2015학년도 자연계	함수의 극한과 연속(초월함수 포함) 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
미적분Ⅱ 보충교재

shiny root in Songwon

1. 함수 [eqn: f(x)=a` LEFT [ x RIGHT ] ^{2} +b LEFT [ x RIGHT ]``]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 2} {f(x)} =3``]을 만족할 때, 상수 [eqn: a,````b``]에 대하여 [eqn: 4(a ^{2} +b ^{2} )``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

2. 함수 [eqn: f(x)= {cases{{cos pi x} over {2x+a}&(x != {1} over {2} )#`````````b&(x= {1} over {2} )}} ``]가 [eqn: x= {1} over {2} ``]에서 연속일 때, 두 실수 [eqn: a,````b``]의 곱 [eqn: ab``]의 값은?(단, [eqn: b != 0)``]

① [eqn: - pi over2``]	② [eqn: - pi over4``]	③ [eqn: pi over4``]

④ [eqn: pi over2``]	⑤ [eqn: pi``]

3. 함수 [eqn: f(x)= {cases{{LEFT | x RIGHT |} over {x}&`````````````(x != 0)#``````0&`````````````(x=0)}}``] 에 대하여 다음 보기에서 값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {f(sinx)} ``]	ㄴ. [eqn: f` LEFT ( lim _{x-> 0} {``sin`x} RIGHT )``]

ㄷ. [eqn: lim _{x-> 0} {`cos` LEFT ( f(x) RIGHT )}``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

4. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]가
[eqn: lim _{x-> 0} {x ^{2} f(x)= alpha ````( alpha != 0)}``]을 만족할 때, [eqn: lim _{x-> 0} {f(x)g(x)}``]의 값이 존재하는 [eqn: g(x)``]를 다음 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: g(x)=x`sinx``]             ㄴ. [eqn: g(x)=x`cosx``]

ㄷ. [eqn: g(x)=x`ln(1+x)``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

5. [eqn: 0<x<1``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=e^x -x``]에 대하여 방정식 [eqn: 5f(x)-n=0``]의 실근이 적어도 하나 존재하기 위한 자연수 [eqn: n``]의 최댓값을 구하면? (단, [eqn: e=2.7``]로 계산한다.)

① [eqn: 4``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

6. 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: lim _{x-> 0} {{f(x)} over {ln(1+x)} =1}``]을 만족시킬 때, 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 0} {` {sin`x} over {f(x)} =0}``]	ㄴ. [eqn: lim _{x-> 0} {{f(x)+x} over {ln(1+x)} =2}``]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {ln(1+x)} =0}``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =2], [eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x^2 -9} =5]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 두 실근을 가진다.

ㄴ. [eqn: lim _x->0][eqn: f(x+3) over x =15]

ㄷ. [eqn: lim _x->2][eqn: {f(x-1) f(x+1)} over {x^4 -8x^2 +16} = 15 over 4]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f _{1} (x)=sin` {1} over {3} x``],[eqn: f _{n+1} (x)=f _{1} LEFT ( f _{n} (x) RIGHT )``]라 하자.

[eqn: lim _{x-> 0} {{f _{100} (x)} over {x} =M}``]이라 할 때, [eqn: log`M``]의 지표는?

(단, [eqn: log`3=0.4771``]로 계산한다.)

① [eqn: -47``]	② [eqn: -48``]	③ [eqn: -49``]

④ [eqn: -50``]	⑤ [eqn: -51``]

9. 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: f(n)= lim _{x-> 0} {{30x} over {ln LEFT { (1+x) TIMES (1+2x) TIMES CDOTS TIMES (1+nx) RIGHT }}}``]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{99} f(k)= {b} over {a}``]를 만족하는 상수 [eqn: a,````b``]에 대하여 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,````b``]는 서로소이다.)

10. 함수 [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{n+1} +(x-1)`sin`a pi x} over {x ^{n} +x-1}} ``]가 모든 양수 [eqn: x``]에 대하여 연속이 되도록 하는 양수 [eqn: a``]의 최솟값은? (단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

① [eqn: 1over6``]	② [eqn: 1over4``]	③ [eqn: 1over3``]

④ [eqn: 1over2``]	⑤ [eqn: 1``]

11. 함수 [eqn: f(x) = lim _x->inf { tan ` ^n+1 x + a` sin ` x -1} over {1+ tan ` ^n x}``]이

구간 [eqn: left(0,~ pi over 2 right)``]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: a^2``]의 값을 구하시오.

12. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]와 함수

[eqn: g(x) = cases{ ~~-1& (x le 0)# -x+1 & (0<x<2)#~~~~1 &(x ge 2) }`]

에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: f(5)`]의 값은?

① [eqn: 15`]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21`]	⑤ [eqn: 23`]

13. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{t-> INF } {f LEFT ( {t-1} over {t+1} RIGHT )} + lim _{t-> - INF } {f LEFT ( {4t-1} over {t+1} RIGHT ) ``}``]의 값은?

① [eqn: 3``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 5``]

④ [eqn: 6``]	⑤ [eqn: 7``]

14. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프는 그림과 같고, [eqn: f( alpha ) =0`]이다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: 1<alpha < 2 `])

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0-} {(f CIRC f)(x)=`-2`}]

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ` alpha } {(f CIRC f)(x)=2`}]

ㄷ. 방정식 [eqn: (f circ f)(x) =0`]은 열린구간 [eqn: (-3,````1`)`]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 닫힌구간 [eqn: [`- 1,~ 2]]에서 정의된 함수 [eqn: y= f( x)]의 그래프가 다음과 같다.

닫힌 구간 [eqn: [`- 1,~ 2]]에서 두 함수 [eqn: g( x),~ h( x)]를

[eqn: g( x)= {f( x)+ left |`f( x)`right |}over2]

[eqn: h( x)= {f( x)- left |`f( x)`right |}over2]

으로 정의할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim_x->1 ``h( x)]는 존재한다.

ㄴ. 함수 [eqn: ( h circ g)( x)]는 닫힌구간 [eqn: [`- 1,~ 2]]에서 연속이      다.

ㄷ. [eqn: lim_x->0 `( g circ h)( x)= ( g circ h)( 0)]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

16. 네 점 [eqn: rm P (2,~1)`], [eqn: rm Q (2,~ -1)`], [eqn: rm R(4,~-1)`], [eqn: rm S(4,~1)`]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm PQRS `]와 중심이 [eqn: x `]축 위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 원 [eqn: C`]가 있다. 원 [eqn: C `]의 중심의 좌표가 [eqn: (a,~ 0)`]일 때, 원 [eqn: C `]와 정사각형 [eqn: rm PQRS `]의 교점의 개수를 [eqn: f(a)`]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{a` -> `3} {f(a)=f(3)`}]

ㄴ. [eqn: lim _{a` -> `2+} {f(a)=2`}]

ㄷ. 함수 [eqn: f(a)`]가 불연속인 점은 [eqn: 4 `]개다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. [그림 [eqn: 1]]과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1,~2``]인 두 원 [eqn: C_1 ,~C_2 ``]의 중심 [eqn: rmO_1 ,~O_2 ``]는 직선 [eqn: l] 위에 있고, [eqn: rm bar{O_1 O_2}=4``]이다. 중심 [eqn: rmO_1 ``]이 직선 [eqn: l``]을 따라 중심 [eqn: rmO_2``]의 방향으로 매초 [eqn: 1``]만큼 계속해서 이동하도록 원 [eqn: C_ 1``]을 움직일 때, [eqn: x``]초 후 두 원 [eqn: C_1 ,~C_2 ``]의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: f(x)``]라 하자. [eqn: x ge0``]에서 함수 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 [그림 [eqn: 2]]와 같을 때, [eqn: lim _{x` -> `3-} {} `g(f(x))``]의 값은? (단, 원 [eqn: C_2 ``]는 움직이지 않는다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

18. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]위의 점 [eqn: rmP``]에서의 접선이 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ``]라 하자. 점 [eqn: rmA(-1,````0)``]과 원점 [eqn: rmO``]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAO= theta ``]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {4} -} {{{bar{rm PQ it}} - {bar{rm OQ it}}} over {theta - {pi } over {4}}} ``]의 값은?  (단, 점 [eqn: rmP``]는 제 [eqn: 1``]사분면 위의 점이다.)

① [eqn: 2``]	② [eqn: sqrt3``]	③ [eqn: 3over2``]

④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: sqrt2 over2``]

19. 그림과 같이 양수 [eqn: theta ``]에 대하여 [eqn: rmANGLE ABC`= ANGLE ACB=it` theta ``]이고 [eqn: rm bar{BC} =2``]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC``]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC``]의 내접원의 중심을 [eqn: rm`O``], 선분 [eqn: rm`AB``]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: rmD``], 선분 [eqn: rm`AC``]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: rmE``]라 하자. 삼각형 [eqn: rm`OED``]의 넓이를 [eqn: rmS( theta )``]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{rm S( theta ) it} over {theta ^{3}}} ``]의 값은?

① [eqn: {1} over {8}``]	② [eqn: {1} over {4}``]	③ [eqn: {3} over {8}``]

④ [eqn: {1} over {2}``]	⑤ [eqn: {5} over {8}``]

20. 그림과 같이 제 [eqn: 1``]사분면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]가 있다. 점 [eqn: rmA(1,````0)``]에 대하여 [eqn: ANGLE rmPOA= theta ``]라 하고, 점 [eqn: rmP``]에서의 접선이 직선 [eqn: x=1``]밑 [eqn: x``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ,````R``]라 하자. 삼각형 [eqn: rmQAR``]의 넓이를 [eqn: S( theta )``]라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{3}} ``} ``]의 값은?

① [eqn: 1over14``]	② [eqn: 1over12``]	③ [eqn: 1over10``]

④ [eqn: 1over8``]	⑤ [eqn: 1over6``]

21. 중심이 [eqn: rmO]이고 두 점 [eqn: rmA,```B]를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 점 [eqn: rmO]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rmQ], 호 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자.

[eqn: rm ANGLE PAB=theta``` LEFT ( 0<theta< {pi} over {2} RIGHT )]라 하고, 점 [eqn: rmQ]와 점 [eqn: rmR]를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{4}}} = {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: rm bar{QR} <1]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

22. 중심이 [eqn: rmO``]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 위에 점 [eqn: rmA``]가 있다. 선분 [eqn: rmOA``] 위의 양 끝점 [eqn: rm O``,```A``]가 아닌 점 [eqn: rm B``]를 지나고 선분 [eqn: rmOA``]와 수직인 직선이 원과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P``,```Q``]라 하고, [eqn: angle rm POA = theta``]라 하자. 삼각형 [eqn: rm POB``]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: S`left(`theta`right)``]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} `` {S` LEFT ( ` theta ` RIGHT )} over {theta ` ^{2}} ``]의 값은?

① [eqn: pi over6]	② [eqn: pi over5]	③ [eqn: pi over4]

④ [eqn: pi over3]	⑤ [eqn: pi over2]