2018 수능 특강

Ⅲ. 미분법

Navi : One Pass on Effort

1. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} +e ^{2x}]에 대하여 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때, [eqn: g`prime(2)]의 값은?

[eqn: f(x)=e ^{x} +e ^{2x}]에서 [eqn: f`'(x)=e ^{x} +2e ^{2x}] 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(`f(2x))=x]……㉠ ㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: g prime (`f(2x))f prime (2x)times2=1]……㉡

이때 [eqn: g`'(2)]의 값은 방정식 [eqn: f(2x)=2]의 해를 ㉡에 대입하여 구할 수 있다. [eqn: f(2x)=2]에서

[eqn: e ^{2x} +e ^{4x} =2````````(e ^{2x} +1)(e ^{2x} -1)=0]  [eqn: e ^{2x} +2>2]이므로 [eqn: e ^{2x} -1=0,``x=0]

따라서 ㉡의 양변에 [eqn: x=0`#]을 대입하면 [eqn: g prime (`f(0))f prime (0)times2=1]

이때 [eqn: f(0)=2, f '(0)=3]이므로

[eqn: g prime (2)= {1} over {2f prime (0)} = {1} over {2` TIMES 3} = {1} over {6}]

2. 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {g(x)} over {f(x)} = {2f(x)} over {f(x)+g(x)} +2](단, [eqn: f(x)`!=0,`f(x)+g(x)`!=0])

을 만족시키고 [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-2} over {x-1} =2`ln`2}]일 때, [eqn: {g`prime(1)} over {g(1)}]의 값은?

[eqn: {g(x)} over {f(x)} = {2f(x)} over {f(x)+g(x)} +2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: {g` prime (x)f(x)-g(x)f` prime (x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = {2f` prime (x) LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } -2f(x) LEFT { f` prime (x)+g` prime (x) RIGHT }} over {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } ^{2}}][eqn: = {2f` prime (x)g(x)-2f(x)g` prime (x)} over {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } ^{2}}]

이므로

[eqn: {f(x)g` prime (x)-f` prime (x)g(x)} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} +2` TIMES ` {f(x)g` prime (x)-`f` prime (x)`g(x)} over {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } ^{2}} `=0]

[eqn: LEFT { f(x)g` prime (x)-f` prime (x)g(x) RIGHT } LEFT [ {1} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} + {2} over {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } ^{2}} RIGHT ] =0]

이때[eqn: {1} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} + {2} over {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } ^{2}} >0] 이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)g`prime(x)-f`prime(x)g(x)=0] ……㉠ 이 성립한다.

[eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-2} over {x-1}} =`2ln2]에서 [eqn: x -> 1]일 때 [eqn: (분모) -> 0]이므로 [eqn: (분자) -> 0]이어야 한다. 즉, [eqn: lim _{x-> 1} {LEFT { f(x)-2 RIGHT }} =0]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로 [eqn: lim _{x-> 1} {LEFT { f(x)-2 RIGHT } =f(1)-2=0}]에서 [eqn: f(1)=2]

이때 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-2} over {x-1} =} lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} =f`prime(1)]이므로 [eqn: f`prime(1)=2`ln2] ㉠의

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1)g` prime (1)-f` prime (1)g(1)=0] [eqn: 2g` prime (1)-(2`ln`2)g(1)=0]

따라서 [eqn: {g`prime(1)} over {g(1)} =`ln2]

2. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하고 이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(1-x)+f(1+x)=0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(1-x)]의 역함수가 존재하고 이 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(1-x)+f(1+x)=0]을 만족시키므로 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(1)+f(1)=0`````f(1)=0] 또한 함수 [eqn: f(1-x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(f(1-x))=x] ……㉠

㉠에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: g(f(1))=g(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: f(1-x)+f(1+x)=0]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f prime (1-x)(1-x) prime +f prime (1+x)(1+x) prime =0]

[eqn: -f prime (1-x)+f prime (1+x)=0]……㉡ ㉡의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: -f prime prime (1-x)(1-x) prime +f prime prime (1+x)(1+x) prime =0]

[eqn: f prime prime (1-x)+f prime prime (1+x)=0]……㉢ ㉢에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f prime prime (1)+f prime prime (1)=0] [eqn: f prime prime (1)=0] (참)

ㄷ. ㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: g prime (f(1-x))f prime (1-x) TIMES (1-x) prime =1````# g prime (f(1-x))f prime (1-x)=-1]

이때 ㉡에서 [eqn: f prime (1-x)=f prime (1+x)]이므로 [eqn: g prime (f(1-x))f prime (1+x)=-1] ……㉣  ㉣에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g prime (f(0))f prime (2)=-1] (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: g(0)=0]    ㄴ.[eqn: f prime prime (1)=0]   ㄷ. [eqn: g`prime(f(0))f`prime(2)=-1]

3. 점 [eqn: LEFT ( 1,-1 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x sqrt {x}]에 그은 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a-b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,b]는 상수이다.)

[eqn: f(x)=x sqrt {x} =x ^{{3} over {2}}]이라 하면

[eqn: f`prime(x)= {3} over {2} x ^{{1} over {2}} = {3} over {2} sqrt {x}]

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,t sqrt {t} RIGHT )]라 하면

이 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: f` prime (t)= {3} over {2} sqrt {t}] 이므로 접선의 방정식은

[eqn: f`prime(t)= {3} over {2} sqrt {t} (x-t)]……㉠

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 1,-1 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: -1-t sqrt {t} = {3} over {2} sqrt {t} (1-t)]

[eqn: t sqrt {t} -3 sqrt {t} -2=0]  ……㉡

[eqn: sqrt {t} =X`(X GEQ 0)]이라 하면 ㉡은

[eqn: X ^{3} -3X-2=0]

[eqn: (X-2)(X+1) ^{2} =0]  [eqn: X GEQ 0]이므로 [eqn: X=2]

따라서 [eqn: t=4]이고, 이를 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은

[eqn: y=3x-4]

따라서 [eqn: a=3,`b=-4]이므로

[eqn: a-b=3-(-4)=7]

4. 곡선 [eqn: y=e ^{x} =x ^{2} -1] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( t,`e ^{t} -t ^{2} -1 RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편을 [eqn: f(t)]라 할 때, 함수 [eqn: f(t)]의 극댓값은?

[eqn: g(x)=e ^{x} -x ^{2} -1]이라 하면 [eqn: g`prime(x)=e ^{x} -2x]이므로 [eqn: g`prime(t)=e ^{t} -2t] 즉, 곡선 [eqn: y=e ^{x} -x ^{2} -1]위의 점 [eqn: LEFT ( t,`e ^{t} -t ^{2} -1 RIGHT )]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-(e ^{t} -t ^{2} -1)=(e ^{t} -2t)(x-t)```````# ~y=(e ^{t} -2t)x+(1-t)e ^{t} +t ^{2} -1]

이때 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편은[eqn: (1-t)e ^{t} +t ^{2} -1]이므로

[eqn: f(t)=(1-t)e ^{t} +t ^{2} -1`````# f` prime (t)=-e ^{t} +(1-t)e ^{t} +2t=-t(e ^{t} -2)]

[eqn: f`prime(t)=0]에서 [eqn: t=0]또는 [eqn: t=`ln2]함수 [eqn: f(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: ln2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime (t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=0]에서 극소이고, [eqn: t=`ln2]에서 극대이다. 따라서 함수 [eqn: f(t)]의 극댓값은

[eqn: f(ln`2)=(1-ln`2)` TIMES `e ^{ln2} +(ln2) ^{2} -1# =(1-ln`2)` TIMES `2+(ln2) ^{2} -1# =(ln2) ^{2} -2`ln`2+1# =(ln2`-1) ^{2}]

5. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=- {1} over {x} (x<0)] 위의 점 [eqn: ALPHA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=-ln`x]와 만나는 점을 [eqn: B]라 하자. 두 점 [eqn: ALPHA],[eqn: B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: A`prime,B`prime]라 할 때, [eqn: AA`primeB`primeB]의 넓이의 최댓값은?

곡선 [eqn: y=- {1} over {x} (x<0)] 위의 점 [eqn: ALPHA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,- {1} over {t} RIGHT ) (t<0)]이라 하면 점 [eqn: A]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=-`ln`x]와 만나는 점의 [eqn: x]좌표는  [eqn: - {1} over {t} =-`lnx] [eqn: x=e ^{{1} over {t}}] 즉, 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( e ^{{1} over {t}} ,- {1} over {t} RIGHT )]이다. 따라서 선분 [eqn: AB]의 길이는 [eqn: e ^{{1} over {t}} -t]이고, 선분[eqn: AA`prime]의 길이는 [eqn: - {1} over {t}]이므로 직사각형 [eqn: AA`primeB`primeB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

[eqn: S(t)=(e ^{{1} over {t}} -t)` TIMES ` LEFT ( - {1} over {t} RIGHT ) =1- {e ^{{1} over {t}}} over {t} ``````# S` prime (t)=- {(e ^{{1} over {t}} )` prime `t-e ^{{1} over {t}} (t)` prime } over {t ^{2}}# =- {(-e ^{{1} over {t}} t ^{-2} )t-e ^{{1} over {t}}} over {t ^{2}}# = {{e ^{{1} over {t}}} over {t} +e ^{{1} over {t}}} over {t ^{2}}# = {e ^{{1} over {t}} (1+t)} over {t ^{3}}]

[eqn: S`prime(t)=0]에서 [eqn: t=-1] [eqn: t<0]에서 함수 [eqn: S(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: (0)]
[eqn: S`` prime (t)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S``(t)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: S(t)]는 [eqn: t=-1]에서 극대이면서 최대이다. 따라서 직사각형 [eqn: AA`primeB`primeB]의 넓이의 최댓값은 [eqn: S(-1)=1- {e ^{-1}} over {-1} =1+ {1} over {e}]

6. [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: e ^{sin`x+cos`x} =k]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: alpha<k<beta]또는 [eqn: beta<k<r]일 때, [eqn: alpha beta r]의 값은?

[eqn: f(x)=e ^{sin`x+cos`x} ,`g(x)=k]라 하면

[eqn: f prime (x)=e ^{sin`x+cos`x} (cos`x-sinx)]

[eqn: f`prime(x)=0]에서

[eqn: cos`x-`sinx=0,`cosx=`sinx,`tanx=1]

이때 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2`pi]이므로

[eqn: x= {pi} over {4}]또는 [eqn: x= {5`pi} over {4}]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2`pi]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {4}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {5pi } over {4}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2pi]
[eqn: f prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: f(0)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: f(2pi)]

이때 [eqn: f(0)=e ^{0+1} =e,`f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =e ^{{sqrt {2}} over {2} + {sqrt {2}} over {2}} =e ^{sqrt {2}}],

[eqn: f LEFT ( {5` pi } over {4} RIGHT ) =e ^{- {sqrt {2}} over {2} + LEFT ( - {sqrt {2}} over {2} RIGHT )} =e ^{- sqrt {2}} ,``f(2`pi)=e ^{0+1} =e]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 두 함수 [eqn: y=f(x),`y=g(x) _{}]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 2]이어야 하므로 이를 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 범위는

[eqn: e ^{- sqrt {2}} <k<e]또는 [eqn: e<k<e ^{sqrt {2}}]

따라서 [eqn: alpha =e ^{- sqrt {2}} ,` beta =e,` gamma =e ^{sqrt {2}}]이므로

[eqn: alpha beta gamma =e ^{- sqrt {2}} `times`e`times`e ^{sqrt {2}} =e]

7. 곡선 [eqn: y= {x ^{2} +1} over {x ^{2} +3}]의 두 변곡점에서의 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan` theta = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: f(x)= {x ^{2} +1} over {x ^{2} +3}]이라 하면 [eqn: f(x)= {(x ^{2} +3)-2} over {x ^{2} +3} =1- {2} over {x ^{2} +3}]이므로 [eqn: f`prime(x)=- {-2`times`2x} over {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT ) ^{2}} = {4x} over {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT ) ^{2}}] [eqn: f prime prime (x)= {4(x ^{2} +3) ^{2} -4x` TIMES 2(x ^{2} +3)` TIMES 2x} over {(x ^{2} +3) ^{4}}# =- {12(x ^{2} -1)} over {(x ^{2} +3) ^{3}} =- {12(x+1)(x-1)} over {(x ^{2} +3) ^{3}}]

[eqn: f prime prime (x)=0]에서 [eqn: x=-1]또는 [eqn: x=1] 이때 [eqn: x=-1]과 [eqn: x=1]의 좌우에서 각각 [eqn: f prime prime (x)]의 부호가 바뀌므로 두 점 [eqn: LEFT ( -1,`f(-1) RIGHT ) ,` LEFT ( 1,`f(1) RIGHT )]은 모두 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

[eqn: f prime (-1)= {-4} over {(1+3) ^{2}} =- {1} over {4}], [eqn: f prime (1)= {4} over {(1+3) ^{2}} = {1} over {4}] 이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 두 점 [eqn: LEFT ( -1,`f(-1) RIGHT ) ,` LEFT ( 1,`f(1) RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: theta _{1,`} theta _{2}]라 하면 [eqn: tan theta _{1} =- {1} over {4} ,`tan theta _{2} = {1} over {4}] [eqn: tan theta = LEFT | tan( theta _{1} - theta _{2} RIGHT | = LEFT | {- {1} over {4} - {1} over {4}} over {1+ LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) ` TIMES {1} over {4}} RIGHT | = {{1} over {2}} over {{15} over {16}} = {8} over {15}]

따라서 [eqn: p=15,``q=8]이므로 [eqn: p+q=23]

8. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)=x(ln`x-3)`,`g(x)=e ^{2`cos`x+3}]에 대하여 합성함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: {M} over {m}]의 값은?

모든 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1 LEQ cos`x LEQ 1]이므로 [eqn: -2 LEQ 2cos`x LEQ 2,`1 LEQ 2cos`x+3 LEQ 5]

[eqn: e ^{1} LEQ e ^{2cos`x`+3} LEQ e ^{5}], 즉 [eqn: e LEQ g(x) LEQ e ^{5}] ……㉠ [eqn: f(x)=x(ln`x-3)]에서 [eqn: f`prime(x)=1`times(ln`x-3)+x`times` {1} over {x} =ln`x-2] [eqn: f`prime(x)=0]에서 [eqn: x=e ^{2}] [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e ^{2}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: g(x)=t]라 하면 ㉠에서 [eqn: e LEQ t LEQ e ^{5}]이고 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (x)=f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f(t)=t LEFT ( ln`t-3 RIGHT )]

이때 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=e ^{2}]에서 극소이고 [eqn: f(e)=e(ln`e-3)=-2e], [eqn: f(e ^{2} )=e ^{2} (ln`e ^{2} -3)=-e ^{2}], [eqn: f(e ^{5} )=e ^{5} (ln`e ^{5} -3)=-2e ^{5}] 이므로 [eqn: e LEQ t LEQ e ^{5}]에서  [eqn: f(t)], 즉 합성함수 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (x)]의 최대값은 [eqn: M=2e ^{5}], 최솟값은 [eqn: m=-e ^{2}] 따라서 [eqn: {M} over {m} = {2e ^{5}} over {-e ^{2}} =-2e ^{3}]

9. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{n} e ^{-x} =1]([eqn: n]은 자연수)의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n)]의 값은? (단, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim _{x-> INF } {x ^{n} e ^{-x}} =0]이다.)

[eqn: g _{n} (x)=x ^{n} e ^{-x}]이라 하면 [eqn: n=1]일 때 [eqn: g _{1} `prime(x)=e ^{-x} +x(-e ^{-x} )=-e ^{-x} (x-1)]

이므로 [eqn: g _{1} `prime(x)=0]에서 [eqn: x=1] [eqn: n GEQ 2]일 때 [eqn: g _{n} ` prime (x)=nx ^{n-1} e ^{-x} +x ^{n} (-e ^{-x} )=-x ^{n-1} e ^{-x} (x-n)] 이므로 [eqn: g _{n} ` prime (x)=0]에서 [eqn: x=0]또는 [eqn: x=n]

(ⅰ)[eqn: n=1]일 때, 함수 [eqn: g _{1} (x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g _{1} prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g _{1} (x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅱ) [eqn: n]이 [eqn: 1]이 아닌 홀수일 때, 함수 [eqn: g _{n} (x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: n]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g _{n} prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g _{n} (x)]	[eqn: NEARROW]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅲ) [eqn: n]이 짝수 일 때, 함수 [eqn: g _{n} (x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: n]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g _{n} prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g _{n} (x)]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 함수 [eqn: g _{n} (x)]는 [eqn: n]의 값에 관계없이 [eqn: x=n]에서 극댓값 [eqn: g _{n} (x)]을 갖는다.

이때 [eqn: lim _{x-> INF } {g _{n}} (x)= lim _{x-> INF } {x ^{n} e ^{-x}} =0]이고,[eqn: lim _{x-> - INF } {g _{n} (x)} = lim _{x-> - INF } {x ^{n} e ^{-x}}]에서 [eqn: x=-t]라 하면

[eqn: x -> - INF]일 때 [eqn: t -> INF]이므로 [eqn: lim _{x-> - INF } {x ^{n} e ^{-x}} = lim _{t-> INF } {(-t) ^{n} e ^{t}}] 따라서 [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: lim _{x -> - INF } {g _{n} (x)} =- INF]이고 [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: lim _{x -> - INF } {g _{n} (x)} = INF] 이므로 함수 [eqn: y=g _{n} (x)]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

(ⅰ)[eqn: n=1]일 때

(ⅱ) [eqn: n]이 [eqn: 1]이 아닌 홀수일 때

(ⅲ) [eqn: n]이 짝수 일 때

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: n]의 값에 따라 다음과 같다.

[eqn: n=1]일 때,[eqn: g _{1} (1)=1 ^{1} e ^{-1} = {1} over {e}]이고 [eqn: 2<e<3]이므로 [eqn: g _{1} (1)<1]이다. 따라서 [eqn: f(1)=0]이다.

[eqn: n=2]일 때,[eqn: g _{2} (2)=2 ^{2} e ^{-2} = {4} over {e ^{2}}]이고 [eqn: 4<e ^{2} <9]이므로 [eqn: g _{2} (2)<1]이다. 따라서 [eqn: f(2)=1]이다.

[eqn: n=3]일 때,[eqn: g _{3} (3)=3 ^{3} e ^{-3} = {27} over {e ^{3}}]이고 [eqn: 8<e ^{3} <27]이므로 [eqn: g _{3} (3)<1]이다. 따라서 [eqn: f(3)=2]이다.

[eqn: n=4]일 때,[eqn: g _{4} (4)=4 ^{4} e ^{-4} = {256} over {e ^{4}}]이고 [eqn: 16<e ^{4} <81]이므로 [eqn: g _{4} (4)<1]이다. 따라서 [eqn: f(4)=3]이다. 마찬가지 방법으로[eqn: f(5)=f(7)=f(9)=2,`f(6)=f(8)=f(10)=3] 이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n)=0+1+2+3+2+3+2+3+2+3=21]

10. [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: x ^{{1} over {n}} `ln`x GEQ p]([eqn: n]은 자연수)가 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: p]의 최댓갑을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은?

[eqn: f _{n} (x)=x ^{{1} over {n}} `lnx]라 하면 [eqn: f _{n} prime (x)= {1} over {n} x ^{{1} over {n} -1} `lnx+x ^{{1} over {n}} ` TIMES {1} over {x} =x ^{{1} over {n} -1} LEFT ( {1} over {n} `ln`x+1 RIGHT )]  [eqn: f _{n} `prime(x)=0]에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: {1} over {n} `ln`x`+1=0]   [eqn: x= {1} over {e ^{n}}] [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f _{n} (x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {e ^{n}}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f _{n} '(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f _{n} (x)]		[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: f _{n} (x)]는 [eqn: x= {1} over {e ^{n}}]에서 극소이면서 최소이고 [eqn: f _{n} LEFT ( {1} over {e ^{n}} RIGHT ) =- {n} over {e}]이므로 [eqn: x ^{{1} over {n}} `lnx GEQ - {n} over {e}] 즉, 실수 [eqn: p]의 최댓값은 [eqn: - {n} over {e}]이므로 [eqn: a _{n} =- {n} over {e}] 따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( - {n} over {e} RIGHT ) =- {1} over {e} sum _{n=1} ^{10} n=- {1} over {e} ` TIMES {10` TIMES 11} over {2} =- {55} over {e}]

2019 수능 특강

11. 양의 실수 전체의 집합에서 증가하고 이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]와 그 역함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: f(1)=0,~ f'(1)=2,~ f''(1)=-2]

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(f(x))-g'(0)} over {x-1 } }]의 값은? (단, [eqn: f'(x)!=0])

함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(`f(x))=x]이므로

이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(`f(x))f'(x)=1], 즉

[eqn: g'(`f(x))= { 1} over {f'(x) }(f'(x)!=0)]이다.

[eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(0)} over {x-1 } }]

[eqn: =lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(`f(1))} over {x-1 } }]

[eqn: =lim _{ x->1 } { { { 1} over {f'(x) }- { 1} over { f'(1)} } over {x-1 } }]

[eqn: h(x)= { 1} over { f'(x)}]로 놓으면

[eqn: h'(x)= -{ f''(x)} over { LEFT { f'(x) RIGHT } ^{2}}]

이므로

[eqn: lim _{ x->1 } { { { 1} over {f'(x) }- { 1} over { f'(1)} } over {x-1 } }=lim _{ x->1 } { {h(x)-h(1)} over {x-1 }]

[eqn: =h'(1)]

[eqn: ={ f''(1)} over { LEFT { f'(1) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: =- { -2} over { 2^{2}}= { 1} over {2 }]

{다른 풀이}

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(0)} over {x-1 } }]

[eqn: =lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(`f(1))} over {f(x)-f(1)} } TIMES lim _{ x->1 } { { f(x)-f(1)} over {x-1 } }]

[eqn: =lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(`f(1))} over {f(x)-f(1)} } TIMESf'(1)]

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(`f(1))} over {f(x)-f(1)} }]에서 [eqn: x`->`1]일 때

[eqn: f(x)`->`f(1)]이므로 [eqn: t=f(x)]로 놓으면 [eqn: t`->`0]이다.

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(`f(1))} over {f(x)-f(1)} }]

[eqn: =lim _{ x->1 } { {g'(t)-g'(0)} over {t} }]

[eqn: =g''(0)]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: f(1)=0]에서 [eqn: g(0)=1]이므로

[eqn: g'(0)= { 1} over {f'(`g(0)) }= { 1} over {f'(1) }= { 1} over {2 }]

또한 [eqn: g'(x)= { 1} over {f'(`g(x)) }]이므로 이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여

미분하면

[eqn: g''(x)=- { LEFT { f'(`g(x)) RIGHT }' } over { LEFT { f'(`g(x)) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: =- { f''(`g(x))`g'(x) } over { LEFT { f'(`g(x)) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: =- f''(`g(x))` LEFT { g'(x) RIGHT }^{3}]

이므로

[eqn: g''(0)=- f''(`g(0))` LEFT { g'(0) RIGHT }^{3}]

[eqn: =- f''(1)` LEFT { g'(0) RIGHT }^{3}]

[eqn: =- (-2) times LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )^{3}= { 1} over {4 }]

따라서

[eqn: lim _{ x->1 } { { g'(`f(x))-g'(0)} over {x-1 } }=g''(0) times f'(1)]

[eqn: ={ 1} over {4 } TIMES2= { 1} over { 2}]

12. 함수 [eqn: f(x)=x^{3}+7]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))]을 지나고, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))]에서의 접선과 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y=ax+b]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a, ~b]는 상수이다.)

[eqn: f(x)=x^{3}+7]에서 [eqn: f'(x)=3^{2}]

[eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)]의 역함수이므로

[eqn: g(8)=k]로 놓으면 [eqn: f(k)=8]

[eqn: f(x)=x^{3}+7]이므로 [eqn: f(k)=8]에서

[eqn: k^{3}+7=8]

[eqn: k^{3}=1]

[eqn: (k-1)(k^{2}+k+1)=0]

[eqn: k]는 실수이므로

[eqn: k=1], 즉 [eqn: g(8)=1]

따라서 [eqn: f'(1)=3]이므로 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))],

즉 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: g'(8)= { 1} over {f'(g(8)) }= { 1} over {f'(1) }= { 1} over { 3}]

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))], 즉 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 [eqn: -3]이므로 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y-1=-3(x-8)], 즉 [eqn: y=-3x+25]

따라서 [eqn: a=-3, ~b=25]이므로

[eqn: a+b=-3+25=22]

{다른 풀이}

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: P(p, ~q)]에서의 접선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: f'(p)]이고, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: Q(q, ~p)]에서의 접선 [eqn: m]의 기울기는 ,[eqn: g'(q)]이다.

[eqn: f(p)=q]에서 [eqn: g(q)=p]이므로

[eqn: g'(q)= { 1} over { f'(g(q))}= { 1} over {f'(p) }]

따라서 두 직선 [eqn: l,~ m]의 기울기는 서로 역수인 관계에 있다.

[eqn: g(8)=k]로 놓으면

[eqn: f(k)=8]

[eqn: k^{3}+7=8]

[eqn: k^{3}=1]

[eqn: (k-1)(k^{2}+k+1)=0]

[eqn: k]는 실수이므로 [eqn: k=1]

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))], 즉 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선의 기울기는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1, ~8)]에서의 접선의 기울기의 역수이다.

[eqn: f(x)=x^{3}+7]에서 [eqn: f'(x)=3x^{2}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 (1, 8)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=3이다.

따라서 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: { 1} over { 3}]이므로 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))], 즉 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 -3이다.

그러므로 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (8, ~g(8))], 즉 [eqn: (8, ~1)]에서의 접선과 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y-1=-3(x-8)], 즉 [eqn: y=-3x+25]

따라서 [eqn: a=-3, ~b=25]이므로

[eqn: a+b=-3+25=22]

13. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=3 sqrt { x}] 위의 점 [eqn: A(t^{2}, ~3t)]에서 직선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 [eqn: B]라 하자. 다음은 이 곡선 위의 점 [eqn: A]에서의 접선과 직선 [eqn: OB]가 만나는 점을 [eqn: P]라 할 때, 점 [eqn: P]의 좌표를 구하는 과정이다. (단, [eqn: O]는 원점이다.)

[eqn: y=3 sqrt { x}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: { dy} over { dx}=] (가) [eqn: (x>0)]

이므로 점 [eqn: A(t^{2},~ 3t)]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y=] (나) [eqn: x+ { 3t} over { 2}]   …… ㉠

이다. 점 [eqn: B(-1, ~3t)]이므로

직선 [eqn: OB]의 방정식은 [eqn: y=-3tx]      …… ㉡

이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 [eqn: P]의 좌표를 구하면 ([eqn: -] (다) , [eqn: 3t TIMES] (다) )이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(x),~ g(t),~ h(t)]라 할 때, [eqn: f(4) TIMES g(4) TIMES h(1)]의 값은?

[eqn: y=3 sqrt { x}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: { dy} over { dx}=][eqn: { 3} over { 2 sqrt { x} }] [eqn: (x>0)]

곡선 [eqn: y=3 sqrt { x}] 위의 점 [eqn: A(t^{2}, ~3t)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: { 3} over {2 sqrt { t^{2}} }= { 3} over {2t }]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3t= { 3} over { 2t}(x-t^{2})], 즉 [eqn: y=][eqn: { 3} over {2t }][eqn: x+ { 3t} over { 2}]	…… ㉠

점 [eqn: A]에서 직선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발 [eqn: B]의 좌표는

[eqn: B(-1, ~3t)]이므로 직선 [eqn: OB]의 방정식은

[eqn: y=-3tx]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: -3tx= { 3} over {2t }x+ { 3t} over { 2}]에서

[eqn: (2t^{2}+1)x=-t^{2}]이므로

[eqn: x= -{ t^{2}} over {2t^{2}+1 }]

이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: y= { 3t^{2}} over {2t^{2}+1 }]

그러므로 점 P의 좌표는

([eqn: -][eqn: { t^{2}} over { 2t^{2}+1}], [eqn: 3t TIMES][eqn: { t^{2}} over { 2t^{2}+1}] )

따라서 [eqn: f(x)={ 3} over {2 sqrt { x} }], [eqn: g(t)= { 3} over {2t }], [eqn: h(t)= { t^{2}} over {2t^{2}+1 }]이므로

[eqn: f(4) TIMES g(4) TIMES h(1)= { 3} over {2 sqrt { 4} } TIMES { 3} over { 2 TIMES4 } TIMES { 1} over {2+1 }]

[eqn: ={ 3} over { 4} TIMES { 3} over {8 } TIMES { 1} over { 3}= { 3} over { 32}]

14. 함수 [eqn: f(x)=x(ln`x)^{2}]은 [eqn: x=a]에서 극소이고, 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 좌표가 [eqn: (b, ~c)]일 때, [eqn: a+ { c} over {b }]의 값은?

[eqn: f(x)=x(ln`x)^{2}]에서

[eqn: f'(x)=(ln`x)^{2}+2x times ln`x times { 1} over { x}]

[eqn: =(ln`x)^{2}+2`ln`x]

[eqn: =(2+ln`x)ln`x]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: ln`x=-2] 또는 [eqn: ln`x=0]이므로

[eqn: x=e^{-2] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e^{-2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e^{-2]에서 극대이고, [eqn: x=1]에서 극소이다.

그러므로 [eqn: a=1]

[eqn: f'(x)=(2+ln`x)ln`x]에서

[eqn: f''(x)= { 1} over { x} TIMESln`x+(2+ln`x) TIMES { 1} over {x }]

[eqn: ={ 2(1+ln`x)} over { x}]

[eqn: f''(x)=0]에서 [eqn: ln`x=-1]이므로

[eqn: x=e^{-1]

[eqn: x=e^{-1]의 좌우에서 [eqn: f''(x)]의 부호가 바뀌므로

곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 좌표는 [eqn: (e^{-1}, ~e^{-1})]

따라서 [eqn: a=1, ~b=^{e-1}, ~c=e^{-1}]이므로

[eqn: a+ { c} over { b}=1+ { e^{-1}} over { e^{-1} }=1+1=2]

15. 방정식 [eqn: (x-4)^{2}=4e^{x-6}]의 서로 다른 실근의 개수는?

[eqn: (x-4)^{2}=4e^{x-6}]에서

[eqn: (x-4)^{2}e^{x-6}=4]

[eqn: f(x)=(x-4) ^{2} e^{-x+6}]으로 놓으면

[eqn: f'(x)=2(x-4)e^{-x+6}-(x-4)^{2}e^{-x+6}]

[eqn: =-(x-4)(x-6)e^{-x+6]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: e^{-x+6}>0]이므로

[eqn: (x-4)(x-6)=0], 즉 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=6]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 6]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극솟값 [eqn: f(4)=0]을 갖고, [eqn: x=6]에서 극댓값 [eqn: f(6)=2^{2}=4]를 갖는다.

[eqn: lim _{ x-> -inf} { f(x)}=lim_{ x-> -inf} {(x-4)^{2}e^{-x+6}}=inf]이고, 함수 [eqn: f(x)]는 열린 구간 [eqn: (6, ~inf)]에서 감소하므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=4]가 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 [eqn: f(x)=4], 즉 [eqn: (x-4)^{2}=4e^{x-6]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

16. 자연수 n에 대하여 곡선 [eqn: y=e^{nx-1}+1]과 직선 [eqn: y=nx-1] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: P]와 [eqn: Q]라 하자. 선분 [eqn: PQ]의 길이의 최솟값을 [eqn: a_{n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 } { 4} over {a_{n}`^{2} }]의 값은?

[eqn: f(x)=e^{nx-1}+1]로 놓으면

[eqn: f'(x)= n e^{nx-1}]

직선 [eqn: y=nx-1]과 평행하고 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 직선의 접점을 [eqn: (t, ~e^{nt-1}+1)]로 놓으면 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t, ~e^{nt-1}+1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f'(t)= n e^{nt-1}=n]이므로

[eqn: nt-1=0], 즉 [eqn: t= { 1} over {n }]

곡선 [eqn: y=e^{nx-1}+1] 위의 점 [eqn: LEFT ( { 1} over {n },~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-2=n LEFT ( x- { 1} over { n} RIGHT )], 즉 [eqn: y=nx+1]

선분 [eqn: PQ]의 길이의 최솟값 [eqn: a_{n]은 평행한 두 직선 [eqn: y=nx+1], [eqn: y=nx-1] 사이의 거리와 같다.

또한 평행한 두 직선 [eqn: y=nx+1], [eqn: y=nx-1] 사이의 거리는 직선 [eqn: y=nx+1] 위의 점 [eqn: (0, ~1)]과 직선 [eqn: nx-y-1=0] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: a_{n}= {|`-1-1`| } over { sqrt { n^{2}+(-1)^{2}} }= { 2} over { sqrt { n^{2}+1} }]

따라서

[eqn: sum _{ n=1} ^{10 } { 4} over {a_{n}`^{2} }= sum _{ n=1} ^{10 }(n^{2}+1)= { 10 TIMES11 TIMES21 } over {6 }+10 TIMES1]

[eqn: =385+10=395]

{참고}

방정식 [eqn: e^{nx-1}+1=nx-1]에서

[eqn: nx-1=t]로 놓으면

[eqn: e^{t}+1=t], 즉 [eqn: e^{t} -t+1=0]

[eqn: g(t)=e^{t}-t+1]로 놓으면

[eqn: g'(t)=e^{t}-1]

[eqn: g'(t)=0]에서 [eqn: t=0]

함수 [eqn: g(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g'(t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(t)]	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=0]에서 극소이면서 최소이다.

함수 [eqn: g(t)]의 최솟값은 [eqn: g(0)=2]이므로 [eqn: g(t)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: t]는 존재하지 않는다.

따라서 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: e^{nx-1}+1=nx-1]을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않으므로 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=e^{nx-1}+1]과 직선 [eqn: y=nx-1]은 만나지 않는다.

함수 [eqn: g(t)=e^{t}-t+1]의 최솟값은 [eqn: 2]이므로 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=e^{t}-t+1 GEQ 2>0]이다.

그러므로 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: e^{t} -t+1>0], 즉 [eqn: e^{t} +1>t]이다.

[eqn: t=nx-1]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: e^{nx-1}-nx+2>0], 즉 [eqn: e^{nx-1}+1>nx-1]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 곡선 [eqn: y=e^{nx-1}+1]은 직선 [eqn: y=nx-1]보다 위쪽에 있다.

{다른 풀이}

선분 [eqn: PQ]의 길이의 최솟값은 곡선 [eqn: y=e^{nx-1}+1] 위를 움직이는 점 [eqn: P]와 직선 [eqn: y=nx-1] 사이의 거리의 최솟값과 같다.

점 [eqn: P]의 좌표를 [eqn: P(t, ~e^{nt-1}+1)]로 놓으면

선분 [eqn: PQ]의 길이는 점 [eqn: P]와 직선 [eqn: y=nx-1],

즉 [eqn: nx-y-1=0] 사이의 거리와 같고, 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: e^{nt-1}-nt+2>0]이므로

[eqn: { |`nt-(e^{nt-1}+1)-1`|} over { sqrt { n^{2}+(-1)^{2}} }= {|`nt-e^{nt-1}-2`| } over { sqrt { n^{2}+1} }]

[eqn: = {|`e^{nt-1}-nt+2`| } over { sqrt { n^{2}+1} }]

[eqn: = {e^{nt-1}-nt+2} over { sqrt { n^{2}+1} }]

[eqn: h(t)=e^{nt-1}-nt+2]로 놓으면

[eqn: h'(t)=n e^{nt-1}-n=n(e^{nt-1}-1)]

[eqn: h'(t)=0]에서 [eqn: e^{nt-1}-1=0], 즉 [eqn: e^{nt-1}=1]이므로

[eqn: nt-1=0], 즉 [eqn: t= { 1} over {n }]

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: { 1} over {n }]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h'(t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(t)]	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t= { 1} over { n}]에서 극소이면서 최소이므로 함수 [eqn: h(t)]의 최솟값은 [eqn: h LEFT ( { 1} over {n } RIGHT ) =e^{0}-1+2=2]이다.

따라서 선분 [eqn: PQ]의 길이의 최솟값 [eqn: a_{n]은

[eqn: a_{n}= { 2} over { sqrt { n^{2}+1} }]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{10 } { 4} over {a_{n}`^{2} }= sum _{ n=1} ^{10 }(n^{2}+1)]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{10 }n^{2}+sum _{ n=1} ^{10 }1]

[eqn: = { 10 TIMES11 TIMES21 } over {6 }+10 TIMES1]

[eqn: =385+10=395]

17. 곡선 [eqn: y=e^{-x] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: A]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: B, ~C]라 하자. 삼각형 [eqn: OBC]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

[eqn: f(x)=e^{-x]으로 놓으면

[eqn: f'(x)=-e^{-x]

제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(t, ~e^{-t}) (t>0)]으로 놓으면 곡선 [eqn: y=e^{-x}] 위의 점 [eqn: A]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f'(t)=-e^{-t}]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-e^{-t}=-e^{-t}(x-t)], 즉 [eqn: y=-e^{-t} x+e^{-t}(t+1)]

접선 [eqn: y=-e^{-t} x+e^{-t}(t+1)]이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: 0=-e^{-t} x+e^{-t}(t+1)]에서

[eqn: x=t+1]이므로

[eqn: B(t+1, ~0)]

접선 [eqn: y=-e^{-t} x+e^{-t}(t+1)]이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: y=-e^{-t} TIMES0+ e^{-t}(t+1)]에서

[eqn: y=e^{-t}(t+1)]이므로

[eqn: C(0, ~e^{-t}(t+1))]

삼각형 [eqn: OBC]의 넓이를 [eqn: S(t)]로 놓으면

[eqn: S(t)= { 1} over { 2} TIMES bar { OB} `TIMES bar { OC}]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES (t+1) TIMES e^{-t} (t+1)]

[eqn: ={ 1} over {2 } e^{-t} (t+1)^{2}]

이므로

[eqn: S(t)= { 1} over { 2} LEFT { -e^{-t}(t+1)^{2}+e-t times 2(t+1) RIGHT }]

[eqn: = -{ 1} over { 2} e^{-t}(t+1)(t+1-2)]

[eqn: = -{ 1} over { 2} e^{-t}(t+1)(t-1)]

[eqn: S'(t)=0]에서 [eqn: t>0]이고, [eqn: e^{-t}>0]이므로 [eqn: t=1]

구간 [eqn: (0, ~inf)]에서 함수 [eqn: S(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: S`'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S(t)]		[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]

함수 [eqn: S(t)]는 [eqn: t=1]에서 극대이면서 최대이므로

함수 [eqn: S(t)]의 최댓값은 [eqn: S(1)= { 1} over {2 }e^{-1}(1+1)^{2}= { 2} over {e }]이다.

따라서 삼각형 [eqn: OBC]의 넓이의 최댓값은 [eqn: { 2} over { e}]이다.

18. 양의 실수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: LEFT { x`|`2`ln`x=kx^{2} RIGHT }], [eqn: LEFT { x`|`e^{x}^{2}=kx^{2} RIGHT }]이 모두 공집합이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: p<k<q]이다. [eqn: pq]의 값을 구하시오.

[eqn: 2`ln`x=kx^{2}]에서

[eqn: { 2`ln`x} over { x^{2}}=k]

[eqn: f(x)= {2`ln`x } over {x^{2} }]로 놓으면

[eqn: f'(x)= { { 2} over {x } TIMESx^{2}-2`ln`x TIMES2x } over {x^{4} }]

[eqn: ={2(1-2`ln`x) } over { x^{3}}]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: ln`x= { 1} over {2 }]이므로 [eqn: x= sqrt { e}]

구간 [eqn: (0, ~inf)]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: sqrt { e}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=sqrt { e}]에서 극대이면서 최대이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f( sqrt { e})= { 1} over {e }]이다.

[eqn: lim _{ x->0+} {f(x) }=lim _{ x->0+}{ {2`ln`x } over {x^{2} } }=-inf]이고,

함수 [eqn: f(x)]는 열린 구간 [eqn: (sqrt { e}, ~inf)]에서 감소하므로 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

집합 [eqn: LEFT { x`|`2`ln`x=kx^{2} RIGHT }]이 공집합이 되도록 하려면 방정식

[eqn: 2`ln`x=kx^{2}]은 실근을 갖지 않아야 한다.

그러므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 만나지 않아야 한다.

따라서 [eqn: k > { 1} over {e }]	…… ㉠

[eqn: e^{x^{2}} =kx^{2}]에서 [eqn: { e^{x^{2}}} over { x^{2}}=k]

[eqn: g(x)={ e^{x^{2}}} over { x^{2}}]으로 놓으면

[eqn: g'(x)= {2xe^{x^{3}} TIMESx^{2} -e^{x^{2}} TIMES 2x } over {x^{4} }]

[eqn: = {2e^{x^{2}} (x^{2} -1) } over {x^{3} }]

[eqn: = {2e^{x^{2}}(x+1)(x-1) } over {x^{3} }]

[eqn: g'(x)=0]에서[eqn: 2e^{x^{2}}>0]이므로

[eqn: (x+1)(x-1)=0]

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=1]

구간 [eqn: (0, ~inf)]에서 함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]		[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이면서 최소이므로 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: g(1)=e]이다.

[eqn: lim _{ x->0+} {g(x) }=lim _{ x->0+} { { e^{x^{2}}} over {x^{2} } }=inf]이고, 함수 [eqn: g(x)]는 열린 구간 [eqn: (1, ~inf)]에서

증가하므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 그림과 같다.

집합 [eqn: LEFT { x`|`e^{x}^{2}=kx^{2} RIGHT }]이 공집합이 되도록 하려면 방정식

[eqn: e^{x^{2}}=kx^{2}]은 실근을 갖지 않아야 한다.

그러므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 만나지 않아야 한다.

따라서 [eqn: k<e]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: { 1} over {e }<k<e]

따라서 [eqn: p= { 1} over { e},~q=e]이므로

[eqn: pq= { 1} over { e} TIMESe=1]