수학1		모의고사 단원별 총모음(복소수)
				복소수

Theme Math		Math shin

▶2014년 3월 서울교육청(2점)[고2]

[eqn: 3-i+ {2} over {1-i}]를 간단히 하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ③

[출제의도] 복소수를 계산한다.

[eqn: 3-i+ {2} over {1-i}][eqn: =3-i+ {2(1+i)} over {(1-i)(1+i)}]

[eqn: =3-i+ {2(1+i)} over {2}]

[eqn: =3-i+1+i]

[eqn: =4]

① [eqn: 4-2i]	② [eqn: 4-i]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 4+i]	⑤ [eqn: 4+2i]

▶2014년 9월 인천교육청(2점)

등식 [eqn: 2x LEFT ( 3+i RIGHT ) =3y+4i`]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 ④

[출제의도] 서로 같은 복소수의 성질 이해하기

[eqn: 2x LEFT ( 3+i RIGHT ) =6x+2x`i=3y+4i]에서

[eqn: x=2,~y=4`]

따라서 [eqn: x+y=6]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2014년 6월 교육청(2점)

[eqn: (`4`+`3i`)`+`(`1`-`2i`)`]의 값은? (단, [eqn: i `=` sqrt`of-1 `]이다.)

정답 ①

해설

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: (4+3i)+(1-2i)=(4+1)+(3-2)i=5+i]

① [eqn: 5`+`i`]	② [eqn: 5`-`i`]	③ [eqn: 3`+`i`]
④ [eqn: 3`-`i`]	⑤ [eqn: 2`+`3i`]

▶2007년 9월 서울시교육청(2점)

복소수 [eqn: {1`-`2`i} over {5`+`5`i}`]의 곱셈에 대한 역원은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}`])

정답 ②

[출제의도] 복소수의 계산을 이용하여 복소수의 곱셈에 대한 역원을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1-2i} over {5+5i}]의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: {5+5i} over{1-2i}]이다.

[eqn: {5+5i} over{1-2i}][eqn: =][eqn: {(5+5i)(1+2i)} over{(1-2i)(1+2i)}]

[eqn: =][eqn: {5`(`-1`+`3`i`)} over {1`+`4}]

[eqn: =][eqn: {-1+3i}]

① [eqn: 1`+`2`i]	② [eqn: -1`+`3`i]	③ [eqn: -2`+`2`i]
④ [eqn: -2`+`3`i]	⑤ [eqn: 2`+`3`i]

▶2008년 10월 국가수준(2점)

다음 중 옳지 않은 것은?

정답 ③

① [eqn: sqrt {2} sqrt {3} = sqrt {2․3} = sqrt {6}]

② [eqn: sqrt {-2} sqrt {3} = root2 i root3 = sqrt 6 i = root-6]

③ [eqn: sqrt {-2} sqrt {-3} = sqrt {2} i sqrt {3} i=i ^{2} sqrt {6} =- sqrt {6}]

④ [eqn: {sqrt {` 2} `} over { sqrt {-3}}={sqrt {` 2} `} over { sqrt {3}i}={sqrt {` 2}i `} over { sqrt {3}i^{2}}=-{sqrt {-{ 2} over { 3}}]

⑤[eqn: {sqrt {`- 2} `} over { sqrt {-3}}={sqrt {` 2}i `} over { sqrt {3}i}={sqrt {{ 2} over { 3}}]

① [eqn: sqrt {2} sqrt {3} `= sqrt {6} `]	② [eqn: sqrt {-2} sqrt {3} `= sqrt {-6} `]
③ [eqn: sqrt {`-2} sqrt {`-3}` = sqrt {6} `]	④ [eqn: {sqrt {`2}} over {sqrt {`-3}}` =`- sqrt {- {2} over {3}} `]
⑤ [eqn: {sqrt {`-2}} over {sqrt {`-3}} `= sqrt {{2} over {3}} `]

▶2011년 10월 인천교육청(2점)

[eqn: sqrt {2} TIMES sqrt {-2} + {sqrt {2}} over {sqrt {-2}} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 ④

[출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

[eqn: sqrt {2} TIMES sqrt {-2} + {sqrt {2}} over {sqrt {-2}} `= sqrt {2} TIMES sqrt {2} i+ {sqrt {2}} over {sqrt {2} i} =2i-i =i]

① [eqn: -2i`]	② [eqn: -i`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: i`]	⑤ [eqn: 2i`]

▶2011년 10월 인천교육청(2점)

[eqn: (2+i)`i-(3+2i)`]의 값은? (단, [eqn: i``= sqrt {-1} `])

정답 ①

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: LEFT ( 2+i RIGHT ) i- LEFT ( 3+2i RIGHT ) `=`2i+i ^{2} -3-2i][eqn: `=`-4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: i]	⑤ [eqn: 2i]

▶2013년 9월 인천청[2점]

[eqn: i(i+1)+ {1} over {i}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ④

[eqn: i (i+1) + 1 over i = -1 + i -i =-1]

① [eqn: i-2]	② [eqn: i]	③ [eqn: i+2]
④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 1]

▶2008년 03월 교육청(2점)

[eqn: LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ^{2} - sqrt {49} + sqrt {LEFT . LEFT ( -3RIGHT ) ^{2}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (- sqrt {3} ) ^{2} - sqrt {49} `+` sqrt {(-3) ^{2}}]

[eqn: =3-7+3][eqn: =`-1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

▶2013년 11월 서울[2점]

[eqn: a=1-i], [eqn: b=1+i]일 때, [eqn: 2ab]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ⑤

[eqn: 2ab=2 LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT )] [eqn: =2 TIMES 2=4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

▶2005년 10월 인천교육청(2점)

[eqn: sqrt {(-1) ^{2}} +i ^{2} - {1} over {i}] 를 계산하면?  (단,  [eqn: i= sqrt {-1}])]

정답 ⑤

(준식)[eqn: =1-1+i``=`i]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: -i]	⑤ [eqn: i]

▶2008년 09월 서울시교육청(2점)

[eqn: {1}over{1`+`i}`+`{i}over{1`-`i}`]의 값은?  (단, [eqn: i`=`root{-1}`]이다.)

정답 ③

[출제의도] 복소수의 사칙연산을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

분모를 통분하여 계산하면

[eqn: {1} over {1`+`i} `+` {i} over {1`-`i} `=` {1`-`i} over {(1`+`i)`(`1`-`i`)`} + {i`(`1`+`i`)`} over {(`1`-`i`)`(`1`+`i`)`} `]

[eqn: = {1`-`i`} over {2} `+` {i`-`1} over {2} ``]

[eqn: =`0``]

① [eqn: -i``]	② [eqn: i`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: -1`]	⑤ [eqn: 1`]

▶2006년 05월 경기도교육청(2점)

[eqn: i ^{1003`} +`(-i ` )^{1003}]의 값은? (단, [eqn: i=root{-1} ``])

정답 ②

[eqn: i^1003 + (-i)^1003 = -i+i=0]

① [eqn: -1``]	② [eqn: 0``]	③ [eqn: 1``]
④ [eqn: i``]	⑤ [eqn: 2i``]

▶2005년 10월 평가원(2점)

[eqn: LEFT ( { 1+i``} over {1-i`` }RIGHT )^3 ``]을 간단히 한 것은?  ( 단, [eqn: i`=`root{-1}`] )

정답 ③

[eqn: { 1+i``} over {1-i`` }`=`{( 1+i``)^2} over {(1-i``)(1+i``) }`=`{{ 1+2i``+i } ^2`` } over {1-i }^2 }`=`2i over{``2````}`=`i```]

[eqn: LEFT ( { 1+i``} over {1-i`` }RIGHT )^3 ```=`i^3 ``=`-i``]

① [eqn: -1`]         ② [eqn: 1`]           ③ [eqn: - i `]
④ [eqn: i```]           ⑤ [eqn: 2i`]

▶2009년 10월 인천교육청(2점)

복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: 2(z+i)=(1+i)(1-i)`]가 성립할 때, 복소수 [eqn: bar{ z`}`]는? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `], [eqn: bar{ z`}`]는 [eqn: z``]의 켤레복소수)

정답 ③

[출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

[eqn: 2 LEFT ( z+i RIGHT ) =1-i ^{2} `]

[eqn: z=1-i`]
[eqn: THEREFORE][eqn: bar{z} =1+i`]

① [eqn: -1]                   ② [eqn: i]                  ③ [eqn: 1+i]

④ [eqn: 2-i]                  ⑤ [eqn: 1+2i]

▶2008년 06월 인천교육청(2점)

[eqn: z=1+i`]일 때, [eqn: {1} over {z} `+` {1} over {bar{z}}`]의 값은?
(단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수, [eqn: i= sqrt {-1}``])

정답 ④

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: {1} over {z} `+` {1} over {bar{z}} `=` {1} over {1+i} + {1} over {1-i}]

[eqn: =`` {1-i} over {2} + {1+i} over {2}] [eqn: =``1]

① [eqn: -i]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: i]

▶2007년 03월 교육청(2점)

[eqn: z = 1+i] 일 때, [eqn: bar z over 2 + 1 over z] 의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}] 이고 [eqn: bar{z}] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수이다.)

정답 ⑤

[eqn: z = 1+i]이므로 [eqn: barz`=` 1-i``]
[eqn: bar z over 2 + 1 over z][eqn: = 1-i over 2 + 1 over 1+i``]
[eqn: = 1-i over 2 + 1-i over 2``]
[eqn: = 1-i``]

①  [eqn: 1]	②  [eqn: -1]	③  [eqn: i]
④  [eqn: 1+i]	⑤  [eqn: 1-i]

▶2005년 6월 인천교육청(2점)

[eqn: z`=`1+i] 일 때,[eqn: {z``barz} over {z``- bar z}] 의 값은? (단,[eqn: i`=` SQRT { -1}], [eqn: bar z] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수)

정답 ⑤

[eqn: z=1+i,~barz = 1-i]  이므로

[eqn: {z barz} over {z- barz} = 2 over 2i = 1 over i = -i]

① [eqn: 1+i]	② [eqn: 1-i]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: i]	⑤ [eqn: -i]

▶2006년 10월 성취도평가(2점)

복소수 [eqn: z={1+a`i} over {3+i}`]가 [eqn: z+barz =0```]이 될 때, 실수 [eqn: a```]의 값을 구하시오. (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

정답 [eqn: a`=`-3]

<풀이 1>
[eqn: {1+a`i} over {3+i}`]의 분자와 분모에 [eqn: 3-i`]를 곱하면,

[eqn: {1+a`i} over {3+i}`][eqn: = {(1+a`i`)(3-i`)} over {(3+`i`)(3-i`)}][eqn: = {3+(3a-1)`i-a`i^2`} over {9-i^2`}]

[eqn: = {3+(3a-1)`i+a} over {9+1}]

[eqn: = {3+a+(3a-1)`i} over 10`][eqn: = {3+a} over 10` +{3a-1} over 10`i`]

[eqn: z+ bar { z} = { 2(3+a)} over {10 } =0], [eqn: a=-3]

<풀이 2>

[eqn: {1+a`i} over {3+i}`][eqn: = {3+a} over 10` +{3a-1} over 10`i`]

실수 부분이 0이 되려면 [eqn: {3+a} over 10`=0`], [eqn: a=-3]

▶2007년 06월 인천교육청(2점)

[eqn: z`=` {1+i} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: z` ^{2007} `=`a`+b`i]가 성립하는 실수 [eqn: a`,````b]에     대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i=` sqrt {-1}])

정답 ③

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z= {1+i} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: z^2 =i]이고 [eqn: z^4 =`` -1]

[eqn: z ^{2007} =(z ^{4} ) ^{501} z ^{3} =`-`i`z]

[eqn: = {1-i} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {2} `- {sqrt {2}} over {2} i]

∴ [eqn: a+b =0]

① [eqn: - sqrt {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

▶2006년 09월 경기교육청(3점)

등식 [eqn: {x} over {1-i} + {y} over {1+i} `=`12-9i``]를 만족시키는 실수 [eqn: x``], [eqn: y``]에 대하여 [eqn: x+10y``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i`=` sqrt {-1} `])

정답 [eqn: 213``]
[출제의도] 두 복소수가 서로 같을 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.

양변에 [eqn: (1-i`)(1+i`)]를 곱하여 정리하면

[eqn: x(1+i`)+y(1-i`)=2(12-9i`)]

[eqn: (x+y)+(x-y)i=24-18i`]

두 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x+y=24], [eqn: x-y=-18]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=3,~y=21]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x+10y``][eqn: =3 +10cdot 21 =213]

▶2006년 10월 성취도평가(2점)

[eqn: (`x+y`)+(``2x-y `)`i ` = ` 3i ```]를 만족하는 실수 [eqn: x`,~y```]에 대하여  [eqn: x `y```]의 값은? (단, [eqn: i`=`root{-1}`] )

정답 ②

복소수의 상등에 의해

[eqn: ``x +y ` = ` 0 ~~⋯````㉠````````# cases{# ` ` 2x -y` =`3` ` ~~⋯````㉡}]

두 식을 더하면 [eqn: 3x=3,~~∴~x=1]

㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: y`=`-1]    [eqn: ∴``` xy`=`-1].

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

▶2005년 6월 인천교육청

[eqn: (2`-`3i`)x`-`(1`-`i`)y`=`5`-`2i] 를 만족하는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y] 에  대하여 [eqn: xy] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: i`=` SQRT { -1}] )

정답 33

[eqn: (2-3i)x - (1-i)y =5-2i]

[eqn: (2x-y) +(-3x +y)i=5-2i]

복소수가 같을 조건에 의하여

[eqn: cases{2x-y=5#-3x+y=-2}] 이므로 [eqn: x=-3,~y=-11] 이다.

∴ [eqn: xy=33]

▶2006년 06월 인천교육청(2점)

실수 [eqn: x,```y] 에 대하여 [eqn: (1+i)`x+(3-i)`y=9-7i] 가 성립할 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2}] 의 값을 구하시오.  (단, [eqn: i`=` sqrt {-1}])

정답 [eqn: 25``]
[출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: (1+i)`x+(3-i)`y=9-7i]를 전개하여 정리하면

[eqn: (x+3y)+(x-y)`i=9-7i]

[eqn: x+3y`=9,``````x-y`=-7]

[eqn: x=-3,``y=4]     [eqn: THEREFORE `x ^{2} +y ^{2} =25]

▶2010년 06월 부산교육청(2점)

등식 [eqn: (5`+3i)`x`-(2-3i)`y```=`-7+6i] 를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y``]에 대하여 [eqn: x+y] 의 값은? (단, [eqn: i`=` sqrt {-1} ``])

정답 ②

[출제의도] 복소수 상등을 이용하여 계산하기

[eqn: (5`x-2y)+3(x+y)i = -7+6i]

복소수 상등에 의하여 허수부분을 비교하면

[eqn: x+y`=`2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2010년 09월 인천교육청(2점)

[eqn: alpha =2-7i], [eqn: beta =`-1+4i] 일 때, [eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta }] 의 값은?(단, [eqn: i= sqrt {-1}] 이고 [eqn: bar{alpha},```bar{beta}] 는 각각 [eqn: alpha,```beta] 의 켤레복소수이다.)

정답 ③

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: bar{alpha } `=`2+7i``,``````` bar{beta } `=`-1-4i] 이므로

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta } `=`( alpha + beta )( bar{alpha } + bar{beta } )]

[eqn: =(1-3i)(1+3i)]

[eqn: =10]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▶2010년 10월 교육청(2점)

[eqn: (1-2i) + {3+i} over {1-i} `]를 계산하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 ①

[출제의도] 복소수의 덧셈, 나눗셈 계산하기

[eqn: LEFT ( 1-2i RIGHT ) + {3+i} over {1-i} TIMES {1+i} over {1+i} = LEFT ( 1-2i RIGHT ) + {2+4i} over {2}]

[eqn: ``= LEFT ( 1-2i RIGHT ) + LEFT ( 1+2i RIGHT )] [eqn: =2]

① [eqn: 2]                   ② [eqn: 2i]                  ③ [eqn: 4i]

④ [eqn: 2-2i]                ⑤ [eqn: 2+2i]

▶2010년 11월 인천교육청(2점)

[eqn: 1+i over1-i + LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 3-i RIGHT )=a+bi]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[해설]

[eqn: 1+i over1-i + LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 3-i RIGHT )]

[eqn: = i + LEFT ( 5+5i RIGHT )]

[eqn: 5+6i]이다.

그러므로 [eqn: 5+6i =a+bi]에서

[eqn: a=5], [eqn: b=6]이다.

따라서 [eqn: ab=30]

(단, [eqn: i= root-1]이고 [eqn: a,``b]는 실수이다.)

▶2012년 6월 서울교육청(2점)

[eqn: z=1+2i`]일 때, [eqn: 2z+ bar{z} `]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt-1]이고, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

정답 ⑤

[출제의도] 켤레복소수의 정의를 알고 복소수의 연산을 한다.

주어진 복소수 [eqn: z`]에 대하여

[eqn: 2z+ bar{z}][eqn: =2(1+2i)+(1-2i)][eqn: =2+4i+1-2i][eqn: =3+2i]

① [eqn: 3-2`i]	② [eqn: 2-i]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2+i]	⑤ [eqn: 3+2`i]

▶2012년 3월 부산교육청(2점)

복소수 [eqn: z``=`2+i`]에 대하여 [eqn: ``z bar{z} ``(`z`+` bar{z} `)`]의 값은? (단, [eqn: bar{z`}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

정답 ⑤

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z+ bar{z} =4``,```z bar{z} =5`]이므로 [eqn: z bar{z} (z+ bar{z} )=20`]이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

▶2012년 9월 인천교육청(2점)

[eqn: (1+i) LEFT ( 1- {1} over {i} RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt-1 `])

정답 ⑤

[출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

[eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1- {1} over {i} RIGHT ) ``=` LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1- {i} over {i TIMES i} RIGHT ) ``][eqn: =` LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) `=`2i`]

① [eqn: -2i]      ② [eqn: -i]      ③ [eqn: 0]      ④ [eqn: i]      ⑤ [eqn: 2i]

▶2012년 10월 인천교육청(2점)

등식 [eqn: (x-1`)+(y+2)i = 2-5i`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 [eqn: xy`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt-1 `])

정답 ①

[출제의도] 두 복소수가 서로 같을 조건 이해하기

두 복소수의 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 하므로 [eqn: x-1=2], [eqn: y+2=-5]

[eqn: THEREFORE][eqn: xy=-21]

① [eqn: -21]	② [eqn: -20]	③ [eqn: -18]
④ [eqn: -16]	⑤ [eqn: -15]

▶2011년 06월 교육청(3점)

복소수 [eqn: z`]에 대하여 등식 [eqn: (2+i)z+3`i`` bar{z`} =2+6`i`]가 성립할 때, [eqn: z `bar{z}` `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: bar{z`}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

정답 ②

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 상수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: z=a+b`i``](단, [eqn: a,``b]는 실수)라 하자. 그러면 켤레복소수 [eqn: bar{z`} `]는 [eqn: bar{z`} = bar{a+b`i`} `=a-b`i]

주어진 식에 대입하면

[eqn: (2+i)(a+b`i)+3i``(a-b`i)=2+6i]

실수부와 허수부로 나누어 정리하면

[eqn: (2a+2b)+i(4a+2b)=2+6`i]

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: 2a+2b=2`]…㉠          [eqn: `4a+2b=6`]…㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: -2a=-4`] ∴ [eqn: a=2`]

[eqn: a=2`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: 4+2b=2`] ∴ [eqn: b=-1`]

그러므로 구하는 복소수 [eqn: z`]는 [eqn: z=2-i]이다.

∴ [eqn: z` bar{z} `=(2-i)(2+i)=4+1=5`]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 13`]

▶2011년 06월 교육청(2점)

두 조건 [eqn: p:` {sqrt {x+1}} over {sqrt {x-8}} =`- {sqrt {x+1 over { {x-8}} `], [eqn: q`: a-8<x<a+3`]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[출제의도] 충분조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: p:` {sqrt {x+1}} over {sqrt {x-8}} =`- {sqrt {x+1 over { {x-8}} `]이 성립하려면

[eqn: x-8<0`]이고 [eqn: x+1 GEQ 0`]에서 [eqn: -1 LEQ x<8``]

[eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: P=` LEFT { `x`|`-1 LEQ x<8 RIGHT } `]

[eqn: Q=` LEFT { x|`a-8<x<a+3 RIGHT } `]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되기 위해서는 [eqn: P`` SUBSET `Q`]이므로 다음 수직선에서

[eqn: a+`3` GEQ `8`] 이고 [eqn: a-8`<`-1`]

따라서 [eqn: 5` LEQ `a`<`7`]이므로 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

▶2013년 9월 인천청[3점]

등식 [eqn: i - left ( { 1 -i } over {1+i } right )^ 2013 = a + bi`]를 만족하는 두 실수 [eqn: a, ```` b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: i = sqrt { -1}`])

정답 ②

[eqn: { i -1} over {i+1 } = { (1-i)^2} over { (1+i)(1-i) } = -2i over 2 = -i`]이므로

[eqn: i - left ( { 1-i } over {1+i} right) ^2013 = i - (-i)^2013 = i+i =2i]

따라서 [eqn: a+bi = 2i`]에서

[eqn: a=0 ,```` b=2 `]이므로 [eqn: a+b=2`]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

▶2005년 6월 인천교육청(3점)

[eqn: 0] 이 아닌 두 실수 [eqn: a], [eqn: b] 에 대하여 [eqn: SQRT { a} over sqrt { b}````=``- { SQRT {a over b} } }] 일 때,

[eqn: sqrt {(a`-`2b) ^2} ``+`LEFT | ``3b`` RIGHT |] 을 간단히 하면?

정답 ④

[eqn: sqrt a over sqrtb = - sqrt{a over b }]는 [eqn: a>0,~b<0`] 인 경우 성립한다.

[eqn: a-2b>0,~3b<0] 이므로

[eqn: sqrt(a-2b)^2 +LEFT | `3b` RIGHT |][eqn: =LEFT | `a-2b `RIGHT |+LEFT | `3b `RIGHT |][eqn: =(a-2b)-3b =a-5b]

① [eqn: a`-`b]	② [eqn: -a`+`b]	③ [eqn: a`+`5b]

④ [eqn: a`-`5b]	⑤ [eqn: -a`-`5b]

▶2006년 10월 인천교육청(3점)

복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: z= sqrt {-1} sqrt {-4} + {sqrt {18}} over {sqrt {-2}} ``]일 때, [eqn: z` bar{z} ``]의 값은? (단, [eqn: bar{z} ``]는 [eqn: z``]의 켤레복소수)

정답 ④
[출제의도] 간단한 복소수 계산하기

[eqn: z= sqrt {-1} sqrt {-4} + {sqrt {18}} over {sqrt {-2}} `=`-2-3i]

[eqn: bar{z} =`-2+3i`]

[eqn: THEREFORE z`` bar{z} = LEFT ( -2-3i RIGHT ) LEFT ( -2+3i RIGHT ) =13``]

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 1`1]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 17]

▶2014년 6월 교육청(3점)

[eqn: sqrt`of{-2} sqrt`of {-18} `+` {sqrt`of{12}} over {sqrt`of{-3}} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

정답 ⑤

해설

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: sqrt {-2`} sqrt {-18} ``+`` {sqrt {12}} over {sqrt {-3}} ``=`` sqrt {2} i TIMES sqrt {18} i``+`` {2 sqrt {3}} over {sqrt {3} i}]

[eqn: = sqrt {36} i` ^{2} + {2i} over {i ` ^{2}}]

[eqn: =`-6-2i]

① [eqn: 6`+`2i]	② [eqn: 6`-`2i`]	③ [eqn: -8i`]

④ [eqn: -6`+`2i]	⑤ [eqn: -6`-`2i]

▶2006년 06월 인천교육청(3점)

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-2} sqrt {2} sqrt {3} + {sqrt {6}} over {sqrt {-2}}] 을 간단히 하면?
(단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ⑤

[출제의도] 무리수와 복소수 계산하기

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-2} =- sqrt {6}]

[eqn: {sqrt {6}} over {sqrt {-2}} = {sqrt {6}} over {sqrt {2} i} =- sqrt {3} i]

[eqn: (준식)=-6- sqrt {3} i]

① [eqn: 6+ sqrt {3} i]	② [eqn: 6- sqrt {3} i]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -6+ sqrt {3} i]       ⑤ [eqn: -6- sqrt {3} i]

▶2007년 05월 교육청(3점)

복소수 [eqn: z= {1+3i} over {1-i} ```]일 때, [eqn: z^3 +2z^2 +6z+1```]을 간단히 하면?  (단, [eqn: i= root -1])

정답 ②

[eqn: z`=` {1+3i} over 1-i`=` {(1+3i``)(1+i``)} over {(1-i``)(1+i``)}`=`{-2+4i} over 2`=`-1+2i]

[eqn: z+1`=`2i]의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: z^2 +2z +5`=`0]

[eqn: z^3 +2z^2 +6z+1`=`z(z^2 +2z+5) +z+1]

[eqn: =`(-1+2i``)+1]

[eqn: =`2i]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2i]	③ [eqn: -2i]
④ [eqn: 2+2i]	⑤ [eqn: - 2+ 2i]

▶2006년 11월 경기도교육청(3점)

복소수 [eqn: z=1+i``]일 때, [eqn: left(z - 2 over z right)^2 ``]의 값은?
(단, [eqn: i= SQRT { -1} ``])

정답 ①

[출제의도] 복소수 계산하기

[해설] [eqn: 2 over z = 2 over 1+i =1-i]이므로 [eqn: LEFT ( z- {2} over {z} RIGHT ) ^{2} = LEFT (` 2i` RIGHT ) ^2 =-4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

▶2014년 6월 경기교육청(3점)

실수 [eqn: x`]에 대하여 복소수 [eqn: z`]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 8]

해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: z=a+b`i]([eqn: a`,``b]는 실수)라 하면 [eqn: z^2 = (a^2 - b^2 )+2ab`i]이고 복소수의 성질에 의해 [eqn: ( {bar z})^2 = bar{z^2 }]이므로
[eqn: (`barz `)^2 `=` a^2 `-` b^2 `-`2ab i`]이다.

따라서 [eqn: z^2 + ( {bar z})^2][eqn: =2(a^2 - b^2 )]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: z^2 + ( {bar z})^2]은 음수이므로

[eqn: 2(a^2 -b^2 )< 0]

즉, [eqn: 2(a+b)(a-b) < 0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

조건 (가)의 [eqn: z=3x+(2x-7)i]에서 [eqn: a=3x], [eqn: b=2x-7]을

식 ㉠에 대입하면

[eqn: 2 LEFT { 3x+(2x-7)right}left{3x-(2x-7) RIGHT } =2(5x-7)(x+7)]이고

[eqn: (5x-7)(x+7)<0]이므로 [eqn: -7 < x < 7over5]을 만족하는

정수 [eqn: x]는 [eqn: -6`,~-5`,~-4`,~-3`,~-2`,~-1`,~0`,~1]이고

정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 8]이다.

(가) [eqn: z`=`3`x`+`(`2x`-`7`)i`]

(나) [eqn: z ^{`2} `+` (`{bar{z}}`) ^{`2} `]은 음수이다.

이때, 정수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i`=` sqrt`of {-1} `]이고, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

▶2012년 10월 인천교육청(3점)

실수가 아닌 복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: z``+ {2} over {z} `]가 실수일 때, [eqn: 5z barz`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

정답 10

[출제의도] 켤레복소수의 성질을 이용하여 복소수의 곱 계산하기

[eqn: z+ {2} over {z}]가 실수이므로 [eqn: z+ {2} over {z} = bar{LEFT ( z+ {2} over {z} RIGHT ) `} = bar{z`} + {2} over {bar{z`}}]

[eqn: z- bar{z`} = {2} over {bar{z`}} `- {2} over {z} = {2 LEFT ( z- bar{z`} RIGHT )} over {z bar{z`}}]

[eqn: z]는 실수가 아닌 복소수이므로 [eqn: z- bar{z} != 0]

따라서, [eqn: z bar{z`} =2]

[eqn: THEREFORE][eqn: 5z bar{z`} =10]

▶2012년 9월 인천교육청(3점)

복소수 [eqn: z`]가 다음 조건을 모두 만족할 때, [eqn: {1} over {2} LEFT ( z+ bar{z} RIGHT ) `]의 값은?  (단, [eqn: barz`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수,  [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 ③

[출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=a+bi`]라 하면

[eqn: z+(1-2i)=(a+1)+(b-2)i`]는 양의 실수 이므로 [eqn: a>-1,~b=2`]…㉠

[eqn: z bar{z`} `=`a ^{2} +b ^{2} =7`]…㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: a= sqrt {3} ,~b=2`]

[eqn: THEREFORE ``` {1} over {2} LEFT ( z+ bar{z} RIGHT ) =a= sqrt {3} `]

	(가) [eqn: z+(1-2i)``]는 양의 실수 (나) [eqn: z` bar{z`} `=7`]

① [eqn: 1]       ② [eqn: sqrt {2}]      ③ [eqn: sqrt {3}]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: sqrt {5}]

▶2005년 6월 경기교육청(3점)

두 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 복소수[eqn: z=a+b`i``]이고,[eqn: z CDOT bar z`=1]  일 때, [eqn: z - 1over z]의 값은?
(단,[eqn: z`]  는 [eqn: z``]의 켤레복소수이고, [eqn: i= root -1`]이다.)

정답 ④

방법1) [eqn: z․barz` =1]이므로[eqn: (a+bi`) (a-bi`)= a^2 + b^2 =1`]이다.

[eqn: z- { 1} over { z} =a+bi- { 1} over {a+bi }]

[eqn: =a+bi- { a-bi} over { { a}^{ 2} + { b}^{2 } }]

[eqn: =a+bi-(a-bi)][eqn: =2bi]

방법2)  [eqn: z․barz``=1] 이므로 [eqn: 1 over z =barz`]

[eqn: z- { 1} over { z} = z - bar z][eqn: =a+bi-(a-bi)][eqn: =2bi]

①     [eqn: ```0]             ②   [eqn: ```2a]          ③ [eqn: `-2a]

④   [eqn: `2bi`]             ⑤ [eqn: -2bi`]

▶2008년 05월 경기교육청(3점)

복소수 [eqn: z= 1 over { 1- sqrt2 i }] 의 실수부분을 [eqn: a`]， 허수부분을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a- 3b^2]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt-1] )

정답 ②

[출제의도] 복소수의 표현방법 이해하기

[해설]

[eqn: z= 1 over { 1- sqrt2 i } = { 1+sqrt2 i } over { (1-sqrt2 i )( 1+ sqrt2 i )}= { 1+sqrt2 i } over 3]

따라서, [eqn: a= 1 over 3 ,~~ b= sqrt2 over 3] 이므로 [eqn: a- 3b^2 = - 1 over 3]

① [eqn: - 5 over 3]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 4 over 3]

▶2008년 05월 경기교육청(3점)

양의 실수 [eqn: a,b`]가 [eqn: a( a+bi) + b( b+ai) = 2 (1+i)]를 만족할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단,[eqn: i= sqrt-1] )

정답 ③

[출제의도] 복소수의 기본성질을 이용하여 계산하기

[해설] 양변을 전개하면[eqn: a^2 +b^2 +2abi = 2+2i]이므로

[eqn: a^2 + b^2 = 2 ,~~ ab= 1]이다.

[eqn: (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 = 4]이고 [eqn: a>0, ~ b>0]이므로 [eqn: a+b = 2]

① [eqn: sqrt2]	② [eqn: sqrt3]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt5]	⑤ [eqn: 4]

▶2010년 06월 교육청(3점)

복소수 [eqn: z= sqrt2 over {1+i }] 일 때, [eqn: z^2010] 의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ⑤

[출제의도] 복소수의 거듭제곱 계산하기

[eqn: z ^{2`} = LEFT ( {root2} over {1+i} RIGHT ) ^{2} = {2} over {2i} = {1} over {i} =`-i] 에서 [eqn: z ^{4} `=`-1``]

[eqn: THEREFORE~z ^{2010} =(z ^{4} ) ^{502}` timesz^2 =z^2 =`-i``]

① [eqn: 2i]	② [eqn: -2i]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: i]	⑤ [eqn: -i]

▶2009년 05월 경기교육청(3점)

[eqn: LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT ) ^{2009} + LEFT ( {1-i} over {1+i} RIGHT ) ^{2011}]의 값은?(단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ②

[eqn: LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT ) ^{2009} + LEFT ( {1-i} over {1+i} RIGHT ) ^{2011}][eqn: =i ^{2009} + LEFT ( -i RIGHT ) ^{2011} =i ^{2009} -i ^{2011}][eqn: = LEFT ( i ^{4} RIGHT ) ^{502} BULLET i- LEFT ( i ^{4} RIGHT ) ^{502} BULLET i ^{3}][eqn: =i-i ^{3} =2i]

① [eqn: -i]	② [eqn: 2i]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 1-i]	⑤ [eqn: 1+i]

▶2010년 06월 교육청(3점)

두 복소수 [eqn: z _{1} `,~z _{2}] 가 [eqn: bar{z _{1}} `-` bar{z _{2}} `=1+2i`,~ bar{z _{1}} `` bar{z _{2}} `=4-3i```]를 만족시킬 때, [eqn: (z _{1} -1)(z _{2} +1)] 의 값은?

(단, [eqn: i =sqrt {-1}], [eqn: bar{z} `] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수이다.)

정답 ④

[출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: bar{z _{1}} `-` bar{z _{2}} `= bar{z _{1} -z _{2} } `=1+2i```]이므로

[eqn: z _{1} -z _{2} =1-2i]

또,[eqn: ````` bar{z _{1}} `` bar{z _{2}} `= bar{z _{1`} `z _{2} `} `=4-3i```]이므로

[eqn: z _{1} `z _{2} =4+3i]

[eqn: THEREFORE~(z _{1} -1)(z _{2} +1)=z _{1} `z _{2} +z _{1} -z _{2} -1]

[eqn: =(4+3i)+(1-2i)-1][eqn: =4+i]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4+5i]	③ [eqn: 4-5i]

④ [eqn: 4+i]	⑤ [eqn: 4-i]

▶2012년 3월 부산교육청(3점)

두 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: sqrt {x} sqrt {y} =`- sqrt {xy} `]가 성립하고 등식 [eqn: x ^{2} +2x-(y+3)i`=15+4i`]를 만족한다. 두 실수 [eqn: x,~y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {x} sqrt {y} =`- sqrt {xy} `] [eqn: LRARROW] [eqn: xy=0] 또는 [eqn: x<0,~y<0``][eqn: x ^{2} +2x-(y+3)i`=15+4i`]에서

[eqn: x ^{2} +2x=15,~-(y+3)=4`]

[eqn: THEREFORE ~x=`-5,~y=`-7`]

따라서 [eqn: xy=35`]이다.

① [eqn: 32]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 34]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 36]

▶2012년 11월 경기도교육청(3점)

[eqn: z = {1-i} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: z ^{`8} +z ^{`12}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ③

[출제의도] 복소수의 값 추론하기

[eqn: z ^{`2} = LEFT ( {1-i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} =`-i]

[eqn: z ^{`4} = LEFT ( -i` RIGHT ) ^{2} =`-1]

[eqn: z ^{`8} =(-1) ^{2} =1]

[eqn: z ^{`8} +z ^{`12} =z ^{`8} +z ^{`8} z ^{`4} =1-1=0]

따라서 [eqn: z ^{`8} +z ^{`12} =0]

① [eqn: -2i]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④   [eqn: 2i]	⑤  [eqn: 2]

▶2010년 06월 교육청(3점)

[eqn: 0] 이 아닌 세 실수 [eqn: a`,~b`,~c] 가 다음 조건을 만족한다.

이때, 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c] 의 그래프가 될 수 있는 것은?

(가) [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =``- sqrt {ab}]	(나) [eqn: {sqrt {c}} over {sqrt {b}} =``- sqrt {{c} over {b}}]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 ⑤

[출제의도] 음수의 제곱근 성질 이해하기

조건 (가)로부터 [eqn: a<0`,~b<0]

조건 (나)로부터 [eqn: b<0`,~`c>0]

따라서, 포물선은 위로 볼록한 모양이고,

대칭축 [eqn: x=`-` {b} over {2a} <0], [eqn: y]절편 [eqn: c>0]이므로

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c] 의 그래프가 될 수 있는 것은 ⑤이다.

①	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]	②	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]
③	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]	④	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]
⑤	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]

▶2010년 월 교육청(2점)

복소수 [eqn: z= {-1+ sqrt {3} i} over {2}] 에 대하여 [eqn: z` ^{2010} + {1} over {{z}`^{2010}}] 의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질이해하기

주어진 복소수 [eqn: z] 에 대하여

[eqn: LEFT ( 2z+1 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {3} i RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 4z ^{2} +4z+1=-3]

[eqn: z ^{2} +z+1=0] 이므로 [eqn: z ^{3} =1] 이다.

따라서 [eqn: z ^{2010} + {1} over {z ^{2010}} = LEFT ( z ^{3} RIGHT ) ^{670} + {1} over {LEFT ( z ^{3} RIGHT ) ^{670}} =2]

(단, [eqn: i= sqrt {-1}])

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2010년 10월 교육청

복소수 [eqn: z``]에 대하여 [eqn: z ^{2} =9+12i`]일 때, [eqn: z bar{z}`]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 곱셈 공식 이용하여 수학 내적문제 해결하기

[eqn: z=a+bi`]([eqn: a`,```b`]는 실수)라 하면

[eqn: z ^{2} =a ^{2} +2abi+b ^{2} i ^{2}] [eqn: = LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT ) +2abi][eqn: =9+12i]

따라서 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =9], [eqn: ab=6]이다.

[eqn: z bar{z} =a ^{2} +b ^{2}] 이므로

[eqn: LEFT ( z bar{z} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( a ^{2} `b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =9 ^{2} +4 TIMES 6 ^{2}][eqn: =225]

[eqn: THEREFORE `z bar{z} `=15` LEFT ( BECAUSE `z bar{z} `=a ^{2} +b ^{2} >0 RIGHT )]

(단, [eqn: i=sqrt-1 `], [eqn: bar { z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

▶2013년 9월 인천청[3점]

두 복소수 [eqn: alpha ,```` beta `]에 대하여 [eqn: alpha barbeta = 1 ,```` alpha + 1 over {baralpha} = 2i`]일 때, [eqn: beta + {1} over {bar{beta }} ```]의 값은? (단, [eqn: i = sqrt { -1}`]이고 [eqn: bar alpha ,```` bar beta `]는 각각 [eqn: alpha ,```` beta `]의 켤레복소수이다.)

정답 ⑤

[eqn: alpha barbeta =1`]에서 [eqn: bar{alpha barbeta} = baralpha beta = 1 `]이므로

[eqn: 1 over{barbeta} = alpha ,```` beta = 1 over{baralpha }]

따라서 [eqn: beta + 1 over{ barbeta} = 1 over{baralpha} + alpha = 2i]

① [eqn: -2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: - 2i]
④ [eqn: i]	⑤ [eqn: 2i]

▶2006년 10월 인천교육청(3점)

복소수 [eqn: z= {1- sqrt {-3}} over {1+ sqrt {-3}} ``]에 대하여 [eqn: (1+z)(1+z ^{2} )(1+z ^{3} )``]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 복소수 값을 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: z= {1- sqrt {-3}} over {1+ sqrt {-3}} `=`- {1} over {2} - {sqrt {3}} over {2} i`]이므로

[eqn: z ^{2} +z+1=0`]이고 [eqn: z ^{3} =1`]을 만족한다.

따라서 [eqn: (1+z)(1+z ^{2} )(1+z ^{3} )`]

[eqn: =(-z ^{2} )(-z)(1+1)# =2`]

① [eqn: -2``]      ② [eqn: -1``]      ③ [eqn: 0]      ④ [eqn: 1``]      ⑤ [eqn: 2``]

▶2008년 06월 인천교육청

[eqn: x`(2+3i)+y`(5-i)`=`39+16i`]를 만족하는 실수 [eqn: x`,`y`]의합 [eqn: x`+`y`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}``])

정답 [eqn: 12``]

[출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: 2x+5y=39] , [eqn: 3x-y=16]을 연립하면

[eqn: x=7], [eqn: y=5]

∴  [eqn: x+y=12]

▶2007년 07월 국가수준(3점)

등식 [eqn: {x} over {1-i} `+ {y} over {1+i} ` =4+5i``]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: x,~y``]에 대하여 [eqn: x ^{2} -y ^{2} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ③

주어진 식을 정리하면, [eqn: {x+y} over {2} + {x-y} over {2} i`=`4+5i`]이다.

복소수의 상등에 의해 [eqn: x+y`=`8,``x-y`=`10`]이므로

두 식을 각 변끼리 곱하면 [eqn: x^2 - y^2 = 80`]이다.

① [eqn: 65`]	② [eqn: 72`]	③ [eqn: 80`]
④ [eqn: 84`]	⑤ [eqn: 91`]

▶2007년 06월 인천교육청(3점)

실수 [eqn: x`,````y]가 [eqn: LEFT ( x+`i RIGHT ) ^{2} `+` LEFT ( 2+3i RIGHT ) ^{2} ``=``y`+`26`i`]를 만족할 때, [eqn: x+y]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} ``])

정답 [eqn: 50``]
[출제의도] 복소수의 상등 계산하기

실수 [eqn: x,````y`]에 대하여

[eqn: LEFT ( x+`i RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+3i RIGHT ) ^{2} =y+26`i`]이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} -6 RIGHT ) + LEFT ( 2x+12 RIGHT ) i=y+26i]

[eqn: x ^{2} -6=y`]이고 [eqn: 2x+12=26`]

따라서 [eqn: x=7,````y=43`]

[eqn: THEREFORE ``x+y=50`]

▶2005년 11월 전국연합(3점)

[eqn: (a+ 2i` )`(2-bi`) = 6+5i] 를 만족하는 두 실수 [eqn: a,~b`]에
대하여 [eqn: a^2 + b^2]의 값은?  (단, [eqn: i = root -1] )

정답 ⑤

[eqn: (a+2 i `)(2-bi `) = (2a +2b)+(4-ab)i` = 6 + 5i]에서

[eqn: a+b=3,~ ab = -1]이므로

[eqn: a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab `= 3^2 - 2times(-1)=11]

①  [eqn: 7]              ②  [eqn: 8]                ③  [eqn: 9]

④ [eqn: 10]              ⑤ [eqn: 11]

▶2006년 05월 경기도교육청(3점)

[eqn: (1+i`)z= bar{z+i}]를 만족시키는 복소수[eqn: z=a+bi``]에 대하여

[eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오. (단,[eqn: bar z]는[eqn: z]의 켤레복소수이고 [eqn: i=root{-1}]이다.)

정답 [eqn: 1]

[eqn: z=a+bi]라 하면 [eqn: bar z =a-bi]이고

[eqn: (1+i)z= barz -i]

[eqn: (1+i)(a+bi)=a-(b+1)i]

[eqn: (a-b)+(a+b)i=a-(b+1)i]

[eqn: cases{ a-b=a``~~~~`……``①& # a+b=-b-1``……``②& }]

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b=0]

[eqn: ∴``a^2 + b^2 =1]

▶2005년 11월 전국연합(3점)

복소수 [eqn: z_1 , ~ z_2]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: bar z_2]는 [eqn: z_2]의 켤레복소수이다.)

정답 ③

[eqn: z_1 = a+bi ,~ z_2 = c+di`]([eqn: a,b,c,d`]는 실수)라하면

[eqn: bar z_2 = c-di`] 이고 [eqn: z_1 = bar z_2]에서 [eqn: a+bi = c-di] 이므로

[eqn: a=c,~ b = -d`]

ㄱ. [eqn: z_1 + z_2 = (a+c)+(b+d`)i=2a] : 참

ㄴ. [eqn: z_1 z_2 = (a+bi`)(c+di `)=(a+bi`)(a-bi`)=a^2 + b^2 =0]

이면 [eqn: a=b=0]이므로 [eqn: z_1 = 0] : 참

ㄷ. 반례) [eqn: z_1 = 1+i `,~z_2 = 1-i] : 거짓

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: z_1 = bar z_2]이면 [eqn: z_1 + z_2]는 실수이다. ㄴ. [eqn: z_1 = bar z_2]일 때, [eqn: z_1 z_2 =0]이면 [eqn: z_1 =0]이다. ㄷ. [eqn: {z_1} ^2 + {z_2} ^2 = 0]이면 [eqn: z_1 =0]이고 [eqn: z_2 =0]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 10월 성취도평가(3점)

실수가 아닌 복소수 [eqn: z`] 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[eqn: (`]단, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수[eqn: )`]

정답 ③

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: z=a+bi][eqn: (b != 0)]에서 [eqn: z- bar{z} =2bi]이므로

순허수 (참)

ㄴ. [eqn: z alpha]가 실수가 되는 복소수 [eqn: alpha]는 [eqn: bar{z}] 이외에  [eqn: 0]도 있다. (거짓)

ㄷ. [eqn: z+ {1} over {z} = LEFT ( a+bi RIGHT ) + {1} over {a+bi}]이 실수이기 위해

허수부분 [eqn: {b(a ^{2} +b ^{2} -1)} over {a ^{2} +b ^{2}} =0], [eqn: b != 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{2} +b ^{2} -1=0] 즉 [eqn: z bar{z} =1] (참)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: z- bar{z} `]는 순허수이다.

ㄴ. [eqn: z` alpha `]를 실수가 되게 하는 복소수 [eqn: alpha `]의 개수는 한 개이다.

ㄷ. [eqn: z+ {1} over {z} `]이 실수일 때, [eqn: z` bar{z} =1`]이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ , ㄷ
④ ㄴ , ㄷ	⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

▶2009년 11월 경기교육청(3점)

복소수 [eqn: z`]를 입력하면 [eqn: z over i `]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z``'`]이 출력되는 연산장치가 있다.

이 연산장치에 처음 [eqn: z_o =a+b`i`]를 입력하였더니 [eqn: {z_0} over i]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z_1]이 출력되었다. 다시 이 연산장치에 [eqn: z_1]을 입력하였더니 [eqn: {z_1} over i]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z_2]가 출력되었다. 이와같은 과정을 계속하여 [eqn: {z_3} ,~{z_4},~{z_5},``cdots]이 출력되었다. [eqn: z_2009 =2+`i`]일 때, [eqn: a-b`]의 값은?(단, [eqn: i=root-1 `]이고, [eqn: a,~b`]는 실수이다.)

정답 ①

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질을 이해하기

복소수 [eqn: z_0]를 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z _{1} = {z _{0}} over {i}]가 출력된다. 출력된 값 [eqn: z _{1}]을 다시 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z_2 = z_0 overi^2]가 출력된다. [eqn: z_2]를 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z_3 = z_0 overi^3]가 출력된다. 이와 같은 과정을 계속해 나갈 때, [eqn: z_2009 = z_0 overi^2009]가 출력된다.

한편, [eqn: i^2009 =(i^4 )^502 cdoti=i] [eqn: ( BECAUSE `i ^{4}=1)]이므로

[eqn: z _{2009} = {z_0} over {i} =2+i]이다. 그러므로

[eqn: z_0 =(2+i)cdoti=-1+2i=a+bi]에서

[eqn: a,``b]가 실수이므로 [eqn: a=-1], [eqn: b=2]이다.

따라서 [eqn: a-b=-3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

▶2007년 06월 인천교육청(3점)

표는 연산장치에 대한 설명이다.

연산장치	설 명
[eqn: bar{z}] [eqn: z]	복소수 [eqn: z]를 입력하면 [eqn: bar{z}]가 출력 (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수)
[eqn: {1} over {z}] [eqn: z]	[eqn: 0]이 아닌 복소수 [eqn: z]를 입력하면 [eqn: {1} over {z}]이 출력
[eqn: z _{2}] [eqn: z _{1} `+z _{2}] [eqn: z _{1}]	복소수 [eqn: z _{1} ,``z _{2 _{}}]를 입력하면 [eqn: z _{1} `+z _{2}]가 출력

다음과 같이 연결된 연산 장치에 복소수 [eqn: 2+3i``]와 [eqn: {1+i} over {1-i} ``]를 입력하여 최종 출력되는 값을 [eqn: x+y`i]라 할 때, [eqn: x ^{2} `+`y ^{2}]의 값을  구하시오. (단, [eqn: x`,````y]는 실수, [eqn: i= sqrt {-1} ``])

정답 [eqn: 20``]
[출제의도] 복소수의 사칙연산 이해하기

[eqn: 2+3i`]의 켤레복소수는 [eqn: 2-3i]

[eqn: {1+i} over {1-i} `=i]의 역수는 [eqn: -i`]

[eqn: LEFT ( 2-3i RIGHT ) + LEFT ( -i RIGHT ) =2-4i]이므로 [eqn: x=2,```y=`-4`]

[eqn: THEREFORE ``x ^{2} +y ^{2} =20`]

[eqn: 2+3i]

[eqn: {1+i} over {1-i}]

[eqn: x+y`i]

[eqn: a+bi]

[eqn: c+di]

▶2007년 03월 교육청(4점)

수직선 위에 자연수의 양의 제곱근[eqn: 1], [eqn: sqrt {2}], [eqn: sqrt {3} `], [eqn: 2`], [eqn: sqrt {5} `], [eqn: root6`], [eqn: sqrt {7} `], [eqn: root8`], [eqn: 3], … 에 대응하는 점을 나타내면 다음과 같다.

이렇게 나타낸 점은 [eqn: 1]과 [eqn: 2`] 사이에는 [eqn: 2`]개 있고, [eqn: 2`]와 [eqn: 3] 사이에는 [eqn: 4]개 있다. 이러한 점 중에서 [eqn: 2007`]과 [eqn: 2008] 사이에 있는 점의 개수는?

정답 ④

[출제의도] 제곱근의 뜻과 인수분해를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2007= sqrt {2007 ^{2}} `], [eqn: 2008= sqrt {2008 ^{2}} `]이므로

[eqn: 2007`]과 [eqn: 2008`] 사이에 있는 점에 대응하는 수는

[eqn: sqrt {2007 ^{2} +1}`], [eqn: sqrt {2007 ^{2} +2}`], [eqn: sqrt {2007 ^{2} +3}`], [eqn: CDOTS`], [eqn: sqrt {2008 ^{2} -1}`]

이다. 따라서 구하는 점의 개수는

[eqn: ( 2008` ^{2} -1 RIGHT ) - RIGHT ( 2007` ^{2} +1 RIGHT ) +1]

[eqn: = LEFT ( 2008` ^{2} -2007` ^{2} )-1 RIGHT .]

[eqn: =(2008-2007)(2008+2007)-1``]

[eqn: =4015-1`]

[eqn: =4014`]

① [eqn: 4010`]	② [eqn: 4012`]	③ [eqn: 4014`]
④ [eqn: 4016`]	⑤ [eqn: 4018`]

▶2005년 3월 부산교육청(4점)

다음 [보기]의 내용 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ①

ㄱ. [eqn: (-4)^2]의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근이 있다.

그 중 음의 제곱근은[eqn: -sqrt{(-4)^2``}=-sqrt{16``}=-4]이다. (○)

ㄴ. [eqn: (-7)^2 =49]이므로 [eqn: -7]은 [eqn: 49]의 제곱근이다.   (×)

ㄷ. [eqn: 0`<`a`<`1]이므로 [eqn: a-1`<`0]

[eqn: (준식)= LEFT | a`` RIGHT | - LEFT | a-1`` RIGHT | =a+(a-1)=2a-1]     (○)

ㄹ. [eqn: a`<`0], [eqn: b`>`0]이므로

[eqn: (준식)&= LEFT | 2a`` RIGHT | + LEFT | b`` RIGHT | - LEFT | a`` RIGHT | -b] (×)

[eqn: =-2a+b+a-b=-a]

ㄱ. [eqn: (-4)^2`] 의 음의 제곱근은 [eqn: -4] 이다.

ㄴ. [eqn: -7] 은 [eqn: -49] 의 제곱근이다.

ㄷ. [eqn: 0`<`a`<`1]일 때,

[eqn: sqrt{a^2``}-sqrt{(a-1)^2``}=2a-1]

ㄹ. [eqn: a`<`0], [eqn: b`>`0] 일 때,

[eqn: sqrt{(2a`)^2``}+sqrt{(-b`)^2``}-sqrt{a^2``}-(-sqrt{b``})^2 =-b`]

[ 보 기 ]

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ     ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

▶2014년 3월 교육청[4점](고2)

좌표평면 위의 점 [eqn: {\P}(x,``y)]에 대하여 복소수 [eqn: z]를

정답 [eqn: 6]

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: z^2]이 실수이려면 [eqn: z]는 실수이거나 순허수이다.

∴ [eqn: x+y-2=0] 또는 [eqn: 4x+y-8=0]

따라서 점 [eqn: {rmP}(x,``y)]가 나타내는 도형은 그림과 같이 두 직선 [eqn: x+y-2=0], [eqn: 4x+y-8=0]이고, 이 두 직선과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: { 1} over { 2}times6times2=6]

[참고] 복소수 [eqn: z=a+bi]([eqn: a]와 [eqn: b]는 실수)에 대하여

[eqn: z^2 =(a+bi)^2][eqn: =a^2 -b^2 +2abi]

이므로 [eqn: z^2]이 실수이기 위한 필요충분조건은

[eqn: 2ab=0], 즉 [eqn: a=0] 또는 [eqn: b=0]

[eqn: a=0], [eqn: b!=0]이면 [eqn: z^2]은 음수

[eqn: a!=0], [eqn: b=0]이면 [eqn: z^2]은 양수

[eqn: a=0], [eqn: b=0]이면 [eqn: z^2 =0]

[eqn: z=(x+y-2)+(4x+y-8)i]

라 하자. [eqn: z ^{2}]이 실수가 되도록 하는 점 [eqn: \P]가 나타내는 도형과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt { -1}])

▶2008년 09월 서울교육청(4점)

두 복소수 [eqn: alpha`], [eqn: beta ``] 를 [eqn: alpha `=` {sqrt {3} `+`i} over {2} ``], [eqn: beta ``=` {1`+` sqrt {3} `i} over {2} ``]라 할 때  [eqn: alpha ^{`m} `․`` beta ^{``n} `=`i``] 를 만족시키는 [eqn: 10``]이하의 자연수 [eqn: m`], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: m``+`2`n``]의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: i`=` sqrt {-1} ``]이다.)

정답 [eqn: 27]

[출제의도] 복소수의 성질을 이해하고, 주어진 식의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha `=` {sqrt {3} `+`i} over {2}]에서 [eqn: alpha ^{2} `=` LEFT ( {sqrt {3} `+`i} over {2} ` RIGHT ) ^{2} = {1`+` sqrt {3} `i} over {2} `=` beta]  [eqn: CDOTS `㉠]

[eqn: alpha ^{3} `=` LEFT ( {sqrt {3} `+`i} over {2} ` RIGHT ) ^{3} `=`i] [eqn: CDOTS `㉡]

[eqn: alpha ^{12} `=`(` alpha ^{3} `) ^{4} `=`i ^{4} `=`1``] [eqn: CDOTS `㉢]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: alpha ^{m} ` beta ^{`n} `=` alpha ^{m} `( alpha ^{2} `) ^{n} `=` alpha ^{m+2n} `]

[eqn: `㉡]에서 [eqn: alpha ^{m} ` beta ^{`n} `=` alpha ^{`m+2n} ``=`i``]을 만족하는 [eqn: m`+`2n``]의 값 중 최소인 자연수는 [eqn: 3``]이고 [eqn: ㉢]에 의해 [eqn: m`+`2n``]이 가질 수 있는 값은 [eqn: 3`,`15`,`27`,`39`,` CDOTS]이다.

그런데 [eqn: m], [eqn: n]은 각각 [eqn: 10``]이하의 자연수이므로 [eqn: m+2n <= 30]이다.

∴ [eqn: m`+`2n`=`3`,``15,``27``]

따라서 구하는 최댓값은 [eqn: 27``]이다.

그림과 같이 [eqn: BOLD{rm bar AB =2`}], [eqn: BOLD{rm bar BC =4`}]인 직사각형과 선분 [eqn: BOLD{rm BC`}]를 지름으로 하는 반원이 있다. 직사각형 [eqn: BOLD{rm ABCD`}]의 내부에 있는 한 점 [eqn: BOLD{rm P`}]에서 선분 [eqn: BOLD{rm AB`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: BOLD{rm Q`}], 선분 [eqn: BOLD{rm AD`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: BOLD{rm R`}]라고 할 때, 다음 두 물음에 답하시오.

▶2013년 6월 교육청[4점]

[eqn: rm bar{PQ} `], [eqn: rm bar{PR} `]가 모두 자연수인 반원 내부의 점 [eqn: rm P`]에 대하여  다음과 같이 정의한다.

정답 ③

점 [eqn: rm P`]가 반원 내부의 점이면서 선분 [eqn: rm PQ`]와 선분 [eqn: rmPR`]의 길이가 모두 자연수이므로

[eqn: bar{rm PQ it} =1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이고 [eqn: bar{rmPR}=1`]

즉, [eqn: S=1+i,``2+i,``3+i"]

[eqn: (1+i)+(2+i)+(3+i)=(1+2+3)+(1+1+1)i]

[eqn: =6+3i]

[eqn: p=6], [eqn: q=3]

따라서 [eqn: p+q=9]

[eqn: S=a+bi``] (단, [eqn: ``a= {rm bar{PQ} }], [eqn: b= rmbar PR])

위 조건을 만족하는 모든 [eqn: S] 합이 [eqn: p+q`i`]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? (단 [eqn: p`], [eqn: q`]는 실수이고 [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.)

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]

④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

▶2013년 6월 교육청[4점]

호 [eqn: rm BC`]위에 있는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직사각형 [eqn: rm AQPR`]의 둘레의 길이는 [eqn: 10`]이다. 직사각형 [eqn: rm AQPR`]의 넓이는?

정답 ②

호 [eqn: rmBC`]위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: bar{ rm PQ}=x`], [eqn: bar{rmPR}=y`]라고 하면

직사각형 [eqn: rmAQPR`]의 둘레의 길이는 [eqn: 10`]이므로

[eqn: 2(x+y)=10] … ㉠

점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하고

선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라고 하면

[eqn: bar{rmPH}=2-y`], [eqn: bar{rmMH}=x-2`]

직각삼각형 [eqn: rmPMH`]에서 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: 4=(2-y) ^{2} +(x-2) ^{2}]

[eqn: =x ^{2}+y^2 -4(x+y)+8]

[eqn: =(x+y)^2 -2xy-4(x+y)+8]

㉠에서 [eqn: x+y=5`]이므로

[eqn: 4=25-2xy-20+8]

[eqn: 2xy=9]

따라서 [eqn: xy= {9} over {2}]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

▶2006년 06월 인천교육청(4점)

[eqn: z] 가 복소수일 때, [보기] 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: bar{z}] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수)

정답 ①

[출제의도] 복소수와 켤레복소수의 성질 이해하기

복소수 [eqn: z=a+bi,``][eqn: bar{z} =a-bi](단, [eqn: a,``b]는 실수)라 하면

ㄱ. [eqn: z bar{z} =(a+bi)(a-bi)=a ^{2} +b ^{2} =0]

[eqn: {z} =0]   [eqn: ( BECAUSE ``a=b=0)]

∴[eqn: z bar{z} =0] 이면 [eqn: {z} =0] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: z ^{2} + LEFT ( bar{z} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a-bi RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =0]

[eqn: THEREFORE b=±a`]이므로 [eqn: z=a±ai`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: z=- bar{z} `]이므로 [eqn: a+bi=- LEFT ( a-bi RIGHT )]

[eqn: THEREFORE a=0`]이므로 [eqn: z=bi`]이다. (거짓)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: z bar{z} =0] 이면 [eqn: {z} =0] 이다. ㄴ. [eqn: z ^{2} +( bar{z} ) ^{2} =0] 이면 [eqn: {z} =0] 이다. ㄷ. [eqn: z=`- bar{z}```] 이면 [eqn: z```] 는 실수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▶2006년 06월 인천교육청(4점)

복소수 [eqn: z=a+bi] ([eqn: a,```b] 는 실수) 에 대하여 [eqn: << z >>]를 [eqn: << z >> =a ^{2} +b ^{2}] 로 정의할 때, [보기] 에서 옳은 것을

모두 고른 것은? (단, [eqn: bar{z}] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ④

[출제의도] 연산의 정의를 이해하고 그 연산의 성질 이해하기

복소수 [eqn: z=a+bi,``][eqn: bar{z} =a-bi](단, [eqn: a,``b]는 실수)라 하면

ㄱ.[eqn: <<3+4i>>=3 ^{2} +4 ^{2} =25] (참)

ㄴ. [eqn: << z+ bar{z} >> =4a ^{2}]

[eqn: LEFT ≪ z RIGHT ≫ + LEFT ≪ bar{z} RIGHT ≫ = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =2 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE << z+ bar{z} >> != << z >> + << bar{z} >>] (거짓)

ㄷ. [eqn: LEFT ≪ {1} over {z} RIGHT ≫ = LEFT ≪ {1} over {a+bi} RIGHT ≫]

[eqn: = LEFT ≪ {a} over {a ^{2} +b ^{2}} - {b} over {a ^{2} +b ^{2}} i RIGHT ≫]

[eqn: = LEFT ( {a} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {-b} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} = {1} over {a ^{2} +b ^{2}}]

[eqn: = {1} over {LEFT 《 z RIGHT 》}] (참)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: LEFT . << 3+4i >> =25] ㄴ.[eqn: LEFT . LEFT . << z+ bar{z} >> = << z >> + << bar{z} >> RIGHT . RIGHT .] ㄷ. [eqn: ` left<< {1} over {z} right>> = {1} over {<< z >> }] (단, [eqn: z != 0])

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▶2013년 11월 서울[4점]

두 복소수 [eqn: z _{1} = {sqrt {2}} over {1+i} `], [eqn: z _{2} = {-1+ sqrt {3} i} over {2} `]에 대하여
[eqn: z _{1} ^{```n} =z _{2} ^{```n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.
(단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 [eqn: 24]

[eqn: z _{1} = {sqrt {2}} over {1+i} `= {1-i} over {sqrt {2}}], [eqn: z _{1} ^{```2} =-i], [eqn: z _{1} ^{````3} = {-i-1} over {sqrt {2}}], [eqn: z _{1} ^{````4} =-1`], [eqn: cdots], [eqn: z _{1} ^{```8} =1], [eqn: CDOTS]

[eqn: z _{2} = {-1+ sqrt {3} i} over {2} `], [eqn: z _{2} ^{````2} = {-1- sqrt {3} i} over {2}],

[eqn: z _{2} ^{````3} =1`], [eqn: CDOTS `]

[eqn: z _{1} ^{```n} =z _{2} ^{```n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 8]과 [eqn: 3]의
공배수이다.

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 24]

▶2007년 05월 교육청(4점)

복소수 [eqn: z```]의 켤레 복소수 [eqn: bar z = 1 over i ```]일 때,   [eqn: 1+2z +3z^2 +4z^3 +…+10z^9`` = `a+bi```]를 만족하는 두 실수   [eqn: a, ``b ```]에 대하여 , 두수의 곱 [eqn: a`b```]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: i= root -1])

정답 [eqn: 30``]

[출제의도]켤레복소수의 성질을 이해하고 식의 값 계산하기

[해설]

[eqn: bar z = 1 over i = i over i^2 = -i] 이므로 [eqn: z = i]

[eqn: 1+2z+3z ^{2} +4z ^{3} +···+10z ^{9}]

[eqn: =1+2i+3i ^{2} +4i ^{3} +···+10i ^{9}]

[eqn: =1+2i-3-4i+5+6i-7-8i+9+10i]

[eqn: =(1-3+5-7+9)+(2i-4i+6i-8i+10i)]

[eqn: =5+6i]

[eqn: THEREFORE ````ab=30]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

두 복소수 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가

정답 ③

[출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: alpha bar{alpha } ``= beta ` bar{beta `} ``=3`]에서 [eqn: {1} over {alpha } = {1} over {3} bar{alpha } `], [eqn: {1} over {beta } = {1} over {3} bar{beta `} `]이므로

[eqn: ( alpha + beta ) LEFT ( {1} over {alpha } + {1} over {beta } ` RIGHT ) `=( alpha + beta ) LEFT ( {1} over {3} bar{alpha } + {1} over {3} bar{beta `} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} ( alpha + beta ) LEFT ( bar{alpha } + bar{beta } RIGHT )= {1} over {3} ( alpha + beta ) LEFT ( ` bar{alpha + beta `} ` RIGHT ) = {1} over {3} TIMES 3=1]

[eqn: alpha baralpha ``=beta bar beta ``= 3`], [eqn: (alpha + beta ) (bar{alpha + beta})=3`]

을 만족할 때, [eqn: (alpha + beta ) left( 1over alpha + 1 over beta `right) `]의 값은? (단, [eqn: bar{alpha } `], [eqn: bar{beta } `]는 각각 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]의 켤레복소수이다.)

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

▶2010년 12월 교육청(4점)

복소수 [eqn: z = 1 over 2 - root 3 over 2 i]에 대하여 [eqn: z + z^2 + z^3 + cdots + z^2010 + z^2011] 의 값은? (단, [eqn: i = root -1]이다.)

정답 ②

[출제의도] 복소수의 거듭제곱을 계사나여 수의 규칙성 추론하기

[eqn: z= 1 over 2 - root 3 over 2 i]이므로

[eqn: z^2 = left( 1 over 2 - root 3 over 2 i right)^2 = - 1 over 2 - root 3 over 2 i]

[eqn: z^3 = left( 1 over 2 - root 3 over 2 i right)^3 = -1]

[eqn: z^4 = z^3 z = - z = - 1 over 2 + root 3 over 2 i]

[eqn: z^5 = z^4 z = - z^2 = - left( - 1 over 2 - root 3 over 2 i right)^2 = 1 over 2 + root 3 over 2 i]

[eqn: z^6 = z^5 z = -z^3 = -(-1) = 1]이므로 [eqn: 1 over 2 - root 3 over 2 i]

[eqn: - 1 over 2 - root 3 over 2 i , ````-1 , ````- 1 over 2 + root 3 over 2 i , ```` 1 over 2 + root 3 over 2 i]

[eqn: 1]이 규칙적으로 반복됨을 알 수 있다.

따라서 [eqn: z+ z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^ 6 = 0]이고

[eqn: z+ z^2 + z^3 + cdots + z^2011 = z^2011 = z = 1 over 2 - root 3 over 2 i]이다.

① [eqn: - 1 over 2 + root 3 over 2 i]	② [eqn: 1 over 2 - root 3 over 2 i]	③ [eqn: 1 over 2 + root 3 over 2 i]
④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

▶2010년 월 인천교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: 1] 부터 [eqn: 100] 까지의 수가 차례로 적힌 게임판이 있다.

출발점에 말을 놓고 다음 <게임 규칙>에 따라 게임을 진행한다.

정답 ②

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질이해하기

[eqn: n=1,2,3,4,5,6] 에 대하여

[eqn: z ^{1} =2i], [eqn: z ^{2} =-4], [eqn: z ^{3} =-8i], [eqn: z ^{4} =16], [eqn: z ^{5} =32i], [eqn: z ^{6} =-64] 이므로

말은 [eqn: n=2]일 때 [eqn: 4]칸, [eqn: n=4]일 때 [eqn: 16]칸, [eqn: n=6]일 때 [eqn: 64]칸만큼 칸을 이동한다.

[eqn: 100=64 TIMES 1+16 TIMES 2+4 TIMES 1] 이므로 출발점에서 시작하여 주사위를 최소 [eqn: 4]번 던지면 말이 [eqn: 100]이 적혀있는 칸에 도착한다.

[규칙 [eqn: 1]] 주사위를 던져 나온 눈의 수를 [eqn: n]이라 할 때,

복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z ^{n}]을 계산한다.

[규칙 [eqn: 2]] [eqn: z ^{n}] 이 실수이면 말은 [eqn: LEFT | z ^{n} RIGHT |] 만큼 칸을 이동하고,

[eqn: z ^{n}] 이 허수이면 말은 이동하지 않는다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

복소수 [eqn: z=2i] 에 대하여 게임을 진행하였다. 말이 [eqn: 100] 이 적혀있는 칸에 도착할 때까지 주사위를 던진 횟수를 [eqn: a] 라 할 때, [eqn: a] 의 최솟값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2011년 06월 서울교육청(4점)

복소수 [eqn: alpha =(2-n-5i) ^{2} `]에 대하여 [eqn: alpha ^{2}`]이 음의 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 [eqn: 7]

[출제의도] 복소수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha=(2-n-5i) ^{2} `]

[eqn: =`2 ^{2} +(-n) ^{2} +(-5i) ^{2} +`2(-2n`+5 n i -10i)`]

[eqn: `=`4+n ^{2} +25i ^{2} -4n`+10n i-20i`][eqn: `=`(4+n ^{2} -25-4n)`+(10n-20)i`]

[eqn: `=`(n ^{2} -4n-21)`+10(n-2)i`]

복소수 [eqn: alpha ^{2} `]이 음의 실수가 되려면 [eqn: alpha `]는 순허수가 되어야 한다.

그러므로 [eqn: n ^{2} -4n-21=0`]이고 [eqn: n-2 != 0`]이다.

즉, [eqn: (n-7)(n+3)=0`], [eqn: n != 2`]에서 [eqn: n=`7`] 또는 [eqn: -3]

그런데 [eqn: n`]은 자연수이므로 음수가 될 수 없다.

∴ [eqn: n=7`]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

등식

정답 [eqn: 25]

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: i ^{n} = {cases{`````i&``(`n=4k-3``일``때)#-1&``(`n=4k-2``일``때)#-i&``(`n=4k-1``일``때)#````1&``(`n=4k``일`때)}}]

이므로

[eqn: {1} over {i} - {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} - {1} over {i ^{4}} + CDOTS + {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}}]

[eqn: =`-i+1+i-1+ CDOTS + {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}} `]

[eqn: = {cases{````-`i&``(`n=4k-3``일``때)#1-i&``(`n=4k-2``일``때)#`````1&``(`n=4k-1``일``때)#`````0&``(`n=4k``일`때)}}]

따라서 주어진 등식을 만족하는 [eqn: n`]의 값은 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: n=4k-2]일 때이다.

[eqn: 0<4k-2 LEQ 100]

[eqn: {2} over {4} <k LEQ {102} over {4} ``]이므로 식을 만족하는 자연수 [eqn: k`]는

[eqn: 1,`2,```3,~ CDOTS `,~25] 이다.

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 25]개

[eqn: {1} over {i} - {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} - {1} over {i ^{4}} +` CDOTS `+ {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}} `=1-i`]

가 성립하도록 하는 [eqn: 100`] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

▶2011년 06월 서울교육청(4점)

복소수 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 [eqn: alpha ^{2} =2i`], [eqn: beta ^{`2} =-2i`]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답 ①

[출제의도] 복소수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (거짓)

[eqn: ( alpha beta ) ^{2} =alpha ^{2} beta ^{2} =(2i)(-2i)=4`]이므로  [eqn: alpha beta =2`] 또는 [eqn: alpha beta =-2`]이	다.

ㄴ. (참)

[eqn: ( alpha beta ) ^{2} =4`]에서 [eqn: alpha beta =2`] 또는 [eqn: alpha beta =-2`]이다.

그런데 조건에 의해 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =0`]이므로

[eqn: ( alpha + beta ) ^{2} = alpha ^{2} + beta ^{2} +2 alpha beta =2 alpha beta `]

따라서

[eqn: ( alpha + beta ) ^{4} =(2alpha beta)^2`= 4 alpha^2 beta^2 =16`]

ㄷ. (거짓) [eqn: (alpha+beta) ^{2} =alpha ^{2} +2alpha`beta+beta ^{2}`]이고

[eqn: ( alpha - beta ) ^{2} = alpha ^{2} -2 alpha ` beta + beta ^{2}`]이므로

[eqn: LEFT ( {alpha + beta } over {alpha - beta } RIGHT ) ^{2} = {LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{2}} over {(alpha-beta) ^{2}} = {alpha ^{2} + beta ^{2} +2 alpha beta } over {alpha ^{2} + beta ^{2} -2 alpha beta } =-1`]

제곱한 수가 음수이므로 [eqn: {alpha + beta } over {alpha - beta }`]는 실수가 아니다.

이상에서 옳은 것은 ㄴ이다.

[다른 풀이]

[eqn: alpha=a+b`i`]([eqn: a`], [eqn: b`]는 실수)라 하고 [eqn: alpha ^{2} =2i`]에 대입하여 정리하면

[eqn: alpha ^{2} =(a+bi) ^{2} `][eqn: =(a ^{2} -b ^{2} )+2ab`i=2`i`]

그러므로 두 수의 실수부분을 비교하면 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =0`]에서 [eqn: (a-b)(a+b)=0`]이 되어 [eqn: a+b=0`] 또는 [eqn: a-b=0`]이다. 즉, [eqn: a=-b`] 또는 [eqn: a=b]

또 두 수의 허수부분을 비교하면 [eqn: ab=1`]이다.

그러므로 [eqn: a=-b]에서 [eqn: a`]대신 [eqn: -b`]를 대입하면 [eqn: -b ^{2} =1`]

그런데 [eqn: b`]는 실수이므로 [eqn: b ^{2} =-1`]이 될 수 없다.

이번에는 [eqn: a=b`]에서  [eqn: a`]대신 [eqn: b`]를 대입하면 [eqn: b ^{2} =1`]이다.

즉, [eqn: b=1`]또는 [eqn: b=-1`]

그러므로 [eqn: a=1`], [eqn: b=1`]일 때 [eqn: alpha =1+`i`]이고

[eqn: a=-1`], [eqn: b=-1`]일 때 [eqn: alpha =-1-`i`]이다.

마찬가지로 [eqn: beta=c+d`i`]([eqn: c`], [eqn: d`]는 실수)라 하고 [eqn: beta ^{2} =-2i`]에 대입하여 [eqn: beta`]를 구하면

[eqn: beta=1-`i`] 또는 [eqn: beta=-1+`i`]

ㄱ. (거짓) [eqn: alpha =1+`i`], [eqn: beta=-1+`i`]이면 [eqn: alphabeta=-2`]이다.

ㄴ. (참)

[eqn: alpha + beta `]의 값은 [eqn: 2`], [eqn: -2`], [eqn: 2`i`], [eqn: -2`i`]가 될 수 있으므로 [eqn: ( alpha + beta ) ^{4} =16]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: alpha beta =2`] ㄴ. [eqn: ( alpha + beta ) ^{4} =16`] ㄷ. [eqn: {alpha - beta } over {alpha + beta }]는 실수이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▶2006년 05월 경기도교육청(4점)

복소수[eqn: z={1+i}over{1-i}]에 대하여 [eqn: 1over z + 2 over z^2 + 3over z^3 + cdots + 100 over z^100 =x+yi``]가 성립할 때, [eqn: x+y]의 값을 구하시오. (단, [eqn: x],[eqn: y]는 실수이고[eqn: i=root-1]이다.)

정답 [eqn: 100]

[eqn: z=i]이므로

[eqn: 1over i + 2over i^2 + 3over i^3 + 4overi^4 =-i-2+3i+4=2+2i]

[eqn: 5 over i^5 + 6 over i^6 + 7 over i^7 + 8over i^8 =5i-6+7i+8=2+2i]

⋮

[eqn: 97 over i^97 + 98 over i^98 + 99overi^99 + 100 over i^100 =-97i-98+99i+100=2+2i]

[eqn: ∴``1overi + 2 over i^2 + ``…``+ 100 over i^100 =(2+2i)times25=50+50i]

[eqn: ∴``x+y=100]

▶2007년 11월 교육청(4점)

[eqn: 200]이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( {sqrt {3} +i} over {2}RIGHT ) ^{n} =`-1`]을 만족시키는 [eqn: n]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}] )

정답 [eqn: 17]

[출제의도] 복소수 계산하기

[해설] [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^2 = { 1+ root3 i} over 2],  [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^3 = i],  [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^6 =-1]

따라서 [eqn: `n=12k+6(k=0,~1`~,~2,~ cdots)`]일 때, [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^n =-1]

[eqn: 1<= 12k+6<=200`]을 만족하는 [eqn: k`]는 [eqn: 0,~1,~2,~cdots,~16]

[eqn: therefore] [eqn: 17`]개

▶2007년 10월 서울시교육청(4점)

복소수 [eqn: z`=` {3`+`root{2}`i}over{root{2}`-`3`i}`]에 대하여	[eqn: omega`=`{z`(1`-`bar{z}`)}over{root{2}}`] 라 할 때, [eqn: omega ^{``n} `=`1`]을 만족시키는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n``]의 개수는? (단, [eqn: i`=`root{-1}`]이고, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.)

정답 [eqn: 12``]

[출제의도] 복소수를 계산하여 복소수의 거듭제곱이 갖는 값을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: z`=` {3`+`root{2}`i}over{root{2}`-`3`i}`]

[eqn: =`{(3`+`root{2}`i)(root{2}`+`3`i)}over{(root{2}`-`3`i)(root{2}`+`3`i)}`]

[eqn: =`i`]

[eqn: omega`=`{i`"{"1`-(-`i)"}"}over{root{2}}`]

[eqn: ={i`(1`+`i)}over{root{2}}`]

[eqn: =`{-1`+`i}over{root{2}}``]

[eqn: omega ^2 =` left({-1`+`i}over{root{2}}`` right)^2][eqn: =`-2i over 2 `=` -i]

∴ [eqn: omega^{4}`=`-1`], [eqn: omega^{8}`=`1`]

따라서 [eqn: n`]이 [eqn: 8`]의 배수일 때 [eqn: omega^{n}`=`1`]이다.

구하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 8,~16,~24,~cdots,~96]이므로 [eqn: 12`]개이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 25]

▶2006년 11월 경기도교육청(4점)

복소수 [eqn: (a^2 +3a+2)+(a^2 +2a)i``]를 제곱하면 음의 실수가 된다. 이 때, 실수 [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: i= SQRT { -1`}])

정답 ③

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: z=x+yi]([eqn: x], [eqn: y]는 실수)일 때, [eqn: z^2 = x^2 -y^2 +2xyi]에서

[eqn: z^2]이 음의 실수가 되려면 [eqn: x=0], [eqn: y !=0]이다.

복소수 [eqn: (a ^{2} +3a+2)+(a ^{2} +2a)i]가 순허수이어야 하므로

[eqn: a ^{2} +3a+2=0]이고  [eqn: a ^{2} +2a != 0]

∴ [eqn: a=-1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

▶2012년 6월 서울교육청(4점)

[eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {sqrt {b}} over {sqrt {a}} =`- sqrt {{b} over {a}}]

(나) [eqn: LEFT | ``a``+`b`` RIGHT | ``+` LEFT | ``a``+`c``-1`` RIGHT | ``=`0]

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 대소 관계로 옳은 것은?

정답 ①

[출제의도] 음수의 제곱근과 절댓값의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: 0`]이 아닌 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여

(가)에서 [eqn: {sqrt {b}} over {sqrt {a}} =`- sqrt {{b} over {a}}]이 성립하려면

[eqn: a<0`]이고 [eqn: b>0`]이어야 한다.

(나)에서 [eqn: |``a+b``|+|``a+c-1``|=0``]이 성립하려면

[eqn: |``a+b``|ge0], [eqn: |``a+c-1` | ge 0]이므로

[eqn: a+b=0], [eqn: a+c-1=0``]이어야 한다.

곧 [eqn: b=`-a], [eqn: c=`-a+1=b+1``]이므로

[eqn: a<b<c``]이다.

[참고]

음수의 제곱근에 대하여 다음 성질이 성립한다.

실수 [eqn: a,``b``]에 대하여

[eqn: a<0,~b<0]일 때, [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =`- sqrt {ab}]

[eqn: a<0,~b>0]일 때, [eqn: {sqrt {b}} over {sqrt {a}} =`- sqrt {{b} over {a}}]

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

▶2012년 6월 서울교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: 6`]개의 면에 각각 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 2i], [eqn: 1+i`]가 적힌 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 [eqn: n`]번 던져서 나온 수들을 모두 곱하였더니 [eqn: -32`]가 되었다. 가능한 모든 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

정답 18

[출제의도] 복소수의 거듭제곱을 이용하여 수학 외적 문제를 해결한다.

[eqn: (`1+i`) ^{2} =1+2i+i ^{`2}][eqn: =2i]

[eqn: (`2i`) ^{2} =4i ^{`2}][eqn: =`-4]

[eqn: (`1+i`) ^{2} TIMES 2i=2i TIMES 2i][eqn: =`-4]

주사위를 던져 [eqn: 0], [eqn: 3,] [eqn: 5`]가 적어도 한 번 나오면 [eqn: -32`]가 나올 수 없다. 그리고 [eqn: 32= 2^5]이므로 주사위는 최소한 [eqn: 5]번 이상 던져야 한다.

(ⅰ) 주사위를 [eqn: 5]번 던지는 경우

[eqn: 2]가 [eqn: 3]회, [eqn: 2i]가 [eqn: 2]회 나오면

[eqn: (`2`) ^{3} TIMES (`2i`) ^{2} =8 TIMES (-4)] [eqn: =`-32]

(ⅱ) 주사위를 [eqn: 6]번 던지는 경우

[eqn: 2]가 [eqn: 3]회, [eqn: 1+i]가 [eqn: 2]회, [eqn: 2i]가 [eqn: 1]회 나오면

[eqn: 2 ^{3} TIMES (1+i) ^{2} TIMES 2i=8 TIMES 2i TIMES 2i] [eqn: =`-32]

(ⅲ) 주사위를 [eqn: 7]번 던지는 경우

[eqn: 2]가 [eqn: 3]회, [eqn: 1+i]가 [eqn: 4]회 나오면

[eqn: 2 ^{3} TIMES (`1+i`) ^{4} =8 TIMES (`2i`) ^{2}] [eqn: =`-32]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 가능한 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 5,``6,``7``]이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: 5+6+7=18]

▶2012년 9월 인천교육청(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 복소수 [eqn: z _{n} = LEFT ( {sqrt {2} i} over {1+i} RIGHT ) ^{n} `]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

정답　⑤

[출제의도] 복소수의 거듭제곱의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: z _{2} = LEFT ( {sqrt {2} i} over {1+i} RIGHT ) ^{2} = {-2} over {2i} =i`](참)

ㄴ. [eqn: z _{2} =i`]이므로 [eqn: z _{6} =z _{2} ^{``3} =i ^{3} =-i=-z _{2}] (참)

ㄷ. [eqn: z _{8} =z _{2} z _{6} =1]이므로 [eqn: z _{n+8} =z _{n} `] (참)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: z _{2} =i] ㄴ. [eqn: z _{6} =`-z _{2}] ㄷ. [eqn: z _{n+8} =z _{n}]

① ㄱ                  ② ㄷ                 ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2012년 6월 서울교육청(4점)

[eqn: 0]이 아닌 세 복소수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: alpha + beta + gamma =0]

(나) [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } + {1} over {gamma } =0]

이때, [eqn: {gamma } over {alpha } + bar{LEFT ( {alpha } over {beta } RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: bar{LEFT ( {alpha } over {beta } RIGHT )}]는 [eqn: {alpha } over {beta }]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

정답 ②

[출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질을 이해하여 문제해결하기

(나)에서 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } =`- {1} over {gamma }], [eqn: {alpha + beta } over {alpha beta } =`- {1} over {gamma }]

(가)에서 [eqn: alpha + beta =`- gamma]이므로

[eqn: {- gamma } over {alpha beta } =`- {1} over {gamma }]

[eqn: alpha beta = gamma ^{`2} `] [eqn: CDOTSCDOTS ㉠]

같은 방법으로

[eqn: beta ` gamma = alpha ^{2} `] [eqn: CDOTSCDOTS ㉡]

[eqn: gamma ` alpha = beta ^{`2}] [eqn: CDOTSCDOTS ㉢]

(나)에서 [eqn: {alpha beta + beta ` gamma + gamma ` alpha } over {alpha beta ` gamma } =0]이므로

[eqn: alpha beta + beta ` gamma + gamma ` alpha =0]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡], [eqn: ㉢]에서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} + gamma ^{`2} =0]

[eqn: alpha ^{2} + alpha gamma + gamma ^{`2} =0] [eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

[eqn: ㉣]에서 양변을 [eqn: alpha ^{2}]으로 나누면

[eqn: LEFT ( {gamma } over {alpha } RIGHT ) ^{ 2}+ { gamma } over { alpha } +1=0]

[eqn: therefore] [eqn: {gamma } over {alpha } = {-1+ sqrt {3} i} over {2}] 또는 [eqn: {gamma } over {alpha } = {-1- sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: { alpha } over { beta }= { gamma } over { alpha }]이므로 [eqn: {gamma } over {alpha } + bar{LEFT ( {alpha } over {beta } ` RIGHT )} = {gamma } over {alpha } + bar{LEFT ( ` {gamma } over {alpha } ` RIGHT )}]이다.

따라서 [eqn: {gamma } over {alpha } + bar{LEFT ( {alpha } over {beta } ` RIGHT )} =`-1]

① [eqn: -i]	② [eqn: -1]	③    [eqn: 0]
④    [eqn: i]	⑤    [eqn: 1]

▶2007년 05월 교육청(4점)

복소수 [eqn: z=(1+2i)x-(2+i)y+1+2i```]에 대하여 [eqn: z^2 =-9```]일  때, [eqn: x+y```]의 값은? (단, [eqn: i= root -1], [eqn: x,``y```]는 실수이다.)

정답 ①

[출제의도]복소수의 성질 이해하기

[해설]

[eqn: z=(x-2y+1)+(2x-y+2)i]일 때

[eqn: z^2 = -9]이므로 [eqn: z=+-3i]

[eqn: x-2y+1=0], [eqn: 2x-y+2 = +- 3],

[eqn: therefore x=-3,``y=-1] 또는 [eqn: x=1,``y=1]

따라서, [eqn: x+y]는 -4 또는 2

① [eqn: -4``]또는 [eqn: 2``]	② [eqn: -3``] 또는 [eqn: 3``]	③ [eqn: -2``] 또는 [eqn: 2``]
④ [eqn: -2] 또는 [eqn: 4``]	⑤ [eqn: -1``] 또는 [eqn: 3``]

정답 및 풀이