정답 및 해설

1  [정답] [eqn: f` prime (x)= {|x|} over {x} ``][eqn: LEFT ( 또는````f`prime(x)= {x} over {|x|} RIGHT ) ``]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}} = lim _{h -> 0} {{|`x+h`|-|`x`|} over {h}}``]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{(|`x+h`|-|`x`|)(|`x+h`|+|`x`|)``} over {h(|`x+h`|+|`x`|)`}}``]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{(x+h) ^{2} -(`x) ^{2} ``} over {h(|`x+h`|+|`x`|)`} =} lim _{h -> 0} {{2x+h``} over {|`x+h`|+|`x`|}}``]

[eqn: = {2x} over {2`|`x`|} = {x} over {|`x`|} = {|`x`|} over {x}``]

2  [정답] [eqn: 4``]

미분가능하지 않은 점은 [eqn: a`,``b`,``c`,``e``]이므로 미분가능하지 않은

점의 개수는 [eqn: 4``]이다.

3  [정답] ②

[eqn: f(x)``]가 삼차식이고 [eqn: f(-3)=f(2)=0`,```f`prime(2)=0``]이므로

[eqn: f(x)=k(x-2) ^{2} (x+3)``]     (단, [eqn: k`!=`0``])

[eqn: f` prime (x)=2k(x-2)(x+3)+k(x-2) ^{2} =k(x-2)(3x+4)``]

[eqn: f`prime(a)=0``]이므로 [eqn: (a-2)(3a+4)=0``]

[eqn: THEREFORE `a=2``]또는 [eqn: a=- {4} over {3} ``]

이때, [eqn: a``]는 음수이므로 [eqn: a=- {4} over {3} ``]

4  [정답] ⑤

[eqn: f'(1)=0``]이므로

[eqn: f'(x)=A(x-1)(x-alpha)~(단,~A≠0)``]

[eqn: =A"{"x^2 -(1+alpha)x+alpha"}"``]          ……㉠

라 하자.

삼차식 [eqn: f(x)``]는 [eqn: f'(x)``]를 인수로 갖고, [eqn: f'(x)``]는 [eqn: (x-1)``]을 인수로 가지므로 [eqn: f'(1)=0,~f(1)=0``]이다. 그러므로

[eqn: f(x)=B(x-1)^2 (x-alpha)~(단,```B≠0)``]

[eqn: =B(x^2 -2x+1)(x-alpha)``]

[eqn: f'(x)=B(2x-2)(x-alpha)+B(x^2 -2x+1)``]

그런데 ㉠에서 [eqn: f'(alpha)=0``]이므로

[eqn: f'(alpha)=B(alpha-1)^2 =0~~~∴~alpha=1``]

[eqn: f(x)=B(x-1)^3``]이고 [eqn: f(0)=-2``]에서 [eqn: B=2``]

따라서 [eqn: f(x)=2(x-1)^3``]이므로 [eqn: f(2)=2``]

5   [정답] ②

주어진 [eqn: y=f(x)``]의 그래프에서 [eqn: f(0)=0``]이고

[eqn: lim_x->-0 f(x)=lim_x->+0 f(x)=1``]이므로 [eqn: lim_x->0 f(x)=1``]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 불연속이므로 [eqn: f'(0)``]의 값은 존재하지 않는다.

ㄱ. 함수 [eqn: y=x-2f(x)``]에서

[eqn: lim_x->0 {x-2f(x)-"{"0-2f(0)"}"}overx-0``]

[eqn: = lim_x->0 {x-2f(x)+2f(0)}overx-0``]

[eqn: =lim_x->0 left{1-2· {f(x)-f(0)}overx-0 right``]

그런데 [eqn: f'(0)``]의 값이 존재하지 않으므로

[eqn: lim_x->0 {f(x)-f(0)}overx-0``]의 극한이 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: y=x-2f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=xf(x)``]에서

[eqn: lim_x->0 {xf(x)-0·f(0)}overx-0 =lim_x->0 {xf(x)}overx = lim_x->0 f(x)``]

[eqn: lim_x->0 f(x)=1``]이므로 함수 [eqn: y=xf(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=｜x｜f(x)``]에서

[eqn: lim_x->+0 {｜x｜f(x)=0·f(0)}overx-0 = lim_x->+0 {xf(x)}overx``]

[eqn: =lim_x->+0 f(x)=1``]

[eqn: lim_x->-0 {｜x｜f(x)-0·f(0)}overx-0 =lim_x->-0 {-xf(x)}overx``]

[eqn: lim_x->-0 "{"-f(x)"}"=`-1``]

이므로 함수 [eqn: y=｜x｜f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

따라서 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄴ뿐이다.

6 [정답] ②

해설

ㄱ. [eqn: f(x)= LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> +0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h} over {h}``]

[eqn: ``=1``]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {-h} over {h}``]

[eqn: ``=`-1``]

따라서 [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} ``]이므로

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. [eqn: f(x)=x` LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> 0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> 0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h-> 0} {} {f(h)} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> 0} {} {h` LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> 0} {` LEFT | ``h`` RIGHT |}``]

[eqn: ``=0``]

따라서 [eqn: f` prime (0)=0``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f(x)=x+ LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> +0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h+ LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h+h} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {2h} over {h}``]

[eqn: ``=2``]

[eqn: lim _{h -> `-0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {h+ LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {h-h} over {h}``]

[eqn: ``=0``]

따라서 [eqn: lim _{h -> `+0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} ``]이므로

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

그러므로 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄴ이다.

7 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: f(0)=0``]이므로

[eqn: lim _{x-> 0} {} {f(x)-f(0)} over {x-0} = lim _{x-> 0} {} {f(x)} over {x}``]
[eqn: = lim _{x-> 0} {} g(x)``]

[eqn: =g(0)~( BECAUSE ``g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속[eqn: )``]

[eqn: =0``]

따라서 [eqn: f` prime (0)=0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄴ. | 반례 | [eqn: f(x)=x` LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면
[eqn: f(0)=0``], [eqn: g(x)= {cases{` LEFT | ``x`` RIGHT | ~&(`x != 0)#`~0~~&(`x=0`)}} ``]은 [eqn: x=0``]에서 연속이지만

[eqn: lim _{x -> +0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} = lim _{x -> +0} {} {LEFT | ``x`` RIGHT |} over {x} = lim _{x -> +0} {} {x} over {x} =1``]

[eqn: lim _{x -> -0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} = lim _{x -> -0} {} {LEFT | ``x`` RIGHT |} over {x} = lim _{x -> -0} {} {-x} over {x} =`-1``]

따라서 [eqn: lim _{x -> +0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} != lim _{x -> -0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0}``]

이므로 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄷ. [eqn: xg(x)=h(x)``]라 하면

[eqn: lim _{x -> 0} {} {h(x)-h(0)} over {x-0} = lim _{x -> 0} {} {xg(x)-0·g(0)} over {x-0}``]

[eqn: `= lim _{x -> 0} {} {xg(x)} over {x}``]

[eqn: `= lim _{x-> 0} {} g(x)``]

[eqn: `=g(0)``]

[eqn: `=0``]

따라서 [eqn: h` prime (0)=0``]이므로 [eqn: h(x)=xg(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄱ, ㄷ이다.

8  [정답] ③

[eqn: f'(1)=3``]이므로 [eqn: lim_x->4 {f left( x over4 right)-f(1)}over { x over4 -1} =3``]

[eqn: f(4x)=4f(x),~f(x)=4f left( x over4 right),~f(4)=4f(1)``]

[eqn: ∴f'(4)= lim_x->4 {f(x)-f(4)}overx-4 =lim_x->4 {4left{ f left( x over4 right)-f(1) right}}over{4 left( x over4 -1right)``]

[eqn: =f'(1)=3``]

9 ②

[eqn: lim _{ h->0} { f(1+2h)-f(1-h)}overh =lim _{ h->0} { f(1+2h)-f(1)-f(1-h)+f(1)}overh``]
[eqn: =lim _{ h->0} { f(1+2h)-f(1)}over2h cdot2+lim _{ h->0} { f(1-h)-f(1)}over-h ``]
[eqn: =2f'(1)+f'(1)=3f'(1)=3``]
[eqn: therefore``f'(1)=1``]
한편 [eqn: g(x)=x^2 f(x)``]에서 [eqn: g' (x)=2xf(x)+x^2 f'(x)``]
[eqn: therefore``][eqn: g'(1)=2f(1)+f'(1)=2cdot(-2)+1=-3``]
[eqn: lim _{ h->0} { f(1+ah)-f(1+bh)}overh ``]와 같은 식은 미분계수의 정의를 이용할 수 있도록 다음과 같이 분자를 변형한다.
[eqn: lim _{ h->0} { f(1+ah)-f(1+bh)}overh ``]
[eqn: =lim _{ h->0} { f(1+ah)-f(1)}overah cdot a-lim _{ h->0} { f(1+bh)-f(1)}over bh cdot b``]
[eqn: =(a-b)f'(1)``]

10  [정답] ①

ㄱ. [eqn: lim_h->0 "{"f(c+h)-f(c)"}"``]

[eqn: =lim_h->0 {f(c+h)-f(c)}overh ·h``]

[eqn: =lim_h->0 {f(c+h)-f(c)}overh × lim_h->0 `h``]

[eqn: =f'(c)·0=0``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=c``]에서 연속이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)=｜x｜``]의 경우 [eqn: x=0``]에서

[eqn: lim_h->0 {f(h)-f(-h)}over2h = lim_h->0 {｜h｜-｜h｜}over2h =0``]

이지만 함수 [eqn: f(x)=｜x｜``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=｜x-1｜``]의 경우

[eqn: lim_h->0 {f(1+h^2 )-f(1)}overh^2``]

[eqn: =lim_h->0 {｜h^2 ｜}overh^2 =lim_h->0 h^2 overh^2 =1``]

이지만 함수 [eqn: f(x)=｜x-1｜``]은 [eqn: x=1``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

11 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이므로 [eqn: f` prime (1)=0``]
함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하므로 [eqn: x=1``]에서 연속이다.
[eqn: THEREFORE `` lim _{x-> 1} {} f(x)=f(1)``](참)

ㄴ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이므로 [eqn: f` prime (1)=0``]
[eqn: THEREFORE `` lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} ````]
[eqn: =` lim _{h-> 0} {} {f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1)} over {2h}``]
[eqn: = {1} over {2} f` prime (1)+ {1} over {2} f` prime (1)``]
[eqn: =f` prime (1)=0``](참)

ㄷ. [eqn: f(x)= LEFT | ``x-1`` RIGHT | ``]일 때,
[eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} = lim _{h -> 0} {} {LEFT | ``1+h-1`` RIGHT | ``-`` LEFT | ``1-h-1`` RIGHT |} over {2h}``]
[eqn: = lim _{h-> 0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT | ``-`` LEFT | ``-h`` RIGHT |} over {2h} =0``]
[eqn: THEREFORE `` lim _{h-> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} =0``](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

12 [정답] ①

해설

[eqn: x ^{2} =t``]로 놓으면 [eqn: x`` -> ``-2``]일 때 [eqn: t`` -> ``4``]이므로

[eqn: lim _{x -> -2} {} {f(x ^{2} )-f(4)} over {x ^{2} -4} = lim _{t -> 4} {} {f(t)-f(4)} over {t-4} =f` prime (4)``]

함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이므로 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)``]이다.

이때 [eqn: -x=s``]로 놓으면 [eqn: x`` -> ``-2``]일 때, [eqn: s`` -> ``2``]이므로

[eqn: f` prime (-2)= lim _{x-> -2} {} {f(x)-f(-2)} over {x-(-2)} = lim _{s-> 2} {} {f(-s)-f(-2)} over {-s+2}``]

[eqn: ``= lim _{s -> 2} {} {f(s)-f(2)} over {s-2} TIMES (-1)``]

[eqn: ``=`-f` prime (-2)=`-(-3)=3``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x-> -2} {} {f(x ^{2} )-f(4)} over {f(x)-f(-2)} = lim _{x-> -2} {} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {x ^{2} -4} ·(x-2)} over {{f(x)-f(-2)} over {x-(-2)}}``]

[eqn: ````= {f` prime (4)·(-4)} over {f` prime (-2)}``]

[eqn: = {6·(-4)} over {3} =-8``]

13 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: lim_x->1 ``f(x)over x-1 =2``]에서 [eqn: x`` ->`` 1``]일 때 (분모)[eqn: ``->``0``]이므로 (분자)[eqn: ``->``0``]이	어야 한다.

[eqn: THEREFORE``` lim _{ x->1 } { }f(x) =0``] (참)

ㄴ. [eqn: f(x) = cases{ `` x(x-1)(3 x-1 ) ~~& (x ne 0~ 또는~ x ne 1 ) _`_`#~~~~2 & ( x = 0 )_`_`# ~~~~1 & (x = 1) }``]로 정의된 함수	[eqn: f(x)``]는 주어진 조건을 만족하지만 [eqn: x=1``]에서 불연속이므로 미분불	가능한 함수이다. 따라서 [eqn: f`' (1)``]은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: x `` ->`` 1``]일 때 [eqn: f(x)`` ->`` 0``]이므로 [eqn: t= f(x)``]라 하면

[eqn: lim_x->1 ``{f(f(x))}over f(x) = lim _{ t->0 } { } f(t) over t =1``]

[eqn: THEREFORE``` lim_x->1 ``{f(f(x))}over x-1 = lim _{ x->1} { } left{ {f(f(x))} over f(x) cdot f(x) over x-1 right}``]

[eqn: = lim _{ t->0 } { }f(t) over t cdot lim _{ x->1} { } f(x) over x-1 =2``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14 [정답] ①

해설

[eqn: f(x)= x^100 - 2 x^2 +x-2``]로 놓으면

[eqn: f(x)= (x-1)^2 Q(x)+ a x + b ``](단, [eqn: a,~ b``]는 상수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: f(1)=-2``]이므로

[eqn: a+b =-2``]	…… ㉠

또한 [eqn: f` prime (x)=100x ^{99} -4x+1=2(x-1)Q(x)+(x-1) ^{2} Q`` prime (x)+a``]이고

[eqn: f`' (1 ) = 97``]이므로  [eqn: a= 97``]	…… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: b=-99``]

따라서 [eqn: f(x)= (x-1)^2 Q(x)+ 97 x - 99``]이고 [eqn: f(0)=-2``]이므로

[eqn: Q(0)=97``]

[eqn: f`' (x) = 2 (x-1) Q(x) +(x-1)^2 Q``' (x) + 97``]

[eqn: f`' (0)= 1``]이므로 [eqn: Q``' (0)=98``]

15 [정답] ⑤

해설

[eqn: g`' (x)= 2 f`' (x) f(x)``]이므로 [eqn: g`' (x) <0``]의 해는 [eqn: f(x) f`'(x) <0``]의 해와 같다.

(ⅰ) [eqn: f(x) <0 ,~ f`' (x) > 0``]인 경우

[eqn: 0< x < a ``]

(ⅱ) [eqn: f(x) >0 ,~ f`' (x) < 0``]인 경우

[eqn: -b < x < -a ``] 또는 [eqn: b < x< c``]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 해는

[eqn: -b < x< -a``] 또는 [eqn: 0< x< a ``] 또는 [eqn: b< x< c``]

16 [정답] ⑤

해설

[eqn: f(x)``]가 [eqn: x+1``]을 인수로 가지므로 [eqn: f(x)= (x+1) f``_1 (x)``]

로 나타낼 수 있고, [eqn: g(x)``]는 [eqn: x-1``]을 인수로 가지므로

[eqn: g(x)= (x-1) g_1 (x)``]로 나타낼 수 있다.

[eqn: (x-1) f(x)=(x+1) g(x) ``]이므로 [eqn: f_1 (x) = g_1 (x)``]

[eqn: THEREFORE``` h(x)= (x+1 )g(x)``]

[eqn: lim_x->1 ``g(x)over x-1 =3``]이므로 [eqn: g(1)=0 ,~ g`' (1)= 3``]

따라서 [eqn: h `' (x)= g(x) +(x+1) g`' (x)``]이므로

[eqn: h`' (1) = g(1) + 2 g`' (1) = 6``]

17 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: g(1)=2``]이고 [eqn: f(x)``]가 연속함수이므로

[eqn: f(1)= lim _{ x->1 } { }f(x) = lim _{ x->1 } (x-1) g(x) =0``] (참)

ㄴ. [eqn: f`' (1)= lim _{ x->1 } { }{f(x) -f(1)} over x-1 = lim _{ x->1 } { }{ f(x) over x-1 ```( BECAUSE``` f(1)=0 )``]

[eqn: = lim _{ x->1 }g(x) = g(1) ``]([eqn: g(x)``]는 연속함수)

[eqn: =2``] (참)

ㄷ. [eqn: g(x)= cases{ ~~`` 1 & (x< 0) _`_` #``` x+1 ~~& (0 le x < 1) _`_` # ~~`` 2 &( x ge 1 )}``]이므로

[eqn: f(x)= cases{ ~~`` x-1 & (x< 0) _`_` #``` (x+1)(x-1) ~~& (0 le x < 1) _`_` # ~~`` 2(x-1) &( x ge 1 )}``]

[eqn: lim _{ x->-0 } { f(x)-f(0)} over x = lim _{ x->-0 } {x-1-(-1)} over x = 1``]이고

[eqn: lim _{ x->+0 } { f(x)- f(0)} over x = lim _{ x->+0 } {(x-1)(x+1) -(-1)} over x =0``]이므로

[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분불가능하다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.