정답 및 해설

1 [정답] ⑤

[eqn: rmP LEFT ( itA ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itB-A RIGHT ) =rmP LEFT ( itB RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT )``]

[eqn: =rmP LEFT ( itB` RIGHT ) -rmP LEFT ( itA` RIGHT ) rmP LEFT ( itB` RIGHT )``]

[eqn: = {3} over {5} - {3} over {5} rmP LEFT ( itA` RIGHT ) = {1} over {5}``]

([eqn: because``] 사건 [eqn: A,~B``]가 서로 독립이다.)

[eqn: {3} over {5} rmP LEFT ( itA RIGHT ) = {2} over {5}``]	[eqn: therefore~rmP LEFT ( itA` RIGHT ) = {2} over {3}``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( itA CUP B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) +rmP LEFT ( itB` RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT )``]

[eqn: = {2} over {3} + {3} over {5} - {2} over {3} times {3} over {5} = {13} over {15}``]

2 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: 0 PREC rm P LEFT ( A RIGHT ) PREC 1``]이고 [eqn: 0 PREC rm P LEFT ( A ^{c} RIGHT ) PREC 1``]이므로

[eqn: rm P LEFT ( A RIGHT ) != 0``]이고 [eqn: rm P LEFT ( A ^{c} RIGHT ) != 0``]이다.

그런데 [eqn: A SMALLINTER A ^{c} ``]은 공사건이므로

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER A ^{c} RIGHT ) =0 != P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( A ^{c} RIGHT ) ``]

따라서 두 사건 [eqn: A``]와 [eqn: A ^{c} ``]은 종속이다. (참)

ㄴ. 두 사건 [eqn: A``]와 [eqn: B``]가 서로 독립이면

[eqn: rm P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B RIGHT ) ``]이다. 또한, 두 사건 [eqn: A`,~B``]가 서로 배반 사건이면 [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =0``]이다.

그런데 [eqn: rm P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B RIGHT ) != 0``]이므로 두 사건은 배반사건이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A-B=A SMALLINTER B ^{c} ``]이고 사건 [eqn: A``]와 사건 [eqn: B ^{c} ``]이 서로 독립이므로

[eqn: rm P LEFT ( A-B RIGHT ) =P LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B ^{c} RIGHT ) ``]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

3 [정답] ③

다음과 같이 두 가지의 경우가 있다.

(ⅰ) 갑이 뽑은 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 수가 [eqn: 1,~2]일 때, 을이 [eqn: 3]또는 [eqn: 4]를 뽑는다.

(ⅱ) 갑이 뽑은 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 수가 [eqn: 1,~3]일 때, 을이 [eqn: 4]를 뽑는다.

(ⅰ)의 경우의 확률은 [eqn: {1} over {{} _{4} C _{2}} TIMES {2} over {2} = {1} over {6}]

(ⅱ)의 경우의 확률은 [eqn: {1} over {{} _{4} C _{2}} TIMES {1} over {2} = {1} over {12}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {6} + {1} over {12} = {3} over {12} = {1} over {4}]

4  [정답] ④

두 개의 동전을 동시에 던질 때 같은 면이 나오는 경우는 (앞면, 앞면) 또는 (뒷면, 뒷면)의 [eqn: 2``]가지이므로 확률은 [eqn: {2} over {4} = {1} over {2} ``]이고, 다른 면이 나올 확률은 [eqn: {1} over {2} ``]이다.

갑이 이기는 경우는 [eqn: 1``]회, [eqn: 3``]회, [eqn: 5``]회, [eqn: CDOTS``]이고, 갑이

[eqn: 1``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2}``]

[eqn: 3``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} times {1} over {2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}``]

[eqn: 5``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}``]

이고, 각각의 사건은 배반사건이므로 갑이 이길 확률은

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} +` CDOTS `= {{1} over {2}} over {1- {1} over {4}} = {2} over {3}``]

5 [eqn: 25``]

갑이 이기는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.

경기 순서 승리	갑	을	갑	을	갑	을	[eqn: cdots]
갑	[eqn: rmO]
갑	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmO]
갑	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmO]
[eqn: vdots]

주머니에서 하나의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 [eqn: {1}over{p}``]이므로 갑이 이길 확률은

[eqn: {1}over{p}+left(1-{1}over{p}right)^2 {1}over{p}+left(1-{1}over{p}right)^4 {1}over{p}+``cdots``]

[eqn: ={{1}over{p}}over{1-left(1-{1}over{p}right)^2}``]

[eqn: ={p}over{2p-1}={25}over{49}``]

[eqn: therefore~p=25``]

6 ③

[eqn: 10``]개의 점 중에서 [eqn: 3``]개를 선택하는 방법이

[eqn: {} _{10} C _{3} = {10 BULLET 9 BULLET 8} over {3 BULLET 2 BULLET 1} =120````](가지)

이므로 만들 수 있는 삼각형은 [eqn: 120``]개다.

외접원의 지름의 양 끝점을 포함하여 세 점을 연결하면 직각삼각형을 만들 수 있다. 정삼각형의 외접원의 지름의 양 끝점을 선택하는 방법이 [eqn: 5``]가지이고 나머지 [eqn: 8``]개의 점 중에서 하나를 선택하여 직각삼각형을 만드는 방법은 [eqn: 5 TIMES 8=40``]이므로 구하는 확률은 [eqn: {40} over {120} = {1} over {3} ``]

7 [정답] ②

해설

[eqn: 12``]명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수는 [eqn: 12`!``](가지)이다.

[eqn: rmC``]고등학교 학생들끼리는 서로 이웃하지 않게 나열하려면 [eqn: rmA``]고등학교와 [eqn: rmB``]고등학교 학생 [eqn: 7``]명을 일렬로 나열한 뒤 [eqn: rmC``]고등학교 학생 [eqn: 5``]명을 이들 사이 또는 양 끝에 배치하면 된다. [eqn: rmA``]고등학교와 [eqn: rmB``]고등학교 학생 [eqn: 7``]명을 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: 7`!``](가지)이고, [eqn: rmA``]고등학교와 [eqn: rmB``]고등학교의 [eqn: 7``]명 학생 사이 또는 양 끝의 위치 [eqn: 8``]군데에 [eqn: rmC``]고등학교 학생 [eqn: 5``]명을 배치하는 방법의 수는 [eqn: {} _{8} rmP _{5} =8times7times6times5times4``](가지)이므로 구하는 확률은

[eqn: {7`!times LEFT ( 8times7times6timestimes5times4 RIGHT )} over {12`!} = {7} over {99}``]

8 [eqn: 131``]

점 [eqn: (a ,~b)``]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: c``]인 원이 좌표축과 만나는 경우를 분류해 보면

(ⅰ) [eqn: x``]축과 두 점에서 만나는 경우

[eqn: b<c<a``]가 성립해야 한다.

[eqn: therefore~{}_{6}{rmC}_{3}=20``](가지)

(ⅱ) [eqn: y``]축과 두 점에서 만나는 경우

[eqn: a<c<b``]가 성립해야 한다.

[eqn: therefore~{}_{6}{rmC}_{3}=20``](가지)

(ⅲ) [eqn: x``]축, [eqn: y``]축에 동시에 접하는 경우

[eqn: a=b=c``]가 성립해야 한다.

[eqn: therefore`6``](가지)

세 개의 주사위를 던질 때, 나올 수 있는

모든 경우의 수는

[eqn: 6^3 =216``]

이므로 구하는 확률은

[eqn: {20+20+6}OVER{216}={23}OVER{108}``]

[eqn: therefore~p+q=108+23=131``]

9 [정답] [eqn: 259]

앞면을 [eqn: H], 뒷면을 [eqn: T]라 하자

처음에 [eqn: H]가 [eqn: 3]개 있으므로

[eqn: 1]회 시행의 결과는 항상 [eqn: H]가 [eqn: 1]개, [eqn: T]가 [eqn: 2]개 이고

이후 시행의 결과는 [eqn: H]가 [eqn: 3]개 또는 [eqn: H]가 [eqn: 1]개, [eqn: T]가 [eqn: 2]개 이다.

[eqn: H] [eqn: 1]개, [eqn: T] [eqn: 2]개에서 한 번의 시행으로 [eqn: H]가 [eqn: 3]개 놓여 지려면 [eqn: T] [eqn: 2]개를

모두 택하여 뒤집어야 하므로 확률은 [eqn: {1} over {{} _{3} C _{2}} = {1} over {3}]이다.

또한, [eqn: H]가 [eqn: 1]개, [eqn: T] [eqn: 2]개에서 한 번의 시행으로 [eqn: H]가 [eqn: 1]개, [eqn: T]가 [eqn: 2]개 놓여 질 확률은 [eqn: 1- {1} over {3} = {2} over {3}]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 TIMES {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {3} = {16} over {243}]

[eqn: therefore~p+q=243+16=259]

10  [정답] ⑤

[eqn: p+q,``] [eqn: pq``] 중 적어도 하나가 홀수인 사건을 [eqn: A``]라 할 때, [eqn: p+q,``] [eqn: pq``]의 관계는 다음과 같다.

	[eqn: p+q``]	[eqn: pq``]	[eqn: p``]	[eqn: q``]
[eqn: A ^{C}``]	짝수	짝수	짝수	짝수
[eqn: A``]	짝수	홀수	홀수	홀수
	홀수	짝수	짝수	홀수
			홀수	짝수
	홀수	홀수	이 경우는 일어날 수 없다.

[eqn: A ^{C} ``]는 [eqn: p+q,~pq``] 모두 짝수인 경우이므로 [eqn: p,~q``] 둘 다 짝수인 경우이다.

그러므로 짝수는 [eqn: 2,~4,~6,~8``]의 [eqn: 4``]개이므로

[eqn: rmP LEFT ( itA ^{C} ` RIGHT ) =rm {{} _{4} P _{2}} over {{} _{9} P _{2}} = {4cdot3} over {9cdot8} = {1} over {6}``]

따라서 구하고자 하는 확률 [eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) ``]는

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itA ^{C} ` RIGHT ) =1- {1} over {6} = {5} over {6}``]

11 [정답] ③

[eqn: 8]명을 [eqn: 2]명씩 [eqn: 4]개의 조로 나누는 경우의 수는

[eqn: {} _{8} C _{2} TIMES _{6} C _{2} TIMES _{4} C _{2} TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {4!}]

구하는 사건의 여사건은 같은 팀의 선수는 같은조가 되지 않는

사건이므로 [eqn: A]팀 [eqn: 4]명은 다른 팀 선수와 같은 조가 되어야 한다. 즉 [eqn: A]팀

[eqn: 4]명에서 [eqn: B,`C]팀 [eqn: 4]명으로의 일대일 대응과 같으므로 그 경우의 수는 [eqn: 4!]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1- {4!} over {{} _{8} C _{2} TIMES _{6} C _{2} TIMES _{4} C _{2} TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {4!}}][eqn: =1- {8} over {35} = {27} over {35}]

12 [정답] [eqn: 96]

전체 경우의 수는 [eqn: {} _{12} C _{8} = _{12} C _{4} =495]

대형차를 [eqn: 1]대도 주차시킬 수 없는 경우의 수를 구해보자.

빈 공간은 [eqn: e], 소형차를 [eqn: c]로 표시할 때 [eqn: 8]개의 [eqn: c]사이와 양 끝의 위치를

모두 [eqn: 9]군데에 [eqn: 4]개의 [eqn: e]를 넣으면 되므로

①[eqn: c]②[eqn: c]③[eqn: c]④[eqn: c]⑤[eqn: c]⑥[eqn: c]⑦[eqn: c]⑧[eqn: c]⑨

[eqn: {} _{9} C _{4} =126]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1- {126} over {495} =1- {14} over {55} = {41} over {55}]이므로

[eqn: p+q=55+41=96]

13   [정답] [eqn: 20``]

본인의 이름표를 뽑은 학생을 [eqn: rmA,~B``]라 하면 [eqn: rmA,~B``]를 제외한 나머지 [eqn: 3``]명의 학생이 다른 학생의 이름표를 뽑는 경우는 다음과 같다.

[eqn: rmC``]	[eqn: rmD``]	[eqn: rmE``]
[eqn: rmD``]의 이름표	[eqn: rmE``]의 이름표	[eqn: rmC``]의 이름표
[eqn: rmE``]의 이름표	[eqn: rmC``]의 이름표	[eqn: rmD``]의 이름표

[eqn: rmA,~C``]가 자기 이름표를 뽑는 경우도 마찬가지이므로 [eqn: 5``]명의 학생 중에서 [eqn: 2``]명이 자기 이름표를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rmC _{2} =10``](가지)이고, 각각의 경우마다 남은 [eqn: 3``]명의 학생이 다른 학생의 이름표를 뽑는 경우의 수는 [eqn: 2``]가지이다.

그런데 전체 경우의 수는 [eqn: 5` ! = 120``]이므로 구하는 확률은

[eqn: {{} _{5} rmC _{2} times2} over {5`!} = {20} over {120} = {1} over {6}``]

따라서 [eqn: p= {1} over {6} ``]이므로

[eqn: 120`p=120times {1} over {6} =20``]

14 [정답] 13

[eqn: 4]개의 자물쇠에 [eqn: 4]개의 열쇠를 대응시키는 방법의 수는

[eqn: 4!`=24]

자물쇠 ①, ②, ③, ④를 열 수 있는 열쇠를 각각 [eqn: a,`b,`c,`d]라 하면 자물쇠 [eqn: 4]개 중 하나도 열리지 않는 경우는 다음과 같이 [eqn: 9]가지이다.

따라서 적어도 하나의 상자가 열릴 확률은

[eqn: 1- {9} over {24} = {5} over {8}]

∴ [eqn: p+q=8+5=13]

15 [정답] ②

해설

두 장의 카드에 적혀 있는 수가 연속된 홀수인 경우는

[eqn: LEFT ( 1`,~3 RIGHT ) `,~ LEFT ( 3`,~5 RIGHT ) `,~ CDOTS `,~ LEFT ( 2n-1`,~2n-1 RIGHT ) ``]인 경우이다. 그러므로 총 [eqn: n``]가지의 경우가 나타난다.

그런데 [eqn: LEFT ( 2n+1 RIGHT ) ``]장의 카드에서 [eqn: 2``]장의 카드를 꺼내는 경우의 수는

[eqn: {} _{2n+1} C _{2} = {LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1-1 RIGHT )} over {2} =n LEFT ( 2n+1 RIGHT ) ``]이므로

[eqn: p _{n} = {n} over {n LEFT ( 2n+1 RIGHT )} = {1} over {2n+1} ``]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n-> INF } {`n`p _{n} = lim _{n-> INF } {` {n} over {2n+1} = {1} over {2} ``}}]

16 [eqn: 11``]

주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 3``]의 배수일 확률은 [eqn: {1}over{3}``]이므로 [eqn: 3``]의 배수가 나왔을 때, 동전의 앞면이 [eqn: 2``]번 나올 확률은

[eqn: {1}over{3}times{}_{3}{rmC}_{2}left({1}over{2}right)^2 left({1}over{2}right)={1}over{8}``]

[eqn: 3``]의 배수가 아닌 수가 나왔을 때, 동전의 앞면이 [eqn: 2``]번 나올 확률은

[eqn: {2}over{3}times{}_{4}{rmC}_{2}left({1}over{2}right)^2left({1}over{2}right)^2 ={1}over{4}``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {1}over{8}+{1}over{4}={3}over{8}``]

[eqn: therefore~p+q=8+3=11``]

17   [정답] [eqn: 323``]

주사위의 눈의 수가 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6``]일 때, 각각의 값을 구해보면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``1`` RIGHT ] =0`,``] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``2`` RIGHT ] =0`,``]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``3`` RIGHT ] =1`,``] [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``4`` RIGHT ] =1`,``]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``5`` RIGHT ] =1`,``] [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``6`` RIGHT ] =1``]

이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`,``] [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =f LEFT ( 5 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) =1``]

[eqn: 1,~2``]의 눈이 나온 횟수를 [eqn: a,~3,~4,~5,~6``]의 눈이 나온 횟수를 [eqn: b``]라 하면

[eqn: f LEFT ( N _{1} RIGHT ) +f LEFT ( N _{2} RIGHT ) +f LEFT ( N _{3} RIGHT ) +f LEFT ( N _{4} RIGHT ) +f LEFT ( N _{5} RIGHT ) =3``]이므로 [eqn: b=3,~a=2``]이어야 한다.

주사위를 [eqn: 1``]개 던졌을 때 나오는 눈이 [eqn: 1``] 또는 [eqn: 2``]일 확률은 [eqn: {2} over {6} = {1} over {3} ``]이다.

따라서 [eqn: 5``]번 중 [eqn: 1,`2``]의 눈이 [eqn: 2``]번, [eqn: 3,~4,~5,~6``]의 눈이 [eqn: 3``]번 나오는 확률을 구하는 것이므로

[eqn: {} _{5} rm C _{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {80} over {243}``]

따라서 [eqn: p=243,~q=80``]이므로

[eqn: p+q=243+80=323``]

18 [정답] ③

각 지점에 도착하는 경우는 [eqn: 4]회 이동하는 동안 왼쪽과 다음으로 각각 이동하는 횟수에 의해 결정되고 [eqn: 1]회의 시행에서 왼쪽으로 이동할 확률은 [eqn: {1} over {3}], 다음으로 이동할 확률은 [eqn: {2} over {3}]이므로 독립시행의 확률에 의해 각각의 확률을 구할 수 있다.

따라서 도착할 확률이 가장 큰 지점은 [eqn: D]지점이다.

19 ③

실제로 불량품인 사건을 [eqn: A,``]불량품이라고 판정하는 사건을 [eqn: B``] 라 하면

[eqn: rm P LEFT ( it B``□A RIGHT ) =0.9``] [eqn: rm P LEFT ( it B``□A ^{c} RIGHT ) =0.01``] [eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT ) =0.1``]이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) ``][eqn: = rm P it LEFT ( B``□A RIGHT ) rm P it LEFT ( A RIGHT ) ``][eqn: =0.9 TIMES 0.1=0.09``]

[eqn: rm P it LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B RIGHT ) ``][eqn: = rm P it LEFT ( B``□A ^{c} RIGHT ) rm P it LEFT ( A ^{c} RIGHT ) ``][eqn: =0.01 TIMES 0.9=0.009``]

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT ) =][eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: rm +P it LEFT ( A^c SMALLINTER B RIGHT ) ``][eqn: =0.09+0.009=0.099``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm THEREFORE P LEFT ( it A``□B RIGHT ) = {rm P` it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P` it LEFT ( B RIGHT )} = {0.09} over {0.099} = {10} over {11} ``]

20  [정답] ③

[eqn: 6``]명의 사람 중 한 명을 뽑았을 때, 그 사람이 영화 [eqn: b``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: M,``] 영화 [eqn: c``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: N``]이라 하면 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itN``□`M` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itM SMALLINTER N` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itM` RIGHT )}``][eqn: = {{3} over {6}} over {{5} over {6}} = {3} over {5}``]

21 [정답] [eqn: bold 59`]

입사시험에서 탈락하는 경우는 다음과 같다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: P(B`□A CUP B CUP C)= {{600} over {1000} TIMES {300} over {600}} over {{400} over {1000} + {600} over {1000} TIMES {300} over {600} + {600} over {1000} TIMES {300} over {600} TIMES {180} over {300}} = {15} over {44}]

[eqn: THEREFORE `p+q][eqn: =44+15=59]

[다른 풀이]

[eqn: 1000`]명의 지원자 중 [eqn: 120`]명이 최종 합격하였으므로 탈락한 인원은 [eqn: 880`]명이고, [eqn: 2`]단계에서 탈락한 인원은 [eqn: 300`]명이므로 구하는 확률은 [eqn: {300} over {800} = {15} over {44}]

[eqn: THEREFORE `p+q][eqn: =44+15=59]

22 [정답] ②

해설

집합 [eqn: X``]의 모든 원소 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) ``]이므로

[eqn: t IN LEFT {``f LEFT ( x RIGHT ) `` LEFT | ``x IN X``RIGHT }``]이면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t ``]이다.

[eqn: therefore~f LEFT ( 2 RIGHT )=2,~f LEFT ( 3 RIGHT )=3,~f LEFT ( 5 RIGHT )=5,``] [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =6,~f LEFT ( 7 RIGHT ) =7 ,~f LEFT ( 10 RIGHT ) =10``]

[eqn: a < b``]이면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) LEQ f LEFT ( b RIGHT )``]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )``]은 [eqn: 1``] 또는 [eqn: 2``]이고 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )``]는 [eqn: 3,~4,~5``] 중 하나이다. 또 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) ,~f LEFT ( 9 RIGHT )``]는 [eqn: 7,~8,~9,~10``] 중 하나로 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 9 RIGHT )``]를 만족해야 한다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )``]을 결정하는 것, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )``]를 결정하는 것, [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) ,``] [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )``]를 결정하는 것은 서로 독립적이므로 구하는 함수의 개수는 각각의 경우의 수의 곱이 된다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ``]과 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )``]가 가질 수 있는 값은 각각 [eqn: 2``]가지, [eqn: 3``]가지이다.

또 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) ,~f LEFT ( 9 RIGHT )``]는 [eqn: 7,~8,~9,~10``] 중 중복을 허락하여 두 수를 택한 후 그중 작거나 같은 수를 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )``]에 대응시키고 남은 수를 [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )``]에 대응시키되 조건 (가)를 만족하지 않는 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )=7``]이고 [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )=8``]인 경우와 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =9``]이고 [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )=10``]인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ),~f LEFT ( 9 RIGHT )``]를 대응시키는 방법의 수는

[eqn: {} _{4+2-1} rmC _{2} -2= _{5} C _{2} -2=8``]

따라서 구하는 함수의 개수는

[eqn: 2 TIMES 3 TIMES 8=48``](개)

23 [정답] [eqn: bold 179`]

[eqn: X``]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1,`} ``x _{2} `]에 대하여 [eqn: x _{1} != x _{2}]이면

[eqn: f(x _{1} ) != f(x _{2} )]를 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: {} _{7} P _{3}]이므로

[eqn: A= LEFT { `(`g`,`h)`□`g``,h` IN `P`` RIGHT } `]의 원소의 개수는 [eqn: {} _{7} P _{3}][eqn: TIMES][eqn: {} _{7} P _{3}]

[eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1,`} x _{2}]에 대하여 [eqn: g(x _{1} ) LEQ h(x _{2} )]가 되려면 함수 [eqn: g]의 최댓값이 함수 [eqn: h]의 최솟값보다 작거나 같아야 한다.

(ⅰ)([eqn: g]의 최댓값)[eqn: <]([eqn: h]의 최솟값)인 경우

집합 [eqn: Y]의 [eqn: 7`]개의 원소 중 서로 다른 [eqn: `][eqn: 6`]개(예를 들어 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``6`])

를 택하여 작은 값 [eqn: 3`]개([eqn: 1,``2,``3])는 함수 [eqn: g`]의 치역으로, 큰 값[eqn: 3`]([eqn: 4,``5,``6`])은 함수 [eqn: h`]의 치역으로 한다. 이때 함수 [eqn: g,``h`]의 개수는 각각 [eqn: 3`!`]씩이다. 따라서 조건을 만족시키는 [eqn: g,``h`]를 택하는 방법의 수는 [eqn: {} _{7``} C _{``6} TIMES 3`!` TIMES 3`!`]

(ⅱ)([eqn: g]의 최댓값)[eqn: =]([eqn: h]의 최솟값)인 경우

집합 [eqn: Y``]의 [eqn: 7`]개의 원소 중 서로 다른 [eqn: 5`]개(예를 들어 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5`])를 택하여 작은 값부터 [eqn: 3`]개([eqn: 1,``2,``3`])는 함수 [eqn: g`]의 치역으로, 큰 값부터 [eqn: 3`]개([eqn: 3,``4,``5`])는 함수 [eqn: h`]의 치역으로 한다. 이때 함수 [eqn: g,``h`]의 개수는 각각 [eqn: 3`!`]씩이다. 따라서 조건을 만족시키는 [eqn: g,``h`]를 택하는 방법의 수는 [eqn: {} _{7``} C _{``5} TIMES 3`!` TIMES 3`!`]

(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {LEFT ( {} _{7``} C _{``6} TIMES 3`!` TIMES 3`!` RIGHT ) `+` LEFT ( {} _{7``} C _{``5} TIMES 3`!` TIMES 3`!` RIGHT ) `} over {{} _{7``} P _{``3} TIMES _{7``} P _{3} `}]

[eqn: = {7 TIMES 3! TIMES 3!`+`21 TIMES 3! TIMES 3!} over {(7 TIMES 6 TIMES 5) TIMES (7 TIMES 6 TIMES 5)}][eqn: = {4} over {175}]

[eqn: THEREFORE `p+q`=`175+4`=`179`]

24 [정답] [eqn: 37``]

해설

주머니 속에 있는 모든 [eqn: 8``]장의 카드에 적혀 있는 숫자는 각각 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``5,``6,``6``]이며 이 중 소수가 적힌 카드는 [eqn: 2,``3,``5,``5``]이고, [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드는 [eqn: 4,``5,``5,``6,``6``]이다.

첫 번째에는 소수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: 2``]또는 [eqn: 3``]이 적힌 카드가 나오고 두 번째에 [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드가 나오는 사건을 [eqn: A``]라 하면

[eqn: rmP(itA)= {2} over {8} cdot {5} over {7} = {10} over {56} ``]

첫 번째에는 소수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: 5``]가 적힌 카드가 나오고 두 번째에 [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드가 나오는 사건을 [eqn: B``]라 하면

[eqn: rm P( it B)= {2} over {8} CDOT {4} over {7} = {8} over {56} ``]

사건 [eqn: A``]와 사건 [eqn: B``]는 서로 배반이므로

[eqn: rmP(itA CUP B)=rmP(itA)+rmP(itB)``][eqn: = {10} over {56} + {8} over {56} = {18} over {56} = {9} over {28} ``]

[eqn: THEREFORE ~p=28,~q=9``]

[eqn: THEREFORE ~p+q=28+9=37``]

25 [정답] [eqn: 137``]

해설

시행 [eqn: rmA``]를 [eqn: 3``]번하여 갈 수 있는 지점은 그림과 같이 ①, ②, ③, ④의 네 지점이다.

시행 [eqn: rmB``]를 [eqn: 3``]번하여 ①에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

→ →↓, →↓→, ↓→ →

의 [eqn: 3``]가지이고, ②에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

↑→↓, ↓→↑, ↑↓→, ↓↑→, ← → →

의 [eqn: 5``]가지이다.

마찬가지로 ③에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법도

←↑→, →↑←, ← →↑, → ←↑, ↓↑↑

의 [eqn: 5``]가지이다.

④에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

←↑↑, ↑←↑, ↑↑←

의 [eqn: 3``]가지이다.

(ⅰ) [eqn: rm P~ -> ~`①~ -> ~ rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} CDOT 3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{9}} ``]

(ⅱ) [eqn: rm P~ -> ``②~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} CDOT 5 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {15} over {2 ^{9}} ``]

(ⅲ) [eqn: rm P~ -> ``③~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT 5 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {15} over {2 ^{9}} ``]

(ⅳ) [eqn: rm P~ -> ``④~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} CDOT 3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{9}} ``]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {3+15+15+3} over {2 ^{9}} = {36} over {2 ^{9}} = {9} over {128} ``]

따라서 [eqn: p=128,``] [eqn: q=9``]이므로

[eqn: p+q=128+9=137``]