정답 및 해설

1 [정답] ①

해설

함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이면 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 연속이다.

따라서 [eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x) = a^2 = f(1),~ lim _{ x rarrow 1-0} { }f(x) = 2a+ 3``]이므로

[eqn: a^2 = 2a+3``]

[eqn: a^2 -2a -3=0``]

[eqn: (a-3)(a+1) =0``]

∴ [eqn: a=3``] 또는 [eqn: a=-1``]

따라서 [eqn: a``]의 값의 합은 [eqn: 2``]이다.

2 [정답] ⑤

해설

함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=0``]에서연속이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x) =f(0)``]

즉, [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }{ sqrt { x^4 + x^3 + a^2 } -b } over x^n = 1 over 4``]이므로

[eqn: b= sqrt a^2``]

∴ [eqn: a=b``] (∵ [eqn: a,~b``]는 모두 자연수)

따라서 [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }{ sqrt { x^4 + x^3 + a^2 }-b} over x^n = lim _{ x rarrow 0} { }{ sqrt { x^4 + x^3 + a^2 }-a} over x^n``]

[eqn: =lim _{ x rarrow 0} { } { x^3 ( x+1 ) } over { x^n ( sqrt { x^4 + x^3 + a^2 } + a )}``]

[eqn: = 1 over 4``]

이므로

[eqn: n=3,~ 1 over 2a = 1 over 4``]

∴ [eqn: n=3,~ a=b=2``]

∴ [eqn: a+b+n=2+2+3=7``]

3 [정답] [eqn: 4``]

해설

[eqn: -1 le sin 1 over x le 1``]이므로

[eqn: -x^2 le x^2 sin 1 over x le x^2``]

∴ [eqn: -x^2 + 2x^2 over {sqrt { x^2 +1 } -1 } le x^2 sin 1 over x + 2x^2 over {sqrt { x^2 +1 } -1 }``]

[eqn: le x^2 + 2x^2 over { sqrt { x^2 +1 }-1 }}``]

이때, [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }left( -x^2 + 2x^2 over { sqrt { x^2 +1 } -1 } right ) = lim _{ x rarrow 0} { }( -x^2 + 2sqrt {x^2 +1 } +2 ) = 4``]

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }left( x^2 + 2x^2 over { sqrt { x^2 +1 }-1 } right ) = lim _{ x rarrow 0} { }( x^2 + 2 sqrt {x^2 +1 } +2 ) = 4``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { } left( x^2 sin 1 over x + 2x^2 over { sqrt { x^2 +1 } -1 } right ) = 4``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=0``]에서 연속이려면

[eqn: f(0) = lim _{ x rarrow 0} { } left ( x^2 sin 1 over x + 2x^2 over { sqrt { x^2 +1 } -1 } right )``]

∴ [eqn: a= 4``]

4 [정답] ②

해설

함수 [eqn: y=left{ g(x) right }^2``]이 [eqn: x=0``]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }left{ g(x) right }^2 = lim _{ x rarrow +0} { } left{ g(x) right }^2 = left{ g(0) right }^2``]

이 성립해야 한다.

이때, 이차함수 [eqn: f(x)``]는 연속함수이므로

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }left { g(x) right }^2 = lim _{ x rarrow -0} { }left{ f(x+1) right }^2 = left{ f(1) right }^2 = a^2``]

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }left { g(x) right }^2 = lim _{ x rarrow +0} { }left{ f(x-1) right }^2 = left{ f(-1) right }^2 = (2+a)^2``]

또한, [eqn: left{ g(0) right }^2 = left{ f(1) right }^2 = a^2``]

따라서 함수 [eqn: y= left{ g(x) right }^2``]이 [eqn: x=0``]에서 연속이려면

[eqn: a^2 = (2+a)^2``]이어야 하므로

[eqn: 4a+4 =0``]

∴ [eqn: a=-1``]

5 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: f(-1) g(-1)=1``]

[eqn: lim _{ x rarrow -1-0} { }f(x) g(x) =(-1) times (-1) =1``]

[eqn: lim _{ x rarrow -1+0} { }f(x) g(x) =1 times 1 =1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow -1} { }f(x) g(x) =f(-1) g(-1)``] (참)

ㄴ. [eqn: f(g(0)) = f(-1) =1``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }f( g(x)) = lim _{ t rarrow -1+0} { }f(t) =1``]

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f( g(x)) = lim _{ t rarrow -1+0} { }f(t) =1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f( g(x) )=f(g(0))``] (참)

ㄷ. [eqn: g( | f(1) | ) = g(1) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0} { }g( |` f(x)`|) = lim _{ t rarrow 1-0} { }g(t) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }g( |` f(x)`|) = lim _{ t rarrow 1-0} { }g(t) =0``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 1} { }g( |` f(x)`|) = g( |` f(1)`|)``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

6 [정답] [eqn: 1``]

해설

함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=2,~x=3``]에서 연속일 때, 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이다.

(ⅰ) [eqn: x=2``]에서 연속일 때

[eqn: lim _{ x rarrow 2 +0} { }g(x) = lim _{ x rarrow 2-0} { }g(x) = g(2)``]이 성립하므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2 +0} { }g(x) =(4+ 2a + b ) cdot 3 ,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }g(x) = (4 + 2a +b ) cdot 4,~ ``]

[eqn: g(2) = (4+ 2a+ b) cdot 4``]에서

[eqn: ( 4 + 2a+ b) cdot 3 = (4+ 2a+ b) cdot 4``]

∴ [eqn: 4+ 2a+b =0~cdotscdots``]㉠

(ⅱ) [eqn: x=3``]에서 연속일 때

[eqn: lim _{ x rarrow 3 +0} { }g(x) = lim _{ x rarrow 3-0} { }g(x) = g(3)``]가 성립하므로

[eqn: lim _{ x rarrow 3 +0} { }g(x) =(9+ 3a + b ) cdot 3 ,~ lim _{ x rarrow 3-0} { }g(x) = (9 + 3a +b ) cdot 4,~ ``]

[eqn: g(3) = ( 9 + 3a+ b) cdot 3``]에서

[eqn: ( 9 + 3a+ b) cdot 3 = (9+ 3a+ b) cdot 4``]

∴ [eqn: 9+ 3a+b =0~cdotscdots``]㉡

㉠, ㉡은 연립하여 풀면 [eqn: a=-5,~ b=6``]

∴ [eqn: a+b =1``]

7 [정답] ③

해설

함수 [eqn: g(x)``]를 간단히 하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: | ` x-b`| >1``], 즉 [eqn: x< b-1``] 또는 [eqn: x> b+1``]인 경우

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { } 1 over {| ` x-b` |^n }=0``]이므로 [eqn: g(x) =2``]

(ⅱ) [eqn: | ` x-b`| =1``], 즉 [eqn: x=b-1``] 또는 [eqn: x =b+1``]인 경우

[eqn: g(b-1)= 3 over 2 ,~ g(b+1) = 3 over 2``]

(ⅲ) [eqn: | ` x-b`| <1``], 즉 [eqn: b-1< x< b+1``]인 경우

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }|` x-b`|^n =0``]이므로 [eqn: g(x) =1``]

따라서 그림과 같이 함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=b-1``], [eqn: x= b+1``]일 때 불연속이고, [eqn: f(x) = x^2 -4x+a``]는 연속함수이므로 [eqn: h(x) =f(x) g(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이 되려면 [eqn: f(b-1) =f( b+1)=0``]이어여 한다.

따라서 [eqn: b-1,~b+1``]은 방정식 [eqn: x^2 - 4x+a =0``]의 두 근이므로 근과 계수에 의하여

[eqn: 2b=4,~ b^2 -1 =a``]  ∴ [eqn: b=2,~ a=3``]

∴ [eqn: a+b = 5``]

8 [정답] ③

해설

(ⅰ) [eqn: |` x`|<1``]일 때,

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }x^2n =0``]이므로

[eqn: f(x) = lim _{ n rarrow inf} { }{ x^2n+1 + sin ax } over { x^2n +1 } = sin ax``]

(ⅱ) [eqn: |` x`|>1``]일 때,

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }1 over x^2n =0``]이므로

[eqn: f(x) = lim _{ n rarrow inf} { }{ x + sinax over x^2n } over { 1 + 1 over x^2n } = x``]

(ⅲ) [eqn: x=1``]일 때,

[eqn: f(1) = {1+sina} over 2``]

(ⅳ) [eqn: x=-1``]일 때,

[eqn: f(-1) = { -1 - sin a } over 2``]

함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이려면 [eqn: x=1,~ x=-1``]에서 연속이어야 하므로

[eqn: 1= {1+ sina } over 2 = sin a,~ -sina = {-1 - sina } over 2 =-1``]

[eqn: sina =1``]

∴ [eqn: a= pi over 2``] (∵ [eqn: 0 < a le 2pi``])

9 [정답] ⑤

해설

(ⅰ) [eqn: x>2``]일 때,

[eqn: {|` x-3` |} over {|` x-1`|} < 1``]이므로

[eqn: f(x) =x-1``]

(ⅱ) [eqn: x< 2``]일 때,

[eqn: {|` x-3` |} over {|` x-1`|} < 1``]이므로

[eqn: f(x) =x-3``]

(ⅲ) [eqn: x=2``]일 때,

[eqn: f(2) =0``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]에서 불연속이고 나머지 점에서는 연속이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 구간 [eqn: (-inf ,~k)``]에서 연속일 때, [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 2``]이다.

10 [정답] ①

해설

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: - log_5 ` x = log_{1 over 5 } ` x``]가 정수가 되는 [eqn: x``]에서 불연속이다.

[eqn: 0<x<1``]에서 [eqn: log_{ 1 over 5 } ` >0``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: log_ { 1 over 5 } ` x``]가 자연수가 되는 [eqn: x``]에서 불연속이다.

따라서 [eqn: log_{ 1 over 5 } ` x =1``]이면 [eqn: x= 1 over 5 ,~ log_{1 over 5 } ` x =2``]이면 [eqn: x= left( 1 over 5 right)^2 ,~ cdots``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]가 불연속이 되는 모든 점들의 [eqn: x``]좌표의 합은

[eqn: 1 over 5 + left( 1 over 5 right )^2 + left( 1 over 5 right )^3 + cdots = { 1 over 5 } over { 1 - 1 over 5 } = 1 over 4``]

11 [정답] [eqn: 10``]

해설

함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=2``]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }f(x) = lim _{ x rarrow 2-0} { }f(x) = f(2)``]가 성립한다.

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }[`x`]=2,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }[`x`] =1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }f(x) = 4+2a over 2 ,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }f(x) =1+ 2a,~ f(2) = b``]

∴ [eqn: 4+2a over 2 = 1+2a =b``]

∴ [eqn: a=1,~ b=3``]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = 10``]

12 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: k=-1``]일 때, 함수 [eqn: y= | ` f(x) -1 ` |``]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: | ` f(x) + k ` |``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k``]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow +0} { } f( g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f( t) = 2``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { } f( g(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }f( t) = 0``]

[eqn: f(g(0))=f(0) =0``]

따라서 함수 [eqn: f( g(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }left{ f(x) -1 right } left{ g(x) + 4 right } =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }left{ f(x) -1 right } left{ g(x) + 4 right } =0``]

[eqn: left{ f( 2)-1 right } left{ g(2) + 4 right } =0``]

따라서 함수 [eqn: left{ f(x) -1 right } left{ g(x) +4 right } ``]는 [eqn: x=2``]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

13 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow -1 +0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -1 +0} { } g(t) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow -1 -0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -2 +0} { } g(t) =0``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow -1} { } g(f(x))=0``] (거짓)

ㄴ. [eqn: g(f(0)) = g(1)=-1``]

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }g(t)=0``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t)=0``]

따라서 함수 [eqn: g(f(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이 아니다. (참)

ㄷ. 두 함수 [eqn: f(x),~ g(x)``]는 닫힌 구간 [eqn: [`1,~2`]``]에서 연속이고, [eqn: 1 le f(x) le 2``]이므로 함수 [eqn: g(f(x))``]도 닫힌 구간 [eqn: [`1,~2`]``]에서 연속이다.

[eqn: g(f(1)) + 1 over 2 = 0 + 1 over 2 = 1 over 2``],

[eqn: g(f( 2)) + 1 over 2 = -1 + 1 over 2 = - 1 over 2``]이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(f(x)) + 1 over 2 =0``], 즉 [eqn: g(f(x)) =- 1 over 2``]의 실근이 [eqn: 1``]과 [eqn: 2``] 사이에 적어도 하나 존재한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

14 [정답] ①

해설

[eqn: f(x) = log x + x-2``]로 놓으면 [eqn: f(x)``]는 구간 [eqn: (0,~inf)``]에서 연속인 함수이다.

[eqn: f(1) = log1 +1 -2 =-1<0,~ f(2) = log2+ 2-2=log2>0``]

이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: f(x) =0``]은 열린 구간 [eqn: (1,~2)``]에서 실근을 갖는다.

15 [정답] ④

해설

연속함수 [eqn: g(x)``]에 대하여 [eqn: g(-1)(g(1)<0``]일 때, 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(x) =0``]은 열린 구간 [eqn: (-1,~1)``]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

ㄱ. |반례| [eqn: f(x) =-x``]일 때, [eqn: g(x) = x f(x) +1``]이라 하면

[eqn: g(x) = -x^2 +1``]

이때, 방정식 [eqn: g(x)=0``]은 열린 구간 [eqn: (-1,~1)``]에서 실근을 갖지 않는다.

ㄴ. [eqn: g(x) = 2 ^f(x) - 3^f(-x)``]이라 하면

[eqn: g(-1) = 2^f(-1) - 3 ^f(1) = 2 - 1 over 3 >0``]

[eqn: g(1) = 2^f(1) - 3 ^f(-1) = 1 over 2 -3 <0``]

[eqn: g(-1) g(1) <0``]이므로 방정식 [eqn: g(x) =0``]은 열린 구간 [eqn: (-1,~1)``]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: g(x) = sin f(x) + cos f(x)``]라 하면 [eqn: pi over 4 < 1 < pi over 3``]이므로

[eqn: g(-1) = sin f(-1) + cos f(-1 ) = sin 1 + cos 1 > 0``]

[eqn: g(1) = sin f(1) + cos f(1 ) = -sin 1 + cos 1 < 0``]

[eqn: g(-1)g(1)<0``]이므로 방정식 [eqn: g(x) =0``]은 열린 구간 [eqn: (-1,~1)``]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

따라서 열린 구간 [eqn: (-1,~1)``]에서 반드시 실근을 갖는 방정식은 ㄴ, ㄷ이다.

16 [정답] ②

해설

[eqn: f(x) =(x-a)(x-3a)(px+ q)``] (단, [eqn: p ne 0``])라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow a} { }f(x) over x-a =-2a (ap + q )=2``]이므로

[eqn: ap + q =- 1 over a ~~cdotscdots``]㉠

[eqn: lim _{ x rarrow 3a} { }f(x) over x-3a =2a( 3ap + q)=2``]이므로

[eqn: 3ap + q = 1 over a ~~cdotscdots``]㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: p = 1 over a^2 ,~ q=- 2 over a``]

따라서 [eqn: f(x)= {1} over {a ^{2}} (x-a)(x-3a)(x-2a)``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2a} { }f(x) over x-2a =-1``]

17 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { } 1 over x left( sqrt x+1 + x+1 over x-1 right )``]

[eqn: = lim _{ x rarrow 0 } { } sqrtx+1 over sqrt x left{ {(x-1) + sqrt x+1 } over x-1 right }``]

[eqn: =lim _{ x rarrow 0} { } sqrt x+1 over x left[ {(x-1)^2 - (x+1 ) } over { (x-1) left{ (x-1) - sqrt x+1 right } }right ]``]

[eqn: =lim _{ x rarrow 0} { } sqrt x+1 over x left[ {x(x-3) } over { (x-1) left{ (x-1) - sqrt x+1 right } }right ]``]

[eqn: =lim _{ x rarrow 0} { }{(x-3) sqrt x+1 } over { (x-1) left{( x-1) -sqrt x+1 right }}``]

[eqn: = - 3 over 2``]

18 [정답] ④

해설

[eqn: lim _{x -> 2} {} `` {f(x)-2} over {x-2} =2``]이므로 [eqn: lim _{x -> 2} {} ``f(x)=2``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x -> 2} {} `` {f(f(x))-2} over {x-2} = lim _{x -> 2} {} LEFT { {f(f(x))-2} over {f(x)-2} · {f(x)-2} over {x-2} RIGHT }``]

[eqn: `=2 TIMES 2``]

[eqn: `=4``]

19 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: x=0,~x=1``]을 제외한 점에서 함수 [eqn: f(x)-1``]과 [eqn: f(x)-2``]가 연속 이므로 함수 [eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``]도 연속이다.
[eqn: lim _{x-> +0} {} f(x)=1``],  [eqn: lim _{x -> -0} {} f(x)=2``], [eqn: f(0)=1``]이므로
[eqn: lim _{x -> +0} {} LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``=0 TIMES (-1)=0``]
[eqn: lim _{x -> -0} {} LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``=1 TIMES 0=0``]
[eqn: LEFT { f(0)-1 RIGHT } LEFT { f(0)-2 RIGHT } =0``]
따라서 [eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이다.
[eqn: lim _{x -> 1+0} {} f(x)=1``],  [eqn: lim _{x -> 1-0} {} f(x)=1``], [eqn: f(1)=0``]이므로
[eqn: lim _{x -> 1+0} {} LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``=0 TIMES (-1)=0``]
[eqn: lim _{x -> 1-0} {} LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``=0 TIMES (-1)=0``]
[eqn: LEFT { f(1)-1 RIGHT } LEFT { f(1)-2 RIGHT } =(-1) TIMES (-2)=2``]
따라서 [eqn: lim _{x -> 1} {} LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } `` != LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``]이므로 [eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이 아니다.
그러므로 구간 [eqn: [-2,~2]``]에서 함수 [eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT } LEFT { f(x)-2 RIGHT } ``]의 불연속점은 [eqn: 1``]개다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1} {} f(x)=1``]이므로 [eqn: lim _{x-> 1} {} {x-1} over {f(x)} =0``](참)

ㄷ. [eqn: x~ -> ```-1``]일 때, [eqn: f(x)``->``+0``]이므로
[eqn: lim _{x-> ``-1} {} f(f(x))= lim _{t-> +0} {} f(t)=1``]
그런데 [eqn: f(f(-1))=f(0)=1``]이므로 [eqn: f(f(x))``]는 [eqn: x=`-1``]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

20 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =1``]이고 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) =f LEFT ( sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT ) =f(1)``]	(참)

ㄴ. [eqn: S _{2n} = sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} < {1} over {3} ``]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {} S _{2n} = {1} over {3} ``]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) = lim _{x-> {1} over {3} -0} {} f(x)=3``}``]	(참)

ㄷ. [eqn: S _{2n+1} = sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} > {1} over {3} ``]이고
[eqn: lim _{n-> INF } {} S _{2n+1} = {1} over {3} ``]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) = lim _{x-> {1} over {3} +0} {} f(x)=5``]
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) != lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) ``]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) ``]은 존재하지 않는다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.