<2015학년도> [보충교재(자연)]	정적분의 활용 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

1. 곡선 [eqn: y=x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2a RIGHT ) ``]와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: a> {1}over{2}``])

① [eqn: {2}over{3}``]	② [eqn: {3}over{4}``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: {4}over{3}``]	⑤ [eqn: {3}over{2}``]

2. 곡선 [eqn: y=x(x-2) ^{2}]과 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 양수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

3. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} +1]과 원점에서 이 곡선에 그은 한 접선 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]              ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]            ⑤ [eqn: {1} over {5}]

4. 곡선 [eqn: y=2 sqrt {x+1} ``]과 직선 [eqn: y=x+1``]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2``]	② [eqn: 7over3``]	③ [eqn: 8over3``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 10over3``]

5. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} ``]과 직선 [eqn: y= {3} over {2} x+1``]로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 [eqn: x=a``]가 이등분할 때, 실수 [eqn: a``]의 값은?

① [eqn: 1over2``]	② [eqn: 2over3``]	③ [eqn: 3over4``]

④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 5over4``]

6. 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때,

[eqn: int _{2} ^{3} {LEFT | f(x-1) RIGHT |} dx]의 값은?

(가) 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 1,~2 RIGHT ]]에서 [eqn: f(x) LEQ 0]이다.

(나) [eqn: int _{1} ^{2} {f(x)} dx=-3]

①　[eqn: -5]	②　[eqn: -3]	③　[eqn: -1]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 3]

7. 함수 [eqn: y=x ^{3} +x``]의 역함수를 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ```]라 할 때,

[eqn: int _{2} ^{10} {g LEFT ( x RIGHT ) dx`}]의 값은?

① [eqn: {45} over {4}]	② [eqn: {47} over {4}]	③ [eqn: {49} over {4}]

④ [eqn: {51} over {4}]	⑤ [eqn: {53} over {4}]

8. 곡선 [eqn: y=|`x ^{2} -x`|``]와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 곡선 [eqn: y=|`x ^{2} -x`|``]와 [eqn: x``]축 및 직선 [eqn: x=k``]로 둘러싸인 부분의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: k``]의 값은?(단, [eqn: k>1``])

① [eqn: 6over5]	② [eqn: 5over4]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 5over3]

9. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x+k]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: rm A]라 하고 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x+k]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: rm B]라 하자. 도형 [eqn: rm A]와 도형 [eqn: rm B]의 넓이의 비가 [eqn: 1:2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?(단, [eqn: k>0)]

①　[eqn: 2]	②　[eqn: {7} over {3}]	③　[eqn: {8} over {3}]

④　[eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

10. 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위에 두 점 [eqn: rmA(1,~itf(1))], [eqn: rmB(3,~itf(3))]이 있다. 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 이 곡선의 접선이 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=3]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 평행사변형 [eqn: rmACDB]의 넓이가 [eqn: 4]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: rmAB]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 7over3]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 10over3]

11. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} ``]과 세 점

[eqn: rmO(0,````0),````A(2,````0),````B(2,````2)``]를 지나는 원 [eqn: rmC``]가 있다. 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} ``]의 아래 부분과 원 [eqn: C``]의 내부로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: pi - 1over4``]	② [eqn: pi - 1over3``]	③ [eqn: pi- 2over3``]

④ [eqn: pi - 4over3``]	⑤ [eqn: pi- 3over2``]

12. 반지름의 길이가 [eqn: 2``]이고 중심각의 크기가 [eqn: 4``]라디안인 그림과 같은 부채꼴 [eqn: rmOAB``]가 있다. 점 [eqn: P``]가 중심 [eqn: rmO``]를 출발하여 부채꼴의 둘레를 따라 [eqn: rmO` -> A -> B -> O``]의 순서로 반복해서 매초 [eqn: 1``]의 속도로 움직인다. 선분 [eqn: rmOP``]의 길이를 [eqn: f(t)``]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{16} {f(t)dt``}``]의 값은?

① [eqn: 20``]	② [eqn: 22``]	③ [eqn: 24``]

④ [eqn: 26``]	⑤ [eqn: 28``]

13. 그림과 같이 이차함수의 그래프의 일부인 곡선이 정사각형의 두 꼭짓점을 지나고, 곡선의 꼭짓점이 정사각형의 두 대각선의 교점과 일치한다. 정사각형과 곡선으로 둘러싸인 두 부분 중 윗부분과 아랫부분의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ``], [eqn: S _{2} ``]라 할 때, [eqn: {S _{2}} over {S _{1}} ``]의 값은?

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

14. 두 수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: max {left{a,~b right} =cases{a~~&(a geb)#b&(a<b)}]라 정의하자. 양수 [eqn: t]에 대하여 집합

[eqn: LEFT { (x,~y) vert LEFT | x RIGHT |+ LEFT | y RIGHT |le2,```max`{left{|`x`|,```|`y`| RIGHT } le t right}]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: s(t)]라 할 때, [eqn: int _{ 0} ^{5 } {s(t)dt }]의 값은?

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

15. 함수 [eqn: f(x)=x^3 -2x^2 +ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: y=x]와 제[eqn: 1]사분면에서 접한다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 1over24]	② [eqn: 1over12]	③ [eqn: 1over8]

④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 5over24]

16. 다항함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [-1,~1]]에서 [eqn: f(x) GEQ0]이고, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, 두 직선 [eqn: x=-1,~x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 30]이다. 두 곡선 [eqn: y=f(x),~y=-f(-x)]와 두 직선 [eqn: x=0,~x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 15]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 75]

17. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=6-4t]이다. 점 [eqn: rmP]가 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리는?

①　[eqn: 6]	②　[eqn: 7]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 9]	⑤　[eqn: 10]

18. 그림은 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) ``]의 그래프이다. 어두운 세 부분의 넓이가 모두 같을 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=c``]까지 점 [eqn: rmP``]는 움직이는 방향을 두 번 바꾼다.

ㄴ. [eqn: t=a``]일 때와 [eqn: t=c``]일 때 점 [eqn: rmP``]의 위치는 같다.

ㄷ. [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=c``]까지 점 [eqn: rmP``]의 이동 거리는 [eqn: 3 int _{0} ^{a} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t(0 LEQ t LEQc)]에서 물체 [eqn: rmA]의 속도 [eqn: f(t)]와 물체 [eqn: rmB]의 속도 [eqn: g(t)]를 나타낸 것이다.

[eqn: int _{ 0} ^{ c} {f(t) }dt=int _{ 0} ^{ c}{ g(t) }dt]이고 [eqn: 0 LEQ t LEQc]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 [eqn: rmA]는 물체 [eqn: rmB]보다 높은 위치에 있다.

ㄴ. [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]의 높이의 차가 최대이다.

ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]는 같은 높이에 있다.

①　ㄴ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P,~Q``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도가 각각

[eqn: v _{rm P it} (t)=t,~v _{rm Q it} (t)=t ^{2} -t``]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 두 점 [eqn: rm P,~Q``]는 출발한 후 [eqn: 1]초 동안 서로 다른 방향으로

움직인다.

ㄴ. 두 점 [eqn: rm P,~Q``]는 출발한 후 한 번 만난다.

ㄷ. 두 점 [eqn: rm P,~Q``]가 출발한 후 처음으로 만날 때까지 두 점

[eqn: rm P,~Q``] 사이의 거리의 최댓값은 [eqn: 1``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t~(0 le t le7)]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: f(t)]와 점 [eqn: rmQ]의 속도 [eqn: g(t)]의 그래프를 나타낸 것이다.

[eqn: 0 le t le7]일 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 [eqn: 0<t<7]인 범위에서 방향을 [eqn: 6]회 바꾼다.

ㄴ. 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 원점을 출발한 다음 오직 한 번 만난다.

ㄷ. 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 가장 멀리 떨어져 있을 때의 시각을 [eqn: t= alpha]라 하면 [eqn: 3< alpha<4]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

22.  원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,``Q]의 시각 [eqn: t` LEFT ( 0 LEQ t LEQ b RIGHT )]에서의 속도를 각각 [eqn: v _{P} LEFT ( t RIGHT ) ,``v _{Q} LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 두 속도를 나타내는 그래프가 그림과 같다.

[eqn: v _{Q} LEFT ( a RIGHT ) =0,``][eqn: int _{0} ^{b} {LEFT { v _{P} LEFT ( t RIGHT ) -v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} = int _{0} ^{b} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt``]이고 두 점 [eqn: rmP,``Q]가 출발한 후 [eqn: t=b]까지 움직인 거리가 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 출발한 후 [eqn: t=b]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 2 int _{0} ^{a} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]이다.

ㄴ. 두 점 [eqn: rmP,``Q]가 반대 방향으로 움직이는 돈안 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: int _{0} ^{a} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]보다 작다.

ㄷ. [eqn: t=b]일 때, 두 점 [eqn: P,``Q]사이의 거리는 출발한 후 [eqn: t=b]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리와 같다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 및 해설