정답 및 해설

1 [정답] ➁

해설

[eqn: a_n = 4 over 3 cdot left( 4 over 3 right)^n-1 = left( 4 over 3 right) ^n ,~ b_n = 3 over 4 cdot left( 3 over 4 right)^n-1 = left( 3 over 4 right) ^n]이고

[eqn: S_n = sum _{k=1}^{n}{left( 4 over 3 right)^k = {4 over 3 left{ left( 4 over 3 right)^ n - 1 right}}over{4 over 3 - 1 }= 4 left{ left( 4 over 3 right)^n - 1 right},`]

[eqn: T_n = sum _{k=1}^{n}{left( 3 over 4 right)^k = {3 over 4 left{1- left( 3 over 4 right)^ n right}}over{ 1- 3 over 4 }= 3 left{ 1-left( 3 over 4 right)^n right}`]

ㄱ. [eqn: a_n cdot T_n = left( 4 over 3 right) ^n cdot 3 left{ 1- left( 3 over 4 right)^n right} = 3 left{ left( 4 over 3 right)^n - 1 right}`]이므로 수열
[eqn: left{ a_n cdot T_n right}`]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: b_n cdot S_n = left( 3 over 4 right) ^n cdot 4 left{ left( 4 over 3 right)^n -1right} = 4 left{1- left( 3 over 4 right)^n right}`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{(b_n cdot S_n )=4`]이다. 따라서 수열 [eqn: left{ b_n cdot S_n right}`]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: S_n cdot T_n = 4 left{ left( 4 over 3 right)^n - 1 right}cdot 3 left{1- left( 3 over 4 right)^n right}`= 12 left{ left( 4 over 3 right)^n - 2 + left( 3 over 4 right)^n right}`]
이므로 수열 [eqn: left{S_n cdot T_n right}`]은 발산한다.

따라서 수렴하는 수열은 ㄴ이다.2 [정답] ⑤

해설

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = alpha ,`` lim _{n -> INF } {b _{n} = beta ,`}} lim _{n -> INF } {b _{n} = gamma ```}]라 하면 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 0<a _{n} <b _{n} <c _{n} ``]이므로

[eqn: 0 LEQ alpha LEQ beta LEQ gamma ````` CDOTS CDOTS ㉠``]

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,``b _{n} = {2} over {n} ,``c _{n} = {3} over {n} ``]이면 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 0<a _{n} <b _{n} <c _{n} ``]이지만 [eqn: lim _{n -> INF } {c _{n} =0``}]이다.

ㄴ. ㉠에서 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} = beta =0``}]이면 [eqn: 0 LEQ alpha LEQ 0``]이다.

[eqn: THEREFORE ` alpha =0``]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n-> INF } {a _{n} c _{n} = lim _{n-> INF } {a _{n}} TIMES lim _{n-> INF } {c _{n}}} = alpha TIMES gamma =0 TIMES gamma =0``](참)

ㄷ. [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} c _{n} = alpha TIMES gamma >0``}]이면 [eqn: alpha != 0``]이므로 ㉠에서 [eqn: alpha >0``]이다.

이때, [eqn: beta GEQ alpha ``]이므로

[eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} >0``}](참

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

3  [정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `= alpha ``]라 놓고 분자, 분모를 [eqn: 3 ^{n}``]으로 나누어 계산하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} a _{n} +2 ^{n+1}} over {2 ^{n} a _{n} -3 ^{n-1}} `} `=` lim _{n -> INF } {{a _{n} +2 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} - {1} over {3}} `} ``]

[eqn: ``=` lim _{n -> INF } {{alpha +2BULLET 0} over {0 BULLET alpha - {1} over {3}} `=`-3 alpha `} ``]

그런데 ,[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} a _{n} +2 ^{n+1}} over {2 ^{n} a _{n} -3 ^{n-1}} `} `=`6``]이므로

[eqn: -3 alpha =6`,` THEREFORE alpha =-2``]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {a _{n`} `=-2} ``]

4   [정답] ③

[해설]

[eqn: a _{n} b _{n} =p _{n}``]이라 하면, [eqn: a _{n} = {p _{n}} over {b _{n}}``]이다.

즉 , [eqn: lim _{n -> INF } {p _{n} =3``} ,` lim _{n -> INF } {b _{n} = INF ``}``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `= lim _{n -> INF } {{p _{n}} over {b _{n}} =0``}``]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {(a ^{2} ` _{n} b` _{n} +2a _{n} b` _{n} -a` _{n} +2)``}``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {(a` _{n} p` _{n} +2p _{n} -a` _{n} +2)``}``]

[eqn: =6+2=8``]

5  [정답] ②

[해설]

[eqn: a>1,``b>1``]에서 [eqn: {1} over {b`} `<`1`<`a``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a ^{n+1} +b ^{-n+1}} over {a ^{n-1} +b ^{-n}} =a ^{2} =4````````` THEREFORE a=2 LEFT ( BECAUSE a>1 RIGHT ) ``}``]

따라서 무한등비수열 [eqn: LEFT { {(b+1) ^{n}} over {a ^{2n}} RIGHT } ``]에서

[eqn: {(b+1) ^{n}} over {a ^{2n}} `= {LEFT ( b+1 RIGHT ) ^{n}} over {4 ^{n}} ``]이고 [eqn: LEFT { LEFT ( {b+1} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }``]이 수렴하려먼

[eqn: -1`<` {b+1} over {4`} ` LEQ 1``]이므로

[eqn: -4`<`b+1` LEQ 4``]     [eqn: THEREFORE `-5`<`b` LEQ 3``]

따라서 [eqn: b``=2,`3``]이므로 [eqn: b``]의 값의 합은 [eqn: 5``]이다.

6  [정답] ①

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,``][eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ``]의 공차를 각각 [eqn: d _{1} `,`d _{2} ``]라 하면

[eqn: S _{n} ``=` {n LEFT { 2a _{1} +(n-1)d _{1} RIGHT }} over {2} ,````T _{n} = {n LEFT { 2b _{1} +(n-1)d _{2} RIGHT }} over {2} ``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {T _{n}}} = lim _{n -> INF } {{n LEFT { 2a _{1} +(n-1)d _{1} RIGHT }} over {n LEFT { 2b _{1} +(n-1)d _{2} RIGHT }}} ``]

[eqn: `= lim _{n -> INF } {{d _{1} n+(2a _{1} -d _{1} )} over {d _{2} n+(2b _{1} -d _{2} )}} ``= {d _{1}} over {d _{2}}``]

따라서 [eqn: ` {d _{1}} over {d _{2}} `=` {2} over {3}``]에서 [eqn: d _{2} = {3} over {2} d _{1}``]

[eqn: a _{n} =d _{1} n+p`,`b _{n} =d _{2} n+q``]([eqn: p`,`q``]는 실수)로 놓으면

[eqn: a _{n} +b _{n} =(d _{1} +d _{2} )n+(p`+q)`= {5} over {2} d _{1} n+p+q``]

[eqn: a _{n} -b _{n} =(d _{1} -d _{2} )n+(p`-q)`=- {1} over {2} d _{1} n+p-q``]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{a _{n} +b _{n}} over {a _{n} -b _{n}} `= lim _{n -> INF } {{{5} over {2} d _{1} n+p+q} over {- {1} over {2} d _{1} n+p-q} `=-5``} ``}``]

7 ②

[eqn: n<a_n <n+1``]이므로 [eqn: 1<a_1 <2 ,~ 2<a_2 <3 ,~ 3<a_3 <4 ,~ cdots``]

에서

[eqn: 1+2+3+cdots +n <a_1 + a_2 +a_3 + cdots+ a_n < 2+3+4+cdots + (n+1 )``]

[eqn: sum_k=1^n k < a_1 +a_2 +a_3 + cdots +a_n < sum_k=1^n (k+1)``]

[eqn: n(n+1) over 2 <a_1 +a_2 +a_3 + cdots + a_n < n(n+3) over 2``]

각 변의 역수를 취하고, [eqn: n^2``]을 곱하면

[eqn: 2n^2 over {n^2 +3n} < n^2 over {a_1 +a_2 +a_3 + cdots + a_n } < 2n^2 over {n^2 +n}``]

[eqn: lim_n->inf 2n^2 over {n^2 +3n} le lim_n->inf n^2 over {a_1 +a_2 +a_3 + cdots + a_n } le lim_n->inf 2n^2 over {n^2 +n}``]

[eqn: lim_n->inf 2n^2 over {n^2 +3n} =2 ,~ lim_n->inf 2n^2 over {n^2 +n} =2``]이므로

[eqn: 2 le lim_n->inf n^2 over {a_1 +a_2 +a_3 + cdots + a_n } le 2``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: lim_n->inf n^2 over {a_1 +a_2 +a_3 + cdots + a_n } = 2``]

8 [정답] ④

해설

[eqn: 2n-1`<`f(n)`<`2n+1`]의 각 변에 [eqn: {2n+1}over{n^{2}}`]을 각각 곱하면

[eqn: {(2n-1)(2n+1)}over{n^{2}}`<`{(2n+1)f(n)}over{n^{2}}`<`{(2n+1)^{2}}over{n^{2}}`]

이때, [eqn: lim_{n`->`inf}{`(2n-1)(2n+1)}over{n^{2}}`=`lim_{n`->`inf}{`{(2n+1)^{2}}over{n^{2}}`=`4`]이므로

[eqn: lim_{n`->`inf}{`{(2n+1)f(n)}over{n^{2}}}`=`4`]

9 [정답] ①

(가)에서

[eqn: LEFT ( 3n^2 -2 RIGHT )`a_n =c_n]이라 하면 [eqn: lim_{n rarrow inf} { c_n =5]이다.

[eqn: a_n = c_n over{3n^2 -2]에서

[eqn: lim_{n rarrow inf}{{n^2 a_n][eqn: = lim_{n rarrow inf}{{n^2 c_n} over {3n^2 -2]
[eqn: = lim_{n rarrow inf}{{n^2 over{3n^2 -2} times lim_{n rarrow inf}{{c_n]
[eqn: = 1over3 times 5 = 5over3]

(나)에서 [eqn: {2n-1}overn < b_n overn < {2n+1}overn]이고

[eqn: lim_{n rarrow inf}{{2n-1}overn = lim_{n rarrow inf}{{2n+1}overn =2]이므로

[eqn: lim_{n rarrow inf}{{b_n overn =2]

[eqn: therefore] [eqn: lim_{n rarrow inf}{{n^3 a_n +2 }over{b_n +3n}][eqn: =lim_{n rarrow inf}{{n^2 a_n + 2overn }over { b_n overn +3}]
[eqn: = {5over3 +0 }over2+3]
[eqn: = 1over3]

10 [정답] ➂

해설

[eqn: 2+4+6+cdots+2n = 2(1+2+3+cdots+n)``]

[eqn: = 2 times {n(n+1)}over 2 = n^2 + n``]

이고

[eqn: 1+3+5+cdots+(2n-1)= sum_{k=1}^{n}{(2k-1)``]

[eqn: = 2 times {n(n+1)}over 2 -n = n^2 ``]

이므로

[eqn: {(2n+1)^2 } over 4n^2 } left{ 1+3+5+cdots+(2n-1)right} = {(2n+1)^2 } over 4n^2 times n^2]

[eqn: = {(2n+1)^2 } over 4]

따라서 주어진 식은

[eqn: n^2 + n le a_n ^2 + 2na_n + n^2 le {(2n+1)^2 }over 4 ``]

[eqn: n^2 + n le ( a_n +n)^2 le {(2n+1)^2 }over 4 ``]

[eqn: root{n^2 + n} le a_n + n le {2n+1}over 2 ``] [eqn: (`because``a_n >0``)`]

[eqn: root{n^2 + n } -n le a_n le {2n+1}over 2 - n``]

[eqn: therefore~root{n^2 + n} -n le a_n le 1 over 2 ``]

이때,

[eqn: lim_{n->inf}{(root{n^2 + n} -n) = lim_{n->inf}{ {n}over {root{n^2 + n } +n} `]

[eqn: = lim_{n->inf}{ 1 over {root{1 + 1 over n } +1 } = 1 over 2 ``]

이므로 [eqn: lim_{n->inf}{a_n}= 1 over 2 ``]이다.

11  [정답] ⑤

[해설]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 4n ^{2} <4n ^{2} +3<4n ^{2} +4n+1``]이므로

[eqn: 2n`<` sqrt {4n ^{2} +3} `<`2n+1``]

따라서 [eqn: sqrt{4n^2 +3}``]의 정수 부분은 [eqn: 2n``]이다.

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {n( sqrt {4n ^{2} +3} -a _{n}} )``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {n( sqrt {4n ^{2} +3} -2n} )``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n( sqrt {4n ^{2} +3} -2n)( sqrt {4n ^{2} +3} +2n)} over {sqrt {4n ^{2} +3} +2n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +3} +2n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{3} over {sqrt {4+ {3} over {n ^{2}}} +2}} ``]

[eqn: = {3} over {4}``]

12 [정답] ➂

해설

수열 [eqn: left{a_n -1 right}``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n->inf}{`(a_n - 1)=alpha``]로 놓으면

[eqn: lim_{n->inf}{``a_n}=alpha+1``]이다.

수열 [eqn: left{ {a_n ^2 - 2 a_n + 7} over {a_n ^2 - 2 a_n + 2 }right}``]이 수렴하고 그 극한값이 [eqn: alpha``]이므로 수열의 극한값의 기본 성질에 의하여

[eqn: alpha= lim_{n->inf}{{a_n^2 - 2a_n + 7 }over {a_n ^2 - 2 a_n +2 } ={( lim_{n->inf}{a_n })^2 - 2lim_{n->inf}{a_n }+7}over {(lim_{n->inf}{a_n })^2 - 2 lim_{n->inf}{a_n } + 2}``]

[eqn: ={(alpha+1)^2 - 2(alpha+1)+7}over {(alpha+1)^2 - 2 (alpha+1)+2}= {alpha^2 +6 }over {alpha^2 + 1 ``]

따라서 [eqn: alpha^3 + alpha = alpha^2 + 6 ``]에서 [eqn: alpha^3 - alpha^2 + alpha-6 =0``]이므로

[eqn: (alpha-2)(alpha^2 + alpha+3)=0``]

[eqn: alpha^2 + alpha+3 >0``]이므로 [eqn: alpha=2``]이다.

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}=alpha+1 = 2+1 = 3``]

13 [정답] [eqn: 35]

해설

[eqn: lim_{n->inf}{{(10n+1)b_n}over{a_n}}]

[eqn: =lim_{n->inf}{{(n^2 +1)b_n cdot (10n+1)(n+1)}over{(n+1)a_n cdot(n^2 + 1)}}]

[eqn: = {{{lim_{n->inf}{(n^2 +1)b_n}}over{{lim_{n->inf}{(n+1)a_n}}}cdot {lim_{n->inf}{{(10n+1)(n+1)}over{n^2 +1}}]

[eqn: = 7 over 2 times 10 = 35`]

14 [정답] ③

집합 [eqn: A_n]에서 [eqn: 0 le x le n], [eqn: 0 le y le n^2]인 사각형의 둘레 및 내부의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: a_n]이므로

[eqn: a_n = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n^2 +1 RIGHT )]

집합 [eqn: B_n]에서 [eqn: x=k]일 때, [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: LEFT ( k^2 +1 RIGHT )]개이므로

[eqn: b_n][eqn: = sum_{k=0} ^ n { LEFT ( k^2 +1 RIGHT )]
[eqn: = sum_k=1 ^n {k ^2 + LEFT ( n+1 RIGHT )]
[eqn: = 1over6 n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )`+ LEFT ( n+1 RIGHT )]
[eqn: = 1over6 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n^2 +n +6 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim_{n rarrow inf} { {a_n }over{b_n][eqn: = lim _{n rarrow inf} { { LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n^2 +1 RIGHT )}over{ 1over6 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n^2 +n +6 RIGHT )]
[eqn: = lim_{n rarrowinf} { { LEFT ( 1 + 1overn RIGHT ) LEFT ( 1 + 1overn ^2 RIGHT )}over{ 1over6 LEFT ( 1 + 1overn RIGHT ) LEFT ( 2 + 1overn + 6 overn ^2 RIGHT )]
[eqn: =3]

15 [정답] ➀

해설

[eqn: 1 over {a_1}+ 2 over {a_2} + 3 over {a_3} + cdots + n over {a_n } = (n+1)^2 ~~cdotscdots㉠]

[eqn: ㉠``]에 [eqn: n``]대신 [eqn: n-1``]을 대입하면

[eqn: 1 over {a_1}+ 2 over {a_2} + 3 over {a_3} + cdots + {n-1} over {a_{n-1} } = n^2 ``(`n ge 2`)~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠-㉡``]을 하면 [eqn: n over {a_n} = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1``]이므로

[eqn: a_n = n over {2n+1}``(``n`ge2``)`]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}`=lim_{n->inf}{n over {2n+1}= 1 over 2 `]

16 [정답] ③

[eqn: a_n + S`_n =1]에서 [eqn: a_1 = S`_1]이므로

[eqn: a_1 + S`_1 = 2a _1 =1]	[eqn: therefore] [eqn: a_1 = 1over2]

또, [eqn: a_n +S`_n = a_n-1 +S`_n-1 = 1]에서

[eqn: LEFT ( a_n +S`_n RIGHT )`- LEFT ( a_n-1 + S`_n-1 RIGHT )][eqn: = a_n -a_n-1 + LEFT ( S`_n - S`_n-1 RIGHT )]
[eqn: = a_n -a_n-1 +a_n]
[eqn: = 2a_n -a_n-1 =0```` LEFT ( n ge 2 RIGHT )]

[eqn: a_1 = 1over2], [eqn: a_n = 1over2 a_n-1]이므로 [eqn: a_n = LEFT ( 1over2 RIGHT )^n]

[eqn: therefore] [eqn: lim_{n rarrow inf} { S`_n][eqn: = lim_{n rarrow inf} { LEFT ( 1-a_n RIGHT )`= lim_{n rarrow inf} { left{ 1- LEFT ( 1over2 RIGHT )^n right}`=1]

17 [정답] ➁

해설

[eqn: a_n = a_1 +sum _{k=1}^{n-1}{left( 1 over 3 right)^k ``=a_1 + 1 over 2 left( 1 - 1 over 3^n-1} right)= 3 over 2 - 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^n-1]

이므로 [eqn: lim_{n->inf}{a_n}= 3 over 2 ``]이다. 따라서 [eqn: alpha= 3 over 2 ``]이다.

이때, [eqn: a_n - alpha = 3 over 2 - 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^n-1 - 3 over 2 = - 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^n-1``]이므로

[eqn: lim_{n->inf}{1 over n^2 (log``|`a_1 -alpha`|+log``|`a_2 -alpha`|+cdots+log``|`a_n -alpha`|`)]

[eqn: = lim_{n->inf}{1 over n^2 }left[ log ``left{ 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^0 right}`+log ``left{ 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^1 right}`+cdots+log ``left{ 1 over 2 cdot left( 1 over 3 right)^n-1 right}`right]]

[eqn: = lim_{n->inf}{1 over n^2 `log left{ left( 1 over 2 right)^n cdot left( 1 over 3 right)^{0+1+2+cdots+(n-1)}right}``]

[eqn: = lim_{n->inf}{1 over n^2 left{ -n log``2``-{n(n-1)over 2 cdot log``3``right}=-{ log``3 }over 2 ``]

18 [정답] ②

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )`= 1over3]이고 임의의 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( m+n RIGHT )`= f LEFT ( m RIGHT )f LEFT ( n RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( n+1 RIGHT )`= f LEFT ( n RIGHT )f LEFT ( 1 RIGHT )`= 1over3 f LEFT ( n RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( n RIGHT )`= LEFT ( 1over3 RIGHT )^n ```` LEFT ( n=1,````2,````3,````cdots RIGHT )]

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = a_n + LEFT ( 1over3 RIGHT )^n]이므로

[eqn: a_n][eqn: = 1+ sum_k=1 ^n-1 { LEFT ( 1over3 RIGHT )^k]
[eqn: = 1 + {1over3 left{1- LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1 right}}over {1- 1over3]
[eqn: = 1 + 1over2 left{ 1- LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1 right}]
[eqn: = 3over2 - 1over2 LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1 ```` LEFT ( n ge2 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim_{n rarrow inf} { a_n = lim_{n rarrow inf} { left{ 3over2 - 1over2 LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1 right}` = 3over2]

19 [정답] ➁

해설

[eqn: A=pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}``]이므로

[eqn: A^2 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}=pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 ~~&~2^2`}]

[eqn: A^3 =AA^2 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 ~~&~2^2`}=pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 +2^2 cdot 3 ~~&~2^3`}]

[eqn: vdots]

[eqn: A^n =pmatrix{`1~~&~0`#`3(1+2+2^2 + cdots+2^n-1 ) ~~&~2^n`}]

따라서 [eqn: a_n = 1 ,~b_n = 0 ,~d_n = 2^ n ``]이고

[eqn: c_n = 3(1+2+2^2 + cdots+2^n-1 ) = 3 times {2^n - 1}over 2-1 = 3(2^n - 1)``]이므로

[eqn: lim_{n->inf}{d_n over c_n } = lim_{n->inf}{2^n over {3(2^n -1)}=lim_{n->inf}{1 over {3 left( 1 - 1 over 2^n right)}= 1 over 3]

[다른 풀이]

[eqn: A^n+1 =AA^n+1 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`a_n~&b_n`#`c_n~&d_n`}=pmatrix{`a_n~&~~b_n`#`3a_n +2c_n ~&~~3b_n + 2d_n }]

이고 [eqn: A^n+1 = pmatrix{`a_n+1``~&~b_n+1`#`c_n+1``~&~d_n+1`}``]이므로

[eqn: a_n+1 = a_n ``]에서 [eqn: a_n =1`]

[eqn: b_n+1 = b_n ``]에서 [eqn: b_n = 0``]

[eqn: c_n+1 = 3a_n + 2 c_n ``]에서 [eqn: c_n+1 = 2 c_n + 3``]

[eqn: c_n+1 +3 = 2(c_n + 3)``]

[eqn: therefore~c_n +3 = (c_1 + 3 ) cdot 2^n-1 = (3+3) cdot 2^n-1 = 3 cdot 2^ n``]

[eqn: therefore~c_n = 3(2^n - 1)``]

[eqn: d_n+1 = 3b_n + 2 d_n ``]에서 [eqn: d_n+1 = 2 d_n ``]	[eqn: therefore~d_n = d_1 cdot 2^n-1 ``]

[eqn: therefore~d_n = 2^n ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{d_n over c_n } = lim_{n->inf}{2^n over {3(2^n -1)}=lim_{n->inf}{1 over {3 left( 1 - 1 over 2^n right)}= 1 over 3]

20  [정답] ⑤

[해설]

[eqn: a` _{n+1} +b` _{n+1} +c` _{n+1} =a` _{n} +b` _{n} +c` _{n} ``= CDOTS =a _{1} +b _{1} +c _{1} =12``]

[eqn: 2a`_n+1 =b`_n +c`_n ``]이므로 [eqn: a _{n} +2a` _{n+1} =12``]

[eqn: a _{n+1} + {1} over {2} a` _{n} =6``]이므로 [eqn: a _{n+1} =- {1} over {2} a _{n} +6``]에서

[eqn: a _{n+1} -4=- {1} over {2} (a _{n+1} -4)``]

따라서 [eqn: a _{n} -4=(a _{1} -4) LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}``]이므로

[eqn: a _{n} =4-2 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}``]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {a _{n} =} ` lim _{n -> INF } {LEFT { 4-2 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT } =} `4``]

21 [정답] ➄

해설

자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: [``x^2 ``]=k``]이면 [eqn: k le x^2 < k+1``]이므로

[eqn: -root{k+1}<x le -rootk ``]또는 [eqn: rootk le x < root{k+1}``]

또, [eqn: -1<x<1``]이면 [eqn: 0 le x^2 <1``]이므로 [eqn: [``x^2 ``]=0``]이다.

따라서 [eqn: y=[``x^2 ``] ``]의 그래프는 아래의 왼쪽 그림과 같다.

[eqn: n=1,~2,~3,~cdots``]일 때, 함수 [eqn: y= {n}over{n+1}x^2 ``]의 그래프는 위의 다음 그림과 같으므로

[eqn: a_1 = 1 ,~a_2 = 3 ,~a_3 = 5,~cdots,~a_n = 2n-1``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{{a_n}over {n}= lim_{n->inf}{{2n-1 over {n} }=2``]

22 [정답] ①

해설

점 [eqn: {rmA}_{n}`]의 좌표가 [eqn: (a_{n},~0)`]이므로 [eqn: {rmB}_{n}(a_{n}+n,~0)`]이다.

기울기가 [eqn: 2`]이고 점 [eqn: {rmA}_{n}`]을 지나는 직선을 [eqn: l_{n}`]이라 하고, 점 [eqn: {rmB}_{n}`]을 지나면서 직선 [eqn: l_{n}`]에 수직인 직선을 [eqn: l`'_{n}`]이라 하자.

직선 [eqn: l_{n{`]의 방정식은

[eqn: y`=`2(x-a_{n})`,] 즉 [eqn: y`=`2x-2a_{n}`]	[eqn: cdots][eqn: cdots`㉠`]

이때, 직선[eqn: ``㉠`]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: -{1}over{2}`]이므로 직선 [eqn: l`'_{n}`]은

점 [eqn: {rmB}_{n}(a_{n}+n},~0)`]을 지나고 기울기가 [eqn: -{1}over{2}`]인 직선이다.

따라서 직선 [eqn: l`'_{n}`]의 방정식은

[eqn: y`=`-{1}over{2}(x-a_{n}-n)`,] 즉 [eqn: y`=`-{1}over{2}x+{1}over{2}a_{n}+{1}over{2}n`]	[eqn: cdots][eqn: cdots`㉡`]

점 [eqn: {rmC}_{n}`]은 직선 [eqn: l_{n}`]과 직선 [eqn: l`'_{n}`]의 교점이므로 [eqn: ㉠,~㉡`]에서

[eqn: 2x-2a_{n}`=`-{1}over{2}x+{1}over{2}a_{n}+{1}over{2}n`]

[eqn: 4x-4a_{n}`=`-x+a_{n}+n`]

[eqn: therefore~x`=`a_{n}+{n}over{5}`]

따라서 점 [eqn: {rmC}_{n}`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: a_{n}+{n}over{5}`]이므로 [eqn: {rmA}_{n+1}left(a_{n}+{n}over{5},~0right)`]이다.

[eqn: therefore~a_{n+1}`=`a_{n}+{n}over{5}~(n`=`1,~2,~3,~cdots`)`]

따라서 수열 [eqn: left{a_{n}right}`]의 계차수열의 일반항은 [eqn: {n}over{5}`]이고, [eqn: a_{1}`=`1`]이므로

[eqn: a_{n}`=`1+sum_{k`=`1}^{n-1}{`{k}over{5}}`=`1+{1}over{5}`times`{(n-1)n}over{2}`=`{n^{2}-n+10}over{10}~(n`ge`2)`]

[eqn: therefore~lim_{n`->`inf}{`{a_{n}}over{n^{2}}}`=`lim_{n`->`inf}{`{n^{2}-n+10}over{10n^{2}}}`=`{1}over{10}`]

[다른 풀이]

위의 그림에서 직선 [eqn: {rmA}_{n}{rmC}_{n}`]의 기울기가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: bar{{rmC}_{n}{rmA}_{n+1}}`=`2bar{{rmA}_{n}{rmA}_{n+1}}`]

이때, 직각삼각형 [eqn: {rmA}_{n}{rmA}_{n+1}{rmC}_{n}`]과 직각삼각형 [eqn: {rmA}_{n}{rmC}_{n}{rmB}_{n}`]은 닮음이므로

[eqn: bar{{rmB}_{n}{rmC}_{n}}`=`2`bar{{rmA}_{n}{rmC}_{n}}`]

[eqn: bar{{rmA}_{n}{rmB}_{n}}`=`root{2^{2}+1^{2}}`bar{{rmA}_{n}{rmC}_{n}}`=`root{5}`bar{{rmA}_{n}{rmC}_{n}}`]

이때, 주어진 조건에서 [eqn: bar{{rmA}_{n}{rmB}_{n}}`=`n`]이므로

[eqn: bar{{rmA}_{n}{rmC}_{n}}`=`{1}over{root{5}}`times`bar{{rmA}_{n}{rmB}_{n}}`=`{n}over{root{5}}`]

마찬가지로

[eqn: bar{{rmA}_{n}{rmA}_{n+1}}`=`{1}over{root{5}}`times`bar{{rmA}_{n}{rmC}_{n}}`=`{1}over{root{5}}`times`{1}over{root{5}}`times`bar{{rmA}_{n}{rmB}_{n}}`=`{n}over{5}`]

[eqn: therefore~a_{n+1}`=`a_{n}+{n}over{5}`]

23 [정답] ➁

해설

점 [eqn: {rmP}_n``]의 좌표를 [eqn: a_n ``]이라 하면 점 [eqn: {rmP}_n+1 ``]은 선분 [eqn: {rmOP}_n ``]을 [eqn: k``:``1``]로 내분한 점을 수직선의 양의 방향으로 [eqn: 1``]만큼 평행이동시킨 점이므로

[eqn: a_n+1 = {ka_n }over {k+1} +1``]

[eqn: a_n+1 -(k+1)={k}over{k+1}left{a_n - (k+1)right}``]

[eqn: a_n - (k+1) = left{ a_1 - (k+1)right} left( k over k+1 right)^n-1 ``]

[eqn: a_n = k+1 + left{ a_1 - (k+1)right} left( k over k+1 right) ^n-1 ``]

[eqn: k>0``]이므로 [eqn: 0 < k over k+1 < 1``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{bar{rmOP_{itn}}=lim_{n->inf}{a_n}=k+1``(because``a_n >0``)]

[eqn: lim_{n->inf}{bar{rmOP_{itn}}=10``]이므로 [eqn: k+1 = 10``]에서 [eqn: k=9``]이다.

24 [정답] ➂

해설

[eqn: tan`piover 3 `= a_n over l_n ``]이므로 [eqn: l_1 = a_n over {root3}``]

따라서 [eqn: l_2 = 1- l_1 = 1 - {a_n} over root3 ``]이므로

[eqn: a_n+1 = l_2 times sin`pi over 3 `]

[eqn: = left( 1 - a_n over root3 right) times root3 over 2 = root3 over 2 - 1 over 2 a_n `]

즉, [eqn: a_n+1 = root3 over 2 - 1 over 2 a_n ``]이므로

[eqn: a_n+1 - root3 over 3 = - 1 over 2 left( a_n - root3 over 3 right)``]

[eqn: therefore~a_n = root3 over 3 + left( a_1 - root3 over 3 right) cdot left( - 1 over 2 right)^n-1 ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}=root3 over 3``]

25 [정답] ①

점 [eqn: rmA_{itn]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a_n]이라 하면 [eqn: rmA_{itn], [eqn: rmB_{itn]의 좌표는

[eqn: {rmA}_{n} LEFT ( a_n , ````0 RIGHT )], [eqn: {rmB} _n LEFT ( a_n + n ,````0 RIGHT )]

점 [eqn: {rmA}_n]을 지나고 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은

[eqn: y = 2 LEFT ( x-a_n RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉠

직선 ㉠에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - 1over2]이므로 점 [eqn: {rmB}_n]을 지나고 직선 ㉠에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y = `- 1over2 LEFT ( x-a_n -n RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉡

직선 ㉠과 ㉡의 교점이 [eqn: {rmC}_n]이므로 식을 연립하면

[eqn: 2 LEFT ( x-a_n RIGHT )`= `- 1over2 LEFT ( x-a_n -n RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: x = a_n + n over5]

점 [eqn: {rmC}_n]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a_ n+1]이므로

[eqn: a_n+1 = a_n + n over5] [eqn: LEFT ( n=1,````2,````3,````cdots RIGHT )]

[eqn: a_1 =1]이므로

[eqn: a_n][eqn: = 1 + sum_{k=1} ^{n-1} {k over5]
[eqn: = 1 + 1over5 times { LEFT ( n-1 RIGHT )`n}over2]
[eqn: = {n^2 -n +10}over10 ```` LEFT ( n ge2 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim_{n rarrowinf} { a_n overn^2 = lim_{n rarrowinf} { {n^2 -n+10 }over10n^2 = 1over10]

26 [정답] ①

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S`_n]이라 하면

[eqn: S`_n][eqn: = 1over2 cdot rmbarAB cdot barBC cdot sin`60°]
[eqn: = 1over2 times 1 times n times sqrt { 3}over2]
[eqn: = sqrt { 3}over4 n]	[eqn: cdotscdots] ㉠

코사인법칙에 의하여

[eqn: {rmbarCA} = sqrt { 1+ n^2 -2 cdot1 cdot n `cos`60° }= sqrt { n^2 -n +1}]

이므로

[eqn: S`_n][eqn: = 1over2 LEFT ( `rmbarAB +barBC +barCA ` RIGHT )`times itr_n]
[eqn: = 1over2 LEFT ( 1+n + sqrt { n^2 -n +1} RIGHT )`times r_n]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: r_n = { sqrt { 3}over4 n }over{ 1over2 LEFT ( 1+n + sqrt { n^2 -n +1} RIGHT )} = { sqrt { 3}n }over{ 2 LEFT ( 1+n + sqrt { n^2 -n +1} RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {`r _{n}}][eqn: = lim _{n rarrow inf} { { sqrt { 3}n }over{2 LEFT ( 1+n + sqrt { n^2 -n +1} RIGHT )]
[eqn: = lim_{n rarrow inf} { { sqrt { 3}}over{ 2 LEFT ( 1overn + 1 + sqrt { 1- 1overn + 1overn^2 } RIGHT )]
[eqn: = sqrt { 3}over4]

27 [정답] ④

점 [eqn: rmA _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: a _{1} =0,` rm A _{it n rm} (ita _{n} ,`2a _{n} )]

이므로 조건 ㈏에서 [eqn: rmB _{itn} (ita _{n} +n,`2a _{n} +n)]이다.

점 [eqn: rmB _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: y=2x]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} (x-a _{n} -n)+2a _{n} +n]

[eqn: =- {1} over {2} x+ {5} over {2} a _{n} + {3} over {2} n]     [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

두 직선 [eqn: ㉠]과 [eqn: y=2x]가 만나는 점 [eqn: rmA _{itn+1} (ita _{n+1} ,`2a _{n+1} )]의 [eqn: x]좌표를

구하면

[eqn: 2x=- {1} over {2} x+ {5} over {2} a _{n} + {3} over {2} n]

[eqn: {5} over {2} x= {5a _{n} +3n} over {2}]

[eqn: THEREFORE x=a _{n} + {3n} over {5}]

따라서 [eqn: a _{n+1} =a _{n} + {3n} over {5}]이므로

[eqn: a _{k+1} -a _{k} = {3k} over {5} (k GEQ 1)# THEREFORE a _{n} =0+ sum _{k=1} ^{n-1} {3} over {5} k``(n GEQ 2)]

[eqn: = {3} over {5} TIMES {(n-1)n} over {2}]

[eqn: = {3n(n-1)} over {10}]

[eqn: a _{5} = {3cdot5cdot4} over {10} =6]이므로 두 점 [eqn: rmA _{1} LEFT ( 0,`0 RIGHT ) ,`A _{5} LEFT ( 6,`12 RIGHT )] 사이의 거리는

[eqn: bar{rmA _{1} A _{5}}][eqn: = sqrt {6 ^{2} +12 ^{2}} =6 sqrt {5}]

28 [정답] ➀

해설

직선 [eqn: rmB_1 A``]의 방정식은 [eqn: y=-2x + 20``]이므로 점 [eqn: rmB_{itn}``]의 좌표는 [eqn: (a_n ,~-2a_n + 20)``]이고, 점 [eqn: rmC_{itn}``]의 좌표는 [eqn: (-a_n ,~-2a_n + 20)``]이다. 따라서 점 [eqn: rmM_{itn}``]의 좌표는 [eqn: left( {10-a_n }over {2},~-a_n + 10 right)``]이다.

점 [eqn: rmM_{itn}``]을 지나고 기울기가 [eqn: 1 over 2 ``]인 직선의 방정식은

[eqn: y-(-a_n + 10) = 1 over 2 left( x- {10-a_n}over 2 right)``][eqn: cdotscdots㉠]

이때, 직선 [eqn: ㉠``]과 직선 [eqn: y=-2x+20``]의 교점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: a_n+1 ``]이므로 [eqn: x``]에 대한 방정식

[eqn: (-2x+20)-(-a_n +10)= 1 over 2 left( x - {10-a_n}over 2 right)``]

의 근은 [eqn: a_n+1``]이다. 따라서

[eqn: 2(-2x+10)-2(-a_n + 10) = x- {10-a_n }over 2 ``]

에서 [eqn: 5x = 3 over 2 a_n + 25``]이므로

[eqn: a_n+1 = 3 over 10 a_n + 5``]

[eqn: a_n+1 - 50 over 7 = 3 over 10 left( a_n - 50 over 7 right) ``]이므로

[eqn: a_n = 50 over 7 + left( a_1 - 50 over 7 right) cdot left( 3 over 10 right)^n-1 ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{``a_n}= 50 over 7 ``]

29 [정답] ③

해설

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +S _{n} RIGHT } ``]은 첫째항이 [eqn: 7``], 공차가 [eqn: 3``]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} +S _{n} =7+(n-1)cdot3``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} +S _{n} =3n+4``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: a _{1} +S _{1} =7``]이고 [eqn: S _{1} =a _{1} ``]이므로 [eqn: a _{1} = {7} over {2} ``]이다.

㉠에서 [eqn: n``]대인 [eqn: n+1``]을 대입하면

[eqn: a _{n+1} +S _{n+1} =3n+7``]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: (a _{n+1} -a _{n} )+(S _{n+1} -S _{n} )=3``]에서

[eqn: 2`a _{n+1} -a _{n}}=3``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} + {3} over {2} ``]

[eqn: a _{n+1} -3= {1} over {2} (a _{n} -3)``]에서

[eqn: a _{n} -3=(a _{1} -3) CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~a _{1} = {7} over {2} RIGHT )``]

따라서 [eqn: a `_{n} =3+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {``a ` _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT { 3+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =3``]

30 [정답] ③

해설

[eqn: a _{1`} + {a _{`2}} over {3} + {a _{`3}} over {3 ^{2}} + CDOTS + {a _{`n}} over {3 ^{n-1}} =6- {6} over {5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n`} a` _{n+1} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: n``]대신 [eqn: n-1``]을 대입하면

[eqn: a _{`1`} + {a _{`2}} over {3} + {a _{`3}} over {3 ^{`2}} + CDOTS + {a _{`n-1}} over {3 ^{`n-2}} =6- {6} over {5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1`} a _{`n} ``] [eqn: (n`ge`2)``]

[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: {a _{`n}} over {3` ^{n-1}} =- {6} over {5} CDOT LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( {1} over {3} a` _{n+1} -a` _{n} RIGHT ) ``]

즉, [eqn: 5a `_{n} `=-6` LEFT ( {1} over {3} a `_{n+1} -a `_{n} RIGHT ) ``]에서 [eqn: 5a _{n} =-2a _{n+1} +6a _{n} ``]이므로

[eqn: a `_{n+1} = {1} over {2} a `_{n} ``]

이때, 위의 식은 [eqn: n`ge2``]일 때 성립하므로 [eqn: n``]대신 [eqn: 2,~3,~4,~cdots,~n-1``]을 대입하면

[eqn: a `_{3} = {1} over {2} a `_{2} ,~a `_{4} = {1} over {2} a ` _{3} ,~a `_{5} = {1} over {2} a `_{4} ,~cdots,~a `_{n} = {1} over {2} a `_{n-1} ``][eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: a _{n} !=0``]이므로 ㉢의 모든 식을 변끼리 곱하면

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-2} a `_{2} ~(n`ge2)``]

이때, ㉠의 양변에 [eqn: n=1``]을 대입하면

[eqn: a _{1} =6- {6} over {5} times {1} over {3} timesa _{2} ``]

즉, [eqn: 5=6- {2} over {5} a _{2} ``]에서 [eqn: a _{2} = {5} over {2} ``]이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-2} a `_{2} =5cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} (n`ge2)``]

[eqn: a _{1} =5``]이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} =5cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {5} over {1- {1} over {2}} =10``]

31 [정답] [eqn: 6``]

해설

[eqn: b _{1} =a _{1} +a _{2} +a _{3} =2+1+0=3``]
[eqn: a _{4} =a _{3times`1+1} = {a _{1}} over {2 ^{1}} =1,``]

[eqn: a _{5} =a _{3times`1+2} = {a _{2}} over {2 ^{1}} = {1} over {2} ,``]

[eqn: a _{6} =a _{3times1+3} = {a _{3}} over {2 ^{1}} = {0} over {2} =0``]

이므로

[eqn: b _{2} =a _{4} +a _{5} +a _{6} = {2+1+0} over {2} = {3} over {2} ``]

[eqn: a _{7} =a _{3times2+1} = {a _{1}} over {2 ^{2}} = {1} over {2} ,``]

[eqn: a _{8} =a _{3times2+2} = {a _{2}} over {2 ^{2}} = {1} over {4} ,``]

[eqn: a _{9} =a _{3 TIMES 2+3} = {a _{3}} over {2 ^{2}} = {0} over {4} =0``]

이므로

[eqn: b _{3} =a _{7} +a _{8} +a _{9} = {2+1+0} over {2 ^{2}} = {3} over {2 ^{2}} ``]
⋮

따라서 [eqn: b _{n} = {3} over {2 ^{n-1}} ~ LEFT ( n=1,~2,~3,~cdots RIGHT ) ``]임을 추론할 수 있다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{inf} b _{n} = {3} over {1- {1} over {2}} =6``]

32  [정답] ①

ㄱ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {LEFT ( 3n-2 RIGHT ) LEFT ( 3n+1 RIGHT )} ``] 의 부분합 [eqn: S _ {n} ``]은

[eqn: S` _{n} = sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {LEFT ( 3k-2 RIGHT ) LEFT ( 3k+1 RIGHT )} ``]

[eqn: `= sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {3} LEFT ( {1} over {3k-2} `- {1} over {3k+1} RIGHT ) ``]

[eqn: = {1} over {3} ` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {7} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {3n-2} - {1} over {3n+1} RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} ` LEFT ( 1- {1} over {3n+1} RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {S _{n}} = lim _{n-> INF } {} {1} over {3} ` LEFT ( 1- {1} over {3n+1} RIGHT ) `= {1} over {3} ```](수렴)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} ``]에서 [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} != 0} ``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} ``]은 발산한다.

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {n ^{2} +2n-1} `=1 != 0} ``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {n ^{2}} over {n ^{2} +2n-1} ``]은 발산한다.

따라서 수렴하는 것은  ㄱ 이다.

33 [정답] ③

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } (a_n + b_n ) = sum _{ n=1 } ^{ inf}a_n = alpha`]에서

[eqn: sum _{n=1} ^{inf } (a_n + b_n ) - sum _{n=1} ^{inf } a_n &= sum _{ n=1} ^{ inf } LEFT { (a_n + b_n ) - a_n RIGHT }# &= sum _{ n=1 } ^{inf } b_n =0 `]

이므로 [eqn: lim _{ n->inf} ``{ b_n }=0 `](참)

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } (a_n - b_n ) = sum _{ n=1 } ^{ inf}( a_n -1) = alpha`]에서

[eqn: sum _{n=1} ^{inf } (a_n - b_n ) - sum _{n=1} ^{inf } (a_n -1 ) &= sum _{ n=1} ^{ inf } LEFT { (a_n - b_n ) - (a_n -1) RIGHT }# &= sum _{ n=1 } ^{inf } (1 - b_n )# & = 0]

[eqn: lim _{ n ->inf} { (1 - b_n ) } =0`]이므로 [eqn: lim _n->inf `{b_n =1}`]이다.(참)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^ n-1 , ~ b_n = 3 LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1 `]이라 하면

[eqn: a_n b_n = 3 LEFT ( 1 over 4 RIGHT )^ n-1`]

[eqn: THEREFORE sum _{ n=1} ^{inf } a_n b_n = sum _{n=1}^{inf} { 3 left (1 over 4right) ^ n-1 = 3 times 1 over{ 1- 1 over 4} = 4`]

[eqn: sum _{n=1}^{inf} 2 a_n = sum _{n=1}^ {inf} 2 left( 1 over 2right) ^n-1 = 2 times 1 over {1- 1over2} =4 `]

즉, [eqn: sum _{n=1}^{inf} a_n b_n = sum _{n=1}^ {inf} 2 a_n =4`]이지만 [eqn: lim_ n->inf `b_n =0`]이다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

34   [정답] ③

무한등비수열 [eqn: LEFT { (x+1) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이 수렴하기 위한 조건은

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=3``]       [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: -1<1- {x} over {3} ` LEQ 1``]에서 [eqn: -2<`- {x} over {3} ` LEQ 0`,```0 LEQ x<6``]   [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡으로부터  [eqn: x=-1``]또는 [eqn: 0 LEQ x<6``]이므로

[eqn: A= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } ``]

또한, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( log _{`2} ` {x} over {4} ` RIGHT ) ^{n} ``]에서

[eqn: log` _{2} ` {x} over {4} `=log` _{2} `x`-2``]이므로 수렴하기 위한 조건은

[eqn: -1<`log`` _{2} `x-2<1``]이다. 따라서 [eqn: 1<`log`` _{2} `x<3``]이므로 [eqn: 2<x<8``]이다.

[eqn: THEREFORE ```B= LEFT { 3`,~4`,~5`,~6`,~7 RIGHT } ``]

따라서 [eqn: A-B= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2` RIGHT } ``]이므로 [eqn: n LEFT ( `A-B` RIGHT ) =4``]

35 [정답] ⑤

등차수열 [eqn: left { a_n right}`]의 첫째항과 공차를 [eqn: a ~``(a>0)`]라 하면

[eqn: a _{n} =a+(n-1)a=an~``(n=1,~2,~3, CDOTS )`]

이고

[eqn: S_n = sum _{k=1}^ {n} a_k = sum _{k=1}^{n} ak = {an(n+1) }over 2 `]

ㄱ. [eqn: lim _{n ->inf} {S_n} = lim_{n->inf} {an(n+1) over 2} = inf`]이므로 수열 [eqn: left{ S_n right } `]은 발산한다.

(거짓)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}} & = sum _{n=1} ^{INF } { 2 over an(n+1)} }`]

[eqn: & = {2} over {a} sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )# & = {2} over {a} lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }}# & = 2 over a lim _n->inf left (1 - 1 over n+1 right) = 2 over a `]

이므로 [eqn: sum _{n=1}^{inf} { 1 over S_n} `]은 수렴한다.(참)

ㄷ. [eqn: & lim _{n -> INF } {} ( sqrt {S _{n+1}} - sqrt {S _{n}} )# & = lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {{a(n+1)(n+2)} over {2}} - sqrt {{an(n+1)} over {2}} RIGHT )}# & = lim _{n-> inf}{{{root a(n+1)} ( root n+2 - root n )} over root 2]

[eqn: = lim _{n-> inf}{{{root a(n+1)} ( n+2 - n )} over {root 2 ( root n+2 + root n )} `]

[eqn: = lim_{n-> inf}{ root 2a {root {1+ 1 over n } } }over {root {1+ 2 over n }+1 } = root 2a over 2 `]

이므로 극한값이 존재한다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

36  [정답] ②

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {3n} over {n+1} RIGHT ) ``], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( a _{n} - {3n} over {n+1} RIGHT ) `= lim _{n-> INF } {a _{n} -3=0``}}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {a _{n} =3``}``]

[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} +b _{n} )=3+ lim _{n-> INF } {b _{n} =0``} `} ``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {b _{n} =-3``}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {{3-b _{n}} over {a _{n}} `= {3- LEFT ( -3 RIGHT )} over {3} `=2``}``]

37  [정답] ④

점[eqn: A LEFT ( 12`,~0 RIGHT ) ``]이고 점 [eqn: B` LEFT ( 6`,~6 sqrt {3} RIGHT ) ``]이므로 점 [eqn: A _{1} ``]의 좌표는 [eqn: A _{1} LEFT ( 9`,~3 sqrt {3} RIGHT ) ``]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =9+3-3 CDOT {1} over {4} `+3 CDOT {1} over {4} `-3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `+3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} - CDOTS ``]에서

제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n} ``]이라 하면

[eqn: LEFT ( i RIGHT ) ``][eqn: n=2k` LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT ) ``]일 때 [eqn: S _{n} =12``]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT ) ``][eqn: n=2k`-1`` LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT ) ``]일 때 [eqn: S _{n} =12`-3` CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{n-1} over {2}} ``]

다라서 [eqn: LEFT ( i RIGHT ) `,`` LEFT ( ii RIGHT ) ``]에서 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: lim _{n-> INF } {S _{n} =12`````````` THEREFORE `` lim _{n-> INF } {a _{n} =12``}}``]

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =3 sqrt {3} +0+3 sqrt {3} CDOT {1} over {4} `+0+3 sqrt {3} CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `+ CDOTS } ``]

[eqn: = {3 sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} `=4 sqrt {3} ``]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n}} `= {12} over {4 sqrt {3}} `= sqrt {3}} ``]

38  [정답] ②

[eqn: A _{n} SMALLINTER B _{n} ``]이 나타내는 도형은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 어두운 부분의 넓이 [eqn: a _{n} ``]은

[eqn: a _{n} ``= pi LEFT ( {1} over {3 ^{n}} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {1} over {2} TIMES {1} over {3 ^{n}} TIMES {1} over {3 ^{n}} RIGHT ) TIMES 4``]

[eqn: = LEFT ( pi -2 RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2n} ``]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `= LEFT ( pi -2 RIGHT ) sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2n} = LEFT ( pi -2 RIGHT ) TIMES {{1} over {9}} over {1- {1} over {9}} `= {pi -2} over {8} ```]

39 [정답] ⑤

직각삼각형의 빗변의 중점이 외심이므로 선분[eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라

하면

[eqn: {bar {rm OA_1 }= {bar {rm OM}} = 1 over 2 {bar {rm AB }} = 1 over 2 times 2 root 2 = root 2 `]

[eqn: therefore `` l _1 = { arch {rm A_1 B_1}} = root 2 times pi over 2 = root2 over 2 pi `]

또한, [eqn: {bar {{rm O}{rm A} _n+1 }} = 1 over 2 {bar { {rm A}_n {rm B}_n } = root 2 over 2 {bar{{rm O}{rm A}_n }}`]이므로

[eqn: l_n+1 &= arch {{rmA}_n+1 {rmB}_n+1 }# & = bar { rm O {rmA}_n+1} times pi over 2 # & = root 2 over 2 bar { rm O {rmA}_n} times pi over 2 # & = root 2 over 2 l_n `]

따라서 수열 [eqn: left{l_n right } `]은 첫째항이 [eqn: root 2 over 2 pi `], 공비가 [eqn: root 2 over 2 `]인 등비수열이다.

[eqn: therefore `` sum _n=1 ^ inf l_n = {root 2 over 2 pi } over {1- root 2 over 2 } = (root 2 + 1) pi `]

40 [정답] ③

정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n `]의 한 변의 길이를 [eqn: l_n `]이라 하면 [eqn: l_1 = 2 `]이고

[eqn: S_n = l_n`^2 `]이다.

그림에서 [eqn: bar {{rm B}_n {rmD}_n } = root 2 l_n ,~ bar{ {rmB}_n {rm D}_n+1 }} = l_n `]이므로

[eqn: bar {{rmB}_n {rmB}_n+1 } = bar {{rmD}_n {rmD}_n+1 } = (root 2 -1) l_n `]

이때

[eqn: root 2 l_n+1 = bar {{rmB}_n+1 {rmD}_n+1 } = root 2 l_n - 2 (root 2 -1)l_n = (2- root 2 ) l_n `]

[eqn: l_n+1 = (root 2-1) l_n `]

[eqn: therefore `` l_n = 2 ( root 2 -1) ^ n-1`]

따라서 [eqn: S_n = l_n `^2 = 2^2 left{ (root2 -1) ^2 right } ^ n-1 = 4 (3- 2root2 ) ^n-1 `]이므로

[eqn: sum _n=1 ^ inf S_n = 4 over { 1- (3- 2root 2 ) }= 2 (root 2 +1) `]

41  [정답] ②

[eqn: R` _{1} ``]의 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각

[eqn: 6a`,~2a``]라 하면

[eqn: rm bar{OA} it = sqrt {a ^{2} +9a ^{2}} = sqrt {10} a`=1``]

[eqn: THEREFORE ``a= {1} over {sqrt {10}} ``]

[eqn: R` _{n} ``]의 가장 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} ``]이리 하면

[eqn: r _{1} =1`,~r _{2} = {1} over {sqrt {10}} `,~r _{n+1} = {1} over {sqrt {10}} `r _{n} ``]

각 원에서 새로 색칠하여 얻어지는 부분의 넓이는 첫째항이 [eqn: pi - {12} over {10} `,``]공비가 [eqn: {1} over {10} ``]인 등비수열이고, 개수는 [eqn: 1``]개 , [eqn: 2``]개 , [eqn: 4``]개, [eqn: CDOTS ``]의 등비수열 이므로

[eqn: S` _{n} = LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) `+2 CDOT LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) CDOT LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) `+2 ^{2} CDOT LEFT ( {1} over {10 ^{2}} RIGHT ) CDOT LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) ```]

[eqn: + CDOTS +2 ^{n-1} cdot` {1} over {10 ^{n-1}} `cdot LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {S _{n} = {pi - {6} over {5}} over {1- {2} over {10}} `= {5 pi -6} over {4} `= {5} over {4} ` pi - {3} over {2} ``}``]

42 [정답] ③

그림 [eqn: R_n`]에서 새로 색칠되는  모양의 도형은 [eqn: 2^n-1`]개이다. 그림 [eqn: R_n`]에서 새로 그려지는 원 중 하나를 [eqn: {rmO} _n`], 지름을 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n `]이라 하고

원 [eqn: {rmO} _n`]의 중심을 지나고 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n `]과 수직인 직선이 원과 만나는

[eqn: 2`]개의 점 중 한점을 [eqn: {rmC}_n `]이라 하자. 또, 원 [eqn: {rmO} _n`]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n`]

이라 하자.

이때  모양의 도형의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 하면 [eqn: T_n`]은 아래쪽 반원의

넓이에서 활꼴 부분의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: T _{n} & = {1} over {2} CDOT pi CDOT r _{n} ` ^{2} - LEFT { {1} over {4} CDOT pi ( sqrt {2} r ^{n} ) ^{2} - {1} over {2} CDOT 2r _{n} CDOT r _{n} RIGHT }# & =r _{n} ` ^{2} `]

따라서 그림 [eqn: R _n ``]에서 새로 색칠되는 부분의 넓이는

[eqn: 2^n-1 T_n = 2^ n-1 r_n ` ^2 `]이다.

[eqn: r_1 = 1`]이고 [eqn: sin 45 DEG = r_n+1 over {r^ n - r_n+1 `]에서

[eqn: r_n+1 = (root 2 -1) r_n ~~therefore`` r_n = (root 2 -1) ^n-1 `]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n -> INF } {} S _{n} & = sum _{n=1} ^{INF } 2 ^{n-1} CDOT LEFT { ( sqrt {2} -1)^2 RIGHT } ^{n-1}# & = sum _{n=1} ^{INF } (6-4 sqrt {2} ) ^{n-1}# & = {1} over {1-(6-4 sqrt {2} )}# & = {5+4 sqrt {2}} over 7`]

43 [정답] ①

[eqn: bar { {rmA}{rmB}_n } = a_n ,~ bar { {rmB}_n {rmC_n }} = b_n ,~ bar { {rmA}{rmC}_n } = c_n `]이라 하면

[eqn: b_n = 4 over 3 a_n ,~ a_n+1 = a_n - r_n+1 `]

세 변의 길이가 [eqn: a_n, ~`b_n, ~ c_n `]이고 넓이가 [eqn: T_n `]인 삼각형의 내접원의 반지름
의 길이는 [eqn: {2 T_n }over { a_n + b_n + c_n }`]이고, [eqn: c_n = root { a_n`^2 + b_n`^2 }`]이므로

[eqn: r_n+1 = {a_n b_n } over {a_n + b_n + root {a_n`^2 +b_n `^2 }`]

[eqn: = { 4 over 3 a_n`^2 } over { a_n LEFT ( 1+ 4 over 3 RIGHT ) + a_n root{ 1+ 4^2 over 3^2 } `]

[eqn: = {4 a_n} over {3+ 4 + root{ 3^2 +4^ 2 } }= 1 over 3 a_n `]

[eqn: r_1 = 1 over 3 bar {rmAB} = 1 over 3 times 3 =1 ,~ a_1 = 3- r_1 = 3-1 =2 `]

[eqn: r_2 = 1 over 3 a_1 = 2 over 3 ,~ a_2 = a_1 - r_2 = 4 over 3 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 `]

[eqn: r_3 = 1 over 3 a_2 = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 ,~ a_3 = a_2 - r_3 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^3 `]

[eqn: VDOTS]

[eqn: r_n+1 = 1 over 3 a_n = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n ,~ a_n+1 = 2 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n = 3 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n+1 ~(n=1,~2,~3,cdots)`]

[eqn: S_n &= 1 over 2 bar {{rmO}_n+1 {rmC}_n+1 } times r_n+1 # &= 1 over 2 (b_n+1 - r_n+1 ) r_n+1# & = 1 over 2 LEFT ( 4 over 3 a_n+1 - r_n+1 RIGHT ) r_n+1# & = 5 over 6 LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^2n `]

[eqn: therefore `` sum _n=1 ^ inf S_n = { 5 over 6 cdot 4 over 9 } over {1- 4 over 9} = 2 over 3`]

44 [정답] ⑤

그림 [eqn: T_i]에서 어두운 큰 원의 반지름의 길이는 1이므로 어두운 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: (r+1)^2 = (2-r)^2 +1]

[eqn: therefore r= 2over3]

[eqn: S_1 = 2pi left( 1+ 4over9 right) = 26 over9 pi]

한편, 그림 [eqn: T_1]의 큰 원과 그림 [eqn: T_2]에서 새롭게 그린 큰 원의 닮음비는 [eqn: 2:1]이고 새롭게 그려지는 도형의 개수는 2배씩 늘어나므로

[eqn: S_2 = 26over9 pi - S_1 over4 times 2]

[eqn: = 26over9 pi - 26 over9 pi times 1over2]

[eqn: S_3 = 26over9 pi - 26 over9 pi times 1over2 + 26 over9 pi times 1over2^2]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S _{n} = {26} over {9} pi left{ 1- 1over2 + 1over2^2 - 1over 2^3 + cdots+ left(- 1over2 right)^n-1 `right}]

[eqn: therefore lim_n->inf S_n = 26 over9 pi times 1 over{ 1-left(- 1over2 right) }= 52 over27 pi]

45 [정답] ③

해설

[eqn: a _{n+1} -a _{n}][eqn: = {2} over {(n+3)(n+4)(n+5)} ``]
[eqn: = {1} over {(n+3)(n+4)} - {1} over {(n+4)(n+5)} ``]

이므로

[eqn: a _{2} -a _{1} = {1} over {4cdot5} - {1} over {5cdot6} ``]

[eqn: a _{3} -a _{2} = {1} over {5cdot6} - {1} over {6cdot7} ``]

[eqn: a _{4} -a _{3} = {1} over {6cdot7} - {1} over {7cdot8} ``]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} -a _{n-1} = {1} over {(n+2)(n+3)} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

위의 식을 변끼리 더하면

[eqn: a _{n} -a _{1} = {1} over {20} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

[eqn: a _{n} =a _{1} + {1} over {20} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

이때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} ``]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``a _{n} =0``}]에서 [eqn: a _{1} + {1} over {20} =0```], 즉 [eqn: a _{1} =- {1} over {20} ``]이고 그때의 무한급수의 합은

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}][eqn: =- sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {(n+3)(n+4)} ``]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {(k+3)(k+4)} ``}]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` LEFT ( {1} over {k+3} - {1} over {k+4} RIGHT ) ``}]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {4} - {1} over {n+4} RIGHT ) ``}]
[eqn: =- {1} over {4} ``]

따라서 [eqn: alpha =- {1} over {20} ``]이고 [eqn: beta =- {1} over {4} ``]이므로 [eqn: alpha + beta =- {1} over {20} + LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) =- {6} over {20} =- {3} over {10} ``]