정답 및 해설

1  [정답] [eqn: 640``]

그림에서 넓이가 [eqn: S _{1} ``]인 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{1} ``]이라 하면  [eqn: 8-x _{1} =x _{1} ``][eqn: THEREFORE ```x _{1} =4``]

[eqn: S _{1} ``=x _{1} ^{2} =16``]

또, 넓이가 [eqn: S _{2} ``]인 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{2} ``]이라 하면

[eqn: 4-x _{2} =x _{2} ``][eqn: THEREFORE ```x _{1} =4``]

[eqn: S _{2} ``=x _{2} ^{2} =4``]

같은 방법으로 넓이가 [eqn: S _{3} ``]인 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{3} ``]이라 하면

[eqn: 2-x _{3} =x _{3} ``][eqn: THEREFORE ```x _{3} =1``]

[eqn: S _{3} ``=x _{3} ^{2} =1``]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} =S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS ``]

[eqn: =16+4+1+ CDOTS ``= {16} over {1- {1} over {4}} `=` {64} over {3}``]

[eqn: THEREFORE ```30 sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `=30 TIMES {64} over {3} `=640``]

2   [정답] ③

무한등비수열 [eqn: LEFT { (x+1) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이 수렴하기 위한 조건은

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 1- {x} over {3} RIGHT ) `=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=3``]       [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: -1<1- {x} over {3} ` LEQ 1``]에서 [eqn: -2<`- {x} over {3} ` LEQ 0`,```0 LEQ x<6``]   [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡으로부터  [eqn: x=-1``]또는 [eqn: 0 LEQ x<6``]이므로

[eqn: A= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } ``]

또한, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( log _{`2} ` {x} over {4} ` RIGHT ) ^{n} ``]에서

[eqn: log` _{2} ` {x} over {4} `=log` _{2} `x`-2``]이므로 수렴하기 위한 조건은

[eqn: -1<`log`` _{2} `x-2<1``]이다. 따라서 [eqn: 1<`log`` _{2} `x<3``]이므로 [eqn: 2<x<8``]이다.

[eqn: THEREFORE ```B= LEFT { 3`,~4`,~5`,~6`,~7 RIGHT } ``]

따라서 [eqn: A-B= LEFT { -1`,~0`,~1`,~2` RIGHT } ``]이므로 [eqn: n LEFT ( `A-B` RIGHT ) =4``]

3  [정답] [eqn: 3``]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = bar{rm OP _{1} it} `cos45 DEG + bar{rm P _{1} P _{2} it} `cos45 DEG + bar{rm P _{2} P _{3} it} `cos45 DEG + bar{rm P _{3} P _{4} it} `cos45 DEG } + CDOTS ``]

[eqn: =2 CDOT {sqrt {2}} over {2} `+1 CDOT {sqrt {2}} over {2} `+ {1} over {2} CDOT {sqrt {2}} over {2} `+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT {sqrt {2}} over {2} `+ CDOTS ``]

[eqn: = {2 CDOT {sqrt {2}} over {2}} over {1- {1} over {2}} `=2 sqrt {2} ``]

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} = bar{rm OP _{1} it} `sin45 DEG + bar{rm P _{1} P _{2} it} `sin45 DEG + bar{rm P _{2} P _{3} it} `sin45 DEG + bar{rm P _{3} P _{4} it} `sin45 DEG } + CDOTS ``]

[eqn: =2 CDOT {sqrt {2}} over {2} `-1 CDOT {sqrt {2}} over {2} `- {1} over {2} CDOT {sqrt {2}} over {2} `- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT {sqrt {2}} over {2} `+ CDOTS ``]

[eqn: = {2 CDOT {sqrt {2}} over {2}} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )} `= {2 sqrt {2}} over {3} ``]

즉, 점[eqn: rm P _{it n rm} ``]은 점 [eqn: LEFT ( 2 sqrt {2} `,~ {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ``]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {b _{n}} ``} `= {2 sqrt {2}} over {{2 sqrt {2}} over {3}} `=3``]

4  [정답] ④

점[eqn: A LEFT ( 12`,~0 RIGHT ) ``]이고 점 [eqn: B` LEFT ( 6`,~6 sqrt {3} RIGHT ) ``]이므로 점 [eqn: A _{1} ``]의 좌표는 [eqn: A _{1} LEFT ( 9`,~3 sqrt {3} RIGHT ) ``]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =9+3-3 CDOT {1} over {4} `+3 CDOT {1} over {4} `-3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `+3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} - CDOTS ``]에서

제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n} ``]이라 하면

[eqn: LEFT ( i RIGHT ) ``][eqn: n=2k` LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT ) ``]일 때 [eqn: S _{n} =12``]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT ) ``][eqn: n=2k`-1`` LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT ) ``]일 때 [eqn: S _{n} =12`-3` CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{n-1} over {2}} ``]

다라서 [eqn: LEFT ( i RIGHT ) `,`` LEFT ( ii RIGHT ) ``]에서 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: lim _{n-> INF } {S _{n} =12`````````` THEREFORE `` lim _{n-> INF } {a _{n} =12``}}``]

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =3 sqrt {3} +0+3 sqrt {3} CDOT {1} over {4} `+0+3 sqrt {3} CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `+ CDOTS } ``]

[eqn: = {3 sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} `=4 sqrt {3} ``]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n}} `= {12} over {4 sqrt {3}} `= sqrt {3}} ``]

5  [정답] ②

[eqn: R` _{1} ``]의 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각

[eqn: 6a`,~2a``]라 하면

[eqn: rm bar{OA} it = sqrt {a ^{2} +9a ^{2}} = sqrt {10} a`=1``]

[eqn: THEREFORE ``a= {1} over {sqrt {10}} ``]

[eqn: R` _{n} ``]의 가장 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} ``]이리 하면

[eqn: r _{1} =1`,~r _{2} = {1} over {sqrt {10}} `,~r _{n+1} = {1} over {sqrt {10}} `r _{n} ``]

각 원에서 새로 색칠하여 얻어지는 부분의 넓이는 첫째항이 [eqn: pi - {12} over {10} `,``]공비가 [eqn: {1} over {10} ``]인 등비수열이고, 개수는 [eqn: 1``]개 , [eqn: 2``]개 , [eqn: 4``]개, [eqn: CDOTS ``]의 등비수열 이므로

[eqn: S` _{n} = LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) `+2 CDOT LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) CDOT LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) `+2 ^{2} CDOT LEFT ( {1} over {10 ^{2}} RIGHT ) CDOT LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) ```]

[eqn: + CDOTS +2 ^{n-1} cdot` {1} over {10 ^{n-1}} `cdot LEFT ( pi - {6} over {5} RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {S _{n} = {pi - {6} over {5}} over {1- {2} over {10}} `= {5 pi -6} over {4} `= {5} over {4} ` pi - {3} over {2} ``}``]

6  [정답] ②

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {1+x ^{2}} RIGHT ) ^{n-1} `,~~b _{n} = LEFT ( {1} over {x ^{2} +x+2} RIGHT ) ^{n-1} ``]에서

[eqn: 0< {1} over {1+x ^{2}} <1`,~~0< {1} over {x ^{2} +x+2} <1``]이다.

ㄱ.[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} ``]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{n} ``]이 모두 수렴하므로 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }(a`_n -b`_n )``]도 수렴한다.

ㄴ.[eqn: a _{n} b _{n} = LEFT ( {1} over {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT )} RIGHT ) ^{n-1} ``]이므로  [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a` _{n} b` _{n} ``]은 수렴한다.

ㄷ.[eqn: {b _{n}} over {a _{n}} `= {LEFT ( {1} over {x ^{2} +x+2} RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( {1} over {x ^{2} +1} RIGHT ) ^{n-1}} `= LEFT ( {x ^{2} +1} over {x ^{2} +x+2} RIGHT ) ^{n-1} ``]이다

이때, [eqn: {x ^{2} +1} over {x ^{2} +x+2} =1- {x+1} over {x ^{2} +x+2} ``]에서 [eqn: x LEQ -1``]이면 [eqn: {x ^{2} +1} over {x ^{2} +x+2} ` GEQ 1``]이므로  [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {b`_n}over{a`_n}``]은 수렴하지 않는다.

따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

7 [정답] ④

연속으로 외접하는 세 원의 반지름의 길이를

[eqn: r _{n} `,~r _{n+1`,~} r _{n+2} `` LEFT ( r _{n} `~>r _{n+1`} `>r _{n+2} `,~n=1`,~2`,~ CDOTS RIGHT ) ``]라 하면 그림에서

[eqn: rm TRIANGLE PSQ``] ∽ [eqn: rm TRIANGLE QRT``]이므로

[eqn: rm bar{PQ} : bar{QR} = bar{QS} : bar{RT} ````]

즉, [eqn: LEFT ( `r _{n+1} `+r _{n+2`} RIGHT ) `: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) = LEFT ( r _{n+1} -r _{n+2} RIGHT ) `: LEFT ( r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ``]

[eqn: LEFT ( `r _{n} `+r _{n+1`} RIGHT ) ` LEFT ( r _{n+1} -r _{n+2} RIGHT ) = LEFT ( r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ` LEFT ( r _{n+1} +r _{n+2} RIGHT ) ``]에서

[eqn: r _{n+1} ^{2} =r _{n} r _{n+2`} ``]이므로 수열 [eqn: LEFT { r _{n} RIGHT } ``]은 등비수열을 이룬다.

이때, 원의 넓이는 각각 [eqn: pi r _{n} ^{2} ,~ pi r _{n+1} ` ^{2} `,~ pi ``r _{n+2`} ` ^{2} ``]이므로 원의 넓이도 등비수열이다.

즉, 원 [eqn: C _{n} ``]의 넓이를 [eqn: S _{n} ``]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } ``]은 등비수열이다.

이때, 원 [eqn: C _{2} ``]의 넓이는 [eqn: S _{2} =8````]이고, 원 [eqn: C _{10} ``]의 넓이는 [eqn: S _{10} = {1} over {2} ``]이므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a`,``]공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: S _{2} =ar=8`,~````S _{10} =ar ^{9} = {1} over {2} ``]

따라서 [eqn: {S _{10}} over {S _{2}} `= {ar ^{9}} over {ar} =r ^{8} = {1} over {16} ``]이므로 [eqn: r= {sqrt {2}} over {2} ``]

이때, [eqn: ar= {a sqrt {2}} over {2} `=8````]이므로 [eqn: a=8 sqrt {2} ``]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {8 sqrt {2}} over {1- {sqrt {2}} over {2}} `=16 LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) ```]

8  [정답] ④

오른쪽 그림에서 어두운 원의 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하고 원 [eqn: rm O _{1} ``]의 중심을 [eqn: rm O``], 어두운 원 중 하나의 중심을 [eqn: P`,``]두 원의 접점을 [eqn: rm Q``]라 하고 선분 [eqn: rm OQ``]와 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}``]의 교점을 [eqn: rm R``]라 하면

[eqn: rm bar{RQ} = bar{QP} it =r``]이므로

[eqn: rm bar{OQ} it =1+r`,~ rm bar{QP} it =2-r``]

따라서 피타고라스정리에 의하여

[eqn: LEFT ( 2-r RIGHT ) ^{2} =r ^{2} + LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2} `,~r ^{2} +6r-3=0``]

[eqn: THEREFORE ``r=-3+2 sqrt {3} ``` LEFT ( BECAUSE `r>0 RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `S _{1} =6 TIMES pi r ^{2} =18 LEFT ( 7-4 sqrt {3} RIGHT ) pi ``]

한편 원 [eqn: rm O _{2} ``]의 반지름의 길이는 위의 그림에서 [eqn: rm bar{OR} =1``]이므로

원 [eqn: rm O _{ it n} ``]과 원 [eqn: rm O _{it n+1} ``]의 닮음비는 [eqn: 2:1``]이고 [eqn: S _{n+1} = {1} over {4} `S _{n} ``]이다.

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {18 LEFT ( 7-4 sqrt {3} RIGHT ) pi } over {1- {1} over {4}} `=24 LEFT ( 7-4 sqrt {3} RIGHT ) pi ``]

9 [정답] ④

해설

[eqn: rmbar{B_{itn}C_{itn}} ={it3a}``]라 하고 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar{B_{itn}E_{itn}} `= itsqrt {(3a) ^{2} +a ^{2} -2 CDOT 3a cdot a cdotcos``60 DEG } = sqrt {7} a``]

이고 세 삼각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}D_{itn},~ B_{itn}C_{itn}E_{itn},~C_{itn}A_{itn}F_{itn}``]은 합동이므로

[eqn: rmangleA_{itn}D_{itn}B_{itn} =angleB_{itn}E_{itn}C_{itn} =angleC_{itn}F_{itn}A_{itn}``]

따라서 두 삼각형 [eqn: rmB_{itn}B_{itn+1}D_{itn}`], [eqn: rmB_{itn}C_{itn}E_{itn}``]은 닮은 도형이므로

[eqn: rmbar{B_{itn}D_{itn}} ``:``bar{B_{itn}B_{itn+1}} =bar{B_{itn}E_{itn}}``:``bar{B_{itn}C_{itn}}``]

[eqn: a``:``{rmbar{B_{itn}B_{itn+1} }= itsqrt { 7}a``:``3a``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: rm bar{B_{itn}B_{itn+1}}it = {3} over {sqrt {7}} a= {3 sqrt {7}} over {7} a``]

또, 두 삼각형 [eqn: rm C _{it n rm} C _{it n+1 rm} E _{it n rm} ,~C _{it n rm} A _{it n rm} F _{it n rm} ``]은 닮은 도형이므로

[eqn: rm bar{C_{itn}E_{itn}} ``:`` bar{E_{itn}C_{itn+1}}= bar{C_{itn}F_{itn}} ``:`` bar{F_{itn}A_{itn}} ``]

[eqn: a``:``{rm{bar{E_{itn}C_{itn+1}}`= itsqrt {7} a```:``a`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: rmbar{E_{itn}C_{itn+1}}`=it {1} over {sqrt {7}} a= {sqrt {7}} over {7} a``]

[eqn: rmbar{B_{itn+1}C_{itn+1}][eqn: = sqrt {7} a- {3 sqrt {7}} over {7} a- {sqrt {7}} over {7} a= {3 sqrt {7}} over {7} a``]
[eqn: = {sqrt {7}} over {7} TIMES 3a= rm{sqrt {7}} over {7} TIMES bar{B_{itn}C_{itn}}``]

따라서 정삼각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}``]의 한 변의 길이는 공비가 [eqn: {sqrt {7}} over {7} ``]인 등비수열을 이룬다.

그러므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } ``]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {7}} over {7} RIGHT ) ^{2} = {1} over {7} ``]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {4} ``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} = {{sqrt {3}} over {4}} over {1- {1} over {7}} = {7 sqrt {3}} over {24} ``]이다.10 ④

오른쪽 그림에서

[eqn: a_1 =-1 ,~ a_n+1 = f(a_n )``]이므로 [eqn: lim_n->inf a_n =-2``]

또한 [eqn: b_1 =3 ,~ b_n+1 = f(b_n )``]이므로

[eqn: lim_n->inf b_n = 4``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: lim_n->inf a_n + 2 lim_n->inf b_n``]

[eqn: = -2 +2 cdot 4 = 6``]

11 ②

직선 [eqn: rm P_0 P_1``]의 기울기가 [eqn: 1``]이므로 직선 [eqn: RMP_1 P_2``]의 기울기는 [eqn: -1``]이다.

점 [eqn: RM P_1 (1,~1)``]을 지나고 기울기가 [eqn: -1``]인 직선의 방정식은

[eqn: y-1 = -(x-1)``]	[eqn: THEREFORE``] [eqn: y= -x+2``]

[eqn: x^2 = -x+2``]에서 [eqn: x^2 + x-2 =0,~ (x+2)(x-1)=0``]

[eqn: x<0``]이므로 [eqn: x=-2``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: rm P_2 (-2 ,~ 4)``]

또한 점 [eqn: RM P_2 (-2,~4)``]를 지나고 기울기가 [eqn: 1``]인 직선의 방정식은

[eqn: y-4 = x+2``]	[eqn: THEREFORE``] [eqn: y=x+6``]

[eqn: x^2 = x+6``]에서 [eqn: x^2 - x-6 =0,~ (x+2)(x-3)=0``]

[eqn: x>0``]이므로 [eqn: x=3``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: rm P_3 (3,~ 9)``]

마찬가지로 점 [eqn: RM P_{IT n}``]의 좌표를 구하면

[eqn: {rm P}_2m-1 (2m-1 ,~ 4m^2 - 4m+1 ),~{rm P}_2m (-2m,~ 4m^2 )``]

(ⅰ) [eqn: n=2m``]일 때,

[eqn: l_n = l_2m = bar { {rmP}_2m-1 {rmP}_2m} ``]

[eqn: = root { (4m-1)^2 + (4m-1 )^2 }``]

[eqn: = root 2 (4m-1 )= root2 (2n-1 )``]

(ⅱ) [eqn: n= 2m+1``]일 때,

[eqn: l_n = l_2m+1 = bar { {rmP}_2m {rmP}_2m+1 }``]

[eqn: = root {(4m+1 )^2 + (4m+1 )^2 }``]

[eqn: = root 2 (4m+1 ) = root2 (2n-1 )``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: lim_n->inf l_n over n = lim_n->inf {root2 (2n-1)} over n = 2root 2``]

12 ⑤

각 도형에서 검은색과 흰색 직각이등변삼각형의 개수는 다음 표와 같다.

[eqn: a_n =2^n + 2(1+2+2^2 + cdots+ 2^n-1 )``]

[eqn: = 2^n + 2 times {2^n -1 } over 2-1 = 3 cdot 2^n -2``][eqn: = 2^n + 2 times {2^n -1 } over 2-1 = 3 cdot 2^n -2``]

[eqn: THEREFORE``] [eqn: lim_n->inf {a_n over {2^n +2 } = lim_n->inf { 3 cdot 2^n -2 } over {2^n +2 }``]

[eqn: = lim_n->inf { 3- left ( 1 over 2 right )^n-1 } over { 1+ left ( 1 over 2 right )^n-1 } = 3``]

13 ②

오른쪽 그림에서
[eqn: rm angle P_{it n-1}Q_{it n}Q_{it n-1}=it theta_n `(n ge 2)``]
[eqn: rm angle P_{it n}Q_{it n+1}Q_{it n}=it theta_n+1``]이라 하면
[eqn: theta_n+1 = 1over2 theta_n``]

[eqn: left(because(원주각의~크기)= 1over2 (중심각의~크기)right)``]
[eqn: therefore~S_n+1 = 1over2 S_n``]
[eqn: rm angle P_1 O_2 Q_1 = 2over3 pi``]이므로 [eqn: S_1 = 1over2 cdot 1^2 cdot 2over3 pi = pi over3``]
[eqn: therefore~ sum _{ n=1} ^{inf }S_n = {pi over3}over{1- 1over2}= 2over3 pi``]

14 ③

[eqn: rm bar{ A_0 B }= 4``]이므로 [eqn: rm bar{BC_0}=bar{A_0 C_0}=2 sqrt { 2}``]
삼각형 [eqn: rm A_0 BC_0``]의 넓이는 [eqn: 1over2 times (2 sqrt { 2})^2 =4``]이고
부채꼴 [eqn: rm A_1 BC_0``]의 넓이는 [eqn: 1over2 times (2 sqrt { 2})^2 times pi over4 =pi``]이므로
[eqn: S_1 =4-pi``]
주어진 그림에서 [eqn: rm bar{BC_{it n-1} }=it a``]라 놓으면 삼각형 [eqn: {rm A}_n-1 {rm BC}_n-1``]은 직각이등변삼각형이므로
[eqn: rm bar{BC_{it n-1}}=bar{A_{it n-1}C_{it n-1}}=bar{BA}_{it n}}= it a``], [eqn: rm bar{BA_{it n-1}}= it sqrt { 2}a``]
이때, 닮음비가 [eqn: sqrt { 2}a:a= sqrt { 2}:1``]이므로 넓이의 비가
[eqn: S_n : S_n+1 =2:1``], 즉 [eqn: S_n+1 = 1over2 S_n``]
따라서 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n``]은 첫째항이 [eqn: 4-pi``], 공비가 [eqn: 1over2``]인 무한등비급수의 합이므로
[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } S_n ={4-pi}over{1- 1over2}= 8-2pi``]

15 [eqn: 6]

[eqn: A_1 left ( { 3 + (-1) } over {3+1} ,````` 0right )``], [eqn: B_1 left ( {3-(-1) over {3-1} ``,``0 right)``]

즉 [eqn: A_1 LEFT ( 1 OVER 2 ,``0 RIGHT)``], [eqn: B_1 left(2,``0 right )``]이다.

[eqn: bar {A_1 B_1} = 3 OVER 2 ``]이므로 [eqn: l_1 = 3 over 2 pi``]

[eqn: BARAB ```:````bar {A_1 B_1 } =2 : 3 OVER 2 = 4:3``]

[eqn: A_n (a_n ,``0)``], [eqn: B_n (b_n `,0``)``]이라 하면

[eqn: A_n+1 left ( {3b_n +a_n } over {3+1 } ,``0RIGHT ) ``], [eqn: B_n+1 left ( {3b_n -a_n } over {3-1 } ,``0RIGHT ) ``]이므로

[eqn: BAR {A_n+1 B_n+1} ={ 3b_n - a_n } over 2 - { 3b_n + a_n } over 4 = 3 over 4 (b_n - a_ n) = 3 over 4 bar{A_n B_n}``]

[eqn: l_n : l_n+1 = bar { A_n B_n } : bar { A_n+1 B _n+1``] 이므로 [eqn: l_n+1 = 3 over 4 l_n``]

따라서 [eqn: sum_n=1 ^ inf l_n ``]은 첫째항이 [eqn: 3 over 2 pi ``], 공비가 [eqn: 3 over 4 ``]인 무한등비급수의 합이므로

[eqn: sum _ n=1 ^ inf l_n = {3 over 2 pi } over {1 - 3 over 4} =6 pi``]

[eqn: therefore a= 6``]