직선의 방정식                                                                                                  Math Shin

Theme #4. 직선의 방정식

Theme Math

Remark) 지금까지 우리가 다룬 도형은 점이었다. 이제 무수히 많은 점으로 구성되어 있는 직선에 대한 이론이 등장하는 것은 어쩌면 자연스럽다. 기본적으로 직선이 하나 주어지면 이 직선은 좌표평면 위에서 해석되어 그 도형(직선)을 나타내는 관계식이 나타나게 되는데 이 관계식을 이용하여 직선의 다양한 성질을 분석하게 된다.

Note) 이제 주어진 직선을 나타내는 직선의 방정식을 구해내는 것이 기본이 될 것이고 이는 중학교에서 학습한 직선의 결정조건으로부터 출발한다.

Review) 직선의 결정조건

#1. 서로 다른 두 점이 주어지면, 두 점을 지나는 직선을 유일하게 결정할 수 있다.

#2. 한 점과 직선의 기울기가 주어지면 직선은 유일하게 결정된다.

Def 4.1) 직선의 기울기

직선 위의 임의의 서로 다른 두 점 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} )]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 [eqn: x]의 변화량에 대한 [eqn: y]의 변화량의 비 [eqn: m= {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}}]의 값은 항상 일정하다. 따라서 [eqn: m]을 방향이 같은 직선들이 공유하는 고유한 값으로 생각할 수 있다.

Note) 실제로 주어진 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, 기울기 [eqn: m=tan theta]이다.

cf) 직선의 기울기의 성질

(1) [eqn: m>0]이면 직선은 우측 상단을 그 방향으로 한다.

(2) [eqn: m<0]이면 직선은 좌측 상단을 그 방향으로 한다.

(3) [eqn: m]의 절댓값이 커질수록 [eqn: y]축에 접근하게 된다.

ex#1) [eqn: rm bar{AB} it =a,~ rm bar{BC} it =b] 인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에서 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 내부에 점 [eqn: rm P`]를 잡고, 점 [eqn: rm P`]에서 변 [eqn: rm AB,~AD`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E,~F`]라 하자. [eqn: rm bar{PE} it =n,~ rm bar{PF} it =m]일 때 ,  <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

<보기>

ㄱ. [eqn: {n} over {m} `<` {b} over {a}]     ㄴ. [eqn: {n} over {m} `<` {b-n} over {a-m}]     ㄷ. [eqn: {b-n} over {a-m} `<` {b} over {a}]

Thm 4.1) 직선의 방정식(기울기와 한 점이 주어진 경우)

(1) 기울기가 [eqn: m]이고, 한 점 [eqn: A(x _{1`} ,```y _{1} )]을 지나는 직선의 방정식 :

[eqn: y-y _{1} =m(x-x _{1} )]

(2) 기울기가 [eqn: m]이고, [eqn: y]절편이 [eqn: b]인 직선의 방정식 : [eqn: y=mx+b]

특히, [eqn: m=0]일 때 [eqn: x]축과 평행이 직선이 나타나게 된다.

Pf) Based on 자취의 방정식!!!

Thm 4.2) 직선의 방정식(서로 다른 두 점이 주어진 경우)

(1) 서로 다른 두 점 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} )]를 지나는 직선의 방정식

① [eqn: x _{2} != x _{1}]이면 [eqn: y-y _{1} = {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} (x-x _{1} )]

② [eqn: x _{2} =x _{1}]이면 [eqn: x=x _{1} ```또는````x=x _{2}] ([eqn: y]축과 평행인 직선)

(2) [eqn: x]절편이 [eqn: a], [eqn: y]절편이 [eqn: b]인 직선의 방정식

[eqn: {x} over {a} + {y} over {b} =1](단, [eqn: a != 0,```b != 0])

Pf) Use Thm 4.1!!!

Note) 직선의 방정식을 구할 때 주어지는 점이 절편이라면 문제는 훨씬 수월해진다.

Note) 직선의 방정식의 일반형

[eqn: x,```y]에 대한 일차방정식 [eqn: ax+by+c=0](단, [eqn: a != 0```또는```b != 0])이 나타내는 도형은 직선이다.

ex#2) 방정식 [eqn: x ^{2} +xy+my ^{2} -5x+2y+4=0]이 두 직선을 나타낼 때, 이 두 직선과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

ex#3) 그림과 같이 직선 [eqn: l``:``2x+3y=12`]와 두 점 [eqn: rm A it (4,``0)], [eqn: rm B it (0,``2)`]가 있다. [eqn: rm ` bar{AP} = bar{BP} `]가 되도록 직선 [eqn: l`]위의 점 [eqn: rm P it (a,``b)`]를 잡을 때,  [eqn: 8a+4b`]의 값을 구하시오.

[eqn: l]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P(it a,~b)]

ex#4) 그림과 같이 원점을 지나는 직선 [eqn: l`]이 원점 [eqn: rm O`]와 다섯 개의 점 [eqn: rm A(5,`0)], [eqn: rm B(5,`1)], [eqn: rm C(3,`1)], [eqn: rm D(3,`3)], [eqn: rm E(0,`3)`]을 선분으로 이은 도형 [eqn: rm OABCDE`]의 넓이를 이등분한다. 이때 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

ex#5) 좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 5,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,``1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,``0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rmOC]위를 움직이는 점 [eqn: rmD]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이가 같을 때, 직선 [eqn: rmAD]의 기울기는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

ex#6) 좌표평면에 세 점 [eqn: {rmO}(0,``0)`], [eqn: {rmA}(6,``2)`], [eqn: {rmB}(-2,``4)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다.

직선 [eqn: rmOA`] 위의 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: rmOB`] 위의 점 [eqn: rmQ`]가 다음 조건을 만족한다.

(가) 점 [eqn: rm P`]는 제 [eqn: 1`]사분면, 점 [eqn: rmQ`]는 제 [eqn: 2`]사분면 위의 점이다.

(나) ([eqn: △rmOPB`]의 넓이)[eqn: = 1 over 2 × `]([eqn: △rmOAB`]의 넓이)

(다) ([eqn: △rmOPQ`]의 넓이)[eqn: = 3 over 2 × `]([eqn: △rmOPB`]의 넓이)

이때, 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 [eqn: mx+ny=21`]이다. 두 실수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 합 [eqn: m+n`]의 값은?

ex#7) 네 점 [eqn: rm O it (0, ``0),~ rm A it (6,``0),~ rm B it (6,``12),~ rm C it (0,``12)`]를 꼭지점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x+a`], [eqn: y=x+b`]가 사각형 [eqn: rm OABC`]의 넓이를 삼등분할 때, [eqn: a`b`]의 값은?

ex#8) 좌표평면 위에서 직선 [eqn: y`=`2x`+`2``]가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: {\A}``]라 하고 이 직선 위의 임의의 점 [eqn: {\P}`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H``]라 하자. 이때 삼각형 [eqn: ` rm PAH it `]의 넓이가 [eqn: 5``]가 되도록 하는 점 [eqn: {\P}``]는 두 개가 있다. 이 두 점의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ``], [eqn: beta ``]라 할 때, [eqn: alpha ` beta ``]의 값은?

ex#9) 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x+3], [eqn: y=a`x+b``(`a>0)]가 제[eqn: 1]사분면의 한 점 [eqn: rm A]에서 만난다. 직선 [eqn: y=x+3`]이 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B`,~C`]라 하고 직선 [eqn: y=a`x+b`]가 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: TRIANGLE rm ABO`][eqn: =`2` TRIANGLE rm BOC], [eqn: TRIANGLE rm AC`D][eqn: =3` TRIANGLE rm BOC``]일 때, 상수 [eqn: a`,~b``]의 값은? (단, [eqn: rm `O`]는 원점이다.)

ex#10) 좌표평면 위의 네 점 [eqn: A(1,```5),```B(-2,```1),```C(3,```1),```D(3,```5)]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: ABCD]의 내부의 한 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: {bar{PA}} + {bar{PB}} + {bar{PC}} + {bar{PD}}]의 값이 최소일 때, 점 [eqn: P]의 좌표를 구하시오.

Theme #5. 점과 직선사이의 거리

Remark) 거리를 “측정”하는 것은 기하학의 기본이다. 현재까지 두 점 사이의 거리를 계산할 수 있고 이제 점과 직선사이의 거리(물론, 최단거리)를 구해보도록 하자.

Thm 5.1) 점과 직선사이의 거리

점 [eqn: P(x _{1} ,```y _{1} )]과 직선 [eqn: ax+by+c=0]사이의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d= {LEFT | ax _{1} +by _{1} +c RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]

Pf)

cf) 평행한 두 직선 사이의 거리

[eqn: 3x+2y-4=0,````3x+2y+5=0]사이의 거리는?

ex#11) 직선 [eqn: (4+2k)x+(3-k)y-18-4k=0]은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다. 이 점에서 직선 [eqn: 3x+2y=0]에 이르는 거리를 구하여라.

ex#12) 좌표평면 위의 원점에서 직선 [eqn: 3x-y+2-k(x+y)=0`]까지의 거리의 최댓값은? (단, [eqn: k`]는 실수이다.)

ex#13) 그림과 같이 세 점 [eqn: rm O it (0,~0)], [eqn: rm A it (3,~4)], [eqn: rm B it (1,~0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm AOB`]가 있다. [eqn: ANGLE rm A`]의 외각의 이등분선이 [eqn: x`]축과 만나는 점 [eqn: rm C]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: a+b sqrt {5} `]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.)

ex#14)  그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 4], 세로의 길이가 [eqn: 6]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rm DC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하고, 대각선 [eqn: rm AC] 위의 임의의 한 점 [eqn: rm P]에서 세 직선 [eqn: rm BC], [eqn: rm DC], [eqn: rm AM]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm `Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PS`}]를 만족시킬 때, 선분 [eqn: rm `PR]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

ex#15) 그림과 같이 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 각 꼭짓점을 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하면 [eqn: bar{rm AB it} `=4], [eqn: bar{rm BC it} `=2]이다. [eqn: ANGLE rm EBC=30 DEG]가 되도록 변 [eqn: rm CD] 위에 점 [eqn: rm E]를 정하고 선분 [eqn: rm BE]를 따라 이 종이를 접으면 점 [eqn: rm C]는 점 [eqn: rm C prime]으로 옮겨진다. 점 [eqn: rm C prime]과 대각선 [eqn: rm BD] 사이의 거리가 [eqn: a sqrt {5} -b sqrt {15}]일 때, [eqn: 100ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: rm C']

[eqn: rm E]

Theme #6. 두 직선의 위치관계

Remark) 주어진 정보에 의하여 직선의 방정식을 구성하는 과정에서 “기울기”의 중요성은 확인이 되었다. 또한, 중학교 때 이미 평면위의 두 직선의 위치관계는 (1) 평행 (2) 일치 (3) 한 점에서 만난다 로 구분되어짐을 배웠다. 결국 두 직선의 위치관계는 직선의 방정식을 결정짓는 가장 중요한 요소 “기울기”로 해석되어지는 것은 어쩌면 당연하다.

Thm 6.1) 두 직선의 위치관계

두 직선 [eqn: {cases{y=mx+n&#y=m prime x+n prime &}}]에 대하여

(1) 평행 [eqn: LRARROW `] [eqn: m=m prime ,```n != n prime] [eqn: LRARROW] 연립방정식의 해가 존재하지 않는다.

(2) 일치 [eqn: LRARROW `] [eqn: m=m prime ,```n=n prime] [eqn: LRARROW] 연립방정식의 해가 무수히 많다.

(3) 한 점에서 만난다 [eqn: LRARROW] [eqn: m != m prime]

(4) 수직 [eqn: LRARROW `] [eqn: mm prime =-1]

Pf)

Note) 두 직선의 일반형 [eqn: ax+by+c=0,```a prime x+b prime y+c prime =0]을 이용하여 Thm 6.1의 내용을 점검!!

ex#16) 두 점 [eqn: A(-1,```2),```B(3,```10)]을 지나는 직선에 수직이고, 선분 [eqn: AB]를 2:1로 외분하는 점 [eqn: `C]를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

ex#17) 세 직선 [eqn: x-2y=-2,```2x+y=6,```ax-y=2]가 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

ex#18) 두 직선
[eqn: l```:`ax-y+a+2=0]
[eqn: m```:`4x+ay+3a+8=0]
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오. (단, [eqn: a`]는 실수이다.)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=`0`]일 때 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]은 서로 수직이다. ㄴ. 직선 [eqn: l`]은 [eqn: a`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1`,~2)`]를 지난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]이 평행이 되기 위한 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

ex#19) 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A`,~B`,~C`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심을 [eqn: rm G`]라 하고, 변 [eqn: rm AB`], 변 [eqn: rm BC`], 변 [eqn: rm CA]의 중점의 좌표를 각각 [eqn: rm L LEFT ( 2`,~1 RIGHT ) `,~M LEFT ( 4`,~-1 RIGHT ) `,~N( it a`,~b)`]라 하자. 직선 [eqn: rm BN`]과 직선 [eqn: rm LM`]이 서로 수직이고, 점 [eqn: rm G`]에서 직선 [eqn: rm LM`]까지의 거리가 [eqn: 4 sqrt {2} `]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, 무게중심 [eqn: rm G`]는 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.)

ex#20) 두 직선 [eqn: 2x-y+2=0,```mx-y-m+1=0]이 좌표평면 위의 제 2사분면에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]의 값의 범위가 [eqn: alpha <m< beta]일 때, [eqn: alpha +4 beta]의 값을 구하시오.

Note) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

서로 만나는 두 직선 [eqn: l:`ax+by+c=0,````l prime :`a prime x+b prime y+c prime =0]에 대하여 방정식

[eqn: (ax+by+c)+k(a prime x+b prime y+c prime )=0][eqn: (단`,``k는`상수)]은 두 직선 [eqn: l,```l prime]의 교점을 지나는 직선의 방정식이다.

ex#21) 두 점 [eqn: A(-3,```0),```B(1,```4)]에 대하여 직선 [eqn: AB]위의 점 중에서 직선 [eqn: (k+1)x+(k-1)y-2k=0]이 지날 수 없는 점의 좌표를 [eqn: (a,``b)]라 할 때, 두 실수 [eqn: a,```b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

ex#22) 좌표평면 위의 세 점 [eqn: O(0,```0),```A(6,```0),```B(5,```4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: OAB]가 있다. 직선 [eqn: mx-y-4m=0]이 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이를 이등분 할 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

ex#23) 두 점 [eqn: A(2,```1),```B(-1,```3)]을 이은 선분 [eqn: AB]와 직선 [eqn: y=k(x+2)+2]가 만날 때, 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

ex#24) 정사각형 [eqn: ABOC]의 한 변 [eqn: AB]가 직선 [eqn: x+my-4=0] 위에 있고, 변 [eqn: AB]가 [eqn: x]축에 의하여 이등분 될 때, 양수 [eqn: m]의 값은?