정답 및 해설

1   [정답] ⑤

[eqn: x+y+z+u=26``]	[eqn: cdotscdots㉠``]

[eqn: x=2x'``], [eqn: y=2y'``], [eqn: z=2z'-1``], [eqn: u=2u'`-1``]

(단, [eqn: x'`,~y'`,~z'`,~u'``]는 자연수)이라 놓으면

[eqn: 2x'`+2y'`+ LEFT ( 2z'`-1 RIGHT )+ LEFT ( 2u'`-1 RIGHT )=26``]

[eqn: THEREFOREx'+y'+z'+u'=14``]	[eqn: cdotscdots㉡``]

따라서 방정식 ㉠에서 [eqn: x`,~y``]는 짝수, [eqn: z`,~u``]는 홀수인 해의 개수는 방정식 ㉡에서 [eqn: x'`,~y'`,~z'`,~u'``]이 자연수인 해의 개수이므로

[eqn: {}_{4+ LEFT ( 14-4 RIGHT ) -1}`rmC_10`=_13`C_10``=_13`C_3`= {13times 12times11} over {3times2times1 }=286``]

2   [정답] ④

(ⅰ) 과일을 택하는 방법의 수

서로 다른 [eqn: 4``]개에서 [eqn: 3``]개를 택하는 중복조합의 수이므로

[eqn: {}_4+3-1`rmC_3`=_6`C_3``= { 6times5times4} over {3times2times1 }=20``]

(ⅱ) 차를 택하는 방법의 수

서로 다른 [eqn: 3``]개에서 [eqn: 3``]개를 택하는 중복조합의 수이므로

[eqn: {}_3+3-1`rmC_3`=_5`C_3``= { 5times4} over {2times1 }=10``]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20times10=200``]

3 [정답] ④

해설

[eqn: 8``]개 중에 고기만두와 야채만두가 각각 [eqn: 2``]개 이상 포함되어야 하므로 먼저 고기만두와 야채만두가 각각 [eqn: 2``]개씩 포함되어 있다고 하면 나머지 [eqn: 4``]개를 네 종류의 만두 중에 구입하면 된다. 이것은 서로 다른 [eqn: 4``]개 중에 중복을 허락하여 [eqn: 4``]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{4+4-1} rm C _{4} = _{it 7 rm} rm C _{4} = _{it 7 rm} rm C _{3} ``]

[eqn: = {7cdot6cdot5} over {3cdot2cdot1} =35``](가지)

4  [정답] [eqn: 28``]

[eqn: 3``]일 동안 상담하는 학생 수는 모두 [eqn: 9``]명이므로 [eqn: a+b+c=9``]이다. 이때, 각 요일별로 적어도 한 명의 학생과 상담해야 하므로 [eqn: a=a'+1``], [eqn: b=b'+1``], [eqn: c=c'+1``]이라 하면

[eqn: a'+b'+c'=6``](단, [eqn: a'`,~b'`,~c'``]은 음이 아닌 정수)

따라서 각 요일별로 상담하는 학생 수는 [eqn: 3``]개의 문자를 중복해서 선택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: {}_3+6-1`rmC_6`=_8`C_6``=_8`C_2`= { 8times7} over {2times1 }=28``]

5 [정답]⑤

해설

사탕 [eqn: 5]개를 [eqn: 1]개 이상씩 세 묶음으로 나누는 방법은 [eqn: 1,~2,~2] 또는 [eqn: 1,~1,~3]의 [eqn: 2]가지 방법이 있다.

(ⅰ) [eqn: 1,~2,~2]인 경우

사탕을 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: rm{}_3 C_1 =3]

이때, [eqn: 1]명에게 초콜릿 [eqn: 5]개를 주는 경우의 수는 [eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: 1,~1,~3]인 경우

사탕을 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: rm{}_3 C_2 =3]

이때, [eqn: 2]명에게 초콜릿 [eqn: 5]개를 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 2]게에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm{}_2+3-1 C_3 ={}_4 C_3 =4]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3×1+3×4=15]

6  [정답] [eqn: 199``]

(ⅰ) 붉은 구슬 [eqn: 6``]개를 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: {}_3+6-1`rmC_6`=_8`C_6`=_8`C_2`= { 8times7} over {2times1 }=28``]

흰 구슬 [eqn: 3``]개를 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: {}_3+3-1`rmC_3`=_5`C_3`=10``]

따라서 모든 방법의 수는 [eqn: 28times10=280``]

(ⅱ) 구슬을 한 개도 받지 못한 사람이 한 명인 경우

구슬을 한 개도 받지 못하는 한 사람을 택하는 방법의 수는 [eqn: {}_3`rmC_1`=3``]이고, 나머지 두 사람이 적어도 [eqn: 1``]개의 구슬을 받는 방법의 수는

[eqn: {}_2+6-1`rmC_6`cdot_2+3-1`C_3`-2=_7`C_6`cdot_4`C_3`-2``]

[eqn: ={}_7`rmC_1`cdot`_4`C_1`-2=26``]

이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 3times26=78``]

(ⅲ) 구슬을 한 개도 받지 못한 사람이 두 명인 경우

구슬을 한 개도 받지 못하는 두 사람을 택하면 [eqn: 9``]개의 구슬은 모두 나머지 한 명에게 주면 되므로 구하는 방법의 수는 [eqn: {}_3`rmC_2`=3``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 방법의 수는

[eqn: 280- LEFT ( 78+3 RIGHT )=199``]

7 [정답] [eqn: 378]

(ⅰ) [eqn: a_1 le a_2 le a_3 lea_4 lea_5]를 만족시키는 몇 가지 예는 다음과 같다.

이와 같은 경우는 [eqn: 6]개의 수 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택한 다음 크기순으로 나열한 경우로 생각할 수 있다.

따라서 서로 다른 [eqn: 6]개의 수 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: p=` _{6+5-1} rm C _{5} =` _{10} rm C _{5} = {10 TIMES 9 TIMES 8 TIMES 7 TIMES 6} over {5 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} =252]

(ⅱ) [eqn: a_1 le a_2 < a_3 lea_4 lea_5]를 만족시키는 경우의 수는

[eqn: a_1 le a_2 le a_3 lea_4 lea_5]를 만족시키는 경우의 수에서

[eqn: a_1 le a_2 = a_3 lea_4 lea_5]를 만족시키는 경우의 수를 뺀 것과 같다.

[eqn: a_1 le a_2 = a_3 lea_4 lea_5]인 경우는 [eqn: a_1 le a_2 lea_4 lea_5]와 같이 생각할 수 있으므로 (ⅰ)에서와 같이 서로 다른 [eqn: 6]개의 수 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 선택하는 방법의 수와 같다. 즉,

[eqn: `_6+4-1 rmC_4 = `_9rmC_4 = {9 TIMES8 TIMES7 TIMES6 } over {4 TIMES3 TIMES2 TIMES1 }=126]

[eqn: THEREFOREq=252-126=126]

[eqn: THEREFOREp+q=252+126=378]

[다른 풀이]

(ⅰ) [eqn: 1 lea_1 le a_2 le a_3 lea_4 lea_5 le6]이므로

[eqn: a_1 -1=a~ (geq0)]

[eqn: a_2 -a_ 1 =b~ (geq0)]

[eqn: a_3 -a_ 2 = c~ (geq0)]

[eqn: a_4 -a_ 3 = d~ (geq0)]

[eqn: a_5 -a_ 4 = e~ (geq0)]

[eqn: 6 -a_ 5 = f~ (geq0)]

라 하고 각 변끼리 더하면

[eqn: a+b+c+d+e+f=5]

따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 6]개의 문자 [eqn: a,~b,~c,~d,~e,~f]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: `_6+5-1 rmC_5 = `_10 rmC_5 =252]

(ⅰ) [eqn: 1 lea_1 le a_2 < a_3 lea_4 lea_5 le6]이므로

[eqn: a_1 -1=a~ (geq0)]

[eqn: a_2 -a_ 1 =b~ (geq0)]

[eqn: a_3 -a_ 2 -1= c~ (geq0)]

[eqn: a_4 -a_ 3 = d~ (geq0)]

[eqn: a_5 -a_ 4 = e~ (geq0)]

[eqn: 6 -a_ 5 = f~ (geq0)]

라 하고 각 변끼리 더하면

[eqn: a+b+c+d+e+f=4]

따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 6]개의 문자 [eqn: a,~b,~c,~d,~e,~f]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 선택하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: `_6+4-1 rmC_4 = `_9 rmC_4 =126]

8 [정답] ①

[eqn: a,`b`,`c`]가 자연수이므로 부등식 [eqn: a<b+1<c+2]는 [eqn: a LEQ b LEQ c]와 같다.  따라서 주어진 조건은 [eqn: a LEQ b LEQ c < d]이고 이를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,`b`,`c`,`d)`]의 개수는 [eqn: a LEQ b LEQ c leqd]를 만족시키는 순서쌍의 개수에서 [eqn: a LEQ b LEQ c=d] 를 만족시키는 순서쌍의 개수 빼면 된다.

(ⅰ) [eqn: a LEQ b LEQ c LEQ d]를 만족시키는 순서쌍의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: {} _{6+4-1} C _{4} = _{9} C _{4} =126]

(ⅱ) [eqn: a LEQ b LEQ c=d]를 만족시키는 순서쌍의 개수는 서로 다른6개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: {} _{6+3-1} C _{3} = _{8} C _{3} =56]

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 126-56=70]

9 [정답]①

해설 집합 [eqn: A=left{1,~2,~3,~cdots,~15right}]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 8]

이상인 것은 개수는 [eqn: rm{}_15 C_8 +{}_15 C_9 +{}_15 C_10 +cdots+{}_15 C _15]이다.

이때,

[eqn: rm{}_15 C_8 +{}_15 C_9 +{}_15 C_10 +cdots+{}_15 C _15 =rm{}_15 C_7 +{}_15 C_6 +{}_15 C_5 +cdots+{}_15 C _0]

이고

[eqn: rm{}_15 C_0 +{}_15 C_1 +{}_15 C_2 +cdots+{}_15 C _15 =2^15]이므로

[eqn: rm{}_15 C_8 +{}_15 C_9 +{}_15 C_10 +cdots+{}_15 C _15 = 1over2 ×2^15 =2^14]

따라서 구하는 부분집합의 개수는 [eqn: 2^14]

10 [정답] ③

해설

집합 [eqn: A]의 원소의 개수를 [eqn: n]이라 하면 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수가 [eqn: 1024]이므로

[eqn: {} _{n} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{3} + CDOTS =2 it rm ^{itn-1} =1024]

그러므로

[eqn: 2 ^{n-1} =2 ^{10}]

[eqn: n-1=10]	[eqn: therefore`n=11]

따라서 집합 [eqn: A]의 원소의 개수가 [eqn: 7]인 부분집합의 개수는

[eqn: {} _{11} rmC _{7} = _{11} C _{4} = {11 TIMES 10 TIMES 9 TIMES 8} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1`} =330]

11 [정답][eqn: 48]

해설

(ⅰ)[eqn: A]에서 [eqn: B]로의 일대일 함수의 개수는

[eqn: {}_4 {rmP_3 =4×3×2=24]

(ⅱ)[eqn: i<j]이면 [eqn: f(i)<f(j)]를 만족하는 함수 [eqn: f``:``A~→~B]의 개수는

[eqn: {}_4 {rmC}_3 =4]

(ⅲ)[eqn: i<j]이면 [eqn: f(i)≤f(j)]를 만족하는 함수 [eqn: f``:``A~→~B]의 개수는

서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm {}_4+3-1 C_3 ={}_6 C_3 ={6․5․4}over{3․2․1}=20]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a+b+c=24+4+20=48]

12 [정답] ②

해설

집합 [eqn: X]의 짝수인 원소 [eqn: 2,``4]는 (가) 조건을 만족해야 한다. 그러므로 구하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 5]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수이므로

[eqn: {} _{5} rmC _{2}] (가지)

이 각각에 대하여 집합 [eqn: X]의 홀수인 원소 [eqn: 1,``3,``5]는 (나) 조건을 만족해야 한다.

그러므로 구하는 경의 수는 서로 다른 [eqn: 5]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수이므로

[eqn: {} _{5+3-1} rmC _{3} = _{7} C _{3}] (가지)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{5} rmC _{2} times _{7} C _{3} =10times35=350] (가지)

13   [정답] ④

세 조건 (가), (나), (다)에 의하여

[eqn: f`LEFT ( 1 RIGHT )`le`4`le`f LEFT ( 3 RIGHT )`<`f LEFT ( 4 RIGHT )`le`f LEFT ( 5 RIGHT )``]

(ⅰ) [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT )``]을 정하는 방법의 수는 [eqn: 3`,~4``]에서 [eqn: 1``]개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_2`rmC_1`=2``]

(ⅱ) [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`<`f LEFT ( 4 RIGHT )`lef LEFT ( 5 RIGHT )``]를 만족하는 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`,~f LEFT ( 4 RIGHT )`,~f LEFT ( 5 RIGHT )``]를 정하는 방법의 수는

① [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`le`f LEFT ( 4 RIGHT )`lef LEFT ( 5 RIGHT )``]를 만족하도록 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`,~f LEFT ( 4 RIGHT )`,~f LEFT ( 5 RIGHT )``]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 4`,~5`,~6`,~7``]에서 중복을 허락하여 [eqn: 3``]개를 뽑는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_4+3-1`rmC_3`=_6`C_3``= { 6times5times4} over {3times2times1 }=20``]

② [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`=`f LEFT ( 4 RIGHT )`lef LEFT ( 5 RIGHT )``]를 만족하도록 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )`,~f LEFT ( 4 RIGHT )`,~f LEFT ( 5 RIGHT )``]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 4`,~5`,~6`,~7``]에서 중복을 허락하여 [eqn: 2``]개를 뽑는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_4+2-1`rmC_2`=_5`C_2``= { 5times4} over {2times1 }=10``]

①, ②에서 구하는 함수 [eqn: f``]의 개수는

[eqn: 2times10=20``]

14 [정답] ③

해설

[eqn: f(1)]의 값에 따라 각각의 경우를 나누어 구한다.

[eqn: (rmi)] [eqn: f(1)`=1]일 때, 세 수 [eqn: 2,```3,```4]에서 중복을 허락하여 세 수를 택한 후 작은 수부터 차례로 [eqn: f(2)`,```f(3),```f(4)]에 대응시키면 되므로 가짓수는

[eqn: `_3+3-1{rmC}_3`=_5{rmC}_3`=_5{rmC}_2`=10]

[eqn: (rmii)] [eqn: f(1)`=2]일 때, 두 수 [eqn: 3,```4]에 중복을 허락하여 세 수를 택한 후 작은 수부터 차례로 [eqn: f(2)`,````f(3),````f(4)]에 대응시키면 되므로 그 가짓수는

[eqn: `_2+3-1{rmC}_3`=`_4{rmC}_3`=`_4{rmC}_1`=4]

[eqn: (rmiii)] [eqn: f(1)`=3]일 때, [eqn: f(2)`=f(3)`=f(4`)`=4]이고 그 가짓수는 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: rm(i),```(ii),````(iii)]에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 10+4+1=15]

15   [정답] ①

[eqn: (1+ax) ^{n} ``]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_n`rmC`_{itr}`1^{itn-r}` LEFT ( itax RIGHT )^r`=_n`rmC_{itr}`ita^r`x^r``]

이때, [eqn: x``]항은 [eqn: r=1``]일 때이므로 [eqn: x``]의 계수는

[eqn: {}_n`rmC_1`ita=an=15``]	[eqn: cdotscdots㉠``]

[eqn: x^n``]항은 [eqn: r=n``]일 때이므로 [eqn: x^n``]의 계수는

[eqn: a^n`=243=3^5``]	[eqn: cdotscdots㉡``]

㉠, ㉡에서 [eqn: a`,~n``]이 자연수이므로 [eqn: a=3`,~n=5``]

[eqn: THEREFOREa+n=8``]

16  [정답] ③

[eqn: 11^22`= LEFT ( 1+10 RIGHT )^22``]이므로 이항정리를 이용하면

[eqn: LEFT ( 1+10 RIGHT )^22`=_22`rmC_0`+_22`C_1`cdot10+_22`C_2`cdot10^2`+_22`C_3`cdot10^3`+`cdots``]

[eqn: +_22`rmC_22`cdot10^22``]

이때, [eqn: 11^22``]을 [eqn: 1000``]으로 나눈 나머지는

[eqn: {}_22`rmC_0`+_22`C_1`cdot10+_22`C_2`cdot10^2``]을 [eqn: 1000``]으로 나눈 나머지와 같다.

[eqn: {}_22`rmC_0`+_22`C_1`cdot10+_22`C_2`cdot10^2``]

[eqn: =1+220+23100``]

[eqn: =23321``]

이므로 [eqn: 11^22``]을 [eqn: 1000``]으로 나눈 나머지는 [eqn: 321``]이다.

17  [정답] [eqn: 25``]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n }`_n`rmC_{itk}=_{itn}`rmC_1`+_{itn}`rmC_2`+_{itn}`C_3`+`cdots`+_{itn}`C_{itn}``]

[eqn: =LEFT ( 1+1 RIGHT )^n`-1=2^n`-1```]

이고 [eqn: 2^n`-1``]이 [eqn: 3``]의 배수가 되기 위해서는 [eqn: 2^n``]이 [eqn: 3``]으로 나누어 나머지가 [eqn: 1``]인 수 이어야 한다.

따라서 [eqn: 2^2``,~2^4``,~2^6``,~cdots`,~2^50``]이 [eqn: 3``]으로 나누어 나머지가 [eqn: 1``]인 수이므로 구하는 [eqn: n``]의 개수는 [eqn: 25``]이다.

18  [정답] ③

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT )^n`=_n`rmC_0`+_{itn}`C_1`itx`+_{itn}`rmC_2``itx^2`+`cdots`+_{itn}`rmC_{itn}`itx^n``]	[eqn: cdotscdots㉠``]

㉠의 양변에 [eqn: x= { 1} over { 2}``]을 대입하면

[eqn: {}_n`rmC_0`+ { 1} over {2 }`_{itn}C_1`+ { 1} over { 4}`_{itn}C_2`+`cdots`+ { 1} over { 2^n}`_{itn}`C_{itn}`= LEFT ( { 3} over { 2} RIGHT )^{itn}``]

㉠의 양변에 [eqn: x=3``]을 대입하면

[eqn: {}_n`rmC_0`+3`_{itn}`C_1`+3^2`_{itn}`C_2`+`cdots`+3^{itn`}cdot_{itn}`C_{itn}`=4^{itn}``]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } ` {{} _{n}`rmC_0`+ { 1} over { 2}`_{itn}`C_1`+ { 1} over {4 }`_{itn}`C_2`+`cdots`+` { 1} over {2^{itn}` }cdot`_{itn}C _{itn}} over {{}_{itn}`rmC_0`+3_{itn}`C_1`+3^2`_{itn}`C_2`+`cdots`+3^{itn}`cdot_{itn}`C_{itn}``]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{INF }` { LEFT ( { 3} over { 2} RIGHT )^n } over { 4^n`}= sum _{ n=1} ^{INF } LEFT ( { 3} over { 8} RIGHT )^n``]

[eqn: ={ { 3} over {8 } } over {1- { 3} over {8 } }= { 3} over { 5}``]

19 [정답] ①

해설

이항정리에 의하여

[eqn: (1+i)^20`=`_20 {rmC}_0`+`_20{rmC}_1``i`+`_20{rmC}_2``i^2`+`_20{rmC}_3``i^3`+``cdots`+`_20{rmC}_20``i^20]

[eqn: `=`(`_20{rmC}_0`-`_20{rmC}_2`+`_20{rmC}_4`-`_20{rmC}_6`+`cdots`+`_20{rmC}_20 )]

[eqn: +(`_20{rmC}_1`-`_20{rmC}_3`+`_20{rmC}_5`-`_20{rmC}_7`+`cdots`-`_20{rmC}_19 )`i]

이고

[eqn: (1+i)^20`=`left{(1+i)^2 right}^10`=`(2i)^10`=`left{(2i)^2 right}^5]

[eqn: =`(-4)^5`=`-1024]

이므로

[eqn: `_20`{rm C}_0`-`_20`{rmC}_2`+`_20`rm{C}`_4`-`_20`{rmC}`_6`+``cdots`+`_20{rmC}_20`=`- 1024]

20 [정답] [eqn: 682]

해설

[eqn: {} _{2k} rm C _{1} + _{it 2k rm} rm C _{3} + _{it 2k rm} rm C _{5} + CDOTS _{it 2k rm} C _{it 2k-1 rm} = it 2 ^{2k-1}]

[eqn: therefore`f LEFT ( 5 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{5} 2 ^{2k-1} = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2cdot4 ^{k-1} RIGHT )]

[eqn: = {2 LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1}]

[eqn: = {2cdot1023} over {3} =2cdot341=682]

21 [정답] ④

[eqn: a_n =_n {rmC}_0 + { 1} over {2 }` _n {rmC}_1 + LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2 ` _n {rmC}_2 + CDOTS+ LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^n `_n {rmC}_n]

[eqn: =LEFT ( 1+ { 1} over {2 } RIGHT )^n = LEFT ( { 3} over {2 } RIGHT )^n]

이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} { 1} over {a_n }][eqn: =sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( { 2} over { 3} RIGHT ) ^n]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}}=2]

22 [정답] ④

[eqn: `_11 rmC_10]은 [eqn: (1+x)^11]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수,

[eqn: `_12 rmC_10]은 [eqn: (1+x)^12]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수,

[eqn: `_13 rmC_10]은 [eqn: (1+x)^13]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수,

[eqn: CDOTS]

[eqn: `_20 rmC_10]은 [eqn: (1+x)^20]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수

이므로

주어진 식의 값은

[eqn: (1+x)^11 +(1+x )^12 +(1+x)^13 + CDOTS+(1+x)^20]	[eqn: CDOTS CDOTS㉠]

의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수와 같다.

㉠을 정리하면

[eqn: { (1+x)^11 LEFT { (1+x)^10 -1 RIGHT } } over {(1+x)-1 }= { (1+x)^21 -(1+x)^11} over {x }]

이므로 ㉠에서 [eqn: x^10]의 계수는 [eqn: (1+x)^21 -(1+x)^11]의 전개식에서 [eqn: x^11]의 계수와 같다.

따라서 주어진 식의 값과 같은 값을 갖는 것은 [eqn: `_21 rmC_11 -1]이다.

23 [정답] ③

[eqn: (x+1)^20 =`_20 {rmC}_0 + `_20 {rmC}_1 x + `_20 {rmC}_2 x^2 + CDOTS+ `_20 {rmC}_20 x^20]

[eqn: =`_20 {rmC}_0 x^20 + `_20 {rmC}_1 x^19 + `_20 {rmC}_2 x^18 + CDOTS+ `_20 {rmC}_20]

이므로

[eqn: (`_20 rmC_0 )^2 +(`_20 rmC_1 )^2 + (`_20 rmC_2 )^2 +(`_20 rmC_3 )^2 + CDOTS +(`_20 rmC_20 )^2]은

[eqn: (x+1)^20 (x+1)^20]의 전개식에서 [eqn: x^20]의 계수와 같다.

즉, [eqn: (x+1)^20 (x+1)^20 =(x+1)^40]에서

[eqn: x^20]의 계수는 [eqn: `_40 rmC_20]이므로

[eqn: (`_20 rmC_1 )^2 + (`_20 rmC_2 )^2 +(`_20 rmC_3 )^2 + CDOTS +(`_20 rmC_20 )^2]

[eqn: = `_40 rmC_20 -1]

[참고]

일반적으로

[eqn: (`_n rmC_0 )^2 +it (`_n rmC_1 )^2 +it(`_n rmC_2 )^2 + CDOTS +it(`_n { rmC}_ n )^2 =`_2n {rmC}_n]

이 성립한다.

24  [정답] ③

[eqn: +``]	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 4``]	[eqn: 6``]	[eqn: 10``]
[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 5``]	[eqn: 7``]	[eqn: 11``]
[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 6``]	[eqn: 8``]	[eqn: 12``]
[eqn: 4``]	[eqn: 5``]	[eqn: 6``]	[eqn: 8``]	[eqn: 10``]	[eqn: 14``]
[eqn: 6``]	[eqn: 7``]	[eqn: 8``]	[eqn: 10``]	[eqn: 12``]	[eqn: 16``]
[eqn: 10``]	[eqn: 11``]	[eqn: 12``]	[eqn: 14``]	[eqn: 16``]	[eqn: 20``]

위의 표에서 집합 [eqn: B``]는

[eqn: B= LEFT { 2`,~3`,~4`,~5`,~6`,~7`,~8`,~10`,~11`,~12`,~14`,~16`,~20 RIGHT }``]

[eqn: THEREFOREn LEFT ( B RIGHT )=13``]

[eqn: A= LEFT { 1`,~2`,~4`,~6`,~10 RIGHT }``]에서 각 원소에 [eqn: 1``]을 더하면

[eqn: A'= LEFT { 2`,~3`,~5`,~7`,~11 RIGHT }``]이고 집합 [eqn: A'``]의 모든 원소는 모두 소수이므로 집합 [eqn: C``]의 원소의 개수는 집합 [eqn: A'``]의 [eqn: 5``]개의 원소에서 중복을 허락하여 [eqn: 3``]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: n(C)=_5+3-1`rmC_3`=_7`C_3`= { 7times6times5} over {3times2times1 }=35``]

[eqn: THEREFOREn LEFT ( B RIGHT )+n LEFT ( C RIGHT )=13+35=48``]

25 [정답] ③

[eqn: k=1]인 경우는 예를 들어 다음과 같다.

위와 같은 경우의 수는 [eqn: BIGCIRC]와 [eqn: TIMES]의 경계인 [eqn: 11]개의 세로 막대 중 [eqn: 1]개를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: `_11 rmC_1]이고 [eqn: BIGCIRC]와 [eqn: TIMES]를 반대로 나열하는 경우를 생각하면

[eqn: a_1 =2 TIMES `_11 rmC_1]

[eqn: k=2]인 경우도 [eqn: BIGCIRC]와 [eqn: TIMES]의 경계인 세로 막대를 [eqn: 2]개 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: `_11 rmC_2]이고 [eqn: BIGCIRC]와 [eqn: TIMES]를 반대로 나열하는 경우를 생각하면

[eqn: a_2 =2 TIMES `_11 rmC_2]

[eqn: THEREFORE ~ sum _{k=1} ^{5} a_k =a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5]

[eqn: =2( `_11 rmC_1 + `_11 rmC_2 +`_11 rmC_3 +`_11 rmC_4 +`_11 rmC_5 )]

[eqn: =2(`_11 rmC_0 + `_11 rmC_1 + `_11 rmC_2 +`_11 rmC_3 +`_11 rmC_4 +`_11 rmC_5 )-2]

[eqn: =2^11 -2]

[eqn: =2046]