<2015학년도> [보충교재(자연)]	함수의 연속 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

1 함수 [eqn: f(x)= {cases{{x} over {x-1} ~(x != 1)#~~1~~```(x=1)}} ``]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)g`_i (x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이 되도록 하는 함수 [eqn: g`_i (x)``]만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i=1,~2,~3``])

[보 기]

ㄱ. [eqn: {rmg}`_1 (x)=x-1``]

ㄴ. [eqn: {rmg}`_2 (x)= (x-1)^2``]

ㄷ. [eqn: {rmg}`_3 (x)=x``]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄴ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

2 함수 [eqn: f(x)=x^2 -x+a``]에 대하여 함수 [eqn: g(x)``]를

[eqn: g(x)= {cases{f(x+1)~(x LEQ 0)#f(x-1)~(x>0)}} ``]이라 하자.  함수 [eqn: y=left{g(x) right}^2 ``]이 [eqn: x=0``]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

①　[eqn: -2``]	②　[eqn: -1``]	③　[eqn: 0``]

④　[eqn: 1``]	⑤　[eqn: 2``]

3 두 함수 [eqn: f(x)=x+1,~g(x)=[``x``]``]에 대하여

함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)``]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)``]가 [eqn: x=n``]에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: n``]의 개수는? (단, [eqn: [``x``]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①　[eqn: 0``]	②　[eqn: 1``]	③　[eqn: 10``]

④　[eqn: 19``]	⑤　[eqn: 20``]

4 모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]와 [eqn: g(x)``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: f(x)= {cases{`-2x~(x<0)#~~1~~(0 LEQ x LEQ 1)#``x-1``~(x>1)}} ``,~g(x)= {cases{`-x ^{2} +x~(0 LEQ x LEQ 1)#~~-x````~~(x<0,~x>1)}} ``]

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1+} {} `f(x)g(x)````]의 값이 존재한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)g(x)``]의 불연속점인 점은 [eqn: 1``]개다.

ㄷ. 함수 [eqn: {f(x)}over{g(x)} ``]는 [eqn: x=`-1``]에서 연속이다.

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

5 [eqn: a>0``]일 때, 방정식 [eqn: x ^{3} +2ax-a=0``]일 열린 구간 [eqn: (n,~n+1)``]에서 단 하나의 실근을 갖는다. 이때, 정수 [eqn: n``]의 값이 될 수 있는 것은?

①　[eqn: -2``]	②　[eqn: -1``]	③　[eqn: 0``]

④　[eqn: 1``]	⑤　[eqn: 2``]

6  다항함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 함수 [eqn: g( x )]를

[eqn: g(x)= {cases{{f(x)-3x} over {x ^{2} -4} ~~(|x| != 2)#~~~~a~~~~~~(|x|=2)}}]

로 정의하자. 함수 [eqn: g( x )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, [eqn: lim _{x -> INF } { g(x)}=4]일 때, [eqn: f ( a )]의 값을 구하시오.

7 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {} `f(x)=1``]

ㄴ. [eqn: lim _{ x->1 }` {f(x)=f(1) }``]

ㄷ. 함수 [eqn: (x-1)f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

8 함수 [eqn: y=f(x)f(x-1)``]이 [eqn: x=1``]에서 연속이 되는 함수
[eqn: y=f(x)``]의 그래프를 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ.		ㄴ.
ㄷ.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

9 닫힌구간 [eqn: [``-2,~2``]``]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 다음과 같다.  이 그래프에 대한 설명 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 닫힌구간 [eqn: [``-2,~2``]``]에서 불연속인 점은 [eqn: 3``]개다.

ㄴ. 닫힌구간 [eqn: [``-2,~2``]``]에서 최댓값은 [eqn: 2``], 최솟값은 [eqn: -1``]이다.

ㄷ. [eqn: lim _{ x ->a} {f(x) }``]의 값이 존재하지 않는 [eqn: a`(-2<a<2)``]의 개수는 [eqn: 3``]개다.

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

10 주어진 두 함수 [eqn: y=f(x),~y=g(x)``]의 그래프를 보고, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)g(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)-g(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: {f(x)} over {LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `]는 [eqn: x=2``]에서 연속이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄷ

11 함수 [eqn: f(x)= {cases{``````-x`````&(x<0)#`````````0&(x=0)#``2x-1&(x>0)}}]이고 세 함수 [eqn: y=g _{1} (x)], [eqn: y=g _{2} (x)], [eqn: y=g _{3} (x)]의 그래프가 보기와 같을 때, 함수 [eqn: f(x)g _{k} (x)]가 닫힌 구간 [-2, 2]에서 연속이 되도록 하는 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?(단, [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3])

[보 기]

ㄱ.                          ㄴ.

ㄷ.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12 [eqn: f(0)=a``]인 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x ne0``]일 때

[eqn: f(x)=2a^2 -2+|``x``|+ {|``x``|}over{1+|``x``|} + {|``x``|}over{(`1+|``x``|`)^2} + {|``x``|}over{(`1+|``x``|`)^3} + `cdots`]

이다. 함수 [eqn: f(x)``]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: lim_{x``->``a}{``f(x)} =f(a-2)``]를 만족시키는 실수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

13 함수  [eqn: f(x) = cases { ~~~~x^2 &( x le 2 ) # ~~x+1 &( 2<x< 3 )# x^2 - 4x+ 6 ~&( x ge 3 )``]

에 대하여 함수 [eqn: g(x) = ( x^2 + ax + b ) f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 연속이다. 이때, 두 상수 [eqn: a,~b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

14 두 함수 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{(2x-5)^2n+1 +3(2x-5)^2n}over{(2x-5)^2n +1}}],

[eqn: g(x)=x^2 +ax+b]에 대하여 함수 [eqn: f ( x )g( x )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a,~ b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

15 함수 [eqn: f(x) = lim _{ n rarrow inf} { }{ (x-1)^2n+1 +(x-3)^2n+1 + x^2 -4 } over {(x-1)^2n + (x-3 )^2n }``]

가 구간 [eqn: (-inf,~k)``]에서 연속일 때, [eqn: k``]의 최댓값은?

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 2``]

16 열린 구간 [eqn: (0,~1)``]에서 함수 [eqn: f(x) =[`- log_5 ` x `]``]가 불연속이 되는 모든 점들의 [eqn: x``]좌표의 합은? (단, [eqn: [`x`]``]는 [eqn: x``]보가 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: {1} over {4} ``]	② [eqn: 1 over3 ``]	③ [eqn: 1 over 2``]

④ [eqn: 2 over 3``]	⑤ [eqn: 3 over 4``]

17 함수 [eqn: f(x) = cases{x + 2~&(x le 2)#{x + 1} over {(x - 2)^3}~&(x >2)}`]에 대하여

함수 [eqn: g(x) = (x - 2)^n f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위한 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]       ③ [eqn: 3`]       ④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

18 [eqn: -2 LEQ x LEQ 2``]에서 정의된 두 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y= g(x)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow -1} { }g(f(x))=-1``]

ㄴ. 함수 [eqn: g(f(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이 아니다.

ㄷ. 방정식 [eqn: g(f(x))=`- {1} over {2} ``]의 실근이 [eqn: 1``]과 [eqn: 2``]사이에 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19  두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1,`````` LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]에 동시에 접하는 직선의 개수를 [eqn: f(r)]라 할 때, 함수 [eqn: f(r)]가 불연속인 점의 개수는?

(단, [eqn: r>0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20  그림과 같이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P`( alpha ,``0`)]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 그은 두 접선의 접점을 [eqn: rmA,```B]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S( alpha)]라 할 때, [eqn: lim _{alpha ` -> 1+} {` {S( alpha )} over {sqrt {alpha -1}}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2]

정답 및 해설