01

지수함수와 로그함수

	『』

01_지수함수와 로그함수	오늘 걷지 않으면 내일 뛰어야 한다!!!

좌표평면 위의 두 곡선 [eqn: y=|9x-3|]과 [eqn: y=2x+k]이 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_1, ~ x_2] [eqn: (x_1 < x_2 )]라 할

②

[해설]

{출제 의도}

지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: y=|9x-3]|에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: |9x-3|=0]

[eqn: 9^x -3=0,~9^x =3^2x =3,~x= 1 over 2]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y=|9^0 -3|=2]이다.

따라서 두 곡선 [eqn: y=|9x-3|, ~y=2x+k]이 만나는 서로 다른 두 점의

[eqn: x]좌표 [eqn: x_1, ~ x_2]가 [eqn: x_1 <0, ~ 0<x_2 <2]를 만족시키는 경우는 그림과 같다.

즉,[eqn: x=0]일 때

[eqn: 2^0+k =2^k >2]	……㉠

[eqn: x=2]일 때

[eqn: 2^2+k = 4 times 2^k < |9^2 - 3 | = 78]

[eqn: 2^k < 39 over 2]	……㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 2<2^k < 39 over 2]

따라서 자연수 [eqn: k]는 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다.

때,[eqn: x_1 <0, ~ 0<x_2 <2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은?

① 8	② 9	③ 10

④ 11	⑤ 12

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표평면에서 곡선 [eqn: y = a^x - 1 over 3]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: A, ~B]라 하자.[eqn: bar OA = bar OB]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

②

[해설]

[eqn: y = a^x - 1 over 3]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0 = a^x - 1 over 3]

[eqn: a^x = 1 over 3]

[eqn: x = log_a 1 over 3]이므로 점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: A left( log_a 1 over3 , ~ 0 right)]이다.

또[eqn: y = a^x - 1 over 3]에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y = a^0 - 1 over 3 = 1 - 1 over 3 = 2 over 3]이므로

점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B left( 0, ~ 2 over 3 right)]이다.

[eqn: bar OA = bar OB]이고 , [eqn: a>1]이므로[eqn: log_a 1 over 3 < 0]이다.

따라서[eqn: - log_a 1 over 3 = 2 over 3]

[eqn: log_a 3 = 2 over 3]

즉, [eqn: a^{2 over 3 } = 3]이므로

[eqn: a = sqrt3^3 = 3 sqrt3]

① [eqn: {8 sqrt3 } over 3]	② [eqn: {3sqrt3}]	③ [eqn: {10 sqrt3 } over 3]

④ [eqn: {11 sqrt3 } over3]	⑤ [eqn: 4 sqrt3]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=3^x -1]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2n]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f(x)]라 하자. 두 곡선 [eqn: y=3^x -1, ~y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: a_n =485]를 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하시오.

5

[해설]

곡선 [eqn: y=3^x -1]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2n]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f(x)]는 그림과 같이 점 [eqn: (2n, ~0)]을 지나고, 두 곡선 [eqn: y=3^x -1, ~y=f(x)]는 직선 [eqn: x=n]에 대하여 대칭이다. 이때 곡선

[eqn: y=3^x -1]은 원점 [eqn: (0,~ 0)]을 지나므로 두 곡선은 점 [eqn: (n, ~3^n -1)]에서 만난다.

따라서 두 곡선[eqn: y=3^x -1, ~y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부

또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

[eqn: x=0]일 때, (0, 0)으로 1개

[eqn: x=1]일 때

[eqn: (1,~ 0),~ (1,~ 1),~ (1,~3^1 -1 )]로 [eqn: 3^1]개

[eqn: x=2]일 때

[eqn: (2,~ 0),~ (2,~ 1),~ (2,~ 2), …, (2,3^2 -1 )]로 [eqn: 3^2]개

⋮

[eqn: x=n-1]일 때

[eqn: (n-1,~ 0), ~(n-1,~ 1), ~(n-1, ~2), cdots, (n-1,~ 3^n-1 -1)]로 [eqn: 3^n-1]개

[eqn: x=n]일 때

[eqn: (n,~ 0), ~(n,~ 1),~ (n,~ 2), cdots, (n,~ 3^n -1)]로 [eqn: 3n]개

두 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 직선 [eqn: x=n]에 의하여 이등분되므로

[eqn: a_n = 2 ( 1+3^1 + 3^2 + cdots + 3^n-1 ) + 3^n]

[eqn: = 2 sum_m=1 ^n 3^k-1 + 3^n]

[eqn: = 2 times { 3^n -1 } over 3-1 + 3^n]

[eqn: = 2 times 3^n -1]

[eqn: 2 times 3^n -1= 485]에서

[eqn: 2 times 3^n = 486]

[eqn: 3^n = 243]

[eqn: 243 = 3^5]이므로

[eqn: n=5]

그림과 같이 직선 [eqn: y=a]와 두 곡선[eqn: y=2^x+1 ,~y=2^x-4]이 만나는 점을 각각 [eqn: A,~ B]라 하고, 직선 [eqn: y=b]와 두 곡선 [eqn: y=2^x+1 ,~y=2^x-4]이 만나는 점을 각각 [eqn: C,~ D]라 하자. 사각형 [eqn: ACDB]가 마름모이고, 그 넓이가 20일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a, ~b]는 상수이고, [eqn: 0<b<a]이다.)

⑤

[해설]

사각형 [eqn: ACDB]가 마름모이고, 그 넓이가 20이므로

[eqn: 20 = (a-b ) times bar AB]	……㉠

곡선 [eqn: y=2^x-4]은 곡선 [eqn: y=2^x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 5만큼 평행이동시킨

곡선이므로

[eqn: bar AB = 5]	……㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: 20=(a-b) times5]

즉, [eqn: a-b=4]

두 점 [eqn: A, ~C]의 좌표를 각각 [eqn: A ( alpha , ~ 2^alpha+1 ) , ~ C ( beta , ~ 2^beta+1 ) ~ (alpha > beta)]라 하면

[eqn: 2^alpha+1 = a , ~ 2^beta+1 = b]이므로

[eqn: 2^ alpha+1 - 2 ^beta+1 = a-b = 4]	……㉢

사각형 [eqn: ACDB]가 마름모이므로 [eqn: bar AC = bar AB = 5]

[eqn: bar AC = sqrt{ ( alpha - beta )^2 + ( 2^alpha+1 - 2^beta+1 ) ^2 }]

[eqn: = sqrt{(alpha-beta )^2 + 4^2 }]

[eqn: = 5]

[eqn: (alpha - beta )^2 + 4^2 = 25]

[eqn: alpha> beta]이므로 [eqn: alpha - beta = 3]

[eqn: alpha = beta + 3]을 ㉢에 대입하면

[eqn: 2^beta+4 - 2^beta+1 = 4]

[eqn: 16 times 2^beta - 2 times 2^beta = 4]

[eqn: 2^beta = 2 over 7]

이때 [eqn: 2^alpha = 2^beta+3 = 2 over7 times 8 = 16 over7]

따라서 [eqn: a+b = 2^alpha+1 + 2^beta+1 = 2(2^alpha + 2^beta ) = 2 times left(16 over 7 + 2 over 7 right) = 36 over7]

① [eqn: 32 over 7]	② [eqn: 33 over 7]	③ [eqn: 34 over 7]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 36 over 7]

방정식 [eqn: 9^x+1 = left(1 over 27 right)^-2x+3]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값은?

①

[해설]

{출제의도}

지수에 미지수가 포함된 방정식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: 9^x+1 = left(1 over 27 right)^-2x+3]에서

[eqn: (3^2 )^x+1 = (3^-3 ) ^-2x+3]

[eqn: 3^2x+2 = 3^6x-9]

[eqn: 2x+2=6x-9]

[eqn: 4x=11]

따라서 [eqn: x = 11 over 4]

① [eqn: 11 over 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 13 over 4]

④ [eqn: 7 over 2]	⑤ [eqn: 15 over4]

부등식 [eqn: 2^-x+2 + 3 le left( 1 over 4 right)^{1 over2 x -2}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 최댓값을 구하시오.

2

[해설]

[eqn: 2^-x+2 + 3 le left( 1 over 4 right)^{1 over2 x -2}]에서

[eqn: 2^-x+2 + 3 le (2^-2 ) ^{1 over2 x -2}]

[eqn: 2^-x+2 + 3 le 2^-x+4]

[eqn: 2^2 times 2^-x +3 le 2^4 times 2^-x]

[eqn: 3 le 12 times 2^-x]

[eqn: 1 over 4 le 2^-x]

[eqn: 2^-2 le 2^-x]

밑 2가 1보다 크므로

[eqn: -2 le -x]

즉, [eqn: x le 2]

따라서 실수 [eqn: x]의 최댓값은 2이다.

[eqn: x]에 대한 방정식[eqn: a^2x - 8a^x + 12 = 0]의 두 실근을 [eqn: alpha , ~ beta ~ (alpha< beta)]라 하자. [eqn: beta - alpha = 1 over2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>1])

②

[해설]

[eqn: a^2x - 8a^x + 12 = 0]에서 [eqn: a^x = t] [eqn: (t >0)]으로 놓으면

[eqn: t^2 -8t+12=0]

[eqn: (t-2)(t-6)=0]

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=6]

즉, ax=2 또는 ax=6

[eqn: a>1], [eqn: alpha< beta]이므로 [eqn: a^alpha = 2, ~ a^beta = 6]

[eqn: a^beta-alpha = 6 over 2 = 3]

[eqn: a^{1 over 2} = 3]

따라서 [eqn: a = 3^2 = 9]

① 8	② 9	③ 10

④ 11	⑤ 12

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: 3^2x - (2a +10 ) times 3^x + 20a le 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 3이 되도록 하는 1보다 작은 양수 [eqn: a]의 최댓값은?

③

[해설]

[eqn: 3^2x - (2a +10 ) times 3^x + 20a le 0]에서

[eqn: 3^x = t ~ (t>0)]으로 놓으면

[eqn: t^2 -(2a+10)t+20 le0]

[eqn: (t-10)(t-2a) le0]

[eqn: 0<a<1]이므로 [eqn: 2a le t le 10]

즉,[eqn: 2a le 3^x le 10]	……㉠

부등식 ㉠을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 3이어야 하므로 정수 [eqn: x]는 0, 1, 2이다.

따라서 [eqn: 3^-1 < 2a le 3^0]에서 [eqn: 1 over 6 < a le 1 over2]이므로 양수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 1 over 2]이다.

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

[eqn: 0<a<1<b]인 두 실수 [eqn: a,~ b]에 대하여 두 함수

③

[해설]

{출제의도}

로그함수의 그래프의 특징과 평행이동에 대하여 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: y = log_a (bx-1)]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: log_a (bx -1) = 0]

[eqn: bx -1 = 1]

[eqn: x = 2 over b]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축의 교점의 좌표는[eqn: left( 2 over b , ~ 0 right)]이다.

또 곡선 [eqn: y = log_b (ax - 1) = log_b a left( x - 1 overa right)]은 곡선[eqn: y = log_b ax]를

[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1 overa]만큼 평행이동한 것이므로 곡선 [eqn: y=g(x)]의 점근선의 방정식은 [eqn: x = 1 over a]이다.

문제의 조건에 의하여 점[eqn: left( 2 over b , ~ 0 right)]이 직선 [eqn: x = 1 over a] 위에 있어야 하므로 [eqn: 2 over b = 1 over a] 즉 [eqn: b=2a]

이때 [eqn: 0<a<1<b]에서 [eqn: 0<a<1<2a]이므로 [eqn: 1 over a <a<1]

따라서 [eqn: b=2a] [eqn: left( 1 over 2 < a <1 right)]

[eqn: f(x)=log _{a} (bx-1),~g(x)=log_b (ax-1)]

이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축의 교점이 곡선 [eqn: y=g(x)]의 점근선 위에 있도록 하는 [eqn: a]와 [eqn: b] 사이의 관계식과 [eqn: a]의 범위를 옳게 나타낸 것은?

① [eqn: b=-2a+2, ~ left( 0 < a < 1 over2 right)]	② [eqn: b=2a ~ left( 0 < a < 1 over 2 right)]

③ [eqn: b=2a] [eqn: left( 1 over 2 < a <1 right)]	④ [eqn: b=2a+1] [eqn: left( 0 < a < 1 over2 right)]

⑤ [eqn: b=2a+1] [eqn: left( 1 over 2 < a <1 right)]

곡선 [eqn: y = left| log_2 left( x + 1 over 4 right) right|]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축이 만나는 점을 각각 [eqn: A,~B]라 하고, 점 [eqn: B]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y = left| log_2 left( x + 1 over 4 right) right|]과 만나는 점 중 [eqn: B]가 아닌 점을 [eqn: C]라 하자. 선분 [eqn: AC]의 길이는?

④

[해설]

[eqn: y = left| log_2 left( x + 1 over 4 right) right|]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0= left| log_2 left( x + 1 over 4 right) right|]에서 [eqn: x + 1 over 4 = 2^0 = 1]이므로

[eqn: x = 3 over 4]

또 [eqn: y = left| log_2 left( x + 1 over 4 right) right|]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y = left| log_2 left( 0 + 1 over 4 right) right| = 2]

즉, [eqn: A left(3 over 4 , ~ 0 right)], [eqn: B(0, ~2)]이고, 점 [eqn: C]의 [eqn: y]좌표는 2이므로 점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a (a >0)]이라 하면

[eqn: 2 = left| log_2 left( a + 1 over 4 right) right|]

[eqn: log_2 left( a + 1 over 4 right) = 2]

[eqn: a + 1 over 4 = 4]

[eqn: a = 15 over4]

즉, [eqn: C left( 15 over 4 , ~ 2 right)]이므로

[eqn: bar AC = sqrt{ left( 15 over 4 - 3 over 4 right)^2 + (2-0)^2 } = sqrt13]

① [eqn: sqrt10]	② [eqn: sqrt11]	③ [eqn: 2sqrt3]

④ [eqn: sqrt13]	⑤ [eqn: sqrt14]

곡선 [eqn: y=log_3 x]를 [eqn: x]축의 방향으로 -2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동시킨 곡선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: A,~ B]라 하자. 점 [eqn: C left( 5 over3 , ~ 0 right)]에 대하여 [eqn: bar AB = bar BC]일 때, 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이는? (단,[eqn: k＞0])

①

[해설]

곡선 [eqn: y=log_3 x]를 [eqn: x]축의 방향으로 -2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동시킨 곡선은 [eqn: y = log_3 (x+2) + k]이다.

[eqn: k>0]이므로 곡선 [eqn: y = log_3 (x+2) + k]는 그림과 같다.

[eqn: bar AB = bar BC]이고 점 C의 좌표는 [eqn: C left( 5 over 3 , ~ 0 right)]이므로 점 [eqn: A]의 좌표는

[eqn: A left(- 5 over 3 , ~ 0 right)]이다.

점 [eqn: A]는 곡선 [eqn: y = log_3 (x+2) + k] 위의 점이므로

[eqn: 0 = log_3 left( - 5 over 3 + 2 right) + k]

[eqn: 0=-1+k]

[eqn: k=1]

[eqn: y = log_3 (x+2) + 1]에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y = log_3 2 + 1]이므로 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B(0, ~1+log_3 2)]이다.

즉, 원점 [eqn: O]에 대하여 [eqn: bar AC = 10 over 3 , ~ bar OB = 1 + log_3 2]

따라서 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times bar AC times bar OB = 1 over 2 times 10 over 3 times (1 + log_3 2 )]

[eqn: = 5 over 3 ( 1+ log_3 2 )]

① [eqn: 5 over 3 ( 1+ log_3 2 )]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 5 over 3 (1 + 2 log_3 2 )]

④ [eqn: 5 over 3 ( 1+ log_3 5)]	⑤ [eqn: 5 over3 ( 2+ log_3 2 )]

그림과 같이 좌표평면에서 세 곡선 [eqn: y = log_2 x], [eqn: y = 3 + log_2 x], [eqn: y = log_2 (x-3)]이 직선 [eqn: y=-x+k]와 만나는 점을 각각 [eqn: A, ~B,~C]라 하자. [eqn: bar AB = 2 bar AC]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

[해설]

곡선 [eqn: y = log_2 x]를 [eqn: x]축의 방향으로 3만큼 평행이동한 곡선과 [eqn: y]축의 방향으로 3만큼 평행이동한 곡선이 각각 [eqn: y=log_2 (x-3), ~y=3+log_2 x] 이다.

점 [eqn: B]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y = log_2 x]와 만나는 점을 [eqn: D]라 하면

[eqn: bar BD = 3]

또 점 [eqn: D]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log_2 (x-3)]과 만나는 점을 [eqn: C']이라 하면

[eqn: bar DC' = 3]

삼각형 [eqn: BDC']은 직각이등변삼각형이므로 직선 [eqn: BC']의 기울기는 -1이다.

따라서 점 [eqn: C]와 점 [eqn: C']은 같은 점이다.

점 [eqn: A]에서 직선 [eqn: BD]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: barAB = 2 bar AC]이므로

[eqn: bar BH = 2 over 3 bar BD = 2 over 3 times 3 = 2]

[eqn: bar AH = bar BH = 2]이므로 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(t, ~log_2`t)~(t>0)]이라 하면

점 [eqn: B]의 좌표는[eqn: B(t-2, 3+log_2 (t-2))]이다.

이때

[eqn: bar BH = left{ 3 + log_2 (t-2) right} - log_2 t]

[eqn: =3 + log_2 t-2 over t]

[eqn: =2]

[eqn: log_2 t-2 over t = -1]

[eqn: t-2 overt = 1 over 2]

[eqn: 2(t-2)=t]

즉, [eqn: t=4]

따라서 점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: A(4, log_2`4)],  즉 [eqn: A(4,~ 2)]이고, 점 [eqn: A]는 직선

[eqn: y=-x+k] 위의 점이므로

[eqn: 2=-4+k]

따라서 [eqn: k=6]

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 11 over 2]	③ [eqn: 23 over 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 25 over 4]

부등식 [eqn: log_3 (x-1) + log_3 (4x-7) le 3]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

③

[해설]

{출제의도}

로그의 정의와 성질을 이용하여 진수에 미지수가 포함된 부등식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

진수의 조건에 의하여[eqn: x-1>0,~4x-7>0]이어야 하므로

[eqn: x > 7 over 4]	……㉠

[eqn: log_3 (x-1) + log_3 (4x-7) le 3]에서

[eqn: log_3 (x-1) (4x-7) le 3]

[eqn: log_3 (x-1)(4x-7) le log_3 3^3]

[eqn: (x-1)(4x-7) le 3^3]

[eqn: 4x^2 - 11x - 20 le 0]

[eqn: (x-4)(4x+5) le 0]

[eqn: - 5 over4 le x le4]	……㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: 7 over 4 < x le 4]이므로 구하는 정수 [eqn: x]는 2, 3, 4이고, 그 개수는 3이다.

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

방정식[eqn: log_3 (x+1)-log_3 (3-x)=2]의 해를 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: 5 alpha]의 값을 구하시오.

13

[해설]

진수의 조건에 의하여 [eqn: x+1>0,~ 3-x>0]이므로

[eqn: -1<x<3]	……㉠

[eqn: log_3 (x+1)-log_3 (3-x)=2]에서

[eqn: log_3 (x+1) - log_3 (3-x) +2]

[eqn: log_3 (x+1) = log_3 (3-x) + log_3 3^2]

[eqn: log_3 (x+1) = log_3 left{ 9 (3-x) right}]

[eqn: x+1=9(3-x)]

[eqn: x+1=27-9x]

[eqn: x = 13 over 5]

[eqn: x = 13 over 5]은 ㉠을 만족시키므로 [eqn: alpha = 13 over 5]

따라서 [eqn: 5 alpha = 5 times 13 over 5 = 13]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: (log_2 x )^2 + a times log_2 x - 6 = 0]의 두 실근의 곱이 [eqn: 1 over 2]일 때, 두 실근의 합은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

[해설]

진수의 조건에 의하여

[eqn: x>0]	……㉠

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: (log_2 x )^2 + a times log_2 x - 6 = 0]의 두 실근을

[eqn: alpha , ~ beta ~(alpha>0, ~ beta>0 )]이라 하고, [eqn: log_2 x = t]라 하면

[eqn: t^2 + at - 6 = 0]	……㉡

이차방정식 ㉡의 두 실근은 [eqn: log_2 alpha, ~ log_2 beta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log_2 alpha + log_2 beta = -a]

즉, [eqn: log_2 alpha beta = -a]

[eqn: alpha beta = 1 over 2]이므로

[eqn: log_2 1 over 2 = -a]

즉, [eqn: a=1]

따라서 이차방정식 ㉡은

[eqn: t^2 + t -6 = 0]

[eqn: (t+3)(t-2)=0]

또는 [eqn: t=2]

즉,[eqn: log_2`x=-3] 또는 [eqn: log_2`x=2]이므로

[eqn: x = 1 over 8] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: x = 1 over 8]또는 [eqn: x=4]는 ㉠을 만족시키므로

방정식 [eqn: (log_2 x )^2 + a times log_2 x - 6 = 0]의 두 실근의 합은

[eqn: 1 over 8 + 4 = 33 over 8]

① [eqn: 33 over 8]	② [eqn: 17 over 4]	③ [eqn: 35 over 8]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 37 over 8]

좌표평면 위의 두 곡선[eqn: y = log_{1 over 3} left( x + n over 2 right)]과 [eqn: y = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]이 제4사분면에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는?

⑤

[해설]

곡선 [eqn: y = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: A, ~B]라 하자.

[eqn: y = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0 = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]이므로 [eqn: x + 1 over 4 = 1]

즉, [eqn: x = 3 over 4]이므로 점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: A left( 3 over 4 , ~ 0 right)]이다.

또 [eqn: y = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y = log_2 1 over 4 = log_2 2^-2 = -2]이므로 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B(0, ~-2)]이다.

그림과 같이 두 곡선[eqn: y = log_{1 over 3} left( x + n over 2 right)], [eqn: y = log_2 left( x+ 1 over 4 right)]이 제4사분면에서 만나기 위해서는 [eqn: x=0]일 때 [eqn: log_{1 over 3} left( x + n over 2 right)]의 값은 -2보다 커야하므로

[eqn: log_{1 over3 } left( 0 + n over 2 right) > -2]

[eqn: log_{1 over 3} n over 2 > log_{1 over 3 } left( 1 over 3 right) ^-2]

밑 3[eqn: 1 over 3]이 1보다 작으므로

[eqn: n over 2 < left( 1 over 3 right)^-2]

즉, [eqn: n<18]	……㉠

또 [eqn: x = 3 over 4]일 때, [eqn: log_{1 over 3} left( x + n over 2 right)]의 값은 0보다 작아야 하므로

[eqn: log_{1 over 3} left( 3 over 4 + n over 2 right) <0]

[eqn: log_{1 over 3} left( 3 over 4 + n over 2 right) < log_{1 over 3} 1]

밑 3[eqn: 1 over 3]이 1보다 작으므로

[eqn: 3 over 4 + n over 2 >1]

즉, [eqn: n > 1 over 2]	……㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 n의 값의 범위는

[eqn: 1 over 2 < n < 18]

따라서 자연수 [eqn: n]은 1, 2, 3, …, 17이므로 그 개수는 17이다.

① 13	② 14	③ 15

④ 16	⑤ 17

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: O(0,~ 0),~A(2^n ,~ 0), ~B(2^n ,~ 2^n ),~ C(0,~ 2^n )인] 정사각형 [eqn: OABC]와 두 곡선[eqn: y=2^x ,~ y=log_2 x]가 있다.

④

[해설]

{출제의도}

지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 이용하여 조건에 맞는 직선 [eqn: DF]의 기울기를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

그림과 같이 선분 [eqn: AD]를 [eqn: 2`:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: P]라 하자.

점 F의 좌표를 [eqn: F(a,~ 16)]이라 하면 [eqn: 2^a =16]에서

[eqn: a=4]

점 [eqn: E]와 점 [eqn: F]의 [eqn: x]좌표가 서로 같으므로 점 [eqn: E]의 좌표를 [eqn: E(4, ~b)]라 하면 [eqn: log_2 4 = b]에서 [eqn: b=2]

점 [eqn: E]와 점 [eqn: P]의 [eqn: y]좌표가 같으므로 점 [eqn: P]의 좌표를 [eqn: P(c,~ 2)]라 하면

[eqn: bar AP : bar PD = 2:3]이므로 점 [eqn: D]의 좌표는 [eqn: D(c, ~5)]이다.

점 [eqn: D]는 곡선 [eqn: y = log_2 x] 위에 있으므로

[eqn: log_2 c=5]에서 [eqn: c=32]

따라서 두 점 [eqn: D, ~F]의 좌표는 각각 [eqn: D(32,~ 5),~ F(4,~ 16)]이므로

직선 [eqn: DF]의 기울기는

[eqn: 16-5 over 4-32 = - 11 over 28]

선분 [eqn: AB]가 곡선[eqn: y=log_2 x]와 만나는 점을 [eqn: D]라 하자. 선분 [eqn: AD]를 [eqn: 2`:`3]으로 내분하는 점을 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y = log_2 x]와 만나는 점을 [eqn: E], 점 [eqn: E]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=2^x]과 만나는 점을 [eqn: F]라 하자. 점 [eqn: F]의 [eqn: y]좌표가 16일 때, 직선 [eqn: DF]의 기울기는?

① [eqn: - 13 over 28]	② [eqn: - 25 over 56]	③ [eqn: - 3 over 7]

④ [eqn: - 23 over 56]	⑤ [eqn: - 11 over 28]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=log_3 (x-n)+n]의 역함수의 그래프가 점 (5, 29)를 지날 때, [eqn: f(5)]의 값은?

③

[해설]

함수 [eqn: f(x)=log_3 (x-n)+n]의 역함수의 그래프가 점 (5, 29)를 지나므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 (29, 5)를 지난다.

[eqn: 5=log_3 (29-n)+n]에서

[eqn: 5-n=log_3 (29-n)]

[eqn: 29-n=35-n]

[eqn: 29 = n+3^5-n]	……㉠

㉠에서 [eqn: n]이 자연수이고, [eqn: 3^5-n]은 3의 거듭제곱이므로

[eqn: 29 = 28 + 3^0 = 26+3^1 = 20 + 3^2 = 2 +3^3]에서

[eqn: 29=n+3^5-n]을 만족시키는 [eqn: n]은 2뿐이다.

따라서[eqn: f(x)=log_3 (x-2)+2]이므로

[eqn: f(5)=log_3 (5-2)+2=log_3 3+2=1+2=3]

① 2	② [eqn: 5 over 2]	③ 3

④ [eqn: 7 over 2]	⑤ 4

좌표평면에서 곡선 [eqn: y = left( 1 over 3 right)^x-a]과 직선 [eqn: y=3]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하자. 곡선 [eqn: y = left( 1 over 3 right)^x-a]과 곡선 [eqn: y=log_3 `x]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: b+1]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~ b]는 상수이다.)

⑤

[해설]

곡선 [eqn: y = left( 1 over 3 right)^x-a]과 직선 [eqn: y=3]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: b]이므로

[eqn: left( 1 over 3 right) ^b-a][eqn: =3]에서 [eqn: 3^a-b =3]

즉, [eqn: a-b=1]	……㉠

곡선 [eqn: y = left( 1 over 3 right)^x-a]과 곡선 [eqn: y = log_3 x]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: b+1]이므로

[eqn: left(1 over 3 right)^b+1-a = log_3 (b+1)]에서 [eqn: 3^a-b-1 = log_3 (b+1)]

[eqn: 3^0 = log_3 (b+1)] (㉠에 의해)

[eqn: b+1 = 3^1]

즉, [eqn: b=2]

[eqn: b=2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a+b=3+2=5]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=2 ^{x} -1]과 직선 [eqn: y = n]및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. 곡선 [eqn: y=log_2 (x-1)]과 직선 [eqn: x=n] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: f(n)-g(n)=12]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

31

[해설]

함수 [eqn: y=log_2 (x-1)]의 역함수가 [eqn: y=2^x +1]이므로 곡선

[eqn: y=log_2 (x-1)]과 직선[eqn: x=n] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역은 곡선

[eqn: y=2^x +1]과 직선 [eqn: y=n] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역과 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y=2^x -1]과 직선 [eqn: y=n] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=2^x +1]과 직선 [eqn: y=n] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계를 [eqn: B]라 하자.

[eqn: f(n)-g(n)]의 값은 [eqn: A]에는 포함되고 [eqn: B]에는 포함되지 않으면서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수이다.

곡선 [eqn: y=2^x +1]은 곡선 [eqn: y=2^x -1]을 [eqn: y]축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: A]에는 포함되고 [eqn: B]에는 포함되지 않으면서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

[eqn: x=0]일 때, [eqn: (0, ~^0 -1),~ (0, ~^0 )]으로 2개

[eqn: x=1]일 때, [eqn: (1,~ 2^1-1), ~(1, ~2^1`)]으로 2개

[eqn: x=2]일 때, [eqn: (2,~ 2^2 -1),~ (2, ~2^2 )]으로 2개

⋮

와 같다.

[eqn: f(n)-g(n)=12]이므로 두 점 [eqn: (5,~ 2^5 `-1),~ (5, ~2^5`)]은 포함되고, 두 점 [eqn: (6,~ 2^6 -1), ~(6, ~2^6 )]은 포함되지 않아야 하므로

[eqn: 2^5 le n 2^6 -1]

즉, [eqn: 32 le n <63]

따라서 자연수 [eqn: n]은 32, 33, 34, …, 62이므로 그 개수는 31이다.

닫힌 구간 [1, 2]에서 함수 [eqn: f(x)=log_3 (2x-1)+a]의 최댓값이 3일 때, 닫힌 구간 [a, 3]에서 함수 [eqn: g(x)=3^-x+3 +2]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: a+M]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[해설]

{출제 의도}

지수함수와 로그함수의 증가와 감소를 이해하여 주어진 함수의 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

닫힌 구간 [1, 2]에서 함수 [eqn: f(x)=log_3 (2x-1)+a]는 증가하므로 [eqn: x=2]에서 최댓값 3을 갖는다.

즉,[eqn: 3=log_3 (2 times2-1)+a]에서

[eqn: 3=1+a]

따라서 [eqn: a=2]

이때 닫힌 구간 [2, 3]에서 함수 [eqn: g(x)=3^-x+3 +2]는 감소하므로 [eqn: x=2]에서 최댓값 [eqn: M]을 갖는다.

즉, [eqn: M=3^-2+3 +2=3+2=5]

따라서 [eqn: a+M=2+5=7]

① 3	② 4	③ 5

④ 6	⑤ 7

닫힌 구간 [0, 3]에서 함수[eqn: f(x)=log_2 (x^2 -2x+5)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

①

[해설]

[eqn: g(x)=x^2 -2x+5]라 하면

[eqn: g(x) = x^2 -2x + 5 = (x-1)^2 + 4]

[eqn: 0 le x le 3]에서 [eqn: g(1) le g(x) le g(3)]이므로 [eqn: 4 le g(x) le 8]

밑 2는 1보다 크므로

[eqn: log_2 4 le log_2 g(x) le log_2 8]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값 [eqn: M=3], 최솟값 [eqn: m=2]이므로

[eqn: M+m=3+2=5]

① 5	② 6	③ 7

④ 8	⑤ 9

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 닫힌 구간 [-2, 1]에서 함수 [eqn: f(x)=a^x - a^-x]의 최댓값이 [eqn: 5 over 6]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: a+m]의 값은?

③

[해설]

[eqn: a>1]이므로 닫힌 구간 [-2, 1]에서 함수 [eqn: y = a^x]은 증가하고, 함수[eqn: y = a^-x]은 감소한다.

이때 닫힌 구간 [-2, 1]에서 함수 [eqn: y = -a ^-x]은 증가하므로 이 구간에서 함수 [eqn: f(x)]는 증가한다.

따라서 [eqn: f(-2) le f(x) le f(1)]

함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 5 over 6]이므로

[eqn: f(1) = 5 over 6]

[eqn: a - 1 over a = 5 over 6]

[eqn: a^2 - 5 over 6a -1 = 0]

[eqn: 6a^2 - 5a - 6 = 0]

[eqn: (2a-3)(3a+2)=0]

[eqn: a = 3 over 2] 또는 [eqn: a = - 2 over 3]

[eqn: a>1]이므로 [eqn: a = 3 over 2]

이때 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(-2)]이므로

[eqn: m = f(-2) = left( 3 over 2 right)^-2 - left( 3 over 2 right)^2 = 4 over 9 - 9 over 4 = - 65 over 36]

따라서 [eqn: a + m = 3 over 2 + left( - 65 over 36 right) = - 11 over 36]

① [eqn: - 1 over 4]	② [eqn: - 5 over 18]	③ [eqn: - 11 over 36]

④ [eqn: - 1 over 3]	⑤ [eqn: - 13 over 36]

닫힌 구간 [eqn: [a-1,~ a+1]]에서 함수

③

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

닫힌 구간 [eqn: [a-1, ~a+1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: a<1]일 때, [eqn: a-1<a+1<2]이므로

[eqn: M = f(a-1) = left( 1 over 2 right)^a-3]

[eqn: m = f(a+1) = left( 1 over 2 right) ^a-1]

이때 [eqn: M+m = left( 1 over 2 right)^a-3 + left( 1 over 2 right)^a-1 = 3]이어야 하므로

[eqn: 8 left( 1 over 2 right)^a + 2 left( 1 over 2 right)^a = 3]

[eqn: left( 1 over 2 right)^a = 3 over 10]	……㉠

[eqn: a<1]에서 [eqn: left( 1 over 2 right)^a > 1 over 2]이므로 ㉠을 만족시키는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a<3]일 때, [eqn: a-1 <2 le a+1]이므로

[eqn: m = f(2) = log_2 2 = 1]

이때 최댓값 [eqn: M]은 2이어야 하므로

[eqn: M = f(a-1) = left( 1 over 2 right)^a-3 = 2]	……㉡

또는

[eqn: M = f(a+1) = log_2 (a+1) = 2]	……㉢

㉡에서 [eqn: a=2]

㉢에서 [eqn: a=3]

[eqn: 1 le a <3]이므로 [eqn: a=2]이다.

이때 [eqn: f(a+1)=f(3)=log_2 3<2]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 최댓값 2를 갖는다.

(ⅲ) [eqn: a ge 3]일 때, [eqn: a+1>a-1 ge 2]이므로

[eqn: M = f(a+1 ) = log_2 (a+1)]

[eqn: m = f(a-1) = log_2 (a-1)]

이때 [eqn: M+m=log_2 (a+1)+log_2 (a-1)=3]이어야 하므로

[eqn: log_2 (a^2 - 1) = 3]

[eqn: a^2 -1 = 2^3]이므로

[eqn: a=-3]또는 [eqn: a=3]

[eqn: a ge 3]이므로 [eqn: a=3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 2+3=5]

[eqn: f(x) = cases{ left( 1 over 2 right)^x-1 &(x<2) # log_2 x &(x ge 2 )]

의 최댓값과 최솟값의 합이 3이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

① 3	② 4	③ 5

④ 6	⑤ 7

[eqn: lim_x->0 {ln (1+3x )+ 9x } over 2x]의 값을 구하시오

6

[해설]

{출제 의도}

무리수 [eqn: e]의 정의를 이용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: lim_x->0 {ln (1+3x )+ 9x } over 2x = lim_x->0 left{ 3 over 2 times 1 over 3x ln (1 + 3x ) + 9x over 2x right}]

[eqn: = lim_x->0 left{ 3 over 2 times 1 over 3x ln (1+3x ) + 9 over 2 right}]

[eqn: = 3 over 2 lim_x->0 {ln (1+ 3x)} over 3x + 9 over 2]

이때 [eqn: 3x=t]로 놓으면[eqn: x ->0]일 때 [eqn: t ->0]이므로

[eqn: 3 over 2 lim_x->0 { ln (1 + 3x)} over 3x + 9 over 2 = 3 over 2 lim_x->0 { ln (1+t ) } over t + 9 over 2]

[eqn: = 3 over 2 times 1 + 9 over 2]

[eqn: = 6]

[eqn: lim_x->0 { e^3x -1} over 4x]의 값은?

⑤

[해설]

[eqn: lim_x->0 { e^3x -1} over 4x = lim _x->0 left( {e^3x -1 } over 3x times 3 over 4 right)]

이때 [eqn: 3x=t]로 놓으면 [eqn: x ->0]일 때 [eqn: t ->0]이므로

[eqn: lim_x->0 left( {e^3x -1} over 3x times 3 over 4 right) = 3 over 4 lim_t->0 {e^t -1 } over t]

[eqn: = 3 over 4 times 1]

[eqn: = 3 over 4]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3 over 4]

[eqn: lim_x->0 {3^x -1} over{ ln (1+3x )}]의 값은?

①

[해설]

[eqn: lim_x->0 {3^x -1} over{ ln (1+3x )} = lim_x->0 left{ {3^x -1} over x times 3x over { ln(1+3x)} times 1 over 3 right}]

[eqn: = 1 over 3 lim_x->0 {3^x -1} over x times lim_x->0 1 over{ {ln(1+3x)} over 3x }]

[eqn: = 1 over 3 times ln 3 times 1 over 1]

[eqn: = ln3 over 3]

① [eqn: ln3 over3]	② [eqn: ln3 over 4]	③ [eqn: ln3 over 5]

④ [eqn: ln3 over 6]	⑤ [eqn: ln3 over 7]

[eqn: lim_x->inf x left{ ln (a+x) - ln x right} = 3]을 만족시키는 상수 a의 값은? (단, [eqn: a>0])

③

[해설]

[eqn: lim_x->inf x left{ ln (a+x) - ln x right} = lim_x->inf left( x times ln x+a OVERx right)]

[eqn: = lim_x->inf left{ x times ln left( 1 + a over x right) right}]

이때 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a over x = t]로 놓으면 [eqn: x -> inf]일 때 [eqn: t -> 0+]이다.

따라서

[eqn: lim_x->inf left{ x times ln left( 1 + a over x right) right} = lim_t->0+ left{ a times { ln(1+t)} over t right}]

[eqn: = a times 1]

[eqn: =a]

[eqn: =a]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

다항함수 [eqn: f(x)]가

④

[해설]

[eqn: lim_x->inf f(x) over x^2 = 2]이므로 [eqn: f(x) = 2x^2 + ax + b] ([eqn: a, ~ b]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: lim_x->0 f(x) over {e^2x -1} = 1]이고 [eqn: x->0]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->0 f(x) = lim_x->0 (2x^2 + ax + b ) = 0]에서

[eqn: b = 0]

이때 [eqn: f(x) = 2x^2 + ax]이므로

[eqn: lim_x->0 f(x) over {e^2x -1} = lim_x->0 {2x^2 + ax} over{e^2x -1}]

[eqn: = lim_x->0 {x(2x+a)} over{e^2x -1}]

[eqn: = lim_x->0 left( 2x over {e^2x -1 } times {2x + a } over 2 right)]

[eqn: = lim_x->0 2x over {e^2x -1} times lim_x->0 {2x+a } over 2]

[eqn: = 1 times a over 2]

[eqn: =1]

즉, [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^2 + 2x]이므로

[eqn: f(2) = 2 times 2^2 + 2 times 2][eqn: = 12]

[eqn: lim_x->inf f(x) over x^2 = 2], [eqn: lim_x->0 f(x) over {e^2x -1} = 1]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① 6	② 8	③ 10

④ 12	⑤ 14

함수 [eqn: f(x)=(2x+7)e^x]에 대하여 [eqn: f '(0)]의 값은?

④

[해설]

{출제 의도}

지수함수의 도함수를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f'(0) = lim_h->0 { f(0+h ) - f(0)} over h]

[eqn: = lim_h->0 { (2h+7 )e^h - 7} over h]

[eqn: = lim_h->0 left{ {2he^h} over h + {7(e^h - 1)} over h right}]

[eqn: = 2 lim_h->0 e^h + 7 lim_h->0 {e^h -1} over h]

[eqn: = 2 times 1 + 7 times 1]

[eqn: = 9]

{다른 풀이}

[eqn: f(x)=(2x+7)e^x]에서

[eqn: f '(x)=2e^x +(2x+7) times e^x]

따라서 [eqn: f '(0)=2_ times 1 + 7 times 1 = 9]

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

함수 [eqn: f(x) = x ln x + x^2]에 대하여 [eqn: f '(e)]의 값은?

④

[해설]

[eqn: f(x) = x ln x + x^2]에서

[eqn: f'(x) = 1 times ln x + x times 1 over x + 2x]

[eqn: = ln x + 2x + 1]

따라서 [eqn: f'(e) = ln e + 2e + 1 = 2e + 2]

① [eqn: 2e-1]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 2e+1]

④ [eqn: 2e+2]	⑤ [eqn: 2e+3]

함수[eqn: f(x)= 2^ax + b]에 대하여[eqn: f(0)=2,~ f '(0)=2`ln`2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a, ~b]는 상수이다.)

③

[해설]

[eqn: f(0)=2]이므로

[eqn: f(x)=2^ax +b]에서

[eqn: 2^0 + b = 2, ~ 1 + b = 2]

즉, [eqn: b=1]

한편,[eqn: f'(x) = 2^ax times ln 2^a]이고, [eqn: f '(0)=2`ln`2]이므로

[eqn: 2^0 times ln 2^a = 2 ln 2]

[eqn: a`ln`2=2`ln`2]

즉, [eqn: a=2]

따라서 [eqn: a+b=2+1=3]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

함수 [eqn: f(x) = log_3 (3x^2 )]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(1+ 2h) - f(1) } over h] 의 값은?

②

[해설]

[eqn: f(x) = log_3 (3x^2 ) = log_3 3 + 2 log_3 x = 1 + 2 over ln3 ln x ~(x>0)]에서

[eqn: f' (x) = 2 over ln3 times 1 over x]

따라서

[eqn: lim_h->0 { f(1+ 2h) - f(1) } over h = lim_h->0 { f(1+ 2h ) - f(1)} over 2h times 2]

[eqn: = 2f'(1)]

[eqn: = 2 times 2 over ln3 times 1]

[eqn: = 4 over ln3]

① [eqn: 5 over ln3]	② [eqn: 4 over ln3]	③ [eqn: 3 over ln3]

④ [eqn: 2 over ln3]	⑤ [eqn: 1 over ln3]

[eqn: lim_x->1 { e^a(x-1) -3x + b} over{ log_2 x} = 3 ln 2]일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

⑤

[해설]

[eqn: lim_x->1 { e^a(x-1) -3x + b} over{ log_2 x} = 3 ln 2]에서 [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->1 left{ e^a(x-1) - 3x + b right} = 1 -3 + b = 0]에서

[eqn: b=2]

[eqn: f(x) = e^a(x-1) - 3x , ~ g(x) = log_2 x]로 놓으면

[eqn: f(1)=-2,~ g(1)=0]이므로

[eqn: lim_x->1 { e^a(x-1) -3x + b} over{ log_2 x}]

[eqn: = lim_x->1 {e^a(x-1) -3x + 2 } over{log_2 x}]

[eqn: = lim_x->1 left{ { e^a(x-1) -3x + 2 } over x-1 times x-1 over { log_2 x } right}]

[eqn: = lim_x->1 left{ { f(x) - f(1)} over x-1 times x-1 over {g(x) - g(1)} right}]

[eqn: = lim_x->1 {f(x) - f(1)} over x-1 times lim_x->1 1 over{ {g(x) - g(1)} over x-1}]

[eqn: = f'(1) times 1 over g'(1) = 3ln 2]

[eqn: f(x) = e^a(x-1) -3x = e^-a times (e^a )^x - 3x]에서

[eqn: f'(x) = e^-a times(e^a )^x times ln e^a -3 = ae^-a times e^ax - 3]

또 [eqn: g(x) = log_2 x = 1 over ln2 times ln x]에서

[eqn: g'(x) = 1 over ln2 times 1 over x]이므로

[eqn: f'(1) times 1 over g'(1) = (ae^-a times e^a -3 ) times ln2]

[eqn: = (a-3) ln 2]

[eqn: = 3 ln2]

에서 [eqn: a-3=3,~ a=6]

따라서 [eqn: a+b=6+2=8]

{다른 풀이}

[eqn: lim_x->1 { e^a(x-1) -3x + b} over{ log_2 x} = 3 ln 2]에서 [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->1 left{e^a(x-1) - 3x + b right} = 1-3+b = 0]에서

[eqn: b = 2]

[eqn: lim_x->1 { e^a(x-1) -3x + b} over{ log_2 x} = lim_x->1 {e^a(x-1) -3x + 2 } over { log_2 x}]

[eqn: x-1=t]로 놓으면 [eqn: x->1]일 때 [eqn: t->0]이므로

[eqn: lim_x->1 {e^a(x-1) -3x + 2 } over { log_2 x} = lim_t ->0 {e^at -3(1+t )+2 } over {log_2 (1+t)}]

[eqn: = lim_t->0 { e^at -1 -3t} over{ {ln(1+t)} over ln2 }]

[eqn: = ln2 lim_t->0 { { e^at -1 -3t } over t } over { {ln(1+t)} over t}]

[eqn: = ln2 { lim_t->0 { e^at -1 -3t } over t} over{ lim_t->0 { ln(1+t)} over t }]

[eqn: = ln2 { lim_t->0 left( {e^at -1 } overat times a right) - lim_t->0 3 } over { lim_t->0 { ln(1+t)} over t }]

[eqn: = (a-3) ln 2]

[eqn: (a-3) ln`2=3`ln`2]이므로

[eqn: a-3 = 3]에서 [eqn: a = 6]

따라서 [eqn: a + b = 6 + 2 = 8]

① 4	② 5	③ 6

④ 7	⑤ 8

02

삼각함수

02_삼각함수	오늘 걷지 않으면 내일 뛰어야 한다!!!

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 5이고, 모선의 길이가 12인 원뿔의 옆면을 전개했을 때 생기는 부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: a pi]이다. [eqn: a]의 값을 구하시오.

60

[해설]

{출제의도}

밑면의 반지름의 길이와 모선의 길이가 주어진 원뿔의 옆면을 전개했을 때 생기는 부채꼴의 넓이를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

밑면의 반지름의 길이가 5이므로

밑면인 원의 둘레의 길이는 [eqn: 2 pi times 5 = 10 pi]이다.

부채꼴 [eqn: OAB]의 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 부채꼴의 반지름의 길이는 원뿔의 모선의 길이 12와 같으므로 부채꼴의 호의 길이는 12[eqn: theta]이다. 밑면인 원의 둘레의 길이와 부채꼴의 호의 길이는 같으므로

[eqn: 12 theta = 10 pi]에서 [eqn: theta = 5pi over 6]

따라서 부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: 1 over 2 times 12^2 times 5pi over 6 = 60 pi]

이므로 [eqn: a]의 값은 60이다

{다른 풀이}

밑면의 반지름의 길이가 5이므로

밑면인 원의 둘레의 길이는 [eqn: 2 pi times 5 = 10 pi]이다.

부채꼴 [eqn: OAB]의 호 [eqn: AB]의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로

[eqn: arch AB = 10 pi]

부채꼴 [eqn: OAB]에서 [eqn: bar OA = 12]이므로 부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times 12 times 10 pi = 60pi]이다.

중심각의 크기가 [eqn: 3pi over 8] 이고 넓이가 [eqn: 48pi]인 부채꼴의 호의 길이는 [eqn: k pi]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오.

6

[해설]

부채꼴의 반지름의 길이를[eqn: r], 중심각의 크기를 [eqn: theta], 호의 길이를 [eqn: l], 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = 1 over 2 r^2 theta]에서

[eqn: 48 pi = 1 over 2 r^2 times 3pi over 8]

[eqn: r^2 = 16^2]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=16]

따라서 [eqn: l= r theta = 16 times 3pi over 8 = 6pi]이므로

[eqn: k=6]

반지름의 길이가 [eqn: r], 호의 길이가 [eqn: l]인 부채꼴의 둘레의 길이가 12이다. 부채꼴의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S+l]은 [eqn: r=a]일 때 최댓값 [eqn: M]을 갖는다. [eqn: a+M]의 값은? [eqn: left( 단, ~ 3 over 2 < r <6 right)]

③

[해설]

반지름의 길이가 [eqn: r], 호의 길이가 [eqn: l]인 부채꼴의 둘레의 길이가 12이므로

[eqn: 2r+l=12]에서 [eqn: l=-2r+12]

부채꼴의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S = 1 over 2 rl = 1 over 2 r (-2r + 12 ) = -r^2 + 6r]

[eqn: S + l = -r^2 + 6r + (-2r+12 ) = -r^2 + 4r + 12 = -(r-2)^2 + 16]

[eqn: 3 over 2 <r <6]이므로 [eqn: S+l]은 [eqn: r=2]일 때 최댓값 16을 갖는다.

따라서[eqn: a=2,~ M=16]이므로 [eqn: a+M=2+16=18]

① 16	② 17	③ 18

④ 19	⑤ 20

반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴의 호의 길이를 [eqn: l]이라 하자. 100보다 작은 자연수 n에 대하여 부채꼴의 넓이를 유지하면서 반지름의 길이를 [eqn: {100-n } over 100]배로 줄인 부채꼴의 호의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: l over l_n]의 값을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum_n=1 ^50 f(n) = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

153

[해설]

반지름의 길이가 줄어든 부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하자.

반지름의 길이가 [eqn: {100-n } over 100]배로 줄었으므로 [eqn: r_n = {100-n} over 100 r]

두 부채꼴의 넓이는 같으므로

[eqn: 1 over 2 rl = 1 over 2 r_n l_n]

[eqn: rl = 100-n over 100 rl_n]

[eqn: l overl_n = 100-n over 100]

[eqn: sum_n=1 ^50 f(n) = sum_n=1 ^50 100-n over 100 = { 99+98+cdots+50 } over 100 = {50(99+50)} over{ 100 times 2}]

[eqn: = 149 over 4]

따라서 [eqn: p=4, ~q=149]이므로

[eqn: p+q=4+149=153]

실수 [eqn: theta]에 대하여

③

[해설]

{출제 의도}

삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 양수 a의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: sin theta - sqrta cos theta = - 1 over 2]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 theta - 2 sqrta sin theta cos theta + a cos^2 theta = 1 over 4]	……㉠

[eqn: sqrta sin theta + cos theta = sqrt15 over 2] 의 양변을 제곱하면

[eqn: a sin^2 theta + 2sqrta sintheta cos theta + cos^2 theta = 15 over 4]	……㉡

두 식 ㉠, ㉡을 변끼리 더하면

[eqn: (a+1) sin^2 theta + (a+1) cos^2 theta = 1 over 4 + 15 over 4]

[eqn: (a+1)(sin^2 theta + cos ^2 theta ) = 4]

[eqn: sin^2 theta + cos^2 theta = 1]이므로 [eqn: a+1=4]

따라서 [eqn: a=3]

[eqn: sin theta - sqrta cos theta = - 1 over 2, ~ sqrta sin theta + cos theta = sqrt15 over 2]

를 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값은?

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

[eqn: 0 < theta < pi over 2]인 실수 [eqn: theta]에 대하여

①

[해설]

[eqn: left( sin theta - 1 over { sin theta} right)^2 + left( cos theta - 1 over{ cos theta} right)^2 - left({ cos theta} over { sin theta } - { sin theta} over {cos theta} right)^2]

[eqn: =sin^2 theta - 2 + 1 over { sin^2 theta} + cos^2 theta -2 + 1 over { cos^2 theta} - left({ cos^2 theta} over { sin^2 theta} - 2 +{sin^2 theta} over {cos^2 theta} right)]

[eqn: = sin^2 theta + cos ^2 theta + 1 over{ sin^2 theta} - {cos^2 theta} over {sin^2 theta} + 1 over {cos^2 theta} - {sin^2 theta} over{cos^2 theta} -2]

[eqn: = 1 + {1-cos^2 theta} over {sin^2 theta} + {1-sin^2 theta} over{ cos^2 theta} -2]

[eqn: =1+{sin^2 theta} over {sin^2 theta} + {cos^2 theta} over {cos^2 theta} -2]

[eqn: =1+1+1-2]

[eqn: =1]

{다른 풀이}

[eqn: 1+cot^2 theta = csc^2 theta, ~ 1+tan^2 theta = sec^2 theta]이므로

[eqn: left( sin theta - 1 over { sin theta} right)^2 + left( cos theta - 1 over{ cos theta} right)^2 - left({ cos theta} over { sin theta } - { sin theta} over {cos theta} right)^2]

[eqn: = (sin theta - csc theta)^2 + (cos theta - sec theta)^2 - (cot theta - tan theta)^2]

[eqn: = sin^2 theta - 2 + csc^2 theta + cos^2 theta -2 + sec^2 theta - (cot^2 theta -2 + tan^2 theta)]

[eqn: = sin^2 theta + cos ^2 theta + csc^2 theta - cot^2 theta + sec^2 theta - tan^2 theta -2]

[eqn: =1+1+1-2]

[eqn: =1]

[eqn: left( sin theta - 1 over { sin theta} right)^2 + left( cos theta - 1 over{ cos theta} right)^2 - left({ cos theta} over { sin theta } - { sin theta} over {cos theta} right)^2]

의 값은?

① 1	② [eqn: 3 over 2]	③ 2

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ 3

원 [eqn: x^2 + y^2 = 16]과 직선 [eqn: y = sqrt3 over 3 x]가 제1사분면에서 만나는 점을 [eqn: P]라 하고, 점 [eqn: P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하자. 점 [eqn: Q(-4, ~0)]에 대하여 [eqn: tan^2 (∠PQH)+cot^2 (∠PQH)]의 값을 구하시오.

14

[해설]

그림과 같이 직선 [eqn: y = sqrt3 over 3 x]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 30°이다.

원점 [eqn: O]에 대하여

[eqn: bar PH = bar OP sin 30° = 4 times 1 over 2 = 2]

[eqn: barOH = bar OP cos 30° = 4 times sqrt3 over 2 = 2 sqrt3]

[eqn: bar QH = bar QO + bar OH = 4 + 2 sqrt3]이므로

[eqn: tan(angle PQH ) = barPH over barQH = 2 over {4 + 2 sqrt3 } = 1 over {2 + sqrt3} = 2-sqrt3]

[eqn: cot (angle PQH ) = 1 over { tan(angle PQH)} = 1 over {2 - sqrt3} = 2 + sqrt3]

따라서

[eqn: tan^2 (angle PQH ) + cot^2 (angle PQH ) = (2-sqrt3)^2 + (2+sqrt3)^2]

[eqn: = 4- 4 sqrt3 + 3 + 4 + 4sqrt3 + 3]

[eqn: =14]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x^2 +4x-8=0]의 두 실근이[eqn: csc theta , ~ sec theta]일 때, [eqn: sin theta , ~ cos theta]를 두 실근으로 하는 [eqn: x]에 대한 이차방정식은 [eqn: x^2 +ax+b=0]이다. [eqn: |a|+|b|]의 값은? (단,[eqn: a, ~b]는 상수이다.)

②

[해설]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x^2 +4x-8=0]의 두 실근이[eqn: csc theta , ~ sec theta]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: csc theta+sec theta=- 4 over 3]	……㉠

[eqn: csc theta sec theta=- 8 over 3]	……㉡

㉠에서 [eqn: 1 over {sin theta} + 1 over{ cos theta} = - 4 over 3]이므로

[eqn: { cos theta + sin theta } over{ sin theta cos theta} = - 4 over 3]	……㉢

㉡에서 [eqn: 1 over {sin theta cos theta } = - 8 over 3]이므로

[eqn: sin theta cos theta = - 3 over 8]	……㉣

㉢, ㉣에서

[eqn: sin theta + cos theta = 1 over 2]	……㉤

[eqn: sin theta , ~cos theta]를 두 실근으로 하는 [eqn: x]에 대한 이차방정식은

[eqn: x^2 - (sin theta + cos theta ) x + sin theta cos theta = 0]

㉣, ㉤에 의하여 [eqn: x^2 - 1 over 2 x - 3 over 8 = 0]

따라서 [eqn: a = - 1 over 2 , ~ b = - 3 over 8]이므로

[eqn: |a|+|b|= left| - 1 over 2 right| + left| - 3 over 8 right| = 1 over 2 + 3 over 8 = 7 over 8]

① [eqn: 15 over 16]	② [eqn: 7 over 8]	③ [eqn: 13 over 16]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 11 over 16]

최솟값이 -1, 주기가 [eqn: 5pi over 2]인 함수[eqn: f(x) = a cos bx + c]에 대하여 [eqn: f left( 5pi over 8 right) = 1]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

④

[해설]

{출제 의도}

최솟값, 주기, 함숫값이 주어진 함수에서 세 상수 [eqn: a,~ b,~ c]의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

함수 [eqn: f(x) = a cos bx + c]의 주기는 [eqn: 5pi over 2] 이고, [eqn: b>0]이므로

[eqn: 2pi over |b| = 2pi over b = 5pi over2] 에서 [eqn: b = 4 over 5]

즉,[eqn: f(X) = a cos 4 over 5 x + c]

[eqn: f left( 5pi over 8 right) = a cos pi over 2 + c = 1]이므로 [eqn: c=1]

함수 [eqn: f(x) = a cos 4 over 5 x + 1]의 최솟값이 -1이고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: -a+1=-1]에서

[eqn: a=2]

따라서[eqn: a=2,~ b= 4 over 5 , ~c=1]이므로

[eqn: a+b+c= 2 + 4 over 5 +1 = 19 over 5]

(단, [eqn: a,~ b,~ c]는 상수이고, [eqn: a>0,~ b>0]이다.)

① [eqn: 16 over 5]	② [eqn: 17 over 5]	③ [eqn: 18 over 5]

④ [eqn: 19 over 5]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) = 4 sin 2pi x]에 대하여[eqn: f left( 31 over 6 right)]의 값은?

⑤

[해설]

[eqn: f(x) = 4 sin 2pi x]의 주기는 [eqn: 2pi over 2pi = 1]이다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=f(x)]이다.

따라서 [eqn: f left( 31 over 6 right) = f left( 5 + 1 over 6 right) = f left( 1 over 6 right) = 4 sin pi over 3 = 4 times sqrt3 over 2 = 2 sqrt3]

① [eqn: 2 sqrt2]	② 3	③ [eqn: sqrt10]

④ [eqn: sqrt11]	⑤ [eqn: 2 sqrt3]

그림과 같이 두 직선 [eqn: x=pi,~ x=3pi]를 두 점근선으로 하는 함수 [eqn: y = tan 1 over 2 x ( 0 le x < 3pi )]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: y=a~(a>0)]으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 8pi]일 때, [eqn: 30a]의 값을 구하시오.

120

[해설]

함수 [eqn: y = tan 1 over 2 x]의 주기가 2[eqn: pi]이므로 함수[eqn: y = tan 1 over 2 x ( 0 le x < 3pi )]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: y=a]로 둘러싸인 부분의 넓이 8[eqn: pi]는 가로의 길이가 2[eqn: pi], 세로의 길이가 [eqn: a]인 직사각형의 넓이와 같다.

즉, [eqn: 2pi times a = 8pi]에서 [eqn: a=4]

따라서 [eqn: 30a = 30 times 4 = 120]

그림과 같이 함수 [eqn: y = cos kx left( - pi over 2k le x le pi over 2k right)] 의 그래프와 [eqn: x]축에 평행한 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: A, ~B]라 하고, 두 점 [eqn: A, ~B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: C,~ D]라 하자. [eqn: bar CD = 1]이고, 직사각형 [eqn: ACDB]의 넓이가 [eqn: 1 over 2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

③

[해설]

함수 [eqn: y = cos kx]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고, [eqn: bar CD = 1]이므로

두 점[eqn: C, ~D]의 좌표는 각각 [eqn: C left( - 1 over 2 , ~ 0 right), ~ D left( 1 over 2 , 0 right)]이고

점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B left( 1 over 2 , cos k over 2 right)]이다.

직사각형 [eqn: ACDB]의 넓이가 [eqn: 1 over2]이므로

[eqn: 1 times cos k over 2 = 1 over 2] 즉 [eqn: cos k over 2 = 1 over 2]

[eqn: 0<k<pi]이므로 [eqn: k over 2 = pi over 3]

따라서 [eqn: k = 2pi over 3]

(단, [eqn: 0<k<pi]이고, 점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: 7pi over 12]	③ [eqn: 2pi over 3]

④ [eqn: 3pi over 4]	⑤ [eqn: 5pi over 6]

[eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: t^2 - (4sin theta) t - 4 sin theta + 3 = 0]이 중근을 가지도록 하는 모든 실수 [eqn: theta]의 값의 합은?

①

[해설]

{출제의도}

이차방정식이 중근을 가지도록 하는 조건에서 얻어진 삼각함수를 포함하고 있는 방정식의 실근을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: t^2 - (4sin theta) t - 4 sin theta + 3 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 이 이차방정식이 중근을 가지므로

[eqn: D over 4 = (-2 sin theta)^2 - (- 4 sin theta + 3 ) = 0]에서

[eqn: 4 sin ^2 theta + 4 sin theta - 3 = 0]

[eqn: (2 sin theta -1) (2 sin theta + 3) = 0]

[eqn: -1 le sin theta le 1]이므로 [eqn: sin theta = 1 over 2]

함수 [eqn: y = sin theta ~ ( 0 le theta < 2pi )]의 그래프와 직선 [eqn: y = 1 over 2]의 두 교점을 [eqn: P,~ Q]라 하면 방정식 [eqn: sin theta = 1 over 2] [eqn: ( 0 le theta < 2pi )]의 실근은 두 점 [eqn: P, ~Q]의 [eqn: theta]좌표와 같다.

따라서 그림에서 두 점 [eqn: P,~ Q]의 [eqn: theta]좌표는 각각 [eqn: theta = pi over 6 , ~theta = 5pi over 6] 이므로

구하는 모든 실수 [eqn: theta]의 값의 합은  [eqn: pi over 6 + 5pi over 6 = pi]이다.

(단, [eqn: 0 le theta < 2pi])

① [eqn: pi]	② [eqn: 3pi over 2]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: 5pi over 2]	⑤ [eqn: 3pi]

1보다 작은 양수 a에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: sin x = a] [eqn: (0 le x <2pi )]의 두 실근을[eqn: alpha , ~ beta ~ (alpha < beta)]라 할 때,

96

[해설]

그림과 같이 함수[eqn: y=sin`x]의 그래프는 직선[eqn: x = pi over 2]에 대하여 대칭이므로 함수[eqn: y=sin`x]의 그래프와 직선[eqn: y=a]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: alpha , ~ beta]에 대하여

[eqn: { alpha + beta} over 2 = pi over 2], 즉 [eqn: alpha + beta = pi]이므로 [eqn: beta = pi - alpha]이다.

[eqn: {beta - alpha} over 2 = {(pi - alpha) - alpha} over 2 = pi over 2 - alpha]이므로

[eqn: sin { beta - alpha} over 2 = sin left( pi over 2 - alpha right) = cos alpha = 1 over 5]

따라서 [eqn: a^2 = sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha = 1 - left( 1 over 5 right)^2 = 24 over 25]이므로

[eqn: 100a^2 = 100 times 24 over 25 = 96]

[eqn: sin { beta - alpha } over 2 = 1 over 5]이다. [eqn: 100a^2]의 값을 구하시오.

[eqn: sum_n=1 ^ inf (sin theta)^2n-1 = 3 over 8]을 만족시키는 실수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cot^2 theta]의 값은? [eqn: left( 단, ~ - pi over 2 < theta < pi over 2 right)]

③

[해설]

[eqn: ~ - pi over 2 < theta < pi over 2]에서 [eqn: -1 < sin theta <1], 즉 [eqn: 0 le sin^2 theta < 1]이므로 급수

[eqn: sum _n=1 ^ inf (sin theta)^2n-1]은 첫째항이 [eqn: sin theta]이고, 공비가 [eqn: sin ^2 theta]인 수렴하는 등비급수이다.

즉, [eqn: sum _n=1 ^ inf (sin theta)^2n-1 = { sin theta} over{ 1- sin^2 theta} = 3 over 8]

[eqn: 8 sin theta = 3(1 - sin^2 theta)]

[eqn: 3 sin^2 theta + 8 sin theta - 3 = 0]

[eqn: (3 sin theta - 1) (sin theta + 3) =0]

[eqn: -1<sin theta<1]이므로

[eqn: sin theta = 1 over 3]

따라서

[eqn: cot^2 theta = csc ^2 -1]

[eqn: = 1 over{sin^2 theta } -1]

[eqn: =9-1=8]

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

[eqn: 1 le t <13]일 때, 부등식 [eqn: cos { (t-1) pi } over 6 < sqrt3 over 2]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: t]의 값의 합을 구하시오.

63

[해설]

[eqn: cos { (t-1) pi } over 6 < sqrt3 over 2] 에서 [eqn: x = { (t-1) pi } over 6] 로 놓으면

[eqn: 1 le t <13]이므로 [eqn: 0 le x < 2pi]

[eqn: cos x < sqrt3 over 2] 에서 그림과 같이 함수 [eqn: y=cos`x]의 그래프와 직선 [eqn: y = sqrt3 over 2]이 만나는 두 점을 [eqn: P, ~Q]라 하면 두 점 [eqn: P, ~Q]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: pi over 6 , ~ 11pi over 6]이다.

부등식 [eqn: cos x < sqrt3 over 2] 의 해는 함수 [eqn: y=cos`x]의 그래프가 직선 [eqn: y = sqrt3 over 2]보다 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위이므로

[eqn: pi over 6 < x < 11pi over 6]

[eqn: x = { (t-1) pi} over 6] 이므로

[eqn: pi over 6 < { (t-1)pi } over 6 < 11pi over 6]

[eqn: 2<t<12]

따라서 자연수 [eqn: t]의 값은 3, 4, 5, …, 11이므로 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: 3+4+5+y+11=63]

좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y^2 = 1]과 직선 [eqn: y = 1 over 3 x]가 제1사분면에서 만나는 점을 [eqn: P], 원[eqn: x^2 + y^2 = 1]과 직선 [eqn: y=-3x]가 제2사분면에서 만나는 점을 [eqn: Q]라 하자. 원점 [eqn: O]와 점 [eqn: A(1, 0)]에 대하여 [eqn: ∠POA=alpha,~ ∠QOA=beta]라 할 때, [eqn: cos (alpha+beta)]의 값은? [eqn: left( 단, ~ 0 < alpha < pi over 2 , ~ pi over 2 < beta < pi right)]

③

[해설]

{출제 의도}

코사인함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

직선 [eqn: y = 1 over 3 x]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기가 [eqn: alpha]이므로

[eqn: tan alpha = 1 over 3]

[eqn: 0 < alpha < pi over 2]이므로

[eqn: cos alpha = 3 over sqrt10 , ~ sin alpha = 1 over sqrt10]

직선 [eqn: y=-3x]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기가 [eqn: beta]이므로

[eqn: tan`beta=-3]

[eqn: pi over 2 < beta < pi]이므로 [eqn: cos beta = - 1 over sqrt10 , ~ sin beta = 3 over sqrt10]

따라서

[eqn: cos(alpha + beta ) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta]

[eqn: = 3 over sqrt10 times left( - 1 over sqrt10 right) - 1 over sqrt10 times 3 over sqrt10]

[eqn: = - 3 over 10 - 3 over 10]

[eqn: = - 6 over 10 = - 3 over 5]

[eqn: = - 6 over 10 = - 3 over 5]

① [eqn: - 4 over 5]	② [eqn: - 7 over 10]	③ [eqn: - 3 over 5]

④ [eqn: - 1 over 2]	⑤ [eqn: - 2 over 5]

[eqn: cos( alpha + beta ) = 1 over 4]이고 [eqn: cos ( alpha - beta ) = 1 over 2]일 때,

②

[해설]

[eqn: 0 < alpha < pi over 2 , ~ 0 < beta < pi over 2]에서 [eqn: 0 < alpha + beta < pi]이므로

[eqn: sin(alpha + beta ) = sqrt{1 - cos^2 (alpha + beta)} = sqrt{ 1 - left( 1 over 4 right)^2 } = sqrt {15 over 16 } = sqrt15 over 4]

[eqn: (cos alpha - sin alpha )(sin beta - cos beta )]

[eqn: = cos alpha sin beta - cos alpha cos beta - sin alpha sin beta + sin alpha cos beta]

[eqn: = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta - (cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )]

[eqn: = sin (alpha + beta ) - cos ( alpha - beta )]

[eqn: = sqrt15 over 4 - 1 over 2 = {-2 + sqrt15 } over 4]

따라서 [eqn: a = 2, ~ b = 15]이므로

[eqn: a+b=2+15=17]

[eqn: (cos alpha - sin alpha )(sin beta - cos beta ) = {-a + sqrtb } over 4]이다.

두 자연수 [eqn: a,~ b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [eqn: left( 0 < alpha < pi over 2 , ~ 0 < beta < pi over 2 right)]

① 16	② 17	③ 18

④ 19	⑤ 20

좌표평면에서 두 점 [eqn: P(sin`alpha,~ cos`alpha)], [eqn: Q(cos`beta,~ sin`beta)] 사이의 거리가 [eqn: sqrt2 over 2] 일 때, [eqn: cos^2 (alpha + beta)]의 값은?

③

[해설]

두 점 [eqn: P(sin`alpha,~ cos`alpha)], [eqn: Q(cos`beta,~ sin`beta)] 사이의 거리가 [eqn: sqrt2 over 2]이므로

[eqn: bar PQ = sqrt{ (sin alpha - cos beta )^2 + (cos alpha - sin beta )^2 } = sqrt2 over 2]에서

[eqn: (sin alpha - cos beta )^2 +(cos alpha - sin beta )^2 = 1 over 2]

[eqn: sin ^2 alpha - 2 sin alpha cos beta + cos ^2 beta + cos ^2 alpha - 2 cos alpha sin beta + sin ^2 beta = 1 over 2]

[eqn: 2 - 2(sin alpha cos beta + cos alpha sin beta ) = 1 over 2]

[eqn: 2 -2 sin (alpha + beta ) = 1 over 2]

즉, [eqn: sin (alpha + beta ) = 3 over 4]

따라서 [eqn: cos ^2 (alpha + beta ) = 1 - sin^2 (alpha + beta ) = 1 - left( 3 over 4 right)^2 = 7 over 16]

① [eqn: 5 over 16]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 7 over 16]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 9 over 16]

그림과 같이 [eqn: bar AB = 8, ~ bar AC = 4 sqrt5, ~ angle B = 90°]인 직각삼각형 [eqn: ABC]의 변 [eqn: AB]를 4등분하는 점을 점 [eqn: A]에서 가까운 점부터 차례로 [eqn: P, ~Q,~ R]라 하자. [eqn: ∠RCP=theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

②

[해설]

직각삼각형 [eqn: ABC]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: bar BC = sqrt{ {bar AC}^2 - {bar AB}^2 } = sqrt{(4sqrt5 )^2 - 8^2 } = sqrt{80-64} = 4]

직각삼각형 [eqn: CPB]에서 [eqn: bar PB = 3 over 4 bar AB = 3 over 4 times 8 = 6]이므로 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: bar CP{ = sqrt{ {bar PB}^2 + {bar BC}^2 } = sqrt{6^2 + 4^2 } = sqrt52 = 2 sqrt13]

[eqn: ∠BCP=alpha]로 놓으면

[eqn: sin alpha = 6 over { 2 sqrt13} = {3 sqrt13} over 13 , ~ cos alpha = 4 over {2 sqrt13} = {2 sqrt13} over 13]

직각삼각형 [eqn: CRB]에서 [eqn: bar RB = 1 over 4 bar AB = 1 over 4 times 8 = 2]이므로 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: bar CR = sqrt{ {bar RB}^2 + {bar BC} ^2 } = sqrt{2^2 + 4^2 } = sqrt20 = 2 sqrt5]

[eqn: ∠BCR=beta]로 놓으면

[eqn: sin beta = 2 over {2 sqrt5} = sqrt5 over 5 , ~ cos beta = 4 over { 2 sqrt5 } = {2sqrt5} over 5]

따라서

[eqn: cos theta = cos (alpha - beta ) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta]

[eqn: = {2 sqrt13} over 13 times {2 sqrt5} over 5 + {3 sqrt13} over 13 times sqrt5 over 5]

[eqn: ={7 sqrt65} over 65]

① [eqn: {6 sqrt65} over 65]	② [eqn: {7 sqrt65} over 65]	③ [eqn: {8 sqrt65} over 65]

④ [eqn: {9 sqrt65} over 65]	⑤ [eqn: {2 sqrt65} over 13]

[eqn: tan left( alpha + pi over 4 right) = 2]일 때, [eqn: tan alpha]의 값은? [3점]

①

[해설]

{출제 의도}

탄젠트함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: tan left( alpha + pi over 4 right) = 2]에서

[eqn: tan left( alpha + pi over 4 right) = { tan alpha + tan pi over 4 } over { 1 - tan alpha tan pi over 4 } = { tan alpha +1 } over {1-tan alpha } = 2]

[eqn: tan alpha +1 = 2(1 - tan alpha)]

따라서 [eqn: 3 tan alpha = 1]이므로 [eqn: tan alpha = 1 over 3]

{다른 풀이}

[eqn: beta = alpha + pi over 4]로 놓으면 [eqn: tan beta = 2]이고, [eqn: alpha = beta - pi over 4]이다.

따라서

[eqn: tan alpha = tan left( beta - pi over 4 right) = { tan beta - tan pi over 4 } over{ 1 + tan beta tan pi over 4 } = 2-1 over{ 1+ 2 times 1 } = 1 over 3]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 4 over 9]	③ [eqn: 5 over 9]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 7 over 9]

두 실수 [eqn: alpha, ~beta]에 대하여 [eqn: sqrt7 tan alpha tan beta + tan alpha + tan beta = sqrt7]일 때, [eqn: sec^2 (alpha + beta )]의 값은? (단,[eqn: tan alpha tan beta !=1])

③

[해설]

[eqn: sqrt7 tan alpha tan beta + tan alpha + tan beta = sqrt7]에서

[eqn: tan alpha + tan beta = sqrt7 - sqrt7 tan alpha tan beta]

[eqn: = sqrt7 (1- tan alpha tan beta )]

[eqn: 1 - tan alpha tan beta !=0]이므로

[eqn: { tan alpha + tan beta } over{ 1- tan alpha tan beta } = sqrt7]

따라서 [eqn: tan (alpha + beta ) = { tan alpha + tan beta } over{ 1 - tan alpha tan beta } = sqrt7]이므로

[eqn: sec^2 (alpha + beta ) = 1 + tan ^2 ( alpha + beta ) = 1 + (sqrt7 )^2 = 1+7 = 8]

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

좌표평면에서 두 직선[eqn: 2x-y-3=0], [eqn: ax-y+2=0]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때,[eqn: tan theta = 3 over 16]이다. 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>2])

②

[해설]

두 직선 [eqn: 2x-y-3=0], [eqn: ax-y+2=0]과 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha,~ beta]라 하면

[eqn: tan`alpha=2,~ tan`beta=a]

[eqn: a>2]에서 [eqn: alpha < beta < pi over 2]이므로 두 직선이 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]에 대하여

[eqn: tan theta = tan (beta - alpha ) = { tan beta - tan alpha} over { 1 + tan beta tan alpha } = a-2 over {1 + a times 2 } = a-2 over {1 + 2a } = 3 over 16]

[eqn: 16(a-2)=3(1+2a)]

[eqn: 10a=35]

따라서 [eqn: a = 35 over 10 = 7 over 2]

① 3	② [eqn: 7 over 2]	③ 4

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ 5

2 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: tan alpha = 1 , ~ tan (alpha + beta ) = n]일 때, [eqn: tan beta]의 값을 [eqn: f(n)]이라 하자.

④

[해설]

[eqn: tan(alpha + beta ) = { tan alpha + tan beta } over {{ 1 - tan alpha tan beta }} = { 1 + tan beta } over { 1- tan beta } = n]

[eqn: 1 + tan beta = n (1 - tan beta )]

[eqn: (n+1) tan beta = n-1]

[eqn: tan beta = n-1 over n+1]

따라서 [eqn: f(n) = n-1 over n+1]이므로

[eqn: sum _ n=2 ^inf left{ f(n+1) - f(n)right}]

[eqn: = lim_n->inf sum _k=2 ^n left{ f(k+1) - f(k) right}]

[eqn: = lim_n->inf [ left{ f(3) - f(2) right} + left{ f(4) - f(3) right} + cdots + left{ f(n+1) - f(n)right} ]]

[eqn: = lim_n->inf left{ f(n+1 ) - f(2) right}]

[eqn: = lim_n->inf left( n over n+2 - 1 over 3 right)]

[eqn: = 1 - 1 over 3]

[eqn: = 2 over 3]

{다른 풀이}

[eqn: alpha + beta = gamma]라 하면 [eqn: tan gamma = n]이고, [eqn: beta = gamma - alpha]이므로

[eqn: tan beta = tan (gamma - alpha ) = { tan gamma - tan alpha} over { 1 + tan gamma tan alpha } = n-1 over {1 + n times 1 } = n-1 over n+1]

따라서 [eqn: f(n) = n-1 over n+1] 이므로

[eqn: sum _ n=2 ^inf left{ f(n+1) - f(n)right}]

[eqn: = lim_n->inf sum _k=2 ^n left{ f(k+1) - f(k) right}]

[eqn: = lim_n->inf [ left{ f(3) - f(2) right} + left{ f(4) - f(3) right} + cdots + left{ f(n+1) - f(n)right} ]]

[eqn: = lim_n->inf left{ f(n+1 ) - f(2) right}]

[eqn: = lim_n->inf left( n over n+2 - 1 over 3 right)]

[eqn: = 1 - 1 over 3]

[eqn: = 2 over 3]

[eqn: sum _ n=2 ^inf left{ f(n+1) - f(n)right}]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->0 f(x) over {1- cos (x^2 )} = 2]를 만족시킬 때, [eqn: lim_x->0 f(x) over x^p = q]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p>0,~ q>0]이다.)

②

[해설]

{출제의도}

삼각함수의 극한에 대한 공식을 이용하여 두 상수 [eqn: p,~ q]의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: lim_x->0 f(x) over {1- cos (x^2 )} = 2]에서

[eqn: lim_x->0 f(x) over {1 - cos (x^2 )}]

[eqn: = lim_x->0 {f(x) left{ 1 + cos (x^2 ) right} } over { left{ (1 - cos (x^2 ) right} left { 1 + cos (x^2 ) right} }]

[eqn: = lim_x->0 {f(x) left{ 1 + cos (x^2 ) right} } over { 1 - cos ^2 (x^2 )}]

[eqn: = lim_x->0 {f(x) left{ 1 + cos (x^2 ) right} } over {sin^2 (x^2 )}]

[eqn: = lim_x->0 left[ f(x) over{ (x^2 )^2} times {(x^2 )^2 } over {sin ^2 (x^2 )} times left{ 1 + cos (x^2 ) right} right]]

[eqn: = lim_x->0 f(x) over x^4 times left{ lim_x->0 x^2 over {sin (x^2 ) } right}^2 times lim_x->0 left { 1 + cos (x^2 )right}]

[eqn: =lim_x->0 f(x) over x^4 times 1^2 times (1+1)]

이므로 [eqn: lim_x->0 f(x) over x^4 = 1]

따라서 [eqn: p=4, ~q=1]이므로 [eqn: p+q=4+1=5]

① 4	② 5	③ 6

④ 7	⑤ 8

[eqn: lim_x->0 { sin(3x^2 + 18x )} over 2x]의 값을 구하시오.

9

[해설]

[eqn: lim_x->0 { sin(3x^2 + 18x )} over 2x]

[eqn: = lim_x->0 left{ { sin (3x^2 + 18 x )} over {3x^2 + 18x } times {3x^2 + 18x} over 2x right}]

[eqn: =lim_x->0 {sin (3x^2 + 18x )} over {3x^2 + 18x } times lim_x->0{3x^2 + 18x } over 2x]

[eqn: =lim_x->0 {sin (3x^2 + 18x )} over {3x^2 + 18x } times lim_x->0 left( 3 over 2 x + 9 right)]

[eqn: lim_x->0 { sin (3x^2 + 18 x )} over { 3x^2 + 18x }]에서 [eqn: 3x^2 + 19x = t]라 하면

[eqn: x -> 0]일 때 [eqn: t ->0]이므로

[eqn: lim_x->0 { sin (3x^2 + 18 x )} over { 3x^2 + 18x } = lim _ t->0 {sin t} over t = 1]

따라서 [eqn: lim _x->0 left( 3 over 2 x + 9 right) = 9]이므로

[eqn: lim_x->0 { sin(3x^2 + 18x )} over 2x = 1 times 9 = 9]

[eqn: lim_x->0 { x(e^3x -1)} over { sec 2x -1}]의 값은?

②

[해설]

[eqn: lim_x->0 { x(e^3x -1)} over { sec 2x -1}]

[eqn: =lim_x->0 { x(e^3x -1) } over { 1 over {cos 2x} -1 }]

[eqn: = lim_x->0 { x cos 2x (e^3x -1) } over {1 - cos 2x}]

[eqn: =lim_x->0 { x cos 2x (e^3x -1) (1+ cos 2x )} over { 1 - cos ^2 2x}]

[eqn: =lim_x->0{x cos 2x (e^3x -1) (1 + cos 2x )} over{ sin^2 2x}]

[eqn: =3 over 4 times left( lim_x->0 2x over { sin 2x } right)^2 times lim_x->0{e^3x -1 } over 3x times lim_x->0 left( cos 2x (1 + cos 2x ) right}]

[eqn: = 3 over 4 times 1^2 times 1 times 1 (1 + 1)]

[eqn: = 3 over 2]

① 1	② [eqn: 3 over 2]	③ 2

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ 3

[eqn: 0 < theta < pi]인 실수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: f(theta)]를 [eqn: f(theta) = sum _ n=1 ^ inf sin theta cos ^n theta]라 할 때, [eqn: lim _ theta->0+ left{ theta times f(theta) right}]의 값은?

②

[해설]

[eqn: 0 < theta < pi]인 실수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: -1<cos theta<1]이므로 급수

[eqn: sum _n=1 ^inf sin theta cos ^n theta]는 첫째항이 [eqn: sin theta cos theta], 공비가 [eqn: cos theta]인 수렴하는 등비급수이다.

따라서 [eqn: f(theta) = sum _n=1 ^inf sin theta cos ^n theta = { sin theta cos theta } over { 1 - cos theta}]이므로

[eqn: lim _ theta->0+ left{ theta times f(theta) right} = lim_theta->0+ { theta sin theta cos theta} over {1 - cos theta}]

[eqn: = lim_theta->0+ left{ { theta sin theta cos theta } over { 1 - cos ^2 theta } times (1 + cos theta) right}]

[eqn: = lim_theta->0+ { theta sin theta } over { sin ^2 theta } times lim_theta->0+ left{ (1 + cos theta) cos theta right}]

[eqn: = lim_theta->0+ theta over { sin theta } times lim_theta->0+ left{ (1 + cos theta ) cos theta right}]

[eqn: = 1 times (1 + 1 ) times 1]

[eqn: = 2]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

[eqn: lim _ x->0 { sin (a - cos 4x ) } over x^2 = b]일 때, 두 상수 [eqn: a, ~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: 0<a<pi])

④

[해설]

[eqn: lim _ x->0 { sin (a - cos 4x ) } over x^2]의 값이 존재하고 [eqn: x -> 0]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->0 sin ( a - cos 4x ) = 0]

함수[eqn: sin (a - cos 4x )]는 연속함수이므로 [eqn: sin (a-1)=0]

[eqn: 0<a<pi]이므로 [eqn: a=1]

[eqn: lim _ x->0 { sin (a - cos 4x ) } over x^2]

[eqn: = lim_x->0 { sin ( 1- cos 4x )} over x^2]

[eqn: = lim_x->0 left{ {sin(1 - cos 4x )} over { 1 - cos 4x } times { 1- cos 4x } over x^2 right}]

[eqn: = lim_x->0 left{ { sin (1 - cos 4x )} over { 1- cos 4x } times { 1 - cos^2 4x } over {x^2 (1 + cos 4x )} right}]

[eqn: = lim_x->0 left{{ sin (1 - cos 4x ) } over { 1 - cos 4x } times { sin ^2 4x } over { x^2 (1 + cos 4x ) } right}]

[eqn: = lim_x->0 { sin (1 - cos 4x )} over { 1- cos 4x } times lim_x->0 { sin ^2 4x } over x^2 times lim_x->0 1 over { 1 + cos 4x }]

[eqn: = 16 lim_x->0 { sin (1 - cos 4x )} over { 1 - cos 4x } times left( lim_x->0 { sin 4x } over 4x right)^2 times lim_x->0 1 over {1 + cos 4x}]

[eqn: = 16 times 1 times 1^2 times 1 over 1+1 = 8 = b]

따라서 [eqn: a = 1, ~ b = 8]이므로

[eqn: a+b=1+8=9]

{참고}

[eqn: lim_x->0 { sin (1 - cos 4x )} over { 1- cos 4x }]에서

[eqn: 1-cos`4x=t]로 놓으면[eqn: x ->0]일 때 [eqn: t -> 0+]이므로

[eqn: lim_x->0 { sin (1 - cos 4x )} over { 1- cos 4x } = lim_t->0+ { sin t } over t = 1]

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

함수

④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim_x->0- f(x) = f(0) = lim _x->0+ f(x)]

[eqn: f(0) = lim_x->0- f(x)]에서

[eqn: a = lim_x->0- { 4 sin x + tan 5x } over 3x = 4 over 3 lim_x->0- { sin x } over x + 5 over 3 lim_x->0- {tan 5x } over 5x]

[eqn: = 4 over 3 times 1 + 5 over 3 times 1 = 4 over 3 + 5 over 3 = 3]

[eqn: lim_x->0+ { ln (1 + bx ) } over 2x = b over 2 lim_x->0+ {ln(1+bx) } over bx = b over 2 times 1 = b over 2]

[eqn: b over 2 = 3]이므로 [eqn: b=6]

따라서 [eqn: a=3,~ b=6]이므로

[eqn: a+b=3+6=9]

[eqn: f(x) = cases{ { 4sinx + tan 5x } over 3x &(x<0) # a &( x = 0) #{ln (1 + bx)} over 2x & ( x>0)]

이 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a, ~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

②

[해설]

[eqn: f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c] ([eqn: a,~ b, ~c]는 상수)라 하면

조건 (가)에서 [eqn: x->0]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, [eqn: lim_x->0 f(x) over { tan 1 over 2 x}]의 값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->0 f(x) = lim_x->0 (x^3 + ax^2 + bx + c ) = c = 0]

[eqn: lim_x->0 f(x) over { tan 1 over 2 x } = lim_x->0 { x^3 + ax^2 + bx } over { tan 1 over 2 x }]

[eqn: = 2 lim_x->0 left{ {1 over 2 x } over { tan 1 over 2 x } times ( x^2 + ax + b ) right}]

[eqn: = 2 lim_x->0 { 1 over 2 x } over { tan 1 over 2 x } times lim _x->0 (x^2 + ax + b )]

[eqn: =2 times 1 times b = 2b = 6]

따라서 [eqn: b=3]

[eqn: f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3]이고, 조건 (나)에서

[eqn: lim_x->1 { f(x) - f(1) } over x-1 = 22]이므로

[eqn: f '(1)=3+2a+3=22]에서 [eqn: a=8]

따라서 [eqn: f(x) = x^3 + 8x^2 + 3x]이므로

[eqn: f(1)=1+8+3=12]

(가)[eqn: lim_x->0 f(x) over { tan 1 over 2 x } = 6]

(나)[eqn: lim_x->1 { f(x) - f(1) } over x-1 = 22]

[eqn: f(1)]의 값은?

① 11	② 12	③ 13

④ 14	⑤ 15

그림과 같이 원에 내접하고 한변의 길이가 [eqn: 2 sqrt3]인 정삼각형 [eqn: ABC]가 있다. 점 [eqn: B]를 포함하지 않는 호 [eqn: AC] 위의 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: ∠PBC= theta]라 하고, 선분 [eqn: PC]를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta )]라 하자.

80

[해설]

{출제 의도}

삼각함수를 이용하여 주어진 도형에서 관계식을 구한 후 삼각함수의 극한을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: ∠BPC=∠BAC= pi over 3]이고,

[eqn: bar BC = 2 sqrt3]이므로

그림과 같이 삼각형 [eqn: PBC]의 꼭짓점 [eqn: C]에서 선분 [eqn: BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면 직각삼각형 [eqn: HBC]에서

[eqn: bar CH = bar BC sin theta = 2 sqrt3 sin theta]

직각삼각형 [eqn: HCP]에서 [eqn: bar PC = bar CH over { sin pi over 3 } = { 2 sqrt3 sin theta } over { sqrt3 over 2 } = 4 sin theta]

정삼각형의 내심과 무게중심은 서로 같으므로 선분 [eqn: PC]를 한 변으로 하는 정삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r = 1 over 3 times sqrt3 over 2 times bar PC = 1 over 3 times sqrt3 over 2 times 4 sin theta = { 2sqrt3 } over 3 sin theta]이다.

[eqn: S( theta) = pi r^2 = pi times left( { 2 sqrt3 } over 3 sin theta right) ^2 = 4pi over 3 sin ^2 theta]

[eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} over theta^2 = lim_theta->0+ { 4pi over 3 sin ^2 theta } over theta^2 = 4pi over 3 lim_theta->0+ { sin^2 theta } over theta^2]

[eqn: = 4pi over 3 left( lim_theta->0+ {sin theta} over theta right) ^2 = 4pi over 3 times 1^2 = 4pi over 3]

따라서[eqn: a = 4 over 3]이므로 [eqn: 60a = 30 times 4 over 3 = 80]

[eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} over theta^2 = a pi]일 때, [eqn: 60a]의 값을 구하시오.

그림과 같이 반지름의 길이가 2이고, 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: OAB]의 점 [eqn: B]에서 선분 [eqn: OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 할 때, 선분 [eqn: OH]를 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴의 호가 선분 [eqn: OB]와 만나는 점을 [eqn: C]라 하자. 두 선분 [eqn: HA]와 [eqn: HB]의 길이를 각각 [eqn: f(h), ~g(h)]라 하고, 두 선분 [eqn: BC, ~HA]와 두 호 [eqn: AB],

①

[해설]

[eqn: bar OH = bar OB cos theta = 2 cos theta]이고,

[eqn: bar HB = bar OB sin theta = 2 sin theta]이므로

[eqn: f(theta) = bar HA = bar OA - bar OH = 2 - 2 cos theta = 2 (1 - cos theta)]

[eqn: g( theta) = bar HB = 2 sin theta]

[eqn: S (theta) = 1 over 2 times 2^2 times theta - 1 over 2 times ( 2 cos theta) ^2 times theta]

[eqn: = 2 theta - 2 theta cos ^2 theta = 2 theta ( 1 - cos^2 theta )]

[eqn: lim_theta->0+ { f(theta )times g(theta) } over S(theta) = lim_theta->0+ { 2 (1 - cos theta ) times 2 sin theta } over { 2 theta (1 - cos ^2 theta )}]

[eqn: = lim_theta->0+ { 2 sin theta } over { theta ( 1 + cos theta )]

[eqn: = lim_theta->0+ {sin theta } over theta times lim_theta->0+ 2 over {1 + cos theta}]

[eqn: = 1 times 1]

[eqn: =1]

[eqn: HC]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때,

[eqn: lim_theta->0+ { f(theta )times g(theta) } over S(theta)]의 값은? [eqn: left( 단, ~ 0 < theta < pi over 2 right)]

① 1	② [eqn: 3 over 2]	③ 2

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ 3

그림과 같이 좌표평면의 제1사분면에서 원 [eqn: x^2 + y^2 = 1] 위를 움직이는 점 [eqn: P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H], [eqn: ∠POH= theta]라 할 때, [eqn: ∠PQH= theta over 2]를 만족시키는 [eqn: x]축 위의 점을 [eqn: Q]라 하자. 점 [eqn: R(1, ~0)]에 대하여 호 [eqn: PR]의 길이를 [eqn: L( theta)], 삼각형 [eqn: PHQ]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} over { L( theta)}]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

①

[해설]

삼각형 [eqn: POH]에서 [eqn: bar OH = cos theta , ~ bar PH = sin theta]

삼각형 [eqn: PHQ]에서 [eqn: tan theta over 2 = bar PH over bar HQ]이고, [eqn: bar PH = sin theta]이므로

[eqn: bar HQ = { sin theta } over { tan theta over 2}]

삼각형 [eqn: PHQ]의 넓이 [eqn: S(theta)]는

[eqn: S( theta) = 1 over 2 times bar PH times bar HQ = 1 over 2 times sin theta times { sin theta } over { tan theta over 2 } = { sin^2 theta} over{ 2 tan theta over2 }]

호 [eqn: PR]의 길이 [eqn: L(theta)]는

[eqn: L( theta) = 1 times theta = theta]

따라서

[eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} over { L( theta)} = lim_ theta->0+ { sin^2 theta} over { 2 theta tan theta over 2 } = left( lim_ theta->0+ { sin theta} over theta right)^2 times lim_ theta->0+ { theta over 2 } over { tan theta over 2 }]

[eqn: = 1^2 times 1]

[eqn: = 1]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

그림과 같이 좌표평면에서 원점 [eqn: O]와 점 [eqn: A(1, 0)]에 대하여 선분 [eqn: OA]를 한 변으로 하는 마름모 [eqn: OABC]가 있다. [eqn: ∠COA= theta]라 할 때, 마름모 [eqn: OABC]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 선분 [eqn: OB]의 길이의 제곱을 [eqn: g( theta)]라 하자.

④

[해설]

마름모 [eqn: OABC]의 한 변의 길이가 1이므로 마름모 [eqn: OABC]의 넓이

[eqn: f(theta)]는

[eqn: f(theta) = 2 times TRIANGLE OAC]

[eqn: = 2 times 1 over 2 times bar OA times bar OC times sin theta]

[eqn: = 2 times 1 over 2 times 1 times 1 times sin theta]

[eqn: = sin theta]

점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: C ( cos theta, ~ sin theta )]이고 마름모 [eqn: OABC]의 두 대각선의 중점은 서로 같으므로 선분 [eqn: AC]의 중점과 선분 [eqn: OB]의 중점은 서로 같다.

점 [eqn: B]의 좌표를 [eqn: B(a, ~b)]라 하면

[eqn: a over 2 = { cos theta + 1 } over 2], [eqn: b over 2 = {sin theta } over 2]에서

[eqn: a=cos`theta+1,~ b=sin theta]

즉, 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: B( cos theta +1 , ~ sin theta)]이므로

[eqn: g( theta) = { bar OB } ^2 = (cos theta + 1) ^2 + sin ^2 theta = cos^2 theta + 2 cos theta + 1 + sin ^2 theta]

[eqn: 2 + 2 cos theta]

따라서

[eqn: lim_theta->0+ { theta times g(theta)} over f(theta) = lim_theta->0+ { theta times ( 2+ 2 cos theta )} over { sin theta }]

[eqn: = lim_theta->0+ theta over { sin theta } times lim_theta->0+ ( 2 + 2 cos theta )]

[eqn: = 1 times (2 + 2 times 1 ) = 4]

{다른 풀이1}

마름모 [eqn: OABC]의 한 변의 길이가 1이므로 마름모 [eqn: OABC]의 넓이 f[eqn: f(theta)]는

[eqn: f( theta ) = 2 times TRIANGLE OAC]

[eqn: = 2 times 1 over 2 times bar OA times bar OC times sin theta]

[eqn: = 2 times 1 over 2 times 1 times 1 times sin theta]

[eqn: = sin theta]

두 대각선 [eqn: OB,~ AC]가 만나는 점을 [eqn: M]이라 하면 두 대각선 [eqn: OB,~ AC]가 서로 수직이므로 삼각형 [eqn: OAM]은 [eqn: ∠OMA= pi over 2]인 직각삼각형이다.

삼각형 [eqn: OAM]에서

[eqn: bar OM = bar OA times cos theta over 2 = 1 times cos theta over 2 = cos theta over 2]

이므로 [eqn: bar OB = 2 bar OM = 2 cos theta over 2]이고,

[eqn: g( theta ) = { bar OB } ^2 = left( 2 cos theta over 2 right)^2 = 4 cos ^2 theta over 2]이다.

따라서

[eqn: lim_theta->0+ { theta times g(theta)} over f(theta) = lim_theta->0+ { theta times 4 cos ^2 theta over 2 } over { sin theta }]

[eqn: = 4 times lim_theta->0+ theta over { sin theta } times lim_theta->0+ cos ^2 theta over 2]

[eqn: = 4 times 1 times 1^2 = 4]

{다른 풀이 2}

점 [eqn: C]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: bar CH = sin theta]

마름모 [eqn: OABC]의 넓이 [eqn: f( theta)]는

[eqn: f( theta) = 2 times 1 over 2 times 1 times sin theta = sin theta]

마름모의 대각선은 내각을 이등분하므로

[eqn: g( theta ) = { bar OB } ^2 = left( { sin theta} over { sin theta over 2 } right)^2]

따라서

[eqn: lim_theta->0+ { theta times g(theta)} over f(theta) = lim_theta->0+ { theta times left( { sin theta} over{ sin theta over2} right)^2} over { sin theta}]

[eqn: =lim_theta->0+ { theta sin theta } over { sin^2 theta over2 }]

[eqn: = 4 times left( lim_theta->0+ { theta over 2 } over{ sin theta over 2 } right)^2 times lim_theta->0+ { sin theta } over theta]

[eqn: = 4 times 1^2 times 1 = 4]

[eqn: lim_theta->0+ { theta times g(theta)} over f(theta)]의 값은? [eqn: left( 단, ~ 0 < theta < pi over 2 right)]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

그림과 같이 [eqn: bar AB = 4]이고 [eqn: bar AC = bar BC]인 이등변삼각형 [eqn: ABC]에 대하여 점 [eqn: B]를 지나고 선분 [eqn: BC]와 수직인 직선이 직선 [eqn: AC]와 만나는 점을 [eqn: D]라 하자. [eqn: ∠CAB= theta]일 때, 두 삼각형[eqn: ABC], [eqn: CBD]의 넓이를 각각 [eqn: S( theta) , ~ T(theta)]라 하자.

100

[해설]

삼각형 [eqn: ABC]는 이등변삼각형이고 [eqn: ∠CAB=theta]이므로 [eqn: ∠ABC=theta]이다.

점 [eqn: C]에서 변 [eqn: AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: bar AH = 1 over 2 bar AB = 1 over 2 times 4 = 2]

삼각형 [eqn: AHC]에서 [eqn: tan theta = bar CH over 2] 이므로

[eqn: bar CH = 2 tan theta]

그러므로 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이[eqn: S( theta)]는

[eqn: S( theta) = 1 over 2 times bar AB times bar CH = 1 over 2 times 4 times 2 tan theta]

[eqn: = 4 tan theta]

또한 [eqn: ∠BCD]는 삼각형 [eqn: ABC]의 외각이므로

[eqn: ∠BCD=∠CAB+∠ABC= theta + theta = 2 theta]이고

[eqn: bar BC = bar AC = 2 over { cos theta }] 이므로

[eqn: bar BD = bar BC times tan 2 theta = 2 over {cos theta} times tan 2 theta = { 2 tan 2 theta } over { cos theta }]

그러므로 삼각형 [eqn: CBD]의 넓이 [eqn: T( theta)]는

[eqn: T( theta) = 1 over 2 bar BC times bar BD]

[eqn: = 1 over 2 times 2 over {cos theta} times { 2 tan 2 theta} over { cos theta}]

[eqn: ={ 2 tan 2 theta } over { cos ^2 theta]

따라서

[eqn: lim_theta->0+ T(theta) over S(theta) = lim_theta->0+ { { 2 tan 2 theta} over{ cos ^2 theta} } over {4 tan theta}]

[eqn: =lim_theta->0+ { tan 2theta} over { 2 tan theta cos^2 theta}]

[eqn: = lim_theta->0+ { tan 2 theta } over { 2 theta} times lim_theta->0+ theta over { tan theta } times lim_theta->0+ 1 over { cos^2 theta}]

[eqn: = 1 times 1 times 1 = 1]

즉, [eqn: p = 1]이므로

[eqn: 100p = 100 times 1 = 100]

[eqn: lim_theta->0+ T(theta) over S(theta) = p]일 때, 100[eqn: p]의 값을 구하시오. [eqn: left( 단, ~ 0 < theta < pi over 4 right)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=ax+n`cos`x]라 할 때, [eqn: x]에 대한 방정식[eqn: f '(x)=0]이 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: sum _n=1 ^10 g(n)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 le x < 2pi])

120

[해설]

{출제 의도}

삼각함수의 도함수를 구한 후 방정식이 실근을 갖도록 하는 조건을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f(x)=ax+n`cos`x]에서

[eqn: f '(x)=a-n`sin`x]

[eqn: f '(x)=0,] 즉 [eqn: a-n`sin`x=0]에서

[eqn: sin x = a over n]

[eqn: -1 le sin x le 1]이므로 [eqn: -1 le a over n le 1]

즉, [eqn: -n le a le n]이므로 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 2n+1]이다.

따라서 [eqn: g(n)=2n+1]이므로

[eqn: sum _n=1 ^10 g(n) = sum _n=1 ^10 (2n + 1) = 2 times { 10 times 11 } over 2 + 10 = 120]

함수 [eqn: f(x)=x`cos`x-sin`x]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(pi + h ) - f( pi - h )} over h]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x)=x`cos`x-sin`x]에서

[eqn: f '(x)=cos`x+x(-sin`x)-cos`x=-x`sin`x]이므로

[eqn: lim_h->0 { f(pi + h ) - f( pi - h )} over h]

[eqn: = lim_h->0 { f(pi + h ) - f( pi ) -f(pi - h) + f( pi)} over h]

[eqn: = lim_h->0 left{ { f(pi + h ) - f(pi )} over h + { f(pi - h)- f(pi )} over -h right}]

[eqn: = lim_h->0 { f(pi + h ) - f(pi ) } over h + lim_h->0 { f(pi - h) - f(pi )} over -h]

[eqn: =f '(pi)+f '(pi)=2f '(pi)]

[eqn: = 2 times (-pi ) times sin pi]

[eqn: = - 2pi times 0 = 0]

{참고}

미분계수의 정의를 이용하지 않고, 다음과 같이 삼각함수의 성질과 극한의 성질을 이용하여 풀 수도 있다.

[eqn: f(pi+h)-f(pi-h)]

[eqn: =(pi+h)cos(pi+h)-sin(pi+h)][eqn: - left{(pi-h)cos(pi-h)-sin(pi-h) right}]

[eqn: =-( pi +h)cos`h+sin`h- LEFT { -( pi -h)cos`h-sin`h RIGHT }]

[eqn: =-(pi+h)cos`h+sin`h+(pi-h)cos`h+sin`h]

[eqn: =-2h`cos`h+2`sin`h]

이므로

[eqn: lim_h->0 { f(pi + h ) - f( pi - h )} over h = lim_h->0 { - 2h cos h + 2 sin h } over h]

[eqn: = lim_h->0 left( -2 cos h + { 2 sin h } over h right)]

[eqn: = - 2 lim_h->0 cos h + 2 lim_h->0 { sin h } over h]

[eqn: = -2 times 1 + 2 times 1 = 0]

① [eqn: -2 pi]	② [eqn: - pi]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 2pi]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수[eqn: f(x),~ g(x)]가 각각[eqn: f(x)=n(x-sin`x), ~g(x)=n(1-cos`x)]일 때, [eqn: h(x)]를

110

[해설]

[eqn: f(x)=n(x-sin`x),~ g(x)=n(1-cos`x)]에서

[eqn: f '(x)=n(1-cos`x),~ g '(x)=n`sin`x]이므로

[eqn: h(x) = sqrt{ left{ f'(x) right}^2 + left{ g'(x) right} ^2 }]

[eqn: = sqrt{n^2 (1 - cosx )^2 + n^2 sin^2 x }]

[eqn: = n sqrt{ 1 - 2 cos x + cos ^2 x + sin ^2 x}]

[eqn: = n sqrt{2 - 2 cos x }]

[eqn: -1 le cos x le 1]에서 [eqn: 0 le n sqrt{2 - 2 cos x } le 2n]이므로

[eqn: 0 le h(x) le 2n]

함수 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: 2n]이므로 [eqn: a_n = 2n]

따라서 [eqn: sum_n=1 ^10 a_n = sum_n=1 ^10 2n = 2 times { 10 times 11 } over 2 = 110]

[eqn: h(x) = sqrt{ left{ f'(x) right}^2 + left{ g'(x) right} ^2 }]이라 하자. 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^10 a_n]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f(x) = cases{ x^2 + ax +1 & (x ge 0 ) # b cos x -1 &(x <0)]이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 두 상수 [eqn: a, ~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하면 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim_x->0- f(x) = f(0)]

[eqn: lim_x->0- (bcos x -1) = 1]

[eqn: b-1=1]

즉, [eqn: b=2]이므로 [eqn: f(x) = cases{ x^2 + ax +1 & (x ge 0) # 2cos x -1 & (x<0)]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로 [eqn: f '(0)]의 값이 존재한다

[eqn: lim_x->0- { f(h ) - f(0) } over h = lim_x->0- { 2 cos h - 1 - 1} over h]

[eqn: = lim_x->0- { 2 cos h - 2} over h]

[eqn: = - lim_x->0- { 2 ( 1 - cosh ) } over h]

[eqn: = - lim_x->0- { 2 (1 - cos^2 h)} over { h (1 + cos h )}]

[eqn: = - lim_x->0- { 2 sin^2 h } over { h (1+cos h )}]

[eqn: = - 2 lim_x->0- { sin h } over h times lim_x->0- { sin h } over { 1 + cos h }]

[eqn: = -2 times 1 times 0 over 1+1]

[eqn: =0]

[eqn: lim_x->0+ { f(h) - f(0) } over h = lim_x->0+ { h^2 + a h + 1 - 1 } over h]

[eqn: = lim_x->0+ { h^2 + a h } over h]

[eqn: = lim_x->0+ (h+a)]

[eqn: =a]

이므로[eqn: a=0]

따라서 [eqn: a=0, ~b=2]이므로

[eqn: a+b=0+2=2]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

03

미분법

03_미분법	오늘 걷지 않으면 내일 뛰어야 한다!!!

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~ g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[해설]

{출제 의도}

함수의 몫의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: h(x) = f(x) over g(x)]라 하면

조건 (가)에 의하여 [eqn: h(1)= {f(1)} over {g(1)}= {4} over {1} =4]

함수의 몫의 미분법에 의하여

[eqn: h'(x) = left{ f(x) over g(x) right}' = { f '(x)g(x)-f(x)g '(x)} over {left{ g(x) right}^2 }]이므로

함수 [eqn: h(x) = f(x) over g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는

[eqn: h'(1) = {f '(1)g(1)-f(1)g '(1)} over{ left{g(1) right}^2 }]

[eqn: lim_x->1 { f(x) over g(x) -4 } over x-1 = lim_x->1 { f(x) over g(x) - f(1) over g(1) } over x-1 = lim_x->1 { h(x) - h(1) } over x-1]

[eqn: = h'(1)]

이고 [eqn: f(1)=4, ~g(1)=1,~ f '(1)=12,~ g '(1)=2]이므로

[eqn: lim_x->1 { f(x) over g(x) -4 } over x-1 = h'(1) = {f '(1)g(1)-f(1)g '(1)} over { left{ g(1) right}^2 }]

[eqn: = { 12 times 1 - 4 times 2 } over 1^2 = 4]

{다른 풀이}

[eqn: lim_x->1 { f(x) over g(x) -4 } over x-1 = lim_x->1 { g(x) - 4g(x) } over { g(x) (x-1)}]

[eqn: = lim_x->1 { f(x) - 4 - 4 left(g(x) - 1 right} } over {g(x) (x-1)}]

[eqn: = lim_x->1 left[ 1 over g(x) left{ { f(x) - 4 } over x-1 -4 times {g(x) -1} over x-1 right} right]]

[eqn: =lim_x->1 left[ 1 over g(x) right{ { f(x) - f(1) } over x-1 - 4 times { g(x) - g(1) } over x-1 right} right]]

[eqn: = 1 over g(1) left{ f'(1) - 4g'(1) right}]

[eqn: = 12 - 4 times 2 = 4]

(가) [eqn: f(1)=4, g(1)=1 ~]

(나) [eqn: f '(1)=12, ~g '(1)=2]

[eqn: lim_x->1 { f(x) over g(x) -4 } over x-1]의 값은? (단, [eqn: g(x) !=0])

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = 1 over {1 + f(x)}]이라 하자. [eqn: f(1)=1,~ f '(1)=12]일 때, 함수 [eqn: g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는? (단, [eqn: f(x) != -1])

③

[해설]

[eqn: g(x) = 1 over {1 + f(x)}]에서

[eqn: g'(x) = {f'(x) } over { left{ 1 + f(x) right}^2 }]

따라서 함수 [eqn: g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는

[eqn: g'(1) = - {f'(1) } over{ left{ 1 + f(1) right} ^2 } = - 12 over{(1+1)^2 } = -3]

① -5	② -4	③ -3

④ -2	⑤ -1

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) over { 3 - f(x) } = e^7(x-1)]을 만족시킬 때, [eqn: f '(1)]의 값은?

①

[해설]

[eqn: f(x) over { 3 - f(x) } = e^7(x-1)]에서 [eqn: f(x) = e^7(x-1) left{ 3 - f(x) right}]

[eqn: left{ 1 + e^7(x-1) right} f(x) = 3e^7(x-1)]

[eqn: f(x) = { 3e^7(x-1) } over {1 + e^7(x-1)}]

[eqn: f(x) = 3 over {e^-7(x-1) + 1 }]이므로

[eqn: f'(x) = { 3e^-7(x-1) times (-7) } over { left{ e^-7(x-1) + 1 right}^2 } = {21e^-7(x-1)} over { left{ e^-7(x-1) + 1 right} ^2]

따라서 [eqn: f'(1) = { 21 e^-7(1-1) } over { left{ e^-7(1-1) +1 right}^2 } = {21 times 1 } over { (1 + 1)^2 } = 21 over 4]

{다른 풀이}

[eqn: f(x) over { 3 - f(x) } = e^7(x-1)]	……㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {f '(x) left{3-f(x) right}-f(x) left{-f '(x) right} } over { left{ 3 - f(x) right}^2 } = 7e^7(x-1)]	……㉡

㉡의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: {f '(1) left{3-f(1) right}-f(1) left{-f '(1) right}} over { left{ 3 - f(1) right} ^2 } = 7e^7(1-1)]에서

[eqn: {3f'(1) } over left{ 3 - f(1) right} ^2 } = 7]

[eqn: f'(1) = 7 over 3 right{ 3 - f(1) right}^2]

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1) over { 3 - f(1) } = e^0 = 1]에서

[eqn: f(1) = 3 over 2]

따라서 [eqn: f'(1) = 7 over 3 right( 3 - 3 over 2 right)^2 = 7 over 3 times left( 3 over 2 right)^2 = 21 over 4]

{다른 풀이 2}

[eqn: f(x) over { 3 - f(x) } = e^7(x-1)]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1) over {3 - f(x) } = e^0 = 1]에서 [eqn: f(1) = 3 over 2]

㉠의 양변에 자연로그를 취하면

[eqn: ln left| f(x) over { 3 - f(x) } right| = 7 (x-1)]에서

[eqn: ln |`f(x)|-ln |3-f(x)|=7(x-1)]	……㉡

㉡의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x) over f(x) - -f'(x) over 3-f(x) = 7]에서

[eqn: f'(x) over f(x) + f'(x) over 3-f(x) = 7]	……㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f'(1) over f(1) + f'(1) over 3-f(1) = 7]에서

[eqn: 2 over 3 f'(1) + 2 over 3 f'(1) = 7]

[eqn: 4 over 3 f'(1) = 7]

따라서 [eqn: f'(1) = 21 over 4]

{다른 풀이 3}

[eqn: f(x) over { 3 - f(x) } = e^7(x-1)]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1) over {3 - f(x) } = e^0 = 1]에서 [eqn: f(1) = 3 over 2]

[eqn: e^7(x-1) > 0]이므로 [eqn: f(x) != 0]

㉠에서

[eqn: {3 - f(x) } over f(x) = e^-7(x-1)]

[eqn: 3 over f(x) -1 = e^-7(x-1)]	……㉡

㉡의 양변을 x에 대하여 미분하면

[eqn: - {3 f'(x) } over { left{ f(x) right}^2 } = 7e^-7(x-1)]에서

[eqn: {3f'(x)} over{ left{f(x) right}^2 } = 7e^-7(x-1)]	……㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: {3f'(`1) } over { left{ f(1) right} ^2 } = 7e^-7(1-1)]에서

[eqn: {3f'(1) } over { left { f(1) right}^2 } = 7]

따라서 [eqn: f'(1) = 7 over 3 left{ f(1) right}^2 = 7 over 3 times left( 3 over 2 right)^2 = 21 over 4]

(단, [eqn: f(x) != 3])

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: 23 over 4]

④ 6	⑤ [eqn: 25 over 4]

집합 {[eqn: x|x>1]}에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = f(x) over{ ( ln x )^2]라 하자.

②

[해설]

[eqn: g(x) = f(x) over{ ( ln x )^2]에서

[eqn: g'(x) = { f'(x) times (ln x )^2 - f(x) times 2 ln x times 1 over x } over {(ln x )^4 }]

[eqn: = { (ln x )^2 f'(x) - {2f(x) ln x } over x } over {(ln x)^4 }]

이므로

[eqn: g'(e) = { (ln e )^2 f'(e) - { 2f(e) ln e } over e } over {(ln e )^4 } = f'(e) - {2f(e) } over e]

그러므로 [eqn: f'(e) - g'(e) = { 2f(e) } over e]

[eqn: g(e) = f(e) over {(ln e )^2 } = f(e) over 1^2 = f(e)]이므로

[eqn: lim_h->0 {f(e+h)-g(e+h)} over h]

[eqn: = lim_h->0 { f(e+h)-f(e)- left{ g(e+h)-f(e) right} } over h]

[eqn: = lim_h->0 { f(e+h)-f(e)- left{ g(e+h)-g(e) right}} over h]

[eqn: = lim_h->0 { f(e+h ) - f(e) } over h - lim_h->0 { g(e+h ) - g(e) } over h]

[eqn: ==f '(e)-g '(e)= {2f(e) } over e = 4]

따라서 [eqn: f(e) = 2e]

[eqn: lim_h->0 { f(e+h) - g( e+h )} over h = 4]일 때, [eqn: f(e)]의 값은?

① [eqn: e]	② 2[eqn: e]	③ 3[eqn: e]

④ 4[eqn: e]	⑤ 5[eqn: e]

두 함수 [eqn: f(x) = sin^2 x , ~ g(x) = e^x]에 대하여 [eqn: lim_{x-> pi over 4} { g(f(x)) - sqrte } over { x - pi over 4}]의 값은?

④

[해설]

{출제 의도}

합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: g left( f left( pi over 4 right) right) = g left( 1 over 2 right) = sqrte]이므로

[eqn: lim_{x-> pi over 4} { g(f(x)) - sqrte } over { x - pi over 4} = lim_{x-> pi over 4} {g(f(x)) - g left( f left( pi over 4 right) right) } over { x - pi over 4 }]

[eqn: ( g circ f ) ' left ( pi over 4 right)]

[eqn: ( g circ f )'(x) = g'(f(x)) times f'(x)]이고,

[eqn: f'(x) = 2 sin x cos x , ~ g'(x) = e^x]이므로

[eqn: lim_{x-> pi over 4} { g(f(x)) - sqrte } over { x - pi over 4} = ( g circ f)' left( pi over 4 right)]

[eqn: = g' left( f left( pi over 4 right) right) times f' left( pi over 4 right)]

[eqn: = g' left( 1 over 2 right) times f' left( pi over 4 right)]

[eqn: = sqrt e times 2 sin pi over 4 cos pi over 4]

[eqn: = sqrte times 2 times sqrt2 over 2 times sqrt2 over 2]

[eqn: = sqrte]

① [eqn: 1 over e]	② [eqn: 1 over sqrte]	③ 1

④ [eqn: sqrte]	⑤ [eqn: e]

함수[eqn: f(x) = left{ ln (x+1 ) + 3 right} ^4]에 대하여 [eqn: f '(0)]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = left{ ln (x+1 ) + 3 right} ^4]에서

[eqn: f'(x) = 4 left{ ln (x+1) + 3 right} ^3 times left{ ln(x+1) + 3 right}']

[eqn: =4 left{ln (x+1)+3 right} ^3 times 1 over x+1]

[eqn: = { 4 left{ ln (x+1) + 3 right} ^3 } over x+1]

이므로

[eqn: f'(0) = { 4 left{ ln (0+1 ) + 3 right}^3 } over 0+1 = { 4 times 3^3 } over 1 = 108]

① 100	② 104	③ 108

④ 112	⑤ 116

함수 [eqn: f(x) = sqrt{4x^2 + 1 }]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = left{ f left( x over 2 right) right} ^3]이라 하자. [eqn: g '(1)=p]일 때, [eqn: p^2]의 값을 구하시오.

18

[해설]

[eqn: f left( x over 2 right) = sqrt{ 4 left( x over 2 right)^2 + 1 } = sqrt{ x^2 + 1 }]이므로

[eqn: g(x) = left{ f left( x over 2 right) right} ^3 = (sqrt{ x^2 + 1 } )^3 = (x^2 + 1) ^{3 over 2}]

따라서 함수 [eqn: g(x)]의 도함수는

[eqn: g'(x) = 3 over 2 (x^2 + 1 ) ^{1 over 2 } (x^2 + 1) ' = 3x sqrt{x^2 + 1]이므로

[eqn: g'(1) = 3 times 1 times sqrt2 = 3 sqrt2]

따라서 [eqn: p = 3 sqrt2]이므로

[eqn: p^2 = (3 sqrt2 )^2 = 18]

{다른 풀이}

[eqn: f(x) = sqrt{4x^2 + 1 }]에서 [eqn: f left( 1 over 2 right) = sqrt2]

[eqn: f'(x) = { (4x^2 + 1) '} over { 2sqrt { 4x^2 + 1 } } = 8x over { 2sqrt{ 4x^2 +1 }} = 4x over { sqrt{4x^2 + 1 }}]이므로

[eqn: f' left( 1 over 2 right) = 2 over sqrt2 = sqrt2]

[eqn: g(x) = left{ f left( x over 2 right) right} ^3]에서

[eqn: g'(x) = 3 left { f left( x over 2 right) right} ^2 times left{ f left( x over 2 right) right}']

[eqn: = 3 left{ f left( x over 2 right) right} ^2 times 1 over 2 f' left( x over 2 right)]

[eqn: = 3 over 2 left{ f left( x over 2 right) right}^2 f' left( x over 2 right)]

이므로

[eqn: g'(1) = 3 over 2 left{ f left( 1 voer 2 right) right} ^2 f' left( 1 over 2 right) = 3 over 2 times (sqrt2 )^2 times sqrt2 = 3 sqrt2]

따라서 [eqn: p = 3 sqrt2]이므로

[eqn: p^2 = (3 sqrt2 )^2 = 18]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

90

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: g(f(x)) = 1 over 2 x]의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g(`f(2))=1]

조건 (가)에서 [eqn: g(1)=1]이고, 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수

[eqn: g(x)]는 일대일 대응이므로 [eqn: f(2)=1]

점 [eqn: (2, a)]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로 [eqn: a=1]

조건 (나)에서 [eqn: g(`f(x))= 1 over 2 x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g '(`f(x))f '(x)= 1 over 2]에서

[eqn: f'(x) = 1 over { 2g'(f(x))]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: f'(2) = 1 over { 2g'(f(2))}]

[eqn: f(2)=1]이고 [eqn: g '(1)= 1 over 4]이므로

[eqn: f'(2) = 1 over { 2g'(f(2)) } = 1 over { 2 g'(1) } = 1 over { 2 times 1 over4 } = 2]

곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기 [eqn: b]는

[eqn: b=f '(2)=2]

따라서 [eqn: a=1,~ b=2]이므로

[eqn: 30(a+b)=30 times 3=90]

(가) [eqn: g (1)=1, ~g '(1)= 1 over 4]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(f(x)) = 1 over 2 x]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2~, a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: 30(a+b)]의 값을 구하시오.

[eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^3 + 2x^2 - 15x + 5]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: (`f(t),~ t),~ x]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: ( g(t), ~t)]라 하자.

④

[해설]

{출제 의도}

역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: h(t) = t times left{ f(t) - g(t) right}]이므로

[eqn: h'(t) = left{ f(t) - g(t) right} + t times left{ f'(t) - g'(t) right}]

곡선 [eqn: y = x^3 + 2x^2 - 15x + 5]와 직선 [eqn: y=5]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

방정식 [eqn: x^3 + 2x^2 - 15x + 5]의 실근과 같으므로

[eqn: x^3 + 2x^2 - 15x = 0]

[eqn: x(x^2 +2x-15)=0]

[eqn: x(x+5)(x-3)=0]

[eqn: x=-5] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

즉, [eqn: f(5)=3, ~g(5)=-5]

[eqn: y = x^3 + 2x^2 - 15x + 5]에서[eqn: y' = 3x^2 + 4x - 15]이므로

[eqn: f'(5) = 1 over { 3 times 3^2 + 4 times 3 - 15 } = 1 over 24]

[eqn: g'(5) = 1 over { 3 times (-5)^2 + 4 times (-5) -15 } = 1 over 40]

따라서

[eqn: h'(5) = left{ f(5) - g(5) right} + 5 left{ f'(5) - g'(5) right}]

[eqn: = left{ 3 - (-5) right} + 5 left( 1 over 24 - 1 over 40 right)]

[eqn: = 8 + 1 over 12 = 97 over 12]

[eqn: h(t) = t times left{ f(t) - g(t) right}]라 할 때, [eqn: h'(5)]의 값은?

① [eqn: 79 over 12]	② [eqn: 85 over 12]	③ [eqn: 91 over 12]

④ [eqn: 97 over 12]	⑤ [eqn: 103 over 12]

열린 구간 [eqn: left( 0 , ~ pi over 2 right)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = e^tanx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: e times lim_h->0 { 100g (e + h ) - 25 pi } over h] 의 값을 구하시오.

50

[해설]

[eqn: f(x) = e^tanx]에서

[eqn: f'(x) = e^{tan x} times (tan x) ' = e^tanx sec^2 x]

[eqn: f' left( pi over 4 right) e^{ tan pi over 4 } times sec^2 pi over 4 = e times ( sqrt2 ) ^2 = 2e]

[eqn: f left( pi over 4 right) = e ^{ tan pi over 4 } = e]

역함수의 정의에 의하여 [eqn: g(e)= pi over 4]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: g'(e) = 1 over { f' left( pi over 4 right) } = 1 over 2e]

따라서

[eqn: e times lim_h->0 { 100g (e + h ) - 25 pi } over h = 100e times lim_h->0 { g(e+h ) - pi over 4 } over h]

[eqn: = 100e times lim_h->0 { g(e+h) - g(e) } over h]

[eqn: = 100e times g'(e)]

[eqn: = 100e times 1 over 2e]

[eqn: = 50]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f '(2)=1, ~g(1)=2]이다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g left( x-1 over 3 right)]이라 할 때, [eqn: f(2)+g '(1)]의 값은?

②

[해설]

[eqn: h(x) =][eqn: g left( x-1 over 3 right)]로 놓으면 [eqn: h(4)=g(1)=2]이고,

함수 [eqn: f(x)]의 역함수는 [eqn: h(x)]이므로 [eqn: f(2)=4]

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: h'(4) = 1 over {f'(2) } = 1 over 1 = 1]

[eqn: h'(x) = 1 over 3 g' left( x-1 over 3 right)]이므로

[eqn: h'(4) = 1 over 3 g'(1)]에서

[eqn: g'(1) = 3 h'(4) = 3 times 1 = 3]

따라서 [eqn: f(2)+g '(1)=4+3=7]

{다른 풀이}

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g left( x-1 over 3 right)]이므로

[eqn: f left( g left( x-1 over 3 right) right) = x]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: f( g(1))=4]

[eqn: g(1)=2]이므로 [eqn: f(2)=4]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: f' left( g left( x-1 over 3 right) right) times g' left( x-1 over 3 right) times 1 over 3 = 1]

[eqn: g' left( x-1 over 3 right) = 3 over { f' left( g left( x-1 over 3 right) right) }]	……㉡

㉡의 양변에 [eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: g'(1) = 3 over { f'(g(1)) } = 3 over {f'(2) } = 3 over 1 = 3]

따라서 [eqn: f(2)+g '(1)=4+3=7]

① 6	② 7	③ 8

④ 9	⑤ 10

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[해설]

조건 (가)에서[eqn: x->-1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고 [eqn: lim_x->-1 { f(x) + 7 } over x+1]의 값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->-1 left{ f(x) + 7 right} = 0]

함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이므로[eqn: f(-1)+7=0]에서 [eqn: f(-1)=-7]

조건 (가)에서

[eqn: lim_x->-1 {f(x) + 7 } over x+1 = lim_x->-1 { f(x) - f(-1) } over {x- (-1)} = f'(-1) = 11]

조건 (나)에서 [eqn: f(x)+f(-x)=0]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)+f(-1)=0]이므로

[eqn: f(1)=-f(-1)=-(-7)=7]

조건 (나)에서 [eqn: f(x)+f(-x)=0]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f '(x)-f '(-x)=0]에서

[eqn: f '(x)=f '(-x)]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f '(1)=f '(-1)=11]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이고, [eqn: f(1)=7]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: lim_x->7 x-7 over {g(x) - g(7) } = 1 over {g'(7)}]

[eqn: = f'(1)]

[eqn: =11]

(가) [eqn: lim_x->-1 { f(x) + 7 } over x+1 = 11]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)+f(-x)=0]이다.

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim_x->7 x-7 over {g(x) - g(7) }]의 값은?

① 11	② 12	③ 13

④ 14	⑤ 15

함수 [eqn: f(x) = 1 over 2 ax^2 + bx + ln x]에 대하여 [eqn: f '(1)=0,~f ''(2)=0]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: p+ln`q]이다. 두 정수 [eqn: p,~ q ~(q>0)]에 대하여 [eqn: 100(p+q)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~ b]는 상수이다.)

100

[해설]

{출제 의도}

도함수와 이계도함수를 이용하여 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f(x) = 1 over 2 ax^2 + bx + ln x]에서

[eqn: f'(x) = ax + b + 1 over x]이므로

[eqn: f '(1)=a+b+1=0]	……㉠

[eqn: f ''(x)=a- 1 over x^2]이므로

[eqn: f'/'(2) = a - 1 over 4 = 0]에서 [eqn: a = 1 over 4]

[eqn: a = 1 over 4]을 ㉠에 대입하면 [eqn: b = - 5 over 4]

즉, [eqn: f(x) = 1 over 8 x^2 - 5 over 4 x + ln x]이므로 [eqn: f'(x) = 1 over 4 x - 5 over 4 + 1 over x]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: 1 over 4 x - 5 over 4 + 1 over x = 0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x^2-5x+4=0]

[eqn: (x-1)(x-4)=0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: x=4]의 좌우에서 [eqn: f '(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극솟값

[eqn: f(4) = 1 over 8 times 4^2 - 5 over 4 times 4 + ln 4 = -3 + ln 4]를 갖는다.

따라서 [eqn: p=-3,~ q=4]이므로

[eqn: 100(p+q)=100 times1=100]

함수 [eqn: f(x) = x e^ax+1]에 대하여 [eqn: f''(0) = 38 e]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

19

[해설]

[eqn: f(x) = x e^ax+1]에서

[eqn: f'(x) = e^ax+1 + axe^ax+1 = (1+ax)e^ax+1]

[eqn: f''(x) = ae^ax+1 + a(1+ ax ) e^ax+1 = a(2 + ax ) e^ax+1]

[eqn: f''(0) = 2ae = 38e]에서 [eqn: a = 19]

함수 [eqn: f(x) = (ln kx )^2]에 대하여 [eqn: f''(x) = 0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha]라 하자. 점 [eqn: (alpha,~ f(alpha))]가 직선 [eqn: y = 3 over e x] 위에 있을 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = (ln kx )^2]에서

[eqn: f'(x) = 2 ln kx times k over kx = { 2 ln kx } over x]

[eqn: f''(x) = { 2 over x times x - 2 ln kx times 1 } over x^2 = { 2 (1-ln kx )} over x^2]

[eqn: f''(x) = 0]에서 [eqn: 1 - ln kx = 0], 즉 [eqn: x = e over k]이므로 [eqn: alpha = e over k]

[eqn: f ( alpha ) = f left( e over k right) = left{ ln left( k times e over k right) right} ^2 = (ln e )^2 = 1]

점[eqn: (alpha,~ f(alpha)),] 즉 [eqn: left( e over k , ~ 1 right)]이 직선 [eqn: y = 3 over e x] 위에 있으므로

[eqn: 1 = 3 over e times e over k]에서 [eqn: k=3]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

열린 구간 (0, 1)에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

[해설]

[eqn: g(x)=ln`f '(x)]에서 [eqn: g'(x) = f''(x) over f'(x)]

조건 (가)에서

[eqn: f ''(x)=2 f(x)f '(x)]이고,

[eqn: f '(x)>0]이므로 [eqn: g '(x)= f''(x) over f'(x) = {2f(x) f'(x) } over f'(x) = 2f(x)]

따라서 [eqn: g' left( 1 over 3 right) = 2f left( 1 over 3 right) = 2 times k = 2k]

(가) 열린 구간 (0, 1)에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ''(x)=2f(x) f '(x)]이고, [eqn: f '(x)>0]이다.

(나) [eqn: f left( 1 over 3 right) = k] [eqn: (k>0)]

함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=ln`f '(x)]라 할 때, [eqn: g' left( 1 over 3 right)]의 값을 [eqn: k]로 나타낸 것은?

① [eqn: k]	② [eqn: 3 over 2 k]	③ [eqn: 2k]

④ [eqn: 5over 2 k]	⑤ [eqn: 3k]

곡선 [eqn: y=ln (x-3)+1] 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~ b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

①

[해설]

{출제 의도}

곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: y=ln (x-3)+1]이라 하면

[eqn: f'(x) = 1 overx-3]

곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 (4, 1)에서의 접선의 기울기는

[eqn: f '(4)= 1 over 4-3 = 1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-1=x-4,] 즉 [eqn: y=x-3]

따라서 [eqn: a=1,~ b=-3]이므로

[eqn: a+b=1+(-3)=-2]

① -2	② -1	③ 0

④ 1	⑤ 2

곡선 [eqn: y=x+cos`x+a] 위의 점 (0, 3)에서의 접선의 기울기가 [eqn: b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a, ~b]는 상수이다.)

①

[해설]

[eqn: f(x)=x+cos`x+a]라 하면 점 (0, 3)은 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로

[eqn: 3=1+a]에서 [eqn: a=2]

즉,[eqn: f(x)=x+cos`x+2]이므로 [eqn: f '(x)=1-sin`x]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 (0, 3)에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1-sin`0=1]이므로 [eqn: b=1]

따라서 [eqn: a+b=2+1=3]

① 3	② 4	③ 5

④ 6	⑤ 7

곡선 [eqn: y = 1 over 7 e^{x over 7 }] 위의 점 [eqn: left( 0 , ~ 1 over 7 right)]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

④

[해설]

[eqn: y = 1 over 7 e^{x over 7 }]에서 [eqn: y' = 1 over 7 times 1 over 7 e^{x over 7} = 1 over 49 e^{x over7}]

곡선 [eqn: y = 1 over 7 e^{x over 7 }] 위의 점[eqn: left( 0 , ~ 1 over 7 right)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: 1 over 49 e^0 = 1 over 49]이므로 곡선 [eqn: y = 1 over 7 e^{x over 7 }]위의 점 [eqn: left( 0 , ~ 1 over 7 right)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = 1 over 49 x + 1 over 7]

따라서 곡선 [eqn: y = 1 over 7 e^{x over 7 }]위의 [eqn: left( 0 , ~ 1 over 7 right)]점에서의 접선의 [eqn: x]절편은

[eqn: 0 = 1 over 49 x + 1 over 7]에서 [eqn: x=-7]

① -10	② -9	③ -8

④ -7	⑤ -6

다음은 두 무리수 [eqn: e, pi]에 대하여 [eqn: e^pi]과 [eqn: pi ^e]의 값의 대소 관계를 구하는 과정이다.

④

[해설]

[eqn: f(x)=ln`x]로 놓으면

[eqn: f'(x) = 1 over x]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t, ~ln`t)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y - ln t = 1 over t (x - t)], 즉 [eqn: y = 1 over t x]+  [eqn: ln t - 1]  이다.

이 접선이 원점을 지나면

[eqn: ln t - 1 = 0]에서 [eqn: t=]  [eqn: e]  이므로 구하는 접선의 방정식은 [eqn: y = 1 over e x]이다.

곡선 [eqn: y=ln`x] 위의 두 점 [eqn: (e, ~1), ~(pi,~ ln`pi)]에 대하여

원점과 점 [eqn: (e, 1~)]을 지나는 직선의 기울기는 원점과 점 [eqn: (pi,~ ln`pi)]를 지나는 직선의 기울기보다 크므로

[eqn: 1 over e > { ln pi } over pi] 이다.

[eqn: pi > e ln pi]이므로 [eqn: pi > ln pi^e]에서 [eqn: e^pi > pi ^e]이다.

따라서 [eqn: g(t)=ln`t-1]1이고, [eqn: p=e]이므로

[eqn: g(e)+ln p=ln`e-1+ln`e=1-1+1=1]

[eqn: f(x)=ln`x]로 놓으면

[eqn: f'(x) = 1 over x]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t, ~ln`t)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = 1 over t x]+  (가)  이다.

이 접선이 원점을 지나면 [eqn: t=]  (나)  이므로 구하는 접선의 방정식은 [eqn: y = 1 over (나) x]이다.

곡선 [eqn: y=ln`x] 위의 두 점 [eqn: (e, ~1), ~(pi,~ ln`pi)]에 대하여

원점과 점 [eqn: (e, 1~)]을 지나는 직선의 기울기는 원점과 점

[eqn: (pi,~ ln`pi)]를 지나는 직선의 기울기보다 크므로

[eqn: 1 over e > { ln pi } over pi] 이다.

따라서 [eqn: pi > e ln pi]이므로 [eqn: pi > ln pi^e]에서 [eqn: e^pi > pi ^e]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: g(t)], (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: g(e)+ln`p]의 값은?

① -2	② -1	③ 0

④ 1	⑤ 2

곡선 [eqn: y = 3 e^x-1] 위의 점 [eqn: A]에서의 접선이 원점 [eqn: O]를 지날 때, 선분 [eqn: OA]의 길이는?

⑤

[해설]

{출제 의도}

곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: y = 3 e^x-1]에서 [eqn: y'=3e^x-1]

점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(t,~ 3e^t-1 )]이라 하면 곡선 [eqn: y = 3 e^x-1] 위의 점 [eqn: A(t,~ 3e^t-1 )])에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3e^t-1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y=3e^t-1 (x-t)+3e^t-1]

이 접선이 원점 [eqn: O]를 지나므로 [eqn: x=0,~ y=0 ~]을 대입하면

[eqn: 0 = 3e^t-1 (-t) + 3 e^t-1]

[eqn: e^t-1 >0]이므로 양변을 [eqn: 3e^t-1]으로 나누면 [eqn: t=1]

따라서 [eqn: A(1, ~3)]이므로

[eqn: bar OA = sqrt{ 1^2 + 3^2 } = sqrt10]

① [eqn: sqrt6]	② [eqn: sqrt7]	③ [eqn: 2 sqrt2]

④ 3	⑤ [eqn: sqrt10]

원점 [eqn: O]에서 곡선 [eqn: y = ln x over 2 + 1]에 그은 접선의 기울기는?

④

[해설]

[eqn: y = ln x over 2 + 1]에서 [eqn: y' = 1 over x]

곡선 [eqn: y = ln x over 2 + 1] 위의 점의 좌표를[eqn: left ( t , ~ ln t over 2 + 1 right)]이라 하면

곡선 [eqn: y = ln x over 2 + 1] 위의 점 [eqn: left ( t , ~ ln t over 2 + 1 right)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1 over t]이므로 곡선 [eqn: y = ln x over 2 + 1]

위의 점 [eqn: left ( t , ~ ln t over 2 + 1 right)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = 1 over t (x-t ) + ln t over 2 + 1]

이 접선이 원점 [eqn: O]를 지나므로

[eqn: 0 = 1 over t times (-t) + ln t over 2 + 1]

[eqn: ln t over 2 = 0]이므로 [eqn: t over 2 = 1]

즉, [eqn: t=2]

따라서 원점 [eqn: O]에서 곡선 [eqn: y = ln x over 2 + 1]에 그은 접선의 기울기는 [eqn: 1 over 2]이다.

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

곡선 [eqn: y = 2x^2 - x + 2 sqrtx]에 접하고 기울기가 2인 직선의 [eqn: y]절편은?

③

[해설]

[eqn: y = 2x^2 - x + 2 sqrtx]라 하면

[eqn: f '(x)=4x-1+ 1 over sqrtx]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점의 좌표를 [eqn: (t,~ 2t^2 -t+2sqrtt )]라 하면 접선의 기울기가 2이므로

[eqn: f'(t) = 4t -1 + 1 over sqrtt = 2]

[eqn: 4t sqrt t - 3 sqrt t + 1 = 0]

[eqn: z = sqrt t] [eqn: (t>0)]이라 하면

[eqn: 4z^3 -3z+1=0]

[eqn: (z+1)(2z-1)^2 =0]

[eqn: z>0]이므로 [eqn: z = 1 over 2]

즉, [eqn: t = z^2 = left( 1 over 2 right)^2 = 1 over 4]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: left( 1 over 4 , ~ 7 over 8 right)]이고 접선의 방정식은

[eqn: y - 7 over 8 = 2 left( x - 1 over 4 right)] 즉 [eqn: y = 2x + 3 over 8]이다.

따라서 구하는 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 3 over 8]이다.

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 3 over 8]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 5 over 8]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 ([eqn: n], 0)에서 곡선 [eqn: y=xe^x+1]에 그은 두 접선의 기울기를 각각 [eqn: m_1 , ~ m_2]라 하고, [eqn: ln m_1 m_2]의 값을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum _n=1 ^10 f(n)]의 값을 구하시오.

75

[해설]

[eqn: y=xe^x+1]에서 [eqn: y' = e^x+1 + xe^x+1 = e^x+1 (x+1)]이므로

곡선 [eqn: y=xe^x+1] 위의 점 [eqn: (t,~ te^t+1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-te^t+1 =e^t+1 (t+1)(x-t)]

이 접선이 점 ([eqn: n], 0)을 지나므로

[eqn: -te^t+1 =e^t+1 (t+1)(n-t)]

[eqn: e^t+1 (t^2 -nt-n)=0]

[eqn: e^t+1 >0]이므로 [eqn: t^2 -nt - n = 0]

이 이차방정식의 두 실근을 [eqn: alpha, ~beta]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = n , ~ alpha beta = -n]

두 접선의 기울기의 곱 [eqn: m_1 , ~ m_2]는

[eqn: m_1 m_2 = e^alpha+1 (alpha + 1) times e^beta+1 (beta +1) = e^alpha+beta+2 left{ alpha beta + ( alpha + beta ) + 1 right}]

[eqn: = e^n+2]

이므로 [eqn: ln m_1 m_2 = n+2]

따라서 [eqn: f(n)=n+2]이므로

[eqn: sum_n=1 ^10 f(n) = sum_n=1 ^10 (n+2) = { 10 times 11} over 2 + 20 = 75]

열린 구간 (0, 5)에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~ g(x)]의 그래프가 그림과 같다. 합성함수 [eqn: h(x) = (f circ g)(x)]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[해설]

{출제 의도}

합성함수의 미분법을 이용하여 합성함수로 정의된 함수의 증가와 감소를 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

ㄱ. [eqn: h(3)=f( g(3))=f(1)=5] (거짓)

ㄴ. [eqn: h'(2)=(`f circ g)'(2)=f '( g(2))g '(2)]

주어진 그래프에서 [eqn: 2<g(2)<3]이고, [eqn: 2<x<3]에서 [eqn: f '(x)<0]이다.

[eqn: f '( g(2))<0]이고 [eqn: g'(2)<0]이므로 [eqn: h'(2)>0]이다.

따라서 [eqn: h'(2) ge0] (참)

ㄷ.[eqn: h'(x)=(`f circ g)'(x)=f '( g(x))g '(x)]에 대하여 구간 (3, 4)에서 [eqn: 0<g(x)<1]이므로 [eqn: f '( g(x))>0]이고 [eqn: g '(x)<0]이다.

따라서 [eqn: h'(x)=f '( g(x))g '(x)<0]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 구간 (3, 4)에서 감소한다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: h(3)=4]

ㄴ. [eqn: h'(2) ge 0]

ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]는 구간 (3, 4)에서 감소한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=4`sin`x+ax+2018]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 a의 최솟값은?

④

[해설]

[eqn: f(x)=4`sin`x+ax+2018]에서

[eqn: f '(x)=4`cos`x+a]

함수 [eqn: f(x)=4`sin`x+ax+2018]이 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x) ge 0]이어야 한다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 4`cos`x+a ge0]이어야 한다.

[eqn: 4`cos`x ge-4]이므로 [eqn: a ge 4]

따라서 실수 [eqn: a]의 최솟값은 4이다

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

함수 [eqn: f(x)=(3x+k)e^x^2]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

⑤

[해설]

[eqn: f(x)=(3x+k)e^x^2]에서

[eqn: f'(x) = 3e^x^2 + (3x+k)e^x^2 times 2x = e^x^2 (6x^2 + 2kx + 3)]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x) ge 0]에서 [eqn: e^x^2 > 0]이므로 [eqn: 6x^2 + 2kx + 3 ge 0]이어야 한다.

이차방정식 [eqn: 6x^2 + 2kx + 3 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = k^2 - 6 times 3 le 0]

즉, [eqn: k^2 le 18]

따라서 정수 [eqn: k]의 값은 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4로 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는 9이다.

① 1	② 3	③ 5

④ 7	⑤ 9

함수 [eqn: f(x)=ln`x- a over x - x]가 양의 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하는 실수 a의 최댓값은?

②

[해설]

[eqn: f(x)=ln`x- a over x - x]에서

[eqn: f'(x) = 1 over x + a over x^2 -1 = - {x^2 -x -a } over x^2]

함수 [eqn: f(x)=ln`x- a over x - x]가 양의 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하려면 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f'(x) le 0]이어야 한다.

즉, 모든 양의 실수 x에 대하여 [eqn: - { x^2 -a -a } over x^2 le 0]에서 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 -x -a ge 0]이다.

[eqn: g(x)=x^2 -x-a]라 하면

[eqn: g(x) = left( x- 1 over 2 right)^2 -a - 1 over 4]

[eqn: x>0]일 때 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 1 over 2]에서 최솟값 [eqn: g left( 1 over 2 right) = -a - 1 over 4]을 갖는다.

모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) ge 0]이므로

[eqn: g left( 1 over 2 right) = -a - 1 over 4 ge 0]

따라서 [eqn: a le - 1 over 4]이므로 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: - 1 over 4]이다.

① [eqn: - 1 over 8]	② [eqn: - 1 over 4]	③ [eqn: - 3 over 8]

④ [eqn: - 1 over 2]	⑤ [eqn: - 5 over 8]

함수 [eqn: f(x) = (x^2 -8)e^-x+1]은 극솟값 [eqn: a]와 극댓값 [eqn: b]를 갖는다. 두 수 [eqn: a,~ b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

②

[해설]

{출제 의도}

미분법을 이용하여 함수 [eqn: f(x)]의 극값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f(x) = (x^2 -8)e^-x+1]에서

[eqn: f'(x) = 2xe^-x+1 -(x^2 - 8)e^-x+1]

[eqn: = -(x^2 -2x-8)e^-x+1]

[eqn: =-(x+2)(x-4)e^-x+1]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x=-2]또는 [eqn: x=4]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	-2	…	4	…
[eqn: f'(x)]	-	0	+	0	_
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]에서 극솟값을 가지고 [eqn: x=4]에서 극댓값을 갖는다.

따라서[eqn: a = f(-2) = -4e^3 , ~ b = f(4) = 8e^-3]이므로

[eqn: a b = -4e^3 times 8e^-3 = -32]

① -34	② -32	③ -30

④ -28	⑤ -26

집합 {[eqn: x|x>1] }에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = 2x^3 over {x^2 - 1 }]은 [eqn: x=a]에서 극값을 갖는다. [eqn: f(a) over a]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = 2x^3 over {x^2 - 1 }]에서

[eqn: f'(x) = {6x^2 (x^2 -1) -2x^3 times 2x } over {(x^2 -1)^2 } = {2x^4 - 6x^2 } over{ (x^2 -1)^2 } = {2x^2 (x^2 -3)} over{(x^2 -1)^2}]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x>1]이므로 [eqn: x = sqrt3]

구간 [eqn: (1, ~ inf)]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	(1)	…	[eqn: sqrt3]	…
[eqn: f'(x)]		-	0	+
[eqn: f(x)]		↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = sqrt3]에서 극솟값 [eqn: f( sqrt3 ) = {6 sqrt3 } over 3-1 = 3 sqrt3] 을 갖는다.

따라서 [eqn: a = sqrt3]이므로

[eqn: f(a) over a = {f(sqrt3 )} over sqrt3 = {3 sqrt3 } over sqrt3 = 3]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

함수 [eqn: f(x) = (x^2 -2x - 2)e^-x+2]은 [eqn: x=a]에서 극소이고, [eqn: x=b]에서 극대이다. [eqn: {f(a) times f(b) } overa-b] 의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = (x^2 -2x - 2)e^-x+2]에서

[eqn: f'(x) = (2x-2) e^-x+2 - ( x^2 -2x -2)e^-x+2]

[eqn: = -(x^2 -4x )e^-x+2]

[eqn: = - (x-4)e^-x+2]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: e^-x+2 >0]이므로 [eqn: x=0]또는 [eqn: x=4]

[eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: f '(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극소이고, [eqn: x=4]의 좌우에서 [eqn: f '(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극대이다.

따라서[eqn: a=0,~ b=4]이고, [eqn: f(a)=f(0)=-2e^2 ,~ f(b)=f(4)=6e^-2]이므로

[eqn: {f(a) times f(b) } overa-b = {-2e^2 times 6e^-2 } over 0-4 = -12 over -4 = 3]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수[eqn: f(x) = ln (x^2 + n^2 ) + kx]의 극값이 존재하지 않도록 하는 양의 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: sum_n=1 ^10 1 over g(n)]의 값을 구하시오.

55

[해설]

[eqn: f(x) = ln (x^2 + n^2 ) + kx]에서

[eqn: f'(X) = 2x over{ x^2 + n^2 } + k = {kx^2 + 2x + n^2 k} over{x^2 + n^2]

[eqn: k>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않도록 하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 증가해야 한다.

즉,[eqn: f '(x) ge0]에서 [eqn: {kx^2 + 2x + n^2 k} over{x^2 + n^2 } ge 0]

[eqn: x^2 + n^2 >0]이므로 [eqn: kx^2 + 2x + n^2k ge 0]

이차방정식 [eqn: kx^2 + 2x + n^2k = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: k>0]이므로

[eqn: D over 4 = 1 - k times n^2 k = 1 - n^2 k^2 le 0]

[eqn: n^2 k^2 -1 ge 0]

[eqn: (nk+1)(nk-1) ge0]

자연수 [eqn: n]과 양의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: nk+1>0]이므로 [eqn: nk-1 ge0]

즉, [eqn: nk ge1]에서 [eqn: k ge 1 over n]

[eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 1 over n]이므로 [eqn: g(n) = 1 over n]

따라서 [eqn: sum _n=1 ^10 1 over g(n) = sum_n=1 ^10 n = {10 times 1 1} over 2 = 55]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

①

[해설]

{출제 의도}

주어진 조건을 이용하여 함수 [eqn: f(x)]에 대한 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

ㄱ. 조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고, 조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) !=1]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)!= -1]이다. (참)

ㄴ. 조건 (나), (다)에 의하여

[eqn: f '(x)= left{1+f(x) right} left{1+f(-x) right} = left{ 1 + f(x) right} left{ 1 - f(x) right}]이다.

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이며 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) != 1], [eqn: f(x)!= -1]이므로 [eqn: -1<f(x)<1]이다.

즉, [eqn: 1+f(x)>0,~ 1-f(x)>0]이므로

[eqn: f '(x)=left{1+f(x)right} left{1-f(x)right}>0]이다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가한다. (거짓)

ㄷ.[eqn: f '(x)= left{1+f(x) right} left{1+f(-x) right} = 1 - left{f(x) right}^2]이므로

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f ''(x)=-2f(x)f '(x)]

[eqn: f ''(x)=0]에서 [eqn: f '(x)>0]이므로 [eqn: f(x)=0]

조건 (나)에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)+f(0)=0]에서 [eqn: f(0)=0]이고, 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 (0, 0)으로 하나뿐이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.

(가) [eqn: f(x) != 1]

(나) [eqn: f(x)+f(-x)=0]

(다) [eqn: f '(x)= left{1+f(x) right} left{1+f(-x) right}]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여[eqn: f(x)!= -1]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

②

[해설]

[eqn: f(x)=ln (x^2 -2x+2)]에서

[eqn: f'(x) = 2x-2 over {x^2 -2x + 2}]

[eqn: f''(x) = { 2(x^2 -2x + 2 ) - (2x-2) times(2x-2) } over { (x^2 -2x + 2 )^2 }]

[eqn: = { 2x^2 -4x + 4 -(4x^2 -8x + 4)} over{(x^2 -2x + 2)^2 }]

[eqn: = { -2x^2 + 4x } over{(x^2 - 2x + 2)^2 }]

[eqn: = - {2x (x-2)} over {(x^2 -2x + 2)^2 }]

[eqn: f ''(x)=0]에서 [eqn: x(x-2)=0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

[eqn: x=2]의 좌우에서 [eqn: f ''(x)]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: (2,~ f(2)),] 즉 점 [eqn: (2,~ ln`2)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점 [eqn: (2,~ ln`2)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {2 times 2 - 2 } over {2^2 -2 times 2 + 2 } = 1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-ln`2=x-2,] 즉 [eqn: y=x-2+ln`2]

따라서 [eqn: a=1,~ b=-2+ln`2]이므로

[eqn: a+b=1+(-2+ln`2)=-1+ln`2]

[eqn: f(x)=ln (x^2 -2x+2)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=ax+b]이다. 두 상수 [eqn: a,~ b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2+ln`2]	② [eqn: -1+ln`2]	③ [eqn: ln`2]

④ [eqn: 1+ln`2]	⑤ [eqn: 2+ln`2]

닫힌 구간 [0, 2[eqn: pi]]에서 정의된 함수[eqn: f(x)=e^2x cos`x]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 좌표가 [eqn: (a,~ f(a))]일 때, [eqn: 60`tan`a]의 값을 구하시오.

45

[해설]

[eqn: f(x)=e^2x cos`x]에서

[eqn: f '(x)=(e^2x ) '`cos`x+e^2x (cos`x)'=e^2x (2`cos`x-sin`x)]

[eqn: f (x)=(e^2x )'(2`cos`x-sin`x)+e^2x (2`cos`x-sin`x)']

[eqn: =e^2x (4`cos`x-2`sin`x)+e^2x (-2`sin`x-cos`x)]

[eqn: =e^2x (3`cos`x-4`sin`x)]

곡선 [eqn: f(x)=e^2x cos`x]의 변곡점의 좌표가 [eqn: (a,~ f(a))]이므로 [eqn: f ''(a)=0]이다.

[eqn: f ''(a)=e^2a (3`cos`a-4`sin`a)=0]에서

[eqn: e^2a >0]이므로 [eqn: 3`cos`a-4`sin`a=0]

따라서 [eqn: sina over cosa = 3 over 4]

[eqn: tan a = sina over cosa = 3 over 4]이므로

[eqn: 60 tan a = 60 times 3 over 4 = 45]

함수 [eqn: f(x)=x^2 -3x+ln`x]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

[해설]

[eqn: f(x)=x^2 -3x+ln`x]에서

[eqn: f'(x) = 2x -3 + 1 over x = { 2x^2 -3x + 1 } over x = {(2x-1)(x-1)} over x]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x = 1 over 2] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: f''(x) = 2 - 1 over x^2 = {2x^2 -1 } over x^2 = { (sqrt2 x + 1)(sqrt2 x -1)} over x^2]

[eqn: f ''(x)=0]에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x = 1 over sqrt2]

ㄱ. [eqn: `f '(1)=0]이고 [eqn: f ''(1)=2-1=1>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: f(1)=1-3+ln`1=-2]를 갖는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: f'' left( 1 over sqrt2 right) = 0]이고, [eqn: x = 1 over sqrt2]의 좌우에서 [eqn: f ''(x)]의 부호가 바뀌므로 점[eqn: left( 1 over sqrt2 , ~ f left( 1 over sqrt2 right) right)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 1이다. (참)

ㄷ. 열린 구간 [eqn: left( 0 , ~ 1 over sqrt2 right)]에서 [eqn: f ''(x)<0]이므로 열린 구간 [eqn: left( 0 , ~ 1 over sqrt2 right)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

<보기>

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값 -2를 갖는다.

ㄴ. 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 1이다.

ㄷ. 열린 구간 [eqn: left(0 , ~ 1 over sqrt2 right)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3 이상의 자연수 n에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

③

[해설]

{출제 의도}

도함수와 이계도함수를 이용하여 극댓값과 변곡점을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

ㄱ. [eqn: f(x) = x^n e^-x]에서

[eqn: f left( n over 2 right) = left( n over 2 right) e^{- n over2}]	…… ㉠

또한 [eqn: f'(x) = nx^n-1 e^-x - x^n e^-x = x^n-1 e^-x (n-x)]이므로

[eqn: f' left( n over 2 right) = left( n over 2 right) ^n-1 times e^{- n over 2 } times n over 2]

[eqn: = left( n over 2 right)^n e^{ - n over 2 }]	…… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f left( n over 2 right) = f' left( n over 2 right)] (참)

ㄴ. [eqn: f'(x) = x^n-1 e^-x (n-x)]이므로[eqn: f '(n)=0]

또한 [eqn: 0<x<n]일 때 [eqn: f '(x)>0]이고, [eqn: x>n]일 때 [eqn: f '(x)<0] 이므로 함수 [eqn: f (x)]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [반례] [eqn: f'(x) = x^n-1 e^-x (n-x)]에서

[eqn: f''(x) = (n-1) x^n-2 e^-x (n-x) + x^n-1 (-e^-x ) (n-x) + x^n-1 e^-x times (-1)]

[eqn: = x^n-2 e^-x (x^2 -2nx + n^2 - n)]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: f''(x) = x^2 e^-x (x^2 -8x + 12 )]이므로

[eqn: f ''(0)=0]이지만 [eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: f''(x)]의 부호가 바뀌지 않으므로 점 (0, 0)이 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이라 할 수 없다.

(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f(x) = x^n e^-x]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. [eqn: f left( n over 2 right) = f' left( n over 2 right)]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 (0, 0)은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) = e^{- 1 over 2 x^2 }]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[해설]

[eqn: f(x) = e^{- 1 over 2 x^2 }]에서

[eqn: f'(x) = -xe^{-1 over 2 x^2 }]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: e^{- 1 over 2 x^2 } >0]이므로 [eqn: x=0]

[eqn: f'(x) = -xe^{-1 over 2 x^2 }]에서

[eqn: f''(x) = -e ^{- 1 over 2 x^2 } + x^2 e^{- 1 over 2 x^2 }]

[eqn: = (x^2 -1) e^{ - 1 over 2 x^2 }]

[eqn: = ( x+1)(x-1) e^{- 1 over 2 x^2 }]

[eqn: f ''(x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소, 곡선 [eqn: y=f(x)]의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	-1	…	0	…	1	…
[eqn: f'(x)]	+	+	+	0	-	-	-
[eqn: f''(x)]	+	0	-	-	-	0	+
[eqn: f(x)]		변곡점		극대		변곡점

ㄱ. [eqn: x>0]에서 [eqn: f '(x)<0]이므로 함수[eqn: f(x)]는 구간 (0, [eqn: inf])에서 감소한다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) = e^{- 1 over 2 x^2 } >0]이고, [eqn: lim_x->-inf f(x) = 0,] [eqn: lim_x->inf f(x) = 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값이면서 최댓값 [eqn: f(0)=1]을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f ''(-1)=0]이고, [eqn: x=-1]의 좌우에서 [eqn: f ''(x)]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: (-1,~ f(-1))]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이고, [eqn: f ''(1)=0]이고, [eqn: x=1]의 좌우에서 [eqn: f ''(x)]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: (1,~ f(1))]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 2이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<보기>

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 구간 (0, [eqn: inf])에서 감소한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 최댓값 1을 갖는다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 2이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=|x-1| sqrtx]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

[해설]

ㄱ. [eqn: f(x) = |x-1| sqrt x = cases{ -1(x-1) sqrtx & (0 le x <1 ) # (x-1) & (x ge 1)]에 대하여

[eqn: lim_h->0- { f(1 + h) - f(1)} over h = lim_h->0- { - h sqrt 1+h }over h = - lim_h->0-sqrt 1+h = -1]이고,

[eqn: lim_h->0+ { f(1 + h) - f(1)} over h = lim_h->0+ { h sqrt 1+h }over h = lim_h->0+ sqrt 1+h = 1]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 0<x<2~ (x != 1)]에서 [eqn: f(x)>0]이고, [eqn: f(1)=0]이다.

따라서 [eqn: x=1]을 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) gef(1)]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: x ge 1]일 때 [eqn: f(x)=(x-1) sqrtx]이므로 [eqn: x>1]일 때

[eqn: f'(x) = sqrtx + (x-1) times 1 over { 2 sqrtx }]

[eqn: = { 2x + x -1} over {2 sqrtx]

[eqn: = {3x-1} over {2sqrtx } >0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 구간 (1, [eqn: inf])에서 증가한다.

[eqn: 0 le x < 1]일 때 [eqn: f(x)=-(x-1) sqrtx]이므로

[eqn: 0<x<1]일 때

[eqn: f'(x) = - sqrtx - (x-1) times 1 over {2 sqrtx }]

[eqn: = - {2x + x -1 } over { 2 sqrtx }]

[eqn: = - {3x-1} over{2 sqrtx}]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: 3x-1=0]이므로 [eqn: x = 1 over 3]

[eqn: x = 1 over 3]의 좌우에서 [eqn: f '(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 1 over 3]에서 극댓값을 갖는다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: 0<x<1]일 때

[eqn: f''(x) = - { 3 times 2 sqrtx - (3x -1) times 1 over sqrtx } over {(2 sqrtx )^2 }]

[eqn: = { 6x - (3x -1)} over { 4x sqrtx }]

[eqn: = - 3x+1 over { 4x sqrtx } < 0]

이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다.

따라서 열린 구간 (0, 1)에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

<보기>

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.

ㄷ. 열린 구간 (0, 1)에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양수 [eqn: a]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [-a,~ a]]에서 함수 [eqn: f(x) = x-5 over {(x-5)^2 + 36}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때,

11

[해설]

{출제 의도}

미분을 이용하여 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f(x) = x-5 over {(x-5)^2 + 36}]에서

[eqn: f'(x) = {(x-5)^2 + 36 - (x-5) times 2 ( x-5)} over { left{ (x-5)^2 + 36 right}^2 }]

[eqn: = { - (x-5)^2 + 36 } over { left{ (x-5)^2 + 36 right}^2 } = { -x^2 + 10x + 11} over { left{ (x-5)^2 + 36 right}^2 }]

[eqn: = {-(x+1)(x-11)} over { left{ (x-5)^2 + 36 right}^2 }]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=11]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	-1	…	11	…
[eqn: f'(x)]	-	0	+	0	_
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)는 x=-1]에서 극솟값 [eqn: f(-1)=- 1 over 12]을 가지고,

[eqn: x=11]에서 극댓값 [eqn: f(11)= 1 over 12]을 갖는다.

[eqn: lim_x->inf f(x) = lim_x->inf {x-5} over {(x-5)^2 + 36 } =0]이고,

[eqn: lim_x->-inf f(x) = lim_x->-inf x-5 over {(x-5)^2 + 36 } = 0]이므로 양수 [eqn: a]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [-a,~ a]]에서 [eqn: M+m=0]이 되도록 하려면 극솟값 [eqn: f(-1)=- 1 over 12]과 극댓값 [eqn: f(11)= 1 over 12]이 각각 최솟값과 최댓값이 되어야 한다.

즉, [eqn: x=-1]과 [eqn: x=11]은 모두 닫힌 구간 [eqn: [-a,~ a]]에 속해야 하므로

[eqn: -a le -1]이고 [eqn: a ge 11]이어야 한다.

따라서 [eqn: a ge 11]이므로 양수 [eqn: a]의 최솟값은 11이다.

[eqn: M+m=0]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

닫힌 구간 [0, 5]에서 함수 [eqn: f(x) = (x-4)^2 e^x-2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = (x-4)^2 e^x-2]에서

[eqn: f'(x) = 2 (x-4)e^x-2 + (x-4)^2 e^x-2]

[eqn: = (x-2)(x-4)e^x-2]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: e^x-2 >0]이므로

[eqn: x = 2] 또는 [eqn: x = 4]

닫힌 구간 [0, 5]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	0	…	2	…	4	…	5
[eqn: f'(x)]		+	0	-	0	+
[eqn: f(x)]	[eqn: 16 over e^2]	↗	4 극대	↘	0 극소	↗	[eqn: e^3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극댓값 4를 가지고, [eqn: x=4]에서 극솟값 0을 갖는다.

또한 [eqn: f(0)= 16 over e^2], [eqn: f(5) = e^3]이므로

[eqn: M = e^3 , ~ m=0]

따라서 [eqn: M+m = e^3 + 0 = e^3]

① [eqn: e]	② [eqn: e^2]	③ [eqn: e^3]

④ [eqn: e^4]	⑤ [eqn: e^5]

닫힌 구간 [eqn: left[ pi over 6 , ~ pi over 3 right]]에서 함수 [eqn: f(x) = 1 over cosx + {2 sqrt2 } over {sin x}]의 최솟값이 [eqn: m]일 때, [eqn: m^2]의 값을 구하시오.

27

[해설]

[eqn: f(x) = 1 over cosx + {2 sqrt2 } over {sin x}]에서

[eqn: f'(x) = sinx over {cos^2 x } - {2sqrt2 cos x } over { sin ^2 x}]

[eqn: = { sin^3 x - 2 sqrt2 cos ^3 x } over { sin^2 x cos ^2 x }]

[eqn: = { cos ^3 x (tan^3 x - 2 sqrt2 )} over { sin ^2 x cos^2 x }]

[eqn: = { cos^3 x ( tan x - sqrt2 ) ( tan^2 x + sqrt2 tan x + 2 )} over { sin^2 x cos ^2 x}]

닫힌 구간 [eqn: left[ pi over 6 , ~ pi over 3 right]]에서 [eqn: f '(x)=0]일 때,[eqn: cos`x>0],

[eqn: tan^2 x + sqrt2 tan x + 2 > 0]이므로

[eqn: tan x = sqrt2]

3[eqn: sqrt3 over 3 = tan pi over 6 le sqrt2 le tan pi over 3 = sqrt3] 이므로

[eqn: tan x = sqrt2 left( pi over 6 le x le pi over 3 right)]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha left( pi over 6 le alpha le pi over 3 right)]라 하면

[eqn: tan alpha = sqrt2 , ~ { sin alpha } over { cos alpha } = sqrt2 , ~ sin alpha = sqrt2 cos alpha]

[eqn: sin^2 alpha + cos ^2 alpha = 3 cos^2 alpha = 1]

[eqn: cos alpha > 0]이므로 [eqn: cos alpha = 1 over sqrt3]

[eqn: sin alpha = sqrt2 cos alpha]

[eqn: = sqrt2 times 1 over sqrt3]

[eqn: = sqrt2 over sqrt3]

닫힌 구간 [eqn: left[ pi over 6 , ~ pi over 3 right]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: pi over 6]	…	[eqn: alpha]	…	[eqn: pi over 3]
[eqn: f'(x)]		-	0	+
[eqn: f(x)]		↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha]에서 극소이면서 최소이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha]에서 최솟값

[eqn: f( alpha ) = 1 over { cos alpha} + { 2 sqrt2 } over { sin alpha} = sqrt3 + 2 sqrt3 = 3 sqrt3]을 갖는다.

따라서 [eqn: m = 3 sqrt3]이므로 [eqn: m^2 = 27]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수[eqn: f(x) = (x+n) sqrt{n^2 - x^2 }]의 최댓값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: lim_n->inf {left{ g(n)right} ^2 } over {(n^2 + 2018 )^2 } = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

43

[해설]

[eqn: f(x) = (x+n) sqrt{n^2 - x^2 }]에서 [eqn: n^2 - x^2 ge 0]이므로

[eqn: (x+n)(x-n) le 0]

즉, [eqn: -n le x le n]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 정의역은 [eqn: left{ x| -n le x le n right}]이다.

[eqn: -n<x<n]일 때

[eqn: f(x) = (x+n) sqrt{n^2 - x^2 }]에서

[eqn: f'(x) = sqrt{ n^2 - x^2 } + (x+n) times -2x over {2 sqrt{n^2 - x^2 }]

[eqn: = { 2(n^2 - x^2 ) - 2 x(x+n )} over { 2 sqrt{ n^2 -x^2 }]

[eqn: = {- 4x^2 -2nx + 2n^2 } over { 2sqrt{ n^2 - x^2 }]

[eqn: = { - (2x^2 + nx - n^2 )} over { sqrt {n^2 -x^2 }]

[eqn: = { - (x+n )(2x -n )} over { sqrt{ n^2 - x^2 }]

[eqn: f '(x)=0]에서 [eqn: x = n over 2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -n]	…	[eqn: n over 2]	…	[eqn: n]
[eqn: f'(x)]		+	0	-
[eqn: f(x)]		↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = n over 2]에서 극대이면서 최대이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f left( n over 2 right) = left( n over 2 + n right) sqrt{ n^2 - left( n over 2 right)^2 }]

[eqn: = 3 over 2 n times sqrt { 3 over 4 n^2 }]

[eqn: = 3 over 2 n times sqrt3 over 2 n]

[eqn: = {3 sqrt3 } over 4 n^2]

따라서 [eqn: g(n ) = {3 sqrt3 } over 4 n^2]이므로

[eqn: lim_n->inf { left{ g(n)right}^2 } over { (n^2 + 2018 )^2 } = lim_n->inf { left( {3 sqrt3 } over 4 n^2 right)^2 } over {(n^2 + 2018 )^2 }]

[eqn: = lim_n->inf { left( { 3 sqrt3 } over 4 right)^2 } over {left( 1 + 2018 over n^2 right) ^2 }]

[eqn: = { left( {3 sqrt3 } over 4 right)^2 } over {(1+0)^2 }]

[eqn: = left( {3 sqrt3 } over4 right)^2]

[eqn: = 27 over 16]

따라서 [eqn: p = 16, ~ q = 27]이므로

[eqn: p+q=16+27=43]

정의역이 [eqn: left{ x| 0 le x le pi right}]인 함수 [eqn: f(x)=2x`cos`x]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[해설]

{출제 의도}

방정식의 실근의 개수를 미분을 이용하여 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f(x)=2x`cos`x]에서

[eqn: f '(x)=2`cos`x-2x`sin`x]

ㄱ. [eqn: f '(0)=2]이므로 [eqn: a !=0]이다.

또한[eqn: f' left( pi over 2 right) = 2 cos pi over 2 - pi sin pi over 2 = - pi]이므로 [eqn: a != pi over 2]이다.

[eqn: f '(a)=2`cos`a-2a`sin`a=0]에서

[eqn: sina over cosa = 2 over 2a] 이므로 [eqn: tan a = 1 over a]이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f '(x)]는 구간 [eqn: [0, pi]]에서 연속이고

[eqn: f' left( pi over 4 right) = 2 times sqrt2 over 2 - 2 times pi over 4 times sqrt2 over 2 = sqrt2 left( 1 - pi over 4 right) >0],

[eqn: f' left( pi over 3 right) = 2 times 1 over 2 - 2 times pi over 3 times sqrt3 over 2 = 1 - {sqrt3 pi } over 3 < 0]

이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: f '(a)=0]인 실수 [eqn: a]가 구간 [eqn: left( pi over 4 , ~ pi over 3 right)]에 존재한다.

또한 [eqn: x=a]의 좌우에서[eqn: f '(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(0) = f left( pi over 2 right) = 0]이다.

ㄴ에서 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 가지는 [eqn: a]가 구간 [eqn: left( pi over 4 , ~ pi over 3 right)]에 존재하고, ㄱ에서 [eqn: tan a = 1 over a]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 구간 (0, [eqn: a])에서 증가하고, 구간 [eqn: left( a , ~ pi over 2 right)]에서 감소한다.

[eqn: f(a) > f left( pi over 4 right) = pi over 2 times sqrt2 over 2 > {3 sqrt2 } over 4 >1]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같고, 직선 [eqn: y=1]과 서로 다른 두 점에서 만난다.

따라서 구간 [eqn: left[ 0 , ~ pi over 2 right]]에서 방정식 [eqn: f(x)=1]의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<보기>

ㄱ. [eqn: f '(a)=0]이면 [eqn: tan a = 1 over a]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 가지는 [eqn: a]가 구간 [eqn: left( pi over 4 , ~ pi over 3 right)]에 있다.

ㄷ. 구간 [eqn: left[ 0 , ~ pi over 2 right]]에서 방정식 [eqn: f(x)=1]의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: e^x ge e^2 x - k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

③

[해설]

[eqn: f(x) = e^x - e^2 x + k]라 하면

[eqn: f'(x) = e^x - e^2]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	2	…
[eqn: f'(x)]	-	0	+
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 2]에서 극소이면서 최소이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 2]에서 최솟값 [eqn: f(2) = e^2 - 2e^2 + k = -e^2 + k]를 갖는다.

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge 0]이 성립하려면 [eqn: -e^2 + k ge 0]이어야 한다.

즉, [eqn: k ge e^2]이므로 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: e^2]이다.

① [eqn: e]	② [eqn: e^{3 over 2]	③ [eqn: e^2]

④ [eqn: e^{5 over 2 }]	⑤ [eqn: e^3]

방정식[eqn: ln x = 1 over 3 x - n + 6]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 10 이하의 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [eqn: left( 단, ~ lim_x->inf left( lnx - 1 over 3 x right) = - inf right)]

①

[해설]

[eqn: ln x = 1 over 3 x - n + 6]이라 하면

[eqn: f'(x) = 1 over x - 1 over 3 = 0]에서 [eqn: x = 3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	(0)	…	3	…
[eqn: f'(x)]		+	0	-
[eqn: f(x)]		↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서 극댓값

[eqn: f(3)=ln`3-1+n-6=n-7+ln`3]을 가지고,

[eqn: lim_x->0+ f(x) = - inf , ~ lim_x->inf f(x) = - inf]이고, [eqn: x>3]일 때 [eqn: f '(x)<0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 감소한다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x>0]에서 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하려면 [eqn: n-7+ln`3>0], 즉 [eqn: n>7-ln`3]이어야 한다.

따라서 10 이하의 자연수 n의 값은 6, 7, 8, 9, 10이므로 구하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 6+7+8+9+10=40]

{참고}

[eqn: e image 2.7]이므로

[eqn: 1=ln`e<ln`3<ln`e^2 =2]가 되어[eqn: 5<7-ln`3<6]이 성립한다.

① 40	② 42	③ 44

④ 46	⑤ 48

04

적분법

04_적분법	오늘 걷지 않으면 내일 뛰어야 한다!!!

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f'(x) = {(3^x -1 )^2 } over 3^x]이고 [eqn: f(0)=2]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

③

[해설]

{출제 의도}

지수함수의 부정적분을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: f'(x) = {(3^x -1 )^2 } over 3^x]에서

[eqn: f(x) = int {( 3^x -1)^2 } over 3^x dx = int { 3^2x - 2 times 2 - 3^x + 1 } over 3^x dx]

[eqn: = int left{ 3^x - 2 + left( 1 over 3 right) ^x right} dx]

[eqn: = 3^x over ln3 - 2x + { left( 1 over 3 right)^x } over { ln 1 over 3 } + C]

[eqn: = 3^x over ln3 - 3^-x over ln3 - 2x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 2]이므로

[eqn: 3^0 over ln3 - 3^-0 over ln3 - 2 times 0 + C = 2]

즉, [eqn: C = 2]

따라서 [eqn: f(1) = 3^1 over ln3 - 3^-1 over ln3 - 2 + 2 = 8 over {3 ln 3}]

① [eqn: 4 over {3 ln 3]	② [eqn: 2 over ln3]	③ [eqn: 8 over {3ln3}]

④ [eqn: 10 over { 3 ln 3}]	⑤ [eqn: 4 over { ln 3}]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가[eqn: f '(x)=sin`x+2`cos`x]이고 [eqn: f(pi)=0]일 때, [eqn: f left( pi over 2 right)]의 값은?

④

[해설]

[eqn: f '(x)=sin`x+2`cos`x]에서

[eqn: f(x)=int (sin`x+2`cos`x)dx]

[eqn: =-cos`x+2`sin`x+C] (단, C는 적분상수)

[eqn: f(pi)=0]이므로

[eqn: -cos`pi+2`sin`pi+C=0]

즉, [eqn: C=-1]

따라서[eqn: f left( pi over 2 right) = - cos pi over 2 + 2 sin pi over 2 -1 = 2 - 1 = 1]

① -2	② -1	③ 0

④ 1	⑤ 2

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 1 over x + 1 over x^2]이고, [eqn: f(1) = 1]이다. 닫힌 구간 [1, [eqn: e]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

②

[해설]

[eqn: f'(x) = 1 over x + 1 over x^2]에서

[eqn: f(x) = int left( 1 over x + 1 over x^2 right) dx]

[eqn: = ln|x| - 1 over x + C]  (단, C는 적분상수)

이때 [eqn: x>0]이므로

[eqn: f(x) = ln x - 1 over x + C]

[eqn: f(1)=1]이므로 [eqn: ln 1 + 1 over 1 + C = 1], [eqn: C=2]

닫힌 구간 [1, [eqn: e]]에서 [eqn: f'(x) = 1 over x + 1 over x^2 > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [1, [eqn: e]]에서 증가한다.

따라서 닫힌 구간 [1, [eqn: e]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e]에서 최댓값을 가지고,

[eqn: x=1]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: M- m = f(e) - f(1)]

[eqn: = left( ln e - 1 over e + 2 right) - left( ln 1 + 1 over 1 + 2 right)]

[eqn: = left( 3 - 1 over e right) - 1]

[eqn: = 2 - 1 over e]

① [eqn: 1 - 1 over 2e]	② [eqn: 2 - 1 over e]	③ [eqn: 1+2 over e]

④ [eqn: 2 - 1 over 2e]	⑤ [eqn: 2 + 1 over e]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

①

[해설]

조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: lim_h->0 {f(x+h)-f(x-h)} over h]

[eqn: = lim_h->0 { f(x+h ) -f(x) } over h + lim_h->0 { f(x-h) - f(x) } over -h]

[eqn: =f '(x)+f '(x)]

[eqn: =2f '(x)]

즉, [eqn: 2f '(x)=e^ax-1 -1]에서

[eqn: f'(x) = 1 over 2e (e^a )^x - 1 over 2]이므로

[eqn: f(x) = int left{ 1 over 2e (e^a )^x - 1 over 2 right} dx]

[eqn: = 1 over 2e times e^ax over {ln e^a } - 1 over 2 x + C] (단, C는 적분상수)	……㉠

조건 (나)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 1을 가지므로 [eqn: f '(2)=0]

즉,[eqn: f'(2) = 1 over 2e e^2a - 1 over 2 = 0]에서 [eqn: e^2a = e]

[eqn: 2a=1]이므로 [eqn: a = 1 over 2]

[eqn: a = 1 over 2] 을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: f(x)=e ^{{1} over {2} x-1} - {1} over {2} x+C]

또 [eqn: f(2)=1]이므로

[eqn: f(2) = e^{1 over 2 times 2 -1 } - 1 over 2 times 2 + C = 1]

[eqn: 1-1+C=1]

즉, C=1

따라서 [eqn: f(x)=e ^{{1} over {2} x-1} - {1} over {2} x+1]이므로

[eqn: f(0) = e^0-1 -0 +1 = 1 over e + 1]

(단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: a>0]이다.)

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(x+h) - f(x-h)} over h = e^ax-1 -1]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 1을 갖는다.

① [eqn: 1 over e +1]	② [eqn: 1 overe + 3 over 2]	③ [eqn: 1 overe + 2]

④ [eqn: 1 over e + 5 over 2]	⑤ [eqn: 1 over e + 3]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

③

[해설]

{출제 의도}

치환적분법을 이용하여 부정적분을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: 2x^3 + 3x = t]로 놓으면 [eqn: 3(2x^2 + 1) = dt over dx] 이므로

[eqn: f(x) = int {2x^2 + 1 } over {2x^3 + 3x } dx]

[eqn: = int left( 1 over t times 1 over 3 right) dt]

[eqn: = 1 over 3 ln |t | + C]

[eqn: = 1 over 3 in{2x^3 + 3 x | +C] (단, C는 적분상수)	…… ㉠

[eqn: f(2) = ln22 over 3]이므로 ㉠에서

[eqn: ln22 over 3 + C = ln22 over3]

[eqn: C=0]

[eqn: x>0]에서 [eqn: 2x^3 + 3 x >0]이므로[eqn: f(x) = 1 over 3 ln (2x^3 + 3x )]

따라서[eqn: f(1) = ln5 over 3]

[eqn: f(x) = int {2x^2 + 1 } over {2x^3 + 3x } dx]에 대하여 [eqn: f(2) = {ln 22} over 3]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: ln3 over 3]	② [eqn: {2 ln 2 } over 3]	③ [eqn: ln5 over 3]

④ [eqn: ln6 over 3]	⑤ [eqn: ln7 over 3]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f'(x) = x sin left( x^2 over 3pi right)]이고 [eqn: f (pi)=0]일 때, [eqn: f(0)]의 값은?

②

[해설]

[eqn: x^2 over 3pi = t]로 놓으면

[eqn: 2x over 3pi = dt over dx]이므로

[eqn: f(x) = int x sin left( x^2 over 3pi right) dx]

[eqn: = int 3pi over 2 sin t dt]

[eqn: = - 3pi over 2 cos t + C]

[eqn: = - 3pi over 2 cos left( x^2 over 3pi right) + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(pi ) = 0]이므로

[eqn: f(pi ) = - 3pi over 2 cos left( pi^2 over 3pi right) + C]

[eqn: 0 = - 3pi over 4 + C]

[eqn: C = 3pi over 4]

따라서 [eqn: f(x) = - 3pi over 2 cos left( x^2 over 3pi right) + 3pi over 4]이므로

[eqn: f(0) = - 3pi over 2 times 1 + 3pi over 4]

[eqn: = - 3pi over 4]

① [eqn: - pi]	② [eqn: - 3pi over 4]	③ [eqn: - pi over 2]

④ [eqn: - pi over 4]	⑤ [eqn: 0]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f '(x)=2x`ln`x+x]이고 [eqn: f(e)=e^2 +1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은?

⑤

[해설]

[eqn: f '(x)=2x`ln`x+x]에서

[eqn: f(x) = int (2x ln x + x ) dx]

[eqn: u(x) = ln x , ~ v'(x) = 2x]로 놓으면

[eqn: u'(x) = 1 over x , ~ v(x) = x^2]이므로

[eqn: f(x) = int (2x ln x + x ) dx]

[eqn: = x^2 ln x - int left( x^2 times 1 over x right) dx + int x dx]

[eqn: = x^2 ln x + int (-x + x )dx]

[eqn: = x^2 ln x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(e) = e^2 ln e + C = e^2 +1]이므로 [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=x^2``ln`x+1]

한편, [eqn: f '(x)=2x`ln`x+x=0]에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x= 1 over sqrt e]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	(0)	…	[eqn: 1 over sqrte]	…
[eqn: f'(x)]		-	0	+
[eqn: f(x)]		↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= 1 over sqrt e]에서 극솟값을 가지므로 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은

[eqn: f left( 1 over sqrte right) = left( 1 over sqrte right)^2 ln 1 over sqrte + 1]

[eqn: = 1 over e times left( - 1 over 2 right) + 1]

[eqn: = 1 - 1 over 2e]

① [eqn: 1 - 1 over 6e]	② [eqn: 1 - 1 over 5e]	③ [eqn: 1- 1 over 4e]

④ [eqn: 1 - 1 over 3e]	⑤ [eqn: 1 - 1 over 2e]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[해설]

[eqn: lim_x->0 { f(x) - 3} over x = 1]에서 [eqn: xx->0]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->0 left{ f(x) - 3 right} = 0]이므로 [eqn: lim_x->0 f(x) = 3]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

즉,  [eqn: f(0) = lim _x->0 f(x) = 3]	……㉠

따라서 [eqn: lim_x->0 {f(x) -3} over x = lim_x->0 { f(x) - f(0) } over x-0 = f'(0) = 1]

[eqn: f'(x) = x^3 e^x^2 + a]에서 [eqn: f '(0)=1]이므로 [eqn: a=1]

이때 [eqn: f'(x) = x^3 e^x^2 + a]이므로

[eqn: f(x) = int (x^3 e^x^2 + 1 ) dx]

[eqn: x^2 = t]로 놓으면 [eqn: 2x = dt over dx] 이므로

[eqn: f(x) = int (x^3 e^x^2 + 1 ) dx]

[eqn: = int x^3 e^x^2 dx + x]

[eqn: = int left( 1 over 2 t times e^t right) dt + x]

[eqn: u(t) = 1 over 2 t , ~ v'(t) = e^t]으로 놓으면

[eqn: u'(t) = 1 over 2 , ~ v(t) = e^t]이므로

[eqn: f(x) = int left( 1 over 2 t times e^t right) dt + x]

[eqn: = 1 over 2 te^t - int 1 over 2 e^t dt + x]

[eqn: = 1 over 2 t e^t - 1 over 2 e^t + x + C]

[eqn: = 1 over2 x^2 e^x^2 - 1 over e^x ^2 + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

㉠에서 [eqn: f(0)=3]이므로

[eqn: f(0) = 0 - 1 over 2 + 0 + C = 3]

즉, [eqn: C = 7 over 2]

따라서 [eqn: f(x)= 1 over2 x^2 e^x^2 - 1 over e^x ^2 + x + 7 over 2]이므로

[eqn: f(1) = 1 over 2 e - 1 over 2 e + 1 + 7 over 2]

[eqn: = 9 over 2]

(가) [eqn: f'(x) = x^3 e^x^2 + a]

(나) [eqn: lim_x->0 {f(x) - 3} over x = 1]

① [eqn: 5 over 2]	② 3	③ [eqn: 7 over 2]

④ 4	⑤ [eqn: 9 over 2]

양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

⑤

[해설]

{출제 의도}

부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: int left{ f(x) + x^2 sqrt{x^2 + 1 } right} dx = xf(x) +C]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) + x^2 sqrt{x^2 +1} = f(x) = xf'(x)]

[eqn: f(x) = int f'(x) dx = int x sqrt{ x^2 + 1 } dx]

[eqn: x^2 + 1 = t]로 놓으면 [eqn: 2x = dt over dx]이므로

[eqn: f(x) = int x sqrt{ x^2 + 1} dx = 1 over 2 int sqrtt dt]

[eqn: = 1 over 2 times 2 over 3 times t^{3 over 2 } + C_1]

[eqn: = 1 over 3 (x^2 + 1 ) sqrt{ x^2 + 1 } + C_1] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: f(2 sqrt2 ) = 29 over 3]이므로 [eqn: 1 over 3 times 9 times 3 + C_1 = 29 over 3 , ~ C_1 = 2 over 3]

따라서 [eqn: f(x) = 1 over 3 (x^2 + 1 ) sqrt{x^2 + 1} + 2 over 3]이므로

[eqn: f(sqrt3 ) = 1 over 3 times 4 times 2 + 2 over 3 = 10 over 3]

[eqn: int left{ f(x) + x^2 sqrt{x^2 + 1 } right} dx = xf(x) +C]  ([eqn: C]는 적분상수)

를 만족시킨다.[eqn: f(2 sqrt2 ) = 29 over 3]일 때, [eqn: f ( sqrt3 )]의 값은?

① 2	② [eqn: 7 over 3]	③ [eqn: 8 over 3]

④ 3	⑤ [eqn: 10 over 3]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

①

[해설]

[eqn: int left{ f(x) + sin x right} dx = x sin x + C]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+sin`x=sin`x+x`cos`x]

따라서 [eqn: f(x)=x`cos`x]이므로

[eqn: f left( pi over 3 right) = pi over 3 times 1 over 2]

[eqn: = pi over 6]

[eqn: int left{ f(x) + sin x right} dx = x sin x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

를 만족시킬 때, [eqn: f left( pi over 3 right)]의 값은?

① [eqn: pi over 6]	② [eqn: pi over 4]	③ [eqn: pi over 3]

④ [eqn: {5pi } over 12]	⑤ [eqn: pi over 2]

양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]는

①

[해설]

[eqn: F'(x)=f(x)]이므로

[eqn: F(x) = xf(x) - x^2 e^x] 의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) + xf'(x) - 2xe^x - x^2 e^x]

[eqn: f'(x) = (x+2)e^x]

[eqn: f(x) = int (x+2) e^x dx]

[eqn: u(x) = x+2, ~ v'(x) = e^x]으로 놓으면

[eqn: r'(x) = 1, ~ v(x) = e^x]이므로

[eqn: f(x) = int (x+2)e^x dx]

[eqn: = (x+2)e^x -e^x +C]

[eqn: = (x+1)e^x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: F(x) = xf(x) - x^2 e^x]에서

[eqn: F(1)=f(1)-e=e]이므로

[eqn: F(1)=f(1)-e=e]이므로

[eqn: f(1)=2e]

이때 [eqn: f(1)=(1+1)e+C=2e]이므로

[eqn: C=0]

따라서 [eqn: f(x) = (x+1) e^x] 이므로

[eqn: f(2) = (2+1)e^2]

[eqn: = 3e^2]

[eqn: F(x) = xf(x) - x^2 e^x] [eqn: (x>0)]을 만족시킨다. [eqn: F(1)=e]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 3e^2]	② [eqn: 4e^2]	③ [eqn: 5e^2]

④ [eqn: 6e^2]	⑤ [eqn: 7e^2]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~ g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[해설]

조건 (나)에서[eqn: int f(x) g(x) dx = e^2x-1 +C]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)g(x)=2e^2x-1]	……㉠

조건 (가)에서[eqn: f(x)g(x)=f '(x)g(x)]이므로

[eqn: int f'(x) g(x) dx = int f(x) g(x) dx]

[eqn: = e^2x-1 + C]	……㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: h(x) = int f(x) g'(x) dx]

[eqn: = f(x) g(x) - int f'(x) g(x) dx]

[eqn: = 2e^2x-1 - (e^2x-1 + C )]

[eqn: = e^2x-1 -C]

[eqn: h left( 1 over 2 right) = e^{2 times 1 over 2 -1 } -C = 2]이므로

[eqn: C=-1]

따라서 [eqn: h(x) = e^2x-1 + 1]이므로

[eqn: h(1) = e^{2 times 1 -1 } + 1]

[eqn: = e+1]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)g(x)=f '(x)g(x)]이다.

(나) [eqn: int f(x) g(x) dx = e^2x-1 +C] ([eqn: C]는 적분상수)

함수 [eqn: h(x) = int f(x) g'(x) dx]에 대하여 [eqn: h left( 1 over 2 right) = 2]일 때, [eqn: h(1)]의 값은?

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: e+2]

[eqn: int_0 ^1 e^x+4 dx]의 값은?

①

[해설]

{출제 의도}

미적분의 기본 정리를 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: int_0 ^1 e^x+4 dx = e^4 int_0 ^1 e^x dx]

[eqn: = e^4 left[ e^x right]_0 ^1]

[eqn: = e^4 (e-1)]

[eqn: = e^5 - e^4]

① [eqn: e^5 -e^4]	② [eqn: e^5]	③ [eqn: e^5 + e^4]

④ [eqn: e^5 +2e^4]	⑤ [eqn: e^5 + 3e^4]

[eqn: int_1 ^4 sqrtx over x^3 dx]의 값은?

②

[해설]

[eqn: int_1 ^4 sqrtx over x^3 dx = int_1 ^4 x^{- 5 over 2 } dx]

[eqn: = left[ - 2 over 3 x ^{- 3 over 2 } right] _1 ^4]

[eqn: = left( - 2 over 3 times 1 over 8 right) - left( - 2 over 3 times 1 right)]

[eqn: = 7 over 12]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 7 over 12]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 6]

[eqn: a>1]인 상수 [eqn: a]에 대하여

③

[해설]

[eqn: int_1 ^a 1 over {x^2 + 2x } dx = int_1 ^a 1 over 2 left( 1 over x - 1 over x+2 right)dx]

[eqn: = 1 over 2 left[ ln|x| - ln | x+2 | right]_1 ^a]

[eqn: = 1 over 2 left{ ln`a-ln (a+2)+ln`3 right}] [eqn: (a>1]이므로)

[eqn: = 1 over 2 ln 3a over a+2]

[eqn: = ln sqrt2]

[eqn: ln 3a over a+2 = 2 ln sqrt2]에서

[eqn: 3a over a+2 = (sqrt2 )^2 = 2]

따라서 [eqn: 3a = 2a + 4]이므로

[eqn: a = 4]

[eqn: int_1 ^a 1 over {x^2 + 2x } dx = ln sqrt2]

일 때, [eqn: a]의 값은?

① 3	② [eqn: 7 over 2]	③ 4

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ 5

함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 그 도함수 [eqn: f '(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

⑤

[해설]

[eqn: [ left{ f(x) right} ^2 ]' = 2f(x) f'(x)]이므로

함수 [eqn: f(x)f '(x)]의 한 부정적분은 [eqn: 1 over 2 left{ f(x) right} ^2]이다.

따라서

[eqn: int_1 ^10 f(x) f'(x) dx = left[ 1 over 2 left{ f(x) right}^2 right ]_1 ^10]

[eqn: = 1 over 2 [ left{ f(10) right}^2 - left{ f(1) right} ^2 ]]

한편,

[eqn: int_1 ^10 f(x) f'(x) dx = sum _n=1 ^9 int_n ^n+1 f(x) f'(x) dx]

[eqn: = sum_n=1 ^9 2^n-1]

[eqn: = {2^9 -1 } over 2-1]

[eqn: = 511]

따라서 [eqn: 1 over 2 [ left{ f(10) right} ^2 - left{ f(1) right}^2 ] = 511]이므로

[eqn: left{ f(10) right} ^2 - left{ f(1) right}^2 = 1022]

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: f '(x)]가 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: int_n ^n+1 f(x) f'(x) dx = 2^n-1]

을 만족시킬 때, [eqn: left{ f(10) right} ^2 - left{ f(1) right}^2]의 값은?

① 1014	② 1016	③ 1018

④ 1020	⑤ 1022

[eqn: int _e ^e^3 lnx over x dx]의 값은?

④

[해설]

{출제 의도}

치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: ln`x=t]로 놓으면 [eqn: 1 over x = dt over dx]이고,

[eqn: x=e]일 때[eqn: t=1, ~x=e^3]일 때 [eqn: t=3]이므로

[eqn: int _e ^e^3 lnx over x dx = int_1 ^3 tdt]

[eqn: = left[ t^2 over 2 right] _1 ^3]

[eqn: = 9 over 2 - 1 over 2]

[eqn: = 4]

① 1	② 2	③ 3

④ 4	⑤ 5

[eqn: int_ {-ln2} ^{ln 2 } e^x |e^x -1| dx]의 값은?

②

[해설]

[eqn: e^x -1 = t]로 놓으면 [eqn: e^x = dt over dx]이고

[eqn: x = - ln 2]일 때 [eqn: t = - 1 over x , ~ x = ln 2]일 때 [eqn: t = 1]이므로

[eqn: int_ {-ln2} ^{ln 2 } e^x |e^x -1| dx = int _{- 1 over 2 } ^ 1 |t| dt]

[eqn: = - int_{- 1 over 2 } ^0 t dt + int _0 ^1 t dt]

[eqn: = - left[ 1 over 2 t^2 right]_{- 1 over 2 } ^ 0 + left[ 1 over 2 t^2 right]_0 ^1]

[eqn: = - left( 0 - 1 over 8 right) + left( 1 over 2 -0 right)]

[eqn: = 5 over 8]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 5 over 8]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 7 over 8]	⑤ 1

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = int_0 ^{pi over 2 } cos^n x sin x dx]라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^10 1 over a_n]의 값을 구하시오.

65

[해설]

[eqn: cos`x=t]로 놓으면[eqn: -sin`x= dt over dx] 이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1,~ x= pi over 2]일 때 [eqn: t=0]이므로

[eqn: a_n = int_0 ^{pi over 2 } cos^n x sin x dx][eqn: = - int_1 ^0 t^n dt = int_0 ^1 t^n dt]

[eqn: = left[ 1 over n+1 t^n+1 right] _0 ^1 = 1 over n+1]

따라서

[eqn: sum_n=1 ^10 1 over a_n = sum_n=1 ^10 (n+1)]

[eqn: = sum _n=1 ^10 n + sum_n=1 ^10 1]

[eqn: = {10 times 1 1} over 2 + 10]

[eqn: = 65]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

⑤

[해설]

[eqn: x^2 +1=t]로 놓으면 [eqn: 2x= dt over dx]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1,~ x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: int_0 ^1 xf(x^2 + 1) dx = int-1 ^2 1 over 2 f(t) dt = 3]

즉, [eqn: int_1 ^2 f(t)dt = int_1 ^2 f(x) dx = 6]

한편, [eqn: 2x+1=s]로 놓으면 [eqn: 2= ds over dx]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: s=1,~ x=1]일 때 [eqn: s=3]이므로

[eqn: int_0 ^1 f(2x+1) dx = int_1 ^3 1 over 2 f(s) ds = 5]

즉, [eqn: int_1 ^3 f(s) ds = int_1 ^3 f(x) dx = 10]

따라서

[eqn: int_2 ^3 f(x) dx = int_1 ^3 f(x) dx - int_1 ^2 f(x) dx]

[eqn: = 10 - 6]

[eqn: = 4]

[eqn: int_0 ^1 xf(x^2 +1 )dx = 3 , ~ int_0 ^1 f(2x+1)dx = 5]

일 때, [eqn: int_2 ^3 f(x) dx]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over 2]	③ 3

④ [eqn: 7 over 2]	⑤ 4

[eqn: int_1 ^e x(1-ln x )dx]의 값은?

⑤

[해설]

{출제 의도}

부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

{풀이}

[eqn: u(x)=1-ln`x, ~~v'(x)=x]로 놓으면

[eqn: u'(x) = - 1 over x , ~ v(x) = 1 over 2 x^2]이므로

[eqn: int_1 ^e x(1-ln x )dx]

[eqn: = left[ 1 over 2 x^2 (1 - ln x ) right] _1 ^e - int_1 ^e 1 over 2 x^2 times left( - 1 over x right) dx]

[eqn: = left[ 1 over 2 x^2 (1 - ln x ) right] _1 ^e + int_1 ^e 1 over 2 x dx]

[eqn: = left[ 1 over 2 x^2 (1 - ln x ) right] _1 ^e + left[ 1 over 4 x^2 right]_1 ^e]

[eqn: = left( 0 - 1 over 2 right) + left( e^2 over 4 - 1 over 4 right)]

[eqn: = 1 over 4 (e^2 - 3)]

① [eqn: 1 over 4 (e^2 -7 )]	② [eqn: 1 over 4 (e^2 - 6 )]	③ [eqn: 1 over 4 (e^2 -5 )]

④ [eqn: 1 over 4 (e^2 -4)]	⑤ [eqn: 1 over 4 (e^2 - 3)]

[eqn: int_{1 over e} ^e |lnx |dx]의 값은?

④

[해설]

[eqn: 0 < x le 1]에서 [eqn: ln x le 0]이고, [eqn: x ge 1]에서 [eqn: ln x ge 0]이다.

또 [eqn: u(x)=ln`x,~ v'(x)=1]로 놓으면 [eqn: u'(x)= 1 over x , ~ v(x)=x]이므로

[eqn: int_{1 over e} ^e |lnx |dx]

[eqn: = - int_{1 over e } ^1 ln x dx + int _1 ^ e lnx dx]

[eqn: = - left[ x ln x right]_{1 over e} ^1 + int_{1 over e } ^1 left( x times 1 over x right) dx + left[ x ln x right]_1 ^e - int _1 ^e left( x times 1 over x right) dx]

[eqn: = - left[ x ln x right]_{1 over e } ^1 + int _{ 1 over e }^ 1 1dx + left[ x ln x right]_1 ^e - int_1 ^e 1dx]

[eqn: = - left[x ln x right]_{1 over e} ^1 + [ x ] _{1 over e} ^ 1 + left[ x ln x right] _1 ^e - left[ x right] _1 ^e]

[eqn: = left( - 1 over e right) + left( 1 - 1 over e right) + e - (e-1)]

[eqn: = 2 - 2 over e]

① [eqn: 1 - 2 over e]	② [eqn: 1 - 1 over e]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2 - 2 over e]	⑤ [eqn: 2 - 1 over e]

함수 [eqn: f(x) = x^2 + 1]에 대하여 [eqn: int_0 ^1 f'(x) f(x) ln f(x) dx]의 값은?

③

[해설]

[eqn: f(x)=t]로 놓으면 [eqn: f '(x)= dt over dx]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1, ~x=1]일 때[eqn: t=2]이므로

[eqn: int_0 ^1 f'(x) f(x) ln f(x) dx = int_1 ^2 t ln t dt]

[eqn: u(t)=ln`t,~ v'(t)=t]로 놓으면[eqn: u' (t) = 1 over t , ~ v(t) = 1 over 2 t^2]이므로

[eqn: int_1 ^2 t ln t dt = left[ 1 over 2 t^2 ln t right]_1 ^2 - int_1 ^2 left( 1 over 2 t^2 times 1 over t right) dt]

[eqn: = left[ 1 over 2 t^2 ln t right]_1 ^2 - left[ 1 over 4 t^2 right]_1 ^2]

[eqn: = 2 ln 2 - 0 - 1 + 1 over 4]

[eqn: = 2 ln 2 - 3 over 4]

① [eqn: 2 ln 2 - 5 over 4]	② [eqn: 2 ln 2 -1]	③ [eqn: 2 ln 2 - 3 over 4]

④ [eqn: 2 ln 2 - 1 over 2]	⑤ [eqn: 2 ln 2 - 1 over 4]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다.

②

[해설]

[eqn: x+1=t]로 놓으면 [eqn: 1= dt over dx]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1, ~x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: int_0 ^1 xf'(x+1) dx = int_1 ^2 (t -1) f'(t) dt]

[eqn: u(t)=t-1,~ v'(t)=f '(t)]로 놓으면 [eqn: u'(t)=1,~ v(t)=f(t)]이므로

[eqn: int_0 ^1 xf'(x+1) dx = int_1 ^2 (t -1) f'(t) dt]

[eqn: = left[ (t - 1) f(t) right]_1 ^2 - int_1 ^2 f(t)dt]

[eqn: = f(2) - int_1 ^2 f(t)dt]

[eqn: = 2 - int_1 ^2 f(t)dt]

[eqn: = 1]

[eqn: int_1 ^2 f(t)dt = 1]

따라서 [eqn: int_1 ^2 f(x)dx = 1]

그 도함수 [eqn: f '(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이고,

[eqn: int_0 ^1 xf'(x+1) dx = 1]

을 만족시킨다. [eqn: f(2)=2]일 때, [eqn: int_1 ^2 f(x) dx]의 값은?

① [eqn: 2 over 3]	② 1	③ [eqn: 4 over 3]

④ [eqn: 5 over 3]	⑤ 2

[정답 및 해설]

정답 및 해설	오늘 걷지 않으면 내일 뛰어야 한다!!!