<2015학년도> [보충교재(자연)]	미분계수와 도함수 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

1 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: y=|`x`|``]	ㄴ. [eqn: y=x`|`x`|``]       ㄷ. [eqn: y=x+|`x`|``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2 [eqn: f(0)=0``]인 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 함수 [eqn: g(x)``]를

[eqn: g(x)=cases{`f(x)over x &``(x !=0)#`~~0&``(x=0)}``]

으로 정의하자. [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속일 때, [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)``]           ㄴ. [eqn: g(x)``]           ㄷ. [eqn: xg(x)``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

3 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수만을 <보가>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: y=x-2f(x)``]   ㄴ. [eqn: y=xf(x)``]   ㄷ. [eqn: y= vert x vert f(x)``]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

4 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)``]가

[eqn: f(4x)=4f(x)``]를 만족시키고 [eqn: f`'(1)=3``]일 때, [eqn: f`'(4)``]의 값은?

①　[eqn: 1``]	②　[eqn: 2``]	③　[eqn: 3``]

④　[eqn: 4``]	⑤　[eqn: 5``]

5 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 점 [eqn: (-1,```0)`]을 지나고 [eqn: x=2]에서 [eqn: x`]축에 접할 때, 세 함수 [eqn: g(x),````h(x),````i(x)`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: g(x)= LEFT | `f(x)` RIGHT | ,] [eqn: h(x)= LEFT | f(-x) RIGHT | ,`][eqn: i(x)=f( LEFT | `x` RIGHT | )]

세 함수 [eqn: y=g(x),````y=h(x)`,`][eqn: y=i(x)`]의 그래프에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 각각 [eqn: a,````b,````c`]라 할 때, [eqn: a+2b+3c`]의 값을 구하시오.

6 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: f` prime (1)=``-1``]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {```n` LEFT { f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {3} over {n} RIGHT ) RIGHT }} ``]의 값은?

①　[eqn: -7``]	②　[eqn: -5``]	③　[eqn: -3``]

④　[eqn: 3``]	⑤　[eqn: 7``]

7 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{3} +ax+1&(x GEQ 1)#-bx ^{2} +4&(x<1)}} ``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 미분가능 하도록 상수 [eqn: a,``b``]를 정할 때, [eqn: f(-1)``]의 값은?

①　[eqn: 8``]	②　[eqn: 9``]	③　[eqn: 10``]

④　[eqn: 11``]	⑤　[eqn: 12``]

8 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: f(1)=2``,````f` prime (1)=1``]일 때,

[eqn: lim _{x-> 1} {{x ^{3} f(1)-f(x ^{2} )} over {x-1}} ``]의 값은?

①　[eqn: -4``]	②　[eqn: -2``]	③　[eqn: 0``]

④　[eqn: 2``]	⑤　[eqn: 4``]

9 두 다항함수 [eqn: f(x),````g(x)``]가

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)-1} over {x}} =-4,```][eqn: lim _{x-> 0} {{g(x)+2} over {x}} =3``]을 만족시킬 때,

[eqn: lim _{x-> 0} {{f(x)g(x)+2} over {x}} ``]의 값을 구하시오.

10 삼차함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: f(-3)=f(2)=0,``][eqn: f`'(2)=f`'(a)=0``]을 만족시킬 때, 음수 [eqn: a``]의 값은?

①　[eqn: - 5over3``]	②　[eqn: - 4over3``]	③　[eqn: -1``]

④　[eqn: - 2over3``]	⑤　[eqn: - 1over3``]

11 삼차함수 [eqn: f(x)``]가 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때, [eqn: f(2)``]의 값은?

(가) [eqn: f(0)=-2,~f`'(1)=0``]

(나) [eqn: f(x)``]를 [eqn: f`'(x)``]로 나눈 나머지가 [eqn: 0``]이다.

①　[eqn: -2``]	②　[eqn: -1``]	③　[eqn: 0``]

④　[eqn: 1``]	⑤　[eqn: 2``]

12 다항함수 [eqn: f(x)`]는 모든 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여

[eqn: f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y)`]를 만족시킨다. [eqn: f`'(0) = -5`]일 때, [eqn: f`'(n) > 10`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

13 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=c``]에서 미분가능하면 [eqn: x=c``]에서 연속이다.(단, [eqn: c``]는 실수)

ㄴ. 극한값 [eqn: lim _{ h->0} `{{f(a+h)-f(a-h)}over2h} }``]가 존재하면 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 미분가능하다. (단, [eqn: a``]는 실수)

ㄷ. 극한값 [eqn: lim _{ h->0} `{ {f(1+h^2 )-f(1)}overh^2 }``]이 존재하면 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

14 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 보기에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이면 [eqn: lim _{x -> 1} {} ``f(x)=f(1)``]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이면

[eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} =0````]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=|`x-1`|``]일 때,
[eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} =0``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( -h RIGHT )} over {2h}} =0``]이면 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]

ㄴ. [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( h RIGHT )} over {h}} =0``]이면 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]

ㄷ. [eqn: LEFT | `f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) ` RIGHT | LEQ LEFT | `2h` RIGHT | ``]일 때, [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) LEQ 2``]

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16 함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -3x ^{2} -12x+1`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: g(x)= {cases{f(x)&``(x``<`3`)#f(x-a)+b&``(x` GEQ `3)``}}]

함수 [eqn: g(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분 가능하도록 두 실수 [eqn: a,````b``]의 값을 정할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a!=0])

① [eqn: -10`]	② [eqn: -5`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 10`]

17 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c``]가 서로 다른 실수 [eqn: p,````q,````r``]에 대하여 [eqn: f(p)=f(q)=f(r)``]를 만족시킬 때, [eqn: f`'(q)``]를 [eqn: p,````q,````r``]를 이용하여 나타내면? (단, [eqn: a,````b,````c``]는 상수이다.)

①　[eqn: (q-p)(q-r)``]	②　[eqn: (q+p)(q-r)``]	③　[eqn: 0``]

④　[eqn: (q-p)(q+r)``]	⑤　[eqn: (q+p)(q+r)``]