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대수능 & 평가원 및 교육청 수1	무한 급수	문제부터 풀라고? 아니다 요점 정리부터!!!

2005	교육청(2점)

무한급수 [eqn: log_2 ``2 ``+``log_2 ``root2 ``+``log_2 ``^4 root2 ``+``log_2 ``^8 root2 ``+``cdots]의 합은?

정답 ②

[eqn: log_2 ``2 ``+``log_2 ``root2 ``+``log_2 ``^4 root2 ``+``log_2 ``^8 root2 ``+``․․․``]

[eqn: =``log_2 ``2 ``+``1 over 2 log_2 ``2 ``+``1 over 4 log_2 ``2 ``+`` 1 over 8 log_2 ``2 ``+``․․․]

[eqn: =``1``+``1 over 2 ``+``1 over 4 ``+`` 1 over 8 ``+``․․․``=``1 over {1- 1 over 2 } ``=``2``]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 4``]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 16``]

2011	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n`(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} ``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: cos`n` pi `=`(-1) ^{n} `]이므로

[eqn: ` lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +n`cos`n` pi } over {n ^{2} `+`1} ``=` lim _{n -> INF } {} {1+ {1} over {n} `cos`n` pi } over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {1+ {(-1) ^{n}} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``][eqn: =1]

[다른 풀이]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: -1`` LEQ `cos`n `pi`le`1``]이므로
[eqn: -` {n} over {n ^{2} `+`1} ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} `cos`n pi ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} ``]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {{1} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`0``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `=`0``]

또, [eqn: lim _{n -> INF } {} {n^{2}} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {1} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`1``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {n(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {n ^{2} `+`1} ``+` lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `]

[eqn: =`1`]

[2점][2011 년 3월 교육청]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

2004	평가원(2점)

무한급수 [eqn: {2004}over{1․3}`+`{2004}over{3․5}`+`{2004}over{5․7}`+`cdots]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한급수의 값을 구할 수 있다.

(주어진 식)

[eqn: ={2004}over{2}left({1}over{1}-{1}over{3}right)+{2004}over{2}left({1}over{3}-{1}over{5}right)+`…``]

[eqn: =1002``]

① [eqn: 1002``]	② [eqn: 1004``]	③ [eqn: 2000``]	④ [eqn: 2002``]	⑤ [eqn: 2004``]

2009	교육청(2점)

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+2 ^{n}} over {3 ^{n}}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+2 ^{n}} over {3 ^{n}} =sum_n=1^inf left( 1over 3 right)^n + sum_n=1^inf left( 2over 3 right)^n]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}} = {5} over {2}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

2011	교육청(3점)

첫째항이 [eqn: 1``]인 무한등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =`3]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( `a _{3n-2} ``-`a _{3n-1} ` RIGHT ) ``]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: left{a _{n}right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = { 1} over {1-r }=3]이므로 [eqn: r={ 2} over {3 }]이다.

수열 [eqn: LEFT { a_3n-2 RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이고

수열 [eqn: LEFT { a _{3n-1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {2} over {3}]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{3n-2} -a _{3n-1} RIGHT ) = {1} over {1- {8} over {27}} - {{2} over {3}} over {1- {8} over {27}}]

[eqn: = 9 over 19]

[3점][2011 년 3월 교육청]

① [eqn: {7} over {19}]	② [eqn: {8} over {19}]	③ [eqn: {9} over {19}]	④ [eqn: {10} over {19}]	⑤ [eqn: {11} over {19}]

2012	교육청(3점)

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}}]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는?

정답 ③

[출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}} = sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {3 ^{a} +1} over {216} RIGHT ) ^{n} `]이 수렴하므로

[eqn: -1< {3 ^{a} +1} over {216} <1`], [eqn: -217<3 ^{a} <215`]

[eqn: THEREFORE] 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

따라서 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]

[3점][2012년 4월 교육청]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

2004	평가원(3점)

무한급수 [eqn: SUM from { n=1 } to ∞ `a_n =2``], [eqn: SUM from { n=1 } to ∞ `b_n =-3 ``]일 때,[eqn: SUM from { n=1 } to ∞ `(a_n -2b_n `)``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 8``]

[출제의도] 무한급수의 합을 구하기

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf `` a_n -`2SUM from { { n}=1} to inf`` b_n` = `8]

2014	평가원(3점)

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 무한급수 [eqn: Sum from { n`=`1} to inf ` left( a_n - 5n over n+1 right)]이 수렴할
때, [eqn: lim from { n`->` inf}` a_n `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT )]이 수렴하려면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} - {5n} over {n+1}} =0]으로 수렴해야 하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =5]이다.

[3점][2014년 6월 평가원]

2014	평가원(3점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 3 ^{n`} CDOT `5 ^{n+1`} ``]의 모든 양의 약수의 개수를 [eqn: a _{n`} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} ``]의 값은?

정답 ①

[eqn: 3 ^{n`} CDOT `5 ^{n+1`} ``]의 모든 양의 약수의 개수는 [eqn: a _{n`} ``= LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) ``]이다.

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} =` sum _{n=1} ^{INF } {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2}]

[3점 [2014년 09월 평가원]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

2014	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -7 RIGHT ) =2014]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 7``]

[출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -7)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {(a _{n} -7)=0`}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =7}]

[3점][2014년 4월 인천]

2013	교육청(3점)

무한급수 [eqn: sum_{n=1} ^inf `{1+(-1)^{`n} }over{3^{`n}} `]의 합은?

정답 ②

[출제의도] 무한등비급수를 이해하고, 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } left{ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `right}`]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} +sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {- {1} over {3}} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {2} - {1} over {4}][eqn: = {1} over {4} `]

[다른 풀이]

주어진 무한급수의 합을 [eqn: S``]라 하고, 이를 덧셈으로 연결하여 나타내면

[eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: =0+ {2} over {3 ^{2}} +0+ {2} over {3 ^{4}} +0+ {2} over {3 ^{6}} +0+`cdots`]

[eqn: = {2} over {3 ^{2}} + {2} over {3 ^{4}} + {2} over {3 ^{6}} + {2} over {3 ^{8}} +` CDOTS `]

이므로 이 무한급수는 첫째항이 [eqn: {2} over {9} `]이고 공비가 [eqn: {1} over {9} `]인 무한등비급수의 합과 같다.

∴ [eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `][eqn: `=` {{2} over {9}} over {1- {1} over {9}} = {1} over {4} `]

[3점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 3over8]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 5over8]

2013	교육청(3점)

수열 [eqn: "{" a_{`n} "}" `]에 대하여 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^{inf} {a_{`n} -n} over n `]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n-> inf} {5n+ a_{`n} }over{5n- a_{`n} }`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수의 수렴과 일반항의 극한의 관계를 이해하고, 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1`} ^{INF } ` {a _{`n} -n} over {n} `]이 수렴하므로

[eqn: lim_{n->inf} left( {a_{`n} -n} over n right) = lim_{n->inf} left( {a_{`n} over n -1 right) =0`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{`n}} over {n} =1}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {5n+a _{`n}} over {5n-a _{`n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {5+ {a _{`n}} over {n}} over {5- {a _{`n}} over {n}}][eqn: = {5+1} over {5-1}][eqn: = 3over2 `]

[3점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

2014	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

정답 ②

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT )]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `} =0]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {a _{n}} over {9 ^{n}}} `=`2]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {2 TIMES {a _{n}} over {9 ^{n}} `+ {1} over {9 ^{n}}}} `= {1} over {4}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `=`1]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}}]의 값은?

[3점][2014년 4월 경기]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

2013	교육청(3점)

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `a _{n`} RIGHT }]은 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수와 나머지 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x)=a _{n} x ^{2} `+a _{n} `x`+2``]라고 하면 [eqn: f(x)]를

[eqn: x-n]으로 나눈 나머지는

[eqn: f(n) `=` a _{n} n ^{2} +a _{n} `n+2=`20]

[eqn: a _{n} = {18} over {n(n+1)} `=`18 left( {1} over {n} - {1} over {n+1} right)]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ``=`` sum _{n=1} ^{INF } 18 left(` {1} over {n} `-` {1} over {n+1} `right)]

[eqn: =18 lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =18]

[3점][2013년 07월 교육청]

(가) [eqn: a _{n} !=0]

(나) [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: a _{n} `x ^{2} +a _{n} `x+2`]를 [eqn: x`-`n`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 20`]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

2013	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} `}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 무한급수의 수렴과 발산을 이해하고 수열의 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{3-a _{n}} over {2} =0`}], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =3`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} = lim _{n -> INF } {{4a _{n} + {5} over {n}} over {1- {3} over {n}} =}} {4 TIMES 3+0} over {1-0} =12`]

[3점][2013년 10월 교육청][

2014	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: a _{1} =1`]이고 [eqn: 2a _{n+1} =7a _{n} `] ([eqn: n` GEQ `1`])을 만족시킬 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {10} over {a _{n}} `]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 등비수열의 일반항을 구하고 무한등비급수의 합을 구한다.

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {7} over {2} a _{n}][eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]에서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: {7} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {10} over {a _{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } 10` TIMES LEFT ( {2} over {7} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: = {10} over {1- {2} over {7}}]

[eqn: =14]

[3점][2014년 3월 서울]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

2010	평가원 (2점)

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = {5} over {1- {3} over {4}} `=`20]

[2010년 11월 전국연합] [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

2007	평가원(3점)

수열 [eqn: LEFT { `a_n ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: S _{n} =sum_k=1^n a_k`]라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n ^{2}} `= {1} over {2} ``]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {sum _{k=1} ^{n} (2+a _{k} )} over {sum _{k=1} ^{n} (2k+a _{k} )} ``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 합을 계산하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } (2+a_k ) = 2n+S_n ``],

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } (2k+a_k ) = n(n+1)+ sum _{ k=1} ^{n } a_k = n^2 +n+S_n ``]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} {sum _{ k=1} ^{n } (2+a_k )} over {sum _{ k=1} ^{n } (2k+a_k )}``][eqn: = lim _{ n`->`inf} {2n +S_n} over {n^2 +n+S_n}``]

[eqn: = lim _{ n`->`inf} {2 over n + S_n over n^2 } over {1+ 1over n + S_n over n^2}``][eqn: = {0+ 1over2} over {1+ 0+ 1 over 2} = 1over 3`]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 1over 2``]	④ [eqn: 1over3``]	⑤ [eqn: 1over4``]

2009	교육청(3점)

두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf (a_n +3) = 4], [eqn: sum from n=1 to inf b_n = -3]일 때, [eqn: lim_n->Inf { 24a_n + 2b_n^2 }over {2a_n - b_n^2 }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[eqn: sum from n=1 to inf (a_n +3)], [eqn: sum from n=1 to inf b_n]이 존재하므로
[eqn: lim_n->Inf a_n =- 3], [eqn: lim_n->Inf b_n =0]이다.
따라서 [eqn: lim_n->Inf{ 24 a_n + 2b_n^2}over {2a_n - b_n^2} = 24over2 = 12]이다.

2012	교육청 (2점)

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = 3`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2a _{n} -`3} over {a _{n} +`1}]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수렴하는 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]과 [eqn: lim _{n-> inf} {a _{n} }`]의 관계를 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {a _{n} =0}``]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n-> inf} {{2a _{n} -3} over {a _{n} +1}}][eqn: = {2``․``0-3} over {0+1} =-3]

[3점][12년 03월 교육청]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

2006	교육청(3점)

무한급수 [eqn: sum_n=1^inf 2 over {(2n+1)(2n+3)}]의 합은?

정답 ①

[eqn: sum_n=1^inf 2 over{(2n+1)(2n+3)} =sum_n=1^inf LEFT ( 1over 2n+1 - 1over2n+3 RIGHT )]

[eqn: =lim_n->inf LEFT { LEFT ( 1over3 - 1over5 RIGHT )+ LEFT ( 1over5 - 1over7 RIGHT )+cdots+ LEFT ( 1over2n+1 - 1over 2n+3 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =lim_n->inf LEFT ( 1over3 - 1over 2n+3 RIGHT ) = 1over3]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

2006	교육청(3점)

정수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2` ^{a} TIMES 3` ^{b} = sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {n(n+2)}]가 성립할 때,  [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[eqn: 2 ^{a} TIMES `3 ^{b} = lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {``} {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = {3} over {4} ```=`2 ^{-2} TIMES 3 ^{1}]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5]

2010	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } ` LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )]이 수렴할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf}{`a_n}]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한급수의 수렴의 성질을 이용하여 극한값 구하기

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } ` LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )} =0]이다.

따라서, [eqn: lim _{ n`->`inf}{`a_n}][eqn: = lim _{ n`->`inf} {` {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} {` {LEFT { {n(n+1)} over 2 RIGHT }^2 }over n^4}]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} {` { n^2 (n+1)^2 }over 4n^4}]
[eqn: = 1 over 4]

[3점][2010년 4월 교육청]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

2012	교육청 (3점)

수열 [eqn: left{`a`_n right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n<` a`_n <n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a`_k`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] [eqn: sum`]의 성질과 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: n< a_n <n+1`]에서

[eqn: sum_k=1^n k < sum_k=1^n a_k <sum_k=1^n (k+1)]이므로

[eqn: n(n+1)over2 < sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2`]

[eqn: n(n+1)over2n^2 < 1overn^2 sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2n^2`]

[eqn: lim_n->inf n(n+1)over2n^2 =lim_n->inf n(n+3)over2n^2`= 1over2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a_k`= 1over2]

[3점] [12년 03월 교육청]

① [eqn: 1over2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2} `]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

2005	교육청(3점)

무한급수 [eqn: left( 3over2 ``-`` 4over 3 right) ``+`` left( 4 over 3 ``-`` 5over 4 right) ``+`` left( 5 over 4 ``-`` 6over 5 right) ``+``․․․``]의 합은?

정답 ③

부분합 [eqn: S_n ``=`` SUM from { { k}=1} to n left( n+2 over n+1 ``-`` n+3 over n+2 right ) ``=`` 3 over 2 ``-`` n+3 over n+2 ``]

[eqn: lim from { n -> inf } S_n ``=`` 1 over 2 ``]이다.

① [eqn: 1over4 ``]	② [eqn: 1over3 ``]	③ [eqn: 1over2 ``]	④ [eqn: 1 ``]	⑤ [eqn: 3over2 ``]

2008	교육청(3점)

수열 [eqn: "{" a_n "}"]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: a_1 = 5over4], [eqn: S _{n} =`a _{n} + {n+3} over {n+2}] ([eqn: n=2`,``3`,``4`,`` CDOTS ``])
일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n>=2]일 때 [eqn: S_n - a_n = S_n-1]이므로

[eqn: S_n - a_n =S_n-1 = n+3 over n+2] ([eqn: n>=2])

∴ [eqn: sum_n=1^inf a_n][eqn: =lim_n->inf S_n = lim_n->inf S_n-1 = 1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

2008	교육청(3점)

무한급수 [eqn: {1} over {1 CDOT 3} + {2} over {3 CDOT 7} + {3} over {7 CDOT 13} + {4} over {13 CDOT 21} +` CDOTS]의 합은?

정답 ①

[출제의도] 부분분수로 표현되는 무한급수의 합 구하기

수열의 일반항을 [eqn: a_n], [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: a_n = {n over{(n^2 -n+1)(n^2 +n +1) }]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k ^{2} -k+1} - {1} over {k ^{2} +k+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {7} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {7} - {1} over {13} RIGHT ) +]

[eqn: LEFT. CDOTS + LEFT ( {1} over {n ^{2} -n+1} - {1} over {n ^{2} +n+1} RIGHT ) RIGHT }]

= [eqn: {1} over {2} left(1- {1} over {n ^{2} +n+1}right )]  [eqn: THEREFORE][eqn: lim _{n -> INF } {S _{n} = {1} over {2}}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

2008	평가원(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 관한 이차방정식

[eqn: (4n ^2 -1)`x ^2 -4nx+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha _n , ``` beta _n] ([eqn: alpha _n`` ＞ beta _n `])일 때,

[eqn: sum from n=1 to inf LEFT ( alpha _n - beta _n RIGHT ) `]의 값은?

정답 ①

[eqn: (4n^2 -1)x^2 -4nx+1=0]

[eqn: LEFT { (2n-1)x-1 RIGHT } LEFT { (2n+1)x-1 RIGHT } =0]

[eqn: x= { 1} over {2n-1}], [eqn: { 1} over {2n+1}]

[eqn: alpha _n > beta_n]이고 [eqn: n]이 자연수이므로

[eqn: alpha_n = { 1} over {2n-1 }], [eqn: beta _n = { 1} over {2n+1 }]

[eqn: THEREFORE~`` sum _{ n=1} ^{ inf}( alpha_n - beta_n )=sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over {2n+1 }RIGHT )]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT { LEFT ( { 1} over {1 }- { 1} over { 3} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {3 }- { 1} over { 5} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {5 }- { 1} over { 7} RIGHT )][eqn: + CDOTS+ LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over { 2n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT ( 1-{ 1} over {2n+1 } RIGHT )`=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2005	교육청(3점)

무한급수 [eqn: a_1 ``+`` left( a_2 ``-`` 1over 2 right) ``+`` left( a_3 ``-`` 2over 3 right)``+``left( a_4 - 3over 4 right)+ ``․․․``]가 수렴할 때, [eqn: lim from {n``->``inf} a_n ``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 1]

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf ``left( a_n ``-`` n-1 over n right) ``]이 수렴하므로 [eqn: lim from { n -> inf } left( `a_n ``-`` n-1 over n `right)``=``0``]	∴ [eqn: lim from { n -> inf } ``a_n ``=`` 1 ``]

2010	교육청(3점)

동심원 [eqn: A _{1} `,```A _{2`} ,``` CDOTS ``,```A _{n`} ,``` CDOTS `]의 반지름의 길이를 각각  [eqn: r _{`1} `,```r _{2`} ,```` CDOTS ``,```r _{n`} ,``` CDOTS `]이라 하고, 그 넓이를 각각
[eqn: S _{1} ,```S _{2} ,````` CDOTS ``,```S _{n} ,``` CDOTS `]이라 할 때, [eqn: S _{n+1} =2S _{n}] ([eqn: n=1`,```2`,``` CDOTS `])이 성립한다. [eqn: r _{1} =1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {r _{n}} `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S` _{n} =` pi ``r _{n} ^{2} ``], [eqn: S _{n+1} =`2S _{n`} ``]이므로

[eqn: pi ```r _{n+1} ^{```````````````````2} ````=``2` pi ``r _{n} ^{```2}], [eqn: r _{n+1} `= sqrt {2} `r _{n`} `]

[eqn: r _{1} `=`1``]이므로 [eqn: r _{n} `=`( sqrt {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore`````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {r _{n}} `=` sum _{n=1} ^{INF } left( {1} over {sqrt {2}} right ) ^{n-1} = {1} over {1- {1} over {sqrt {2}}} `]

[eqn: ``=``2+ sqrt {2}]

[점][2010년 7월 교육청]3

① [eqn: 1+ sqrt {2}]	② [eqn: 2+ sqrt {2}]	③ [eqn: 1+2 sqrt {2}]

④ [eqn: 2+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 1+3 sqrt {2}]

2010	교육청(3점)

임의의 자연수 [eqn: p`,```q`,```r`]에 대하여,
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =10`], [eqn: a _{p} +a _{q} +a _{r} =a _{p+q+r}`]를 만족하고,
수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]은 [eqn: b _{1} = {3} over {5}`], [eqn: b _{p} `b _{q} =`b _{p+q}`]를 만족한다.  이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` {a _{n} `b _{n}} over {n} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: p=q=1``], [eqn: r=n``]이면 [eqn: 2a _{1} +a _{n} =a _{n+2} ``]이므로

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +20]

[eqn: a _{1} =10``]이므로 [eqn: a _{3} =30], [eqn: a _{5} =50`]

[eqn: a _{5} =a _{3} +2a _{1} ``]이므로 [eqn: a _{2} =20]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 10``]인 등차수열이다.

[eqn: a _{n} =10`n``] …①

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에서 [eqn: p=1```]을 대입하여 정리하면

[eqn: b _{n} = {3} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1`} = LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]…②

①, ②에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `b _{n}} over {n} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {10`n` TIMES `( {3} over {5} ) ^{n}} over {n} `]

[eqn: `=`10 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} =`15]

[3점][2010년 7월 교육청]

2010	평가원(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} - {3n} over {n+1} RIGHT )]과 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )]이 모두 수렴할 때, [eqn: lim _{n->inf} {{3-b _{n}} over {a _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n} !=0])

정답 ②

무한급수

[eqn: SUM from n=1 to inf ( a_n - 3n over n+1 )], [eqn: sum from n=1 to inf (a_n + b_n )]

이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} ( a_n - 3n over n+1 ) = lim _{ n->inf} (a_n - 3 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { } a_n = 3]

[eqn: lim _{ n->inf} (a_n + b_n ) = 3+ lim _{ n->inf} b_n = 0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} b_n = -3]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} {}3-b_n over {a_n} = 3-(-3) over 3 = 2]

[3점][2010년 9월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2005	교육청(3점)

무한수열 [eqn: LEFT { `a_n `RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf left( a_n ``-`` 2n^2 over {2n^2 +1} right) ``=`` 1 over 3``]일 때, [eqn: lim from { n -> inf } ``a_n``]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf `left( a_n ``-`` 2n^2 over {2n^2 +1} right) ``]이 수렴하므로 [eqn: lim from n->inf `left( a_n ``-`` 2n^2 over {2n^2 +1} right) ``=`` 0 ``]이다.

[eqn: lim from n->inf `left( a_n ``-`` 2n^2 over {2n^2 +1} right) ``=`` 0 ``]에서 [eqn: lim from n->inf 2n^2 over {2n^2 +1} ``=`` 1 ``]이므로 [eqn: lim from n->inf ``a_n ``=``1``]이다.

① [eqn: - 2 over 3 ``]	② [eqn: - 1 over 3 ``]	③ [eqn: 1 over 3``]	④ [eqn: 2 over 3``]	⑤ [eqn: 1``]

2005	교육청(3점)

무한등비급수 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} ``]의 합이 [eqn: -1``]일 때, 다음 중 상수 [eqn: a``]의 값이 될 수 있는 것은?

정답 ③

[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} ``=`` {a} over {1-r} ``=``-1``]에서 [eqn: a``=``r``-``1``]	[eqn: -1``<``r``<``1``]이므로 [eqn: -2``<``a``<``0``]

① [eqn: - {7} over {2} ``]	② [eqn: - {5} over {2} ``]	③ [eqn: - {3} over {2} ``]	④ [eqn: {1} over {2} ``]	⑤ [eqn: {3} over {2} ``]

2010	교육청(3점)

수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 [eqn: a_n = sum _{ r=0} ^{n }``_n{rmC}_r`3^r`2^n-r]이다.
[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`{3^n - 2^n }overa_n`=`q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`,``q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 11]
[eqn: (a+b)^n = sum _{ r=0} ^{n }```_n{rmC}_r`a^r`b^n-r]에서

[eqn: a_n = sum _{ r=0} ^{n }``_n{rmC}_r`3^r`2^n-r`=`(3+2)^n`=`5^n]이다.

[eqn: therefore~ sum _{ n=1} ^{inf }`{3^n - 2^n }overa_n`=` sum _{ n=1} ^{inf }`{3^n - 2^n }over5^n` =` sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 3over5 RIGHT )^n`-` sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 2over5 RIGHT )^n]

[eqn: =`{3over5}over{1- 3over5}`-`{2over5}over{1- 2over5}`=`3over2`-`2over3`=`5over6`=`q overp]

[eqn: therefore~p+q = 11]

[3점][2010년 11월 대전교육청]

2006	평가원(3점)

수열 [eqn: left{ a_n right}`]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이고, 수열 [eqn: left{ b_n right} `]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다. 수렴하지 않는 무한급수는?

정답 ⑤

[eqn: a_n `=` LEFT ( 1 over 3 RIGHT ) ^n-1]

[eqn: b_n `=` LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^n-1]

① [eqn: 2a_n `=`2․LEFT ( 1 over 3 RIGHT ) ^n-1]이므로 수렴

② [eqn: a_n -b_n `=` LEFT ( 1 over 3 RIGHT ) ^n-1 -LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^n-1]이므로 수렴

③ [eqn: (-1)^n b_n `=`- LEFT (- 1 over 2 RIGHT ) ^n-1]이므로 수렴

④ [eqn: a_n b_n `=`LEFT ( 1 over 6 RIGHT ) ^n-1]이므로 수렴

⑤ [eqn: b_n over a_n `=` { LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^n-1}_` over { LEFT ( 1 over 3 RIGHT ) ^n-1}`=`LEFT ( 3 over 2 RIGHT ) ^n-1]이므로 발산

① [eqn: sum from n=1 to inf 2a_n `]　	②[eqn: sum from n=1 to inf (a_n - b_n ``)]	③ [eqn: sum from n=1 to inf (-1)^n b_n]　	④ [eqn: sum from n=1 to inf a_n b_n ``]	⑤[eqn: sum from n=1 to inf b_n over a_n]

2005	평가원(3점)

좌표평면에서 직선 [eqn: x``-``3y``+``3 ``=``0``] 위에 있는 점 중에서 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각 [eqn: (`a _1 ``,``b _1 `)``,~(`a _2 ``,``b _2 `)``,~ ․․․``,~(`a _n` `,``b _n `)``, ~․․․``]  이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum from {n=1}^` to {`inf_`} {1_`} over {a _n ` b _n}^``]의 값은?    (단,[eqn: a_1 ``＜``a_ 2 ``＜`` ․․․``＜``a_ n ``＜`` ․․․``]이다.)

정답 ③

직선의 방정식은 [eqn: y``=`` 1over3 x``+`` 1` `]이므로 [eqn: x``]는 [eqn: 3``]의 배수이다.

[eqn: x``=``3n` `]로 놓으면 [eqn: y``=``n``+``1``]이다.([eqn: n``=``1``,~2``,~3``,~․․․` `])

따라서 [eqn: a_n ``=``3n` `], [eqn: b_n ``=``n``+``1``]이다.

[eqn: 1over {a_n b_n} ``=`` 1over {3`n`(`n`+`1`)} ``=`` 1over3 `left( 1over n ``-`` 1over n+1`right)``]이므로

[eqn: sum_n=1^inf` 1over{a_n b_n} ``=`` sum_n=1^inf`1over3 `left( 1over n ``-`` 1over n+1 right)``][eqn: =`` 1over3 lim_n→inf` left( 1``-`` 1over n+1 right) ``=`` 1over3` `]

① [eqn: 1``]	② [eqn: { 1_` } over { 2`` } ``]	③ [eqn: { 1_` } over { 3`` } ``]	④ [eqn: { 1_` } over { 4`` } ``]	⑤ [eqn: { 1_` } over { 5`` } ``]

2006	교육청(3점)

무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 <보기>와 같을 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]이 수렴하는 것을 모두 고르면?

정답 ②

ㄱ. [eqn: lim _{n-> INF } {} `a _{n} `!=`0]이면 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]은 발산한다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} `=`3]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]은 발산한다

ㄴ. 무한등비급수 이고, 공비 [eqn: r]이 [eqn: -1<r<1] 이므로 수렴한다.

ㄷ. [eqn: a _{n} `= {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} `= sqrt {n+1} ``- sqrt {n}] 이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{n} `( sqrt {k+1} `- sqrt {k} `)=( sqrt {2} -1)+( sqrt {3} `- sqrt {2} )+ CDOTS ( sqrt {n+1} `- sqrt {n} )]

[eqn: = sqrt {n+1} `-1]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} `=` lim _{n-> INF } {} `( sqrt {n+1} -1)= INF]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 3,```3,```3,`` CDOTS `3,`` CDOTS] ㄴ. [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ,```` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} `,```` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n`} ` CDOTS] ㄷ. [eqn: {1} over {sqrt {2} +1} ,``` {1} over {sqrt {3} + sqrt {2}} ,` {1} over {sqrt {4} + sqrt {3}} `,` CDOTS `,` {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} `, CDOTS]

①  ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ , ㄷ	④  ㄴ,  ㄷ	⑤ ㄱ,  ㄴ,  ㄷ

2009	교육청(3점)

수렴하는 무한급수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기

ㄱ. 공비가 [eqn: - {1} over {2}]이므로 수렴한다.
ㄴ. (준식)[eqn: =][eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT . LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )=1] [eqn: THEREFORE]수렴
ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {left(1- {1} over {n} right)=1 != 0}] [eqn: THEREFORE]발산

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {cosn pi } over {2 ^{n}}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT )]

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

2008	교육청(3점)

다음 <보기> 의 무한급수 중 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 무한급수의 합이 수렴을 묻는 문제로 무한급수의 합의 수렴성의 이해를 측정하는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a_n`=` n-1 over 2n+1``]이라고 하면 [eqn: lim _{ n->inf} { a_n}= 1over 2 `!=0``]이므로 [eqn: sum_n=1^inf n-1 over 2n+1``]은 발산한다.

ㄴ. 무한등비급수의 공비 [eqn: r= - 1over root2``]로 [eqn: -1<r<1``]이므로 무한등비급수 [eqn: sum_n=1^inf LEFT ( - 1over root2 RIGHT )^n``]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: sum_n=1^inf 1over{rootn+1 + rootn}``= lim _{ n->inf} { sum_k=1^n} 1over {rootk+1 + rootk``}``]

[eqn: =lim _{ n->inf } { sum_k=1^n }{ LEFT ( {rootk+1 - rootk} over {({root k+1 + rootk``)(`rootk+1 - rootk ``)``}} RIGHT )]

[eqn: =lim _{ n->inf} { sum_k=1^n}{(rootk+1 - rootk )}``]

[eqn: = lim _{ n->inf} {( rootn+1 - 1``)}]=발산

		< 보 기 >
	ㄱ.[eqn: sum_n=1^inf n-1 over 2n+1``] ㄴ.[eqn: sum_n=1^inf LEFT ( - 1over root2 RIGHT )^n``] ㄷ. [eqn: sum_n=1^inf 1over{rootn+1 + root n }``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2010	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는대로 고른 것은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]이 모두 수렴하므로
[eqn: lim_{n -> inf} a_n = lim_{ n->inf} b_n =0]이다.	(거짓)

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf ( a_n +b_n )], [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n -b_n )] 이 모두 수렴하므로
[eqn: lim_{n -> inf} ( a_n + b_n ) = lim_{ n->inf} ( a_n - b_n )=0]이다.
[eqn: lim_{n -> inf} a_n = 1 over 2 lim_{ n->inf} left{ (a_n + b_n ) +(a_n -b_n ) right} =0]
[eqn: lim_{n -> inf} b_n = lim_{ n->inf} left{ (a_n +b_n ) -a_n right } =0]
따라서 두 수열 [eqn: left{a_n right]과 [eqn: left{b_n right]은 모두 수렴한다.	(참)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n], [eqn: b_n = (-1)^n+1]이면

[eqn: vert a_n +b_n vert =0 ,~ vert a_n -b_n vert =2]이므로 두 수열
[eqn: left{ left vert a_n + b_n right vert right], [eqn: left{ left vert a_n - b_n right vert right]이 모두 수렴하지만 수열 [eqn: left{a_n right]과 [eqn: left{b_n right]은 수렴하지 않는다.	(거짓)

[3점][2010 3월 교육청]

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^inf a_n =1], [eqn: sum_n=1 ^inf b_n =1] 이면 [eqn: lim_{n -> inf} a_n < lim_{ n->inf} b_n]이다.

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf ( a_n +b_n )], [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n -b_n )] 이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]도 모두 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{ left vert a_n + b_n right vert right], [eqn: left{ left vert a_n - b_n right vert right]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]도 모두 수렴한다.

* 배포 *

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* 작성자 *

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

2008	교육청(3점)

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x+1) LEFT ( 1- {x} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 27``]

[출제의도] 무한등비급수의 수렴조건 구하기

주어진 무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은

(ⅰ) [eqn: -1 < 1- x over 4 <1]일 때, [eqn: 0<x<8]

(ⅱ) 첫째항이 [eqn: 0]일 때, [eqn: x=`-1]

[eqn: ∴ x = -1,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7]  합은 [eqn: 27]

2010	평가원(3점)

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3 ^{n} a _{n} -2 RIGHT )]가  수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6a _{n} +5`․`4 ^{-n}} over {a _{n} +3 ^{-n}}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 4`]

급수가 수렴하므로 일반항은 [eqn: 0]으로 수렴한다.

[eqn: lim _{ n->inf} { 3^n a_n -2} =0]이르로 [eqn: lim _{ n->inf} { }3^n a_n =2]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} {6 a_n +5 cdot4 ^-n }over{a_n +3^-n} = lim _{ n->inf} { } { 6 cdot 3^n a_n +5 left( 3over4 right)^n} over{3^n a_n +1]이므로

주어진 식의 극한값은 [eqn: 12 over3 =4]이다.

[3점][2010년6월 평가원]

2008	교육청(3점)

무한급수 [eqn: x+3 over 5 + {(x+3)(x-5) } over 5^2 `+ {(x+3)(x-5)^2} over 5^3``+ cdots]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x``]의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 42`]

[출제의도] 무한등비급수의 수렴범위 구하기

공비가 [eqn: x-5 over 5``]이므로 [eqn: -1< x-5 over 5 <1``]

[eqn: 0<x<10``]이며 [eqn: x`=`-3``]일 때도 수렴하므로 수렴하는 모든 정수 [eqn: x``]의 합은 [eqn: 42``]이다.

2009	교육청(3점)

무한등비수열 [eqn: left{left(x+1 over2 right)^n right}]과 무한등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }(logx )^n]이 동시에 수렴하는 [eqn: x]의 값의 범위로 옳은 것은?

정답 ③

[eqn: -1< x+1 over2 <=1]이므로 [eqn: -3<x<=1]이고,

[eqn: -1<logx<1]이므로 [eqn: 1over10 <x<10]이다.

따라서 동시에 수렴하는 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: 1over10 <x<=1]이다.

① [eqn: 1over10 <=x<=1]	② [eqn: 1over10 <=x<1]	③ [eqn: 1over10 <x<=1]
④ [eqn: 1over10 <x<=10]	⑤ [eqn: 1over10 <=x<10]

2007	교육청(3점)

수학세상 수학자료실                                     http://www.math114.net

대수능 & 평가원 및 교육청 수1	무한 급수	복습만이 살길이다. 복습하자 복습하자 복습하자

다음 <보기> 의 무한급수 중 수렴하는 것을 모두 고르면?

정답 ②

[출제의도] 무한급수의 수렴, 발산 판정하기

ㄱ. [eqn: a_n = n over 2n-1]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} = {1} over {2} != 0]이므로

[eqn: sum_{n = 1 }^inf}^ {} `a _{n}]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: a _{n} = {1} over {1+2+ CDOTS +n} = {1} over {{n(n+1)} over {2}} = {2} over {n(n+1)}]이고

[eqn: S_n = 2 sum_k=1 ^ n { left(1 over k - 1 over k+1 right)] [eqn: =2- {2} over {n+1}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} ``S _{n} =2]로 수렴한다.

ㄷ.  [eqn: a_n = 1 over {left( sqrt{n+2 }- sqrtn right) }= { sqrt{n+2 }- sqrtn } over 2]이고

[eqn: S _{n} = {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( sqrt {k+2} - sqrt {k} RIGHT )]

[eqn: = 1 over 2 ( -1-sqrt2 + sqrtn+1 + sqrtn+2 )]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} ``S _{n}]은 발산하다.

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 1+ {2} over {3} + {3} over {5} + {4} over {7} + `CDOTS `] ㄴ. [eqn: 1+ {1} over {1+2} + {1} over {1+2+3} + {1} over {1+2+3+4} +` CDOTS `] ㄷ. [eqn: {1} over {1+ sqrt {3}} + {1} over {sqrt {2} + sqrt {4}} + {1} over {sqrt {3} + sqrt {5}} + {1} over {sqrt {4} + sqrt {6}} +` CDOTS]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

2007	교육청(3점)

무한수열 [eqn: a _{1`} ``,````2a _{2} ``,````2 ^{2} a _{3}`` ,```` CDOTS ``,````2 ^{n-1} a _{n} ``, ````CDOTS `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합이 [eqn: 5n] 일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10``]

[출제의도] [eqn: S _{n}]과 [eqn: a_n]사이의 관계를 이용하여 무한급수의 합 구하기

[eqn: b _{n} =2 ^{n-1} a _{n}`]라 하고,

[eqn: S _{n} =a _{1`} +2a _{2} +2 ^{2} a _{3} + CDOTS +2 ^{n-1} a _{n} =5n] 이라 할 때,

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1} =5``(n >= 2),```b _{1} =S _{1} =a _{1} =5`]즉, [eqn: a _{n} = {5} over {2 ^{n-1}} (n >= 1)]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = { 5} over {1- { 1} over { 2} }=10]

2007	평가원(3점)

이차방정식 [eqn: 9x ^{2} -6x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 할 때,

[eqn: {1} over {beta - alpha } sum _{n=1} ^{INF } (` beta `` ^{n} - alpha ` ^{n} )= {q} over {p}``]

이다. 이때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 11``]

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 9x^2 -6x -1=0``]의 두 근은 [eqn: x= {1+-root2}over3``]이고

[eqn: dmatrix{`alpha` } `＜`1], [eqn: dmatrix{` beta`}`＜`1``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } alpha^n ,~ sum _{n=1} ^{INF } beta^n``]은 수렴한다.

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha + beta = 2over3`,~alpha` beta =- 1over9``]이므로

[eqn: 1over{ beta- alpha}sum_n=1^inf ( beta^n - alpha^n )= 1over{ beta- alpha}left( beta over{1- beta} - alpha over{1- alpha} right)= 9over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=2+9=11]

2009	평가원(3점)

등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_5 = 2^8 , ``` a_8 = 2^5]을 만족시킬 때, [eqn: sum_n=9 ^inf a_n]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 32]

[eqn: ar^4 =2^8 cdots①]

[eqn: ar^7 =2^5 cdots②]

이므로 ①[eqn: div]②를 계산하면 [eqn: r^3 = 2^-3]이므로 [eqn: r= 1over2]이다.

따라서 [eqn: a=2^12]

[eqn: sum _{n=9} ^{inf}a_n]은 첫째항이 [eqn: a_9]이고 공비가 [eqn: 1over2]인 무한등비급수이므로 [eqn: sum _{n=9} ^{inf}a_n = a_9 over{1- 1over2 }= 2^5 =32]

2007	평가원(3점)

첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: {1_`} over {3`}]인 등비수열 [eqn: left{a_n` right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf a_n]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18``]

[eqn: a`=`12], [eqn: r`=`1 over 3]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` a_n `=`12 over {1- 1 over 3}`=`18]

2007	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]의 계차수열은 공비가 [eqn: { 1} over {2 }`]인 등비수열이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =20`]일 때, [eqn: a `_{1`}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10``]

[출제의도] 계차수열과 무한등비급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: `a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1}(a _{ 2}-a _{ 1})( { 1} over {2 }) ^{ k-1}]         [eqn: =-a _{1} +2a _{2} +(a _{1} -a _{2} )( {1} over {2} ) ^{n-2}][eqn: ` sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ n}=20````` THEREFORE`` lim _{ n rarrow INF } {a _{ n} }=0]  [eqn: lim _{ n rarrow INF } {`left{-a _{ 1}+2a _{ 2}+(a _{ 1}-a _{ 2}) }( { 1} over {2 }) ^{ n-2}`right}=0]  [eqn: THEREFORE``a _{ 2}= { 1} over {2 }a _{ 1}][eqn: `a _{ n}=(a _{ 1}-a _{ 2})( { 1} over {2 }) ^{ n-2}=a _{ 1}( { 1} over {2 }) ^{ n-1}]  [eqn: THEREFORE`` sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ n}=20= sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ 1}( { 1} over {2 }) ^{ n-1}]

[eqn: 20= { a _{ 1} } over { 1- { 1} over {2 } }]

[eqn: THEREFORE``a _{ 1}=10]

2007	평가원(3점)

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {5` ^{n+2} -4` ^{n+2}} over {6` ^{n}}]의 합을 구하시오.

정답 93

[출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{ ∞} {5^n+2 -4^n+2} over {6^n }][eqn: =sum _{ n=1} ^{ ∞} LEFT {5^2 BULLET LEFT ( { 5} over { 6} RIGHT )^n - 4^2 BULLET LEFT ( { 4} over { 6} RIGHT )^n RIGHT }]

[eqn: =25 BULLET {{5} over {6}} over {1- {5} over {6}} -16 BULLET {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}}][eqn: =93]

[3점][2007년 03월 평가원 고3]

2007	교육청(3점)

첫째항이 [eqn: 1 `]인 두 무한등비급수 [eqn: sum from n=1 to inf a sub n `,~ sum from n=1 to inf b sub n `]이 모두 수렴하고, [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) `=` 8 over 3 `], [eqn: sum from n=1 to inf ` a sub n b sub n `=` 4 over 5 `]가 성립한다. 이 때, 무한급수 [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `]의 합은?

정답 ①

[출제의도] 무한등비급수에 관한 성질을 이해하고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left { a sub n right } `]의 공비를 [eqn: r `], [eqn: left { b sub n right } `]의 공비를 [eqn: s`]라 하면 (단, [eqn: r ≦s `])      [eqn: 1 over 1-r + 1 over 1-s `=` 8 over 3 `,~ 1 over 1-rs `=` 4 over 5 `]      ∴[eqn: 3 ( 2-r -s ) `=` 8 ( 1-r-s+rs)`]…㉠        [eqn: 4( 1- rs ) `=` `5 `]…㉡     ㉠, ㉡을 연립하면,

[eqn: rs `=` - 1 over 4 `,~ r+s `=` 0`]

∴[eqn: r `=` - 1 over 2 `,~ s `=` 1 over 2 `]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `} =` {4} over {3} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} `=` {4} over {3} `]

∴[eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `=` sum from n=1 to inf ( a sub n sup 2 + b sub n sup 2 + 2 a sub n b sub n ) `]     [eqn: `=` 4 over 3 + 4 over 3 + 2 times 4 over 5 `][eqn: `=` 64 over 15 `]

① [eqn: 64over 15]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 32 over 5 `]
④ [eqn: 15 over 2]	⑤ [eqn: 10]

2004	평가원(3점)

순환소수 를 분수로 나타내면?

[eqn: 0.32``]

․

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수를 활용하기

[eqn: (준식)&= 0.3+0.02+0.002+cdots#&=0.3+ { { 2} over {100 } } over {1- { 1} over {10 } } = { 29} over {90 }]

①  [eqn: 3 OVER 5]	② [eqn: 7 OVER 10]

③ [eqn: 8 OVER 25]	④ [eqn: 17 OVER 50]

⑤ [eqn: 29 OVER 90]

2004	평가원(3점)

[eqn: 12over 99]를 순환소수로 나타낼 때, 소수점 아래 [eqn: n`]째 자리의 수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들면 [eqn: a_3 `=`1 `]이다. 이때, [eqn: sum_n=1 ^inf` a_n over 2^n]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 순환소수를 구하여 무한급수의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum_n=1 ^inf a_n over 2^n``][eqn: = 1 over 2 + 2 over 2^2 + 1over 2^3 + 2 over 2^4 + ⋯ ``]

[eqn: = 2․ 1over2 + 2․ 1over 2^3 + 2․ 1 over 2^5 +… ``][eqn: = 1 over {1- 1 over 4 } = 4 over 3 ``]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 5 over 3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

2008	평가원(3점)

공비가 [eqn: {1_`} over 5]인 등비수열 [eqn: left{ a_n `right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf a_n = 15]일 때, 첫째항 [eqn: a_1]의 값을 구하시오.

정답 12

[eqn: r= { 1} over { 5}]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = { a_1} over {1-r }= { a_1} over {1- { 1} over {5 } }= { 5} over {4 }a_1 =15]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_1 =12]

2012	교육청(3점)

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n}]이고

(나)에서 [eqn: a _{n} <3- {1} over {2} b _{n}]이므로

[eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n} <3- {b _{n}} over {2}]이다.

한편, [eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +1} over {n(n+1)}} le lim _{n -> INF } {a _{n}} LEQ lim _{n -> INF } {LEFT. LEFT ( 3- {b _{n}} over {2} RIGHT . RIGHT )}]이고

(다)에서 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =0}]이므로

[eqn: 3 le lim _{n -> INF } {a _{n}} le3]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =3]

[3점][2012년 4월 교육청]

(가) [eqn: 3n ^{2} +1<(`2+4+6+` CDOTS `+2n)a _{n}]

(나) [eqn: b _{n} <6-2a _{n}]

(다) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴한다.

①  [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

2008	교육청(3점)

수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{b_n right}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta`]는 상수이다.)

정답 ③

ㄱ. (반례) [eqn: a_n = 3n +2], [eqn: b_n =3n]

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = 1 over 3n], [eqn: b_n = 1 over 2n]

ㄷ. 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n`]가 수렴하면 [eqn: lim_n->inf {`a_n}` = 0]

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: lim_n->inf {`a_n} = inf], [eqn: lim_n->inf {`b_n} = inf`]이면 [eqn: lim_n->inf {`left( a_n - b_n right)}` = 0`]이다.

ㄴ. [eqn: a_n < b_n], [eqn: lim_n->inf {`a_n} = alpha], [eqn: lim_n->inf {`b_n} = beta`]이면 [eqn: alpha < beta`]이다.

ㄷ. 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf `a_n = 3`]이면 [eqn: lim_n->inf {`a_n} = 0`]이다.

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* 작성자 *

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

2007	평가원(3점)

두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} -1),`` sum _{n=1} ^{INF } (`b _{n} +1)``]이 모두 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} -1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ``} =1``] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)```]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(b _{n} +1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} ``} =-1``]

따라서 [eqn: `` sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1),```` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]이 모두 수렴하므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)+`` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]

[eqn: =sum _{n=1} ^{INF }left{ (a _{n} -1 )+(b _{n} +1)``right] [eqn: =sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다. (참)

[3점][2007년 03월 평가원 고3]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF }`` {a _{n} ``} =1``] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ,ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

2007	교육청(3점)

무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

[출제의도] 무한수열과 무한급수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n}] 이 수렴이므로 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} =0]이고,

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} = beta] (상수)이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = lim _{n` -> INF } {} `a_n ×lim _{n` -> INF } {} `b_n = 0× beta =0] (참)

ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(2a _{n} +b_n right) =SUM from { { n}=1} to inf c_n = alpha],

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(a _{n} -2b_n right) = SUM from { { n}=1} to inf d_n =beta]라 하면

[eqn: a_n ={ 2c_n +d_n } over { 5} , b_n ={ c_n -2d_n } over { 5}]에서

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =SUM from { { n}=1} to inf{ 2c_n +d_n } over { 5} = { 2} over {5 } alpha+ { 1} over {5 } beta]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {c _{n} -2d _{n}} over {5} = { 1} over { 5} alpha- { 2} over {5 } beta]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} = (-1)^n ,``b_n =(-1)^n]

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} b _{n} =1]이지만 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` a _{n}]과 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` b _{n}]은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =alpha`], [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} =beta`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = 0`]이다. (단, [eqn: alpha`,```` beta`]는 상수) ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( 2 a _{n} +b_n RIGHT ) `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( a _{n} - 2b_n RIGHT ) `]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b _{n} `]이 수렴한다. ㄷ. [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} =alpha`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} `] 또는 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} `]이 수렴한다. (단, [eqn: alpha`]는 상수)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ,ㄴ	⑤ ㄴ,ㄷ

2006	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질 이해하기

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{ a _{n} right}], [eqn: left{ b _{n} right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n -b_n )}=0] 이므로 [eqn: lim _{ n->inf}`` { a_n} -lim _{ n->inf} ``{ b_n}=0] (참)

ㄴ. 수렴하는 무한급수의 일반항 [eqn: a_n ,b_n]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }= lim _{ n->inf} { b_n}=0] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = { 1} over { n}], [eqn: b_n = n] 이라하면

[eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } }=0], [eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } ․`n}=1] 이지만 [eqn: lim _{ n->inf} { b_n}]이 수렴하는 것은 아니다. (거짓)

옳은 것은 ㄱ

		< 보 기 >
	ㄱ. 수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } left(a_n -b _{n}right)=0] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}=lim _{n -> INF } {b_n}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}= alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}= beta] 이고 [eqn: alpha>beta] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}>lim _{n -> INF } {b _{n}}] ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { a _{n} `b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} ``b _{n}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2005	교육청(3점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 ``]인 정사각형 [eqn: A_1 B_1 C_1 D_1 ``] 내부에 합동인 [eqn: 4 ``]개의 직각삼각형의 넓이의 합과 정사각형 [eqn: A_2 B_2 C_2 D_2 ``]의 넓이가 같도록 만들고, 정사각형 [eqn: A_2 B_2 C_2 D_2 ``]내부에 같은 방법으로 정사각형 [eqn: A_3 B_3 C_3 D_3 ``]을 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 만들어진 정사각형 [eqn: A_n B_n C_n D_n``]의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum from n=1 to inf S_n ``]의 합은?

정답 ①

[eqn: S_n+1 ``=`` 1 over 2 S_n ``]이므로 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ``S_n ``=`` 1over{1``-`` {1over2}} ``=``2``]

[3점][교육청 2005년 6월-가, 나형]

[eqn: D_2``]

[eqn: D_3``]

[eqn: B_2``]

[eqn: B_1``]

[eqn: A_3``]

[eqn: A_2``]

[eqn: A_1``]

[eqn: D_1``]

[eqn: C_3``]

[eqn: C_2``]

[eqn: C_1``]

[eqn: B_3``]

① [eqn: 2 ``]	② [eqn: 9over4 ``]	③ [eqn: 5over2 ``]	④ [eqn: 11over4 ``]	⑤ [eqn: 3 ``]

2007	교육청(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: {rm A} it _{n} `]은 직선 [eqn: y=n`]위에 있다. 선분 [eqn: rm A_0 A _{1} `]의 기울기가 [eqn: {3} over {4} `]이고, 선분 [eqn: {rm A} it _{n} {rm A} it _{n+1} `]의 기울기는 선분 [eqn: {rm A} it _{n-1} {rm A} it _{n} `]의 기울기의 [eqn: {4} over {3} `]배이다. 점 [eqn: {rm A }it _{n} `]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {x _{n}} `]의 값은?(단, 원점 [eqn: rm O=A _{0}`])

정답 ①

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 문제 해결하기

점[eqn: rmA_1`,``A_2`, CDOTS]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC_1 `,``C_2`,``CDOTS]라 하면 [eqn: n]이 한없이 커질 때, [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: bar{rmOC}_1 `+``bar{rmC_1 C_2} `+``CDOTS]

[eqn: x= {4} over {3} +1+ {3} over {4} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + CDOTS = {{4} over {3}} over {1- {3} over {4}} = {16} over {3}]

① [eqn: { 16} over { 3}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 14 over 3]	④ [eqn: {13} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

2010	평가원(3점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{0} A _{1} B _{1}]이 있다. 점 [eqn: A _{1`}]에서 선분 [eqn: A _{0} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{2}]라 하고, 선분 [eqn: A _{0} A _{1}]위의 [eqn: bar{A _{1} B _{2} }=bar{A _{1} A _{2}]인 점 [eqn: A _{2}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{1} A _{2} B _{2}]를 그린다. 점 [eqn: A _{2}]에서 선분 [eqn: A _{1} B _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{3}]이라 하고, 선분 [eqn: A _{1} A _{2}]위의 [eqn: bar{A _{2} B _{3} }=bar{A _{2} A _{3}]인 점 [eqn: A _{3}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{2} A _{3} B _{3}]을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: A _{n}]에서 선분 [eqn: A _{n-1} B _{n}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{n+1}]이라 하고, 선분 [eqn: A _{n-1} A _{n}]위의

정답 ②

[eqn: ANGLEA_n A_n-1 B_n = pi over 4] 이므로

[eqn: bar{A _{n} A _{n+1}} = {sqrt {2}} over {2} bar{A _{n-1} A _{n}}]

따라서 부채꼴 [eqn: A_n-1 A_n B_n]의 중심각의 크기를 [eqn: theta_n], 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라고 하면

[eqn: theta_n = pi over 4], [eqn: r_n = 4 ( root2 over 2 )^n-1]

[eqn: therefore] [eqn: l _{n} =r _{n} theta _{n} = {pi } over {4} TIMES 4( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: = pi ( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {pi } over {1- {sqrt {2}} over {2}} = {2 pi } over {2- sqrt {2}}]

[eqn: = pi(2+root2 )]

[eqn: bar{A _{n} B _{n+1} }=bar{A _{n} A _{n+1}]인 점 [eqn: A _{n+1}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{n} A _{n+1} B _{n+1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: A _{n-1} A _{n} B _{n}]의 호 [eqn: A _{n} B _{n}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} l _{n}]의 값은?

[3점][2010년 9월 평가원]

① [eqn: LEFT ( 4-sqrt2 RIGHT ) pi]	② [eqn: LEFT ( 2+sqrt2 RIGHT ) pi]	③ [eqn: LEFT ( 2+2sqrt2 RIGHT ) pi]	④ [eqn: LEFT ( 4+sqrt2 RIGHT ) pi]	⑤ [eqn: LEFT ( 4+2sqrt2 RIGHT ) pi]

2009	교육청(3점)

[eqn: ANGLE rm A=60 DEG], [eqn: ANGLE rm B _{1} =30 DEG], [eqn: bar{rm AC _{1} it} =6`]인 직각삼각형 [eqn: rm `AB _{1} C _{1} `]이 있다. 선분 [eqn: rm `B _{1} C _{1} `]을 [eqn: 2```:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{1} `]이라 하자.두 선분 [eqn: rm `AB _{1} `], [eqn: rm `AC _{1} `]의 중점을 각각 [eqn: rm `B _{2} `], [eqn: rm C _{2} `]라 하고, 선분 [eqn: rm `B _{2} C _{2} `]를[eqn: 2```:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{2} `]라 할 때, 네 점 [eqn: rm B _{2} `], [eqn: rm P _{1} `], [eqn: rm C _{1} `], [eqn: rm P _{2} `]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm `B _{it 2 rm} P _{1 rm} C _{1 rm} P _{2 rm} `]를만든다. 두 선분 [eqn: rm `AB _{2} `], [eqn: rm `AC _{2} `]의 중점을 각각 [eqn: rm `B _{3} `], [eqn: rm C _{3} `]이라 하고, 선분 [eqn: rm `B _{3} C _{3} `]을 [eqn: 2```:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{3} `]이라 할 때, 네 점 [eqn: rm B _{3} `], [eqn: rm P _{2} `], [eqn: rm C _{2} `], [eqn: rm P _{3} `]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm `B _{it 3 rm} rm P _{2 rm} C _{2 rm} P _{3 rm} `]을 만든다. 두 선분 [eqn: rm `AB _{3} `], [eqn: rm `AC _{3} `]의 중점을 각각 [eqn: rm `B _{4} `], [eqn: rm C _{4} `]라 하고, 선분 [eqn: rm `B _{4} C _{4} `]를[eqn: 2```:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{4} `]라 할 때, 네 점 [eqn: rm B _{4} `], [eqn: rm P _{3} `], [eqn: rm C _{3} `], [eqn: rm P _{4} `]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm `B _{it 4 rm} rm P _{3 rm} C _{3 rm} P _{4 rm} `]를만든다. 이와 같은 과정을 계속할 때, 사각형 [eqn: rm `B _{it n+1 rm} P _{it n rm} C _{it n rm} P _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{n} `] [eqn: (n`=1,``2,``3,`․`․`․)`] 이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한급수를 활용하여 도형의 넓이의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm B_2 P_1 C_1 P_2]에서

[eqn: bar{rm P _{1} C _{1} it} = {1} over {3} bar{rm B _{1} C _{1} it} =2 sqrt {3}]

[eqn: bar{rm C _{1} C _{2} it} = {1} over {2} bar{rm AC _{1} it} =3]이므로

[eqn: S _{1} = bar{rm P _{1} C _{1} it} cdot bar{rm C _{1} C _{2} it} =6 sqrt {3}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: bar{rm P _{it n+1} C _{it n+1} it} ``= {1} over {2}` bar{rm P _{it n} C _{it n} it}]이므로

[eqn: S _{it n+1} `=` {1} over {4} S _{it n}]

∴ [eqn: ` sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {6 sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} `=`8 sqrt {3}]

① [eqn: 8 sqrt {3}]	② [eqn: 7 sqrt {3}]	③ [eqn: 6 sqrt {3}]	④ [eqn: 5 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

2007	평가원(3점)

두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {4}} (-x)``], [eqn: y=log _{{1} over {4}} x``]가 직선 [eqn: y= {1} over {2}]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 [eqn: x``]축 위에 있는 직사각형의  넓이를 [eqn: S _{1}`]이라 하자. 두 곡선이 직선 [eqn: y=1``]과 만나는 두 점을 꼭짓점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y= {1} over {2}] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자. 두 곡선이 직선 [eqn: y= {3} over {2}``]과 만나는 두 점을 꼭짓점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y=1] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자. 위와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n``]번째 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을  이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

곡선 [eqn: y=log_{1over4} x``]와 직선 [eqn: y= 1over2], [eqn: y= 1], [eqn: y= {3} over {2} , ``CDOTS ``]이
만나는 점의 [eqn: x``]좌표는 각각 [eqn: 1over2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 , CDOTS``]이다.

[eqn: y=log_{1over4} x``]와 [eqn: y=log_{1over4}(- x)``]는 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n][eqn: = 1over2 LEFT { 1+ 1over2 +LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + CDOTS RIGHT }= 1over 2 cdot 1over {1- 1over2}= 1]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {7} over {8}]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 9over8]

2012	평가원(3점)

한 변의 길이가 [eqn: 3``]인 정삼각형 [eqn: rm AB_1 C_1``]이 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB_1``]과 선분 [eqn: rm AC_1``]을 [eqn: 2:1``]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm B_2 ,~C_2``]라 하고, 선분 [eqn: rm B_2 C_2``]를 지름으로 하는 원의 호 [eqn: rm B_2 C_2``]와 선분 [eqn: rm B_1 C_1``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1``]이라 하자.

정답 ②

그림과 같이 점 [eqn: rm A``]에서 [eqn: rm bar {B_1 C_1}``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M``]이라 하고 수선과 [eqn: rm bar {B_2 C_2}``]의 교점을 [eqn: rm O``]라 하자.

[eqn: rm bar {AB_2} : bar {B_2 B_1} = bar {AC_2} : bar {C_2 C_1} = 2:1``]이므로

[eqn: rm bar {B_1 C_2} □ bar {B_2 C_2}``]이고 [eqn: rm bar {B_2 O} = 1``]이고

[eqn: rm bar OM = 1 over 3 bar AM = 1 over 3 times {3 root 3} over 2 = root 3 over 2``]

[eqn: rm bar {B_2 C_2}``]를 지름으로 하는 원의 호 [eqn: rm B_2 C_2``]와 선분 [eqn: rm bar {B_1 C_1}``]의 교점을 각각 [eqn: rm P,~Q``]라 하면 [eqn: rm O``]가 원의 중심이므로 [eqn: rm bar OQ = 1``]

직각삼각형 [eqn: rm triangle OQM``]에서 [eqn: rm bar OQ = 1``]이고

[eqn: rm bar OM = root3 over 2``]이므로 [eqn: rm angle QOM = pi over 6``]

∴ [eqn: rm angle QOP = pi over 3``]

[eqn: S_1``]은 부채꼴 [eqn: rm OQP``]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm OQP``]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: S_1 = 1 over 2 cdot 1^2 cdot pi over 3 - root3 over 4 cdot 1^2 = pi over 6 - root3 over 4``]

삼각형 [eqn: rm AB_{it n} C_{it n}``]과 [eqn: rm AB_{it n + 1} C_{it n + 1}``]이 닮음이고 닮음비가 [eqn: 3:2``]이므로

[eqn: S_n : S_{n + 1} = 3^2 : 2^2 = 9:4``]

따라서, [eqn: S_n``]은 공비가 [eqn: 4 over 9``]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_{n = 1}^inf S_n = {pi over 6 - root3 over 4} over {1 - 4 over 9} = {6pi - 9 root 3 } over 20``]

정삼각형 [eqn: rm AB_2 C_2``]에서 선분 [eqn: rm AB_2``]와 선분 [eqn: rm AC_2``]를 [eqn: 2:1``]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm B_3 ,~C_3``]이라 하고, 선분 [eqn: rm B_3 C_3``]을 지름으로 하는 원의 호 [eqn: rm B_3 C_3``]과 선분 [eqn: rm B_2 C_2``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2``]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 부분의 넓이를 [eqn: S_n``]이라 할 때, [eqn: sum_{n = 1}^inf S_n``]의 값은?

[3점][2012년 6월 평가원]

① [eqn: {3 pi - 5 root 3 } over 10``]	② [eqn: {6 pi - 9 root 3} over 20``]	③ [eqn: {4 pi - 5 root 3} over 10``]

④ [eqn: {8 pi - 9 root 3} over 20``]	⑤ [eqn: {10 pi - 9 root 3} over 20``]

2009	평가원(3점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: AB]를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 [eqn: AB]의 [eqn: 3]등분점을 각각 [eqn: P_1`,~P_2]라 하고 선분 [eqn: AP_1]을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: AP_2]를 지름으로 한는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: P_2`B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선분 [eqn: P_1`B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: P_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: AB] 위의 색칠되지 않은 두 선분 [eqn: AP_1], [eqn: P_2`B]를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 두  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 두 선분 [eqn: AP_1`,~P_2`B] 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 모든  모양의 도형의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from n->inf`S_n]의 값은?

정답 ②
[eqn: S _{1} = {1} over {2} LEFT { 4pi`-pi RIGHT } TIMES 2=3pi]이고
이후  모양의 도형은 넓이 [eqn: {1} over {9}]배, 개수는 [eqn: 2]배로
변화 하므로 [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: S _{n}]은 공비가 [eqn: {1} over {9} ` TIMES 2= {2} over {9}]인 무한등비급수가 된다.
∴ [eqn: lim _{n->inf} {}] [eqn: S _{n} = {3pi} over {1- {2} over {9}} = {27pi} over {7}]

① [eqn: 25over7 pi]	② [eqn: 27over7`pi]	③ [eqn: 29 over 7`pi]
④ [eqn: 31over7`pi]	⑤ [eqn: 33over7`pi]

2009	평가원(3점)

그림과 같이 원점 [eqn: \O`]를 지나고 기울기가 [eqn: sqrt3`]인 직선 [eqn: l_1`]과 점 [eqn: \A(0,``4)`]가 있다.
점 [eqn: \O`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \OA`]를 반지름으로 하는 원이 직선 [eqn: l_1`]과 제1사분면에서 만나는 점을 [eqn: \O_1`]이라 하자. 점 [eqn: \O_1`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \O_2`]라 하자. 점 [eqn: \O_2`]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \O_1 \O_2`]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: \OO_1`]과 만나는 점을 [eqn: \A_1`]이라 하자. 선분 [eqn: \A_1 \O`], 선분 [eqn: \OO_2`], 호 [eqn: \O_2 \A_1`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1`]이라 하자.
점 [eqn: \O_2`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \O_1 \O_2`]를 반지름으로 하는 원이 점 [eqn: \O_2`]를 지나고 직선 [eqn: l_1`]에 평행한 직선 [eqn: l_2`]와 제1사분면에서 만나는 점을 [eqn: \O_3`]이라 하자. 점 [eqn: \O_3`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \O_4`]라 하자. 점 [eqn: \O_3`]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \O_3 \O_4`]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: \O_2 \O_3`]과 만나는 점을 [eqn: \A_2`]이라 하자. 선분 [eqn: \A_2 \O_2`], 선분 [eqn: \O_2 \O_4`], 호 [eqn: \O_4 \A_2`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: SUM from { {n}=1} to inf S_n`]의 값은?

정답 ②

[eqn: S_1 = triangle OO_1 O_2 -부채꼴A_1 O_1 O_2]

[eqn: = 1over2 times2sqrt3 times2- 1over2 times (2sqrt3 )^2 times piover6 =2sqrt3 - pi]

[eqn: S_2 = triangle O_2 O_3 O_4 -부채꼴A_2 O_3 O_4]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 3 TIMES sqrt3 - {1} over {2} TIMES 9 TIMES {pi } over {6} = 3over4 ( 2sqrt {3} - pi )]

[eqn: S _{3} = TRIANGLE O _{4} O _{5} O _{6} -부채꼴A _{3} O _{5} O _{6}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {3sqrt3} over2 TIMES {3}over2 - {1} over {2} TIMES ({3sqrt3} over2 ) ^2TIMES {pi } over {6}]

[eqn: =( 3over4 )^2 ( 2sqrt3 - pi)]

[eqn: S_1, S_2, S_3]에 의해서 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2sqrt3 -pi]이고 공비가 [eqn: 3over4]인 등비수열이므로

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf}S_n = {2sqrt3 - pi}over{1- 3over4 }=8sqrt3 -4 pi]

① [eqn: 4sqrt3 -2pi`]	② [eqn: 8sqrt3`-4pi`]	③ [eqn: 4sqrt3`-pi`]	④ [eqn: 8sqrt3`-2pi`]	⑤ [eqn: 16sqrt3`-4pi`]

2012	평가원(3점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O``]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O``]와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O``]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{1}]이라 하자.

정답 ②

[출제의도] 무한등비급수에 관련된 내적문제를 해결할 수 있는가?

아래 그림과 같이 원 [eqn: O]의 중심을 [eqn: rm O], 원 [eqn: O]와 중심이 [eqn: rm A]인 원이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자.

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: O]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

이때, 삼각형 [eqn: rm AOC]는 정삼각형이므로

[eqn: S _{1} =1 ^{2} TIMES pi -4 TIMES LEFT { 2 TIMES (부채꼴` rm OAC)-△ rm AOC RIGHT }]

[eqn: =1 ^{2} TIMES pi -4 TIMES LEFT { 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {3} RIGHT ) - {sqrt {3}} over {4} TIMES 1 ^{2} RIGHT }]

[eqn: = pi - LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: = sqrt {3} - {pi } over {3}]

한편, 도형 [eqn: R _{n}]에서 가장 작은 원은 개수가 [eqn: 2 ^{n-1}], 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이므로

[eqn: S _{n} =S _{1} +2 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES S _{1} + CDOTS +2 ^{n-1} TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{n-1} S _{1}]

[eqn: =S _{1} + {1} over {2} S _{1} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} S _{1} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} S _{1}]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} = {S _{1}} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: = {sqrt {3} - {pi } over {3}} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: =2 sqrt {3} - {2} over {3} pi]

그림 [eqn: R` _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는
두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R` _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한 선분을 각각 지름으로 하는

네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R` _{n}]에 색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

2009	교육청(3점)

등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선 [eqn: rmbar{AC}]와 [eqn: rmbarBD]의 교점을 [eqn: rmP_1]이라 하고, [eqn: rmP_1]에서 [eqn: rmbarBC]에 평행인 선을 그어 [eqn: rmbarCD]와 만나는 점을 [eqn: rmQ_1]이라 하자. 마찬가지 방법으로 [eqn: rmbarAQ _1]과 [eqn: rmbarBD]의 교점을 [eqn: rmP_2]라 하고, [eqn: rmP_2]에서 [eqn: rmbarBC]에 평행인 선을 그어 [eqn: rmbarCD]와 만나는 점을 [eqn: rmQ_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: rmP_1 ,~ Q_1 ,~ P_2 ,~Q_2 ,~ cdots,~ P_{itn} ,~ Q_{itn} ,~ cdots]을 얻는다. [eqn: bar{ {rmP}_n {rmQ}_n } = x_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf x_n cdot x_n+1]의 값은?

정답 ①
[eqn: rmtriangle P_ 1 AD □ triangle P_1 CB]이고 닮음비가 [eqn: 2~:~3]이므로
[eqn: rmBAR DP_1 ~:~BAR { P_1 B} =2~:3]이고 [eqn: rmBAR{ P_1 Q_1} ⫽BARBC]이므로
[eqn: rmBAR{ P_1 Q_1} ~:~ BARBC = BAR{ DP_1} ~:~ BAR DB ~ RARROW ~ itx_1 ~:~3 = 2:~ 5]  [eqn: THEREFORE ````x _{1} = {6} over {5}]

[eqn: x _{n+1} `:~x _{n} = {rmbar{DP _{it n+1}} `:~ bar{DP _{itn}}} =2~:~(2+x _{n} )]
[eqn: 2x_n = x_n+1 (2+x_n )] [eqn: RARROW] [eqn: x_n+1 cdot x _n = 2(x_n - x_n+1 )]
[eqn: S_n = sum from k=1 to n x_k x_k+1 = 2 sum from k=1 to n (x_k - x_k+1 ) = 2(x_1 - x_n+1 )]
[eqn: sum from n=1 to inf x_n x_n+1 = lim_n->inf S_n = 2x_1 = 2 times 6over 5 = 12over 5]

① [eqn: 12over5]	② [eqn: 18 over 5]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 25over 6]	⑤ [eqn: 9 over2]

2008	교육청(4점)

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x-1)(log _{2} `x) ^{n}`]이 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

		<보 기>
	ㄱ. 수렴하기 위한 [eqn: x]값의 범위는 [eqn: {1} over {2} < x < 2]이다. ㄴ. 무한급수의 합이 [eqn: 1]이 되도록 하는 [eqn: x]의 값은 한 개 존재한다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left( {log _{2} ``x``-1} over {2} right) ^{n}`]은 수렴한다.

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수의 수렴 조건 이해하기

ㄱ. [eqn: -1<log _{2} x<1``````` THEREFORE ` {1} over {2} <x<2] (참)

ㄴ.  [eqn: {(x-1)log _{2} x} over {1-log _{2} x} =1``,`````x`log _{2} x=`1]

[eqn: log _{2} x= {1} over {x}]이고 [eqn: y=log _{2} x``와```y= {1} over {x} `]의 그래프는 [eqn: {1} over {2} <x<2]인 범위 내에서 반드시 한 개의 교점이 생긴다. (참)

ㄷ.  [eqn: -1<log _{2} x<1`,```-2<log _{2} x-1<0``]

[eqn: -1< {log _{2} x-1} over {2} <0```] [eqn: THEREFORE `수렴]  (참)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2012	평가원(4점)

[eqn: 2``]보다 큰 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: (-3)^{n - 1}``]의 [eqn: n``]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: a_n``]이라 할 때, [eqn: sum_{n = 3}^inf a_n over 2^n``]의 값은?

정답 ①

(i) [eqn: n = 2k``]([eqn: k``]는 정수)일 때, 즉 [eqn: n``]이 짝수일 때, [eqn: (-3)^{n - 1} < 0``]이므로 [eqn: a_n = 0``]

(ii) [eqn: n = 2k - 1]([eqn: k``]는 정수)일 때, 즉 [eqn: n``]이 홀수일 때, [eqn: a_n = 1``]

[eqn: sum_{n = 3}^inf a_n over 2^n = 1 over 2^3 + 1 over 2^5 + 1 over 2^7 + cdots = {1 over 2^3} over {1 - 1 over 4} = 1 over 6``]

[4점][2012년 6월 평가원]

① [eqn: 1 over 6``]	② [eqn: 1 over 4``]	③ [eqn: 1 over 3``]

④ [eqn: 5 over 12``]	⑤ [eqn: 1 over 2``]

2005	교육청(4점)

무한수열 [eqn: left{a_n `right }``]을 [eqn: a_n ``=``CASES{ 0~~~&(`n``=``3k-2``) #&#1&(`n``=``3k-1`)#&#2&(`n=3k``) }]
(단, [eqn: k``]는 자연수)로 정의할 때, [eqn: SUM from { { n}=1} to inf { a_n} over {4^n } ``]의 값은?

정답 ②

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf { a_n} over {4^n } ``=`` 0 over 4 ``+`` 1 over 4^2 ``+`` 2over 4^3 ``+`` 0 over 4^4 ``+`` 1 over 4^5 ``+`` 2over 4^6 ``+``․․․``]

[eqn: =`` left( 1 over 4^2 ``+`` 1 over 4^5 ``+`` 1 over 4^8 ``+``․․․ right)``+``left( 2 over 4^3 ``+`` 2 over 4^6 ``+`` 2 over 4^9 ``+``․․․ right) ``]

[eqn: =`` {``` 1 over 4^2``` } over { 1 - 1 over 4^3 } +{2over 4^3 } over {``` 1- 1 over 4^3 ```} ``=`` {```1 over 16 ```} over { 63 over 64 } +{```2 over 64``` } over { 63 over 64 } ``=`` 2 over 21 ``]

① [eqn: 3 over 4``]	② [eqn: 2 over 21``]	③ [eqn: 13 over 32``]	④ [eqn: 17 over 54``]	⑤ [eqn: 29 over 63``]

2010	평가원(4점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이
[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} +`․`․`․`+7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -1]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {3 ^{n-1}}]의 값은?

정답 ①

[eqn: 7`a_1`+`7^2`a_2`+``cdots`+`7^n`a_n`=`3^n`-1`~~cdots`~(1)`]에 [eqn: n``` larrow``n-1`]을 대입하면,

[eqn: 7`a_1`+`7^2`a_2`+``cdots`+`7^n-1`a_n-1`=`3^n-1`-1`~~cdots`~(2)`]

(1)-(2)하면 [eqn: 7^n`a_n`=`2times`3^n-1`] [eqn: LRARROW`] [eqn: a_n`=`2over7`times`left(3over7`right)^n-1`]

[eqn: therefore~ sum _{ n=1} ^{inf }`{a_n}over{3^n-1}`=`2over7 sum _{ n=1} ^{inf }`{1}over{7^n-1}`=`2over7`times{1}over{1-`1over7}`=`1over3`]

[4점][2010년6월 평가원]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

2012	교육청(4점)

수열 [eqn: LEFT { `a `_{n} `RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때,  [eqn: S ` _{n} = {6n} over {n+1}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(`a ` _{n} +`a `_{n+1}` right)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 9`]

[출제의도] 수열의 합 [eqn: S_n `]과 일반항 [eqn: a_n `]의 관계를 이해하여 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: S _{n`} = {6n} over {n+1}]에서

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: = 6n over n+1 - 6(n-1) over n]

[eqn: = {6n^2 -6(n^2 -1)}over n(n+1)]

[eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 =S_1 = 3]이므로 [eqn: a_n][eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥1])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_n +a_n+1 = 6over{n(n+1)} + 6 over{(n+1)(n+2)}]

[eqn: = 6 LEFT ( 1over n - 1over n+1 RIGHT )+6 LEFT ( 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} +a _{n+1}` right)][eqn: =][eqn: 6 sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( 1over k - 1over k+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} LEFT ( 1+ 1over2 - 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: = 6 LEFT ( 1+ 1over2 RIGHT ) = 9]

[다른풀이1]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n} over {n+1} =6``]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n+6} over {n+2} =6``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} ``+a _{n+1} `)`= lim _{n`-> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +a _{k+1} )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n} a _{k} + sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( S _{n} +S _{n+1} -a _{1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} `+ lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} `-a _{1} `]

[eqn: =6+6-3=9`] ([eqn: BECAUSE `a _{1} =S _{1} =3])

[다른풀이2]

[eqn: a_n +a_n+1 = LEFT ( S_n -S_n-1 RIGHT )+ LEFT ( S_n+1 -S_n` RIGHT )]

[eqn: =][eqn: S_n+1 -S_n-1]

[eqn: = 6(n+1) over n+2 - {6(n-1) over n]

[eqn: = {6n(n+1)-6(n-1)(n+2)}overn(n+2)]

[eqn: = 12 over n(n+2)]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 +a_2 = S_2 = 4]이므로

[eqn: a_n +a_n+1][eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥1])

[4점] [12년 03월 교육청]

수학세상 수학자료실                                     http://www.math114.net

대수능 & 평가원 및 교육청 수1	무한 급수	선생님이 풀어주면 다 알거 같지? ㅋㅋㅋ 선생님이 푼건 니가 푼게아냐 꼭 다시풀자~~~~~

2010	교육청(4점)

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 대각선의 길이가 [eqn: a _{n}]인 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 여러 가지 문제 해결하기

대각선의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: a overroot2 `]이고 정사각형의 넓이는 [eqn: 1 over2 a^2]이다.

이때, [eqn: a_1 =1,~a_2 = 1over 3 ,~a_3 = left( 1 over3 right)^2 ,~cdots``]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf S_n = 1 over2 left{ 1^2 + left( 1 over3 right)^2 + left( 1 over3 right)^4 + cdots right}]

[eqn: = 1 over2 cdot 1 over{1- 1 over9 }= 9 over16 = q overp `]이다.

따라서, [eqn: p=16,~q=9`]이므로 [eqn: p+q=25]이다.

[4점][2010년 4월 교육청]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

2010	교육청(4점)

수열 [eqn: left{ a_n right}]을 다음과 같이 정의한다.

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: 2,~1,~2,~1,~2,~1,~cdots]이므로

[eqn: sum_n=1^inf {a_n }over{3^n } = Left( 2 over3 + 2 over3^3 + 2 over 3^5 +~cdots~right) + Left( 1 over3^2 + 1 over3^4 + 1 over3^6 +~cdots~ right)]

[eqn: ={2 over3} over{1 - 1over9} + { 1 over9} over{ 1 - 1 over9}]

[eqn: = 3 over4 + 1 over8 = 7 over8]

[eqn: therefore p+q= 8+7 = 15]

(가) [eqn: a_1 =2]

(나) [eqn: a_n+1 = (a_n ^2 +a_n]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지)

([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

[eqn: sum_n=1^inf {a_n over{3^n } = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2010 3월 교육청]

2009	평가원(4점)

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_1``]이고, 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_n `a_n+1 = left(1 over 5 right)^n]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} ``]의 값은?

정답 ③
[eqn: a_n cdota_n+1 = left( 1 over 5 right )^n ~~~~~~~~cdots ①]
[eqn: a_n+1 cdot a_n+2 = left( 1 over 5 right )^n+1 ~~~cdots ②]
[eqn: ② div①]  [eqn: a_n over a_n+2 = 1 over 5]은 짝수번째항의 공비를 의미한다.
①에 [eqn: n = 1]을 대입하면 [eqn: a_1 cdot a_2 = 1 over 5]이므로 [eqn: a_2 = 1 over 5]이다.[eqn: (because~ a_1 = 1)]
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS CDOTS = {1} over {5} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} + CDOTS]
[eqn: = { 1 over 5 } over {1- 1 over 5 } = 1 over 4]
(다른풀이)
축차대입법에 의하여
[eqn: n = 1,~2,~3,~CDOTS] 대입하여 나열하면
[eqn: 1,~ 1 over 5 ,~ 1 over 5 ,~ left (1 over 5 right)^2 , left (1 over 5 right)^2 , left (1 over 5 right)^3 ,~ left (1 over 5 right)^3 , cdots]
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS CDOTS]은 공비가 [eqn: 1 over 5]인 무한등비급수이므로
[eqn: = { 1 over 5 } over {1- 1 over 5 } = 1 over 4]

① [eqn: 1over 6]	② [eqn: 1over 5]	③ [eqn: 1over 4]
④ [eqn: 1over 3]	⑤ [eqn: 1over 2]

2005	평가원(4점)

순환소수로 이루어진 수열 [eqn: \{`a_n` \}` `]의 각 항이 [eqn: a_1 ``=``0 .dot 1^` `], [eqn: a_2``=``0.dot1^` dot 0^` `], [eqn: a_3``=``0.dot1^`0` dot 0^` `], ․․․,

□─□─□

[eqn: 0``은 ~(`n`-`1`)`개``]

[eqn: a_n``=``0.dot 1^` 0^` 0^` ``CDOTS`` 0 `dot 0^` `]

․․․

일 때, [eqn: SUM from { n=1}^` to {`inf_`} ` LEFT( {` 1_`} over {a_n+1 } ``- `` {`1_` } over { a_n} RIGHT)`]의 값은?

정답 ②

[eqn: a_1 ``=`` 1over9` `], [eqn: a_2 ``=`` 10over99` `], [eqn: a_3 ``=`` 100over999` `],․․․이므로 [eqn: 1over a_1 ``=`` 9` `], [eqn: 1over a_2 ``=`` 99over10` `], [eqn: 1over a_3 ``=`` 999over100` `],․․․

따라서 [eqn: 1over a_2 ``-`` 1over a_1 ``=`` 9over10` ``], [eqn: 1over a_3 ``-`` 1over a_2 ``=`` 9over100` `],․․․, [eqn: 1over a_n+1 ``-`` 1over a_n ``=`` 9over 10^n` `]이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf ` `left( 1over a_n+1 ``-`` 1over a_n`right) ``=`` {9over10}over{1- 1over10} ``=`` 1``]

① [eqn: {2_`} over {3^` } ``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: { 4_`} over {3^` } ``]	④ [eqn: { 5_`} over { 3^`} ``]	⑤ [eqn: 2``]

2006	교육청(4점)

무한등비급수 [eqn: cos ^{2} theta +cos ^{2} theta `sin theta +cos ^{2} theta `sin ^{2} theta +` CDOTS] 의 합이 [eqn: {18} over {13}]일 때, [eqn: {10} over {tan theta }]의 값을 구하시오.  ( 단 , [eqn: 0< theta < {pi } over {2}] )

정답 [eqn: 24]

무한등비급수의 공비가 [eqn: sin theta] 이고 [eqn: 0<sin` theta <1]

이므로 무한등비급수는 수렴한다.

[eqn: {cos ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],  [eqn: {1-sin ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],

[eqn: 1+sin theta = {18} over {13}],  [eqn: sin theta = {5} over {13}]

∴ [eqn: tan theta = {5} over {12}]

그러므로 [eqn: {10} over {tan theta } =10 TIMES {12} over {5} =24]

2006	교육청(4점)

다음과 같이 무한히 나열된 수를 모두 더하면?

정답 ③

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 수의 합 구하기

나열된 모든 수의 합은

[eqn: ```````(9+0.9+0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.9+0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +`` {CDOTS }]

[eqn: =10+1+ { 1} over {10 }+ { 1} over {100 }+ ````CDOTS]

[eqn: = {10} over {1- {1} over {10}} = {100} over {9}]

(별해)

[eqn: S=9+2 TIMES 0.9+3 TIMES 0.09+4 TIMES 0.009+ CDOTS]  …①

[eqn: 0.1S=0.9 +2 TIMES 0.09+3 TIMES 0.009+ CDOTS]      …②

①[eqn: -]②에서 [eqn: 0.9S=9+0.9+0.09+0.009+ CDOTS]

[eqn: ={ 9} over { 1-0.1}=10]

[eqn: ∴``S= { 100} over { 9}]

												9
								0.9								0.9
						0.09						0.09								0.09
			0.009					0.009							0.009							0.009
	0.0009				0.0009						0.0009								0.0009						0.0009
		⋮										⋮														⋮

① [eqn: {98} over {9}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {100} over {9}]	④ [eqn: {101} over {9}]	⑤ [eqn: {34} over {3}]

2006	평가원(4점)

공비가 [eqn: 1]이 아닌 두 등비수열 [eqn: \{a_n `\}], [eqn: \{b_n `\}]에 대하여 행렬 [eqn: PMATRIX { { a_n}& {a_n+1 ``}# {b_n+1 }& { b_n}``}]이 역행렬을 갖지 않는다고 하자. 수열 [eqn: \{ a_n` \}]이 발산할 때, [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]의 값과 같은 것은? (단, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n`], [eqn: b_n`]은 양수이다.)

정답 ②

[eqn: a _{n} b _{n} `-`a _{n+1} b _{n+1} `=`0]에서

[eqn: a _{n+1} b _{n+1} `=`a _{n} `b _{n} `=`…`=`a _{1} b _{1}]

[eqn: THEREFORE ~b _{n} `=` {a _{1} b _{1}} over {a _{n}}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r`]이라 하면 [eqn: r`＞`1]이다.

[eqn: THEREFORE ~b _{2} `=` {a _{1} b _{1}} over {a _{2}} `=` {a _{1} b _{1}} over {a _{1} ․r} `=` {b _{1}} over {r}]

마찬가지로 [eqn: b _{3} `=` {b _{1}} over {r ^{2}} ,``b _{4} `=` {b _{1}} over {r ^{3}} ,``…]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `=` {b _{1}} over {1`-` {1 _{`}} over {r``}} LEFT ( BECAUSE ~0`＜` {1 _{`}} over {r``} `＜`1 RIGHT )]

[eqn: =` {b _{1} ․r} over {r-1}] [eqn: =` {b _{1} ․ {a _{2}} over {a _{1}} _{`}} over {{a _{2}} over {a _{1}} -1}][eqn: =` {a _{2} b _{1}} over {a _{2} -a _{1}}]

① [eqn: { a_1 b_1} over {a_2 - a_1 }]	② [eqn: { a_2 b_1} over {a_2 - a_1 }]	③[eqn: { a_1 b_2} over {a_2 - a_1 }]	④ [eqn: { a_1 b_1`} over {a_1 - a_2 }]	⑤ [eqn: { a_1 b_2} over {a_1 - a_2 }]

2009	교육청(4점)

등비수열 [eqn: left {a_{`n} right}``]에 대하여 [eqn: a_{`1 }+ 3{`a}_{`2} = 0``], [eqn: a_{`1} + a_{`2} + a_{`3 }= 28``]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n ``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 27]

[출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: r=- {1} over {3}], [eqn: a_{1}`=`36``]이므로

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = {36}over{1-{left(- 1over 3 right)}} = 36over { 4over 3 }= 27``]

2004	평가원(4점)

두 수열 [eqn: \{ a_n \}`], [eqn: \{ b_n \}`]에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`=` alpha `], [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n )`=` beta `]라 하면

[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`=`sum_n=1 ^ ∞ `left{(a_n + b_n ) - a_n`)`right}]

[eqn: =`sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n`) - sum_n=1 ^ ∞ `a_n```]

[eqn: =` beta - alpha `] (수렴)  ∴ 참

ㄴ. [eqn: sum_{n=1}^inf``a_n``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`=0``],

[eqn: sum_{n=1}^inf``b_n``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n``->``inf}``b_n`=0``]

[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`b_n`=0``] ∴ 참

ㄷ. 반례 수열 [eqn: left{a_n`right}``]이 [eqn: 1`,``0`,``1`,``0`,``1`,`…``]

수열 [eqn: left{b_n`right}``]이 [eqn: 0`,``1`,``0`,``1`,``0`,`…``]

이면 [eqn: sum_{n=1}^inf``a_n`b_n``=0`](수렴)이지만

[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`!=`0``], [eqn: lim_{n``->``inf}``b_n`!=`0``]이다. ∴ 거짓

		〈 보 기 〉
	ㄱ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`]과 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `(a_n + b_n )`]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`]도 수렴한다. ㄴ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`]과 [eqn: sum_n=1 ^ ∞ `b_n`]이 수렴하면 [eqn: lim_n->inf `a_n`b_n` `=`0`]이다. ㄷ.[eqn: sum_n=1 ^ ∞ `a_n`b_n`]이 수렴하고 [eqn: lim_n→∞`a_n`` != ``0`]이면 [eqn: lim_n→∞`b_n`=`0`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2005	교육청(4점)

두 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT { `b _{n} `RIGHT } ``]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?	(단, [eqn: alpha ``,~ beta``]는 실수이고, [eqn: n``]은 자연수이다.)

정답 ②

ㄱ. (반례) [eqn: a_{n} ``=`` {1} over {n}``], [eqn: b_{n} ``=``- {1} over {n} ``]이면 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이지만

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} ``=`` lim _{n -> INF } {} `b _{n} ``=``0``]

ㄴ. [eqn: alpha ``-`` beta ``=`` sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} ``-`` sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n}``] [eqn: =`` sum _{n`=`1} ^{INF } `(a _{n} ``-``b _{n} `)``][eqn: =`` lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k`=`1} ^{n} `(`a _{k} ``-``b _{k} `)``＞``0``]

(∵ 임의의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a _{k} ``＞``b _{k}``])	∴ [eqn: alpha ``＞`` beta ``](참)

ㄷ. 무한급수[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} ``]과 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} ``]의 합이 각각 존재하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} ``=`` lim _{n` -> ` INF } {} `b _{n} ``=``0``] (거짓)

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ``=` `alpha ``], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ``=`` beta ``]이면 [eqn: alpha ``>` `beta ``]이다. ㄴ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} ``]이고 [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} ``=`` alpha ``], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} ``=` `beta ``]이면 [eqn: alpha ``＞`` beta ``]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} ``=` `alpha ``], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} ``=`` beta ``]이고 [eqn: alpha ``＞` `beta ``]이면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ``＞`` lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ``] 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

2006	평가원(4점)

두 무한등비수열 [eqn: \{ it a_n` \}], [eqn: \{ it b_n `\}]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 초항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]이라 하고

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 초항을 [eqn: b], 공비를 [eqn: s`]이라 하고

ㄱ. [eqn: -1`＜`r`＜`1,``-1`＜`s`＜`1]에서

수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]은 초항이 [eqn: ab`]이고, 공비가 [eqn: rs`]이므로

[eqn: -1`＜`rs`＜`1]에서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} `]은 수렴한다.         ∴ 참

ㄴ. [반례] [eqn: a _{n} `=`(-1) ^{n+1} ,``b _{n} `=`(-1) ^{n} `]이면

[eqn: a _{n} +b _{n} `=`0]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} +b _{n} )`=`0]              ∴ 거짓

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ^{3} RIGHT }]의 공비는 [eqn: r ^{3}]이므로

[eqn: -1`＜`r ^{3} `＜`1]에서 [eqn: -1`＜`r`＜`1]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} ^{3} RIGHT }]의 공비는 [eqn: s ^{3}]이므로

[eqn: -1`＜`s ^{3} `＜`1]에서 [eqn: -1`＜`s`＜`1]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=1} ^{INF } (a`+b _{n} )`= sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `+ sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `]은 수렴한다.         ∴ 참

		<보 기>
	ㄱ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n `` b_n `]은 수렴한다. ㄴ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 발산하면 [eqn: lim from { n -> inf }(a_n +b_n` )!=0]이다. ㄷ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n^{`3}`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n^{`3}`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ( a_n + b_n `)]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

2008	교육청(4점)

무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 성질 이해하기

ㄱ. (반례) 수열 [eqn: 1,~0,~1,~0,~1,~0,~ CDOTS]에서

[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n = 0 }]으로 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n]은 발산한다. (거짓)

ㄴ.[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n -> INF } {a _{n-1}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{2n}} = lim _{n -> INF } {a _{2n-1}}] (참)

ㄷ. (반례) 수열 [eqn: -1,~1,~- {1} over {2} ,~ {1} over {2} ,~- {1} over {3} ,~ {1} over {3} ,~ CDOTS]에서 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = 0]으로 수렴하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =` INF]이므로 발산한다. (거짓)

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]도 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}} = lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n-1}}]이다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}] 도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2012	교육청(4점)

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{``c`} ` LEFT | `x` RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=n]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a _{n} ,~b _{n}] ([eqn: a _{n} `>b _{n}])이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[eqn: y=log _{``c`} LEFT | x RIGHT |]과 [eqn: y=n]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: a _{n} =`c ^{n} `]이고 [eqn: b _{n} =`-c ^{n}]이다. 즉, [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: c`]인 등비수열이다.

ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =c ^{n} + LEFT ( -c ^{n} RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {`b _{n`}} `=`0] 이면 [eqn: 0<c<1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} = {c} over {1-c}] (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `1 over{` b_n}]이 발산하면 수열 [eqn: LEFT { {1} over {b _{n}} RIGHT }]의 공비 [eqn: {1} over {c}]은[eqn: {1} over {c} >1] 이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비 [eqn: c`]는 [eqn: 0<c<1]이다. 따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]은 수렴한다. (거짓)

[4점] [2012년 7월 인천교육청]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =`0]

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {`b _{n`}} `=`0`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}][eqn: = {c} over {1-c} `]이다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {`b _{n}} `]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} `]이 발산한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2009	교육청(4점)

두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여
[eqn: a _{n} +`b _{n} `=`2``+` {1} over {n}] [eqn: (`n`=`1,``2,``3,`․`․`․)`]
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열과 무한급수의 수렴, 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n` -> INF } {left(a _{n} +b _{n} right)}`=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} right)}`=` 2] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} `=` alpha }]라고 하면 [eqn: b _{n} =2+ {1} over {n} -a _{n}]에서

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{n} `=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} -a _{n} right)`=`2- alpha }}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} `=`0`]이므로 ㄴ에 의해

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`2`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]은 발산한다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {(`a _{n}} `+`b _{n} )`=`2`] ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]도 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2009	교육청(4점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a _{`1} `=`2`], [eqn: a _{`2} `=`3`],

[eqn: log _{`2} `a _{`n} `+`log _{`2} `a _{`n+1} `+`log _{`2}`a _{`n+2} `=`1``] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS `])

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 수열의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다.

로그의 성질에 의해 [eqn: a_{n}a_{n+1}a_{n+2}`=`2``]이므로 수열[eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }`]은 [eqn: 2`,``3`,`` {1} over {3}]이 반복되어 나타난다.

ㄱ. [eqn: 6`=`3`times`2``]이므로 [eqn: a_{6}`=`{1}over{3}`](참)

ㄴ. [eqn: S_{10}`=`{16`times4`-`10}over{3}`=`18``](참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { }{1}over{n}`S_{3n}`=`{16}over{3}``]이다. (참)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`6`} `=` 1 over 3`] ㄴ. [eqn: sum _{k`=`1} ^{10} `a_{`k} `=`18`] ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf}` { } 1 over n sum _{ k=1} ^{3n } a _{`k} = 16 over 3``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2006	교육청(4점)

[eqn: a _{1} =1], [eqn: 2a _{n+1} +a _{n} =2] (단,  [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])를 만족시키는   수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

ㄱ. [eqn: 2a _{n+1} +a _{n} =2]는

[eqn: 2 LEFT ( a _{n+1} - {2} over {3} RIGHT ) `=`- LEFT ( a _{n} - {2} over {3} RIGHT )]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} - {2} over {3} RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: {1} over {3}], 공비는 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. (참)

ㄴ. [eqn: a _{n} - {2} over {3} = {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}],  [eqn: a _{n} = {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} + {2} over {3}]

∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { {1} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} + {2} over {3} RIGHT } = {2} over {3}] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} != 0]이므로 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } a _{n}]은 발산한다. (거짓)

		<보 기>
	ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} - {2} over {3} RIGHT }]는 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}}]은 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2011	교육청(4점)

두 무한수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n+1} - 1 ` RIGHT )][eqn: = inf]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]은 발산 (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {3 ^{n}} ,``b _{n} =2] (거짓)

ㄷ.  [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1`} = 1 over n+1 a_n]이므로

[eqn: a_2 = 1 over 2 a_1], [eqn: a_3 = 1 over 3 a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n = 1 over n a_n-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n`} = 1 over {2 TIMES 3 TIMES4 TIMES · · · TIMES n} a_1 = 1 over n!]이므로

[eqn: a_n+2 over a_n][eqn: = 1 over n+1 - 1 over n+2]

[eqn: sum _n=1^inf a_n+2 over a_n =sum _n=1 ^inf left( 1 over n+1 - 1 over n+2 right)][eqn: = 1 over 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[4점][2011년 4월 교육청]

[보 기]

ㄱ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]에서 [eqn: a_{`n} = 1 over {sqrtn+1 + sqrt n }`]일 때,
[eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n}]은 발산한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]이 각각 수렴하면
[eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n} b_{`n} = sum _n=1 ^ inf a_{`n} sum_n=1 ^inf b_{`n}]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 [eqn: a _{`1} =1], [eqn: a _{`n+1} = 1 over n+1 a_{`n} `(`n=1,``2,``3, ``CDOTS`)`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _n=1^inf a_{`n+2} over a_{`n} = 1 over 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2014	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 네 선분 [eqn: rmA_1 B_1], [eqn: rmB_1 C_1], [eqn: rmC_1 D_1], [eqn: rmD_1 A_1]을 각각 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1], [eqn: rmG_1], [eqn: rmH_1]이라 하고, 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 [eqn: rmA_1 E_1], [eqn: rm B _{1} F _{1}], [eqn: rmC_1 G_1], [eqn: rmD_1 H_1]을 각각 반지름으로 하는 [eqn: 4]개의 사분원을 잘라내어 얻은  모양의 도형을 [eqn: R_1]이라 하자. 정사각형 [eqn: rmE_1 F_1 G_1 H_1]과 도형 [eqn: R_1]과의 교점 중 정사각형 [eqn: rmE_1 F_1 G_1 H_1]의
꼭짓점이 아닌 [eqn: 4]개의 점을 [eqn: rmA_2], [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2], [eqn: rmD_2]라 하자. 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 네 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}], [eqn: rm C _{2} D _{2}], [eqn: rm D _{2} A _{2}]를 각각 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm E _{2}], [eqn: rm F _{2}], [eqn: rm G _{2}], [eqn: rm H _{2}]라 하고, 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 [eqn: rm A _{2} E _{2}], [eqn: rm B _{2} F _{2}], [eqn: rm C _{2} G _{2}], [eqn: rm D _{2} H _{2}]를 각각 반지름으로 하는 [eqn: 4]개의 사분원을 잘라내어 얻은  모양의 도형을 [eqn: R _{2}]라 하자. 정사각형 [eqn: rm E _{2} F _{2} G _{2} H _{2}]에서 도형 [eqn: R _{2}]를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은  모양의 도형을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

정답 ⑤

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]에서 점 [eqn: rmB _{itn}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rm B _{it n rm} F _{it n rm} it}]을 반지름으로 하는 사분원이 선분 [eqn: rm A _{itn} B _{it n rm} it]과 만나는 점을 [eqn: rmI _{itn}]이라 하고, [eqn: rm {bar{E _{it n rm} I _{it n rm}}} `=` it l _{n}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} F _{it n rm} it}} `=`l _{n}], [eqn: {bar{rm E _{it n rm} B _{it n rm} it}} `=`2l _{n}]이므로 [eqn: {bar{rm E _{it n rm} F _{it n rm} it}} `= sqrt {5} `l _{n}]

점 [eqn: rmB _{itn}]에서 선분 [eqn: rmF _{itn} A _{itn+1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm T _{itn}]이라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE B _{it n rm} rm F _{it n rm} rm T _{itn} `□ rm TRIANGLE E _{it n rm} rm F _{it n rm} rm B _{it n rm}]이므로
[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} `:` {bar{rm F _{it n rm} rm T _{it n rm} it}} `=` {bar{rm E _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} `:` {bar{rm F _{it n rm} rm B _{it n rm} it}}]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm F _{it n rm} T _{it n rm} it}} `=` {LEFT ( {bar{rm B _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} RIGHT ) ^{2}} over {{bar{rm E _{it n rm} rm F _{it n rm} it}}} `=` {sqrt {5}} over {5} `l _{n}]
[eqn: TRIANGLE rm B _{it n rm} F _{itn} A _{it n+1 rm}]이 이등변삼각형이므로
[eqn: {bar{rm F _{it n rm} A _{it n+1 rm} it}} `=`2 {bar{rm F _{it n rm} T _{it n rm} it}} `=` {2 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} E _{it n rm} it}} `=` {bar{rm E _{it n rm} F _{it n rm} it}} `-` {bar{rm F _{it n rm} A _{it n+1 rm} it}} `=` {3 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: rm TRIANGLE A _{it n+1 rm} E _{it n rm} D _{it n+1 rm} rm == TRIANGLE B _{it n+1 rm} F _{it n rm} A _{it n+1 rm}]이므로
[eqn: {bar{rm F _{it n rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {3 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {sqrt {65}} over {5} `l _{n}]

[eqn: l _{n+1} = {1} over {3} ` {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {sqrt {65}} over {15} `l _{n}]이므로

[eqn: S_n+1 = 13over45 S_n]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 [eqn: S _{1} =`9- pi]이고, 공비가 [eqn: 13over45]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} =` {9- pi } over {1- {13} over {45}} `=` {45} over {32} LEFT ( 9- pi RIGHT )]

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은  모양의 도형 [eqn: R_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n]의 값은?

[4점][2014년 4월 경기]

① [eqn: {39} over {32} LEFT ( 9- pi RIGHT )]	② [eqn: {5} over {4} (9- pi )]	③ [eqn: {21} over {16} (9- pi )]

④ [eqn: {11} over {8} (9- pi )]	⑤ [eqn: 45over32 (9-pi)]

2014	평가원(4점)

그림과 같이 [eqn: rm bar {A_1 D_1 } `=` 2], [eqn: rm bar { A_1 B_1 } `=` 1]인 직사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서 선분 [eqn: rm A_1 D_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 하자. 중심이 [eqn: rm A_1], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 }]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2]인 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]을 그리고, 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 부채꼴 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]의 호 [eqn: rm B_1 M_1]이 선분 [eqn: rm A_1 C_1]과 만나는 점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 중심이 [eqn: rm A_1], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { A_1 D_1 }]인 원이 선분 [eqn: rm A_ 1 C_1]과 만나는 점을 [eqn: rm C_2]라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 [eqn: 2`:`1]이고 가로가 선분 [eqn: rm A_1 D_1]과 평행한 직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 직사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에서 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

정답 ①

두 도형의 닮음비를 구하기 위해서 [eqn: A _{2}]에서 [eqn: {bar{A _{1} D _{1}}}]에 수선을 긋고 이를 [eqn: H _{1}]이라 놓자. 이때 두 부채꼴의 반지름의 비는 사각형의 변의 길이의 비와 같으므로

[eqn: {bar{A _{1} A _{2}}} : {bar{A _{2} A _{3}}} = {bar{A _{1} D _{1}}} : {bar{A _{2} D _{2}}} = {bar{A _{1} D _{1}}} : {bar{A _{1} H _{1}}} =2 {bar{A _{1} A _{2}}} : {bar{A _{1} H _{1}}}]이다.

따라서 두 도형의 닮음비는 [eqn: {{bar{A _{1} H _{1}}}} over {2 {bar{A _{1} A _{2}}}} = {{bar{A _{1} D _{1}}}} over {2 {bar{A _{1} C _{1}}}} = {2} over {2 sqrt {5}} = {1} over {sqrt {5}}]이고 넓이의 비는 [eqn: {1} over {5}]이다.

부채꼴 [eqn: A _{1} M _{1} B _{1}]의 넓이는 [eqn: {pi } over {4}]이므로 [eqn: lim _{N-> INF } {S _{n}} = {{pi } over {4}} over {1- {1} over {5}} = {5 pi } over {16}]이다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n `->` inf} S_n]의 값은?

[4점][2014년 6월 평가원]

① [eqn: 5 over 16 pi]	② [eqn: 11 over 32 pi]	③ [eqn: 3 over 8 pi]
④ [eqn: 13 over 32 pi]	⑤ [eqn: 7 over 16 pi]

2014	교육청(4점)

그림과 같이 길이가 2인 선분 [eqn: rmOA _{1}]을 지름으로 하는 원을 [eqn: rmC_1]이라 하자. 선분 [eqn: rmOA _{1}]을 2:1로 내분하는 점을 [eqn: rmA_2]라 하고 선분[eqn: rm OA _{2}]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C _{2}]라 하자. 점 [eqn: rmA _{1}] 에서 원 [eqn: C_2]에 접하도록 원 [eqn: C_1]에 현 [eqn: rmA_1 B_1]을 그어 호 [eqn: rmA_1 B_1]과 현 [eqn: rmA_1 B_1]로 둘러싸인 부분 중 점 [eqn: rmA_2]를 포함하지 않는 부분을 색칠하여 얻은 도형을 [eqn: R_1]이라 하자.
선분 [eqn: rm OA _{2}]을 2:1로 내분하는 점을 [eqn: rm A _{3}]라 하고 선분[eqn: rm OA _{3}]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C _{3}]라 하자. 점 [eqn: rm A _{2}] 에서 원 [eqn: C _{3}]에 접하도록 원 [eqn: C _{2}]에 현 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 그어 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}]과 현 [eqn: rm A _{2} B _{2}]로 둘러싸인 부분 중 점 [eqn: rm A _{3}]를 포함하지 않는 부분을 색칠하여 얻은 도형을 [eqn: R _{2}]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 색칠하여 얻은 도형 [eqn: R _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

정답 ③

[출제의도]반복되는 도형에서 규칙을 찾아 도형 넓이의 극한값 추론하기

선분 [eqn: rmOA _{n}]을 2:1로 내분하는 점이 [eqn: rmA_n+1]이므로 [eqn: {bar{rmOA}} _{n+1} `= {2} over {3} {bar{rmOA}} _{n} `]이고 [eqn: S _{n+1} = {4} over {9} S _{n}]이다. 즉, 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: {4} over {9}]인 등비수열이다.

원 [eqn: C_1 , C_2]의 중심을 각각 [eqn: rmO_1 , O_2]라 하고 현 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 원 [eqn: C_2]의 접점을 [eqn: rmT]라 하면 [eqn: rm{bar{A _{1} O _{2}}} =2 {bar{A _{2} O _{2}}}]이므로 [eqn: rm {bar{A _{1} O _{2}}} =2 {bar{T`O _{2}}}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmO _{2} A _{1} T]에서 [eqn: rm ANGLE O _{2} A _{1} T`= {pi } over {6}]이고 [eqn: rm ANGLE A _{1} O _{1} T`= {2pi } over {3}]이다.

따라서

[eqn: S _{1} `= {1} over {2} TIMES 1 ^{2} ` TIMES {2 pi } over {3} - {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin {2 pi } over {3} = {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {4}]이다.

그러므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{pi } over {3} - {sqrt {3}} over {4}} over {1- {4} over {9}} = {3} over {20} (4 pi -3 sqrt {3} )]이다.

[4점][2014년 8월 영남권]

① [eqn: {3} over {20} (2 pi - sqrt {3} )]            ② [eqn: {3} over {20} (3 pi -2 sqrt {3} )]
③ [eqn: {3} over {20} (4 pi -3 sqrt {3} )]           ④ [eqn: {3} over {20} (5 pi -4 sqrt {3} )]
⑤ [eqn: {3} over {20} (6 pi -5 sqrt {3} )]

2008	평가원(4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 8]인 선분 [eqn: \AB]가 있다.

선분 [eqn: \AB]의 삼등분점 [eqn: \A_1 ,`` \B_1]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_1 \B_1]을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_1 ,``\Q_1] 이라고 하자.

선분 [eqn: \A_1 \B_1]의 삼등분점 [eqn: \A_2 ,``\B_2]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_2 \B_2]를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_2 ,``\Q_2]

라고 하자.

선분 [eqn: \A_2 \B_2]의 삼등분점 [eqn: \A_3 ,``\B_3]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_3 \B_3]을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_3 ,``\Q_3] 이라고 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 두 호 [eqn: \P_n \A_n \Q_n }`],

[eqn: \P_n \B_n \Q_n]의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf l_n]의 값은?

정답 ④

오른쪽 그림과 같이 [eqn: n]번째 얻어진   도형에 있는 두 원의 반지름의  길이를 [eqn: r_n]이라하면

[eqn: bar{\A_{it n} B_{it n}}= bar{\A_{it n} P_{it n}}= bar{\B_{it n} P_{it n}}= r_n]

이므로 [eqn: ANGLE \P_{it n} A_{it n} B_{it n}}= ANGLE \P_{it n} B_{it n} A_{it n}}][eqn: = { pi} over {3 }]

두 호 [eqn: \P_{it n} A_{it n} Q_{it n}}], [eqn: \P_{it n} B_{it n} Q_{it n}}]의 길이의 합

[eqn: l_n =2 TIMESr_n TIMES { 2} over { 3}pi = { 4} over {3 }pi r_n]

또 선분 [eqn: \A_{it n-1}][eqn: \B_{it n-1}]의 삼등분점이 [eqn: \A_{it n}], [eqn: \B_{it n}]이므로

[eqn: bar{\A_{it n} \B_{it n}}= { 1} over {3 }bar{ \A_{it n-1} \B_{it n-1}}]

[eqn: THEREFORE~`` r_n = { 1} over {3 }`r_n-1]

따라서, 수열 [eqn: l_n]의 공비는 [eqn: { 1} over {3 }], [eqn: r_1 = { 8} over {3 }]이므로 초항  [eqn: l_1 = { 4} over {3 }pi cdot { 8} over { 3}]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }l_n = { { 32} over {9 }pi } over {1- { 1} over {3 } }`= { 16} over {3 }pi]

① [eqn: {10_` } over 3 pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: {14_` } over 3 pi]

④ [eqn: {16_` } over 3 pi]	⑤ [eqn: 6pi]

2013	교육청(4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 반원 [eqn: O_1] 위에 [eqn: ANGLE rm C_1 A_1 B_1 = 30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C_1]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 호 [eqn: rm A_1 B_2 `]와 호 [eqn: rm C_1 B_2 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_2 `]를 정한다. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_2]를 그리고, 반원 [eqn: O _{2}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{2} A _{2} B _{2} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{2} `]를 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: rm A_3]이라 하고, 호 [eqn: rm A_2 B_3 `]과 호 [eqn: rm C_2 B_3 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_3 `]을 정한다. 선분 [eqn: rm A _{3} B _{3}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{3}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{3} A _{3} B _{3} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{3} `]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 [eqn: rm A _{ it`n} B _{`itn} C _{`itn} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 도형의 닮음비를 이용하여 무한등비급수 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm C_1]이 반원 [eqn: O _{1}] 위에 있으므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]은 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]이 빗변인 직각삼각형이다.

따라서 [eqn: rm bar{A _{1} C _{1}} =4`cos30°=2 sqrt {3}],  [eqn: rm bar{B _{1} C _{1}} =4`sin30°=2]이다.

∴ [eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 2 sqrt {3} TIMES 2`=2 sqrt {3} `]

이때 반원 [eqn: O _{1}]의 지름의 중점을 [eqn: rm M_{`1} `]이라 하면 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]는 선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 수직이등분선이고 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]의 연장선은 반원 [eqn: O _{1}]의 지름의 중점 [eqn: rm M_{`1} `]을 지난다.

[eqn: bar{ rm M_{`1} `A_{`2} }= 2` sin 30 DEG = 1`]이므로

[eqn: rm bar{A _{2} B _{2}} =2-1=1`]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES sqrt {3} over {2} TIMES {1} over {2} `= {sqrt {3}} over {8} `]

마찬가지로, 삼각형 [eqn: rm A _{it n} B _{it n} C _{it n}]은 [eqn: rm bar{A _{it it`n rm } B _{it` it n rm } `}]이 빗변인 직각삼각형이고, 삼각형 [eqn: rm A _{it n-1 rm} B _{it n-1 rm} C _{it n-1 rm}]의 빗변은

[eqn: rm bar{{A _{it n-1 rm}} B _{it n-1 rm} `}][eqn: rm = {1} over {4} TIMES bar{A _{it n rm} B _{it n rm} `}]

두 닮은 삼각형의 길이의 비는 [eqn: 4:1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 16:1`]이다.

따라서 [eqn: left{S _{n} `right}`]은 첫째항이 [eqn: 2 sqrt {3}]이고 공비가 [eqn: {1} over {16}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {1- {1} over {16}}][eqn: = {32 sqrt {3}} over {15} `]

[4점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 2 sqrt {3}}]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {15}]	③ [eqn: {34 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {12 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {38 sqrt {3}} over {15}]

2013	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 두 선분 [eqn: rmB_1 C_1], [eqn: rmC_1 D_1]의 중점을 각각 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_1 E_1]과 [eqn: rmA_1 C_1]이 선분 [eqn: rmB_1 F_1]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmG_1], [eqn: rmB_2]라 하자. 이때, 세 삼각형 [eqn: rmA_1 G_1 B_2][eqn: rm], [eqn: rmB_1 E_1 G_1], [eqn: rmC_1 F_1 B_2]의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자.

정답 ④

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기

그림과 같이 [eqn: n]번째 정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n]이라 하자.

[eqn: 3a_n+1 = root2 a_n], [eqn: a_n+1 = root2over3 a_n]이므로 [eqn: S_n+1 = 2over9 S_n]

[eqn: rm TRIANGLE A_1 B_1 E_1 □ TRIANGLE B_1 G_1 E_1]에서 [eqn: rm bar{A _{1} E _{1}} : bar{B _{1} E _{1}} = sqrt {5}: 1]이므로

[eqn: rm TRIANGLE A_1 B_1 E_1 : TRIANGLE B_1 G_1 E_1 = 5: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rmB _{1} G _{1} E _{1} = {1} over {5}]

점 [eqn: rmB_2]는 [eqn: rm TRIANGLEB_1 C_1 D_1]의 무게중심이므로

[eqn: rm TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2} = {1} over {6} TRIANGLE B _{1} C _{1} D _{1} = {1} over {3}]

[eqn: rm TRIANGLE A _{1} E _{1} C _{1}]과 [eqn: rmTRIANGLE B _{1} C _{1} F _{1}]의 공통부분이 [eqn: rm □E _{1} C _{1} B _{2} G _{1}]이고,

[eqn: rm TRIANGLE A _{1} E _{1} C _{1} = TRIANGLE B _{1} C _{1} F _{1}]이므로

[eqn: rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} = TRIANGLE B _{1} E _{1} G _{1} + TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2} =` {1} over {5} ` +{1} over {3}= 8over15]

[eqn: S _{1} = rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} + TRIANGLE B _{1} E _{1} G _{1} + TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2}]

[eqn: =2 rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} = {16} over {15}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 16over15]이고 공비가 [eqn: 2over9]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n = 16over15over{1- 2over9} = 48over35]이다.

[참고] [eqn: □rmA_{itn+1}B_{itn+1}C_{itn+1}D_{itn+1}]은 정사각형이다.

정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]에서 두 선분 [eqn: rm A _{it n rm} C _{it n rm}], [eqn: rmC_{itn+1}D_{itn+1}]이 선분 [eqn: rm B _{it n rm} D _{it n rm}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rm N]이라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE B _{it n+1 rm} C _{it n rm} C _{it n+1 rm}]이 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} = bar{C _{it n rm} B _{it n+1 rm}}]이고

점 [eqn: rm B _{it n+1 rm}]은 [eqn: rm TRIANGLE B _{it n rm} C _{it n rm} D _{it n rm}]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar{C _{it n rm} B _{it n+1 rm}} =2` bar{B _{it n+1 rm} M}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} =2` bar{B _{it n+1 rm} M}] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: rm ANGLE B _{it n+1 rm} = ANGLE C _{it n+1 rm} =90 DEG], [eqn: rm bar{A _{it n rm} C _{it n rm}} BOT bar{B _{it n rm} D _{it n rm}}]로

[eqn: rm □MB _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} N]이 직사각형이므로

[eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} M} = bar{C _{it n+1 rm} N}],

[eqn: rm TRIANGLE NC _{it n+1 rm} D _{it n rm}]과 [eqn: rm TRIANGLE ND _{it n rm} D _{it n+1 rm}]이 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{C _{it n+1 rm} N} = bar{ND _{it n+1 rm}}] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} = bar{C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm}}]

따라서 [eqn: □ rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm}]은 정사각형

점 [eqn: rmB_2]를 지나고 선분 [eqn: rmA_1 B_2]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmC_1 D_1]이 만나는 점을 [eqn: rmC_2]라 하자. 점 [eqn: rmC _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmD _{2}]라 하고, 점 [eqn: rmD _{2}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]에서 두 선분 [eqn: rmB_2 C_2], [eqn: rmC_2 D_2]의 중점을 각각 [eqn: rmE_2], [eqn: rmF_2]라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_2 E_2]와 [eqn: rmA_2 C_2]가 선분 [eqn: rmB_2 F_2]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmG_2], [eqn: rmB_3]이라 하자. 이때, 세 삼각형 [eqn: rmA_2 G_2 B_3][eqn: rm], [eqn: rmB_2 E_2 G_2], [eqn: rmC_2 F_2 B_3]의 넓이의 합을 [eqn: S_2]라 하자.

점 [eqn: rm B _{3}]을 지나고 선분 [eqn: rm A _{2} B _{3}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2}]가 만나는 점을 [eqn: rm C _{3}]이라 하자. 점 [eqn: rmC _{3}]을 지나고 선분 [eqn: rmB _{3} C _{3}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmA _{2} D _{2}]가 만나는 점을 [eqn: rmD _{3}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{3}]에서 선분 [eqn: rmA _{2} B _{3}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA _{3}]이라 하자. 정사각형 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3]에서 두 선분 [eqn: rmB_3 C_3], [eqn: rmC_3 D_3]의 중점을 각각 [eqn: rmE_3], [eqn: rmF_3]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_3 E_3]과 [eqn: rmA_3 C_3]이 선분 [eqn: rmB_3 F_3]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmG_3], [eqn: rmB_4]라 하자. 이때, 세 삼각형 [eqn: rmA_3 G_3 B_4][eqn: rm], [eqn: rmB_3 E_3 G_3], [eqn: rmC_3 F_3 B_4]의 넓이의 합을 [eqn: S_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 세 삼각형 [eqn: rmA_{itn} G_{itn} B_{itn+1}][eqn: rm], [eqn: rmB_{itn} E_{itn} G_{itn}], [eqn: rmC_{itn} F_{itn} B_{itn+1}]의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n]의 값은?

[4점][2013년 04월 교육청]

① [eqn: {41} over {35}]	② [eqn: {44} over {35}]	③ [eqn: {46} over {35}]

④ [eqn: {48} over {35}]	⑤ [eqn: {51} over {35}]

2013	평가원(4점)

직사각형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: rm overline AB = 1], [eqn: rm overline AD = 2]이다. 그림과 같이 직사각형 [eqn: rm ABCD]의 한 대각선에 의하여 만들어지는 두 직각삼각형의 내부에 두 변의 길이의 비가 [eqn: 1 : 2]인 두 직사각형을 긴 변이 대각선 위에 높이면서 두 직각삼각형에 각각 내접하도록 그리고, 새로 그려진 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 새로 그려진 두 직사각형 중 색칠되어 있지 않은 직사각형에 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 대, [eqn: lim from { n->inf} S_n]의 값은?

정답 ④
[출제의도] 수열의 극한 – 무한급수의 도형에의 활용

[eqn: rm A`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm C`]

[eqn: rm D`]

[eqn: rm A_1`]

[eqn: rm B_1`]

[eqn: rm C_1`]

[eqn: rm D_1`]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rm □A_1 B_1 C_1 D_1]의 가로와 세로의 비가 [eqn: 2``:``1`]이므로 [eqn: rm ` {bar{A_1 D_1 } = it 2a`], [eqn: rm bar { D_1 C_1 } = it a`]라 하면
[eqn: rm triangle ABD `□ triangle AA_1 D_1`]에서 [eqn: rm bar AD =it {4 sqrt5 } over 5 a`]이고
[eqn: rm triangle ABD `□ triangle C_1 DD_1`]에서 [eqn: rm bar { D_1 D} = it sqrt 5 a`]이 된다.
[eqn: rm bar AD = 2`]에서 [eqn: {4 sqrt5} over 5 a + sqrt 5 a = 2`] [eqn: therefore~ a= {2 sqrt5} over 9`]
[eqn: therefore~ rm □A_1 B_1 C_1 D_1 = S_1 = it 2a^2][eqn: = 2 cdot left( {2sqrt5} over 9 right)^2 = 40 over 81`]
[eqn: rm □ABCD`]와 [eqn: rm □A_1 B_1 C_1 D_1]는 닮음이고 닮음비는 [eqn: 1``:``{2sqrt5} over 9`]이므로 넓이비는 [eqn: 1``: ``20over 81`]이 되어 수열 [eqn: left{S_n right}`]의 공비는 [eqn: 20 over 81`]이다.
[eqn: therefore`` lim _{ n->inf} { S_n} = {40 over 81} over {1- 20 over 81} = 40 over 61`]

[4점][2013년 6월 평가원]

① [eqn: 37 over 61]	② [eqn: 38 over 61]	③ [eqn: 39 over 61]
④ [eqn: 40 over 61]	⑤ [eqn: 41 over 61]

2013	교육청(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형을 [eqn: R _{1}]이라 하자. 그림과 같이 [eqn: R _{1}]의 한 꼭짓점과 정사각형 [eqn: R _{1}]의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 [eqn: R _{2}]라 하자.

정답 [eqn: 9]

[출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림과 같이 정사각형 [eqn: R _{n}]의 꼭짓점을 각각 [eqn: rm A _{it n}], [eqn: rm B_{it n}], [eqn: rm C_{itn}], [eqn: RM D_{itn}]이라 하고, 문제의 조건에 따라 그린 정삼각형의 꼭짓점을 각각 [eqn: rm C_{itn}], [eqn: rm E_{it n}], [eqn: rm F_{it n}]이라 하자.

[eqn: rm D _{it n}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{it n}]

[eqn: rm G _{itn}]

[eqn: rm E _{itn}]

[eqn: rm F _{itn}]

[eqn: rmO _{itn}]

정사각형 [eqn: R_n]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n], 정삼각형 [eqn: {rm C}_n {rmE}_n {rm F}_n]의 한 변의 길이를 [eqn: b_n]이라 하자.

[eqn: bar {{rm C} _{it n} rm{ G} _{it n}} + bar{rm G _{itn} rm A _{it n}} `=` root2 `a_n]

[eqn: root3 over 2 b_n + 1 over2 b_n `=` root2 ``a_n]

[eqn: b _{n} `=` (root6 - root 2 )`a _{n}]

원 [eqn: rm O_{itn}]의 반지름의 길이 [eqn: r_n]은

[eqn: r_n `=` root3 over 2 b_n times 1 over3]

정사각형 [eqn: R_{itn+1 }]의 한 변의 길이는 [eqn: root2 r_n]이므로

[eqn: a _{n+1} = sqrt {2} `r _{n} `=` {sqrt {6}} over {6} b _{n} `=` {sqrt {6}} over {6} `( sqrt {6} - sqrt {2} )``a _{n}]

[eqn: therefore ` a_n+1 `=` { 3-root 3} over { 3 } ` a_n]

수열 [eqn: left{ S_{it n} right]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: {4-2root3 } over 3]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = { 1 }over { 1 - {4-2root3 } over 3 } `=` {3+6root3 } over 11]

[eqn: therefore ` a+b `=` 9]

정사각형 [eqn: R _{2}]의 한 꼭짓점과 정사각형 [eqn: R _{2}]의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 정사각형을 [eqn: R _{n}]이라 하자. 정사각형 [eqn: R _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `= {a+b sqrt {3}} over {11}]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.)

[4점][2013년 07월 교육청]

[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
	[eqn: bold CDOTS]
[eqn: R _{3}]

2014	교육청(4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm {B _{1} C _{1}}}]을 빗변으로 하고
[eqn: ANGLE rm B _{1} A _{1} C _{1} =90 DEG `]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1}]을 그린다.
[eqn: rm {bar{B _{1} A _{1}}} = rm {bar{B _{1} C _{2}}}]이고 [eqn: rm {bar{C _{1} A _{1}}} = rm {bar{C _{1} B _{2}}}]인 선분 [eqn: {{rm B _{1`} C _{1} it}}] 위의 두 점 [eqn: rmC _{2} `]와 [eqn: rmB _{2} `]에 대하여 부채꼴 [eqn: rm B _{1} A _{1} C _{2}]와 부채꼴 [eqn: rm C _{1} A _{1} B _{2}]를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 [eqn: S _{1} `]이라 하자.
선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]를 빗변으로 하고 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} `]의 내부의 점 [eqn: rmA _{2} `]에 대하여 [eqn: ANGLE rm B _{2} A _{2} C _{2} =90 DEG `]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]를 그린다.
[eqn: rm {bar{B _{2} A _{2}}} = rm {bar{B _{2} C _{3}}}]이고 [eqn: rm {bar{C _{2} A _{2}}} = rm {bar{C _{2} B _{3}}}]인 선분 [eqn: {{rm B _{2`} C _{2} it}}] 위의 두 점 [eqn: rm C _{3} `]과 [eqn: rm B _{3} `]에 대하여 부채꼴 [eqn: rm B _{2} A _{2} C _{3}]과 부채꼴 [eqn: rm C _{2} A _{2} B _{3}]을 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자.
선분 [eqn: rm B _{3} C _{3}]을 빗변으로 하고 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} `]의 내부의 점 [eqn: rm A _{3} `]에 대하여 [eqn: ANGLE rm B _{3} A _{3} C _{3} =90 DEG `]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]을 그린다.
[eqn: rm {bar{B _{3} A _{3}}} = rm {bar{B _{3} C _{4}}}]이고 [eqn: rm {bar{C _{3} A _{3}}} = rm {bar{C _{3} B _{4}}}]인 선분 [eqn: rm B _{3`} C _{3} it] 위의 두 점 [eqn: rm C _{4} `]와 [eqn: rm B _{4} `]에 대하여 부채꼴 [eqn: rm B _{3} A _{3} C _{4}]와 부채꼴 [eqn: rm C _{3} A _{3} B _{4}]를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 [eqn: S _{3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S _{n} `]에 대하여
[eqn: {1} over {4- pi } sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `=a+ sqrt {b} `]([eqn: a`], [eqn: b`]는 정수)일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5``]

[출제의도] 도형과 무한등비급수 추론하기

[eqn: S _{1} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{1} A _{1} C _{2} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT ( 4- {1} over {2} ·8· {pi } over {4} RIGHT ) =2 LEFT ( 4- pi RIGHT )]

[eqn: S _{2} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{2} A _{2} C _{3} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]

[eqn: =2 LEFT ( 4- pi RIGHT ) ( sqrt {2} -1) ^{2}]

[eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} =it2l _{n} ``], [eqn: rm {bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}}} =it2l _{n+1}]이라 하면 [eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} = it {bar{rm B _{it n rm} rm C _{it n rm +1} it}} = sqrt {2} l _{n} `]이고[eqn: rm {1} over {2} {bar{rm B _{it n rm} C _{it n rm _{it rm } rm} it rm}} + {1} over {2} {bar{rm B _{it n+1 rm} C _{it n rm _{it rm } rm +1} it rm}} = {bar{B _{it n rm} C _{it n+1 rm}} `]이므로

[eqn: l _{n} +l _{n+1} = sqrt {2} l _{n} `]

[eqn: l _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) l _{n} `]

[eqn: S _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} S _{n} `]

[eqn: {1} over {4-pi} sum _{n=1} ^{inf} S _{n} = {1} over {4- pi } · {2(4- pi )} over {1-( sqrt {2} -1) ^{2}}][eqn: =1+ sqrt {2}]

[eqn: a=1`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5`]

[4점][2014년 4월 인천]

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm B _{4}]

[eqn: rm C _{4}]

2013	평가원(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개 그린 후 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림1]이라 하자.
[그림1]에서 색칠되지 않은 각 부채꼴에 두 반지름과 호에 모두 접하도록 원을 그린다. 새로 그린 각 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 반지름의 길이가 새로 그린 원의 반지름의 길이와 같은 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개씩 그린 후 새로 그린 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은?

정답 ③

[eqn: S_ 1 = pi - 4 times 1 over 2 times 1^2 times pi over 3 = pi over 3]

[그림[eqn: n]]에서 제일 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

삼각비에 의하여 [eqn: (r _{n} -r _{n+1} `:`r _{n+1}) `=`2`:`1]

[eqn: `r _{n+1} `=` {1} over {3} r _{n} `,~r _{1} =1]이므로 [eqn: r _{n} =` {1} over {3 ^{n-1}}]

따라서 [그림[eqn: n]]에서 제일 작은 원의 개수는 [eqn: 4^n-1], 반지름의 길이는 [eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^n-1]이므로

[eqn: S_n = S_1 + 4 times LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^2 times S_1 + cdots+ 4^n-1 times left{ LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^n-1 right}^2 times S_1]

[eqn: =S_1 + 4 over 9 S_1 + cdots+ LEFT ( 4 over 9 RIGHT )^n-1 S_1]

[eqn: THEREFORE``` lim _{n -> INF } {S _{n}} = {{pi } over {3}} over {1- 4over {9}} = {3} over {5} pi]

[다른 ]

[그림[eqn: n]]에서 제일 작은 원의 개수는 [eqn: 4^n-1], 반지름의 길이는 [eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^n-1]이므로

[eqn: S _{n} = LEFT ( {1} over {3 ^{n-1}} RIGHT ) ^{2} CDOT 4 ^{n-1} pi ``= {pi } over {3} LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{n-1}]을 얻을 수 있다.

[eqn: THEREFORE``` lim _{n -> INF } {S _{n}} = {{pi } over {3}} over {1- 4over {9}} = {3} over {5} pi]

[4점][2013년 9월 평가원]

① [eqn: 7 over 15 pi]	② [eqn: 8 over 15 pi]	③ [eqn: 3 over 5 pi]

④ [eqn: 2 over 3 pi]	⑤ [eqn: 11 over 15 pi]

2013	평가원(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정팔각형의 이웃한 두 변을 변으로 하는 [eqn: 4``]개의 평행사변형을 서로 겹치지 않게 그리고, 이 평행사변형 [eqn: 4``]개를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1 ``]에 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점 [eqn: 4``]개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1``]을 얻는 것과 같은 방법으로 [eqn: 4``]개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_2 ``]라 하자.
그림 [eqn: R_2 ``]에 가장 작은 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점 [eqn: 4``]개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 [eqn: R_1``]을 얻는 것과 같은 방법으로 [eqn: 4``]개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_3 ``]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n``]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n ``]의 값은?

정답 ①

[eqn: □`\ABCD = 1 times 1 times sin 135Deg = root 2 over 2]에서

[eqn: S_1 = 4 times root 2 over 2 = 2 root 2]

[eqn: triangle \BCE]에서

[eqn: bar \CE over { sin 22.5 Deg } = 1 over { sin 112.5 Deg}]

[eqn: bar \CE = { sin 22.5 Deg } over { sin 112.5 Deg} = { sin 22.5 Deg } over { cos 22.5 Deg } = tan 22.5 Deg]

한편 [eqn: tan 22.5 Deg = x`]라 하면 [eqn: tan 45Deg = 2x over {1-x^2 }= 1]에서

[eqn: x= root 2 -1 ``( BECAUSE x >0)]

따라서 처음 정팔각형과 [eqn: R_2]에 새로 생긴 정팔각형의 닮음비는 [eqn: 1: root 2 -1]이다.

[eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: 2 root 2]이고 공비가 [eqn: ( root 2 -1 )^2]인 등비수열의 합이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { } {2 root 2} over {1-(root2 -1 )^2} = { 2 root 2} over { 2 root 2 -2} = root 2 over { root2 -1} = 2+ root 2]

[다른 풀이]

[eqn: l _{1}]

[eqn: l _{2}]

[eqn: {l _{2}} over {l _{1}} = sqrt {{1+1- sqrt {2}} over {1+1+ sqrt {2}}}]이므로 넓이의 비는 [eqn: {2- sqrt {2}} over {2+ sqrt {2}}]이다.

[eqn: R _{1}]에서 마름모 한 개의 넓이는 [eqn: 1 TIMES 1 TIMES sin45 DEG = {sqrt {2}} over {2}]이므로

[eqn: S _{1} =2 sqrt {2}]

∴ [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}} `= {2 sqrt {2}} over {1- {2- sqrt {2}} over {2+ sqrt {2}}} `=`2+ sqrt {2}]

[4점][2013년 9월 평가원]

① [eqn: 2+root2]	② [eqn: 1+2root2]	③ [eqn: 3+root2]

④ [eqn: 1+3root2]	⑤ [eqn: 4+root2]

2013	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rmABCD] 안에 꼭짓 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmC`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rmAB`], [eqn: rmCD]를 반지름으로 하는  사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접  하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]  이라 하자.
그림 [eqn: R _{1} `]에서 두 꼭짓점 [eqn: rmA`], [eqn: rmC`]로부터 두 사분원의 호와 원이 접하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 2`]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1} `]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 2`]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.
그림 [eqn: R _{2} `]에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 4`]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1} `]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 4`]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> `inf} {} S _{n} `]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 주어진 도형에서 무한등비급수의 합을 추측하여 구한다.

[eqn: R _{`1} `]에 있는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2- sqrt {2} `]이므로

[eqn: S _{1} =(2- sqrt {2} ) ^{2} pi`]

[eqn: R _{`2} `]에 있는 작은 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: bar{rm AC it} `=2 sqrt {2} x+2(2- sqrt {2} )=2 sqrt {2} `]

[eqn: x=2- sqrt {2} `]

[eqn: R _{`1} `]에 있는 원과 [eqn: R _{`2} `]에 있는 작은 원의 넓이의 비는 [eqn: 2 ^{`2} :(2- sqrt {2} ) ^{2}][eqn: =1:left(1- {sqrt {2}} over {2} right) ^{2}]

따라서 [eqn: R _{`n} `]과 [eqn: R _{`n+1} `]에서 각각 새로 그려지는 두 원의 넓이의 비는 [eqn: 1: LEFT ( 1- {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2}]이고 원의 개수의 비는 [eqn: 1`:`2`]이다.

그러므로 구하는 무한급수의 합은 첫째항이 [eqn: S _{1} =(2- sqrt {2} ) ^{2}pi``]이고, 공비가 [eqn: 2 LEFT ( 1- {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} =3-2 sqrt {2} `]인 무한등비급수의 합과 같다.

∴[eqn: lim _{n`-> `inf} {} S _{n} `][eqn: = {(2- sqrt {2} ) ^{2}pi }over {1-(3-2 sqrt {2} )}][eqn: = ( sqrt {2} -1)pi `]

[4점][2013년 10월 교육청]

[eqn: cdots]

① [eqn: (3-2 sqrt {2} )pi `]	② [eqn: (2- sqrt {3} )pi `]	③ [eqn: ( sqrt {2} -1)pi`]

④ [eqn: (4-2 sqrt {3} )pi`]	⑤ [eqn: (2- sqrt {2} )pi`]

2004	평가원(4점)

어느 장학재단은 [eqn: 14`]억 원의 기금을 조성하였다. 매년 초에 기금을 운용하여 연말까지 [eqn: 20`%]의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 [eqn: 40`%]를 매년 말에 장학금으로 지급하려 한다. 장학금으로 지급하고 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시 할 계획이다. 이 계획대로 해마다 지급한 장학금의 총액의 극한값은?  (단, 단위는 억 원이다.)

정답 ①

[출제의도] 규칙성을 찾아 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

지급되는 장학금의 총액의 극한값은 첫째항이 [eqn: 14 × 6 over 5 × 2 over 5 ``], 공비가 [eqn: 6 over 5 × 3 over5``]인 무한등비급수이므로 [eqn: {14 × 6 over 5 × 2 over 5} over {1- 6 over 5 × 3 over5``}``][eqn: = {{14×12} over 25 } over {1- 18 over 25}``][eqn: = 24] (억 원)

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

2012	교육청(4점)

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(2,~0)]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm {bar OA}]를 [eqn: n]등분한 점을 차례로 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rmA _{2}], [eqn: CDOTS] , [eqn: rmA _{it n-1 }]이라 하고, 점 [eqn: rmO]는 [eqn: rm A _{it 0 rm}], 점 [eqn: rm A]는 [eqn: rm A_{it n}]이라 하자. 점 [eqn: rmA_{it k}]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선이 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2} -5x+6]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm`B _{itk}]라 하자. ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS] , [eqn: n])

정답 [eqn: 11``]

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{0} `=`O]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: x]

[eqn: S_n]을 그림으로 나타내면 위와 같이 된다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}} `]의 값은 아래 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로,

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2lim _{n` -> INF } {S _{n}} `=` 2 int _{0} ^{1} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx} `]

[eqn: - 2int _{1} ^{2} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx}} `=` {11}]

[eqn: bar{ rm A _{it k-1} A _{itk}}]를 밑변으로 하고, [eqn: bar{rm A_{itk}`B_{itk}]를 높이로 하는 직사각형 [eqn: n]개의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: 2` lim _{n -> INF } {`S _{n}}]의 값을 구하시오.

[4점] [2012년 7월 인천교육청]

2005	교육청(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: a``]인 반원 [eqn: C_1``]에 내접하는 정사각형을 [eqn: A_1``]이라 하자. [eqn: A_1``]의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 [eqn: C_2``]에 내접하는 정사각형을 [eqn: A_2``]라 하자. [eqn: A_2``]의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 [eqn: C_3``]에 내접하는 정사각형을 [eqn: A_3``]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 정사각형을 만들어 나갈 때, 이들 정사각형의 넓이의 합은?

정답 ④

[eqn: A_1 ``]의 한 변의 길이를 [eqn: x` `]라고 하면 피타고라스 정리에 의해 [eqn: x``=`` 2 over root5 `a``] 이므로

[eqn: A_1 ``]의 넓이[eqn: =`` 4 over 5 a^2 ``] 이다. 마찬가지 방법으로 [eqn: A_2 ``]의 넓이[eqn: =`` 16 over 25 a^2 ``]․․․

[eqn: A_n ``]의 넓이[eqn: =``left( 4 over 5 RIGHT)^n a^2 ``]

따라서, 넓이의 합은 [eqn: { 4 over 5 a^2} over {```1- 4 over 5 ```} ``=`` 4a^2 ``]이다.

① [eqn: a^2``]	② [eqn: 2a^2``]	③ [eqn: 3a^2``]	④ [eqn: 4a^2``]	⑤ [eqn: 5a^2``]

2005	교육청(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 [eqn: 3]개의 정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 [eqn: H _{1}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: H _{n}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하고
[eqn: H _{n+1}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n+1}]이라 하자.

[eqn: l _{n}]

[eqn: l _{n+1}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm 2 bar{AB} = bar{EF}]이므로 [eqn: rm {3} over {2} bar{AB} = bar{CD}]이다.

[eqn: {3} over {2} l _{n} =4 TIMES {sqrt {3}} over {2} l _{n+1}]이 성립하므로, [eqn: l _{n+1} = {sqrt {3}} over {4} l _{n}]에서

[eqn: S _{n+1} =3 TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} S _{n} = {9} over {16} S _{n}]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은

[eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} TIMES 6 TIMES 3= {27} over {32} sqrt {3}]이고, 공비가
[eqn: {9} over {16}]인 무한등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{27} over {32} sqrt {3}} over {1- {9} over {16}} = {27} over {14} sqrt {3}]

그림 [eqn: H _{1}]에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 [eqn: H _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 [eqn: 3]개의 모양의 그림을 [eqn: H _{2}]라 하고, 그림 [eqn: H _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 그려서 얻은 [eqn: 3 ^{n-1}]개의 모양의
그림을 [eqn: H _{n}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

[4점][2012년 4월 교육청]

[eqn: H _{1}]

[eqn: H _{2}]

[eqn: 1]

① [eqn: {27} over {11} sqrt {3}]	② [eqn: {9} over {4} sqrt {3}]	③ [eqn: {27} over {13} sqrt {3}]

④ [eqn: {27} over {14} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {9} over {5} sqrt {3}]

2005	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정삼각형 [eqn: ABC``]가 있다. 선분 [eqn: BC``]의 삼등분 점을 [eqn: A _{1} ``], [eqn: A _{2} ``]라 하고 선분 [eqn: BA _{1} ``], [eqn: A _{1} A _{2} ``], [eqn: A _{2} C``]를 각각 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: B _{1} BA _{1} ``], [eqn: P _{1} A _{1} A _{2} ``],  [eqn: C _{1} A _{2} C``]를 만든다. 다시 삼각형 [eqn: AB _{1} C _{1} ``]에서 선분 [eqn: B _{1} C _{1} ``]의 삼등분 점을 [eqn: A _{3} ``], [eqn: A _{4} ``]라 하고 같은 방법으로 세 정삼각형 [eqn: B _{2} B _{1} A _{3} ``], [eqn: P _{2} A _{3} A _{4} ``], [eqn: C _{2} A _{4} C _{1} ``]을 만든다. 이와 같은 방법으로 계속하여 삼각형을 만들어 나갈 때, 어두운 부분의 넓이의 합은?

정답 ③

정삼각형 [eqn: B _{1} B A_1``]을 [eqn: S _{1} ``], 정삼각형 [eqn: B _{2} B_1 A_3 ``]을 [eqn: S _{2} ``]라 하면 정삼각형 [eqn: S _{1} ``]의 한 변의 길이는

[eqn: {1} over {3} ``]이므로 [eqn: S _{1} ``]의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {36}``]이다. 또, 정삼각형 [eqn: S _{1} ``]의 한 변의 길이의 [eqn: 2``]배가 정삼각형

[eqn: S _{2} ``]의 한 변의 길이의 [eqn: 3``]배와 일치하므로 [eqn: S _{1} ``,~S _{2} ``]의 닮음비는 [eqn: 3````:````2``]이고, [eqn: S _{1} ``,~S _{2} ``]의 넓이의

비는 [eqn: 9````:````4``]이다. 따라서 구하는 넓이는 첫째항이 [eqn: {sqrt {3}} over {36} ` TIMES `3``], 공비가 [eqn: {4} over {9} ``]인 무한등비급수의 합이므로 [eqn: {{sqrt {3}} over {36} ` TIMES `3} over {1``-`` {4} over {9}} ``=`` {3 sqrt {3}} over {20}``]

① [eqn: {sqrt {3}} over {10}``]	② [eqn: {sqrt {3}} over {8}``]	③ [eqn: {3 sqrt {3}} over {20}``]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {6}``]	⑤ [eqn: {3 sqrt {3}} over {16}``]

2009	교육청(4점)

원에 다음 과정을 실행한다.

지름의 길이가 [eqn: 6]인 원이 있다.    이 원에 [과정]을 실행하여 그린 [eqn: 2]개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 [eqn: C _{1}]이라 하자.  그림 [eqn: C _{1}]에서 새로 그려진 [eqn: 2]개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 [eqn: 4]개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 [eqn: C _{2}]라 하자.   그림 [eqn: C _{2}]에서 새로 그려진 [eqn: 4]개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 [eqn: 8]개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 [eqn: C _{3}]이라 하자. 그림 [eqn: C _{3}]에서 새로 그려진 [eqn: 8]개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 [eqn: 16]개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 [eqn: C _{4}]라 하자.  이와 같은 방법으로 [eqn: n]번째 얻어진 그림 [eqn: C _{n}]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} =][eqn: {q} over {p} pi `]([eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q _{{} _{{} _{}}} _{{} _{{} _{}}}]의 값을 구하시오. (단, 모든 원의 중심은 처음 원의 한 지름 위에 있다.)

[과정]

Ⅰ. 원의 지름을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 잡는다.

Ⅱ. 이 원에 내접하면서 Ⅰ의 내분점에서 서로 외접하는 두 개의 원을 그린다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 [eqn: 59]

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 무한등비급수의 합 구하기

지름이 [eqn: 6]인 원의 넓이를 [eqn: A _{0}], [eqn: (A_0 = 9pi )]

[eqn: C_1]에서 그려진 [eqn: 2]개 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{1}],

[eqn: C_2]에서 그려진 [eqn: 4]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{2}],[eqn: cdots]

[eqn: C_n]에서 그려진 [eqn: 2 ^{n}]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{n}]이라 하자.

[eqn: C_1]에서 바깥 원을 [eqn: O_1], [eqn: O_1]의 내부에 내접하는 두 원을 크기 순서대로 [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]라 하면

넓이의 비는 [eqn: 9`:`4:`1]이므로 [eqn: A _{1`} = 5 over9 A_0]이다.

[eqn: C _{n}]에서 한 원과 그 원에 내접하는 두 원의 넓이의 비가 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]의 넓이의 비와 같으므로

[eqn: A_n = 5over9 A_n-1]이다.

따라서 [eqn: C _{n}]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: lim _{ n->inf} { }S_n = A_0 left{ 5over9 - left(5 over9 right) ^2 +left( 5over9 right) ^3 - left(5over9right) ^4 + cdots right]

[eqn: = 45over14 pi]이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=59]

2009	교육청(4점)

[그림 [eqn: 1]]과 같이 한 개의 넓이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 5]개로 이루어진

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.  [그림 [eqn: 2]]와 같이 [그림 [eqn: 1]]의

모양의 도형에 한 개의 넓이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 4]개를 붙여 만든

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.  [그림 [eqn: 3]]과 같이 [그림 [eqn: 2]]의

모양의 도형에 한 개의 넓이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 4]개를 붙여 만든

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{3}]이라 하자.      이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻어진

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {10S _{n}} over {n ^{2}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 20]

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 극한값 구하기

[eqn: n]

[eqn: n+1]

[eqn: S _{n} =2n(n+1)+1=2n ^{2} +2n+1]

∴ [eqn: lim _{n-> INF } {{10S _{n}} over {n ^{2}} = lim _{n-> INF } {{10(2n ^{2} +2n+1)} over {n ^{2}}} =20}]

2009	교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: barAB =2]를 지름으로 하는 반원 [eqn: D_1]을 그리고, [eqn: angleBAB_1 = pi over6]가 되도록 반원 [eqn: D_1]위의 점[eqn: B_1]을 잡는다.[eqn: barAB_1]을 지름으로 하는 반원 [eqn: D_2]를 그렸을 때, 반원 [eqn: D_2]에서 반원[eqn: D_1]과의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. [eqn: angle B_1 AB_2 = pi over6]가 되도록 반원 [eqn: D_2]위의 점 [eqn: B_2]를 잡아 [eqn: barAB_2]를 지름으로 하는 반원 [eqn: D_3]를 그리고, [eqn: angle B_2 AB_3 = piover6]가 되도록 반원 [eqn: D_3]위의 점 [eqn: B_3]를 잡는다. [eqn: barAB_3]를 지름으로 하는 반원 [eqn: D_4]를 그렸을 때, 반원 [eqn: D_4]에서 반원 [eqn: D_3]와의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속해서 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하면, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n = b overa left( pi over6 + sqrt3 right)]이다. 이때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

정답 ⑤

[eqn: barAB =2]이므로 [eqn: barAB_1 = 2 cos pi over6 = sqrt3]이다.

[eqn: S_1]의 넓이는 반원 [eqn: D_2]의 넓이에서 반원 [eqn: D_1]의 활꼴 [eqn: AB_1]의 넓이를 뺀 것이다. 즉,

[eqn: S_1][eqn: = 1over2 pi left( sqrt3 over 2 right)^2][eqn: - left{left(1over2 bullet1^2 bullet 2over3 pi right)- 1over2 bullet1 bullet1 bullet sin 2 over3 pi right}]
[eqn: = 1over24 pi + sqrt3 over4][eqn: = 1over4 left(pi over6 +sqrt3 right)]

또한, [eqn: barAB _2 = 3over2]이고 [eqn: barAB : barAB_2 = 1: 3over4]이므로 [eqn: S_1 : S_2 = 1: 9over16]이다. 그러므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n][eqn: = {1over4 left(pi over6 + sqrt3 right)}over{1- 9 over16][eqn: = 4over7 left(pi over6 + sqrt3 right)]이다.

따라서 [eqn: a=7], [eqn: b=4]이므로 [eqn: a+b=11]이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

2009	교육청(4점)

그림과 같이 세 점 [eqn: rm O(0,~0),~A _{1} `(0,~4),~A _{2} `(2,~0)]으로 이루어진 [eqn: TRIANGLE rm OA _{1} `A _{2}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{1}]이라 하자. [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm A _{3}]이 선분 [eqn: rm A _{1} `A _{2}]의 기울기와 선분 [eqn: rm A _{2} A _{3}]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]이 되도록 하는 점일 때, [eqn: TRIANGLE rm OA _{2} `A _{3}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{2}`]라 하자.
[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm A _{4}]가 선분 [eqn: rm A _{2} `A _{3}]의 기울기와 선분 [eqn: rm A _{3} A _{4}]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]이 되도록 하는 점일 때, [eqn: TRIANGLE rm OA _{3} `A _{4}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 생기는 [eqn: TRIANGLE rm OA _{it n rm} `A _{it n+1 rm}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{it n rm}`]이라 하고, [eqn: rm O _{it n rm}`]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } r _{n} `=a-2`rootb] ([eqn: a,~b]는 자연수)이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 11``]

[출제의도] 무한등비급수를 이용한 수학내적 문제해결하기

[eqn: TRIANGLE rm OA _{1} `A _{2}]=[eqn: TRIANGLE rm OO _{1} `A _{1} `+TRIANGLE OO _{1} `A _{2} `+TRIANGLE O _{1} `A _{1} `A _{2} `]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 4`=` {1} over {2} TIMES r _{1} ` TIMES (6+ 2sqrt {5} `)] ∴[eqn: r_1`=3-sqrt5]

[eqn: TRIANGLE rm OA _{2} `A _{3}]=[eqn: TRIANGLE rm OO _{2} `A _{2} `+ TRIANGLE OO _{2} `A _{3} `+TRIANGLE O _{2} `A _{2} `A _{3} `]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1`=` {1} over {2} TIMES r _{2} ` TIMES (3+ sqrt {5} `)]

∴ [eqn: r _{2} `= {1} over {2} (3- sqrt {5} `)]

따라서 [eqn: r _{n} `= (3- sqrt {5} `)LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } r _{n} `=`6-2 sqrt {5}]이므로 [eqn: a+b=11]

2005	교육청(4점)

그림과 같이 원점과 점 [eqn: A_0 `(`0``,`` 12`)``]를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 오른쪽 반원을 [eqn: D_1 ``]이라 하자. 원점을 지나고 기울기가 [eqn: 1``]인 직선이 [eqn: D_1 ``]과 제 [eqn: 1``]사분면에서 만나는 점을 [eqn: A_1 ``], 점 [eqn: A_1 ``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: B_1``]이라 하고, 반원 [eqn: D_1``], [eqn: x``]축, 선분 [eqn: A_1 B_1``]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1``]이라 하자. 선분 [eqn: A_1 B_1``]을 지름으로 하는 원의 오른쪽 반원을 [eqn: D_2``]라 하자. 점 [eqn: B_1``]을 지나고 기울기가 [eqn: 1``]인 직선이 [eqn: D_2``]와 제 [eqn: 1``]사분면에서 만나는 점을 [eqn: A_2``], 점 [eqn: A_2``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: B_2``]라 하고, 반원 [eqn: D_2``], [eqn: x``]축, 선분 [eqn: A_2 B_2``]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2``]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n``]이라 할 때,[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` S_n``]의 값은?

정답 ②

[eqn: bar OB_1 ``=`` bar {A_1 B_1} ``=``6``]이므로 [eqn: S_1 ``=`` 6^2 ``-`` 1 over 4 `․`pi `․`6^2 ``=`` 6^2 ``left(1``-`` pi over 4 right)``]

[eqn: bar {B_1 B_2} ``=`` bar {A_2 B_2} ``=`` 6 over 2``]이므로 [eqn: S_2 ``=`` left( 6 over 2 right)^2 ``-`` 1 over 4 ․pi ․left( 6 over 2 right)^2 ``=``left( 6 over 2 right)^2 left( 1``-`` pi over 4 right)``]

[eqn: bar {B_2 B_3} ``=`` bar {A_3 B_3} ``=`` 6 over 4``]이므로 [eqn: S_3 ``=`` left( 6 over 4 right)^2 ``-`` 1 over 4 `․`pi `․`left( 6 over 4 right)^2 ``=``left( 6 over 4 right)^2 left( 1``-`` pi over 4 right)``]

․․․

수열 [eqn: left{ `S_n `right}``]은 첫째항이 [eqn: 6^2 `left ( 1``-`` pi over 4 right)``]이고, 공비가 [eqn: 1 over 4``]인 등비수열이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf ``S_n ``=``{6^2 left(1``-`` pi over 4 right)} over {1`-` 1 over 4}``=``12`(`4``-``pi`)``]

① [eqn: 9`(`4`-`pi`)``]	② [eqn: 12`(`4`-`pi`)``]

③ [eqn: 15`(`4`-`pi`)``]	④ [eqn: 4`(`8`-`pi`)``]

⑤ [eqn: 6`(`8`-`pi`)``]

2006	교육청(4점)

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위의 점 [eqn: rmP] 에 대하여 [eqn: ANGLE rm A _{0}PA _{1} = {pi } over {6} `], [eqn: ANGLE rm A _{1}PA _{2} = {pi } over {18} `], [eqn: ANGLE rm A _{2} PA _{3} = {pi } over {54} `],… 이 되도록 점 [eqn: rm A _{0} `], [eqn: rm A _{1} `], [eqn: rm A _{2} `],…을 잡을 때, [eqn: arch{rm A_{0}` A_{1}} `], [eqn: arch{rm A _{1} A _{2} it} `], [eqn: arch{rm A _{2} A _{3} it} `],…의 길이를 각각 [eqn: l _{1} ,````l _{2} ,````l _{3} ,``` CDOTS `]라 하자. 이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 호의 길이 구하기

[eqn: l _{1} =2``․`` {pi } over {3} = {2} over {3} pi], [eqn: l _{2} =2``․`` {pi } over {9} = {2} over {9} pi],

[eqn: l _{3} =2``․`` {pi } over {27} = {2} over {27} pi], …

따라서 [eqn: l _{n} = {2} over {3} pi `` LEFT ( ` {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: ∴``sum _{n=1} ^{INF } l _{n} `= {{2} over {3} pi } over {1- {1} over {3}} = pi]

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: pi]

③ [eqn: {3 } over {2}pi]	④ [eqn: 2pi]

⑤ [eqn: {5 } over {2}pi]

2006	교육청(4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B]를 지름으로 하는 반원 [eqn: rm `D _{1}]이 있다. 호[eqn: rm A _{1} B]를 이등분하는 점을 [eqn: rm C _{1}], 점 [eqn: rm B]를 지나면서 선분 [eqn: rm A _{1} C _{1}]과 접하고 중심이 선분 [eqn: rm A _{1} B] 위에 있는 반원을 [eqn: rm `D _{2}], 반원 [eqn: rm `D _{2}]가 선분 [eqn: rm A _{1} B]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{2}]라 하자. 호 [eqn: rm A _{2} B]를 이등분하는 점을 [eqn: rm C _{2}], 점 [eqn: rm B]를 지나면서 선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]와 접하고 중심이 선분 [eqn: rm A _{1} B] 위에 있는 반원을 [eqn: rm `D _{3}], 반원 [eqn: rm `D _{3}]이 선분 [eqn: rm A _{1} B]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{3}]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 [eqn: rm `D _{it n rm}]의 호의 길이를 [eqn: l _{it n rm }]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{it n rm }]의 값은?

정답 ⑤

그림과 같이 반원 [eqn: rm D _{it n rm}], [eqn: rm D _{it n+1 rm}]의 반지름을 각각 [eqn: r _{n}], [eqn: r _{n+1}]라 하면,

[eqn: r _{n+1} ``:`(2r _{n} -r _{n+1} )=1``: sqrt {2}], [eqn: r _{n+1} = {2} over {sqrt {2} +1} `r _{n}]

따라서, [eqn: l _{1} =2 pi], [eqn: l _{n+1} = {2} over {sqrt {2} +1} l _{n}]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} = {2 pi } over {1- {2} over {sqrt {2} +1}} =2(3+2 sqrt {2} ) pi]

① [eqn: 2(1+ sqrt {2} ) pi]	② [eqn: 2(2+ sqrt {2} ) pi]

③ [eqn: 2(3+ sqrt {2} ) pi]	④ [eqn: 2(2+2 sqrt {2} ) pi]

⑤ [eqn: 2(3+2 sqrt {2} ) pi]

2009	교육청(4점)

그림과 같이 정육각형 [eqn: {rmH}_1``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_1``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{1`}], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_2``]라 하자. 정육각형 [eqn: {rmH}_2``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_2``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{2`}], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_3``]이라 하자. 이와 같은 방법으로 정육각형 [eqn: {rmH}_n``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_n``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n`}`], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_n+1``]이라 하자.이때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} ``]의 값을 [eqn: S_1``]을 이용하여 나타낸 것은?

정답 ①

[출제의도] 도형의 넓이를 무한등비급수의 합으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정육각형 [eqn: {\H}_{n}``]의 한 변의 길이를 [eqn: a_{n}``]이라 하면

[eqn: a_{n+1`}`^{2}`=`{a_{n}`^{2}}over{2}``+`{a_{n}`^{2}}over{2}``-`2`left({root{2}}over{2}`a_{n}right)left({root{2}}over{2}`a_{n}right)cos`30°`]

[eqn: a_{n+1}`^{2}`=`left(1`-`{root{3}}over{2}`right)a_{n}`^{2}``] ∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} `=`` {2 sqrt {3}} over {3} `S _{1} ``]

① [eqn: {2root3} over 3 `S_1``]	② [eqn: {3-root3} over 3 `S_1``]	③ [eqn: {4root3} over 3 `S_1``]

④ [eqn: {3+root3} over 3 `S_1``]	⑤ [eqn: {2root3} `S_1``]

2006	평가원(4점)

직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다.그림과 같이 긴 변의 길이가 [eqn: 1`]인 황금직사각형 [eqn: rm R _{1} `]에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm S _{1} `]을 잘라내고 남은 직사각형을 [eqn: rm R _{2} `], 직사각형 [eqn: rm R _{2} `]에서 정사각형 [eqn: rm S _{2} `]를 잘라내고 남은 직사각형을 [eqn: rm R _{3} `]이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm R _{4} `], [eqn: rm R _{5} `], [eqn: rm R _{6} `], [eqn: CDOTS `]을 한없이 만들어 간다. 직사각형 [eqn: rm R _{it n rm} ```( it n=1,~2,~3,~ CDOTS )`]의 둘레의 길이 [eqn: l _{n} `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} `=k``l _{1} `]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ②

[eqn: rm R _{1}]의 짧은 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면 [eqn: rm R _{2}]의 긴 변과 짧은 변의 길이는 각각 [eqn: x`], [eqn: 1-x`]이고 [eqn: rm R _{1}]과 [eqn: rm R _{2}]가 닮음이므로 [eqn: x```:1=(1-x):x`]

[eqn: ~~x ^{2} +x-1=0]에서 [eqn: x= {-1+ sqrt {5}} over {2} `~~~( BECAUSE `x>0)]

또 [eqn: rm R _{it n rm}]과 [eqn: rm R _{it n+1 rm}]사이에 [eqn: 1``:`` {-1+ sqrt {5}} over {2} `]의 닮음비가 성립하므로 [eqn: l _{n+1} = {-1+ sqrt {5}} over {2} l _{n}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n}][eqn: = {`l _{1} `} over {1- {-1+ sqrt {5}} over {2} `}][eqn: = {3+ sqrt {5}} over {2} l _{1}] 이므로

[eqn: k= {3+ sqrt {5}} over {2}]이다.

① [eqn: {3- sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {3+ sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: {5- sqrt {5}} over {2}]	④ [eqn: 3- sqrt {5} `]	⑤ [eqn: 3+ sqrt {5} `]

수학세상 수학자료실                                     http://www.math114.net

대수능 & 평가원 및 교육청 수1	무한 급수	수학은 머리로 푼다? 아니다 수학은 손으로 푼다.

2006	교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: x``]축 위의 점 [eqn: rm A _{1} `(`6` pi ```-`12,~0`)``]에 대하여 [eqn: rm bar{`OA _{1} `}``]을 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 1``]사분면에 그리고, [eqn: rm bar{`OA _{1}`} ```=` archOA_{2}]인 점 [eqn: rmA _{2} ``]를 [eqn: y``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{2}`} ``]를 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 2``]사분면에 그린다. 또, [eqn: rm bar{`OA _{2}`} ```=` arch{```OA _{3} ```}``]인 점 [eqn: rmA _{3} ``]를 [eqn: x``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{3} `} ``]를 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 3``]사분면에 그리고, [eqn: rm bar{`OA _{3}`} ```=` archOA_{4}]인 점 [eqn: rmA _{4} ``]를 [eqn: y``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{4}`}``]를 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 4``]사분면에 그린다. 같은 방법으로 제 [eqn: 1``]사분면, 제 [eqn: 2``]사분면, [eqn: CDOTS `]에 반원을 계속하여 그려나갈 때, 반원들의 호의 길이의 합 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } rm arch {```OA _ n```} ``]의 값은?  (단, [eqn: rm arch{```OA _{n} ```} 은`````` bar{`OA _{n} `} ``]을 지름으로 하는 반원의 호이고 [eqn: n``]=1, 2, 3, …이다.)

정답 ⑤

[eqn: rm bar{OA} it _{n} ` it `=`a _{n} `] 이라 하면 [eqn: a _{n} = pi CDOT {a _{n+1}} over {2} ``] 에서

[eqn: a _{n+1} `=` {2} over {pi } `a _{n} `]이므로 [eqn: a _{n} `=`a _{1} CDOT LEFT ( {2} over {pi } RIGHT ) ^{n-1} =(6 pi -12) LEFT ( {2} over {pi } RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE `````` arch{rm OA it _{n}} = pi CDOT {a _{n}} over {2} = {pi } over {2} (6 pi -12) LEFT ( {2} over {pi } RIGHT ) ^{n-1}]

따라서 구하는 값은 첫째항이 [eqn: {pi } over {2} `(6 pi -12)], 공비가 [eqn: {2} over {pi }]인 무한등비급수이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` arch{rm OA it _{n}} `=` {pi } over {2} CDOT {6` pi -12} over {1- {2} over {pi }} `=`3` pi ^{2} `]

① [eqn: 9` pi ``]	② [eqn: 8` pi ```+`1``]	③ [eqn: pi ^{2} ```+`10]	④ [eqn: 2` pi ^{2} ```+`3``]	⑤ [eqn: 3` pi ^{2} ``]

2006	교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: rm bar{A_1 B_1`}`=`1`]이고 점 [eqn: rm O``]는 선분 [eqn: rm A_1`B_1``]을 [eqn: rm 2``:``1``]로 내분하는 점이다. 점 [eqn: rm A_2``]는 선분 [eqn: rm OA_1`]을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점 , 점 [eqn: rm A_3`]은 선분 [eqn: rm OA_2``]를 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점, [eqn: cdots cdots], 점[eqn: rm A_{it n+1}``] 은 선분 [eqn: rm OA_{it n}] 을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점이다. 점 [eqn: rm B_2``]는 선분 [eqn: rm bar OB_1``]을 [eqn: 1``:``2``]로 내분하는 점, 점 [eqn: rm B_3``]는 선분 [eqn: rm bar OB_2``]를 [eqn: 1``:``2``]로 내분하는 점, [eqn: cdotscdots``], 점 [eqn: rm B_{it n+1``}``]은 [eqn: rm OB_{it n}``]을 [eqn: 1``:``2``]로 내분하는 점이다. 선분 [eqn: rm OA_{it n}``]을 지름으로 하는 반원의 호의 길이를 [eqn: s_n``], 선분 [eqn: rm OB_{it n}``]을 지름으로 하는 반원의 호의 길이를 [eqn: t_n``]이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(s _{n} -t _{n} )``]의 합은?

정답 ⑤

[eqn: s _{n} ``]은 공비가 [eqn: {2} over {3} `]이고 첫째항이 [eqn: {pi } over {3} ``]인 등비수열, [eqn: t _{n} ``]은 공비가 [eqn: 1 over 3`]이고 첫째항이 [eqn: {pi } over {6} ``]인 등비수열일다.

[eqn: sum_n=1 ^inf (s_n -t_n )`=` {pi over 3} over {1- 2 over 3} - {pi over 6} over {1- 1 over 3}`=` 3 over 4 pi``]

[eqn: rm A _{2} ``]

[eqn: rm A _{3} ``]

[eqn: rm A _{1} ``]

[eqn: CDOTS ``]

[eqn: CDOTS ``]

[eqn: rm O``]

[eqn: rm B _{2} ``]

[eqn: rm B _{1} ``]

① [eqn: {1} over {4} pi ``]	② [eqn: {1} over {3} pi ``]	③ [eqn: {1} over {2} pi ``]	④ [eqn: {2} over {3} pi ``]	⑤ [eqn: {3} over {4} pi ``]

2012	교육청(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2root3]이고 [eqn: ∠ \A_1 OB_1][eqn: =`][eqn: 60°]인 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]이 있다.

세 점 [eqn: \A_1], [eqn: \O], [eqn: \B_1]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_1 OB_1]의 무게중심을 [eqn: \C_1]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_1 C_1], [eqn: \B_1 C_1]과 호 [eqn: \A_1 B_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_1]이라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_1]을 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_1], [eqn: \OB_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \A_2], [eqn: \B_2]라 하자. 세 점 [eqn: \A_2], [eqn: \O], [eqn: \B_2]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_2 OB_2]의 무게중심을 [eqn: \C_2]라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_2 C_2], [eqn: \B_2 C_2]와 호 [eqn: \A_2 B_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_2]라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_2]를 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_2], [eqn: \OB_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A_3], [eqn: \B_3]이라 하자. 세 점 [eqn: \A_3], [eqn: \O], [eqn: \B_3]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_3 OB_3]의 무게중심을 [eqn: \C_3]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_3 C_3], [eqn: \B_3 C_3]과 호 [eqn: \A_3 B_3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S`_n]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 무한급수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm C_1`]은 정삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1 `]의 무게중심이므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 각각 삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1`]의 넓이의 [eqn: 1 over3 `]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 [eqn: {1} over {3}` ·` {sqrt {3}} over {4}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = sqrt {3} `]이다.

[eqn: S _{1}]은 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `], [eqn: \C _{1} OB _{1}]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `= {1} over {2}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}` ·` {pi } over {3} `-2 sqrt {3} =2 pi -2 sqrt {3} `]

부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]과 부채꼴 [eqn: rm A _{2} OB _{2} `]의 닮음비는

[eqn: 2root3` : 2 = root3` :1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 3:1`]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2pi`-2root3], 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {2 pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} =3` pi -3 sqrt {3}]

[4점] [12년 03월 교육청]

① [eqn: 2` pi - sqrt {3} `]	② [eqn: 2` pi -2 sqrt {3} `]	③ [eqn: 2` pi -3 sqrt {3} `]

④ [eqn: 3` pi -3 sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 3` pi -4 sqrt {3} `]

2006	평가원(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 [eqn: \OB_1 \C_1 \A_0]이 있다. 삼각형 [eqn: \OA_1 \D_1]이 [eqn: ∠ \D_1 \OA_1 =30°]인 이등변삼각형이 되도록 변 [eqn: \B_1 \C_1], [eqn: \A_0 \C_1] 위에 각각 점 [eqn: \A_1], [eqn: \D_1]을 잡고 변 [eqn: \OA_1]의 길이를 [eqn: l_1]이라 하자. 선분 [eqn: rm OA_1]을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OB_2 \C_2 \A_1]에서 삼각형 [eqn: \OA_2 \D_2]가 [eqn: ∠ \D_2 \OA_2 =30°]인 이등변삼각형이 되도록 변 [eqn: \B_2 \C_2], [eqn: \A_1 \C_2] 위에 각각 점 [eqn: \A_2], [eqn: \D_2]를 잡고 변 [eqn: \OA_2]의 길이를 [eqn: l_2]라 하자.	선분 [eqn: \OA_2]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OB_3 \C_3 \A_2]에서 삼각형 [eqn: \OA_3 \D_3]이 [eqn: ∠ \D_3 \OA_3 =30°]인 이등변삼각형이 되도록 변 [eqn: \B_3 \C_3], [eqn: \A_2 \C_3] 위에 각각 점 [eqn: \A_3], [eqn: \D_3]을 잡고 변 [eqn: \OA_3]의 길이를 [eqn: l_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형 [eqn: \OA_n \D_n`]에서 변 [eqn: \OA_n`]의 길이를 [eqn: l_n`]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{infty} {1_`} over l_n = sqrt {3`}]일 때,	[eqn: a`]의 값은?

정답 ③

[eqn: l_n `=`bar \OA_n `,``l_n+1 `=`bar \OA_n+1`]이므로

[eqn: l_n+1 `=`2_` over { SQRT { 3`} }^` l_n ,`` `=`2_`over { SQRT { 3`} }^` a]

[eqn: (∵~l_n+1 ``:``l_n `=`2``:`` SQRT { 3` } )]

[eqn: l_n `=` LEFT ( 2_` over { SQRT { 3`} }^` a RIGHT ) `LEFT ( 2_` over { SQRT { 3`} }^` RIGHT )^n-1 `=`a․ LEFT ( 2_` over { SQRT { 3`} }^` RIGHT ) ^n]

[eqn: 1_` over l_n `=`1_` over a ․ LEFT ( { SQRT { 3`} }_` over {2 } RIGHT ) ^n]

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf 1_` over {l_n}`=` { 1_` over a ․ { SQRT { 3`} }_` over {2 } }_` over {1- { SQRT { 3`} } over {2 } }^` `=` { SQRT { 3`} }_` over { a(2- SQRT { 3`}) } ^` `=` SQRT { 3`}]

[eqn: ∴~a`=`1_` over {2- SQRT { 3`} }^` `=`2+ SQRT { 3`}]

[eqn: 30°]

[eqn: 30°]

[eqn: 30°]

[eqn: \B_1]

[eqn: \B_2]

① [eqn: SQRT { 3`}]	② [eqn: 1+SQRT { 3`}]	③ [eqn: 2+SQRT { 3`}]

④ [eqn: 3+SQRT { 3`}]	⑤ [eqn: 6+SQRT { 3`}]

2012	교육청(4점)

그림과 같이 중심이 [eqn: (1,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O_1`]이 있다. 원 [eqn: rm O_1`]이 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A _{1}`]이라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{1}`]의 길이를 [eqn: l _{`1}]이라 하자.

정답 ⑤

[출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 이해한다.

직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x`]와 [eqn: x`]축이 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6} `]이다. [eqn: rmTRIANGLE OO _{1} A _{1} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rmANGLE OO _{1} A _{1} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{1} = {2} over {3} pi `]

[eqn: rm TRIANGLE OO _{{it`n}} A _{{it`n`}} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE OO _{{it`n`}} A _{{it`n}} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{{it`n}} = {2} over {3} pi `cdot`l _{{it`n-1}}] [eqn: (n geq 2 )]

수열 [eqn: left{ {1} over {l _{n}} `right}]은 첫째항이 [eqn: {3} over {2pi} `]이고 공비가 [eqn: {3} over {2pi} `]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {l _{n}} `][eqn: = {{3} over {2 pi }} over {1- {3} over {2pi }} `][eqn: = {3} over {2 pi -3} `]

중심이 [eqn: (`l_{`1}`,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{`1} `]인 원 [eqn: rm O _{2``}`]를 그린다.   원 [eqn: rm O _{2`}`]가 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A ` _{2}`]라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{`2}`]의 길이를 [eqn: l _{`2}`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l`_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `{1} over {l _{`n}} `]의 값은?

[4점]

[eqn: y= { 1} over {sqrt { 3} }x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1 over { pi-3} `]	② [eqn: 2 over { pi-3} `]	③ [eqn: 1 over { 2 pi-3} `]

④ [eqn: 2 over { 2 pi-3} `]	⑤ [eqn: 3 over { 2 pi-3} `]

2012	교육청(4점)

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1`], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형의 넓이를 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S ` _{n}} `]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 도형의 넓이를 나타내는 수열을 구한 후 부분분수로 변형하여 무한급수의 합을 구한다.

네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형은 그림과 같이 평행한 두 변의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: (n+1)`]이고, 높이가 [eqn: n`]인 사다리꼴이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{n} = {n(n+2) over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}} `= sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { } sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) }]

[eqn: = lim _{n`-> INF } left({1+ {1} over {2} - {1} over {n+1}} - {1} over {n+2}right)]

[eqn: = 3over2]

[4점][12년 03월 교육청]

① [eqn: {1} over {2} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

2006	교육청(4점)

넓이가 [eqn: 20`pi ``]인 원 [eqn: rm O _{1}``]을 그리고, 원 [eqn: rm O _{1}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{2}``]를 그린다. 또 원 [eqn: rm O _{2}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{3}``]를 그린다.  이와 같이 원 [eqn: rm O _{it n} ``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{it n+1}``]을 계속하여 그려 간다. 원 [eqn: rm O _{it n}``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {} S _{n}``]의 값은?

정답 ③

[eqn: S _{1} =20 pi ``,``S _{n} = {1} over {4} S _{n-1} +12` pi ``(n >= 2`)``]

[eqn: S _{n} -16 pi = {1} over {4} (S _{n-1} -16 pi )``]이므로

[eqn: S _{n} -16 pi =(20 pi -16 pi ) LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-2} pi ``]

[eqn: S _{n} =16` pi + LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-2} pi ``] [eqn: THEREFORE `` lim _{n -> INF } {} S _{n} =16 pi]

① [eqn: 14` pi ``]	② [eqn: 15` pi ``]	③ [eqn: 16` pi ``]	④ [eqn: 17` pi ``]	⑤ [eqn: 18` pi ``]

2006	평가원(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형을 넓이가 같은 [eqn: 4`]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 사분원 [eqn: 2`]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 [eqn: T_1 `]이라 하자. [eqn: T_1 `]에서 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 2`]개를 각각 넓이가 같은 [eqn: 4`]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 사분원 [eqn: 4`]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 [eqn: T_2 `]라 하자.  [eqn: T_2 `]에서 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정사각형 [eqn: 4`]개를 각각 넓이가 같은 [eqn: 4`]개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4}]인 사분원 [eqn: 8`]개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 [eqn: T_3 `]이라 하자.  이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형을 [eqn: T_n `]이라 하고 그 넓이를 [eqn: S_n `]이라 할 때, [eqn: lim from {n`->`inf} S_n `]의 값은?

정답 ④

첫 번째로 잘려진 도형중 한 조각의 넓이 [eqn: t_1],

두 번째로 잘려진 도형중 한 조각의 넓이 [eqn: t_2],

[eqn: DOTSVERT]

[eqn: n`]번째로 잘려진 도형중 한 조각의 넓이 [eqn: t_n`]이라 하면 수열 [eqn: \{ IT t_n` \}]은 [eqn: t_1 =1- pi over 4]이고, 공비가 [eqn: 1 over 4]인 등비수열이므로

[eqn: t_n `=` LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) ․ LEFT ( 1 over 4 RIGHT ) ^n-1]

이다.

한편, 도형 [eqn: T_n`]에서 잘려나간 도형의 총 넓이는

[eqn: 2 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) +2^2 ` LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) ․ 1 over 4 +…]

[eqn: +2^n LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) ․ 1 over {4^n-1}]

[eqn: =`2 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) +2 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) ․ 1 over 2 +…]

[eqn: +2 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) ․ 1 over {2^n-1}]

[eqn: =` { 2 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) LEFT ( 1- LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n `RIGHT ) }_` over { 1- 1 over 2} `]

[eqn: =`4 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) LEFT ( 1- LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n` RIGHT )]

[eqn: ∴~ lim from { n -> inf } `S_n `=` lim from { n -> inf } ` LEFT { 4-4 LEFT ( 1- pi over 4 RIGHT ) LEFT ( 1- LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n` RIGHT ) `RIGHT }]
[eqn: =`pi]

								⋯
[eqn: T_1]		[eqn: T_2]		[eqn: T_3]		[eqn: T_4]

① [eqn: {pi`} over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi^`]	③ [eqn: {3} over {4} pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

2005	교육청(4점)

[eqn: x_0 ``=``1``,~ x_1 ``=`` 3 over 4 ``,~ x_2 ``=`` 5 over 8``,~․․․``,~ x_n ``=`` {2^n +1 } over {2^{n+1}}``․․․``] 에 대하여 좌표평면 위에 점 [eqn: P_0 (`1``,``1`)``]과 [eqn: P_n `(`x_n ``,`` {x_n}^2 `)``],	[eqn: Q_n `(`x_n-1 ``,`` {x_n}^2 `)``]([eqn: n``=``1``,~2``,~3``,~․․․``])을 그림과 같이 나타낸다. 무한급수 [eqn: bar {P_0 Q_1} ``+``bar {Q_1 P_1} ``+``bar {P_1 Q_2} ``+``bar {Q_2 P_2} ``+``bar {P_2 Q_3} ``+``․․․] 의 합을 [eqn: S``]라 할 때 [eqn: 100`S``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 125``]

[eqn: S ``=`` sum from n=0 to inf bar {P_n Q_{n+1}} ``+`` sum from n=0 to inf bar {Q_n P_{n}} ``]이고, [eqn: x_n ``=`` 1 over 2 ``+``1 over {2^{n+1}}``]이므로

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } bar{P _{n} Q _{n+1}} ``=`` sum _{n=0} ^{INF } (x _{n} ^{2} ``-``x _{n+1} ^{2} ``)``=`` sum _{n=0} ^{INF } `` {pmatrix{{1} over {2 ^{n+2}} + {3} over {4 ^{n+2}}}} ``][eqn: =`` {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} ``+`` {{3} over {16}} over {1- {1} over {4}} ``]

[eqn: =``1 over 2 ``+`` 1 over 4 ``=`` 3 over 4``][eqn: sum from n=0 to inf bar {Q_n P_{n}} ``=`` sum from n=0 to inf ({x_n-1} ``-``{x_{n}}``)``=``sum from n=0 to inf ``pmatrix{1 over 2^{n+1}}``=``{1 over 4} over {1- 1 over 2} ``=`` 1 over 2``]

따라서 [eqn: S ``=`` 3 over 4 ``+`` 1 over 2 ``=`` 5 over 4``]이므로 [eqn: 100S``=``125``]

2004	평가원(4점)

오른쪽 그림과 같이 원점 [eqn: \O`]와 점 [eqn: \A_0`(10`,``0`)`]에 대하여 제 1 사분면 위에 [eqn: bar\OA_0`]를 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: \O\A_0 \A_1`]을 만들고 [eqn: bar{\A_0 \A_1}`]을 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: \B_1`]이라 한다. 또 [eqn: △ \OA_0 \A_1`]밖에 [eqn: bar{\A_1 \B_1}`]을 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: \A_1 \B_1 \A_2`]를 만들고 [eqn: rm bar{A_1 A_2}`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm B_2`]라 한다.

이와 같은 과정을 한없이 반복하면 점 [eqn: \A_n `]은 점 [eqn: (a, b`)`]에  한없이 가까워진다. 이때 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13``]

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: 10left{1 - 1 over 2 + 2 over 3 - 1 over 2 cdot LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 + LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^3 - 1 over 2 cdot LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^4 + cdots right}]

[eqn: =` 10`left( 1- 1 over 2 right) + 10 `left{ 2 over 3 - 1 over 2 ` LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 `right} `left{ 1 + LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^2 + LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^4 + cdots `right}`]

[eqn: `=` 5 + 10 cdot 4 over 9 cdot LEFT ( 1 over {1 - 4 over 9} RIGHT )][eqn: =`13`]

2006	교육청(4점)

그림은 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {3}]이고 밑면과 모선 사이의 각도가 [eqn: 60°]인 직원뿔이다. 구 [eqn: rmO _{1}]이 직원뿔에 내접하고, 구 [eqn: rmO _{2}] 는 구 [eqn: rmO _{1}] 에 외접하고 직원뿔의 옆면과 접한다. 이와 같은 방법으로 [eqn: rmO _{3} ,```O _{4} ,```O _{5} ,`` CDOTS]를 한없이 만들어 나갈 때, 구들의 부피의 합은?

정답 ②

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 부피의 합 구하기

구 [eqn: rmO_1]의 반지름을  [eqn: r_1]이라하면 [eqn: △rmABO_1]에서

[eqn: ∠rmBAO_1 =30°]이므로 [eqn: tan30° = { r_1} over { sqrt { 3} }= { 1} over { sqrt { 3} }]

따라서 [eqn: r_1 =1]

구 [eqn: rmO_2]의 반지름을  [eqn: r_2]이라하면 [eqn: △rmO_2 O_1 D]에서

[eqn: ∠rmO_1 O_2 D=30°]이므로 [eqn: sin30° = { 1-r_2} over {1+r_2 }= { 1} over { 2}]

따라서 [eqn: r_2 = { 1} over { 3}]

구[eqn: V _{1}]의 반지름 [eqn: 1]이므로 부피는 [eqn: { 4} over { 3} pi]

구[eqn: V _{2}]의 반지름 [eqn: {1} over { 3}]이므로 부피는 [eqn: { 4} over {81 } pi]

[eqn: CDOTS]

따라서 첫째항이 [eqn: { 4} over {3 } pi]이고 공비가 [eqn: { 1} over {27 }]인 무한등비급수이므로 합은 [eqn: { { 4} over {3 } pi} over { 1- { 1} over { 27} }= { 18} over { 13} pi]

① [eqn: 16 over {13} pi]	② [eqn: 18over {13} pi]	③ [eqn: 20 over {13} pi]	④ [eqn: 22over {13} pi]	⑤ [eqn: 24over {13} pi]

2005	평가원(4점)

그림과 같이 원점을 지나고 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta``]인 직선 [eqn: l``]이 있다. 점 [eqn: P_1 `(`1``,``0`)``]을 지나고 직선 [eqn: l``]과 평행한 직선 위에 선분의 길이가 [eqn: {overlineOP_1 ^`} ``=`` overline{P_1 `Q_1}^`]이 되는 점 [eqn: Q_1``]을 선택하자. 점 [eqn: Q_1``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: P_2``]라 하고, 점 [eqn: P_2``]를 지나고 직선 [eqn: l``]에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 [eqn: overline{P_1 `P_2}^` `=`` overline{P_2 `Q_2}^` ``]가 되는 점 [eqn: Q_2``]를 선택하자. 점 [eqn: Q_2``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: P_3``]이라 하고, 점 [eqn: P_3``]을 지나고 직선 [eqn: l``]에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 [eqn: overline{P_2 `P_3}^` ``=`` overline{P_3 `Q_3}^` `]이 되는 점 [eqn: Q_3``]을 선택하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 두 점 [eqn: P_n ``,~Q_n``]에 대하여 선분 [eqn: P_n Q_n``]의	길이를 [eqn: a_n``]이라 하자.[eqn: pmatrix{단``,~ 0 ``<`` theta ``<`` pi over 2}``][eqn: SUM from {n=1^`} to {`inf_`} a_n ``=``4``]일 때, [eqn: cos theta``]의 값은?

정답 ④

주어진 조건에서 [eqn: bar{ P_n+1 Q_n+1} ``=``bar{ P_n P_n+1} ``=`` bar{ P_n Q_n} cdot cos theta ``]이므로 [eqn: a_n+1 ``=`` a_n cdot cos theta``]

∴ [eqn: a_n+1 over a_n ``=`` cos theta``]

따라서 수열 [eqn: \{a_n \}``]은 첫째항이 [eqn: a_1 ``=`` bar{P_1 Q_1} ``=``1``], 공비가 [eqn: cos theta ``]인 무한등비수열이므로

[eqn: SUM_n=1 ^inf ``a_n ``=`` 1 over {1- cos theta} ``=`` 4``]

∴ [eqn: cos theta ``=`` 3 over 4 ``]

① [eqn: {1_`} over {4 ^`}``]	② [eqn: {1_`} over {2 ^`}``]	③ [eqn: {root {2_``}} over {2^`} ``]	④ [eqn: {3_`} over {4^`} ``]	⑤ [eqn: {root{3_``}} over {2^`} ``]

2004	평가원(4점)

이차함수 [eqn: f`(x)=x^{ 2 }``]에서 [eqn: x_1 =1, `` x_2 = 2 over 3 , ``x_3 = 4 over 9 , ` cdots`,`x_n =left( 2over3 right)^n-1 , `cdots`]을 그림과 같이 정할 때, [eqn: x_n -x_n+1 ``]을 밑변의 길이, [eqn: f``(x_n `)``]을 높이로 하는 직사각형의 넓이를 [eqn: A_n ``]이라 하자.  이 때, [eqn: SUM from { { n}=1} to inf A_n ``]은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: A_n`~=~ LEFT { ( 2 over 3 )^n-1 -( 2 over3 )^n RIGHT} cdot ( 2 over3 ) ^2n-2]

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf A_n~`&=SUM from { { n}=1} to inf { 1} over {3} { ({ 2} over {3 } ) }^{3n-3 } #&= { 1} over {3 }cdot { 1} over {1- { 8} over {27 } } = { 9} over {19 }]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x_2]

[eqn: x_3]

[eqn: CDOTS]

[eqn: f``(x)`=`x^2]

[eqn: 1]

[eqn: x_1 =1]

[eqn: CDOTS]

① [eqn: {5} over {19}]	② [eqn: {6 } over {19 }]	③ [eqn: { 7 } over { 19 }]	④ [eqn: {8} over {19}]	⑤ [eqn: 9 over 19]

2004	평가원(4점)

그림과 같이 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 꼭지점 [eqn: rm A`]를 중심, [eqn: rm bar AB`]를 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, [eqn: rm barAC`]와 만나는 점을 [eqn: rm A_1`], [eqn: rm barAC BOT bar{A_1 B_1}`]이면서 [eqn: rm bar BC`]위에 있는 점을 [eqn: rm B_1`], 다시 꼭지점 [eqn: rm B_1`]을 중심, [eqn: rm bar{A_1 B_1}`]을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, [eqn: rm barCB_1`]과 만나는 점을 [eqn: rm B_2`], [eqn: rm barCB_1 `BOT` bar{A_2 B_2}`]이면서 [eqn: rm bar {A_1 C`}] 위에 있는 점을 [eqn: rm A_2`]라고 정하기로 한다.

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmB_3]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A_1]

․

․

․

위와 같은 과정을 계속 반복해 나갈 때,   [eqn: rm bar AB `+` bar{A_1 B_1}`+` bar{A_2 B_2} `+` cdots``]의 값은 ? (단, [eqn: rm bar AB `=`2`])

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 외적 문제 해결하기

[eqn: rm bar {AB}=2`], [eqn: rm bar {AC}=2root2`],

[eqn: rm bar {A_1 B_1}=2root2 -2`], [eqn: rm bar {B_1 C}=root2 (2root2 -2)`],

[eqn: rm bar {A_2 B_2}=root2 (2root2 -2)-(2root2 -2)=2(root2 -1)^2]

구하는 값은 초항이 [eqn: 2`], 공비가 [eqn: root2 -1`]인 무한등비    급수이므로

(준식)[eqn: =`][eqn: { 2} over {1- (root2 -1) } =2+root2]

① [eqn: 2+ { root2} over {2 }]	② [eqn: 4 -root2]	③ [eqn: 2root2]	④ [eqn: 2+ root2]	⑤ [eqn: 2+2 root2]

2007	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1`]이 있다. 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1`]의 내부에 선분 [eqn: rm B_1 C_1`]을 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: rm P_1 B_1 C_1`]을 만든다. 다시 선분 [eqn: rm B_1 C_1] 위에 정삼각형 [eqn: rm P_1 B_1 C_1`]에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 `]를 만든다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 정사각형 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n {rmC}_n {rmD}_n `]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 값은?

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmP_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmP_2]

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 도형의 넓이의 합 구하기

[eqn: l _{n}]

[eqn: {rmP} _{n}]

[eqn: {rm B} it rm _{n}]

[eqn: {rm C} it rm _{n}]

[eqn: {rmA} _{n+1}]

[eqn: {rmD}_n+1]

[eqn: {rmB} _{n+1}]

[eqn: {rmC} _{n+1}]

[eqn: l _{n+1}]

[eqn: △ {rm P }it _{n} {rm B} it _{n} {rm C} it _{n}]의 높이는

[eqn: {sqrt {3}} over {2} l _{n} =l _{n+1} + {sqrt {3}} over {2} l _{n+1}]이므로

[eqn: {l _{n+1}} over {l _{n}} = {sqrt {3}} over {2+ sqrt {3}} =2 sqrt {3} -3]

따라서 첫째항은 [eqn: 16]이고, 공비는 [eqn: LEFT ( 2 sqrt {3} -3 RIGHT ) ^{2}] 인

무한등비급수의 합이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} S_n = {16} over {1- LEFT ( 2 sqrt {3} -3 RIGHT ) ^{2}} = { 6 sqrt { 3} +10 }]

① [eqn: {4sqrt {3} +15}]	② [eqn: { 5sqrt {3} +10}]	③ [eqn: {5 sqrt {3} +25}]

④ [eqn: { 6sqrt {3} +5}]	⑤ [eqn: { 6sqrt {3} +10]

2007	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm OA _{1} B _{1} C _{1} `]에서 [eqn: ANGLE rm O]의 [eqn: 3]등분선이 [eqn: bar{rm A _{1} B _{1} ` it} ,`` bar{rm B _{1} C _{1} ` it} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P _{1} ,``Q _{1} `]이라 하자. 점 [eqn: rm O`]가 중심이고 [eqn: bar{rm OP _{1} it} `]을 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm OP _{1} Q _{1} `]을 그린다. [그림[eqn: 1`]]에서 도형 [eqn: rm B _{1} Q _{1} P _{1} `]의 넓이를 [eqn: S _{1} `]이라 하자. 호 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `]의 중점 [eqn: \B _{2} `], [eqn: bar {rm OA _{1} }]□[eqn: bar { \C _{ 2} B _{ 2} }`]인 [eqn: bar{\OC_1}] 위의 점 [eqn: \C_2], [eqn: ```bar { \OC _{ 1} }]□[eqn: bar { \A _{ 2} B _{ 2} }`]인 [eqn: bar{\OA_1}] 위의 점 [eqn: \A_2], 점 [eqn: \O]를 꼭지점으로 하는  정사각형 [eqn: rm OA _{2} B _{2} C _{2} `]를 그린다. [eqn: bar{rm OP _{1} it} `]과 [eqn: bar{rm A _{2} B _{2} ` it} `]가 만나는 점을 [eqn: rm P _{2} `], [eqn: bar{rm OQ _{1} it} `]과 [eqn: bar{rm B _{2} C _{2} ` it} `]가 만나는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자. 점 [eqn: rm O`]가 중심이고 [eqn: bar{rm OP _{2} it} `]를 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm OP _{2} Q _{2} `]를 그린다. [그림[eqn: 2`]]에서 도형 [eqn: rm B _{2} Q _{2} P _{2} `]의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 합은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 활용하여 도형과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{1} =1- {1} over {2} TIMES 1 TIMES {1} over {sqrt {3}} TIMES 2- {1} over {2} LEFT ( {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} TIMES {pi } over {6}]

[eqn: =1- { sqrt { 3} } over {3 }- { pi } over {9 }]

[eqn: r= {(정사각형OA _{2} B _{2} C _{2} 대각선) ^{2}} over {(정사각형OA _{1} B _{1} C _{1} 대각선) ^{2}} = {LEFT ( {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}} over {( sqrt {2} ) ^{2}} = {2} over {3}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } s _{n} = {S _{ 1} } over {1-r}= {1- { sqrt { 3} } over {3 } - { pi } over {9 } } over {1- { 2} over {3 } }]

[eqn: =3- sqrt { 3}- { pi } over {3 }]

[그림1]              [그림2]              [그림3]   …

① [eqn: -3+ pi]	② [eqn: 4- pi]	③ [eqn: root3 - pi over 3]

④ [eqn: 3- root3 - pi over 3]	⑤ [eqn: 4- root3 - pi over 2]

2007	교육청(4점)

중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: 2n]인 동심원이 있다.

[eqn: x]

[eqn: 2n]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: cdots]

		< 다 음 >
	<[eqn: 1]단계> 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 내부의 [eqn: 1]사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원과 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 사이의 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면에도 검은색을 칠한다. <[eqn: 2]단계> 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원과 반지름의 길이가 [eqn: 3]인의 원사이의 [eqn: 1]사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원과 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원 사이의 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면에도 검은색을 칠한다. [eqn: VDOTS] <[eqn: n]단계> 반지름의 길이가 [eqn: 2n-2]인 원과 반지름의 길이가 [eqn: 2n-1]인원 사이의 [eqn: 1]사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 [eqn: 2n-1]인 원과 반지름의 길이가 [eqn: 2n]인 원 사이의 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면에도 검은색을 칠한다.

이와 같이 [eqn: n]단계까지 검은색으로 칠한 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ->` INF } {S _{n}} over {n ^{2}}]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 극한값 구하기

[eqn: n]단계에서 색칠하는 부분의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: a _{1} = {1} over {4} pi ( 1 ^{2} -0^2 )+ {3} over {4} pi (2 ^{2} -1 ^{2} )]

[eqn: a _{2} = {1} over {4} pi ( 3 ^{2} -2^2 )+ {3} over {4} pi (4 ^{2} -3 ^{2} )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} = {1} over {4} pi left{(2n-1) ^{2} -(2n-2)^2 right}]

[eqn: + {3} over {4} pi LEFT { (2n) ^{2} -(2n-1) ^{2} RIGHT }]

[eqn: S _{n} = {1} over {4} pi LEFT { sum _{k=1} ^{n} (4k-3) RIGHT } + {3} over {4} pi LEFT { sum _{k=1} ^{n} (4k-1) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4} pi ( 2n^2 -n) + 3 over 4 pi (2n^2 + n)]

[eqn: = pi over2 ( 4n^2 +n)]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` {S _{n}} over {n ^{2}} = lim _{n -> INF ~} {{ pi over2 left( 4n^2 +n right) } over {n ^{2}} =2 pi }]

① [eqn: 3 over 4 pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: 4 over 3 pi]	④ [eqn: 3 over 2 pi]	⑤ [eqn: 2pi]

2007	평가원(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심이 [eqn: \O_1 ,``\O_2 ,``\O_3 ,``⋯]인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고, [eqn: bar{\O _n \O _n+1} `=1(n=1,``2,``3,`` CDOTS )]이다. 두 원 [eqn: \O_1], [eqn: \O_2]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]이라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_2 \P_1 \Q_1]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 두 점 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]에서 원 [eqn: \O_3]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: \O_3]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_3 \P_2 \Q_2]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 두 점 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]에서 원 [eqn: \O_4]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: \O_4]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_3], [eqn: \Q_3]이라 하고, 부채꼴 [eqn: \O_4 \P_3 \Q_3]의 넓이를 [eqn: S_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 부채꼴 [eqn: \O _n+1 \P _n \Q _n]의 넓이를 [eqn: S _n]이라 할 때,[eqn: sum _{n=1} ^{inf}S_n]의 값은?

정답 ②

오른쪽 그림에서

[eqn: ANGLE \P_{n-1}`\O_{n}`\Q_{n-1}`=` theta _{n}][eqn: (n`≧`2)]

[eqn: ANGLE \P_{n}`\O_{n+1}`\Q_{n}`=` theta _{n+1}]이라고 하면

[eqn: theta_{n+1}`=`{1}_` over {2} theta_{n}] [eqn: LEFT(BECAUSE ~(원주각) `=` {1}_` over {2} ~(중심각) RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~ S_{n+1}`=`{1}_` over {2} S_n]

[eqn: ANGLE \P_{1}`\O_{2}` Q_{1}`=` {2}_` over {3} pi] 이므로

[eqn: S_{1}`=`{1}_` over {2}․{1^2}․{2}_` over {3} pi `=`{pi}_` over {3}]

[eqn: THEREFORE ~ SUM from { { n}=1}^` to inf_` S_{n}`=`{{pi}_` over {3}}_` over {1- {1}_` over {2}}} `=`{2}_` over {3} pi]

① [eqn: {pi_` } over {2}]	② [eqn: {2_`} over {3} pi]	③ [eqn: {5_`} over {6} pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: { 7_`} over {6 } pi]

2007	평가원(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형을 [eqn: A_1 `], 그 넓이를 [eqn: S_1`]이라 하자. 정사각형 [eqn: A_1 `]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4 `]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_2 `], 그 넓이를 [eqn: S_2`]라 하자. 같은 방법으로 정사각형 [eqn: A_2`]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4`]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_3`], 그 넓이를 [eqn: S_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: (n`-1)] 번째 얻은 정사각형을 [eqn: A_n`], 그 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: SUM from { { n}=1} to inf S_n`]의 값은?

정답 ⑤

오른쪽 그림과 같이 대각선의 교점을 [eqn: \O], 무게중심을 [eqn: \G_1], [eqn: \G_2]라고 하면

[eqn: rm P,``G_1 ,``O,``G_2 ,``Q`]는 일직선 위에 있고, [eqn: bar \PQ `=`3]이다.

[eqn: bar {\G_1 \G_2}`=`2 over 3 bar \PQ `=`2]

[eqn: \A_1]과 [eqn: \A_2]의 대각선의 길이의 비가 [eqn: 3 SQRT { 2} ``:``2]이므로 넓이의 비는 [eqn: (3 SQRT { 2})^2 ``:``2^2]이다.

첫째항 [eqn: S_1 `=`9]이고, 공비 [eqn: r`=`2 over 9]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` S_n `=`9 over {1- 2 over 9}`=`81 over 7]

① [eqn: {64_`} over {7`}]	② [eqn: {21_`} over {2`}]	③ [eqn: {72_`} over {7`}]	④ [eqn: {27_`} over {2`}]	⑤ [eqn: {81_`} over {7`}]

2008	교육청(4점)

넓이가 [eqn: 1,```3,```9,```27,``` CDOTS ``]인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 [eqn: a_1 ,```a_2 ,```a_3 ,` CDOTS`]이라 할 때,
[eqn: lim _{ n rarrow∞ } { ` { 8(a_1 +a_2 + `CDOTS`+a_n )} over { 3^{`n} }]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 등비수열의 합과 수열의 극한을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정사각형의 넓이를 [eqn: a ^{2}]이라 하면 정삼각형의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) LEFT ( 1+3+3 ^{2} + CDOTS +3 ^{n-1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) CDOT {3 ^{n} -1} over {3-1} = {4- sqrt {3}} over {8} ` LEFT ( 3 ^{n} -1 RIGHT )]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{8 LEFT ( a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} RIGHT )} over {3 ^{n}} &]

[eqn: = lim _{n -> INF `} {`(4- sqrt {3} `)` CDOT {3 ^{n} -1} over {3 ^{n}}}} =4- sqrt {3}]

① [eqn: { 2- sqrt { 3}}]	② [eqn: { 3- sqrt { 3}}]

③ [eqn: { 4- sqrt { 3}}]	④ [eqn: { 2- sqrt { 3}} over 2]

⑤ [eqn: { 4- sqrt { 3}} over 2]

2008	교육청(4점)

다음은 무한급수 [eqn: sum _{k=1} ^{inf} kr ^{k} (0<r<1)]의 값을 구하는 과정이다.

<그림1>과 <그림2>는 각각 일정한 규칙으로 직사각형을 한없이 붙여나간 것이다. <그림1>과 <그림2>의 도형의 넓이를 구하여 비교해 보면 아래 등식이 성립함을 알수 있다.

[eqn: 1 over 2 + 2 over 4 + 3 over 8 + 4 over 16 cdots = 1 + 1 over 2 + 1 over 4 + 1 over 8 + cdots]
그러므로 [eqn: sum _{k=1} ^{inf}{ k left({1 over 2 right)} ^{k}} = box (가)] 이다. 위와 마찬가지로 [eqn: 0<r<1]일 때, <그림3>에서
[eqn: box(나) left(r+2r^2 +3r^3 + cdots right) =r+r^2 +r^3 + cdots]이 성립함을 알 수 있다. 따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{inf} kr ^{k}= box(다)]

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위에서 (가),(나),(다)에 알맞은 것은?

정답 ①

[eqn: sum _{k=1} ^{inf} {k} over {2 ^{k}} = 1 over 2 + 2 bullet 1 over4 + 3 bullet 1 over 8 + cdots]은 <그림1>의 좌표평면 위의 그림의 넓이를 세로로 분할하여 위에서부터 생기는 직사각형의 넓이의 합으로 표현한 것이다. 그런데 같은 넓이를 <그림2> 처럼 가로로 분할하여 오른쪽부터 생기는 직사각형의 넓이의 합으로 표현하면 [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} CDOTS = {1} over { 1- 1 over 2 } =2] [eqn: therefore (가) = 2]
<그림3>에서

(세로로 분할한 직사각형 넓이의 합)

[eqn: =(r-r^2 ) cdot 1 + 2 (r^2 - r^3 ) cdot 1+ 3(r^3 - r^4 ) cdot 1 + cdots]

[eqn: =(1-r) (r+2r^2 +3r^3 +4r^4 + cdots )]

[eqn: =(1-r) sum _{k=1} ^{inf} kr ^{k} =r+r^2 + r^3 + cdots = r over {1-r}]
[eqn: therefore (나)= 1-r~~(다)= r over {(1-r)^2]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: 2]	[eqn: 1-r]	[eqn: {r} over {LEFT ( 1-r RIGHT . ) ^{2}}]

②	[eqn: 2]	[eqn: 2-r]	[eqn: r over {(2-r)(1-r)}]

③	[eqn: 2]	[eqn: 3-r]	[eqn: r over {(3-r)(1-r)}]

④	[eqn: 3]	[eqn: 1-r]	[eqn: {r} over {LEFT ( 1-r RIGHT . ) ^{2}}]

⑤	[eqn: 3]	[eqn: 2-r]	[eqn: r over {(2-r)(1-r)}]

2014	교육청(4점)

빗변 [eqn: rm BC `]의 길이가 [eqn: 2`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 [eqn: rm B_{1}`], [eqn: rm C_{`1} `]이 선분 [eqn: rm BC `] 위에 놓이도록 정사각형 [eqn: rm P_1 B_{`1} C_{`1} Q _1`]을 그린다. 중심이 [eqn: rm A`], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ AP_1}`]이고 중심각의 크기가  [eqn: { pi} over {2 }`]인 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]을 그린 후 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]의 호 [eqn: rm P_1 Q`_1]과 선분 [eqn: rm P_1 Q`_1]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: `F _{1}]에 선분 [eqn: rm B_{`1} C_{`1} `]을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]을 그리고, 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]에서 그림 [eqn: `F _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: F _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {S_ n}]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 무한등비급수의 합을 구한다.

두 삼각형 [eqn: rm P_{`1} B B_{`1} `], [eqn: rm Q_{`1} C C_{`1} `]은 직각이등변삼각형이고

사각형 [eqn: rm P_{`1} B_{`1} C_{`1} Q_{`1} `]은 정사각형이므로

[eqn: rm bar{ B B_{`1} } `][eqn: =rm bar{ P_{`1}B_{`1} } `][eqn: =rm bar{ B_{`1}C_{`1} } `][eqn: =rm bar{C_{`1} C } `], [eqn: rm bar{ BC } : bar{ B_{`1}C_{`1} } `][eqn: = 3:1`]

그러므로 의 넓이의 비는 [eqn: 9:1`]

그런데 삼각형 [eqn: rm AP_{`1}Q_{`1}`]은 선분 [eqn: rmP_{`1}Q_{`1}`]이 빗변인

직각이등변삼각형이므로 [eqn: {bar{rm AP_{`1} it}}`][eqn: = {bar{rm AB it}} - {bar{rm BP_{`1} it}} `][eqn: = {sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: S_1`]은 부채꼴 [eqn: rmAP_{`1}Q_{`1}`]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rmAP_{`1}Q_{`1}`]의

넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ^{2} {pi } over {2} - {1} over {2} LEFT ( {sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = {pi -2} over {18}`]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}`][eqn: = {~{pi -2} over {18}~} over {1- {1} over {9}} `][eqn: = {pi -2} over {16} `]

[4점][14년 10월 교육청]

…

…

① [eqn: {5( pi -2)} over {16}]	② [eqn: {pi-2}over4]	③ [eqn: {3( pi -2)} over {16}]

④ [eqn: { pi -2} over {8}]	⑤ [eqn: { pi -2} over {16}]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: (2`,~0)`]을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{1} `]이라 하자. 또, 원 [eqn: rm C _{1} `]과 직선 [eqn: y`=`x`]가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rmC_2 `], 원 [eqn: rm C_2 `]와 [eqn: y`]축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{3} `]이라 하자. 또, 원 [eqn: rm C _{3} `]과 직선 [eqn: y`=`-x`]가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{4} `], 원 [eqn: rm C _{4} `]와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rmC _{5} `]라 하자.

이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 [eqn: y=x], [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=`-x], [eqn: x]축, [eqn: cdots] 위에 있는 원 [eqn: rm C _{6} `], [eqn: rm C _{7} `], [eqn: rmC _{8} `], [eqn: rm C _{9} `], [eqn: cdots] 를 한없이 만들어 갈 때, 원 [eqn: rm C _{it n } `]의 내부와 원 [eqn: rm C _{it n+1 } `]의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 [eqn: S _{n} `]([eqn: n`=`1`,``2`,``3`,`` CDOTS ``])이라 하자.

이때 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } S _{`n} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_1 = pi - left{ 1over 2 × pi over 2 + left( pi over 4 - 1over2 right) right}][eqn: = pi+1 over 2]

원 [eqn: rmC _{it n } `]의 지름의 길이를 [eqn: l_n]이라 하면

[eqn: l_n+1 = root2 over 2 l_n]이므로

[eqn: S_n+1 = left( root2 over 2 right)^2 S_n = 1over 2 S_n]

∴ [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } S _n `][eqn: = {pi+1 over 2} over {1- 1 over 2 }= pi+1]

① [eqn: pi +1``]	② [eqn: 3 over 2 pi ``]	③ [eqn: 5 over4 (`pi +1`)]	④ [eqn: {3} over {2} (` pi +1`)]	⑤ [eqn: 2 pi ``]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정육각형의 각 꼭짓점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 [eqn: rm H _{1} `]이라 하고, [eqn: rm H _{1} `]의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다.[eqn: rm H _{1} ^{{} ^{{} ^{{} }}}}]의 각 꼭짓점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 [eqn: rm H _{2} `]라 하고, [eqn: rm H _{2} `]의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다. 이와 같은 과정을 한없이 계속할 때, 어둡게 칠해진 모든 정삼각형의 넓이의 합은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: k]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm{H} _{itk}]와 [eqn: k+1]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm H _{it k+1 rm}]의 한 변의 길이를 각각 [eqn: a _{k}], [eqn: a _{k+1}]이라 하면

[eqn: a _{k}]

[eqn: 30°]

[eqn: a _{k+1}]

[eqn: a _{k+1} `cos30 DEG = {1} over {2} a _{k} `]   ∴ [eqn: a _{k+1} = {1} over {sqrt {3}} a _{k}]

길이의 비가 [eqn: {1} over {sqrt {3}}] 이므로 넓이의 비는 [eqn: {1} over {3}]이고 첫 번째 과정에서 생기는 [eqn: 6]개의 정삼각형의 넓이의 합은 [eqn: 6 TIMES {sqrt {3}} over {4} LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = {9} over {2} sqrt {3}] 이다.  모든 정삼각형의 넓이의 합은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} sqrt {3}]이고, 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 무한 등비급수의 합이므로  ∴ [eqn: {{9} over {2} sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} = {27} over {4} sqrt {3}]

[eqn: 3]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm H_{ 2}]

① [eqn: {19} over {4} sqrt {3}]	② [eqn: {21} over {4} sqrt {3}]	③ [eqn: {23} over {4} sqrt {3}]

④ [eqn: {25} over {4} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {27} over {4} sqrt {3}]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원에 내접하는 정사각형을 그린다. 원의 내부와 정사각형의 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 [eqn: 4`]개를 그려 어둡게 칠한다.

여기에 아래의 과정을 반복한다.

		<과정>
	Ⅰ. 안에 있는 정사각형에 내접하는 원을 그리고 그 원에 내접하는 정사각형을 그린다. Ⅱ. 새로 그려진 원의 내부와 정사각형 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 [eqn: 4`]개를 어둡게 칠한다.

[[eqn: n`=`2`]일 때]	[[eqn: n`=`3`]일 때]

정사각형의 개수가 모두 [eqn: n`]일 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S_n `]이라 하자. 이 때 [eqn: lim _{ n ``rarrow ``inf } { S_n}`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합을 적용한 문제 해결하기

[eqn: n`]번째 그린 정사각형을 [eqn: A_n `], [eqn: A_n `]의 외접원을 [eqn: O_n `], 원 [eqn: O_n `]의 반지름의 길이를 [eqn: R_n `], [eqn: O_n `]의 내부와 [eqn: A_n `]의 외부에서 접하는 최대원의 넓이를 [eqn: T_n `], 반지름의 길이를 [eqn: r_n `]이라 하면

[eqn: R_1 `=` 1,~R_n+1 `=` {1}over{sqrt2 }R_n, ~~ therefore~ R_n `=` left( {1}over{ sqrt2 } right)^n-1 `]

[eqn: r_n `=` {R_n - {1}over{ sqrt2 } R_n }over{2} `=` {sqrt2 -1}over{2 sqrt2 } R_n `=` {sqrt2 -1}over{2 sqrt2 } left( {1}over{2sqrt2 } right)^n-1 `]

[eqn: T_n `=` pi left{ {sqrt2 -1}over{2sqrt2 } left( {1}over{sqrt2 } right)^n-1 right}^2 `=` pi {(sqrt2 -1)^2 }over{8} left( 1over2 right)^n-1 `]

[eqn: therefore ~~ lim _{ n->inf} {S_n }`=` sum _{ n`=`1} ^{inf } 4T_n `=` 4pi { (sqrt2 -1)^2} over{8} sum_{n`=`1} ^{inf} left(1over2 right)^n-1]

[eqn: =` 4pi {(sqrt2 -1)^2 }over{8} times {1}over{ 1- 1over2 } `=` (3-2sqrt2 )pi`]

① [eqn: ( sqrt13 - 2sqrt3 ) pi`]	② [eqn: ( 2sqrt3 - sqrt11 ) pi`]	③ [eqn: ( sqrt11 - sqrt10 ) pi`]	④ [eqn: ( sqrt10 - 3 ) pi`]	⑤ [eqn: ( 3 - 2sqrt2 ) pi`]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1`]이 있다. 선분 [eqn: rm B_1 C_1`]의 중점 [eqn: rm O_1`]을 중심으로 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1`]에 접하는 반원과 선분 [eqn: rm A_1 C_1`]의 교점이 [eqn: rm P_1`]일 때, 선분 [eqn: rm O_1 P_1`]은 반원의 내부를 부채꼴 두 개로 나눈다. 그 중 작은 부채꼴(어두운 부분)의 넓이를 [eqn: S_1`]이라 한다.
선분 [eqn: rm A_1 O_1`]과 반원의 교점을 [eqn: rm O_2`]라 두고 점 [eqn: rm O_2`]를 접점으로 하는 접선과 선분 [eqn: rm A_1 B_1`], 선분 [eqn: rm A_1 C_1`]과 만나는 점은 각각 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2`]이다. 정삼각형 [eqn: rm A_1 B_2 C_2`]에서 점 [eqn: rm O_2`]를 중심으로 삼각형 [eqn: rm A_1 B_2 C_2`]에 접하는 새로운 반원과 선분 [eqn: rm A_1 C_2`]의 교점이 [eqn: rm P_2`]일 때, 선분 [eqn: rm O_2 P_2`]는 반원의 내부를 부채꼴 두 개로 나눈다. 그 중 작은 부채꼴(어두운 부분)의 넓이를 [eqn: S_2`]라 한다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻어진 부채꼴의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf `S_n`]의 값은?

정답 ⑤

직각삼각형 [eqn: rm P_1 O_1 C_1`]에서 [eqn: rm ANGLE O_1 = pi over 6`]이고, [eqn: rm bar { O_1 C_1 } = 1`]이므로 [eqn: rm bar{ O_1 P_1} = root3 over 2`]

[eqn: S_1 = 1 over 2 left( root3 over 2 right) ^2 pi over 6 = pi over 16]

[eqn: rm bar {A_1 O_1 } = root3], [eqn: rm bar {O_1 O_2} = root3 over 2 `]이므로 [eqn: rm bar {A_1 O_2 } = root3 over 2`] 즉, 삼각형 [eqn: rm A_1 O_2 C_2`]와 [eqn: rm A_1 O_1 C_1`]는 닮음비가 [eqn: 1``:``2`]인 닮음삼각형. 따라서, [eqn: S_2 = 1 over 4 S_1]

[eqn: left{S_n right}`]은 [eqn: S_1 = pi over 16], 공비가 [eqn: 1 over 4`]인 등비수열

[eqn: THEREFORE~sum_n=1 ^inf `S_n = {pi over 16} over {1 - 1 over 4 } = pi over 12]

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: pi over 3]	③ [eqn: pi over 4]	④ [eqn: pi over 6]	⑤ [eqn: pi over 12]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에서 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm AD]를 각각 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 [eqn: 4]개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{1}], 윗부분의 정사각형을 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]이라 하자.

다시 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]에서 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]과 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1}]을 각각 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 [eqn: 4]개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}], 윗부분의 정사각형을 [eqn: rm A _{2} B _{2} CD _{2}]라 하자.

이와 같은 시행을 무한히 반복할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{INF } S _{k} = {1} over {7}]이다.

[eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`,```n] 은 서로소인 자연수)

정답 [eqn: 10``]

[출제의도] 무한등비급수의 합 계산하기

[eqn: S _{1} =r ^{2} ```,`S _{2} =r ^{2} (1-r) ^{2} `,`S _{3} =r ^{2} (1-r) ^{4} CDOTS `]

[eqn: sum _{k=1} ^{INF } S _{k} `= {r ^{2}} over {1-(1-r) ^{2}} = {r} over {2-r} = {1} over {7}]

[eqn: THEREFORE `r= {1} over {4} ```]이므로 [eqn: `m:n=r : 1-r = 1:3]

따라서 [eqn: m ^{2} +n ^{2} =10]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: S _{3}]

2008	교육청(4점)

그림과 같이 직선 [eqn: x`=`n```]([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS])이 지수함수 [eqn: y`=` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`x}]의 그래프 및 [eqn: x`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{itn} `], [eqn: rm H _{itn} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _ {it n} ` rm H _{itn} `]을 높이로 하는 정삼각형의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{`n} `=a`]이다. [eqn: {1} over {a ^{`2}} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 27]

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rm A it ` _{n} ` rm H it ` _{n} `]의 길이는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]이므로 [eqn: S`` _{n} `=` {sqrt {3}} over {3} ` left( 1over 4 right ) ^n]

[eqn: a= sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `=` {sqrt {3}} over {9}]이므로 [eqn: {1} over {a ^{2}} =27]이다.

2008	평가원(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 그림과 같이 정사각형 [eqn: \ABCD] 안에 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]를 각각 중심으로 하고 변

[eqn: \AB]를 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이라 하자.

정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1] 안에 두 점 [eqn: rmA_1], [eqn: \B_1]을 각각 중심으로 하고 변 [eqn: rmA_1 B_1]을 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 정사각형   [eqn: \A_n \B_n \C_n \D_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1^`}^∞_` S_n]의 값은?

정답 ②

위 그림에서 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하면 [eqn: rm bar AA_1 = it 1-a over 2]

[eqn: rm {bar AB_1}^2 + {bar {B_1 C_1 }}^2 = {bar AC_1 }^2]이므로 [eqn: left( 1-a over 2 + a right)^2 + a^2 = 1]

전개하여 정리하면 [eqn: 5a^2 +2a -3 = 0]

[eqn: (5a-3)(a+1) = 0]     [eqn: therefore `` a= 3 over 5]

따라서 [eqn: S_1 = a^2 = 9 over 25]

정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]과 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 닮음비는

정사각형 [eqn: rm ABCD]와 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 닮음비와 같고

그 값은 [eqn: 1 : 3 over 5]이다.

따라서 넓이의 비는 [eqn: 1 : 9 over 25]이다. 그러므로 [eqn: sum_n=1^inf S_n]은 첫째항 [eqn: 9 over 25]이고 공비가 [eqn: 9 over 25]인 무한등비급수가 된다.

[eqn: therefore ``` sum _n=1^inf S_n = {9 over 25 } over {1 - 9 over 25 }][eqn: = 9 over 16]

[eqn: S_2]

[eqn: S_3]

[eqn: S_1]

① [eqn: {3_`}over{8`}]	② [eqn: {9_`}over{16}]	③ [eqn: {4_`}over{5`}]	④ [eqn: {9_`}over{8`}]	⑤ [eqn: {23_`}over{16}]

2008	교육청(4점)

어떤 놀이 기구는 길이가 [eqn: 10``m``]인 [eqn: bar{rmAB}``]를 지름으로 하는 반원 모양의 호를 따라 다음 <규칙>에 의해 움직이도록 만들어졌다.

		< 규 칙 >
	먼저, [그림 [eqn: 1]]에서와 같이 반원에서 중심 [eqn: rmO``]로부터 지면과 수직인 방향에 위치한 [eqn: rmC``] 지점에서 [eqn: rmB``]방향으로 [eqn: 10DEG``]만큼 움직여 [eqn: rmP_1``]지점에 도달한 후, 방향을 바꾸어 [eqn: rmA``]방향으로 [eqn: 20DEG``]만큼 움직여 [eqn: rmP_2``]지점에 도달한다. 다음으로, [그림 [eqn: 2]]에서와 같이 동작 규칙이 바뀌어 [eqn: rmB``]지점으로부터 [eqn: rmA``] 방향으로 호 [eqn: arch {rmAB}``] 길이의 [eqn: 9 over 10``]만큼 움직여 [eqn: rmQ_1``]에 도달한 후, 방향을 바꾸어 호 [eqn: arch{rmQ_1 B}``] 길이의 [eqn: 9 over 10``]만큼 움직여 [eqn: rmQ_2``]에 도달한다. 이와 같이 방향을 바꾸면서 직전 운동거리의 [eqn: 9 over 10``]만큼 움직임을 계속하여 반복한다.

이와 같이 [eqn: rmC``] 지점을 출발한 놀이 기구가 호를 따라 한없이 계속하여 움직일 때, 움직인 거리의 총합은?

정답 ①

[출제의도] 둥차수열의 합과 무한등비급수를 실생활에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다.

i) 올라가면서 움직인 거리의 합은 공차가 [eqn: {5pi} over 18``]이고 항의 개수가 [eqn: 17``]인 등차수열의 합이다.

[eqn: 5 pi over 18 + 5 2pi over 18 + 5 3pi over 18 +cdots+5 17pi over 18 = 85pi over 2``]

ii) 내려오면서 움직인 거리의 합은 첫째항이 [eqn: 9 over 2 pi``]이고 공비가 [eqn: 9 over 10``]인 무한등비급수이다. [eqn: {5pi times 9 over 10} over {1- 9 over 10}=45pi``]

[eqn: therefore`````85pi over 2 + 45pi=87.5pi``]

① [eqn: 87.5pi``(m)]	② [eqn: 90pi``(m)]	③ [eqn: 92.5pi``(m)]

④ [eqn: 95pi``(m)]	⑤ [eqn: 97.5pi``(m)]

2008	교육청(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm{ABCD} `]가 있다. 그림과 같이 두 선분 [eqn: rm `AD`], [eqn: rm DC`]의 중점을 각각 [eqn: rm `P _{1} `], [eqn: rm Q _{`1} `]이라 하고, 두 선분 [eqn: rm`AQ _{1} `], [eqn: rmCP _{1} `]의 교점을 [eqn: rm`D _{`1}`]이라 하자. 이때, 사각형 [eqn: rm`DP _{1} D _{1} Q _{1} `]의 넓이를 [eqn: S _{`1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm `BD _{1} `]을 대각선으로 하는 정사각형을 [eqn: rm BC _{1} D _{1} A _{1}`]이라 하자. 두 선분 [eqn: rm `A_1 D_1 `], [eqn: rmD_1 C_1`]의 중점을 각각 [eqn: rm `P _{2}`], [eqn: rmQ _{`2}`]라 하고, 두 선분 [eqn: rm`A_1 Q _{2} `], [eqn: rmC_1 P _{2} `]의 교점을 [eqn: rm`D _{`2}`]라 하자. 이때, 사각형 [eqn: rm`D_1 P_2 D_2 Q_2 } `]의 넓이를 [eqn: S _{`2}`]라 하자.
선분 [eqn: rm `BD _{2} `]를 대각선으로 하는 정사각형을 [eqn: rm BC _{2} D _{2} A _{2}`]라 하자. 두 선분 [eqn: rm `A _{2}D_2 `], [eqn: rm D_2 C _{2}`]의 중점을 각각 [eqn: rm `P _{3}`], [eqn: rm Q _{3}`]이라 하고, 두 선분 [eqn: rm `A _{2} Q _{3}`], [eqn: rmC _{2} P _{3} `]의 교점을 [eqn: rm `D _{3}`]이라 하자. 이때, 사각형 [eqn: rm `D_2 P _{3} D _{3} Q _{3} `]의 넓이를 [eqn: S _{`3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n`]번째 사각형의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{`n} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm D`P _{1} ` it} `=`2`], [eqn: TRIANGLE rm D`P _{1} `D_1 it]□[eqn: TRIANGLE rm BCD_1]이므로 [eqn: bar{rm D`D _{1} ` it} `=` {4` sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{1`} `=` {8} over {3}]

한편, 정사각형 [eqn: rm B`C _{1} `D _{1} A _{1} `]의 한 변의 길이는 [eqn: {8} over {3} `]이므로 각 정사각형의 넓이는 공비가 [eqn: left({2} over {3}right)^2 = 4over9 `]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n`} `=` {24} over {5}]

① [eqn: 24 over 5]	② [eqn: 16OVER3]	③ [eqn: 27OVER5]	④ [eqn: 20 over 3]	⑤ [eqn: 36OVER5]

2009	교육청(4점)

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO]가 있다.
원 [eqn: rmO]의 중심에서 서로 외접하고 원 [eqn: rmO]에 내접하는 두 원 [eqn: A_ 1 ,~A_1 ']을 그린 후 두 원 [eqn: A_1]과 [eqn: A_ 1 ']에 외접하며 원 [eqn: rmO]에 내접하는 두 원 [eqn: B_1 ,~ B_1 ']을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 새로 그려진 네 원 [eqn: A_ 1 ,~ A_1 ' ,~ B_ 1 ,~ B_ 1 ']의 내부에 그림 [eqn: R_1]의 제작과정을 반복하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻어진 그림을 [eqn: R_n]이라 하자.
또한, 그림 [eqn: R_ 1,~ R_ 2,~ cdots,~ R_n ,~ cdots]각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 [eqn: R_n]의 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은?

정답 ③
원 [eqn: {rmO_1} ,~ A_1 ,~ B_1]의 중심을 각각 [eqn: {rmO},~A,~B]라 하면 [eqn: R_1]의 내부의 큰 원의 반지름은 [eqn: 1OVER2]이고, 작은 원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면
[eqn: LEFT(1OVER 2 + r right)^2 = left(1over2 right)^2 + (1- r)^2]
이므로 [eqn: r= 1over3]이다.
따라서 [eqn: R_1]의 어두운 부분의 넓이는 [eqn: 13over 18 pi]이다.

넓이의 합 [eqn: S_n]은 공비가 [eqn: 13over 18]인 등비수열이므로

[eqn: sum from n=1 to inf S_n = {13over18 pi} over{1- 13over18} = 13over 5 pi]이다.

[4점] [09년 10월 대전교육청]

① [eqn: pi]	② [eqn: 9 over 5 pi]	③ [eqn: 13over 5 pi]
④ [eqn: 17 over 5 pi]	⑤ [eqn: 21over 5 pi]

2010	교육청(4점)

좌표평면에서 점 [eqn: (3,~0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원을 [eqn: O _{1}]이라 하고, [eqn: x]축을 직선 [eqn: l _{1}]이라 하자. 직선 [eqn: l _{1}]을 원점을 중심으로 [eqn: 45 DEG]만큼 회전시킨 직선을 [eqn: l _{2}]라 하고, 직선 [eqn: l _{2}]와 원 [eqn: O _{1}]의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 [eqn: O _{2}]라 할 때, 두 원 [eqn: O _{1} ,~O _{2}]의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자. 직선 [eqn: l _{2}]를 원점을 중심으로 하여 [eqn: 45 DEG]만큼 회전시킨 직선을 [eqn: l _{3}]이라 하고, 직선 [eqn: l _{3}]과 원 [eqn: O _{2}]의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 [eqn: O _{3}]이라 할 때, 두 원 [eqn: O _{2} ,~O _{3}]의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자. 직선 [eqn: l _{3}]을 원점을 중심으로 하여 [eqn: 45 DEG]만큼 회전시킨 직선을 [eqn: l _{4}]라 하고, 직선 [eqn: l _{4}]와 원 [eqn: O _{3}]의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 [eqn: O _{4}]라 할 때, 두 원 [eqn: O _{3} ,~O _{4}]의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{n}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: O _{1}]과 직선 [eqn: l _{2}]의 한 교점을 [eqn: rmA _{1}], 원 [eqn: O _{1}]의 중점을 [eqn: rmB _{1} (3,~0)]이라 하면 삼각형 [eqn: rmA _{1} OB _{1}]은 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{OA _{1}} =3 sqrt {2}]

[eqn: S _{1} = {1} over {2} pi LEFT ( {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} + {9} over {4} pi - {9} over {2} = {9} over {2} ( pi -1)]

같은 방법으로 원 [eqn: O _{2}]와 직선 [eqn: l _{3}]의 한 교점을 [eqn: rmA _{2}], 원 [eqn: O _{2}]의 중심을 [eqn: rmB _{2}]라 하면 삼각형 [eqn: rm A _{2} OB _{2}]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{OA _{2}} =3]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} pi LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {pi } over {4} LEFT ( {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} LEFT ( {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} = {9} over {4} ( pi -1)]

[eqn: CDOTS]

[eqn: S _{n} = {9} over {2 ^{n}} ( pi -1)]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} ( pi -1)], 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} = {{9} over {2} ( pi -1)} over {1- {1} over {2}} =9( pi -1)]

[4점][2010 3월 교육청]

① [eqn: 6( pi -1)]	② [eqn: 7( pi -1)]	③ [eqn: 8( pi -1)]

④ [eqn: 9( pi -1)]	⑤ [eqn: 10( pi -1)]

2010	교육청(4점)

그림과 같이 크기가 [eqn: 60DEG`]인 [eqn: RM ANGLE AOB`]의 이등분선 위에 [eqn: RM BAR OC_1 =2`]인 점 [eqn: RM C_1`]을 잡아 점 [eqn: RM C_1 `]을 중심으로 하고 반직선 [eqn: RM OA`]와 [eqn: RM OB`]에 접하는 원 [eqn: RM C_1`]을 그릴 때, 원 [eqn: RM C_1`]과 반직선 [eqn: RM OA,~OB`]와의 접점을 각각 [eqn: RM P_1 ,~Q_1`]이라 하자. 점 [eqn: RM C_1`]을 지나고 반직선 [eqn: RM OA`]와 [eqn: RM OB`]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: RM C_2 ,] 원 [eqn: RM C_2 `]와 반직선 [eqn: RM OA,~OB`]와의 접점을 각각 [eqn: RM P_2 ,~Q_2`]라 하고, 원 [eqn: RM C_1 `]과 원 [eqn: RM C_2`]가 만나는 점을 각각 [eqn: RM A_1 ,~B_1`]이라 할 때, 사각형 [eqn: RM A_1 C_1 B_1 C_2`]의 넓이를 [eqn: S_1`]이라 하자. 점 [eqn: RM C_2`]를 지나고 반직선 [eqn: RM OA`]와 [eqn: RM OB`]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: RM C_3 ,] 원 [eqn: RM C_3`]과 반직선 [eqn: RM OA,~OB`]와의 접점을 각각 [eqn: RM P_3 ,] [eqn: RM Q_3`]이라 하고, 원 [eqn: RM C_2`]와 원 [eqn: RM C_3`]이 만나는 점을 각각 [eqn: RM A_2 ,~B_2`]라 할 때, 사각형 [eqn: RM A_2 C_2 B_2 C_3`]의 넓이를 [eqn: S_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { { S_n} over { 4^n +3^n} }`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비수열의 극한을 이해하고 이를 활용하여 극한값 구하기

[eqn: rm TRIANGLE C_1 O Q_1`]에서 [eqn: RM ANGLE C_1 OQ_1 =30 DEG`]이고 [eqn: RM BAR OC_1 =2`]이므로 [eqn: RM BAR {C_1 Q_1 } =1`]이다. 이 때, 원 [eqn: RM C_{IT n}`]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n ,] 원 [eqn: rm C_{it n+1}`]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n+1`]이라 하면, [eqn: r_1 =1`]이고 [eqn: sin`30DEG= { r_n+1 -r_n } over { r_n+1}= { 1} over {2 }`]에서 [eqn: r_n+1 =2r_n `]이므로 [eqn: S_{n+1}=4S_n`]이 된다.

[eqn: S_1 =2 TIMES RM TRIANGLE C_2 C_1 B_1 = { sqrt { 15} } over {2 }`]이므로 [eqn: S_n = { sqrt { 15} } over {2 }4^n-1`]이다.

따라서 [eqn: lim _{ n->inf} { { S_n} over {4^n +3^n } }= lim _{ n->inf} { { { sqrt { 15} } over {8 }4^n } over { 4^n +3^n} }= { sqrt { 15} } over {8 }`]이다.

[4점][2010년 4월 교육청]

① [eqn: { 1} over {4 }`]	② [eqn: { sqrt { 2} } over {2 }`]	③ [eqn: { 3} over {8 }`]

④ [eqn: { sqrt { 3} } over {4 }`]	⑤ [eqn: { sqrt { 15} } over {8 }`]

2014	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]에서 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]을 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{1} `], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1} `]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm A _{2} `], 선분 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{2} `], [eqn: rm C _{2} `], 선분 [eqn: rm C _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm D _{2} `]를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]를 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{1} B _{1} Q _{1}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

정답 ④

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 무한등비급수에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: bar{\P_1 B_1} =bar{\B_1 Q_1}=2`], [eqn: angle \P_1 B_1 Q_1 =90°]이므로

직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 2^2 =2`]이다.

[eqn: bar{\B_1 D_1 } `]이 정사각형 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 두 변 [eqn: \B_2 C_2`], [eqn: \D_2 A_2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \M_1`], [eqn: \N_1`]이라 하고, 정사각형 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: bar{\B_1 M_1 } =root2], [eqn: bar{\M_1 N_1} =x], [eqn: bar{\N_1 D_1 } =bar{\A_2 N_1 }= x over2]

이고 [eqn: bar{\B_1 D_1 } = 3root2`]이므로

[eqn: bar{\B_1 D_1 } =bar{\B_1 M_1 }+bar{\M_1 N_1 }+bar{\N_1 D_1 }]

[eqn: = sqrt {2} +x+ {x} over {2} =3 sqrt {2}]

∴ [eqn: x= {4root2}over3]

따라서 두 정사각형 [eqn: \A_1 ``B_1 ``C_1`` D_1`]과 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 닮음비는

[eqn: bar{rm A_1 B_1 }`:bar{rm A_2 B_2 }= 3`:{4root2} over3 =9`:4root2]

이다.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림 [eqn: R_n`]은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로

그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1`]과

그림 [eqn: R_2`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_2 `]의 비는

[eqn: S _{1} `:`S _{2} `=][eqn: 9^2 : (4root2 )^2 =81:32`]

그림에서 그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1 `]은 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이와 직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이의 합이므로 수열 [eqn: left{ S_n right}`]은

첫째항이 [eqn: S_1 = 1over2 times2times2 + left( {4root2}over3}right)^2 = 50 over9]이고

공비가 [eqn: 32over81`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n = {50over9}over{1- 32 over81} = 450 over49]

[다른 풀이]

정사각형 [eqn: \A_1 B_1 C_1 D_1`]의 한 변의 길이가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: bar{\B_1 D_1 } =3root2]

꼭짓점 [eqn: \D_1 `]에서 선분 [eqn: \P_1 Q_1`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \M_1`]이라 하면 [eqn: bar{\D_1 M_1} =2root2`]이다.

직선 [eqn: \D_1 A_1`]과 직선 [eqn: \P_1 Q_1`]의 교점을 [eqn: \T_1], 직선 [eqn: \C_ 1 D_1`]과 직선 [eqn: \P_1 Q_1`]의 교점을 [eqn: \R_1]이라 하자.

이때 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이는 직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]의 넓이의 [eqn: 4over9`]이다.

직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]은 높이가 [eqn: 2root2`]이고, 밑변의 길이가 [eqn: 4root2`]이므로 직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 2root2 times4root2 = 8]

이고, 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이는

[eqn: 8 times 4 over9 = 32over9`]

이다. 따라서 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 한 변의 길이는

[eqn: bar{rm A_2 B_2 }= root{32over9}={4root2} over3`]

∴ [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} `: {bar{rm A _{2} B _{2} it}} =3`: {4 sqrt {2}} over {3} =9`:4 sqrt {2}]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림 [eqn: R_n`]은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로

그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1`]과

그림 [eqn: R_2`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_2 `]의 비는

[eqn: S _{1} `:`S _{2} `=][eqn: 9^2 : (4root2 )^2 =81:32`]

그림에서 그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1 `]은 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이와 직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이의 합이므로 수열 [eqn: left{ S_n right}`]은

첫째항이 [eqn: S_1 = 1over2 times2times2 + left( {4root2}over3}right)^2 = 50 over9]이고

공비가 [eqn: 32over81`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n = {50over9}over{1- 32 over81} = 450 over49]

정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]에서 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2} `]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{2} `], 선분 [eqn: rm B _{2} C _{2} `]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm A _{3} `], 선분 [eqn: rm P _{2} Q _{2} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{3} `], [eqn: rm C _{3} `], 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm D _{3} `]을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]을 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{2} B _{2} Q _{2}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 값은?

[4점][2014년 3월 서울]

① [eqn: {375} over {49}]	② [eqn: {400} over {49}]	③ [eqn: {425} over {49}]	④ [eqn: {450} over {49}]	⑤ [eqn: {475} over {49}]

2014	평가원(4점)

중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1``]이고 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi ``]인 부채꼴 [eqn: rmOAB``]가 있다.  그림과 같이 호 [eqn: rmAB``]를 이등분하는 점을 [eqn: rmM``]이라 하고 호 [eqn: rmAM``]과 호 [eqn: rmMB``]를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 [eqn: rmOAB``]에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1 ``]이라 하자.  그림 [eqn: rmR_1 ``]에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi``]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 ``]라 하자.

정답 ④

위의 그림 [eqn: R_1 ``]에서 직사각형의 꼭짓점을 각각 [eqn: rmP,~Q,~R,~S``]라 하자.  선분 [eqn: rmOM``]과 두 선분 [eqn: rmQR,~PS``]의 교점을 각각 [eqn: rmH,~T``]라 하자.

[eqn: rm angle POQ = angleQOM = pi over6``]이므로

[eqn: {rm bar RQ = 2`barHQ = 2 times barOQ }times sin pi over6]

[eqn: = 2 times 1over2 =1]

[eqn: {rm bar OH = bar OQ }times cos pi over6]

[eqn: = 1 times sqrt3 over2 = sqrt3 over2]

한편, 삼각형 [eqn: rmOPT``]에서

[eqn: rm anglePOT = pi over3 ``]이고 [eqn: rm barPT = 1over2``]이므로

[eqn: {rm barOT }={rm barPT}over{tan pi over3} = 1over{2sqrt3}= sqrt3 over6]

[eqn: therefore``rm barHT = barOH - barOT = sqrt3 over2 - sqrt3 over6 = sqrt3 over3]

따라서 직사각형 [eqn: rmPQRS``]의 넓이는

[eqn: 1 times sqrt3 over3 = sqrt3 over3]

이므로 그림 [eqn: R_1 ``]에서 색칠한 부분의 넓이 [eqn: S_1 ``]은

[eqn: S_1 = 1over2 times 1^2 times 2over3 pi - sqrt3 over3]

[eqn: = {pi -sqrt3}over3]

위의 그림 [eqn: R_2 ``]에서 그림 [eqn: R_1 ``]의 직사각형과 그 내부에 있는 부채꼴이 만나는 한 점을 그림과 같이 점 [eqn: rmV``]라 하자.

삼각형 [eqn: rmTPV``]에서

[eqn: rm angleVTP = pi over6 ``]이고 [eqn: rm barTP = 1over2 ``]이므로

[eqn: {rm barTV }= {rm barTP}over{cos pi over6}= {1over2}over{sqrt3 over2}= 1oversqrt3]

즉, 그림 [eqn: R_1 ``]에서 부채꼴의 반지름의 길이는 [eqn: rmbarOA =1``]이고 그림 [eqn: R_2 ``]에서 작은 부채꼴의 반지름의 길이는 [eqn: rm barTV = 1oversqrt3 ``]이므로

[eqn: S_2 = S_1 + left( 1oversqrt3 right)^2 S_1]

[eqn: cdotscdots]

따라서,

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n} = S_1 + 1over3 S_1 + left( 1over3 right)^2 S_1 +cdots]

[eqn: = S_1 over{1- 1over3 }= 3over2 S_1]

[eqn: = 3over2 times {pi -sqrt3 }over3]

[eqn: = {pi -sqrt3 }over2]

그림 [eqn: R_2 ``]에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi``]인 부채꼴을 그리고 이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3 ``]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n ``]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}``]의 값은?

[4점 [2014년 09월 평가원]

① [eqn: {2pi -3sqrt3}over2]	② [eqn: {pi-sqrt2}over3]	③ [eqn: {2pi-3sqrt2}over3]	④ [eqn: {pi -sqrt3}over2]	⑤ [eqn: {2pi -2sqrt3}over3]

2010	평가원(4점)

가로의 길이가 [eqn: 5]이고 세로의 길이가 [eqn: 4]인 직사각형에서   그림과 같이 가로의 폭 [eqn: a]가 직사각형의 가로의 길이의 [eqn: {1} over {4}],   세로의 폭 [eqn: b]가 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인

모양의   도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 4]개의 직사각형을 [eqn: R _{1}]이라 하고,   그 [eqn: 4]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{1}]이라 하자.   [eqn: R _{1}]의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의   길이의 [eqn: {1} over {4}], 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인

모양의 도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 16]개의 직사각형을 [eqn: R _{2}]라   하고, 그 [eqn: 16]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{2}]라 하자.   직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

정답 ②

색칠된 직사각형을 모두 모으면 닮은 직사각형이 된다.

[eqn: rm S _{1} = LEFT ( 5 TIMES {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( 4 TIMES {4} over {5} RIGHT ) =20 TIMES {3} over {5} =12]

[eqn: rmS _{2} = LEFT ( 5 TIMES {3} over {4} TIMES {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( 4 TIMES {4} over {5} TIMES {4} over {5} RIGHT ) =20 TIMES LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} = {16} over {5}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rmS _{n} =20 TIMES LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } rmS _{n} = {12} over {1- {3} over {5}} =30]

[4점][2010년6월 평가원]

① [eqn: 26]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 42]

수학세상 수학자료실                                     http://www.math114.net

대수능 & 평가원 및 교육청 수1	무한 급수	내손으로 풀기전에는 절대 내것이 아니다. 내것처럼 보이는것 뿐이다.

2010	교육청(4점)

그림과 같이 점 [eqn: rm A`]를 꼭짓점으로 하고 선분 [eqn: rm BC`]를 밑면의 지름으로 하며 [eqn: rm bar{AB} `=100`], [eqn: rm bar{BC} `=50`]인 직원뿔이 있다. 모선 [eqn: rm AC`]위의 점 [eqn: rm Q _{1} `]은 점 [eqn: rm B`]에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 [eqn: rm AC`]에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 [eqn: rm AB`]위의 점 [eqn: rm Q _{2} `]는 점 [eqn: rm Q _{1} `]에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 [eqn: rm AB`]에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 [eqn: {rm Q }it _{n} `]은 모선 [eqn: rm AB`] 또는 [eqn: rm AC`]위의 점 [eqn: {rm Q} _{n-1} `]에서 원뿔의 옆면을 돌아 다른 모선에 최단 거리로 이르는 점이라고 하자. 점 [eqn: {{rmQ}_n-1]에서 점 [eqn: {rm Q}_n }`]에 이르는 최단 거리를 [eqn: l_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}` l_n `]의 값은 [eqn: a+b sqrt2 `]이다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm B=` rm Q it rm _{0}], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

정답 [eqn: 200]

[출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm BAC``=`45 DEG]이므로

[eqn: l _{1} =50 sqrt {2}] , [eqn: l _{2} =50] , [eqn: l _{3} =25 sqrt {2}], …

따라서, [eqn: l` _{n} `=`50 sqrt {2} ` TIMES `left( {1} over {sqrt {2}} right ) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} = {50 sqrt {2}} over {1- {1} over {sqrt {2}}} =100+100 sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=200]

[4점][2010년 7월 교육청]

2010	교육청(4점)

그림과 같이 넓이가 [eqn: M`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다.
자연수 [eqn: n`]과 선분 [eqn: rm AC`]위의 두 점 [eqn: rm D,`E`]에 대하여   [eqn: rm bar{AD} `:` bar{DE} `:` bar{EC} `][eqn: =`n:(2n+1):(3n+2)`]이고   [eqn: rm ` bar{DF} // rm ` bar{AB} `,``` rm ` bar{G E} // rm ` bar{BC} `]이다. 선분 [eqn: rm DF`]와 선분 [eqn: rm G E`]의 교점을 지나는 선분 [eqn: rm HI`]는 선분 [eqn: rm AC`]와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n`}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{ S} _{n}} `][eqn: = {q} over {p}][eqn: M`]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.	(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 25]

[출제의도] 도형의 성질과 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n`}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT { {n ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} + {(2n+1) ^{2} M`} over {(6n+3) ^{2}} + {(3n+2) ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} ` RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = {7} over {18} `M`]

[eqn: therefore`````][eqn: p+q`=`25]

[4점][2010년 7월 교육청]

2010	교육청(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: root2]인 정육각형이 있다. 이 정육각형의 한 변을 [eqn: 1``:``3]과 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하느 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]의 정사각형들의 꼭짓점 중에서 정육각형의 내부에 있는 꼭짓점들을 연결하여 정육각형을 만들고, 이 정육각형의 한 변을 [eqn: 1``:``3]과 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번 째 얻은 그림 [eqn: R_n]의 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf l_n]의 값은?

정답 ①

그림과 같이 [eqn: triangle rm ACD ∾ triangle AEB]이다.

[eqn: rm bar CD = root2 over2], [eqn: angle rm ACD = 60DEG], [eqn: rm bar AD = root6 over2], [eqn: rm bar DE = root2 over4]

[eqn: therefore``rm bar AE = { 2root6 - root2 } over4]

주어진 정육각형과 첫 번째 만들어진 정육각형의 닮음비는 [eqn: 1``: ``{2root3 -1 } over4]이므로

[eqn: lim_n->inf l_n = 6 times 2 over{ 1- { 2root3-1 } over4 } = {48 LEFT ( 5 + 2root3 RIGHT )} over13]

[4점][2010년 11월 대전교육청]

① [eqn: {48 LEFT ( 5+2root3 RIGHT )} over13]	② [eqn: {28 LEFT ( 2+3root3 RIGHT )} over15]	③ [eqn: {18 LEFT ( 1+2root3 RIGHT )} over11]	④ [eqn: {6 LEFT ( 3+2root3 RIGHT )} over11]	⑤ [eqn: {4 LEFT ( 1+3 root3 RIGHT )} over13]

2011	교육청(4점)

그림과 같이 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PR`} =2]이고 [eqn: rm ANGLE QPR=90°]인 삼각형 [eqn: rm PQR]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PQ`], [eqn: rm QR`], [eqn: rm RP`]의 접점을 각각 [eqn: rm P_1], [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm R _{1}]이라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rm PP _{1} R _{1}]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PP _{1} `], [eqn: rm P _{1} R _{1} `], [eqn: rm R _{1} P`]의 접점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 세 점 [eqn: rm P _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it `n rm}], [eqn: rm R _{it `n rm}]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm P _{it n` rm} Q _{it `n` rm} R _{it `n rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {p+q sqrt {2}}]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rm PQR``]의 내접원의 반지름을 [eqn: a _{1}]이라 하면[eqn: sqrt {2} a _{1} +a _{1} =root2]에서 [eqn: a _{1} =2-root2]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} times ( 2root2 -2 ) times 1 = root2 -1]

삼각형 [eqn: rm PP_{it n-1} R_{it n-1}]의 내접원의 반지름을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: sqrt {2} a _{n} +a _{n} = {sqrt {2} a _{n-1}} over {2}]

∴ [eqn: a _{n} = {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}} a _{n-1}`]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_{n}`RIGHT }``]이 공비가 [eqn: {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}}]인 등비수열을 이루므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {2} -1} over {root2} RIGHT ) ^{2} = {3-2 sqrt {2}} over {2}]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {sqrt {2} -1} over {1- {3-2 sqrt {2}} over {2}} = {6-2 sqrt {2}} over {7}]

∴ [eqn: p+q={4}over{7}]

[4점][2011 년 3월 교육청]

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3over7]	④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 5over7]

2011	교육청(4점)

반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 [eqn: rm O _{1} ``]이 있다. 그림과 같이 원 [eqn: rm O _{1} ``]과 원 [eqn: rm O _{2} ``]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} ``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} ``]이라 하자. 그림과 같이 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}], [eqn: rm C _{1} D _{1}], [eqn: rm D _{1} A _{1}], [eqn: rm A _{1} B _{1} ``]의 각각의 중점 [eqn: rm L _{1}], [eqn: rm M _{1}], [eqn: rm N _{1}], [eqn: rm K _{1} ``]에 대하여, 네 개의 선분 [eqn: rm A _{1} L _{1}], [eqn: rm B _{1} M _{1}], [eqn: rm C _{1} N _{1}], [eqn: rm D _{1} K _{1} ``]의 교점을 꼭짓점으로 하는 사각형에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{2} ``]라 하자. 원 [eqn: rm O _{2} ``]와 원 [eqn: rm O _{2} ``]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} ``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2``]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S_n ``]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf S_n ``]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: rm O _{1} ``]에 외접하는 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: 2``]이다.

원 [eqn: rm O _{1} ``]에 내접하는 정사각형의 넓이는 [eqn: 2``]이다.

그림에서 두 삼각형의 넓이는 같으므로 원 [eqn: rm O _{2} ``]에 외접하는 정사각형의

넓이는 원 [eqn: rm O _{1} ``]에 내접하는 정사각형의 넓이의 [eqn: 1 over 5``]이다. 원 [eqn: rm O _{2} ``]에 외접하는

정사각형의 넓이는 [eqn: 2 over 5``]이므로 한 변의 길이는 [eqn: root{2 over 5}``]이다. 길이의 비는

[eqn: 1 over root10``]이므로 공비인 넓이의 비는 [eqn: 1 over 10``]이다.

따라서 [eqn: sum from n=1 to inf S_n = S_1 over {1- 1 over 10} = {10`pi-20} over 9``]이다.

[4점][2011년 10월 대전교육청]

① [eqn: {3(pi-2)} over 2]	② [eqn: {4(pi-2)} over 3]	③ [eqn: {5 (pi -2)} over 4]	④ [eqn: {7(pi -2)} over 6]	⑤ [eqn: {10(pi -2)} over 9]

2011	교육청(4점)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O _{`1}]에 외접하는 정사각형 [eqn: rm A_{`1} `B_{`1} `C_{`1} `D_{`1}]의 네 변 [eqn: rm A_{`1} `B_{`1}], [eqn: rm B_{`1} `C_{`1}], [eqn: rm C_{`1} `D_{`1}], [eqn: rm D_{`1} `A_{`1}]의 중점을 각각 [eqn: rm E _{`1}], [eqn: rm F _{`1}], [eqn: rm G _{`1}], [eqn: rm H _{`1}]이라 하자.
점 [eqn: rm B_{`1}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rm B_{`1} ` F_{`1}]을 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm B _{`1} `F _{`1}` E _{`1}]의 호 [eqn: rmE_{`1}` F_{`1}]과 점 [eqn: rm C _{`1}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rm C_{`1} `F_{`1}]을 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm C _{`1}` F _{`1} `G _{`1}]의 호 [eqn: rmG_{`1} `F_{`1}]과 원 [eqn: O _{`1}]의 호 [eqn: rm E _{`1} ` H _{`1} ` G _{`1}]로 둘러싸인 도형을 [eqn: R_{`1}]이라 하자. [eqn: R_{`1}]에 내접하는 원을 [eqn: O _{`2}]라 하고 도형 [eqn: R_{`1}]의 넓이에서 원 [eqn: O _{`2}]의 넓이를 뺀 값을 [eqn: it S_{`1}]이라 하자.
원 [eqn: O _{`2}]에 외접하는 정사각형 [eqn: rm A_{`2} `B_{`2} `C_{`2} `D_{`2}]의 네 변 [eqn: rm A_{`2} `B_{`2}], [eqn: rm B_{`2} `C_{`2}], [eqn: rm C_{`2} `D_{`2}], [eqn: rm D_{`2} `A_{`2}]의 중점을 각각 [eqn: rm E _{`2}], [eqn: rm F _{`2}], [eqn: rm G _{`2}], [eqn: rm H _{`2}]라 하자. 점 [eqn: rm B_{`2}]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm B_{`2} ` F_{`2}]를 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm B _{`2} `F _{`2}` E _{`2}]의 호 [eqn: rmE_{`2}` F_{`2}]와 점 [eqn: rm C _{`2}]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm C_{`2} `F_{`2}]를 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm C _{`2}` F _{`2} `G _{`2}]의 호 [eqn: rmG_{`2} `F_{`2}]와 원 [eqn: O _{`2}]의 호 [eqn: rm E _{`2} ` H _{`2} ` G _{`2}]로 둘러싸인 도형을 [eqn: R_{`2}]라 하자. [eqn: R_{`2}]에 내접하는 원을 [eqn: O _{`3}]이라 하고 도형 [eqn: R_{`2}]의 넓이에서 원 [eqn: O _{`3}]의 넓이를 뺀 값을 [eqn: S_{`2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호 [eqn: rmE_{`itn} ` F_{`itn}], 호 [eqn: rmG_{`itn} ` F_{`itn}], 호 [eqn: rm E _{`itn} `H _{`itn} `G _{`itn}]으로 둘러싸인 도형을 [eqn: R_{`itn}]이라 하고 [eqn: R_{`itn}]에 내접하는 원을 [eqn: O _{it` n+1}]이라 하자. 도형 [eqn: R_{`itn}]의 넓이에서 원 [eqn: O _{`itn+1}]의 넓이를 뺀 값을 [eqn: S_{`n}]이라 할 때, [eqn: sum _n=1 ^ inf it S_{it` n}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: rm B_{it n}]

[eqn: rm G_{it n}]

[eqn: rm E_{it n}]

[eqn: rm H_{it n}]

[eqn: rm C_{it n}]

[eqn: rm D_{it n}]

[eqn: rm A_ {it n}]

[eqn: O_{it n}]

[eqn: O_{it n+1}]

[eqn: rm I _{it n+1}]

[eqn: rm F_{it n}]

원 [eqn: O _{it `n+1}]의 중심을 [eqn: rm `I _{`itn+1}]이라 하고 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1}]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rm `I _{it n+1} B _{it n} F _{it n}]에서
피타고라스의 정리에 의해
[eqn: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ^{2} +r _{n} ^{2}]
[eqn: 2r _{n} r _{n+1} =4r _{n} ^{2} -4r _{n} r _{n+1}]
[eqn: {r _{n+1}} over {r _{n}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {4} over {9}]
[eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: `S _{1} =4- LEFT ( 2+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} pi RIGHT ) =2- {4} over {9} pi]
[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2- {4} over {9} pi], 공비가 [eqn: {4} over {9}]인

무한등비수열이다.
따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{it `n} = {2- {4} over {9} pi } over {1- {4} over {9}} = {18-4 pi } over {5}]

[4점][2011년 4월 교육청]

① [eqn: {9-2 pi } over {3}]	② [eqn: {18-4 pi } over {5}]	③ [eqn: {9-2 pi } over {2}]

④ [eqn: {18-4 pi } over {3}]	⑤ [eqn: {9-2pi }]

2011	평가원(4점)

두 수열 [eqn: left{a_n right}, ```left{b_n right}``]의 일반항이 각각
[eqn: a_n = left( 1over 2 right)^n-1],	[eqn: b_n = sum from k=1 to n left( 1 over 2 right)^k-1]
이다. 좌표평면에서 중심이 [eqn: (a_n `,```b_n `)```]이고 [eqn: y``]축에 접하는 원의 내부와 연립부등식 [eqn: cases{ &y<=b_n #&2x+y-2<=0 ``] 이 나타내는
영역의 공통부분을 [eqn: P_n ``]이라 하고, [eqn: y``]축에 대하여 [eqn: P_n ``]과 대칭인 영역을 [eqn: Q_n ``]이라 하자. [eqn: P_n ``]의 넓이와 [eqn: Q_n ``]의 넓이의 합을 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n ``]의 값은?

정답  ③

[eqn: n]번째 사분원의 방정식은,

[eqn: (x-a_{n})^{2}+(y-b_{n})^{2}=a_{n}^2]이다.

[eqn: y]축의 오른쪽 영역에서의 [eqn: n]번째 도형의 넓이는 사분원에서 직각삼각형의 넓이를 빼면 되므로, 먼저,

삼각형[eqn: P_{n}Q_{n}Q_{n-1{}]의 넓이를 구하면,

[eqn: ={1 over 2}bar{P_{n}Q_{n}}×bar{P_{n}Q_{n-1}]

[eqn: ={1 over 2}(a_{n}-a_{n+1})(b_{n}-b_{n-1})]

[eqn: ={1 over 2}(({1 over 2})^{n-1}-({1 over 2})^{n})({1 over 2})^{n-1}]

[eqn: ={1 over 4}({1 over 4})^{n-1}]

∵ [eqn: a_{n}=({1 over 2})^{n-1}], [eqn: b_{n}= sum _{ k=1} ^{n }({1 over 2})^{k-1}]

그러므로, 구하고자 하는 [eqn: n]번째 넓이는 사분원에서 삼각형[eqn: P_{n}Q_{n}Q_{n-1{}]의 넓이를 빼서 구하면,

[eqn: {1 over 4} pi({1 over 4})^{n-1}-{1 over 4}({1 over 4})^{n-1}]가 된다.

무한등비급수를 적용하면,

[eqn: {{1 over 4} pi} over {1-{1 over 4}}-{{1 over 4}} over {1-{1 over 4}}={pi -1} over 3]

그러므로, 구하는 정답은 [eqn: {2(pi -1)} over 3]

[[eqn: 4]점][2011년 6월 평가원]

	①	[eqn: {5(pi-1)} over 9]	②	[eqn: {11(pi-1)} over 18]	③	[eqn: {2(pi-1)} over 3]
	④	[eqn: {13(pi-1)} over 18]	⑤	[eqn: {7(pi-1)} over 9]

2011	평가원(4점)

그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 8], [eqn: 4``]인 마름모 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: 1 over 2 ``]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_1 ``]이라 하자.
그림 [eqn: R_1``]에 있는 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 [eqn: 2``]개 그린다.
새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: 1 over 2 ``]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_2``]라 하자.
그림 [eqn: R_2``]에 있는 작은 두 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 [eqn: 4``]개 그린다.
새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: 1 over 2``]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_3 ``]이라 하자.
이와 같은 방법으로 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n ``]에 있는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n ``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가?

[eqn: R_1]에서 주어진 원의 반지름의 길이가 1이므로 넓이는 [eqn: pi] 이고 긴 대각선의 길이는 8이다.

이 때 [eqn: R_2]에서 새로 생긴 마름모의 긴 대각선의 길이가 3이므로 짧은 대각선의 길이는 [eqn: {3} over 2{}]

이다. 따라서 이 마름모 안에 새로 생긴 원의 반지름의 길이는 [eqn: { 3} over {8 }]이므로 [eqn: R_2]에 들어 있는 원의 넓이의 합은 [eqn: pi + 2 TIMES LEFT ( { 3} over {8 } RIGHT )^2 pi] 이다.

같은 방법으로 [eqn: R_n]에 들어 있는 모든 원의 넓이의 합[eqn: S_n]을 구하면

[eqn: S_n =pi +2 TIMES { 9} over {64 }pi +4 TIMES LEFT ( { 9} over {64 } RIGHT )^2 pi + ```CDOTS```+2^n-1 TIMES LEFT ( { 9} over {64 } RIGHT )^n pi]  [eqn: = { pi (1- LEFT ( { 9} over {32 } RIGHT ) ^n )} over {1-{ 9} over {32 } }]

[eqn: THEREFORE `` lim _{ n->inf} { S_n } = { pi} over {1- { 9} over {32 } } = { 32} over {23 } pi]

[3점][2011년 9월 평가원]

① [eqn: 16 over 13 pi]	② [eqn: 32 over 25 pi]	③ [eqn: 4 over 3 pi]	④ [eqn: 32 over 23 pi]	⑤ [eqn: 16 over 11 pi]

2007	수능 (3점)

수열 [eqn: \{ it a_n` \}]에 대하여 [eqn: SUM from { { n}=1^`} to inf_` a_n over 4^n =2]일 때, [eqn: lim from { n` ->` inf } { a_n +4^n+1 -3^n-1} over {4^n-1 +3^n+1 }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16``]

[eqn: sum from{n=1} to{inf} {{a_n} over{4^n }}`=2]에서 무한급수의 합이 수렴하므로

[eqn: lim from{n->inf} {{a_n } over {4^n } }`=0]

[eqn: ∴(주어진~식)=lim from{n->inf} {{{a_n } over{4^n }}+4-{1 over 3} left({3 over 4 right)^n } }over{{1 over 4} +3․left({3 over 4 right) ^n }} #~~~~~~~~~~~~~= { {4} over{1over4}}=16]

2006	수능 (3점)

공비가 같은 두 무한등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n` RIGHT }]에 대하여

[eqn: a_1 -b_1 =1]이고 [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n = 8], [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }b_n = 6]일 때,

[eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n `b_n]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

두 무한등비수열[eqn: left{a_n `right} ,` `left{ b_n right}`]의 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: sum_n=1^inf``a_n = a_1 over 1-r = 8`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: sum_n=1^inf`b_n = b_1 over 1-r = 6`] [eqn: cdots㉡``]

㉠-㉡에서

[eqn: {a_1 - b_1 } over 1-r = 2`]

[eqn: a_1 - b_1 = 1`]이므로 [eqn: 1over 1-r = 2`], [eqn: 1-r = 1over2`]

∴ [eqn: r = 1over2`]

㉠에서

[eqn: a_1 = 8 (1- r) = 8 cdot 1over2 = 4`]

㉡에서

[eqn: b_1 = 6(1-r) = 6 cdot 1over2 = 3`]

따라서 수열 [eqn: left{ a_n b_n right}`]은 첫째항이

[eqn: a_1 b_1 = 4 cdot 3 = 12`]이고, 공비가 [eqn: r^2 = 1over4`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf`a_n b_n = 12 over{ 1- 1over4} = 12 over {3over4} = 16`]

2006	수능 (3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n`＜`a _{n} `＜`n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {n _{`} ^{2}} over {a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n}} `]의  값은?

정답 ②
[eqn: 1st] [eqn: a_n]의 범위가 주어진 상황에서 [eqn: a_1 + a_2 + cdots + a_n]을 알아야 함에 착안!
[eqn: n<a_n <n+1]이므로
[eqn: sum_k=1 ^n{k}<sum_k=1^n{a_k}<sum_k=1^n{(k+1)]

[eqn: 2nd] 자연수의 거듭제곱의 합을 이용해서 부등식의 각 변을 [eqn: n]에 관한 식으로~!
[eqn: {n(n+1)}over2 < sum_k=1^n {a_k}<{n(n+1)}over2 +n]
[eqn: {n^2 +n}over2 < a_1 +a_2 +cdots+a_n < {n^2 +3n }over2]
[eqn: 2over{n^2 +3n} < 1over{a_1 +a_2 + cdots + a_n }< 2over {n^2 +n}]
[eqn: THEREFORE `2n ^{2} over{n ^{2`} +3n}`<`n ^{2} over{a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n`} }<`2n ^{2} over{n ^{2} +n}]

[eqn: 3rd] 위 시기의 양변에 [eqn: lim _{n-> INF }]를 취해!
[eqn: lim _{n-> INF } {2n ^{2} over{n ^{2} `+3n}<=lim _{n-> INF } {n ^{2} over{a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n} }`<=`lim _{n-> INF } {2n ^{2} over{n ^{2} +n}}]
여기서 [eqn: lim _{n -> INF } { {`2n^2} over {n ^{2} +3n}} `=` lim _{n -> INF } { {2n^2`} over {n ^{2} `+`n`} `} `=2]이므로
[eqn: lim_n->∞ { n^2 over{a_1 +a_2 +cdots+a_n} =2]

다른 풀이
조건을 만족하는 수열 [eqn: left{a_n right}]을 임의로 잡아서 풀어보자
[eqn: n<a_ n <n+1]이므로 [eqn: a_n = a+ 1over2]이라 하면
[eqn: a_1 + a_2 + cdots + a_n = sum_k=1 ^n {a_k } = sum_k=1 ^n {left(k + 1over2 right)} = {n(n+1)}over2 + n over2 = {n^2 +2n }over2]
[eqn: ∴lim_n->∞{ n^2 over{a_1 + a_2 + cdots + a_n }} = lim_n->∞{ n^2 over{sum_k=1^∞{a_k}}= lim_n->∞{n^2 over{{n^2 +2n }over2}}][eqn: =lim_n->∞{2n^2 over{n^2 +2n } } =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2015학년	수능 (3점)

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3], [eqn: a_2 =1]일 때,
[eqn: sum_n=1^inf (a_n )^2]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: r`=`a_2 over a_1`=`1over3]이므로 [eqn: a_n`=`3times LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1`]

[eqn: THEREFORE~ sum_n=1^inf (a_n )^2`=`sum from n=1toinf LEFT { 9times LEFT ( 1over9 RIGHT ) ^n-1RIGHT }][eqn: =`9over{1-{1over9}}`=`81over8]

[3점][15학년 수능]

① [eqn: 81 over8]	② [eqn: 83 over8]	③ [eqn: 85 over8]
④ [eqn: 87 over8]	⑤ [eqn: 89 over8]

2015학년	수능 (3점)

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여

정답 [eqn: 54]

[출제의도]  수열의 극한

[eqn: sum_n=1^inf (a_n +5b_n )`=`sum_n=1^inf a_n`+`5sum_n=1^inf b_n`=`4`+`5times10`=`54]

[eqn: sum_n=1^inf a_n =4], [eqn: sum_n=1^inf b_n =10]

일 때, [eqn: sum_n=1^inf (a_n +5b_n )]의 값을 구하시오.

[3점][15학년 수능]

2005	수능 (3점)

무한등비수열 [eqn: \{`ita_n `\}`]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ③
[eqn: 1st] 무한등비수열[eqn: left{a _{n} right}]의 일반항을 [eqn: a _{n} `=`a _{1} r ^{n-1}](단, [eqn: a_1 !=0)]이라 하자.
ㄱ, 무한등비급수 [eqn: sum_n=1^∞ {a_n}]이 수렴하면 [eqn: -1<r<1]이지?
그림 [eqn: a_2n = a_1 r^2n-1 = a_1 r cdot(r^2 )^n-1]에서 공비는 [eqn: r^2]이고 [eqn: 0<=r^2 <1]이므로 [eqn: sum_n=1^∞{a_2n}]도 수렴해(참)
ㄴ, 무한등비급수 [eqn: sum_n=1^∞{a_n}]이 발산하면 [eqn: r<=-1]또는 [eqn: r>=1]이지?
ㄱ에서 [eqn: a_2n]의 공비는 [eqn: r^2]이고, [eqn: r^2 >=1]이므로 [eqn: sum_n=1^∞{a_2n}]은 발산해 (참)
ㄷ, [반례] [eqn: a_n = left(1over2right)^n]이라 하면 [eqn: sum_n=1^∞{a_n}=sum_n=1^∞{left( 1over2right)^2 = 1over2 over{1- 1over2} =1]로 수렴해.
그런데 [eqn: lim_n->∞{left(a_n + 1over2 right) = lim_n->∞{left{left(1over2right)^n + 1over2 right} = 1over2 !=0]이므로
[eqn: sum_n=1^∞{left( a_n + 1over2 right)]은 발산해.
즉, 무한등비급수[eqn: sum_n=1^∞{a_n}]이 수렴해도 [eqn: sum_n=1^∞{left(a_n + 1over2 right)}]은 발산할 수 있어.
따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이야.

< 보 기 >

변

ㄱ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 수렴하면[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_2n``]도 수렴한다.

ㄴ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 발산하면[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_2n``]도 발산한다.

ㄷ. 무한등비급수[eqn: SUM from { n=1_`} to {inf_`} a_n ``]이 수렴하면 [eqn: SUM from { n=1_`} to {inf}_` `left (a_n + {1_`} over {2`} right ) `]도 수렴한다.

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① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

2006	수능 (4점)

두 수열 [eqn: "{"a _{n} "}"], [eqn: "{"b _{n} "}"]이 각각
[eqn: a _{n} `= {1 _{`}} over {2 ^{n-1 ^{`}}} `cos` {(n-1) pi _{`}} over {2}], [eqn: b _{n} `= {1+(-1) _{`} ^{n-1}} over {2 ^{n}}]
일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤
[eqn: a_n = 1over{2^n-1}cos{(n-1)pi over2},~b_n = {1+(-1)^n-1 }over2^n]이지?
[eqn: 1st] ㄱ은 [eqn: a_n]의 [eqn: n]대신 [eqn: 3k]를, ㄴ은 [eqn: a_n,~b_n]의 [eqn: n]대신 [eqn: 4k-1]을 대입해,
ㄱ, [eqn: a_3k = 1over{2^3k-1}cos{(3k-1)pi}over2]
여기서 [eqn: k=2]를 대입하면 [eqn: a_6 = 1over2^5 cos 5piover2 = 1over2^5 cdot0 =0]
즉, 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_3k <0]은 아니야. (거짓)
ㄴ, [eqn: a_4k-1 = 1over{2^4k-2} cos {(4k-2)pi over2} = 1over{2^4k-2 }cos(2k-1)pi = - 1 over{2^4k-2}]
[eqn: b_4k-1 = {1+(-1)^4k-2}over2^4k-1 = 1+1over2^4k-1 = 1over2^4k-2]
[eqn: ∴a_4k-1 + b_4k-1 = - 1over2^4k-2 + 1over4^4k-2 = 0] (참)

[eqn: 2nd] 수열[eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]의 첫째항과 공비를 알아내야 ㄷ의 무한등비급수의 합을 알 수 있지?

ㄷ, [eqn: left{a_n right} : 1,~0,~- 1over2^2 ,~ 0 ,~ 1over 2^4 ,~ 0 ,~ cdots]이므로 [eqn: sum_{n=1}^∞{a_n } = 1over{1- left(- 1over2^2 right)} = 1over { 5over4 } = 4over5]
[eqn: left{b_n right} : 1,~0,~ 1over2^2 ,~ 0 ,~ 1over2^4 ,~ 0 ,~cdots]이므로 [eqn: sum_n=1 ^∞{b_n}= 1over{1- 1over2^2 } = 1over{3over4}= 4over3]
[eqn: ∴sum_n=1^∞{a_n} = 3over5 sum_n=1^∞{b_n}] (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이야.

< 보 기 >

변

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a _{3k} ``＜`0`]이다.
ㄴ.  모든 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: a _{4k-1} +b _{4k-1} =0`]이다.
ㄷ.  [eqn: sum _{n=1} ^{INF _{`}} ``a _{n} = {3 _{`}} over {5``} sum _{n=1} ^{INF _{`}} ``b _{n}]

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helpmemath

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① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

2008	수능 (4점)

[eqn: n≧2]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C`]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: {2_`} over {n``}]만큼 평행이동시킨 원을 [eqn: C _n]이라 하자. 원 [eqn: C`]와 원 [eqn: C _n]의 공통현의 길이를 [eqn: l _n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF ``} {1_`} over {(n`l _n `) ^2} = { q_`} over {p }]이다. [eqn: p`+q`]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 19``]

[eqn: △{\A}_n {\O}{\O}_n]은 이등변삼각형이고,

[eqn: bar{{\A}_n {\B}_n }⊥bar{{\O} {\O}_n }]

이므로 [eqn: bar{{\O} {\H}_n } ={1 overn}]

[eqn: { 1} over {2 }l_n = bar{{\A}_n {\H}_n }=sqrt{1^2 -left({1overn } right)^2} `]

[eqn: =sqrt{{n^2 -1} over{n^2 } } `={sqrt{n^2 -1}} over n]

[eqn: nl_n =2sqrt{n^2 -1 }]

[eqn: ∴left(n l_n right)^2 =4(n^2 -1)=4(n-1)(n+1)]

[eqn: ∴sum from{n=2} to{inf} {{1} over{left(nl_n right) ^2 }`= {1 over4}sum from{n=2} to{inf} {{1} over{(n-1)(n+1) }}]

[eqn: = { 1} over { 4} sum _{ n=2} ^{inf } { 1} over { 2} LEFT ( { 1} over {n-1 }- { 1} over { n+1} RIGHT )]

[eqn: ={1 over 4} lim from{n->inf} `{1over2} left{1+{1 over 2} -{1 over n }-{ 1over{n+1} }right} #={1 over 8}×{3 over 2} ={3 over 16}]

2013학년	수능 (4점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( n`cdot`a _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =3]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( a _{n} ^{2} +2a _{n} +2 RIGHT )}]의 값은?

정답 ①

[eqn: SUM from n=1 to inf left(na_n - {n^2 +1} over 2n+1 right)=3]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} left(na_n - {n^2 +1} over 2n+1 right)=0]이다.

즉, [eqn: lim from {n`→`inf} n left(a_n - {n+ 1 over n} over 2n+1 right)=0]에서 [eqn: lim from {n`→`inf} n≠0]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} left(a_n - {n+ 1 over n} over 2n+1 right)=0]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {n+ {1} over {n}} over {2n+1} RIGHT )} + lim _{n` -> ` INF } {{n+ {1} over {n}} over {2n+1}}]

[eqn: = 0+ 1 over 2 = 1 over 2]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {(a _{n} ^{2} +2a _{n} +2)}][eqn: = LEFT ( lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} RIGHT ) ^{2} +2 lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} +2]

[eqn: =left( 1 over 2 right)^2 +2× 1 over 2 +2= 13 over 4]

[4점][2013학년도 수능]

① [eqn: {13} over {4}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {11} over {4}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

2007	수능 (4점)

아래와 같이 가로의 길이가 [eqn: 6]이고 세로의 길이가 [eqn: 8]인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1_`} over {3`}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 직사각형의 각 꼭지점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1_`} over {3`}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 그림 [eqn: R_2`]에 있는 합동인 [eqn: 4]개의 직사각형 각각에서 각 꼭지점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1_`} over {3`}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 있는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n`}]의 값은?(단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행하다.)

정답 ⑤

[eqn: □{\AB}_n `{\C}_n {\D}_n]과

[eqn: □{\AB}_n+1 `{\C}_n+1 `{\D}_n+1]에서

두 사각형은 닮은 도형이고 대각선의 길이의 비가 [eqn: 10``:`4]이므로 넓이의 비는 [eqn: 5^2 ``:`` 2^2]이다.

[eqn: THEREFORE``` lim _{ n->∞ } { }S_n = pi +4 times left ( {2} over {5} right )^2 pi + 4^2 left ( {2} over {5} right )^4 pi + CDOTS]

[eqn: = {pi} over {1- {16}over{25} }= {25} over {9} pi]

① [eqn: {37_`} over {9`} pi]	② [eqn: {34_`} over {9`} pi]	③ [eqn: {31_`} over {9`} pi]	④ [eqn: {28_`} over {9`} pi]	⑤ [eqn: {25_`} over {9`} pi]

2008	수능 (4점)

좌표평면에 원 [eqn: C_1 ``:`(x-4)^2 + y^2 `=1]이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 [eqn: C_1]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l``]을 그었을 때 생기는 접점을 [eqn: \P_1]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l``] 위에 있고 점 [eqn: \P_1]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을 [eqn: C_2]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: \P_2]라 하자.

중심이 [eqn: x`]축 위에 있고 점 [eqn: \P_2]를 지나며 직선 [eqn: l``]에 접하는 원을 [eqn: C_3]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l``]의 접점을 [eqn: \P_3]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l`] 위에 있고 점 [eqn: \P_3]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을 [eqn: C_4]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: \P_4]라 하자.

이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: sum_{n=1^`}^INF S_n]의 값은? (단, 원 [eqn: C_n+1]의 반지름의 길이는 원 [eqn: C_n]의

반지름의 길이보다 작다.)

정답 ③

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: rmQ_2`]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmP_2]

[eqn: rmP_1]

[eqn: C_2]

[eqn: C_1]

[eqn: l`]

원[eqn: C_1`],[eqn: C_2`]의 중심을 각각 [eqn: Q_1 , ``Q_2`]라 하자.

[eqn: △OP_1 Q_1`]에서 [eqn: bar OP_1 = root{ 4^2 -1^2} = root15`]

이고, [eqn: △OP_1 Q_1 `□`△OP_2 Q_2`]이므로

[eqn: bar OP_1 ` : ``bar {P_1 Q_1 }` = bar OP_2``:`` bar{ P_2 `Q_2 }`]

[eqn: root15 ``:``1` = 3``:`` bar {P_2 Q_2}`]

∴ [eqn: bar {P_2 Q_2} = 3over root15`]

따라서, [eqn: △OP_1 Q_1`]과 [eqn: △OP_2 Q_2`]의 닮음비는

[eqn: bar {P_1 Q_1 }``:`` bar{ P_2 Q_2 }` = 1``:`` 3 over root15`]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:`` 9 over 15 = 1``:``3over5`]이다.

원[eqn: C_1`]의 넓이는 [eqn: S_1 = pi`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf``S_n = S_1 + S_2 + S_3 + cdots`]

[eqn: = S_1 + 3over5 S_1 + left( 3over5 right)^2 S_1 + cdots`]

[eqn: = S_1 over{ 1- 3over5`}]

[eqn: = 5over2 S_1`]

[eqn: = 5over2 pi`]

① [eqn: {3_`}over{2`} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5_`}over{2`} pi]	④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7_`}over{2`} pi]

2006	수능 (4점)

오른쪽 그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: rm A _{1} (0,```8)`]을 이은 선분[eqn: rm OA _{1} `]을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴[eqn: rm OA _{1} B _{1} `]을 그린다. 점 [eqn: rm B _{1} `]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A _{2} `]라 하고, 반지름이 선분 [eqn: rm OA _{2} `]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: rm OA _{2} rm B _{2} `]를 그린다. 점 [eqn: rm B _{2} `]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A _{3} `]이라 하고, 반지름이 선분 [eqn: rm OA _{3} `]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: rm OA _{3} rm B _{3} `]을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x``]축과 [eqn: y``]축에 번갈아 수선의 발을 내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 [eqn: rm OA _{n} ` rm B _{n} ``]의 호 [eqn: rm A _{n} ` rm B _{n} ``]의 길이를 [eqn: l _{n} ``]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF _{`}} l _{n} `=12 theta ``]일 때, [eqn: sin theta ``]의 값은? (단, [eqn: 0`＜` theta ``＜ {pi _{`}} over {2``}]이다.)
① [eqn: {1 _{`}} over {7``}]	② [eqn: {1 _{`}} over {6``}]	③ [eqn: {1 _{`}} over {5``}]
④ [eqn: {1 _{`}} over {4``}]	⑤ [eqn: {1 _{`}} over {3``}]

정답 ⑤
[eqn: 1st] 부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하고 [eqn: left{r_n right}]의 일반항부터 구해.
문제를 일반화해서 그림으로 나타내면 다음과 같다.

부채꼴 [eqn: OA_n B_n]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면
[eqn: △OB_n A_n+1]에서 [eqn: cos(∠B_n OA_n+1 ) ={ barOA_n+1 }overbarOB_n]
[eqn: cos left( pi over 2 - θ right) = r_n+1 overr_n]      [eqn: ∴r_n+1 = r_n sinθ]
그런데 [eqn: r_1 = 8]이고 [eqn: left{r_n right}]의 공비가 [eqn: sinθ]이므로
[eqn: r_n = 8 sin^n-1 θ]

[eqn: 2nd] 다음은 [eqn: l_n]의 일반항!
[eqn: THEREFORE l _{n} =r _{n} theta =(8`sin ^{n-1} theta ) TIMES theta =8 theta `sin ^{n-1} theta]

[eqn: 3rd] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} ```=12 theta]임을 이용해서 [eqn: sinθ]의 값을 구하면돼.

[eqn: sum_n=1 ^∞{l_n} = 8θover {1-sinθ} = 12θ]에서

[eqn: 1- sinθ = 2over3]   [eqn: THEREFORE sin theta = {1} over {3}]

다른 풀이
부채꼴 [eqn: OA _{n} `B _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 할 때, [eqn: r _{1} ,~r _{2} ,~r _{3} ,~cdots]를 차례로 구해서!
먼저 [eqn: A(0,~8)]이므로 [eqn: r _{1`} `=`8]이야.
다음 [eqn: △OB _{1} A _{2}]에서 [eqn: barOA_2 = barOB_1cos left(piover2 -θ right)]이므로
[eqn: r_2 = sinθ]
또, [eqn: △OB_2 A_3]에서 [eqn: barOA_3 = barOB_2 cos left( piover2 -θ right)]이므로
[eqn: r_3 = 8 sinθ cdot sinθ = 8 sin^2 θ]
[eqn: VDOTS]
[eqn: ∴r_n = 8sin^n-1 θ]

2005	수능 (4점)

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: {1_`} over {2``}]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형을 [eqn: A_1`]이라 하자. 한 변의 길이가 [eqn: {1_`} over {4``}]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: {1_`} over {8``}]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 [eqn: 2`]개를 [eqn: A_1`]의 위쪽 두 변에 각각 붙인 도형을 [eqn: A_2`]라 하자. 한 변의 길이가 [eqn: {1_`} over {16``}]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: {1_`} over {32``}]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 [eqn: 4`]개를 [eqn: A_2`]의 위쪽 네 변에 각각 붙인 도형을 [eqn: A_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n``]번째 도형을 [eqn: A_n`]이라 하고 그 넓이를 [eqn: S_n`]이라 하자. [eqn: lim from { n` -> inf } S_n`= {q_`} over {p``}]라 할 때, [eqn: p`+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 13]
[eqn: 1st]  [eqn: S_1 ,~S_2 ,~S_3 ,~cdots]을 차례로 구하여 [eqn: S_n]을 유추해.
한 변의 길이가 [eqn: n]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: n over2]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 모양의 도형의 넓이는 한 변의 길이가 [eqn: n]인 정사각형의 넓이의 [eqn: 3over4]이지?
또, 모양의 위쪽 양 끝네 이러한 도형을 계속 붙여 나가므로 새로 생기는 모양의 도형의 개수는 [eqn: 1,~2,~4,~8,~cdots,~2^n-1 ,~cdots]개야.
[eqn: S_1 = 1 - left( 1over2 right)^2 = 3over4 ,~ S_2 = 3over4 +2 cdot 3over4 cdot left( 1over4 right)^2]
[eqn: S_3 = 3over4 +2 cdot 3over4 cdot left(1over4 right)^2 +2^2 cdot 3over4 cdot left(1over4 right)^4 + cdots + 2^n-1 cdot 3over4 cdot left( 1over4 right)^2(n-1)]
[eqn: = 3over4 + 3over4 cdot 1over8 + 3over4 left( 1over8 right)^2 +cdots + 3over4 left( 1over8 right)^n-1 = sum_k=1^n{left{3over4 left(1over8 right)^k-1 right}}]

[eqn: 2nd]
[eqn: lim_n->∞{S_n} = lim_n->∞{``sum_k=1^n{left{3over4 left(1over8 right)^k-1 right} = sum_n=1^∞{left{3over4 left(1over8 right)^n-1 right} = 3over4 over{1- 1over8} = 6over7 = q overp]
[eqn: THEREFORE p=7,~q=6~( BECAUSE p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수)
따라서 [eqn: p+1=7+6=13]이야.

[eqn: 1]

[eqn: 1 OVER 2]

[eqn: A_2]

[eqn: A_3]

[eqn: 1 OVER 16]

[eqn: 1 OVER 4]

[eqn: 1 OVER 2]

[eqn: A_1]

[eqn: 1]

[eqn: 1 OVER 4]

[eqn: 1 OVER 4]

[eqn: 1 OVER 4]

[eqn: 1 OVER 4]

[eqn: 1 OVER 4]

2010	수능 (4점)

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가  [eqn: 3]인 원[eqn: O_1]을 그리고, 원[eqn: O_1]이 좌표축과 만나는 네 점을 각각□[eqn: □ _{1} □□□~□□,~□ _{1} □□□□~□□,~□ _{1} □□□~□□□,~□ _{1} □□□~□□]이라 하자. 두 점 [eqn: B _{1`} ,~`D _{1}]을 모두 지나고 두 점 [eqn: A_1 ,~ C_1]을 각각 중심으로 하는 두 원이 원[eqn: O_1]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: C_2 ,~A_2]라 하자. 호[eqn: B_1 A_1 D_1]과 호[eqn: B_1 A_2 D_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1], 호 [eqn: B_1 C_1 D_1]과 호 [eqn: B_1 C_2 D_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를□[eqn: T_1]이라 하자. 선분 [eqn: A_2 C_2]를 지름으로 하는 원[eqn: O_2]를 그리고, 원[eqn: O_2]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: B_2 ,~ D_2]라 하자. 두 점 [eqn: B_2 ,~ D_2]를 모두 지나고 두 점 [eqn: A_2 ,~ C_2]를 각각 중심으로 하는 두 원이 원□[eqn: O_2]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: C_3 ,~ A_ 3]이라하자.  호 [eqn: B_2 A_2 D_ 2]와 호 [eqn: B_2 A_ 3 D_ 2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2], 호□[eqn: B_2 C_2 D_ 2]와 호□[eqn: B_2 C_ 3 D_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호[eqn: B_n A_n D_n]과 호□[eqn: B_n A_n+1 D_n]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n], 호 [eqn: B_n C_n D_n]과 호□[eqn: B_n C_n+1 D_n]으로 둘러싸인 도형의 넓이를□[eqn: T_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf ( S_n + T_n )]의 값은?

정답 ④

원 [eqn: rm O_2]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: rm bar {A_1 C_2} + bar{A_2 C_1 }-bar{A_2 C_2}=bar{A_1 C_1}]

이므로

[eqn: 3sqrt2 + 3sqrt2 - 2r =6]

∴ [eqn: r=3sqrt2 -3]

따라서 반복되어지는 도형의 닮음비는

[eqn: 3``:``(3sqrt2 -3) = 1``:``(sqrt2 -1)]

이므로 넓이의 비는

[eqn: 1``:``(sqrt2 -1 )^2 = 1``:``(3-2sqrt2 )]

그러므로 수열 [eqn: left{S_n +T_n right}]은 공비가 [eqn: {3-2sqrt2}]인 등비수열이다. 이 때 첫째항 [eqn: S_1 + T_1]의 값은

[eqn: pi cdot 3^2 - 2 times left{ 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 cdot pi over 2 - 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 right}]

[eqn: =18]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (S _{n} +T _{n} )= {18} over {1-{ (3-2 sqrt 2 )}}]

[eqn: = 18 over{2sqrt2 -2}]

[eqn: = 9 over {sqrt2 -1} = 9(sqrt2 +1 )]

① [eqn: 6 ( sqrt 2 +1)]	② [eqn: 6 ( sqrt 3 +1)]	③ [eqn: 6 ( sqrt 5 +1)]

④ [eqn: 9(sqrt2 + 1 )]	⑤ [eqn: 9 (sqrt3 +1)]

2011	수능 (4점)

[eqn: rm bar{ A_1 B_1 }=1] , [eqn: rm bar{B_1 C_1}=2]인 직사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점을ㄹ [eqn: rm M_1]이라 하고, 선분 [eqn: rm A_1 D_1]위에 [eqn: angle rm A_1 M_1 B_2 =angle C_2 M_1 D_1 = 15DEG], [eqn: anglerm B_2 M_1 C_2 = 60DEG]가 되도록 두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 정한다. 삼각형 [eqn: rm A_1 M_1 B_2]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_2 M_1 D_1]의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자. 사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]가 [eqn: rm bar{B_2 C_2 } = 2 bar {A_2 B_2}]인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A_2], [eqn: rm D_2]를 정한다. 선분 [eqn: rm B_2 C_2]의 중점을 [eqn: rm M_2]라 하고, 선분 [eqn: rm A_2 D_2] 위에 [eqn: angle rm A_2 M_2 B_3 = angle C_3 M_2 D_2 = 15DEG], [eqn: angle rm B_3 M_2 C_3 = 60DEG]가 되도록 두 점 [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3]을 정한다. 삼각형 [eqn: rm A_2 M_2 B_3]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_3 M_2 D_2]의 넓이의 합을ㄹ [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^n S_n]의 값은?

정답 ②

문제의 그림에서 [eqn: rm bar{ M_1 M_2 } = 1], [eqn: rm bar{ B_2 M _2 } = 1 overroot3]

[eqn: therefore``rm bar {A_1 B_2} =1 - 1 overroot3]

[eqn: S_1 = 2 times LEFT ( 1 over2 times LEFT ( 1- 1 overroot3 RIGHT ) times 1 RIGHT ) = 1 - 1 overroot3]

또, 그림에서 나타나는 직사각형들은 모두 닮음이고 닮음비를 구하면

[eqn: rm bar{ B_n C_n } ``:``bar{ B_n+1 C_n+1 } = 1``:``1 overroot3]

[eqn: therefore]넓이비 [eqn: S_n : S_n+1 = 1 : 1 over3]

따라서, [eqn: S_n]은 첫항이 [eqn: 1 - 1 overroot3], 공비가 [eqn: 1 over3]인 등비수열이다.

[eqn: sum_n=1 ^inf S_n = { 1 - 1 overroot3 } over{ 1- 1 over3 } = {3-root3 } over2]

[4점][2010년 11월 수능]

① [eqn: { 2+ root3} over6]	② [eqn: {3- root3 } over2]	③ [eqn: {4+ root3 } over9]

④ [eqn: {5- root3} over5]	⑤ [eqn: {7- root3 } over8]

2012학년	수능 (4점)

좌표평면에서 자연수 [eqn: n``]에 대하여 점 [eqn: P_n ``]의 좌표를 [eqn: left(n,```3^n right)],
점 [eqn: Q_n ``]의 좌표를 [eqn: (n,```0)``]이라 하자.
사각형 [eqn: P_n Q_n+1 Q_n+2 P_n+1``]의 넓이를 [eqn: a_n ``]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf 1 over a_n = q over p ``]이다. [eqn: p^2 +q^2 ``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 37]
사각형의 꼭짓점의 좌표를 구하여
그림으로 표현하면 다음과 같다.

그림에서 [eqn: P_n+1``]과 [eqn: Q_n+1``]의 [eqn: x``]좌표가 같으므로
넓이 [eqn: a_n``]은 [eqn: a_n = left( 1 over 2 times bar{P_n+1 Q_n+1} times 1 right) times 2 = 3^n+1]
[eqn: therefore```sum from n=1 to inf 1 over a_n = sum from n=1 to inf left( 1 over 3 right)^n+1 = {left(1 over 3 right)^2} over {1- 1 over 3 } = 1 over 6]
[eqn: therefore```p^2 +q^2`=6^2 +1^2 =37]

[4점][2012학년도 수능]

2012학년	수능 (4점)

반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원이 있다.  그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 [eqn: 3:1``]인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1``]이라 하자.
그림 [eqn: R_1``]에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 2``]개를 그린다.  새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2``]라 하자.  그림 [eqn: R_2``]에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 4``]개를 그린다.  새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3``]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n``]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S_n``]이라 할 때, [eqn: lim_{n->inf} S_n``]의 값은?

정답 ②

[eqn: R_1``]의 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 [eqn: 6a, ~2a``]라 하면

[eqn: rm bar OA = it root {a^2 + 9a^2} = root 10 a = 1``]

∴ [eqn: a = 1 over root 10``]

[eqn: R_n``]의 가장 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n``]이라 하면

[eqn: r_1 = 1,~r_2 = 1 over root 10 ,~r_{n + 1} = 1 over root 10 r_n``]

각 원에서 색칠된 부분의 넓이는 첫 항이 [eqn: pi - 12 over 10``], 공비가 [eqn: 1 over 10``]인 등비수열이고, 개수는 [eqn: 1``]개, [eqn: 2``]개, [eqn: 4``]개, [eqn: cdots``]의 등비수열을 이루므로

[eqn: S_n = LEFT ( pi - 6 over 5 RIGHT )+ 2 cdot 1 over 10 cdot LEFT ( pi - 6 over 5 RIGHT ) + 2^2 cdot 1 over 10 cdot LEFT ( pi - 6 over 5 RIGHT ) + cdots]

[eqn: + 2^{n -1} cdot 1 over 10^{n - 1} cdot LEFT ( pi - 6 over 5 RIGHT )``]

∴ [eqn: lim_{n->inf} S_n = {pi - 6 over 5} over {1 - 2 over 10} = {5pi - 6} over 5 = 5 over 4 pi - 3 over 2``]

[4점][2011년 11월 수능]

① [eqn: 5 over 4 pi - 5 over 3``]	② [eqn: 5 over 4 pi - 3 over 2``]	③ [eqn: 4 over 3 pi - 8 over 5``]

④ [eqn: 5 over 4 pi - 1``]	⑤ [eqn: 4 over 3 pi - 16 over 15``]

2013학년	수능 (4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: rmO]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]와 수직인 직선이 원과 만나는 [eqn: 2]개의 점 중 한 점을 [eqn: rmC]라하자.
점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]를 지나는 원의 외부와 원 [eqn: rmO]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: rmR _{1}]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: rmO]의 반원을 이등분한 [eqn: 2]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 생긴 [eqn: 2]개의 도형에 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 [eqn: 4]개의 사분원에각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 4]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 4]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

정답 ③

[eqn: R_n]에서 새로 만들어지는 모든  모양의 넓이의 합을

[eqn: a_n]이라 하면 [eqn: S_n =SUM from k=1 to n a_k]

[eqn: a_1]은 반원의 넓이에서 활꼴의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: a_1 = 1 over 2 ․1^2 ․pi - left{1 over 4 (root2 )^2 pi - 1 over 2 ․(root2 )^2 right}=1]

위의 그림과 같이 [eqn: R_2]에서 새로 생긴 원의 반지름의

길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: x+root2 x=1]에서 [eqn: x= 1 over {root2 +1} =root2 -1]

[eqn: THEREFORE ```a _{2} =2 TIMES ( sqrt {2} -1) ^{2} =6-4 sqrt {2}]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1]이고, 공비가 [eqn: 6-4root2]

인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {1} over {1-(6-4 sqrt {2} )} = {1} over {4 sqrt {2} -5}]

[eqn: = {5+4root2} over 7]

[다른 풀이]

[eqn: R _{n}]에서 새로 생긴 작은 원의 반지름

[그림 1]

을 [eqn: r _{n}]이라 하고

새로 생긴 작은 원의 색칠된 부분의

넓이를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[eqn: a _{1}]은 반원에서 [그림 1]의 색칠된

부분의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: a _{1} = {1} over {2} pi CDOT 1 ^{2} - LEFT ( {1} over {4} pi ( sqrt {2} ) ^{2} - {1} over {2} CDOT 2 CDOT 1 RIGHT ) =1]

[그림 2]에서

[그림 2]

[eqn: sqrt {2} `r _{n+1} +r _{n+1} =r _{n}]

[eqn: {r _{n+1}} over {r _{n}} = {1} over {sqrt {2} +1} = sqrt {2} -1]

[eqn: THEREFORE ``` LEFT ( {r _{n+1}} over {r _{n}} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}]

새로 생기는 작운 원들은

직전 원의 개수의 [eqn: 2]배씩 생기므로

(공비)[eqn: = {a _{n+1}} over {a _{n}} =2cdot LEFT ( {r _{n+1}} over {r _{n}} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: THEREFORE ``` {a _{1}} over {r-1} = {1} over {1-2 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}} = {4 sqrt {2} +5} over {7}]

[4점][2013학년도 수능]

① [eqn: {5+2 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {5+3 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {5+4 sqrt {2}} over {7}]

④ [eqn: {5+5 sqrt {2}} over {7}]	⑤ [eqn: {5+6 sqrt {2}} over {7}]

2014학년	수능 (4점)

직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 [eqn: {bar{rmA _{1} B _{1}}} =1], [eqn: {bar{rmA _{1} D _{1}}} =2]이다. 그림과 같이 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 중점을 각각 [eqn: rmM _{1} ,```N _{1}]이라 하자. 중심이 [eqn: rmN _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rmB _{1} N _{1}}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]을 그리고, 중심이 [eqn: rmD _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rmC _{1} D _{1}}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} B _{1}]과 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}]로 둘러싸인 부분과 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}]과 선분 [eqn: rmM _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}] 위의 점 [eqn: rmA _{2}], 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 변 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB _{2} ,```C _{2}]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm {bar{A _{2} B _{2}}} ```:``` {bar{A _{2} D _{2}}} =1```:```2]인 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그리고, 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

정답 ③

공비 [eqn: r]을 구하기 위해 먼저 닮음비 [eqn: rm {{bar{C _{2} D _{2}}}} over {{bar{C _{1} D _{1}}}}]를 구한다.

[eqn: {{bar{rm C _{2} D _{2} it}}} over {{bar{rm C _{1} D _{1} it}}} = {bar{rm C _{2} D _{2} it}} =x]라 두고

[eqn: rmD _{2}]에서 [eqn: rm {bar{A _{1} D _{1}}}]에서 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: {bar{rm B _{1} M _{1}}}]과 [eqn: {bar{rmB _{1} C _{1}}}]이 이루는 각이 [eqn: 45 DEG]이므로

[eqn: {bar{rm B _{1} B _{2} it}} = {bar{rm A _{2} B _{2} it}} =x], [eqn: {bar{rm B _{2} C _{2} it}} =2x], [eqn: {bar{rm HD _{1} it}} =2-3x],

[eqn: {bar{rm HD _{2} it}} =1-x]가 되고

[eqn: rm {bar{HD _{1}}} ^{2} + {bar{HD _{2}}} ^{2} = {bar{D _{1} D _{2}}} ^{2} =1]에서

[eqn: (2-3x) ^{2} +(1-x) ^{2} =1], [eqn: 5x ^{2} -7x+2=0],

[eqn: (5x-2)(x-1)=0]

[eqn: THEREFORE ```x= {2} over {5} ,```1]

[eqn: x != 1]이므로 [eqn: x= {2} over {5}]

따라서 넓이의 비는 [eqn: {4} over {25}]이고 이것이 공비 [eqn: r]이다.

첫째항은 [eqn: R _{1}]의 넓이이므로 [eqn: S _{1} = LEFT ( {pi } over {4} - {1} over {2} RIGHT ) TIMES 2= {pi } over {2} -1]

[eqn: THEREFORE ```S= {{pi} over {2} -1} over {1- {4} over {25}} = {25} over {21} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]

[4점][2014학년도 수능]

① [eqn: {25} over {19} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]	② [eqn: {5} over {4} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {25} over {21} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]

④ [eqn: {25} over {22} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {25} over {23} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]

빠른 답지

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정답 ②

정답 ①

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 8``]

정답 [eqn: 5]

정답 ①

정답 [eqn: 7``]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 5]

정답 ①

정답 ①

정답 ③

정답 ①

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 1]

정답 ②

정답 [eqn: 15]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 [eqn: 11]

정답 ⑤

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 27``]

정답 [eqn: 4`]

정답 [eqn: 42`]

정답 ③

정답 ②

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 11``]

정답 [eqn: 32]

정답 [eqn: 18``]

정답 [eqn: 10``]

정답 93

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 12

정답 ①

정답 ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ①

정답 ①

정답 ①

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 9`]

정답 ④

정답 [eqn: 15]

정답 ③

정답 ②

정답 [eqn: 24]

정답 ③

정답 ②

정답 [eqn: 27]

정답 ②

정답 ②

정답 ④

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ⑤

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ②

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 9]

정답 [eqn: 5``]

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 ①

정답 [eqn: 11``]

정답 ④

정답 ④

정답 ③

정답 [eqn: 59]

정답 [eqn: 20]

정답 ⑤

정답 [eqn: 11``]

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 125``]

정답 [eqn: 13``]

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 ④

정답 ⑤

정답 ④

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 27]

정답 ②

정답 ①

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ②

정답 [eqn: 200]

정답 [eqn: 25]

정답 ①

정답 ④

정답 ⑤

정답 ②

정답  ③

정답 ④

정답 [eqn: 16``]

정답 [eqn: 16]

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 54]

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 19``]

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 13]

정답 ④

정답 ②

정답 [eqn: 37]

정답 ②

정답 ③

183  정답 ③

정답 및 풀이