정답 및 해설

1  [정답] ①

ㄱ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {LEFT ( 3n-2 RIGHT ) LEFT ( 3n+1 RIGHT )} ``] 의 부분합 [eqn: S _ {n} ``]은

[eqn: S` _{n} = sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {LEFT ( 3k-2 RIGHT ) LEFT ( 3k+1 RIGHT )} ``]

[eqn: `= sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {3} LEFT ( {1} over {3k-2} `- {1} over {3k+1} RIGHT ) ``]

[eqn: = {1} over {3} ` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {7} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {3n-2} - {1} over {3n+1} RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} ` LEFT ( 1- {1} over {3n+1} RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {S _{n}} = lim _{n-> INF } {} {1} over {3} ` LEFT ( 1- {1} over {3n+1} RIGHT ) `= {1} over {3} ```](수렴)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} ``]에서 [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} != 0} ``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} ``]은 발산한다.

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {n ^{2} +2n-1} `=1 != 0} ``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {n ^{2}} over {n ^{2} +2n-1} ``]은 발산한다.

따라서 수렴하는 것은  ㄱ 이다.

2   [정답] ③

무한등비수열 [eqn: LEFT { (x+1) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이 수렴하기 위한 조건은

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=3``]       [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: -1<1- {x} over {3} ` LEQ 1``]에서 [eqn: -2<`- {x} over {3} ` LEQ 0`,```0 LEQ x<6``]   [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡으로부터  [eqn: x=-1``]또는 [eqn: 0 LEQ x<6``]이므로

[eqn: A= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } ``]

또한, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( log _{`2} ` {x} over {4} ` RIGHT ) ^{n} ``]에서

[eqn: log` _{2} ` {x} over {4} `=log` _{2} `x`-2``]이므로 수렴하기 위한 조건은

[eqn: -1<`log`` _{2} `x-2<1``]이다. 따라서 [eqn: 1<`log`` _{2} `x<3``]이므로 [eqn: 2<x<8``]이다.

[eqn: THEREFORE ```B= LEFT { 3`,~4`,~5`,~6`,~7 RIGHT } ``]

따라서 [eqn: A-B= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2` RIGHT } ``]이므로 [eqn: n LEFT ( `A-B` RIGHT ) =4``]

3  [정답] ⑤

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} +2 RIGHT ) =1``]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n}} over {n} +2 RIGHT )} =0``]     [eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n} `=-2} ``]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {{a _{n} `` ^{2} -2n ^{2}} over {na _{n} +3n ^{2} -2n} `= lim _{n-> INF } {{LEFT ( {a _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} -2} over {{a _{n}} over {2} +3- {2} over {n}} `= {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} -2} over {-2+3} `=2``}} ``]

4  [정답] ④

[eqn: {a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}} over {n} `=n+1``]이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} =n ^{2} +n``]        [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n-1} =n ^{2} -n``]      [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

[eqn: ㉠`-㉡``]에서 [eqn: a _{n} =2n`` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) ``]

[eqn: {a _{1}} over {1} `=2``]에서 [eqn: a _{1} =2``]

[eqn: THEREFORE ``a _{n} =2n`` LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{2n-1} a _{2n+1}} ``]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } ` {2} over {2 LEFT ( 2n-1 RIGHT ) CDOT 2 LEFT ( 2n+1 RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} ` {2} over {2 LEFT ( 2k-1 RIGHT ) CDOT 2 LEFT ( 2k+1 RIGHT )}} ``]

[eqn: = {1} over {4} ` lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {1} over {2k-1} `- {1} over {2k+1} RIGHT ) ``}``]

[eqn: = {1} over {4} ` lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} `- {1} over {5} RIGHT ) `+ LEFT ( {1} over {5} `- {1} over {7} RIGHT ) `+ CDOTS + LEFT ( {1} over {2n-1} `- {1} over {2n+1} RIGHT ) RIGHT } ``}``]

[eqn: = {1} over {4} ` lim _{n-> INF } {LEFT ( 1- {1} over {2n+1} RIGHT ) `= {1} over {4} ``}``]

5 [정답] ②

[eqn: S _ n = 3 a_1 + 3^2 a_2 + 3^ 3 a_3 + cdots + 3^n a_n `]이라 하면

[eqn: S_1 = 3 a_1 = -1 `]

즉, [eqn: a_1 = - 1 over 3 `]이고, [eqn: n geq 2 `]일 때

[eqn: 3^n a_n &= S_n - S_n-1 # &= (-1)^n - (-1)^n-1# & = 2 cdot (-1)^n `]

[eqn: THEREFORE`` a_n = 2 cdot LEFT ( - 1 over 3 RIGHT )^n ~(n geq 2)`]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a_k & =a _{1} + sum _{k=2} ^{n} 2 CDOT LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{k}# & =- {1} over {3} + sum _{k=1} ^{n-1} 2 CDOT LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{k+1}# & =- {1} over {3} + {{2} over {9} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )}# & = - 1 over 3 + 1 over 6 LEFT { 1- LEFT ( - 1 over3 RIGHT )^ n-1 RIGHT }`]

[eqn: THEREFORE sum _{ n=1} ^{inf }a_n &= lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{ n} } a_k # &= lim _{ n->inf} { LEFT [ - 1 over 3 + 1 over 6 LEFT { 1- LEFT ( - 1 over 3 RIGHT )^n-1 RIGHT } RIGHT ] }# & = - 1 over 3 + 1 over 6 # & = - 1 over 6`]

6 [정답] ③

정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n `]의 한 변의 길이를 [eqn: l_n `]이라 하면 [eqn: l_1 = 2 `]이고

[eqn: S_n = l_n`^2 `]이다.

그림에서 [eqn: bar {{rm B}_n {rmD}_n } = root 2 l_n ,~ bar{ {rmB}_n {rm D}_n+1 }} = l_n `]이므로

[eqn: bar {{rmB}_n {rmB}_n+1 } = bar {{rmD}_n {rmD}_n+1 } = (root 2 -1) l_n `]

이때

[eqn: root 2 l_n+1 = bar {{rmB}_n+1 {rmD}_n+1 } = root 2 l_n - 2 (root 2 -1)l_n = (2- root 2 ) l_n `]

[eqn: l_n+1 = (root 2-1) l_n `]

[eqn: therefore `` l_n = 2 ( root 2 -1) ^ n-1`]

따라서 [eqn: S_n = l_n `^2 = 2^2 left{ (root2 -1) ^2 right } ^ n-1 = 4 (3- 2root2 ) ^n-1 `]이므로

[eqn: sum _n=1 ^ inf S_n = 4 over { 1- (3- 2root 2 ) }= 2 (root 2 +1) `]

7 [정답] ⑤

직각삼각형의 빗변의 중점이 외심이므로 선분[eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라

하면

[eqn: {bar {rm OA_1 }= {bar {rm OM}} = 1 over 2 {bar {rm AB }} = 1 over 2 times 2 root 2 = root 2 `]

[eqn: therefore `` l _1 = { arch {rm A_1 B_1}} = root 2 times pi over 2 = root2 over 2 pi `]

또한, [eqn: {bar {{rm O}{rm A} _n+1 }} = 1 over 2 {bar { {rm A}_n {rm B}_n } = root 2 over 2 {bar{{rm O}{rm A}_n }}`]이므로

[eqn: l_n+1 &= arch {{rmA}_n+1 {rmB}_n+1 }# & = bar { rm O {rmA}_n+1} times pi over 2 # & = root 2 over 2 bar { rm O {rmA}_n} times pi over 2 # & = root 2 over 2 l_n `]

따라서 수열 [eqn: left{l_n right } `]은 첫째항이 [eqn: root 2 over 2 pi `], 공비가 [eqn: root 2 over 2 `]인 등비수열이다.

[eqn: therefore `` sum _n=1 ^ inf l_n = {root 2 over 2 pi } over {1- root 2 over 2 } = (root 2 + 1) pi `]

8 [정답] ③

해설

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 삼각형 [eqn: rm B _{it n rm} A _{it n+1 rm}A _{it n+2 rm}``]는 닮은 도형이다.

이때, 닮음비는 [eqn: 2``:`` sqrt { 3}``]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4``:``3``]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }``]은 공비가 [eqn: {3} over {4} ``]인 등비수열을 이룬다.

삼각형 [eqn: rm B _{it 1 rm} A _{it 2 rm} A _{it 3 rm} ``]에서 [eqn: rm bar{A_2 B_1} `= {1} over {2} ``], [eqn: rm ANGLE A _{2} B _{1} A _{3} =60 DEG ``]

[eqn: sin``60 DEG = {rm bar{{A _{2}} A _{3} it} over {{1} over {2}} ``], 즉 [eqn: rm bar{A_2 A_3} =` {sqrt {3}} over {2} TIMES {1} over {2} = {sqrt {3}} over {4} ``]이고

[eqn: cos``60 DEG = {rm bar{B _{1} A _{3} } over {{1} over {2}} ``], 즉 [eqn: rm bar{B _{1} A _{3}} =` {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {4} ``]이다.

따라서 [eqn: S _{1} = {1} over {2} times {sqrt {3}} over {4} times {1} over {4} = {sqrt {3}} over {32} ``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} = {{sqrt {3}} over {32}} over {1- {3} over {4}} = {sqrt {3}} over {8} ``]9 [정답] ③

그림 [eqn: R_n`]에서 새로 색칠되는  모양의 도형은 [eqn: 2^n-1`]개이다. 그림 [eqn: R_n`]에서 새로 그려지는 원 중 하나를 [eqn: {rmO} _n`], 지름을 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n `]이라 하고

원 [eqn: {rmO} _n`]의 중심을 지나고 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n `]과 수직인 직선이 원과 만나는

[eqn: 2`]개의 점 중 한점을 [eqn: {rmC}_n `]이라 하자. 또, 원 [eqn: {rmO} _n`]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n`]

이라 하자.

이때  모양의 도형의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 하면 [eqn: T_n`]은 아래쪽 반원의

넓이에서 활꼴 부분의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: T _{n} & = {1} over {2} CDOT pi CDOT r _{n} ` ^{2} - LEFT { {1} over {4} CDOT pi ( sqrt {2} r ^{n} ) ^{2} - {1} over {2} CDOT 2r _{n} CDOT r _{n} RIGHT }# & =r _{n} ` ^{2} `]

따라서 그림 [eqn: R _n ``]에서 새로 색칠되는 부분의 넓이는

[eqn: 2^n-1 T_n = 2^ n-1 r_n ` ^2 `]이다.

[eqn: r_1 = 1`]이고 [eqn: sin 45 DEG = r_n+1 over {r^ n - r_n+1 `]에서

[eqn: r_n+1 = (root 2 -1) r_n ~~therefore`` r_n = (root 2 -1) ^n-1 `]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n -> INF } {} S _{n} & = sum _{n=1} ^{INF } 2 ^{n-1} CDOT LEFT { ( sqrt {2} -1)^2 RIGHT } ^{n-1}# & = sum _{n=1} ^{INF } (6-4 sqrt {2} ) ^{n-1}# & = {1} over {1-(6-4 sqrt {2} )}# & = {5+4 sqrt {2}} over 7`]

10 [정답] ④

위 그림에서

[eqn: S _{1} =](부채꼴 [eqn: rmMON]의 넓이)[eqn: +2 TRIANGLE rmNOC]

[eqn: = {1} over {2} cdot1 ^{2} cdot {pi } over {2} +2cdot {1} over {2} cdot1cdot sqrt {2} cdot`rmsin {3} over {4} pi]

[eqn: = {pi } over {4} +1]

그림 [eqn: R _{2}]에서 작은 정사각형 중 하나를 [eqn: rmPBQR]라 하고 정사각형

[eqn: rmPBQR]의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면 [eqn: bar{rmRQ} =itx], [eqn: bar{rmQC} =2-itx]

두 삼각형 [eqn: rmMBC,`RQC]는 닮은 삼각형이므로

[eqn: bar{rmRQ} : bar{rmMB} = bar{rmQC} : bar{rmBC}]

[eqn: x:1=(2-x):2,`2x=2-x]

[eqn: THEREFORE x= {2} over {3}]

따라서 두 정사각형 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rmPBQR]의 닮음비가

[eqn: 2: {2} over {3} =3:1]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 9:1]이다.

또, 의 개수는 [eqn: 2]배씩 늘어나므로

[eqn: lim _{n-> INF } {} S _{n} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { LEFT ( {pi } over {4} +1 RIGHT ) cdot LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: = {{pi } over {4} +1} over {1- {2} over {9}} = {9 LEFT ( pi +4 RIGHT )} over {28}]

11 [정답] ⑤

그림 [eqn: T_i]에서 어두운 큰 원의 반지름의 길이는 1이므로 어두운 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: (r+1)^2 = (2-r)^2 +1]

[eqn: therefore r= 2over3]

[eqn: S_1 = 2pi left( 1+ 4over9 right) = 26 over9 pi]

한편, 그림 [eqn: T_1]의 큰 원과 그림 [eqn: T_2]에서 새롭게 그린 큰 원의 닮음비는 [eqn: 2:1]이고 새롭게 그려지는 도형의 개수는 2배씩 늘어나므로

[eqn: S_2 = 26over9 pi - S_1 over4 times 2]

[eqn: = 26over9 pi - 26 over9 pi times 1over2]

[eqn: S_3 = 26over9 pi - 26 over9 pi times 1over2 + 26 over9 pi times 1over2^2]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S _{n} = {26} over {9} pi left{ 1- 1over2 + 1over2^2 - 1over 2^3 + cdots+ left(- 1over2 right)^n-1 `right}]

[eqn: therefore lim_n->inf S_n = 26 over9 pi times 1 over{ 1-left(- 1over2 right) }= 52 over27 pi]

12 [정답] ①

[eqn: bar { {rmA}{rmB}_n } = a_n ,~ bar { {rmB}_n {rmC_n }} = b_n ,~ bar { {rmA}{rmC}_n } = c_n `]이라 하면

[eqn: b_n = 4 over 3 a_n ,~ a_n+1 = a_n - r_n+1 `]

세 변의 길이가 [eqn: a_n, ~`b_n, ~ c_n `]이고 넓이가 [eqn: T_n `]인 삼각형의 내접원의 반지름
의 길이는 [eqn: {2 T_n }over { a_n + b_n + c_n }`]이고, [eqn: c_n = root { a_n`^2 + b_n`^2 }`]이므로

[eqn: r_n+1 = {a_n b_n } over {a_n + b_n + root {a_n`^2 +b_n `^2 }`]

[eqn: = { 4 over 3 a_n`^2 } over { a_n LEFT ( 1+ 4 over 3 RIGHT ) + a_n root{ 1+ 4^2 over 3^2 } `]

[eqn: = {4 a_n} over {3+ 4 + root{ 3^2 +4^ 2 } }= 1 over 3 a_n `]

[eqn: r_1 = 1 over 3 bar {rmAB} = 1 over 3 times 3 =1 ,~ a_1 = 3- r_1 = 3-1 =2 `]

[eqn: r_2 = 1 over 3 a_1 = 2 over 3 ,~ a_2 = a_1 - r_2 = 4 over 3 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 `]

[eqn: r_3 = 1 over 3 a_2 = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 ,~ a_3 = a_2 - r_3 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^3 `]

[eqn: VDOTS]

[eqn: r_n+1 = 1 over 3 a_n = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n ,~ a_n+1 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n+1 ~(n=1,~2,~3,cdots)`]

[eqn: S_n &= 1 over 2 bar {{rmO}_n+1 {rmC}_n+1 } times r_n+1 # &= 1 over 2 (b_n+1 - r_n+1 ) r_n+1# & = 1 over 2 LEFT ( 4 over 3 a_n+1 - r_n+1 RIGHT ) r_n+1# & = 5 over 6 LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^2n `]

[eqn: therefore `` sum _n=1 ^ inf S_n = { 5 over 6 cdot 4 over 9 } over {1- 4 over 9} = 2 over 3`]

13 [정답] ②

해설

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmA _{itn+1} A _{itn} B _{itn} C _{itn} ``]의 한 변의 길이를 [eqn: x _{n} ``]이라 하면

[eqn: rm bar{P_{itn}C_{itn}} `= itsqrt {x _n^2 {+ LEFT ( {1} over {2} x _{n} RIGHT ) ^{2}}} = {sqrt {5}} over {2} x _{n} ``} ^{2}``]

따라서 [eqn: x _{n+1} = rm bar{A _{itn} A _{itn+1}} = it{sqrt {5}} over {2} x _{n} - {1} over {2} x _{n} = {sqrt {5} -1} over {2} x _{n} ``]

즉, 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT } ``]은 공비가 [eqn: {sqrt {5} -1} over {2} ``]인 등비수열을 이룬다.

이때, [eqn: x _{1} = rm bar{A _{it 0 rm} C _{it 1 rm}} `= bar{A _{0} A _{1}} `= {sqrt {5} -1} over {2} ``]이므로

[eqn: x _{n} = {sqrt {5} -1} over {2} cdot LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} =x _{n} `^{2} = LEFT { LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ^{2} = LEFT { LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{n} = LEFT ( {3- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {3- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]
[eqn: = {{3- sqrt {5}} over {2}} over {1- {3- sqrt {5}} over {2}} = {3- sqrt {5}} over {sqrt {5} -1} = {sqrt {5} -1} over {2} ``]14 [정답] ②

해설

점 [eqn: rm A _{itn} ``]을 직선 [eqn: m``], [eqn: x``]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmA`'` _{{itn} ``], [eqn: rmA` prime ' _{{itn} ``]이라 하면 [그림 [eqn: 1``]]에서 [eqn: rm bar{A _{{itn}} P} + bar{PQ} + bar{QA _{{itn}} ``]의 값을 최소로 하는 두 점 [eqn: rmP,~Q``]는 선분 [eqn: rmA`'` _{{itn} ``], [eqn: rmA` prime ' _{{itn} ``]이 직선 [eqn: m``] 그리고 [eqn: x``]축과 만나는 점이다.

[그림 [eqn: 2``]]에서 두 직선 [eqn: l,~m``]이 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: 30DEG``], [eqn: 60DEG``]이므로 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``]은 정삼각형이고 점 [eqn: rmP_{itn``]은 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``]은 무게중심이다. 또, 두 삼각형 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``], [eqn: rm TRIANGLE OA _{it n+1 rm} A prime _{it n+1 rm ``}]은 닮음비가 [eqn: 2``:``1``]이므로 [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} ``]이다.

[eqn: rmbarOA_1`=2``]이므로

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES {1} over {3} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {2} TIMES rmbar{OA_1} RIGHT ) = {2 sqrt {3}} over {3} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {{2 sqrt {3}} over {3}} over {1- {1} over {2}} = {4 sqrt {3}} over {3} ``]15 [정답] ④

해설

[eqn: rmbar{B_{itn}C_{itn}} ={it3a}``]라 하고 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar{B_{itn}E_{itn}} `= itsqrt {(3a) ^{2} +a ^{2} -2 CDOT 3a cdot a cdotcos``60 DEG } = sqrt {7} a``]

이고 세 삼각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}D_{itn},~ B_{itn}C_{itn}E_{itn},~C_{itn}A_{itn}F_{itn}``]은 합동이므로

[eqn: rmangleA_{itn}D_{itn}B_{itn} =angleB_{itn}E_{itn}C_{itn} =angleC_{itn}F_{itn}A_{itn}``]

따라서 두 삼각형 [eqn: rmB_{itn}B_{itn+1}D_{itn}`], [eqn: rmB_{itn}C_{itn}E_{itn}``]은 닮은 도형이므로

[eqn: rmbar{B_{itn}D_{itn}} ``:``bar{B_{itn}B_{itn+1}} =bar{B_{itn}E_{itn}}``:``bar{B_{itn}C_{itn}}``]

[eqn: a``:``{rmbar{B_{itn}B_{itn+1} }= itsqrt { 7}a``:``3a``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: rm bar{B_{itn}B_{itn+1}}it = {3} over {sqrt {7}} a= {3 sqrt {7}} over {7} a``]

또, 두 삼각형 [eqn: rm C _{it n rm} C _{it n+1 rm} E _{it n rm} ,~C _{it n rm} A _{it n rm} F _{it n rm} ``]은 닮은 도형이므로

[eqn: rm bar{C_{itn}E_{itn}} ``:`` bar{E_{itn}C_{itn+1}}= bar{C_{itn}F_{itn}} ``:`` bar{F_{itn}A_{itn}} ``]

[eqn: a``:``{rm{bar{E_{itn}C_{itn+1}}`= itsqrt {7} a```:``a`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: rmbar{E_{itn}C_{itn+1}}`=it {1} over {sqrt {7}} a= {sqrt {7}} over {7} a``]

[eqn: rmbar{B_{itn+1}C_{itn+1}][eqn: = sqrt {7} a- {3 sqrt {7}} over {7} a- {sqrt {7}} over {7} a= {3 sqrt {7}} over {7} a``]
[eqn: = {sqrt {7}} over {7} TIMES 3a= rm{sqrt {7}} over {7} TIMES bar{B_{itn}C_{itn}}``]

따라서 정삼각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}``]의 한 변의 길이는 공비가 [eqn: {sqrt {7}} over {7} ``]인 등비수열을 이룬다.

그러므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } ``]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {7}} over {7} RIGHT ) ^{2} = {1} over {7} ``]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {4} ``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} = {{sqrt {3}} over {4}} over {1- {1} over {7}} = {7 sqrt {3}} over {24} ``]이다.