2015학년도 자연계	미분계수와 도함수 및 활용 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
미적분Ⅱ 보충교재

shiny root in Songwon

1. 두 곡선 [eqn: y = x^2 -1], [eqn: y = x^3 + 3x^2 - 3x -1]이 만나는 점 [eqn: (-3,``8)]에서의 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan`` theta]의 값은?

① [eqn: 12 over 35]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 16 over 35]

④ [eqn: 18 over 35]	⑤ [eqn: 4 over7]

2. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 등식

[eqn: f(x-y) = f(x) f left( pi over2 -y right) - cos x siny]

를 만족시킬 때, [eqn: f `prime (pi )]의 값은? (단, [eqn: f`prime left( pi over2 right ) =0])

① [eqn: -1]	② [eqn: - root2 over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: root2 over2]	⑤ [eqn: 1]

3. 함수 [eqn: f(x)=x+x ^{3} +x ^{5} + CDOTS +x ^{99} `]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( sqrt {{101} over {99}} RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 4910]	② [eqn: 4920]	③ [eqn: 4930]

④ [eqn: 4940]	⑤ [eqn: 4950]

4. 함수 [eqn: f(x)=(x+1) ^{{3} over {2}}] 과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 함수 [eqn: h(x)`]를 [eqn: h(x)=(g CIRC f)(x)`]라 하자. [eqn: h`'(0)=15`]일 때, [eqn: g`'(1)`]의 값을 구하시오.

5. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수 [eqn: g(x)`]가

[eqn: lim _{x-> 1} {{g(x)-2} over {x-1} =3`}]을 만족시킬 때, 미분계수 [eqn: f`'(2)`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

6. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]위의 점 [eqn: (2,~1)`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1`]이다. 함수 [eqn: f(2x)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)`] 위의 점 [eqn: (1,~a)`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b`]이다. [eqn: 10(a+b)`]의 값을 구하시오.

7. 좌표평면에서 곡선 [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2} =12`]에 접하는 직선 중에서 기울기가 [eqn: 0`]인 접선은 [eqn: 2`]개 있다. 이들 접선의 접점을 각각 [eqn: P(a,~b),~Q(c,~d)`]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2} `]의 값을 구하시오.

8. 함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: g(x)= {f`'(x)} over {f(x)} `]

[eqn: g`'(4)`]의 값은?

① [eqn: - {49} over {36}]	② [eqn: - {36} over {25}]	③ [eqn: - {25} over {16}]

④ [eqn: - {16} over {9}]	⑤ [eqn: - {9} over {4}]

9. [eqn: 0≤x< 2pi]에서 함수 [eqn: f(x)= sin 2x - cos^2 x]의 도함수 [eqn: y=f'(x)]의 최댓값을 [eqn: rmM]이라 할 때, [eqn: rm M^2]의 값을 구하시오.

10. 함수 [eqn: f(x)= 2^sinx]에 대하여 [eqn: lim_{x-> piover2} {f'(x)}over{x- piover2}]의 값은?

① [eqn: - 2ln2]	② [eqn: - ln2]	③ [eqn: 1-ln2]

④ [eqn: ln2]	⑤ [eqn: 2+2 ln2]

11. 좌표평면에서 함수 [eqn: f(x)= {2^x - 2^-x}over{2^x + 2^-x}]의 그래프에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m]의 최댓값은?

① [eqn: ln2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2 ln2]

④ [eqn: 1overln2]	⑤ [eqn: 2overln2]

12. [eqn: 0<x< piover2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= ln(tanx + cotx )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: (x,~f(x))]에서의 접선의 기울기를 [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: tan alpha =2]를 만족시키는 상수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> ` alpha } {} {g(x)-g( alpha )} over {x- alpha }]의 값은? (단, [eqn: 0< alpha < piover2])

① [eqn: 5over4]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 15over4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25over4]

13. [eqn: lim_x->0 1overx left{ ln left( sum_k=1^n e^kx right)-lnx right} =10]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

14. 함수 [eqn: f(x)=sin`x`]의 그래프 위의 두 점[eqn: left( {pi } over {2} ,~1 right),~( pi ,~0)]을 지나는 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 하자. [eqn: f'(c)=m]인 상수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: tan ^{2} ` {c} over {2}]의 값은? (단, [eqn: {pi } over {2} <c< pi])

① [eqn: {pi -2} over {pi +2}]	② [eqn: {pi -1} over {pi +2}]	③ [eqn: {pi } over {pi -1}]

④ [eqn: {pi +2} over {pi -1}]	⑤ [eqn: {pi +2} over {pi -2}]

15. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | f'(x) RIGHT | LEQ 2]이다.

(나) [eqn: f(0)=3]

16. 그림과 같이 정사각형 [eqn: rm { ABCD }]의 두 꼭짓점 [eqn: rm { A,~C }]는 [eqn: y]축 위에 있고, 두 꼭짓점 [eqn: rm { B,~D }]는 [eqn: x]축 위에 있다. 변 [eqn: rm { AB }]와 변 [eqn: rm { CD }]가 각각 삼차함수 [eqn: y=x ^{3} -5x]의 그래프에 접할 때, 정사각형 [eqn: rm { ABCD }]의 둘레의 길이를 구하시오.

17. 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 등식 [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a} =f'(c)]를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 개수는?

(단, [eqn: a<c<b])

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]             ③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]              ⑤ [eqn: 4]

18. 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선 [eqn: y=2x+4]는 곡선 [eqn: y=g(x)]와 점 [eqn: (6,~g(6))]에서 접한다. 미분가능한 함수 [eqn: h(x)=(g CIRC f)(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=h(x)] 위의 점 [eqn: (1,~h(1))]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

19. 함수 [eqn: f(x)=ax-ln`(x ^{2} -2x+2)]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선과 함수 [eqn: g(x)=bx ^{2} +a-b]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,~g(1))]에서의 접선이 서로 일치한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: a=2b]

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-g(x)} over {x-1}} =0]

ㄷ. [eqn: lim _{x-> 1} {{f'(x)-g'(x)} over {x-1}} =0]이면 [eqn: a+b=3]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=cos`x`]위의 점

[eqn: rm P(it t,~cos`t)~ LEFT ( 0<t< {pi } over {2} RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm { A }], 점 [eqn: rm { P }]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { B }]라 하고, [eqn: x]축 위에 [eqn: rm { ANGLE APC= {pi } over {2} }]가 되도록 점 [eqn: rm { C }]를 잡는다. 선분 [eqn: rm { BC }]의 길이가 최대일 때, 삼각형 [eqn: rm { PCA }]의 넓이는 [eqn: {q sqrt {2}} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

21.  닫힌구간 [eqn: LEFT [ {1} over {e} ,~e ^{2} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {alnx} over {x}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm=-3]이다. 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

22.  함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`lnx]에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: lim _{x -> 0+} {x`lnx=0}])

[보 기]

ㄱ. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ INF RIGHT )]에서 아래로 볼록하다.

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=e]에서 최솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

23. 그림과 같이 [eqn: rm` bar{AB} =1]인 정사각뿔 [eqn: rm`A-BCDE]가 있다. 이 정사각뿔의 부피가 최대가 되도록 하는 정사각형 [eqn: rm`BCDE]의 한 변의 길이는?

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]

24. 그림과 같이 점 [eqn: rm`O]를 중심으로 하고 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm`AB]와 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm`CD]를 각각 지름으로 하는 두 반원이 있다. 호 [eqn: rm`AB] 위의 점 [eqn: rm`P]에 대하여 선분 [eqn: rm`OP]와 호 [eqn: rm`CD]가 만나는 점을 [eqn: rm`Q]라 하자. [eqn: rm`ANGLE PAB= theta], [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =rm`{ bar{AP} + arch{QD} }]라 할 때, [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이고, 네 점 [eqn: rm `A,~B,~C,~D]는 한 직선 위에 있다.)

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12} pi]

25. 그림과 같이 좌표평면에 두점 [eqn: rmA(-4,~0)], [eqn: rmB(0,~3)]이 있다. 점 [eqn: rmA`]에서 출발하여 [eqn: x`]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 1`]의 일정한 속력으로 움직이는 점 [eqn: rmP`]와 점 [eqn: rmB`]에서 출발하여 [eqn: y`]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 2`]의 일정한 속력으로 움직이는 점 [eqn: rmQ`]가 있다. 두 점 [eqn: rmP,~Q`]가 각각 두점 [eqn: rmA,~B`]를 동시에 출발하여 [eqn: 1]초가 되는 순간, 선분 [eqn: rmPQ`]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은?

① [eqn: {5sqrt34} over34]	② [eqn: {3sqrt34 }over17]	③ [eqn: {7sqrt34 } over34]

④ [eqn: {4sqrt34} over17]	⑤ [eqn: {9 sqrt34} over34]

26. 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: 2`cos`x < e^{x} + 3x +k `]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k``]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

27. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: 2` sin^{3}`x - sin^{2}`x +a ge 0 `]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값은?

① [eqn: 1 over 27]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

28. 그림과 같이 어느 공원의 놀이기구는 지면 방향과 수직 방향으로 [eqn: 8`` rm m `] 떨어진 [eqn: rm O`]지점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5`` rm m`]인 원의 둘레 위를 시계반대방향으로 [eqn: 3`]분마다 한 바퀴씩 일정한 속력으로 회전한다고 한다. 지면과 수직 방향으로 [eqn: 3`` rm m`] 떨어진 [eqn: rm A`]지점에서 출발한 이 놀이기구가 지면으로부터 [eqn: 11``rm m`] 떨어진 [eqn: rm B`]지점에 처음으로 도달하는 순간, 이 놀이기구의 지면으로부터 높이의 시간에 대한 변화율은? (단, 단위는 [eqn: rm m /]분이다.)

① [eqn: 5 over 3 pi]	② [eqn: 2 pi]       ③ [eqn: 7 over 3 pi]

④ [eqn: 8 over 3 pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

29. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3}`-3x ^{2}`-9x-1}}]과 실수 [eqn: m`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= {cases{``f(x)&~(f(x) GEQ mx)#``mx`^`^`^`^`&~(f(x)<mx)`^`^`^`^`}}]

라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: m`]의 값은?

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -6]

30. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=f(x)`ln`x^4]이라 하자.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (e,~-e )]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (e,~-4e )]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: 100f`'(e)]의 값을 구하시오.

31. 두 곡선 [eqn: y=ln(ax+2),~y=it-ln`x^3 +b`]가 점 [eqn: rmA(1,~itc)]에서 만난다. 곡선 [eqn: y=ln(ax+2)] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=it-ln`x^3 +b] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: ab+c`]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c`]는 상수이다.)

① [eqn: ln`6]	② [eqn: ln`7]	③ [eqn: ln`8]

④ [eqn: ln`9]	⑤ [eqn: ln`10]

32. 함수 [eqn: f(x)=x^2 e^{-x}]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

❙보기❙

ㄱ. [eqn: 0<x_1 <x_2 <2]일 때, [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]이다.

ㄴ. [eqn: x_1 <x_2 <0]일 때, [eqn: { f(x_1 )} over {x_1 }<{ f(x_2 )} over {x_2 }]이다.

ㄷ. [eqn: f`'(a)= { 1} over {e }]인 실수 [eqn: a`]가 [eqn: 0]과 [eqn: 1] 사이에 적어도 한 개 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

33. 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 `] 위의 점 [eqn: (t,~t^3 )]과 직선 [eqn: y=x+6] 사이의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

❙보기❙

ㄱ. 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: 0]이 아닌 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

34. [eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

❙보기❙

ㄱ. [eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) =f' LEFT ( {n} over {2} RIGHT )]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n`]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,~0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

35. 좌표평면 위에 점 [eqn: rmA(0,~2)]가 있다. [eqn: 0<t<2]일 때, 원점 [eqn: rmO]와 직선 [eqn: y=2]위의 점 [eqn: rm{P}it{(t,~2)}]를 잇는 선분 [eqn: rmOP]의 수직이등분선과 [eqn: y`]축의 교점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: {b} over {a} sqrt {3}]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

36. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=it-f(x)]를 만족시킨다.

방정식 [eqn: □`f(x)`□=2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

37. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f'(x)]는 [eqn: x=1]에서 극값을 갖고, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 삼차함수이다. 사차함수 [eqn: y=f(x)+kx+6]이 극댓값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 개수는?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

38. 두 함수 [eqn: f(x)=e ^{x}], [eqn: g(x)=k LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3}] ([eqn: k!=0])에 대하여 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점이 [eqn: x>1]에서 존재하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은?

① [eqn: {e ^{3}} over {27}]	② [eqn: {e ^{4}} over {27}]	③ [eqn: {e ^{3}} over {8}]

④ [eqn: {e ^{4}} over {8}]	⑤ [eqn: {e ^{4}} over {3}]

39. 실수 [eqn: k`]에 대하여 직선 [eqn: y=it-x+k`]와 곡선 [eqn: y=x`ln`x`]의 교점의 개수를 [eqn: g(k)]라 하자. [eqn: g(k){geq}1]을 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은?

① [eqn: e ^{2}]	② [eqn: e]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: - {1} over {e}]	⑤ [eqn: - {1} over {e ^{2}}]

40. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT )] ([eqn: 0< alpha < beta])와 두 실수 [eqn: a], [eqn: b] 에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT ) + LEFT ( b-a RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]
라고 하자. [eqn: a<0], [eqn: alpha <b< beta]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서  있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT )]는 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) >f LEFT ( a RIGHT )]

ㄷ. [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) >f LEFT ( b RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

41. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x<=t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

42. 실수 전체의 집합에서 연속이고 [eqn: f(0)=0`]인 함수 [eqn: y=f(x)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x) `]가   [eqn: f` prime (x)=` LEFT | ``x`` RIGHT |]이다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 0} {{f(x)} over {x}} =0]

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ` sqrt {2}} {} `g(f(x))=1]

ㄷ. 합성함수 [eqn: y= `{g(g(x))`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

43. 그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점을 [eqn: rm A(`it a,~ f(a)`)`]라 하고 원점을 지나는 직선 [eqn: y=g(x)`]가 점 [eqn: rm B(`it b,~f(b)`)`]에서 곡선 [eqn: y=f(x)`]에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  [eqn: 0<a<b`])

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm A]

[보 기]

ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)`]의 변곡점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a`]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)-g(x)`]는 [eqn: x= {b} over {3}`]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

44. [eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]에서 정의된 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

Ⅰ. [eqn: 1<f(x)<2]

Ⅱ. [eqn: x _{1} <x _{2}`]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )`]

[보 기]

ㄱ. [eqn: 0<x<1`]인 임의의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f prime (x)>=0]      이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)-2x=0]의 해가 개구간 [eqn: (0```,```1)]에 적      어도 한 개 존재한다.

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} ``< int _{0} ^{1} {f(x)} dx``< sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

45. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g`prime(x) LEQ { 1} over {3 }]이다.

(나) [eqn: lim _{x` -> `3} {} {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)} = {8} over {9}]

[eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

46. 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm O]와 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 1`,~1 RIGHT ) `,~B LEFT ( 1`,~0 RIGHT ) `,~C LEFT ( 2`,~0 RIGHT ) `,~D LEFT ( 2`,~1 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm `ABCD]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: x`]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직인다. [eqn: t]초 후 원의 내부와 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} `,~0 RIGHT )]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, [eqn: 0 LE t LE1])

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

47. 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0)>0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= LEFT | ` int _{0} ^{x} {f(t)} `dt` RIGHT |]라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	[ 보 기 ]
ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: f'(0)<0] ㄷ. [eqn: int _{m} ^{m+2} {f(x)} `dx>0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

48. 함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} `e ^{-x} ```(k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

49. 실수 [eqn: m``]에 대하여 점 [eqn: (0,~2)``]를 지나고 기울기가 [eqn: m``]인 직선이 곡선 [eqn: y = x^3 - 3x^2 + 1``]과 만나는 점의 개수를 [eqn: f(m)``]이라 하자.  함수 [eqn: f(m)``]이 구간 [eqn: (-inf,~a)``]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a``]의 최댓값은?

① [eqn: -3``]	② [eqn: - 3 over 4``]	③ [eqn: 3 over 2``]

④ [eqn: 15 over 4``]	⑤ [eqn: 6``]