수학 영역 (가형)

홀수형

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수학 영역 (가형)

홀수형

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16

2017년 8월 고3 대구교육청 모의고사 문제지

수학 영역(가 형)

제 2 교시

홀수형

5지선다형

12

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi ``]일 때, [eqn: 2`cos ^{2} x+sinx=1``]의 서로 다른 모든 실근의 합은? [3점]

③

[출제의도] 삼각함수의 관계 이해하기

[eqn: cos ^{2} x=1-sin ^{2} x`]이므로

[eqn: 2cos ^{2} x+sinx=1`]에 대입하면

[eqn: 2(1-sin ^{2} x)+sinx=1]

[eqn: (2sinx+1)(sinx-1)=0]

[eqn: x= {pi } over {2} `] 또는 [eqn: {7} over {6} pi `] 또는 [eqn: {11} over {6} pi]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {7} over {2} pi]

① [eqn: {5} over {2} pi]	② [eqn: 3 pi]	③ [eqn: {7} over {2} pi]	④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

양의 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

②

[출제의도] 역함수의 미분계수 이해하기

함수 [eqn: f(e ^{x} )`]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(f(e ^{x} ))=x`]가 된다.

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g`'(f(e ^{x} )) TIMES f`'(e ^{x} ) TIMES e ^{x} =1`]이 성립하고

[eqn: f(e)=e+1`] 이므로 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: g` prime (f(e)) TIMES f` prime (e) TIMES e=1`]

[eqn: g` prime (e+1) TIMES (e+1)=1`]

[eqn: g` prime (e+1)= {1} over {e+1}]

[eqn: f(e)=e+1``,````f`'(e)= {1} over {e} +1]

이다. 함수 [eqn: f(e ^{x} )]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g`'(e+1)]의 값은?

[3점]

① [eqn: {1} over {e+2}]	② [eqn: {1} over {e+1}]	③ [eqn: {1} over {e}]
④ [eqn: {1} over {e-1}]	⑤ [eqn: {1} over {e-2}]

그림과 같이 반지름의 길이가 1인 부채꼴 [eqn: OAB`]에서 호 [eqn: AB]의 삼등분점 중 [eqn: B`]에 가까운 점을 [eqn: C`]라 하고, 점 [eqn: C`]를 지나고 선분 [eqn: OA`]에 평행한 직선이 선분 [eqn: OB]와 만나는 점을 [eqn: D`]라 하자.
[eqn: ANGLE COD= theta `]일 때, 삼각형 [eqn: OCD]의 넓이를 [eqn: f( theta )]라 하자.
[eqn: lim _{theta `-> 0+} {} {theta } over {f( theta )}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} `]이다.) [4점]

④

[출제의도] 삼각함수의 극한 문제해결하기

점 [eqn: O`]를 지나고 선분 [eqn: OA`]에 수직인 직선과 직선 [eqn: CD`]의 교점을 [eqn: H`]라 하자. [eqn: ANGLE COA`= ANGLE OCH`]이고,

[eqn: ANGLE OCH=2 theta ``,```` {bar{OC}} =1``]이므로 [eqn: {bar{OH}} =sin2 theta]

[eqn: ANGLE ODH=3 theta ``,```` {bar{OH}} =sin2 theta ``]이므로 [eqn: {bar{OD}} `= {sin2 theta } over {sin3 theta }]

[eqn: f( theta )= {1} over {2} TIMES {sin2 theta } over {sin3 theta } TIMES 1 TIMES sin theta]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {theta } over {f( theta )} = lim _{theta -> 0+} {} {theta } over {{1} over {2} TIMES {sin2 theta } over {sin3 theta } TIMES sin theta } =3]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ 1	④ 3	⑤ 6

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: r], 4인 두 원 [eqn: C _{1} `], [eqn: C _{2} `]가 있다. 원 [eqn: C _{2} `] 위의 점 [eqn: P`]에서 원 [eqn: C _{1} `]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: A`,``B``]라 할 때, 삼각형 [eqn: PAB`]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: 0<r<4] 이다.) [4점]

③

[출제의도] 미분활용 문제해결하기

[eqn: {bar{OP}} =4`,`` {bar{OA}} =r`]이므로 [eqn: {bar{AP}} `= sqrt {16-r ^{2}}]

[eqn: cos( ANGLE OPA)= {sqrt {16-r ^{2}}} over {4} `], [eqn: sin( ANGLE OPA)= {r} over {4}]

[eqn: {bar{OP}} `]와 [eqn: {bar{AB}} `]의 교점을 [eqn: M`]이라 하면

[eqn: {bar{PM}} `= {bar{AP}} ` TIMES cos( ANGLE OPA)= {16-r ^{2}} over {4}]

[eqn: {bar{AM}} `= {bar{AP}} ` TIMES sin( ANGLE OPA)= sqrt {16-r ^{2}} TIMES {r} over {4}]

(삼각형 [eqn: PAB]의 넓이)=[eqn: {bar{PM``}} ` TIMES {bar{AM``}} = {1} over {16} r(16-r ^{2} ) ^{{3} over {2}}]

삼각형 [eqn: PAB`]의 넓이를 [eqn: S(r)]이라 하면

[eqn: S(r)= {1} over {16} r(16-r ^{2} ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: S``'(r)= {1} over {4} sqrt {16-r ^{2}} (4-r ^{2} )]

[eqn: 0<r<4``]이므로 [eqn: sqrt {16-r ^{2}} `>0] 이고,

[eqn: S``'(r)=0``]에서 [eqn: r=2]

[eqn: 0<r<4``]에서 [eqn: S(r)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: r]	0	[eqn: CDOTS]	2	[eqn: CDOTS]	4
[eqn: S``'(r)`]	[eqn: +]	[eqn: +]	0	-	-
[eqn: S(r)`]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

즉, [eqn: r=2``]에서 극댓값 [eqn: S(2)=3 sqrt {3}]

따라서 최댓값은 [eqn: 3 sqrt {3}]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 3 sqrt {3}]	④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {3}]

곡선 [eqn: y=lnx`] 위의 점 [eqn: P`(``t``,```lnt`)]를 지나고 점 [eqn: P`]에서의 접선에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 중심이 [eqn: (`0`,```lnt`)]이고 반지름의 길이가 [eqn: t`]인 원 [eqn: C`]가 직선 [eqn: l`]과 만나서 생기는 현의 길이를 [eqn: f(t)`]라 할 때, [eqn: int _{sqrt {3}} ^{sqrt {8}} {f(t)``dt``}]의 값은? [4점]

④

[출제의도] 정적분 문제해결하기

점 [eqn: P(`t`,``lnt`)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {1} over {t}]이므로

[eqn: l`:`y=`-t(x-t)+lnt`]

직선 [eqn: l`]과 [eqn: (`0`,``lnt`)]와의 거리가 [eqn: {t ^{2}} over {sqrt {t ^{2} +1}} `]이므로

[eqn: f(t)=2 sqrt {t ^{2} - LEFT ( {t ^{2}} over {sqrt {t ^{2} +1}} RIGHT ) ^{2}} `= {2t} over {sqrt {t ^{2} +1}} `]

[eqn: int _{sqrt {3}} ^{sqrt {8}} {f(t)`dt} `= int _{sqrt {3}} ^{sqrt {8}} {{2t} over {sqrt {t ^{2} +1}} `dt} `]

[eqn: t ^{2} +1=x`]라 두면 [eqn: 2t= {dx} over {dt} `]이고

[eqn: int _{sqrt {3}} ^{sqrt {8}} {{2t} over {sqrt {t ^{2} +1}} `dt} ``= int _{4} ^{9} {{1} over {sqrt {x}} dx} `= LEFT [ 2 sqrt {x} RIGHT ] _{4}^{9} `=2]

① 1	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]	④ 2	⑤ [eqn: sqrt {5}]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 양수 [eqn: x`,``y``]에 대하여

①

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 함수 추론하기

[eqn: f(xy)=xf(y)+yf(x)`]의 양변을 [eqn: xy`]로 나누면

[eqn: {f(xy)} over {xy} = {f(x)} over {x} + {f(y)} over {y} `]이다.

[eqn: p(x)= {f(x)} over {x} `]라 두면, [eqn: p(xy)=p(x)+p(y)]

[eqn: x=1`,``y=1``]을 대입하면 [eqn: p(1)=0]

[eqn: p`'(x)= lim _{h-> 0} {} {p(x+h)-p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {} {p LEFT ( x LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) RIGHT ) -p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {} {p(x)+p LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) -p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {} {p LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) -p(1)} over {h}]

[eqn: =p`'(1) TIMES {1} over {x}]

[eqn: x>0`]에서 [eqn: p`'(x)= {xf`'(x)-f(x)} over {x ^{2}}]이고

[eqn: f(1)=0`]이므로 [eqn: p`'(1)=f`'(1)-f(1)=f`'(1)=1]

[eqn: p(1)=0`]이고, [eqn: p`'(x)= {1} over {x} `]이므로 [eqn: p(x)=ln`x]

[eqn: f(x)=x`lnx````(x>0)]

[eqn: g(x)+g(-x)=0`]이므로 [eqn: g(x)]는 원점에 대하여 대칭이고

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: g(0)=0]

[eqn: lim _{h-> 0+} {} {g(0+h)-g(0)} over {h} = lim _{h-> 0+} {} {h`lnh} over {h} =`- INF]

발산하므로 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

[eqn: x>0`]에서 [eqn: g(x)=f(x)]이므로 [eqn: x>0`]인 모든 실수에 대하여 미분가능하고 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: x<0`]인 모든 실수에 대하여 미분가능하다. 따라서 미분가능하지 않은 점의 개수가 1개이므로 [eqn: a=1`]

[eqn: g(x)=x+k`]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: g(x)-x=k``]의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

함수 [eqn: h(x)=g(x)-x`]라 두면

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{``x`lnx-x# # ``0# }&eqalign{(x>0)# # (x=0)# }#``x`ln(-x)-x&(x<0)}}] ,

[eqn: h`'(x)= {cases{```ln`x&(x>0)#```ln`(-x)`````&(x<0)}}]

이므로 [eqn: h(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	-1	[eqn: CDOTS]	0	[eqn: CDOTS]	1	[eqn: CDOTS]
[eqn: h`'(x)]	+	0	-	발산	-	0	+
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	0	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

극댓값 [eqn: h(-1)=1``]이고, 극솟값 [eqn: h(1)=`-1]

[eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x)= lim _{x -> 0+} {} x`lnx`=0```]이므로 [eqn: lim _{x-> 0} {} h(x)=0``]이다

[eqn: y=k`]와 [eqn: y=h(x)`]의 그래프가 서로 다른 두 교점을 갖는 [eqn: k`]의 값은 1 또는 –1이다. 따라서 구하는 값은 –1

[eqn: f(xy)=xf(y)+yf(x)]

이고, [eqn: f`'(1)=1`]이다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)``]이다

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)+g(-x)=0``]이다

함수 [eqn: g(x)`]가 미분가능하지 않은 점의 개수를 [eqn: a`]라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=ax+k`]의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱은? (단, [eqn: lim _{x`-> `0+} {} f(x)=0``]이다.) [4점]

① -1	② [eqn: - {1} over {e}]	③ [eqn: - {1} over {e ^{2}}]	④ [eqn: {1} over {e}]	⑤ 1

단답형

방정식 [eqn: 9 ^{x} -3 ^{x+2} +3k=0```]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수를 구하시오. [3점]

6

[출제의도] 지수방정식 문제해결하기

[eqn: t=3 ^{x} ````(t>0)`]라 하고 이차방정식 [eqn: t ^{2} -9t+3k=0`]이 서로 다른 두 양의 실근을 가질 조건을 찾자.

ⅰ) 대칭축 : [eqn: t= {9} over {2} >0]

ⅱ) [eqn: f(t)=t ^{2} -9t+3k``]라 두면

[eqn: f(0)>0`]이므로 [eqn: k>0```` CDOTS ``(ㄱ)]

ⅲ) [eqn: t ^{2} -9t+3k=0`]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

판별식 [eqn: D=81-12k>0```` CDOTS ``(ㄴ)]

(ㄱ),(ㄴ)을 연립하면 [eqn: 0<k< {27} over {4}]

조건을 만족하는 정수 [eqn: k`]의 개수는 6

모든 실수 [eqn: x`]에서 [eqn: f(x)>0`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

75

[출제의도] 미적분을 이용하여 함수 추론하기

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c````(a>0)``]이라 하자.

[eqn: g` prime (x)=`- {f` prime (x)} over {f(x)} =`- {2ax+b} over {ax ^{2} +bx+c}]

[eqn: g` '' (x)=`- {2a(ax ^{2} +bx+c)-(2ax+b) ^{2}} over {(ax ^{2} +bx+c) ^{2}}]

[eqn: = {2a ^{2} x ^{2} +2abx+b ^{2} -2ac} over {(ax ^{2} +bx+c) ^{2}}]

조건 (나)에 의하여

[eqn: g`'(x)`]가 [eqn: x=1`]에서 극대이고, [eqn: x=7`]에서 극소이므로

[eqn: g`''(1)=g`''(7)=0]

[eqn: 2a ^{2} x ^{2} +2abx+b ^{2} -2ac=0``]의 두 근이 1과 7이다.

두 근의 합은 [eqn: - {2ab} over {2a ^{2}} =8`]이므로 [eqn: b=-8a]

두 근의 곱은 [eqn: {b ^{2} -2ac} over {2a ^{2}} = {64a ^{2} -2ac} over {2a ^{2}} =7] 이므로 [eqn: c=25a]

따라서 [eqn: f(x)=ax ^{2} -8ax+25a]

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(1)=18`]이므로 [eqn: a=1]`

[eqn: g`'(x)=0`]을 만족하는 [eqn: x=4`]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소, 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=4`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=4`]에 대하여 대칭이다. 따라서 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=3`]에서 최댓값을 가진다.

[eqn: k=3`]이고, [eqn: g(0)=`-ln25``]이므로

[eqn: THEREFORE ` {k} over {e ^{g(0)}} = {3} over {{1} over {25}} =75]

[eqn: g(x)=`-lnf(x)]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(1)=`-ln18]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g`'(7) LEQ g`'(x) LEQ g`'(1)`]이다.

함수 [eqn: h(x)= int _{x} ^{x+2} {g(t)`dt``}]가 [eqn: x=k`]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: {k} over {e ^{g(0)}} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

2017년 8월 고3 대구교육청 모의고사 [가형]해설

1	⑤	2	⑤	3	③	4	④	5	①
6	②	7	①	8	④	9	③	10	②
11	③	12	⑤	13	②	14	②	15	④
16	④	17	③	18	⑤	19	④	20	①
21	①	22	3	23	12	24	242	25	6
26	20	27	16	28	22	29	9	30	75