평면좌표                                                                                                      Math Shin

Theme #3. 선분의 내분점과 외분점

Theme Math

Remark) 두 점 사이의 거리를 계산할 수 있게 되면 이를 이용하여 다양한 응용이 가능해진다. 이제 일직선상의 세 점 사이의 위치관계를 거리를 이용하여 정의하자.

Def 3.1) 선분의 내분점과 외분점

(1) 선분 [eqn: bar{AB}]의 내분점 [eqn: C] : [eqn: bar{AB}] 위에 점 [eqn: C] 가 있을 때, 점 [eqn: C] 는 [eqn: bar{AB}]를 내분한다고 하고, 점 [eqn: C] 를 [eqn: bar{AB}]의 내분점이라 한다.

(2) 선분 [eqn: bar{AB}]의 외분점 [eqn: C] : [eqn: bar{AB}]의 연장선 위에 점 [eqn: C] 가 있을 때, 점 [eqn: C] 는 [eqn: bar{AB}]를 외분한다고 하고, 점 [eqn: C] 를 [eqn: bar{AB}]의 외분점이라 한다.

(3) 특히, 비율 [eqn: bar{AC`} ````:`` bar{CB} ``=m``:``n]이 주어지면 각각을 “점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 [eqn: m```:``n]으로 내분한다.” , “점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 [eqn: m```:``n]으로 외분한다.” 고 한다.

(이 정의를 의식하여 읽지 않으면 분명 계산과정에서 실수할 여지가 생김!!)

[eqn: RARROW] 순서가 매우(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)중요!!!! + 계산에 치우치지 말고 위치를 정확히 판단할 것!!!!

Thm 3.1) 수직선(1차원)에서의 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 두 점 [eqn: A(x _{1} ),```B(x _{2} )]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m```:``n]으로

(1) 내분하는 점 [eqn: P]의 좌표 : [eqn: P( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} )]

(2) 외분하는 점 [eqn: Q]의 좌표 : [eqn: Q( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} )] (단, [eqn: m != n])

Pf)

cf) 선분 [eqn: AB]의 중점 [eqn: M]의 좌표는 [eqn: M( {x _{1} +x _{2}} over {2} )]이다.

[eqn: RARROW] 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1```:``1]으로  내분하는 점의 좌표로 해석!!

Thm 3.2) 좌표평면(2차원)에서의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} )]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m```:```n]으로

(1) 내분하는 점 [eqn: P]의 좌표 : [eqn: P( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,`` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} )]

(2) 외분하는 점 [eqn: Q]의 좌표 : [eqn: Q( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} ,``` {my _{2} -my _{1}} over {m-n} )] (단, [eqn: m != n])

Pf)

cf) 선분 [eqn: AB]의 중점 [eqn: M]의 좌표는 [eqn: M( {x _{1} +x _{2}} over {2} ,` {y _{1} +y _{2}} over {2} )]이다.

[eqn: RARROW] 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1```:``1]으로  내분하는 점의 좌표로 해석!!

Thm 3.3) 삼각형의 무게중심

세 꼭짓점의 좌표가 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} ),```C(x _{3} ,```y _{3} )]인 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심 [eqn: G]의 좌표는 [eqn: G( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,``` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} )]

Pf)

ex) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A,```B]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (1,``2)]이고, 선분 [eqn: rmAB]를 3 : 1로 내분하는 점의 좌표가 (4, 3)일 때, [eqn: rm {bar{AB}} ^{2}]의 값을 구하시오.

ex) 좌표평면 위의 두 점 A(2, 0), B([eqn: -]1, 5)에 대하여 선분 AB를 1 : 2로 외분하는 점을 P라 할 때, 선분 OP를 3 : 2로 내분하는 점의 좌표는? (단, O는 원점이다.)

ex) 좌표평면 위의 두 점 A, B에 대하여 선분 [eqn: RM AB]를 [eqn: 3`:`1]로 내분하는 점을 [eqn: RM P], 외분하는 점을 [eqn: RM Q]라고 할 때, 다음 [보기] 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

[보기]

ㄱ. 점 [eqn: RM P]는 선분 [eqn: RM AQ]의 중점이다.

ㄴ. 점 [eqn: RM B]는 선분 [eqn: RM AQ]를 [eqn: 2`:`1]로 내분하는 점이다.

ㄷ. 점 [eqn: RM A]는 선분 [eqn: RM PQ]를 [eqn: 2`:` 1]로 외분하는 점이다.

ex) 곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x]와 직선 [eqn: y=3x+k`(k>0)]이 두 점 P, Q에서 만난다. 선분 PQ를 1 : 2로 내분하는 점의 [eqn: x]좌표가 1일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, 점 P의 [eqn: x]좌표는 점 Q의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

ex) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(2,``3),``B(0,``4)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]([eqn: m>n>0])으로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAQ]의 넓이가 [eqn: 16]일 때, [eqn: n over m]의 값은?

ex) 좌표평면 위의 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에서 점 A의 좌표가 [eqn: (1,~1)], 변 BC의 중점의 좌표가 (7, 4)이다. 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 ([eqn: a], [eqn: b])일 때, [eqn: a+b]의 값은?

ex) 그림과 같이 좌표평면에 원점 O를 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB가 있다. 선분 OA를 2 : 1로 외분하는 점을 C, 선분 OB를 2 : 1로 외분하는 점을 D라 할 때, 두 선분 AD와 BC의 교점을 E([eqn: p], [eqn: q])라 하자. 삼각형 OAB의 무게중심의 좌표가 (5, 4)일 때, [eqn: p+q]의 값은?

ex) 좌표평면 위의 원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB]가 있다. 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 선분 [eqn: rmPQ]의 줌점의 좌표가 [eqn: (4,``5)]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심의 좌표는 [eqn: rm(a,``b)]이다. [eqn: a+b]의 값은?

ex) 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A(0,`a),~B(-3,`-3),] [eqn: rm C(1,`0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. [eqn: rm ANGLE ABC]의 이등분선이 선분 [eqn: rm AC]의 중점을 지날 때, 양수 [eqn: a]의 값은?