<2015학년도> [보충교재(자연)]	도함수의 활용 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

1. 사차함수 [eqn: f(x)=2x ^{4} -4x ^{3} +kx ^{2} ``]의 극값이 한 개뿐일 때, 실수 [eqn: k``]의 최솟값은?

① [eqn: - 1over4``]	② [eqn: 0``]	③ [eqn: 3over4``]

④ [eqn: 3over2``]	⑤ [eqn: 9over4``]

2. 사차함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -8kx ^{3} +18kx ^{2} ``]이 극댓값을 갖지 않을 때, 실수 [eqn: k``]값의 범위는?

① [eqn: 0 le k le 1``]	② [eqn: 0<k<1``]	③ [eqn: 0<k le 1``]

④ [eqn: k<0``]	⑤ [eqn: k>1``]

3. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -(a+2)x ^{2} +ax``]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)``]위의 점 [eqn: (t,````f(t))``]에서의 접선의 [eqn: y``]절편을 [eqn: g(t)``]라 하자. 함수 [eqn: g(t)``]가 열린구간 [eqn: (0,````5)``]에서 증가할 때, [eqn: a``]의 최솟값을 구하시오.

4. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=x ^{3}], [eqn: y=-x ^{2} +5x+k]가 점 [eqn: rm P]에서 만나고 점 [eqn: rm P]에서 공통인 접선을 가질 때, 그 접선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라 하자. 상수 [eqn: k], [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: k+a+b]의 값은? (단, 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

5. 삼차함수 [eqn: f(x)=`-x ^{3} -3x ^{2} +2x-1``]의 접선 중에서 기울기가 최대인 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)``]라 할 때, [eqn: g(1)``]의 값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

6. 그림과 같이 점 [eqn: (0,````2)``]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x``]에 그은 접선이 곡선과 접하는 점을 [eqn: rmA,``]곡선과 만나는 점을 [eqn: rmB``]라 하자. 이때, [eqn: rmbar{AB} ``]의 길이는?

① [eqn: 4``]	② [eqn: sqrt17``]           ③ [eqn: 3sqrt2``]

④ [eqn: sqrt19``]          ⑤ [eqn: 2sqrt5``]

7. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) = -f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |f(x)| =2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

8. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: left|2x^3 -9x^2 +11 right|=n]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{20 }a_n]의 값을 구하시오.

9. 정수 [eqn: n]은 부등식 [eqn: |``n``|`le100]을 만족시키고 삼차함수
[eqn: f(x)`=`2x^3`+3x^2`-12x]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 다음과 같이 정의한다.
[eqn: g(x)`=`|``f(x)`+n``|]
함수 [eqn: g(x)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 모든 정수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

10. 원점에서 곡선  [eqn: y=x ^{3} +2x ^{2} +3x+a``]에 서로 다른 [eqn: 3``]개의 접선을 그을 수 있을 때, [eqn: a``]값의 범위는  [eqn: alpha <a< beta ``]이다. 이때, [eqn: alpha + beta ``]의 값은?
① [eqn: {5} over {27}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {8} over {27}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {10} over {27}]

11. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} -9x+k=0``]이 한 개의 음의 실근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k``]의 개수는?

① [eqn: 25``]	② [eqn: 26``]	③ [eqn: 27``]

④ [eqn: 28``]	⑤ [eqn: 29``]

12. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} -15x+2k=0``]이 양의 실근 한 개와 서로 다른 음의 실근 두 개를 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k``]의 합은?

① [eqn: -10``]	② [eqn: -8``]	③ [eqn: -6``]

④ [eqn: -4``]	⑤ [eqn: -2``]

13. 사차함수 [eqn: f(x)= {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} +ax+3``]이 극댓값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a``]의 값의 합을 구하여라.

14. 곡선 [eqn: y= {1} over {16} (x-1) ^{4} ``]위의 점에서 직선 [eqn: y=2x-10``]까지의 거리의 최솟값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: sqrt2``]	③ [eqn: sqrt3``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: sqrt5``]

15. 함수 [eqn: f(x)=(x+1) ^{2}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는 다음과 같다.

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{f(x)# }&eqalign{(x<0)# }#eqalign{f(-x)# # f(x-6)}&eqalign{(0 LEQ x<3)# # (x GEQ 3)}}}]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프에서 극대가 되는 두 점을 각각 [eqn: rmA,````B]라 하고 두 점 [eqn: rmA,````B] 사이를 움직이는 곡선 [eqn: y=g(x)]위의 점을 [eqn: rmP]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: 40a]의 값을 구하시오.

16. 함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -6x ^{2} +a``]가 [eqn: x GEQ 0``]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ 2``]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a``]의 최솟값은?

① [eqn: 3``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 8``]

④ [eqn: 10``]	⑤ [eqn: 11``]

17. 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -4x+1,``][eqn: g(x)=-x+k``]에 대하여 구간 [eqn: [``0,````2``]``]에서 [eqn: f(x) GEQ g(x)``]가 성립할 때, 상수 [eqn: k``]의 값의 범위는?

① [eqn: k le -1``]	② [eqn: -1 le k le 1``]	③ [eqn: 1 le k le 3``]

④ [eqn: k ge 1``]	⑤ [eqn: k ge 3``]

18. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{4} -4(a-5) ^{3} x+27>0``]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a``]의 범위가 [eqn: p<a<q``]이다. 이때, [eqn: pq``]의 값을 구하시오.

19.  두 함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} +6kx+k ^{3} `,``g(x)=3(k+1)x ^{2} +27``]이 있다. [eqn: x>0``]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 항상

[eqn: f(x)>g(x)``]가 성립하도록 자연수 [eqn: k``]의 값을 정할 때, [eqn: k``]의 최솟값은?

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20. 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -2x ^{3} -8x,~g(x)=-2x ^{2} -12x+a``]가 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ``]에 대하여 [eqn: f(x _{1} ) GEQ g(x _{2} )``]가 되도록 실수 [eqn: a``]의 값을 정할 때, [eqn: a``]값의 범위는?
① [eqn: -36 LEQ a LEQ 0]	② [eqn: a LEQ -34]	③ [eqn: a LEQ -32]

④ [eqn: -34 LEQ a LEQ 2]      ⑤ [eqn: -32 LEQ a LEQ 2]

21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f` prime (0)=3``]

㈏ 모든 실수 [eqn: x,~y``]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)-6xy-2``]

이때, [eqn: f` prime LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ``]의 값은?

① [eqn: 5``]	② [eqn: 6``]	③ [eqn: 7``]

④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 9``]

22. 다항함수 [eqn: f(x)``]가 임의의 실수 [eqn: x,~y``]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)``]를 만족시킨다고 한다.
[eqn: f``` prime (0)=-6``]일 때, 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x= alpha ``]에서 극솟값을 갖고, [eqn: x= beta ``]에서 극댓값을 갖는다. 이때, [eqn: alpha - beta ``]의 값은?
① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: -2 sqrt {2}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

23. 다항함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x,````y``]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)+1]

일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f` prime (0)=f(1)``]

ㄴ. [eqn: f` prime (0)=0``]이면 함수 [eqn: f(x)``]는 극값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)``]가 극값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 합은 [eqn: -2``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 그림은 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)``]의 도함수 [eqn: f` prime (x)``]의 그래프를 나타낸 것이다.

함수 [eqn: f(x)``]가 극댓값을 갖는 점의 개수를 [eqn: m``], 극솟값을 갖는 점의 개수를 [eqn: n``]이라 할 때, [eqn: 10m+n``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: x<a``]에서 [eqn: f` prime (x)<0,~x>b``]에서 [eqn: f` prime (x)>0``]이다.)

25. 열린구간 [eqn: (-3,````6)``]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)``]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)``]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f(x)``]가 극대가 되는 점의 개수를 [eqn: a,``]극소가 되는 점의 개수를 [eqn: b``]라 할 때, [eqn: a,``b``]의 값은?

① [eqn: a=2,~b=2``]    ② [eqn: a=2,~b=1``]	③ [eqn: a=2,~b=0``]

④ [eqn: a=1,~b=2``]    ⑤ [eqn: a=0,~b=2``]

26. 곡선 [eqn: y=f`'(x)``]와 직선 [eqn: y=g`'(x)``]가 그림과 같이 세 점에서 만나고 [eqn: g( beta )<f( beta )``]일 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)``]가 [eqn: x``]축과 만나는 점의 개수는?

① [eqn: 0``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 2``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 4``]

27. 삼차함수 [eqn: f(x)``]가 서로 다른 세 실수 [eqn: a,````b,````c``]에 대하여 [eqn: f(a)=f(b)=f(c)``]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<a<b<c``]이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f`'(a)f`'(c) >0``]

ㄴ. [eqn: f`'(x)=0``]의 두 근 [eqn: alpha,````beta``]에 대하여

[eqn: (a+b+c)``:``(alpha +beta )= 3``:``2``]

ㄷ. [eqn: f`' left(`2over3 (a+b+c) right)=0``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

28. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수에서 연속이고, [eqn: LEFT | x RIGHT | != 1]인 모든 [eqn: x]의 값에 대하여 미분계수 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~x ^{2}&~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | <1 RIGHT )#-1&~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )}}]

일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극값을 갖는다.

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -x RIGHT )]이다.

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) >0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29. 열린구간 [eqn: LEFT ( -4,~4 RIGHT )]에서 연속인 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 2-} {f prime LEFT ( -x+4 RIGHT )} =0]

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖도록 하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개이다.

ㄷ. [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT )]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

30. 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 이차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수는 모두 [eqn: 1]이다. 도함수 [eqn: y=f prime LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 각각 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =g prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0])

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값이 존재한다.

ㄴ. [eqn: f prime LEFT ( 3 RIGHT ) =g prime LEFT ( 3 RIGHT )]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]이면 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =g LEFT ( -2 RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

31. 삼차함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=a``]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g(x)=f(x)-f(a)``]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: y=g(x)``]의 그래프는 [eqn: x``]축과 서로 다른 두 점에서 만난

다.

ㄷ. [eqn: x>a``]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g(x)>0``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

32. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f( x) ``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f`' ( x)= 0 ``]이 서로 다른 세 실근

[eqn: alpha,~beta,~gamma``( alpha<beta<gamma`) ``]를 갖고, [eqn: f( alpha)f( beta)f( gamma)<0 ``]이다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f( x) ``]는 [eqn: x= beta ``]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: f( alpha)>0 ``]이면 방정식 [eqn: f( x)= 0 ``]은 [eqn: beta ``]보다 작은 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

33. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -9x+n]일 때, 함수 [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]의 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 1]개가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

34.  삼차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 기울기가 [eqn: 1]이고 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 접선의 개수를 [eqn: N(f(x))]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{3}]이면 [eqn: N(f(x))=2]

ㄴ. 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: N(f(x)+k)=N(f(x))]

ㄷ. [eqn: N(f(x))=1]이면 [eqn: f(x)]는 극값이 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

35. 좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: LEFT ( t,````f(t) RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 원점에서 점 [eqn: rmP]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(1)=2]

㈏ 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a,````b]는 상수이다.)

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]       ③ [eqn: 27]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

36. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=2]는 서로 다른 세 실근 [eqn: a,~b,~c(a<b<c)]만을 근으로 갖고, 방정식 [eqn: f(x)=4]는 서로 다른 세 실근 [eqn: p,~q,~r``(p<q<r)]만을 근으로 갖는다고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=3]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f prime (c)=0]이면 [eqn: `b<q]

ㄷ. [eqn: f prime (a)=0``]이면 [eqn: `f(a)<f( {c+r} over {2} )]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

37. 사차함수 [eqn: f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 +c]에 대하여 방정식 [eqn: f`'(x) =0]이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]([eqn: alpha<beta<gamma])를 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: b<0]이면 [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x) ge f(gamma)]이다.

ㄴ. [eqn: a =0], [eqn: b<0]이면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) ge f(alpha)]이다.

ㄷ. [eqn: a ne 0], [eqn: b>0]이면 [eqn: f(beta ) >c]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

38. 삼차함수 [eqn: f(x)]와 그 도함수 [eqn: f prime (x)]에 대하여 두 집합 [eqn: A,`B]를 [eqn: A=]{[eqn: x｜f(x)=0], [eqn: x]는 실수}, [eqn: B=]{[eqn: x｜f prime (x)=0], [eqn: x]는 실수}라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은 (단, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: n(B)=1]이면 [eqn: n(A)=1]이다.

ㄴ. [eqn: 1 IN A,~1 IN B]이면 [eqn: n(A)=2]이다.

ㄷ. [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]이고 [eqn: f(2)<f prime (2)]이면 [eqn: f(1)>f prime (1)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

39. 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자. 세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmE], [eqn: rmC]를 지나는 포물선과 직선 [eqn: rmBF]가 점 [eqn: rmG]에서 만나고 선분 [eqn: rmBG] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]와 평행핸 직선이 포물선과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmBPQ]의 넓이의 최댓값은 [eqn: q overp]이다. 서로소인 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmG]가 아니다.)

40. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 6``]인 정사각뿔의 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면을 한 면으로 하고 정사각뿔 내부에 존재하는 직육면체의 부피의 최댓값이 [eqn: a sqrt {2} ``]일 때, [eqn: a``]의 값을 구하시오.

41. 닫힌구간 [eqn: [-a,````a]]에서 함수 [eqn: y`=-x^4`+10x^2]의 최댓값을 [eqn: f(a)]라 할 때, [eqn: sum_k=1^5 f(k)]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a>0])

42. 함수 [eqn: f(x)=`-3x ^{4} +4(a-1)x ^{3} +6ax ^{2} (a>0)``]과 실수 [eqn: t``]에 대하여, [eqn: x LEQ t``]에서 [eqn: f(x)``]의 최댓값을 [eqn: g(t)``]라 하자. 함수 [eqn: g(t)``]가 실수 전체의 집합에서 미분가능 하도록 하는 [eqn: a``]의 최댓값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

43. 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 사차함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(2-x)=f(2+x)``]를 만족한다. 구간 [eqn: [t-1`,~t]``]에서 [eqn: f(x)``]의 최솟값을 [eqn: g(t)``]라고 할 때, [eqn: -1 LEQ t LEQ 0``]에서 [eqn: g(t)``]는 상수함수이다. 이때, [eqn: g prime (4)``]의 값은?

① [eqn: -48``]	② [eqn: -40``]	③ [eqn: -32``]

④ [eqn: -16``]	⑤ [eqn: -8``]

44. 함수 [eqn: f(x)`=`x^3`+3x^2]에 대하여 두 함수 [eqn: g(t)`,````h(t)]를 다음과 같이 정의한다.

함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=alpha]에서 극솟값을 가지고, 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=beta]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

(가) 임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [t-2,````t]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: g(t)]이다.

(나) 임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [t,````t+2]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: h(t)]이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: - 5over2]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: - 3over2]	⑤ [eqn: -1]

45. 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f ^{``prime `} LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f ^{`` prime `} LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) ` LEFT ( x ^{2} `+ax+b RIGHT ) `]

이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]가 구간 [eqn: LEFT ( - INF `,`0` RIGHT ) `]에서 감소하고 구간 [eqn: LEFT ( `2`,`` INF `` RIGHT ) ``]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a,`b`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a`,``b` RIGHT ) `]에 대하여, [eqn: a ^{2} `+b ^{2} `]의 최댓값을 [eqn: M``], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M`+m`]의 값은?

① [eqn: {21} over {4} ``]	② [eqn: {43} over {8} ``]	③ [eqn: {11} over {2} `]

④ [eqn: {45} over {8} ``]	⑤ [eqn: {23} over {4} `]

46. [eqn: x``]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치 [eqn: x``]가

[eqn: x=t ^{3} -9t ^{2} +24t``]이다. 점 [eqn: rmP``]가 원점을 출발한 후 [eqn: 2``]번째로 운동 방향으로 바꿀 때, 점 [eqn: rmP``]의 위치를 구하여라.

47. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q``]가 출발한 지 [eqn: t``]초 후의 위치가 각각 [eqn: f(t)=t ^{2} -6t+5,~g(t)=t ^{3} -t ^{2} -t``]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP``]가 출발할 때의 속도는 [eqn: 6``]이다.

ㄴ. 점 [eqn: rmQ``]는 움직이는 동안 방향을 한 번 바꾼다.

ㄷ. 두 점 [eqn: rmP,~Q``]가 서로 반대 방향으로 움직이는 시간은 [eqn: 1``]초 동안이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

48. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t``]와 그 때의 위치 [eqn: x``]사이의 관계식 [eqn: x=f(t)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0 LEQ t LEQ c)``]

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP``]는 한 방향으로만 움직인다.

ㄴ. 점 [eqn: rmP``]가 실제 움직인 거리는 [eqn: 16``]이다.

ㄷ. 점 [eqn: rmP``]의 속도가 점 [eqn: rmP``]의 [eqn: c``]초 동안의 평균속도와 같은 지점이 두 곳이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

49. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`(0 LEQ t LEQ 8)`]에서의 위치 [eqn: x`]가 사차함수 [eqn: f(t)`]로 주어지고 [eqn: x=f(t)`]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?  (단, [eqn: t=a,~e`]에서 극대, [eqn: t=c`]에서 극소이다.)

[보 기]

ㄱ. 방향을 세 번 바꾼다.

ㄴ. 출발 후 원점을 두 번째로 지날 때의 속도는 양수이      다.

ㄷ. 방향을 처음 바꿀 때의 가속도는 음수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

50. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 10 rm cm`]인 정삼각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 점 [eqn: rm P`]가 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 변 [eqn: rm AB`]를 따라 [eqn: t`]초 후 [eqn: t ^{2} rm cm`]만큼 이동하고, 점 [eqn: rm Q`]는 꼭짓점 [eqn: rm C`]에서 출발하여 변 [eqn: rm CD`]를 따라 [eqn: t`]초 후 [eqn: 3t` rm cm`]만큼 이동한다. 두 점 [eqn: rm P,````Q`]가 동시에 출발하였을 때, 선분 [eqn: rm PQ`]가 선분 [eqn: rm AB`]와 수직이 되는 순간의 사각형 [eqn: rm PBCQ`]의 넓이의 변화율은?

① [eqn: -5 rm cm ^{2} /]초	② [eqn: -4 rm cm ^{2} /]초	③ [eqn: -3cm ^{2} /]초

④ [eqn: -2 rm cm ^{2} /]초	⑤ [eqn: -1 rm cm ^{2} /]초

51. [eqn: rm {bar{AB}} =1` rm cm``,`` {bar{BC}} =2` rm cm`,`` ANGLE B=90 DEG ``]인

직각삼각형 [eqn: rm ABC``]가 있다. 선분 [eqn: rm AB``]의 길이는 매초 [eqn: 2` rm cm``]씩 늘어나고, 선분 [eqn: rm BC``]의 길이는 매초 [eqn: 1` rm cm``]씩 늘어난다고 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 넓이가 [eqn: {35} over {2} ` rm cm ^{2} ``]가 되는 순간, 넓이의 변화율은 [eqn: {q} over {p} ` rm cm ^{2} ``]/초이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)