함수의극한(미적분)                                                                                              Math Shin

Theme #1. 삼각함수의 극한

Remark) 수Ⅱ에서 학습한 극한의 기본개념은 초월함수에 대해서도 동일하게 적용된다. 물론, 각 초월함수의 특성에 따라 파악하여야 할 세부적인 내용이 다소 추가되는 것은 사실이지만 그 수준이 높지 않을뿐더러 양이 많지 않기 때문에 크게 부담을 갖지 않아도 ok!!

Theme Math

Review) 함수의 극한

Thm 1.1) 삼각함수의 극한

[eqn: lim _{x` -> ``0} {} {sinx} over {x} =1]

Pf) By sandwich

cor 1.1) 삼각함수의 극한 #2

[eqn: lim _{x -> 0} {} `` {tan`x} over {x} =1]

Pf) By Thm 1.1

Note) 다양한 형태의 삼각함수의 극한(형태 맞추기)

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {x} over {sin`x} =1]

(2)  [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {x} over {tan`x} =1`]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {sin`nx} over {mx} = {n} over {m}]

(4) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {nx} over {sin`mx} = {n} over {m}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {tan`nx} over {mx} = {n} over {m}]
(6) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {nx} over {tan`mx} = {n} over {m}]

ex) [eqn: f(n) = lim _x->0 {x} over{ sin x + sin2x + cdots + sin nx }]에 대하여  [eqn: sum_n=1 ^25 f(n) = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수)

ex) [eqn: lim from x->0 { f(sin x ) } over x = 2]일 때, [eqn: lim from{ x-> pi over 2} { f ( cos x ) } over { pi^2 over 4 - x^2 }]의 값을 구하시오.

ex) 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: rm ABC``]에서 [eqn: rm ANGLE A=90 ^{CIRC } ,~ bar{AB} =4``]이다. 꼭지점 [eqn: rm A``]로부터 빗변 [eqn: rm BC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H``], [eqn: ANGLE rm B= theta ``]라 할 때,  [eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {rm bar{CH} it} over {theta `·`ln(1+2 theta )} ``]의 값은?

ex) 두 함수 [eqn: f``(x)``=`2x`], [eqn: g`(x)``=`sinx`]에 대하여  [eqn: lim _{x -> ``0} {} {f``(`g(x))} over {g(`f``(x))} `]의 값을 구하시오.

ex)  [eqn: lim from x->0 { sin x } over { rootax+b -2 } =2]를 만족하는 두 실수 [eqn: a,````b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim _{x -> 0} {` {tanx} over {sin(ax+b)}} = {1} over {2}]을 만족하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2``]의 값을 구하시오.(단, [eqn: 0<=b< {pi} over {2}])

ex) 그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 2]이고, 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]를 지름의 양 끝점으로 하는 반원 위에 점 [eqn: \C]가 있다.  삼각형 [eqn: \ABC]의 내접원의 중심을 [eqn: \O], 중심 [eqn: \O]에서 선분 [eqn: \AB]와 선분 [eqn: \BC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D], [eqn: \E]라 하자. [eqn: ∠ \ABC= theta `]이고, 호 [eqn: \AC]의 길이를 [eqn: l _{1} `], 호 [eqn: \DE]의 길이를 [eqn: l _{2}]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {l _{1} _{`}} over {l _{2}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0`＜` theta `＜ {pi _{`}} over {2`}]이다.)

ex) [eqn: f(n) = lim_x->0 1 over { x over {sinx + sin2x + sin3x + cdots + sin nx }}]일 때, [eqn: lim_n->inf sum_k=1^n 5 over f(k)]의 값을 구하시오.

ex) 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: \O] 위에 점 [eqn: \A]가 있다. 그림과 같이 양수 [eqn: theta`]에 대하여 원 [eqn: \O] 위의 두 점 [eqn: \B], [eqn: \C]를 [eqn: ∠ \BAC=theta`]이고 [eqn: rm barAB =barAC`]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: \ABC]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`(theta)]라 할 때,[eqn: lim_{ theta ` -> pi-0 } {r`(theta)}_` over (pi-theta)^2 = {q_`} over p]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

ex) 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm C`]를 [eqn: arch {rmAC }= arch {rmBC }`]가 되도록 잡는다. 호 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm AP`]와 선분 [eqn: rm BC`]가 만나는 점을 [eqn: rm`Q`]라 하고, [eqn: angle rm PAB = theta`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm B P Q`]의 넓이를 [eqn: S`(theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> +0} {} {S`( theta )} over {theta ^{`2}}`]의 값은? [eqn: left(단,~0 < theta < {pi } over {4}`right)]

[4점]

ex) 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: OAB]가 있다. 호 [eqn: AB] 위의 점 [eqn: T]에서 선분 [eqn: OA]와 선분 [eqn: OB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하고 [eqn: angleTOP=theta]라 하자. 점 [eqn: P]와 점 [eqn: Q]를 지름의 양끝으로 하고 점 [eqn: T]를 지나는 반원을 [eqn: C]라 할 때, 반원 [eqn: C]의 호 [eqn: TP], 선분 [eqn: PA], 부채꼴 [eqn: OAT]의 호 [eqn: AT]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: OPQ]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta->+0} {{theta+f LEFT ( theta RIGHT )} over {g LEFT ( theta RIGHT )}} =a]일 때, [eqn: 100a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

ex)  좌표평면에서 중심이 원점 [eqn: O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: P`]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: Q`], 점 [eqn: A LEFT ( `0`,`1` RIGHT )]과  점 [eqn: P`]를 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: R`]라 하자.  [eqn: ANGLE QOP= theta]라 하고 삼각형 [eqn: PQR`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라고 하자.  [eqn: lim _{theta ` -> `+0} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} = alpha]일 때, [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오.

(단, 점 [eqn: P`]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

Theme #2. 지수 / 로그함수의 극한

Thm 2.1) 지수함수의 극한

지수함수 [eqn: y=a ^{x} `]([eqn: a>0,```a != 1])에서

(1) [eqn: a＞1]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} a ^{x} = INF ,~ lim _{x -> - INF } {} a ^{x} =0]

(2) [eqn: 0＜a＜1]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} a ^{x} =0,`` lim _{x -> - INF } {} a ^{x} = INF]

Pf) By graph

Thm 2.2) 로그함수의 극한

로그함수 [eqn: y=log _{a} `x`]([eqn: a>0,```a != 1])에서

(1) [eqn: a＞1]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} `log _{a} `x= INF ,~ lim _{x -> +0} {} `log _{a} `x=- INF `]

(2) [eqn: 0＜a＜1]일 때,  [eqn: lim _{x -> INF } {} `log _{a} `x=- INF ,````` lim _{x -> +0} {} ``log _{a} `x= INF `]

Pf) By graph

ex) [eqn: lim_x->inf {left ( 4^x - 3^x right )^{1 over 2x}}]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim_x->inf {{a cdot 3^x+1 +2} over{3^x-1 -4}} = 18]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: lim_x->0{{2^{1 over x} + a} over{2^{1-x over x}}} = b]를 만족하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim_x->1+0 {log_{1 over 2} (x-1)}]의 극한값을 구하시오

ex) [eqn: lim_x->1{left ( log_2 |x^2 -1|-log_2 |x^3 -1| right )}]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim_x->+0 {{log (sinx)} over {logx}}]의 값을 구하시오.

Def 2.1) 무리수 [eqn: e`]의 정의

함수 [eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]에 대하여 [eqn: x`]가 [eqn: 0]에 한없이 가까워질 때의 극한값은 [eqn: x`]에 [eqn: ±0.1,`±0.01,`±0.001,`±0.0001,`±0.00001,` CDOTS]을 차례로 대입하여 [eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]의 값을 계산해 보면 오른쪽 표와 같다. 이 표에서 [eqn: x`]가 [eqn: 0]에 한없이 가까워짐에 따라 [eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]의 값이 어떤 일정한 수에 수렴하고 있음을 알 수 있다. 실제로 [eqn: x` -> `0]일 때, [eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]의 극한값이 존재한다는 것이 알려져 있으며, 이 극한값을 [eqn: e`]로 나타내고 자연 상수라 부른다. 이 때, [eqn: e`]는 무리수이고 이를 소수로 나타내면[eqn: e=2.71828182845 CDOTS]와 같이 순환하지 않는 무한소수임이 알려져 있다.

[eqn: x`]	[eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]
[eqn: -0.1] [eqn: -0.01] [eqn: -0.001] [eqn: -0.0001] [eqn: -0.00001] [eqn: VDOTS] [eqn: 0] [eqn: vdots] [eqn: 0.00001] [eqn: 0.0001] [eqn: 0.001] [eqn: 0.01] [eqn: 0.1]	[eqn: 2.86797 CDOTS] [eqn: 2.73199 CDOTS] [eqn: 2.71964 CDOTS] [eqn: 2.71841 CDOTS] [eqn: 2.71829 CDOTS] [eqn: VDOTS] [eqn: {2.71828} CDOTS] [eqn: vdots] [eqn: 2.59374cdots] [eqn: 2.70481 cdots] [eqn: 2.71692 cdots] [eqn: 2.71814 cdots] [eqn: 2.71827 cdots]

[eqn: x`]	[eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]
[eqn: -0.1] [eqn: -0.01] [eqn: -0.001] [eqn: -0.0001] [eqn: -0.00001] [eqn: VDOTS] [eqn: 0] [eqn: vdots] [eqn: 0.00001] [eqn: 0.0001] [eqn: 0.001] [eqn: 0.01] [eqn: 0.1]	[eqn: 2.86797 CDOTS] [eqn: 2.73199 CDOTS] [eqn: 2.71964 CDOTS] [eqn: 2.71841 CDOTS] [eqn: 2.71829 CDOTS] [eqn: VDOTS] [eqn: {2.71828} CDOTS] [eqn: vdots] [eqn: 2.59374cdots] [eqn: 2.70481 cdots] [eqn: 2.71692 cdots] [eqn: 2.71814 cdots] [eqn: 2.71827 cdots]

[eqn: x`]	[eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]
[eqn: -0.1] [eqn: -0.01] [eqn: -0.001] [eqn: -0.0001] [eqn: -0.00001] [eqn: VDOTS] [eqn: 0] [eqn: vdots] [eqn: 0.00001] [eqn: 0.0001] [eqn: 0.001] [eqn: 0.01] [eqn: 0.1]	[eqn: 2.86797 CDOTS] [eqn: 2.73199 CDOTS] [eqn: 2.71964 CDOTS] [eqn: 2.71841 CDOTS] [eqn: 2.71829 CDOTS] [eqn: VDOTS] [eqn: {2.71828} CDOTS] [eqn: vdots] [eqn: 2.59374cdots] [eqn: 2.70481 cdots] [eqn: 2.71692 cdots] [eqn: 2.71814 cdots] [eqn: 2.71827 cdots]

Def 2.2) 자연로그

무리수 [eqn: e`]를 밑으로 하는 [eqn: log _{e} ```x`]를 [eqn: x`]의 자연로그라고 한다. 자연로그 [eqn: log _{e} ```x`]는 밑 [eqn: e`]를 생략하고 간단히 [eqn: ln`x`]로 나타내기로 한다.

Thm 2.3) [eqn: e`]의 정의를 이용한 지수 / 로그 함수의 극한

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {} ``(1+x) ^{{1} over {x}} =e]	(2) [eqn: lim _{x -> INF } {} `` LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} =e`]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {e ^{x} -1} over {x} =1]	(4) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {e ^{kx} -1} over {x} =k`]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {a ^{x} -1} over {x} =ln`a```(a>0,`a != 1)]	(6) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {ln`(1+x)} over {x} =1]

(7) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {ln(1+kx)} over {x} =k`]

(8) [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {log _{a} `(1+x)} over {x} =log _{a} ``e= {1} over {lna}]

(9) [eqn: lim _{x -> INF } {} ``x`ln` LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) =1]

Pf)

[eqn: x`]	[eqn: (1+x) ^{{1} over {x}}]
[eqn: -0.1] [eqn: -0.01] [eqn: -0.001] [eqn: -0.0001] [eqn: -0.00001] [eqn: VDOTS] [eqn: 0] [eqn: vdots] [eqn: 0.00001] [eqn: 0.0001] [eqn: 0.001] [eqn: 0.01] [eqn: 0.1]	[eqn: 2.86797 CDOTS] [eqn: 2.73199 CDOTS] [eqn: 2.71964 CDOTS] [eqn: 2.71841 CDOTS] [eqn: 2.71829 CDOTS] [eqn: VDOTS] [eqn: {2.71828} CDOTS] [eqn: vdots] [eqn: 2.59374cdots] [eqn: 2.70481 cdots] [eqn: 2.71692 cdots] [eqn: 2.71814 cdots] [eqn: 2.71827 cdots]

ex) 다음 극한값을 구하시오.(단 [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

(1) [eqn: lim_x->1 {x^{1 over x-1}}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{{2} over {x}}}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {(1-2x) ^{{1} over {x}}}]                 (4) [eqn: lim _{x -> 0} {} `(`cos`x`) ^{{2} over {x(e ^{x} -1)}}]

(5) [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( 1+ {sinx} over {2} RIGHT ) ^{{3} over {sinx}}}]	(6) [eqn: lim_x->0{{2^x -1} over 2x}]

(7) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{3x} -1} over {x}}]	(8) [eqn: lim _{ x->0 } { } { 2sinx} over { ln (1+sinx)}]

(9)[eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {x} `ln LEFT ( {1+3x} over {1+2x} RIGHT )}]	(10) [eqn: lim _{x -> 0} {} {sin(x ^{3} +2x ^{2} +3x)} over {e ^{3x ^{3} +2x ^{2} +x} -1}]

ex) [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{ax} -1} over {sin`bx} =3}]이 성립하는 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a over b``]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{x}} = {1} over {e}]을 만족하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f``(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {} `` LEFT { f``(x)`ln(1+3x) rm }=6 RIGHT .]을 만족 시킬 때, [eqn: lim _{x -> 0} {} `x`f``(x)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

ex) [eqn: S _{n} = {2} over {1 BULLET 3} + {2} over {3 BULLET 5} + {2} over {5 BULLET 7} + CDOTS + {2} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )}] 라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {1} over {S _{n}} RIGHT ) ^{n}}]의 값을 구하시오.

ex) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `ln LEFT ( 1+x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}}]의 값을 구하시오.

ex) 곡선 [eqn: y= ln(x+2)]위의 제 [eqn: 1]사분면 위에 있는 동점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고, 곡선과 [eqn: y]축의 교점 [eqn: rm R]에서 직선 [eqn: rm PQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자, 점 [eqn: rm P]가 곡선을 따라 점 [eqn: rm R]로 한없이 가까이 갈 때, [eqn: rmbar PH over bar RH]의 값은 [eqn: alpha]에 한없이 가까이 간다. 이 때, [eqn: 100alpha]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: lim_x->0 { e^{1-sinx} -e^{ 1-tanx } } over { tanx - sinx } ~]의 값은?

ex) 연속함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: lim from {x`->`0} {f`(x)_`} over {1-cos(x^2 `)} = 2]를 만족시킬 때, [eqn: lim from {x`->`0} {f`(x)_`} over x^p = q]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p`＞0,```q`＞0]이다.)

ex)  세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {`x ^{a} `ln LEFT ( b+ {c} over {x ^{2}} RIGHT )} =2]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

ex) 이차항의 계수가 1인 이차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)= {cases{{1} over {ln`(x+1)}&(x≠0)#`````````````````8&(x=0)}}]

에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 구간 [eqn: (-1,` INF )]에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

ex) [eqn: - {pi} over {20} LEQ x LEQ {pi} over {20}]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: sin ^{2} `2xf(x)=8x`cos`2x`ln` LEFT { (1+x)(1+2x)cdot`cdots`cdot(1+10x) RIGHT }]를 만족한다. 이때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

ex)  함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {ln`(1+x)}} =1]을 만족시킬 때, [보기]에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: lim _{x->0} {{sin`2x} over {f(x)}} =0]	ㄴ. [eqn: lim _{x->0} {{f(x)+x} over {ln`(1+x)}} =2]

ㄷ. [eqn: lim _{x->0} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {ln`(1+x)}} =0]

ex) 다항함수 [eqn: g`(x)]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)=e ^{-x} sinx+g`(x)]가

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {f`(x) _{`}} over {x} =1], [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {f`(x) _{`}} over {x ^{2}} =1]

을 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: g`(0)=0`]                ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {g`(x) _{`}} over {x ^{2}} =1]

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {```f`(x) _{`}} over {g`(x)} =1]

ex) [eqn: 0<x<20 `]에서 정의된 함수 [eqn: y=f (x)`]가 다음과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: 20]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: f (x)=log_2 ``left(x+ { 1} over {2 }right)]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: -1]

함수 [eqn: g(x)= LEFT [ x RIGHT ]^2 - left[x right]]에 대하여 합성함수 [eqn: y=g(f (x))`]의 불연속점의 개수는? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수)

ex)　폐구간 [eqn: [``-2,```2``]``]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 아래 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)=2``cos``pi x``]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim_{x->1}``g(f(x))``]가 존재한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(f(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(g(x))``]는 개구간 [eqn: (-2,```0)``]에서 연속이다.