<2015학년도> [보충교재(자연)]	부정적분과 정적분 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

1. 다항함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)`]이고 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx=4}]를 만족시킬 때, [eqn: int _{-2} ^{2} {(2+3x)f(x)`dx}]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 24]

2. 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+10`]가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

	(가) 모든 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int _{- alpha } ^{alpha } {``f LEFT ( x RIGHT )} dx=2 int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT )} dx] (나) [eqn: -6<f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) <`-2]

이때, 함수 [eqn: y=f` LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은?

① [eqn: 5]       ② [eqn: 6]       ③ [eqn: 7]       ④ [eqn: 8]       ⑤ [eqn: 9]

3. 연속함수 [eqn: f(x)``]가 임의의 실수 [eqn: x`,`] [eqn: y``]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)``]를 만족시킬 때 [eqn: int _{-2} ^{2} {`` LEFT { 1-f(x) RIGHT } `dx} ``]의 값을 구하시오.

4. 이차함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: f(0)=`-1``]이고,

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} `= int _{0} ^{1} {f(x)dx`= int _{-1} ^{0} {f(x)dx``}} ``]

를 만족시킨다. [eqn: f(2)``]의 값은?

① [eqn: 11``]           ② [eqn: 10``]	③ [eqn: 9``]

④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 7``]

5. 다항함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {(x-1)f(t)dt=x ^{3} -3x+ {1} over {2} int _{1} ^{2} {f(t)dt} ``} ``]를 만족시킬 때, [eqn: f(2)``]의 값을 구하시오.

6. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +4x ^{2} -5x+2``]에 대하여

[eqn: lim _{x -> `2} {{1} over {x ^{2} -4} int _{2} ^{x} {f(t)dt``}} ``]의 값은?

① [eqn: 4``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 12``]

④ [eqn: 16``]	⑤ [eqn: 20``]

7. 함수 [eqn: f(x)=x ^{10} +9x+1]에 대하여

[eqn: lim _{x -> 0} {} ` {1} over {x} int _{0} ^{x} {(x-t-1)f` prime (t)} dt]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -13]	⑤ [eqn: -17]

8. [eqn: lim _{n -> INF } {{n(1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )} over {(1+2+3+ CDOTS n)(1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )}} ``]의 값은?

① [eqn: 5over8``]	② [eqn: 3over4``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: 4over3``]	⑤ [eqn: 8over5``]

9. 길이가 [eqn: 1``]인 선분 [eqn: rm AB``]와 자연수 [eqn: n``]에 대하여 선분 [eqn: rmAB``]를 [eqn: (n+k)``:``k``]로 외분하는 점을 [eqn: rm P it _{k} `]([eqn: k=1`,`] [eqn: 2`,`] [eqn: 3`,`][eqn: CDOTS `,`]　[eqn: n`])라 하자. 중심이 [eqn: rm A`,`] 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm AP it _{k}}} ``]인 원의 넓이를 [eqn: S _{k} ``]라 할 때, 다음 중 [eqn: lim _{n``` -> `` INF } {`` {1} over {n} ` sum _{k=1} ^{n} ``S _{k}} ``]를 정적분으로 바르게 표현한 것은?

① [eqn: pi ` int _{0} ^{1} {``x`dx} ``]	② [eqn: pi ` int _{1} ^{2} {``x`dx} ``]	③ [eqn: pi ` int _{0} ^{1} {``x ^{2} `dx} ``]

④ [eqn: pi ` int _{1} ^{2} {``x ^{2} `dx} ``]	⑤ [eqn: pi ` int _{1} ^{2} {``(1+x) ^{2} `dx} ``]

10. 다항함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( {a+b} over {2} +x RIGHT ) =f LEFT ( {a+b} over {2} -x RIGHT )]를 만족시킬 때, [eqn: int _{a} ^{b} {f(x)} dx]와 같은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b]는 서로 다른 상수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {na+(b-a)k} over {n} RIGHT ) {b-a} over {n}]

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( b- {(b-a)k} over {n} RIGHT ) {a-b} over {n}]

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {a+b} over {2} + {(b-a)k} over {2n} RIGHT ) {b-a} over {n}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

11. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +1``]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [`0,~1]``]을 [eqn: n``]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례대로

[eqn: 0=x _{0} ,~x _{1} ,~x _{2} ,~ CDOTS ,~x _{n-1} ,~x _{n} =1``]

이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} LEFT { {2f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {3} RIGHT } ``]의 값은?

(단, [eqn: n``]은 [eqn: 2``] 이상의 자연수이다.)

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 5over4]

④ [eqn: 7over4]	⑤ [eqn: 9over4]

12. 함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} +2x+1]에 대하여

[eqn: A= lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) +f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}]

[eqn: B= lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}]

이라 할 때, [eqn: A ^{2} +B ^{2}]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 72]

13. 닫힌 구간 [eqn: [`0,~1`]]을 [eqn: n]등분한 후 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 0=x _{0} ,~x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~ CDOTS `,~x _{n-1} ,~x _{n} =1]

이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=0} ^{n-1} (-x _{k} ` ^{4} +x _{k} ` ^{3} CDOT x _{k+1} )= {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

14. 함수 [eqn: f(t)= lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1+ {t+1} over {n} k RIGHT ) ^{2} cdot` {t+1} over {n}} ``]일 때,

[eqn: lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -x-2} ``} ``]의 값은?

① [eqn: -3``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: - 1over2``]

④ [eqn: - 1over3``]	⑤ [eqn: - 1over6``]

15. 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{1} {} `|`t-x`|`dt``]일 때, [eqn: int _{-1} ^{2} {} `f(x)`dx``]의 값을 구하시오.

16. 이차함수 [eqn: f(x) ``]가 임의의 서로 다른 두 실수 [eqn: a,~b ``]에 대하여 [eqn: f left({a+b}over{2} right) < {f(a) +f(b)}over{2} ``]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ, [eqn: 0<x<y ``]이면 [eqn: yf(x) < x f(y) ``]이다.

ㄴ. [eqn: int _{ 0} ^{1 } {f`prime(x) }dx < int _{ 1} ^{2 } {f`prime(x) }dx``]

ㄷ. [eqn: 2 int _{ 0} ^{1 } {f(x) }dx< int _{ 0} ^{2 } {f(x) }dx ``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

17. 연속함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: int _{-2} ^{2} {} `f(x)`dx=3,~ int _{2} ^{4} {} `f(x)`dx=1``]

㈏ 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x-2)]

이때, [eqn: int _{2000} ^{2014} {} `f(x)`dx``]의 값을 구하시오.

18. 연속함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: int _{-2} ^{2} {} `f(x)`dx=1]

㈏ 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: f(x+2)-f(x)=3x^2 +2x+1]

이때, [eqn: int _{-2} ^{0} {} `f(x)`dx``]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: - 5over2]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: - 3over2]	⑤ [eqn: - 1over2]

19. [eqn: n``]이 자연수일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT } ``]은 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{1} =2,~b _{1} =2````]

㈏ [eqn: y=a _{n} x+1``]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = int _{n} ^{n+2} {} (y-1)`dx,~b _{n+1} = int _{n+1} ^{n+3} {} `x`dy``]이다.

이때, [eqn: lim _{n -> INF } {} ` {1} over {n ^{5}} sum _{k=1} ^{n} (a _{k} b _{k} ) ^{2} ``]의 값은? (단, [eqn: a _{n} != 0``])

① [eqn: 14over5]	② [eqn: 16over5]	③ [eqn: 18over5]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 22over5]

20. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{2n+1} +2x-1} over {x ^{2n} +1}} ``]일 때, 옳은 것만을 <보가>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: x>0``]에서 [eqn: f(x)``]는 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: int _{ 0} ^{2 }` {f(x)dx }= 3over2``]

ㄷ. [eqn: a>2``]일 때, [eqn: int _{2} ^{a} {} `f(x)dx+ int _{-a} ^{-2} {} `f(x)dx=0``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

21. 모든 실수에서 미분 가능한 두 함수 [eqn: f(x),````g(x)``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx``]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`'(x)< g`'(x)``]

(나) [eqn: f(2)=g(2)``]

(다) [eqn: int _{ 0} ^{2 } { |` f(x)-g(x) ` | dx=3 },~ int _{ 2} ^{5 } { |` f(x)-g(x) ` | dx=12}``]

① [eqn: -15``]	② [eqn: -12``]	③ [eqn: -9``]

④ [eqn: 9``]	⑤ [eqn: 15``]

22. 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f`(x)``]의 그래프가 두 점[eqn: (0`,``0)`,```( alpha `,``0)``]을 지날 때, 함수 [eqn: g`(x)= int _{0} ^{x} {f`(t)dt``}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?(단, [eqn: alpha ``]는 양수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: g` prime ( alpha )=0``]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: g`(x)``]의 극댓값은 [eqn: 0``]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: g`(x)=0``]의 모든 실근의 합은 [eqn: alpha ``]보다 크다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

23. 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: g(x)= int _{} ^{} {``f(x)``dx} ``]라 하자. [eqn: g(0)=0``]이고, 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 등식

[eqn: f(x)`g(x)=g(x)+2x ^{3} +2x ^{2} ``]이 성립할 때, [eqn: f(1)``]의 값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

24. 사차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y=f(x)``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{a} ^{c} {} `|`f` prime (x)`|`dx``]의 값을 구하여라.

㈎ [eqn: f` prime (a)=f` prime LEFT ( b RIGHT ) `=f` prime (c)=0````](단, [eqn: a<b<c`])

㈏ [eqn: f(b)=3]

㈐ [eqn: f(a)+f(c)=13]

25. 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 이차함수 [eqn: f(x)``]와 함수 [eqn: g(x)``]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: g(x)=2int_1^x `f`'(t)`·`f(t)`dt]

㈏ 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g(-x)=g(x)]

㈐ [eqn: lim_x->1 ``g(x)over x-1 =16]

이때, [eqn: f(1)-g(0)``]의 값을 구하시오.

26. 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]일 때, 두 함수 [eqn: F(x),~G(x)]는 다음과 같다.

[eqn: F(x)= int _{} ^{} {x ^{2} f(x)} dx]

[eqn: G(x)= int _{} ^{} {(x+2)f(x)} dx]

함수 [eqn: g(x)=F(x)-G(x)]는 [eqn: x= alpha]에서 극대이고, [eqn: x= beta]에서 극소일 때, [eqn: alpha - beta]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

27. 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a]에 대하여 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

28. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -1]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근을 [eqn: x= alpha]라 하자. 세 수	[eqn: a= int _{1} ^{alpha } {|`f(x)`|dx,~b= int _{alpha } ^{4} {|`f(x)`|dx,~c= int _{1} ^{4} {f(x)} dx}}]

의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<c<a]

④ [eqn: c<a<b]	⑤ [eqn: c<b<a]