◆ 급수 개념 정리

One Point Lesson #1 (무한급수 정오판별)                                                      Math Shin

Theme Math                                                                                                             No.

ex) 두 무한수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는대로 고른 것은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]이 모두 수렴하므로
[eqn: lim_{n -> inf} a_n = lim_{ n->inf} b_n =0]이다.	(거짓)

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf ( a_n +b_n )], [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n -b_n )] 이 모두 수렴하므로
[eqn: lim_{n -> inf} ( a_n + b_n ) = lim_{ n->inf} ( a_n - b_n )=0]이다.
[eqn: lim_{n -> inf} a_n = 1 over 2 lim_{ n->inf} left{ (a_n + b_n ) +(a_n -b_n ) right} =0]
[eqn: lim_{n -> inf} b_n = lim_{ n->inf} left{ (a_n +b_n ) -a_n right } =0]
따라서 두 수열 [eqn: left{a_n right]과 [eqn: left{b_n right]은 모두 수렴한다.	(참)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n], [eqn: b_n = (-1)^n+1]이면

[eqn: vert a_n +b_n vert =0 ,~ vert a_n -b_n vert =2]이므로 두 수열
[eqn: left{ left vert a_n + b_n right vert right], [eqn: left{ left vert a_n - b_n right vert right]이 모두 수렴하지만 수열 [eqn: left{a_n right]과 [eqn: left{b_n right]은 수렴하지 않는다.	(거짓)

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^inf a_n =1], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n =1] 이면 [eqn: lim_{n -> inf} a_n < lim_{ n->inf} b_n]이다.

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf ( a_n +b_n )], [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n -b_n )] 이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]도 모두 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{ left vert a_n + b_n right vert right], [eqn: left{ left vert a_n - b_n right vert right]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]도 모두 수렴한다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

ex) 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{b_n right}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta`]는 상수이다.)

정답 ③

ㄱ. (반례) [eqn: a_n = 3n +2], [eqn: b_n =3n]

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = 1 over 3n], [eqn: b_n = 1 over 2n]

ㄷ. 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n`]가 수렴하면 [eqn: lim_n->inf {`a_n}` = 0]

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: lim_n->inf {`a_n} = inf], [eqn: lim_n->inf {`b_n} = inf`]이면 [eqn: lim_n->inf {`left( a_n - b_n right)}` = 0`]이다.

ㄴ. [eqn: a_n < b_n], [eqn: lim_n->inf {`a_n} = alpha], [eqn: lim_n->inf {`b_n} = beta`]이면 [eqn: alpha < beta`]이다.

ㄷ. 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf `a_n = 3`]이면 [eqn: lim_n->inf {`a_n} = 0`]이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

ex) 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} -1),`` sum _{n=1} ^{INF } (`b _{n} +1)``]이 모두 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} -1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ``} =1``] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)```]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(b _{n} +1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} ``} =-1``]

따라서 [eqn: `` sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1),```` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]이 모두 수렴하므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)+`` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]

[eqn: =sum _{n=1} ^{INF }left{ (a _{n} -1 )+(b _{n} +1)``right] [eqn: =sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다. (참)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF }`` {a _{n} ``} =1``] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다.

ex) 무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

[출제의도] 무한수열과 무한급수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n}] 이 수렴이므로 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} =0]이고,

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} = beta] (상수)이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = lim _{n` -> INF } {} `a_n ×lim _{n` -> INF } {} `b_n = 0× beta =0] (참)

ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(2a _{n} +b_n right) =SUM from { { n}=1} to inf c_n = alpha],

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(a _{n} -2b_n right) = SUM from { { n}=1} to inf d_n =beta]라 하면

[eqn: a_n ={ 2c_n +d_n } over { 5} , b_n ={ c_n -2d_n } over { 5}]에서

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =SUM from { { n}=1} to inf{ 2c_n +d_n } over { 5} = { 2} over {5 } alpha+ { 1} over {5 } beta]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {c _{n} -2d _{n}} over {5} = { 1} over { 5} alpha- { 2} over {5 } beta]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} = (-1)^n ,``b_n =(-1)^n]

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} b _{n} =1]이지만 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` a _{n}]과 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` b _{n}]은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =alpha`], [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} =beta`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = 0`]이다. (단, [eqn: alpha`,```` beta`]는 상수) ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( 2 a _{n} +b_n RIGHT ) `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( a _{n} - 2b_n RIGHT ) `]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b _{n} `]이 수렴한다. ㄷ. [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} =alpha`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} `] 또는 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} `]이 수렴한다. (단, [eqn: alpha`]는 상수)

ex) 두 무한수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

Theme Math                                                                                                             No.

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질 이해하기

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{ a _{n} right}], [eqn: left{ b _{n} right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n -b_n )}=0] 이므로 [eqn: lim _{ n->inf}`` { a_n} -lim _{ n->inf} ``{ b_n}=0] (참)

ㄴ. 수렴하는 무한급수의 일반항 [eqn: a_n ,b_n]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }= lim _{ n->inf} { b_n}=0] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = { 1} over { n}], [eqn: b_n = n] 이라하면

[eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } }=0], [eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } ․`n}=1] 이지만 [eqn: lim _{ n->inf} { b_n}]이 수렴하는 것은 아니다. (거짓)

옳은 것은 ㄱ

		< 보 기 >
	ㄱ. 수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } left(a_n -b _{n}right)=0] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}=lim _{n -> INF } {b_n}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}= alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}= beta] 이고 [eqn: alpha>beta] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}>lim _{n -> INF } {b _{n}}] ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { a _{n} `b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} ``b _{n}]은 수렴한다.

ex) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x-1)(log _{2} `x) ^{n}`]이 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수의 수렴 조건 이해하기

ㄱ. [eqn: -1<log _{2} x<1``````` THEREFORE ` {1} over {2} <x<2] (참)

ㄴ.  [eqn: {(x-1)log _{2} x} over {1-log _{2} x} =1``,`````x`log _{2} x=`1]

[eqn: log _{2} x= {1} over {x}]이고 [eqn: y=log _{2} x``와```y= {1} over {x} `]의 그래프는 [eqn: {1} over {2} <x<2]인 범위 내에서 반드시 한 개의 교점이 생긴다. (참)

ㄷ.  [eqn: -1<log _{2} x<1`,```-2<log _{2} x-1<0``]

[eqn: -1< {log _{2} x-1} over {2} <0```] [eqn: THEREFORE `수렴]  (참)

		<보 기>
	ㄱ. 수렴하기 위한 [eqn: x]값의 범위는 [eqn: {1} over {2} < x < 2]이다. ㄴ. 무한급수의 합이 [eqn: 1]이 되도록 하는 [eqn: x]의 값은 한 개 존재한다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left( {log _{2} ``x``-1} over {2} right) ^{n}`]은 수렴한다.

ex) 두 수열 [eqn: \{ a_n \}`], [eqn: \{ b_n \}`]에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`=` alpha `], [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n )`=` beta `]라 하면

[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`=`sum_n=1 ^ ∞ `left{(a_n + b_n ) - a_n`)`right}]

[eqn: =`sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n`) - sum_n=1 ^ ∞ `a_n```]

[eqn: =` beta - alpha `] (수렴)  ∴ 참

ㄴ. [eqn: sum_{n=1}^inf``a_n``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`=0``],

[eqn: sum_{n=1}^inf``b_n``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n``->``inf}``b_n`=0``]

[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`b_n`=0``] ∴ 참

ㄷ. 반례 수열 [eqn: left{a_n`right}``]이 [eqn: 1`,``0`,``1`,``0`,``1`,`…``]

수열 [eqn: left{b_n`right}``]이 [eqn: 0`,``1`,``0`,``1`,``0`,`…``]

이면 [eqn: sum_{n=1}^inf``a_n`b_n``=0`](수렴)이지만

[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`!=`0``], [eqn: lim_{n``->``inf}``b_n`!=`0``]이다. ∴ 거짓

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		〈 보 기 〉
	ㄱ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`]과 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n )`]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`]도 수렴한다. ㄴ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`]과 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`]이 수렴하면 [eqn: lim_n->inf `a_n`b_n` `=`0`]이다. ㄷ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`b_n`]이 수렴하고 [eqn: lim_n→∞`a_n`` != ``0`]이면 [eqn: lim_n→∞`b_n`=`0`]이다.

ex) 두 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT { `b _{n} `RIGHT } ``]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?	(단, [eqn: alpha ``,~ beta``]는 실수이고, [eqn: n``]은 자연수이다.)

정답 ②

ㄱ. (반례) [eqn: a_{n} ``=`` {1} over {n}``], [eqn: b_{n} ``=``- {1} over {n} ``]이면 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이지만

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} ``=`` lim _{n -> INF } {} `b _{n} ``=``0``]

ㄴ. [eqn: alpha ``-`` beta ``=`` sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} ``-`` sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n}``] [eqn: =`` sum _{n`=`1} ^{INF } `(a _{n} ``-``b _{n} `)``][eqn: =`` lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k`=`1} ^{n} `(`a _{k} ``-``b _{k} `)``＞``0``]

(∵ 임의의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a _{k} ``＞``b _{k}``])	∴ [eqn: alpha ``＞`` beta ``](참)

ㄷ. 무한급수[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} ``]과 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} ``]의 합이 각각 존재하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} ``=`` lim _{n` -> ` INF } {} `b _{n} ``=``0``] (거짓)

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ``=` `alpha ``], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ``=`` beta ``]이면 [eqn: alpha ``>` `beta ``]이다. ㄴ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이고 [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} ``=`` alpha ``], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} ``=` `beta ``]이면 [eqn: alpha ``＞`` beta ``]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} ``=` `alpha ``], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} ``=`` beta ``]이고 [eqn: alpha ``＞` `beta ``]이면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ``＞`` lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ``] 이다.

ex) 두 무한등비수열 [eqn: \{ it a_n` \}], [eqn: \{ it b_n `\}]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 초항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]이라 하고

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 초항을 [eqn: b], 공비를 [eqn: s`]이라 하고

ㄱ. [eqn: -1`＜`r`＜`1,``-1`＜`s`＜`1]에서

수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]은 초항이 [eqn: ab`]이고, 공비가 [eqn: rs`]이므로

[eqn: -1`＜`rs`＜`1]에서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} `]은 수렴한다.         ∴ 참

ㄴ. [반례] [eqn: a _{n} `=`(-1) ^{n+1} ,``b _{n} `=`(-1) ^{n} `]이면

[eqn: a _{n} +b _{n} `=`0]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} +b _{n} )`=`0]              ∴ 거짓

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ^{3} RIGHT }]의 공비는 [eqn: r ^{3}]이므로

[eqn: -1`＜`r ^{3} `＜`1]에서 [eqn: -1`＜`r`＜`1]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} ^{3} RIGHT }]의 공비는 [eqn: s ^{3}]이므로

[eqn: -1`＜`s ^{3} `＜`1]에서 [eqn: -1`＜`s`＜`1]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=1} ^{INF } (a`+b _{n} )`= sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `+ sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `]은 수렴한다.         ∴ 참

		<보 기>
	ㄱ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n `` b_n `]은 수렴한다. ㄴ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 발산하면 [eqn: lim from { n -> inf }(a_n +b_n` )!=0]이다. ㄷ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n^{`3}`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n^{`3}`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ( a_n + b_n `)]은 수렴한다.

ex)  무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 성질 이해하기

ㄱ. (반례) 수열 [eqn: 1,~0,~1,~0,~1,~0,~ CDOTS]에서

[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n = 0 }]으로 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n]은 발산한다. (거짓)

ㄴ.[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n -> INF } {a _{n-1}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{2n}} = lim _{n -> INF } {a _{2n-1}}] (참)

ㄷ. (반례) 수열 [eqn: -1,~1,~- {1} over {2} ,~ {1} over {2} ,~- {1} over {3} ,~ {1} over {3} ,~ CDOTS]에서 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = 0]으로 수렴하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =` INF]이므로 발산한다. (거짓)

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]도 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}} = lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n-1}}]이다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}] 도 수렴한다.

ex) 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여
[eqn: a _{n} +`b _{n} `=`2``+` {1} over {n}] [eqn: (`n`=`1,``2,``3,`․`․`․)`]
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열과 무한급수의 수렴, 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n` -> INF } {left(a _{n} +b _{n} right)}`=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} right)}`=` 2] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} `=` alpha }]라고 하면 [eqn: b _{n} =2+ {1} over {n} -a _{n}]에서

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{n} `=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} -a _{n} right)`=`2- alpha }}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} `=`0`]이므로 ㄴ에 의해

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`2`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]은 발산한다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {(`a _{n}} `+`b _{n} )`=`2`] ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]도 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]도 수렴한다.

ex) [eqn: a _{1} =1], [eqn: 2a _{n+1} +a _{n} =2] (단,  [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])를 만족시키는   수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

ㄱ. [eqn: 2a _{n+1} +a _{n} =2]는

[eqn: 2 LEFT ( a _{n+1} - {2} over {3} RIGHT ) `=`- LEFT ( a _{n} - {2} over {3} RIGHT )]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} - {2} over {3} RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: {1} over {3}], 공비는 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. (참)

ㄴ. [eqn: a _{n} - {2} over {3} = {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}],  [eqn: a _{n} = {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} + {2} over {3}]

∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} + {2} over {3} RIGHT } = {2} over {3}] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} != 0]이므로 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } a _{n}]은 발산한다. (거짓)

		<보 기>
	ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} - {2} over {3} RIGHT }]는 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}}]은 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}]은 수렴한다.

ex)  두 무한수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n+1} - 1 ` RIGHT )][eqn: = inf]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]은 발산 (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {3 ^{n}} ,``b _{n} =2] (거짓)

ㄷ.  [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1`} = 1 over n+1 a_n]이므로

[eqn: a_2 = 1 over 2 a_1], [eqn: a_3 = 1 over 3 a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n = 1 over n a_n-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n`} = 1 over {2 TIMES 3 TIMES4 TIMES · · · TIMES n} a_1 = 1 over n!]이므로

[eqn: a_n+2 over a_n][eqn: = 1 over n+1 - 1 over n+2]

[eqn: sum _n=1^inf a_n+2 over a_n =sum _n=1 ^inf left( 1 over n+1 - 1 over n+2 right)][eqn: = 1 over 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]에서 [eqn: a_{`n} = 1 over {sqrtn+1 + sqrt n }`]일 때,
[eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n}]은 발산한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]이 각각 수렴하면
[eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n} b_{`n} = sum _n=1 ^ inf a_{`n} sum_n=1 ^inf b_{`n}]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 [eqn: a _{`1} =1], [eqn: a _{`n+1} = 1 over n+1 a_{`n} `(`n=1,``2,``3, ``CDOTS`)`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _n=1^inf a_{`n+2} over a_{`n} = 1 over 2]이다.

ex) 무한등비수열 [eqn: \{`ita_n `\}`]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ③
[eqn: 1st] 무한등비수열[eqn: left{a _{n} right}]의 일반항을 [eqn: a _{n} `=`a _{1} r ^{n-1}](단, [eqn: a_1 !=0)]이라 하자.
ㄱ, 무한등비급수 [eqn: sum_n=1^∞ {a_n}]이 수렴하면 [eqn: -1<r<1]이지?
그림 [eqn: a_2n = a_1 r^2n-1 = a_1 r cdot(r^2 )^n-1]에서 공비는 [eqn: r^2]이고 [eqn: 0<=r^2 <1]이므로 [eqn: sum_n=1^∞{a_2n}]도 수렴해(참)
ㄴ, 무한등비급수 [eqn: sum_n=1^∞{a_n}]이 발산하면 [eqn: r<=-1]또는 [eqn: r>=1]이지?
ㄱ에서 [eqn: a_2n]의 공비는 [eqn: r^2]이고, [eqn: r^2 >=1]이므로 [eqn: sum_n=1^∞{a_2n}]은 발산해 (참)
ㄷ, [반례] [eqn: a_n = left(1over2right)^n]이라 하면 [eqn: sum_n=1^∞{a_n}=sum_n=1^∞{left( 1over2right)^2 = 1over2 over{1- 1over2} =1]로 수렴해.
그런데 [eqn: lim_n->∞{left(a_n + 1over2 right) = lim_n->∞{left{left(1over2right)^n + 1over2 right} = 1over2 !=0]이므로
[eqn: sum_n=1^∞{left( a_n + 1over2 right)]은 발산해.
즉, 무한등비급수[eqn: sum_n=1^∞{a_n}]이 수렴해도 [eqn: sum_n=1^∞{left(a_n + 1over2 right)}]은 발산할 수 있어.
따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이야.

< 보 기 >

변

ㄱ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 수렴하면[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_2n``]도 수렴한다.

ㄴ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 발산하면[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_2n``]도 발산한다.

ㄷ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 수렴하면 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf}_` `left (a_n + {1_`} over {2`} right ) `]도 수렴한다.

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helpmemath

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ex) 공비가 0이 아닌 두 등비수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 두 급수 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``],[eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n `` b_n `]도 수렴한다.

ㄴ. 두 급수 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n `` b_n `]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]도 수렴한다.

ㄷ. 두 급수 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {a _{n}} ```]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]도 수렴한다.

ex) 두 무한수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: a _{n} >b _{n}]이고 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]도 수렴한다.

ㄴ. [eqn: a _{n} >b _{n}]이고 [eqn: sum _{n=1 _{`}} ^{INF _{`}} a _{n} ``= alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `= beta]이면 [eqn: alpha > beta]이다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1 _{`}} ^{INF _{`}} a _{n} ``= alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `= beta]이고 [eqn: alpha > beta]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} > lim _{n-> INF } {b _{n}}}]이다.