn: x ^{2} =-1] 이므로

[eqn: x=i,~y=3i] 또는 [eqn: x=-i,~y=-3i]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha beta =-3]

[eqn: {cases{``x ^{2} -xy=2&#``xy-y ^{2} =6&}}]

의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: alpha`beta`]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

[eqn: x,``y,``z`]에 대한 연립방정식

정답 [eqn: 5]

[출제의도] 연립방정식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: {cases{``3x-y+2z=4&``````````` CDOTS CDOTS `①#``x-2y+2z=1&``````````` CDOTS CDOTS `②#``ax+ay-2z=0&``````````` CDOTS CDOTS `③}}]

[eqn: ①-②]에서 [eqn: 2x+y=3]              [eqn: ```CDOTS CDOTS ``④]

[eqn: ②+③]에서 [eqn: (a+1)x+(a-2)y=1 _{}]   [eqn: CDOTS CDOTS ``⑤]

[eqn: ④]식을 [eqn: ⑤]식에 대입하면

[eqn: (5-a)x=7-3a]이고

방정식의 해가 존재하지 않으려면 [eqn: 5-a=0]이고 [eqn: 7-3a !=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=5]

[eqn: {cases{``3x-y+2z=4_`_`#``x-2y+2z=1_`_`#``ax+ay-2z=0}}]

의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

▶2005년 10월 평가원(수행평가)(4점)

연립방정식[eqn: cases{ x^2 +2x-y ` = ` 11## ` 2x^2 +3x -2y` =`18``}] 의 해를 구하시오.                                                      [4점]

정답 : [eqn: x ` = ` 4 `, ````` ~ y`=`13``]

[eqn: cases{ x^2 +2x-y ` = ` 11 ~~⋯````㉠```````## ` ` 2x^2 +3x -2y` =`18` ` ~~⋯````㉡}]

에서 [eqn: x^2 `]과 [eqn: y`]를 소거하기 위하여 ㉠×2 - ㉡을 하면,

[eqn: ````````` 2x^2 +4x-2y ` = ` 22 `# -)under {2x^2 +3x -2y` =`18` }#`` `````````````````````````````x ` ~~~~~= ` 4 `]

[eqn: x ` = ` 4 `]를 ㉠에 대입하면

[eqn: 16`+`8`-`y`=`11 ~~~~∴``y`=`13]

▶2013년 9월 인천청(4점)

그림과 같이 직선 도로 위에 세 지점 [eqn: rmA,````B,````C`]가 있고 갑은 [eqn: rmA], 을은 [eqn: rmB`]에 있다.

정답 [eqn: 24]

[eqn: rmA`]와 [eqn: rmB] 사이의 거리를 [eqn: x], [eqn: rmB`]와 [eqn: rmC] 사이의 거리를 [eqn: y`]라 하자.

(ⅰ) 갑이 [eqn: a`]만큼 이동하였을 때, 을이 이동한 거리는 [eqn: a-x`]이므로
[eqn: a-x= {1} over {2} LEFT ( x+y RIGHT )]

(ⅱ) 을이 이동한 거리가 [eqn: a`]일 때, 갑이 [eqn: rmA`]에서 출발하여 이동한 거리는 [eqn: x+a`]이므로 [eqn: x+a=y`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: y=x+x+ {1} over {2} LEFT ( x+y RIGHT ) `]이므로

[eqn: y=5x]

이때, 이동한 거리의 총합은

[eqn: x+y+y=x+2y=66`]이므로 [eqn: x=6,````y=30]

따라서 [eqn: a=y-x=30-6=24]

갑이 [eqn: rmA`]에서 출발하여 [eqn: rmB`]를 거쳐 [eqn: rmC`]를 향하여 움직인다. 갑이 [eqn: rmB`]에 도착하였을 때, 을이 [eqn: rmB`]를 출발하여 갑과 을이 동시에 [eqn: rmC`]에 도착하였다. 갑과 을이 같은 속도로 움직였을 때, 다음은 갑과 을의 이동거리에 관한 설명이다.

(ⅰ) 갑이 [eqn: rmA`]에서 출발한 후 [eqn: a`]만큼 이동하였을 때, 을이 이동한 거리는 [eqn: rmA`]에서 [eqn: rmC`]까지 거리의 [eqn: {1} over {2} `]이다.

(ⅱ) 을이 [eqn: rmB`]에서 출발한 후 [eqn: a`]만큼 이동하였을 때, 갑이 [eqn: rmA`]에서 출발하여 이동한 거리는 [eqn: rmB`]에서 [eqn: rmC`]까지 거리와 같다.

갑과 을이 이동한 거리의 총합이 [eqn: 66`]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: rmA`]에서 [eqn: rmB`]까지의 거리는 [eqn: a`]보다 작고, 직선 도로의 폭은 무시한다.)

빠른정답

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ①

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 670]

정답 ④

정답 [eqn: 21]

정답 ④

정답　③

정답　③

정답　6

정답  ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 9]

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 15

정답　60

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 16]

정답 [eqn: 25]

정답 [eqn: 54]

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 5]

정답 : [eqn: x ` = ` 4 `, ````` ~ y`=`13``]

정답 [eqn: 24]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 18]

정답 ③

정답 [eqn: 9]

정답 ③

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 42]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답　③

정답 ④

정답　①

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 13

정답 10

정답 ④

[정답] ①

[정답] ③

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: 25]

정답 ④

정답 [eqn: 13``]

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 22]

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

[정답] ④

정답 ③

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 16]

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 12``]

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답  20

정답  ②

정답 80

정답 ④

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 25]

[정답] ③

[정답] ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 [eqn: 200]

정답 ①

정답 95

정답 7

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 19]

정답 ➃

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답　②

정답　14

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

정답 ⑤

정답 [eqn: 13``]

정답 ③

정답 [eqn: 12]

정답 50

정답  ④

정답 ⑤

정답 ②

정답　9

정답  11

정답 [eqn: 8]

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 34]

정답 [eqn: 30]

정답 ⑤

정답 [eqn: 24]

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 (1)[eqn: 13 over 5]

(2) [eqn: 13]

정답 [eqn: 8]

정답 30

정답 ①

정답 4

정답  ③

정답 5

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ②

정답  ④

정답  ③

정답 8

정답 ①

정답 ⑤

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 15]

정답 [eqn: 28]

정답 ①

정답 [eqn: 8]

정답 ③

정답 ③

정답  (1) [eqn: y`=`4over3 x `]

(2) [eqn: 14over5]

(3) [eqn: `7]

정답 [eqn: 116]

정답 ④

정답 [eqn: 11]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 6]

정답 31

정답 25

정답 75

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 18``]

정답  ①

정답 ③

정답 ④

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 113]

정답 [eqn: 70]

정답 ③

정답 [eqn: 16]

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 97]

정답 ②

정답[eqn: 40]

정답 ③

정답 [eqn: 147]

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 26

정답  15

정답 [eqn: 38]

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 130

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 150]

정답 ③

정답  ③

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 27]

정답 [eqn: 13]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 [eqn: 28]

정답 ④

정답 [eqn: 45]

정답 ①

정답  ②

정답 ⑤

정답 [eqn: 32]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: -2 <a < 6 `]

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답  ②

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 24

정답15

정답 ⑤

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 4]

정답 [eqn: 52]

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 500]

정답 ②

정답 ④

정답 [eqn: 36]

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 160]

정답 및 풀이