2015학년도 자연계	지수함수와 로그함수 2학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
미적분Ⅱ 보충교재

1. 함수 [eqn: f(x)=4^x +4^-x +3(2^x -2^-x )+ 3over4]은 [eqn: x=alpha]에서 최솟값 [eqn: beta]를 갖는다. [eqn: alpha+beta]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3over4]

④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: - 1over5]

2. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2^x -1,] [eqn: y=2^1-x + 5over2]의 교점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고 [eqn: rmO]가 원점일 때, 삼각형 [eqn: rmAOP]의 넓이는 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

3. 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f(x)``]와 일차함수 [eqn: y=g(x)``]의 그래프의 교점의 [eqn: x``]좌표가 각각 [eqn: 0,````4``]일 때, 지수부등식

[eqn: LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{f(x)} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f(x)+g(x)-1} -4` LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{g(x)} >0``]을 만족하는 정수 [eqn: x``]의 개수는?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

4. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 지수부등식 [eqn: 9 ^{x} +2cdot3 ^{x+1} +k-3>0``]이 항상 성립하기 위한 한 자리의 자연수 [eqn: k``]의 개수는?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 3``]	③ [eqn: 5``]

④ [eqn: 7``]	⑤ [eqn: 9``]

5. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

부등식 [eqn: a CDOT 2 ^{2x} +a CDOT 2 ^{x+1} -a ^{2} +2a+3>0``]이 항상 성립하도록 하는 모든 정수 [eqn: a``]의 개수는?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5``]

shiny root in Songwon

6. 지수방정식 [eqn: 4 ^{x} -k` CDOT 2 ^{x+1} +3k=0``]이 서로 다른 두 양은 실근을 갖기 위한 실수 [eqn: k``]의 값의 범위는?

① [eqn: k<0``]	② [eqn: 0<k<1``]	③ [eqn: k<0``] 또는 [eqn: k>3``]

④ [eqn: k>1``]	⑤ [eqn: k>3``]

7. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 영역
[eqn: left{(x,~y)`left|`2^x -n le y le log_2 (x+n)right}]
에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자.

예를 들어, [eqn: a_1 =2,~a_2 =4]이다. [eqn: sum_n=1^30 `a_n]의 값을 구하시오.

㈎ [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 서로 같다.

㈏ [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 모두 정수이다.

shiny root in Songwon

8. 로그함수 [eqn: y=log _{3} a(x+b)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: a<0``]     ㄴ. [eqn: b<0``]     ㄷ. [eqn: ab=3``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 다음 함수 중에서 그 그래프가 [eqn: y=log _{2} x``]의 그래프를 평행이동 또는 대칭 이동하여 일치시킬 수 없는 것은?

(단, 평행이동과 대칭이동은 여러 번 반복할 수 있다.)

① [eqn: y=2^x+1 ``]	② [eqn: y=3 cdot 2^x ``]	③ [eqn: y=log `_{1over2} `10x``]

④ [eqn: y=2log`_2 `root x +1``]	⑤ [eqn: y= 1over2 ` { log`_2 `(x-3)^2 }``]

10. [eqn: 0 LEQ x LEQ 3``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=log _{2} {1} over {x+1} ``]과 모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=-x ^{2} -2x+a``]가 있다. [eqn: 0 LEQ x _{1} LEQ 3,````][eqn: 0 LEQ x _{2} LEQ 3``]을 만족하는 임의의 실수 [eqn: x _{1} ,``x _{2``} ``]에 대하여 [eqn: f(x _{1} ) GEQ (g CIRC f)(x _{2} )``]가 성립할 때, 실수 [eqn: a``]의 최댓값은?

① [eqn: -5``]	② [eqn: -4``]	③ [eqn: -3``]

④ [eqn: -2``]	⑤ [eqn: -1``]

11. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=` LEFT | log _{2} x RIGHT | ``]와 직선 [eqn: y=x``]가 만나는 점을 [eqn: P(a,``a)``]라 하자. 점 [eqn: P``]를 지나고 [eqn: x``]축에 평행한 직선이 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: A,``]곡선 [eqn: y=` LEFT | log _{2} x RIGHT | ``]와 만나는 [eqn: P``]가 아닌 점을 [eqn: B``]라 하고, 점 [eqn: B``]를 지나고 [eqn: y``]축과 평행한 직선이 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: C,``] 직선 [eqn: y=x``]와 만나는 점을 [eqn: D``]라 하자. 또, 점 [eqn: D``]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: E``]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: a < 1over2``]

ㄴ. 점 [eqn: rmC``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: 1overa ``]이다.

ㄷ. 사각형 [eqn: rmABDE``]의 넓이는 [eqn: 1``]보다 크다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=`log _{2} x,``][eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} ``]의 교점을 [eqn: A(x _{1} ,``y _{1} )``]이라 하자. 또, 원점 [eqn: O``]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm { OA`` }``]를 반지름으로 하는 원이 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {2}} x``]와 만나는 점을 [eqn: B(x _{2} ,``y _{2} ),``] 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} ``]과 만나는 점 중 [eqn: A``]가 아닌 점을 [eqn: C(x _{3} ,``y _{3} )``]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: B``]의 [eqn: y``]좌표는 음수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: 1<x`_1 <2``]

ㄴ. [eqn: x`_1 y`_1 +x_2 y`_2 =0``]이다.

ㄷ. [eqn: x`_2 +y`_2 =x`_3 +y`_3 ``]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 그림은 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프와 원점을 지나는 직선 [eqn: y=g(x)``]이다. 부등식 [eqn: log _{{1} over {3}} ` LEFT | f(x) RIGHT | `>`log _{{1} over {3}} ` LEFT | g(x) RIGHT | ``]를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x``]의 개수를 구하시오.

14. 곡선 [eqn: y=3 ^{x}] 위의 점 [eqn: rm A(1,~3)]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=log _{5} `x]와 만나는 점을 [eqn: rm C it (x _{1} ,~y _{1} )]이라 하고, 곡선 [eqn: y=3 ^{x}] 위의 점 [eqn: rm B LEFT ( -1,~ {1} over {3} RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=log _{5} `x]와 만나는 점을 [eqn: rm D it (x _{2} ,~y _{2} )]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

	보 기
ㄱ. [eqn: x _{1} >3] ㄴ. [eqn: 0<x _{2} < {1} over {3}] ㄷ. [eqn: y _{1} -y _{2} >2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 좌표평면에 직선 [eqn: y= 2over3 x]와 네 개의 곡선 [eqn: y=2^x ,] [eqn: y=3^x ,][eqn: y=log_2 `x,] [eqn: y=log_3 `x]가 있다. 직선 [eqn: y= 2over3 x] 위의 점 [eqn: {rmP}(p,~q)]를 지나면서 [eqn: x]축에 수직인 직선이 두 곡선 [eqn: y=log_2 `x,] [eqn: y=log_3 `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rmA}(p,~a),~{rmB}(p,~b)]라 하고 점 [eqn: rmP]를 지나면서 [eqn: y]축에 수직인 직선이 두 곡선 [eqn: y=2^x ,] [eqn: y=3^x]과 만나는 점을 각각
[eqn: {rmC}(c,~q),~{rmD}(d,~q)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: left(단,~p> 3over2 right)]

[보 기]

ㄱ. [eqn: b-d<a-c]

ㄴ. [eqn: ad-bc=0]

ㄷ. [eqn: b+d over a+c =log_2 `3]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^x+1`]과 곡선 [eqn: y=b^x `]이 직선 [eqn: x=t````(t ge 1)``]와 만나는 점을 각각 [eqn: P], [eqn: Q``]라 하자.

다음 조건을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)``]의 개수를 구하시오. 예를 들어, [eqn: a=4], [eqn: b=5`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 2 le a le 10], [eqn: 2 le b le 10]

(나) [eqn: t ge 1`]인 어떤 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: bar{PQ``} le 10`]이다.