2015학년도 자연계	부정적분과 정적분(정적분의 활용 앞까지) 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
미적분Ⅱ 보충교재

shiny root in Songwon

1. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: k + f(-2)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

㈎ [eqn: f `` '(x) = cases{ kx ~~~~~~& (x<0) #1 + cosx & (x>0) }]

㈏ [eqn: f(pi ) = pi over 2], [eqn: f(-1) =0]

① [eqn: pi]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: 5 over 2 pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

2. [eqn: x>0]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: f(xy ) = f(x) + f(y )]

를 만족시킨다.  [eqn: f`` '(1) = 3]일 때, [eqn: f(e^2 )]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

3. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 실수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: q over p root 2`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: f`'(x)=(2x+1) root {x^2 +x+2}`]

(나) 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 두 점 [eqn: (0,~0),~(2,~a)`]를 지난다.

4. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {cos ^{3} x``sin2x``dx} ``]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]      ④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

5. 삼차함수 [eqn: f(x)`]가 임의의 실수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: int _{-k} ^{k} {f(x)dx} `=0]을 만족시키고, [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=-1`]에서 극댓값 [eqn: 8`]을 갖는다. [eqn: int _{1} ^{4} {f`'(x)`dx} `]의 값을 구하시오.

6. 함수 [eqn: f(x) = int _{ x} ^{x+1 } {`t e^t ` dt }``]가 [eqn: x=a``]에서 극솟값을 가질 때, 실수 [eqn: a``]의 값은?

① [eqn: e over e-1]	② [eqn: e over e+1]	③ [eqn: - e over e-1]

④ [eqn: - e-1 over e]	⑤ [eqn: - e+1 over e]

7. [eqn: lim _{ n->inf} { ` 1over n `ln {(n+2)(n+4)(n+6)cdots(3n-2)`3n} over n^n}``]을 정적분으로 바르게 나타낸 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: 1over2 ` int _{ 1} ^{3 } {` ln `x `dx }]

ㄴ. [eqn: int _{ 0} ^{ 1} {` ln`(1+2x) dx }]

ㄷ. [eqn: 1 over 4 int _{ 0} ^{2 } {` ln` (1+4x+4x^2 ) `dx }]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= {pi } over {2} int _{1} ^{x+1} {f(t)dt}]

이다. [eqn: f(1)=1]일 때,

[eqn: pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx}]

의 값은?

① [eqn: 2(pi -2)]	② [eqn: 2pi -3]	③ [eqn: 2(pi -1)]

④ [eqn: 2pi -1]	⑤ [eqn: 2pi]

9. 세 함수 [eqn: f(x),~g(x),~h(x)``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{1} ^{2} {xf(x)``dx} ``]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x)=g'(x),~g(x)=h'(x)``]이다.

(나) [eqn: g(1)=h(1)=1,~g(2)=h(2)=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 함수 [eqn: f(x)=e^x ``]이 있다. [eqn: 2``]이상인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [`1,```2`]``]를 [eqn: n``]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로

[eqn: 1= x_0 `,```x_1 `,```x_2 `,```cdots`,```x_n-1 `,```x_n ``=2``]

라 하자. 세 점 [eqn: (0,````0)], [eqn: left(x_k `,````0 right)], [eqn: left(x_k `,````f left(x_k right) right)``]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A_k ```(k= 1,```2,```cdots`,```n)``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf 1 over n sum from k=1 to n A_k ``]의 값은?

① [eqn: 1over2 e^2 - e]	② [eqn: 1over2 (e^2 - e)]	③ [eqn: 1over2 e^2]

④ [eqn: e^2 - e]	⑤ [eqn: e^2 - 1 over 2 e]

11. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~ {pi} over {4} RIGHT ] ``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+tan`x} ``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)``]를 직선 [eqn: x= {pi} over {8} ``]에 대하여 대칭이동한 곡선의 식은 [eqn: y= {1+tan`x} over {2} ``]이다.

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{pile{pi#4}} {f(x)``dx} = int _{0} ^{{pi} over {4}} {{1} over {2f(x)} `dx} ``]

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{{pi} over {4}} {f(x)`dx} = {pi} over {8} + {ln2} over {4}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)`dx`}]의 최솟값은?

(가) [eqn: f(0)=1,`f prime (0)=1]

(나) [eqn: 0<a<b<2`이면`f prime (a) LEQ f prime (b)이다.]

(다) [eqn: 구간`(0,`1)에서`f prime prime (x)=e ^{x} 이다.]

①　[eqn: {1} over {2} e-1]	②　[eqn: {3} over {2} e-1]	③ [eqn: {5} over {2} e-1]

④　[eqn: {7} over {2} e-2]	⑤　[eqn: {9} over {2} e-2]

13. 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같이 원점[eqn: rm { O }]와 점[eqn: (2a,````0)]을 지난다. 함수[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x-t)f(t)} `dt]에 대하여 방정식 [eqn: F``'(x)=0]의 모든 실근의 합은? (단, [eqn: a>0])

①　[eqn: a]	② [eqn: 2a]           　③　[eqn: 3a]

④　[eqn: 4a]	⑤ [eqn: 5a]

14. 미분가능한 함수[eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]

(나) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(5)=5]

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) +f ^{-1} ` LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) `․` {5} over {n}}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: f ^{-1} (x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이다.)

15. 점 [eqn: (0,~-4)]를 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: e ^{-x} LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT )]일 때, 방정식 [eqn: e ^{x} f(x)+2=0]의 모든 실근의 합은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

16. [eqn: 0{leq}a{leq}1]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {left□``e ^{x} -e ^{a} ``right□`dx`}]의 값을 [eqn: f(a)]라 하자. [eqn: f(a)]의 최솟값은?

① [eqn: 1-3 sqrt {e} +e]	② [eqn: 2-3 sqrt {e} +e]

③ [eqn: 1-2 sqrt {e} +e]	④ [eqn: 2-2 sqrt {e} +e]

⑤ [eqn: 1- sqrt {e} +e]

17. 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: f'(x)>0], [eqn: f''(x)>0]이다.

(나) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1], [eqn: f'(0)= {1} over {4}], [eqn: f'(1)=2]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하고, [eqn: g(x)]의 이계도함수가 존재할 때, [eqn: int _{0} ^{1} {``left□` {g'' LEFT ( g(x) RIGHT )} over {f' LEFT ( g(x) RIGHT )} `right□`dx= {q} over {p}}]이다.

[eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

18. 보기의 함수 [eqn: f(x)]중 부등식

[eqn: left□` int _{-1} ^{1} {f(x)`dx} `right□][eqn: <][eqn: int _{-1} ^{1} {left□`f(x)`right□`dx}]

를 만족시키는 것만을 있는 대로 고른 것은?

❙보기❙

ㄱ. [eqn: f(x)=e ^{x} -1]

ㄴ. [eqn: f(x)=ln LEFT ( x+2 RIGHT )]

ㄷ. [eqn: f(x)= sqrt {x+1} -1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {4}} {tan ^{n} `x`dx`}]라고 하고

[eqn: f(n)=a _{n} +a _{n+2}]

라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} {1} over {f(n)}]의 값은?

① [eqn: 210]	② [eqn: 215]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 225]	⑤ [eqn: 230]

20. 함수 [eqn: f(x)= int _{ 1} ^{ x} { (t^2 +t+1) dt}`]에 대하여

[eqn: lim _{ h->0} { { 1} over { h} int _{ 1-h} ^{1+h } {f``'(x) dx } }`]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

21. 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1`]인 직사각형 [eqn: rmABCD`]가 있다. 변 [eqn: rmAD`]의 중점을 [eqn: rmM], 변 [eqn: rmAB`]를 [eqn: n`]등분하는 점과 점 [eqn: rmB`]를 차례로 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rm P_3], [eqn: cdots], [eqn: {rm P}_n](=[eqn: rmB]), 변 [eqn: rmBC`]를 [eqn: n`]등분하는 점과 점 [eqn: rmC`]를 차례로 [eqn: rmQ_1], [eqn: rmQ_2], [eqn: rmQ_3], [eqn: cdots], [eqn: {rm Q}_n](=[eqn: rmC])이라 하자.
[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} ( {bar{rm MP}_k }^2 + {bar{rm MQ}_k }^2 )}]의 값은?

① [eqn: { 5} over { 3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: { 7} over { 3}]

④ [eqn: { 8} over { 3}]	⑤ [eqn: 3]

22. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=(ln` x)^n] ([eqn: x ge 1])과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

❙보기❙

ㄱ. [eqn: 1 le x le e]일 때, [eqn: (ln `x)^n ge (ln `x)^n+1]이다.

ㄴ. [eqn: S_n <S_n+1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=(ln `x)^n] ([eqn: x ge 1])의 역함수를 [eqn: {rm g}(x)]라       하면 [eqn: S_n = int _{ 0} ^{1 } { {rm g}(x) dx}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ