2018 수능 특강

Ⅳ. 적분법

Navi : One Pass on Effort

1. [eqn: int _{0} ^{1} {(e ^{x ^{2}} TIMES 2 ^{x} )(2x+ln`2)dx}]의 값은?

[eqn: int _{0} ^{1} {(e ^{x ^{2}} TIMES 2 ^{x} )(2x+ln`2)dx}# = int _{0} ^{1} {(e ^{x ^{2}} TIMES e ^{x`ln`2} )(2x+ln`2)dx}# = int _{0} ^{1} {e ^{x ^{2} +x`ln`2} (2x+ln`2)dx}]

이때 [eqn: x ^{2} +x`ln`2=t]로 놓으면 [eqn: 2x+`ln`2= {dt} over {dx}]이고 [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=1+`ln`2]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{x ^{2} +x`ln`2} (2x+ln`2)dx}# = int _{0} ^{1+`ln`2} {e ^{t} `dt}# = LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1+`ln2}# =e ^{1+`ln`2} -1# =e ^{ln`2e} -1# =2e-1]

2. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼각함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 극값을 갖고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축에 접하고 이 접점의 [eqn: x]좌표는 양수이다. 이때  [eqn: int _{0} ^{3} {LEFT { LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT | f prime (x) RIGHT | RIGHT } dx}]의 값은?

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 극값을 가지므로

[eqn: f prime (x)=3x(x-2)]

이때

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f prime (x)dx}# = int _{} ^{} {(3x ^{2} -6x)dx}]

[eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

한편, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축에 접하고 이 접점의 [eqn: x]좌표가 양수이며 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(2)=0]이어야 한다. 그러므로 [eqn: f(2)=8-12+C=0``````````````C=4]

그러므로 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +4] 한편, [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: f prime (x) LEQ 0], [eqn: x GEQ 2]에서 [eqn: f prime (x) GEQ 0]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT { LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT | f prime (x) RIGHT | RIGHT } dx}]

[eqn: =- int _{0} ^{2} {f(f(x))f prime (x)dx} + int _{2} ^{3} {f(f(x))f prime (x)dx}]…… ㉠

이때 [eqn: f(x)=t]로 놓으면 [eqn: f prime (x)= {dt} over {dx}]이고 [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=f(0)=4], [eqn: x=2]일 때 [eqn: t=f(2)=0],

[eqn: x=3]일 때 [eqn: t=f(3)=4]이므로

㉠은 [eqn: - int _{4} ^{0} {f(t)dt} + int _{0} ^{4} {f(t)dt}# =2 int _{0} ^{4} {f(t)dt}# =2 int _{0} ^{4} {(t ^{3} -3t ^{2} +4)dt}# =2 LEFT [ {1} over {4} t ^{4} -t ^{3} +4t RIGHT ] _{0} ^{4}# =2 TIMES 16=32]

3. 양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=ln` {1} over {x} + int _{1} ^{e} {f(t)} dt]를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

[eqn: int _{1} ^{e} {f(t)} dt=k] ([eqn: k]는 상수)로 놓으면 [eqn: f(x)=ln` {1} over {x} +k] 이므로

[eqn: k= int _{1} ^{e} {LEFT ( ln` {1} over {x} +k RIGHT ) dt}# = int _{1} ^{e} {LEFT ( -`ln`t+k RIGHT ) dt}# =- int _{1} ^{e} {ln`t`dt} + int _{1} ^{e} {k`dt}# =- LEFT [ t`ln`t RIGHT ] _{1} ^{e} + int _{1} ^{e} {1dt} + LEFT [ kt RIGHT ] _{1} ^{e}# =-e+ LEFT [ t RIGHT ] _{1} ^{e} +k(e-1)# =-1+k(e-1)]

그러므로

[eqn: k(e-2)=1],[eqn: k= {1} over {e-2}] 따라서

[eqn: f(x)=`ln` {1} over {x} + {1} over {e-2}]이므로 [eqn: f(1)= {1} over {e-2}]

4. 함수[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 [eqn: f(x)>0]이고 연속이다. 함수 [eqn: f(x)]가 상수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{a} ^{x} {f(t)dt}} =2]를 만족시킨다. [eqn: a+f(1)]의 값은?

[eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{a} ^{x} {f(t)dt}} =2]  ……㉠

[eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]라 하면 [eqn: g(a)=0]이고

[eqn: g prime (x)=f(x)>0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이다.

한편, ㉠에서 [eqn: x -> 1]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x-> 1} { int _{a} ^{x} {f(t)dt=0}}]……㉡

[eqn: g prime (x)=f(x)]이므로

[eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt=g(x)-g(a)}] ……㉢

이때 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: x=1]에서 연속이다. ……㉣

㉡,㉢,㉣에 의하여 [eqn: lim _{x -> 1} { int _{a} ^{x} {f(t)dt}} `=` lim _{x-> 1} {LEFT { g(x)-g(a) RIGHT }} =g(1)-g(a)=0]

한편, 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: a=1]

㉠에 [eqn: a=1]을 대입하여 정리하면

[eqn: lim _{x -> 1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{1} ^{x} {f(t)dt}}# = lim _{x -> 1} {{1} over {x+1}} TIMES lim _{x -> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {f(t)dt}}# = lim _{x -> 1} {{1} over {x+1}} TIMES lim _{x -> 1} {{g(x)-g(1)} over {x-1}}# = {1} over {2} TIMES g prime (1)= {1} over {2} f(1)=2]

이므로 [eqn: f(1)=4]

따라서 [eqn: a+f(1)=1+4=5]

{참고}

함수 [eqn: f(x)=4 ^{x}]은 문제의 조건을 모두 만족시키는 함수이다.

5. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} +k]가 부등식

[eqn: LEFT | int _{0} ^{1} {f(2x+1)dx} RIGHT | < {1} over {2} int _{1} ^{3} {LEFT | f(x) RIGHT |} dx]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: alpha <k< beta]이다. [eqn: {alpha } over {beta }]의 값은?

[eqn: int _{0} ^{1} {f(2x+1)dx}]에서 [eqn: 2x+1=t]로 놓으면 [eqn: 2= {dt} over {dx}]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=3]이므로 [eqn: int _{0} ^{1} {f(2x+1)dx} = {1} over {2} int _{1} ^{3} {f(t)dt} = {1} over {2} int _{1} ^{3} {f(x)dx}]

그러므로 [eqn: LEFT | int _{0} ^{1} {f(2x+1)dx} RIGHT | < {1} over {2} int _{1} ^{3} {LEFT | f(x) RIGHT |} dx]에서  [eqn: {1} over {2} LEFT | int _{1} ^{3} {f(x)dx} RIGHT | < {1} over {2} int _{1} ^{3} {LEFT | f(x) RIGHT |} dx]

[eqn: LEFT | int _{1} ^{3} {f(x)dx} RIGHT | < int _{1} ^{3} {LEFT | f(x) RIGHT |} dx]……㉠  함수 [eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} +k]에 대하여 [eqn: f prime (x)=2xe ^{x ^{2}}]이므로 열린 구간 [eqn: (1,3)]에서 [eqn: f prime (x)>0]이다. 그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 1,3 RIGHT ]]에서 증가한다.

따라서 ㉠을 만족시키기 위해서는 [eqn: f(1)<0], [eqn: f(3)>0] 이어야 한다. 그러므로 [eqn: e+k<0]이고 [eqn: e ^{9} +k>0]

[eqn: k<-e]이고 [eqn: k>-e ^{9}] [eqn: -e ^{9} <k<-e]

따라서 [eqn: alpha =-e ^{9}], [eqn: beta =-e]이므로 [eqn: {alpha } over {beta } = {-e ^{9}} over {-e} =e ^{8}]

6. 정의역이 [eqn: LEFT { x□-2<x<2 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)=tan` {pi } over {4} x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{ln2} {(e ^{2x} -e ^{x} )g prime (e ^{x} -1)dx}]의 값은?

[eqn: int _{0} ^{ln2} {(e ^{2x} -e ^{x} )g prime (e ^{x} -1)dx}# = int _{0} ^{ln`2} {e ^{x} (e ^{x} -1)g prime (e ^{x} -1)dx}]

이때 [eqn: e ^{x} -1=t]로 놓으면 [eqn: e ^{x} = {dt} over {dx}]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=ln`2]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{ln`2} {e ^{x} (e ^{x} -1)g prime (e ^{x} -1)dx}# = int _{0} ^{1} {tg prime (t)dt}# = LEFT [ tg(t) RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {g(t)dt}]

[eqn: =g(1)- int _{0} ^{1} {g(t)dt}]  ……㉠

한편, [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1]이므로 [eqn: g(0)=0],[eqn: g(1)=1]이다.

오른쪽 그림에서 [eqn: int _{0} ^{1} {g(t)dt=1- int _{0} ^{1} {f(t)dt}}] 이므로 ㉠은

[eqn: g(1)- int _{0} ^{1} {g(t)dt}# =1- LEFT { 1- int _{0} ^{1} {f(t)dt} RIGHT }# = int _{0} ^{1} {f(t)dt}# = int _{0} ^{1} {tan {pi`t} over {4} dt}# = int _{0} ^{1} {{sin {pi`t} over {4}} over {cos` {pi`t} over {4}} dt}]

이때 [eqn: cos {pi`t} over {4} =s]로 놓으면 [eqn: - {pi} over {4} sin` {pi`t} over {4} = {ds} over {dt}]이고 [eqn: t=0]일 때 [eqn: s=1],[eqn: t=1]일 때 [eqn: s= {sqrt {2}} over {2}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {{sin {pi `t} over {4}} over {cos` {pi `t} over {4}} dt} = {4} over {pi } int _{1} ^{{sqrt {2}} over {2}} {LEFT ( - {1} over {s} RIGHT ) ds}# = {4} over {pi } int _{{sqrt {2}} over {2}} ^{1} {{1} over {s} ds} = {4} over {pi } LEFT [ ln LEFT | s RIGHT | RIGHT ] _{{sqrt {2}} over {2}}^{1}# = {4} over {pi} LEFT ( 0-ln {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) = {4} over {pi} times`ln sqrt {2} = {ln`4} over {pi}]

7. 함수 [eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {LEFT { log _{2} (t ^{4} +4t+5)-2 RIGHT } dt}]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점에서 만나도록 하는 서로 다른 실수 [eqn: a]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {LEFT { log _{2} (t ^{4} +4t+5)-2 RIGHT } dt}]에서

[eqn: f prime (x)=log _{2} (x ^{4} +4x+5)-2]이므로

[eqn: f prime prime (x)= {4x ^{3} +4} over {x ^{4} +4x+5} TIMES {1} over {ln`2}# = {4 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )} over {x ^{4} +4x+5} TIMES {1} over {ln`2}]

여기서[eqn: g(x)=x ^{4} +4x+5]  라 하면

[eqn: g'(x)=4x ^{3} +4=4 LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) =4 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]

이때 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: g(-1)=2]를 가지므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)>0]이다.

그러므로 [eqn: f prime prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=-1]

함수 [eqn: f prime (x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f prime (x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -1]	[eqn: NEARROW]

이때 [eqn: f prime (-1)<0]이므로 함수 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다. 이 두 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha],[eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: f prime (0)=log _{2} 5-2>0]이므로 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

이때 방정식 [eqn: f prime (x)=0]의 서로 다른 두 실근은 [eqn: alpha],[eqn: beta]이고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점에서 만나야 하므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 [그림1] 또는 [그림2]와 같이 [eqn: x]축에 접하는 곡선이어야 한다.

이때 [그림1], [그림2]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 [eqn: alpha],[eqn: beta]가 아닌 것을 각각 [eqn: k _{1}],[eqn: k _{2}][eqn: LEFT ( k _{1} < alpha < beta <k _{2} RIGHT )]라 하면 [eqn: f(a)= int _{a} ^{a} {LEFT { log _{2} LEFT ( t ^{4} +4t+5 RIGHT ) -2 RIGHT } dt=0}]이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: k _{1}],[eqn: k _{2}],[eqn: alpha],[eqn: beta]로 서로 다른 실수 [eqn: a]의 개수는 4이다.

{참고}

[eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {LEFT { log _{2} LEFT ( t ^{4} +4t+5 RIGHT ) -2 RIGHT } dt}]에서 [eqn: h(t)=log _{2} LEFT ( t ^{4} +4t+5 RIGHT ) -2]라 하면 [eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {h(t)dt}]

이때 [eqn: f prime (x)=h(x)]이고 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프의 개형은 [그림3]과 같다.

곡선 [eqn: y=h(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역을 [eqn: A]라 하면 영역 [eqn: A]와 넓이가 각각 같은 두 영역 [eqn: B]와 [eqn: C]를 그림과 같이 잡을 수 있다. 이때 영역 [eqn: B]는 곡선 [eqn: y=h(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=k _{1}]로 둘러싸인 영역이고, 영역 [eqn: C]는 곡선 [eqn: y=h(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=k _{2}]로 둘러싸인 영역이다. (단, [eqn: k _{1} < alpha < beta <k _{2}])

(ⅰ) [eqn: a=k _{1}]일 때,

[eqn: f(x)= int _{k _{1}} ^{x} {h(t)} dt]이므로 [eqn: f(k _{1} )=0]이고 [eqn: f( beta )= int _{k _{1}} ^{beta} {h(t)dt} =0]이다.

이때 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 풀이의 [그림 1]과 같이 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다.

(ⅱ) [eqn: a=beta]일 때,

[eqn: f(x)= int _{beta} ^{x} {h(t)dt}]이므로 [eqn: f(beta)=0]이고 [eqn: f(k _{1} )= int _{beta} ^{k _{1}} {h(t)} dt=- int _{k _{1}} ^{beta} {h(t)dt} =0]이다.

이때 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 풀이의 [그림 1]과 같이 [eqn: x]축 두 점에서 만난다.

(ⅲ)[eqn: a=k _{2}]일 때,

[eqn: f(x)= int _{k _{2}} ^{x} {h(t)dt}]이므로 [eqn: f(k _{2} )=0]이고 [eqn: f(alpha)= int _{k _{2}} ^{alpha} {h(t)dt} =- int _{alpha} ^{k _{2}} {h(t)dt} =0]이다.

이때 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 풀이의 [그림 2]와 같이 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다.

(ⅳ) [eqn: a=alpha]일 때,

[eqn: f(x)= int _{alpha} ^{x} {h(t)dt}]이므로 [eqn: f(alpha)=0]이고 [eqn: f(k _{2} )= int _{alpha} ^{k _{2}} {h(t)dt} =0]이다.

이때 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 풀이의 [그림 2]와 같이 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다.

(ⅴ) [eqn: a]의 값이 [eqn: k _{1}], [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: k _{2}] 중 하나가 아닐 때,

[그림 3]으로부터 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축에 접하지 않음을 유추할 수 있다.

[eqn: a<k _{1}]또는 [eqn: k _{2} <a]인 경우 [eqn: f(a)=0]이고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 한 점에서만 만나고, [eqn: k _{1} <a<alpha]또는 [eqn: alpha<a<beta]또는 [eqn: beta<a<k _{2}]인 경우 [eqn: f(a)=0]이고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 세 점에서 만난다. 즉, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 두 점에서 만나지 않는다.

8. 그림과 같이 자연수 [eqn: n]과 [eqn: n] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점 [eqn: P _{k} LEFT ( {k} over {n} ,e ^{{k} over {n}} RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: Q _{k}]라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {bar{OQ _{k}}}}]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

[eqn: f(x)=e ^{x}]이라 하면 [eqn: f prime (x)=e ^{x}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: LEFT ( a,f(a) RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: e ^{a}]이다.

그러므로 접선의 방정식은  [eqn: y-e ^{a} =e ^{a} (x-a)]  [eqn: y=e ^{a} x-ae ^{a} +e ^{a}] 이때 이 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,`(1-a)e ^{a} RIGHT )]이다. 그러므로 [eqn: P _{k} LEFT ( {k} over {n} ,f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점은 [eqn: Q _{k} LEFT ( 0, LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT ) e ^{{k} over {n}} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{OQ _{k}}} = LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT ) e ^{{k} over {n}}] 따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {bar{OQ _{k}}}} = lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT ) e ^{{k} over {n}}}]

이때 [eqn: x _{k} = {k} over {n}]로 놓으면 [eqn: DELTA x= {1} over {n}]이고 함수는 [eqn: y= LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{x}]이므로 정적분의 정의에 의하여

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT ) e ^{{k} over {n}}}# = int _{0} ^{1} {LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{x} dx}# = LEFT [ LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {LEFT ( -e ^{x} RIGHT ) dx}# = LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT [ e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1}# = LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( e-1 RIGHT )# =e-2]

9. 정의역이 [eqn: LEFT { x□0 LEQ x LEQ {5 pi } over {2} RIGHT }]인 두 함수 [eqn: f(x)=sin`x], [eqn: g(x)=mx LEFT ( 0<m< {2} over {5 pi } RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: y= LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선[eqn: x= {5 pi } over {2}]로 둘러싸인 부분은 그림과 같이 세 부분 A, B, C로 나누어진다고 한다. 세 부분 A, B, C의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]이라 할 때, [eqn: S _{2} =S _{1} +S _{3}]이 성립하도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은 [eqn: {a} over {b pi ^{2}}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

함수 [eqn: y= LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |]의 그래프가 문제에서 주어진 그림과 같으려면 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같아야 한다. 이 세 부분 A, B, C의 넓이와 다음 그림의 곡선[eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)] 및 직선 [eqn: x= {5 pi } over {2}]로 둘러싸인 세 부분 P, Q, R의 넓이는 각각 같다.

그런데 [eqn: S _{2} =S _{1} +S _{3}]이므로 [eqn: int _{0} ^{{5 pi } over {2}} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx=0}] 이어야 한다.

즉, [eqn: int _{0} ^{{5 pi } over {2}} {(sin`x-mx)dx}# = int _{0} ^{{5 pi } over {2}} {sin`x`dx} - int _{0} ^{{5 pi } over {2}} {mxdx}# = LEFT [ -cos`x RIGHT ] _{0}^{{5 pi } over {2}} -m LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{{5 pi } over {2}}# =1- {25 pi ^{2}} over {8} m=0]

에서 [eqn: m= {8} over {25 pi ^{2}}] 따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=25]이므로 [eqn: a+b=8+25=33]

10. 그림과 같이 점[eqn: P(t,`0) LEFT ( 0 LEQ t LEQ {pi } over {4} RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=2 sqrt {x} LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {4} RIGHT )]와 만나는 점을 Q, P를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면 위에 [eqn: ANGLE RPQ=t], [eqn: ANGLE PQR= {pi } over {2}]를 만족시키는 점을 [eqn: R]라 하자. 입체도형을 점 [eqn: P]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 선분 [eqn: PR]를 지름으로 하고 직각삼각형 [eqn: PQR]를 포함하는 반원일 때, 이 입체도형의 부피는?

직각삼각형 [eqn: PQR]에서 [eqn: cos`t= {2 sqrt {t}} over {{bar{PR}}}]이므로 [eqn: {bar{PR`}} = {2 sqrt {t}} over {cos`t}] 그러므로 단면인 반원의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면 [eqn: S(t)= {1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {2 sqrt {t}} over {cos`t} RIGHT ) ^{2} pi = {pi } over {2} t`sec ^{2} t] 따라서 구하는 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V= int _{0} ^{{pi } over {4}} {S(x)dx}] [eqn: = {pi } over {2} int _{0} ^{{pi } over {4}} {x`sec ^{2} xdx}] [eqn: = {pi } over {2} LEFT ( LEFT [ x`tan`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {tan`x`dx} RIGHT )] [eqn: = {pi } over {2} LEFT ( {pi } over {4} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {{sin`x} over {cos`x} dx} RIGHT )]

[eqn: = {pi } over {2} LEFT { {pi } over {4} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {{-(cos`x) prime } over {cos`x} dx} RIGHT }] [eqn: = {pi } over {2} LEFT ( {pi } over {4} - LEFT [ -ln LEFT | cos`x RIGHT | RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} RIGHT )] [eqn: = {pi } over {2} LEFT ( {pi } over {4} +ln {sqrt {2}} over {2} RIGHT )] [eqn: = {pi } over {2} LEFT ( {pi } over {4} - {1} over {2} `ln2 RIGHT )] [eqn: = {( pi -2`ln`2) pi } over {8}]

2019 수능 특강

11. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: f'(x)= cases{ `````2`cos`x````` (x>0) # sin`x+a ``(x<0)}]

이다. [eqn: f(pi)=pi, ~f(-pi)=2]일 때, [eqn: f(-2pi)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: f'(x)= cases{ `````2`cos`x`````(x>0) # sin`x+a``(x<0) }]에서

[eqn: int {2`cos`x`dx }=2`sin`x+C_{1}],

[eqn: int {(sin`x+a)`dx }=-cos`x+ax+C_{2}]

([eqn: C_{1},~ C_{2}]는 적분상수)이므로

[eqn: f(x)= cases{ ```````````2`sin`x+C_{1}``````````(x>0) # -cos`x+ax+C_{2}``(x<0) }]

[eqn: f(pi)=pi]이므로

[eqn: 2`sin`pi+C_{1}=pi]에서

[eqn: C_{1}=pi]

[eqn: f(-pi)=2]이므로

[eqn: -cos(-pi)-a pi+C_{2}=2]에서

[eqn: C_{2}=a pi+1]  	…… ㉠

또, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x->0+} {(2`sin`x+C_{1}) }=lim _{ x->0-} {(-cos`x+ax+C_{2}}) }]

[eqn: C_{1}=-1+C_{2}]

그런데 [eqn: C_{1}=pi]이므로

[eqn: C_{2}=pi+1]   …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a pi+1=pi+1]이므로

[eqn: a=1]

따라서 [eqn: x<0]일 때, [eqn: f(x)=-cos`x+x+pi+1]이므로

[eqn: f(-2pi)=-cos`(-2pi)-2pi+pi+1]

[eqn: =-pi]

12. [eqn: int _{0} ^{1} {x ^{3} sqrt {x ^{2} +1} dx} = a sqrt {2} +b]일 때, 두 유리수 [eqn: a,~ b]에 대하여 [eqn: 30(a+b)]의 값을 구하시오.

[eqn: x^{2}+1=t]로 놓으면 [eqn: { dt} over { dx}=2x], [eqn: x^{2}=t-1]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1, ~x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {x ^{3} sqrt {x ^{2} +1} dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} { LEFT ( { 1} over { 2} x ^{2} sqrt {x ^{2} } TIMES2x RIGHT )} dx}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {{ 1} over { 2}(t-1) sqrt { t}`dt]

[eqn: = int _{1} ^{2} {{ 1} over { 2} LEFT ( t^{ { 3} over {2 }}-t^{ { 1} over {2 }} RIGHT )dt]

[eqn: =LEFT [ { 1} over { 5}t^{ { 5} over { 2}}- { 1} over {3 }t^{ {3 } over { 2}} RIGHT ]_{1}^{2}]

[eqn: =LEFT ( { 4 sqrt { 2} } over {5 }- { 2 sqrt { 2} } over {3 } RIGHT )- LEFT ( { 1} over {5 }- { 1} over { 3} RIGHT )]

[eqn: ={ 2} over { 15} sqrt { 2}+ { 2} over {15 }]

따라서 [eqn: a= { 2} over {15 }], [eqn: b= { 2} over {15 }]이므로

[eqn: 30(a+b)=30 TIMES LEFT ( { 2} over { 15}+ { 2} over { 15} RIGHT )=8]

13. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)=x^{2}e^{2x}]이고 [eqn: f(0)= { 1} over { 4}]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=e^{2x]이 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표의 곱은?

[eqn: int{x^{2}e^{2x} }`dx]에서 [eqn: u(x)=x^{2}], [eqn: v'(x)=e^{2x]으로 놓으면

[eqn: u'(x)=2x, ~v(x)= { 1} over { 2}e^{2x}]이므로

[eqn: f(x)=int{x^{2}e^{2x} }`dx]

[eqn: =x^{2} TIMES { 1} over { 2}e^{2x}- int { LEFT ( 2x TIMES { 1} over { 2}e^{2x} RIGHT ) }dx]

[eqn: = { 1} over { 2}x^{2}e^{2x}-int{xe^{2x} }`dx]

[eqn: int{xe^{2x} }`dx]에서 [eqn: p(x)=x, ~q'(x)=e^2x}]으로 놓으면

[eqn: p'(x)=1, ~q(x)= { 1} over { 2} e^{2x]이므로

[eqn: int{xe^{2x} }`dx=x TIMES { 1} over {2 }e^{2x}- int { LEFT ( 1 TIMES { 1} over { 2}e^{2x} RIGHT ) }`dx]

[eqn: ={ 1} over {2 }xe^{2x}- { 1} over {4 }e^{2x}+C_1] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

즉, [eqn: f(x)={ 1} over {2 }x^{2}e^{2x}- LEFT ( { 1} over {2 }xe^{2x}- { 1} over {4 }e^{2x}+C_1 RIGHT )]

[eqn: ={ 1} over { 4}e^{2x}(2x^{2}-2x+1)+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

그런데 [eqn: f(0)= { 1} over { 4} (0-0+1)+C={ 1} over { 4}]에서

[eqn: C=0]

[eqn: f(x)= { 1} over {4 }e^{2x}(2x^{2}-2x+1)]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=e^{2x]이 만나는 점의 x좌표는 방정식 [eqn: { 1} over {4 }e^{2x}(2x^{2}-2x+1)=e^{2x}]의 실근이다.

[eqn: e^{2x}(2x^{2}-2x+1)=4e^{2x}]

[eqn: e^{2x}(2x^{2}-2x-3)=0]  	…… ㉠

그런데 [eqn: e^{2x}>0]이므로 방정식 ㉠의 실근은 이차방정식

[eqn: 2x^{2}-2x-3=0]의 실근과 같다.

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=e^{2x]이 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: -{ 3} over { 2}]이다.

14. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: xf(x)=x`ln`x+ int _{e } ^{x } {f(t)` dx}]를 만족시킬 때, [eqn: f(e^{3} )]의 값은?

[eqn: xf(x)=x`ln`x+ int _{e } ^{x } {f(t)` dx}]	…… ㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+x f'(x)=ln`x+1+f(x)]

[eqn: f'(x)= { ln`x} over {x }+ { 1} over {x }]이므로

[eqn: f(x)= int{ f'(x)}dx]

[eqn: = int{ LEFT ( { ln`x} over {x }+ { 1} over {x } RIGHT ) }dx]

[eqn: = int{ { ln`x} over {x } }dx+ int{{ 1} over {x }}dx]

[eqn: int{ { ln`x} over {x } }dx]에서 [eqn: ln`x=t]로 놓으면 [eqn: { dt} over {dx }= { 1} over {x }]이므로

[eqn: int{ { ln`x} over {x } }dx= int _{ } ^{ } { t`dt}= { 1} over {2 }t^{2}+C_{1}] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: = {1} over {2} (ln`x) ^{2} +C _{1}]

따라서 [eqn: f(x)= {1} over {2} (ln`x) ^{2} +ln`x+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

…… ㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=e]를 대입하면

[eqn: e`f(e)=e, ~f(e)=1]

㉡에서 [eqn: f(e)= { 1} over {2 }+1+C]이므로

[eqn: { 3} over {2 }+C=1]에서 [eqn: C=- { 1} over { 2}]

따라서 [eqn: f(x)= { 1} over {2 }(ln`x)^{2}+ln`x- { 1} over { 2}]이므로

[eqn: f(e^{3})= { 1} over {2 } TIMES3^{2}+3- { 1} over {2 }=7]

15. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{ x->0} { { f(x)} over { x} }=3]

(나) [eqn: f'(x)=(x+1) sqrt { x^{2}+2x+a}] (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: a+f( sqrt { a})]의 값은?

조건 (가)에서

[eqn: f(0)=0, ~f'(0)=3]

조건 (나)에서

[eqn: f'(0)= sqrt { a} =3]이므로 [eqn: a=9]

[eqn: f(x)= int{ (x+1) sqrt { x^{2}+2x+9}}dx]

[eqn: x^{3}+2x+9=t]로 놓으면

[eqn: { dt} over {dx }=2x+2=2(x+1)]이므로

[eqn: int{ (x+1) sqrt { x^{2}+2x+9}}dx]

[eqn: =int { { 1} over {2 } sqrt { t} }dt]

[eqn: =int { { 1} over {2 }t^{ { 1} over {2 }} }dt]

[eqn: ={ 1} over { 2} TIMES { 2} over {3 }t^{ {3 } over { 2}}+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: ={ 1} over {3 }t sqrt { t}+C]

에서

[eqn: f(x)= { 1} over { 3}(x^{2}+2x+9) sqrt {x^{2}+2x+9}+C]

그런데 [eqn: f(0)=0]이므로

[eqn: { 1} over { 3} TIMES 9 TIMES sqrt { 9} +C=0]에서

[eqn: C=-9]

따라서 [eqn: f(x)= { 1} over { 3}(x^{2}+2x+9) sqrt {x^{2}+2x+9}-9]이므로

[eqn: a+f( sqrt { a} )=9+f(3)]

[eqn: =9+ { 1} over {3 } TIMES 24 TIMES sqrt { 24}-9]

[eqn: =16 sqrt { 6}]

16. 그림과 같이 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의  점 [eqn: P_k} LEFT ( { k pi} over { n} ,~sin { k pi} over {n } RIGHT )][eqn: (k=1, ~2, ~3,` CDOTS ,~n)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: Q_{k]라 하고 점 [eqn: P_{k}(k=1, ~2,~ 3,` CDOTS , ~n-1)]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: R_{k]라 하자.

두 삼각형 [eqn: OP_{k}Q_k},~ OP_{k}R_k}]의 넓이를 각각 [eqn: S_{k}, ~T_{k}]라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} LEFT (S_{k}-T_{k} RIGHT ) }]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이고, [eqn: T_{n}=0]이다.)

[eqn: f(x)=sin`x]라 하면

[eqn: f'(x)=cos`x]

[eqn: f' LEFT ( { k pi} over {n } RIGHT )=cos { k pi} over {n }]이므로 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의

점 [eqn: P_k} LEFT ( { k pi} over { n} ,~sin { k pi} over {n } RIGHT )][eqn: (k=1, ~2, ~3,` …,~n)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-sin { k pi} over { n}= LEFT (cos { k pi} over { n} RIGHT )LEFT (x- { k pi} over { n} RIGHT )]

[eqn: y= LEFT (cos { k pi} over { n} RIGHT )LEFT (x- { k pi} over { n} RIGHT )+sin { k pi} over { n}]

[eqn: = LEFT (cos { k pi} over { n} RIGHT )x- { k pi} over { n}+cos { k pi} over { n}+sin { k pi} over { n}]

이 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: Q_k]는

[eqn: Q_{k} LEFT ( 0,~ -{k pi } over {n } cos{k pi } over {n }+sin{k pi } over {n } RIGHT )]이므로

[eqn: S_k}= { 1} over {2 } LEFT ( -{k pi } over {n } cos{k pi } over {n }+sin{k pi } over {n } RIGHT ){k pi } over {n } (k=1,` 2,` 3, `CDOTS,` n)]

또한 점 [eqn: P_{k}(k=1, ~2,~ 3,` CDOTS , ~n-1)]은 [eqn: P_k} LEFT ( { k pi} over { n} ,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: T_k}= { 1} over {2 } TIMES { k pi} over {n } TIMESsin { k pi} over {n }` (k=1, ~2,~ 3,` CDOTS , ~n-1)]

이때 [eqn: T_{n}=0]이므로

[eqn: T_k}= { 1} over {2 } TIMES { k pi} over {n } TIMES sin` { k pi} over {n } (k=1, ~2,~ 3,` CDOTS , ~n)]

따라서

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} LEFT (S_{k}-T_{k} RIGHT ) }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over { 2} LEFT (-{k pi } over {n } cos{k pi } over {n } RIGHT ) } {k pi } over {n }]

이때 [eqn: { k} over {n }=x_k},~ { 1} over {n }= DELTA x]로 놓으면

함수는 [eqn: y=- pi^{2}over {2} x^{2}`cos `pi x]이므로 정적분의 정의에 의하여

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over { 2} LEFT (-{k pi } over {n } cos{k pi } over {n } RIGHT ) } {k pi } over {n }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { { 1} over {n } sum _{ k=1} ^{ n} LEFT {- { pi^{2}} over {2 } LEFT ( { k} over { n}RIGHT ) ^{2} `cos { k pi} over { n} TIMES { 1} over { n} RIGHT }]

[eqn: =- { pi^{2}} over {2 } int _{ 0} ^{ 1} { x^{2}`cos`pi x`dx}]

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x^{2}`cos`pi x`dx}]에서 [eqn: u(x)=x^{2},~ v'(x)=cos`pix]로 놓으면

[eqn: u'(x)=2x], [eqn: v(x)= { 1} over { 2} `sin` pi x]이므로

[eqn: =- { pi^{2}} over {2 } int _{ 0} ^{ 1} { x^{2}`cos`pi x`dx}]

[eqn: =- { pi^{2}} over {2 } LEFT { LEFT [ { 1} over {pi }x^{2}`sin`pix RIGHT ]_{0}^{1}- { 2} over { pi} int _{ 0} ^{1 } { { x`sin`pi x`dx}} RIGHT }]

[eqn: =pi int _{ 0} ^{ 1} { x`sin`pix`dx}]

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x`sin`pix`dx}]에서 [eqn: p(x)=x, ~q'(x)=sin `pix]로 놓으면

[eqn: p'(x)=1], [eqn: q(x)=- { 1} over {pi } `cos` pix]이므로

[eqn: pi int _{ 0} ^{ 1} { x`sin`pix`dx}]

[eqn: = piLEFT { LEFT [ -{ 1} over {pi }x`sin`pix RIGHT ]_{0}^{1}- { 1} over { pi} int _{ 0} ^{1 } { { cos`pi x`dx}} RIGHT }]

[eqn: = piLEFT { { 1} over {pi }+ { 1} over {pi^{2} }LEFT [sin`pix RIGHT ]_{0}^{1} RIGHT }]

[eqn: = pi LEFT ( { 1} over { pi}+0 RIGHT )]

[eqn: =1]

17. 함수 [eqn: f(x)=(x+1)^{2}]이다. [eqn: 0] 이상의 실수 [eqn: a]에 대하여 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: |`f(x)-a`|`+a GEQ kx]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 [eqn: g(a)]라 하자. [eqn: int _{ 0} ^{9 } { g(a)da}= { q} over {p }+2`ln`2]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[eqn: f(x)=(x+1)^{2}]에서

[eqn: f'(x)=2(x+1)]

원점 [eqn: O]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 접점을

[eqn: (t, ~(t+1)^{2})]으로 놓으면 접선의 방정식은

[eqn: y-(t+1)^{2}=2(t+1)(x-t)]

접선이 원점을 지나므로 위의 식에 [eqn: x=0, ~y=0]을 대입하면

[eqn: -(t+1)^{2}=-2t(t+1)]

[eqn: t^{2}-1=0]

[eqn: (t+1)(t-1)=0]

[eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=1]

[eqn: f'(-1)=0, ~f'(1)=4]

(i) [eqn: a=0]일 때

[그림 1]과 같이 [eqn: 0 LEQ k LEQ 4]이므로

[eqn: g(a)=4]

(ii) [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]일 때

[그림 2]와 같이 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 4]이므로

[eqn: g(a)=4]

(iii) [eqn: a>4]일 때

[eqn: h(x)=f(x)(x GEQ -1)]로 놓으면 [그림 3]과 같이 [eqn: k]의 최댓값은 직선 [eqn: y=kx]가 점 [eqn: (h^{-1}(a),~ a)]를 지날 때      이므로

[eqn: g(a)= { a} over {h^{-1}(a) }]

따라서 [eqn: int _{0} ^{9} {g(a)`da} = int _{0} ^{4} {4`da}+ int _{0} ^{9} { { a} over { h^{-1}(a)} `da}]

그런데 [eqn: a=h(x)]에서 [eqn: { da} over { dx}=h'(x)]이고

[eqn: h(1)=4,~ h(2)=9]이므로

[eqn: int _{0} ^{9} {g(a)`da}]

[eqn: =int _{0} ^{4} {4`da}+ int _{0} ^{9} { { a} over { h^{-1}(a)} `da}]

[eqn: =16+ int _{ 1} ^{2 } { {h(x) } over {x }h'(x)`dx }]

[eqn: =16+ int _{ 1} ^{2 } {LEFT { { (x+1)}^{2} over { x} TIMES 2(x+1) RIGHT }}`dx]

[eqn: =16+2 int _{ 1} ^{2 } {{ (x+1)}^{3} over { x} dx]

[eqn: =16+2 int _{ 1} ^{2 } { LEFT ( x^{2}+3x+3+ { 1} over {x } RIGHT ) } dx]

[eqn: =16+2 { LEFT [ { 1} over { 3} x^{3}+ { 3} over {2 }x^{2}+3x+ln`|`x`|` RIGHT ]_{1}^{2}]

[eqn: =16+2 LEFT { LEFT ( { 8} over {3 }+6+6+ln`2 RIGHT )- LEFT ( { 1} over {3 }+ { 3} over { 2}+3+0 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: ={ 107} over { 3}+2`ln`2]

따라서 [eqn: p=3, ~q=107]이므로

[eqn: p+q=3+107=110]

{참고}

[eqn: a GEQ 4]일 때

[eqn: a=(x+1)^{2}(x GEQ -1)]에서 [eqn: x= sqrt { a} -1]이므로

[eqn: g(a)= { a} over { sqrt { a}-1 }]로 놓으면

[eqn: a=(s+1)^{2}]

[eqn: { da} over {ds }=2(s+1)]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: s=1, ~a=9]일 때 [eqn: s=2]이므로

[eqn: int _{4} ^{9} { { a} over { sqrt { a}-1 } `da}]

[eqn: =2 int _{ 1} ^{ 2} { {(s+1)^{3} } over { s} }ds]

[eqn: =2 int _{ 1} ^{ 2} { LEFT (s^{2}+3s+3+ { 1} over { s} RIGHT ) }ds]

[eqn: =2 LEFT [ { 1} over {3 }s^{3}+ { 3} over { 2}s^{2}+3s+ln`|`s`|` RIGHT ]_{1}^{2}]

[eqn: =2 LEFT { LEFT ( { 8} over {3 }+6+6+ln`2 RIGHT )- LEFT ( { 1} over {3 }+ { 3} over { 2}+3+0 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: ={ 59} over {3 }+2`ln`2]

{참고}

함수 [eqn: y=|`f(x)-a`|+a]의 그래프는 곡선 [eqn: y=f(x)]에서

직선 [eqn: y=a]의 윗부분은 그대로 두고, 아랫부분은 직선 [eqn: y=a]에 대하여 대칭이동시킨 그래프이다.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

18. 그림과 같이 원점을 지나는 직선 [eqn: l]이 함수 [eqn: y= { x^{2}-1} over {x^{3} }]의 그래프와 제[eqn: 1]사분면과 제[eqn: 3]사분면에서 각각 한 점에서 접한다. 곡선 [eqn: y= { x^{2}-1} over {x^{3} }]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: l]로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는?

[eqn: f(x)= { x^{2}-1} over {x^{3} }]이라 하면 [eqn: f(-x)=-f(x)]이므로 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(x)= { x^{2}-1} over {x^{3} }]에서

[eqn: f'(x)= { 2x TIMESx^{3}-(x^{2}-1) TIMES 3x^{2} } over {x^{6} }]

[eqn: = {3-x^{2} } over {x^{4} }]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: l]이 제[eqn: 1]사분면에서 접하는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y- { alpha^{2}-1} over { alpha^{3}}= { 3-alpha^{2}} over { alpha^{4}}(x-alpha)]

즉, [eqn: y= { 3-alpha^{2}} over { alpha^{4}}x-{ 4-2alpha^{2}} over { alpha^{3}}]	…… ㉠

직선 ㉠이 원점을 지나므로

[eqn: { 4-2alpha^{2}} over { alpha^{3}}=0]

[eqn: alpha^{2}=2]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= sqrt { 2}]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y= { 1} over {4 }x]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=2 LEFT ( { 1} over {2 } TIMES sqrt { 2} TIMES { sqrt { 2} } over {4 }- int _{ 1} ^{ sqrt { 2} } { { x^{2}-1} over { x^{3}} } dx RIGHT )]

[eqn: = { 1} over {2 } -2 int _{ 1} ^{ sqrt { 2} } { LEFT ( { 1} over { x}- { 1} over {x^{3} } RIGHT ) }dx]

[eqn: = { 1} over {2 } -2 LEFT [`ln`|`x`|+ { 1} over {2x^{2} } RIGHT ]_{1}^{ sqrt { 2}}]

[eqn: = { 1} over {2 } -2 LEFT { LEFT ( { 1} over {2 }`ln`2+ { 1} over {4 } RIGHT )- LEFT ( 0+ { 1} over {2 } RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1-ln`2]