<2014학년도> [보충교제(인문)]	함수의 극한 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1 ④

ㄱ. (반례) [eqn: f(x)= {cases{1&(x != 0)#0&(x=0)}} ``]라 하면
[eqn: lim _{x-> 0} {f(x)} =1``]이지만 [eqn: f(0)=0 != 1``]이다.(거짓)

ㄴ. [eqn: 1+ {1} over {x} =t``]라 하면 [eqn: x -> INF ``]일 때, [eqn: t -> 1+0``]이므로
[eqn: lim _{x-> INF } {f LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) = lim _{t-> 1+0} {f(t)} =1``}](참)

ㄷ. [eqn: f(x)<g(x)<h(x)``]이므로
[eqn: lim _{x-> 0} {f(x)} LEQ lim _{x-> 0} {g(x)} LEQ lim _{x-> 0} {h(x)} ``]
[eqn: lim _{x-> 0} {f(x)} = lim _{x-> 0} {h(x)} =0``]이므로 [eqn: lim _{x-> 0} {g(x)} =0``](참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

2 ②

ㄱ, (반례) [eqn: f(x) =x+a ``], [eqn: g(x) =x-a ``]라 하면

[eqn: lim _{ x->a } {f(x )} =2a `], [eqn: lim _{ x->a} {g(x) }=0 `]으로 극한값이 존재한다.

그러나 함수 [eqn: {f(x)}over{g(x)} ={x+a}over{x-a} `]는 [eqn: lim _{ x->a} {f(x) } over{g(x)} ``]가 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{ x->a} { g(x)}=alpha ``], [eqn: lim _{ x->a } { f(x)over{g(x)}=beta ``]라 하면

[eqn: lim _{ x->a} {f(x) } = lim _{ x->a} {g(x) } {f(x) over{g(x)} `][eqn: = lim _{ x->a} {g(x) ~ lim _{ x->a} {f(x) }over{g(x) } ``][eqn: = alpha beta ``](참)

ㄷ. (반례) [eqn: f(x) ={1}over{x-a} ``], [eqn: g(x) = -{1} over{x-a} ``]이라 하면

[eqn: lim _{ x->a } {left{ f(x) +g(x) right} } `][eqn: = lim _{ x->a} {left({1}over{x-a} - {1} over{x-a} right) } `][eqn: = lim _{ x->a} {0 }=0 ``]

그러나 [eqn: lim _{ x->a} {1 } over{x-a} `], [eqn: lim _{ x->a} {left(-{1over{x-a} right) ` }]은 모두 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ 이다.

3 [정답] ②

해설

ㄱ. |반례| [eqn: f(x) = x,~ g(x) =[` x`]``]라 하면 [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x)=0,``]

[eqn: lim _{ x rarrow a} { }f(x) g(x)=0``]이지만 [eqn: lim _{ x rarrow a} { }g(x)``]는 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow a} { } g(x)= alpha,~ lim _{ x rarrow a} { }{ f(x)} over { g(x)}= beta``](단, [eqn: alpha,~ beta``]는 실수)라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow a} { }f(x) = lim _{ x rarrow a} { }left{ g(x) cdot {f(x)} over { g(x) } right }``]

[eqn: = lim _{ x rarrow a} { } g(x) cdot lim _{ x rarrow a} { }{f(x)} over { g(x)}``]

[eqn: = alpha beta``] (참)

ㄷ. |반례| [eqn: f(x) =[`x`],~g(x)=x``]라 하면 [eqn: lim _{ x rarrow0} { }g(x)=0``]이지만

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(g(x))= lim _{ x rarrow 0} { }f(x) = lim _{ x rarrow 0} { }[`x`]``]가 되어 극한값이 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

4 [정답] [eqn: 5``]

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }[`x`] =2,~ lim _{ x rarrow 2+0} { }[`x+2`]=4``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }{[` x`]^2 +[`x`]-6} over {[`x+2`]} = { 2^2 +2-6} over 4 =0``]

∴ [eqn: a=0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }{ x^2 +x-6 } over {|` x-2`|} = lim _{ x rarrow 2-0} { }{(x-2)(x+3)} over {-(x-2)} =-5``]이므로

[eqn: b=-5``]

∴ [eqn: a-b=5``]

5 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)= lim _{ x rarrow 1+0} { }(x^2 + ax+1 ) =a+2``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0} { }f(x) = lim _{ x rarrow 1-0} { }(-x^2 +x+b) = b``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(x)``]의 값이 존재하므로

[eqn: b=a+2``]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = a^2 +( a+2)^2 =2( a+1 )^2 +2``]

따라서 [eqn: a=-1,~ b=1``]일 때, [eqn: a^2 + b^2``]은 최솟값을 갖는다.

6 [정답] ③

(주어진 식)

[eqn: =][eqn: lim _{x -> INF } {10 LEFT { {x ^{2}} over {(x+1)(2x+1)} + {x ^{2}} over {(2x+1)(3x+1)} + RIGHT .}]
[eqn: LEFT. CDOTS + {x ^{2}} over {(9x+1)(10x+1} RIGHT }]

[eqn: =`10` LEFT (1 over {1 TIMES 2 } + 1 over {2 times 3 }+ cdots + 1 over {9 times 10 right)]

[eqn: = 10 left{ left( 1 over 1 - 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + cdots + left( 1 over 9 - 1 over 10 right) right}]

[eqn: = 10 left( 1 over 1 - 1 over 10 right)][eqn: = 9]

[다른풀이]

(주어진 식)

[eqn: = lim _{ x->inf} { 10x^2 over x left{ left( 1 over x+1 - 1 over 2x+1 right) + left ( 1 over 2x+1 - 1 over 3x+1 right)}]

[eqn: + cdots + left( 1 over 9x+1 - 1 over 10x+1 right) right}]

[eqn: =][eqn: lim _{ x->inf} { 10x left( 1 over x+1 - 1 over 10x+1 right) }]

[eqn: = lim _{ x->inf} { left( 10x over x+1 } - 10x over 10x+1 right)]

[eqn: =10-1][eqn: =9]

7 [정답] [eqn: 4]

(ⅰ) (가)에서 [eqn: lim _{ x->1 } { f(x) over x+1 }]의 값이 존재하고 (분모)[eqn: ``->``0]이므로 (분자)[eqn: ``->``0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{ x->1 } { f(x) =0 }]에서 [eqn: f(-1)=0]이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: x+1]을 인수로 갖는다.

(ⅱ) (나)에서 [eqn: lim _{ x->0 } { x over f(x) }]의 값이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x^n] [eqn: ( n ge 2], [eqn: n]은 자연수)을을 인수로 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: f(x) = x^n ( x+1) h (x)] ([eqn: h(x)]는 다항식)	[eqn: cdots]㉠

로 놓으면

[eqn: lim _{ x->1 } { f(x) over x+1 }][eqn: = lim _{ x-> -1} { { x^n (x+1)h(x) }over x+1 }]
[eqn: = lim _{ x->1 } { x^n h(x)}]
[eqn: = (-1)^n h (-1)]

아므로 (가)에 의해

[eqn: (-1)^n h (-1) = 2]	[eqn: cdots]㉡

㉠에서 [eqn: x^n]과 [eqn: h(x)]의 차수가 낮아지면 [eqn: f(x)]의 차수도 낮아지므로 [eqn: n=2]이고

㉡에서 [eqn: h(-1)=2]이고 이를 만족시키는 차수가 가장 낙은 다항식 [eqn: h(x)]는 [eqn: h(x) =2]이다.

[eqn: therefore````g(x) = 2x^2 ( x+1)]

[eqn: therefore````g(1) = 4]

8 [정답] ⑤

해설

주어진 그래프에서

[eqn: lim _{ x rarrow-1-0} { } f(x)=1,~f(0)=2,~ lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)=-1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow-1-0} { } f(x)+f(0)+ lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)=1+2+(-1)``]

[eqn: =2``]

9 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0 } { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }f(t) =2``]

[eqn: f(f(2)) =f(1) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 3+0} { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow 3-0} { }f(t) =1``]

∴ [eqn: lim _{x -> 1-0} {} f(f(x))+f(f(2))+ lim _{x -> 3+0} {} f(f(x))=2+0+1=3``]

10 [정답] ⑤

해설

[eqn: f(x) =t``]로 놓으면 [eqn: x rarrow +0``]일 때, [eqn: t rarrow 3-0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow 3-0} { }f(t) =3``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }f(f(x))=f(3)=2``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(f(x)) + lim _{ x rarrow 2 +0} { }f(f(x))=3+2=5``]

11 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(x) = 1,~lim _{ x rarrow -0} { }f(x) =-1``]이므로 [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x)``]의 값은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: y=f(-x)``]의 그래프는 [eqn: y=f(x)``]의 그래프를 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 그림과 같다.

[eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(-x) =0,~ lim _{ x rarrow 1-0} { }f(-x) =0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(-x) =0``] (참)

ㄷ. [eqn: y=|` f(x)`|``]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y=|` f(x)`|``]는 [eqn: -2<a<1``]인 모든 실수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: lim _{ x rarrow a} { }|` f(x)`|``]의 값이 존재하므로 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 1``]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

12 [정답] ②

해설

[eqn: f(2-x) =f(2+x)``]이므로 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이고 [eqn: g(x+2) = g(x-2),``] 즉, [eqn: g(x+4) = g(x)``]이므로 [eqn: y=g(x)``]는 주기가 [eqn: 4``]인 함수이다.

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x) g(x) =1,~ lim _{ x rarrow 1-0} { }f(x) g(x) =0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(x) g(x) ne 0``] (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { } f(g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f(t) =1,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }f(g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f(t)=1``]

이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2} { }f(g(x))=1``]

[eqn: lim _{ x rarrow2+0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1,``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2} { }g(f(x))=1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 2} { }f(g(x)) = lim _{ x rarrow 2} { }g(f(x))``] (참)

ㄷ. [eqn: y=g(x)``]는 주기가 [eqn: 4``]인 함수이므로

[eqn: f(g( x+4)) = f( g( x))``]

[eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g( f ( x+ 4 )) = g( f(-x))``]

따라서 [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(g( x+4 )) = lim _{ x rarrow +0} { }f(g(x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { } f(t) =-1,``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }f(g( x+4 )) = lim _{ x rarrow -0} { }f( g(x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { }f(t) =-1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow0} { }f(g( x+4 )) =-1``]

또한 [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }g( f(x+4)) = lim _{ x rarrow +0} { }g(f(-x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { }g(t) =0,~``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { } g(f(x+4)) = lim _{ x rarrow -0} { }g(f(-x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow0} { }g(f(x+4))``]의 값은 존재하지 않는다.

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(g(x+4)) ne lim _{ x rarrow 0} { }g(f( x+4))``] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

13 [정답] ⑤

해설

[eqn: 1 over x = t``]라 하면 [eqn: x= 1 over t``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { } (3x-1) left{ left( 1 over x right )^10 + left( 2 over x right )^9 + cdots + left( 9 over x right )^2 + left(10 over x right ) right }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow +0} { } 3-t over t left { t^10 +(2t)^9 + cdots+(9t)^2 + 10t right}``]

[eqn: =lim _{ t rarrow +0} { } (3-t) ( t^9 + 2^ 9 t^8 + cdots + 9^2 t +10 )``]

[eqn: =30``]

14 [정답] [eqn: 4``]

해설

[eqn: x=-t``]라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow - inf} { }{ sqrt {(2x^2 +ax ) + 2x sqrt { x^2 +ax }} ``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }{ sqrt {( 2t^2 -at )- 2t sqrt { t^2 -at }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }sqrt { (2 t^2 -at ) - 2 sqrt { t^2 (t^2 -at )}``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }( sqrt t^2 - sqrt { t^2 - at })``(∵ a>0)``]

[eqn: = lim _{ t rarrow inf} { }at over { sqrt t^2 + sqrt { t^2 - at }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { } a over { sqrt 1 + sqrt { 1 - a over t }``]

[eqn: = a over 1+1``]

[eqn: = a over 2``]

따라서 [eqn: a over 2 = 2``]이므로 [eqn: a= 4``]

15 [정답] ④

해설

[eqn: lim _{x -> 2} {} `` {f(x)-2} over {x-2} =2``]이므로 [eqn: lim _{x -> 2} {} ``f(x)=2``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x -> 2} {} `` {f(f(x))-2} over {x-2} = lim _{x -> 2} {} LEFT { {f(f(x))-2} over {f(x)-2} · {f(x)-2} over {x-2} RIGHT }``]

[eqn: `=2 TIMES 2``]

[eqn: `=4``]

16 [eqn: 12``]

[eqn: 12x-1 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 12x+4``]에서

[eqn: x>0``]일 때, [eqn: {12x-1} over {x} LEQ {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} LEQ {12x+4} over {x} ``]

[eqn: 12- {1} over {x} LEQ {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} LEQ 12+ {4} over {x} ``]

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 12- {1} over {x} RIGHT )} =12,`` lim _{x -> INF } {LEFT ( 12+ {4} over {x} RIGHT )} =12``]이므로

[eqn: lim _{x -> INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =12``]	[eqn: CDOTS ㉠``]

또한, [eqn: -1 LEQ sin`x LEQ 1``]에서

[eqn: x>0``]일 때, [eqn: - {1} over {x} LEQ {sin`x} over {x} LEQ {1} over {x} ``]

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( - {1} over {x} RIGHT )} =0,`` lim _{x -> INF } {LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} =0``]이므로

[eqn: lim _{x -> INF } {{sin`x} over {x}} =0``]	[eqn: CDOTS ㉡``]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x -> INF } {LEFT ( {f LEFT ( x RIGHT ) +sin`x} over {x} RIGHT )} = lim _{x -> INF } {LEFT ( {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} + {sin`x} over {x} RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} +} lim _{x -> INF } {{sin`x} over {x}} ``]

[eqn: =12+0=12`` LEFT ( BECAUSE `㉠,`㉡ RIGHT ) ``]

17 [정답] ④

해설

점 [eqn: (2,~1)``]을 지나고 기울기가 [eqn: a``]인 직선의 방정식은 [eqn: y=a(x-2)+1``]

직선 [eqn: y=a(x-2)+1``]이 점 [eqn: (-1,~0)``]을 지날 때 [eqn: a= 1 over3``], 점 [eqn: (0,~1)``]을 지날 때 [eqn: a=0``]이므로

(ⅰ) [eqn: a=0``]일 때, [eqn: f(0) = 3``]

(ⅱ) [eqn: 0< a< 1 over 3``]일 때, [eqn: f(a) = 4``]

(ⅲ) [eqn: a= 1 over 3``]일 때, [eqn: f left( 1 over 3 right ) =3``]

∴ [eqn: lim _{ a rarrow 1 over 3 -0} { }f(a) = 4``]

18 [정답] ②

해설

코싸인법칙에 의하여

[eqn: cos60 DEG `= {rm { bar{OA} } ^{2} +{ rm bar{OB} } ^{2} - rm { bar{AB} } ^{2} it} over {2 rm bar{OA} ·` bar{OB} it}``]

[eqn: {1} over {2} = {(1+x) ^{2} +(1+y) ^{2} -(x+y) ^{2}} over {2(1+x)(1+y)}``]

[eqn: 3xy-x-y-1=0``]

[eqn: THEREFORE ``y= {x+1} over {3x-1}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x -> INF } {} `y= {1} over {3}``]

19 [정답] ⑤

해설

[eqn: rm bar{AB} ``]가 원의 지름이므로 [eqn: rm bar{AB} ``]의 중점 [eqn: rmO``]는 원의 중심이다. 직선 [eqn: rmAB``]에 평행하고 점 [eqn: rmD``]를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rmE``]라 하면 [eqn: rm ANGLE EDB= ANGLE ABD``]

[eqn: rm bar{AD} = bar{CD``}``]이므로
[eqn: rm ANGLE DBC= ANGLE EDB``]

[eqn: THEREFORE rm`` ANGLE DBC= ANGLE EDB``]

[eqn: rm ANGLE CDE= ANGLE EBC``]이므로
[eqn: rm ANGLE CDB= ANGLE CDE+ ANGLE EDB= ANGLE EBC+ ANGLE CBD= ANGLE EBD``]

[eqn: rmbar{DB}``]는 공통

[eqn: rm`bar{CD}=bar{EB}``]

[eqn: THEREFORE `` rm TRIANGLE CBD == TRIANGLE EDB~~( BECAUSE rm SAS``]합동[eqn: )``]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm DE it} = bar{rm BC it} =y``]

점 [eqn: rmD``]에서 [eqn: rmbar{AB}``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF``]라 하면

[eqn: bar{rm OF it} = {y} over {2}``]

[eqn: rm bar{AD} it rm ^{2} - rm bar{AF} it rm ^{2} = rm bar{DF} it rm ^{2} = rm bar{OD} it rm ^{2} - rm bar{OF} it rm ^{2} ``]이므로

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 1- {y} over {2} RIGHT ) ^{2} =1- LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) ^{2}``]

[eqn: y=2-x ^{2}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x-> sqrt {2} -0} {} {y} over {sqrt {2} -x} =2 sqrt {2}``]

20 [정답] ⑤

해설

[eqn: rmbar{OP`} = bar{PQ`} ``]이므로 점 [eqn: rmQ``]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2t,````0 RIGHT ) ``]이다. 점 [eqn: rm R``]의 좌표를 [eqn: LEFT ( s,```` sqrt {s} RIGHT ) ``]라 놓으면 [eqn: rm bar{OP`} ^{2} = bar{QR`} ` ^{2} ``]에서

[eqn: t ^{2} + LEFT ( sqrt {t} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2t-s RIGHT ) ^{2} + LEFT ( - sqrt {s} RIGHT ) ^{2}``]

[eqn: t ^{2} +t=4t ^{2} -4ts+s ^{2} +s``]

[eqn: 3t ^{2} -4ts+s ^{2} +s-t=0``]

[eqn: s ^{2} - LEFT ( 4t-1 RIGHT ) s+3t ^{2} -t=0``]

[eqn: LEFT ( s-t RIGHT ) LEFT ( s-3t+1 RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE s=3t-1```````` LEFT ( BECAUSE s != t RIGHT )``]

[eqn: rm lim _{it`t -> INF } {{bar{OR`}} over {bar{OP`}}} = lim _{it`t -> INF } {{it sqrt {s ^{2} +s}} over {it` sqrt {t ^{2} +t}}} ``]

[eqn: = lim _{t -> INF } {{sqrt {LEFT ( 3t-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3t-1 RIGHT )}} over {sqrt {t ^{2} +t}}}``]

[eqn: = lim _{t -> INF } {{sqrt {9t ^{2} -3t}} over {sqrt {t ^{2} +t}}} =3``]